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• Miguel Angel Saravia Cueva

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Ciclo 2014-3

ÁREAS DE REGIONES PLANAS 1º CASO: Como se recordará, si f es una función continua en el intervalo a, b , b

 f ( x)dx

entonces

representa

a

geométricamente, el área de la región bajo la curva f y el eje x, desde x = a hasta x = b. b

A   f ( x)dx a

2º CASO: Análogamente, el área de la región comprendida entre g y  c hasta y  d , siendo continua en [c, d] será: d

A   g(y)dy c

Ejemplo 1: Hallar el área de la región limitada por la curva y  f ( x)  x 2 , el eje x y las rectas x=1 y x=3 Solución: 3

3

x3 33 13 A   x dx    31 3 3 1 2

1 26  9   u2 3 3

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Ejemplo 2: Hallar el área de y  f ( x)  4 x  x 2

la región limitada entre el eje x y por la curva Solución:

Los límites de integración serán los puntos donde se intercepta la curva con el eje x. 4x  x2  0 x(4  x)  0 De aquí se tiene que x=0 y x=4, 4

x3 A   4 x  x dx  2 x  3 0 2

4

 43   03   2(4) 2    2(0) 2   3  3  32 2  u 3

2

0

Ejemplo 3: Hallar el área de x  y 2 ( y  1) .

la figura por el eje de las ordenadas y la curva Solución

Para encontrar el área, solucionamos la ecuación y 2 ( y  1)  0 para encontrar los límites de integración. Es fácil ver que esta ecuación tiene como solución y  0  y  1 . 1



1



Area  y ( y  1)dy  y 3  y 2 dy 2

0

0

y 4 y3   4 3 

1

0

1 1  4 3

Ejemplo 4: Hallar el área de la región limitada por la curva x  4  y 2 y el eje y Solución La parábola corta al eje y en los puntos (0,2) y (0,-2) Los límites de integración son y  2 e y  2 2

 y3  32 A   4  y dy  2 4  y dy  24 y    3 0 3  2 0 2



2



2



2



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Signo de la integral definida  Si f ( x)  0 (la gráfica de f está sobre el eje x) en [a, b] , entonces



b

a

f ( x)dx  0

 Si f ( x)  0 (la gráfica de f está por debajo del eje x) en [a, b] , entonces



b

a

f ( x)dx  0 .

Como el área es una medida, se debe expresar como número positivo; por lo que en el presente caso el área (no la integral definida) es: b

A    f ( x)dx ó A  a



b

a

f ( x)dx

Ejemplo 5: Hallar el área de la región limitada por la curva y  x 2  7 x  6 el eje x y las rectas x=2 y x=6 Solución: 6

 x3  x2 56  6 x   A    x  7 x  6dx     7 2 3  3  2 2 6

2

Ó 6

A

 x

2

 7 x  6  dx  

2

56 56  3 3

Área del recinto limitado por una función que cambia de signo en a, b Si la gráfica de una función queda parte por encima y por debajo del eje x, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje x en el intervalo a, b Por la propiedad (6) b



c

d

b

a

c

d

f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

a

d

Ahora bien, el área de la región A2    f ( x)dx c

c

b

a

d

y A1   f ( x)dx y A3   f ( x)dx Entonces: Ó también

A  A1  A2  A3 A

c

d

b

a

c

d

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 3

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Ejemplo 6: Hallar el área de la región entre el eje x y la gráfica de y  x3  x 2  2 x ,

1  x  2 . Solución: Primero encontraremos en qué puntos la curva se intercepta con el eje x: x3  x 2  2 x  0 x( x 2  x  2)  0 x( x  2)( x  1)  0 Se tiene x  0, x  1, x  2 Estos puntos subdividen al intervalo [1, 2] en dos subintervalos: [1, 0] , en donde f ( x)  0 [0, 2] , en donde f ( x)  0

El área A= A1  A2 Integrando f en cada subintervalo: 0

x 4 x3 5 A1    x  x  2 x dx    x 2  1 4 3 12 1 0

3

2

2

x 4 x3 8 A2    x  x  2 x dx    x 2   0 4 3 3 0 2

3

A2 

ó

2

 x 2

3

0

 x 2  2 x dx  

Entonces el área es A 

8 8  3 3

5 8 37 2   u 12 3 12

Ejemplo 7: Hallar el área de la región limitada por la curva y  x 3  x Solución: El área será: A  A1  A2 0





5



y x= -5, x=5



A    x 3  x dx   x 3  x dx 5

0

5

 x4 x2   x4 x2  A         2  5  4 2 0 4    54  52   5 4 5 2       A       4 2 2   4   4 2    5  5 A 

 5 4 5 2  54 675      25  4 2 2 2 2 4 675 2 Luego el área de la región es u 2 4 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS-CAJAMARCA

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ÁREA DE LA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS Ó MÁS CURVAS

Como se recordará, si f es una función continua en el intervalo a, b , entonces

b

 f ( x)dx

representa

a

geométricamente, el área de la región comprendida

x  a hasta

entre la curva f y el eje x, desde xb

Si g es una función continua en el mismo intervalo

a, b ,

b

entonces

 g ( x)dx representa

también el

a

área de la región comprendida entre la curva g, el eje x y los límites x  a y x  b .

ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS: Si f y g son continuas en a, b y g ( x)  f ( x) para todo x en a, b , el área de la región acotada por las gráficas de f y g entre las rectas verticales x  a y x  b es b

b

b

a

a

a

A   f ( x)dx   g ( x)dx    f ( x)  g ( x)dx

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Análogamente, el área de la región comprendida entre x  f ( y) ; x  g ( y) . Desde y  c hasta y  d , siendo f y g continuas en a, b y con g ( y)  f ( y) , será: d

d

d

c

c

c

A   f ( y )dy   g ( y )dy    f ( y )  g ( y)dy

Ejemplo 1: Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de f ( x)  2  x 2 y g ( x)  x . Solución: Los límites de integración serán los puntos donde se intersecan las curvas de las dos funciones. Para determinar estos puntos se igualan las dos ecuaciones y se resuelve el sistema para el valor de x, esto es: f ( x)  g ( x) 2  x2  x 0  x2  x  2 0  x  2x  1 x  2 o x  1 Así pues a  2 y b  1 . Como g ( x)  f ( x) para todo x del intervalo  2,1

El área de la región resulta ser: A

2

1

 x3 x2  9 2  x  x dx   2  x  x dx  2 x     u2 3 2  2 2  2

  1

2

 

1



2



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Ejemplo 2: Calcular el área de la región comprendida entre las graficas de las funciones f ( x)  3x 3  x 2  10 x y g ( x)   x 2  2 x Solución: Los límites de integración serán los puntos donde se intersecan las curvas de las dos funciones. Para determinar estos puntos se igualan las dos ecuaciones y se resuelve el sistema para el valor de x, esto es: f ( x)  g ( x) 3 2 3x  x  10 x   x 2  2 x 3x 3  10 x  2 x  0 3x 3  12 x  0 3x( x 2  4)  0 x  0 , x  2 o x  2 Se ve que g ( x)  f ( x) en el intervalo  2,0 y f ( x)  g ( x) en el intervalo 0,2.

Por lo tanto se necesitan dos integrales, una el intervalo  2,0 y otra en 0,2 :

A

0

2

2

0

  f ( x)  g ( x)dx   g ( x)  f ( x)dx  3x 0

A

3

2

 3x

2



2



 



0

0

A

 

 x 2  10 x   x 2  2 x dx    x 2  2 x  3x 3  x 2  10 x dx

3



2





 12 x dx    3x 3  12 x dx 0 0

2

 3x 4   3x 4    6 x 2     6x 2   4  2  4 0  12  24   12  24  24

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Ejemplo 3: Hallar el área comprendida entre la parábola y 2  4 x y la recta y  2 x  4 Solución Veamos en qué puntos la recta corta a la parábola. Para determinar estos puntos se igualan las dos ecuaciones y se resuelve el sistema. y2 y4 De: x y x 4 2 y2 y  4 Luego igualando las ecuaciones:  4 2 2 y  y4 2 y2  2y  8  0 y  2 o y  4 Luego cuando y  2 , x  1 y cuando y  4 , x  4 . Entonces los puntos de intersección son: 1,2 y 4,4 Para hallar el área se puede hacer de dos formas: Forma 1: si deseamos integrar con respecto a y, tendremos una sola integral. y2 y4 Se tiene: f ( y )  y g ( y)  4 2

4

A

 g ( y)  f ( y)dy

2 4

y4 A    2  2 4 y A   2 2 2 

y2   dy 4 y2   dy 4 4

 y2 y3  A    2x   12  2 4

A  9 Unidades cuadradas

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Forma 2: Si deseamos integrar con respecto a x, tendremos dos subregiones. Dividimos el área por la recta x  1 . De y 2  4 x tendríamos: y   4 x Luego:



1



4

A    2 x  2 x  dx    2 x   2 x  4   dx   0 1

1

4

A   4 xdx    2 x  2 x  4  dx 0

1

4

1

2  2  A  4 x3/2   2 x3/2  x 2  4 x  3  3 1 0 4

1

8 3 4 3  A x  x  x2  4x  3 3 1 0

8  4 3  4  A    4  42  4(4)    1  12  4(1)   3  3  3  8 19 A    9 u2 . 3 3

y2 x

y  2x  4

y  2 x

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Ejemplo 5: Hallar el área comprendida por la gráfica de y  xe x , y  0, 0  x  1 2

Solución Veamos las intersecciones 0  xe x tenemos x  0, solo tiene un punto de intersección que coincide con el límite inferior del intervalo. Luego el área pedida es: 2

1

A   xe x dx 2

0

Con la sustitución u  x 2 entonces du  xdx 2 1

1 1 1 2  A   ex   e  2  2 0 2 e 1  2

Ejemplo 6: Hallar el área comprendida de la región sombreada. Ver figura. R 4 x  y  12  0

y  x2

P Q

y  8  x2

Solución Encontrando los puntos de intersección: P, Q y R para poder encontrar los limites de integración: Para encontrar P resolvemos la siguiente ecuación: x 2  8  x 2 . La solución de esta ecuación es x  2  x  2 . Luego P  (2, 4) .

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Aprovechando nuestro resultado anterior tenemos que Q  (2, 4) . Con respecto al punto R, tenemos que resolver la ecuación: 4 x  12  x2 , el cual tiene como solución x  2  x  6 . Este último resultado nos permite afirmar que R  (6,36) . Luego, el área pedida es: 2

6

Area   [(4 x  12)  (8  x 2 )]dx   [(4 x  12)  ( x 2 )]dx 2

2

2



x

6

2

2

3

 4 x  4dx   4 x  12  x 2 dx 2

2

2

6

x 4x 4x2 x3    4x   12 x  3 2 2 3 2

2

2 4.2 (2) 4.(2) 4.62 (6)3 4(2) 2 (2)3   8)  (   8)]  [(  12(6)  )(  12.(2)  )] 3 2 3 2 2 3 2 3  64 u 2  [(

3

2

3

2

EJERCICIOS PROPUESTOS Nivel 1 En los siguientes ejercicios, esboce la grafica y calcule el área de la región bajo la curva. 1. y  2 x  3; x   1;2

6. y  3  2 x;

2. y  2 x  4; x   2;4

7. x  2 y  y , eje y 8. f ( x)  x 2  2 x; x  3, x  1 9. f ( x)  3  2 x  x 2

3. y  x 2  1; x  0;2 4. y   x 2  x; x  0;1 1 5. y  3  x 2 ; y  0 entre x  0 y x  3 3

x  2, x  4 , el eje x

2

10.

f ( x)  x  3  2, x  0, x  6 2

Nivel 2 En los siguientes ejercicios, esboce la región acotada por las graficas de las funciones y calcule su área. 1. 2. 3. 4. 5.

y  x 2  2 x  1; y  3x  3 3 2 yx ; yx 2 x y ; x  y2 2 x  y  1; x  0, y  1, y  0 x  3  y2 ; x  y 1

6. y  x  1 , el eje x, el eje y x  8 y  8; x  1 7. y  x3 ; 2 2 y  x  4x 8. y  6  x ; 2 y  3  2x  x2 9. y  x  4 x  3; x   y; x  2  y2 10. 11

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11.

x  y 2  2 y  2;

x  2  2 y  y2

12. 13.

x y ; x  y2 f ( y)  y 2 , g ( y)  y  2

15.

f ( y)  y(2  y) , g ( y)   y f ( y)  y 2  1 , g ( y)  0 , y  1 , y  2

16.

x  3  y2 y x  y 1

14.

2

En los siguientes ejercicios, calcule el área de la región comprendidas por las siguientes funciones 1. y  x3  3x2  2 , y  x3  6 x 2  25 2. y  x3  5x2  8x  12 , y  x3  6 x 2  21 3. y  3x  x  10 x, y   x  2 x 4. y  x3  6 x 2  8x, y  x 2  4 x 5. y  x3  3x2  10 x; y  6 x 3

2

2

6. f ( x)  x( x2  3x  3) , g ( x)  x 2

7. f ( x)  x3  2 x  1 , g ( x)  2 x , x  1 8. f ( x)  x4  2 x2 , g ( x)  x 2  4. 9. f ( x)  x4  4 x2 , g ( x)  x3  4 x. 10.

f ( x)  1 (1  x 2 ) , g ( x)  12 x 2 .

11.

f ( x)  6 x (1  x2 ) , y  0 , 0  x  3.

Hallar el área de la región R señalada en la figura adjunta que está limitada por las x2 gráficas de las ecuaciones y   2 x  1 , 2 x y   1, y  x  5 3

Para cada región sombreada, a) Encuentre los puntos de intersección de las curvas. b) Plantee la integral que representa el área de la región sombreada. c) Encuentre el área de la región sombreada. y = 2x – 4

y

y=

4

x +2

x

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