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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LÁZARO CÁRDENAS

Balance de Momentum, Calor y Masa

Prof. Zenaido Martínez Ramírez

Instituto Tecnológico de Lázaro Cárdenas Ingeniería Química Agosto-Diciembre 2016

Temario de la Materia I

1

Unidad I. Balance de momentum Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del valor medio) 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, ujo volumétrico y másico (Coordenadas rectangulares y cilíndricas)

Unidad I. Balance de momentum

Objetivos de la Materia Determinar el ujo de masa o volumétrica, el ujo de calor, densidad de ujo de masa, perles de velocidad, de temperatura y concentración en sistemas con transferencia de cantidad de movimiento, calor y masa utilizando los balances correspondientes. Determinar el coeciente individual y global de calor y masa, en sistemas con transferencia de calor y masa utilizando el método analítico y por correlaciones Determinar los parámetros al estado inestable en placas, cilindros o esferas utilizando las gracas de Heissler

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Balance de Momentum, Calor y Masa

Unidad I. Balance de momentum

Competencias Previas Aplicar cálculo diferencial e integral a expresiones algebraicas utilizando los modelos establecidos. Obtener ecuaciones diferenciales de un sistema aplicando el concepto de elemento diferencial Homogeneizar las dimensiones y unidades en un problema usando los principios correspondientes. Obtener propiedades de un gas utilizando la ley de los gases ideales. Resolver problemas numéricos usando un lenguaje versátil. Aplicar balance de materia y energía en un sistema usando la ley de la conservación de la masa y la energía.

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Balance de Momentum, Calor y Masa

Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

UNIDAD I

1

Unidad I. Balance de momentum Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del valor medio) 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, ujo volumétrico y másico (Coordenadas rectangulares y cilíndricas)

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Balance de Momentum, Calor y Masa

Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Unidad I: Evaluación

Tareas 20 % Ejercicios propuestos 30 % Examen 50 %

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Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Bibliografía 1

R. B. Bird, W. E. Stewart, E. N. Lightfoot Fenómenos de

Transporte . Ed. Reverté, 1999. 2

C. J. Geankoplis Procesos de Transporte y Operaciones

Unitarias . Ed. Cecsa. 3

3a

Edición, 1998.

McCabe, W. L., Smith, J. C. y Harriott, P. Operaciones Unitarias en Ingeniería Química,. Mc Graw Hill, 6a. Edición, 2004.

4

R. V. Giles Mecánica de los Fluidos e Hidráulica: Teoría

y Problemas . Ed. McGraw Hill, Serie Schaum's,

3a

Edición

2003.

5

O. Levenspiel Flujo de Fluidos e Intercambio de Calor ,

6

Mott, R. L. Mecánica de Fluidos, Prentice Hall, 6

Ed. Reverté, 1993.

a

Edición,

2006.

7

Perry, R. H. (Ed. in Chief ), Manual del Ingeniero Químico, Mc

a

Graw Hill, 7 . Edición, 2001.

8

J. P. Holman Principios de Transferencia de Calor . Ed.

9

D. Q. Kern Procesos de Transferencia de Calor . Ed. Cecsa,

McGraw-Hill,

1a

8a

Edición, 1998.

Edición, 1999.

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Balance de Momentum, Calor y Masa

Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Competencias de la Unidad

Obtener el perl de velocidad y esfuerzo cortante en un sistema coordenado mediante un balance de cantidad de movimiento.

Interpretar el perl de velocidad y esfuerzo cortante para líquidos con base en un sistema coordenado

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Unidad I. Balance de momentum

Repaso de Cálculo Vectorial ¾Qué es un vector unitario? Es aquel vector que tiene magnitud de El vector

~v

que tiene

n

1.

componentes se expresa como

~v = v1 e~1 + v2 e~2 + v3 e~3 + · · · + vn e~n ~v =

n X

vi e~i

i=1 Donde los

e~i

son los vectores unitarios en dirección de los ejes

coordenados donde se encuentra el vector.

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(1)

(2)

Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Repaso de Cálculo Vectorial El vector unitario para

~u =

~v

es igual a

v1 v2 v3 vn e~1 + e~2 + e~3 + · · · + e~n |v| |v| |v| |v|

(3)

p v1 2 + v2 2 + v3 2 + · · · + vn 2

(4)

Donde

|v| =

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Unidad I. Balance de momentum

Operaciones con Vectores La adición y substracción de vectores

Propiedad distributiva Propiedad asociativa propiedad conmutativa Multiplicación con vectores

Multiplicación de un vector por una cte. (5)

a~v

Solo cambia la magnitud del vector Producto punto de dos vectores El producto punto de ~v y w ~ se lleva a cabo, siempre y cuando, los vectores tengan los mismos componentes ~v · w ~=

n X i=1

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vi e~i ·

n X

wj e~j

(6)

j=1

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores ~v · w ~=

n n X X

vi wj e~i · e~j

i=1 j=1

Donde

e~i · e~j = δij =⇒ Delta de Kronecker

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(7)

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores Por lo tanto,

~v · w ~=

n X n X

vi wj δij =

n X

i=1 j=1

v i wi

(8)

i=1

Se establece que

δij =

  1

si

i=j

0

si

i 6= j

 También se tiene que

~v · w ~=

n X

vi wi = |v||w|cosθ

(9)

j=1

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Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores Producto cruz El producto cruz de dos vectores genera un nuevo vector que es perpendicular a ambos. De acuerdo a la regla de mano derecha

e~1 × e~2 = e~3 e~2 × e~3 = e~1 e~3 × e~1 = e~2

e~2 × e~1 = −e~3 e~3 × e~2 = −e~1 e~2 × e~1 = −e~2

De forma general esto puede expresarse como

e~i × e~j =

n X

ijk e~k

k=1

e3

e2

ijk =⇒ simbolo de permutacin

e1 Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores Producto cruz

ijk =

          

1

si

(ijk) es (123), (231) o (312)

−1

si

(ijk) es (321), (213) o (132)

0

si

i = j, i = k o j = k

El producto cruz de dos vectores, en su caso más sencillo, con tres componentes

e~1 e~2 e~3 ~v × w ~ = v1 v2 v3 w1 w2 w3 Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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(10)

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Unidad I. Balance de momentum

Operaciones con Vectores Producto cruz

El producto cruz de dos vectores se expresa como

~v × w ~=

n X

vi e~i ×

n X

wj e~j

(11)

vi wj e~i × e~j

(12)

i=1

j=1

Esto también puede expresarse como

~v × w ~=

n X n X i=1 j=1

A su vez

~v × w ~=

n X n X n X

ijk vi wj e~k

(13)

i=1 j=1 k=1

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Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores Producto Diádico y Tensores

La mayoría de los fenómenos físicos son representados por tensores. Los tensores se clasican de acuerdo al orden:

Tensor de orden cero: Todos los escalares o magnitudes son tensores de orden cero, ya que no poseen una dirección y sentido.

Tensor de orden uno: Los vectores representan físicamente un fenómeno que puede tener afectación en todas las direcciones del espacio que lo posee. Los vectores en realidad son tensores de orden uno, donde cada uno de sus componentes afecta solo una dirección.

Tensor de orden dos: Cuando un fenómeno afecta a su vez dos direcciones del espacio se dice que es un tensor de orden dos o simplemente tensor.

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Unidad I. Balance de momentum

Operaciones con Vectores Producto Diádico y Tensores

El producto diádico de los vectores

~v

y

w ~

representa como

~v w ~ Si ambos vectores tienen dos componentes

~v = v1 e~1 + v2 e~2 w ~ = w1 e~1 + w2 e~2 El producto diádico se obtiene de la siguiente manera

 ~v w ~ =τ =

v1 e~1 v2 e~2

 w1 e~1 w2 e~2




 =

v1 w1 e~1 e~1 v1 w2 e~1 e~2 v2 w1 e~2 e~1 v2 w2 e~2 e~2



(14) Ese tensor se puede expresar como

 τ=

τ11 τ12 τ21 τ22



 =

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v1 w1 v1 w2 v 2 w1 v 2 w2

 (15)

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores Producto Diádico y Tensores

De forma general, el producto diádico de los vectores

~v

y

w ~

con

n

componentes cada uno es

τ = ~v w ~=

n X n X

vi wj e~i e~j =

i=1 j=1 Si Si

n X n X

τij e~i e~j

(16)

i=1 j=1

τij = τij el tensor τ es simétrico. τij = −τij el tensor τ es antisimétrico.

Tensor identidad



1 0 ···  0 1  I= . ..  .. . 0 0 0

 0 0    = δij 0  1

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores Adición y Sustracción de Tensores

La suma o resta de tensores se realiza de la misma forma que se hace con vectores (tensores de orden 1)

τ ±w =

n X n X

τij e~i e~j ±

i=1 j=1

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n X n X

wij e~i e~j

i=1 j=1

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(17)

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores I

Tensor por Vector (Producto Punto) Suponga que tiene un tensor

τ

y un vector

~v ,

el producto punto

entre ellos es

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores II

τ · ~v =

=

n X n hX

n i hX i τij e~i e~j · vk e~k

i=1 j=1 n n X n XX

(18)

k=1

τij vk [~ ei e~j · e~k ]

(19)

~ e~j · e~k ] τij vk ei[

(20)

i=1 j=1 k=1

=

=

n X n X n X i=1 j=1 k=1 n X n X n X

τij vk e~i δjk =

i=1 j=1 k=1

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n X n X

τij vj e~i

i=1 j=1

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(21)

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Operaciones con Vectores Producto Punto de Tensores

τ ·w =

n X n hX

n X n i hX i τij e~i e~j · wkl e~k e~l

i=1 j=1

=

=

=

n X n X n X n X i=1 j=1 k=1 l=1 n X n X n X n X i=1 j=1 k=1 l=1 n X n X n X n X

(22)

k=1 l=1

τij wkl [~ ei e~j · e~k e~l ]

(23)

τij wkl [e~j · e~k ]~ ei e~l

(24)

τij wkl δjk e~i e~l =

i=1 j=1 k=1 l=1 Prof. Zenaido Martínez Ramírez

n X n X n X

τij wjl e~i(25) e~l

i=1 l=1 j=1 Balance de Momentum, Calor y Masa

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores I

Producto Doble Punto de Tensores Así como existe el producto punto de vectores existe algo análogo para tensores, el cual se conoce como producto doble punto, el resultado de ésta operación es un escalar

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con Vectores II

τ :w =

=

n X n hX

n X n i hX i τij ei ej : wkl ek el

i=1 j=1 n n X n X n XX

(26)

k=1 l=1

τij wkl [~ ei e~j : e~k e~l ]

(27)

τij wkl [~ ei · e~l ][e~j · e~k ]

(28)

i=1 j=1 k=1 l=1

=

=

n X n X n X n X i=1 j=1 k=1 l=1 n X n X n X n X

τij wkl [δil ][δjk ] =

i=1 j=1 k=1 l=1

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n X n X

τij wji (29)

i=1 j=1

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Unidad I. Balance de momentum

Operaciones con Vectores Operadores Diferenciales En el análisis del ujo de uidos, calor, masa y magnético, es muy común el uso de algunos operadores que permiten conocer el comportamiento de alguna propiedad de dichos ujos, uno de esos ope-

~ ). Este operador funciona de manera radores es el operador nabla (∇ similar que

d dx , la diferencia es que

~ ∇

permite encontar la variación

de una propiedad en diferentes direcciones.

~ = ∇

n X ∂ e~i ∂xi

(30)

i=1

Si solo se analizan tres direcciones

~ ∇

se expresa

~ = ∂ e~1 + ∂ e~2 + ∂ e~3 ∇ ∂x1 ∂x2 ∂x3 Prof. Zenaido Martínez Ramírez

(31)

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con vectores Operadores Diferenciales: Gradiente de un campo escalar

f es una función escalar de las variables x1 , x2 y x3 , ~ a f se obtiene f = f (x1 , x2 , x3 ). Al aplicar el operador ∇

Si

~ ∇f

∂f ∂f ∂f e~1 + e~2 + e~3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 n X ∂f = e~i ∂xi

=

es decir,

(32)

(33)

i=1

El resultado es un vector que se denomina

gradiente

de la función

f. Para la operación del gradiente es preciso tener en cuenta las siguientes propiedades No conmutativa No asociativa Distrubutiva

~ 6= f ∇ ~ ∇f ~ ~ (∇f )g 6= ∇(f g) ~ + g) = ∇f ~ + ∇g ~ ∇(f

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con vectores Operadores Diferenciales: Divergencia de un campo vectorial La

divergencia

de un vector se obtiene a partir de

~ · ~v = ∇

=

=

=

n hX

n

i hX i ∂ e~i · vj e~j ∂xi

i=1 n X n X

i=1 j=1 n X n X i=1 j=1 n X i=1

(34)

j=1

∂ vj e~i · e~j ∂xi

(35)

∂ vj δij ∂xi

(36)

∂ vi ∂xi

(37)

~v un vector que tiene tres componentes en las direcciones e~1 , e~2 e~3 , la divergencia del ese vector es

Sea y

~ · ~v = ∇ =

∂v1 ∂v2 ∂v3 e~1 · e~1 + e~2 · e~2 + e~3 · e~3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂v1 ∂v2 ∂v3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3

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(38)

(39)

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Operaciones con vectores Operadores Diferenciales: Laplaciano El

~ y la divergencia laplaciano es el resultado del producto punto entre ∇ f.

de un campo escalar

~ · ∇f ~ ∇

=

=

=

n hX

n

i h X ∂f i ∂ e~i · e~j ∂xi ∂xj

i=1 n n X X

i=1 j=1 n 2 X i=1 2

(40)

j=1

∂ ∂f δij ∂xi ∂xj

(41)

∂ f ∂xi 2

(42)

= ∇ f

(43)

El resultado es un escalar. De éste análisis se desprende que

∇2 =

∂2 ∂2 ∂2 + + 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2

Éste operador se conoce como

(44)

laplaciana.

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con vectores Operadores Diferenciales: Laplaciano El

laplaciano

de un campo vectorial es

~ · ∇~ ~v = ∇

=

=

~v

es

n n n hX i ∂ i hX X ∂ e~i · vk e~j e~k ∂xi ∂xj i=1 n X n X n X

i=1 j=1 k=1 n X n 2 X i=1 k=1

(45)

j=1 k=1

∂ ∂ vk [~ ei · e~j ]e~k ∂xi ∂xj

∂ vk e~k ∂x2i

(46)

(47) (48)

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Operaciones con vectores Operadores Diferenciales: Rotacional Cuando se realiza el producto cruz del operador el resultado se conoce como el rotacional de del vector

~v

~v

o

~ con el vector ~v ∇ Rotv . El rotacional

se obtiene a partir de

n n X X ∂ e~i × vj e~j ∂xi

(49)

n n X X ∂ = vj e~i × e~j ∂xi

(50)

~ × ~v = ∇

j=1

i=1

=

i=1 j=1 n X n X n X i=1 j=1 k=1

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ijk

∂ vj e~k ∂xi

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(51)

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Sistema Se dene como la cantidad de materia o la región en el espacio que se ha escogido como caso de estudio.

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Masa de control

Volumen de control

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Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Teorema del valor medio(Lagrange) Sea f (x) una función continua en el intervalo [a, b] (a, b), entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que

f 0 (c) =

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y derivable en

f (b) − f (a) b−a

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Promedio Arimético El promedio aritmético de un conjunto de números está dado por la siguiente relación

x=

x0 + x1 + · · · + xn n

donde n es el número de datos.

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Valor medio de una función Ahora, supongamos que se desea encontrar el promedio en una función

(f (x))

continua en el intervalo

sido evaluada para

n

[a, b]

y que la función ha

intervalos, por lo tanto

f (x) =

f (a) + f (x1 ) + · · · + f (b) n

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Supongase que los intervalos en los que se evalua constante,

∆x.

Donde

∆x =

f (x)

es

b−a n

n

f (x) =

1X f (xi ) n i=0

n

=

∆x X f (xi ) b−a i=0

= =

n n X 1 X 1 f (xi )∆x = l´ım f (xi )∆x b−a b − a n→∞ i=0 i=0 Z b 1 f (x)dx b−a a

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Supongase que los intervalos en los que se evalua constante,

∆x.

Donde

∆x =

f (x)

es

b−a n

n

f (x) =

1X f (xi ) n i=0

n

=

∆x X f (xi ) b−a i=0

= =

n n X 1 X 1 f (xi )∆x = l´ım f (xi )∆x b−a b − a n→∞ i=0 i=0 Z b 1 f (x)dx b−a a

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Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Supongase que los intervalos en los que se evalua constante,

∆x.

Donde

∆x =

f (x)

es

b−a n

n

f (x) =

1X f (xi ) n i=0

n

=

∆x X f (xi ) b−a i=0

= =

n n X 1 X 1 f (xi )∆x = l´ım f (xi )∆x b−a b − a n→∞ i=0 i=0 Z b 1 f (x)dx b−a a

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Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Supongase que los intervalos en los que se evalua constante,

∆x.

Donde

∆x =

f (x)

es

b−a n

n

f (x) =

1X f (xi ) n i=0

n

=

∆x X f (xi ) b−a i=0

= =

n n X 1 X 1 f (xi )∆x = l´ım f (xi )∆x b−a b − a n→∞ i=0 i=0 Z b 1 f (x)dx b−a a

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Sistema, Volumen de control, Teorema del valor medio Halle el valor medio para las siguientes funciones a) b)

f (x) = 4 − x2 en el intervalo [0, 3] f (x) = −x2 /2 en el intervalo [0, 3]

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Condiciones de frontera Suponga que tiene una función

f (x),

tal que

f (x) = x2 + 2

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Condiciones de frontera

Ahora, si derivamos la función

f (x)

f 0 (x) =

df (x) = 2x dx

La ecuación que se obtiene es una ecuación diferencial

df (x) = 2x dx

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Condiciones de frontera

Ahora, si derivamos la función

f (x)

f 0 (x) =

df (x) = 2x dx

La ecuación que se obtiene es una ecuación diferencial

df (x) = 2x dx

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Unidad I. Balance de momentum

Condiciones de frontera ¾Qué representa la solución de una ecuación diferencial? Partamos de atrás hacia adelante para encontrar la solución de la ecuación diferencial

df (x) = 2x dx podemos resolver la ecuación por el método de variables separables

Z df (x) = 2xdx =⇒

Z df (x) =

2xdx

Solución General

f (x) = x2 + C Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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Condiciones de frontera ¾Qué representa la solución de una ecuación diferencial? Partamos de atrás hacia adelante para encontrar la solución de la ecuación diferencial

df (x) = 2x dx podemos resolver la ecuación por el método de variables separables

Z df (x) = 2xdx =⇒

Z df (x) =

2xdx

Solución General

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Condiciones de frontera ¾Qué representa la solución de una ecuación diferencial? Partamos de atrás hacia adelante para encontrar la solución de la ecuación diferencial

df (x) = 2x dx podemos resolver la ecuación por el método de variables separables

Z df (x) = 2xdx =⇒

Z df (x) =

2xdx

Solución General

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Condiciones de frontera ¾Qué representa la solución de una ecuación diferencial? Partamos de atrás hacia adelante para encontrar la solución de la ecuación diferencial

df (x) = 2x dx podemos resolver la ecuación por el método de variables separables

Z df (x) = 2xdx =⇒

Z df (x) =

2xdx

Solución General

f (x) = x2 + C Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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Condiciones de frontera

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Condiciones de frontera

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Condiciones de frontera

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Fluidos

¾Qué es un uido?

Estrictamente, un uido es aquella sustancia que se deforma contínuamente cuando se encuentra bajo la acción de una fuerza (esfuerzo cortante), sin importar cuán pequeña sea ésta.

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Fluidos

¾Qué es un uido?

Estrictamente, un uido es aquella sustancia que se deforma contínuamente cuando se encuentra bajo la acción de una fuerza (esfuerzo cortante), sin importar cuán pequeña sea ésta.

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

1.2.1 Clasicación de los Fluidos Reología Es la ciencia que estudia el comportamiento de los uidos y sus deformaciones. Se ha demostrado que los uidos se deforman al aplicarles un esfuerzo cortante, donde, dicho esfuerzo depende de su viscosidad. De acuerdo a su viscosidad los uidos son clasicados en dos grandes grupos:

1

Fluidos newtonianos

2

Fluidos no-newtonianos

3

Viscoelásticos

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Reología Es la ciencia que estudia el comportamiento de los uidos y sus deformaciones. Se ha demostrado que los uidos se deforman al aplicarles un esfuerzo cortante, donde, dicho esfuerzo depende de su viscosidad. De acuerdo a su viscosidad los uidos son clasicados en dos grandes grupos:

1

Fluidos newtonianos

2

Fluidos no-newtonianos

3

Viscoelásticos

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

1.2.1 Clasicación de los Fluidos Reología Es la ciencia que estudia el comportamiento de los uidos y sus deformaciones. Se ha demostrado que los uidos se deforman al aplicarles un esfuerzo cortante, donde, dicho esfuerzo depende de su viscosidad. De acuerdo a su viscosidad los uidos son clasicados en dos grandes grupos:

1

Fluidos newtonianos

2

Fluidos no-newtonianos

3

Viscoelásticos

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

1.2.1 Clasicación de los Fluidos

Figura: Clasicación de los Fluidos Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos newtonianos Los uidos newtonianos son todos aquellos que obedecen las ley de Newton de la viscosidad. En este tipo de uidos existe una relación lineal entre el esfuerzo cortante y el cambio de velocidad con respecto a la dirección en la que se genera el esfuerzo. Los uidos newtonianos son capaces de deformarse cuando son sometidos a una fuerza mínima.

τyx = −µ

dvx dy

(52)

t = t∞

y

F~ τyx

vx

x Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos newtonianos Los uidos newtonianos son todos aquellos que obedecen las ley de Newton de la viscosidad. En este tipo de uidos existe una relación lineal entre el esfuerzo cortante y el cambio de velocidad con respecto a la dirección en la que se genera el esfuerzo. Los uidos newtonianos son capaces de deformarse cuando son sometidos a una fuerza mínima.

τyx = −µ

dvx dy

(52)

t = t∞

y

F~ τyx

vx

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos newtonianos Algunos ejemplos de uidos newtonianos son: el agua, todos los gases, moleculás sencillas (alcoholes, amoniaco, benceno, butano, etc.)

τyx µ

−dvx dy

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos no newtonianos Los uidos no newtonianos son aquellos que no guardan una relación lineal entre el esfuerzo cortante y la deformación. Los ejemplos mas cumunes sobre este tipo de uidos son: La sangre, los aceites, las suspensiones, los lodos, las pinturas, los alimentos líquidos.

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos no newtonianos(plásticos) Los uidos plásticos ideales aquellos en los que se debe vencer un esfuerzo inicial para el uido se transporte. Otra característica es que el esfuerzo cortante tiene una relación lineal con la variación de la velocidad, algunos ejemplos son plásticos, emulsiones, pinturas, lodos de perforación y sólidos en suspensión en líquidos o agua.

Plástico real: Son sustancias que no uyen hasta que vencen un esfuerzo inicial, y luego presentan una zona de viscosidad variable que disminuye con el incremento de la velocidad de deformación, hasta alcanzar un valor asintótico constante. Por ejemplo, pasta dental, chocolate, entre otros.

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos no newtonianos(psudoplásticos) Son aquellos en los que la resistencia a transportase disminuye al aumentar el esfuerzo cortante( Fuerza de cizalla). Algunos ejemplos de uidos pseudoplásticos son la mostaza , la capsup, algunas pinturas, entre otros.

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos no newtonianos(dilatantes) Son aquellos en los que la resistencia a transportase aumenta al aumentar el esfuerzo cortante. Algunos ejemplos de uidos dilatante son la manteca, la maicena, las suspensiones de almidón, entre otros.

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos no newtonianos

Figura: Modelos para uidos Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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1.2.1 Clasicación de los Fluidos Fluidos no newtonianos Cuando en un uido se aumenta gradualmente el valor del esfuerzo cortante para mantener constante la velocidad de deformación, se dice que el uido es reopéptico(se hace más viscoso al agitar: mezclas agua-yeso). Cuando ocurre lo contrario se dice que el uido es tixotrópico(se espesa cuando se deja de agitar:Pinturas, tintas, yoghurt, etc.).

Figura: Dependientes del tiempo Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Fluidos Esfuerzos Cortantes

Los esfuerzos cortantes son fuerzas tangenciales al ujo, dicha fuerza depende de las propiedades del uido en cuestión y del área de contacto En mecánica de uidos los esfuerzos son representados por h cortantes i la letra τ y tienen dimensiones de FA .1 El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial que requiere de una magnitud, con respecto a un plano  dirección y orientación  τxx τij =  τyx τzx 1

τxy τyy τzy

τxz τyz  τzz

Las dimensiones del esfuerzo cortante son las misma que las de la presión,

pero, el sentido físico es totalmente diferente

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Fluidos Esfuerzos Cortantes

Los esfuerzos cortantes son fuerzas tangenciales al ujo, dicha fuerza depende de las propiedades del uido en cuestión y del área de contacto En mecánica de uidos los esfuerzos son representados por h cortantes i la letra τ y tienen dimensiones de FA .1 El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial que requiere de una magnitud, con respecto a un plano  dirección y orientación  τxx τij =  τyx τzx 1

τxy τyy τzy

τxz τyz  τzz

Las dimensiones del esfuerzo cortante son las misma que las de la presión,

pero, el sentido físico es totalmente diferente

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Fluidos Esfuerzos Cortantes

Los esfuerzos cortantes son fuerzas tangenciales al ujo, dicha fuerza depende de las propiedades del uido en cuestión y del área de contacto En mecánica de uidos los esfuerzos son representados por h cortantes i la letra τ y tienen dimensiones de FA .1 El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial que requiere de una magnitud, con respecto a un plano  dirección y orientación  τxx τij =  τyx τzx 1

τxy τyy τzy

τxz τyz  τzz

Las dimensiones del esfuerzo cortante son las misma que las de la presión,

pero, el sentido físico es totalmente diferente

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Fluidos Esfuerzos Cortantes

Los esfuerzos cortantes son fuerzas tangenciales al ujo, dicha fuerza depende de las propiedades del uido en cuestión y del área de contacto En mecánica de uidos los esfuerzos son representados por h cortantes i la letra τ y tienen dimensiones de FA .1 El esfuerzo cortante es una cantidad tensorial que requiere de una magnitud, con respecto a un plano  dirección y orientación  τxx τij =  τyx τzx 1

τxy τyy τzy

τxz τyz  τzz

Las dimensiones del esfuerzo cortante son las misma que las de la presión,

pero, el sentido físico es totalmente diferente

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Suponga que tiene un uido contenido entre dos laminas de área

Area = A

A

F

y x Para mover la placa superior se necesita vencer la fuerza que se opone al movimiento. La magnitud de la fuerza que se debe aplicar dependerá del área de contacto. Por lo tanto, el esfuerzo cortante requerido será

τyx =

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F A Balance de Momentum, Calor y Masa

(53)

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Suponga que tiene un uido contenido entre dos laminas de área

Area = A

A

F

y x Para mover la placa superior se necesita vencer la fuerza que se opone al movimiento. La magnitud de la fuerza que se debe aplicar dependerá del área de contacto. Por lo tanto, el esfuerzo cortante requerido será

τyx =

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(53)

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Suponga que tiene un uido contenido entre dos laminas de área

Area = A

A

F

y x Para mover la placa superior se necesita vencer la fuerza que se opone al movimiento. La magnitud de la fuerza que se debe aplicar dependerá del área de contacto. Por lo tanto, el esfuerzo cortante requerido será

τyx =

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(53)

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Suponga que tiene un uido contenido entre dos laminas de área

Area = A

A

F

y x Para mover la placa superior se necesita vencer la fuerza que se opone al movimiento. La magnitud de la fuerza que se debe aplicar dependerá del área de contacto. Por lo tanto, el esfuerzo cortante requerido será

τyx =

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F A Balance de Momentum, Calor y Masa

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Fluidos

Si observamos el fenómeno en el plano

xy .

t=0

y x

Cuando el uido que está entre las placas se encuentra estático la velocidad

vx =0,

para cualquier posición de

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y

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Fluidos Suponga que se aplica una fuerza constante sobre la placa superior la cual permite que esta se mueva y después de un tiempo muy grande se alcanza el estado estacionario. Por lo tanto, los preles generados son los siguientes

t = t∞

y

F~ τyx

vx

x La expresión

τyx

indica que una velocidad en

cortante en la dirección

x

crea un esfuerzo

y.

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Fluidos Suponga que se aplica una fuerza constante sobre la placa superior la cual permite que esta se mueva y después de un tiempo muy grande se alcanza el estado estacionario. Por lo tanto, los preles generados son los siguientes

t = t∞

y

F~ τyx

vx

x La expresión

τyx

indica que una velocidad en

cortante en la dirección

x

crea un esfuerzo

y.

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Fluidos

El componente tensorial,

τ

τij ,

se identica de la siguiente forma:

=magnitud del tensor.

i

=la dirección de acción del esfuerzo cortante.

j

=indica el eje de acción, el cual es perpendicular a los ejes

sobre los cuales tiene efecto el esfuerzo contante.

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Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzx

F~

solo está en dirección

F~x

x

τyx

y

τxx x La fuerza aplicada en

x

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzx

F~

solo está en dirección

F~x

x

τyx

y

τxx x La fuerza aplicada en

x

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzx

F~

solo está en dirección

F~x

x

τyx

y

τxx x La fuerza aplicada en

x

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzx

F~

solo está en dirección

F~x

x

τyx

y

τxx x La fuerza aplicada en

x

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzy

F~

solo está en dirección

F~y τyy

y

y

τxy x La fuerza aplicada en

y

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzy

F~

solo está en dirección

F~y τyy

y

y

τxy x La fuerza aplicada en

y

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzy

F~

solo está en dirección

F~y τyy

y

y

τxy x La fuerza aplicada en

y

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzy

F~

solo está en dirección

F~y τyy

y

y

τxy x La fuerza aplicada en

y

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Balance de Momentum, Calor y Masa

Unidad I. Balance de momentum

Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzz F~z F~

solo está en dirección

τyz

z

y

τxz x La fuerza aplicada en

z

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Introducción 1.1. Conceptos: (Sistemas, Volumen de control, Teorema del v 1.2. Condiciones límite (frontera) 1.3. Determinación de Perl de velocidad, velocidad media, u

Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzz F~z F~

solo está en dirección

τyz

z

y

τxz x La fuerza aplicada en

z

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzz F~z F~

solo está en dirección

τyz

z

y

τxz x La fuerza aplicada en

z

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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Fluidos En realidad, si se realiza un acción en la dirección de un eje se producirán esfuerzos cortantes sobre todos los planos, ya sean paralelos o perpendiculares. Es decir, supongase que se tiene un cuerpo en coordenadas rectangulares, como se muestra a continuación,

z τzz F~z F~

solo está en dirección

τyz

z

y

τxz x La fuerza aplicada en

z

produce esfuerzos cortantes en las tres dire-

ciones

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1.1.2. Regímenes de Flujo en Tuberias: Laminar y Turbulento

Cuando se le aplica una fuerza a un uido para provocar su transporte y dicha fuerza permite que el uido se desplace de forma suave y ordenada se dice que ujo es laminar. Cuando el movimiento del uido es errático se dice que el ujo es turbulento.

y vx x

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Balance de Cantidad de Movimiento

Todo balance general sobre una sustancia en un sistema, equipo de proceso o proceso completo puede escribirse de manera general como

E − S + P − C = A Por lo tanto, los balances de energía, masa, cantidad de movimiento, etc., son representados por esa ecuación. Siempre que se aplican balances sobre una sustancia se realizan sobre una variables de interés, estas pueden ser la temperatura, la masa, la fuerza, el calor, etc.

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Balance de Cantidad de Movimiento Tenga en cuenta que la cantidad de movimiento que puede adquirir un objeto está en función de la velocidad que lleva y está dado

ML t . Mientras tanto, la m~v velocidad de cantidad de movimiento está expresado como t y ML , las cuales son las mismas dimensiones que tiene dimensiones de 2 t por la expresión

m~v ,

sus dimensiones son

tiene la fuerza. A un sistema puede entrar y salir cantidad de movimiento de cuatro maneras distintas

1

Por transporte (de acuardo a la expresión newtoniana o no newtoniana).

2

Por el movimiento global del uido.

3

Por presión.

4

Por gravedad.

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Balance de Cantidad de Movimiento Para encontrar la solución de las ecuaciones diferenciales que surgen al hacer el balance de cantidad de movimiento sobre un elemento de volumen, generalmente, se usan las siguientes condiciones: a) En la interfase sólido-uido, la velocidad del ujo es la misma con la que se mueve la supercie sólida, es decir, el uido se encuentra adherido a la supercie con la que se encuentre en contacto b) En la interfase uido-gas, la densidad de ujo de cantidad de movimiento es practicamente cero, debido a que el gradiente de velocidades es muy pequeño. Por lo tanto, en la mayoria de los casos puede suponerse igual a cero. c) En la interfase líquido-líquido, tanto la densidad de cantidad de movimiento como la velocidad son continuas, es decir, que son iguales en ambos lados de la interfase.

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Balance de Cantidad de Movimiento

Un uido viscoso circula con ujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas separadas una distancia

2B .

Efectuar un

balance diferencial de cantidad de movimiento y obtener las expresiones para las distribuciones de ujo de cantidad de movimiento y de velocidad:

τxz

! P0 − PL + ρgL = x L

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Ejercicio 2. E2 ¾Cuál es la relación entre la velocidad y la máxima velocidad en la rendija?

E2.png

Figura: Problema E2

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Ejercicio 2. E2 Tomando un elemento de volumen para el análisis

E22.png

Figura: Elemento de volumen

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Ejercicio 2. E2 Balance de cantidad de movimiento en el elemento de volumen

τxz ∆y∆z −τxz ∆y∆z

x+∆x

x

+P ∆x∆y −P ∆x∆y z

z+∆z

+ρvz2 ∆y∆z −ρvz2 ∆y∆z z

∆x∆y∆z y reordenando los terminos P − P ρvz2 − ρvz2 z+∆z z z+∆z + z + + ρg = 0 ∆z ∆z

Dividiendo la ecuación entre

τxz − τxz x

x+∆x

∆x

∆x → 0, ∆y → 0 y ∆z → 0, P − P ρvz2 − ρvz2 x+∆x z z+∆z z z+∆z + l´ım + l´ım +ρg = 0 ∆z→0 ∆z→0 ∆x ∆z ∆z

Aplicando el límite cuando

l´ım

∆x→0

τxz − τxz x

obtenemos la siguente expresión

∂τxz ∂P ∂(ρvz2 ) + + − ρg = 0 ∂x ∂z ∂z Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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z+∆z

+ρ∆x∆y∆z

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Ejercicio 2. E2 Balance de cantidad de movimiento en el elemento de volumen

τxz ∆y∆z −τxz ∆y∆z

x+∆x

x

+P ∆x∆y −P ∆x∆y z

z+∆z

+ρvz2 ∆y∆z −ρvz2 ∆y∆z z

∆x∆y∆z y reordenando los terminos P − P ρvz2 − ρvz2 z+∆z z z+∆z + z + + ρg = 0 ∆z ∆z

Dividiendo la ecuación entre

τxz − τxz x

x+∆x

∆x

∆x → 0, ∆y → 0 y ∆z → 0, P − P ρvz2 − ρvz2 x+∆x z z+∆z z z+∆z + l´ım + l´ım +ρg = 0 ∆z→0 ∆z→0 ∆x ∆z ∆z

Aplicando el límite cuando

l´ım

∆x→0

τxz − τxz x

obtenemos la siguente expresión

∂τxz ∂P ∂(ρvz2 ) + + − ρg = 0 ∂x ∂z ∂z Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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z+∆z

+ρ∆x∆y∆z

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Ejercicio 2. E2 Balance de cantidad de movimiento en el elemento de volumen

τxz ∆y∆z −τxz ∆y∆z

x+∆x

x

+P ∆x∆y −P ∆x∆y z

z+∆z

+ρvz2 ∆y∆z −ρvz2 ∆y∆z z

∆x∆y∆z y reordenando los terminos P − P ρvz2 − ρvz2 z+∆z z z+∆z + z + + ρg = 0 ∆z ∆z

Dividiendo la ecuación entre

τxz − τxz x

x+∆x

∆x

∆x → 0, ∆y → 0 y ∆z → 0, P − P ρvz2 − ρvz2 x+∆x z z+∆z z z+∆z + l´ım + l´ım +ρg = 0 ∆z→0 ∆z→0 ∆x ∆z ∆z

Aplicando el límite cuando

l´ım

∆x→0

τxz − τxz x

obtenemos la siguente expresión

∂P ∂(ρvz2 ) ∂τxz + + − ρg = 0 ∂x ∂z ∂z Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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z+∆z

+ρ∆x∆y∆z

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Ejercicio 2. E2 Balance de cantidad de movimiento en el elemento de volumen

τxz ∆y∆z −τxz ∆y∆z

x+∆x

x

+P ∆x∆y −P ∆x∆y z

z+∆z

+ρvz2 ∆y∆z −ρvz2 ∆y∆z z

∆x∆y∆z y reordenando los terminos P − P ρvz2 − ρvz2 z+∆z z z+∆z + z + + ρg = 0 ∆z ∆z

Dividiendo la ecuación entre

τxz − τxz x

x+∆x

∆x

∆x → 0, ∆y → 0 y ∆z → 0, P − P ρvz2 − ρvz2 x+∆x z z+∆z z z+∆z + l´ım + l´ım +ρg = 0 ∆z→0 ∆z→0 ∆x ∆z ∆z

Aplicando el límite cuando

l´ım

∆x→0

τxz − τxz x

obtenemos la siguente expresión

∂P ∂(ρvz2 ) ∂τxz + + − ρg = 0 ∂x ∂z ∂z Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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z+∆z

+ρ∆x∆y∆z

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Ejercicio 2. E2 Por lo tanto,

P0 − PL dτxz = + ρg dx L

Resolviendo la ecuación diferencial por el método de separación de variables, resulta

τxz =

 P − P + ρgL  0 L x + C1 L

Para encontrar el valor de

C1

usaremos la siguiente condición de

frontera

τxz = 0 @ x = 0 Al sustituir la condición de frontera en la expresión para el esfuerzo cortante se obtiene que

C1 = 0 Por lo que,

τxz =

 P − P + ρgL  0 L x L

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(54)

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Ejercicio 2. E2 Si suponemos que el uido dentro de la rendija es newtoniano, entonces

τxz = −µ Al sustituir

τxz

dvz dx

en la ecuación 54, obtenemos

−µ

 P − P + ρgL  dvz 0 L = x dx L

Si reordenamos la ecuación diferencial y resolvemos la ecuación diferencial para

vz ,

la expresión resultante es

vz = Para encontrar

C2

 P − P + ρgL  x2 0 L + C2 −µL 2

usamos la siguiente condición de frontera

vz = 0 @ x = B Prof. Zenaido Martínez Ramírez

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Ejercicio 2. E2 Por lo tanto,

C2 =

 P − P + ρgL  B 2 0 L µL 2

Al sustituir la expresión de

C2 en la ecuación para la velocidad resulta

la siguiente ecuación que representa el perl de velocidades

vz =

 P − P + ρgL  h x2 i 0 L B2 1 − 2 2µL B

De acuerdo al fenómeno estudiad la velocidad máxima se obtiene cuando

x = 0,

sustituyendo este valor en la expresión para el perl

de velocidades la máxima velocidad está representada por

vz,max =

 P − P + ρgL  0 L B2 2µL

Para calcular la velocidad media se tiene que

Z

w

Z

B

vz dxdy < vz >= Z0

w

−B B

Z

dxdy 0

−B

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Ejercicio 2. E2 La expresión para la velocidad media es

w

Z < vz >=

0

B

 P − P + ρgL  h x2 i 0 L B 2 1 − 2 dxdy 2µL B −B Z wZ B dxdy

Z

−B

0

Integrando por separado, el numerador y el denominador, obtenemos

 < vz >=

P0 −PL +ρgL 2µL



h B2 x −

x3 3B 2

i B W −B

2BW

Al sustituir los límites y reordenar, la expresión para la velocidad media es

< vz >=

2  P0 − PL + ρgL  2 B 3 2µL

Por lo tanto, la relación entre la velocidad media y la máxima velocidad del uido es

< vz > 2 = vz,max 3

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Ejercicio 2. E2 El caudal o ujo volumétrico puede calciularse a partir de

Z

w

Z

B

Q=

vz dxdy −B

0 Sustituyendo la expresión para

Z Q= 0

w

vz

en la integral

B

 P − P + ρgL  h x2 i 0 L B 2 1 − 2 dxdy 2µL B −B

Z

Integrando la expresión y sustituyendo los límites

Q=

2 3



P0 − PL + ρgL µL

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B3W

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