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Métodos de las diferencias Finitas.

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MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS, APLICACIÓN EN CAMPOS ELECTRICOS

Resumen—Este documento presenta una explicación sobre la aplicación de un método numérico en la carrera de ingeniería eléctrica, el cual se llama el método de las diferencias finitas, enfocándose principalmente en la distribución del potencial en el campo eléctrico en un espacio determinado, para entender mejor dicha aplicación se recurrirá a la teoría de los campos eléctricos, que se describirá cortamente; para esto se realizara un ejemplo ilustrativo, en el cual se aplicara el método de las diferencias finitas, y se dará una breve explicación de la historia, el funcionamiento del método además de su importancia. Dicho ejemplo se resolverá principalmente en Excel y posteriormente se dará una pequeña idea de cómo se utilizaría el software libre scilab dando el algoritmo que resuelve el problema.

de este concepto es necesario el estudio y definición de otras dos variables Intensidad de Campo (E) y Densidad de Campo (D). La Intensidad de Campo se define como el vector fuerza sobre cada unidad de cargas positiva de prueba, Matemáticamente se define como la ecuación (1); la Densidad de Campo eléctrico se reacciona con el flujo eléctrico en un cuerpo, ya que esta son las líneas de campo que atraviesan un superficie lo cual se observa en la ecuación (2).

Índice de Términos— campo eléctrico, diferencia de potencial, diferencia finita, gradiente de potencial.

De estas ecuaciones (1) y (2) se puede inferir que en la presencia de un campo eléctrico siempre existe una fuerza y que cada carga eléctrica se asocia a dicho campo, lo cual por su naturaleza no se puede observar con facilidad, aunque si puede ver sus efectos sobre los objetos a su alrededor.

Abstract: This document presents an explanation on the implementation of a method numeric electrical engineering degree, which is called the method finite differences, focusing mainly on the distribution of potential in the electric field in a given area, to better understand it applies to resort to electric field theory, which describe shortly, this was done for an illustrative example, in which applied the method of finite differences, and gives a brief explanation of the history, method performance as well as its importance. This example will be resolved primarily on Excel and then there will be a small notion of how you would use the free software Scilab giving the algorithm that solves the problem. I. INTRODUCCIÓN N ESTE ARTÍCULO SE PRESENTARÁ UN MÉTODO DE GRAN APLICACIÓN EN EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS YA QUE PROPORCIONA UNA APROXIMACIÓN A LA DISTRIBUCIÓN DEL POTENCIAL EN LOS CAMPOS ELÉCTRICOS CIRCUNDANTES EN UN ESPACIO. EL campo eléctrico se define como un campo

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físico que es representado mediante un modelo que describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturaleza eléctrica [1]. Para el análisis

Pero estas variables no son muy comunes ya que hablar de la intensidad y la densidad no es lo habitual en los campos eléctricos, ya sea por su dificultad para hallar o su problema para medir con algún instrumento, por esto se habla de la diferencia de potencial eléctrico o tensión, la cual está definida como el trabajo que realiza una carga para desplazarse dentro de un campo eléctrico, lo cual se ve en la ecuación (3). Esta tensión está dada por Voltios (V), unidad de la diferencia de potencia, que si son comunes en el entorno ingenieril y fáciles de medir, el potencial en cualquier punto es la diferencia de potencial o tensión entre ese punto y un punto elegido como referencia en el que el potencial sea cero [2].

En la figura 1 se puede observar como una carga distribuye su intensidad de campo eléctrico radialmente, seguidamente se introduce una carga, la que interactúa con la primera oponiéndose a la dirección del campo; así

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que un agente externo es quien realiza la fuerza para acercar dicha carga, lo cual también se demuestra en la ecuación (3) y por esto es el signo negativo. Finalmente se dirá que entre los puntos A y B de la trayectoria mostrada existe una diferencia de potencial.

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Resolviendo para (5) y (6)

Combinando (7) y (4) se tiene que

Figura 1. Diferencia de potencial entre dos puntos. Pero al parecer este método no es útil para calcular el potencial en problemas prácticos, ya que como se dijo anteriormente la intensidad de campo eléctrico es desconocida y muy probablemente también su distribución geométrica, lo usual es que se indique el potencial de los elementos, como por ejemplo el potencial al que se encuentran dos placas de un condensador; Sin embrago ayudándonos con el cálculo vectorial, de la figura 2. Se puede decir que entre las placas se crea un gradiente de potencial en la dirección en que se muestra; lo que matemáticamente se ve en la ecuación (4).

Figura 2. Potencial en una carga.

No obstante todavía no se ha podido quitar el problema de tener que conocer la intensidad de campo eléctrico; sin embargo si se conoce la definición de densidad de campo eléctrico y se define la relación entre D y E la cual está dada por el medio, a la cual se le llama como la permitividad o constante dieléctrica (ε) que se refiere en la ecuación (5).

De la ecuación (9) se puede considerar que la configuración de campo eléctrico ya no necesita de la intensidad eléctrica para el cálculo del potencial eléctrico en algún punto, no obstante si se necesita una densidad de carga y una permitividad lo cual en la práctica no se usa con frecuentemente y se dice que el elemento no posee carga alguna, de donde se considera la Ecuación de Laplace que se describe en la ecuación (10).

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, donde se dificulta el cálculo del potencial eléctrico ya que depende de una función determinada y en algunas ocasiones presentaría dificultades en las soluciones esperadas o en su resolución, de esta manera la utilización de métodos numéricos facilita el análisis de resultados esperados para el desarrollo de algún problema dado. En este caso el método que resolverá este tipo de problemas se conoce como método de diferencias finitas. Más conocido como MDF ha adquirido una gran importancia en la solución de problemas ingenieriles, físicos, etc., ya que permite resolver caso que hasta hace poco tiempo eran prácticamente imposibles de resolver por los métodos matemáticos tradicionales. Este método aunque se estableció recientemente el concepto se ha usado desde hace varios siglos. Para encontrar vestigios de este tipo de cálculos podríamos remontarnos a la época de la construcción de las pirámides egipcias. Los egipcios empleaban métodos de discretización para determinar el volumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o superficies de área. En oriente también aparecieron métodos de aproximación para realizar

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cálculos. Así el matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencia como lo que conseguía una aproximación al número pi (π). II. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO a) Caso general. La idea general del método de las diferencias finitas es la división de un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos. Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento. De esta forma se consigue pasar de un sistema continuo (infinitos grados de libertad), que es regido por una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales, a un sistema con un número de grados de libertad finito cuyo comportamiento se modela por un sistema de ecuaciones, lineales o no.

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b) Caso propuesto. Siguiendo los pasos del caso general se tiene,  División de la región en una cuadricula de nodos.  Aproximación de la ecuación diferencial y las condiciones en la frontera que para este caso serán cero o estarán dadas.  Resolución de las ecuaciones algebraicas. El objetivo es obtener la aproximación de las diferencias finitas de la ecuación de Laplace (10) y utilizarla para determinar el potencial en todos los puntos libres, de la ecuación (10) se dice que,

En cualquier sistema a analizar podemos distinguir entre:  Dominio Espacio geométrico donde se va a analizar el sistema.  Condiciones de contorno. Variables conocidas y que condicionan el cambio del sistema: cargas, desplazamientos, temperaturas, voltajes, focos de calor, entre otros.

Aplicando la definición de deriva.

 Incógnitas Variables del sistema que deseamos conocer después de que las condiciones de contorno ha actuado sobre el sistema: desplazamientos, tensiones, temperaturas, etc. El dominio se divide mediante puntos en el caso lineal, mediante líneas en el caso bidimensional o superficies imaginarias en el caso tridimensional, de forma que el dominio total en estudio se aproxime mediante el conjunto de porciones (elementos) en que se subdivide. Los elementos se definen por un número discreto de puntos, llamados nodos, que conectan entre si los elementos. Sobre estos nodos se materializan las incógnitas fundamentales del problema. A estas incógnitas se les denomina grados de libertad de cada nodo del modelo. Los grados de libertad de un nodo son las variables que nos determinan el estado y/o posición del nodo.

De igual manera que x para y se tendrá aproximaciones y el error de lo cual se tiene,

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Las ecuaciones (16) y (18) en (11) se obtiene la siguiente general del método de diferencias finitas,

Como último paso se halla el promedio de los 4 potenciales alrededor del punto. Finalmente se itera los nodos hasta llegar a un error determinado. III. APLICABILIDAD Este método es utilizado en la vida real para el análisis de tensión de paso en terreno, ante una descarga atmosférica o para verificar como es la distribución de potencial en un elemento y de esta manera evitar los gradientes de tensión que provocan descargas riesgosas en el entorno, ya que pueden ser perjudiciales en caso de contacto directo a una persona o animales. También sirve para describir la distribución del comportamiento del flujo magnético en el núcleo del transformador de tensión. Otra aplicación de este método es el análisis para una línea de transmisión, verificando la distribución de potencial para conservar las distancias de seguridad.

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puede establecer variaciones constructivas que mejoren el funcionamiento de dichas pinzas [3]. Como se ve entonces el método de las diferencias finitas es una buena elección para desarrollar problemas de campos electro-magnéticos ya que emplean pocos datos como densidad de corriente, configuración de permeabilidades, condiciones de frontera, intensidad de corriente, diferencia de potencial, etc., encontrando las distribuciones de campos respectivas.

IV. APLICACIÓN EN UNA LÍNEA DE TRANSMISIÓN Se tiene dos torres de transmisión a una distancia de 400 m la una de la otra, con una altura de 30 m que transporta una línea de transmisión de 230 kV. Entre ellas pasa una autopista, verifique si la línea implica un riesgo sobre los móviles que transitan por esta. A. Excel Como primera medida para esta forma de solución se genera una grilla de puntos, es decir, cada punto se representara como una celda individual, siendo el espacio entre celdas la distancia a la cual se separa un nodo de otro. Para este caso, dada la distancia horizontal se ha decidido tomar un espacio de 20m de separación lo que implica que entre cada celda el potencial difiere esta medida; para la distancia vertical se tomó a cada 3m; en los valores de frontera se tomaron los valores respectivos de tensión, para la línea es de 230 kV., la tensión de la tierra y de las torres son 0V; de todos los parámetros anteriores se obtuvo la Grafica 1, tomando como referencia la ecuación (20) y un error de 1x 10-6.

195-235

Figura 3. Tensión de paso Otra aplicación del Método de las diferencias finitas (MDF), es el desarrollo de modelos numéricos de núcleos magnéticos toroidales incorporados en pinzas amperimétricas que, simulados mediante este método y contrastados con resultados experimentales, permiten conocer la distribución de los campos magnéticos procedentes de las corrientes eléctricas y sus variaciones según los cambios geométricos en los diversos materiales con los que están hechos. El conocimiento de los flujos magnéticos en secciones del núcleo, y del vector de inducción magnética se puede inferir unos errores que pueden presentar las pinzas amperimétricas construidas con núcleos magnéticos, en base a esto se

235 195

155 115

155-195

115-155 75-115

75

35-75

35

-5-35

-5

Gráfica 1. Gradiente de tensión Para los primeros 100m la distribución de potencial será la mostrada a continuación,

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V. CONCLUSIONES Para la resolución del problema se utilizaron dos métodos en los cuales se aplicó el mismo concepto de método las diferencias finitas, los cuales arrojaron respuestas similares a las esperadas con el manejo de conceptos de campos electromagnéticos, donde a medida que se aumenta la distancia alrededor de una carga su potencial disminuye hasta cero. Esto da un punto de referencia hacia la utilización de un método que proporcione registros casi reales del comportamiento del campo eléctrico y la distribución del potencial ante la presencia de cargas, líneas o cualquier elemento que posea potencial eléctrico. Figura 4. Distribución de potencial eléctrico a 100m Como se esperaría a medida que aumentan las distancias con respecto a la línea, la diferencia de potencial disminuye. B. Scilab //iteración usando metodo de las diferencias finitas (LAPLACE) //ni= No. de iteraciones //nx= No. de puntos en X //ny= No. de puntos en Y // v(i,j)= pontencial en los diferentes puntos v1=0 v2=0 v3=230 v4=0 ni=100 nx=20 ny=10 // valores de la ecuacion es cero v= zeros(nx,ny); // fijar los pontencial en las fronteras for i=2:nx-1 v(i,1)=v1; v(i,ny)=v3; end for j=2:ny-1 v(1,j)=v4; v(nx,j)=v2; end v(1,1)=0.5*(v1+v4); v(nx,1)=0.5*(v1+v2); v(1,ny)=0.5*(v3+v4); v(nx,ny)=0.5*(v2+v3); //ahora usando la ecuacion de la Laplace despues de ni iteraciones for k=1:ni for i=2:nx-1 for j=2:ny-1 v(i,j)=0.25*(v(i+1,j)+v(i1,j)+v(i,j+1)+v(1,j-1)); end end end

De acuerdo a los resultados obtenidos en la figura (4) se observa que el potencial eléctrico no es perjudicial ya que si se comparan con las normas legislativas, en este caso en Colombia (10kV/m), registrado en el Reglamento Técnico de Instalaciones Eléctricas (RETIE)[10], los móviles no poseen el riesgo de verse afectados por la línea de transmisión. A lo largo del desarrollo de este artículo se pudo observar que el método es un recurso muy útil ya que se evita tener que recurrir al uso de las derivadas parciales, lo cual en algunos casos puede ser algo tedioso de calcular, puesto que con el método estas derivadas se convierten en unas sencillas sumas y divisiones que generan el promedio de los puntos alrededor; además la ventaja de tener software como herramientas para el cálculo iterativo que produce este método facilita aún más la tarea, asimismo se pueden generar gráficos y tablas que permiten una cómoda visualización de las distribuciones del campo, que en este caso es eléctrico, para así mismo tener un amplio rango de comparación y estudio ya que se poseen diversos puntos a analizar.

REFERENCIAS

[1] Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall, Inc. (1999).

[2] Sadiku, Matthew. Elementos de Electromagnetismo. Alfaomega. (2007), PP. 103-249.

[3] USON SARDAÑA, Aplicación del Método de elementos finitos al perfeccionamiento de pinzas amperimetricas. Zaragoza. 2007.203 pp. Tesis Doctoral (Ing. Electricista). Universidad de Zaragoza. Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería Eléctrica.

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[4] RAIRAN JOSE. Diseño de un electroimán mediante el método de elementos finitos. En: TECNURA [en línea]. No.17 (2005). http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/profesores/drai ran/documents/papers/conci3-38-46.pdf [citado el 26 de Marzo de 2001]

[5] Chapra, Steven C. Métodos numéricos para ingenieros. Mc Graw Hill. (2007), PP. 905-930. [6] Hayt, William H. Teoría Electromagnetica. Mc Graw Hill. (2007), pp. 180-210. [7] E. Benito. Problemas resueltos de Campos electromagnéticos. Editorial Ac Madrid. (1972), PP. 5-20. [8] Milford. Frederick J. Fundamentos de Teoría Electromagnética. Adisson Wesley Iberoamérica. Cuarta edición, PP. 56-92. [9] Carl. Johnk. Teoría Electromagnética. Editorial Limusa S.a. De C.v. - México. 1992, PP. 50-120. [10] Reglamento Técnico de Instalaciones Eléctricas (RETIE), Edición 2008, PP. 57-58. [11] Available: http://www.iit.upcomillas.es/~carnicero/Resistencia/ Introduccion_al_MEF.pdf [12] Available: http://usuarios.iponet.es/agusbo/uned/propios/apunt es/electrico.PDF [13] Available: http://ranauax.blogspot.com/ [14] Available: http://bibing.us.es/proyectos/abreproy/4271/fichero/ TOMO+I++DISE%D1O+DE+UN+SILO+CONFORME+AL+ EUROC%D3DIGO%252F6.CAP%CDTULO+5.pdf

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