• Author / Uploaded
• Gus Mal

• Categories
• Aleatoriedad
• Medición
• Probabilidad
• Método científico
• Teoría estadística

Citation preview

´ ˜ y Analisis ´ Metodos de Diseno de Experimentos Patricia Isabel Romero Mares Departamento de Probabilidad y Estad´ıstica IIMAS UNAM

marzo 2013

1 / 26

˜ de Bloques al azar Diseno

2 / 26

´ Introduccion

En cualquier experimento, la variabilidad proveniente de un factor de ruido puede afectar los resultados. Un factor de ruido es un factor que probablemente tiene un efecto en la respuesta pero que no nos interesa estudiar. Si el factor de ruido es desconocido y no controlable, la ´ es la aleatorizacion, ´ que tiende a distribuir los niveles solucion y efectos de este factor entre todas las u.e. Si el factor de ruido es conocido y no controlable, pero por lo menos podemos medir su valor en cada corrida del ´ experimento, entonces podemos compensarlo usando analisis de convarianza. Si el factor de ruido es conocido y controlable, se utilizan ´ estad´ıstica bloques para eliminar su efecto en la comparacion de los tratamientos. 3 / 26

Bloques al azar

Nuestro objetivo es tener comparaciones precisas entre los tratamientos bajo estudio. Utilizar bloques es una forma de reducir y controlar la varianza del error experimental para tener ´ mayor precision. ˜ completamente al azar se supone que las u.e. son En el diseno ´ relativamente homogeneas con respecto a factores que afectan la variable de respuesta. Sin embargo, algunas veces no ´ tenemos disponibles suficiente numero de u.e. homogeneas. ´ Cualquier factor que afecte la variable de respuesta y que var´ıe entre u.e. aumentara´ la varianza del error experimental y ´ de las comparaciones. disminuira´ la precision Factores como la edad y el peso de los animales, diferentes lotes de material, sexo de las personas y parcelas alejadas son ejemplos de variables externas a los tratamientos que pueden ´ entre las observaciones de la variable incrementar la variacion de respuesta. 4 / 26

Bloques al azar

´ Usar bloques estratifica a las u.e. en grupos homogeneos. Una ´ del criterio de bloqueo resulta en menor buena eleccion ´ entre las u.e. dentro de los bloques comparada con la variacion ´ entre u.e. de diferentes bloques. Generalmente los variacion criterios de bloqueo son: proximidad (parcelas vecinas) caracter´ısticas f´ısicas (edad, peso, sexo) tiempo manejo de las u.e. en el experimento

5 / 26

Bloques al azar

Suponga que se tienen t tratamientos que se quieren comparar en b bloques. Bloque 1 y11 y21 ... ... ... yt1

Bloque 2 y12 y22 ... ... ... yt2

... ... ... ... ... ... ...

Bloque b y1b y2b ... ... ... ytb

˜ de bloques (completos) al azar implica que en cada El diseno ´ de cada tratamiento. El orden bloque hay una sola observacion en que se “corren” los tratamientos dentro de cada bloque es ´ en la aleatorizacion). ´ aleatorio (restriccion 6 / 26

Bloques al azar

˜ es: El modelo estad´ıstico para este diseno yij = µ + τi + βj + εij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , b µ media general ´ τi efecto del i-esimo tratamiento ´ βj efecto del j-esimo bloque εij error experimental del tratamiento i en el bloque j εij ∼ NID(0, σ 2 ). Se supone que los efectos de tratamientos y bloques son ´ entre aditivos. La aditividad significa que no hay interaccion ´ entre los tratamientos y bloques. Es decir, la relacion tratamientos es la misma en cada uno de los bloques.

7 / 26

Bloques al azar

tratamiento 1 2 .. .. t medias de bloque

1 y11 y21 .. .. yt1 y¯ .1

bloque 2 ... y12 ... y22 ... .. .. .. .. yt2 ... y¯ .2 ...

b y1b y2b ... ... ytb y¯ .b

medias de tratamientos y¯ 1. y¯ 2. .. .. y¯ t. y¯ ..

8 / 26

Bloques al azar

´ ˜ se basa en una El Analisis de Varianza para este diseno ´ de la variabilidad de las observaciones. descomposicion yij − y¯ .. = (yij − y¯ i. − y¯ .j + y¯ .. ) + (¯yi. − y¯ .. ) + (¯y.j − y¯ .. ) ´ desviacion total t

b

=

´ desviacion debida al error

´ desviacion debida a tratamientos

+

t

b

i=1

j=1

t

+

´ desviacion debida a bloques

b

∑ ∑ (yij − y¯ .. )2 = b ∑ (¯yi. − y¯ .. )2 + t ∑ (¯y.j − y¯ .. )2 + ∑ ∑ (yij − y¯ i. − y¯ .j + y¯ .. )2 i=1 j=1

i=1 j=1

SStotal = SStrat + SSbloque + SSerror bt − 1 = (t − 1) + (b − 1) + (b − 1)(t − 1)

9 / 26

Bloques al azar

Suponiendo normalidad en los errores, se puede demostrar que SStrat SSbloques SSE , , 2 σ2 σ2 σ ´ χ 2 con sus son v.a. independientes con distribucion correspondientes grados de libertad.

10 / 26

´ Tabla de Analisis de Varianza

F.V.

g.l.

SS

CM

F

E(CM)

trat’s

t−1

b ∑ti=1 (¯yi. − y¯ .. )2

SStrat /(t − 1)

τi σ 2 + b ∑ti=1 t−1

b−1 (t − 1)(b − 1) bt − 1

t ∑bj=1 (¯y.j − y¯ .. )2

CMtrat CME

SSbloques /(b − 1) SSE /(t − 1)(b − 1)

bloques error total

∑ ∑(yij − y¯ i. − y¯ .j + y¯ .. )2 ∑i ∑j (yij − y¯ .. )2

2

σ2

α Si Fc > Ft−1,(t−1)(b−1) se rechaza H0 : τ1 = τ2 = . . . = τt = 0

11 / 26

Bloques al azar

No se deben probar bloques. ´ se aplico´ solamente a tratamientos dentro de La aleatorizacion ´ a la bloques, esto es, los bloques representan una restriccion ´ aleatorizacion. Si se tiene un grupo de u.e. donde se supone que ocurre un ´ efecto β en todas las u.e. simultaneamente, esto no equivale a la ocurrencia independiente de β en cada u.e.

12 / 26

Bloques al azar

Los residuales en este caso son:

eij = yij − yˆ ij yˆ ij = y¯ i. + y¯ .j − y¯ .. eij = yij − y¯ i. − y¯ .j + y¯ ..

Los contrastes y comparaciones multiples se hacen igual que ´ antes, considerando este nuevo CME.

13 / 26

˜ con bloques Disenos

Bloques al azar: Bloques al azar generalizados: Bloques incompletos:

˜ t (numero bloques de tamano de tratamientos) ´ se repiten los tratamientos en cada bloque

los bloques no contienen a todos los tratamientos

14 / 26

Ejemplo con bloques

Se realizo´ un experimento para estudiar el funcionamiento de cuatro diferentes detergentes quita manchas. Las lecturas de ´ limpio) se obtuvieron usando un “blancura” (valor mayor=mas aparato especial en tres diferentes tipos de manchas comunes. Hay diferencia significativa entre los detergentes?

Detergente 1 Detergente 2 Detergente 3 Detergente 4

Mancha 1 45 47 48 42

Mancha 2 43 46 50 37

Mancha 3 51 52 55 49

ej bloques.r

15 / 26

˜ en Cuadro Latino Diseno

˜ de Cuadro Latino se usa para eliminar dos fuentes de El diseno variabilidad que no interesa estudiar por si mismas. Se hace un bloqueo en dos direcciones. Los renglones y las columnas ´ representan dos restricciones en la aleatorizacion. En general, un cuadro latino p × p es un cuadrado que contiene p renglones y p columnas. Cada una de las p2 celdas contiene una de las p letras que corresponden a los tratamientos, y cada ´ y columna. letra ocurre una sola vez en cada renglon Ejemplo: A B C D

4×4 B D C A D B A C

C D A B

A D C B E

5×5 D B A C B E E A C D

E B D C A

C E A D B 16 / 26

˜ en cuadro latino Diseno

El modelo es: yij = µ + ρi + γj + τk + εij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , t k = 1, . . . , t

yij ρi γj τk εij

´ de la observacion ´ del renglon ´ i-esimo ´ medicion ´ de la columna j-esima ´ i efecto del renglon efecto de la columna j efecto del tratamiento k error

El numero de tratamientos debe ser igual de numero de ´ ´ renglones y de columnas.

17 / 26

˜ en cuadro latino Diseno

´ de suma de cuadrados se deriva de la identidad La particion algebraica: yij − y¯ .. = (¯yi. − y¯ .. ) + (¯y.j − y¯ .. ) + (¯yk − y¯ .. ) + (yij − y¯ i. − y¯ .j − y¯ k + 2¯y.. )

´ de una observacion ´ de la media global (yij − y¯ .. ) La desviacion se expresa como la suma de: ´ renglon ´ (¯yi. − y¯ .. ) una desviacion ´ columna (¯y.j − y¯ .. ) una desviacion ´ de tratamientos (¯yk − y¯ .. ) una desviacion error experimental (yij − y¯ i. − y¯ .j − y¯ k + 2¯y.. )

18 / 26

´ Tabla de Analisis de Varianza

F.V. trat’s renglones columnas error total

g.l. t−1 t−1 t−1 (t − 1)(t − 2) t2 − 1

SS t ∑tk=1 (¯yk − y¯ .. )2 t ∑ti=1 (¯yi. − y¯ .. )2 t ∑tj=1 (¯y.j − y¯ .. )2 SSE ∑i ∑j (yij − y¯ .. )2

CM SStrat /(t − 1) SSreng /(t − 1) SScol /(t − 1) SSE /(t − 1)(t − 2)

F CMtrat CME

E(CM) σ 2 + tθt2

σ2

α Si Fc > Ft−1,(t−1)(t−2) se rechaza H0 : τ1 = τ2 = . . . = τt = 0

19 / 26

Ejemplo de cuadro latino

Un ingeniero industrial esta´ investigando el efecto de cuatro ´ metodos de ensamblado (A,B,C,D) en el tiempo de ´ a color. ensamblado de una componente de television ´ el Selecciono´ a cuatro operadores para el estudio. Ademas, ´ ingeniero sabe que cada metodo de ensamblado produce cierta fatiga, de tal manera que el tiempo requerido para el ultimo ensamblado puede ser mayor que el tiempo requerido ´ ´ para el primero, independientemente del metodo. Para tomar en cuenta estas dos fuentes de variabilidad (operador, orden de ensamblado), el ingeniero decide usar un ˜ en Cuadro Latino, cuyos resultados se presentan a diseno ´ continuacion.

20 / 26

Ejemplo de cuadro latino

orden de ensamblado 1 2 3 4

1 C=10 B=7 A=5 D=10

Operador 2 3 D=14 A=7 C=18 D=11 B=10 C=11 A=10 B=12

4 B=8 A=8 D=9 C=14

ej cl.r

21 / 26

˜ en cuadro latino Diseno

´ de un arreglo aleatorio en, por ejemplo, un La generacion cuadro 5 × 5: ´ Se constuye un cuadro basico: (1) (2) (3) (4) (5)

A B C D E

B C D E A

C D E A B

D E A B C

E A B C D

´ el de las Se aleatoriza el orden de los renglones y despues columnas. Y se aleatorizan los tratamientos a las letras.

22 / 26

˜ en cuadro latino Diseno

(5) (3) (1) (2) (4)

(1) E C A B D

(2) A D B C E

(3) B E C D A

(4) C A D E B

(5) D B E A C

(5) (3) (1) (2) (4)

(3) B E C D A

(2) A D B C E

(4) C A D E B

(1) E C A B D

(5) D B E A C

23 / 26

Residuales

´ en el tratamiento k en el renglon ´ El residual para la observacion i y columna j es eij = yij − y¯ i. − y¯ .j − y¯ k + 2¯y..

24 / 26

˜ Grecolatino Diseno

˜ ıa que produce procesadores de alimentos desea Una compan´ ˜ de empaque en las ventas de determinar el efecto del diseno ˜ para probar: uno de sus productos. Se tienen 5 disenos ´ A,B,C,D y E. Hay algunas fuentes de variacion: 1

d´ıa de la semana

2

diferencia entre tiendas

3

˜ efecto de la altura del entrepano

˜ cuadro grecolatino con los Se realiza un experimento en diseno ´ renglon, ´ cinco cinco d´ıas de la semana como clasificacion ´ diferentes tiendas como clasificacion columna y cinco alturas ˜ como clasificacion ´ de letra griega. del entrepano La siguiente tabla contiene los resultados del experimento. La ´ es el numero medicion de ventas en el d´ıa. ´

25 / 26

˜ Grecolatino Diseno

D´ıa Lunes Martes ´ Mierc Jueves Viernes

1 Eα(238) Dδ (149) Bε(222) Cβ (187) Aγ(65)

2 C δ (228) B β (220) Eγ(295) Aε(66) Dα(118)

Tienda 3 B γ (158) Aα(92) Dβ (104) Eδ (242) Cε(279)

4 D ε (188) Cγ(169) Aδ (54) Bα(122) Eβ (278)

5 A β (74) Eε(282) Cα(213) Dγ(90) Bδ (176)

26 / 26