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• Austria Guillen

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TEMA 6: ESTÁTICA DE VIGAS Las vigas son elementos estructurales que resisten fuerzas aplicadas lateral o transversalmente a sus ejes. Los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de un vehículo es también una viga. El objetivo principal de este capítulo es determinar el sistema de fuerzas internas necesarias para el equilibrio de cualquier segmento de viga. Para una viga con todas las fuerzas en el mismo plano (viga plana) puede desarrollarse un sistema de tres componentes de fuerzas internas en una sección, éstas son: 1. Las fuerzas axiales 2. Las fuerzas cortantes 3. El momento flector La determinación de sus magnitudes es el objetivo de este capítulo. Calculo de reacciones Convenciones de simbología para apoyos y cargas Al estudiar estructuras planas es necesario adoptar simbologías tanto para apoyos como para cargas, dado que son posibles varios tipos de apoyos y una gran variedad de cargas. El respetar tales convenciones evita confusión y reduce al mínimo las posibilidades de cometer errores. Existen tres tipos básicos de apoyos para estructuras planas, los cuales se caracterizan por los grados de libertad de movimiento que le permiten a la viga frente a fuerzas actuantes: 

Apoyo móvil o de rodillo: éste permite el desplazamiento a lo largo del eje longitudinal de la viga y el giro de ésta; el desplazamiento transversal es impedido mediante una reacción en ese sentido.

A

VA



Apoyo fijo o pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero impide el desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal. Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la estática

A HA VA 

Empotramiento: este tipo de apoyo impide el desplazamiento a lo largo de los ejes y el giro de la viga mediante una reacción que se puede dividir en una componente longitudinal, otra transversal y una reacción de momento.

MA

HA VA

A

Las cargas aplicadas consideradas en este capítulo, consisten en cargas puntuales, vale decir, fuerzas concentradas mostradas en los esquemas como vectores, y las cagas distribuidas se muestran como una secuencia de vectores. Cálculos de reacciones de vigas

En este capítulo, todo el trabajo subsecuente con vigas comenzará con la detrminación de las reacciones. Cuando todas las fuerzas se aplican en un plano, se dispone de tres ecuaciones de equilibrio estático para el análisis. Estas son:  

𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑦 = 0



𝑀𝑍 = 0

La aplicación de estas ecuaciones a varios problemas de vigas se ilustra en los siguientes ejemplos, los cuales sirven como repaso de este importante procedimiento. Ejemplo 1 Encuentre las reacciones de los apoyos de la viga que se muestra en la figura:

200N*m

100N

160N

A

B

0,1m

0,1m

0,1m

0,1m

Solución De acuerdo a los apoyos que se pueden observar en el esquema se generan las reacciones que se observan en la figura siguiente:

200N*m

A

100N

160N

B

HA VA

VB

Ahora, aplicando las ecuaciones de la estática se tiene: 𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 − 100 − 160 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 260 𝑁 𝑀𝐴 = 0 → −200 − 100 ∙ 0,2 − 160 ∙ 0,3 + 𝑉𝐵 ∙ 0,4 = 0 𝑉𝐵 = 670 𝑁 Ahora, como: 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 260 𝑁  𝑉𝐴 = 260 − 670 = −410 𝑁 El signo negativo en VA indica que tiene el sentido contrario al indicado en la figura. Ejemplo 2 Encuentre las reacciones en la viga con carga uniformemente variable de la figura. Desprecie el peso de la viga

VB 10kN/m B

A

HA

VA

3

2

Solución: Dados los tipos de apoyo que existen en la viga, se genera una componente horizontal y otra vertical en el apoyo fijo o pasador A y una reacción vertical en el apoyo móvil o rodillo B. Ahora aplicando las ecuaciones de la estática: 𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 = 0 𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 + 10 ∙ 1000 ∙

3 =0 2

𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = −15.000 𝑁 2 𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐴 ∙ 5 + 15.000 ∙ ∙ 3 = 0 3 𝑉𝐴 = −6.000 𝑁 Luego, 𝑉𝐵 = −9.000 𝑁 Ejemplo 3 Determine las reacciones en A y B para la viga de la figura

53 °

5N

B

3

9

B

V

VA

45°

HA

A

Solución: Usando las ecuaciones de la estática se tiene: 𝐹𝑥 = 0 → 𝐻𝐴 − 5 ∙ cos 53 − 𝑉𝐵 ∙ cos 45 = 0

𝐹𝑦 = 0 → 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45 − 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 = 0 𝑉𝐴 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 − 𝑉𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45 𝑀𝐴 = 0 → −5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 ∙ 3 + 𝑉𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45 ∙ 12 = 0 𝑉𝐵 =

15 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 = 1,41 𝑁 12 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45

Luego: 𝑉𝐴 = 5 ∙ 𝑠𝑒𝑛 53 − 1,41 ∙ 𝑠𝑒𝑛 45 𝑉𝐴 = 3 𝑁 𝐻𝐴 = 5 ∙ cos 53 + 3 ∙ cos 45 𝐻𝐴 = 5,13 𝑁 Algunas veces se insertan articulaciones o juntas con pasadores en las vigas o marcos. Una articulación es capaz de transmitir sólo fuerzas horizontales y verticales. Ningún momento puede ser transmitido por una articulación. Por tanto, el punto donde se localiza una articulación es particularmente conveniente para “separar” una estructura en partes con el fin de calcular las reacciones. Cada parte de la viga así separada se trata en forma independiente. Cada articulación proporciona un eje adicional respecto al cual pueden analizarse los momentos para determinar las reacciones. La introducción de una articulación o articulaciones convierte al sistema en muchos casos, en estáticamente detrminado. La introducción de una articulación en una viga estáticamente determinada convierte a esta en inestable. El proceso para calcular este tipo de vigas es:

L/2 P

L

a

P

P/2 P/2 𝑃∙𝑎 2

P/2

P/2

Aplicación del método de las secciones El objetivo de este capítulo es establecer procedimientos para establecer las fuerzas que existen en una sección de una viga o de un marco. Para obtener esas fuerzas se aplicará el método de las secciones. El análisis de cualquier viga o marco para determinar las fuerzas internas comienza con la preparación de un diagrama de cuerpo libre que muestre tanto las fuerzas aplicadas como las reacciones. En los pasos subsecuentes del análisis, ninguna distinción tiene que hacerse entre las fuerzas aplicadas y las reacciones. El método de las secciones puede entonces aplicarse a cualquier sección de una estructura.

Considere una viga como la de la figura, con ciertas cargas puntuales y distribuidas actuando sobre ellas. Se supone que se conocen las reacciones. Las fuerzas aplicadas externamente y las reacciones mantienen todo el cuerpo en equilibrio. La sección imaginaria pasa por la carga uniformemente distribuida y también la separa. Cada uno de estos segmentos de viga es un cuerpo libre que debe estar en equilibrio. Esas condiciones de equilibrio requieren de la existencia de un sistema de fuerzas internas en la sección de corte de la viga.

P2 q1 q2

A

P1

B

HA VA

x

VB

Mx Hx

Vx

Fuerza cortante en vigas Para mantener en equilibrio un segmento de una viga, debe haber una fuerza vertical interna Vx en el corte que satisfaga la ecuación 𝐹𝑦 = 0. Esta fuerza interna Vx , actuando en ángulo recto respecto al eje longitudinal de la viga, se llama fuerza cortante. La fuerza cortante es numéricamente igual a la suma algebraica de todas las componentes verticales de las fuerzas externas que actúan sobre el segmento aislado, pero es opuesta en dirección. Esta fuerza cortante puede calcularse considerando el segmento izquierdo de la viga, como se muestra en la figura de la página anterior o considerando el lado derecho.

Momento flector en vigas Las fuerzas internas axial y cortante en una sección de una viga, satisfacen sólo dos ecuaciones de equilibrio: 𝐹𝑥 = 0 y 𝐹𝑦 = 0. La condición restante de equilibrio estático para un problema plano es 𝑀𝑧 = 0. Ésta, en general, puede sólo satisfacerse si se desarrolla un par o un momento interno resistente dentro del área de la sección transversal de contrarrestar el momento causado por las fuerzas externas. El momento resistente interno debe actuar en sentido opuesto al momento externo para satisfacer la ecuación gobernante 𝑀𝑧 = 0. Esos momentos tieneden a flexionar una viga en el plano de las cargas y se denominan momentos flectores. Para determinar un momento flector interno que mantiene en equilibrio un segmento de la viga, se puede usar la parte izquierda o derecha del cuerpo libre de la viga. La magnitud del momento flector se encuentra sumando los momentos causados por todas las fuerzas multiplicadas por sus respectivos brazos. Las fuerzas internas Vx y Px así como los momentos aplicados deben incluirse en la suma. Para excluir los momentos causados por éstas últimas fuerzas conviene seleccionar el punto de intersección de esas dos fuerzas internas como el punto respecto al cual se suman los momentos. Este punto se encuentra sobre el eje centroidal de la sección transversal de la viga. El momento flector interno puede ser interpretado físicamente como compresión sobre las fibras superiores de la viga y tracción sobre las inferiores (esta es la definición de un momento positivo). La convención de signos que se adopta para los momentos flectores es la siguiente:

M

M

M

M

De la figura se puede observar que un momento positivo genera compresión en las fibras superiores y tracción en las fibras inferiores, se genera una curva cóncava; por otro lado un momento negativo genera tracción en las fibras superiores y compresión en las fibras inferiores, se genera una curva convexa.

Ejemplo 1 Determine el sistema de fuerzas internos que afecta la figura siguiente:

6.000N 10kN/m B

A

9.000N

3

2

Solución: La viga se separa en secciones considerando sus discontinuidades: i.

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