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• Ian Aspée Ulloa

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

Programación lineal Aprendizaje esperado Resuelve un problema dado mediante el planteamiento y resolución de un sistema de inecuaciones lineales en forma gráfica determinando la región solución. Criterios de evaluación: Representan en forma gráfica la región solución de un sistema de inecuaciones lineales.

Recuerda: La región solución de un sistema de inecuaciones lineales puede ser no acotada o acotada (región representada por un polígono y su interior).

EJERCICIO RESUELTO: Determinar gráficamente la región del plano o conjunto solución correspondiente al siguiente sistema de inecuaciones lineales.

x  y 1 3 x  2 y  2 y4 10 x  3 y  15 DESARROLLO Primero se debe graficar el semiplano correspondiente a cada inecuación para luego intersectar los semiplanos y obtener el conjunto solución. i) Para x  y  1 , se grafica la recta asociada a la ecuación ( x  y  1 ). Esta recta divide al plano en dos semiplanos. Para determinar el semiplano solución se considera un punto perteneciente a uno de los semiplanos definidos y se evalúa en la inecuación. Consideramos el punto (0,0). Al evaluarlo se obtiene que:

0  0 1

0 1

Como este resultado es verdadero, pues 0 es menor que 1, el punto (0,0) pertenece al semiplano solución de la inecuación x  y  1 Por lo tanto, el semiplano solución es el que se ubica sobre la recta y que contiene al punto (0,0). En este caso, la recta se dibuja como una línea continua, pues está contenida en la solución (  ). La gráfica de la inecuación x  y  1 se muestra en la imagen 1.

Imagen 1

1

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas ii) Para la inecuación 3x  2 y  2 se grafica la recta asociada a la ecuación ( 3x  2 y  2 ), dividiéndose el plano en dos semiplanos. Para determinar el semiplano solución, se considera un punto perteneciente a uno de ellos y se evalúa en la inecuación. Considerando el punto  1, 1 , al evaluarlo se obtiene que:

3  1  2  1  2  3  2  2  5  2

Como se produce una contradicción, pues -5 no es mayor que -2, el semiplano solución es el que se ubica sobre la recta y que no contiene al punto (1, 1) . En este caso, la recta se dibuja como una línea continua, pues está contenida en la solución () . La gráfica de la inecuación 3x  2 y  2 se muestra en la imagen 2.

Imagen 2

iii) Para la inecuación y  4 se grafica la recta asociada a la ecuación ( y  4 ). Dividiéndose así el plano en 2 semiplanos. Para determinar el semiplano solución, se considera un punto perteneciente a uno de los semiplanos definidos y se evalúa en la inecuación. Considerando el punto 1,1 , al evaluar se obtiene que:

1 4 Como este resultado es verdadero, pues 1 es menor que 4, el punto (1,1) pertenece al semiplano solución de la inecuación y  4. En este caso, la recta se dibuja como una línea punteada, pues ésta no pertenece a la solución    . La gráfica de la inecuación y  4 se muestra en la imagen 3. Imagen 3

2

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas iv) Para la inecuación 10 x  3 y  15 se grafica la recta asociada a la ecuación ( 10 x  3 y  15 ), dividiéndose el plano en 2 semiplanos. Para determinar el semiplano solución, se considera un punto perteneciente a uno de los semiplanos definidos y se evalúa en la inecuación. Considerando el punto 1,1 y al evaluarlo se obtiene que:

10 1  3 1  15 10  3  15 7  15 Como este resultado es verdadero, pues 7 es menor que 15, el punto (1,1) pertenece al semiplano solución de la inecuación 10 x  3 y  15 . En este caso, la recta se dibuja como una línea punteada, pues esta no pertenece a la solución. La gráfica de la inecuación 10 x  3 y  15 se muestra en la imagen 4.

Imagen 4

Luego, la solución del sistema de inecuaciones lineales planteado es la región donde se intersectan todos los semiplanos solución obtenidos. Superponiendo todas las gráficas se obtiene la región acotada S, como se muestra en la imagen 5:

S: Conjunto solución del sistema

S

x  y 1

S

3 x  2 y  2 y4 10 x  3 y  15

Imagen 5

3

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS: Determina gráficamente la región del plano o conjunto solución para cada sistema indicando si es una región acotada o no acotada.

x0

x0 1.

4.

y0 2y  x  2 x y 3  42 x  5 y  21 32 x  21y  1  2 x  5 y  9 x2

2.

1  x  2 2y  x  4

3.

4 x  9 y  7 x0

y  2 x  10 3x  4 y  150 7 x  3 y  12

5 x  9 y  6 5.

y0

6.

91x  39 y  190 11x  2 y  9 143x  26 y  117

RESPUESTAS : 1. Región acotada

2. Región no acotada

3. Región no acotada

4. Región acotada

5. Región no acotada

6. Región no acotada

4

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Criterios de evaluación: Plantea un problema de programación lineal en un sistema de inecuaciones, identificando las variables de decisión, las correspondientes restricciones y la función objetivo. EJERCICIOS RESUELTOS: Problema de minimización Se requiere programar una dieta con dos alimentos X e Y. Cada unidad de alimento X contiene 250 calorías y 20 g de proteínas. La unidad de alimento Y contiene 300 calorías y 10 g de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1.200 calorías y 60 g de proteínas diarias. El precio de cada unidad de alimento X es $800 y $700 el de cada unidad de alimento Y. Identifica las variables de decisión, la función objetivo y las correspondientes restricciones para calcular cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo. DESARROLLO Para resolver este problema, identificamos que es un problema de minimización ya que se quiere minimizar el costo de la dieta que contenga cierto número de unidades de cada alimento. Se organiza la información en la siguiente tabla.

Calorías Proteínas Costo

Alimento X 250 20 800

Alimento Y 300 10 700

Mínimo 1200 60

El siguiente paso es identificar las variables de decisión x : Número de unidades del alimento X Sea y : Número de unidades del alimento Y De acuerdo con los datos del problema, la minimización del costo está dada por la optimización de la función objetivo siguiente:

F ( x, y)  800 x  700 y El conjunto de restricciones lineales para las variables x e y , está dado por el número de calorías y gramos de proteínas que contienen los alimentos.

250 x  300 y  1200 20 x  10 y  60

TIPS: Como la dieta requiere como mínimo 1200 calorías por eso utilizamos el signo . Lo mismo ocurre con las proteínas ya que la dieta requiere como mínimo 60 gr de proteínas utilizamos el signo .

5

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Además debe cumplirse que x  0 , y  0 , porque el número de unidades que se consumen no pueden ser negativos. Problema de maximización En una industria se fabrican dos artículos, A y B, los cuales deben pasar por los procesos P1, P2 y P3 para su elaboración. La fabricación del artículo A requiere de 6 horas en P1, 4 horas en P2 y ninguna en P3. En cambio, la fabricación del artículo B demora 5 horas en P1, 7 horas en P2 y 8 horas en P3. En los procesos P1, P2 y P3 se puede trabajar como máximo 40, 36 y 32 horas a la semana, respectivamente. Si la utilidad que se obtiene por cada artículo A es de $8.000 y por cada artículo B, de $26.000, se quiere determinar la cantidad óptima de producción semanal de cada artículo, para obtener una utilidad máxima. Identifica las variables de decisión, la función objetivo y las correspondientes restricciones para resolver el problema. DESARROLLO Para resolver este problema, identificamos que es un problema de maximización ya que se quiere la utilidad máxima al optimizar la producción de cada artículo. Se organiza la información en la siguiente tabla.

P1 P2 P3 Utilidad

A 6 4 0 8000

B 5 7 8 26000

Tiempo Máximo 40 36 32

Se identifican las variables de decisión x : Número de artículos A que se producirán. Sea y : Número de artículos B que se producirán. De acuerdo con los datos del problema, la maximización de la utilidad está dada por la optimización de la función objetivo siguiente:

F ( x, y)  8.000 x  26.000 y El conjunto de restricciones lineales para las variables x e y , está dado por el número de horas que requiere su elaboración. TIPS: P1 : 6 x  5 y  40 En este caso, como se puede trabajar como máximo 40 horas en P1, utilizamos el signo . P : 4x +7y  36 2

P3:

8 y  32

Lo mismo ocurre con los procesos P2 y P3. 6

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Además, debe cumplirse que x  0 , y  0 , porque el número de artículos que se fabricarán no pueden ser negativos. EJERCICIOS PROPUESTOS: Identifica las variables de decisión, la función objetivo y las correspondientes restricciones para resolver los siguientes problemas. 1. Una empresa elabora dos productos: A y B para fabricar cada unidad del producto A, se necesitan 2 obreros y 1 técnico; para cada unidad del producto B, 3 obreros y 3 técnicos. Se desea aprovechar el trabajo simultáneo de 18 obreros y 12 técnicos al menos. Si cada unidad del producto A, tiene un costo de $2.500, y cada unidad del producto B, un costo de $ 4.000, calcula la cantidad de cada artículo que se debe producir para que el costo sea mínimo. 2. Una camioneta tipo A puede transportar 5 cajas y 1 tambor, una del tipo B, 2 cajas y 1 tambor. Se quiere trasladar como mínimo 20 cajas y 7 tambores. El costo del flete es $20.000 para la camioneta tipo A y $9.000 para el tipo. Calcula cuántos viajes conviene hacer en cada camioneta para que el flete tenga un costo mínimo. 3. Una fábrica de conservas envasa salsa de tomates de dos tipos: A y B. la primera contiene 200 gramos de tomate y 25 gramos de carne por tarro, la segunda 150 gramos de tomate y 50 gramos de carne. Calcula cuántos tarros de cada uno deben fabricarse con 4 kilogramos de tomates y 1,25 kilogramos de carne si se quiere obtener el máximo número de tarros. 4. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 de vitamina B y 12 de vitamina C cada día. Hay dos productos en polvo P1 y P2 que por cada frasco contiene las siguientes cantidades de esas vitaminas

A

B

C

P1

4

1

4

P2

1

6

6

Si el precio de un frasco de P1 es de $5.000 y el de un frasco P2 es de $8.000, averigüe como deben mezclar ambos productos para obtener las vitaminas deseadas con el mínimo precio.

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas RESPUESTAS 1. Variables de decisión: x : cantidad de artículos A, y : cantidad de artículos B

2 x  3 y  18 Función objetivo: F  x, y   2500 x  4000 y

Restricciones:

x  3 y  12 x0 y0

2. Variables de decisión: x : cantidad de viajes camioneta tipo A, y : cantidad de viajes camioneta tipo A.

5 x  2 y  20

Función objetivo: F  x, y   20000 x  9000 y

Restricciones:

x y 7 x0 y0

3. Variables de decisión: x : número de tarros salsa A y : número de tarros salsa B

200x  150 y  4000 Función objetivo: F  x, y   x  y

Restricciones:

25x  50 y  1250 x0 y0

4. Variables de decisión: x : cantidad de P1 y : cantidad de P2.

4x  y  4 x  6y  6 Función objetivo: F  x, y   5000 x  8000 y

Restricciones: 4 x  6 y  12

x0 y0

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Criterios de evaluación: Determina la solución óptima del problema propuesto de una región solución dada en forma gráfica, comunicando su resultado de manera efectiva. Recuerda: En los problemas de programación lineal con dos incógnitas se pueden obtener los siguientes tipos de soluciones óptimas. Tipos de Soluciones Solución única Existe una única solución óptima en el problema propuesto.

Solución múltiple Existen infinitas soluciones que optimizan el problema.

Solución no acotada Hay una ausencia de solución óptima. La función objetivo no tiene valores extremos, pues la región factible es no acotada.

Ejemplo Solución única: el punto C.

Solución múltiple: los infinitos puntos situados en el segmento CD. Solución no acotada

Solución no factible No existe región factible por falta de puntos comunes en el sistema de ecuaciones.

Solución no factible

Solución degenerada Se llama solución degenerada si en un solo punto coinciden tres o más de las rectas que limitan la región factible.

Solución degenerada

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS RESUELTOS: i) Los vértices de un polígono son (0,0); (7,0); (6,5); (4,8); y (0,7). Determine el máximo de la función objetivo F ( x, y)  200 x  300 y , en la región factible determinada por el polígono y su interior. DESARROLLO Para resolver este ejercicio, primero se realiza la gráfica de la región factible en el plano cartesiano, la región está determinada por el polígono y su interior. Luego, para obtener el máximo de la función objetivo F ( x, y)  200 x  300 y se trazan rectas paralelas a la función objetivo. Utilizando rectas de la forma 200 x  300 y  k k R Podemos notar que cualquiera de ellas no es paralela a las rectas frontera de la región factible, por lo tanto basta evaluar la función objetivo en los vértices de esta región para obtener el punto que lo maximiza. Vértice

 0, 0   7, 0   6,5  4,8  0, 7 

Valor de la función objetivo

F  0,0   200  0  300  0  0

F  7,0  200  7  300  0  1.400 F  6,5  200  6  300  5  2.700 F  4,8  200  4  300  8  3.200 F  0,7   200  0  300  7  2.100

Por lo tanto, el máximo de la función objetivo se obtiene en el vértice  4,8  y su valor es 3.200 . En este caso la región factible es acotada y su solución es única.

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas ii) Los vértices de un polígono son A  1, 4  , B   2,5 , C   6, 4  , D   7, 2  , E   4,1 Determine el mínimo de la función objetivo F ( x, y)  3x  3 y , en la región factible determinada por el polígono y su interior.

DESARROLLO Al igual que el ejercicio anterior, primero se realiza la gráfica de la región factible en el plano cartesiano. La región está determinada por el polígono y su interior. Luego, para obtener el mínimo de la función objetivo F ( x, y)  3x  3 y se trazan rectas paralelas a la función objetivo. Utilizando rectas de la forma 3x  3 y  k

k R

Podemos notar que el segmento AE es paralelo a las rectas trazadas, por lo tanto, el mínimo no lo alcanza en uno de sus vértices sino que en los infinitos puntos del segmento AE . Veamos en la tabla Vértice

Valor de la función objetivo

B   2,5

F  2,5  3  2  3  5  21

C   6, 4 

F  6, 4   3  6  3  4  30

D   7, 2 

F  7, 2   3  7  3  2  27

E   4,1

F  4,1  3  4  3 1  15

A  1, 4 

F 1, 4   3 1  3  4  15

Observamos que el valor mínimo se toma en los puntos A y E y en todos los valores comprendidos en el segmento AE , por lo tanto, tiene infinitas soluciones. Para tener presente: Un problema de máximos no tiene solución si la región factible no está acotada superiormente, y un problema de mínimos no tiene solución si la región no está acotada inferiormente.

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Los vértices de un polígono son (14,0), (9,3), (6,7) y (0, 12). Encuentra el mínimo de la función objetivo F ( x, y)  10 x  12 y , si la región factible son los lados del polígono y su exterior en el primer cuadrante. 2. Los vértices de un polígono son  2,7  ;  7,9  ;  5, 4  ; 8,0  ;  2,1 . Encuentra el máximo de la función objetivo F ( x, y)  18x  16 y , si la región factible son los lados del polígono y su interior en el primer cuadrante. 3. Los vértices de un polígono son A  0,9  ; B  2,15 ; C  7,8 ; D 8,0  ; O  0,0  Encuentra el valor máximo de la función objetivo F ( x, y)  104 x  13 y , si la región factible son los lados del polígono y su interior en el primer cuadrante. 4. Los vértices de un polígono son A  0,17  ; B  2,7  ; C  7,1 ; D 13,0  ; O  0,0  Encuentra el valor máximo de la función objetivo F ( x, y)  10 x  5000 y , si la región factible son los lados del polígono y su exterior en el primer cuadrante.

RESPUESTAS: 1. El valor mínimo de la función objetivo es F (9,3)  126 . 2. El valor máximo de la función objetivo es F (9,3)  126 . 3. El valor máximo se obtiene en todo el segmento CD , por lo tanto tiene infinitas soluciones. 4. La región es no acotada superiormente por lo tanto no tiene valor máximo.

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Aprendizaje esperado Determina las restricciones de un problema de programación lineal modelado por un sistema de inecuaciones y con solución optima en forma grafica. Recuerda El resultado de un sistema de ecuaciones es el punto (x,y) donde se intersectan dos rectas. Teorema fundamental Si existe una solución que optimice la función objetivo, esta debe encontrarse en uno de los vértices de la región determinada por las restricciones del problema.

Criterios de evaluación: Determina la representación gráfica de la región solución y los puntos de optimización para la función objetivo. EJERCICIO RESUELTO La función objetivo de un problema de programación lineal es F ( x, y)  10 x  12 y y las restricciones para las variables son:

3 x  5 y  35 2 x  3 y  22 x  y  10 x0 y0 Determina gráficamente la región del plano que es conjunto solución del problema, los puntos de optimización, el máximo de la función y los valores x e y donde este se produce. DESARROLLO Para resolver el problema, primero se determina gráficamente la región solución del sistema de inecuaciones intersectando los semiplanos de cada inecuación. La región solución es el polígono que tiene por vértices los puntos O, A, B, C, D. Luego se determinan las coordenadas de los vértices de la región solución. 

El vértice A es el punto donde se intersecta la recta

x  y  10 con el eje x. Por lo tanto,

A  10,0 

13

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 

El vértice B es el punto donde se intersecta la recta x  y  10 con la recta 3x  5 y  35 Para obtener B se realiza el sistema de ecuaciones:

x  y  10 3x  5 y  35 

Luego, B   7,5 , 2,5

El vértice C es el punto donde se intersecta la recta 3x  5 y  35 con la recta 2 x  3 y  22 Para obtener C se realiza el sistema de ecuaciones:

3x  5 y  35

2 x  3 y  22 

Luego, C   5, 4 

El vértice D es el punto donde se intersecta la recta 3x  5 y  35 con el eje y. Por lo tanto,

D   0, 7  

El vértice O es el punto (0,0) ya que se encuentra en el origen.

Según el teorema que se muestra en el recuadro, los vértices de la región objetivo son los puntos que optimizan la función, en el caso del ejercicio el máximo se encuentra en uno de los vértices.

Evaluando cada vértice en la función objetivo F  x, y   10 x  12 y

Vértice

Valor de la función objetivo

A  10,0 

F 10,0   10 10  12  0  100

B   7,5 , 2,5

F  7,5 , 2,5  10  7,5  12  2,5  105

C   5, 4 

F  5, 4   10  5  12  4  98

D   0, 7 

F  0,7   10  0  12  7  84

O   0, 0 

F  0,0   10  0  12  0  0

Por lo tanto, el máximo de la función objetivo se obtiene en el vértice B   7,5 , 2,5 y su valor es 105.

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS 1. La función objetivo de un problema de programación lineal es F ( x, y)  480 x  420 y  250 y las restricciones para las variables son:

6 x  6 y  108 128  4 y  8 x x0 3 x  9 y  108 y0 Determina gráficamente la región del plano que es conjunto solución del problema determina el máximo y el mínimo de la función y los valores x e y donde estos se producen. 2. Determina gráficamente la región solución y encuentra el punto que maximiza la función objetivo F  x, y   2 x  y , en la región solución dada por las desigualdades:

x  y  10 x y 3 x 3. Determina gráficamente la región solución y encuentra el punto que minimiza la función objetivo F  x, y   15x  6 y , en la región solución dada por las desigualdades:

x0 y0 2x  y  9 x y 7 4. Determina gráficamente la región solución y encuentra el punto que minimiza la función objetivo F  x, y   23x  45 y , en la región solución dada por las desigualdades:

x0 y0 5 x  2 y  80 5 x  3 y  110 x  y  30 x  4 y  60

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas RESPUESTAS

 0,0 ; 16,0 ;  0,12 ; 14, 4 ; 9,9 , máximo es F 14, 4   8.150 y el valor mínimo es F  0,0   250 . 1. La región solución es el polígono de vértices

el valor

2. La región solución es la región interior al triángulo de vértices  3,3 ;  3,7  ;  5,7  , el valor máximo es F  5,7   17 . 3. La región solución es la región en el primer cuadrante exterior al polígono de vértices

 0,0 ;  0,9 ;  2,5 ;  7,0  , el valor mínimo es F  0,9  54 . 4. La región solución es la región en el primer cuadrante exterior al polígono de vértices

 0,0 ;  0, 40 ;  4,30  ; 10, 20  ;  20,10  ; 60,0  , el valor mínimo es F  20,10  910

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Criterios de evaluación: Resuelve problemas de programación lineal mediante el método grafico. EJERCICIO RESUELTO Una dieta puede contener alimentos A y/o B. El alimento A contiene 5, 3 y 1 unidades de carbohidrato, proteínas y vitaminas por kilogramo, respectivamente; en tanto que el alimento B contiene 2, 2 y 4 unidades, respectivamente, de los productos indicados. Si una persona necesita un mínimo de 15 unidades de carbohidratos, 12 unidades de proteínas y 12 unidades de vitaminas mensuales, calcula el número de kilogramos de cada alimento que deben comprarse al mes para minimizar el costo de la dieta, sabiendo que el costo de A es $ 1.500 y el de B $700 el kilogramo. DESARROLLO Para resolver este problema, identificamos que es un problema de minimización ya que se requiere el costo mínimo de la dieta al optimizar la cantidad de cada alimento. Se organiza la información en la siguiente tabla.

carbohidratos proteínas vitaminas Costo

A

B

5 3 1 $1.500

2 2 4 $700

Unidades mensuales mínimas 15 12 8

Se identifican las variables de decisión Sea

x : Número de kilogramos del alimento A. y : Número de kilogramos del alimento B.

De acuerdo con los datos del problema, la minimización del costo está dada por la optimización de la función objetivo siguiente:

F ( x, y)  1.500 x  700 y El conjunto de restricciones lineales para las variables x e y , está dado por las unidades mensuales de carbohidratos, proteínas y vitaminas que necesita cada persona.

5x  2 y  15 3x +2y  12 x  4y  8

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Además debe cumplirse que x  0 , y  0 , porque el número de kilogramos que se consumen no puede ser negativo. Ahora, se determina gráficamente la región factible S, tal como se muestra en la imagen.

S

Luego, se determinan las coordenadas de cada vértice de la región factible. 

El punto A es el punto donde la recta 5x  2 y  15 intersecta al eje y, es decir, cuando

x0 y 

15  15  , por lo tanto A   0,  . 2  2

El punto B se obtiene de la intersección de las rectas 5x  2 y  15 y Realizando el sistema.

3x  2 y  12

5 x  2 y  15 Obtenemos que el punto B   3 , 15    2 4  3x  2 y  12 

El punto C lo obtenemos de la intersección las rectas 3x  2 y  12 y x  4 y  8 Realizando el sistema.

3x  2 y  12  16 6  Obtenemos que el punto C   ,  x  4y  8  5 5 

El punto D es el punto donde la recta x  4 y  8 intersecta al eje x, es decir, cuando

y  0 x  8 , por lo tanto D  8, 0  .

18

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Basados en el teorema fundamental, se remplazan los valores  x, y  de cada vértice en la función objetivo. Vértice

Valor de la función objetivo

 15  A   0,   2  3 15  B ,  2 4   16 6  C  ,   5 5

15  15  F  0,   1.500  0  700   5.250 2  2 3 15  3 15  F  ,   1.500   700   4.875 2 4 2 4  16 6  16 6  F  ,   1.500   700   5.640 5 5  5 5

D  8, 0 

F 8,0  1.500  8  700  0  12.000

Luego, seleccionamos el vértice que optimiza el problema.

 3 15   , ya que, el costo en este punto es el mínimo, 2 4 

El vértice que optimiza el problema es B   ,

siendo este de $4.875. Por lo tanto, el número de kilogramos que deben comprarse al mes son 1,5 del alimento A y 3,75 del alimento B.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un agricultor tiene que plantar árboles de dos clases A y B, en un terreno de 4.400 m². para un árbol A se necesitan 25m² de terreno y 30 unidades de agua al año. El árbol B requiere de 40 m² de terreno y 15 unidades de gua. Se dispone de 3.300 unidades de agua al año. Calcula el número de árboles que debe plantar de cada clase si quiere maximizar la producción de fruta, sabiendo que la producción de árboles A es 1,5 veces la de los de la clase B. 2. Una empresa fabrica dos artículos, P y Q, que se elaboran usando dos máquinas A y B. el artículo P requiere de 3 horas de uso de la máquina A y una hora de la máquina B. el articulo Q demora una hora en la máquina A y 2 horas en la máquina B. la ganancia por artículo es de $1.900 y $1.300 respectivamente. Calcula la cantidad de artículos P y Q que se deben producir para que la ganancia sea máxima, si la máquina a puede trabajar hasta 12 horas diarias y la B, 14 horas 3. Un pastelero dispone de 150 Kg de harina, 22 Kg de azúcar y 27,5 Kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles “pop” y “sup”. Para fabricar una docena de pasteles de tipo “pop” necesita 3 Kg de harina, 1 Kg de azúcar y 1 Kg de mantequilla, y para hacer una docena de pasteles tipo de tipo “sup” necesita 6 Kg de harina, ½ Kg de azúcar y un 1Kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de pasteles de tipo “pop” es de $2.000 y por una docena de pasteles de tipo “sup” es de $3.000. Hallar el número de docenas que tiene que fabricar de cada clase para que las ganancias sea máxima. 19

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 4. Un colegio va a realizar un paseo. En total participarán 400 personas entre alumnos y profesores, al llamar a una empresa de transportes obtienen la siguiente información: la empresa dispone de 8 buses de 40 asientos y 10 buses con 50 asientos. Para el día del paseo habrá 9 choferes disponibles. El costo de arriendo es de $ 30.000 por cada bus de 40 asientos y de $40.000 por cada bus de 50 asientos. Antes de contratar los buses, el director del colegio decide analizar cuantos buses de cada tipo les conviene arrendar para que el arriendo resulten los más económicos.

RESPUESTAS 1. El máximo de la función objetivo se obtiene en ( A, B)  (80,60) . 80 árboles A y 60 árboles B. 2. El máximo de la función objetivo se obtiene en el punto  P, Q    2,6  , 2 artículos en P y 6 en Q. 3. El máximo de la función objetivo se obtiene en  5 , 22,5 , 5 docenas de clase “pop” y 22 docenas y media de clase “sup” 4. Lo más conveniente es 5 buses de 40 asientos y 4 buses de 50 asientos.

20

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Aprendizaje esperado Resuelve problemas de programación lineal en procesos productivos de optimización, típicos de la especialidad, utilizando el método simplex y comunicando sus resultados de manera efectiva.

Criterios de evaluación: Traslada a una tabla inicial simplex las variables, restricciones y función objetivo del problema propuesto, de manera precisa y ordenada. EJERCICIO RESUELTO: Trasladar a una tabla simplex las variables, restricciones y función objetivo en el siguiente caso: Función objetivo: Sujeto a

:

Para utilizar el método simplex, la función objetivo queda: (Ecuación Objetivo) Las restricciones son: Dos variables de holgura x5 y x6; debido a que hay dos inecuaciones .Las cuales se transforman a ecuaciones

De esta forma, los coeficientes de las variables se ordenan en la siguiente tabla inicial simplex, de la cual saldrá la solución, esta es: x1 2 3 -1

x2 3 1 -2

x3 1 -4 1

x4 -1 5 -5

x5 1 0 0

x6 0 1 0

z 0 0 1

T.L. 8 9 0

Coeficientes de la 1° ecuación

Coeficientes de la 2° ecuación Coeficientes función objetivo

Observación: T.L. hace referencia a los términos libres de cada ecuación.

EJERCICIOS PROPUESTOS: Trasladar a una tabla simplex las variables, restricciones y función objetivo, en cada caso: 21

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas a) Función objetivo:

Sujeto a

c) Función objetivo:

:

Sujeto a

:

b) Función objetivo: d) Función objetivo: Sujeto a

: Sujeto a

:

RESPUESTAS: a)

x 1 1 -10

y -2 1 -12

u 1 0 0

v 0 1 0

z 0 0 1

T.L. 0 60 0

x1 1 2 -1

x2 1 1 -3

x3 4 3 -2

u 1 0 0

v 0 1 0

z 0 0 1

b)

c)

d) T.L. 6 4 0

x 1 2 5 -4

y 1 3 8 3

u 1 0 0 0

v 0 1 0 0

w 0 0 1 0

z 0 0 0 1

T.L. 3 12 40 0

x1 1 0 -1

x2 1 0 -1

x3 2 1 0

u 1 0 0

v 0 1 0

z 0 0 1

T.L. 4 1 0

22

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Criterios de evaluación: Realiza iteraciones de la tabla inicial simplex en problemas propuestos, señalando el tipo de solución óptima. EJERCICIO RESUELTO: Maximizar: Sujeto a

:

Para utilizar el método simplex, la función objetivo queda: (Ecuación Objetivo) Y las restricciones: Dos variables de holgura x5 y x6 ; debido a que hay dos inecuaciones que se transforman a ecuaciones.

De esta forma, los coeficientes de las variables se ordenan en la siguiente tabla inicial simplex, de la cual saldrá la solución, esta es:

x1 2 3 -1

x2 3 1 -2

x3 1 -4 1

x4 -1 5 -5

x5 1 0 0

x6 0 1 0

z 0 0 1

T.L. 8 9 0

Coeficientes de la 1° ecuación Coeficientes de la 2° ecuación Coeficientes función objetivo

Procedimiento para encontrar la solución óptima: i. Elección de la columna, fila y elemento pivote: La columna pivote es la que contiene el menor valor negativo de la fila que tiene los coeficientes de la ecuación objetivo, esta corresponde a la variable de entrada, si llegan haber dos valores iguales, se elige uno de ellos. En este caso la columna pivote es:

23

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Columna pivote, ya que tiene el menor valor de los coeficientes de la fila que representa la función objetivo

x1 2 3 -1

x2 3 1 -2

x3 1 -4 1

x4 -1 5 -5

x5 1 0 0

x6 0 1 0

z 0 0 1

T.L. 8 9 0

Coeficientes de la 1° ecuación Coeficientes de la 2° ecuación Coeficientes función objetivo

La fila pivote se obtiene dividiendo cada término libre con el valor correspondiente a la columna pivote, sin considerar los coeficientes negativos ni cero. Esta fila estará representada por el menor valor obtenido en la división. En esta fila se encuentra el elemento de salida. En este caso la fila pivote es la segunda, ya que las otras dos son negativas y no se consideran, como lo indica la siguiente tabla: X4 es la variable de entrada

X4 es la variable de salida

x1 2 3 -1

x2 3 1 -2

x3 1 -4 1

x4 -1 5 -5

x5 1 0 0

x6 0 1 0

z 0 0 1

T.L. 8 9 0

Coeficientes de la 1° ecuación Coeficientes de la 2° ecuación Coeficientes función objetivo

El elemento pivote se ubica en la intersección de la columna y fila pivote, en este caso es el valor 5, como lo indica la tabla. ii. Generación de una nueva tabla: El elemento pivote debe ser igual a 1. Por ende se divide la fila pivote por 5 para dejarlo en valor igual a 1. x1 2

x2 3

x3 1

x4 -1 1

x5 1 0

x6 0

z 0 0

T.L. 8

-1

-2

1

-5

0

0

1

0

iii. Eliminación con el elemento pivote: Se multiplica la fila pivote (si fuera necesario), cada vez por un número, tal que al sumar sus elementos con cada una de las otras filas (incluyendo la fila objetivo), se obtengan sólo ceros en los otros elementos de la fila pivote. En este caso el procedimiento es el siguiente: 

Para convertir el valor -1, ubicado en la fila 1 (f1) en cero, utilizando el elemento pivote ubicado en la fila 2 (f2) , basta con sumar ambas filas y reasignar los nuevos valores en la fila1.

24

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 

Para convertir el valor -5 ubicado en la fila 1 (f3) en cero, utilizando el elemento pivote ubicado en la fila 2 (f2) el cual se multiplica por 5 y luego se suman ambas filas y reasignar los nuevos valores en la fila3, es decir: Observación: Siempre utilizando la primera tabla y no los nuevos valores obtenidos. A partir de la tabla: x1

x2

x3

x4

x5

x6

2

3

1

-1 1

1 0

0

0 0

z

8

T.L.

-1

-2

1

-5

0

0

1

0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

1

0

1

0

0

0

0

Se genera: f1 = f 2 + f 1

f3 = 5∙f2 + f3

2

-1

-3

Quedando:

1

z

1

T.L.

9

X4 es la variable de entrada

x1

x2

x3

X4 es la variable de salida

2

-1

-3

x4

x5

0

1

x6

0

1

0

0

0

0

1

z

1

T.L.

9

El proceso se repite con la nueva tabla, hasta que se obtenga una tabla con los coeficientes asociados a las variables de la función objetivo, todos positivos. Por lo tanto se vuelve a elegir una columna pivote y fila pivote. En la columna, se elige la que este relacionado con el menor elemento negativo de la fila con los coeficientes de la ecuación objetivo, en este caso es -3, que a su vez genera un nuevo elemento de entrada en la tercera columna. Luego la fila pivote se elige dividiendo el término libre por cada término que no sea negativo ni cero, en este caso es la fila 1, que a su vez entrega la nueva variable de salida. La intersección de la columna con la fila, entrega como resultado el elemento pivote que en este caso es:

, como lo

indica la tabla:

25

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas X4 es variable de entrada

X3 es variable de entrada

x4

x5

X3 es variable de salida

x1

0

1

0

X4 es variable de salida

1

0

0

0

0

2

x2

x3

-1

-3

x6

1

z

1

T.L.

9

Se procede gestionando que el elemento pivote se transforme a 1, en este caso multiplicando toda fila 1 por 5, es decir: X3 es variable de entrada

X3 es variable de salida

x1

x2

13

16

2

-1

x3

X4 es variable de salida

-3

X4 es variable de entrada

x4

x5

x6

0 1

5 0

1

0 0

z

49

T.L.

0

0

1

1

9

A partir de esta tabla se convierten en ceros los elementos ubicados en la columna pivote, utilizando este como medio el elemento pivote, es decir: X4 es variable de entrada

X3 es variable de entrada

X3 es variable de salida

x1

x2

13

16

x3

X4 es variable de salida

2

-1

-3

x4

x5

x6

0 1

5 0

1

0

0

1

z

T.L.

0 0

49

1

9

f 2 = f 1 + f2 f3 = 3∙f1 + f3

Resultando la tabla: X4 es variable de entrada

X3 es variable de entrada

X3 es variable de salida X4 es variable de salida

x1

x2

x3

x4

x5

x6

z

T.L.

13 11 41

16 13 47

0 0

0 1 0

5 4 15

1 1 4

0 0 1

49 41 156

El proceso finaliza, ya que los coeficientes de la fila de la función objetivo son todos positivos. Entonces para maximizar la función en 156, se debe cumplir que:

26

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

Son las variables de salida, éstas se asocian a los valores de la tabla con respecto a la columna de los términos libres.

EJERCICIOS PROPUESTOS: a) Maximizar:

Sujeto a

d) Maximizar:

:

Sujeto a

:

b) Maximizar:

Sujeto a

:

c) Minimizar:

Sujeto a

:

27

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

RESPUESTAS: a) Se maximiza en 380, para ello x = 10 ; y = 30 b) No tiene solución óptima. c) Se minimiza en 4 con x1= 0, x2 = 0, x3 = 4 d) No tiene solución óptima.

Criterios de evaluación: Resuelve problemas de optimización en el contexto productivo de la especialidad mediante el método simplex, comunicando resultados de manera efectiva. EJERCICIO RESUELTO: “ U n a co m p a ñ í a f a b r i c a d o s m o d e lo s de to rr e s p a r a co m p u t a do ra s T 1 y T 2 . P a ra s u f a b r i c a c ió n s e n e ce s i t a u n t r a b a jo m a nu a l d e 2 0 m i n u to s p ar a e l m o d e lo T 1 y d e 3 0 m i n u t o s p a r a e l T 2 ; y u n t r a b a j o d e m á q u i n a d e 2 0 m i nu t o s p a r a T 1 y d e 1 0 m i n u to s p a r a T 2 . S e d i s p o n e p a r a e l t r a b a j o m a n u a l d e 1 0 0 h o ra s a l a s e m a n a y p a r a l a m á q u i n a 8 0 h o r a s s em a n a l e s . S a b i e n d o qu e u t i l i d a d p o r u n i d a d e s d e $ 1 . 5 0 0 y $ 1 . 0 0 0 p a r a T 1 y T 2 , r e s p e c t iv am e n te, p l a n i f i c a r l a p r o d u c c i ó n p a r a o bt en e r e l m á x im o b e n e f ic i o po r s em a n a .

DESARROLLO: Se definen las variables del problema: x: Cantidad de torres T1. y: Cantidad de torres T2. La función objetivo es: 28

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

Las restricciones son: Las restricciones se trabajan en minutos.

Para utilizar el método simplex, la función objetivo queda como: (Ecuación Objetivo) Las restricciones son: Dos variables de holgura u y v ; debido a que hay dos inecuaciones que se transforman a ecuaciones.

Como los coeficientes son todos divisibles en 10, se pueden reducir estos coeficientes, dividiendo en 10 cada ecuación. Resultando:

De esta forma, los coeficientes de las variables de cada ecuación, se ordenan en la siguiente tabla inicial simplex, de la cual saldrá la solución, la tabla es la siguiente:

x 2 2 -1500

y 1 3 -1.000

u 1 0 0

V 0 1 0

z 0 0 1

T.L. 2.400 3.000 0

Coeficientes de la 1° ecuación Coeficientes de la 2° ecuación Coeficientes función objetivo

i. Elección de la columna, fila y elemento pivote: La columna pivote es la que contiene el menor valor negativo de la fila que contiene los coeficientes de la ecuación objetivo, en este caso es la primera columna, la cual genera una variable de entrada.

29

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas ii. La fila pivote se obtiene se obtiene dividiendo cada término libre con el valor correspondiente a la columna pivote, sin considerar los coeficientes negativos ni cero, esta fila estará representada por el menor valor obtenido en la división. En este caso es la primera fila, la cual genera una variable de salida. iii. Elemento pivote: Corresponde al valor de la intersección de la columna pivote con la fila pivote, en este caso el 2, como se muestra en la tabla.

x es variable de entrada

x es variable de salida

x 2 2 -1500

y 1 3 -1.000

u 1 0 0

v 0 1 0

z 0 0 1

T.L. 2.400 3.000 0

Coeficientes de la 1° ecuación Coeficientes de la 2° ecuación Coeficientes función objetivo

Luego se cambia el valor del elemento pivote en 1, dividiendo la fila pivote en 2 y resultando una nueva tabla, como se indica a continuación: x es variable de entrada

x 1

x es variable de salida

2 -1500

y

u

-1.000

0 0

v 0

z 0

T.L. 1.200

0

0 1

3.000 0

Ahora los valores de la columna pivote deben ser transformados a ceros, utilizando el elemento pivote y trabajando a nivel de las filas, es decir: x es variable de entrada

x es variable de salida

x 1 0 0

y

u

-250

-1 750

v 0

z 0

0

0 1

T.L. 1.200 600 1.800.000

f2 = f3 =

∙f1 + f2 ∙f1 + f3

30

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Como aún existen valores asociados a la función objetivo negativos, se repite el proceso eligiendo una columna pivote, asociada al menor valor de los coeficientes relacionados con la función objetivo, en este caso es la segunda columna, la cual genera una variable de entrada, de donde se obtendrá la fila pivote, dividiendo cada elemento de la columna pivote por los valores del término libre, se ésta fila saldrá una variable de salida. Como se indica a continuación:

x es variable de entrada

y es variable de entrada

x 1

x es variable de salida y es variable de salida

0 0

y

u

-250

-1 750

v 0

z 0

T.L. 1.200

0

0 1

600 1.800.000

El elemento seleccionado corresponde al pivote, el cual debe transformarse en cero, dividiendo la segunda fila en dos, de esta forma se genera una variable de entrada y salida como se indica en la siguiente tabla: y es variable de entrada

x es variable de entrada

y

x es variable de salida

x 1

y es variable de salida

0

1

0

-250

u

v 0

z 0

T.L. 1.200 300

750

0

0

1.800.000

Ahora los valores de la columna pivote deben ser transformados a ceros, utilizando el elemento pivote y trabajando a nivel de las filas, es decir: y es variable de entrada

x es variable de entrada

x es variable de salida

x 1

y 0

0

1

0

0

U

v

z 0

T.L. 1.050

0

300

0

1.875.000

y es variable de salida

625

125

f1 =

f2 + f1

f Escriba aq í la ec ación f3 =

∙f2 + f3

De esta manera se termina el proceso, ya que, los valores de la última fila son todos positivos. Por lo tanto se deben fabricar 1050 torres del tipo T1 y 300 torres del tipo T2, para obtener una ganancia máxima de $1.875.000 semanalmente. 31

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS: a) Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 pesos. Por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? b) Un comerciante planea vender dos modelos de computadora al precio de 250 y 400 dólares, respectivamente. El modelo de 250 dólares produce una ganancia de 45 dólares y el de 400, una ganancia de 50 dólares. El comerciante estima que la demanda mensual no será superior a 250 unidades. Determinar el número de unidades de cada modelo que es necesario tener en existencia para maximizar la ganancia. Suponga que el comerciante no desea invertir más de 70.000 dólares en inventario de computadoras.

c) Una cooperativa agrícola mezcla dos marcas de alimento para ganado. La marca X cuesta 25 dólares por saco y contiene 2 unidades del nutriente A, 2 unidades del nutriente B y 2 unidades del nutriente C. La marca Y cuesta 20 dólares por saco y contiene 1unidad del nutriente A , 9 unidades del nutriente B y 3 unidades del nutriente C. Encontrar el número de sacos de cada marca que deben mezclarse para producir una mezcla que tenga un costo mínimo por saco. Los requerimientos mínimos de nutrientes A, B y C son 12 unidades, 36 unidades y 24 unidades respectivamente.

d) Un fabricante desea maximizar la ganancia de dos productos. El primero produce una ganancia de 1,5 dólares por unidad y el segundo una ganancia de 2,0 dólares por unidad. Pruebas de mercado han dado como resultado que el nivel de producción combinado no debe exceder de 1.200 unidades mensuales. La demanda del producto 2 es menor o igual que la mitad de la demanda del producto 1. El nivel de producción del producto 1 es menor o igual que 600 unidades más tres veces el nivel de producción del producto 2. RESPUESTAS: a) 50 de A y 100 de B. b) La ganancia máxima es de 11.500 dólares cuando se tienen en existencia 200 unidades del modelo que cuesta 250 dólares y 50 unidades del modelo de 400 dólares. c) El costo mínimo es de 195 dólares cuando se mezclan 3 sacos de la marca X y 6 sacos de la marca Y. d) La ganancia máxima es 2.000 dólares y ocurre cuando la producción mensual consta de 800 unidades del producto 1 y 400 unidades del producto 2. 32