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• Jordan Trejo Giraldo

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M.SC. WALTER VARELA ROJAS PROBABILIDAD CONDICIONAL 01.

Si: P(A) = 5/8, P (B) = ¾ y P (A/B) = 2/3, Calcular P(A/Bc) Solucion:

P(A/Bc) = 1 - P(Ac/Bc) = 1 −

(

)

1 − P( A  B ) P AC  BC = 1−   C C PB  PB 

( )

( )

1 − P( A) + P(B ) − P( A  B )  ….. (1) P BC  

= 1− 

Luego: Hallando

( )

P( A  B)

P(A/B) =

➔

P( A  B ) ➔ P(A/B) P (B) = P( A  B ) P (B )

P( A  B) =

2 3 1 • = 3 4 2

P( A  B) =

1 2

Reemplazando en la ecuación (1)

1 − P( A) + P(B ) − P( A  B ) 1−   P BC  

( )

P (A/Bc) =

02.

1 2

Si P (B) = 3/, P (B/A) = 1/5 y

(

P( A  B) = 1/15, Calcular P A  B C

)

Sol:

(

)

P A  B C = P (A – B) = P (A) - P( A  B) ….. (1) Calculamos P (A) ➔ P (A) =

P( A  B ) 1 / 15 = 1/3 ➔ P (A) = 1/3 = P ( B / A) 1 / 5

Luego Reemplazando en (1):

(

)

P A  B C = p(A) = P( A  B)

1

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=

(

1 1 − 3 15

)

 P A  BC = 03.

4 15

En una muestra de 120 loretanos se encontró que el 60% sufre alguna enfermedad, el 30% tiene al menos 30 años y el 20% son menores de 30 años y sanos. Si uno de tales loretanos es escogido al azar, ¿Cuál es la probabilidad? a)

De que sufra alguna enfermedad y tenga al menos 360 años?

b) De que sufra alguna enfermedad si tiene al menos 30 años? Sol: N (  )=120 60% sufren alguna enfermedad

 30 años

→ 36

20% < 30 años y sanos

→ 24

30%



Construimos una tabla de doble entrada:

4 años y < 200, 500>

10 Clientes →

Crédito < S/. 500 y < 4 años



Construimos una tabla de doble entrada:

< S/.200

200 − 500

< 4 años

45

55

10

110

> 4 años

55

30

5

90

TOTAL

100

85

15

200

> 500 TOTAL

P( 4años  S / .200) 45 / 200 45 9 = = = P( 200) 100 / 200 100 20

a)

P (S/. 500/>4 años) =

P (uno tenga  S / .500  4años ) P( 4años )

=

C15  C185 / C 2200 C 290 / C 2200

=

C15 C185 C 250

= 0.12

 La probabilidad de que uno tenga saldo de crédito de S/. 500 a más es 0.12

05.

En una encuesta de opinión se encontró que el 25% de los lectores votarían por el candidato E. De los que no votarían por E el 20% son mujeres y el resto son hombres. Además la

3

M.SC. WALTER VARELA ROJAS probabilidad de que un lector elegido al azar sea hombre es 0.70. si se elige un lector elegido al azar y resulta ser mujer ¿Cuál es la probabilidad de que no vote por E? Sol: 25%

Votan por el candidato E

20%

No votan por el candidato E → Son mujeres

H = Hombre M = Mujer E = Votar por E E1 = No votar por E

a)

P(M) = 1- P (H) = 1- (0.70) P(M) = 0.3

b) P (E1/M)

=

= P (E1/M)

 06.

( )

P E 1 P( M / E 1 ) P( M )

(0.75)(0.20) 0.3

= 0.5 La probabilidad de que no vote por E es 0.5

Un comerciante recibe para su venta 80 objetos, 2/5 del proveedor A y el resto del proveedor B. El 12.5% de objetos de cada proveedor son defectuosos. Si se hace una inspección de cuatro objetos escogidos al azar a la vez y si resultan: a)

Ser de B, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso?

b) Tres defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los defectuosos provengan de A? Sol: - Total de objetos = 80

2 del Proveedor A 5

D: Defectuosos D1: No defectuoso 4

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3 del Proveedor B 5 - 12.5 % son defectuosos de A y B

A=

2 x 80 = 32 ➔ A = 32 5

B=

3 x 80 = 48 ➔ B = 48 5

A(D) = 32 x 12.5 % = 4 A(D1) = 32 x 87.5 % = 28 a.

P (B)

= 1- P(Bc)

C 42 = 1 - 448 C4



b.

B(D) = 48 x 12.5 % = 6 B(D1) = 48 x 87.5 % = 42

La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso es 1-

P(dos de los defectuosos provengan de A) =

C 442 C 448

C 24 C16 C170 C 24 C16 = C310 C170 C310

 La probabilidad de que dos de los defectuosos provengan es 1-

07.

C 24 C16 C310

En horas de trabajo, una cervecería utiliza dos máquinas embotelladoras M1 y M2, pero no operan simultáneamente. La probabilidad de que la primera máquina se descomponga es 0.2. si la primera máquina se descompone se enciende la segunda, la cual tiene probabilidad de descomponerse de 0.3 ¿Qué probabilidad hay que el sistema embotellador no esté funcionando en las horas de trabajo? Sol: M1 se descomponga es P (M1) = 0.2 M2 se descomponga es P (M2) = 0.3

M1 =

1 = 0.5 2

M2 =

1 = 0.5 2

P (M1  M2) = P(M1) P(M2 / M1) = (0.2) (0.3) P (M1  M2) = 0.6

5

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

La probabilidad de que el sistema embotellador no este funcionando en las horas de trabajo es 0.06

08.

En un lote de 50 artículos, hay 10 de tipo A y 40 de tipo B, se extraen del lote 5 artículos al azar uno por uno si reposición, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de estos sea de tipo A? Sol:

50 Artículos

10 del Tipo A

Se extrae

40 del Tipo B

5 artículos Sea:

N : del Tipo A N1: Ninguno del Tipo A n (  ) = C2

50

C540 = 0.31 C 550

Luego: P (N1) = ➔

P(N1) = 1 – P(N) P(N) = 1-P(N1) P(N) = 1 – 0.31 P(N) = 0.69

 09.

La probabilidad de que al menos sea del Tipo

 una probabilidad de 0.69

Sólo una de las 10 llaves que lleva una persona abre la cerradura de su puerta. El prueba las llaves una por una escogiendo al azar cada vez una de las llaves no probadas. Calcular la probabilidad de que la llave que abre la cerradura sea escogida en el quinto intento. Sol: A

A = Abre

10 Llaves 1

A1 = No abre

A

1A 9A 10 A

P(A) =

 9  8  7  6  1        )  10  9  8  7  6  6

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 P(A) = 10.

1 10

En una urna hay tres balotas numeradas de 1 a 3. las balotas se sacan al azar una a una y sin reemplazo. Si la balota numerada con r se saca en la r-ésima extracción se considera un éxito. Hallar a probabilidad de obtener un éxito. Sol:

Saca Una a Una

E = Exto E1 = Fracas

1 2 3

=

E E E

1 3 2 =

E F F

2 1 3 =

F F E

2 3 1 =

F F F

3 1 2 =

F F F

3 2 1 =

F E F

 P (E) = 3/6 ➔ P (E)= ½ 11.

Se prueba un lote de 48 focos uno por uno (sin reposición). Si el lote contiene dos defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que el último defectuoso se detecte en la tercera prueba? Sol:

D: Defectuoso 48 FOCOS

S: Sano

7

M.SC. WALTER VARELA ROJAS P(B1 x D2 x D3) + P(B2 x D2 x D3)

46 2 1   2 46 1  =  X X X + X   48

47

46   48

47

46 

 = 0.0018 12.

La urna 1 contiene dos bolas rojas y dos bolas azules, mientras que la urna 2 contiene una bola roja y tres azules. Una bola es seleccionada aleatoriamente de la urna 1 y colocada en la urna 2. Luego una bola es seleccionada al azar de la urna 2 y colocada en la urna 1. Si ahora una bola es seleccionada al azar de la urna 1, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea roja? Sol: 2R

1R

2A

3ª

I

II

2R

3R

3A

2A

II

I

2R

1R

2A

3A

I

II

1R

2R

4A

3A

II

I

3 6 1 3 3 2 P(R)=    +    = +  4  5   4  5 

20

20

 P(R) = 9/20 Una urna contiene 5 fichas rojas y algunas fichas blancas. Se extrae al azar una ficha de la urna y se reemplaza por una del otro tipo. Luego se saca de la urna una segunda ficha. Determinar el número de fichas blancas en la urna si se sabe que la probabilidad de que la segunda ficha sea roja es 0.5.

8

M.SC. WALTER VARELA ROJAS Sol:

R: Fichas Rojas B: Fichas Blancas

5R xB I

20  5  4    = 2  5 + X  X + 5  ( X + 5) 4R X+1

 5  X + 1  5 X + 5   = 2  5 + X  X + 5  (5 + X ) 5R xB

6X  5  6    = 2  5 + X  X + 5  (5 + X ) 6R X-1 2  X  X − 1  X − X   = 2  5 + X  X + 5  (5 + X )

=

20 6 6 X + 20 1 + = = 2 2 ( X + 5) ( X + 5) ( X + 5)2 2

12X + 40 - (X + 5)2 = 0 X2 - 2X - 15 = 0

 X1 = 5

13.

Para decidir si se acepta o no un lote de 12 objetos en donde existen 3 defectuosos, se toman dos objetos al azar y a la vez. Si los dos son defectuosos, se rechaza el lote; si los dos son buenos se acepta el lote; y si solo uno es bueno se toma otros dos objetos al azar y a la vez de los 10 que quedan. Esta vez, si alguno es bueno se acepta el lote, de otro modo se rechaza. Calcular la probabilidad de aceptar el lote.

Sol: 9 No Defectuosos 3 Defectuosos

n (  ) = C212

n (  ) = C210

9

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- Se escogen:

C 29 C 03 C19 C13 C 09 C13 36 27 3 + + = + + 12 12 12 66 66 66 C2 C2 C2

C 08 C 22  C18 C12 27  C 28 C 02 + +   66  C 210 C 210 C 210 

27  28 16  27  1  +  +   66  45 45  66  45 

➔

36 27 + (44 / 45) 66 66

Si: P(A) = 1/3, y P (A a)

 B) = 11/21, Calcular P(B)

Si los eventos A y B son excluyentes

b) Si los eventos A y B son independientes Sol: a)

P (A  B) = 0 P (A  B) = P (A) + P (B)

=

11 P( A) = + P( B) 21 3

P(B) =

11 1 − 21 3

P(B) =

4 21

b) P( A  B ) = (A) + P(B) – P(A) P(B)

10

M.SC. WALTER VARELA ROJAS = P(A)+P(B) [1-P(A)]

11 1 2 = + P( B)  21 3 3  P( B) =

14.

4 21 6 3 = = 2 3 21 7

Sea el espacio muestral:

 = w1, w2, w3, w4donde.P(w1)] = 1 4 , P(W 3) = 1 4 , P(w4) = 1 4 ,sean los eventos: A={w1,w2} B={w1,w3} C={w1,w4} ¿son los eventos A, B, C, independientes? Sol:

 = w1, w2, w3, w4 P({w1})=1/4

P({w3})=1/4

P({w2})=1/4

P({w4})=1/4

Además: A={w1,w2} B={w1,w3} C={w1,w4} Verificando: P(ABC)=P(A) P(B) P(c) P(ABC)=1/4+1/4+1/4=3/4 P(A) P(B) P(C)=1/4+1/4+1/4=1/64

 ABC no son independientes 15.

Pruebe que: a)

Si el evento B es independiente del evento A, entonces, A es independiente de B.

b)

A y B son eventos independientes, si solo si, P(A  B) = P(A) P(B)

c)

Si A y B son independientes, entonces P(B/A)=P(B/Ac)

11

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Sol:

A

a)

B 1.

 como ambos son excluyentes

 ambos son independientes b)

P(A  B)=P(A) P(B)

A

B P(A)=1/4+1/2=3/4

1/4

1/4

P(B)=1/4+1/2=3/4

 P(A  B)=P(A) P(B) c.-

A

B

 la probabilidad de que ocurra el evento B

dado a que el evento “A” a ocurrido, dado que la probabilidad de B esta condicionada

por

la

probabilidad de la no ocurrencia de A.

 P(B/A)=P(B/Ac)  A y B eventos independientes. 16.

Un negocio es tal que su probabilidad de éxito es P. el negocio se realiza dos veces de manera independiente. ¿Qué valor de P hace máxima la probabilidad. a) De obtener éxito una sola vez? b) De obtener al menos una vez? Sol:

1ra vez Negocio

E

2da vez

Al menos una vez

E

P

P Negocio 1-

P

a)

E’

1-

P

E’

De obtener éxito una sola vez. P(1-P)+P(1-P)

 2P(1-P) 12

M.SC. WALTER VARELA ROJAS b)

De obtener al menos una vez P(1-P)+P(1-P)+PxP

 2P(1-P)+P2 17.

Pruebe que todo evento de probabilidad cero o uno es independiente de cualquier otro evento. Sol: Caso 1

P(A)=0

Sea A un evento Caso 2

P(A)=1

Caso 1: P(A)=0 (A  B)  A P(A  B)

P(A)

P(A) P(B) Caso 2: P(A  B)+P(Ac B) P(A) P(A  B)=P(A) P(B)

 P(Ac C)  P(Ac) 18.

Suponga que una compañía utiliza un procedimiento de prueba que es confiable en 98% es decir identifica correctamente a un objeto como defectuoso o no defectuoso con una probabilidad de 0.98. en un esfuerzo por reducir la probabilidad de error a cada objeto se comete a dos pruebas independientes.

a)

¿Cuál es la probabilidad de que un objeto no defectuoso no pase ambas pruebas?

b)

¿Cuál es la probabilidad de que se detecte a un objeto defectuoso, es decir de que no pase lo menos una de las pruebas?

13

M.SC. WALTER VARELA ROJAS Sol:

Confiable : 98%

D: Defectuoso

No confiable: 2%

D’: No defectuoso

P(D)=0.98

D C D ’ D C’ D ’ a)

(0.02) (0.02) = 0.004

b) P(D)=(0.48x0.02+0.02x0.98+0.98x0.98) P(D)=0.9996 19.

Una urna contiene 10 objetos numerados de uno a 10. un juego consiste en sacar tales objetos y termina cuando sale el numerado uno. ¿Cuál es la probabilidad de que el juego termine si se saca al azar 5 objetos?

a)

A la vez?

b)

Uno a uno sin reposición?

c)

Uno a uno con reposición?

Sol:

Sacan 5 objetos Sea A: solo en N° 1

a)

A la vez?

14

M.SC. WALTER VARELA ROJAS P(A)=5/10  P(A)=0.5

b)

Uno a uno sin reposición: P(A)=1/10  P(A)=0.1

 P(A)=0.1 c)

Uno a uno con reposición:

P(A)=

=

(10 − 1)5−1 10 5

94 10 5

 P( A) =

20.

94 10 5

Se ha determinado que el porcentaje de televidentes que ven los programas A, B y C son respectivamente 0.4, 0.5 y 0.3 cada televidente ve los programas independientemente uno del otro. Si se elige al azar a uno de tales televidentes ¿Qué probabilidad hay de que vea.

a)

Dos de los tres programas?

b)

Al menos uno de los tres programas?

Sol:

A B C 0.4 0.5 0.3

Ac B c C c 0.6 0.5 0.7

a) P(Ac BC)+P(ABc C)+P(ABCc) =P(0.6x0.5x0.3)+P(0.4x0.5x0.7)+P(0.4x0.5x0.7) =0.29

b) P(Ac BC)+P(ABc C)+P(ABCc)+P(ABcCc)+P(AcBCc)+P(AcBcC)+P(ABC) =(0.6x0.5x0.3)+P(0.4x0.5x0.7)+P(0.4x0.5x0.7)+P(0.4x0.5x0.7)+P(0.6x0.5x0.7)+P(0.6x 0.5x0.3)+P(0.4x0.5x0.3) =0.79

15

M.SC. WALTER VARELA ROJAS 21.

En una oficina hay dos computadoras A y B que trabajan de manera independiente, si en un momento cualquiera la probabilidad de que la maquina B esté en mal estado es ¼ y la probabilidad de que solo la maquina A esté en mal estado es 3/10 ¿Cuál es la probabilidad de que solo la maquina B esté en malas condiciones?

B

Sol:

A M B B M Si solo B esta mal 22.

P(B)=(1/2)(1/4)=1/8

En los circuitos de las figuras que siguen, la probabilidad de que cada llave se cierre (pase comente) es P, 050

(0.2)(0.2)(0.3) = 0.045 0.264

C’ C

C’

P(60%/D)=

P(60%) P( D / 60%) 0.264

23

M.SC. WALTER VARELA ROJAS 60% >5/50

35.

=

(0.7)(0.6)(0.6) = 0.955 0.264

Una agonía de publicidad observa que el 20% de los compradores potenciales de producto ve su propaganda por periodo, el 20% de dicha propaganda por televisión y el 1% ve los tipos de propaganda. A demás de cada tres que ven la propaganda uno compra dicho producto y el 7.9% compran y no ven la propaganda.

a)

¿Cuál es la probabilidad de que el comprador potencial compre dicho producto si no vio la propaganda?

b)

Si un comprador potencial compra el producto ¿Cuál es la probabilidad de que no haya visto la propaganda?

Solucion: a) (0.21)1/3+(0.79)(1/10)

C → 0.003 3

P C’ → 0.6 x0.01 = 0.0066

 =0.149

C → 0.06 3 T C’ → 0.6 x0.19 = 0.126

b)

(0.789)(0.1) 0.079 = = 0.1 0.149 0.149

C → 0. 3 x0.01 = 0.003 PT C’ → 0.007

T

C → 0.079 C’ → 0.711

36.

Un gerente está a la espera de la llamada telefónica de 3 de sus clientes para realizar un negocio. La probabilidad de que lo llamen cualquiera de sus 3 clientes en toma independiente es 0.3 además la probabilidad de realizar en negocio es de 0.20 si llama un cliente, es de 0.4 si llaman dos clientes y es de 0.8 si llaman los 3 clientes, si ninguno de los 3 le llaman. No se realiza el negocio.

24

M.SC. WALTER VARELA ROJAS a)

Calcular la probabilidad de que realice el negocio.

b)

¿Cuántas llamadas de clientes es más probable que haya recibido el gerente subiendo

que realizo en negocio? Sol:

P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + + 0.3 0.3 0.3 i = 0,1,2,3 ==> P (Ao) = 0 A0 = 1 Ningún cliente llama ==> P(A0) = 0 A1 = 1 Cliente llama ==> P (A1) = 0.2 A2 = 2 Clientes llaman ==> P (A2) = 0.4 A3 = 3 Clientes llaman ==> P (A3) = 0.8 B: El agente realiza el negocio: 3

0

P(A0) = C 0 (0) (1)

3− 0

=0

P(A1) =

C13 (0.3)1 (0.7) 3−1 = 0.441

P(A2) =

C23 (0.3) 2 (0.7) 3−2 = 0.189

P(A3) = C 3 (0.3) (0.7) = 0.27 3

3

0

P(B) = P(B/A0) + P(B/A1) + P(B/A2) + P(B/A3) 0

,

(0.2) + (0.4) + (0.8)

P(B) = P(A1) + P(B/A1) + P(A2)(B/A2) + P(A3) P(B/A3) P(B) = (0.441) (0.2) + (0.189) (0.4) + (0.27) (0.8) P(B) = 0.0882 + 0.0756 + 0.0216

P( A1 ) P( B / A1 ) a) 1 pues es P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) + P( A3 ) P( B / A3 )

25

M.SC. WALTER VARELA ROJAS



0.0882 = 0.0000475 1854

1.Una urna contiene 5 bolas blancas y 7 bolas negras. Se extrae una bola al azar; se pone fuera de la urna y su color no es visto; después se extrae otra bola aleatoriamente.¿Cuál es la probabilidad que esta última sea blanca?. SOLUCION

5 12

5B 7N 12

7 12

4 11

4B 7N 11

= ( 5 )( 4 )= 20 132 11 12

5B 6N 11 5 11

35 132

( 7 ) ( 5 )= 12 11

De donde la probabilidad de que sea blanca es:

20 + 35 132 132

=

55 132

2.De un conjunto de fotos una persona A escoge 3 fotos de hombre y 2 de mujer. Otra persona B escoge 2 fotos de hombre y una de mujer. La persona A extrae de su grupo, al azar, 2 fotografías, que sin verlas, las hecha al grupo que tiene la persona B. Si de este nuevo grupo que ahora tiene la persona B, se extrae al azar, una fotografía, determinar la probabilidad de que: a.) Esta sea una mujer b) Esta sea un hombre

3H 2N 5

3 5

4B 1N 5

4 5

1 5 2 5

1

= (3) ( ) = 5 5

2 5

2H 3N 5 3 5

a).-

= ( 3 )( 4 )= 12 5 25 5

……(1)

3 25

…… (2)

= ( 2)(2 ) = 4 5 5 25

=(2 )(3 ) = 5 5

6 25

….. (3)

….. (4)

Para que sea hombre: de 1 y 3

26

M.SC. WALTER VARELA ROJAS 12 + 4 25 25 b).

= 16 25

Para que se mujer: de 2 y 4

3 + 6 25 25

9 25 3.Se tiene 5 urnas idénticas; dos de ellas de igual contenido, con 3 bolas blancas y 5 negras, y las otras tres teniendo cada una, 4 blancas y 3 negras. Se elige una urna aleatoriamente. De la urna elegida se extrae al azar una bola. ¿Cuál es la probabilidad que sea blanca?

3B3 5N 8 8

1 5 1 5

5 URNAS

=

1 5 1 5

4B 4 3N 7 7

= ( 1 )( 3 )= 3 40 8 5

= ( 1 ) ( 4 )= 7 5

4 35

1 5

Como Dos Y Tres Urnas Son Iguales Hacemos: 2( 3 ) 40

+ 3 ( 4 ) = 3 + 12 = 345 = 69 20 35 700 140 35

4.Una urna contiene 3 bolas blancas, 4 negras y 5 rojas. Se extraen 3 bolas sin reposición. ¿ Cuál es la probabilidad que sean del mismo color? SOLUCION:

3 12

4 12

3B 4N 5R 12 5 12

2B 4N 5R

2 11

1B 1 4N 10 5R = ( 1 ) ( 1) ( 1 ) 11 10 2 10

11 3 3B 11 3N 5R 11

3B 10 2N 5N 11

3B 4 4N 11 4R 11

3B 3 4N 10 3R 11

2

= ( 1 )( 1 )( 2 ) 1 10 10

=( 1 )( 1 )(1 ) 1 11 2

1 + 2 + 1 = 33 = 3X = 3 110 22 2 * 2 *11 44 220 484

27

M.SC. WALTER VARELA ROJAS 5.Se tiene 2 urnas A y B, con 5 bolas rojas, 3 blancas y una roja, 2 blancas respectivamente. Se lanza un dado, si se obtiene 3 o 6 se pasa una bola de B a A y luego se extrae una bola de A en cualquier otro caso se pasa una bola de A a B, y luego se extrae una bola de B. Determinar la probabilidad que: a). Ambas bolas sean rojas b). ambas bolas sean blancas Solución R

6

B➔A

1

1 3

1R 3 2N 3

B

9 B

5

2 3

11

R ………..(1)

6R 9 3B 9 3

R

5R 9 4B 94

B

…….(3)

9 A➔B

2 3

R

5 8 5R

2 2R4

3B 8

2B 4 3 8

a).-

R ………….-(2)

2 4

1 4

B

1R 3B3 44

B

R

B ………….(4)

Para la probabilidad de que ambas sean rojas ( 1 )( 1 )( 1 ) + ( 2 )( 5 )( 2 ) 3 8 4 3 3 9

= 183 = 61 648 216

6.Un restaurante ofrece, a elección, menús a base de carne, de pollo o de jamón. Si el cliente lo desea puede pedir vino tinto o vino blanco. Se sabe que las probabilidades que un cliente elija carne, pollo o jamón son, respectivamente, 0.60, 0.30 y 0.10. También se sabe que: las probabilidades que un cliente pida vino tinto, vino blanco o ningún vino, después de haber elegido carne, son: 0.40 , 0.10 y 0.50 respectivamente; las probabilidades, después que el cliente eligió pollo, son 0.05, 0.25 y 0.70 respectivamente; y las correspondientes posibilidades, después que el cliente eligió jamón, son 0.15, 0.20 y 0.65. Por último se sabe que la probabilidad que un cliente deje una buena propina es: 0.80 si ha pedido carne o vino tinto, 0.30 si ha pedido carne y vino blanco, 0.60 si ha pedido carne sin vino; 0.40 si ha pedido pollo y vino tinto, 0.80 si ha pedido pollo y vino blanco, 0.70 si ha pedido pollo pero no vino, 0.70 si ha pedido jamón y vino tinto, 0.70 si ha pedido jamón y vino blanco, 0.50 si ha pedido jamón pero no vino. ¿Cuál es la probabilidad que un cliente deje una buena propina?. Solución C: Carne

28

M.SC. WALTER VARELA ROJAS P: J: VT VB NV D

Pollo Jamón Vino Tito Vino Blanco Ningun Vino Da buena Propina 0.80 D

TV 0.40 0.10

C

D 030 D

VB 0 .60

NV

Menú

D

(0.60)(0.50)(0.60)=0.18

D

0.4 0.05

(0.60)(0.10)(0.30)=0.18

D

0.50 0.60

(0.60) (0.40)(0.80)=0.192

D

(0.30)(0.05)(0.4)=0.006

VT

D 0.30

0.8

P

0.25 0.70

D

VB

D

0 .70

NV

0.10

(0.30)(0.25)(0.8)=0.06 

D

(0.30)(0.25)(0.70)=0.147 

D

0.70 D 0.15

VT 0.20

J

D 0.70 D

VB

(0.10)(0.20)(0.70)=0.0142

D 050 D

0.65

(0.10) (0.20) (0.70)=0.0105

(0.10)(0.65)(0.50)=0.032

NV

D La probabilidad de que deje buena propina es: (0.192)+(0.018)+(0.18)+(0.0060)+(0.06)+(0.147)+(0.0105)+(0.014)+(0.032) = 0.66 7.Tres urnas contienen respectivamente una bola blanca, dos negras; 2 blancas, una bola negra; 2 blancas y 2 bolas negras. De la primera urna se transfiere una bola a la segunda; después se transfiere una a la tercera urna y en seguida se extrae una bola de la tercera urna.¿Cuál es la probabilidad que este sea blanca?. Solución

3B 2N( 3 )= ( 1 ) ( 3 )( 3 )=( 3 ) 3 4 5 20 5 5 3 8 4

1b 3

1B 2N 12

3B 4N 4

1 4

0 3B 3N 2 1 1 2 2 5 ( 5 ) = ( 3 ) ( 4 )( 5 )=( 60 )

11

29

M.SC. WALTER VARELA ROJAS 2 10 3B

2B 2N 4

2 3

2 4

2N 3 ( ) = ( 2 )( 2 ) ( 3 )=( 1 ) 5 5 5 5 3 4

2 4

2B 3N 2 2 2 2 2 5 ( 5 )= ( 5 ) ( 4 )( 5 )=( 15 )

3 + 2 + 1 + 1 + 2 = 9 + 2 + 12 + 8 = 31 20 5 15 60 60 60 60 60 60 5 8.-

La urna U 1 contiene seis bolas blancas y 4 negras. La urna U 2 contiene 2 blancas y 2 negras.

Se transfieren dos bolas de la urna U 1 a la urna U 2 . A continuación, se extrae sin reemplazo una muestra de tamaño 2 de la urna U 2 . ¿ Cuál es la probabilidad que la muestra contenga exactamente una bola blanca?. Solución

2B 0N 4B 2N 6

C 26 C 04 C810

C 26 C 04 C810

6B 4N 10

C 06 C 24 C810

1B 1N

(0.33)(0.53) = 0.174

0B 2N

2B 4N 6

2B 0N

C14 C12 C 26

1B 1N

(0.153) (0.53) = 0.081

0B 2N

C16 C14 C810

2B 0N 3B 3N 6

C13 C13 C 26

1B 1N

(0.53)(0.6) = 0.318

0B 2N 30

M.SC. WALTER VARELA ROJAS

Luego: La muestra contiene exactamente una blanca :

0.17 + 0.08 + 0.31 = 0.563.

9.Considere una urna con 10 bolas de las cuales 5 son negras. Se elige al azar un entero n del conjunto {1,2,3,4,5,6},luego se selecciona una muestra de tamaño n sin reemplazamiento de la urna. Determinar la probabilidad que todas las bolas de la muestra sean negras. Solución Dado que todos tienen que ser negras y teniendo como espacio muestral  = {1,2,3,4,5,6} 1 Luego la probabilidad de tener una muestra de tamaño “n” es = 6

5 10 5 )( 4 ) n = 2 ➔ P(2) = ( 10 9 n = 1 ➔P(1) =

n = 3 ➔ P(3) = (

5 )( 4 )( 3 ) 10 9 8

= 0.5. = 0.222

= 0.08333

5 )( 4 )( 3 )( 2 ) 10 9 8 7 5 )( 4 )( 3 )( 2 ) n = 5 ➔ P(5) = ( 10 9 8 7 n = 4 ➔ P(4) = (

= 0.02380 = 0.003968

Luego: (0.1666)([(0.5) + (0.222) + (0.08333) + ( 0.02380) + ( 0.00396)] = 0.130 10.Ud. Escoge al azar uno de los números enteros del conjunto {1,2,3,4,}. Luego lanza un tetraedro regular cuyas caras están marcadas con los números 1,2,3,4 tantas veces indica el número que escogió. Calcular la probabilidad que el puntaje total obtenido en los lanzamientos sea igual a 4. Solución Tenemos A = {1,2,3,4,}=

1 y el tetraedro que 4

también tiene enumerado cuatro lados con 1,2,3,4

*

Si Sacamos saliera uno como muestra nuestra nuestra probabilidad es:

*

Para una muestra de 2:

1 2 3 4

1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

La linea nos indica que solamente e xiste •

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

3 (1,3) (2,3) (3,2) (4,3)

1 4

4 (1,4) (2,4) (3,3) (4,4)

3 16

Para una muestra de 3:

31

M.SC. WALTER VARELA ROJAS 3 ={111,112,113,114, 121, …123,124, …131…444}

4 64

Que sale una probabilidad de •

Para una muestra de 4 4 = {1111,1112, …………..4444} Que sale

una probabilidad de:

1 256 Luego:

1 1 4 3 ( + + 16 64 4 4

1 ) = 0.12 256

+

VARIABLES ALEATORIAS 37. El número de hijos por familia en una determinada región es una variable aleatoria X cuya función de probabilidad es. X

0

1

2

3

4

P[ X=x]

1/16

4/16

k

4/16

1/16

a) Calcular el valor de la constante k b) Si una familia tiene al menos dos hijos ¿Cuáles la probabilidad de que tenga 3 hijos? Solución

a)

1

4

4

1

 P = 6 + 16 + k + 16 + 16 = 1 x −0

i

=

10 10 + k =1  k =1− 16 16

k=

6 16

La probabilidad de que tenga al menos dos hijos será:

P  2  X  4 = P  2 + P 3 + P  4 b)

P  2  X  4 =

6 4 1 + + 16 16 16

P  2  X  4 =

11 16

La probabilidad de que tenga tres hijos dado que tiene al menos dos hijos es:

32

M.SC. WALTER VARELA ROJAS



38.

4 / 16 PX = 3 = = 4 / 11 P2  X  4 11 / 16

Una urna contiene 10 fichas de las cuales 4 son rojas y 6 blancas, se extraen 3 fichas al azar Determine la distribución de probabilidad del número de fichas rojas. Si se escogen: a)

Los 3 a la vez

b) Una por una sin restitución c)

Una por una con restitución

Solución a)

Casos que pueden salir alguna de las Fichas de color rojo

Rx= 0,1,2,3

C 310 Casos que pueden salir las 3 Fichas rojas a la vez

C k4 C 36− k

f (k ) = P  x = k  =

Ck4C36− k C310

f (o) = P  X = 0  =

C04C36 = 0.017 C310

f (1) = P  X = 1 =

C14C26 = 0.017 C310

C24C16 f (2) = P  X = 2 = 10 = 0.3 C2 f (3) = P  X = 3 =

C34C06 = 0.03 C210

X

0

1

2

3

P[ X=x]

0.017

0.017

0.3

0.03

b) Una por una sin restitución Rx = 0,1,2,3

P X = k =

Ck4C36− k C210

P X = k =

Ck4C36− k C210 33

M.SC. WALTER VARELA ROJAS c)

10 Fichas 4 rojas 6 blancas

La distribución de probabilidad del número de fichas rojas:

p=

4 6 ,q =  p + q =1 10 10

P X = 1 = C13 p 1 q 3−1

P X = 2 = C 23 p 2 q 3− 2 P X = 3 = C 33 p 1 q 3−3

 P X = k  = C k3 p k q 3− k 39.

Se venden 500 boletos de una rifa que consiste en un premio de $ 200, 4 premios de $ 50, y 10 premios de $ 5. Si cada boleto cuesta $ 1, y si usted adquiere un boleto a)

Hallar la función de probabilidad de la utilidad

b) Que probabilidad hay de ganar algún premio Solucion a)

X = x

Base

Precios

Utilidad

1

S/. 200

S/. 199

1/500

4

S/. 150

S/. 49

4/500

10

S/. 5

S/. 4

10/500

485

0

S/. –1

485/500

500

--

--

4.00

P

b) P (X=199) + P(X=49) + P (X=4) ==

40.

1 4 10 15 + + = = 0.03 500 500 500 500

Una urna contiene 3 fichas rojas y 5 azules un juego consiste en extraer una ficha sucesivamente con reposición si dos personas A y B juegan alternadamente extrayendo la ficha, hasta que ocurra una ficha azul ¿cuál es la probabilidad de que A gane el juego si el sale primero?

Solucion.

34

M.SC. WALTER VARELA ROJAS R: Fichas rojas A: Fichas Azules C: que gane el Jugador A

5 8 P (B)= 3/8

3R 5A 8 Fichas Sea x:

➔ P (A)=

El número de extracciones hasta obtener la primera Ficha Azul.

Siendo (k-1) el número de extracciones de las fichas rojas

 5  3  ➔ P (X-K) =     8  8 

K −1

K=1,2…. Etc.

P(c) = P(X=1) Ó P(X=3) Ó P(X=5) Ó ... etc. 2

4

 5   5  3   5  3  =   +    +    + ...  8   8  8   8  8 

9 27 9   5  64   5    5  =  1 + + + ... =   1 / 1 −  =    = 8 / 11 64   8  65   8  64 312   8  43 . Una urna contiene seis bolas numeradas del 1 al 6, se extraen al azar dos bolas, una después de la otra con reposición Sea X el menor de los dos números obtenidos a)

Encuentre la función de probabilidad de X

b) a partir de la distribución acumulada de X calcular P[ 2