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Apuntes de Hormigón Armado

Autor Colaboradores

:

Silvana Cominetti Cotti-Cometti. César Rodríguez Stuardo.

:

Juan Förster Merkel. Pablo Pizarro Vásquez. Cristián Riquelme Pinto.

2003

Apuntes de Hormigón Armado

Página 2

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

PRÓLOGO

Estos Apuntes de Clases han sido elaborados por la Profesora Silvana Cominetti CottiCometti con los valiosos aportes de los alumnos César Rodríguez S., Juan Förster M., Pablo Pizarro V. y Cristián Riquelme P., a fin de ser utilizados en la Asignatura Hormigón Armado de la Carrera de Ingeniería Civil en Obras Civiles de la Universidad de Santiago de Chile. En este documento se entregan las bases necesarias para desarrollar el diseño de estructuras de hormigón armado, de acuerdo a las normativas vigentes en el país (código ACI, Norma NCh 433.Of96). Se ha elaborado este apunte con la intención de suministrar una ayuda al estudiante a fin de organizar y ordenar la materia que se dicta en el curso. Se espera que este documento sea de utilidad para el estudiante, y le permita el mejor aprovechamiento de las materias vertidas en la asignatura. Este documento constituye una VERSIÓN PRELIMINAR y está actualmente en revisión. Agradezco sinceramente al alumno Sr. César Rodríguez S. quien fue el motor de esta iniciativa y gracias a quien la versión actual de estos apuntes ha sido realizada. Así también agradezco a los alumnos Sres. Juan Förster M. y Pablo Pizarro V. que contribuyeron con aportes de gran valor al desarrollo de estos apuntes en la materia de diseño a flexo-compresión. Agradezco finalmente la colaboración del alumno Sr. Cristián Riquelme P. en la transcripción del texto. Es importante resaltar el gran aporte de los alumnos mencionados, en el sentido de que TODOS somos artífices del saber, y en conjunto somos capaces de crecer en nuestra formación y aportar al conocimiento de todos los que vienen tras de nosotros. El hecho de que estos apuntes sean el producto del trabajo conjunto y desinteresado de alumnos y profesor es lo que más me enorgullece, pues habla de la gran calidad humana de los alumnos aquí nombrados. A todos mis alumnos, muchas gracias.

Silvana Cominetti Cotti-Cometti Santiago, Septiembre 2003

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ÍNDICE Página

Prólogo

3

Índice

5

CAPÍTULO 1:

Generalidades

1.1-. Aspectos generales: 1.1.1-. Acero chileno. 1.1.2-. Hormigón. 1.1.3-. Fenómenos de contacto: Adherencia y Anclajes. 1.1.3.1-. Adherencia. 1.1.3.2-. Anclajes por curvatura. 1.1.4-. Traslapo en barras para hormigón. 1.2-. 1.3-. 1.4-. 1.5-. 1.6-.

Disposición de armaduras. Distancia mínima entre armaduras. Figuración del hormigón. Ventajas e inconvenientes del Hormigón Armado. Métodos de cálculo y normas.

CAPÍTULO 2:

Diseño a Rotura

2.1-. Antecedentes generales. 2.2-. Columnas corta – Compresión simple: 2.2.1-. Columnas de sección rectangular y zunchada. 2.2.2-. Columnas con hélice. 2.3-. Pandeo. 2.4-. Flexión simple: 2.4.1-. Sección rectangular con refuerzo en tracción. 2.4.2-. Sección rectangular con refuerzo a la compresión. 2.4.3-. Armaduras de corte. 2.5-. Diseño de elementos sometidos a esfuerzos de corte por flexión. 2.6-. Corte por flexión.

9 9 9 10 15 15 19 21 22 23 24 25 26

29 29 30 30 32 33 35 35 38 42 44 47 Página 5

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2.7-. Torsión pura y con esfuerzos de corte. 2.8-. Flexo-compresión: 2.8.1-. Falla por tracción del acero. 2.8.2-. Falla por compresión del hormigón. 2.8.3-. Diagrama de3 interacción para una columna de hormigón armado cargada excéntricamente. 2.8.4-. Metodología para el diseño sísmico de columnas. 2.8.5-. Requisitos adicionales en flexo-compresión. 2.8.6-. Diseño de secciones rectangulares sometidas a flexo-tracción. 2.8.7-. Diseño de muros: 2.8.7.1-. Muros con dinteles de acoplamiento. 2.8.7.2-. Muros sin dinteles de acoplamiento. 2.9-. Elementos sometidos a compresión biaxial

CAPÍTULO 3:

Diseño de Losas Aisladas

3.1-. Introducción:

63 64 64 65 72 74 75 75 76 80

85 85

3.1.1-. Clasificación de losas. 3.1.2-. Análisis de losas. 3.2-. Método de análisis de losas armadas en una dirección. 3.3-. Consideraciones de diseño: 3.3.1-. Tipos de apoyo en losas. 3.3.2-. Definición de la luz de cálculo. 3.3.3-. Momentos de análisis de losas continuas: 3.3.3.1-. 3.3.3.2-. 3.3.3.3-. 3.3.3.4-.

52 59

85 86 86 90 90 90 91

Solicitaciones de diseño. Esbeltez. Armaduras. Recubrimientos mínimos.

91 92 93 94

3.4-. Losas macizas armadas en dos direcciones (Losas cruzadas). 3.5-. Método simplificado de Marcus para losas rectangulares:

94 100

3.5.1-. Losas aisladas. 3.5.2-. Tipificación de losa. 3.5.3-. Losa deformada.

100 102 103

3.6-. Cálculo de reacciones de losas.

104

Página 6

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CAPÍTULO 4:

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Diseño de Campos de Losas

4.1-. Introducción. 4.2-. Métodos de análisis: 4.2.1-. Campos de losas con luces semejantes. 4.2.2-. Campo de losas con luces no semejantes. 4.3-. Método de distribución de momentos: 4.3.1-. Rigidez angular. 4.3.2-. Factor de transporte. 4.4-. Losas nervadas. 4.5-. Aplicación a diseño de vigas de puentes. 4.6-. Losas planas: 4.6.1-. 4.6.2-. 4.6.3-. 4.6.4-.

107 108 108 112 117 117 120 121 124 128

Introducción. Definiciones. Dimensiones de los elementos – Indicaciones prácticas. Obtención de los esfuerzos:

128 128 131 132

4.6.4.1-. Método directo. 4.6.4.2-. Método de los pórticos virtuales.

132 134

4.6.5-. Reparto de los momentos de referencia entre las bandas. 4.6.6-. Disposición de las armaduras. 4.6.7-. Abertura.

CAPÍTULO 5: 5.1-. 5.2-. 5.3-. 5.4-. 5.5-. 5.6-.

107

Diseño de Estanques Rectangulares

Introducción. Diseño. Propiedades de los materiales. Diseño estructural. Recomendaciones básicas de diseño (ACI). Juntas.

135 135 136

137 137 137 138 139 140 141

Página 7

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CAPÍTULO 6:

Diseño de Escalas

6.1-. Escaleras simples. 6.2-. Escaleras no simples.

Bibliografía

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143 143 146

155

ANEXOS: ANEXO A:

Diseño de columnas a flexo-compresión.

159

ANEXO B:

Valores de η para diseño de losas.

169

ANEXO C:

Enunciado de pruebas y tareas.

177

Página 8

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.CAPÍTULO

1: Generalidades

1.1-. Aspectos Generales Obra de H.A.:

Es aquella compuesta por Hormigón y Armadura Metálica que pueden resistir en forma conjunta las Solicitaciones Externas.

1.1.1-. Acero chileno

Calidad del Acero A44 – 28 H A63 – 42H

Diámetro e (mm) 6*, 8, 10 y 12 6* a 36 8, 10 y 12 8 a 36

Formas de Entrega ROLLO RECTA ROLLO RECTA

* El diámetro de 6 mm se suministra sólo en la calidad A44-28H y con superficie lisa. Todos los demás diámetros llevan resaltes.

A TRACCIÓN ROTURA FLUENCIA 4400 Kg./cm2 2800 Kg./cm2 5600 Kg./cm2 3500 Kg./cm2 2 6300 Kg./cm 4200 Kg./cm2

CALIDAD A 44 – 28 H A 56 – 35 H* A 63 – 42 H

MARCA HH o A44 HHH HHHH o A63

* No disponible en el comercio

Curva Característica de Acero A 44 – 28 H

σ 2

2

ε

Página 9

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1: 2: 3: 4: 5:

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Zona Elástica. Zona de Transición (Fluencia Restringida). Zona de Fluencia. Zona de Endurecimiento por Deformación. Zona de Estricción. ⇒ ⇒

EL HORMIGÓN ES FRÁGIL EL ACERO ES DÚCTIL

Hay que impedir la falla del Hormigón. Gran capacidad de deformación antes de romperse.

La DUCTILIDAD en el acero es inversamente proporcional a la resistencia.

σ

Frágil

Una

forma

de

medir

la

ductilidad:

µ=

εp εy

≥ 1 → Comport. Plástico

< 1 → Comport. Elástico

Dúctil

εy

εp

ε

1.1.2-. Hormigón

Propiedades:

- Mezcla

-

Cemento Áridos Agua Aditivos

Cal Aluminio Silicato Óxido Férrico

Hormigonadura Curado

a) Retracción de fraguado: Se debe a cambios de volumen que ocurren en el Hormigón debido a la evaporación. Es un proceso Exotérmico. Las zonas sufren diferentes deformaciones. Página 10

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Depende de: -

Humedad Ambiente. Calidad del Cemento (+ ó – calor de hidratación). Temperatura Ambiente. Dosificación. Tipo de Fraguado. etc. Agrietamiento por retracción: εo = 0,35 mm/m

←

Valor Promedio

Valor más exacto: ε o = 0,8 ⋅ [0,5 ⋅ (100 − H ) + 10 ]⋅ [(0,01 ⋅ C − 1) ⋅ A C + 0,2] ⋅ 10 −5

donde: H C AC

: : :

Humedad Ambiente (%). Cantidad de Cemento. Relación Agua-Cemento.

b) Fluencia o CREEP del hormigón: Son deformaciones a largo plazo debidas a Carga Estática Sostenida.

δ Al Descargar Fluencia o CREEP Recuperación Instantánea Recuperación en el Tiempo Deformación Instantánea

0

28 días

2 años

T (Meses) Página 11

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c) Control de calidad del hormigón: -

Ensayos No Destructivos. Ensayos Destructivos: Determinar la resistencia del Hormigón mediante probetas:

Cúbicas Cilíndricas o Prismáticas

: :

20x20 cm2 (Rc) 15x30 (Rp)

Rp = 0,86 Rc si Rc ≤ 400 Kg/cm2 Rp = 0,48 Rc + 152 si Rc > 400 Kg/cm2 (Rp < Rc ; Rp ≈ 0,82 ÷ 0,85 Rc ) Clasificación antigua de los hormigones RESISTENCIA A LOS 28 DÍAS CALIDAD DE CÚBICA PRISMÁTICA HORMIGÓN (kg/cm2 ) (kg/cm2 ) A 120 108 NO B 160 144 CONTROLADOS C 180 159 D 225 195 CONTROLADOS E > 300 > 240

Rp/Rc 0,90 0,90 0,85 0,87 0,80

Clasificación actual de los hormigones por resistencia a la compresión RESISTENCIA ESPECIFICADA, fc GRADO MPa Kg/cm2 H5 5 50 H10 10 100 H15 15 150 H20 20 200 H25 25 250 H30 30 300 H35 35 350 H40 40 400 H45 45 450 H50 50 500 Resistencia del hormigón en el tiempo TIEMPO RESIST/Rc 3 días 30% 7 días 70% 28 días 100% 90 días 120%

Parámetros: Página 12

Tipo de hormigón. Tipo de Cemento. Condiciones ambientales (Humedad, temperatura) Relación A/C Etc.

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Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti RESISTENCIA H20 H25 H30 H35 H40 H45 H50

f’c (Mpa) 16 20 25 30 35 40 45

1 MPa = 10 Kg/cm2

Ec = 4730 f c' (MPa)

→

Para hormigones normales.

Resistencia Característica:

σ bk = σ bm (1− 1,64ϕ ) ϕ

:

Desviación tipo Relativa. σ bm =

σ bi N

: :

1 n ∑ σ bi n i =1

Resistencia de cada muestra. Número de muestras.

Curva Característica de Hormigón σb

α E = Módulo de Elasticidad Del Hormigón σ=εE

α1

Comportamiento Aprox. Lineal

ε Página 13

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dσ = Módulo de Elasticidad Tangente. dε σ = Módulo de Elasticidad Secante. tgα1 = ES = ε dσ εo = = Módulo de Elasticidad en el Origen. dε ε = 0 tg α = ET =

Resistencia y Deformación del Hormigón Hipótesis de Rotura: 1-. La rotura se produce al alcanzar, en un punto de una probeta, el esfuerzo normal máximo soportable por el material en un ensayo de compresión o de tracción simple (RANKINE) Aplicable a materiales frágiles

→

HORMIGÓN

2-. La rotura se produce por esfuerzo de corte máximo (COULOMB) 3-. La rotura se produce por deformación máxima. 4-. La rotura se produce por acumulación de Energía de deformación máxima que soporta el material (VON MISSES) Aplicable a materiales dúctiles

→

Resistencia a la compresión → Rotura de probetas Depende de: 1-.

-

Forma y tamaño de la probeta. Velocidad de aplicación de la carga. Superficie de carga. Centrado de la carga.

2-.

- Dosificación del hormigón. - Edad del hormigón. - Temperatura de conservación. Parámetros de Ensayo: Forma y Tamaño:

Def.: n =

Página 14

CUBOS → 15x40 CILINDROS → 15 (ø) x 30 (h)

E ac E acero = = 10 → 15 en el rango usual Eb E hormigón

ACERO

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n puede llegar a 40 hasta que se colapsa. E = c σ cb (Kg/cm2 )

14000

25000 c= 3 − 3,8H

10000

H: Humedad ambiental en º/1

8500 Valores Normales:

γ H = 2400 ~2500 Kg/m3 3 γ H = 2200 Kg/m γ acero = 7700 ~7800 Kg/m3 E H ≈ 340000 Kg/cm2 Eacero = 2,1⋅ 10 6 Kg/cm2 α acero = 0,00001 [1 º C ]

(Hormigón Armado) Estructuras poco armadas (Hormigón solo)

Coeficiente de Dilatación térmica.

1.1.3-. Fenómenos de contacto: Adherencia y Anclajes 1.1.3.1-. Adherencia

Distribución de t a : Tensión de Adherencia Distribución de τ a : Tensión de Adherencia Promedio ø

F

τt a a

3ø

l

Página 15

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Si l es grande, se produce fluencia del acero y el experimento no sirve. Si l es pequeño, se producen grietas a 45º, extendiéndose hasta 3ø a lo largo con 1ø de largo cada grieta. Separación Mínima entre Armaduras:

1ø

1ø 3ø l

F = ∫ τ a ⋅ π ⋅ φ ⋅ dl

τa =

0

F = τ a ⋅ π ⋅φ ⋅ l

⇒

τa =

l

1 τ a ⋅ π ⋅ φ ⋅ dl π ⋅ φ ⋅ l ∫0

F ≈ 10 a 15 Kg/cm2 π ⋅φ ⋅ l

σ TS

:

π ⋅φ 2 = π ⋅ φ ⋅ ⋅l ⋅ τ a 4 Resistencia a la tracción de la barra de acero.

τa

:

Resistencia por adherencia hormigón-acero.

FMÁX = σ TS ⋅

Para anclar, no ayuda en nada aumentar l en el hormigón. Se estaría perdiendo. Interesa conocer l. σ φ l = TS ⋅ τa 4 Para σ TS =1440 Kg/cm2 :

τ a =10 Kg/cm2

Página 16

⇒

l=

1440 φ ⋅ ≈ 36ø 10 4

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Las normas recomiendan l = 40ø ~ 60ø (Anclaje Longitudinal)

Adherencia del anclaje τadh se aproxima a una distribución UNIFORME PROMEDIO µ

F l

Ensayo de tracción

db : diámetro de la barra. En la sección transversal, la fuerza será igual a:

F=

π ⋅ d b2 ⋅ fs 4

y a lo largo de la barra, dado que se generan esfuerzos promedio de adherencia µ, el equilibrio da:

F = µ ⋅π ⋅ db ⋅ l de donde la longitud de desarrollo del anclaje será: π ⋅ d b2 ⋅ f s = µ ⋅π ⋅ db ⋅ l 4

µ = k⋅

⇒

l=

fs ⋅ db 4µ

f c'

Si la resistencia de adherencia es mayor o igual que el esfuerzo de fluencia de la barra de π ⋅ d b2 sección transversal Ab = , entonces 4 π ⋅ d b ⋅ l b ⋅ µ ⋅ τ ≥ Ab ⋅ f y Página 17

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por lo que se obtiene que la longitud de adherencia para una barra es:

l d d = k1 ⋅

Ab ⋅ f y f c'

Para barras de diámetros pequeños:

l d b = 0,04 ⋅

Nº 11:

Ab ⋅ f y

l d b ≥ 0, 0004 ⋅ d b ⋅ f y

y

f c'

Para barras de diámetros grandes:

fy

Nº 14:

l db = 0,085 ⋅

fy

Nº 18:

ld b = 0,110 ⋅

Para barras con resalte:

f c'

fc' ld b = 0,03 ⋅

db ⋅ f y f c'

Con ganchos: db

12 db

4 d b ó 6,4 cm 4 a 6 db

Página 18

4 a 6 db

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1.1.3.2-. Anclajes por curvatura En barras con resaltes generalmente no se requiere curvatura, dado que la adherencia es buena. En barras lisas, o con tensiones muy grandes, se les debe dar curvatura. F α

Anclaje por adherencia y por roce

F + ∆F Anclaje por adherencia

En elemento de largo ?S: F ∆θ

∆θ 2

σ

µ⋅ ∆S ∆S

µ t

F + ∆F

∆θ 2

) n

) t

) Eq. en t :

(F + ∆F ) ⋅ Cos ∆θ − F ⋅ Cos ∆θ

) Eq. en n :

(F + ∆F + F ) ⋅ Sen ∆θ

∆θ ≈0 2

; Sen

∆ F ⋅ Cos

2

2

= t ⋅ ∆S

= σ ⋅ ∆S 2 ) ) u ⋅ ∆S = σ ⋅ ∆ S ⋅ n + t ⋅ ∆ S ⋅ t

∆θ = t ⋅ ∆S 2

∆ θ ∆θ ≈ 2 2

?

; Cos

∆θ ≈1 2

∆S = t ⋅ ∆S

?

τ =

dF 1 dS Página 19

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∆θ ∆θ ; + ∆F ⋅ = σ ⋅ ∆S 2 2 1 ∆S F + ∆F = σ =σ ⋅R 2 ∆θ F =σ ⋅R 2 Si ?F→ 0 ⇒ 2F ⋅

R ⋅ ∆ θ = ∆S → R =

∆S ∆θ

Se tiene:

τ = f ⋅σ + π ⋅φ ⋅τ a

(f = Coef. fricción acero- hormigón)

τ ⋅ ∆S = f ⋅ σ ⋅ ∆S + π ⋅ φ ⋅ ∆S ⋅ τ a dF F = f ⋅ + π ⋅φ ⋅τ a dS R dF = dS → F f ⋅ + π ⋅φ ⋅τ a R

dF F + π ⋅φ ⋅τ a ⋅

R f

f ⋅ dS R

=

e integrando:

F = Fo ⋅ e f ⋅d + π ⋅τ a ⋅ φ ⋅

(

)

R f ⋅d e −1 f

en que el primer término de la suma corresponde a fricción debido a la curvatura, y el segundo a adherencia amplificada por el efecto de fricción. α: ángulo de curvatura total. Si las tensiones que se desarrollan son muy grandes, se termina con un gancho normalizado. INDITECHOR (5ø ~ 7ø) Barras de Armadura Normal

Barras de Armadura Mejorada

4ø

C.E.B.

2,5ø

(2ø)

La tendencia actual es no usar ganchos (Utilizar 40ø, sin doblar los fierros)

Página 20

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1.1.4-. Traslapo en barras para hormigó n Las barras de acero vienen de 6 a 12 m. A pedido especial de 30 m.

3 tipos de empalme:

Por traslapo. Por soldadura → NO SE USA Por Manguitos terrajados. C.E.B. Esfuerzos se transmiten por adherencia

2ø ~ 4ø 20ø (Barras con resalte) 600ø (Barras lisas) σ bk

INDITECHOR (5ø ~ 7ø) Barras de Armadura Normal

Barras de Armadura Mejorada

4ø

C.E.B.

2,5ø

(2ø)

≥ 30ø con gancho ≥ 50ø sin gancho INN – NCh: 30ø con gancho. 50ø sin gancho.

ACI:

40ø Página 21

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1.2-. Disposición de las armaduras En vigas, el área mínima que se puede colocar es 2,5 º/oo en cada cara (5 º/oo en total). En columnas es 5 º/oo por lado. b

Ámín = 2,5 º/oo = 0,0025 ⋅ bh h

a) Viga simplemente apoyada con carga uniforme

* ya no se usa

Armadura Longitudinal por razones constructivas

Estribos. Razón constructiva de armadura. Absorbe tensiones longitudinales de corte

Zona de posible Rótula Plástica

Página 22

Armaduras principales de tracción

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b) Viga en consola (Marquesina) Armadura Principal

Razones Constructivas Arm. Principal

c) Fundación aislada

d Emplantillado Hormigón Pobre

5 a 10 cm

Gran posibilidad de oxidación. Se recomienda usar recubrimiento alto (d).

1.3-. Distancia mínima entre armaduras

Ø2

d1

d1 = ø

φ φ1 + 2 2

r

d1 = 1,2 x ø máx. del árido d1 = 2 cm

Ø1

0 = ø = 5 cm

Página 23

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Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Recubrimientos Recomendados ESTADO DEL ELEMENTO PROTEGIDO NO PROTEGIDO MUY EXPUESTO 1,5 cm 2,0 c m 3,0 cm 2,0 cm 2,5 cm 3,5 cm 3,0 ~ 4,0 cm 4,0 ~ 6,0 cm 6,0 ~ 8,0 cm

ELEMENTO Marcos Vigas Fundaciones

1.4-. Fisuración del hormigón Depende de:

-

Tensiones en las armaduras traccionadas. Calidad del hormigón. Adherencia entre hormigón y acero. Recubrimiento de las armaduras. Etc.

Ancho de grietas:  φ ω máx = 0,8 ⋅ γ f ⋅ 1,5 ⋅ r + k ⋅  ωf 

'     ⋅ σ a − k  ⋅ 10 − 6 ≤ 0,3 mm   ω f   

en que: ω f ≥ 1%

: Cuantía geométrica de armaduras referida a la sección afectada por figuración. ω : Ancho de la grieta. r : Recubrimiento. 1,1 ≤ γ f ≤ 1,3 : Coeficiente de Seguridad. φ : Diámetro armaduras. σa : Tensión de trabajo del acero. 0,04 ≤ k ≤ 0,07 Flexión Simple

Flexión Compuesta

7,5 ≤ k’ ≤ 12

ω

Página 24

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Ancho de grietas:

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(ACI – Ec. Gergely-Lutz)

ω = 1,1⋅ β ⋅ f S ⋅ ⋅ 3 d C ⋅ A ⋅10 −5

(en centésimas de mm )

h−c d −c M f S = servicio ≈ 0,6 ⋅ f y AS ⋅ j ⋅ d d C = Recubrimiento de hormigón. β=

C d

f⋅n

CC

h

dC A

A = Área de hormigón en tracción con centroide igual al de la armadura, dividida por el número de barras = Área de hormigón que rodea una barra.

0,4 mm (en el interior) ω máx =   0,33 mm (en el exterior)

1.5-. Ventajas e inconvenientes del Hormigón Armado Ventajas: 1-. Adaptabilidad en la forma. 2-. Monolitismo. Capacidad de hacer uniones rígidas y una sola cosa entre los dos elementos. 3-. Buena resistencia al fuego. Mejor que el acero, pero no tan resistente como la albañilería. Normalmente resiste 800 ºC ~ 1200ºC en condiciones especiales. 4-. Es más económico que el acero (para estructuras pequeñas). 5-. Resiste bien las fuerzas dinámicas.

Página 25

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Inconvenientes: 1-. Estructuras muy pesadas (no es posible efectuar grandes luces). Esto se resuelve con el Hormigón Pretensado.

Hormigón

Cable de acero con Tensión inicial

Cable

Resultante

2-. En estructuras de membranas y/o cúpulas son difíciles de construir. Economía en materiales (Hormigón y acero), pero mayor costo en moldaje y tiempo de construcción.

1.6-. Métodos de cálculo y Normas 1-. Ecuaciones de Equilibrio. 2-. Ecuaciones de Compatibilidad de Deformaciones (Navier-Bernoulli) 3-. Relaciones Constitutivas.

Diag. Tens. Def. del H.

σ

σ

Diag. Tens. Def. Idealizado del Hormigón

fC ’ 0,85fC ’

εo Despreciable

ε

2 º/oo Real ACI Rectángulo

Página 26

3,5 º/oo

ε

C.E.B. Parábola-Rect.

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M creciente desde 0 ? M máx Deformaciones de la Sección ε = 3 º/oo ε>εo

ε1 M Barras de Acero

T ε2 (acero) σ=E⋅ε

ε

ε (acero) ε (acero) Tensiones en el Hormigón 0,85fC’ σ ε

M Barras de Acero

T Teo. Elástica

Teo. Inelástica Parábola-Rect.

ACI Rectángulo

En el acero se considera un comportamiento bi- lineal: σ

fy E acero COMPRESION εy

Horm. εy

10 º/oo

ε

TRACCIÓN fy

TEORÍA CLÁSICA:

Diseño en base a verificaciones de tensiones. Verifica la tensión máxima. Se aplica un coeficiente de seguridad a las tensiones. σ H ≤ σ adm.H . σ ac ≤ σ adm.ac. Página 27

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TEORÍA INELÁSTICA:

Verifica las tensiones últimas o de agotamiento. No verifica la tensión máxima, sino que determina el estado tensional en el cual la pieza se colapsa. Se define un Estado Último o de colapso, y a ese estado se chequea. Se verifica la Resistencia Última de la pieza. Se determinan las solicitaciones máximas con coeficientes de mayoración y se comparan con las resistencias últimas. Debe cumplirse:

Solicitaciones Mayoradas ≤ Resistencias Últimas Conceptualmente la teoría inelástica es mejor y más real. Diagramas de Tensiones de Rotura del Hormigón para Variación Triangular de las Deformaciones

σ

0,6⋅σ b nominal σ b cálculo = 0,6⋅σb nominal

B

A

2 º/oo

3,0 º/oo

εb

X

(

)

C b = Área A + Área B ⋅ espesor pieza

A = 0,381⋅ σ b cálculo ⋅ X   A + B = 0,8096 ⋅ σ b cálculo ⋅ X B = 0,4286 ⋅ σ b cálculo ⋅ X  ∴

C b = 01 ,8096 23 ⋅ σ b cálculo ⋅ X ⋅ b α

El C.G. de A+B está a 0,587 ⋅X del origen, o bien a 0,42⋅X del borde comprimido. Página 28

Resultante 0,42X Cb

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CAPÍTULO 2: Diseño a Rotura

2.1-. Antecedentes generales Mn = Momento Nominal Mn ≥

M u Momento Último = φ Coef . Re ducción

Esta sección resiste Mn

Mn

Se debe cumplir entonces: φ ⋅ Mn ≥ Mu

Valores del Coeficiente de Reducción ø ø

SOLICITACIÓN Tracción Axial Flexión Compresión con Flexión: - Columnas con estribos - Columnas zunchadas - Columnas con cargas axiales pequeñas Corte y Torsión Aplastamiento

0,90 0,90 0,65 0,70 0,75 ~ 0,90 0,75 0,65

Combinaciones de Carga U = 1,4(D+F) U = 1,2(D+F+T)+1,6(L+H)+0,5(Lr ó S ó R) U = 1,2D +1,6(Lr ó S ó R) + (1,0L ó 0,8W) U = 1,2D +1,6W + 1,0L + 0,5(Lr ó S ó R) U = 1,2D + 1,0E + 1,0L + 0,2S U = 0,9D + 1,6W + 1,6H U = 0,9D + 1,0E +1,6H

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) Página 29

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Con las siguientes excepciones: (a)

(b) (c) (d)

Excepto en garajes, el factor de carga L en las ecuaciones (3) y (5) puede reducirse a 0,5 en las áreas para reuniones con público y en todos los lugares donde la carga viva L es mayor que 487 kg/m2 Donde las cargas de viento W no hayan sido reducidos por un factor de directividad se permite utilizar 1,3W en lugar de 1,6W en las ecuaciones 4 y 6. Cuando las fuerzas sísmicas E estén basadas en fuerzas sísmicas al nivel de esfuerzos de trabajo debe usarse 1,4E en cambio de 1,0E en las ecuaciones 5 y 7 El factor para H debe ser cero en las ecuaciones 6 y 7 si la solicitación causada por H se opone a las causadas por W o E. Cuando el empuje de tierra provee resistencia a las solicitaciones de las otras fuerzas no debe incluirse en H pero debe incluirse en la resistencia de diseño.

1,4 ⋅ (D + L ± E ) NCh 433 .Of 96 0,9 ⋅ D ± 1,4 ⋅ E 

2.2-. Columnas cortas – Compresión simple 2.2.1-. Columnas de sección rectangular y zunchada

Pu Ag : Área gruesa de Hormigón Pu : Carga Última Ast : Área de acero Pn >0,85·ø·Pu

Resistencia del Acero:

f y ⋅ A st

Resistencia del Hormigón:

0,85 ⋅ f c' ⋅ AHorm

AHorm = Ag − Ast Resistencia de la Sección:

Pn = 0,85 ⋅ f c' ⋅ ( Ag − Ast ) + f y ⋅ Ast

Página 30

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φ ⋅ Pn ≥ Pu Ag

:

ø = 0,65

Área total hormigón (Áreas bruta)

La Carga de Diseño máxima no podrá ser mayor que 0,85 ⋅φ ⋅ Pn , es decir: φ ⋅ Pn máx = 0,85 ⋅ φ ⋅ Pn

Cuantías Mínimas y Máximas: A ρ = st Ag

ρ mín = 0,01 ρ máx = 0,06

P

H+A Zunchos Hormigón

Estribos Simples

Acero

∆ P

P b a

Sup: a = 30 b = 20 Ast = 10 cm2 fc’=200kg/cm2 Resist. Horm. = 0,85 ⋅ f c' ⋅ (ab − Ast ) Página 31

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2.2.2-. Columnas con hélice Ø hélice = ds

s

8,2 ⋅ f y ⋅ Asp    ⋅ Acc + f y ⋅ Ast Pn =  0,85 ⋅ f c' +  ds ⋅s   φ ⋅ Pn ≥ Pu

ø = 0,70

donde: ds Asp s Acc

: : : :

ø hélice. Área varilla helicoidal. Paso hélice. Área del núcleo de hormigón.

La Carga de Diseño máxima no podrá ser mayor que 0,85 ⋅φ ⋅ Pn , es decir: φ ⋅ Pn máx = 0,85 ⋅ φ ⋅ Pn

Cuantía Mínima para columnas Zunchadas (con hélice):  f c'   A g   ρ ≥ 0, 45 ⋅   ⋅   f  A −1   y  c

NOTA:

Dimensiones Mínimas (Columnas Rectangulares)

ACI → 30 x 30 cm NCh → 20 x 20 cm Página 32

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2.3-. Pandeo P y M=P⋅y x

d2y P⋅ y =− 2 dx EI

⇒

y '' +

y = A ⋅ Sen(kx) + B ⋅ Cos(kx) y(0) = 0 ⇒ B = 0 y( L) = 0 ⇒ A ⋅ Sen(kx) = 0 ,

y(x)

P n ⋅π = EI L

x

⇒

n2 ⋅ π 2 ⋅ EImín L2 I imín = mín ⇒ A Pcrít =

Pcrít =

P ⋅y=0 ; EI

P EI

A≠0 ⇒ kL = n ⋅ π , n = 0,1,2,...

 n ⋅π  P = EI ⋅    L 

⇒

k2 =

2

n2 ⋅ π 2 ⋅ EImín L2

,n=1 PE =

π 2 ⋅ EA ⋅ i 2 π 2 ⋅ EA = 2 L2 L i

σE =

π2 ⋅E λ2

( )

Def.: λ =α ⋅

donde α:

L i

⇒

α=1

α=0,5

α=2

α=0,7

Página 33

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Falta aún considerar el fenómeno de pandeo, debido al cual se debe afectar las cargas por un coeficiente mayor que 1. Se considera el efecto de pandeo multiplicando las cargas axiales por el Coeficiente de Pandeo. Coeficiente de Pandeo PILARES ( SIMPLES Lp/ b ω 15 1,00 20 1,08 25 1,32 30 1,72 35 2,28 40 3,00

NOTA:

) y ZUNCHADOS ( Ο ) ZUNCHADOS Lp/Dn ω 10 1,00 15 1,17 20 1,50 25 2,00 ---------------------

VALORES INTERMEDIOS SE INTERPOLAN.

Pilares de sección rectangular con estribos simples en que Lp b ≥ 15 . Pilares zunchados en que L p Dn ≥ 10 . En que:

Lp : Dn : b:

Longitud de pandeo = K ⋅L Diámetro pilar. Ancho pilar.

En pilares con sección diferente a la rectangular y con estribos simples se calcula primero la esbeltez λ a la que corresponde ω de la tabla siguiente:

λ=

Lp i λ = Lp/i 50 70 85 105 120 140

Página 34

i= ω 1,00 1,08 1,32 1,72 2,28 3,00

I mín Ab

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2.4-. Flexión simple 2.4.1-. Sección rectangular con refuerzo en tracción Deformación Sección

Tensiones Hormigón y Acero

ε r = 0,003

C

a=β 1 c

c h

0,85⋅fc’

d

Mn

As εs

T

fs

b Kg 0,85 ; f c' ≤ 300  cm 2  β 1 =  0,85 − 0,0008 ⋅ f c' − 300 ; f c' > 300 Kg 2 cm  ' β ≥ 0 , 65 ; ∀ f 1 c  

(

a = β1 ⋅ c

a)

∑F = 0

⇒

T=C

con

i) Falla Dúctil:

εs = ε y

⇒

As ⋅ f s = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b

; fs = f y

⇒

∑M = 0

T = As ⋅ f s C = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b

⇒

b)

)

⇒ ⇒

Definimos:

ε c < 0,003

⇒

a=

As ⋅ f y = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b

As ⋅ f y 0,85 ⋅ f c' ⋅ b

a  M n = T ⋅ d −  2  As ⋅ f y    M n = As ⋅ f y ⋅  d − 0,59 ⋅ ' f c ⋅ b   fy A ρ = s (Cuantía) y ϖ =ρ⋅ ' b⋅d fc

entonces queda: Página 35

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M n = ϖ ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f c' ⋅ (1 − 0,59 ⋅ ϖ )

ii) Falla Balanceada: ε c = 0,003

εs = ε y

εy =

;

fy Es

ε c =0,003

εc ε = s c d −c

c 0,003 ⋅ (d − c) = ε y ⋅ c =

d

0,003 ⋅ d − 0,003 ⋅ c =

ρb = pero

d =

f y ⋅ c + 0,003 ⋅ c ⋅ E s 0,003 ⋅ E s

⇒

Es

fy ⋅c Es

εs = εy

⇒

fy ⋅c

d =

f y + 0,003 ⋅ E s 0,003 ⋅ E s

⋅c

As As ⋅ 0,003 ⋅ Es = b ⋅ d b ⋅ ( f y + 0,003 ⋅ Es )⋅ c As =

0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b 0,85 ⋅ f c' ⋅ β 1 ⋅ c ⋅ b = fy fy

iii) Falla Frágil:

⇒

ρb =

ε c = 0,003

;

0,85 ⋅ f c' ⋅ β 1 0,003 ⋅ E s ⋅ ( f y + 0,003 ⋅ E s ) fy εs < ε y

ε c = 0,003 C

0,003 ε = s C d −C

εs < εy Página 36

→

εs =

0,003 ⋅ (d − C ) C

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f s = Es ⋅ ε s

→

f s = 0,003 ⋅

(d − c ) ⋅ E c

s

como a=ß1 ·c:

f s = 0,003⋅ ( β1 ⋅ d − a ) ⋅

Es a

C = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b

T = As ⋅ 0,003⋅

(d ⋅ β1 − a ) ⋅ E a

s

a a   M n = C ⋅  d −  = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅  d −  2 2  

⇒

La cuantía de acero en tracción en elementos sujetos a flexión se limita de manera de asegurar una falla dúctil. Se utiliza la cuantía de balance como límite de diseño. Si ρ o < ρ b Si ρ o = ρ b Si ρ o > ρ b conveniente.

Falla del acero por tracción (Falla Dúctil). Falla balanceada. Falla por compresión del Hormigón (Falla Frágil). No es

Metodología de Diseño Es siempre conveniente que la falla que se produzca sea del tipo dúctil y no frágil, por lo que el diseño se realiza para conseguir una falla dúctil. Para esto se debe cumplir: Mu = φ⋅Mn

Mu = Momento último mayorado.

(

)

M u = φ ⋅ ϖ ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f c' ⋅ (1 − 0,59ϖ ) (∗);

φ = 0,9

Además hay que imponer la condición de armadura máxima para asegurar la falla dúctil: ρ máx = 0,75 ⋅ ρ bal

ρ máx = 0,025

para Diseño No Sísmico. para Diseño Sísmico.

Armadura Mínima: ρ min =

14 (fy en kg/cm2 ) fy

y

ρ min =

f c' 4⋅ fy

( f c´ , f ý en MPa)

Página 37

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Desarrollando la ecuación (*) se llega a: 2

 0,85 ⋅ f c' ⋅ b ⋅ d  1,89 ⋅ M u ⋅ b ⋅ f c' 0,85 ⋅ f c' ⋅ b ⋅ d  − As = −    fy f f y2 y  

2.4.2-. Sección rectangular con refuerzo a la compresión El diseño a la flexión de secciones rectangulares con armadura a la compresión se realiza mediante un proceso de tanteo. Inicialmente se supone que el refuerzo de tracción y el de compresión han llegado a la tensión de fluencia y luego se modifican los resultados si se encuentra que parte o todo el refuerzo no está en tal condición. Ecuaciones de diseño

ε c = 0,003

d’ As'

0,85 ⋅ f c'

c

h

Cs f s'

a

Co

d As

T εs

b

fs

Partiendo de la hipótesis inicial de que todo el acero está en fluencia: C c = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b

C s = As' ⋅ f y T = As ⋅ f y

Equilibrio

→

C c + C s= T

0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b + As' ⋅ f y = As ⋅ f y ⇒

Página 38

(A a=

s

)

− As' ⋅ f y

0,85 ⋅ f c' ⋅ b

yd

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Relaciones de proporción de deformaciones (Verificación de que las armaduras entran en tracción y compresión están en fluencia)

ε 's 0,003 = ' c −d c

→

ε s' = 0,003 ⋅

(c − d ) = 0,003 (a − β

εs 0,003 = d −c c

→

ε s = 0,003 ⋅

(d − c ) = 0,003 (β1 ⋅ d − a ) ≥

'

c

1

a

c

a

⋅d '

)≥

fy Es fy Es

fs

a = β1 ⋅ c

→

c=

fy

a β1

Es

f s'

ε 's

f y Es

Si ambas desigualdades se cumplen, significa que las suposiciones iniciales han sido correctas y por lo tanto el momento nominal se puede escribir como:

(

a  M n = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅  d −  + As' ⋅ f y ⋅ d − d ' 2 

)

En caso que las desigualdades anteriores no se cumplan, es necesario recalcular el valor de a a partir de las tensiones reales del acero.

As ⋅ f s − As' ⋅ f s' a= 0,85 ⋅ f c' ⋅ b

f s' = ε s' ⋅ E s = 0,003 ⋅

f s = ε s ⋅ Es = 0,003 ⋅

(a − β

1

⋅d'

)⋅ E

a (β1 ⋅ d − a )

a

s

⋅ Es

(

a  M n = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅  d −  + As' ⋅ f y ⋅ d − d ' 2  Situación de Balance: ⇒

)

εs = ε y

ab =

(

)

1 ⋅ ρ b ⋅ f y − ρ ' ⋅ f s' ⋅ d 0,85 ⋅ f c'

Página 39

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ab = β ⋅ C y =

0,003⋅ Es ⋅ β ⋅ d 0,003 ⋅ Es + f y

(Por geometría)

0,85 ⋅ f c' ⋅ β 1 0,003 ⋅ E s f s' ρb = ⋅ +ρ⋅ fy 0,003 ⋅ E s + f y fy

⇒ ' Si suponemos f s = f y

ab =

(

ρ − ρ ' ≤ 0,75 ⋅ ρ − ρ '

ACI:

(

con ρ − ρ '

)

b

= 0,85 ⋅ β 1 ⋅

f c' fy

(

)

1 ⋅ ρ b ⋅ f y − ρ ' ⋅ f s' ⋅ d ' 0,85 ⋅ f c

)

b

 6300 ⋅  6300 + f ' y 

  ( ρ b de vigas simplemente armadas)  

Las vigas doblemente armadas también pueden fallar por tracción del acero o compresión del hormigón. En ambos casos de falla, el acero en compresión puede o no haber alcanzado la fluencia. Metodología de diseño Si el acero de tracción y de compresión se encuentra en fluencia, se diseñará con las siguientes expresiones: fs = f y

f s' = f y

(A a=

s

)

− As' ⋅ f y

0,85 ⋅ f c' ⋅ b

 a   M u = φ ⋅ M n = φ ⋅ 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅  d −  + As' ⋅ f y ⋅ d − d '  2      a  M u = φ ⋅  As − As' ⋅  d −  ⋅ f y + As' ⋅ f y ⋅ d − d '  2   

(

(

)

(

)

ó bien

)

Si el acero de compresión no ha alcanzado la fluencia, se puede encontrar el esfuerzo en él en términos de a. Luego, como f s' no está en fluencia, en las ecuaciones se reemplaza f y por f s' .

a=

Página 40

As ⋅ f y − As' ⋅ f s' 0,85 ⋅ f c' ⋅ b

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  a  ' ' ' '  M u = φ ⋅ 0,85 ⋅ f c ⋅ a ⋅ b ⋅  d −  + As ⋅ f s ⋅ d − d  = As ⋅ f y − As' ⋅ f s' ≈ A s − As' ⋅ f y 4244 3   14 2  Cc   ó bien  a   M u = φ ⋅ (As − As' )⋅  d −  ⋅ f y + As' ⋅ f s' ⋅ (d − d ' ) 2   

(

)

(

)

Las ecuaciones anteriores suponen que el acero a tracción está en fluencia, lo cual es esencial para evitar la falla frágil.

Requisitos adicionales Especificaciones de Resistencias Mínimas: -

En el caso de unión (Viga – Pilar), la resistencia para momentos pos itivos no debe ser menor que la mitad de la resistencia para momentos negativos en esa cara: M (+ )

-

APOYO

≥ 0,5 ⋅ M (− )

APOYO

En cualquier sección a lo largo del elemento, la resistencia tanto para el momento positivo como para el momento negativo no debe ser menor que un cuarto de la resistencia para el momento máximo proporcionado en la cara de la unión: M ( +) TRAMO   ≥ 0,25 ⋅ M MÁX M ( −) TRAMO 

Otro procedimiento de diseño

APOYO

(Vigas Doblemente Armadas)

1-. Se elige una sección. 2-. Se elige una cuantía de refuerzo a tracción: ρ < ρ b → ( ρ < 0,75 ⋅ ρ b ) 3-. Se determina el momento nominal de la sección simplemente armada con: fy   M n = ρ ⋅ f y ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ 1 − 0,59 ⋅ ρ ⋅ '  ; fc  

M n req ≥

Mu φ

Si M n > M n req , no es necesario agregar más acero. 4-. La diferencia de momentos ∆ M = M n req − M n se toma agregando acero tal que el par de fuerzas equilibren a la deferencia de momentos

Página 41

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As' = As adicionales

As adic. =

As' ⋅ f y

M n req − M n

(d − d ) ⋅ f

(d − d )

'

∆M

'

y

As ⋅ f y

5-. Debe verificarse: As + As adic. ≥

14 ⋅b⋅ d fy

2.4.3-. Armaduras de corte Analogía con la celosía

Armaduras de Construcción Líneas de Compresión Barras Inclinadas Armaduras de Tracción

Bielas de Compresión en el Hormigón. Se suponen a 45º

Ti

T

C

α

Ti ⋅ Senα = C ⋅ Senα Ti ⋅ Cosα + C ⋅ Cos45 = ∆T

Página 42

45º

T+∆T

⇒

Ti =

∆T Senα + Cos α

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τ

T

T + ∆T

d b s

τ =

∆T b⋅s

⇒

⇒ Si son estribos, α = 90º τ =

T i = Av ⋅ f y

⇒

Ti =

⇒

Q b⋅ d

∆T = τ ⋅ b ⋅ s

τ ⋅b ⋅ s Senα + Cosα

Senα + Cosα = 1

⇒

Ti =

Q ⋅s d ⋅ (Senα + Cosα )

(A v: Área armadura inclinada)

Av Q = s f y ⋅ d ⋅ (Senα + Cosα )

Av V = s s fy ⋅d

⇒

Q = Vs

NOTA: El área del estribo es 2⋅A

A A

Ej.:

Suponer que se usa φ8 ⇒

Aφ 8 = π ⋅

0,82 4

⇒

Av = 2 ⋅ π ⋅

0,82 4

Página 43

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2.5-. Diseño de elementos sometidos a esfuerzos de corte por flexión Hipótesis básicas 1-. El corte será resistido mayoritariamente por los refuerzos transversales. 2-. Se conoce perfectamente la curva tensión – deformación del Hormigón. 3-. Se conoce perfectamente la curva tensión – deformación del Acero. -

Se desechará el uso de barras longitudinales dobladas para ayudar a soportar esfuerzos de corte. Solamente se diseñarán estribos perpendiculares a la armadura longitudinal.

-

El diseño de secciones transversales sometidas a corte se debe basar en: V u ≤ φ⋅V n V e ≤ φ⋅V n

si se realiza análisis estático. si se realiza análisis sísmico.

V e: Fuerza de corte obtenida considerando que los extremos de la viga entró en la fase plástica. No proviene de equilibrio de fuerzas. Vu: Fuerza de corte entregado por el análisis estructural estático. Vn: Resistencia nominal al corte: V n = V c + V s V c: Resistencia nominal al corte resistido por el Hormigón. V s: Resistencia nominal al corte resistida por el Acero.

Representación de la Distribución del Esfuerzo de Corte a lo largo de un elemento en Flexión

Vs

Vn

Vc

Vc

Vc

Vn

Vc Vs

V s: V c: Página 44

Corte soportado por el Acero transversal. Corte soportado por la sección de Hormigón.

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Vigas Corte por Flexión:

es resistido por el Hormigón y por las armaduras transversales.

La fuerza de corte solicitante en Diseño Sísmico no se obtiene del análisis de esfuerzos, sino que de la suposición de que los extremos de las vigas entran en la Fase Plástica. De esta manera se conoce el máximo esfuerzo de corte sísmico que es capaz de producirse en la viga. En base a esto se realiza un Diseño por Capacidad, protegiéndose contra la falla por corte.. El corte solicitante V e se obtiene calculando los Momentos Plásticos (Mp ) en los extremos de la viga, a partir de la armadura longitudinal ya diseñada, con φ = 1 y suponiendo una tensión de fluencia del acero 1,25 veces mayor que la real, es decir:

[

]

M p = 1 ⋅ ω ⋅ b ⋅ d 2 ⋅ f c' ⋅ (1 − 0,59 ⋅ ω )   fy  Sección sin armadura a la compresión ω = ρ ⋅1,25 ⋅ '  fc  ACI (Apéndice 21) Puntos en que se calcula el Esfuerzo de Corte Eje Columna

Ci

Eje Columna

Ve

V e⋅2d

1

2 2d Zona de Rótula Plástica

3

4 2d

Ci

Zona de Rótula Plástica

El Esfuerzo de Corte se debe calcular en los puntos 1, 2, 3 y 4. C i: D:

½ ancho columna. altura de la viga.

Página 45

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Determinación del Esfuerzo de Corte Solicitante El esfuerzo de corte solicitante V e NO SE OBTIENE DEL ANÁLISIS POR SAP . 2000 u OTRO El esfuerzo de corte V e se obtiene de suponer que los extremos de las vigas entraron en la fase plástica. ⇒

Máximo esfuerzo de Corte Sísmico ⇒ Diseño por Capacidad ⇒ Protección contra la falla por corte

Procedimiento Sismo hacia la derecha Eje Col.

(→ )

qk = q2 , q3 , ..

Mp1 ’

Eje Col.

Mp2 ’

Mp2 ’

Mp1’ L V1 ’

V2 ’

M p1 + M p 2 '

V = ' 1

M p1 + M p 2 '

V = ' 2

Sismo hacia la izquierda Eje Col.

− 0,5 ⋅ qk ⋅ L

L

V2 ’

V1 ’

'

'

L

+ 0,5 ⋅ qk ⋅ L

(← )

qk = q2, q3 , ..

Mp1

Eje Col.

Mp2 Mp2

M p1 L

V1

V2

V1 =

V1 V2

Página 46

V2 =

M p1 + M p 2 L

M p1 + M p2 L

+ 0,5 ⋅ qk ⋅ L

− 0,5 ⋅ qk ⋅ L

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NOTA: Las Combinaciones de Carga qk corresponden siempre a las Combinaciones de Carga con Sismo que entrega la NCh 433.Of.96

Para cada combinación de carga (con sismo), se calcula V 1 , V 2 (con + y – sismo) q2 q3

→ V1 ( + ) , V1 ( −) , V 2 (+ ) , V 2 (− )   → V1 (+ ) , V1 (− ) , V2 ( + ) , V 2 ( − ) 

⇒

Ve = máx {V1 (± ) , V 2 (± ) }

Para el caso más exigente (Ve), se calcula el esfuerzo de corte en la cara V Cc y en la cara V C2d.

⇒

⇒ Tomar las armaduras longitudinales de la viga ' Calcular con estas los Mp (determinados con φ = 1 y con f y = 1,25 ⋅ f y )

2.6-. Corte por flexión Armadura de Corte (Vertical e Inclinada)

Armadura de Tracción (Flexión) σy ≈ 0

τ

τmáx

τyx

(σ x ,τxy )

τxy 2α

σx

σx τxy

σ máx

σ

τxy τyx σy ≈ 0

Círculo de Mohr Página 47

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σy

σc

σc σy El Hormigón se rompería con σ T en un plano inclinado. Hay que coser la grieta colocando armaduras verticales (estribos) o inclinadas, o ambas. El Hormigón no resiste la tracción inclinada que se produce, y tiene inclinación variable (Tensión Diagonal).

Diseño de secciones rectangulares y no rectangulares sometidas a corte Se considerará que un elemento está sometido a corte sin influencia del corte producido por torsión si: x

Tu ≤ φ ⋅ 0,13 ⋅ f c' ⋅ ∑ x 2 ⋅ y

Tu : x: y: φ: Ej:

Momento Torsor máximo a que estará sometido el elemento. Dimensión menor de la sección. Dimensión mayor de la sección. Factor de minoración de la resistencia, para corte y torsión (φ = 0,85)

Sección No Rectangular y1 x1 y2

x2 Página 48

y

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1-. Resistencia suministrada por el hormigón  Vc =  0,5 ⋅  

f c' + 176 ⋅

ρo ⋅ Ve ⋅ d   ⋅b⋅d M p 

se debe cumplir la condición de:

Vc ≤ 0,53 ⋅ f c' ⋅ b ⋅ d

Ve ⋅ d Mp Vc Ve

: :

Vs

:

Vu

:

Vu ⋅ d Mu

ó

≤1

[Kg ]

según corresponda

Resistencia Nominal al Corte proporcionada por el Hormigón. Corte Máximo a que está sometida la viga, una vez que se ha plastificado el elemento. Resistencia Nominal proporcionada por la armadura transversal de refuerzo al corte. Fuerza de Corte Último obtenida del análisis.

2-. Resistencia suministrada por la armadura transversal a) Armadura Mínima En el caso de que V e < 1/2 ⋅φ⋅Vc, en rigor no se debe disponer de armadura de corte, pero considerando la seguridad de la estructura, se impone que la armadura transversal sea igual a la mínima, con el fin de confinar el Hormigón y asegurar una falla dúctil.

Si

⇒ s

-

:

Ve ≥

1 ⋅ φ ⋅ Vc 2

y

Ve < φ ⋅ Vc

ARMADURA MÍNIMA

Av s

= 3,5 ⋅ mín

b fy

Separación entre estribos.

Cuando Tu > φ ⋅ 0,13 ⋅ corte, ésta será:

f c' ⋅ ∑ x 2 ⋅ y , el cálculo dispone el uso de armadura mínima de

Página 49

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Av + 2 ⋅ AT ≥ 3,5 ⋅ Av AT

: :

b⋅s fy

Área de la armadura de corte (cm2) Área de la armadura de torsión (cm2)

b) Armadura de Corte (A v) Resistencia al corte de la armadura transversal

Vs = i)

Av ⋅ f y ⋅ d s

Diseño dentro de la posible Rótula Plástica: Con los Momentos Plásticos se determina V ec y se calcula el coeficiente α: M p1 + M p 2 α=

M p1 + M p 2

+ q Mayorado

por Combinación

L

•

L ⋅ (0,5 ⋅ L − C i )

Si α ≥ 0,5 y Pu < 0,05 ⋅ A g ⋅ f c' ⇒

Av V Vec = s = s fy ⋅d φ ⋅ fy ⋅d

con φ = 0,75 y se desprecia la contribución del Hormigón.(ACI-318 2005) •

Si α < 0,5 ó Pu > 0,05 ⋅ Ag ⋅ f c' ⇒

Av Vs 1  V ec  = = ⋅ − Vc  s f y ⋅ d f y ⋅ d  0,75 

no se desprecia la contribución del Hormigón.

Vc = 0,53 ⋅ b ⋅ d ⋅ f c'

Página 50

[Kg ]

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Para esta zona se tienen las siguientes limitaciones:

ii)

*)

 d S máx ≤  4 30 cm

**)

3,5 ⋅ b ⋅ d ≤ Vs ( Kg ) ≤ 2,1⋅

f c' ⋅ b ⋅ d

Diseño fuera de la zona de Rótula Plástica: Se determina Ve 2d y no se desprecia la contribución del Hormigón: Av 1  Ve 2d  = ⋅ − Vc  s f y ⋅ d  0,75 

Vc = 0,53 ⋅ b ⋅ d ⋅ f c' Limitaciones para esta zona: *)

 d S máx ≤  4 30 cm

si

Vs > 1,1 ⋅

f c' ⋅ b ⋅ d

**)

 d S máx ≤  2 60 cm

si

Vs ≤ 1,1 ⋅

f c' ⋅ b ⋅ d

En todas las secciones de la viga la armadura de corte no puede ser menor que la mínima:

Av s

= mín

3,5 ⋅ b fy

3-. Resistencia conjunta del Hormigón y la Armadura de Corte V n = Vc + V s

Vn

:

Resistencia conjunta nominal.

Debe cumplirse: Ve ≤ φ ⋅ Vn

Página 51

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Condiciones básicas que se deben cumplir en el diseño al corte: -

Se debe verificar que la resistencia a la fluencia de cálculo de la armadura utilizada para absorber el corte no exceda los 4000 Kg cm 2

f y ≤ 4000 Kg cm 2 -

Se debe cumplir que la resistencia soportada por la armadura transversal V s, no sea mayor que:

Vs ≤ 2,1 ⋅ f c' ⋅ b ⋅ d

2.7-. Torsión pura y con esfuerzo de corte La Torsión Pura es poco frecuente. Generalmente se presenta junto a flexión, corte y axial. Torsión en elementos de H.A. En general las secciones son rectangulares. τmáx

τmáx se produce en el extremo más cercano al C.G. MT x Pb , se produce una falla por compresión del hormigón antes que el acero fluya, por lo tanto f s < f y . Se debe calc ular nuevamente f s : f s = ξ s ⋅ E s = 0,003 ⋅

( β1 ⋅ d − a)

⋅ Es a a ⋅ f s = 0,003 ⋅ β 1 ⋅ d ⋅ E s − 0,003 ⋅ a ⋅ E s

a ⋅ f s + 0,003 ⋅ a ⋅ E s = 0,003 ⋅ β1 ⋅ d ⋅ Es a=

0,003 ⋅ β 1 ⋅ d ⋅ E s f s + 0,003 ⋅ E s

Se sustituye este valor en las ecuaciones en las ecuaciones de diseño y se resuelve por iteraciones, encontrando a y A s. Luego se debe verificar f s' = f y ; de lo contrario, calcular f s' y resolver nuevamente por iteraciones.

2.8.3-. Diagrama de interacción para una sección de columna de hormigón cargada excéntricamente DIAGRAMA DE INTERACCIÓN PARA UNA SECCIÓN DE COLUMNA DE HORMIGÓN CARGADA EXCÉNTRICAMENTE Y DISEÑADA CON A s

COMPRESIÓN

Pu

TRACCIÓN

Pb

Página 64

Falla por compresión del hormigón Pu > Pb

Pb Mb Falla Flexo - Tracción

Falla por tracción del acero Mu

Pu < Pb

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2.8.4-. Metodología para el diseño sísmico de columnas Si se efectúa el análisis sísmico mediante algún método estático, los signos de los esfuerzos resultantes son consistentes entre sí, y por lo tanto el diseño para este caso se realiza con las cargas axiales máxima y mínima, y con el momento máximo obtenido de la envolvente de esfuerzos. En cambio, si se efectúa el análisis sísmico mediante análisis dinámico por S.M.E., los resultados son siempre positivos, pues se realizan suposiciones del os máximos efectos. En este caso se diseña con la carga axial máxima y con la carga axial mínima, y con el módulo del momento máximo obtenido de las combinaciones de carga. 1er. Diseño: Máx ( M u 2 , M u3 ) ; Máx (Pu 2 , Pu 3 ) 2do. Diseño: Máx ( M u 2 , M u3 ) ; Mín (Pu 2 , Pu 3 )

3er. Diseño: Máx ( M u 4 , M u5 ) ; Máx (Pu 4 , Pu 5 ) 4to. Diseño: Máx ( M u 4 , M u5 ) ; Mín (Pu 4 , Pu 5 ) 5to. Diseño:

(M u1 , Pu1 )

En que M u1 , M u 2 ,K , M u 5 , Pu 1 ,K , Pu 5 , corresponden a los esfuerzos obtenidos de las combinaciones de carga. Factor de reducción φ φ = 0,9 −

φ = 0,9 −

0,2 ⋅ Pu 0,1 ⋅ f ⋅ Ag ' c

' si φ ⋅ Pb > 0,1 ⋅ f c ⋅ Ag

≥ 0,65

0,2 ⋅ Pu ≥ 0,65 0,7 ⋅ Pb

si φ ⋅ Pb < 0,1 ⋅ f c' ⋅ A g

 0,003 ⋅ E s Pb = 0,85 ⋅ β 1 ⋅ f c' ⋅ b ⋅ d ⋅   0,003 ⋅ E + f s y 

   

De estos diseños se elige el que dé la cuantía de acero mayor. Se debe verificar además, que la columna resista la compresión pura: Se verifica la capacidad axial de la columna con φ = 0,7 y suponiendo la cuantía de acero máxima: ρ o = 0,06

ó

ρ o = 0,025 según corresponda

Página 65

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[

Pu máx ≤ φ ⋅ Pn máx

(

Pu máx ≤ φ ⋅ 0,8 ⋅ 0,85 ⋅ f c' ⋅ Ag + 0,06 ⋅ b ⋅ d ⋅ f y − 0,85 ⋅ f c'

)]

ACI 318- especifica que para componentes no pretensazos, no se debe tomar la resistencia de carga axial de cálculo φ ⋅ Pn mayor que 0,8 de la carga axial de cálculo con una excentricidad φ ⋅ Po igual a cero. Metodología de cálculo de momentos plásticos en columnas sometidas a flexo – compresión Mp se determina para la columna ya diseñada. Ahora el área de acero no es la incógnita, sino el momento que resiste la columna con dicho acero para los diferentes niveles de carga axial que resulten de las diferentes combinaciones de carga. Se debe analizar el caso en que Pu > Pb y Pu ≤ Pb . P

Pu > Pb

M2 < M 1 . En este caso falla con M2 y Pu >Pb

Pb M2 a)

M1

Pu < Pb Mb

M

Si Pu = P b :

El acero de tracción alcanza la fluencia f s = f y , y el de compresión puede o no haberla alcanzado. Para calcular el momento plástico se emplea la carga axial última dividida por el φREAL, ya que de esta manera se está mayorando la carga y al moverse a través de la curva de interacción se obtienen momentos plásticos mayores. Pu

Pu

φ =1

Pu / φ

φ = Real (Función de Pu)

Mb Mp Mp Página 66

Mu

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i)

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' Si el acero en compresión alcanza la fluencia, f s = f y

Pu a=

φ REAL 0,85 ⋅ f c¡ ⋅ b

y con f s' = f s = f y se determina de la ecuación de M con φ = 1 el momento plástico Mp :

(

)

(

M p = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ d − d '' − 0,5 ⋅ a + As ⋅ f y ⋅ d − d ' ii)

)

Si el acero en compresión no alcanza la fluencia f s' < f y

(

)

0,003⋅ a − β1 ⋅ d ' ⋅ Es f = a ' s

y, reemplazando este valor en la ecuación para P u :

y con P u / φ se tiene:

(

(

Pu = φ ⋅ 0,85 ⋅ f c? ⋅ a ⋅ b + As ⋅ f s' − f s

))

 P  0,85 ⋅ f c' ⋅ a 2 ⋅ b +  0,003 ⋅ As ⋅ Es − u − f y ⋅ As  ⋅ a − 0,003 ⋅ β1 ⋅ d ' ⋅ As ⋅ E s = 0 φ   Despejando a de esta ecuación, y calculando f s' , se puede obtener, de la ecuación de momentos, el momento plástico, haciendo φ = 1.

(

)

(

)

M p = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ d − d '' − 0,5 ⋅ a + As ⋅ f s' ⋅ d − d ' − d '' + As ⋅ f y ⋅ d '

b)

Si Pu > Pb :

En este caso f s < f y y f s' puede o no haber alcanzado f y . Para calcular el momento plástico se utiliza P u / φ con φ = 1, pues cuando P u > Pb , con cargas axiales mayores se obtienen momentos plásticos menores. i)

' Si f s = f y

⇒

fs =

0,003 ⋅ (β1 ⋅ d − a ) ⋅ Es y: a

Página 67

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0,85 ⋅ f c' ⋅ a 2 ⋅ b + ( As ⋅ f y − Pu + 0,003 ⋅ As ⋅ E s ) ⋅ a − 0,003 ⋅ β1 ⋅ d ⋅ As ⋅ E s = 0 De aquí se despeja a, se calcula f s, y se obtiene Mp con φ = 1.

(

)

(

)

M p = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ d − d '' − 0,5 ⋅ a + As ⋅ f y ⋅ d − d ' − d '' + As ⋅ f s ⋅ d '' ii)

' Si f s < f y :

0,003 ⋅ (β 1 ⋅ d − a ) ⋅ E s a 0,003⋅ a − β1 ⋅ d ' ⋅ Es f s' = a fs =

(

)

y:

(

)

0,85 ⋅ f c' ⋅ a 2 ⋅ b + (0,006 ⋅ As ⋅ E s − Pu ) ⋅ a − 0,003 ⋅ β 1 ⋅ As ⋅ E s ⋅ d + d ' = 0

despejando a se calcula Mp con φ = 1:

(

)

(

)

M p = 0,85 ⋅ f c' ⋅ a ⋅ b ⋅ d − d '' − 0,5 ⋅ a + As ⋅ f s' ⋅ d − d ' − d '' + As ⋅ f s ⋅ d '' NOTA: Diseñar por capacidad considerando recomendaciones del ACI Columna fuerte – Viga débil Una gran colección de Diagramas de Interacción es posible encontrar en la bibliografía, como por ejemplo en el Manual de Cálculo de Hormigón Armado, disponible en la sección Manuales y Catálogos de www.gerdauaza.cl . Otra Metodología (Autor: Pablo Pizarro, Alumno USACH, Ingeniería Civil en Obras Civiles, 2002) Esta metodología se basa en despejar Pu, expresión que tiene dos incógnitas: Pu y fs’. (Pu lo conocemos del análisis estructural, pero para el caso lo consideraremos incógnita). Del despeje tenemos:  Mu ( f y − f s )φ  0,003 E s ⋅ β 1 ⋅ d   0,5 ⋅ 0,003 E s ⋅ β 1 ⋅ d  b d − d '' −  Pu =  − 0,85 ⋅ f c'     f d '' + f d − d ' − d '' + f s + 0,003 E s  f s + 0,003 E s    s y  φ ' 0,00255Es ⋅ β1 ⋅ d ⋅ f c ⋅ b ⋅ φ

(

f s + 0,003Es Página 68

)

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(

)

Suponemos f s' ≠ f y ⇒

f s' =

0,003 a − β1 − d '' Es a

⇒

f s' =

0,003E s d − d ' − d ' ⋅ f s d

(

con a =

0,003Es ⋅ β1 ⋅ d f s + 0,003E s

)

Al utilizar la fórmula de Pu, dando valores a f s comenzamos a iterar hasta encontrar un valor de Pu que coincida con el valor de Pu proveniente del análisis estructural. Otro procedimiento es el desarrollado por Juan Förster M., disponible en el Anexo A de estos apuntes. Determinación de la esbeltez de la columna (λ ), y del factor de modificación de los momentos por efecto de esbeltez (δ ) El diseño a flexo – compresión debe efectuarse con P u y δ ⋅ M u , en que δ es un factor que modifica el momento que actúa sobre la columna por efecto de ser ésta esbelta. •

Si λ es mayor que los valores definidos de Esbeltez Límite:

δ =

CM P 1− u ϕ ⋅ Pc

Esbeltez Límite: K ⋅ Lu M ≥ 34 − 12 1 r M2 K ⋅ Lu λ= ≥ 22 r λ=

COLUMNAS ARRIOSTRADAS COLUMNAS NO ARRIOSTRADAS

r = 0,288 ⋅ b

Si la columna es arriostrada

:

C M = 0,6 + 0,4 ⋅

Si la columna es no arriostrada

:

CM = 1

M1 ≥0 M2

(M1 < M2 )

ϕ = Factor de reducción por capacidad (0,7 a 0,9) Página 69

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Pc =

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π 2 ⋅ EI

( K ⋅ Lu )2

Viga 1

AS1

Lu

AS2

Viga 2

LN2

LN1

Columna: EI =

Ec = 5000 ⋅ βd =

Ec ⋅ I g  1 ⋅ 2,5  1 + β d

f c'

   

ó

 Ec ⋅ I g  1 EI =  + E s ⋅ I s  ⋅  5  1 + βd

(MPa)

M mayor(1,4PP + 1,7SC ) Participación PP y SC = Participación Fuerzas Laterales + PP + SC M mayor (Comb.2,3,4,5)

I g = Inercia Área Total =

b ⋅ h3 12

Determinación de K: ΨA =

Página 70

∑E⋅I ∑E⋅I

c

LU

V1

LN

ΨB =

∑E ⋅I ∑E ⋅I

c

V2

LU LN

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b ⋅ h3 12 LN : Luz libre de la viga (De eje a eje). Ic =

IV1 : Inercia de la sección agrietada de la viga =

a=

c = 0,85 ⋅ a

A ⋅E 1 2 ⋅ b ⋅ c 3 + s s ⋅ (d − c) 3 Ec

f y ⋅ As 0,85 ⋅ f c' ⋅ b

Con estos valores se ingresa al ábaco (Tabla 34 ó 35) según corresponda (Arriostrado o No Arriostrado).

Metodología: 1-. Determinación de IV1 , IV2 , Ic. 2-. Determinación de K. 3-. Cálculo de Pc : β d : MU1 , MU2 , … EI Pc

4-. Determinación de C M 5-. Cálculo de δ →

Diseño a Flexo – Compresión (PU, δ⋅MU)

En la siguiente página se encuentra un ábaco por medio del cual se obtiene el valor de K. Éste ábaco se obtuvo del Código ACI 318 – 99, página 184. (Es análogo al que aparece en la NCh 427 cR.76)

Página 71

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Ábaco para obtener el Coeficiente K de pandeo según condición de arriostramiento

2.8.5-. Requisitos adicionales en flexo – compresión

Criterio columna fuerte – viga débil Promueve la formación de rótulas plásticas en las vigas, logrando con esto: 1)

Buscar un mecanismo de falla total, es decir, un mayor número de puntos de absorción de energía.

2)

Mantener las columnas sanas, concentrando la destrucción en las vigas, dado que la reparación de éstas es más simple que la de las columnas.

3)

Aprovechar la capacidad de absorción de energía de las vigas ya que son dúctiles. El esfuerzo axial de compresión disminuye la ductilidad de las columnas.

Página 72

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Para cumplir este criterio se debe satisfacer la ecuación siguiente:

∑M

∑M

∑M

e

g

e

≥

6 ∑Mg 5

:

Suma de los momentos en el centro de la unión que corresponde a la resistencia de cálculo a la flexión de las columnas que forman el marco con esa unión. La resistencia a flexión de esa columna debe calcularse considerando la fuerza axial mayorada, concordante con la dirección de las fuerzas sísmicas consideradas que producen una menor resistencia a la flexión. Para obtener Se Me debe tomar el P u de la combinación de cargas que dé el menor momento Me, es decir, con la columna diseñada con las combinaciones de carga especificadas por la norma de diseño. φ es el correspondiente al Pu que se está considerando o perpendicular, según sea lo más desfavorable.

:

Suma de los momentos en el centro de la unión que corresponde a las resistencias a la flexión de cálculo de las vigas que forman marco con la unión. El cálculo de Mg se realiza con φ = 0,9

Si la unión no satisface esta condición, se debe proporcionar a las columnas armaduras transversales de confinamiento en toda su altura.

Pu ejemplo de un valor de fi real

Pu / φ (φ = 0,9)

Pu1

real

Pu2 Pu3 Pu4

Pu (φ = 1) Mp Mu

Pu5

Página 73

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Pu i

Pu ii

SISMO Me1

Mg1 AS2

SISMO

Me1

Mg2

AS1

AS2

AS1 Mg1

Mg2

Me2

El cálculo de dirección del sismo.

Me2

∑M

g

y

∑M

e

debe ser consistente con las armaduras que trabajan en la

En todos los casos debe cumplirse:

∑M

e

≥

6 ∑Mg 5

2.8.6-. Diseño de secciones rectangula res sometidas a flexo – tracción Ecuaciones de diseño Pu

d’ As

As Po = 2 ⋅ A s ⋅ f y

a  M o = As ⋅ f y ⋅  d −  2  Página 74

em d M u = P u ⋅ em

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As ⋅ f y    M o = As ⋅ f y ⋅  d − '  1 , 7 ⋅ f ⋅ b  c  MU Mo − Mo Mo − M N φ = = φ = 0,9 PU Po PN φ ⇒

M o ⋅ PU = φ ⋅ M o ⋅ Po − M o ⋅ Po φ ⋅ M o ⋅ Po − M o ⋅ Po MU = Po

MU

 P  M U = M o ⋅  φ − U  Po    As ⋅ f y   PU    ⋅ φ − = As ⋅ f y ⋅  d − '  1,7 ⋅ f c ⋅ b   2 ⋅ As ⋅ f y  

Desarrollando la ecuación anterior se obtiene el siguiente algoritmo que se resuelve por iteraciones:

 A ⋅ f  P   MU +  d − s y  ⋅ U   1,7 ⋅ f c' ⋅ b   2   As = As ⋅ f y    φ ⋅ f y ⋅  d − 1,7 ⋅ f c' ⋅ b  

OBS: Mu y P u se ingresan en valor absoluto

2.8.7-. Diseño de muros 2.8.7.1-. Muros con dinteles de acoplamiento

Carga axial sísmica. Los dinteles desarrollan fuertes esfuerzos de corte. No se hace en Chile en la práctica. No conviene porque es muy difícil de armar los dinteles.

Página 75

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2.8.7.2-. Muros sin dinteles de acoplamiento

Losa

Carga axial sísmica es Nula

Diseño a Flexo – compresión

→

armadura vertical distribuida uniformemente y armadura de borde.

Armadura de borde

→

Se diseña el muro como una columna a flexo – compresión, para M U φ y PU φ .

d - d’

Armadura uniformemente distribuida

Pb > PU Siempre los muros están trabajando bajo el punto de balance: Si la armadura de borde resulta excesiva, hay que considerar la armadura distribuida (pequeño programa computacional) trabajando en conjunto.

Diseño para el esfuerzo de corte

(

VU ≤ φ ⋅ Vn = φ ⋅ Acv ⋅ α c ⋅ Página 76

f c' + ρ H ⋅ f y

)

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ρH VU

: :

Esfuerzo horizontal. Esfuerzo de diseño.

[Kg

f c' , f y :

αc

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:

cm 2

]

Coeficiente que depende de la esbeltez del muro. αc 0,795 0,530

1,5 Acv

:

2,0

hw lw

[ ]

Área de la sección recta horizontal de muro cm 2

Limitaciones:

[Kg

1)

VU por muro = 2,65 ⋅ Acv ⋅

2)

VU de todoslos muros de un piso = 2,12 ⋅ Acp ⋅

máx

máx

f c'

cm 2

]

f c'

en una dirección

A cp

:

Suma de las secciones rectas de todos los muros.

La determinación de la armadura horizontal debe efectuarse con todas las combinaciones de carga.

ρ Hmín = 0,0025 NOTA:

Es por cada lado. Nunca colocar menos de φ8 @ 20

Página 77

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Armadura Vertical:

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También se necesita en muros bajos por el efecto de puntal en el que la armadura contribuye en horizontal y vertical.

hw

lw

hw ≤2 lw h si w ≤ 2,5 lw

ρv = ρH

si

ρ v = 0,0025

 h ρ v = 0,0025 + 2 ⋅  2,5 − w lw 

  ⋅ ( ρ H − 0,0025 )  

si 2
VM

Suponer φ = 0,6

→

φ = 0,6 φ = 0,75

Calcular todo → Comparar Rehacer todo con φ = 0,75

→

Si no da

→

Pero el muro no es un voladizo:

(

Estimar VV = Acv ⋅ α c ⋅

f c' + ρ H ⋅ f y

)

V M = función de PU (Considerar PU máximo si estamos bajo Pb . A medida que aumenta MN → aumenta V N → comparar con VM máx)

VM = M N ⋅ MN →

:

Vu MU

V U, MU

provienen del análisis

Fórmula aproximada.

Diseñar con φ = 0,6 → si la falla es por flexión

Chequear si la falla es por corte o por flexión → Rediseñar con φ = 0,75 → comprobar Página 79

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Fórmula aproximada para MN en muro:

α=

q=

c=

NU l w ⋅ h ⋅ f c' As ⋅ y l w ⋅ h ⋅ f c'

q +α ⋅ lw 2q ⋅ 0,85 ⋅ β 1

β 1 = 0,85 ⋅ f c' ≤ 280 Kg cm 2

 NU    ⋅ 1 − c M N = 0,5 ⋅ As ⋅ f y ⋅ l w ⋅ 1 +  As ⋅ f y   l w 

h lw As

: : :

   

NU > 0 Compres.

Espesor muro. Dimensión horizontal del muro. Área total (distribuido) vertical.

2.9-. Elementos sometidos a compresión biaxial (Columnas de esquina)

N My Mx

Página 80

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x

ey

N M x = N ⋅ ey

ex

y

M y = N ⋅ ex

Esfuerzos axiales en compresión biaxial

N σT

My

Mx

σ C máx

f.n.

Existen 5 posibilidades de ubicación de la Línea Neutra:

La solución exacta pasa por la pre-suposición de una línea neutra, en que ésta define el área de la cabeza de compresión y las barras en tracción. Es una solución iterativa, por tanteos. Página 81

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Método aproximado (Bresler – Palmer) PN

Curvas de Interacción

Superficie de falla

MNY

MNX

ey M NX ó M ox eoy

1,0

M NX M NY 1 − β + ⋅ = 1,0 M ox M oy β

A 1-β β

B

M NY M NX 1 − β + ⋅ = 1,0 M oy M ox β β 45º

Página 82

1-β

C 1,0

M NY e ó x M oy e ox

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Mox es el momento en X tal que MNY = 0, con P N Moy es el momento en torno a Y con MNX = 0, con P N

 M NX   M ox

α

M   +  NY M   oy

α

  = 1,0   Página 395 (Nawy)

log 0,5 α= log β

β: 1,0

β = 0,9 0,85 0,55

M NY M oy

…

β = 0,5

1,0

M NX M ox

AB:

M NY M NX < M oy M ox

→

M NX M NY + M ox M oy

1− β ⋅   β

  = 1,0 

BC:

M NY M NX > M oy M ox

→

M NY M NX + M oy M ox

1− β ⋅   β

  = 1,0 

Para las secciones rectangulares que tienen refuerzo distribuido uniformemente en todas M oy b las caras de la columna, la relación se puede tomar en forma aproximada igual a → M ox h 1-. Para

M NY b > M NX h

⇒

b 1− β M NY + M NX ⋅ ⋅ ≈ M oy h β

2-. Para

M NY b ≤ M NX h

⇒

h 1− β M NX + M NY ⋅ ⋅ ≈ M ox b β Página 83

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Procedimiento: 1. Calcular los momentos de flexión uniaxial suponiendo igual número de barras en cada cara de h M la columna. Suponer β = 0 ,5 a 0,7. Suponer ≈ NX b M NY Calcular el momento uniaxial equivalente requerido Mox o Moy . Si MNX es mayor que MNY, usar Mox para el diseño y viceversa. 2. Suponer h, b, ρ = ρ’ = 0,01 a 0,02 en cada una de las dos caras paralelas al eje de flexión del momento equivalente mayor. Darse unas barras iniciales. Verificar la capacidad PN de la columna definida (P N requerido = PU φ ; φ = 0,7). En el diseño final se debe usar iguales barras en todas las caras de la columna. 3. Calcular el momento resistente nominal REAL MoxN, para el momento uniaxial equivalente con respecto l eje X, cuando Moy = 0. Este valor debe ser mayor o igual a la resistencia requerida de momento Mox . 4. Calcular la resistencia de momento nominal REAL MoyN cuando Mox = 0. 5. Encontrar M NY introduciendo el valor

M NX y β, obtenido del gráfico. M oxN

6. Realizar un segundo tanteo, incrementando el valor de β supuesto, si el MNY que se obtuvo del gráfico es menor que el MNY requerido. Repetir hasta converger, cambiando β o la sección.

7. Diseñar el refuerzo lateral y detallar la sección.

NOTA:

Página 84

Estudiar el ejemplo en pág. 395 Nawy.

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CAPÍTULO 3: Diseño de Losas Aisladas

3.1-. Introducción

h

a

h 1 (ly > lx)

s.s s.s s.s

lx

ly s.s

lx

ly

5 ε 1− ⋅ 6 1+ ε 4 2

1−

dy

5 ε2 1− ⋅ 6 1+ ε 4

1−

lx 1

1

1

75 ε 25 ε 15 ε ⋅ 1− ⋅ 1− ⋅ 4 32 5 + 2ε 18 5 + ε 32 1 + ε 4 2

2

1

1

ly

lx 1

1 dx

ly

2

1

1

5 ε 5 ε ⋅ 1− ⋅ 4 6 5 + 2ε 6 5+ε 4 2

1−

2

1−

1

5 ε ⋅ 9 2 +ε4 2

1

15 ε ⋅ 32 1 + ε 4 2

1−

1−

5 ε2 ⋅ 18 1 + ε 4 1

15 ε 5 ε2 ⋅ 1 − ⋅ 32 2 + ε 4 18 1 + ε 4 2

Las condiciones de apoyo para los esquemas dibujados son independientes de que sea lado corto o largo. Con los momentos de tramo se diseñan las vigas T. •

Momentos de apoyo:

M x = mx 0

o

M y = my o

o

Características de las losas nervadas 1) La distancia ? < 100cm. 2) e > 5cm. 3) Debe comprobarse la resistencia al corte de los nervios siempre que actúen concentradas y que ? sea mayor a 50cm. Página 122

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4) Siempre debe ubicarse una nervadura perimet ral y también sobre cualquier apoyo intermedio. 5) Las nervaduras con espesores inferiores a 10cm no podrán armarse a compresión, por lo que deberá aumentarse el ancho de los nervios de las vigas T en las zonas de momentos negativos. La extensión de esta zona se define mediante los diagramas correspondientes de solicitaciones de la viga continua. 6) La placa superior debe tener un espesor mínimo de 5cm o bien ?/15, siendo ? la luz entre nervios; para distancias mayores de 50cm entre nervios, debe modificarse esta losa a flexión.

Se suponen bordes empotrados

Cuando ? < 50cm para estados de carga normales, sólo será necesario colocar una armadura ø6 @ 25cm dispuesta en ambas direcciones. En los casos e que las nervaduras se separen a distancias mayores, la asimilación a una losa no es recomendable, debiéndose calcular la nervadura como un sistema de vigas T ortogonales, cálculo que puede hacerse con 2 aproximaciones diferentes: a) Las vigas se consideran apoyadas entre si, lo que implica un sistema de vigas continuas ortogonales. Hay que igualar los descensos en los puntos de encuentro. El sistema resultante es de una alta hiperestaticidad y es proporcional al número de encuentros. b) Un sistema más exacto y más complejo es hacer compatibilidad de descensos y de giros en los encuentros. Sistema de hiperestaticidad mayor. Aparecen además incógnitas de momentos flectores y momentos torsores en cada encuentro, además de los cortes. Es recomendable, dada su complejidad, hacer análisis matricial.

Página 123

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y

r10

r12

k

r7

n

r11

r9 r8

r1 r2

j

r4

r3

i

m

l

r6 r5

x

Matriz de rigidez especial para elemento grilla, o elemento losa (Elemento Finito de Adini, Clough y Melosh (ACM)).

r2: Flexión para el elemento l-m. Torsión para el elemento i-j

4.5-. Aplicación a diseño de vigas de puentes Losa o Tablero

2

2 Estribo

Cepa Planta Estribos:

Página 124

Son fundación, muro de contención y apoyo.

1

1

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Cepas:

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Sin similares a los estribos, pero no son muro de contención.

Losa o Tablero:

Está simplemente apoyada.

Corte 1-1:

Asfalto

Vereda S

Peso ˜ 700 kg/m2

S

Cargas: 1-. Peso propio de la cubicación. 2-. Cargas móviles. 3-. Cargas de impacto.

Norma AASHTO (American Association of Status Hoghway Oficial)

Camión Standard

2’

6’ 3m

2’

0,2 W

0,8 W

Página 125

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TIPO H 15 H 20 H 35

W (PESO CAMIÓN) 15 Ton. CAMIONES 20 Ton. SIN 35 Ton. TRAILER

0,2 W

0,8 W

0,8 W

C=1”/Ton 6’

14’

14’ – 30’

Camiones con Semitrailer:

H15S12 H15S16

Sobrecarga por vía TIPO

W

H15 H20 H35 H15S12 H15S16

15 T 20 T 35 T

Para luces cortas

Página 126

CARGA ALTERNATIVA q (T/vía) PM (T) PQ (T) 0,48 4,5 6,5 0,70 6,5 9,5 0,95 9,0 13,0 0,70 6,5 9,5 0,95 9,0 13,0

Para luces largas

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Carga uniforme + carga puntual en la posició n más desfavorable para Q y para M son ? 1. PQ

PM

y luego

pp q

Análisis: 1-. M con PP. 2-. M con PP+W 3-. M con PP+q+PM 4-. M con PP+q+PQ

Idem para Q

Análisis Transversal Losa: Corte 1-1 a) Peso propio: b) Sobrecarga:

q⋅ s2 B P M= ⋅s P: mayor carga del camión. c 3 + 10 ⋅ s P P ⋅ (L − 60) M= ⋅s+ (L>60’) c 1000 3 + 10 ⋅ s Cepas M MÁX =

Largo mayor entre apoyos longitudinales L Análisis Longitudinal de las vigas: Descarga del camión sobre la viga: R=

s a

a = 4,6 + 0,04 ⋅

L H

(L en pies)

1  EI  H =  ⋅  L VIGA (EI ) LOSA

Cargas de Impacto:

I=

15, 2 ≤ 0,3 L + 38,1

(L en metros) Página 127

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I se aplica a las cargas móviles. El momento debido a las sobrecargas se incrementa en (1+I) Las vigas se analizan como vigas T, continuas, o con los apoyos correspondientes. La carga móvil se mueve, por lo tanto utilizar Líneas de Influencia. Ejemplo: Rótula = Carga Móvil

Se busca la situación más desfavorable para M y Q.

4.6-. Losas planas 4.6.1-. Introducción Son losas contínuas en dos direcciones ortogonales que descansan sobre soportes aislados de Hormigón Armado. Estos soportes están dispuestos en planta según los nudos de una malla ortogonal y pueden o no tener capiteles. En normas ACI-318 y la Instrucción Española se especifican métodos de cálculo elástico no muy rigurosos dados la complejidad que implica el comportamiento tridimensional de estas estructuras. En estructuras más complejas, como ser estructuras con soportes que no siguen una malla ortogonal, es aconsejable usar métodos que asimilen la estructura a un emparrillado sustentado en apoyos elásticos, lo que permite considerar la colaboración de los soportes. Ventajas de este tipo de losas • • • •

Son más económicas que las nervadas, pues son más livianas (menor peso propio). Se puede conseguir una altura total menor. El moldaje es más sencillo que en losas nervadas. Mayor espacio y cielos más lisos (mejora la estética).

4.6.2-. Definiciones •

Capitel:

Página 128

Ensanchamiento de la cabeza de u pilar, que sirve de unión entre éste y la losa.

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•

Ábaco:

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Zona de la placa que no se ensancha (engruesa) con objeto de aumentar la resistencia del soporte. Va entre la placa y el capitel o entre la placa y el pilar si éste no tiene capitel. t

e e=1,5t Si SC < 0,7 T/m2 no es necesario poner ábacos •

Recuadro:

Zona rec tangular de la placa, limitada por las líneas que unen los centros de cuatro soportes contiguos. Para una dirección dada pueden ser interiores o exteriores.

•

Banda:

Cada una de las franjas ideales, paralelas a la dirección del eje que se considera, en que se supone dividido un recuadro o fila de recuadros.

•

Banda Central:

Mitad central de un recuadro o fila de recuadros. Como excepción, en los recuadros cuyas dimensiones sean a/b > 4/3, la banda central en la dirección del lado menor b, tendrá in ancho de (a – 0,5·b)

•

Banda Lateral:

Banda situada lateralmente en un recuadro o fila de recuadros, cuyo ancho es igual a ¼ de la luz del vano perpendicular a la banda. Como excepción, en los recuadros cuyas dimensiones sean a/b > 4/3, la banda lateral en la dirección del lado menor b tendrá un ancho de ¼ de la luz b del vano paralelo a la banda.

•

Banda de Soportes:

Formada por dos bandas laterales contiguas, situadas a ambos lados de la línea que une los centros de una fila de soportes.

•

Banda Exterior:

Banda lateral de un recuadro exterior, o fila de recuadros, situada sobre una fila de soportes exteriores.

•

Pórtico Virtual:

Elemento ideal que se adopta para el cálculo de la placa, según una dirección dada, que está constituído por una fila de soportes y dinteles cuya inercia sea igual a la de la zona de la placa, limitada por los ejes de los recuadros adyacentes a dichos soportes. Página 129

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a1 a1

a2

a3

a4

b1/2

BANDA CENTRAL

b2

¼ b1 ¼ b 1

b1

¼ b1

BANDA EXTERIOR

BANDA LATERAL BANDA SOPORTES

BANDA LATERAL

x

x

b3

RECUADRO

y

Pórtico Virtual en dirección y- y

0,25a

0,5a a

Página 130

0,25a

0,25b

a - 0,5b a

0,25b

b

BANDA LATERAL

BANDA CENTRAL

BANDA LATERAL

b

a/b > 4/3 BANDA LATERAL

BANDA CENTRAL

BANDA LATERAL

a/b = 4/3

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4.6.3-. Dimensiones de los elementos – Indicaciones prácticas a) Los soportes no se desviarán de los vértices teóricos de una malla ortogonal en más del 10% de la luz correspondiente a la dirección en la que se produce la desviac ión. b) Las dimensiones de la sección de los soportes rectangulares ao xbo cumplirán las siguientes limitaciones: ao = 25cm bo = 25cm

; ;

= ho + h1 = ho + h1

con

: : : :

espesor de la placa. espesor del ábaco, si existe. l mayor de las luces de los vanos adyacentes en la dirección de ao . ídem en la dirección de bo .

ho h1 a b

; ;

= a/20 = b/20

En el caso de soportes circulares, la sección del soporte cuadrado de igual perímetro debe satisfacer las condiciones anteriores. c) Los parámetros del capitel formarán, con el eje del soporte, un ángulo no superior a 45º. ho 45º

45º

Zona no útil

d) En el cálculo de la armadura necesaria para resistir los momentos negativos de los apoyos, se considerará como espesor del ábaco el menor de los 2 valores siguientes: c h1 = ho Espesor real del ábaco

c

h1 = ¼ d Vuelo real del ábaco

ho h1 d

d

d

d

e) El espesor mínimo de la placa no será inferior a 12cm ni a 1/36 de la luz del vano mayor. Dicho espesor podrá bajarse a 10cm o a 1/40 de dicha luz (el mayor vano), si la placa va provista de ábacos cuyo espesor sea ha = ho/4, y cuya longitud total c, en la dirección de cada vano, sea igual o superior a 1/3 del vano correspondiente. Página 131

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4.6.4-. Obtención de los esfuerzos 4.6.4.1-. Método directo a) En éste método (ACI), los esfuerzos en cada vano se obtienen para placas con algunas limitaciones suplementarias: - un mínimo de 3 vanos en cada dirección. - 0,5 = a/b = 2 - Luces sucesivas que no difieran entre sí en más de 1/3 de la mayor. - Sobrecarga no mayor que el triple de la carga permanente. b) Se define el omento total para un vano como:

 b + b2  ae M o = (g + q ) ⋅  1 ⋅  2  8

2

g+q = carga total por m2 de placa. b1 , b2 = luces de los recuadros adyacentes cuya semisuma es del ancho del vano. ae = luz libre en la dirección de cálculo. Se tomará al capitel con la condición ae 300

cm 2

] ]

[Ec.1]

∀ f c, Página159

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Haciendo igualdad de fuerzas obtenemos:

(

Pn = 0,85 ⋅ f c, (a ⋅ b ) + As ⋅ f s, − f s

)

[Ec.2]

Momentando en el centro de gravedad se obtiene:

(

)

(

)

M n = 0,85 ⋅ f c, ⋅ (a ⋅ b) ⋅ d − d , , − a / 2 + As ⋅ f s, ⋅ d − d , − d ,, + A s ⋅ f s ⋅ d , ,

[Ec. 3]

Para obtener un gráfico P n vs Mn se deben encontrar a lo menos tres puntos, el punto de balance, compresión pura y flexión pura. El punto de balance se obtiene de considerar que el hormigón esta sufriendo su máxima deformación unitaria a la rotura ec = 0,003 y el acero traccionado esta sufriendo su deformación unitaria máxima en el rango elástico es = ey = fy /Es donde fy es la tensión de fluencia del acero y Es el módulo de elasticidad del acero. Por lo tanto si se hace una compatibilidad geométrica, se obtiene: fy Es 0,003 = a d−a β1 β1

[Ec. 4]

Despejando a se obtiene el a de balance (ab ): ab =

0,003 ⋅ E s ⋅ β1 ⋅ d 0,003 ⋅ E s + f y

[Ec. 5]

Reemplazando en la ecuación 3.37, se obtiene P b :

Pb = 0,85 ⋅ β1 ⋅ f c, ⋅ b ⋅ d ⋅

0,003⋅ Es 0,003⋅ E s + f y

[Ec. 6]

Para encontrar el segundo punto (compresión pura) se utiliza esta ecuación:

P0 = 0,85 ⋅ f c, ⋅ (b ⋅ h − 2 ⋅ As ) + f y ⋅ (2 ⋅ As )

[Ec. 7]

Para encontrar el tercer punto (flexión pura) se debe despejar a de la ecuación 2. Y luego reemplazarlo en la ecuación 3 Con estos tres puntos se puede definir el gráfico P n versus Mn como el que se muestra en la Figura N ° 2

Página 160

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Figura N ° 2: Gráfico de interacción Pn versus M n

Además de los puntos antes definidos conviene definir un punto de inflexión, el cual separa el gráfico de la Figura N ° 2 en tres sectores. Sector 1: La armadura comprimida esta fluyendo. Sector 2: La armadura comprimida y la traccionada están fluyendo. Sector 3: La armadura traccionada está fluyendo. Para encontrar el punto de inflección se encuentra el punto donde la armadura comprimida alcanza su deformación de fluencia ey , entonces utilizando compatibilidad geométrica. fy Es a

β1

−d

,

=

0,003 a β1

[Ec. 8]

Despejando a de la ecuación 8 se obtiene: 0,003 ⋅ d , ⋅ β 1 a= f    0,003 − y   E s  

[Ec. 9]

Reemplazando la ecuación 9 en la 10 se obtiene:

Página161

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    ,   0 , 003 ⋅ d ⋅ β 1 Pi = 0,85 ⋅ f c,  ⋅b   0,003 − f y    E s   

[Ec. 10]

Incluyendo en el gráfico de la Figura N ° 2 el P i se pueden ver los tres sectores en la Figura N ° 3.

Figura N ° 3: Gráfico de interacción Pn versus M n

Por compatibilidad geométrica se sabe que: f s = 0,003 ⋅

( β1 ⋅ d − a )

⋅ Es a a − β1 d , f s, = 0,003⋅ ⋅ Es a

(

)

[Ec. 11] [Ec. 12]

Para diseñar utilizando esta metodología se necesitan obtener los factores de reducción los cuales están definidos en el ACI-318 2002 estos dependen de si la sección está controlada por la compresión, se encuentra en un rango de transición o está controlada por la tracción. En otras palabras: Sección controlada por la compresión: Es aquella en que su armadura traccionada no sufre una deformación unitaria mayor que la deformación de fluencia (es < fy/Es) Sección en un rango de transición: Es aquella en que su armadura traccionada sufre una deformación unitaria mayor que la de fluencia, pero no mayor que 0,005 (fy /Es = es < 0,005) Sección controlada por la tracción: Es aquella en que su armadura traccionada sufre una deformación unitaria mayor o igual que 0,005 ( es = 0,005) Página 162

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Considerando:

ε s = 0,003 ⋅

(β 1 ⋅ d − a)

[Ec. 13]

a

Cuando es < fy/Es el ø a usar es:

φ = 0,7 , para armaduras zunchadas φ = 0,65 , para otro tipo de armadura

[Ec. 14] [Ec. 15]

En el caso del sector 1 el factor de reducción siempre es 0,7 para armaduras zunchadas y 0,65 para otras. Cuando fy/Es = es < 0,005 el ø a usar es:

fy   0,2 ⋅ ε s +  0,0035 − 0,9 ⋅  Es   φ= , para armaduras zunchadas fy 0,005 − Es

fy    0,25 ⋅ ε s +  0 ,00325 − 0,9 ⋅ Es   φ = fy 0,005 − Es

, para otro tipo de armadura

[Ec. 16]

[Ec.

17] Cuando es = 0,005 el ø a usar es:

φ = 0,9

[Ec. 18]

Se necesita obtener un gráfico de interacción de carga última, lo que se logra al multiplicar los valores nominales por los factores de reducción, entonces en el caso del punto de balance estos se multiplican por un ø igual a 0,7 si es armadura zunchada o un ø igual a 0,65 para otro tipo de armadura, en el caso de el punto de inflexión se debe encontrar este utilizando el a de inflexión, mostrado en la ecuación 9 quedando el gráfico de interacción como se muestra en la Figura N ° 4

Página163

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Figura N ° 4: Gráfico de interacción con cargas últimas

Para diseñar se cuenta con las cargas últimas obtenidas del análisis, sabiendo que: φ ⋅M n ≥ Mu

[Ec. 21] [Ec. 22]

φ ⋅ Pn ≥ Pu

Para efecto de diseño las inecuaciones 21 y 22 se consid eran como igualdades φ ⋅M n = M u

[Ec. 23]

φ ⋅ Pn = Pu

[Ec. 24]

Por lo tanto teniendo en cuenta esta consideración se procede a calcular las armaduras a compresión con el procedimiento siguiente. Sector 1  φ ⋅ Pn − 0,85⋅ fc, ⋅ ( a ⋅ b) a − β1d, , ,, , ,,  0 , 85 ⋅ f ⋅ ( a ⋅ b ) ⋅ d − d − a / 2 + ⋅ 0 , 003 ⋅ ⋅ E ⋅ d − d − d c s     a a − β1d,    f y − 0,003⋅ ⋅ Es    a   φ ⋅ Mn = φ ⋅   , + φ ⋅ Pn − 0,85⋅ fc ⋅ ( a ⋅ b) ⋅ f ⋅ d,,  y   ,   a − β1d   f y − 0,003⋅  ⋅ Es  a     [Ec. 25]

(

(

)

(

)

(

)

)

, obtenido a se ingresa en la siguiente ecuación y se encuentra la sección de acero

Página 164

(

)

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(

)

   a − β1 d , ,  φ ⋅ Pn = φ ⋅ 0,85 ⋅ f c (a ⋅ b) + A s ⋅  f y − 0,003⋅ ⋅ E s   a     Sector 2

a=

[Ec. 26]

(φ ⋅ Pn ) φ

[Ec. 27]

0,85 ⋅ f c, ⋅ b

, obtenido a luego se ingresa en la siguiente ecuación y se encuentra la sección de acero

[

(

)

(

)

φ ⋅ M n = φ ⋅ 0,85 ⋅ f c, ⋅ (a ⋅ b) ⋅ d − d , , − a / 2 + As ⋅ f y ⋅ d − d , − d , , + As ⋅ f y ⋅ d ,,

]

[Ec. 28]

Sector 3

 φ ⋅ Pn − 0,85 ⋅ f c, ⋅ (a ⋅ b ) , ,, 0 , 85 ⋅ f ⋅ ( a ⋅ b ) ⋅ d − d − a / 2 + ⋅ f s, ⋅ d − d , − d , ,  c ,   a − β1 d   0,003 ⋅ ⋅ E s − f y   a   φ ⋅ M n =φ ⋅  , ,  φ ⋅ Pn − 0,85 ⋅ f c ⋅ (a ⋅ b ) a − β 1d ⋅ 0 , 003 ⋅ ⋅ Es ⋅ d ,, + , a   0,003 ⋅ a − β 1 d ⋅ E − f  s y    a  

(

(

)

(

(

)

)

(

)

[Ec. 29] , obtenido a se ingresa en la siguiente ecuación y se encuentra la sección de acero

(

)

   a − β1 d , φ ⋅ Pn = φ 0,85 ⋅ f c, (a ⋅ b ) + As ⋅  0,003 ⋅ ⋅ E s − f y  a   

[Ec. 30]

El problema que se presenta ahora es encontrar el ø adecuado para incorporarlo a una u otra ecuación. Lo que se debe hacer es tantear cual de los ø es el que sirve para las cargas últimas que se tienen. Si se utilizan los sectores como referencia para los valores de ø, se puede notar que en el sector 1 el valor de ø = 0,7 para armaduras zunchadas y ø = 0,65 para otras armaduras, en cambio en el sector 2 y 3 no se sabe a ciencia cierta si se debe usar la ecuación 16, 17 o 18 para encontrar el ø por lo tanto si la carga axial última esta en el sector 2 se debe usar:

Página165

)        

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Pu  f   0,25 ⋅ ε s +  0,00325 − 0,9 ⋅ y   Es   fy  0,005 −  Es  a= 0,85 ⋅ f c, ⋅ b ó

a=

       

(para armaduras distintas de zunchos)

[Ec. 31]

Pu 0,9 0,85 ⋅ f c, ⋅ b

[Ec. 32]

Se recomienda comenzar utilizando la ecuación 31 y encontrar un valor de “a”, luego este “a” encontrado se evalúa en la ecuación 13 la cual dirá si la armadura está en un rango de transición, en caso de estarlo se ha encontrado el a correcto y se puede encontrar el valor de ø al evaluar el “a” encontrado en la ecuación 16, para luego encontrar la sección de la armadura utilizando la ecuación 28. De no encontrase en el rango de transición se debe utilizar la ecuación 32 para encontrar un valor de “a” apropiado y luego encontrar la sección de armadura evaluando este “a” en la ecuación 28. Si la carga axial última esta en el sector 2 se debe usar:

          , ,, f y  0,85 ⋅ f c ⋅ (a ⋅ b) ⋅ d − d − a / 2   0,25 ⋅ ε s +  0, 00325 − 0,9 ⋅   ,  Es  φ ⋅ Pn − 0,85 ⋅ f c ⋅ (a ⋅ b )  , , ,,   φ ⋅Mn = ⋅ + ⋅ fs ⋅ d − d − d , fy    a − β1 d  0, 005 −  0, 003 ⋅ ⋅ Es − f y    Es a     , ,   φ ⋅ Pn − 0,85 ⋅ f c ⋅ (a ⋅ b ) a − β1 d ,, ⋅ 0 , 003 ⋅ ⋅ E ⋅ d +  s , a   0, 003 ⋅ a − β1 d ⋅ E − f   s y      a   

(

( (

)

) )

(

)

(

)

[Ec. 33] Ó

Página 166

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 φ ⋅ Pn − 0,85 ⋅ f c, ⋅ (a ⋅ b ) , ,, ⋅ f s, ⋅ d − d , − d ,, 0,85 ⋅ f c ⋅ (a ⋅ b )⋅ d − d − a / 2 + ,  a − β1 d    0, 003 ⋅ ⋅ Es − f y   a   φ ⋅ M n = 0, 9 ⋅  , , + φ ⋅ Pn − 0,85 ⋅ f c ⋅ (a ⋅ b ) ⋅ 0, 003 ⋅ a − β1 d ⋅ E ⋅ d ,, s   a a − β1d ,    0, 003 ⋅ ⋅ E s − f y  a   

(

(

)

)

(

(

)

(

)

[Ec. 34] Se recomienda comenzar utilizando la ecuación 34 y encontrar un valor de “a”, luego este “a” encontrado se evalúa en la ecuación 13 la cual dirá si la armadura está controlada por la tracción, en caso de estarlo se ha encontrado el “a” correcto, luego se encuentra la sección de la armadura utilizando la ecuación 30. De no encontrase controlada por la tracción se debe utilizar la ecuación 33 para encontrar un valor de “a” apropiado y luego encontrar el valor de ø utilizando la ecuación 16, finalmente se encuentra la armadura utilizando evaluando este “a” y ø encontrados en la ecuación 30.

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)       

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ANEXO B Valores de η para diseño de losas Losas de un solo tramo (según Czerny) Empotra. Perf. Simple apoyo

M = q⋅a²/η Valores de η en la tabla

Casos: a b

a

1

b

Mb

Mbo

a

2

b

a

3

b

Mb

Mbo

4

Mb

Mb Mao Ma

Ma

Ma Ma

a

a b

b

5

Mbo

a

6

b

Mbo

7

Mb

Mb

Mb

Mao

a b

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Ma 40,2 35,1 30,0 26,5 24,1 22,2 20,8 19,9 19,0 18,1 17,9

Ma 27,2 22,4 19,1 16,8 15,0 13,7 12,7 11,9 11,3 10,8 10,4

Mb 27,2 27,9 29,1 30,9 32,8 34,7 36,1 37,3 38,5 39,4 40,3

Ma 41,2 31,9 25,9 21,7 18,8 16,6 15,0 13,8 12,8 12,0 11,4

Mb 40,2 42,0 44,0 47,6 51,0 53,0 55,0 56,7 58,0 59,2 60,2

-Mao 14,3 12,7 11,5 10,7 10,0 09,6 09,2 08,9 08,7 08,6 08,4

-Mbo 14,3 13,6 13,1 12,8 12,6 12,4 12,3 12,2 12,2 12,2 12,2

Mb 29,4 28,8 28,9 29,7 30,8 32,3 34,3 35,9 37,9 38,0 38,8 Ma 55,4 46,1 37,5 31,8 28,0 25,2 24,0 22,1 20,8 19,7 18,7

-Mbo 11,9 10,9 10,1 09,6 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 08,3 08,2

Ma 29,4 27,3 24,5 22,4 21,0 19,8 19,0 18,3 17,8 17,4 17,1

Mb 41,2 45,1 48,8 51,8 54,3 55,6 56,5 57,8 58,8 59,0 59,2

Mb 044,1 044,7 044,8 046,9 050,3 055,0 063,1 071,2 080,1 090,0 101,0

-Mao 18,3 15,4 13,5 12,2 11,9 10,6 10,0 09,6 09,2 09,0 08,8

-Mbo 16,2 14,8 13,9 13,3 13,0 12,7 12,5 12,4 12,3 12,3 12,3

a

Mb

b

Ma 44,0 33,9 33,8 31,0 29,0 27,6 26,5 25,6 25,0 24,7 25,5

Ma 61,7 46,1 35,5 28,5 23,7 20,4 17,9 16,0 14,6 13,4 12,5 Mb 55,9 60,3 66,2 69,0 72,0 75,2 79,0 83,0 87,4 92,0 97,0

Mb 35,1 32,9 31,7 31,2 31,4 32,1 33,9 35,4 37,8 40,0 42,4 -Mao 16,2 14,8 13,9 13,2 12,7 12,5 12,3 12,2 12,1 12,0 12,0

-Mbo 14,3 12,7 11,5 10,7 10,0 09,5 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 -Mbo 18,3 17,7 17,4 17,4 17,4 17,5 17,5 17,6 17,6 17,7 17,7

Ma

Ma 35,1 31,7 29,4 27,8 26,6 25,8 25,2 24,7 24,4 24,3 24,1 Ma 56,8 46,1 39,4 34,8 31,9 29,6 28,2 27,0 26,1 25,8 25,0

Mb

Mao

Ma

-Mao 11,9 10,9 10,2 09,7 09,3 09,0 08,8 08,6 08,4 08,3 08,3

Mbo

9

Mao

Ma b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

8

Mao

Mao Ma

Ma

Mbo

Mb 61,7 67,2 71,5 73,5 74,6 75,8 77,0 77,0 77,0 77,0 77,0 Mb 056,8 060,3 065,8 073,6 083,4 093,5 099,9 102,3 103,9 104,7 105,0

-Mao 14,3 13,5 13,0 12,6 12,3 12,2 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 -Mao 19,4 17,1 15,5 14,5 13,7 13,2 12,8 12,4 12,2 12,1 12,0

-Mbo 19,4 18,4 17,9 17,6 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,5 17,3

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Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Losas Continuas

Continuidad Simple apoyo

M = q⋅a²/η ; M1j =(M01 + M0j)/2 Valores de η en la tabla

p/g = 0,2

Casos: a b

Mbo

a

1

b

a

2

b

Mb

Mbo

3

a

Mb

b

4

Mb

Mb Mao

Mao

Ma

Ma

Ma

Ma

Mbo

a b

5

a b

Mb

Ma 38,4 33,4 28,4 25,2 22,8 21,0 19,6 18,6 17,8 17,0 16,6

Página 170

6

Mb

a b

Ma 39,2 30,6 25,0 21,1 18,3 16,2 14,8 13,6 12,6 11,9 11,3

Mb 38,4 40,0 41,8 45,1 48,3 50,3 52,2 53,8 55,1 56,5 57,3

-Mao 14,1 12,6 11,3 10,6 09,9 09,5 09,2 08,9 08,7 08,6 08,4

Mb 29,2 28,7 28,9 29,8 31,0 32,6 43,5 36,0 37,2 38,2 39,0 -Mbo 14,1 13,4 12,7 12,4 12,1 12,0 11,9 11,7 11,7 11,6 11,6

Mb

b

8

Ma 29,2 26,7 23,9 21,8 20,2 19,0 18,2 17,4 16,8 16,5 16,0

Mb 39,2 42,5 45,6 48,5 51,1 52,5 53,5 54,6 55,8 56,2 56,6

-Mao 11,9 10,9 10,2 09,7 09,3 09,0 08,8 08,6 08,4 08,3 08,3

Ma 54,7 42,0 32,6 26,8 22,4 19,6 17,2 15,5 14,1 13,2 12,3

Ma 53,0 41,6 34,2 29,2 25,8 23,4 22,1 20,4 19,1 18,2 17,2

Mb 41,6 41,3 42,5 44,6 47,9 52,0 58,8 65,1 72,2 79,8 87,8

-Mao 17,4 15,0 13,0 11,9 11,0 10,4 09,9 09,5 09,1 08,9 08,7

-Mbo 15,7 14,4 13,4 12,9 12,5 12,2 12,1 11,8 11,7 11,7 11,7

Ma 41,6 35,4 31,4 28,6 26,6 25,0 23,8 22,9 22,2 21,9 21,6

Mb 34,1 32,3 31,2 31,2 31,6 32,4 34,1 35,6 37,8 40,0 42,1 Mb 50,5 54,1 58,8 61,5 64,3 67,5 70,6 73,9 77,5 81,3 85,0

Mb

Mao

Ma

-Mbo 11,9 10,9 10,1 09,6 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 08,3 08,2

Mbo

a

Mao

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Mbo

7

Mao

Mao Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Mbo

Ma

-Mbo 14,1 12,6 11,3 10,6 09,9 09,5 09,2 08,8 08,7 08,5 08,4 -Mao 15,7 14,4 13,4 12,8 12,2 12,1 11,9 11,8 11,6 11,4 11,5

Ma 34,1 30,4 28,0 26,1 28,1 23,7 23,0 22,3 21,9 21,7 21,2 -Mbo 17,4 16,8 16,3 16,2 16,0 15,9 15,9 15,8 15,8 15,8 15,8

Mb 54,7 59,0 62,3 64,5 66,1 67,8 69,2 69,5 69,9 70,4 70,6 Ma 51,0 41,6 35,6 31,4 20,6 26,5 25,2 24,0 23,1 22,6 21,8

-Mao 14,1 13,3 12,6 12,2 11,9 11,8 11,6 11,6 11,5 11,5 11,4 Mb 51,0 54,1 58,3 64,6 72,3 80,0 84,9 87,1 88,6 89,7 90,4

-Mao 16,3 16,3 14,7 13,8 13,1 12,6 12,4 12,0 11,6 11,6 11,4

-Mbo 18,5 17,4 16,6 16,2 16,0 16,0 15,9 15,7 15,7 15,6 15,3

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Losas Continuas

Continuidad Simple apoyo

M = q⋅a²/η ; M1j =(M01 + M0j)/2 Valores de η en la tabla

p/g = 0,3

Casos: a b

Mbo

a

1

b

a

2

b

Mb

Mbo

3

a b

Mb

4

Mb

Mb Mao

Mao

Ma

Ma

Ma

Ma

a b

Mbo

Mbo

a

5

b

6

Mb

Mb

Ma 37,6 32,4 27,7 24,4 23,6 20,4 19,0 18,1 17,3 16,4 16,2

b

Ma 38,2 30,0 24,6 20,7 18,2 16,1 14,6 13,5 12,6 11,8 11,3

Mb 37,6 39,0 40,8 44,1 47,0 49,0 51,0 52,8 54,0 55,1 56,0

-Mao 14,0 12,4 11,3 11,6 09,9 09,6 09,2 08,9 08,7 08,6 08,3

Mb 29,1 28,6 28,9 30,1 31,1 32,6 34,6 32,6 37,3 38,3 39,0 -Mbo 14,0 13,1 12,5 12,2 11,9 11,6 11,6 11,5 11,5 11,5 11,4

a

Mb

b

Ma 29,1 26,4 23,6 21,2 19,8 18,6 17,8 17,0 16,3 15,9 15,6

Mb 38,2 41,2 44,2 47,1 49,3 50,9 52,0 53,4 54,5 55,0 55,3

-Mao 11,9 10,9 10,2 09,7 09,3 09,0 08,8 08,6 08,4 08,3 08,3

Ma 51,9 39,9 31,5 25,7 21,8 19,0 16,8 15,2 14,0 12,9 12,2

Ma 48,2 39,8 32,8 28,0 24,9 22,4 21,2 19,6 18,5 17,4 16,8

Mb 40,4 40,4 41,4 43,8 46,5 50,5 56,7 62,8 69,0 75,6 82,3

-Mao 17,0 14,5 12,9 11,8 10,9 10,4 09,8 09,5 09,1 08,9 08,7

-Mbo 15,4 14,0 13,1 12,5 12,2 11,9 11,7 11,6 11,6 11,6 11,5

Ma 40,4 34,4 30,2 27,6 25,4 24,1 22,8 21,9 21,2 20,7 20,4

Mb 33,6 32,1 31,2 31,3 31,6 32,5 34,2 35,8 37,9 40,0 42,0 Mb 48,2 51,4 55,5 58,5 61,0 64,0 67,2 70,2 73,5 76,8 80,2

Mb

Mao

Ma

-Mbo 11,9 10,9 10,1 09,6 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 08,3 08,2

Mbo

8

Mao

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Mbo

7

Mao

Mao Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

a

Ma

-Mbo 13,8 12,4 11,3 10,6 09,9 09,4 09,1 08,8 08,7 08,5 08,3 -Mao 15,4 14,0 13,2 12,5 12,1 11,8 11,6 11,5 11,4 11,3 11,2

Ma 33,6 29,8 27,2 25,2 23,9 22,8 21,9 21,3 20,8 20,5 20,2 -Mbo 17,0 16,1 15,7 15,5 15,4 15,2 15,2 15,2 15,2 15,1 15,0

Mb 51,9 55,5 58,6 61,2 62,6 64,3 65,8 66,3 67,0 67,5 67,6 Ma 48,9 39,9 34,0 30,0 27,4 25,2 23,8 22,8 21,8 21,2 20,6

-Mao 14,0 13,0 12,4 12,1 11,8 11,7 11,4 11,3 11,3 11,3 11,2 Mb 48,9 51,5 55,0 61,2 67,9 74,5 78,9 81,2 82,7 84,0 84,6

-Mao 17,8 15,7 14,4 13,5 12,7 12,4 12,0 11,6 11,5 11,4 11,2

-Mbo 17,8 16,5 16,0 15,7 15,5 15,3 15,2 15,2 15,2 15,1 14,9

Página171

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Losas Continuas

Continuidad Simple apoyo

M = q⋅a²/η ; M1j =(M01 + M0j)/2 Valores de η en la tabla

p/g = 0,4

Casos: a b

Mbo

a

1

b

a

2

b

Mb

Mbo

3

a

Mb

b

4

Mb

Mb Mao

Mao

Ma

Ma

Ma

Ma

a b

Mbo

a

5

b

Mbo

6

Mb

Mb

Ma 36,8 31,5 26,9 23,8 21,6 19,8 18,3 17,5 16,8 16,0 15,7

Página 172

b

Mbo

7

Mao

Mao

Mb

b

8

Ma 37,4 29,4 24,2 20,6 17,9 15,9 14,4 13,4 12,5 11,8 11,2

Mb 28,9 28,6 29,0 30,0 31,2 32,7 34,6 36,2 37,3 38,3 39,0

-Mbo 11,9 10,9 10,1 09,6 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 08,3 08,2

Ma 28,9 26,2 23,2 21,0 19,4 18,1 17,2 16,5 16,0 15,5 15,2

Mb 37,4 40,2 42,1 45,6 48,0 49,6 50,8 52,0 53,2 53,6 54,0

-Mao 11,9 10,9 10,2 09,7 09,3 09,0 08,8 08,6 08,4 08,3 08,3

Ma 49,1 38,2 30,3 25,0 21,2 18,5 16,5 15,0 13,9 12,8 12,0

Mb 33,2 31,8 31,3 31,2 31,7 32,6 34,3 35,8 37,9 39,9 41,9

Mb 36,8 38,2 40,0 43,0 46,0 47,9 49,8 51,3 52,6 54,0 54,9

-Mao 13,7 12,4 11,2 10,5 09,9 09,5 09,2 08,8 08,7 08,6 08,4

-Mbo 13,7 13,0 12,4 11,9 11,7 11,5 11,3 11,3 11,3 11,2 11,1

Ma 41,6 38,2 31,4 27,0 23,8 21,6 20,3 18,9 17,8 17,0 16,2

Mb 39,2 39,4 40,5 42,4 45,5 49,1 54,9 60,3 66,0 71,8 77,5

-Mao 16,5 14,2 12,7 11,6 10,9 10,3 09,8 09,4 09,1 08,9 08,7

-Mbo 15,2 13,8 12,9 12,3 12,0 11,8 11,4 11,3 11,2 11,2 11,1

Ma 39,2 33,3 29,2 26,6 24,4 22,9 21,7 20,8 20,2 19,8 19,3

Mb 46,1 49,0 53,0 55,4 58,1 61,0 63,8 66,7 69,7 72,7 75,6

Mb

Mao

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Mbo

a

Mao

Ma

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

a

Ma

-Mbo 13,6 12,4 11,2 10,5 09,8 09,4 09,1 08,8 08,7 08,5 08,3 -Mao 15,2 13,8 12,9 12,3 11,9 11,6 11,4 11,3 11,2 11,1 11,1

Ma 33,2 29,4 26,5 24,6 23,1 21,8 21,0 20,4 19,7 19,4 19,1 -Mbo 16,5 15,8 15,2 14,9 14,7 14,7 14,5 14,5 14,5 14,5 14,4

Mb 49,1 52,5 55,5 57,7 59,5 61,1 62,7 63,5 64,1 64,5 65,1 Ma 46,5 38,2 32,4 28,6 26,0 24,0 22,6 21,6 20,8 20,2 19,6

-Mao 13,7 12,9 12,3 11,9 11,6 11,4 11,2 11,1 11,1 11,1 11,1 Mb 46,5 49,0 52,6 57,8 63,7 69,8 73,8 76,0 77,5 78,6 75,4

-Mao 17,2 15,4 14,0 13,1 12,6 12,1 11,7 11,3 11,3 11,2 11,1

-Mbo 17,2 16,2 15,5 15,1 14,8 14,7 14,5 14,4 14,4 14,3 14,2

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Losas Continuas

Continuidad Simple apoyo

M = q⋅a²/η ; M1j =(M01 + M0j)/2 Valores de η en la tabla

p/g = 0,5

Casos: a b

Mbo

a

1

b

a

2

b

Mb

Mbo

3

a b

Mb

4

Mb

Mb Mao

Mao

Ma

Ma

Ma

Ma

a b

Mbo

Mbo

a

5

b

6

Mbo

7

Mao

Mao

a

Mb

b

Mbo

8

Mao

Ma

Ma

Ma 36,0 30,7 26,3 23,2 20,9 19,1 18,0 17,6 16,8 15,5 15,0

b

Mb

Mb

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

a

Mb

Mao

Ma

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Ma 36,6 28,6 23,8 20,2 17,6 15,7 14,3 13,4 12,4 11,7 11,2

Mb 28,8 28,6 29,0 30,0 31,2 32,8 34,7 36,2 37,4 38,3 39,2

-Mbo 11,9 10,9 10,1 09,6 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 08,3 08,2

Ma 28,8 25,9 23,0 20,6 19,1 17,7 16,9 16,1 15,6 15,2 14,7

Mb 36,6 39,1 41,7 44,1 46,6 48,4 49,5 50,6 52,0 52,3 53,1

-Mao 11,9 10,9 10,2 09,7 09,3 09,0 08,8 08,6 08,4 08,3 08,3

Ma 46,9 36,6 28,2 24,3 20,7 18,1 16,2 14,8 13,6 12,6 11,9

Mb 32,7 31,6 31,1 31,1 31,6 32,8 34,4 35,8 37,9 39,8 42,0

-Mbo 13,5 12,1 11,0 10,4 09,8 09,3 09,1 08,8 08,6 08,5 08,3

Mb 36,0 37,4 39,1 41,9 44,9 46,9 48,5 49,1 51,3 52,6 54,3

-Mao 13,6 12,2 11,2 10,4 09,8 09,4 09,1 08,9 08,6 08,5 08,4

-Mbo 13,6 12,8 12,1 11,8 11,5 11,3 11,2 11,0 11,0 11,0 10,8

Ma 44,1 36,5 30,2 26,0 23,0 20,8 19,7 18,3 17,4 16,4 15,3

Mb 38,2 38,4 39,5 41,5 44,3 47,9 53,1 58,0 63,1 68,1 73,5

-Mao 16,1 14,0 12,5 11,4 10,6 10,1 09,7 09,4 09,0 08,9 08,7

-Mbo 14,9 13,6 12,7 12,2 11,8 11,4 11,3 11,1 11,0 11,0 10,8

Ma 38,2 32,2 28,4 25,5 23,5 22,0 20,9 19,9 19,2 19,1 18,3

Mb 44,1 46,7 50,2 52,8 55,4 58,2 60,9 63,5 66,3 68,9 71,0

-Mao 14,9 13,6 12,8 12,0 11,6 11,4 11,1 11,2 10,9 10,6 10,4

Ma 32,7 28,8 25,8 23,8 22,3 21,0 20,2 19,5 18,9 18,5 18,2 -Mbo 16,1 15,3 14,8 14,5 14,3 14,0 14,0 13,9 13,9 13,6 13,1

Mb 46,9 49,8 52,4 54,6 56,5 58,5 60,0 60,9 61,6 62,1 63,0 Ma 44,6 36,5 31,2 27,4 24,8 22,9 21,7 20,6 19,6 19,7 18,6

-Mao 13,6 12,7 12,3 11,6 11,3 11,1 11,0 11,0 10,9 10,8 10,8 Mb 44,6 46,8 50,1 54,6 60,3 65,9 69,3 71,2 72,8 73,9 76,1

-Mao 16,8 14,9 13,8 12,9 12,2 11,8 11,5 11,2 11,0 10,9 10,6

-Mbo 16,9 15,7 15,0 14,6 14,2 14,0 14,0 13,8 13,8 13,7 13,5

Página173

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Losas Continuas

Continuidad Simple apoyo

M = q⋅a²/η ; M1j =(M01 + M0j)/2 Valores de η en la tabla

p/g = 0,6

Casos: a b

Mbo

a

1

b

a

2

b

Mb

Mbo

3

a

Mb

b

4

Mb

Mb Mao

Mao

Ma

Ma

Ma

Ma

a b

Mbo

a

5

b

Mbo

6

Mb

Mb

Ma 35,2 30,0 25,6 22,5 20,4 18,7 17,5 16,5 15,7 15,0 14,5

Página 174

b

Mbo

7

Mao

Mao

Mbo

a

Mb

b

8

Mao

Ma

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

a

Mb

Mao

Ma

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Ma 35,7 28,4 23,4 19,8 17,6 15,6 14,2 13,2 12,4 11,6 11,0

Mb 28,8 28,5 29,1 30,2 31,4 33,0 34,8 36,3 37,5 38,4 39,4

-Mbo 11,9 10,9 10,1 09,6 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 08,3 08,2

Ma 28,8 25,6 22,5 20,3 18,8 17,5 16,5 15,8 15,2 14,7 14,2

Mb 35,7 37,9 40,8 42,1 45,3 47,1 48,3 49,5 50,7 51,2 51,9

-Mao 11,9 10,9 10,2 09,7 09,3 09,0 08,8 08,6 08,4 08,3 08,3

Ma 44,8 35,4 28,3 23,6 20,2 17,8 15,9 14,5 13,4 12,5 11,6

Mb 32,4 31,1 31,0 31,1 31,8 32,8 34,5 36,0 38,1 39,8 41,8

-Mbo 13,5 12,1 11,1 10,4 09,8 09,3 09,0 08,7 08,6 08,5 08,3

Mb 35,2 36,4 38,4 41,0 43,6 45,7 47,6 49,0 50,4 51,4 52,4

-Mao 13,5 12,1 11,2 10,4 09,8 09,4 09,0 08,8 08,6 08,5 08,4

-Mbo 13,5 12,7 12,0 11,7 11,3 11,1 10,9 10,7 10,7 10,6 10,5

Ma 44,0 35,0 29,2 25,0 22,2 20,1 18,9 17,7 16,7 15,8 15,0

Mb 37,2 37,5 38,8 40,6 43,4 46,8 51,7 55,9 60,7 65,0 69,6

-Mao 15,8 13,8 12,4 11,3 10,5 10.0 09,6 09,3 08,9 08,8 08,7

-Mbo 14,6 13,4 12,4 11,9 11,6 11,3 11,0 10,9 10,8 10,8 10,6

Ma 37,2 31,3 27,5 24,6 22,8 21,2 19,9 19,0 18,4 17,8 17,2

Mb 42,5 44,6 48,1 50,3 52,9 55,6 58,4 60,7 63,4 65,6 68,3

-Mao 14,6 13,4 12,5 11,9 11,5 11,2 10,9 10,8 10,7 10,6 10,6

Ma 32,4 28,2 25,4 23,2 21,6 20,3 19,4 18,7 18,2 17,6 17,2 -Mbo 15,8 14,9 14,3 14,1 13,8 13,7 13,5 13,3 13,2 13,2 13,1

Mb 44,8 47,1 50,0 52,1 53,9 55,8 57,6 58,4 59,3 59,8 60,5 Ma 42,9 35,0 29,8 26,4 23,8 21,9 20,6 19,6 18,8 18,2 17,5

-Mao 13,5 12,7 12,0 11,5 11,2 11,0 10,8 10,7 10,6 10,6 10,6 Mb 42,9 44,6 48,0 52,0 57,0 62,1 65,4 67,2 68,8 69,9 70,8

-Mao 16,4 14,7 13,5 12,7 12,0 11,5 11,3 11,0 10,7 10,7 10,6

-Mbo 16,4 15,3 14,5 14,1 13,9 13,7 13,5 13,3 13,2 13,2 13,1

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Losas Continuas

Continuidad Simple apoyo

M = q⋅a²/η ; M1j =(M01 + M0j)/2 Valores de η en la tabla

p/g = 0,7

Casos: a b

Mbo

a

1

b

a

2

b

Mb

Mbo

3

a

Mb

b

4

Mb

Mb Mao

Mao

Ma

Ma

Ma

Ma

a b

Mbo

a

5

b

Mbo

7

Mb

Mb

Ma 34,4 29,2 25,1 22,0 19,9 18,2 16,9 16,1 15,3 14,7 14,2

b

Ma 35,0 27,7 23,0 19,7 17,2 15,5 14,1 13,1 12,3 11,6 11,8

Mb 34,4 35,6 37,4 40,0 42,6 44,6 46,5 48,0 49,2 50,3 51,4

-Mao

Mb 28,6 27,4 29,0 30,1 31,5 33,5 34,9 36,4 37,5 38,5 39,3 -Mbo

-Mbo

08,2 Ma 40,7 33,5 28,0 24,3 21,4 19,5 18,2 17,1 16,1 15,3 14,5

Mb

b

9

Mb 35,0 37,0 38,6 41,9 44,1 45,9 47,1 48,5 49,7 50,1 50,8

-Mao

Mb 36,2 36,4 37,7 39,6 42,5 45,5 50,0 54,1 58,2 62,1 66,0

-Mao

-Mbo

08,3

Ma 42,5 36,8 27,4 22,9 19,6 17,4 15,6 14,3 13,3 12,4 11,6 Ma 36,2 30,4 26,8 23,9 21,8 20,4 19,1 18,2 17,6 17,1 16,5

Mb 31,8 30,8 30,8 31,1 31,8 33,0 34,6 36,0 38,2 39,8 41,6 Mb 40,7 42,9 45,8 48,1 50,8 53,2 55,8 58,0 60,5 62,8 65,0

Mb

Mao

Ma

Ma 28,6 25,3 22,2 20,2 18,1 17,2 16,2 15,4 14,9 14,3 13,8

Mbo

a

Mao

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Mbo

8

Mao

Mao Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

a

Ma

-Mbo

-Mao

Ma 31,8 27,6 24,7 22,7 20,9 19,8 18,7 18,0 17,5 17,0 16,5 -Mbo

Mb 42,6 44,9 47,4 49,4 51,5 53,4 55,1 56,0 57,0 57,6 58,4 Ma 41,1 32,6 28,8 25,4 22,8 21,0 19,7 18,8 18,0 17,4 16,7

-Mao

Mb 41,1 42,9 45,7 49,6 54,1 58,5 61,6 63,6 65,1 66,1 67,2

-Mao

-Mbo

Página175

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti Losas Continuas

Continuidad Simple apoyo

M = q⋅a²/η ; M1j =(M01 + M0j)/2 Valores de η en la tabla

p/g = 1,0

Casos: a b

Mbo

a

2

b

a

3

b

Mb

Mbo

4

a

Mb

b

5

Mb

Mb Mao

Mao

Ma

Ma

Ma

Ma

a b

Mbo

a

6

b

Mbo

7

Mb

Mb

Ma 32,4 27,4 23,3 20,6 19,5 16,9 15,7 14,9 14,3 13,6 13,1

Página 176

b

Mbo

8

Mao

Mao

Mb

b

9

Ma 32,8 26,3 22,0 19,0 16,7 15,0 13,8 12,8 12,1 11,4 10,9

Mb 28,2 27,4 29,0 30,3 31,8 33,4 35,2 36,8 37,7 38,7 39,5

-Mbo 11,9 10,9 10,1 09,6 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 08,3 08,2

Ma 28,2 24,7 21,5 19,2 17,5 16,2 15,3 14,4 13,8 13,3 12,9

Mb 32,8 34,5 36,4 37,9 40,9 42,7 44,1 45,2 46,6 48,1 48,0

-Mao 11,9 10,9 10,2 09,7 09,3 09,0 08,9 08,6 08,4 08,3 08,3

Ma 37,8 30,5 24,8 21,2 18,3 16,4 14,9 13,6 12,7 12,0 11,4

Mb 30,6 30,2 30,4 31,1 32,1 33,4 35,0 36,3 38,2 39,7 41,4

Mb 32,4 33,5 35,0 37,5 39,9 42,0 43,5 45,0 46,3 47,3 48,3

-Mao 13,0 11,9 10,8 10,2 09,7 09,3 09,0 08,8 08,6 08,5 08,3

-Mbo 13,0 12,2 11,4 11,0 10,6 10,4 10,2 10,0 10,0 09,9 09,8

Ma 37,3 30,2 25,4 22,0 19,6 17,8 16,6 15,5 14,7 14,0 13,3

Mb 33,7 34,1 35,2 37,2 39,6 42,5 46,0 49,0 53,0 54,9 57,6

-Mao 14,4 12,7 11,6 10,9 10,2 09,7 09,4 09,1 08,8 08,7 08,5

-Mbo 13,8 12,6 11,7 11,2 10,8 10,5 10,3 10,1 10,0 09,9 09,8

Ma 33,7 28,1 24,4 21,8 19,8 18,3 17,2 16,2 15,5 15,0 14,7

Mb 36,6 38,2 40,5 42,6 45,1 47,6 49,5 51,4 53,5 55,1 57,0

Mb

Mao

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Mbo

a

Mao

Ma

Ma

b/a 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

a

Ma

-Mbo 13,0 11,7 10,8 10,1 09,6 09,2 08,9 08,7 08,5 08,4 08,3 -Mao 13,8 12,6 11,8 11,2 10,7 10,4 10,3 10,1 10,0 09,8 09,8

Ma 30,6 26,3 23,2 20,9 19,2 17,8 16,8 16,1 15,5 14,9 14,6 -Mbo 14,4 13,3 12,7 12,4 12,0 11,8 11,6 11,5 11,4 11,3 11,2

Mb 37,8 39,4 41,3 43,5 45,6 47,6 49,1 50,2 51,2 52,1 52,9 Ma 36,8 30,2 25,8 22,6 20,4 18,8 17,6 16,6 15,8 15,2 14,7

-Mao 13,0 12,1 11,4 10,9 10,6 10,4 10,2 10,0 09,9 09,8 09,7 Mb 36,8 38,2 40,4 43,6 47,1 50,6 53,0 54,7 56,1 57,2 58,3

-Mao 14,8 13,3 12,4 11,6 11,1 10,7 10,4 10,2 10,0 09,8 09,3

-Mbo 14,8 13,7 12,9 12,4 12,0 11,8 11,6 11,4 11,4 11,3 11,2

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

ANEXO C Enunciado de pruebas y tareas Preguntas de Pruebas 1-. Para la sección del elemento de la figura, sometido a flexión simple, se pide: a) Expresar las fuerzas en términos de esfuerzos f c' , f y, f S, f s' , etc... b) Determinar relaciones geométricas entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias, considerando que el hormigón ha llegado a su deformación unitaria máxima. c) Determinar la ubicación de la línea neutra. d) Escribir las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos. e) Determinar el momento máximo que es capaz de resistir la sección. 20 2

6 cm2

10

22

Cs 2

Cc

2

c

3 cm

Cs 1 20

10 2

5 cm2 15 cm2

T1 T2

15

2-. Diseñar la viga de la figura en su totalidad (todas las secciones, a corte y a flexión) Msc

qsc qpp

V 101 15/35 0.5 m

qPP = 1125 Kg/m qSC = 1000 Kg/m MSC = 2500 Kg⋅m

V 102 15/35 2,5 m

V 103 15/35 2,0 m

Hormigón H30, Acero A44 – 28H

Página177

Apuntes de Hormigón Armado

3-.

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti

Determinar la máxima fuerza axial que resiste la sección de la figura. Sección con armadura simétrica. f c' = 250 Kg cm 2 As = 10 cm2

f y = 2800 Kg cm2 r = 2 cm Nu = ? 30 cm

Mu = 985000 Kg cm

20 cm

4-. Diseñar la viga cuyos datos se indican a continuación: b = 20 cm

f c' = 250 Kg cm 2

h = 30 cm L = 500 cm

f y = 2800 Kg cm 2

x 0 300 500

Mpp (kg⋅m) -2083,3 1041,65 -2083,3

Msc (kg⋅m) -1562,3 781,15 -1562,3

Msis (kg⋅m) -1237,5 0 1237,5

Vpp (kg) 2500 0 2500

Vsc (kg) 1875 0 1875

Vsis (kg) 495 495 495

5-. Verificar que el nudo de la figura cumpla con TODOS los requisitos para comportamiento sísmico. e 10@9 P2 15/40

4 22 4 22

4 22

V102 15/30

V101 15/30

e 8@7

2 16 e 10@10

P1 15/40

4 22 e 10@9

Página 178

4 22

2 2

4 22

2 16

f c' = 300 Kg cm 2

f y = 4200 Kg cm 2 r = 2 cm (En vigas y columnas)

Apuntes de Hormigón Armado

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti COMB 2 3 4 5

Pu (P1) - 21000 - 34614 - 4710 - 18318

Pu (P2) - 11109 - 16238 - 3108 - 8237

6-. Diseñar la columna cuyos datos se indican a continuación: x 0 150 300

Mpp (kg⋅m) -3500 0 2083,3

Msc (kg⋅m) -2700 0 1562,3

Msis (kg⋅m) 1237,5 0 1237,5

Vpp (kg) 1861,1 1861,1 1861,1

Vsc (kg) 1420,76667 1420,76667 1420,76667

b = 30 cm

f c' = 250 Kg cm 2

h = 30 cm L = 300 cm

f y = 2800 Kg cm 2

Vsis (kg) -825 -825 -825

Npp (kg) -2500 -2500 -2500

Nsc (kg) -1875 -1875 -1875

Nsis (kg) -495 -495 -495

7-. Si la columna de la figura se encuentra en la condición de balance, determine la relación que debe existir entre Asviga y Ascol, de tal forma que se cumpla el criterio "Columna Fuerte Viga Débil".

Viga bx2h A scol

A sviga

A sviga

Datos: f c' , f y, r

Columna bxh

Página179

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8-. Diseñar las armaduras longitudinales para las columnas 7 y 8 del marco de la figura qsc = 1000 kg/m qpp = 1300 kg/m S2=7000 kg

Np =1200 kg

1200 kg

3 V20/40 P20/30

4 V20/40 P20/30

P20/30 8

6 S1=3500 kg

1200 kg

1200 kg

10

1200 kg

1

1200 kg

2

V20/40

P20/30

P20/30

P20/30

5

7

9

5m

f c' = 250 Kg cm 2

Elem. 7 8

Mi 0 0

7 8

0 0

7 8

-730871 -459692

7 8

0 0

7 8

-1023219,4 -643568,8

7 8

1023219,4 643568,8

7 8

-1023219,4 -643568,8

7 8

1023219,4 643568,8

Página 180

V20/40

5m

f y = 2800 Kg cm 2

Estado de Carga: Peso propio Mf Ni Nf 0 -16143 -16143 0 -8196 -8196 Estado de Carga: Sobrecarga 0 -10571,5 -10571,5 0 -5382 -5382 Estado de Carga: Sismo 494288 -17 -17 563643 -6 -6 Combinación 1: 1,4 PP + 1,7 SC 0 -40571,75 -40571,75 0 -20623,8 -20623,8 Combinación 2: 1,4 (PP + SC + Sismo) 692003,2 -37424,1 -37424,1 789100,2 -19017,6 -19017,6 Combinación 3: 1,4 (PP + SC – Sismo) -692003,2 -37376,5 -37376,5 -789100,2 -19000,8 -19000,8 Combinación 4: 0,9 PP + 1,4 Sismo 692003,2 -14552,5 -14552,5 789100,2 -7384,8 -7384,8 Combinación 5: 0,9 PP – 1,4 Sismo -692003,2 -14504,9 -14504,9 -789100,2 -7368 -7368

r = 2 cm

Vi 0 0

Vf 0 0

0 0

0 0

4084 3411

4084 3411

0 0

0 0

5717,6 4775,4

5717,6 4775,4

-5717,6 -4775,4

-5717,6 -4775,4

5717,6 4775,4

5717,6 4775,4

-5717,6 -4775,4

-5717,6 -4775,4

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9-. Del ejercicio 8, diseñar la armadura de corte para la columna 7, considerando condición estática y condición con sismo (diseño por capacidad), con las armaduras que usted definió en el ejercicio anterior.

10-. Diseñar la losa aislada de la figura, utilizando el método de Marcus.

libre

wsc = 250 Kg/m2 γh = 2500 Kg/m3

3,9 m

libre 4,5 m

11-. Diseñar la losa de la figura, de acuerdo al método de Marcus.

f c' = 250 Kg cm 2 f y = 2800 Kg cm 2

6m

r = 1,5 cm 5m

Página181

Apuntes de Hormigón Armado

Diseñar la armadura de tramo de la losa L102 Diseñar la armadura de los apoyos entre las losas L101-L102 y L102- L103 Usar la metodología de diseño de campos de losas con luces semejantes

M.H.A

L102

γ h = 2500 Kg/m3

100

L103

200

V.H.A

V.H.A Cad.

M.H.A

wsc = 250 Kg/m2 140

V.H.A

V.H.A

L101

310

V.H.A

Cad.

M.H.A

V.H.A

12-.

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M.H.A 100

100

350

Diseñar las armaduras de todas las losas. Dibujar todos los fierros. 2m s.s.

L101 e=12

3.5m s.s. L103 e=12

2m

3m

L104 e=12

s.s. 1.5m

13-.

400

wsc = 250 Kg/m2

L102 e=12

γ h = 2500 Kg/m3

s.s. 1.5m

s.s.

s.s.

NOTA: Usted es el ingeniero proyectista, por lo que usted definirá todos los datos que necesite para un diseño apropiado.

Página 182

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14-.

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Diseñar el campo de losas de la figura. La sobrecarga es de 200 kg/m2 . Dibujar los fierros en la figura (no es necesario indicar las longitudes de los fierros)

3,5 m

5,5 m

4,0 m

L101 e=12

L102 e=12

3,0 m

L103 e=12

7,0 m

f c' = 250 Kg cm 2

γh = 2500 Kg/m3

f y = 2800 Kg cm 2

15-. Diseñar las losas del campo de losas de la figura, correspondiente a un edificio de 1 piso. 420

350

L101 e=12

150 L102 e=12

290

f c' = 250 Kg cm 2

f y = 2800 Kg cm 2 420

L103 e=12

250

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Preguntas de tarea y ejercicios varios 1-. Diseñar la Viga, el Pilar y el Machón del marco de la figura, considerando las cargas estáticas y las cargas dinámicas, respetando norma NCH433 Of.96 en lo que respecta a las combinaciones de carga, y el Código ACI-318 con su correspond iente apéndice 21 en lo que se refiere al diseño al corte por capacidad para el diseño sísmico. qsc = 600 kg/m qpp = 750 kg/m

S = 1200 kg

Pilar H.A. 15x40

300 cm

Viga H.A. 15x50

Muro H.A. 15x120

450 cm

120 cm

40 cm

2

Ehorm = 340000 kg/cm

Ayuda: Pasos a seguir Para la Viga: Análisis de esfuerzos: 1.- Análisis de la estructura, por separado: - Peso propio, Sobrecarga, Sismo. Diseño a flexión: 2.3.4.5.6.-

Dibujo de los diagramas de momento, para cada estado de carga por separado. Dibujo de los diagramas de momento, para TODAS las combinaciones de carga. Dibujo de la ENVOLVENTE de momentos máximo s y mínimos. Diseño de las armaduras de flexión, para la envolvente . Definición de las armaduras finales que se van a colocar, diagrama de armaduras.

Diseño a corte: Diseño a corte ante cargas estáticas 7.- Dibujo de los diagramas de corte para los dos estados de carga estáticos. Página 184

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8.- Diseño de estribos para comb inación de cargas estáticas. Diseño a corte ante cargas estáticas y dinámicas (diseño por capacidad) 9.- Determinación de Momentos Plásticos. 10.- Diseño zona de rótula plástica. 11.- Diseño zo na fuera de rótula plástica. 12.- Determinación de máximos requerimientos de estribos, comparando diseño estático y diseño por capacidad. 13.- DIBUJO DE PLANO FINAL. Para el pilar y el Machón: Análisis de esfuerzos: 1.- Análisis de la estructura, por separado: - Peso propio, Sobrecarga, Sismo. Diseño a flexo compresión: 2.3.4.5.6.-

Dibujo de los diagramas de momento y axial, para cada estado de carga por separado. Dibujo de los diagramas de momento y axial, para TODAS las combinaciones de carga. Dibujo de la ENVOLVENTE de momentos y de axiales máximos y mínimos. Diseño de las armaduras de flexo-compresión, para la envolvente. Definición de las armaduras finales que se van a colocar, diagrama de armaduras.

Diseño a corte: Diseño a corte ante cargas estáticas 7.- Dibujo de los diagramas de corte para los dos estados de carga estáticos. 8.- Diseño de estribos para comb inación de cargas estáticas diseño a corte ante cargas estáticas y dinámicas (diseño por capacidad). 9.- Determin ación de Momentos Plásticos. 10.- Diseño zona de rótula plástica. 11.- Diseño zo na fuera de rótula plástica. 12.- Determinación de máximos requerimientos de estribos, comparando diseño estático y diseño por capacidad. 13.- dibujo de plano final.

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2-. Diseñar las armaduras longitudinales para las VIGAS 1 Y 3 del marco de la figura. (Flexión Simple) qpp = 1300 kg/m S2=7000 kg

Np =1200 kg

1200 kg

3 V20/40 P20/30 6 S1=3500 kg

1200 kg

1

4 V20/40 P20/30 8

P20/30

1200 kg

1200 kg

10

2

V20/40

V20/40

P20/30

P20/30

P20/30

5

7

9

5m

Elem. 1

3

1

3

1

3

5m

f y = 2800 Kg cm 2

f c' = 250 Kg cm 2

Página 186

1200 kg

Coord. 0 250 500 0 250 500 0 250 500 0 250 500 0 250 500 0 250 500

Estado de Carga: Peso Propio M (kg m) N (kg) -196074,6 645,2 156299,4 645,2 -303826,6 645,2 -146651,2 -1082 169809,3 -1082 -326230,3 -1082 Estado de Carga: Sobrecarga -150826,6 496,3 120230,3 496,3 -233712,8 496,3 -112808,6 -832,3 130622,5 -832,3 -250946,4 -832,3 Estado de Carga: Sismo 514316,0 -2146,3 44492,4 -2146,3 -425331,0 -2146,3 272962,7 -5124,4 27687,8 -5124,4 -217587,1 -5124,4

r = 2 cm

V (kg) 3034,5 -215,5 -3465,5 2890,8 -359,2 -3609,2 2334,2 -165,8 -2665,8 2223,7 -276,3 -2776,3 -1879,3 -1879,3 -1879,3 -981,1 -981,1 -981,1

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Elem. 1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

Prof. Silvana Cominetti Cotti-Cometti COMBINACIONES DE CARGA Combinación:1,4 PP+ 1,7 SC Coord. M (kg m) N (kg) 0 -530909,7 1747,0 250 423210,7 1747,0 500 -822668,9 1747,0 0 -397086,3 -2929,7 250 459791,3 -2929,7 500 -883331,3 -2929,7 Combinación: 1,4 (PP + SC + Sismo) 0 234380,7 -1406,7 250 449431,0 -1406,7 500 -1348018,5 -1406,7 0 18904,0 -9854,2 250 459367,5 -9854,2 500 -1112669,3 -9854,2 Combinación: 1,4 (PP + SC – Sismo) 0 -1205704,1 4602,9 250 324852,2 4602,9 500 -157091,7 4602,9 0 -745391,5 4494,2 250 381841,7 4494,2 500 -503425,4 4494,2 Combinación: 0,9 PP + 1,4 Sismo 0 543575,3 -2424,1 250 202958,8 -2424,1 500 -868907,3 -2424,1 0 250161,7 -8148,0 250 191591,3 -8148,0 500 -598229,2 -8148,0 Combinación: 0,9 PP – 1,4 Sismo 0 -896509,5 3585,5 250 78380,1 3585,5 500 322019,5 3585,5 0 -514133,9 6200,4 250 114065,5 6200,4 500 11014,7 6200,4

V (kg) 8216,5 -583,5 -9383,5 7827,4 -972,6 -9772,6 4885,2 -3164,8 -11214,8 5786,7 -2263,3 -10313,3 10147,2 2097,2 -5952,8 8533,8 483,8 -7566,2 100,0 -2825,0 -5750,0 1228,2 -1696,8 -4621,8 5362,1 2437,1 -487,9 3975,3 1050,3 -1874,7

3-. Del ejercicio anterior, diseñar la armadura de corte para las vigas 1 y 3, considerando condición estática y co ndición con sismo (diseño por capacidad), con las armaduras que usted definió en el ejercicio anterior.

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4-. Graficar las curvas de interacción N-M para una columna de hormigón armado de 50x70, con cuantías: a) ρ = 0.01; f c' = 300 kg/cm2 ; fy = 2800 kg/cm2 a) ρ = 0.02; f c' = 300 kg/cm2 ; fy = 2800 kg/cm2 a) ρ = 0.03; f c' = 300 kg/cm2 ; fy = 2800 kg/cm2 recubrimiento : r = 2 cm Nota: utilizar a lo menos 10 puntos. Indicar la situación de balance en cada curva.

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