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Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Si a – b = r y c – d = r, entonces:

TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES

. a–b=c–d .

. a+b=c+d .

RAZÓN Se llama razón a la comparación de dos cantidades. Esta comparación se puede hacer de dos maneras:

Clases 

Discreta Cuando todos los términos son diferentes entre sí donde:

Razón Aritmética (r): Es la comparación entre dos cantidades por medio de una diferencia. . a–b .

. a–b=c–d .

a : Antecedente b: Consecuente



Continua Cuando los términos medios son iguales:

Razón Geométrica (k): Es la comparación entre dos cantidades por medio de un cociente. .

a . b

. d: 4ta diferencial .

. a–b=b–c .

. b

a : Antecedente b: Consecuente

.

ac . 2

b: media d iferencial o media a ritmética c: 3era. diferencial

.

PROPORCIÓN Dado cuatro números diferentes de cero, en un cierto orden, formarán, una proporción, si la razón de los primeros es igual a la razón de los últimos. Esta proporción puede ser: aritmética, geométrico armónico

Proporción Geométrica o Equicociente: a c Si: =ky = k entonces b d

Proporción Aritmética o Equidiferencia NOTA: . a.d=b.c .

.

Aritmética

7

8

a c  . b d

b, c : Medios a, d : Extremos

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Clases 

Cuando los términos son diferentes sí donde:



a c  . b d

Tercer Año

Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5 En general definimos la serie: a a a a . 1  2  3  ...............  n  k . a2 b2 b3 bn

Discreta

.

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donde: a1, a2, a3, ......... an : Antecedentes b1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes k : Constantes de proporcionalidad

. d: 4ta proporcional .

Continua Cuando los términos medios son iguales

.

a b  . b c

NOTA: . a . c = b2 .

.

. b

a.c .

b: media p roporcional o media geométrica c: 3era. propo rcional

.

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Se denomina así al conjunto de más de dos razones que tiene el mismo valor 1) .

a1  a2  a3  .....  an k . b1  b2  b3  .....  bn

2) .

a1  a2  a3  .............  an  kn . b1  b2  b3  ............bn

Aritmética

9

10

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Hallar la 3ra diferencial de 17 y 12

5. La

cifra

especializada

ha

determinado que existe una posibilidad contra 3 de que

Rpta.

7

“Universitario”

derrote

al

“Alianza”. Si las posibilidades 2. Hallar la 4ta diferencial de 10,7 y 5 Rpta.

3. Dos números están en relación de 3 a 7 (o forman una razón Hallar el mayor de los números.

“Muni”?

Rpta.

5 contra 6

280

6. Si Juan le da a Pedro 10m de

4. La diferencia de 2 números es

carrera

de 180m. ¿Cuántos

metros de ventaja debe de

3. ¿Cuál es el mayor de los

dar Juan a Carlos para una

números?

carrera de 200m?

Aritmética

20 lit.

100m; y Pedro le da a Carlos

244 y están en relación de 7 a

427

Rpta.

Rpta.

9. La relación entre 2 números es de 11 a 14. Si a uno de ellos se le suma 33 unidades y al otro se le suma 60 entonces ambos resultados serían iguales. Hallar dichos números

40 m

Rpta.

11

12

60

S/. 2, 4

8. Un cilindro de 60lit. de capacidad, fue llenado completamente por 4 recipientes donde el volumen del primero es al segundo como el tercero es al cuarto como 2 es a 1. Hallar la suma de los volúmenes del segundo y cuarto recipiente.

ventaja para una carrera de una ventaja de 20m para una

Rpta.

Rpta.

“Muni” están en la relación de “Universitario” de vencer al

10. Dos números están entre sí como 7 es a 12. si al menor se le suma 70, para que el valor de la razón no se altere, entonces el valor del otro número debe triplicarse. Hallar el mayor de los 2 números Rpta.

de que “Alianza” le gane al

de 3/7) y su suma es 400.

Rpta.

7. Lo que cobra y lo que gasta diariamente un individuo suman S/. 60, lo que gasta y lo que cobra está en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto diario para que dicha relación sea de 3 a 5?

5 a 2. ¿Qué posibilidad tiene 2

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99 y 126

11. Determine la tercia proporcional entre la media proporcional de 9, 16 y la cuarta proporcional de 10, 15 y 14 Rpta.

36, 75

12. En una asamblea estudiantil de 2970 estudiantes se presentó una moción. En una primera votación por cada 4 votos a favor habían 5 en contra. Pedida la reconsideración se vio que por cada 8 votos a favor habían 3 en contra. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión?. No hubo abstenciones. Rpta.

840

Aritmética

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13. En un fabrica embotelladora se tienen 3 máquinas A, B y C, por cada 7 botellas que produce la máquina “A”, la máquina “B” produce 5 por cada 3 botellas que produce la máquina “B”, la máquina “C” produce 2. En un día la máquina “A” produjo 4400 botellas más que “C”. ¿Cuántas botellas produjo la máquina “B” ese día? Rpta.

14. En una proporción geométrica continua el producto de los 4 términos es 1296 y el producto de los antecedentes es 24. hallar la tercia proporcional. Rpta.

6000

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Hallar la 3ra diferencial de 19 y 11

9

15. La suma, diferencia y el producto de 2 números están en la misma relación que los números 5, 3 y 16. hallar estos números.

Tercer Año

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A) 1

B) 2

D) 5

E) 7

C) 3

2. Hallar la 4ta diferencial de 18, 15 y 12

4 y 16

A) 6

B) 8

D) 12

E) 15

3. Si:

C) 9

El mayor número que se puede formar con 3 cifras no es, como pueden suponer algunos, el 999. se puede ensayar los siguientes casos: ó 99 9 9 99 Pero no se haga ilusiones, que acá le tengo otro: 99

9

a 3  . Hallar “b”; b 4

Esto significa 9 elevado a la 9 9 , o sea a la 387420489 potencia. Resultado que consta de 369 693 021 cifras, es decir... ¡casi trescientos setenta millones de cifras!. Y para escribir el resultado... ¡Se necesitarían 12 años a razón de una cifra por segundo!

Aritmética

B) 80

D) 120

E) 140

x 3



y 5



z 6

14

A) 6 D) 18

6. Si:

B) 8 E) 20

C) 12

2 5 1   ; a + b + c = 96 a b c

Hallar “c”

7. Si:

C) 100

, x + y + z = 56

B) 12 E) 20

C) 24

a 3  . Si b – a = 15 b 4

A) 12

B) 20

D) 26

E) 30

A) 45 D) 120

8. Si:

a



B) 60 E) 150

b



c

C) 105

y a2+ b2+ c2=152

2 5 3 Hallar “a + b + c”

Hallar “z”

13

z

  ; x . y . z = 192 3 4 2 Hallar “x + y + z”

Hallar “a + b”

A) 60

4. Si:

y

x

A) 60 D) 14

Si: a + b = 140 EL MAYOR NÚMERO CON TRES CIFRAS

5. Si:

C) 24

A) 20 D) 23

B) 21 E) 24

C) 22

Aritmética

Tercer Año

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9. Si:

a



b

5 3 hallar “b” A) 30 D) 16



c 6

y a + c= 66.

B) 36 E) 26

10. Si:

a 1

b 2

Tercer Año

¡¡¡AVERIGUA QUIEN PAGÓ!!!

, además 2 3 Además, a + b + 3 = 20 Hallar “a”



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CAMBISTA COLOSAL

C) 18 A) 5 D) 10

B) 7 E) 12

C) 9

Dos países vecinos, llamados del Norte y del Sur, han vivido en perfecta armonía durante mucho tiempo, y tenían un acuerdo mediante el cual mantenían sus monedas cotizadas a la par; es decir, un dólar del Norte valía igual que un dólar del Sur. Cierto día por problemas de política internacional (¡cuando no la política!) se echó a perder la armonía. Entonces el Gobierno del Norte, argumentando algo así

CLAVES

como “en legítima defensa de nuestra soberanía, y considerando que no debemos perder nuestra identidad nacional, tan dignamente defendida...” publicó un decreto, cuyo único artículo establecía que en lo sucesivo diez dólares del Sur sólo valían

1. C

6. B

como nueve dólares del Norte.

2. C

7. C

un artículo único, que diez dólares del Norte sólo valían nueve dólares del Sur...

3. B

8. A

de la noticia, exclamó:

4. C

9. C

5. D

10. B

Al día siguiente, el Gobierno del Sur, para no quedarse atrás, también decretó Vivía en la conflictiva línea de frontera un longevo muy astuto que, al enterarse – ¡Ajá! ¡Esta es mi oportunidad! ¡Ahorita empiezo a hacer negocio! Dicho y hecho. Corriendo llegó a una tienda norteña, escrutó las ofertas y decidió comprar un pantalón de un dólar, y lo pagó con diez dólares del Norte. en seguida pidió como vuelto un billete de diez dólares del Sur, que allí no valían más que nueve. Luego, feliz de la vida y silbando la Marsellesa, se dirigió a una tienda del sur. En ella compró un par de lindas camisas por un dólar, pagándolo con el billete de diez dólares del Sur que le dieron en la otra tienda. Y, como era de esperar, pidió que le

“La conciencia es la columna vertebral del alma, mientras la conciencia es recta se sostiene en pie, yo no tengo más que esa fuerza pero ella sola me basta”

dieran de vuelto un billete de diez dólares del Norte, que allí solo valían nueve. De regreso a casa el veterano tenía en el bolsillo, como al salir un billete de diez dólares del Norte y, además, un pantalón y dos camisas, y los comerciantes

Homero

tenían en su caja nada menos que... ¡un dólar más!. Entonces, estimado alumno, ¿puede decir quien pagó las dos camisas y el pantalón.?

Aritmética

15

16

Aritmética

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3. Para hallar un término enésimo último cualquiera

TEMA: PROGRESIONES: ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA

. an = a1 + (n - 1) . r . Ejemplo: Hallar el 15avo termino: 3 . 5 . 7 . 9 ...............

PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es aquella sucesión de términos que se caracteriza por ser cualquier termino de ella aumentando una cantidad constante llamada razón (r)

Resolución Usemos: an = a1 + (n – 1)r del ejercicio a1 = 3; n = 15; r = 2 Reemplazando a15 = a1 + (15 - 1) . r a15 = 3 + (14) . 2 a15 = 31

Representación a1 . a2 . a3 . .............. an  a1 . a1 + r . a1 + 2r ........ . a1 + (n - 1)r Elementos de P.A.  Inicio de la P.A a1 primer término . separación de términos

an término enésimo r razón de la P.A Sn Suma de n primeros términos

4. Términos central de una P. A . ac =

CLASES DE P.A De acuerdo a la razón: Si r > 0 P. A. Creciente Si r < 0 P. A Decreciente

an  a1 . 2

Existe cuando “n” es impar Ejemplo: Hallar el término central

Propiedades 1. Calculo de la razón: Sea  a1 . a2 . a3 . ................ . an r = a3 – a1 En general: . r = an – an – 1 .

3 . 6 . 9 . 12 ..........  15 tér min os

Resolución a 3 ac = n , tenemos que hallar an 2 a15 = 3 + (15 - 1) . 3 a15 = 45

2. En total P.A la suma de los términos equidistante de los extremos son iguales.

Por tanto: 45  3 ac =  ac = 24 2

Aritmética

17

18

Aritmética

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Representación: t1: t2: t3: t4: ........: tn t1: tq: t2q2: t1 q3: ........: tn . qn- 1

5. Suma de una P. A  a  a1  Sn =  n  .n  2 

OBSERVACIÓN:

Ejemplo: Hallar “S”  6  8 .......... S= 2 4   .

RESULTA MUY INCOMODO TRABAJAR CON TODOS LOS SÍMBOLOS QUE REPRESENTA A UN

P.G

POR LO TANTO UTILIZAREMOS A ESTA SUCESIÓN

NUMÉRICA.

17 tér min os

Elementos de la PG. inicio de la PG. t1 primer término (t1  0) : separación de términos q razón geométrica (q  0) tn términos enésimo Sn suma de “n” primeros términos Pn producto de los “n” primeros términos

a 2 S17 =  n  . 17  2 

Hallar a17 = ? a17 = 2 + (17 - 1) . 2 a17 = 2 + 16 . 2  a17 = 34 Luego:  34  2  S17 =   . 17  2  S17 = 18 . 17 S17 = 306 Además: Si n es impar Entonces Sn = ac . n

Clases de PG Si q > 1  PG es creciente Si 0 < q < 1  PG es Decreciente Si q < 0  PG es Oscilante Propiedades 1. Calculo de la razón (q) Sea la PG t1: t2: t3: ........... : tn t t t  q = 2 = 3  .............  n t2 tn 1 t1

OBSERVACIÓN: EN LA PRACTICA, PARA REPRESENTAR A UNA P.A  a1 . a2 . a3 . …….. . an SE UTILIZA LA SIGUIENTE FORMA:  a1, a2, a3 . ……… , an COMO VERÁS SE REEMPLAZA LA COMA POR EL PUNTO

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Es una sucesión de términos en la cual un término es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón (q)

2. Calculo del termino enésimo de un PG.

Aritmética

20

19

. tn = t1 . qn- 1 .

Aritmética

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Ejemplo:

Ejemplo:

Hallar 9no término en 1 1 1 , , , ........ 81 27 9

Hallar el término central 3 , 6 , 12 , ............ .   15 tér min os

Resolución 



Halando la razón: 1 81 27  q= q=3 1 27 81 Calculando el t9 1 . 3 9 1 tg = 81 1 tg = 4 . 3 8  3

Resolución Tc =

3 . t15

Hallando t15: t15 =3 . 215 – 1 t15 = 3 . 214 Reemplazando tc =

tg = 34

 tg = 81 3. En total PG. El producto de los términos equidistantes de los extremos

3 . 3 . 214

=

32 . 214

=

32 . 214

7

= 3 . 27

es igual

= 3 . 128  . tc = 384 . 5. Suma de una PG de un término . Sn =

4. Término central de una PG. . Tc = t1 . tn

.

Ejemplo: Sumar:

n  impar

1 1 1 ; ; ; ................. 243 27  81    

Cuando el número el términos (n) es impar

Aritmética

t1 (qn  1) . q 1

10 tér min os

21

22

Aritmética

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Resolución Hallándose la razón: 1 q = 81  q = 3 1 243

Hallando t14. 1 . 2 14 1 t14 = 128

Hallándose la suma de términos 1 (310  1) S10 = . 243 31 1 59048 . S10 = 243 2 29524 S10 = 243 S10 = 121, 5

Ahora:

t14=



. Pn = t

P14 =

1 . 26 128

P14 =

1 . 26 7 2

t1 . tn

n c

n

 . P14 =

1 . 128

Suma de todos los términos de una PG. Ilimitada decreciente, se obtiene .

así: SLim =

.

Ejemplo: Hallar el producto de términos de: 1 1 1 , , , ......... 128 64 32   

Ejemplo:

Resolución Hallamos la razón 1 64 q = 32  q=2 1 32 64

Resolución:

t1 ; 1q

Si –1 < q < 1

Calcular S=

14 tér min os

Aritmética

7

7

7. Suma Limite:

. Pn = Si: n  impar

2 13  t14 = 26 7 2

1 P14 =   2

6. Producto términos de una PG.

Tercer Año

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1 1 1 1     ........... 4 8 16 32

Hallando la razón

1 t1 = 4

23

24

1 q = 16 1 8

q=

8 16

 q=

1 2

Aritmética

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Como S =

t1

1q

Tercer Año

reemplazamos

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

1. Calcular el a15 en la P.A: 12; 8; 4;......

1 4

1 1x2 4 S=   1 1 1x4 1 2 2 1  S= 2

Rpta.

-44

5. Hallar P = 35 + 36 + 37 + ........ + 355 Dar la suma de cifras de “P” Rpta.

2. En la P.A: 4; 7; , 10; .........., calcular el vigésimo segundo término.

OBSERVACIÓN: PARA HALLAR UN TÉRMINO CUALQUIERA SE PUEDE APLICAR LAS SIGUIENTE FORMULAS GENERALES . EN UNA PA: EN UNA PG . ax = ay + (x - y) . r . . Tx= ty . q .

Rpta.

61

27

6. Si: R = 21 + 23 + 25 + ..... + 189 Calcular la suma de cifras de “R” Rpta.

3. Hallar la razón de la Progresión Aritmética si el primer término es 3 y el sexto término es 8. Rpta.

7. En un P.A se conoce: a3 = 18; a7 = 30. hallar “a22”

1

Rpta.

4. ¿Cuántos términos posee la siguiente Progresión Aritmética? P.A.: 6; 9; 12; ......; 36 Rpta.

24

75

8. Hallar el valor de “x” en lña siguiente P.A (4x-5);20;(4x+5) Rpta.

11

SON

LOS SABIOS QUIENES

VERDAD

A

TRAVÉS

DEL

5

LLEGAN A LA

ERROR;

LOS

QUE

INSISTEN EN EL ERROR SON LOS NECIOS

RÜCKERT 9. Sabiendo que:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

13. Hallar el primer términos de

26

Aritmética

25

Aritmética

Tercer Año

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(x + y); (4x - 3y); (3x + 5y) son 3 términos consecutivos de una P.A. calcular el, valor de: x/y

una P.G si la suma de los 2 primeros términos es 15 y de los siguientes 2 términos es 60.

Rpta.

Rpta.

3

10. Hallar la suma de todos los términos de la progresión Aritmética: 3, 5, 7, ....................., 31 Rpta.

Rpta.

255

11. Si en un progresión geométrica t1 = 2; t6 = 64. hallar la razón Rpta.

2

de

los

A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

2. Hallar el vigésimo término de la P.A: 20, 12, 4, ................, A) -152

B) -172

D) 152

E) 172

C) –132

3. ¿Cuántos términos hay en la siguiente P.A? 32; 36; 40; ......., 196

340

A) 39

B) 40

D) 42

E) 43

C) 41

4. Calcular la suma de los 2

12

primeros términos de la P.A: 12; 17; 22; .......... “NINGUNO PUEDE SER FELIZ SI NO SE APRECIA A SÍ MISMO.”

JEAN JACQUES ROUSSEAU

PROBLEMAS PARA LA CASA

B) 1200

D) 1400

E) 1580

C) 1190

9. En una P.G., si t5 = 9 y t7 = 1. 27

Aritmética

A) 1118

5. Hallar “A + B - C” en la P.A: 2; 8; ...............; A; B, C siendo A el término 15avo A) 80 D) 54

B) 40 E) 62

C) 60

6. Dada la suma siguiente P.A 2; 5; a; .......; b Hallar “a + b” Siendo b el décimo término A) 35 D) 41

4

12. Calcular el primer término de una P.G. en el que el tercer término es 3 y el séptimo es 3/16 Rpta.

(2x - 10); 10; (3x + 20); ........

6

15. Hallar la suma términos de: t1, 16, 64, t4 Rpta.

1. Hallar “x” en la P.A.

5

14. Encontrar “x” para que: x – 4; 2x – 8; 3x - 10 formen una P.G de razón 2

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

B) 37 E) 43

C) 39

7. Si el producto de 3 números en P.G es 27. ¿Cuál es el término central? A) 1 D) 9

B) 3 E) 18

C) 6

8. Si el producto de 3 números que están en P.G. es 64 y la razón es 2. hallar el menor término A) 2 D) 5

B) 3 E) 8

C) 4

10. hallar la suma de los 1ros 5

28

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

entonces: t6 vale: A) 8 D) 3

B) 5 E) 1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

¡¿Qué poco pide verdad?!

términos de la P.G 2, a, 8, 16, b, ..................... C) 7 A) 32 D) 62

B) 48 E) 70

Tercer Año

EL INVENTOR DEL AJEDREZ

C) 60

CLAVES

1. B

6. B

2. C

7. B

3. D

8. A

4. C

9. D

5. A

10. D

AMIGOS

El rey de Persia fascinado por el juego de ajedrez, quiso conocer y premiar al inventor. Se cuenta que el rey ofreció al matemático oriental el premio que solicitara. El matemático contestó: Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la

segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de ajedrez.

Ordenó el rey a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta que era imposible cumplir la orden. Se necesitaría la cantidad de: 264 granos de trigo = 183446 7442073 7091551 616 granos ¿Sabes leer ese número?: Diez y ocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos dieciséis granos de trigo. En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11'5 kilómetros de lado. Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares), durante ocho años.

SON LOS QUE EN LAS PROSPERIDADES

ACUDEN AL SER LLAMADOS Y EN LAS ADVERSIDADES SIN SERLO

DEMETRIO I

Aritmética

29

30

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: PROMEDIOS

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO



Dar la MG de: 5; 15 y 45 Resolución

Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado:

a1  a2  

MENOR VALOR



a3

 ……......

PROMEDIO



3

 an 

MAYOR VALOR

Promedio Armónico o Media Armónica ( MH )

TIPOS DE PROMEDIO Promedio Aritmético o Media Aritmética ( MA ) O simplemente promedio . MA 



Suma de datos Número de datos

5 . 15 . 45  15

. MH 



Número de datos Suma de Inversa de los datos

.

Dar la MH de: 6; 2 y 3

. Resolución

Dar la MA de: 7; 13 y 4

3 3 1 1 1   6 2 3

Resolución

7  13  4 =8 3



OJO: SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS NÚMEROS

Consideraciones importantes 

Para 2 cantidades “a” y “b”

 . S = n . MA (“n” números) .

. MA 

ab . 2

. MG  ab .

Promedios Geométricos o Media Geométrica ( MG ) . MG  Pr oducto de los datos n

. MH 

.

n: número de datos

Aritmética

31

32

2

1 1  a b



2ab . ab

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO



Dado:

IMPORTANTE

0 < a1  a2  a3 ……….….  an

nuevo  promedio  variación del      promedio   inical  promedio 

Se verifica que:

Donde:

an  MA  MG  MH  0 

.



MAYOR PROMEDI O



MENOR

total que se 

.

PROMEDIO

Si todos los valores son iguales

Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de Promedios) 

Para cantidades “a” y “b”



Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13; siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3 ¿Cuál será mi nota promedio?

2

. MG  MA . MH .

. MA  MG 

Resolución: NOTAS 11 17 13

( a  b) 2 . 4(MA  MG)

PESOS 2 1 3 6

LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA Sean los números: 3, 5 y 10

La nota promedio será: 11 . 2  17 . 1  13 . 3

3  5  10 6  MA  3

213 En general:

Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10: Nuevo Pr omedio

=

. PP 

3  5  10 74 =7  3 3   PROMEDIO INICIAL

Aritmética

total que se 

  variación del = aumenta  dis min uye  Número de datos promedio

MA  MG  MH



Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO



+

TOTAL 11 x 2 17 x 1 13 x 3 78

+

78  13 6

a1 P1  a2 P2  a3 P3  ..........  an Pn P1  P2  P3  ..........Pn

.

Donde: an : enésimo de las notas, precios, … etc Pn : enésimo de los promedios, peso frecuencias, créditos, ...... etc

VARIACIÓN

33

34

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Si el promedio de los siguientes números es 20,5. Hallar el valor de “a”. (2a +1); (2a +2); (2a+3); ....; (5a - 2) Rpta.

6

2. El promedio geométrico de dos números es 12 y su promedio armónico es 4. hallar su promedio aritmético. Rpta.

36

3. Hallar el valor de “x”; si el promedio geométrico de los números: 2x; 4x y 8x es 64. Rpta.

3

4. De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60m. Calcular la estatura promedios de los varones. Rpta.

Aritmética

1,70m

5. Si la media geométrica de dos números es 4 y la media armónica es 32/17. ¿Cuál es el menor de dichos números? Rpta.

8. Hallar dos números sabiendo que el mayor y el menor de sus promedios son: 13,5 y 13 1/13 respectivamente. Indicar su diferencia. Rpta.

10. Hallar la MH de: 1; 1/2; 1/3; 1/4; ..........; 1/1981 Rpt.

1/991

11. La MG de tres números pares diferentes es 6. entonces, la

números es (n - 9). Calcular el valor de “n”; si el promedio aritmético de los 60 números

9. Hallar la medida geométrica de dos números, sabiendo que la tercera parte de su producto, por su MA: por su MG y por su MH se obtiene 81.

MA de ellos será: Rpta.

14. La

3

Rpta.

es 12.

26/3

media

armónica

de

10

números es 3/2; el de otros 2 números es 9/5. calcular la

15

10. Hallar el promedio de: m; m; m; ........;m; n ; n ; n ; ..............;n   "n "

7. En un reunión asistieron 200 personas asistieron 3 varones por cada mujer. Si el promedio de las edades de todos los presentes es 19 años y además el promedio de las edades de los varones es 20. hallar el promedio de las edades de las mujeres. Rpta.

3

1

6. El promedio de 40 números es “n” y el promedio de otros 20

Rpta.

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

2mn m n

Rpta.

Rpta.

11. El mayor promedio de dos números es 8, mientras que su menor promedio es. 6 hallar la diferencia de dichos números. Rpta.

36

8

27/16

15. Si la media geométrica y la media

3

35

"m "veces

MH de los 30 números.

aritmética

de

dos

números; a y b son números enteros consecutivos. Hallar (

a  b) Rpta.

2

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Hallar la media geométrica de los números: 3; 4; y 18

5. El promedio de cinco números pares

consecutivos

es

16.

hallar el promedio del mayor y A) 3,5

B) 4

D) 6

E)

3

C) 5

el tercero.

18 A) 14

B) 16

D) 20

E) 30

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. el promedio de los dos primeros números es 15; el promedio de los dos últimos 10 y el promedio de todos los números es 20. Hallar “A + B + C”

C) 18

A) 50 D) 45

B) 60 E) 55

10. El promedio de las edades en un salón de clases es de 18. Si el promedio de 20 de ellos es 15. Hallar el promedio de los restantes sabiendo que hay 50 alumnos. A) 25 D) 30

C) 40

B) 24 E) 20

C) 32

2. Hallar la media armónica de los números: 1; 2; 3 y 6 6. ¿Qué nota se obtuvo en un A) 1,8

B) 2

D) 3

E) 4

C) 2,1

cuarto examen, si en los tres anteriores se obtuvo: 14; 10 y 18

respectivamente;

y

9. Calcular la media armónica de dos números. Si: MA = 45 y MG = 15

su

A) 8 D) 5

promedio final fue de 15? 3. Hallar

el

promedio

de

A) 20

B) 19

1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20

D) 16

E) 17

B) 10

D) 7

E) 11

C) 18

CLAVES

C) 10,5 7. La media aritmética de tres números es 6. y de otros dos números es 16. hallar la media aritmética

4. Hallar el promedio de: 2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42 A) 21

B) 18

D) 22

E) 27

Aritmética

C) 12

los

siguientes números:

A) 8

B) 10 E) 6

C) 26

de

los

cinco

números. A) 9

B) 10

D) 12

E) 13

C) 11

37

38

1. D

6. C

2. B

7. B

3. C

8. B

4. D

9. D

5. C

10. E

Aritmética

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Año

TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES

CALCULA EL TIEMPO ATENAS INMORTAL De pronto nos sorprendió una dama de belleza inusual diciendo: ¡Bienvenidos a Atenas, la paradigmática ciudad de la democracia!. Tomen asiento y cierren los ojos lentamente... ahora revivirán las escenas del pasado... Nos encontraremos en la Acrópolis que significa “la ciudad sobre la colina”. En este lugar ha vivido gente desde la Edad de Piedra. Naturalmente, porque era fácil de defender del enemigo y porque con la vista se podía dominar uno de los mejores puertos del Mediterráneo. Nosotros estábamos totalmente concentrados. La dama continuó con voz angelical. Un día estuve en el puerto. Mis únicos compañeros eran los pelícanos, gacetas y gallinetas. Me sentí fundida en el universo, perdida en él, como se pierde el alma en un cántico de alabanza que surge de la desconocida muchedumbre congregada en una catedral. No cabe duda que esta mujer era ateniense. En la primera mitad del siglo V a de C. –prosiguió–, se libró una cruenta batalla contra los persas, y en el año de 480, Atenas fue saqueada y quemada por el rey persa Jerses. Al año siguiente, los persas fueron vencidos, y comenzó la Edad e Oro en Atenas, constituyéndose la Acrópolis más soberbia y hermosa que nunca. En esa época, Sócrates anduvo por plazas y calles conversando con los atenienses. Después de un breve silencio continuó: Detrás de mí pueden ver el templo más grande. Se lama Partenón, o “morada de la virgen”, y fue mandado erigir por Pericles en honor de Palas. Atenea, la diosa patrona de Atenas... Ahora estamos en la parte baja de la acrópolis. Entremos en el teatro de Dionisos. Aquí se representó por primera vez la tragedia Edipo Rey, de Sófocles, y tragedias de Equiulo y Eurípides, y comedia de Aristófanes. Hacia atrás pueden ver la shené (escena), una pared de piedra que servía de fondo a los actores. Y recuerden que la palabra teatro, en griego significa mirar. La anfitriona dio un tremendo suspiro y continuo: Ahora subamos a un pequeño monte llamado Areópago. Aquí el tribunal supremo sentenciaba los delitos graves y vigilaba por el cumplimiento de las leyes. Muchos siglos después, el apóstol Pablo estuvo aquí hablando de Jesús del cristianismo a los atenienses... Al día siguiente, la anfitriona nos contó que un pintor tenía que decorar un mural de 150 metros en la Acrópolis. En el día avanzaba 6 metros, pero todas las noches un bromista le borraba 2 metros. ¿En cuantos días entregará la obra terminada? -

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

39

MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial, .....etc. CANTIDAD (Valor): Resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. MAGNITUD

CANTIDAD

Longitud

2km

Tiempo

7 días

# de obreros

12 obreros

RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales, cuando al variar el valor de una de ellas, el valor correspondiente de la otra magnitud cambia en la misma proporción. Se pueden relacionar de 2 maneras. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP) Ejemplo Ilustrativo:  Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varia el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:

 (Costo total) DP (# de libros)

40

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Se observo:

IMPORTANTE: I) LA GRÁFICA DE 2

MAGNITUDES

D.P

ES UNA RECTA QUE PASA POR EL

ORIGEN DE COORDENADAS

II) EN

CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA

COORDENADAS)

EL

CONCIENTE

DE

(EXCEPTO CADA

PAR

EL ORIGEN DE DE

VALORES

CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.

III) SI TENEMOS QUE “A” DP “B”

En General: Decimos que las magnitudes “A” y “B” son directamente proporcionales; si al aumentar o disminuir los valores de la magnitud de “A”, el valor de “B” también aumenta o disminuye (en ese orden) en la misma proporción.

MAGNITUD A

VALORES CORRESPONDIENTES a1 a2 a3 ....... an

MAGNITUD B

b1

SE VERIFICA:

La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean D.P. es que el cociente de cada par de sus valores correspondientes, sea una constante.

b2

b3

……

bn

a1 a2 a3 a    ...  n  k b1 b2 b3 bn

IV) SI TENEMOS QUE “A” DP “B” OJO: DEBEMOS

. F(x) = mx . CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR

2

MAGNITUDES, LAS DEMÁS

m: pendiente (constante)

NO DEBEN VARIAR DEL EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO, NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)

SI:

  valor de B

. “A” DP “B”  valor de A  k  cons tan te .

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P) Ejemplo ilustrativo:  Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores contratados, se tendrá:

Interpretación Geométrica

 (# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) IP (# días) Se Observa: (# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 . 10 = 30 . 2 = 60 Constante

Aritmética

41

42

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

En general: Se dice que “A” y “B” son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir el valor de A, el respectivo valor de “B” disminuye o aumenta en la mismas proporción respectivamente. La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean IP es que el producto de cada par de sus valores correspondientes sea una constante. . A I.P.B  (valor de A)(valor de B) = cte .

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO IV) SI TENEMOS QUE “A” I.P “B” MAGNITUD A MAGNITUD B

VALORES CORRESPONDIENTES a1 a2 a3 ....... an b1 B2 …… bn

SE VERIFICA: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an . bn = k

Propiedades de las Magnitudes A. Para 2 magnitudes A y B se cumple:

* A 1.  * A * A 2.  * A

Interpretación Geométrica

D.P. B  B D. P. A I. P. B  B I. P. A D. P. B  An D. P. Bn I. P. B  An I. P. Bn

1  * A D.P. B.  A I.P. B 3.  * A I.P. B  A D.P. 1  B

B. Para 3 magnitudes A, B y C se cumple: Si: A D. P. B (C es constante) A D. P. C (B es constante)  A D. P. (B . C) IMPORTANTE: I) LA GRÁFICA

DE DOS MAGNITUDES

EQUILÁTERA.

II) EN

IP



ES UNA RAMA DE HIPÉRBOLA

CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO DE CADA PAR DE

VALORES CORRESPONDIENTES RESULTA UNA CONSTANTE.

Luego en los problemas. Sean las magnitudes: A, B, C, D y E A D. P. B  A I. P. C  A.C  .  Cte .  A A. P. D  B.D.E A D. P. E 

III) LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ: . Fx   m .

M : CONSTANTE

Aritmética

A = cte B .C

x área del rec tan gulo   bajo la curva 

43

44

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE OJO: CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2 MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.

1. Las magnitudes de a y b son D. P. Cuando a = 20, b = 5. Calcular cuando a = 12

Aplicaciones comunes: 

(N° de obreros)

DP

Rpta.

(obra)



(N° de obreros)

IP

(eficiencia)



(N° de obreros)

IP

(N° de días)



(N° de obreros)

IP

(horas diarias)



(velocidades)

IP

(Tiempo)



(N° de obreros)

DP

(Dificultad)



(N° de dientes)

IP

(N° de vueltas)

3

Rpta.

2. Si a2 y b son D. P., cuando a vale 10, b es 7. ¿Qué valor toma A cuando B vale 28? Rpta.

20

3. Si a y b son I.P. Cuando a vale 8, b vale 6. ¿Qué valor tomará a cuando b es 4? Rpta.

4. Si

a

12

y b son I. P,. Cuando

Aritmética

cuando a = 9 Rpta.

45

46

99

6. Si las magnitudes A y B son D. P. Calcular: a + b + c A B

18 12

a 16

b 18

c 24

Rpta. 87

7. Sean las magnitudes A y B. Donde A es D.P a(B2 + 1). Si cuando A = 8, B = 3, ¿Qué valor tomara A cuando B = 7? Rpta.

a = 100, b = 3. calcular b

 # de  Horas  # de       obreros  por día  días (ren dim iento )      cos n tan te . . (obra )(dificultad)

5. Si “a” es I.P. a “b2 - 1”, siendo “a” igual a 24 cuando “b” es igual a 10. hallar “a” cuando “b” es igual a 5.

40

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza” V.L.E.B.

10

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

8. “a” es D.P a “ b ” e I.P a “c2”.

11. Según la gráfica. Hallar “x +y”

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

15. Si:

a es D.P. con b. Hallar “a”

Cuando a = 10; b = 25; c = 4. hallar “a” cuando b = 64, c = 8

cuando b = 4, si a = 4 cuando b =2

Rpta.

Rpta.

4

Tercer Año

16

9. De la gráfica. Hallar “a + b”

Rpta.

14

PARA UN TROME EN MATEMÁTICAS En el caso de que tu amigo sea un fuera de serie en matemáticas, anímale para que te ayude a realizar una multiplicación ligerita:

12. Si las magnitudes son D.P. Calcular “a + b + c”

Rpta.

15

10. De la gráfica. Hallar “a + b”

A B

10 a

Rpta.

b 9

40 24

5 c

Le dirás a tu amigo que sospechas que al multiplicar 466 063 627 por 977 503 387, y el resultado obtenido por 239, obtendrá un total sólo por cifras 1. en el caso que tu amigo se resista, insiste cortésmente hasta conseguirlo. Dile que son poquísimos los buenos matemáticos en el mundo y que, precisamente lo ha escogido a él por considerarlo buenazo. Al terminar de multiplicar tu amigo confirmará la sospecha, y eso le dará una gran satisfacción: habrá obtenido 21 cifras uno.

24

13. Si: P.V = k. Hallar “P” cuando v = 6, si P = 12 cuando v = 4 Rpta. 8

14. Si:

El sorprendente resultado obtenido queda más claro así: 997 503 387 por 466 063 627 y por 239 es igual a:

a = k. Hallar “a” cuando b

111 111 111 111 111 111 111

b = 12; si a = 18 cuando b = 9 Rpta.

Aritmética

30

Rpta.

24

47

48

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Si “a” es P.D a ”b”. Hallar “b” cuando “a” es igual a 7, si a = 5 cuando b=15 A) 18 D) 22

B) 20 E) 25

C) 21

2. “a” es I.P. a “b”. Cuando a = 8, b = 3. Hallar “b” cuando a = 2 A) 10 D) 12

B) 12 E) 16

C) 14

5.

“a” es D.P. a “b2”. Cuando “a” es igual a 20 “b” es igual a 6.

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

8. La gráfica nos muestra la proporcionalidad entre las magnitudes A y B. Hallar a+b+c

10. De la gráfica, hallar “a + b”

¿Qué valor tomará “a” cuando “b” es igual a 3? A) 1

B) 2

D) 4

E) 5

C) 3

6. Si: “a” es I.P a “ b ”, además

A) 40 D) 50

3

cuando “a” es 35, “b” vale 27.

B) 44 E) 52

A) 10 D) 25

C) 48

B) 15 E) 30

C) 20

¿Cuánto vale “a” cuando “b” 3. “a” es D. P. a “b” . cuando a = 6, b = 8. calcular “a” cuando b = 12 A) 6 D) 9

B) 7 E) 10

C) 8

valga 343? A) 5

B) 10

D) 20

E) 25

9. “a” es D.P a “b” e I.P a “c”. Hallar el valor de “c” cuando “a” es 10 y “b” es 8, si cuando “a” es 8, “b” es 6 y “c” es 30

C) 15

A) 28 D) 31

7. Si A y B son IP. Calcular 4. “a” es I.P a “b” cuando a = 4, b = 3. Calcular el valor que toma “b” cuando “a” toma el valor de 6. A) 1 D) 4

Aritmética

B) 2 E) 5

C) 3

B) 29 E) 32

C) 30

m+n+a A

30

n2

m

a

B

n

15

10

1

A) 60

B) 64

D) 70

E) 74

EL

AMOR

ES

LA

MÁS

FUERTE

DE

TODAS

LAS

PASIONES, PORQUE ATACA AL MISMO TIEMPO A LA CABEZA, AL CORAZÓN Y AL CUERPO.

VOLTAIRE

C) 68

49

50

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Año

¿SABÍAS QUÉ... CLAVES

1. C

6. C

2. B

7. C

3. D

8. B

4. B

9. E

5. E

10. C

LA CARRERA PROFESIONAL DE FARMACIA Y BIOQUÍMICA

El químico farmacéutico, como miembro de las profesiones médicas del equipo de salud, es el especialista del medicamento, alimento y tóxico, con sólida formación científica, tecnología y humanística, con capacidad ejecutiva y de liderazgo. Ámbito de Trabajo: Industria farmacéutica, centros hospitalarios, clínicas, farmacias, laboratorios bromatológicos, microbiológicos y farmacológicos. Industrias químicas, fármaco químicas, alimentarías y cosméticos. Centros de investigación y docencia.

Aritmética

51

52

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE

Ejemplos: 1. Repartir 750 en forma D.P a los números 6; 7 y 12 D.P  6  750 7 750  30 . . k  12 25  25

 Directo * Simple  inverso Pr oporcional  * Compuesto

Re parto

Como una aplicación de proporcionalidad consiste en repartir una cantidad en partes directas o inversamente proporcionales a ciertas cantidades llamados “Índice”

Luego:

Problema General:  Repartir “N” en partes P1 P2 P3 ........... Pn que sean D.P a a1 a2 a3 a4 ................. an. Determinar cada una de las partes Partes P1 P2 P3 ............... Pn Indices a1 a2 a3 a4 ............ an Condición P1 P2 P3 ............... Pn D. P a1 a2 a3 a4 ............ an .

P1

a1



P2

a2



P3

a3

 ...........

6(30) = 180 7(30) = 210 12(30) = 360

2. Repartir 450 en partes I.P a los números 3; 6 y 8

. k

Propiedad: P  P2  P3  ........... Pn k= 1 a1  a2  a3  .......... an

Luego: 8(30) = 240 4(30) = 120 3(30) = 90

o

. k

N . S

3. Repartir 648 en forma D. P a los números 4 y 6; y a la vez en forma I.P a los números 3 y 9

Donde S1 = Suma de índices N = Cantidad a repartir

Aritmética

450  30 . 15

Pn k . an

k (constante de proporcionalidad)

Luego:

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

. k

P1 = a1k P2 = a2k P3 = a3k   Pn = ank

648  108 . 6

Luego: 4(108) = 432 2(108) = 296

PROBLEMAS PARA LA CLASE

53

54

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

1. Repartir el número 1000 en 3 partes que sena D. P. a los números 2, 3 y 5. Hallar el menor número Rpta.

200

2. Un enunciado reparte 840 soles en partes proporcionales a las edades de sus tres hijos, siendo éstas de 24, 20 y 40 años. ¿Cuándo le corresponderá al mayor? Rpta.

400

boletos de una rifa en forma directamente proporcional a 2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma inversamente proporcional al número de rifas comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que compró más boletos si en total se repartió S/. 2542?

5. Repartir 858 en partes directamente proporcionales a 3 5 4 los números: . , y 4 6 5 Hallar la menor parte Rpta.

270

Rpta. 6. Repartir 360 en 3 partes que sea inversamente proporcionales a los números 3, 4y 6. Hallar la mayor parte. Rpta.

160

Rpta.

320

7. Repartir 735 en partes inversamente proporcionales a 1/5, 3/5 y 3. hallar la suma de cifras de la mayor parte. Rpta.

4. Tres sastres compran un lote de piezas iguales de tela que valen 57680. El primero se queda con 2 piezas, el segundo con 7 y el tercero en 5. ¿Cuánto paga el segundo? Rpta.

12

“Manuel Scorza” V.L.E.B.

Rpta. 12. Repartir

el

número

459 55

Aritmética

90

11. Repartir 1000 en partes directamente proporcionales a 8, 18 y 150 . Hallar el menor

28840

8. Tres personas compran todos los

1240

10. Dividir en 170 en dos partes inversamente proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar el mayor Rpta.

DPTO. DE PUBLICACIONES

372

9. Divide 1600 en partes inversamente proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma de las partes mayor y menor Rpta.

3. Dividir el número 688 en partes D.P. a 8,15 y 20. Hallar la mayor parte

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

200

directamente proporcional a 3 y 5 y simultáneamente a 7 y 6. hallar la suma de cifras del mayor número Rpta.

9

13. Repartir 2600 directamente proporcional a 2; 3 y 6 y simultáneamente a 4; 5 y 7. Hallar el menor Rpta.

320

14. Repartir 6160 en parte inversamente proporcionales a 2; 3 y 4 y 2/3; 1/2 y 5. Hallar la suma de cifras del mayor. Rpta.

9

15. Repartir 480 en 3 partes directamente proporcionales a: 3; 4 y 5 e inversamente proporcionales a: 6; 12 y 18. Hallar la menor parte. Rpta.

120

PROBLEMAS PARA LA CASA 56

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

directamente proporcionales a 1. Repartir S/. 5200 entre A, B y C

partes

4. Repartir

el

número

1246

directamente

inversamente proporcional a

proporcionales a 2; 3 y 1/5.

5/2; 4 y 6/5. hallar la suma de

¿Cuánto recibe C?

cifras del menor número.

A) 55

B) 176

D) 200

E) 250

B) 9

proporcionalmente al promedio obtienen

Aritmética.

sus

¿Cuánto

hijos

en

reciben

las notas obtenidas son 12; 13; 15? Dar

por

respuesta

lo

que

recibe el mayor A) 156

B) 169

D) 215

E) 179

D) 11

E) 12

429

Hallar la mayor parte. B) 800

D) 1000

E) 1200

C) 800

5.

Repartir

1000

en

inversamente proporcionales a

forma

2; 3 y 5 y simultáneamente a 1;

inversamente proporcional a

4y3

1/3, 1/2, 1/5. Hallar la mayor

Hallar la menor parte.

parte. A) 100

B) 200

D) 400

E) 500

C) 300

A) 40

B) 50

D) 300

E) 200

A) 12 D) 18

B) 14 E) 20

C) 16

10. Se reparte 596000 en forma proporcional a los números 2, 4, 6, 8 e inversamente proporcional a los números 1, 3, 5, 7. ¿Cuánto le corresponde a la parte menor?

C) 100

A) 100000 C) 250000 E) 320000

B) 120000 D) 300000

C) 195 6. Se ha hecho un reparto en 3 en

partes

proporcionales a 2/3; ¾ y 5/24. Dar por respuesta la mayor

inversamente

NADA VIVIR

proporcional a 3; 13 1/6. la segunda parte es 72 soles.

A) 55

B) 176

D) 200

E) 250

C) 198

7. Repartir 1300 en dos partes

HAY TAN CONTAGIOSO COMO EL OPTIMISMO. CON UN AMIGO OPTIMISTA ES ENCONTRAR LA

CLAVE DE LA FELICIDAD.

EL LLANTO DE LOS OTROS SUELE HACERNOS LLORAR; PERO LA RISA DE LOS OTROS, INVARIABLEMENTE, IRREMISIBLEMENTE, NOS HARÁ REÍR.

¿Cuál fue el total repartido?

parte.

AMADO NERVO

A) 1000 B) 3000 C) 4000 D) 6000 E) 8000 9. Repartir 348 en dos partes

57

Aritmética

A) 300

8. Repartir 390 en tres partes

partes 3. Repartir

5

C) 10

2. Un padre reparte 520 dólares que

3 y 4 y simultáneamente a 2 y

C) 198 A) 8

directamente proporcionales a 3 y 1/4, e inversamente proporcionales a 1/2 y 1/5. Hallar la suma de cifras de la mayor parte.

58

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

LA CARRERA PROFESIONAL DE MICROBIOLOGÍA Y PARASITOLOGÍA

CLAVES

1. D

6. D

2. C

7. D

3. C

8. A

4. E

9. D

5. E

10. B

Tercer Año

El Microbiólogo Parasitólogo estudia los microorganismos y los parásitos, considerando sus aspectos morfológicos, bioquímicos, moleculares, evolutivos taxonómicos, así como sus interrelaciones entre sí, con otros organismos y el medio ambiente. Es un estudio profesional con criterio científico, tecnológico y humanístico; con capacidad de aplicar los conocimientos de la microbiología y parasitología para el control de plagas y enfermedades que afectan al hombre, animales y plantas; así como para la prevención y el control de la contaminación. Aplica sus conocimientos de la ingeniería de diseños y procesos para la explotación industrial de microorganismos benéficos. Evalúa y califica la calidad microbiológica de materias primas, insumos empleados en la producción de alimentos, bebidas, cosméticos, fármacos, etc. Posee capacidad de gestión empresarial y de organización de proyectos de inversión, producción y de servicios.

TEMA: TANTO POR CIENTO

¿SABÍAS QUÉ... 59

Aritmética

60

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO



REGLA DEL TANTO POR CIENTO: Nos indica una relación entre una parte y la unidad que ha sido dividida en 100 partes iguales. Es decir: Unidad

1 100

1 100

1 100

1 100

1 100



 El a% del b% de c%

a

100



1 a a%= 100 100

. 100% =

.

b

100

.c% 

abc

10000

%

TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD: 20  El 20% de 30 = . 30 = 6 100

Observamos que: 1% =

* El 35 por ciento < > 35 100 * El 90 por mil < > 90 1000

 El 50% del 30% de 60% es;: 50 30 . x 60% = 9% 100 100

1 = 1% (uno por ciento) 100 2 2 partes < > = 2% (dos por ciento) 100 3 3 partes < > = 3 % (tres por ciento) 100 100 100 partes < > = 100% (cien por ciento) 100 1 parte



El 7 por 40 < > 7 40 El 20 por 45 < > 20 45 El “a” por “b” < > a b

PORCENTAJE DE PORCENTAJE:  El 20% del 10% de 40% es: 20 10 8 . . 40% = % = 0,8% 100 100 10

100 partes iguales Luego:

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

El 60% del 10% de 500 es =

60 10 . . 500 = 30 100 100

OPERACIONES CON PORCENTAJE  20%A + 30%A = 50% A

100 =1 . 100



OBSERVACIÓN:

70%B – 30%B = 40%A

61

Aritmética

62

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO



m + 10%m = 100% m + 10% m = 110% m   

Luego: 12 . 100% = 25% 48

1



N – 30%N = 70%N



2A + 10%A = 210%A



5% menos = 95%

OBSERVACIÓN:

RELACIÓN PARTE - TODO: .

PIERDO

QUEDA

PIERDO

GANO

10%

90%

20%

120%

75%

25%

30%

130%

8%

92%

80%

180%

40%

60%

100%

200%

Parte . 100% . Todo DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS:

Ejemplos: ¿Qué tanto por ciento es 12 de 40? 12 . 100% = 30% 40

Ejemplo 1 ¿A que descuento único equivale dos descuentos sucesivos del 10% y 30% de una cantidad?

¿Qué porcentaje de 80 es 25? 25 . 100% = 31, 25% 80

Resolución: Sea “N” la cantidad inicial: N

¡ ¿Qué porcentaje de “A” es “B“? B . 100% A 

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

(90% N) - 10%

70%(90% N) = 63% N(Queda)

-30%

En una reunión de 60 personas, el 20% son hombres y el resto mujeres. ¿Qué porcentaje de las mujeres son los hombres?

Descuento = 100% - 63% 37%

Resolución:

(–)

(–)

10% y 30% de N

 20 . 60  12 (hom bres )  N° personas: 60 = 100 48 (mujeres ) 

Aritmética

Otra forma:

 90% . 70%N = 63%N  Du = 100% - 63% = 37%

63

64

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Ejemplo 2 ¿A que aumento único equivalen tres aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de una cantidad?

Otra Forma:  Se asume al lado inicial diez Final

Resolución: (+) (+) (+) 10%; 20% y 50%

Inicial 10

110 120 . .150% = 198% 100 100  Aumento único = 198% - 100% = 98% 

A1

12

12 2

 El área: A1 = 102  A1 = 100 A2 = 122  A2 = 144  Aumento en 44%

Resolución

Ejemplo 2: Si el radio de circulo aumenta en 100%, ¿En qué porcentaje aumentara su área?

Final Inicial

A2 Aumento 20% 10 = 2

10

VARIACIÓN PORCENTUAL Ejemplo 1: Si el lado de un cuadrado aumenta en 20% ¿En que porcentaje aumenta su área?

a

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

A2

A1 a

120% a +20%  El área:

El área: A1 = a2

2

2

A = (120% a) A2 = 120%a . 120%a = 144% a2  El área aumenta en 144% - 100% = 44%

Aritmética

65

66

A1 = (102)

A2 =  (202)

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

APLICACIÓN COMERCIAL Ejemplo: Aurelio compró una computadora en S/. 400 (precio de costo: P C) y decide ofrecerle en $500(precio fijado: Pf) sin embargo, ala momento de venderlo lo hace por S/. 420(precio de venta PV), se realiza un descuento de (500 – 420 = 80 soles) y se obtuvo una ganancia de 420 – 400 = 20 soles, (ganancia bruta: GB); pero esta operación comercial genera gastos pos S/. 5 o sea se ganó realmente 20 - 5= 15 soles (ganancia neta GN) veamos:

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Tercer Año

Resolución:  Sea precio de costo S/. X 1° PF = x + 80%x  PF = 180%x 2° D = 40% PF 3° PV = 60% (PF) = 60% (180%x) = 108%x Luego: PV = PC + G 108%x = x + G  G = 8%x  ganancia es el 8% del costo

MÉTODO CIENTÍFICO

Van Dumholtz tiene dos grandes frascos delante de sí, uno con muchas pulgas y el otro vacío. Saca cuidadosamente una pulga del frasco, la pone ante el frasco vacío, da un paso atrás y dice "salta", tras lo cual la pulga salta al frasco. Metódicamente, saca otra pulga, la pone en la mesa, dice "salta" y la pulga salta al frasco que estaba vacío al principio. Cuando ha terminado de cambiarlas de frasco de este modo, saca una del frasco que ahora está lleno, le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Ordena "salta", pero la pulga no se mueve. Saca otra pulga del frasco, le quita cuidadosamente las patas de atrás y la coloca en la mesa frente al primer frasco. Vuelve a ordenar "salta", pero la pulga no se mueve. Van Humholtz continúa metódicamente el mismo procedimiento con las pulgas restantes y obtiene los mismos resultados. Entusiasmado, Van Dumholtz anota en su cuaderno: "Cuando se le quitan las patas traseras a una pulga, deja de oír."

Luego del gráfico: * . PV = PF – D .

* . PV = PC + GB .

GB = GN + Gastos

Si hay pérdida: . PV = PC – P . Ejemplo: Para fijar el precio de venta de una articulo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 40%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?

Aritmética

67

68

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El radio de una esfera disminuye en 40% con ellos el volumen disminuye en: Rpta.

56, 8%

3. Si la base de un rectángulo se incremente en 20%. ¿En cuánto disminuye la altura si el área no varia? Rpta.

14. En una reunión el 70% del

el número de patos, conejos y

número de mujeres es igual

16 2/3%

relación de los

números

5

4,

200

Rpta. 7. El a% de 300 es b y b% de 30 es 27. Hallar a. Rpta.

Rpta.

y

6.

¿Qué

40%

de personas son hombres. Si se

30

90

del total son mujeres? Rpta.

41,6%

15. En una

son gallinas. Si se venden la

25%

2% más de B si A + B = 546. Hallar A - B Rpta.

mitad de los pollos; 4/9 de los

patos

porcentaje de N representa 53? Rpta.

70

¿Qué

3/5

de

las

porcentaje

Rpta.

50%

66

13. Si el 65% de “N” es igual al

1078

y

del nuevo total son patos?

16. ¿Qué

5. El 25% de que número es el 35% de 770

granja: el 30% de

45% son patos y el resto

12. El 20% menos de A es igual a

100 c/b

69

de

hombres. ¿Qué porcentaje

gallinas.

100/11

número

es el nuevo porcentaje de

Rpta.

9. El a% de b es c el c% de a es e. Hallar a.

del

los animales son pollos, el

106% de (N - 123). ¿Qué

Aritmética

50%

retira la mitad de éstos. ¿Cuál hombres?

4. El x% de 2057 es 187. Hallar “x”

Rpta.

al

11. En una reunión el 40% del total

8. El 18% de 990 es el n% de 198. Hallar n.

Rpta.

Rpta.

pavos en la

porcentaje del total son pavos?

78, 4%

2. Tres descuentos sucesivos del 40%, 20% y 10% respectivamente equivalen aun descuento único de: Rpta.

10. Se observo que en una granja

6. ¿De que número es 216 el 8% más? Rpta.

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

16.6%

porcentaje

del

cuádruplo de la mitad del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del número? Rpta.

2%

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. La

base

de

un

8. Hallar el 20% del 25% del 40% del 15 por 60 de 24000

triángulo

4. Si el lado de un cuadrado

aumenta en 50% y su altura en

disminuye en 30%. ¿En qué

20%. ¿En qué porcentaje varia

porcentaje disminuye el valor

en área?

de su área?

A) 70%

B) 80%

D) 40%

E) 50%

C) 60%

A) 60%

B) 30%

D) 51%

E) 56%

C) 39%

A) 120 D) 125

5.

B) 100 E) 124

10. ¿El 25% de 280 es el 40% más de que número?

C) 140

A) 40 D) 28

B) 50 E) 48

C) 35

9. Hallar el 20% del 30% del 15% de 10000. A) 50 D) 100

2. Si al altura de un rectángulo

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

B) 70 E) 110

C) 90

Hallar el 36% de 2500

disminuye en 35% y la base aumenta en 10%. El área

A) 693.3

B) 1000

C) 900

D) 368

CLAVES

E) NA

A) Aumenta en 28.5% B) Aumenta en 25,8% C) Disminuye en 28. 5% D) Disminución en 25,8%

6. ¿De que número es 72 el 2.4%?

E) N.A.

A) 3 3. De un depósito de agua se

B) 172.8 C) 300

D) 3000 E) N.A

extrae primero el 20% y luego el 25%. ¿Qué porcentaje del total se extrajo? A) 40%

B) 44.2%

D) 45%

E) 39.7%

Aritmética

C) 44%

7. ¿Qué % de 38000 es 190? A) 1/2

B) 50%

D) 2%

E)N.A

1. B

6. D

2. C

7. A

3. A

8. A

4. D

9. C

5. C

10. B

C) 1/200

71

72

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: REGLA DE INTERÉS

. 1=

INTERÉS Es la ganancia o beneficio al prestar un capital durante cierto tiempo y bajo una tasa a considerarse. Si el interés es anual se le llama renta. Interés (I) : Crédito, renta (anual) Capital (C) : Dinero, acciones, propiedades, etc. Tiempo (T) : Año, meses, días OBSERVACIONES: EL AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL, AQUEL QUE TIENE 12 MESES 30 DÍAS CADA UNO

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

C. r. t 1200

, “t” en días. .

Ejemplo: Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de 12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es el monto que obtiene? Resolución: C = S/. 4000 r = 12% semestral  24 % anual t = 15 meses C. . r . t 4000 . 24 . 15 I= = = 1200 1200 1200

DE

Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado como tasa de interés.

Y como M = C + I M = 4000 + 1200

OBSERVACIONES: POR EJEMPLO, TENEMOS: 3 % MENSUAL  36% ANUAL 12% BIMENSUAL  72% ANUAL 10% QUINCENAL  240% ANUAL

M = 5200

Monto (M) : Viene a ser la suma del capital con su interés Asi: . M=C+1 . SE

Fórmulas para calcular el interés simple: . 1=

. 1=

Aritmética

C. r. t 100 C. r. t 1200

ATREVIDO Y VALIENTE.

CUANDO

VUELVAS LA

VISTA ATRÁS, LAMENTARÁS MÁS LAS COSAS QUE NO HAYAS HECHOS QUE AQUELLAS QUE HICISTE.

, “t” en años .

MARDEN

, “t” meses .

73

74

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuál es la suma que al 5% de interés simple anual se convierte en 3 años en S/. 3174 ? Rpta.

S/. 2760

2. Determinar el interés generado al depositar S/. 1200 al 10% trimestral durante 6 meses Rpta.

S/. 240

5. los 2/5 de un capital han sido impuesto al 30%, 1/3 al 35% y es

de

41200

6. Un

9. Durante cuanto tiempo estuvo depositado un capital al 12% anual si el interés producido alcanza el 60% del capital

S/. 120000

capital

de

2100

Rpta.

S/. 7500

Rpta.

Aritmética

S/. 60000

Rpta.

soles

5 años

impuesto al 6% anual ha dado un

monto

de

S/.

2400.

Rpta. 2 años 4 meses 20 días

10. Un comerciante dispone de S/. 12000 y coloca una parte al 3% y la otra al 5% tal es así que acumula una renta anual de S/. 430. ¿Cuáles son esas dos partes? Rpta.

monto de S/. 19300. si el mismo

capital

se

hubiera

impuesto a la misma tasa de interés por años, el monto

soles. Si el interés ha sido 1/10 del capital. Calcular la tasa.

11. ¿A que tasa de interés cuatrimestral se presto un capital de S/. 400 de tal manera que al cabo de 8 meses produce un monto de S/. 432?

4%

Rpta.

75

es la tasa anual? Rpta.

150%

13. Una persona tiene S/. 16000

76

y otra tiene S/. 20000 que lo presta al 5% cuatrimestral. ¿Dentro de cuántos años los monto serán iguales? Rpta.

20

S/. 8500 y S/. 3500

2 años y medio; entre capital e

Rpta.

simple produjo en 8 meses un

que lo presta al 5% trimestral

7. Un capital es colocado durante interés resultan 2728 nuevos

4. Calcular el interés producido por un capital de S/. 60000 impuesto durante 30 meses al 10% trimestral.

S/. 12045

12. Un capital colocado a interés

hubiera sido S/. 38600. ¿Cuál

anuales. Calcular el capital Rpta.

Rpta.

soles

Calcular el tiempo. 3. Un capital estuvo al impuesto al 9% de interés anual y después de 4 años se obtuvo un monto S/. 10200. ¿Cuál es el valor del capital?

8. Hallar el monto que produce un capital de 10800 soles al ser colocado 5% durante 2 años, 3 meses, 20 días

el resto al 40%. El interés total

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

4%

14. ¿Qué capital es aquel colocado al 5% anual durante 10 meses, produce S/. 3300 menos que si se impusiera al 5% mensual durante el mismo tiempo? Rpta.

7200

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

15. ¿A qué tasa debe colocarse un capital para que al cabo de 5 años se produzca un interés igual al 20% del monto? Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza”

1. Calcular el interés producido por S/. 2000 impuesto durante 3 años

V.L.E.B.

5%

A) S/. 500 C) S/. 2000 E) S/. 2500

B) S/. 1000 D) S/. 1200

2. ¿A que tasa de interés, la suma de S/. 20000 llegaría aun monto de S/. 21200 colocada a interés simple en 9 meses?

WIENER, NORBERT Norbert Wiener era el típico matemático despistado. En cierta ocasión su familia se mudó a un pueblo muy cercano a donde vivían antes. Su esposa, conociéndole, decidió mandarle al MIT como todos los días, y ella se encargó de la mudanza. Tras repetirle cientos de veces (quizás más) que se mudaban tal día, el día D le dio una hoja de papel con la nueva dirección, porque estaba absolutamente segura de que lo iba a olvidar. Desgraciadamente, usó este papel para resolverle por la otra cara una duda a un estudiante. Cuando volvió por la tarde a su casa, por supuesto, se olvidó de que se habían mudado Su primera reacción al llegar a su antigua casa y verla vacía fue la de pensar que le habían robado, y entonces recordó lo de la mudanza. Como tampoco conseguía recordar a dónde se habían mudado y no tenía papel, salió a la calle bastante preocupado, y vio una chica que se acercaba; entonces le dijo: - Perdone, pero es que yo vivía aquí antes y no consigo recordar... - No te preocupes, papá, mamá me ha mandado a recogerte. (Hay que decir que era de noche y no se veía bien.)

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

A) 5% D) 8%

B) 6% E) 9%

A) S/. 180 C) S/. 220 E) S/. 250

B) S/. 200 D) S/. 240

5. Un capital “C” produce al cabo de dos años un beneficio de 1440. Hallar “c”, si la tasa de interés es del 10% bimestral.

C) 7%

3. Calcular el interés producido por un capital de S/. 40000 durante 4 años al 30% semestral A) S/. 98000 C) S/. 48000 E) S/. 54000

4. Cuál es el capital que se coloca al 30% durante 2 años para obtener un interés de S/. 120.

B) S/. 96000 D) S/. 72000

A) 1320 B) 1440 D) 1220 E) 1260

C) 1200

6. ¿Cuál

fue el capital que impuesto al 30% anual, durante 4 años ha producido un monto de S/. 220? A) 200 D) 400

B) 100 E) 180

C) 300

“La conciencia es la columna vertebral del alma, mientras la conciencia es recta se sostiene en pie, yo no tengo más que esa fuerza pero ella sola me basta”

Homero

77

78

Aritmética

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

7. Durante cuántos años se deposito 9. ¿A que tasa fue impuesto un capital si durante 4 años se un capital de S/.2500 en un banco obtuvo un interés igual al 22% que paga el 9% trimestral para que del capital? se haya convertido en S/. 5200 A) 2

B) 3

D) 5

E) 6

PÁG.

10. ¿Cuántos meses estuvo colocado un capital al 3% 8. ¿Cuánto tiempo debe ser prestado cuatrimestral, si produjo un un capital al 20% para que se interés igual al 6% del capital? triplique? A) 4 meses C) 8 meses E) 1 año

A) 8 años B) 9 años C) 10 años D) 11 años

ÍNDICE

A) 3% B) 3,5% C) 5% D) 5,5% E) 6%

C) 4

Tercer Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

E) 12años

B) 6 meses D) 10 meses

RAZONES Y PROPORCIONES ........................................................................................ 7

PROMEDIOS .................................................................................................................. 31

MAGNITUDES PROPORCIONALES ................................................................................ 40

REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE ............................................................................... 53

CLAVES TANTO POR CIENTO .................................................................................................... 61

Aritmética

1. D

6. B

2. D

7. B

3. B

8. C

4. B

9. D

5. C

10. B

REGLA DE INTERÉS ...................................................................................................... 73

79

80

Aritmética