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JOSE PAYE CHIPANA

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CODEX-CALCULO I

JOSUE PAYE CHIPANA

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PROBLEMAS DE EXÁMENES FACULTAD DE INGENIERÍA UMSA PREGUNTAS DE EXÁMENES CON RESPUESTAS DE SEGUNDO PARCIAL ORDENADOS DE ACUERDO A FECHA EXAMEN: I-2017 PROBLEMA 1 a) Enuncie la hipótesis y tesis del teorema de Rolle

1 por definición según el límite, probar que f (1) = 1 x c) Si f ( x + 2 ) = senx hallar el valor abreviado de f ( f (2 )) = 1 d) Anote un ejemplo de una función continua, pero no derivable en x0 = 3 b) Si f ( x) = −

Solución: a) Si f es una función continua definida en un intervalo cerrado a, b , derivable sobre el intervalo abierto (a, b ) y entonces f ( a ) = f (b) , entonces:

Existe al menos un punto c perteneciente al intervalo a, b tal que f (c) = 0 b) Para hallar la derivada por definición en un punto ( x0 ) se usa la siguiente ecuación:

f (1) = 1 c)

Evaluando en 2  f ( f (2 )) = cos(sen(2 ))  f ( f (2 )) = 1

d)

f ( x) = x − 3

PROBLEMA 2

 x2 − y2   x2       2  = 8 ln + arctg Hallar la expresión abreviada de y si se conoce:  2 2  x + 3 y   y  Solución: y = 0 PROBLEMA 3 Deducir una expresión para la derivada n-sima f

(n )

(x) si: f ( x) =

Solución:

f

(n)

6x + 6 2x + 7x − 4 2

 2n  1 ( x) = 2(− 1) n! + n+1 n+1  (x + 4)   (2 x − 1) n

PROBLEMA 4 Efectuando análisis de curva creciente/decreciente, cóncava/ convexa, máximos, mínimos, inflexiones, etc, construir la gráfica de la función:

y = x 4 − 8x 2 + 8 Solución:

1

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PROBLEMA 5 Un sólido cerrado está formado por un cilindro recto de base circular que termina por encima en una semiesfera. Hallar las dimensiones del sólido para que el área superficial 3 total sea mínima si su volumen debe ser V = 45000 cm

4 Vesfera = r 3 , Aesfera = 4r 2 , Vcilindro = r 2 h 3 Solución:

r = 30cm

h = 30cm

OPTATIVA Se traza una circunferencia de centro (6,0) con radio tal que el circulo corta en un ángulo recto a la elipse 4 x + 9 y = 36 2

2

r=

Solución:

93 2

I EXAMEN: II-2016 PROBLEMA 1



 x−3   respecto de u = arctg  2   1 + 3x   1+ x 

Calcular la derivada de y = arcsen

x

Solución:

dy =1 du

PROBLEMA 2 Calcular el valor aproximado de y = (1,91) − 0,91 − 2(1,91) 2

− 20819 10000

Solución: y = PROBLEMA 3 6  x3 y 2   x3 y 2   y4  2 x     2 − 3  = + − tg + + cos 2  y 4 x6  x 3  x  5 y   y

Calcular y  si sen

Solución: y = −

3 y 8 x3

PROBLEMA 4 Derivar y simplificar al máximo

 x2 + x + 1   + 1 arctg 2 x + 1  + arctg 2 x − 1  y = ln 4 2   x − x + 1  2 3   3   3    Solución: y =

1 x + x2 + 1 4

2

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PROBLEMA 5 Graficar analizando por máximos y mínimos

y=

(

1 3 x 4 + 8 x 3 − 18x 2 48



) Solución:

PROBLEMA 6 Encontrar el área del mayor trapecio inscrito entre la curva y = 4 x − x y el eje de las abscisas. 2

Solución: A =

256 2 u 27

OPTATIVA

 xx xx  x  Calcular y  si y =  x    

xx

Solución: y = 3 x

3 2 x+ x2 x 2

1  2 ln x + ln x + 2 x 

EXAMEN: I-2016 PROBLEMA 1 a) Enuncie la hipótesis y tesis del teorema del valor medio de Lagrange b) Defina claramente punto de inflexión para y = f (x) y anote un ejemplo con inflexión en x0 = 2

c) Analice la verdad o falsedad de la afirmación: La función f ( x) = cos(4 x ) ; x  0,2  presenta el único máximo absoluto en x1 =  y su valor es 1. Justifique su respuesta. d) Anote un ejemplo de una función continua; pero no derivable en x2 = 3

Solución: a) Si f (x ) y g (x) son continuas y derivables en un intervalo a, b , entonces existe c tal que

f (b) − f (a) f (c) = ; acb g (b) − g (a) g (c) b) Es un punto donde los valores de una función continua x pasan de un tipo de concavidad a otra.

f ( x) = (x − 2)

3

Defina claramente punto de inflexión para y = f (x) y anote un ejemplo con inflexión en x0 = 2

c) Primero derivamos la función f ( x) = −4sen(4 x ) = 0

x =   cos(4 ) = 1 , entonces la afirmación es verdadera. 3

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d)

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f ( x) = x − 3



PROBLEMA 2 Calcule la primera derivada y reduzca el resultado a la mínima el valor aproximado de expresión posible:

y=

(

3 (x − 1) x 2 − 2 x + 2 + 3 ln x − 1 + x 2 − 2 x + 2 2 2

)

2 Solución: y = 3 x − 2 x + 2

PROBLEMA 3 Deducir una expresión para la derivada n-sima f

 n  f (n ) ( x) = 4 n  x 2 cos x + 2  

(n )

(x) si f ( x) = x 2 cos(4 x)

(n − 1)  n   + x cos x + 2  2 

Solución:

(n − 2)  n(n − 1)  cos x + + 16 2  

  

PROBLEMA 4 Efectuando análisis de curva creciente/decreciente, cóncava/ convexa, máximos, mínimos, inflexiones, etc, construir la gráfica de la función:

x2 − 2x + 1 y= x +1 Solución: PROBLEMA 5 En el primer cuadrante, hallar el punto de la elipse: x + 4 y = 4 donde la recta tangente forme con los ejes coordenados un triángulo de menor área posible 2

2



2

 Solución: P0 =  2 ,  2   EXAMEN: II-2015 PROBLEMA 1 Calcular y  por definición:

(

)

y = x + 1  ln x + 1

(

)

x +1 1 + 2 x +1 2 x

Solución: y  = ln

4

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PROBLEMA 2 Calcular y  simplificando:

y=

)

(

 x + 2 + 2 x2 + 2x + 2   x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 − 2 ln   x   Solución: y =

x2 + 2x + 2 x

PROBLEMA 3 Graficar realizando un análisis de máximos y mínimos

f ( x) = 3 6 x − x 2 Solución: PROBLEMA 4 Obtener los valores de a, b, c si f (x ) es continua en x=4 y derivable en x=0

 x 3 − 3x 2 − 16 0< x4  x 3 − 64  f ( x) =  a( x − c)( x − b) 4 < x < 6 2 x 2 + 3bx − c − 3 < x  0   Solución: a =

1 1 , b = 0, c = − 34 4

PROBLEMA 5 El Ingeniero Julio Uberhuaga eleva un drone en el patio del curso básico (cota-cota) en un punto situado a 800 pies de un observador y se eleva verticalmente a razón de 25 pies por segundo. Encontrar la razón de cambio con respecto al tiempo del ángulo de elevación del helicóptero con respecto al observado cuando aquel está situado a 600 pies encima del campo. Solución:

d 1 = dt 50

EXAMEN: I-2015 PROBLEMA 1

Hallar 65

−

2 3

Solución: =

95 1536

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PROBLEMA 2

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x = 3 * t 2    Hallar y  de  1 3  y = 3t − t  3   d3y 9 + t2 = Solución: dx3 24 3 t 3 PROBLEMA 3 Graficar realizando un análisis completo f ( x ) =

2 + x − x2 ( x − 1) 2 Solución:

PROBLEMA 4 Determine una función polinómica de grado cuarto, si se sabe que tiene un punto crítico en (1,-6), su punto de inflexión en (0,-5), y que además pasa por (-1,2) 4 3 Solución: f( x ) = 3x − 4 x − 5

PROBLEMA 5 Una hoja en formato A-3 420x293 mm se dobla de modo que una solo esquina toque a uno de los lados. Realice el análisis para que el doblez logrado tenga la menor longitud posible.

y 2h Solución: x = 2y − h 2

EXAMEN: II-2014 PROBLEMA 1 Determinar el valor que verifica el Teorema del Valor Medio:𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 ; en [0,3] 5

5

Solución: 𝑐 = 4 → 0 ≤ 4 ≤ 3 PROBLEMA 2 Determinar los puntos en los que la recta tangente a una función polinómica de grado 3, forma un ángulo de 135°con el eje de las abscisas, si se sabe que la función tiene un valor extremo en 𝑥 =

1+√7 3

1

y que su punto de inflexión es (3 , −

20 ) 27 1

14

Solución: 𝑃01 = (1,2); 𝑃02 = (− 3 , 27 ) PROBLEMA 3 Determinar las dimensiones de una pirámide de base cuadrada circunscrita a un cubo de lado “a”, de tal manera que el volumen de la pirámide sea la mínimo. (Considere que las aristas del cubo u la base de la pirámide son paralelas). Solución: 𝐵 = 6

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3𝑎 2

[𝑢] 𝐻 = 3𝑎[𝑢]

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PROBLEMA 4

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(

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)

Evaluar lim x 2 csc 2 xctg 2 x aplicando la regla de L hospital. x→0

Solución: L =

1 4

PROBLEMA 5 Derivar y simplificar al máximo

senx − cos x 1 1 y = − ln( senx + cos x + 2 + sen2 x ) + arcsen( ) 2 2 3 Solución: y´=

senx 2 + sen2 x

EXAMEN: I-20144 PROBLEMA 1 a) Calcular: cos32° b) Derivar por definición: 𝑓(𝑥) = sin(7𝑥) Solución: cos 32 =

90√3−𝜋 180

𝑦′ = 7 cos 7𝑥

PROBLEMA 2 Calcular el área del triángulo formado por el eje “x” y las rectas tangente y normal, en el punto de inflexión, de la curva de la función: 1 3 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)√𝑥 − 3 2 𝟖𝟏 𝟑 Solución: 𝑨 = 𝟒 (√𝟑 + 𝟑) PROBLEMA 3 Derivar y simplificar al máximo: 3 1 √2(senx + cosx) + 1 √3 + √2(senx − cosx) y= ln | |− ln | | 4√2 √2(senx + coosx) − 1 4√6 √3 − √2(senx − cosx) Solución: 𝒚′ = − [

𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒙 ] 𝟏+𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

PROBLEMA 4 La fábrica de helados “Superel” planea sacar al mercado unos nuevos barquillos, con 4

3

capacidad de :12√𝜋2 cc de helado. El costo de la masa de barquillo se cotizó con 1/18 (Bs/cc) y el costo de helado solamente es de

1 4 𝜋2 √ Bs/cc.encontrar 6 3

la ganancia neta

del producto si se desea fabricarlos a un costo mínimo y venderlos a 5 Bs. Ayuda: el ℎ volumen de un cono circular es 𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝐴 = 𝜋𝑟√𝑟 2 + ℎ2 3

Solución: Ganancia=2Bs 7

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EXAMEN: II-2013

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PROBLEMA 1 senx 2 Hallar la derivada por definición: f ( x) = e + x

Solución:  f ' (x ) = 2 x + e Senx  Cosx PROBLEMA 2 1

 cos x  x 2  Evaluar aplicando Regla de L’Hopital: lim 2  x →0   1 + tg x  Solución: L = e

−

3 4

PROBLEMA 3 Calcular el área del triángulo formado por el eje “x” y las rectas tangente y normal, en el punto de inflexión, de la curva de función: f ( x ) =

1 (x + 4)3 x − 4 2

 

Solución: A = 18(4 + 63 4 ) u 2 PROBLEMA 4

 x = a (t − sent)  y = a (1 − cos t )

Si: 





Analizar si verifica o no: y' (1 − cost )sent + y" a(1 − cost ) cos2 t + 1 = 2sen2t 2

Solución: Se verifica la igualdad PROBLEMA 5 Determinar las dimensiones de un paralelepípedo de volumen máximo que esté inscrito en una pirámide de base cuadrada, cuya altura es igual a su base. Solución: a =

2L  3

h=

L 3

PROBLEMA 6 Hallar los valores de a, b, c de modo que f (x ) sea diferenciable en x = −2 y continua en x = 2

 8  3 ;x 2 f (x ) =  x ax 2 + bx + c ; x  2  8

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a=

Solución: b = 0

3 8

 c=

−1 2

EXAMEN: I-2013 PROBLEMA 1 𝑑3 𝑦

𝑥

sin 𝑡−cos 𝑡

Hallar 𝑑𝑥 2 si x= ln(𝑡𝑔 2) , y= arctg(sin 𝑡+cos 𝑡) 𝑑3 𝑦

Solución: 𝑑𝑥 3 = = sin 𝑡 ∗ cos 2𝑡 PROBLEMA 2 Si 1+xy =xy(𝑒 𝑥𝑦 − 𝑒 −𝑥𝑦 ) Calcular: E = 𝑥 4 𝑦´ + 𝑥 5 𝑦´´ + (𝑦 − 1)5 𝑦´´´ − 𝑦𝑥 3 Solución:𝐸 =

−6𝑥 (𝑦 𝑥3

− 1)5

PROBLEMA 3 𝑥

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 − 𝑥−1

Hallar la n-sima derivada de la función: 1

𝜋

𝜋

1

𝜋

𝜋

Solución: 𝑦 (𝑛) = 8 [3𝑛 cos(3𝑥 + 𝑚 2 ) + 3cos(𝑥 + 𝑚 2 )] − 16 [9𝑛 cos(9𝑥 + 𝑚 2 ) + 3𝑛 cos(3𝑥 + 𝑚 2 ) + 7𝑛 cos(7𝑥 + 𝜋

𝜋

𝑚 2 ) + 5𝑛 cos(5𝑥 + 𝑚 2 )] − (−1)𝑛 ∗ 𝑚! ∗ (𝑥 − 1)−(𝑛+1) PROBLEMA 4 Hallar el cilindro de volumen máximo entre todos los cilindros inscritos en un cubo de arista “a”, de tal modo que sus ejes coincidan con las diagonales del cubo y las circunferencias de las bases del cilindro, toquen las caras internas del cubo. 𝜋𝑎 3 √3

Solución: Vmax = 6

(𝑢3 )

PROBLEMA 5 Analizar y graficar completamente:

y = x  3 ( x − 5)

2

Solución:

PROBLEMA 6 Calcular por diferenciales:

5.022 − 3.012 Solución:

5.022 − 3.012 =

1607 400

PROBLEMA 7 Evaluar:

1 1 lim − x x →0 x e −1 Solución: L =

1 2

9

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EXAMEN: II-2012

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PROBLEMA 1 Calcular por diferenciales: √(3,01)2 + (4,02)2

3,012 + 4,022 =

Solución:

2511 500

PROBLEMA 2 Evaluar:

lim x →0

1 1 − e −1 x x

Solución: L = − 1

2

PROBLEMA 3 3

(1 + x) 2 Graficar realizando un análisis completo de: y = x Solución: PROBLEMA 4 Determinar las dimensiones de un cono inscrito en una esfera de radio R, de tal manera que el área lateral del cono sea mínima. Solución: A min = 0(u ) 2 PROBLEMA 5 Derivar y simplificar al máximo: y =

1 2 2

arctg

x 2 1+ x4

−

1 4 2

ln

1+ x4 − x 2 1+ x4 + x 2 Solución: y´=

1 + x4 1 − x4

EXAMEN: I-2012111 PROBLEMA 1 Si f (x ) es una función definida paramétricamente por las ecuaciones:

 x = sent − cos t   y = cos t + tsent , hallar la formula

d2y y con esta calcular la forma reducida de la anterior ecuación. d 2x d2y 3 Solución: 2 = − csc t d x 10

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PROBLEMA 2



Grafique la función f (x ) indicando los elementos mínimos necesarios tales como el dominio, puntos críticos, función creciente, máximos y mínimos, cóncavo, convexo y puntos de inflexión de: 5 3   f 1 ( x) = x − 4 x ; x  2 f ( x) =  2   f 2 ( x) = ln( x − 4) ; x  D f 2

PROBLEMA 3



Para la función: f ( x) = 

x2

; x1

 x + ax + bx + c ; x  1 4

2

, hallar los valores de a,b,c y las

ecuaciones debla recta tangente y normal a la curva: y = f (x ) en el punto de abscisa x=2 sabiendo que f y f  son diferenciables en todo su dominio. Solución: a = −3, b = 5, c = −2; lt : y − 48x + 54 = 0; l N : x + 48 y = 2018 PROBLEMA 4 Un espejo plano de dimensiones 90x80cm2, se rompe por una esquina según una recta. De los dos trazos que quedan, el menor tiene la forma de un triángulo rectángulo de catetos 10 y 12 correspondientemente a las dimensiones menor y mayor respectivamente. Hallar el área máxima del espejo rectangular que se puede construir con el trazo mayor Solución: A =

12615 2 u 2

PROBLEMA 5

ax + b es: x2 − c2 ac − b  n n!  ac + b f ( n ) ( x) = (− 1) +  n +1 2c  (x − c ) (x − c )n+1 

Demostrar que la derivada enésima de una función: f ( x) =

Solución: No se demuestra.

EXAMEN: I-2011111 PROBLEMA 1 Si la curva y= f(x) es tangente a la recta y= 3x+ 5 en el punto (1,8) y si f” (1)=4. Hallar f(x)= ax 2 + bx + c Solución: 𝑓(𝑥) = 2x 2 − 𝑥 + 7

PROBLEMA 2 11

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2 2 Demostrar que la función y = sen(m  arcsenx) satisface la ecuación: (1 − x ) y ' '− xy'+ m y = 0

Solución: SE DEMUESTRA PROBLEMA 3

Hallar; si existen los extremos relativos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento, de decrecimiento, sentido de concavidad y luego hacer una gráfica de la función: 𝑓(𝑥) =

Solución:

𝑥 3

√𝑥 2 −1

PROBLEMA 4 Encontrar la ecuación de la tangente y de la normal a la curva y =

x = 2q

q3 x2 q2 + 8 2

Solución: 𝐿 𝑇 = 2 y + x − 4q = 0

en el punto

𝐿𝑁 = y − 2 x + 3q = 0

PROBLEMA 5

Hallar:

𝑑𝑦 𝑑𝑥

3

en x= 2 si: 𝑓′(2𝑥+1) = √2𝑥 2 + 6𝑥 − 16

además y = f(3 + |𝑥|3 )

Solución:

𝑑𝑦 | 𝑑𝑥 𝑥=2

= 48

PROBLEMA 6 Se va a construir en este edificio del curso básico en la parte superior un tanque de almacenamiento de agua que tanta falta nos hace. Dicho tanque debe ser de cilindro y 4 3 abierto cuya capacidad debe ser 27 [m ] . El espesor de su pared lateral y de su base debe ser “d” ¿Qué dimensiones debe tener dicho cilindro (radio y altura interiores) de manera que se utilice la menor cantidad de material posible en su construcción ya que carecemos de recursos económicos? Solución: 𝑟 = ℎ = 3𝜋 [𝑢] EXAMEN: II-2010 PROBLEMA 1 Bosqueje la gráfica de una función que cambie de convexa a cóncava sin presentar punto de inflexión. Solución: 12

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PROBLEMA 2



2

Se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 definida en [−1,3]? Explique. Solución: x = 1  − 1,3 No es derivable, por lo tanto: no se puede aplicar el Teorema de Rolle. PROBLEMA 3 Analice la continuidad y la derivabilidad de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| + |𝑥 + 2|, 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 [−4,4]. Solución: 𝑓(𝑥) 𝑒𝑛 [−4,4] 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑥 = ±2 PROBLEMA 4 Si f y g son decrecientes en ℝ y = ( f  g ) ( x ) . Que puede concluir de f◦g? Explique su respuesta. Solución: y = ( f  g )( x ) Es creciente en ℝ. PROBLEMA 5 Utilizando la definición. Calcular la Derivada: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 cos 2𝑥. Solución:

f '( x) = 2x(cos2x − xsen2x)

PROBLEMA 6 Hallar las dimensiones de un recipiente cilíndrico de área mínima, sin tapa, cuyo volumen es 20𝜋.

r = H = 3 20u

Solución: PROBLEMA 7 Haciendo un análisis completo (máximos y mínimos, intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad, convexidad). 3

𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 𝑥 3

Solución: PROBLEMA 8 Hallar una fórmula para la derivada n-sima de: 𝑓(𝑥) = 𝑒 2𝑥 sin 3𝑥 3

Solución: 𝑓 (𝑛) (𝑥) = 13𝑛⁄2 𝑒 2𝑥 sin (3𝑥 + 𝑛 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2))

, para 𝑛 ≥ 0

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EXAMEN: I-2010 PROBLEMA 1 Hallar:

(

dy si : x + 4 dx

)

y

=y

x−4

Solución: y =

y  (x + 4) x − 4 ln y − y(x − 4)   x − 16  y ln x + 4 − x − 4  2

PROBLEMA 2

f ( x) = e px senqx; donde: p, q  

Hallar la n-sima derivada para x=q de la función: Solución:

y

(n )

x=q

(

= p +q 2

)

m 2 2

 q q  e pq  sen q 2 + marctg , para :  0 p p 

PROBLEMA 3

f (x ) = 3 x (6 − x ) Encontrar si existen los Sea la función: extremos relativos, puntos de inflexión, intervalos de crecimiento y decrecimiento, sentido de concavidad y finalmente hacer un bosquejo de la gráfica de la función. 2

Solución: PROBLEMA 4 Hallar las longitudes de la recta normal, recta subtangente y la ecuación de la recta normal en el punto α=π/3 a la curva dada en forma paramétrica:

x = 4a cos3 

y = 4asen3 3

Solución: 𝑁 = 3√3|𝑎| ST=2 |𝑎|

√3 y – x = 4𝑎

PROBLEMA 5 Hallar un punto de la curva: x = 4 − y de manera que la recta tangente en el primer cuadrante forme un triángulo de área mínima con los ejes coordenados. Luego de encontrar dicho punto calcular el valor de esa área mínima. 2

8

Solución: 𝑝0 (3 ,

2 ) √3

𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑎 =

32∗√3 (𝑢2 ) 9

PROBLEMA 6 (Opcional) 𝑥

Encontrar la derivada de √𝑥 3 + 8 respecto de : 𝑥−8 𝑒𝑛 𝑥 = 2

Solución:

𝑑√𝑥 3 +8 𝑑(

𝑥 ) 𝑥−8

|𝑥=2 = −

27 4

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