Bandas y Poleas Ingeniero Noe Mayor

Bandas y poleas (soluciΓ³n de ejercicios) 1 1- Una banda de 6𝑖𝑛 de ancho y 3 𝑖𝑛 de espesor transmite 15𝐻𝑝. La distancia

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Bandas y poleas (soluciΓ³n de ejercicios) 1

1- Una banda de 6𝑖𝑛 de ancho y 3 𝑖𝑛 de espesor transmite 15𝐻𝑝. La distancia central es de 8𝑓𝑑, la polea impulsora tiene un diΓ‘metro de 6𝑖𝑛, y gira 2000π‘Ÿπ‘π‘š, de manera que el lado flojo de la polea estarΓ‘ en la parte de arriba. La polea accionada tiene un diΓ‘metro de 18𝑖𝑛, el material de la banda pesa 0.35

𝑙𝑏 . 𝑖𝑛3

Determine:

a) Si πœ‡ es de 0.30. Determine los esfuerzos mΓ‘ximos b) Si πœ‡ se reduce a 0.20 debido al aceite que se introduce en una parte de la polea ΒΏCuΓ‘les son los valores de F1 y F2?, ΒΏSe deslizara la banda? c) Cual es la longitud de la banda SoluciΓ³n: π·π‘Žπ‘‘π‘œπ‘ : 𝑏 = 6𝑖𝑛 1 𝑑 = 𝑖𝑛 3 𝐷1 = 6𝑖𝑛 𝐷2 = 18𝑖𝑛 𝑐𝑑 = 8𝑓𝑑 ( 𝛾 = 0.035

12𝑖𝑛 ) = 96𝑖𝑛 1𝑓𝑑

𝑙𝑏 𝑖𝑛3

πœ‡1 = 0.30 πœ‡2 = 0.20 𝐻 = 15𝐻𝑝 𝑁 = 2000π‘Ÿπ‘π‘š Determinar el valor de la longitud de banda (𝐷2 βˆ’ 𝐷1 )^2 πœ‹ 𝐿𝐢 = 2𝑐𝑑 + (𝐷2 βˆ’ 𝐷1 ) + 2 4𝑐𝑑 Sustituyendo los datos se obtiene 𝐿𝐢 = 211.22𝑖𝑛 Determinar el valor de U π‘ˆ=

βˆ…π·1 𝑁 12

𝐷2 βˆ’ 𝐷1 𝛼 = π‘ π‘–π‘›βˆ’1 ( ) 2𝑐𝑑

𝛼 = 1.79

βˆ… = 180 βˆ’ 2𝛼

βˆ… = 180 βˆ’ 2(1.79) = 176.42

π‘ˆ=

(πœ‹)(6𝑖𝑛)(2000π‘Ÿπ‘π‘š) 12

π‘ˆ = 3141.59

𝑀 π‘ˆ 2 𝐹𝐢 = ( ) ( ) π‘†π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘–π‘Ÿ π‘‘π‘Žπ‘‘π‘œπ‘  𝑔 60

𝑓𝑑 π‘šπ‘–π‘›

𝐹𝐢 = 71.58𝑙𝑏

Encontrar el valor de F1 y F2 πœ‹ 𝐹1 βˆ’ 𝐹𝐢 = 𝑒 πœ‡βˆ…180 π·π‘’π‘ π‘π‘’π‘—π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ π‘™π‘Ž π‘’π‘π‘’π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘› 𝑦 π‘ π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘¦π‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘‘π‘Žπ‘‘π‘œπ‘  𝑠𝑒 π‘œπ‘π‘‘π‘–π‘’π‘›π‘’ 𝐹2 βˆ’ 𝐹𝐢

𝐹1 = 2.518𝐹2 βˆ’ 108.65

πΈπ‘π‘’π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘› 1

Utilizando la ecuación de la potencia obtenemos la siguiente expresión 𝐻 = 15 =

(2.518𝐹2 βˆ’ 108.65 βˆ’ 𝐹2 )(3141.59) 33000

π‘‚π‘π‘‘π‘’π‘›π‘’π‘Ÿ 𝑒𝑙 π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 𝐹2

𝐹2 = 176.30𝑙𝑏 Determinar F1 πœ‹ 𝐹1 = 𝑒 πœ‡βˆ…180 𝐹2

π·π‘’π‘ π‘π‘’π‘—π‘Žπ‘Ÿ 𝐹1

𝐹1 = 443.42𝑙𝑏 Determinar los esfuerzos mΓ‘ximos con πœ‡ = 0.20 𝐹𝑖 = 𝐹1 βˆ’πΉπΆ 𝐹2 βˆ’πΉπΆ

𝐹1 + 𝐹2 2

𝐹𝑖 = 256.15𝑙𝑏 πœ‹

= 𝑒 πœ‡βˆ…180

π·π‘’π‘ π‘π‘’π‘—π‘Žπ‘Ÿ 𝐹1

𝐹1 = 1.85𝐹2 βˆ’ 132.50 + 71.58

πœ‹ 𝐹1 = 𝑒 πœ‡βˆ…180 𝐹2

π‘‘π‘’π‘ π‘π‘’π‘—π‘Žπ‘Ÿ 𝑦 π‘‘π‘’π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘Ÿ 𝑒𝑙 π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 𝐹2

𝐹2 = 201.12𝑙𝑏

π·π‘’π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘Ÿ 𝐹1

𝐹1 = 320.17𝑙𝑏

(𝐹1 βˆ’πΉ2 )π‘ˆ 33000

2- Una banda plana abierta de 10in de ancho y 0.13in de espesor conecta

Solucion: Datos: b=10in t=0.13in D1=16in D2= 𝛼 = 3.18 𝐹𝑖 = 1000 𝐹2 = 223.17 Utilizar la fΓ³rmula de 𝐹𝑖 𝐹𝑖 =

𝐹1 + 𝐹2 2

π·π‘’π‘ π‘π‘’π‘—π‘Žπ‘Ÿ 𝐹1

𝐹1 = 2𝐹𝑖 βˆ’πΉ2

π‘†π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘–π‘Ÿ π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿπ‘’π‘ 

𝐹1 = 1776.83𝑙𝑏 Determinar el peso 𝑀 = 12𝛾𝑏𝑑

12(0.042)(10𝑖𝑛)(0.13𝑖𝑛) = 0.655

𝑙𝑏 𝑖𝑛

Obtener le valor de 𝐹𝑐 𝑀 𝐹𝑐 = ( ) (π‘ˆ)2 𝑔

𝐹𝐢 = (

0.65 3600 2 )( ) 32.17 60

𝐹𝑐 = 72.73𝑙𝑏

βˆ… = 180 βˆ’ 2(3.18) βˆ… = 173.64 (0.8)(173.64)(πœ‹) 𝐹1 βˆ’ 𝐹𝐢 180 =𝑒 𝐹2 βˆ’ 𝐹𝐢

𝐹2 = 223.17

2000 βˆ’ 𝐹2 βˆ’ 72.23 = 11.29 𝐹2 βˆ’ 72.23

π‘‚π‘π‘‘π‘’π‘›π‘’π‘Ÿ 𝐹2

Determinar el valor de la potencia 𝐻=

(𝐹1 βˆ’πΉ2 )π‘ˆ 33000

π‘†π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘–π‘Ÿ π‘‘π‘Žπ‘‘π‘œπ‘ 

𝐻 = 169.49𝐻𝑝

Cada una de las poleas impulsora e impulsada en una transmisiΓ³n de banda plana abierta tiene un diΓ‘metro de 160mm. Calcule la precarga que se necesita en la banda si se debe de transmitir una potencia de 7kW a 1000rpm, solo usando la mitad del Γ‘ngulo de cobertura en cada polea. El coeficiente de fricciΓ³n es de 0.25, la densidad del material de la banda es de 1500kg/m3 y el esfuerzo de precarga permisible en la banda es de 5MPa. TambiΓ©n calcule el Γ‘rea de la secciΓ³n transversal de la banda.

SoluciΓ³n: Datos: D=160mm H=7kw N=1000rps πœ‡ = 0.25 𝛾 = 1500

π‘˜π‘” π‘š3

πœŽπ‘π‘’π‘Ÿπ‘š = 5π‘€π‘ƒπ‘Ž

Una banda plana tiene 6 pulg. de ancho, 9/32 pulg. de espesor y transmite 15 hp. Los ejes conectados son paralelos y estΓ‘n en un plano horizontal a una distancia de 8 ft. La polea impulsora tiene 6 pulg. de diΓ‘metro y gira a 1750 r.p.m., de tal modo que el lado colgante (o flojo) de la banda queda en la parte superior. La polea impulsada tiene 18 pulg. de diΓ‘metro. el peso del material de la banda es de 0.035 lbf/in3. a) Determine la tensiΓ³n en los lados tirante y colgante de la banda si el coeficiente de fricciΓ³n es de 0.30. b) ΒΏQuΓ© tensiones resultarΓ­an si condiciones adversas hicieran que el coeficiente de fricciΓ³n disminuyera a 0.20? ΒΏOcurrirΓ­a deslizamiento en

la banda de transmisiΓ³n? c) CalcΓΊlese la longitud de la banda. Datos: W = 6 pulg. , t = 9/32 pulg. , H = 15 hp, C = 8 ft., d = 6 pulg. n = 1750 r.p.m., D = 18 pulg. ,  = 0.035 lbf/in3 SoluciΓ³n: Parte a)

 18 ο€­ 6 οƒΉ 2 D ο€­ dοƒΆ ArcSenοƒͺ  d ο€½  ο€­ 2 ArcSen οƒ· = οƒΊ = 3.017 rad ο€ ο‚» 3 rad 180  2C οƒΈ  (2) (12) (8)   9 οƒΆ p ο€½  w t ο€½ (0.035) (6)  οƒ· ο€½ 0.059 lbf ο€½ 0.71 lbf in ft  32 οƒΈ V ο€½  dn ο€½

 (6) (1750) ο€½ 2748.89 ft ο€½ 45.81 ft min s 12

p V 2 (0.71) (45.81)2 FC ο€½ ο€½ ο€½ 46.28 lbf g 32.2

F1 ο€­ FC F ο€­ 46.28 ο€½ e f  οƒž 1 ο€½ e 0.3ο‚΄3 ο€½ 2.46 F2 ο€­ FC F2 ο€­ 46.28

F1 ο€­ 46.28 ο€½ 2.46 (F2 ο€­ 46.28) ο€½ 2.46 F2 ο€­ 113.85

F1 ο€­ 2.46 F2 ο€½ ο€­67.57

(1)

Por otra parte:

Hο€½

(F1 ο€­ F2 ) V 33000 H (33000) (15) οƒž F1 ο€­ F2 ο€½ ο€½ ο€½ 180.07 ο‚» 180 33000 V 2748.89

F1 ο€­ F2 ο€½ 180

(2)

Aplicando el mΓ©todo d reducciΓ³n a las ecuaciones (1) y (2) tendremos:

F1 ο€­ 2.46 F2 ο€½ ο€­67.57

ο€­ F1  F2 ο€½ ο€­180

ο€­ 1.46 F2 ο€½ ο€­247.57 οƒž F2 ο€½ 169.57 lbf

F1 ο€½ 169.57  180 ο€½ 349.57 lbf F1 = 349.5 lbf F2 = 169.57 lbf

Parte b)

F1 ο€­ FC F ο€­ 46.28 ο€½ e f  οƒž 1 ο€½ e 0.2 3 ο€½ 1.82 F2 ο€­ FC F2 ο€­ 46.28

F1 ο€­ 1.82 F2 ο€½ ο€­38.05

A hoist in a copper mine lifts ore a maximum of 2000 ft. The weight of car, cage, and ore per trip is 10 kips, accelerated in 6 sec. to 2000 fpm; drum diameter is 6ft. Use a 6 x 19 plow-steel rope. Determine the size (a) for a life of 200,000 cycles and N =1.3 on the basis of fatigue, (b) for N = 5 by equation security statics, (c) What is the expected life of the rope found in (b) for N =1.3 on the basis of fatigue? (d) If a loaded car weighing 7 kips can be moved gradually onto the freely hanging cage, how much would the rope stretch? (e) What total energy is stored in the rope with full load at the bottom of te shaft? Neglect the rope’s weight for this calculation. (f) Compute the pressure of the rope on the cast-iron drum. Is it reasonable? Esta es la ecuaciΓ³n del factor de seguridad estΓ‘tica que pide se use en el inciso b) Ns=Fu – Fb/Ft Donde Fb= Οƒb=Edw/D

Solucion: Utilizar 6x19 𝑀 = 1.6𝐷2

πΆπ‘œπ‘›π‘£π‘’π‘Ÿπ‘‘π‘–π‘Ÿ π‘Ž π‘˜π‘–π‘π‘ 

2000 𝑀 = 1.6𝐷2 ( ) π‘˜π‘–π‘π‘  = 3.2𝐷 2 𝐾𝑖𝑝𝑠 1000 π‘€β„Ž = 10π‘˜π‘–π‘π‘  𝑀𝐿 + π‘€β„Ž 𝐹𝑑 βˆ’ 𝑀𝐿 βˆ’ π‘€β„Ž = ( )π‘Ž 32.17 Relacion de diΓ‘metros 𝑝 (𝑆 )(𝑆𝑒 𝐷𝑑) 𝐹𝑓 = 𝑒 2

π·π‘’π‘ π‘π‘’π‘—π‘Žπ‘Ÿ 𝐷𝑑 ;

2𝐹𝑓 𝑁 𝐷𝑑 = 𝑝 ; (𝑆 ) 𝑆𝑒 𝑒

π·π‘’π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘Ÿ 𝑒𝑙 π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 𝑆𝑒 = 225π‘˜π‘–π‘π‘  𝑁 = 1.3 𝐷(72) =

π‘…π‘’π‘™π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›

𝑝 = 0.0028 𝑆𝑒

π‘‡π‘œπ‘šπ‘Žπ‘›π‘‘π‘œ 𝑒𝑙 π‘‘π‘–π‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ = 6𝑓𝑑 = 72𝑖𝑛

π·π‘’π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘Ÿ 𝑒𝑙 π‘£π‘Žπ‘™π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 𝐷 2(1.3)(1.726)(3.2𝐷2 + 10) (0.0028)(225)

∢

7 𝐷 = 0.815𝑖𝑛 β‰ˆ 𝑖𝑛 8

π‘ˆπ‘‘π‘–π‘™π‘–π‘§π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ 𝑁 = 5 𝑛𝑠 =

𝐹𝑒 βˆ’ 𝐹𝑏 𝐹𝑑

𝐹𝑏 = 𝑆𝑏 π΄π‘š

; 𝑆𝑏 =

𝐸𝑑 ; 𝐷

𝑑 = 0.067𝐷 ;

𝑆𝑏 =

(30000)(0.067𝐷) = 27.92𝐷 72

; π΄π‘š = 0.4𝐷2 ; 𝐹𝑏 = (27.92𝐷)(0.4𝐷2 ) = 27.92

𝐹𝑒 = 36𝐷2 = 72𝐷 2 π‘˜π‘–π‘π‘  ; 𝐷 = 1.216𝑖𝑛 β‰ˆ 1

𝑁𝐹𝑑 = 𝐹𝑒 βˆ’ 𝐹𝑏

π‘†π‘’π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘¦π‘’π‘›π‘‘π‘œ π‘™π‘œπ‘  π‘‘π‘Žπ‘‘π‘œπ‘  π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘šπ‘œπ‘  π‘‘π‘’π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘šπ‘–π‘›π‘Žπ‘Ÿ 𝐷

1 4

π‘ˆπ‘‘π‘–π‘™π‘–π‘§π‘Žπ‘›π‘‘π‘œ π‘™π‘Žπ‘  π‘’π‘π‘’π‘Žπ‘π‘–π‘œπ‘›π‘’π‘  π‘Žπ‘›π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘–π‘œπ‘Ÿπ‘’π‘  𝑠𝑒 π‘‘π‘’π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘šπ‘–π‘›π‘Ž 𝑒𝑙 π‘–π‘›π‘π‘–π‘ π‘–π‘œ 𝑐

𝑝 = 0.00226 𝑆𝑒

; (1.25)(72) =

2(1.2)(1.172)[3.2(1.25)2 + 10] 𝑝 (225) 𝑆𝑒

𝐹 = 7π‘˜π‘–π‘π‘  ; πΈπ‘Ÿ = 12000π‘˜π‘–π‘π‘  ; 𝐿 = 2000𝑓𝑑 = 24000𝑖𝑛 7 2 𝐴 = 0.4𝐷2 = 0.4 ( ) = 0.30625π‘ π‘žπ‘–π‘› 8

𝛿=

𝐹𝐿 ; 𝐸𝐴

𝛿=

7(24000) = 45.7𝑖𝑛 (0.30625)(12000)

𝛿=

𝐹𝐿 1 2 ∢ 𝐴 = 0.4𝐷 2 = 0.4 (1 ) = 0.625π‘ π‘žπ‘–π‘› 𝐸𝐴 4

𝛿=

7(24000) = 22.4𝑖𝑛 (0.625)(12000)

Determinar la energia 1 1 π‘ˆ = 𝐹𝛿 = (7)(45.7) = 160𝑖𝑛 βˆ’ π‘˜π‘–π‘π‘  2 2 1 1 π‘ˆ = 𝐹𝛿 = (7)(22.4) = 78.4𝑖𝑛 βˆ’ π‘˜π‘–π‘π‘  2 2 6π‘₯19 𝑝 = 500𝑝𝑠𝑖 𝑝 = 0.0028(225) = 0.630 > 500 𝑝 = 0.00226(225) = 0.5085π‘˜π‘–π‘π‘  = 508.5𝑝𝑠𝑖

6-

SoluciΓ³n: π·π‘Žπ‘‘π‘œπ‘  πΉπ‘Ÿ = 230𝑙𝑏𝑠 𝐹𝑑 = 633𝑙𝑏𝑠 𝐷 = 8𝑖𝑛 Determinar el valor de la fuerza resultante 𝐹𝑇 = βˆšπΉπ‘Ÿ 2 + 𝐹𝑑 2 𝐹𝑇 = √(230𝑙𝑏𝑠)2 + (633𝑙𝑏𝑠)2 𝐹𝑇 = 673.49𝑙𝑏𝑠 Determinar el valor del par de torsiΓ³n 𝑇 = (𝐹𝑇 )(π‘Ÿ) 𝑇 = (633𝑙𝑏𝑠)(4𝑖𝑛) 𝑇 = 2532𝑙𝑏𝑠. 𝑖𝑛 Datos de tablas de propiedades mecΓ‘nicas del acero AISI1020 𝑆𝑒 = 68π‘˜π‘π‘ π‘– 𝑆𝑦 = 57π‘˜π‘π‘ π‘– 𝐸 = 30𝑀𝑝𝑠𝑖 𝐺 = 11.7𝑀𝑝𝑠𝑖

Determinar el valor de las reacciones en los cuΓ±eros

βˆ‘π‘€ = 0 βˆ‘ 𝑀 = (673.49𝑙𝑏𝑠)(6.8675𝑖𝑛) βˆ’ (𝑅2 )(10.12) = 0 𝑅2 =

4625.192𝑙𝑏𝑠. 𝑖𝑛 10.12𝑖𝑛

𝑅2 = 457.034𝑙𝑏𝑠 Determinar el valor de la reacciΓ³n 1 βˆ‘ 𝐹𝑦 = 𝑅1 βˆ’ 673.49 + 457.034 = 0 𝑅1 = 216.455𝑙𝑏𝑠 Elaborar diagrama de momentos

Los momentos de determinaran por secciones utilizando los intervalos 0 ≀ π‘₯ ≀ 2.375 2.375 ≀ π‘₯ < 9.2425 9.2425 ≀ π‘₯ < 12.495 12.495 ≀ π‘₯ < 12.87 Utilizando el primer intervalo se tiene lo siguiente 𝑉=0 𝑀=0 Utilizando el segundo intervalo se tiene lo siguiente 𝑉 = 216.455𝑙𝑏𝑠 𝑀 = 216.455π‘₯ βˆ’ 457.034 Utilizando el tercer intervalo se tiene lo siguiente 𝑉 = βˆ’457.034 𝑀 = βˆ’457.034 + 5710.639 Utilizando el cuarto intervalo se tiene lo siguiente 𝑉=0 𝑀=0

Ahora se determinan los esfuerzos mΓ‘ximos 𝜎π‘₯ =

𝑀𝑐 𝐼

𝜎π‘₯ =

(1486.5041𝑙𝑏𝑠. 𝑖𝑛)(4𝑖𝑛) πœ‹ (8𝑖𝑛)2 64

𝜎π‘₯ = 29.573π‘˜π‘π‘ π‘– 𝜏π‘₯𝑦 =

𝑇𝑐 𝐽

𝜏π‘₯𝑦 =

(2532𝑙𝑏𝑠. 𝑖𝑛)(4𝑖𝑛) πœ‹ (8𝑖𝑛)2 32

𝜏π‘₯𝑦 = 25.186π‘˜π‘π‘ π‘–

Calcular los esfuerzos principales 𝜎1,2 =

𝜎π‘₯ + πœŽπ‘¦ 𝜎π‘₯ βˆ’ πœŽπ‘¦ 2 2 Β± √( ) + (𝜏π‘₯𝑦 ) 2 2

𝜎1,2 =

29.573π‘˜π‘π‘ π‘– 29.573π‘˜π‘π‘ π‘– 2 Β± √( ) + (25.186π‘˜π‘π‘ π‘–)2 2 2

𝜎1,2 = 14.786π‘˜π‘π‘ π‘– Β± 29.205π‘˜π‘π‘ π‘– 𝜎1 = 43.991π‘˜π‘π‘ π‘–

𝜎2 = βˆ’14.419π‘˜π‘π‘ π‘–

Determinar el factor de seguridad 𝑒=

𝑠𝑒 𝜎

A partir de la tabla 7-1 shigley π‘˜π‘‘ = 1.7 π‘˜π‘‘π‘  = 1.5 π‘˜π‘“ = π‘˜π‘‘

π‘˜π‘“π‘  = π‘˜π‘‘π‘ 

𝑏 π‘˜π‘Ž = π‘Žπ‘†π‘’π‘‘ = 2.7(60)βˆ’0.265 = 0.883

Considerar π‘˜π‘ = 0.9 π‘˜π‘ = π‘˜π‘ = π‘˜π‘’ = 1 𝑆𝑒 = (0.883)(0.9)(0.5)(68) = 27π‘˜π‘π‘ π‘– 𝑒=

𝑠𝑒 27π‘˜π‘π‘ π‘– = = 1.87 π‘“π‘Žπ‘π‘‘π‘œπ‘Ÿ 𝑑𝑒 π‘ π‘’π‘”π‘’π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘Žπ‘‘ π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Ž π‘™π‘Žπ‘  π‘§π‘œπ‘›π‘Žπ‘  π‘šπ‘Žπ‘  π‘π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘  𝜎 14.419π‘˜π‘π‘ π‘–