• Author / Uploaded
• Liz castillo castillo

• Categories
• Integral
• Curva
• Geometría analítica
• Geometría
• Física y matemáticas

Citation preview

Áreas de regiones rectangulares, planas y polares 1. AREA DE FIGURAS EN COORDENADAS RECTANGULARES

1.1. Área bajo una curva Considerando solo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana.

El área del elemento diferencial será: 𝑑𝐴 = ℎ𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝜕𝑥 𝑏

Por lo tanto, el área de la región plana es: 𝐴 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝜕𝑥 𝑏

Entonces el área de la región plana está dada por: 𝐴 = ∫𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝜕𝑥

1.2. Área entre curvas Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será: 𝑑𝐴 = ℎ𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝜕𝑥

CONCLUSIÓN Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1) Dibuje las curvas dadas. 2) Identifique la región plana, aquí se definen los limites de integración. 3) Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4) Defina la integral o las integrales para el área. 5) Evalué la integral definida. EJEMPLO 1 Calcular el valor del área de la región limitada por {

𝑦 =𝑥+4 𝑦 = 𝑥2 − 2

SOLUCIÓN Graficamos en un mismo plano 𝑦 = 𝑥 + 4 𝑦 𝑦 = 𝑥 2 − 2 Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intersecciones de las curvas Definimos el elemento diferencial 𝑥 + 4 = 𝑥2 − 2 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 𝑥=3

La integral definida para el área sería: 3

𝐴 = ∫[(𝑥 + 4) − (𝑥 2 − 2)] 𝜕𝑥 2

Evaluando la integral definida, tenemos: 3

3

𝐴 = ∫[(𝑥 + 4) − (𝑥 2 − 2)] 𝜕𝑥 = ∫[−𝑥 2 + 𝑥 + 6] 𝜕𝑥 2

2 3

𝑥3 𝑥2 𝐴 = (− + + 6𝑥)| 3 2 −2

𝐴 = (−

(−2)3 (−2)2 33 32 + + 6(3)) − (− + + 6(−2)) 3 2 3 2

𝑣

𝑥 = −2

9 8 𝐴 = −9 + + 18 − + 2 − 12 2 3 5 𝐴= 6 EJEMPLO 2 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥 Calcular el valor del área de la región limitada por { 𝑦=0 SOLUCIÓN Dibujamos 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥 Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. Definimos el elemento diferencial

𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥 = 0 𝑥(𝑥 2 − 𝑥 − 6) = 0 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 𝑥 = 0 𝑣 𝑥 = 3 𝑣 𝑥 = −2

La integral definida para el área sería: 0

3

𝐴 = ∫[(𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥) − (0)]𝑑𝑥 + ∫[(0) − (𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥)]𝑑𝑥 −2

0

Evaluando la integral definida, tenemos 0

3 3

2

𝐴 = ∫[(𝑥 − 𝑥 − 6𝑥) − (0)]𝑑𝑥 + ∫[(0) − (𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥)]𝑑𝑥 −2

0 0

3 3

𝐴 = ∫[𝑥 − 𝑥 − 6𝑥]𝑑𝑥 + ∫[−𝑥 3 − 𝑥 2 + 6𝑥]𝑑𝑥 2

2

0

0

𝐴=(

𝐴 = [0 − (

3

𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥4 𝑥3 𝑥2 − − 6 )| + (− + + 6 )| 4 3 2 −2 4 3 2 0

(−2)4 (−2)3 (−2)2 34 33 32 − −6 )] + [(− + + 6 ) − (0)] 4 3 2 4 3 2 𝐴=

253 12

1.3. Áreas de regiones simple-(y) Si la región plana tuviese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será 𝑑𝐴 = ℎ𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑦 = 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 𝑑

Entonces el área de la región plana es: 𝐴 = ∫𝑐 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 Y para el caso de regiones simple-y más general, tenemos:

El área del elemento diferencial será: ∂A=h∂y=[f(y)-g(y)] ∂y Entonces el área de la región plana está dada por: 𝑑

A=∫𝑐 [f(y) − g(y)] ∂y Ejemplo 3 𝑦 = √𝑥 Calcular el área de la región limitada por {𝑦 = −𝑥 + 6 𝑦=0 Solución: Paso 1: se dibuja en un mismo plano y=√𝑥 y 𝑦 = −𝑥 + 6. Paso 2: identificamos la región plana, sombreada y hallamos las intercepciones de la curva. Paso 3, 4 y 5: en este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas.

√𝑥 = −𝑥 + 6 X=X2-12X+36 X2-13X+36=0 (x-9)(x-4)=0 X=9 v X=4 El area esta dada por: 4

6

A=∫0 √𝑥 ∂x + ∫4 (−𝑥 + 6) ∂x =2/3(x)3/2l40 + (-x2/2 + 6x) l 64 =16/3-18+36+8-24 A=22/3 Segundo método Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por:

2

A=∫0 [(6 − 𝑦) − 𝑦 2 ] ∂y =(6y-y2/2 –y3/3) 20 =(6(2)-22/2-23/3)-(0) =12-2-8/3 A=22/3 Ejemplo 4 𝑦=𝑥−1 Calcular el área de la región limitada por:{ 𝑥 = 3 − 𝑦2 Solución: PASO, paso 2 y paso 3:el diferencial sería mejor horizontal en este caso: Y+1=3-y2 y2+y-2=0 (y+2)(y-1)=0 Y=-2 v y=1 Paso 4 y 5: el área de la región seria: 1

A=∫−2[(3 − 𝑦 2 ) − (𝑦 + 1)] ∂y 1 =(y3/3 –y2/2+2y) −2

A=9/2

1.4. Propiedades de la función Área Se cumplen las siguientes propiedades (1) 𝐴(𝑅) ≥ 0

(2) Si una región T se compone de dos regiones R y S, entonces 𝐴(𝑇) = 𝐴(𝑅) + 𝐴(𝑆) − 𝐴(𝐶) Donde C es la región común a R y S

1.5. Problemas Resueltos Problema 1: Hallar el área de la región limitada por la parábola 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥 2 y el eje X. Solución: Calculamos los límites de integración 0 = 4𝑥 − 𝑥 2 , 𝑥 = 0,4 Tenemos 4

𝐴 = ∫ (4𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 0

𝐴=

32 3

2𝑥 2 −

𝑥3 4 ] 3 0

PROBLEMA 2 Encuentra el área de la región acotada por las curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 8𝑥 Y 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 SOLUCION Resolviendo la ecuación 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 8𝑥 = 𝑥 2 − 4𝑥 para hallar los límites de integración, tenemos 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 12𝑥 = 0 De donde x=0, 3, 4

𝑜

𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) = 0

Tenemos 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 12𝑥 = 𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 − 4) En 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≥ 0 y en 3 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≤ 0, Luego 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 3

4

𝐴 = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 + ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥 0

3

3

4

𝐴 = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ −(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 0

3

𝑥4 7𝑥 3 3 𝑥4 7𝑥 3 4 𝐴= [ − + 6𝑥 2 ] − [ − + 6𝑥 2 ] 4 3 0 4 3 3 45 7 71 𝐴= + = 4 12 6

2. Áreas de regiones planas (coordenadas cartesianas): En las aplicaciones de la integral definida que veremos en adelante, nos apoyaremos en 2 hechos básicos ya estudiados. El primero de ellos es que para cualquier función continúa f sobre un intervalo cerrado [a, b], el límite de la suma de RIEMANN (es decir, la integral definida) de f existe. Lo expresamos así. (1) 𝑛

𝑏

lim (∑ f (xi)∆xi) = ∫ f (x)dx ⃒𝑃⃒⃒→0

𝑖=1

𝑎

Donde P es una partición genérica [a, b]; P= (a=x0