• Author / Uploaded
• Alexa Cabanillas Llican

Citation preview

Universidad Tecnológica de Chile SEDE CALAMA

Aplicación de las Derivadas Razón de Cambio APUNTES Y EJERCICIOS

Guía de Apuntes y Ejercicios APLICACIÓN DE LA DERIVADA En esta unidad se proponen ejercicios tratando de que se valoricen la derivada de una función en un punto como indicador matemático de la rapidez instantánea de variación o tasa instantánea de variación de una función. En distintas disciplinas como Electricidad, Electrónica, Termodinámica, Mecánica, Economía, Biología, etc, resulta de importancia fundamental no sólo saber que determinada magnitud o cantidad varía respecto de otra, sino conocer cuán rápido se produce esa variación. De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen justamente como derivada de otra. Al respecto resulta importante entender con claridad el significado de lo que se llama “Interpretación geométrica de la derivada” donde se demuestra que la derivada de una función

en un punto

representa el coeficiente angular

de la recta tangente al gráfico representativo de la función en el punto

.

Se debe considerar que a la hora de resolver problemas de la realidad, aplicando modelos funcionales, nuestras funciones

representarán magnitudes o cantidades

que varían en función de otras magnitudes o cantidades a las cuales representará nuestra variable . Por ejemplo, si estás estudiando la variación en el tiempo de la energía

dada por un dispositivo de algún tipo, nuestra función

función energía

, nuestra variable

representarán los valores de

representará al tiempo

representará la y nuestras

.

En muchos fenómenos, incluso no es posible obtener una expresión analítica de la magnitud a estudiar, recurriéndose entonces a instrumentos adecuados para obtener su representación gráfica, procediéndose luego a la interpretación de la misma,

por

ejemplo,

en

los

electrocardiogramas,

sismogramas,

poligramas

(polígrafo o detector de mentiras ), etc.

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 1

Guía de Apuntes y Ejercicios APLICACI ÓN DE RAZÓN DE CAMBI O O VARIACIONES RESPECTO AL TIEMPO Si una variable x está en función del tiempo t, la variación de x en la unidad de tiempo viene dada por dx/dt. Cuando dos o más variables, todas funciones de t, están relacionadas por una ecuación, se puede obtener la relación entre sus variaciones derivando la ecuación con respecto a t. Ejemplo 1: Una escalera de 25 pie de longitud está apoyada contra una pared como muestra la figura. La base de la escalera se jala horizontalmente alejándola de la pared a 3 pie/seg. Suponga que se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a 15 pie de la pared. Solución: Paso 1: Primero defina las variables  t: tiempo transcurrido  x: distancia de la base de la escalera a la pared  y: distancia desde el piso al extremo de la escalera Paso 2: Escriba cualquier hecho numérico acerca de las variables   Paso 3: Escriba lo que se desea obtener 

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 2

Guía de Apuntes y Ejercicios Paso 4: Escriba una ecuación que relacione las variables x e y  Teorema de Pitágoras: Paso 5: Derive implícitamente la ecuación con respecto a t  Paso 6: Sustituya los valores conocidos en la ecuacuón y resuelva  Cuando  Entonces Paso 7: Escriba una conclusión  La parte superior de la escalera se desliza hacia a bajo sobre la pared a una velocidad de 2,25 pie/seg cuando la base está a 15 pie de la pared.

Ejemplo 2: Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m3/min hacia el interior de un depósito cuya forma es la de un cono invertido de 16 metros de altura y 4 metros de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta ha alcanzado 5 metros de profundidad? Solución: Paso 1: Primero defina las variables  t: tiempo transcurrido  h: altura del nivel del agua  r: radio de la superficie del agua  V: volumen de agua en el tanque

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 3

Guía de Apuntes y Ejercicios Paso 2: Escriba cualquier hecho numérico acerca de las variables    Paso 3: Escriba lo que se desea obtener  Paso 4: Escriba una ecuación que relacione las variables h e r  Volumen de un cono:  Como se desea obtener

, entonces se debe dejar la ecuación sólo en

función de :  Entonces el volumen queda: Paso 5: Derive implícitamente la ecuación con respecto a t  Paso 6: Sustituya los valores conocidos en la ecuacuón y resuelva  Cuando  Entonces Paso 7: Escriba una conclusión  El nivel del agua sube a una velocidad de 0,407 m/min cuando el agua ha alcanzado una profundidad de 5 metros. O bien se puede concluir,  El nivel del agua sube a una velocidad de 40,7 cm/min cuando el agua ha alcanzado una profundidad de 5 metros.

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 4

Guía de Apuntes y Ejercicios EJERCICIOS Desarrollar los siguientes enunciados: 1. De un embudo cónico sale agua a razón de 1 centímetro cúbico por segundo. Sabiendo que el radio de la base es de 4 centímetros y la altura de 8 centímetros, calcular el descenso del nivel en la unidad de tiempo en el instante en que la superficie libre se encuentra a una distancia de 2 centímetros de la base del embudo. 2. Se forma un montículo cónico de arena cuya altura es constantemente igual a los 4/3 del radio de la base. Calcular; (a) el incremento del volumen en la unidad de tiempo cuando el radio de la base es de 3 metros, sabiendo además que éste aumenta a razón de 25 cm cada minuto, (b) el incremento del radio en la unidad de tiempo cuando éste es de 6 metros y el volumen aumenta a razón de 24 metros cúbicos por minuto. 3. Un barco A navega hacia el sur a una velocidad de 16 millas por hora, y otro B, situado 32 millas al sur de A, lo hace hacia el este con una velocidad de 12 millas por hora. Calcular: (a) la velocidad a la que dichos barcos se aproximan o separan al cabo de una hora de haberse iniciado el movimiento, (b) Idem, después de dos horas; (c) el momento en que dejan de aproximarse y comienzan a separarse así como la distancia a que se encuentran en dicho instante. 4. Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2 centímetros cada segundo, mientras que los otros 2, se acortan de manera que la figura resultante, en todo momento, es un rectángulo de área constante e igual a 50 centímetros cuadrados. Calcular la variación en la unidad de tiempo del perímetro cuando la longitud de los lados extensibles es de : (a) 5 centímetros, (b) 10 centímetros, (c) calcular las dimensiones del rectángulo cuando el perímetro deja de disminuir.

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 5

Guía de Apuntes y Ejercicios 5. Sea el radio de una esfera en el instante t. Calcular dicho radio cuando su incremento en la unidad de tiempo es igual, numéricamente, al de la superficie. 6. Un peso W está unido a una cuerda de 50 metros de longitud que pasa por una polea situada a una altura de 20 metros con respecto al suelo. El otro extremo se la cuerda. se encuentra unido a un vehículo en el punto A, situado a una altura de 2 metros, como muestra la figura. Sabiendo que el vehículo se mueve a una velocidad de 9 metros segundo, calcular la velocidad a la que se eleva el cuerpo cuando se halle a una altura de 6 metros. 7. Un foco de luz está situado a una altura de H metros sobre la calle. Un objeto de h metros de altura se encuentra en el punto O justamente debajo del foco y se mueve en línea recta, a partir de esta posición inicial, a lo largo de la calle a una velocidad de v metros por segundo. Calcular la velocidad del extremo de la sombra sobre la calle al cabo de t segundos. 8. La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante

donde P es la presión, V el volumen y K una constante.

Si la presión está dada por la expresión:

, con P en cm de Hg,

t en seg; y el volumen inicial es de 60 cm3, determina la razón de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos. 9. Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el mar 100 m3 de petróleo. Calcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m si el espesor disminuye a razón de

en el instante en que

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

.

Página 6

Guía de Apuntes y Ejercicios 10.El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm2 por minuto . Calcula la rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm2. Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante. 11.Sean dos resistencias R1y R2 conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R cumple:

. Si R1 y R2 aumentan a razón de

y

respectivamente, calcula la razón de cambio de R cuando y

.

12.Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H está siendo llenada con líquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto. A medida que se produce el llenado el nivel del líquido en la tolva sube. Si R=2 m y H=3m:  ¿ Crees que ese nivel sube con velocidad constante? Justifica tu respuesta sin efectuar cálculos.  Calcula ahora esa velocidad, verifica tu respuesta anterior e indica el valor de la velocidad cuando la altura del líquido en la tolva es de 1,5 m. ¿Qué condición crees que debería cumplir el recipiente para que el nivel subiera a velocidad constante? Justifica mediante cálculo en el caso que el recipiente sea un cilindro recto circular. 13.Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante Q=100 litros/minuto. Suponiendo que la presión del gas es constante , calcula la velocidad con que está aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m. 14.La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano proveniente de un silo a razón de 0.5 m3 / min. El grano forma un cono circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la base. Calcula:

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 7

Guía de Apuntes y Ejercicios a. ¿A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m? b. ¿ Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad está variando? 15.Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslinga de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura, como indica la figura. Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, ( punto A), es arrastrado por un vehículo que se mueve hacia la derecha con velocidad v=20 km / hora y a una altura del piso de 1.50 m. La eslinga tiene una longitud de 50 m. Se pide: a) ¿A qué distancia del cuerpo estará el vehículo en el instante de iniciar la maniobra? b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y el vehículo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relación entre x y h. c) ¿ Cuál es la velocidad del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m? 16.Un foco de luz está colocado a una altura de H metros sobre el nivel del suelo. Una persona de altura h metros pasa por la vertical del foco moviéndose a velocidad velocidad constante u m / seg .a) Calcula la velocidad V con que se mueve el extremo A de su sombra, en función de H , h y u. b) ¿ Cuál es esa velocidad si el foco luminoso está situado a 4m del nivel de la calle, la persona mide 1.75 de altura y camina a una velocidad de 1 m / seg ? c) Supongamos ahora que una segunda persona camina acompañando a la anterior. Investiga si es posible que la velocidad del extremo de la sombra de esta segunda persona sea doble de la velocidad V de la primera .

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 8

Guía de Apuntes y Ejercicios

17.Un automóvil recorre una carretera rectilínea con movimiento uniforme cuya velocidad tiene módulo v , mientras un reflector colocado en el punto F a distancia d de la carretera lo ilumina constantemente, para lo cual se va girando sobre un eje. Tomando tiempo t=0 cuando el móvil pasa por el punto O y suponiendo que en un instante posterior t aquél ha recorrido una distancia x como se indica en la figura:  ¿Cuál es la relación entre el ángulo θ y la distancia x ?  Recordando que la velocidad angular de un movimiento circular es:

i) ¿Crees que el movimiento del reflector es circular uniforme? Busca una justificación sin realizar cálculos. ii) Encuentra la relación entre ω y x , bosqueja esa relación y verifica tu respuesta a la pregunta anterior.  Calcula

para

y

, siendo

y

.

 Recordando que el movimiento del vehículo es rectilíneo uniforme y por tanto

, encuentra la expresión de

.

 Siendo la aceleración angular del movimiento circular calcula esa aceleración 18.Una fábrica vende

para

y

.

miles de artículos fabricados cuando su precio es de

. Se ha determinado que la relación entre . Si el precio tasa de

,

del artículo es de

y

es:

y se incrementa a una

por semana , se pide:

 Calcular el número de artículos vendidos a 9 dólares.  ¿Con qué rapidez cambia la cantidad de unidades

, vendidas por

semana cuando el precio es de 9 dólares?

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 9

Guía de Apuntes y Ejercicios 19.Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol se supone que el mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura, siendo:

el radio de la base superior;

radio de la base inferior y que el volumen

el

la altura. Recordando

de un tronco de cono está dado

por la expresión:

, se

pide:  ¿Cuál es la rapidez de variación del volumen ,

y

incremento de

en el momento en que:

, si el incremento de

es de

es de

y el de h de

, el

?

20.Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario

de

monóxido de carbono CO2 en el aire, en partes por millón (ppm) , en una ciudad, está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguiente expresión: población en esa ciudad en siguiente:

. El aumento de

años se estima que está dado por la relación

en miles de habitantes. ¿Con qué rapidez está

variando la concentración de CO2 en esa ciudad dentro de 3 años? 21.Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de cono recto circular. La altura igual al radio

va variando manteniéndose constantemente

de la base. Cuando la altura es de

a razón de

ella está aumentando

. ¿Con qué rapidez está cambiando en ese instante

el volumen V de arena? 22.Un niño sostiene el manojo de hilo de una cometa a

del suelo. La

cometa se desplaza horizontalmente a una altura de

. Se pide que

calcules a qué velocidad debe el niño soltar hilo en el momento en que la cometa está a

de él si la velocidad de la cometa es de

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

.

Página 10

Guía de Apuntes y Ejercicios 23.Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de en una habitación donde la temperatura es de

y se deja

. Según la ley de

enfriamiento de Newton (calentamiento sería en este caso el término apropiado) la temperatura

de la bebida variará en el tiempo de acuerdo a

la expresión:

con

–

y

constantes.

 Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de , calcula las constantes

y .

 Bosqueja el gráfico de la función

para

y encuentra la expresión

de la rapidez instantánea de calentamiento de la bebida.  Encuentra el instante en que esa rapidez es máxima y el instante en que ella es la mitad de la máxima.  ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora? 24.La carga eléctrica Q que atraviesa la sección de un conductor está dada por la expresión:

siendo

y

constantes:

 Grafica Q en función de t en un período.  Recordando que la intensidad I de la corriente indica la rapidez con que varía la carga Q que atraviesa la sección del conductor, deduce de la gráfica de la parte anterior los instantes en que I es máxima y mínima.  Verifica con el cálculo tus respuestas a la parte anterior.  Calcula en qué instante la intensidad I en valor absoluto es la mitad del valor máximo. 25.Un estudio realizado durante una epidemia que se propagó entre los animales del rodeo vacuno de nuestro país mostró que el número de animales afectados,

días después de iniciado el brote, respondió a una

expresión del tipo:

, donde

y

constantes,

,donde

era el número total de animales del rodeo nacional.  Demuestra que la máxima velocidad de propagación de la enfermedad ocurrió cuando se infectó la mitad del rodeo.  Bosqueja la función n para

, y la función velocidad de propagación

. Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 11

Guía de Apuntes y Ejercicios

26.En una población de P habitantes se desea estudiar la velocidad de propagación de un rumor. Se adopta para ello un modelo matemático que indica que el número

de personas que en un instante

puede expresarse por la relación: horas y

han oído el rumor

con:

cte.,

,

en

en

 Si

, calcula el tiempo transcurrido para que el 60% de la

población conozca el rumor, y la velocidad de propagación del mismo en ese momento.  Grafica

para

e indica en qué momento la velocidad de

propagación del rumor es máxima.  Demuestra que el modelo matemático adoptado consistió en suponer que la velocidad de propagación del rumor fue proporcional al número de personas que en un instante 27.La población

todavía no lo habían oído.

de una colonia de bacterias con espacio y alimentos

ilimitados, varía con el tiempo de acuerdo a la expresión: y

constantes,

en horas y

 Si en el instante inicial cabo de

en

con

. la población era de

bacterias y al

la misma se duplicó, determina los valores de

 Bosqueja el gráfico de la función de la población en función de

, halla la velocidad

y

.

de crecimiento

y determina el instante de mínima

velocidad.  Calcula la población al cabo de

y la velocidad de crecimiento en

ese instante.  Demuestra que el modelo matemático adoptado para el estudio del problema consistió en suponer que la velocidad de crecimiento de la población en un instante fue proporcional al número de bacterias en ese instante.

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 12

Guía de Apuntes y Ejercicios 28.Un modelo matemático para estudiar la variación de la población mundial P ha supuesto que la misma está expresada por :

con P en

miles de millones de personas y t en años. En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad (nacimientos por año) y de mortalidad (defunciones por año). Tomando

en el año 1987:

 Bosqueja P como función de t para t ≥0.  Calcula la tasa de variación instantánea de la población en el año l987.  Calcula la población prevista para el año 2005 y la tasa de variación instantánea en ese año.  ¿ En qué tiempo se duplicaría la población existente en 1987 y cuando alcanzaría los 15.000 millones?  ¿Crees adaptado a la realidad este modelo matemático?  Demuestra que en este modelo la tasa instantánea de crecimiento en un instante t se ha supuesto proporcional a la población existente en ese instante, y que la constante de proporcionalidad vale 0.0278. 29.Considera el circuito de la figura donde una tensión constante de V voltios se aplica sobre una resistencia R (Ω) cerrando instantáneamente la llave S en el instante t=0. Se establece entonces en el circuito una corriente de intensidad I en Amperes. que está expresada por la ley de OHM:  Grafica

;

 Supongamos circuito

una

. que

ahora

bobina

de

agregamos

al

autoinducción

constante , de L Henrios, y repetimos la operación. La corriente que circula viene expresada ahora por:

, τ=L/R

en seg , I en Ampere, t en seg. Al valor (τ) se le llama “ CONSTANTE DE TIEMPO” del circuito.

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 13

Guía de Apuntes y Ejercicios  Bosqueja el gráfico de I(t),

. Deduce, comparando los

bosquejos de las partes a) y b) cual ha sido el efecto de introducir la bobina en el circuito.  Calcula la rapidez de variación de I(t) en t=0 y en t=τ .  ¿Cómo actuarías sobre las constantes del circuito para , sin variar el valor final de la corriente, lograr que ella aumente sus valores más rápidamente ? 30.Considera el circuito de la figura donde un condensador cargado de capacidad C (Faradios) y tensión inicial de V (voltios) entre sus placas, se descarga sobre una resistencia R ( Ω ). Al cerrar la llave S comienza a circular una corriente de intensidad I dada por la expresión: , (τ=RC constante de tiempo).

 Bosqueja I (t)  ¿ Cuál es el valor máximo de I (t) ?  Calcula la rapidez de variación de I en t = 0 y t = τ.  Encuentra qué porcentaje del valor máximo de I alcanza la corriente para t=τ.  ¿Cómo actuarías sobre los elementos del circuito para , sin variar el valor inicial de la corriente, lograr que ella disminuyera sus valores más rápidamente?

Aplicaciones de las Derivadas - Razón de Cambio

Página 14