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Instituto Tecnológico de Ocotlán

GESTIÓN DE LA PRODUCCIÓN I

Ingeniería en Gestión Empresarial

Ing. Luis Rogelio Valadez Castellanos

Gestión de la Producción 1 Pronóstico de la Demanda Instituto Tecnológico de Ocotlán

II.- PRONÓSTICO DE LA DEMANDA 2.1 Importancia estratégica del Pronóstico y la Demanda Determinar qué pasará en el futuro con el fin de tomar decisiones adecuadas es un problema que se presenta con frecuencia. Este hecho es cierto no sólo en la vida personal, sino también en el mundo de los negocios. Se usa el término pronosticar para hacer referencia a un método específico, en lugar de la simple adivinanza, para predecir eventos futuros. En los sistemas de producción controlados por el mercado de la actualidad, los pronósticos son más importantes que nunca. Tanto la recompensa por un buen pronóstico como la penalización por uno malo pueden ser bastante altas. Con la proliferación de paquetes para computadoras personales, los pronósticos son más sencillos y menos costosos que antes. Sin embargo, los administradores deben tener cuidado de usar los paquetes sin entender los principios en que se fundamentan. Después de todo, el programa dará una respuesta, aun cuando sea mala. Se analizarán tres clases de métodos de pronósticos. La primera está constituida por métodos subjetivos o cualitativos, en su forma más simple, utilizan la opinión de un “experto” para obtener el pronóstico. La segunda clase, los métodos causales, intenta relacionar la variable que se quiere pronosticar con alguna otra variable. Y la tercera clase, los métodos de series de tiempo, usan el pasado para tratar de determinar el futuro y están basadas en principios estadísticos. Los pronósticos proporcionan información para tomar mejores decisiones. Una decisión de una sola vez requiere un pronóstico, mientras que una decisión recurrente necesita un pronóstico cada vez que se toma la decisión. Los pronósticos de ventas, calidad de materiales, ingresos, gastos, uso de energía o los tiempos de llegada de los clientes son una necesidad común en las empresas. Suponga que la decisión es cuántos televisores producir el siguiente año. Esta decisión es importante porque afecta directamente el empleo, los niveles de materia prima, la mercadotecnia (publicidad), la distribución y el almacenamiento. Quien toma decisiones es el dueño del problema. El analista es quien pronostica. La mejor parte de los pronósticos son preparados por equipos que incluyen la administración, la mercadotecnia, el analista y tal vez el procesamiento de datos. Las principales características de un problema de pronósticos son el marco de tiempo, el nivel de detalle, la exactitud necesaria y el número de aspectos a pronosticar. En sistemas de producción, casi siempre es de interés el pronóstico de la demanda para el producto o servicio con el fin de decidir cuánto producir. Las decisiones a largo plazo- como abrir nuevas plantas o aumentar la Ingeniería en Gestión Empresarial

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capacidad de las existentes-, con frecuencia dependen de un pronóstico de demanda. Un marco de tiempo usual para este tipo de decisiones sería de 3 a 5 años. Las decisiones a largo plazo no requieren de pronósticos exactos; la decisión de construir una nueva planta se basa en la tendencia de los pronósticos para varios años sucesivos y no en una sola estimación de la demanda. Así los pronósticos muy precisos son innecesarios. Normalmente los pronósticos a largo plazo se hacen para una sola vez. Es común que se usen métodos causales y cuantitativos para obtenerlos. Una decisión a mediano plazo puede ser asignar cierta capacidad de la planta a grupos de productos. De nuevo, puede no ser necesario conocer la demanda para cada artículo individual, sino para grupos de artículos que comparten instalaciones de producción. Los tamaños individuales no son importantes para determinar la capacidad global. El marco u horizonte de tiempo para estas decisiones es de tres meses a uno o dos años y se requiere de mayor exactitud. Con frecuencia se usan métodos cuantitativos, incluyendo los causales y las series de tiempo, para los pronósticos a mediano plazo. La decisión más común a corto plazo es cuántos productos se deben fabricar. En este caso, se necesita el número real de unidades de producto. Esta decisión puede ser semanal, mensual o tal vez trimestral. Debido a que las decisiones a corto plazo están basadas en estos pronósticos, necesitan ser razonablemente exactos. Los métodos de series de tiempo son los que se usan con más frecuencia para los pronósticos a corto plazo, pero en algunas situaciones, también son útiles los métodos causales y los cuantitativos. Las decisiones a corto plazo requieren de pronósticos de cientos de artículos.

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2.2 Características que definen la Demanda Examinar datos, cuando se tienen, puede proporcionar una gran visión. Si no existen datos se deben recolectar o se puede usar un enfoque de pronósticos que no los requiera. Si no se dispone de datos o recolectarlos es demasiado costoso, se elige un enfoque cualitativo. Hay factores ya sean internos o externos que afectan a los datos. Los factores externos están fuera de nuestro control pero se puede influir en los factores internos. Un ejemplo de factor externo es la economía. Si esta experimenta una baja, por lo general la demanda de bienes y servicios también declina. Entre los factores internos están la calidad y el precio del producto, el tiempo de entrega, la publicidad y los descuentos. Si se hace más publicidad, es probable que la demanda aumente. La baja calidad, la larga espera por los artículos o el precio alto usualmente reducen la demanda. Los datos deben analizarse para detectar si existen factores causales. Un factor causal es algo que influye en los datos de una manera conocida y puede ayudar al pronóstico. Si se dispone de datos, se grafican para observar si existe algún patrón. Estos datos se usan para explicar el análisis de datos de una serie de tiempo. El análisis de datos causales es similar, pero en lugar de graficar, digamos, la demanda contra el tiempo, se puede graficar la demanda contra la variable causal. Cuando se examinan los datos y estos parecen estar nivelados, en términos burdos, con una pequeña variación, es una característica de un proceso constante. Por naturaleza, algunas cosas no son constantes, pueden tener algún incremento o decremento mientras que el tiempo transcurre. A estos se les conoce como proceso de tendencia. También existe el proceso estacional. El patrón parece repetirse cada cierto tiempo o por temporadas en el horizonte de tiempo. Cuando la tendencia y la estacionalidad están presentes, los datos deben descomponerse para ver los efectos de cada una. Los datos disparados deben eliminarse antes de analizarlos. Los distribuidores con frecuencia eliminan las temporadas especiales, como Navidad, de la serie de tiempo y los manejan como excepciones. El resultado del análisis de datos es entender el proceso que causa la demanda. Siempre habrá alguna parte inexplicable- la componente aleatoria- que en pronósticos se le conoce como ruido. La posibilidad de observar un valor arriba de la constante o de la tendencia, debe ser la misma que la de un valor por debajo de estas.

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La meta de cualquier sistema de pronósticos es proporcionar esos pronósticos con la exactitud necesaria, a tiempo y a un costo razonable.

Ventas

Proceso Constante 80 60 40 20 0 0

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20

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Semanas

Accesorios

Proceso de Tendencia 400 300 200 100 0 0

20

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Permisos para Construcción

Ventas

Proceso Estacional 400 300 200 100 0 1

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Trimestres

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2.3 Métodos Cualitativos para estimar la Demanda Consulta a la Fuerza de Venta Este método consiste en derivar una proyección compilando la información de aquellos que se encuentran al final e la jerarquía organizacional del área de mercadotecnia (los vendedores), quienes tratan con lo que está siendo proyectado. Por ejemplo, una proyección de las ventas generales puede derivarse combinando informaciones de cada vendedor, quien está cerca de su propio territorio. Aquí se supone que la persona, más cercana al cliente o la utilización final del producto, conoce mejor sus necesidades futuras. Aunque esto no es siempre cierto, en muchos casos es una suposición válida y es la base de este método. Las proyecciones efectuadas en este nivel de abajo se suman y se pasan al nivel superior . Éste es usualmente un almacén local que incluye luego las reservas de seguridad y cualesquiera efectos de ordenar los tamaños de las cantidades. Esta cantidad se pasa luego al siguiente nivel, que puede ser un almacén regional. El procedimiento se repite hasta que se vuelva una entrada el nivel superior el cual, en el caso de una industria de manufactura, sería la entrada al sistema de producción. Jurado de Opinión Ejecutiva Bajo la idea de que dos cabezas piensan mejor que una, se extrapola a aquella de que un grupo de personas (los ejecutivos) de varias posiciones puede desarrollar un pronóstico más confiable que la de un grupo más pequeño. Este método es un intercambio abierto y libre durante las reuniones del consejo consultivo de la empresa. La idea es que los debates en grupo, producen mejores predicciones que las que se obtienen a nivel individual. Los participantes pudieran ser también vendedores o clientes. La dificultad con este método abierto, es que los empleados de niveles inferiores se sienten intimidados por los niveles de gerencia superiores. El método Delphi se desarrolló para tratar de corregir este deterioro de libre intercambio. Método Delphi El método Delphy se basa en preguntar a un “experto” su opinión sobre el pronóstico a proyectar. Este método es llamado así en honor del Oráculo de Delfos (del griego Delphi) de la mitología griega, quien predijo eventos futuros. Tal opinión se basa en la experiencia y el conocimiento de la situación en particular. El personal de ventas y mercadotecnia son los principales “expertos para el pronóstico de un nuevo producto. Una variación puede consistir en preguntar a varios expertos y usar una combinación de resultados, digamos la mediana o el promedio, como pronóstico. Es sencillo llevar a cabo este método pero puede ser poco preciso. Un comité de expertos corresponde al Oráculo en esta técnica, y el facilitador determina los participantes, escribe cuestionarios y analiza los resultados. Los miembros del comité pueden ser expertos en diferentes campos. Ingeniería en Gestión Empresarial

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Por ejemplo, uno puede tener orientación de ventas y otro ser economista. Ellos ofrecen diversos puntos de vista y consideran muchos factores en el proceso. Se pide a los miembros del comité que entreguen pronósticos anónimos de eventos específicos y, lo que es más importante, sus razones para hacer ese pronóstico. El siguiente cuestionario es un ejemplo sencillo de un cuestionario inicial. Las preguntas deben ser ambiguas y simples. Las preguntas deben tener una sola respuesta; si se necesitan respuestas múltiples, debe hacerse una pregunta para cada una. 1a) Al menos 25% de las secundarias en el medio oeste tendrá uno o más cursos de ritmo individual, basados en multimedia para el año _______ . 1b) Mis razones para dar esta respuesta son:

2a) Al menos ______ % de las secundarias en el medio oeste tendrá uno o más cursos de ritmo individual, basados en multimedia para el año 2004. 2b) Mis razones para dar esta respuesta son:

3a) Al menos 80% de las secundarias en al medio oeste podrán pagar $ __________ por el equipo de apoyo para los cursos basados en multimedia para el año 2004. 3b) Mis razones para dar esta respuesta son:

Las respuestas se resumen, se modifica el cuestionario y se regresa a los miembros del comité, a quienes pide que repitan el proceso. El cuestionario de cada ronda debe reflejar los resultados de la anterior, con el cuestionario actualizado se mandan las estadísticas resumidas, es decir la media, la mediana y el rango. A continuación se muestra el cuestionario de las rondas intermedias: 1) Las respuestas de la ronda anterior indican que al menos el 25% de las secundarias del medio oeste tendrán uno o más cursos de ritmo individual basado en multimedia para el año 2001 (mediana), casi todas las respuestas están entre 1997 y 2006. Su respuesta anterior fue 2002. 1a) Al menos 25% de las secundarias en el medio oeste tendrá uno o más cursos de ritmo individual, basados en multimedia para el año _______ . 1b) Mis razones para dar esta respuesta son:

2)Las respuestas de la ronda anterior indican que al menos 23% (mediana) de las secundarias del medio oeste tendrá uno o más cursos de ritmo individual, basados en multimedia para el año 2004, casi todas las respuestas están entre 20% y 35%.

2a) Al menos ______ % de las secundarias en el medio oeste tendrá uno o más cursos de ritmo individual, basados en multimedia para el año 2004. Ingeniería en Gestión Empresarial

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2b) Mis razones para dar esta respuesta son:

3) En la ronda anterior , al menos 80% de las secundarias en el medio oeste podrán pagar $10500 (mediana) por equipo de apoyo para los cursos basados en multimedia en el año 2004, casi todas las respuestas están entre $8200 y $13600. 3a) Al menos 80% de las secundarias en al medio oeste podrán pagar $ __________ por el equipo de apoyo para los cursos basados en multimedia para el año 2004. 3b) Mis razones para dar esta respuesta son:

El procedimiento continúa hasta que los miembros del comité llegan a un acuerdo razonable, por lo general 3 o 4 rondas son suficientes para alcanzar un consenso, y el resumen de resultados se informa a los participantes y se usa para tomar la decisión. El método Delphi tiene varias ventajas, entre ellas está el hecho de que se incluye la participación de personas muy diferentes, incluso de distintas localidades, y elimina el dominio de personalidades fuertes, dando a todos la misma oportunidad de participar; las respuestas anónimas permiten una expresión más libre de las ideas. También mantiene la atención dedicada a la tarea; las respuestas escritas con frecuencia se razonan más que las verbales. Tal vez la mayor ventaja estriba en la generación y evaluación de un número grande de ideas para el pronóstico, muchas de las cuales pueden pasarse por alto en juntas cara a cara. La mayor desventaja es el tiempo necesario para llevar a cabo un estudio Delphi, muchas veces más de un mes. También quita tiempo a los participantes y quizá sea difícil mantenerlos completamente involucrados. Las ideas escritas pueden tener que aclararse o se corre el riesgo de malinterpretarlas; un estudio Delphi clásico no tiene medios de aclaración. Como Delphi es un tipo de procedimiento basado en el consenso, algunas veces no se alcanzan los acuerdos. Investigación de Mercado Una investigación de mercado consiste en varios pasos. Primero, es necesario desarrollar un cuestionario que debe contener preguntas cuyas respuestas proporcionen la información necesaria para determinar un pronóstico. La información sobre el cliente puede incluir su edad y sus ingresos, así como una indicación de si el cliente compraría o no el producto. Si el cliente es un distribuidor, la información debe comprender el tamaño de la tienda y la proyección del número de unidades que compraría. A continuación se muestra una encuesta para analizar la demanda de las nuevas cámaras de 35 mm.  Por favor, marque los cuadros apropiados:  No poseo una cámara de 35 mm.  Poseo una cámara SLR de 35 mm. Ingeniería en Gestión Empresarial

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 Poseo una cámara de enfoque automático de 35 mm.  Planeo comprar una nueva cámara SRL de 35 mm en los próximos dos años.  Planeo compara una nueva cámara de enfoque automático de 35 mm en los próximos dos años.  No planeo comprar una nueva cámara de 35 mm en los próximos años.

Junto con el diseño de la encuesta debe determinarse un método para analizar los resultados. El siguiente paso es llevar a cabo la encuesta, la cual puede hacerse por correo, fax, correo electrónico, teléfono, una postal para recortar en una revista o en persona. La manera como se lleve cabo la investigación puede afectar tanto el número como la calidad de las respuestas. Una vez que se realiza la investigación, debe tabularse y analizarse los resultados. Se debe tener cuidado al interpretar estos resultados. Las tasas de respuestas pueden ser bajas, las repuestas pueden ser incorrectas, o los factores considerados en el cuestionario pueden afectar el resultado real de los eventos. El análisis estadístico también puede ser tardado. Algunos especialistas en la materia proponen usar los estudios de mercado para tener una mejor visión con el fin de que la administración modifique los pronósticos cuantitativos. Analogía de Ciclos de Vida Este método de pronóstico se vincula a un artículo similar al que se desea proyectar. Es importante en la planeación de nuevos productos donde se puede derivar una predicción mediante el uso de la historia de un producto similar.

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2.4 Métodos Cuantitativos para estimar la Demanda Series de Tiempo Los métodos de series de tiempo se utilizan mucho para pronósticos a corto plazo. Una serie de tiempo es simplemente una lista cronológica de datos históricos, para la que la suposición esencial es que la historia predice el futuro de manera razonable. Existen varios modelos y métodos de series de tiempo entre los cuales elegir, y que incluyen el comportamiento de la demanda constante, de tendencia y estacional. Para cada modelo, se cuenta con varios métodos de pronóstico, que incluyen promedios, promedios medios móviles, suavizamiento exponencial, regresión y tal vez combinaciones de todos estos. Enfoque Simple

Considere el siguiente caso: La compañía Calgore es una de las más grandes productoras de dentífrico en Estados Unidos. Casi 50% de este producto se fabrica en su planta de Neo Jersey, el resto de la producción está dispersa en las otras cinco plantas del país. El gerente de producción del dentífrico está preocupado por cuánta pasta debe producir la semana próxima. Las cifras de ventas reales (en miles de cajas) para las últimas 50 semanas, obtenidas del departamento de comercialización, están dadas en la siguiente tabla. semana demanda semana demanda semana demanda semana demanda 1

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Primero se construye la gráfica de dispersión para determinar el tipo de comportamiento de la demanda; Demanda de dentrifíco

Ventas

80 60 40 20 0 0

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20

30 Semanas

40

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60

De la gráfica, parece que las ventas son básicamente constantes con algunas desviaciones aleatorias (ruido). Por lo tanto, se especula que el proceso es constante. Matemáticamente, la demanda en el periodo t se representa por: d t  a  et Donde a representa la constante fundamental del proceso y et el ruido aleatorio, que se supone sigue una distribución normal con media cero y varianza  e2 . Se pueden usar muchos métodos para un proceso constante. Se analizará el uso del último dato, un promedio de todos los datos, un promedio de los datos más recientes y los promedios que toman en cuenta todos los datos, pero dan más peso a los datos más recientes. Métodos Simples  Último dato.  Promedio de los datos pasados. Último Dato Uno de los métodos de pronósticos más sencillos es usar el último dato como pronóstico para el siguiente periodo. Sea T el periodo actual, y t un periodo arbitrario; dt la demanda histórica en el periodo t; y FT+k el pronóstico hecho en tiempo T para k periodos futuros. Entonces el pronóstico para el siguiente periodo será la demanda del último dato. O sea: FT 1  d T y para k periodos en el futuro, sería también: FT  k  d T Para el caso que nos ocupa, el pronóstico para la semana 51 será la demanda de la semana 50, así: F51  d 50  58 Ingeniería en Gestión Empresarial

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y así mismo, el pronóstico para las semanas 52, 53, ..., k; será de 58. El problema con este método, es la variación inherente. Si la demanda de la última semana está en el lado alto, el pronóstico también lo está. Si la demanda de la siguiente semana es alto, es pronóstico será bueno. Sin embargo, para un modelo constante, se supuso componente aleatoria con distribución normal y es igualmente probable que la próxima semana sea baja. En este caso, el último dato será un pronóstico malo. Promedio de los Datos Pasados Con el promedio de los datos pasados, hace que el pronóstico sea menos sensible a las variaciones aleatorias. Dados T periodos de datos, la demanda promedio en el tiempo T es: DT 

1 T  dT T t 1

y el pronóstico para el siguiente periodo es: FT 1  DT Siguiendo con nuestro caso, el pronóstico para la semana 51 será: F51  D50 

1 50  d t  49.88 50 t 1

Incluso se utiliza este mismo pronóstico para los tiempos futuros k. Promedios Móviles

Este método, llamado promedio móvil, es una combinación entre los métodos del último dato y del promedio. Promedia los datos más recientes para reducir el efecto de la fluctuación aleatoria. Como solo usa datos recientes para el pronóstico, un promedio móvil responde al cambio en el proceso de una manera más rápida. Sea N el número de periodos que se quieren considerar en el promedio móvil y MT el valor del promedio móvil. Si el periodo se encuentra en el periodo T, el promedio móvil está dado por la suma de los últimos N datos, matemáticamente: MT 

T 1 d T  N 1  d T  N 2    d T   1  d t N N t T  N 1

Volviendo al caso que nos ocupa, en la semana 50 el promedio móvil de cinco semanas de ventas sería: d  d 47  d 48  d 49  d 50 57  46  44  52  58 M 50  46   51.4 5 5 Similarmente como los métodos simples, el pronóstico para k periodos futuros será: FT  k  M T El promedio móvil es una “mejor” estimación par aun proceso constante, Ingeniería en Gestión Empresarial

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porque minimiza la suma de los cuadrados de los errores para los datos. Cuando se obtiene un nuevo conjunto de datos, se calcula un nuevo promedio móvil. Suponga que se vendieron 45000 cajas en la semana 51. el nuevo promedio móvil de cinco semanas sería el promedio de las semanas 47, 48, 49, 50 y 51, es decir: d  d 48  d 49  d 50  d 51 46  44  52  58  45 M 50  47   49.0 5 5 El número de periodos N, usados en un promedio móvil afecta la rapidez de respuesta del pronóstico a un cambio en el proceso. Aun cuando la media permanezca constante, el promedio móvil cambiará debido al ruido. El ruido afecta relativamente poco a una N grande, pero el pronóstico puede cambiar en forma más drástica si la N es pequeña. La elección de N es un trueque entre la respuesta rápida a un proceso de cambio y el ignorar la fluctuación aleatoria. Si el proceso es relativamente estable, se elige una N grande aunque una más pequeña es mejor para un proceso que puede estar cambiando. Para el pronóstico a corto plazo, los valores usuales de N están de 5 a 7. Por supuesto, si se sabe que el proceso no es constante, debe usarse un modelo distinto. A continuación se ilustra nuestro caso, con promedios móviles para N = 5, 6 y 7 periodos. Y por comodidad, únicamente se ilustra de la semana 30 en adelante: 60

Demanda de dentrífico 55

Ventas

50

ventas pm5sem pm3sem pm7sem

45

40

35

30 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 Semanas

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Suavización Exponencial

Si nos detenemos a observar el método de promedios móviles, se notará que el peso o ponderación que se da a los datos más recientes es mayor que la ponderación de los datos más antiguos. A diferencia del promedio simple de todos los datos, que le da la misma ponderación o peso a todos los datos sin diferenciar si son recientes o antiguos. Sería lógico pensar que mientras más antiguos sean los datos, estos deberían de perder significancia conforme transcurre el tiempo, y que los datos más recientes tendrían que pesar más sobre la predicción o pronóstico para periodos futuros. Para dar cauce a esta reflexión se utiliza el método de suavización exponencial que le da una ponderación a los datos dependiendo si son recientes o antiguos. Se inicia el método calculando la ponderación o peso, denotada como  , de la siguiente manera: 2  N 1 Donde 0    1 y que será el peso o ponderación para datos recientes, y 1    será la ponderación para los datos más antiguos. Sea S T es estimador para el periodo T, y al igual que en los otros modelos constantes, el pronóstico para el periodo T  k es:

FT  k  ST Donde ST  dT  1   ST 1 Como se puede observar, se requiere tener el estimado de S T 1 , que se pudiera calcular con el promedio de varios datos pasados. Considerando el caso del dentífrico, y que tomamos los 5 datos pasados para estimar S T 1 . Se obtiene que 50  57  46  44  52  49.8 5 2  0.33 Entonces podremos estimar S 50 con   5 1 S 50  0.33d 50  1  0.33S 49  0.3358  0.6749.8  52.5 S 49 

Entonces el pronóstico para la próxima semana (semana 51) será: 52.5. Si en la semana 51 se tuvo una demanda real de 48, entonces el nuevo estimador S sería: S 51  0.33d 51  1  0.33S 50  0.3348  0.6752.5  51.0 y así, el pronóstico para la semana 52 sería: 51.0. Ingeniería en Gestión Empresarial

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A continuación se ilustra el caso, para un promedio del primer estimador con N = 7 periodos. Y por comodidad, únicamente se ilustra de la semana 45 en adelante: 60

Demanda de dentrifíco ventas

55

pm7sem

Ventas

50

suavizamiento

45 40 35 30 44

45

46

47

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50

51

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Semanas

Tendencia Lineal

Considere el siguiente caso: La siguiente tabla proporciona datos de demanda de papel de computadora, y se muestra su la gráfica en el tiempo correspondiente.

Ventas de papel (1000 cajas)

Mes Ventas Mes Ventas Mes Ventas 1

116

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163

17

210

2

133

10

163

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3

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19

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241

260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0

0

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Teimpo (Meses)

Un examen de los datos indica claramente que el proceso no es constante Ingeniería en Gestión Empresarial

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sino que aumenta en forma estable, lo que no es sorprendente debido al crecimiento del uso de computadoras personales. Para pronosticar con exactitud esta serie de tiempo, se necesita un modelo que incorpore esta tendencia. El modelo para un proceso con tendencia lineal está dado por: d t  a  bt  et en donde b es la pendiente de la tendencia y el resto de la notación se definió con anterioridad. Si b es positivo, el proceso crece a través del tiempo, y una b negativa implica un proceso que decrece. Se analizará el proceso creciente, pero la metodología también aplica a la tendencia decreciente. Para hacer un pronóstico cuando existe una tendencia, es necesario estimar la constante y la pendiente; hay muchas formas de hacerlo, incluyendo regresión, variación de promedios móviles y suavizamiento exponencial. Suavizamiento Exponencial Doble Usando suavizamiento exponencial, la estimación del promedio en T es ST, de manera que la estimación de la pendiente en el tiempo T sería: BT  ST  ST 1  Con esta idea, se puede usar suavizamiento exponencial para actualizar la estimación de la tendencia, lo que lleva al suavizamiento exponencial doble, representado por el siguiente conjunto de ecuaciones: S T  d T  1   S T 1  BT 1  BT   S T  S T 1   1   BT 1

Donde  es la ponderación para la pendiente, que se puede calcular igual que  . Así, el pronóstico para periodos futuros estará dado por: FT k  ST  kBT Que es la forma de la ecuación de la recta con pendiente BT y ordenada al origen ST. Para obtener un suavizamiento doble en el tiempo T, se necesitan los valores de St-1 y BT-1, para lo cual se sugiere el siguiente procedimiento: Se dividen los datos en dos grupos iguales y se calcula el promedio de cada uno. Este promedio se centra en el punto medio del intervalo de tiempo; si hubiera 12 datos en el grupo, el promedio estaría en 6.5. La diferencia entre los dos promedios es el cambio en la demanda respecto a la media de cada conjunto de datos. Ingeniería en Gestión Empresarial

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centro

Para convertir esta diferencia en una estimación de la pendiente, se divide entre el número de periodos que separan los promedios. Después, para obtener una estimación de la ordenada, se usa el promedio global y la estimación de la pendiente por periodo multiplicados por el número de periodos a partir del punto medio del periodo actual. Para ilustrar mejor este método, consideremos el caso del papel de computadora. Se calculan los promedios de los meses 1 a 12 y 13 a 24: 116  133  139  157  154  159  162  172  163  163  164  191 P112   156.08 12 201  219  207  205  210  207  225  223  257  232  240  241 P1324   222.25 12 El incremento en las ventas promedio para el periodo de 12 meses es: 66.17. 222.25 - 156.08 = 66.17 y el incremento promedio por mes es: 66.17/12 = 5.51. que es la estimación de la pendiente BT, en el periodo 24 es: 225.25  156.08 66.17 BT  B24    5.51 12 12 Para obtener una estimación de la ordenada, S T, del mes 24, primero se calcula el promedio global de los 24 datos, que es: 189.16. 116  133  139   232  240  241 P124   189.16 24 Este promedio está centrado en el mes 12.5. Después, para moverlo al tiempo actual se suma el ajuste por tendencia de 5.51 por mes multiplicado por (24 – 12.5) meses. Y la estimación de la ordenada en el mes 24, es: ST  S 24  189.16  5.5124  12.5  258.09 Una vez que se tienen los valores iniciales de BT y ST, se pueden pronosticar periodos futuros. Suponga que se quiere calcular el pronóstico de ventas para el mes 25. Entonces, tomando la ecuación FT k  ST  kBT F241  F25  S 24  1B24   258.09  15.51  263.60

Así mismo se pudiera calcular el pronóstico de ventas para el mes 30. Ingeniería en Gestión Empresarial

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FT k  ST  kBT F246  F30  S 24  6B24   258.09  65.51  291.17

Cuando se conocen las ventas reales del mes 25, se actualizan las estimaciones por medio del sistema de ecuaciones: S T  d T  1   S T 1  BT 1 

BT   S T  S T 1   1   BT 1

Suponga que las ventas reales del mes 25 fue de 259, y que 2 (N = 24)    0.08 24  1 Entonces la nueva estimación de la ordenada es: S T  d T  1   S T 1  BT 1   d 25  1   S 24  B24  S 25  0.08259  1  0.08258.09  5.51  263.23

Y la nueva estimación de la pendiente será: BT   S T  S T 1   1   BT 1   S 25  S 24   1   B24 B25  0.08263.23  258.09  1  0.085.51  5.48

Y el pronóstico para el periodo 26 será: F251  F26  S 25  1B25   263.23  15.48  268.71 Y el pronóstico para el mes 30 será: F255  F30  S 25  5B25   263.23  55.48  290.63 La exactitud del pronóstico por este método es aceptable para la mayor parte de los problemas a corto plazo. A continuación se ilustran los valores estimados de la pendiente y la ordenada por el método de suavizamiento exponencial para los periodos del 15 en adelante, así como el pronóstico del valor futuro. Como iniciamos en el periodo 15, la estimación de S15 y B15, podrían ser: 116  133  139  157  154  159  162 P17   145.71 7 172  163  163  164  191  201  219  207 P815   185.00 8 El incremento en las ventas promedio para el periodo de 7 meses es: 185.00 – 145.71 = 39.29 y el incremento promedio por mes es: 39.29/7.5 = 5.23. que es la estimación de la pendiente BT, en el periodo 15 es: 185.00  145.71 39.29 BT  B15    5.23 7.5 7.5 Ingeniería en Gestión Empresarial

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Para obtener una estimación de la ordenada, S T, del mes 15, primero se calcula el promedio global de los 15 datos, que es: 166.67. 116  133  139   201  219  207 P115   166.67 15 Este promedio está centrado en el mes 7. Después, para moverlo al tiempo actual se suma el ajuste por tendencia de 5.23 por mes multiplicado por (15 – 7) meses. Y la estimación de la ordenada en el mes 15, es: ST  S15  166.67  5.2315  7  208.51 El pronóstico para el mes 16 es: FT k  ST  kBT F151  F16  S15  1B15   208.51  15.23  213.74

Ventas de papel (1000 cajas)

Suponiendo las ponderaciones como 2 (N = 15)    0.125 15  1 Se actualizan los estimados de la pendiente y la ordenada, toda vez que se conozcan las ventas reales de los meses siguientes.

260

Ventas de papel (1000 cajas)

240

Regresión

220

suavización

200

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Teimpo (Meses)

Ingeniería en Gestión Empresarial

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Relaciones Causales Análisis de Regresión Cuando se desea pronosticar una variable dependiente, y el valor de la variable dependiente está relacionado a un valor observable de una o más variables independientes, se utiliza el análisis de regresión, que es un método de análisis causal, esto es, que el valor de la variable dependiente está causada, o al menos tiene una correlación alta con el valor de la(s) variable(s) independientes. Sin embargo, la relación entre las variables dependiente e independiente no es siempre clara. Para estimar la relación, se utilizan las técnicas de regresión. El análisis de regresión es una técnica estadística para el modelado y la investigación de la relación entre dos o más variables. En muchos problemas existe una relación inherente entre dos o más variables, y resulta necesario explotar la naturaleza de esta relación. En la práctica, con mucha frecuencia es necesario resolver problemas que implican conjuntos de variables, cuando se sabe que existe alguna relación inherente entre ellas. El aspecto estadístico del problema consiste entonces en lograr la mejor estimación de la relación entre las variables. Muy a menudo se tiene una sola variable dependiente o respuesta Y, la cual no se controla en el proceso. Esta respuesta depende de una o más variables independientes o de regresión, como son x1, x2,..., xn, las cuales se miden con un error despreciable y en realidad, en la generalidad de los casos se controlan en el proceso. Así las variables independientes no son aleatorias y por lo tanto no tienen propiedades distribucionales. La relación fija para un conjunto de datos experimentales se caracteriza por una ecuación de predicción que recibe el nombre de ecuación de regresión. Regresión Simple

Consideremos el siguiente caso: Mary Carter es gerente del departamento de plomería de la tienda Home Sales de Columbia, un distribuidor líder en productos para la construcción. Cada mes, debe colocar una orden de accesorios de plomería para baños. Si ordena más de lo que vende, los excedentes representan dinero para la empresa que no puede usar en otra parte. Si ordena muy pocos, las ventas se pierden a favor de los competidores. Mary a estado pensando cómo podría anticipar la demanda de accesorios. Sabe que la mayoría de los que vende son para casas nuevas. Los accesorios de plomería se instalan una vez que se han puesto el techo y las paredes, casi siempre alrededor de un mes después de que se emite el permiso de construcción. Como todas las construcciones necesitan el permiso, el número de permisos emitidos el mes pasado puede ayudarla a determinar el número de accesorios que debe ordenar en este mes. Ingeniería en Gestión Empresarial

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Este es un caso típico que puede analizarse con regresión, donde la demanda de accesorios (variable dependiente), se supone que es causada por los permisos de construcción (variable independiente). Con el análisis de regresión se puede determinar si existe o no relación entre las variables; y si existe tal correlación, entonces se podrá hacer modelo matemático para predecir (pronosticar) las futuras demandas de accesorios de plomería. A continuación se muestra el número de permisos de construcción de casas emitidos y el número de accesorios de plomería vendidos, por mes, para los últimos dos años. Registro

Mes del permiso

Número de permisos

Mes de venta de accesorios

Número de accesorios

1

Ene 94

22

Feb 94

72

2

Feb 94

16

Mar 94

44

3

Mar 94

24

Abr 94

80

4

Abr 94

95

May 94

191

5

May 94

84

Jun 94

187

6

Jun 94

13

Jul 94

57

7

Jul 94

114

Ago 94

238

8

Ago 94

147

Sep 94

283

9

Sep 94

96

Oct 94

204

10

Oct 94

59

Nov 94

144

11

Nov 94

35

Dic 94

102

12

Dic 94

41

Ene 95

109

13

Ene 95

28

Feb 95

63

14

Feb 95

21

Mar 95

50

15

Mar 95

18

Abr 95

67

16

Abr 95

46

May 95

109

17

May 95

145

Jun 95

304

18

Jun 95

122

Jul 95

239

19

Jul 95

108

Ago 95

223

20

Ago 95

85

Sep 95

173

21

Sep 95

107

Oct 95

211

22

Oct 95

53

Nov 95

104

23

Nov 95

17

Dic 95

59

24

Dic 95

12

Ene 96

24

Lo primero que se hace en el análisis causal (análisis de regresión) después Ingeniería en Gestión Empresarial

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de tener los datos tabulados, es construir una gráfica de dispersión. Para el caso que nos ocupa, se asigna al eje x la variable independiente, los permisos de construcción. Y al eje y la variable dependiente, la venta de accesorios. El objetivo es determinar un modelo matemático que simule el comportamiento de la relación entre las dos variables, para posteriormente validarlo, y finalmente utilizarlo como modelo predictor para valores futuros.

Accesorios

Gráfica de Dispersión Permiso contra Ventas 320 280 240 200 160 120 80 40 0 0

20

40

60

80

100

120

140

Permisos para Construcción

Como se observa en la gráfica, los datos se pueden representar como un proceso de tendencia, y los datos se pudieran ajustar a una línea recta con ordenada al origen y pendiente positiva. Sea la ecuación de la línea recta: y  a  bx Y la línea recta ajustada o recta de regresión: yˆ i  aˆ  bˆxi  ei Dónde:

ei es el error de la estimación, con respecto a los datos reales.

bˆ aˆ

es la pendiente ajustada. es la ordenada al origen ajustada.

yˆ i

es la respuesta esperada para cada xi.

El objetivo de la regresión es minimizar el error de las estimaciones dados por:

ei  yi  yˆ i Utilizando el método de los mínimos cuadrados (minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entre los datos reales y los datos esperados del modelo) y desarrollando las ecuaciones respectivas se llega a: n

La pendiente estimada:

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bˆ 

n

n

n xi yi   xi  yi i 1

i 1

i 1

  n xi2    xi  i 1  i 1  n

n

2

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aˆ 

Y la ordenada al origen estimada:

1 n bˆ n y i   xi  n i 1 n i 1

Para facilitar el cálculo y la obtención de los valores de la pendiente estimada y la ordenada al origen estimada, se pueden calcular las sumatorias indicadas por separado y luego sustituirlas en las fórmulas. Los cálculos por separado de las sumatorias además, servirán más adelante para verificar la adecuación del modelo. Así: Número de permisos

Número de accesorios

xi

yi

22

72

16

44

24

80

95

191

84

187

13

57

114

238

147

283

96

204

59

144

35

102

41

109

28

63

21

50

18

67

46

109

145

304

122

239

108

223

85

173

107

211

53

104

17

59

12

24

1508

3337

Ingeniería en Gestión Empresarial

xi2

yi2

xiyi

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Entonces las sumatorias respectivas son:

x

i

 1508 ;

y

i

 3337 ;

x y i

i

 294095 ;

x

2 i

 140928 ;

y

2 i

 621017

Sustituyendo en las fórmulas se tiene: n

bˆ 

n

n

n xi y i   xi  y i i 1

i 1

i 1

2



24  294095  1508  3337  1.83 24  140928  15082

  n xi2    xi  i 1  i 1  1 n bˆ n  3337   1.83  aˆ   yi   xi    1508  24.17 n i 1 n i 1  24   24  Y la ecuación de regresión queda como: yˆ  24.17  1.83x n

n

Con esta ecuación se pueden predecir (pronosticar) los accesorios a vender en el próximo mes dados los permisos de construcción del mes actual. Si en enero 1996 se tienen 23 permisos de construcción entonces los accesorios que se espera vender en el mes de febrero 1996 será: yˆ  24.17  1.83x  24.17  1.8323  66 En general, bˆ puede ser positivo o negativo. Un valor positivo implica que la variable dependiente aumenta conforme la variable independiente aumenta o que tiene una correlación positiva. Una bˆ negativa implica lo opuesto. La magnitud de bˆ debe reflejar la cantidad del cambio en la variable dependiente para una unidad de cambio en la variable independiente. Si el signo o la magnitud de bˆ parecen no apropiados para la situación, piense con cuidado en el modelo. El valor de aˆ representa el valor de la variable dependiente cuando la variable independiente es cero, lo que no necesariamente tiene un significado; si cero no es un valor posible de la variable independiente, aˆ puede ser todavía positivo. En este caso, aˆ calibra los otros valores. El coeficiente de correlación está definido como: n

r2 

  yˆ

i

 yi 

y

i

 yi 

i 1 n i 1

2

2

Para el ejemplo que nos ocupa, y después de calcular alas sumatorias respectivas, el coeficiente de correlación será:  r2   0.98  En la práctica, un coeficiente de correlación de 0.85 se considera bastante bueno. Ingeniería en Gestión Empresarial

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Lo que se puede concluir para el ejemplo, es que el modelo es adecuado para futuras predicciones. Regresión Múltiple

Análisis de Regresión para Procesos Estacionales Considere el siguiente caso: Deportes Meller fabrica una gran variedad de ropa deportiva: camisetas, sudaderas, pants, y uniformes de nylon. Stephon está desarrollando un plan de capacidad para el año próximo y necesita saber cuántos uniformes de fútbol tendrá que hacer Meller en cada trimestre. Stephon recolecta los datos de los tres años anteriores, que indican las ventas totales por trimestre, en donde el trimestre 12 es el último dato disponible. Trim

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Ventas

182

154

201

217

146

140

191

248

142

138

202

209

Una gráfica de dispersión muestra lo que parece un patrón estacional de las ventas de uniformes, y que se repiten cada año.

Ventas

Venta de uniformes de Meller

300 250 200 150 100 50 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

Trimestres

Para representar estos patrones estacionales se utilizan las funciones trigonométricas de seno y coseno por pares. Una onda de seno tiene un periodo 2π, de manera que para ajustarla a periodo de cuatro trimestres de las ventas de uniformes se usa Sen(2πt/4) . El modelo que se usa para representar estas relaciones senoidales es: yˆ t  bˆ0  bˆ1t  bˆ2 Sen2t / 4  bˆ3 Cos2t / 4 y se estiman los parámetros para el modelo, utilizando regresión múltiple; considerando la variable t (tiempo = 1, 2, ... , n); y las componentes Seno y Coseno como otras dos variables independientes. Así se tendrá un modelo de regresión múltiple con tres variables independientes y cuatro parámetros que calcular para obtener la ecuación de regresión. Entonces resolviendo el ejemplo de Meller se tiene: Ingeniería en Gestión Empresarial

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Sistema de ecuaciones de regresión: nbˆ0  bˆ1  xt1  bˆ2  xt 2  bˆ3  xt 3   y t

bˆ0  xt1  bˆ1  xt21  bˆ2  xt 2 xt1  bˆ3  xt 3 xt1   xt1 yt

bˆ0  xt 2  bˆ1  xt1 xt 2  bˆ2  xt22  bˆ3  xt 3 xt 2   xt 2 y t bˆ0  xt 3  bˆ1  xt1 xt 3  bˆ2  xt 2 xt 3  bˆ3  xt23   xt 3 y t

Calculando las sumatorias respectivas y sustituyendo en el sistema de ecuaciones, se tiene: 12bˆ0  78bˆ1  0bˆ2  0bˆ3  2170 78bˆ0  650bˆ1  6bˆ2  6bˆ3  14240 0bˆ0  6bˆ1  6bˆ2  0bˆ3  124 0bˆ0  6bˆ1  0bˆ2  6bˆ3  242

Resolviendo el sistema se obtiene: bˆ0  192.2951 bˆ1  1.7633 bˆ2  22.4300 bˆ3  42.0966

y la ecuación de regresión es: yˆ t  192.2951  1.7633t  22.43Sen2t / 4  42.0966Cos2t / 4 Se puede verificar la adecuación del modelo a través del análisis residual, de donde se obtiene el coeficiente de correlación: r 2  0.88 Donde se deduce que el modelo es adecuado. Y así se puede pronosticar que para el próximo año la demanda será: 147 para el primer trimestre (trimestre 13). 126 para el segundo (trimestre 14). 188 para el tercero (trimestre 15). 206 para el cuarto (trimestre 16).

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300 250 200 150 100 50 0

Ventas

15

13

11

9

7

5

Pronóstico

3

1

Ventas

Venta de uniformes de Meller

Trimestres

Ejercicios:

4.18; 4.19; 4.20; 4.21. Planeación y Control de la Producción Sipper-Bulfin Mc Graw Hill

2.5 Monitoreo y Control de los Pronósticos

2.6 Elaboración de Pronósticos con software específico.

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