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El primer material estructural capaz de adoptar una importante variedad de formas es el hormigón: una mezcla de materiales inertes (piedra y arena) con un aglutinante (cemento), los cuales, amasados con agua, tienen la propiedad de endurecer con el tiempo (fraguado) y adquirir una notable capacidad de resistir compresiones. Al ser relativamente fácil poder moldearlo con las formas que el proyectista imagine, sus aplicaciones estructurales son casi ilimitadas. Pero, la importante versatilidad con la que hoy se lo emplea en losas, vigas rectas y curvas, cáscaras delgadas de cualquier forma concebible, sólo fue posible con el advenimiento del hormigón armado. Considerando la escasa resistencia a tracción del hormigón, este nuevo material heterogéneo llamado “hormigón armado” suple dicha deficiencia mediante la incorporación de barras de acero en el interior de su masa, confiriéndole la adecuada capacidad resistente a tracción. Se denomina hormigón armado al material compuesto por hormigón y barras de acero, asociados de tal manera que, asegurada la adherencia del acero dentro de la masa de hormigón, forman un sólido único, desde el punto de vista mecánico. La unión del hormigón con las barras de acero, ubicadas estratégicamente en su interior, permite aprovecha ventajosamente las características de cada uno de los materiales, creando piezas con capacidad de resistir flexiones. El área de las barras de acero suele ser entre el 0.2% y el 3% de la sección total del elemento estructural. La capacidad resistente a flexión de una sección de hormigón armado dependerá de la resistencia a compresión del hormigón, ya que las tracciones quedan reservadas al acero de un modo exclusivo. Previo al estudio del dimensionado de elementos estructurales sometido a solicitación de flexión se verán algunos conceptos de la tecnología del hormigón.

TECNOLOGÍA DEL HORMIGÓN Preparación de la masa de hormigón Es muy importante el estudio de las preparaciones de la mezcla cemento/áridos (1 a 5, ó 1 a 6) y la relación agua/cemento en peso (a/c = 0.5 a 0.7) para lograr las propiedades fundamentales de la mezcla, fresca en primer lugar, que es la consistencia o docilidad, y endurecida en segundo lugar, que es la resistencia. Es fundamental la determinación previa de una dosificación aproximada de los componentes del hormigón, que permita luego una comprobación experimental con razonables probabilidades de éxito. La necesaria homogeneidad de la mezcla se puede lograr en hormigoneras comunes en un lapso de 1 a 2 minutos, luego de lo cual se puede llevar al molde (encofrado) donde será colocado. La consistencia o grado de fluidez del hormigón fresco, se mide mediante el ensayo del tronco de cono de Abrams.

Un molde de metal tronco cónico, se llena con la mezcla en 3 capas de igual altura, compactando cada una con 25 golpes de varilla con chapa; luego se levanta el molde, y se mide el descenso de la mezcla en el punto central. Ese valor, determinado con precisión de 5 mm, es la medida de la consistencia o movilidad de la mezcla. Esta medida, también llamada asentamiento varía desde 2 a 18 cm, según el tipo de estructura y del procedimiento de colocación y compactación.

Fraguado Así se denomina el período durante el cual la mezcla fresca, al ponerse en contacto el agua con el cemento, comienza a perder gradualmente su capacidad de cambiar de forma; en un lapso de 4 a 10 horas, según sean las características del cemento, el proceso de fraguado termina, adquiriendo el material cierta resistencia mecánica y perdiendo la propiedad de moldeo. En realidad, el proceso de endurecimiento puede continuar varios años, pero se considera que el hormigón ha adquirido su máxima resistencia a los 28 días, ya que la posterior hidratación de las partículas de cemento es muy lenta y puede interrumpirse por falta de agua.

Acerca de la resistencia a la compresión La resistencia a la compresión del hormigón, la cual define su calidad, depende de varios factores: a) la relación agua/cemento (a/c = 0.5 a 0.7) b)

la dosificación

c)

la forma de curado

d) la calidad de sus componentes (cemento y áridos) De todos los métodos de dosificación conocidos solamente se mencionará el más común para obras de mediana envergadura, y que se denomina semiempírico. El procedimiento consiste en fijar una relación agua/cemento en peso, y variar las cantidades de agregados finos y gruesos, realizando pastones de prueba, para luego verificar en laboratorio la resistencia a rotura por compresión.

Algunos conceptos estadísticos

Para evaluar la calidad del hormigón se debe recurrir a la estadística, (figura MVI-2) ya que el promedio de los resultados de varias probetas puede no ser confiable para determinar la calidad del hormigón. El promedio divide en dos mitades el número de probetas ensayadas (el 50% es mayor que el promedio, mientras que el otro 50% es menor). La dispersión de los resultados de cada tipo de hormigón ayuda a determinar la mayor calidad de uno con respecto al otro, aunque ambos hormigones comparados hayan obtenido el mismo valor promedio. La desviación normal, que se designa con la letra s, se calcula mediante la siguiente expresión: s=

donde

: valor numérico correspondiente a un ensayo individual m : promedio de los valores m = ensayados n : número de ensayos (mayor que 30) si el número de ensayos es menor que 30, en la expresión de s se colocará (n – 1) en lugar de n. i

Resistencia del hormigón

La resistencia característica es un indicador de la calidad del hormigón, y está dada por la siguiente expresión: ’bk = m – 1.65 x s De la expresión surge que la tensión característica es un valor de la resistencia a compresión que limita un área a su derecha, entre la curva y el eje de las abscisas, dentro de la cual se ubica el 95% de los valores de rotura de las probetas ensayadas. En definitiva, el criterio para determinar la calidad del hormigón se basa en la determinación de la tensión característica ( ’bk), la cual se define como aquélla para la cual existe el 95% de probabilidades de ser superada por los valores de rotura de la mezcla ensayada. Cuando se establece una tensión característica se está aceptando el riesgo de que en el conjunto de la estructura a ejecutar exista una cantidad no superior al 5% de lugares donde la resistencia a compresión no alcanzará dicho valor. Durante el desarrollo del dimensionado de las secciones, en una etapa posterior, el coeficiente de seguridad cubrirá el riesgo mencionado.

Dimensionamiento a rotura de vigas de Hormigón Armado, sometidas a flexión simple y solicitadas simétricamente. Hipótesis de cálculo • El hormigón resiste solamente esfuerzos de compresión. • Todas las tracciones quedan reservadas para el acero. • Se cumple la hipótesis de Bernouille, es decir, que las secciones planas antes de la deformación, permanecen planas hasta el instante de la rotura. Diagrama ( - ) del acero Para todos los tipos de aceros se considera un diagrama bi-lineal, que cumple con la Ley de Hooke en su primer tramo, para el cual, y para todos los tipos de aceros, el módulo de elasticidad E vale 2100000 kg/cm2. La deformación máxima se limita al 5‰ (figura MVI6). La deformación específica a partir de la cual comienza la fluencia real o convencional de estos aceros es la siguiente: Para el tipo de acero A 24/37: Para el tipo de acero A 42/50: Para el tipo de acero A 60/66:

fl fl fl

= 2400 kg/cm2 / 2100000 kg/cm2 = 1,14‰ = 4200 kg/cm2 / 2100000 kg/cm2 = 2‰ = 6000 kg/cm2 / 2100000 kg/cm2 = 2,86‰

Diagrama ( - ) del hormigón A medida que aumenta el acortamiento de las fibras del hormigón, su tensión aumenta según una ley parabólica (parábola de segundo grado), ver figura MVI-7. Cuando el acortamiento unitario llega a 2‰ se considera que el

hormigón alcanza su tensión de rotura, entendiéndose como tal, no el valor de su resistencia característica a compresión, sino un valor un poco menor que designamos R, siendo aproximadamente R = 0,82 ’bk. Aquí debe hacerse un distingo entre el caso de una columna con carga centrada en la que todas sus fibras alcanzan su tensión de rotura al mismo tiempo, y el caso de una viga, para la cual las fibras del plano extremo son las primeras en alcanzar la deformación del 2‰, y por lo tanto la tensión de rotura R. Para el primer caso la deformación del 2‰ indica, obviamente, el límite de resistencia de la columna. En el segundo caso, en cambio, cuando el plano extremo de fibras del hormigón alcanza la tensión de rotura (porque su deformación llegó al 2‰), no por ello se agota la resistencia de la viga, pues los planos inferiores aún no alcanzaron el 2‰ de deformación y sostienen a los superiores cuyas fibras siguen deformándose sin aumentar su tensión (tramo vertical del diagrama de la figura MVI-7). La rotura recién sobreviene cuando un conjunto, y no un solo plano de fibras alcanza la tensión máxima. Claro está que en esos momentos el plano de fibras extremo ha alcanzado una deformación superior al 2‰ y que entonces, y tal como indica la figura, los planos de fibras de ese conjunto que alcanzaron una deformación igual o mayor al 2‰ están sometidos a una tensión igual a R. El diagrama de tensiones resulta pues rectangular en esa zona; y parabólico en el resto ( 1< 2‰).

Designamos con 1 la deformación de las fibras del plano extremo de la viga, y con e la deformación de la armadura de acero. Se considerará, en el caso de flexión simple, que la viga llega a rotura cuando el hormigón comprimido alcanza una deformación máxima del 3,5‰ o cuando el acero traccionado alcanza una deformación del 5‰. Lo primero que ocurra hace que la pieza pierda su capacidad de seguir resistiendo. Al diseñar la viga conviene partir de la premisa de que en el instante último el acero alcanzará la deformación límite del 5‰ (5 fisuras de un milímetro de ancho por metro), y nunca menor del 3‰, de manera de evitar el peligro de rotura sin un suficiente preaviso, ya que previamente aparecería un estado de fisuración altamente peligroso. En lo que respecta al hormigón, y para evitar un aprovechamiento excesivo del mismo (lo que no conviene, salvo que razones muy importantes lo hagan necesario) es preferible diseñar la sección considerando un acortamiento 1 comprendido entre el 2 y 2,5‰. Análisis de una viga de sección rectangular, con armadura de tracción solamente

Consideremos la viga de sección rectangular que indica la figura MVI-8: b es el ancho de la sección de la viga, d es su altura; x mide la distancia desde el plano neutro al borde comprimido y h representa la altura útil (distancia desde la armadura al borde comprimido). Al deformarse la viga por efecto de la acción de las cargas que la misma soporta, las fibras de hormigón ubicadas por encima del plano neutro se acortan. La armadura de acero experimenta, en cambio, un alargamiento.

Consideremos dos secciones S1 y S2 en la viga. Antes de la deformación por flexión estas secciones son planas y perpendiculares al eje de la viga. Al deformarse la viga, giran manteniéndose planas, hasta quedar perpendiculares a las fibras longitudinales deformadas. Supongamos ahora que incrementamos la carga que soporta la viga hasta llegar a su rotura, y consideremos que en este instante es el acero el que ha llegado a la deformación límite del 5‰, en tanto que la deformación máxima del hormigón sólo llegó al 2,5‰. El diagrama de tensiones en el hormigón comprimido será pues parabólico rectangular, de acuerdo con lo indicado en el punto anterior. Esta situación límite se indica en la figura MVI-9.

En el instante de la rotura se han desarrollado en el interior de la viga un par de fuerzas: Cu = resultante última de compresiones y Tu = esfuerzo último de tracción en la armadura. Tu = Cu por razones de equilibrio interno. Este par de fuerzas origina un momento interior Cu * z que equilibra al momento último Mu de las fuerzas exteriores. Cu x z = M u z es la distancia entre las fuerzas Cu y Tu (brazo de palanca).

Vamos a indicar ahora cómo determinar el valor de Cu y su distancia a al borde comprimido. Cu resulta de multiplicar el área de la zona comprimida (b · x) por la tensión media de rotura, que es indudablemente menor que R, escribiremos: un coeficiente menor que (media de rotura) = R; luego Cu = b · x · R siendo uno, cuyo valor se da en la tabla siguiente, en funci6n de 1.

Por su parte la distancia a de Cu al borde comprimido se determina mediante la siguiente expresión: a = ka · x (los valores del coeficiente ka se dan en la misma tabla) Secciones rectangulares con armadura de tracción y compresión (doble armadura) Seguimos refiriéndonos al caso de flexión simple. En este caso la armadura de compresión f’e se colocará sólo en casos especiales (apoyos de vigas continuas, secciones debilitadas por la presencia de huecos, etc.) para aumentar la resistencia de la zona comprimida (figura MVI-11). El momento máximo a que puede estar sometida una sección cuando todas las compresiones son resistidas por el hormigón únicamente, se determina usando como recta de deformación la correspondiente a 1 = 3,5‰ y e = 3,00‰, que son los valores que figuran en la última línea de la TABLA VI-1. Este momento máximo será caracterizado con un asterisco, siendo su valor: M* = b · h2 / Kh2

Luego, si el momento Msolicitante que debe resistir la viga resulta mayor que Madmisible*, la diferencia M = M – M*, deberá ser equilibrada por un par de fuerzas formado por la armadura de compresión y la armadura adicional de tracción. El brazo de palanca de este par de fuerzas vale (h – r’), siendo r’ la distancia de la armadura comprimida al borde comprimido. Ceu es la fuerza de compresión “última” de la armadura comprimida. Cbu es la fuerza de compresión “última” del hormigón comprimido.

Cálculo de armaduras Sin necesidad de mayores explicaciones podemos escribir: (Armadura de tracción) fe = (Armadura de compresión) f’e = La tensión ’e = ’eu/1.75 se determina en función de la deformación ’e de la armadura comprimida en el instante de la rotura. La simple observación de la figura MV-2 permite asegurar que ’e tendrá un valor de alrededor del 3‰, por lo cual, y de acuerdo con el diagrama / , cualquier tipo de acero estará en fluencia. En particular, para el acero ADN 420 que venimos usando en nuestros ejemplos, resultará: ’eu = 4200 kg/cm2, y por lo tanto ’e = 4200 kg/cm2 / 1.75 = 2400 kg/cm2 En ningún caso debe aceptarse f’e > fe. Si se llega a esta situación ello indica que las dimensiones de la sección de hormigón son insuficientes.

Vigas en te

Las experiencias han verificado que las vigas que se encuentran íntimamente ligadas a las losas, arrastran en su deformación una parte de ésta. Por este motivo, la sección de la viga no será rectangular sino en forma de T o L. Figura MVI-12. Las vigas te o ele constituyen sin duda una solución estructural muy racional en hormigón armado, siempre que la losa se disponga del lado de las compresiones. En estas condiciones, la viga cuenta con una gran cantidad de material sujeto a compresión y puede resistir grandes momentos flectores, aún con alturas reducidas.

Se comprende fácilmente que la eficacia con que la losa colabora con el nervio disminuye a medida que se aleja de éste. Para evitar tener que considerar tensiones decrecientes, se aplica el criterio de reemplazar el ancho real por otro llamado ancho colaborante o efectivo, que es una anchura tal que, suponiendo una distribución uniforme de tensiones, conduce a igual tensión resultante que con la distribución real (figura MVI-13).

El ancho colaborante depende del tipo de carga, de las condiciones de apoyo de la viga, de la forma de la sección, de la relación entre el espesor del ala y altura del nervio, etc. Por lo general se puede tomar como ancho colaborante máximo b = bo + (l / 3), siendo l la luz de la viga, o mejor, la distancia entre los puntos de momento nulo. Como es natural, no debe sobrepasarse la anchura disponible. Hipótesis de cálculo Si el ancho colaborante es mucho mayor que el ancho del nervio (b/bo · 4), es suficientemente exacto despreciar las tensiones de compresión en el nervio, y que se encuentran comprendidas entre el borde inferior de la losa y el eje neutro (figura MVI-14).

La resultante de las tensiones de compresión del hormigón se supone ubicada a la mitad del espesor del ala (d/2). Esto implica considerar tensiones de compresión uniformes en todo el espesor del ala, hipótesis que, cuando no se cumple estrictamente, origina un pequeño error en favor de la resistencia. Todos los esfuerzos de tracción quedan reservados a la armadura. Para un máximo aprovechamiento del hormigón la recta de deformación queda definida por los valores 1 = 3,5‰ y e = 3.0‰. Sin embargo, en las vigas placa generalmente el estado límite o de rotura se produce con la máxima deformación del acero, e = 5‰; pero la deformación del hormigón no llega al valor máximo posible. Por ese motivo, en el ejemplo (A) la recta de deformación ha sido fijada con los valores 1 = 3.0‰y e = 5.0‰ (en la figura B se indica la variación de las tensiones en el hormigón); do es la altura de la viga; h es la altura útil; d es el espesor de las alas; b es el ancho

colaborante; y bo es el ancho del nervio; adoptando un recubrimiento r resulta h = do – r Mientras que la deformación en el borde inferior del ala no descienda por debajo del 2‰, según las figura MVI-14 (A) y (B) en toda la losa comprimida la tensión será constante e igual a R Estamos en condiciones de plantear las siguientes proporciones: (x – d) / 2‰ = x / 3‰, de donde despejamos x=3d x / h = 3.0 / (3.0 + 5.0); y reemplazando el valor de x en esta ecuación resulta d = 0.12h En la figura MVI-14 (C) se observa que mientras d 0.12 h, la tensión media de rotura será menor que R para a = luz/10

Este Módulo VII reproduce los contenidos del Módulo VII de la publicación ESTRUCTURAS EN ARQUITECTURA - Primer Nivel cuyo autor es el Ingeniero José Luis Gómez - ISBN 987 - 98330 - 0 - 7 Este elemento estructural se caracteriza por tener dos dimensiones importantes con respecto a la tercera y que es su espesor. Corrientemente recibe cargas verticales y, por su trabajo a flexión, las transmite a sus apoyos, sean éstos vigas o muros.

Por otra parte, las losas ligadas monolíticamente a los planos verticales constituyen los planos horizontales o inclinados encargados de resistir como vigas, de gran canto, las fuerzas laterales (viento y sismo), transmitiéndolas a los planos resistentes verticales. Losa con armadura resistente en una dirección En una losa con dos apoyos como observamos en la figura MVII-1, si la cargamos en forma gradual y creciente hasta su rotura, veremos la aparición de una fisura central paralela a los apoyos en todo su largo. Esta fisura es coincidente con los lugares donde se producen los mayores momentos elásticos.

Si la losa tiene cuatro apoyos, pero la relación de luces ly /lx < 0.50, se comportará en forma similar a la analizada anteriormente. (figura MVII-2) Los momentos flectores en la dirección y son iguales que un conjunto de vigas puestas una al lado de la otra, y por lo tanto puede ser dimensionada como si fuesen vigas rectangulares de ancho b = 100 cm. La armadura en 1a dirección y obtenida para ese ancho, se repetirá a lo largo de lx. Utilizaremos las mismas fórmulas empleadas para el dimensionado de vigas rectangulares. Momento admisible = Madmis =

h = d – 1.5 cm

La altura necesaria = h = Sección de acero = fe = El espesor mínimo se fija en 7cm, pero cuando la losa es transitable por vehículos deberá tener dmínimo >=12 cm Para evitar deformaciones excesivas, la altura a diseñar será, por lo menos, igual a 1/35 de la luz entre apoyos. La separación entre barras de la armadura principal no debe exceder de 20 cm, ni dos veces el espesor de la losa. En las proximidades de momento máximo, la separación no debe exceder de separación = 15 + d/10, siendo d = espesor En las losas armadas en una dirección se deberá prever una armadura transversal a la armadura resistente, y que llamaremos armadura de repartición, cuya sección por metro será por lo menos un 20% de la armadura principal. Si la armadura transversal es de otro tipo de acero que el de la armadura principal, su sección deberá aumentarse en relación inversa de sus límites de fluencia.

Para aceros A-42/50 debe disponerse un mínimo de 3 barras ø 6 mm por metro o cantidad mayor de barras más finas con una sección equivalente. Para cubrir los momentos de empotramiento no considerados en el cálculo, se deberá prever en los apoyos la ubicación de una armadura adicional de aproximadamente 1/3 de la armadura de tramo. Comúnmente se levanta una barra de por medio en la forma indicada en la figura MVII-3. L = luz de cálculo, distancia entre los tercios internos de la superficie de apoyos, o en su defecto, la luz libre incrementada en un 5%.

LOSAS NERVURADAS Entiéndese por losa nervurada a aquélla constituida por una serie de vigas T, es decir, son losas en las que se ha sustituido parte de la zona traccionada de hormigón por material inerte de relleno, concentrándose las barras de acero en las nervaduras resultantes. La verificación de la sección resistente y cálculo de armaduras se realizará de acuerdo a lo visto en el tema Vigas T, disponiendo en este caso de un ancho colaborante b igual a la distancia entre ejes de nervios (figura MVII-4) Si el cálculo de momento solicitante se ha realizado para un ancho de un metro de losa, habrá previamente que obtener el momento flector correspondiente a un nervio, multiplicándolo por la separación entre nervios, expresada en metros. M(nervio) = M * sep. (expresada en metros)

El espesor del ala de compresión debe ser por lo menos 1/10 de la distancia libre entre nervios y no menor a 5cm No es necesario ningún análisis estructural de la placa (ala de compresión) si la distancia libre entre nervios es menor a 70cm. d>=

>= 5 cm

Como todas las vigas, los nervios deben llevar estribos y sólo se pueden suprimir si, y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones: p = 275 kg/m2 y diámetro de las barras = l6 mm

En losas nervuradas, armadas en una sola dirección, se deberán prever nervios de repartición con la finalidad de lograr mayor rigidez. La separación entre nervios de repartición no deberá ser mayor a la indicada en la tabla correspondiente

La armadura mínima en la capa de compresión estará constituida por una malla formada por barras de 4 mm de diámetro, en acero ADN 420, con separación de 20 cm, o sección equivalente. En ningún caso, la separación podrá ser mayor a 25 cm Algunos tipos de ladrillos que se fabrican en Córdoba

También, y con el fin de reducir el peso de la estructura, se acostumbra reemplazar el bloque por cajones de madera perdidos, o moldes de chapa metálica, previamente engrasados para facilitar su recuperación.

LOSAS CRUZADAS Análisis de las losas rectangulares macizas por líneas de rotura.

Si se carga una losa apoyada en sus cuatro bordes en forma gradualmente creciente hasta su rotura, las primeras fisuras aparecen en la zona central, donde son mayores los momentos elásticos. Al avanzar el proceso de carga las nuevas fisuras se van orientando a lo largo de ciertas líneas que se dirigen a las esquinas, que en el caso de losas simplemente apoyadas en sus cuatro bordes tienen una inclinación de 45 grados respecto de los bordes de la losa. Como consecuencia de esta fisuración la losa queda dividida en cuatro partes, como indica la figura MVII-6. Si se desprecian las deformaciones elásticas, frente a las deformaciones plásticas, se puede admitir simplificadamente, que las partes de la losa entre líneas de rotura quedan planas y, por consiguiente, sus intersecciones, es decir, las líneas de rotura, son rectas. Las deformaciones de las losas consisten pues, únicamente en rotaciones de unas partes, en relación con otras rotaciones que tienen lugar a lo largo de las líneas de rotura y de las líneas de apoyo (bordes de la losa). Es bueno destacar que en el instante último (colapso), el momento flector máximo está repartido a lo largo de estas líneas de rotura de una manera constante y es precisamente, igual al momento de rotura interno. Finalmente, y para terminar con estas consideraciones preliminares digamos que si planteamos una ecuación de equilibrio de momentos de cada una de las partes en que queda dividida la losa, con respecto al eje que coincide con la línea de apoyo (borde), entre el momento exterior último, desarrollado por la carga última (q), y el momento o los momentos internos últimos (Mxu o Myu), desarrollados en las líneas de rotura, siempre será posible, dividiendo ambos miembros de esta ecuación de equilibrio por el coeficiente de seguridad, tener planteada en definitiva, una ecuación en la que intervienen cargas y momentos internos de servicio. Por lo tanto en lo sucesivo, pese a que el cálculo se desarrolla a partir del análisis de lo que ocurre en el instante del colapso final, trabajaremos con cargas y momentos de servicio. Para hacer posible la solución del problema es necesario establecer una cierta relación entre los momentos Mx y My que corresponden a las direcciones x e y respectivamente. Se buscará que esta relación coincida con el valor que resultará por aplicación del método elástico, de manera de obtener una adecuada seguridad a la fisuración, en ambas direcciones. Consideremos en cada losa rectangular simplemente apoyada, la aplicación de las premisas en que se basa el método elástico:

• Para las fajas centrales el punto de cruce de las flechas fx y fy deben coincidir, fx = fy (figura MVII-7) Y como estas flechas son proporcionales respecto de la parte de carga qx o qy que se transmite en una y otra dirección, y a la cuarta potencia de las luces correspondientes, es posible escribir: qx · Ix4 = qy · ly4

luego

ly4/lx4 = qx/qy

llamando = ly/lx queda 4

= qx/qy (1)

• El momento en dirección y es proporcional a qy y al cuadrado de la luz ly, y análogamente ocurre en la dirección x. Luego resulta Mx/My = qx · lx2 / [qy · ly2] = Mx = My ·

2

4

· 1/

2

=

2

es decir

(2 )

Queda así definida la relación que debe existir entre los momentos en una y otra dirección. Por lo tanto si pudiéramos determinar el momento en la dirección y, por ejemplo, el momento en la otra dirección se obtendrá inmediatamente por aplicación de la última ecuación. • Cálculo del momento en la dirección y Supondremos primeramente que ly < lx. Para determinar el momento en la dirección y, es decir, My, se analizará el equilibrio entre el momento de las fuerzas exteriores y el momento interno equilibrante, tal como lo muestra la figura MVII-8, referida a la parte de losa que colinda con uno de los bordes de luz lx. Para facilitar la comprensión del tema, las líneas oblicuas de rotura han sido reemplazadas por escalones paralelos a los lados de la losa.

Para la parte no grisada resulta: Área =

=

La distancia del baricentro de esta área al borde de losa es:

Gy =

=

Luego, si q es la carga por metro cuadrado de losa, el momento de las fuerzas exteriores con respecto al borde resulta: Mext = My · lx,

y como debe ser Mext = Mint resulta My · l x =

de donde

My =

y teniendo en cuenta la ecuación (1)

My =

si llamamos al denominador my (minúscula) =

(3) queda My =

(4)

Conocido My, y teniendo en cuenta la ecuación (2) obtenemos: Mx =

Multiplicando y dividiendo el 2º miembro por lx2

Mx =

Expresión en la que mx =

o sea Mx =

=

(5)

(6)

Con valores de e dentro del campo [0.5