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• Arturo Rojas

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6. MARCOS Y CONTRAVENTEO

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Estabilidad estructural

J.G. Rangel Ramírez

6. MARCOS Y CONTRAVENTEO PANDEO ELÁSTICO DE MARCOS En el análisis de la resistencia de los marcos es siempre necesario saber la carga de pandeo del marco en el plano. Esta carga de pandeo es un parámetro que no da del todo la resistencia del marco y aunque es muy poco conocimiento de este, si es importante. En la figura (6.1) se muestra un marco de una crujia con dos cargas concentradas en los nodos superiores de cada columna.

Figura 6.1 Marco y pandeo lateral sin arriostramiento por contraventeos

Si la carga P sobre cada nodo es menor que la carga crítica, entonces existira solo un acortamiento en las columnas, sin una deformación lateral. Cuando P=P cr es entonces cuando la forma pandeada empezara a formarse. Para obtener esta carga crítica para el marco de la figura (6.1) es posible hacer lo que ya se venía haciendo en otros capítulos (por le método del equilibrio), que es, tomar las ecuaciones que establecen el equilibrio y relacionan las fuerzas con desplazamientos y sus efectos, usar las condiciones de frontera y así llegar a la carga crítica. Este procedimiento es factible y aceptable para nuestro ejemplo del la figura (6.1), sin embargo para marcos de varias crujias y niveles, esto consumiría mucho tiempo. Para empezar el análisis de este marco, se empezara por mostrar las ecuaciones pendiente-deflexión que se ven en los tópicos dentro del análisis estructural. Para elementos prismáticos estas ecuaciones deben obtenerse superponiendo los diferentes estados posibles de la deformación, rotación, desplazamiento y deflexión de una viga columna. Estos estados se pueden ver esquematizados en la figura (6.2).

Figura 6.2 Deformaciones posibles de una viga-columna

Las ecuaciones son las siguientes, son para elementos prismaticos y toman en cuenta las rotaciones y deflexión de la barra de la figura (6.2) en la figura inferior derecha:

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M A=

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E Ix E Ix [4 θ A+2θ B−6 ρ ] y M B= [ 2 θ A+4θ B −6 ρ ] L L

6.1a,b

Estas ecuaciones no toman en cuenta una carga axial por lo que son validas cuando P=0 . Si se recuerda, la ecuación diferencial que gobierna las deformaciones de la viga-columna en el plano es: 2

Fυ =

υ iv +F υ 2υ ' ' =0 Donde

P E Ix

5.11a,b

Si el elemento estructural tiene doble simetría, la solución de esta ecuación diferencial (5.11a) sería igual a la ecuación diferencial (4.19b) de la unidad (4). Si se utilizan las condiciones de frontera, υ (z =0)=υ ( z=L)=υ ' ' (z= L)=0 y υ (z =0)=−M A /E I x , entonces su solución para su deflexión será:

υ=

(

)

MA sen( F υ z) z ⋅ cos (F υ z)− + −1 P tan(F υ z) L

6.2

Como ya se ha explicado las rotaciones en los extremos pueden ser calculadas al derivar con las condiciones iniciales, υ ' ( z=0) y υ ' ( z= L) :

MA P M υ ' ( z= L)=θ B = A P

υ ' ( z=0)=θ A =

( (

) )

Fυ 1 − L tan (F υ L) Fυ 1 − L sen( F υ L)

6.3 6.4

Además de la figura (6.2) en la figura inferior izquierda, las rotaciones de los extremos pueden ser descritas por las siguientes ecuaciones:

MB P M θ B= B P

θ A=

( (

) )

Fυ 1 − L sen ( F υ L) Fυ 1 − L tan( F υ L)

6.5 6.6

Estas ecuaciones (6.5) y (6.6) sería también el caso de que se inviertan cuando z =0 y z =L , es decir, que se puedan describir ambos giros con los momentos en los extremos, no importanto que se considere nodo inicial uno u otro. Siguiendo con la manipulación algebraica, se toman las expresiones (6.3) a (6.6) y se 2 superponen (suman) tomando en cuenta que F υ =P / E I x , por lo queresulta lo siguiente:

1−F υ L/ tan( F υ L) L(c M A−s M B ) c= , E Ix (F υ L)2 F L/ sen ( F υ L)−1 L(−s M A+c M B) s= υ , θ B= E Ix ( F υ L) 2

θ A=

6.7a,b 6.8a,b

Volviendo a la figura 6.2, si ahora se contempla que aparte de la las rotaciones en los extremos se superpone la rotación total de la barra con respecto a ambos nodos, se obtendra lo siguiente:

L(c M A−s M B ) 6.9 +ρ E Ix L(−s M A+c M B) θ B= +ρ 6.10 E Ix La introducción de ρ es solo como giro global de elemento y por lo tanto solo se adiciona. Si se reescribe (6.9) y (6.10) de manera matricial para resolver para M A y M B , se tiene:

θ A=

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c −s ⋅ M A −s c MB

( )

E Ix (θ A− ρ ) = L E Ix (θ B − ρ ) L

)( )

(

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Si se toma este sistema de ecuaciones y se resuelve para para

E Ix [C θ A+S θ B− ρ (C+S )] L E Ix M B= [S θ A +C θ B− ρ (C+S )] L M A=

6.11

M A y M B , se llega a: 6.12 6.13

Donde

C=

c s S= 2 2 2 y c −s c −s 2

6.14a,b

Estas dos últimas ecuaciones, estan en la misma forma que (6.1a y b). Al tomar P=0 se llegaria a que S=2 y C=4 , y por lo tanto se llegaría a las ecuaciones ya mencionadas. Ahora se tomara el marco de la figura (6.1) para mostrar la influencia de un marco contraventeado y no contraventeado (ver figura (6.3)). Las columnas de la figura (6.1) tendran Inercia I C y la trabe I B . Para ambos elementos, su módulo de elasticidad es el mismo.

Figura 6.3 Pandeo no-contraventeado y contraventeado de un marco simple. (Tomado de STRUCTURAL MEMBERS AND FRAMES, T. V. Galambos).

En los últimos tres marcos esquematizados para el pandeo contraventeado se ve que la rotación ρ del marco son nulos y por lo tanto C BC =4 y S BC =2 . La carga axial de cada columna es P y por lo tanto

C AB=C CD y

S AB=S CD . Cuando analizamos estos marcos, se esta interesado en el momento inmediato antes del pandeo pero cuando P=P cr debido a que al presentarse la deformación, ya existiran momentos de segundo orden. Tomando la ecuación (6.12) para el momento M AB :

EIC −S θ B 6.15a,b [C θ A+S θ B ] ó θ A= LC C El parametro ρ es nulo porque se está tomando la forma contraventeada. Al igual que (6.15b) se llega a M AB =0=

para la columna D-C:

θ D=

−S θ C C

6.16

De la misma manera que los nodos de apoyo de las columnas, se establece el momento de los nodos que son conexión con la trabe, utilizando (6.14) y (6.16): [email protected]

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[

]

E IC E I C C 2 −S 2 [ S θ A+C θ B ]= θB LC LC C Para el momento M CD : M BA =

[

6.17

]

E I C C 2 −S 2 M CD = θC LC C Ahora toca el momento de la trabe. Para el elemento viga se asume que la carga sus nodos del extremo se trasladan siguiendo el eje longitudinal ( ρ =0 ):

M BC =

6.18

P es igual a cero, y que

EIB E IB (4 θ B +2 θ C ) y M CB = (2θ B+4 θ C ) LB LB

6.19a,b

Las condiciones de equilibrio de los nodos son:

M BA+M BC =0 Y

M CB +M CD =0

6.20a,b

Si se toman estan dos últimas ecuaciones y se sustituye (6.17) a (6.19), se obtendran las siguientes ecuaciones donde se desconocen las rotaciones:

(

)

C 2−S 2 6.21 +4 γ θ B +( 2 γ ) θ C =0 C C 2−S 2 (2 γ )θ B + +4 γ θ C =0 6.22 C Donde γ =( LC I B )/(L B I C ) . La condición de igualdad a cero, de estas dos ecuaciones simultaneas puede

(

)

resolverse, calculando el determinante y simplificando se tiene la condición de pandeo: 2

2

C −S +2 γ =0 C

6.23

Esta ecuación relacionana el pandeo crítico con las propiedades de la columnas y trabe. Tomando F υ LC = P L2C / E I C se utiliza las ecuaciones (6.14), (6.7b) y (6.8b) dentro de la ecuación (6.23) para

√

C y S para despues despejar y resolver para γ . En la figura (6.4) se puede ver una gráfica donde se relaciona γ y la F υ LC = √ P L2C /E I C . Además que se gráfica la influencia y variación de la longitud efectiva K . calcular

Para el caso de marco sin contraventeo ó no-contraventeado (sin ningun elemento como diagonales, muros de cortante u otro elemento que prevenga una distorsión considerable) se puede hacer exactamento lo mismo para calcular los momentos pero ahora se considerará una distorsión ρ dado que no existe una fuerza horizontal pero si una configuración deformada en curvatura simple. Las rotaciones en la base son:

θ A=

−S θ B −S θ C +(C +S ) ρ y θ D= +(C+S ) ρ C C

6.24a,b

Las cuatro ecuaciones curvatura-deflexión son:

E I C (C 2−S 2)(θ B− ρ ) E I C (C 2 −S 2)(θ C − ρ ) 6.25a,b , M BA= M CD = C LC C LC E I B (4 θ B+2θ C ) E I B ( 2 θ B +4 θ C ) , M CB = M BC = 6.26a,b LB LB En estas ecuaciones (6.25) y (6.26) se tiene tres incognitas: θ B , θ C y ρ . Por lo tanto es necesario una ecuación más para poder resolverlas. Una nueva ecuación se puede formularse debido a la distorsión lateral. Si se distorsiona, resulta que existira una fuerza restauradora y una deformadora. Por lo tanto la deformadora H A+H D=0 . Estas fuerzas parte de la es e producto de dos fuerzas aplicadas a nivel de la trabe, [email protected]

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deformación y ademas el momento debido a la deformación (fuerzas deformadoras). La fuerza restauradora son las rigideces en la trabe, es decir:

P ρ LC +H A LC +M BA=0 y

P ρ LC +H D L C +M CD =0

2 P ρ LC +LC (H A+H D )+M BA+M CD =0 Si H A+H D=0 , entonces la ecuación (6.28) queda como sigue: 2 P ρ LC +M BA+M CD =0

6.27a,b 6.28

6.29

Si en (6.29) se sustituye las ecuación (6.25) y (6.26), se tiene las siguientes ecuaciones lineales y homogeneas:

(

)

( ) (

) )

C 2−S 2 C 2 −S 2 +4 γ θ A +(2 γ ) θ B + − ρ =0 C C C 2−S 2 C 2−S 2 (2 γ )θ A+ +4 γ θ B+ − ρ =0 C C

(

[

θ A+θ B+

2 C

2P L C EIC 2

2

(C −S )

]

−2 ρ =0

6.30 6.31 6.32

Calculando el determinando con este sistema de ecuaciones, se da la siguiente condición de pandeo nocontraventeado:

6γ =

( P L 2C / E I C )[(C 2−S 2)/C ] [(C 2−S 2)/C ]−(P L2C / E I C )

6.33

En la figura (6.4) se muestra la notable diferencia de un marco contraventeado y no-contraventeado. Estas son de suma importancia y por lo mismo consideraciones son encontradas en los códigos y requerimientos de diseño, e.g. ACI,AISC,NTC, etc.

Figura 6.4 Relación de rigidez y longitud de las vigas y columnas, con la resistencia por pandeo en el marco (Tomado de STRUCTURAL MEMBERS AND FRAMES, T. V. Galambos).

Lo anterior visto es un poco limitado dentro del contexto estructural cuando hablamos de edificios. Esto debido a que solo se abordo una marco simple y con cargas concentradas. En la vida real se tiene configuraciones estructurales más complejas, al igual que las configuraciones de carga. Esto hace que el [email protected]

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problema en marcos más complejos se tenga que abordar de manera aproximada. Esto debido a que un nodo puede relacionar un mayor número de elementos estructuraes y a veces elementos no tan básicos (tensores, contraventeo, disipadores, etc). La manera aproximada como regularmente se aborda estos casos es la siguiente. CASO DE PANDEO ELÁSTICO DE MARCOS CONTRAVENTEADOS En la figura 6.5 (parte superior) se muestra la posible configuración deformada de un marco resistente en un edificio. En este marco que tiene una restricción de distorsión lateral o al “vaivén”, que es dada en la vida real por diferentes tipos de elementos.

Figura 6.5 Marco contraventado: Configuración deformada y nomograma de Jackson-Moreland

Los elementos estructurales o elementos que se pueden utilizar para darle un contraventeo y reducir su distorsión lateral pueden ser: contraventeo que consista en diagonales simples, diagonales concentricas,

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diagonales excentricas, muros de cortante, armaduras externas, armaduras adicionales a los costados del edificio, disipadores de energía de diferente tipo, estructura de contención a un costado del edificio, etc. Para empezar con la formulación aproximada del problema de estabilidad en marcos, se hacen una serie de hipótesis. La primera sera que todas la columnas tienen rigideces identicas (Inercia y módulo de elasticidad) y/o hay una diferencia no significativa. Al pensar en esta primera hipótesis se puede pensar que ya hay distancia entre lo real y lo teórico, sin embargo en la vida real la variación de secciones transversales, no es tan abrupta y por el desempeño de la estructura, las rigideces y/o materiales deben estar dispuestos dar una capacidad no muy distante en valor. Si se toma la columna 1−2 de la figura (6.5, esquina superior izquierda) se tendrá la configuración deformada que se puede ver en la figura (6.5, esquina inferior derecha) a la hora de presentarse la carga crítica de pandeo. En esta última figura (6.5, esquina inferior derecha), se muestran una seríe de ángulos como α , θ y desplazamientos δ en direcciones positivas. Si caracterizamos la deformada como una función trigonométrica circular usando la función:

y (z )= A sen

( Kπ zL )

6.34

A es la constante que modula la función seno en función de z y (K⋅L) siendo K el factor de longitud efectiva. Las deformaciones

En esta expresión (6.34) sabemos que que la longitud esta representada por en los extremos son las siguientes:

δ 2=− y z= z y δ 1=− y z =(z −L) 6.35a,b δ 2 se da en la función (6.34) cuando z =z 2 y cuando la deformación δ 1 cuando La deformación z =(z 2−L) . Al tomar la expresión (6.34) y sustituirle los valores de cada deformación, se llega a: 2

δ 2= A sen

2

( Kπ Lz )

δ 1=−A sen

y

(

) ( ( )

( )

( ))

π ( z 2−L) π z2 π z2 =−A sen cos π −cos sen π KL KL K KL K

( )

6.36a,b

δ 1 se utliza la identidad trigonométrica sen( x± y)=sen( x) cos( y )±cos (x )sen ( y) . De la Para configuración deformada de la columna y asumiendo que las deformaciones son pequeñas se puede asumir que:

α=

δ 2− δ 1 L

6.37

Si en (6.37) se sustituye (6.36) se tiene:

α=

( ( )[

π z2 −A sen L KL

( )

( ))

π z2 1−cos π +cos sen π K KL K

( )]

6.38

De lo visto anteriormente se sabe que la derivada de (6.34) de puede calcular las rotaciones por lo que tenemos lo siguiente:

[ ]

θ 1=−

dy dz

[ ]

+α Y θ 2=−

x= x 2− L

dy dz

−α

6.39a,b

x= x2

Usando las ecuación (6.34) y (6.38) en (6.39) se obtiene lo que sigue:

( ( )[ ( ( )[

( )[

( ) ])

θ 2=

π z2 A sen L KL

π z2 1−cos π +cos K KL

θ 1=

π z2 A sen L KL

π sen π −1+cos π +cos π z 2 K K K KL

( )]

( )

( )]

sen π − π K K

( )[

6.40

( )])

π cos π −sen π K K K

( )

6.41

Debido al arreglo de las proporciones y a la manera en la que se deforma el marco, el momento flector en cada viga será constante en toda su longitud y con un valor absoluto de (P⋅δ ) . En el nivel de abajo de la columna será (P⋅δ 1) y nivel arriba ( P⋅δ 2) . La pendiente del extremo izquierdo (2) a (2') de la viga es: [email protected]

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θ 2=

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Pδ2b 2 E I2

6.42

La ecuación (6.42) se asemeja a una ecuación antes de la expresión (3.5) de estos apuntes. Si se sabe que P=( π 2 E I )/( K 2 L 2) y se tiene la expresión (6.36a), entonces (6.42) puede escribirse usando la como sigue:

θ 2=

( )(

−A π 2L K

2

) ( )

IB π z2 A GA π sen =− L I2 KL 2L K

( )[

−AG B π 2L K

2

sen

( )

sen

( ) π z2 KL

6.43

G A=( I B / L I 2 ) se tiene:

Y al simplificar usando

θ 1=

2

( )

( )

( )]

π z2 π z2 cos π −cos sen π KL K KL K

( )

6.44

Donde G B=( I B / L I 1) . Se tiene que θ 1 y θ 2 estan definidas por un par de expresiones cada una (6.41) y (6.44) para θ 1 y θ 2 por (6.40) y (6.43). Si se igualan para cada rotación se otendrá lo siguiente:

−G B π 2 K

2

( )

π cos π +1−cos − π sen π π z2 K K K K cot = De la igualación de θ 1 KL π cos π −sen π − G B π 2 sen π K K K 2 K K 2 G cos π − A π −1 π z2 K 2 K De la igualación de θ 2 cot = π KL sen −π K K

( ) ( )

( ) ( ( ( ) (

( ) )) ( ) ( ) )

(

( ) )( ) ( )

6.45

6.46

Estas últimas ecuaciones pueden igualarse para obtener:

π G A G B π 2 G A+G B K + 1− 4 K 2 tan π K

( )

(

)

π

( ) + 2 tan ( 2 K ) =1 π ( ) (K)

6.47

La variable G A y G B representa la relación entre las rigideces de las trabes adyacentes y la columnas en cuestion. En un contexto más general y generalizando esta definición, estas variables pueden representar las definiciones que se utilizan en la normatividad, que es como una relación que tome en cuenta las rigideces de los elementos que llegan a los nodos extremos de una columna en un marco sin contraventeo: i=n

i=n I Ci I ∑L ∑ LC i i=1 Ci i=1 Ci G A= j= Y G B= j= m 6.48a,b m IBj IBj ∑L ∑L j =1 Bj j =1 Bj Los subindices B y C se refieren a vigas (Beam) y a columnas (Column). Los subindices A Y B se refieren a los extremos. Los indices n y m se refieren al número de columnas y trabes que se conectan en

los nodos inferior y superior. El uso de esta ecuación (6.47) es bien sabido en las practicas de diseño, sin embargo es usado esquematicamente bajo la forma de un nomograma. Este nomograma se presentan en la figura (6.5, esquina inferior izquierda) para el caso de un marco contraventeado o con restricción al "vaíven". El nomograma fue desarrollado por Julian y Laurence de la compañia Jackson & Moreland Engineergs, por lo que muchas veces se le llama "el nomograma de Jackson-Moreland". CASO DE PANDEO ELÁSTICO DE MARCOS NO-CONTRAVENTEADOS

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El caso de marcos no-contraventeados se puede abordar de la misma manera que los contraventeados. Salvo que la configuración deformada cambiara porque tendra una desplazamiento considerable debido a la falta de algun elemento que restringa la distorsión lateral del marco estructural, ver figura (6.6). Las expresiones son las mimas pero en lugar de la (6.39) se tiene la siguiente:

[ ]

θ 1=−

dy dz

[ ]

θ 2=−

Y x=x 2− L

dy dz

6.49a,b

x= x2

Y de estas expresión (6.49) se tiene:

θ 2=

( )

π z2 Aπ cos KL KL

Y

θ 1=

( ( )

( )

( ))

π z2 π z2 Aπ cos cos π +sen sen π KL KL L KL K

( )

6.50a,b

Si se observa la figura (6.6, esquina inferior izquierda) y la manera con que el marco se deforma, el momento en cada viga variará linealmente a lo largto de su longitud, con un punto de inflexión al centro del claro. El valor absoluto del momento en cada extremo de las vigas en el nivel de base de la columna es (P⋅δ 1) y el de la viga en el nivel superior de la columan es (P⋅δ 2) . Por lo tanto, la pendiente en el extremo superior y la viga de (2) a (2') es:

θ 2=

Pδ2b 6 E I2

6.51

P=( π 2 E I )/( K 2 L 2) y remplazando

Si se sabe que obtiene:

θ 2=−

A GA π 6L K

2

( )

sen

( ) π z2 KL

De forma similiar se puede hacer para

θ 1=−

AG B π 6L K

2

( )

δ 2 por su equivalente de la ecuación (6.36b) se 6.52

θ1 :

[ ( ) ( ( ) sen

( ))]

π z2 π z2 π π cos −cos sen KL K KL K

Al igual que para marcos contraventeados se puede utilizar las dos definiciones de analogamente a (6.47) la siguiente expresión: 2 π G A G B π −36 K K = 6(G A+G B ) tan π K

( )

( ) ( )

6.53

θ 1 y θ 2 para obtener

6.54

Esta ecuación (6.54) también tiene su respectivo nomograma de Jackson-Moreland. Este se puede ver en la figura (6.6, esquina inferior derecha). Ambos nomogramas para un marco contraventeado y nocontraventeado han servido de ayuda en códigos y requerimientos de diseño. Ambos aparecen en normatividad en donde se sugiere su utilidad para encontrar longitudes efectivas de columnas en marcos de cargados verticalmente. Es así como se aborda y se hace una aproximación del la longitud efectiva de columnas en marcos de carga es necesaria debido a la complejidad del problema. Cabe señalar que condigo como RCDF-NTC en sus requerimiento de diseño de concreto reforzado las utilizan al igual que en el AISC-LRFD en su sección de comentarios. Al final las siguientes hipotesis son tomadas: 1) El comportamiento esta dentro del dominio elástico 2) Todos los miembros en cuestion tiene secciones constantes en toda su longitud 3) Todo los nodos son rígidos 4) La curva elástica de una columna en un marco contraventeado es en curvatura simple 5) Las columnas en cuestion se pandean simultaneamente 6) El parametro L √ P / E I es el mismo para toda las columnas 7) No hay una compresión significante en las vigas en cuestion [email protected]

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Estas restricciones son especificadas en algunos códigos pero deben mantenerse en la mente de los ingenieros que diseñan las construcciones. La pregunta forzada es ¿Cuándo no se podría utilizar estos nomogramas? Esta pregunta en realidad es muy dificil de contestar, sin embargo en casos que no facil se acerquen a las hipótesis ya mencionadas, deberan de ser abordados con cautela y bajo criterio del diseñador estructural.

Figura 6.6 Marco no-contraventado: Configuración deformada y nomograma de Jackson-Moreland

CONCEPTOS BÁSICOS DE ANÁLISIS DE MARCOS Y SU RESPUESTA CARGA-DEFORMACIÓN A diferencia de otras secciones de los visto para marcos se ha abordado antes aspectos relacionados con la [email protected]

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normatividad, de modo que la secciones siguientes abordaran de manera teórica y simple la parte relacionada con el comportamiento y análisis de los marcos resistentes. La curva que define el comportamiento de los marcos a carga no difiere en forma de la ya mostrada para otros elementos estructurales, ver figura (6.7).

Figura 6.7 Curva de comportamiento de un marco resistente

En el eje de las ordenadas, esta curva de la figura (6.7) tiene solo definido que este eje esta definido por un parámetro relacionado con la carga. Esto es porque es muy ambiguo debido a que depende el tipo de carga y su naturaleza para que podemos realmente representar más realistamente esta curva. Hay que señalar un aspecto tambien muy importante del comportamiento y es que tiene mucho que ver con la estructura. Es por esto que el eje de las abcisas esta ambiguamente definido con un parámetro relacionado con la deflexión. Esta deflexión puede ser de entrepisos ó en la azotea (extremo superior). Es por esto que se tiene que tener mucho cuidado al definir un comportamiento típico. En la vida real con las herramientas computacionales de hoy en día y al analizar teóricamente un marco resistente, se debe puntualizar la influencia del tipo de análisis estructural y que efectos, fenómenos y comportamiento representa ó toma en cuenta. Al final de todo, la curva de comportamiento de un marco resistente es producto de muchas hipótesis, limitaciones y simplificaciones. Lo que se sabe es que la basta mayoria de los marcos resistentes estan bajo una carga de trabajo P t que esta por debajo de su límite elástico y que su estados límites de servicio relacionados con sus deformaciones, deflexiones y distoriones, estan por debajo de límite de proporcionalidad. Esto es lo debido porque es necesario un apropiado desempeño de la estructura bajo otros estados del fenómeno de carga que demandan mayores deformaciones y esfuerzos en los elementos estructurales. e.g. Sismo, viento y sus rafagas, vibraciones ambientales, explosiones, mal uso de las instalaciones, incendios, colapso parcial, etc. Si se supone que la curva (6.7) es el caso donde la estructura se comporta satisfactoriamente y que si al no seguir este patrón se considerara una bifurcación anómala del comportamiento, esta bifurcación tendría muchos factores que irían desde aspectos locales: 1) Pandeo lateral-torsional de una viga, columna, viga-columna 2) Pandeo local 3) Falta de rigidez en elementos estructurales 4) Agrietamiento, degradación y mal diseño de elementos estructurales 5) Falta de rigidez en las conexiones y condiciones mal diseñadas 6) Fallas en cimentación y suelo 7) Falta de resistencia lateral y contraventeo Hasta aspectos y fenómenos relacionados con problemas y comportamiento de elementos en grupo: 1) Falla en conexión de más de dos elementos estructurales 2) Falta de confinamiento y refuerzo en muros

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3) Mala interacción de elementos estructurales (columna corta, falla de diagonales concéntricas, etc) 4) Mal diseño en áreas de la estructura (piso suave, adelgazamiento de columas en azotea, etc) A los puntos señalas también se tiene que agregar aquellos que tiene que ver con la naturaleza de la carga porque al presentarse un sismo, viento extremo, inundaciones y afectaciones hidrológicas, se pueden adicionar otros factores como: 1) Interacción entre edificiones contiguos 2) Fragilidad de la estructura bajo ciertas frecuencia de una excitación dinámica 3) Robustes bajo colapso de cierto sector y como afectara a su futuro comportamiento al reparar. 4) Resistencia a fuerzas laterales no adecuadas. Los puntos mencionados anteriormente son solo algunos de los tantos factores que pueden afectar a la curva de carga-deformación de un marco resistente y que se tienen que tener presentar en la práctica del diseño de una estructura.

6.1 SOBRE LOS ANÁLISIS DE MARCOS El análisis estructural de marcos es hoy en día facilitado con la ayuda de las computadoras. Estás hacen el trabajo de procesar los módelos matemáticos y físicos del problema mediante algún método. Si se utiliza el método de elemento finito, rigideces o flexibilidades, no importa que a detalle se vaya pero se tendrán limitaciones. Es así que pueden especificarse análisis de diferente orden como el análisis de primer orden y análisis de segundo orden. ANÁLISIS DE PRIMER ORDEN El análisis de primer orden elástico esta limitado por invariante idealización de los elementos estructurales con sus propiedades y geometrías. Es decir, no importando que tanto se deflexione, distorsione, rote, gire y/o se deforme un elemento estructural, el marco resistente o la misma estructura, estos se mantendran constantes y todo sera proporcional. Las deformaciones no importaran si son pequeñas o infinitamente grandes, pero no se presentara una degradación de estas. ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN En el análisis de segundo orden las cosas cambian porque puede ser elástico o inelástico. El segun order es dado por tomar en cuenta ya sea los efectos de la variación de la configuración de la carga o de la variación de las propiedades de los elementos estructurales. Un ejemplo de análisis de segundo orden, son las ecuaciones diferenciales que se formularon en el capitulo 2 de estos apuntes. Se considero un elemento perfectamente elástico pero la configuración y contribución de las cargas bajo deformación, fueron tomadas en cuenta. Sin embargo, esto no esta del todo correcto porque al existir un pandeo lateral-torsional, pandeo local o alguna incursión en el estado elástico, se puede caer en contradicciones y no siempre la hipótesis de las “pequeñas deformaciones” puede salvar la teoría de estar equivocada. Otra forma de tomar en cuenta la configuración deformada (y no la incursión en el estado inelástico) es con los análisis de efecto P− Δ . Tipicamente este efecto es puede tomarse en cuenta bajo la reconstrucción de la matriz de rigideces que representa la estructura en estado deformado y ver alguna bifurcación inestable de esta bajo una carga constante. Esto es algo diferente que los efectos P−δ , porque estos últimos se refiere al efecto proveniente de distorsiones iniciales y defectos en el elemento estructural que afectan a la estructura. Este último efecto no es tan facil de estudiar porque para tomarlo en cuenta se necesita implementar las imperfecciones y distorsiones de fabrica de los elementos en el modelo de la estructura y esto consumiría mucho tiempo para un diseñador estructural. Actualmente, salvo simulaciones de las propiedades geométricas; ningun programa comercial lo realiza. En el caso de segundo orden inelástico esto varía porque entonces se debe especificar el comportamiento bajo carga y degradación de cada elemento estructural que compone la estructura. Esto dificulta la labor de análisis pero ciertamente gana una cercanía al comportamiento real de la estructura. El comportamiento de los elementos puede ser por ejemplo: rigo-plastico, elasto-plastico o una articulación con un comportamiento específico bajo carga estática o dinámica. La resistencia que se especifique puede variar dependiendo la intensidad o el daño que acumule en función de los ciclos de carga. Como se puede leer, el análisis de segundo orden puede complicar la fase de la obtención de los elementos [email protected]

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mecánicos para diseño, sin embargo abre una ventana para observar el probable comportamiento estructural y relaciona deflexiones, distorsiones y carga con el daño, resistencia y ductilidad de la estructura.

6.2 CONTRAVENTEO En la sección anterior se enfatizo la importancia de la rigidez lateral a un marco resistente. Esta rigidez puede proporcionar un margen de estabilidad a la estructura. A esta rigidez lateral es comunmente llamarla contraventeo puede aportarse a la estructura en forma de tensores, diagonales, muros, etc. El criterio teórico de restricción de distorsión lateral es un poco severo y se puede decir no realista cuando considera solo dos estados: contraventeado y no-contraventado. La pregunta obligada es ¿qué pasará con estados intermedios de rigidez lateral? Y también ¿qué pasara con la existencia e interacción de ambos estados en un mismo marco o estructura?. Esto es a veces dejado a un lado y se asume la uniformidad del contraventeo o nocontraventeo. El contraventeo puede ser de cuatro tipos: 1) Discreto 2) Continuo 3) Relativo 4) Dependiente CONTRAVENTEO DISCRETO El contraventeo discreto resiste y aporta rigidez lateral solo en sectores específicos y donde esté localizado (unido) al marco y/o elemento estructural. También, se refiere a este contraventeo como contraventeo nodal.

Figura 6.8 Contraventeo discreto

Un ejemplo de contraventeo discreto teórico es el de la figura (6.9). Para abordar este problema de estabilidad se puede tomar la solución de la columna para el desplazamiento en el eje y . La solución del elemento columna es:

υ ( z )=C 1+C 2 z + A sen( F υ z )+B cos (F υ z)

4.38

En la base debido al apoyo fijo se tiene que el desplazamiento y momento flexionante es nulo por lo que las condiciones de frontera en ese apoyo son υ ( z =L)=υ ' ' ( z= L)=0 . Al igual que la base, no existe momento en el nodo superior (nodo inicial) por lo que υ ' ' ( z =0)=0 pero como la solución (4.38) tiene 4 constantes, entonces es necesario una condicion de frontera adicional. Las condiciones en el nodo superior de la columna dependen del resorte en el extremo. Ahora si se supone que el resorte en el extremo tiene una constante de proporcionalidad desplazamiento-fuerza entonces la fuerza en el extremo es F R =υ ( z =0)⋅β que quiere decir que la constante de proporcionalidad por la deformación dará la fuerza. Ahora si se sabe que

E I x υ ' '+P υ =0

4.19a

Entonces las condiciones en el nodo inicial serán:

E I x υ ' '+P υ = β⋅υ ( z=0)

6.55

Al utilizar las condiciones de frontera de la base de la columna y sustituirlas en (6.55) se puede llegar a la siguiente matriz: [email protected]

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0 0 0 −F υ 2 − β −P 0 −β =F υ 4 ( P− β L) sen( Fυ L)=0 1 L sen( F υ L) cos( F υ L) 0 0 −F υ 2 sen ( F υ L) −F υ2 cos (F υ L)

La solución trivial del determinante característico es cuando

Fυ

4

6.56a,b

es igual a cero. Esta solución no nos

(P− β⋅L)=0 y para esto P cr−1= β⋅L . 2 P cr −2=( π E I x / L ) . Esta últiima es la solución que

interesa por lo que hay dos posible soluciones. La primera es que

2

La segundo condición es cuando sen( F υ L)=0 o que ya sabemos que es crítica para el caso sin resorte por lo que gobernara cualquier que sea menor.

Figura 6.9 Contraventeo discreto

Este ejemplo anterior nos da una idea de la influencia de cualquier elemento en contraventeo discreto. Además se ejemplifica una importante propiedad del contraventeo y es que “no importa que la restricción del contraventeo no sea perfecta o inmensa, sino importa que exista el elemento que proporcione contraventeo mínimo necesario para que antes se cumpla la carga crítica del elemento o estructura” . Es esto anterior, es la razón de que las normas recomienden a los diseñadores estructurales que tomen la decisión de aportar el contraventeo mínimo y no solo aportar rigidez lateral masiva y excesiva. CONTRAVENTEO RELATIVO Este tipo de contraventeo es aquel que proporciona control de distorsiones laterales bajo el principio de compatabilidad de deformaciones de dos puntos, al unirse con algún elemento estructural.

Figura 6.10 Ejemplo de contravento relativo

Este tipo de contraventeo es muy “popular” y puede estar representado por diagonales a nodos, concentricas en la viga del marco y excentricas en la viga del marco. Para ejemplificar la aportación de estas diagonales, se puede tomar el ejemplo básico de la figura (6.11)

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Figura 6.11 Contraventeo diagonal de un marco sencillo

Ya planteado que la constante de proporcionalidad es β =(F / Δ ) entonces si se sabe la deformación y se multiplica por esta constante β entonces se obtendra la fuerza que aportan las diagonales. En este ejemplo solo se tomará la diagonal a tensión y sabremos por su aportación a la distorsión lateral, cuanto aportara la de compresión por simetría de la geometría. La fuerza de tensión T de la diagonal es obtenida por consideraciones del equilibrio bajo la hipótesis de las “pequeñas deformaciones” y por lo tanto rotaciones. La fuerza de tension y longitud del contravento diagonal es:

T=

F cos θ

y

L BR=

LB cos θ

6.57a,b

La elongación debido a la distosión lateral es:

e=

T⋅L BR F⋅L B = E⋅ABR E⋅A BR⋅cos 2θ

6.58

Donde A BR es el área del contraventeo (bracing), L BR es la longitud del contraventeo, L B la longitud de la viga (beam) y LC la longitud de la columna.Si se tomas las ecuaciones (6.57) y (6.58) se puede relacionar con la distorsión lateral y la constante de proporcionalidad del contraventeo de la siguiente manera: 2 2 3 F⋅LB e F √ (L B +LC ) Δ= = = cos θ E⋅ABR⋅cos 3θ E⋅ABR L 2B E⋅ABR⋅L2B β= √( L2B +LC2 )3

6.59 6.60

El contraventeo necesario es aquel dado por el área de contraventeo que provee el rigidez lateral mínima a la 2 2 cual la columna puede desarrollar la carga de Euler P E =( π E I x / LC ) . Usando la solución pasada

P cr−1= β⋅L y extrapolando para nuestro caso:

∑ P E=

2π 2E I x E⋅ABR⋅L2B LC = β L = C L2C √(L 2B +L2C )3

6.61

Si despejamos el término de A BR de la expresión (6.61), se obtiene:

∑ P E √( L2B+ L2C )3 ≤ A E⋅L2B LC

BR

6.62

En la expresión (6.62) se puede ver exactamente lo mismo que en la sección de contraventeo discreto, que es solo necesario un contraventeo mínimo necesario para darle la suficiente capacidad lateral para que las [email protected]

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columnas primero alcancen su carga crítica. CONTRAVENTEO CONTINUO El contraventeo continuo es aquel que se le proporciona a elementos estructurales y/o marcos de manera constantes en alguno de sus planos. Un ejemplo es la figura (6.12) donde la viga tipo “i” esta anclada a una losa y esta integración de trabe y losa, beneficia directamente a la trabe. Es común darle tambien el nombre de arriostramiento cuando restringe de alguna manera la deformación del elemento contraventeado.

Figura 6.12 Ejemplo de contraventeo continuo

El contraventeo continuo puede verse explicitamente recomendado en la normatividad. Un ejemplo son los requerimientos de AISC para contraventeo de pandeo lateral-torsional y pandeo torsión del alma de una viga. Esto no se verá aqui a detalle pero si se mostrara algo al respecto en el último capítulo. CONTRAVENTEO DEPENDIENTE Para el contraventeo dependiente es basicamente la aportación de contraventeo siempre y cuando la configuración deformada del elemento o estructura que es contraventeado haga depender y prescindir del elemento que contraventea, ver la figura (6.13).

Figura 6.13 Ejemplo de contraventeo dependiente

Para ejemplificar este tipo de contraventeo dependientes, se toma la figura (6.14), la cual es un marco con articulaciones en todos sus nodos pero no en la columna que aporta la rigidez lateral (columna a la derecha del marco). Cuando este miembro que aporta la rigidez lateral esta impuesto a una carga horizontal H en su extremo superior se tiene que:

H L3 H 3 E IS Δ= →β = Δ = 3 E IS L3

6.63

Esta ecuación (6.63) se basa en la rigidez a flexión de una columna. La rigidez necesaria se puede obtener con:

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π 2E I =3.29 E I 3

6.64

I S=

Figura 6.14 Ejercicio de Contraventeo dependiente

Esta fórmula (6.64) nos dice que ahora si se necesita una substancial rigidez de la columna a la derecha (columan esclava, s=slave). Debido a esto es razonable pensar que el sistema no necesita contraventeo sino necesita claramente de rigidez en su sistema.

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