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BALANZA DE JOLLY NOMBRE: Univ. Christian Eynar Quispe Blanco GRUPO: ``K`` CARRERA: Ing. INDUSTRIAL DOCENTE: Ing. Rene Delgado Salguero FECHA DE REALIZACION: 24/08/18 FECHA DE ENTREGA: 31/08/18

OBJETIVOS  

Encontrar la densidad del cuerpo solido por el método de la definición. Validar la balanza de Jolly como método alternativo para determinar la densidad de un cuerpo solido cuyo valor sea mayor a la del agua.

PLANTEAMIENTO DEL EXPERIMENTO INTRODUCCION La densidad es una de las propiedades más importantes de un cuerpo, la determinación de la misma se consigue por su definición, es decir a través de la 𝑊 medida de su masa y su volumen para reemplazar luego en:𝜌 = 𝑔 , el volumen se encuentra a travez de sus medidas geométricas o sumergiendo el cuerpo en un recipiente con agua y regulación que permita medir el volumen desplazado. Por otra parte, es posible determinar si la densidad de un cuerpo es mayor o menor que la del fluido, en función de, si el mismo se hunde o flota en el. En el presente experimento, se investigará la balanza de Jolly, un método alternativo para medir la densidad de un cuerpo cuya densidad es mayor que la del agua. FUNDAMENTO TEORICO PRINCIPIO DE ARQUIMIDES: debido a la fuerza gravitatoria de la tierra, los fluidos ejercen una presión perpendicular sobre los cuerpos como se muestra en la figura 1 con las flechas finas. Esta presión está en función de la profundidad y la densidad del fluido, entonces como la presión que ejerce el fluido sobre el cuerpo es mayor en la proximidad de su base, se obtiene una fuerza resultante por la flecha gruesa, esta fuerza es conocida como EMPUJE ``E`` o fuerza de Arquímedes en honor al matemático griego que enuncio dicho principio.

El valor de empuje está dado por: 𝐸 = 𝜌(𝑙) ∗ 𝑔 ∗ 𝑉(𝑑) … … … . (1) Donde: 𝐸: 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑢𝑗𝑒 (𝑁) kg 𝜌(𝑙): densidad del fluido en ( 3 ) , 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑔𝑢𝑎. m 𝑚 𝑔: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 ( ) 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜. 𝑠2 V(d): volumen de la parte sumergida del cuerpo o volumen desplazado por el mismo en (m^3), en el experimento se empleará cuerpos más densos que el agua, por lo que se hundirá completamente, entonces el volumen sumergido coincidirá con el del cuerpo. FUERZA RESTAURADORA: los cuerpos elásticos tienen la propiedad de ejercer una fuerza de oposición a una fuerza externa que tiende a deformarlos, misma que es proporcional a la variación de su longitud y material. Para resortes se cumple la ley de Hooke: 𝐹𝑟 = 𝑘 ∗ 𝑋1 … … (2) Fr: fuerza restauradora en (N). K: constante de restitución del resorte en (N/m). X1: deformación del resorte en (m) debida a una fuerza exrterna, en la figura 2(b) la fuerza externa es proporcional al peso. Análisis de comportamiento En el estado: (a) El resorte sin deformación no ejerce ninguna fuerza. (b) Al aplicarse la fuerza externa a través del peso del cuerpo, el resorte se deforma elásticamente realizando de esa forma una fuerza restauradora según la ec.(3), ver fig. (c) Al sumergirse completamente el cuerpo en el recipiente con agua, se manifiesta además de la fuerza debida al peso del cuerpo y restauradora debida al resorte; la fuerza de empuje debida a la presión del agua en el recipiente, como se muestra en la figura 4 y sus correspondientes ecuaciones.

Con el cuerpo suspendido del resorte, fig. 2(b): W: peso del cuerpo Frl: fuerza restauradora del resorte con el cuerpo suspendido. K: constante de restitución del resorte. X1: elongación del resorte con el cuerpo suspendido del resorte.

Cuando el cuerpo esta en reposo: 𝑊 = 𝐹𝑟𝑙 … . . (3) 𝐹𝑟𝑙 = 𝑘 ∗ 𝑋1 … . . (4) Reemplazando (4) en (3)

𝑊 = 𝑘 ∗ 𝑋1 … … … (5)

Con el cuerpo suspendido del resorte y sumergido en el fluido, figura 2(c): W :peso del cuerpo Fr2 :fuerza restauradora del resorte con el cuerpo sumergido en el fluido. X2 :elongación del resorte con el cuerpo suspendido del resorte y sumergido en el recipiente con agua.

Cuando el cuerpo está en reposo: 𝑊 = 𝐹𝑟2 + 𝐸

(6)

𝐹𝑟2 = 𝑘 ∗ 𝑋2

(7)

𝐸 = 𝑘 ∗ (𝑋1 − 𝑋2) (8)

(5) y (7) en (6) da:

La densidad relativa ``ρr`` mide la relación de un cuerpo respecto a la de otro que normalmente es el agua, así la densidad relativa del cuerpo a la del agua será: 𝜌𝑟 =

𝜌𝑐 𝜌𝑙

(9)

Dónde: ρc es la densidad del cuerpo y ρl es la densidad del líquido, en el experimento agua. Al multiplicar la constante g y Vc al numerador y denominador de la ecuación (9), obteniéndose: 𝜌𝑟 =

𝜌𝑐 ∗ 𝑔 ∗ 𝑉 𝑊 = 𝜌𝑙 ∗ 𝑔 ∗ 𝑉 𝐸

(10)

El reemplazar (5) y (8) en (10) se tiene: 𝜌𝑟 = ,de las ecuaciones (9) y (11):

𝑋1 (𝑋1 − 𝑋2)

(11)

𝜌𝑐 = 𝜌𝑙 ∗

𝑋1 (𝑋1 − 𝑋2)

(12)

FORMULACIO DE LA HIPOTESIS Siendo: 𝜌𝑐: 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑡𝑦𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑜 𝐽𝑜𝑙𝑙𝑦 𝜌𝑐 ∗: 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑝𝑜 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝜌= Hipótesis nula Ho: Hipótesis alternativa H1

𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑉

𝜌𝑐 = 𝜌𝑐 ∗ 𝜌𝑐 ≠ 𝜌𝑐 ∗

bilateral o de dos colas

Para no rechazar Ho debe cumplirse : t calculado < t de tablas. En contraposición se rechaza Ho. Es decir la determinación de la densidad del cuerpo por el método de la balanza de Jolly no es válida o el procedimiento presento error sistemático o grueso. Se sugiere una significancia α/2=0,05 (90% nivel de confianza) si los equipos a emplear son confiables; de lo contrario, si los equipos no son muy confiables, es factible optar por una validación menos significativa con α/2 = 0,005(99% N.C.).

DISEÑO DEL EXPERIMENTO MATERIALES Y EQUIPO       

Resorte Prensa (para sostener el resorte a un soporte) Recipientes con agua Regla y escuadra Vernier o tornillo micrométrico Cuerpo de acero u otro metal de geometría regular Balanza

DETERMINACION DE LA DENSIDAD DEL CUERPO CON LA ECUACION DE LA DEFINICION. 1. Elegir un bloque con densidad mayor a la del agua, por ejemplo, un bloque de acero. 2. Identificar las medidas necesarias para definir el volumen del mismo, si este presentara perforaciones, también deberán considerarse.

3. Cada estudiante componente del grupo deberá obtener al menos un conjunto de medidas que permita obtener el volumen del cuerpo. 4. Pesar el cuerpo, si la balanza es digital bastara con tomar una sola lectura, debe recordarse que la balanza mide el peso y no la masa del cuerpo. DETERMINACION DE LA DENSIDAD DEL CUERPO CON LA BALNZA DE JOLLY 1. Verificar que el resorte tenga comportamiento lineal (X1 debida a un peso W, cambia a 2X1 debida a 2W), algunos resortes presentan tensión de compresión sin aplicación de carga (no se pueden comprimir), en cuyo caso debe colocarse un peso de `precarga para aliviar dicha tensión. Debe constatarse también que el peso no rebase el límite de la elasticidad del resorte. 2. Armar la sujeción del resorte con una regla graduada colocada en posición vertical, puede ayudarse de una plomada. 3. Marcar el nivel de referencia en el extremo inferior del resorte sin la carga del cuerpo principal. 4. Colgar el cuerpo de un hilo inextensible del resorte y medir X1, fig. (b) 5. Cada estudiante componente del grupo deberá realizar esta operación para obtener varias medidas de X1. 6. Llenar un recipiente con agua verificando que el cuerpo pueda sumergirse completamente. 7. Introducir el cuerpo dentro del recipiente, cuidando que el peso de precarga (si se lo hubiese colocado) no se introduzca dentro del recipiente. Debe constatarse que el cuerpo quede completamente sumergido en el agua y no choque con ningún lado de las paredes. 8. Medir X2 según la figura 2(c). 9. Cada estudiante componente del grupo deberá realizar esta operación para obtener varias lecturas de X2. PRESENTACION DE RESULTADOS CALCULOS DENSIDAD DEL CUERPO SEGÚN LA ECUACION DE LA DEFINICION: 𝜌`𝑐 = 𝜌̅ `𝑐 ± 𝐸𝜌`𝑐

(13)

Donde ⃗⃗⃗ 𝜌`𝑐 es el valor de la densidad promedio a través de reemplazar los valores del peso y las dimensiones del volumen en: 𝜌̅ `𝑐 =

̅ 𝑊 𝑔 ∗ 𝑉̅

(14)

Para hallar 𝐸𝜌̅ `𝑐 se hace propagación de errores, para ello se considera a los términos de la acuacion (14) como variables y aplicando logaritmos naturales a ambos lados; ln(𝜌`) = ln (

𝑊 ) = ln(𝑊) − ln(𝑔) − ln(𝑉) 𝑔∗𝑉

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜:

𝑑(𝜌`) 𝑑(𝑊) 𝑑(𝑔) 𝑑(𝑉) = − − 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑔 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝜌` 𝑊 𝑔 𝑉 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∆𝜌` Δ𝑊 Δ𝑉 = − 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝜌` 𝑊 𝑉 ∆𝜌` Δ𝑊 Δ𝑉 = + 𝜌` 𝑊 𝑉

𝐸𝑤 𝐸𝑣 𝑜 𝐸𝜌`𝑐 = 𝜌̅ `𝑐 ∗ ( + ) ̅ 𝑊 𝑉̅

(15)

Donde: 𝐸𝑤 =

𝑡𝛼 𝑆𝑤 ,𝑣 ∗ ; 2 √𝑛𝑤

Si el peso se obtiene con una balanza digital, Sw es la resolución del instrumento y nw es dos y v(grados de libertad) es uno. Una simplificación aceptable será considerar la medida del peso en una balanza digital como una constante, es decir sin error de medida, con lo que se tendrá: 𝐸𝜌`𝑐 = 𝜌̅ `𝑐 ∗ (

𝐸𝑣 ) 𝑉̅

(16)

Ev se obtiene de aplicar propagación de errores a la fórmula que describe el volumen del cuerpo escogido, con nv mediciones realizadas. Esta práctica se suele hacer en laboratorio de física I. Se encuentra el valor de ρ`c (densidad obtenida por definición) reemplazando (14),(15) o (16) en (13). DENSIDAD DEL CUERPO SEGÚN BALANZA DE JOLLY: 𝜌𝑐 = 𝜌̅ 𝑐 ± 𝐸𝜌𝑐

(17)

𝑠𝑖: 𝜌𝑙 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎, 𝑋1 = 𝑋̅1 ± 𝐸𝑥1, 𝑋2 = 𝑋̅2 ± 𝐸𝑥2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝜌̅ 𝑐 = 𝜌𝑙 ∗ 𝜌𝑐 = 𝜌𝑙 ∗

𝑋̅1 (𝑋̅1 − 𝑋̅2)

(18) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝐸𝜌𝑐 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑒𝑠

𝑋1 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝑋1 − 𝑋2)

ln(𝜌𝑐) = ln (𝜌𝑙 ∗

𝑋1 ) (𝑋1 − 𝑋2)

ln(𝜌𝑐) = ln 𝜌𝑙 + 𝑙𝑛𝑋1 − ln(𝑋1 − 𝑋2) 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑(𝜌𝑐) 𝑑(𝜌𝑙) 𝑑(𝑋1) 𝑑(𝑋1 − 𝑋2) = + − 𝜌𝑐 𝜌𝑙 𝑋1 𝑋1 − 𝑋2

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝜌𝑐 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑦 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 Δ𝜌𝑐 Δ𝑋1 Δ𝑋1 Δ𝑋2 = − + 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛. 𝜌𝑐 𝑋1 𝑋1 − 𝑋2 𝑋1 − 𝑋2 Δ𝜌𝑐 Δ𝑋1 ΔX1 + ΔX2 = + 𝜌𝑐 𝑋1 X1 − X2

𝐸𝑥1 𝐸𝑥1 + 𝐸𝑥2 𝑜 𝐸𝜌𝑐 = 𝜌̅ 𝑐 ( + ) 𝑋̅1 𝑋̅1 − 𝑋̅2

(19)

Se encuentra el valor de 𝜌𝑐 (densidad obtenida por el método de Jolly) reemplazando en (14) y(19) en (17). VALIDACION DE LA HIPOTESIS Prueba t de student para comparación de dos parámetros suponiendo 𝑆1 ≅ 𝑆2: 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =

𝜌̅ `𝑐 − 𝜌𝑐 √1 + 1 𝑛1 𝑛2

𝑆𝑝

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

((𝑛1 − 1) ∗ 𝑠 2 1 + (𝑛2 − 1)𝑠 2 2 𝑆𝑝 = √ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: (𝑛1 + 𝑛2 − 2) .𝜌̅ `𝑐 :densidad media obtenida por la definición en la primera parte del experimento. . 𝜌̅ 𝑐 Sp

:densidad obtenida por el método de la balanza de Jolly. : desviación estándar ponderad de los dos grupos.

n1 : número de medidas realizadas al volumen del cuerpo en la primera parte del experimento n2

:número de medidas realizadas en la segunda parte del experimento.

S1^2 : varianza obtenida en la primera parte del experimento. S2^2 :varianza obtenida en la segunda parte del experimento.

S1^2 Y S2^2 Se obtiene a partir de usar la formula:

𝐸 = 𝑡𝛼. 2 ∗

𝑆 √𝑛

𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟; 𝑆1 =

𝐸𝜌`𝑐 ∗ √𝑛1 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑡𝛼. 2

Eρ`c se obtiene de la propagación de errores realizada en la primera parte. n1 es el menor número de medidas realizadas para la obtención del volumen del cuerpo. α/2 se recomienda emplear α/2 = 0.005 (nivel de confianza del 99% de dos colas). Recuerde que, al incrementar el nivel de confianza, el error de medición ``E`` también sube. Ello refleja la condición poco confiable de los instrumentos de medida que se están empleando en laboratorio de FIS 102. En suma, al incrementar el nivel de confianza ej. 99%, entonces existe mayor probabilidad de validar la hipótesis nula, pero en contraposición los resultados son ``menos confiables``. Tα/2 se obtiene de la tabla de student para: α/2 =0.005 y grados de libertad =n1-1 𝑆2 =

𝐸𝜌𝑐 ∗ √𝑛2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑡𝛼. 2

Eρc se obtiene de la propagación de errores de la segunda parte. n2 es el menor numero de medidas realizadas en la segunda parte. α/2 se recomienda emplear α/2 = 0.005 (nivel de confianza del 99% de dos colas). Tα/2 se obtiene de la tabla de student para: α/2 =0.005 y grados de libertad =n2-1. El tα/2 de tabla se obtiene con v=n1+n2-2 (grados de libertad) y α/2 =0.05 (90% nivel de confianza 2 colas o mas pesimista α/2 = 0.005. aplicar el criterio de decisión para determinar si se rechaza o no la hipótesis del experimento según se describe en la ``formación de la hipótesis``. TRATAMIENTO DE DATOS Después de realizar las mediciones de las medidas de los cuerpos se proseguirá a calcular los errores y sus propagaciones antes de hallar las densidades CUERPO 1 N

𝐴(𝑚𝑚) 1 19.00 2 19.20 3 19.10 Prom. 19.1

𝐵(𝑚𝑚) 16.00 1580 16.90 16.23

𝐶(𝑚𝑚) 26.25 26.2 26.25 26.23

𝐴̅ − 𝐴 0.1 -0.1 0 suma

(𝐴̅ − 𝐴)2 0.01 0.01 0 0.02

𝐵̅ − 𝐵 0.233 0.43 -0.47

(𝐵̅ − 𝐵)2 0.054 0.1849 0.4489 0.6879

𝐶̅ − 𝐶 -0.02 0.03 -0.02

(𝐶̅ − 𝐶)2 0.0004 0.0009 0.0004 0.0017

0.02 𝐸𝑠𝐴 = √ = 0.0632 𝐸𝑎 = 0.1896 3(3 − 2) 0.6879 𝐸𝑠𝐵 = √ = 0.3709 𝐸𝑏 = 1.1128 5 0.0017 𝐸𝑠𝑐 = √ = 0.0184 𝐸𝑐 = 0.0552 5 Hallamos es volumen promedio 𝑉̅ =

19 ∗ 16 ∗ 26.25 + 19.2 ∗ 15.8 ∗ 26.2 + 19.1 ∗ 16.6 ∗ 26.25 = 8133.756𝑚𝑚3 3

Para hallar el volumen aplicamos propagación de errores. 𝐸𝐴 2 𝐸𝐵 2 𝐸𝐶 2 √ ̅ 𝐸𝑣 = 𝑉 ∗ ( ) + ( ) ( ) 𝐴̅ 𝐵̅ 𝐶̅ 0.1896 2 1.1128 2 0.0552 2 √ 𝐸𝑣 = 8133.746 ∗ ( ) +( ) +( ) = 563.76 = 6.9% 19.1 16.23 26.23 𝑉 = 8133.746 ± 6.9% (𝑚𝑚)3 Aplicamos propagación de errores para hallar la densidad, pero como la única variable es el volumen la formula será mas sencilla. 𝐸𝜌 = 𝜌̅ ∗ 𝜌̅ =

𝐸𝑣 𝑉̅

𝑚 66.1𝑔 𝑔 = = 8,13 ( ) 𝑐𝑚3 𝑉̅ 8.13(𝑐𝑚)3 563.76 = 0.5635 8133.746 𝑔 𝜌 = 8,13 ± 0.5635 ( 3 ) 𝑐𝑚

𝐸𝜌 = 8.13 ∗

CUERPO 2 N

𝐴(𝑚𝑚) 1 32.9 2 31.9 3 32.9 Prom. 32.57

𝐵(𝑚𝑚) 49.8 49.0 49.8 49.53

𝐶(𝑚𝑚) 16.9 16,2 16.05 16.38

𝐴̅ − 𝐴 -0.33 0.67 -0.33 suma

(𝐴̅ − 𝐴)2 0.1089 0.4489 0.1089 0.6667

𝐵̅ − 𝐵 -0.27 0.53 -0.27

(𝐵̅ − 𝐵)2 0.0729 0.2809 0.0729 0.4267

𝐶̅ − 𝐶 -0.52 0.18 0.33

(𝐶̅ − 𝐶)2 0.2704 0.0324 0.1089 0.4117

0.6667 𝐸𝑠𝐴 = √ = 0.3651 𝐸𝐴 = 1.0953 5 0.4267 𝐸𝑠𝐵 = √ = 0.2921 𝐸𝐵 = 0.8763 5 0.4117 𝐸𝑠𝐶 = √ = 0.2869 𝐸𝐶 = 0.8607 5 𝑉̅ =

32.9 ∗ 49.8 ∗ 16.9 + 31.9 ∗ 49.0 ∗ 16.2 + 32.9 ∗ 49.8 ∗ 16,05 = 79308.16(𝑚𝑚)3 3 𝐸𝑣 = 79308.16 ∗ √(

1.0953 2 0.8763 2 0.8607 2 ) +( ) +( ) = 5142.81 32.57 49.53 16.38

𝑉 = 79308.16 ± 5142.81 (𝑚𝑚)3 𝜌̅ =

223.4(𝑔) 𝑔 3 = 2.81 ( ) 79.308(𝑐𝑚)3 𝑐𝑚

𝐸𝜌 = 2.81 ∗

5142.82 = 0.182 79308.16

𝜌 = 2.81 ± 0.182 ( N

𝐴(𝑚𝑚) 𝐵(𝑚𝑚) 𝐶(𝑚𝑚) 𝐴̅ − 𝐴 62.8 22.3 -0.12 62.55 22.3 0.13

1 2 3 Prom. 62.68

22.3

suma

(𝐴̅ − 𝐴)2 0.0144 0.0169 0.0313

𝑔 ) 𝑐𝑚3

𝐵̅ − 𝐵 0 0

(𝐵̅ − 𝐵)2 0 0

𝐶̅ − 𝐶

0

0.0313 𝐸𝑠𝐴 = √ = 0.1251 𝐸𝐴 = 0.2502 2 𝐸𝑠𝐵 = 0 como el error de una de las variables es cero la propagación será mas sencilla:

(𝐶̅ − 𝐶)2

aplicando propagación de errores se halla que: 𝐸𝑣 = 𝑉̅ ∗ 𝜋𝐷2 ∗ ℎ ̅ 𝑉= = 4

𝐸𝐴 𝐴̅

𝜋22.32 ∗ 64.8 𝜋 ∗ 22.32 ∗ 64,55 + 4 4 = 25260.16(𝑚𝑚)3 2 𝐸𝑣 = 25260.16 ∗

0.2502 = 100.83 62.68

𝑉 = 25260.16 ± 100.83(𝑚𝑚)3 𝜌̅ =

66.7 𝑔 = 2.64 ( 3 ) 25.26 𝑐𝑚

100.83 = 0.0105 25260.16 𝑔 𝜌 = 2.62 ± 0.0105 ( 3 ) 𝑐𝑚

𝐸𝜌 = 2.64 ∗

Ahora hallaremos la densidad por el método le la balanza de Jolly

CUERPO 1 N 1 2 3

𝑋1(𝑐𝑚) 16.7 16,4 16.7 𝑋̅ =16.6

𝑋2(𝑐𝑚) 14.7 14.6 14-7 𝑋̅ =14.67

𝑋̅ − 𝑋1 -0.1 0.2 -0.1

(𝑋̅ − 𝑋1)2 𝑋̅ − 𝑋2 0.01 -0.03 0.04 0.07 0.01 -0.03 0.06

0.00446 𝐸𝑠𝜌𝑥2 = √ = 0.0299 𝐸𝑥2 = 0.0897 5

𝐸𝑠𝜌𝑥1 = √

0.06 = 0.1095 𝐸𝑥1 = 0.3285 5

16.6 8,601𝑔 𝜌̅ 𝑐 = 1 ∗ ( )= 16.6 − 14.76 𝑐𝑚3 𝐸𝜌𝑐 = 8.601 (

0.3285 0.3285 + 0,0897 + ) 16.6 16.6 − 14.67

𝐸𝑥 = 3𝐸𝑠

(𝑋̅ − 𝑋2)2 0.0009 0.0049 0.0009 0.00446

𝐸𝜌𝑐 = 2.034 𝑔 ) 𝑐𝑚3

𝜌𝑐 = 8.601 ± 2.034 ( CUERPO 2 N 1 2 3

𝑋1(𝑐𝑚) 16,8 16.8 17.0 𝑋̅ =16,87

𝑋2(𝑐𝑚) 10.0 10,3 10,1 𝑋̅ =10.13

𝑋̅ − 𝑋1 0.07 0.07 -0.13

(𝑋̅ − 𝑋1)2 𝑋̅ − 𝑋2 0.0049 0.13 0.0049 -0.17 0.0169 0.03 0.0267

0.0267 𝐸𝑠𝑥1 = √ = 0.0731 5

𝐸𝑥1 = 0.2193

0.0468 𝐸𝑠𝑥2 = √ = 0.0967 5

𝐸𝑥2 = 0.2901

(𝑋̅ − 𝑋2)2 0.0169 0.0289 0.0009 0.0468

16.87 𝑔 𝜌̅ = 1 ∗ ( ) = 2.52 ( 3 ) 16.87 − 10.13 𝑐𝑚 0.2193 0.2193 + 0.2901 𝐸𝜌𝑐 = 2.52 ∗ ( + ) = 0.0886 16.87 16.87 − 10.13 𝑔 𝜌𝑐 = 2.52 ± 0.0886 ( 3 ) 𝑐𝑚 CUERPO 3 N 1 2 3

𝑋1(𝑐𝑚) 17.0 16.9 17.2

𝑋2(𝑐𝑚) 10.2 10.0 10.0

𝑋̅ − 𝑋1 0.03 0.13 -0.17

0.0468 𝐸𝑠𝑥1 = √ = 0.0967 5

(𝑋̅ − 𝑋1)2 𝑋̅ − 𝑋2 0.0009 -0.13 0.0169 0.07 0.0298 0.07 0.0468 𝐸𝑥1 = 0.2901

0.0267 𝐸𝑠𝑥2 = √ = 0.0731 𝐸𝑥1 = 0.2193 5 17.03 𝑔 𝜌̅ = 1 ∗ ( ) = 2.447 ( 3 ) 17.03 − 10.07 𝑐𝑚 0.2901 02901 + 0.2193 𝐸𝜌𝑐 = 2.447 ∗ ( + ) = 0.0902 17.04 17.03 − 10.07

(𝑋̅ − 𝑋2)2 0.0169 0.0049 0.0049 0.0267

𝑔 𝜌𝑐 = 2.447 ± 0.0902 ( 3 ) 𝑐𝑚

CUESTIONARIO 1, ¿Por qué se recomienda sujetar de un hilo inextensible el cuerpo a ser sumergido?, ¿sería mejor sujetar el cuerpo con gancho o alambre? R.- se recomienda usar un hilo inextensible para no causar oscilaciones además este debe ser de peso despreciable y así no causar variaciones en el experimento. 2. si colocara una balanza en la base del recipiente del experimento, ¿Qué mediría esta? R.- con referente al experimento esta mediría el peso relativo de el objeto ya que este estaría afectado por la fuerza del empuje. 3. según las deformaciones obtenidas concluya si la fuerza de empuje o la fuerza de restitución del resorte antes de introducir el cuerpo es mayor. R.- como se observa en la siguiente fórmula utilizada anteriormente. 𝜌𝑐 = 𝜌𝑙 ∗

𝑋1 (𝑋1 − 𝑋2)

Donde X1 es la elongación del resorte, este debe ser mayor a la del empuje ya que no existen densidades negativas. 4, indique si la fuerza restauradora del resorte es mayor cuando el cuerpo está sumergido o sin sumergir. R.- ya que la fuerza es proporcional a la elongación del resorte, esta fuerza es mayor cuando no se encuentra en el aire por lo tanto su elongación también será mayor. 5. en el experimento, ¿ cuáles son variables dependientes y cuáles son las variables independientes? R. en la obtención del volumen las variables dependientes serían las medidas y la independiente el volumen. En la obtención de la densidad por medio de la definición las variables independientes son el volumen y la masa, esta última se la considera constante ya que se considera su error insignificante, la variable dependiente es la densidad. Por el método de Jolly las variables dependientes son las medidas de las elongaciones y la dependiente es la densidad. 6. explique que procedimiento experimental y prueba de hipótesis usaría para comprobar que el resorte se comporta según la Ley de Hooke. R.- una regresión lineal con F vs X.

CONCLUSIONES Se determinó las densidades de unos objetos regulares por dos diferentes métodos, en los cuales en los resultados hubo una diferencia relativamente significativa, esto se debió: Un ambiente no adecuado para las medidas de las distancias de las elongaciones (paralelaje de las lecturas). Esto se notó en los cálculos de estos errores, los cuales fueron significativos. Esto se podría evitar con un equipo más exacto u de otra forma realizar muchas más mediciones.

ANEXOS Para el experimento se utilizaron los siguientes materiales mencionados anteriormente.

BIBLIOGRAFIA Guía de laboratorio de física análisis de errores y graficas ing. Rene Delgado Salguero Guía de experimentos de Fisica II Febo Flores