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• Diego Vera Diaz

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• Sistema de ecuaciones lineales

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Apuntes de DINÁMICA DE SISTEMAS

Daniel Olivares Caballero

Contenido Introducción a la Modelación de Sistemas ................................................................................... 4 1.1 Conceptos preliminares ...................................................................................................... 4 1.1.1 Sistemas ....................................................................................................................... 4 1.1.2 Señales ......................................................................................................................... 4 1.1.3 Modelos........................................................................................................................ 4 1.1.4 Construcción de los Modelos Matemáticos ................................................................. 4 1.1.5 Clasificación de los Modelos Matemáticos .................................................................. 4 1.1.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo........................... 4 1.2 Modelado de Sistemas Físicos............................................................................................. 5 1.2.1 Circuitos Eléctricos ....................................................................................................... 5 1.2.2 Sistemas traslacionales ................................................................................................ 5 1.2.3 Sistemas rotacionales ................................................................................................... 5 1.2.4 Sistemas fluídicos o hidráulicos.................................................................................... 5 1.2.5 Sistemas térmicos ........................................................................................................ 5 1.2.6 Sistemas híbridos ......................................................................................................... 5 1.3 Linealización de modelos matemáticos no lineales ........................................................ 5 1.4 Analogías ......................................................................................................................... 5 Marco Matemático........................................................................................................................ 6 2.1 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia ............................................................................ 6 2.1.1 Ecuaciones Diferenciales .............................................................................................. 6 2.1.2 Ecuaciones Diferenciales con Diferencias .................................................................... 6 2.1.3 Definición de ecuación de diferencias (primera diferencia progresiva de la función) 6 2.1.4 Ecuaciones de Diferencias Finitas ................................................................................ 6 2.1.5 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencias Lineales ..................................................... 6 2.2 Transformada Laplace y Transformada Z ............................................................................ 6 2.2.1 Definiciones .................................................................................................................. 6 2.2.2 Propiedades.................................................................................................................. 8 2.2.3 Parejas de Transformadas ............................................................................................ 8 2.2.4 Utilización de la tabla de parejas de transformadas .................................................... 8 2.2.5 Transformadas Inversas por Expansión de Fracciones Parciales en dominio Z ........... 8 2.2.6 Transformadas Inversas por Desarrollo de una serie infinita de Potencias en dominio Z ............................................................................................................................................. 8 2.3 Solución de E.D. Lineales mediante transformadas Z ......................................................... 8 Práctica 1 ....................................................................................................................................... 9

Example: DC Motor Speed Modeling ........................................................................................ 9 1. Transfer Function ............................................................................................................ 10 Physical Setup.......................................................................................................................... 10 System Equations .................................................................................................................... 11 1. Transfer Function ............................................................................................................ 12 Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales ..................................................................................... 13 Diagramas de blocks................................................................................................................ 13 Fórmula de Mason .................................................................................................................. 19

Introducción a la Modelación de Sistemas 1.1 Conceptos preliminares 1.1.1 Sistemas

Sistema: Es un conjunto de elementos que interactúan entre sí para conseguir un fin común. Ejemplos de Diferentes tipos de sistemas Clasificación de sistemas 1.1.2 Señales

Definición de señal Tipos de señales 1.1.3 Modelos

Definición de modelo Aplicaciones de los modelos matemáticos: Diseño, operación 1.1.4 Construcción de los Modelos Matemáticos

Pasos: 1. Bases: Conocimiento de las leyes físicas que intervienen en el sistema a modelar, por ejemplo leyes de Kirchhoff para circuitos eléctricos, termodinámica para sistemas térmicos, conservación de movimiento para sistemas mecánicos, etc. 2. Suposiciones 3. Congruencia matemática de las ecuaciones 4. Solución de las ecuaciones 5. Validación Leyes físicas: 1.1.5 Clasificación de los Modelos Matemáticos

Clasificaciones de modelos: Lineales, no lineales, diferenciales, función de transferencia, variables de estado; experimentales, teóricos, mixtos, continuos, discretos, híbridos. 1.1.6 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo

Definición de linealidad, consecuencias de la linealidad Definición de no lineal Definición de variancia e invariancia en el tiempo.

1.2 Modelado de Sistemas Físicos 1.2.1 Circuitos Eléctricos 1.2.2 Sistemas traslacionales 1.2.3 Sistemas rotacionales 1.2.4 Sistemas fluídicos o hidráulicos 1.2.5 Sistemas térmicos 1.2.6 Sistemas híbridos 1.3 Linealización de modelos matemáticos no lineales 1.4 Analogías

Marco Matemático 2.1 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencia 2.1.1 Ecuaciones Diferenciales 2.1.2 Ecuaciones Diferenciales con Diferencias 2.1.3 Definición de ecuación de diferencias (primera diferencia progresiva de la función) 2.1.4 Ecuaciones de Diferencias Finitas 2.1.5 Ecuaciones Diferenciales y de Diferencias Lineales 2.1.5.1 Linealidad 2.1.5.2 E.D. Lineales 2.1.5.3 Métodos de solución de E.D. Lineales

2.2 Transformada Laplace y Transformada Z 2.2.1 Definiciones 2.2.1.1 Transformada de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Considere f(t) definida para t0, se define 

F ( s) = L[ f (t )]   f (t ) e −st dt 0−

donde s es una variable compleja, s = +j.

f (t ) = e − at

Ejemplo:

F ( s) =

Ejemplo:

Propiedades:

1 s+a

L [ (t )] = 1

, si Re(s) > Re(-a) (Región de convergencia)

1. Linealidad: L [a f (t ) + b g(t )] = a L [ f (t )] + b L [ g(t )] = a F ( s) + b G( s) 2. Traslación. L[ f (t − T )] = e − T s F ( s) 3. Teorema del valor final

lim f (t ) = lim sF ( s) t →

s→0

4. Teorema del valor inicial lim f (t ) = lim sF ( s) t 0

s→

d  L  f (t )  = sF ( s) − f (0)  dt  2 d  L  2 f (t )  = s 2 F ( s) − sf (0) − f  dt 

5. Diferenciación

(1)

(0)

 t  1 L  f (t )dt  = F ( s)  0  s

6. Integración

Antitransformada de Laplace

f (t ) =

1

2 j 

c + j c − j

F ( s)e st ds

Fracciones Parciales

F ( s) =

N ( s) N ( s) = D( s) ( s − a )( s − b) 2 D( s)

Método de Residuos

F ( s) = k 0 +

ka k b1 kb2 + + + (terminos debidos a las raices de D( s) s − a s − b ( s − b) 2

k 0 = F ( )

k a = F ( s)( s − a) s=a

k b 2 = F ( s)( s − b) 2

k b1 =

s =b

d  F ( s)( s − b) 2  ds s =b

2.2.1.2 Transformada Z 2.2.2 Propiedades 2.2.3 Parejas de Transformadas 2.2.4 Utilización de la tabla de parejas de transformadas 2.2.5 Transformadas Inversas por Expansión de Fracciones Parciales en dominio Z 2.2.6 Transformadas Inversas por Desarrollo de una serie infinita de Potencias en dominio Z

2.3 Solución de E.D. Lineales mediante transformadas Z

Práctica 1 Circuito RC Circuito RLC

Example: DC Motor Speed Modeling

Physical setup and system equations Un actuador común en los sistemas de control es el motor de DC. Este proporciona directamente movimiento rotatorio y, junto con ruedas o poleas y cables, puede proporcionar un movimiento de traslación. El circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran en la siguiente figura:

Para este ejemplo, vamos a asumir los siguientes valores para los parámetros físicos: * moment of inertia of the rotor (J) = 0.01 kg.m^2/s^2 * damping ratio of the mechanical system (b) = 0.1 Nms * electromotive force constant (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp * electric resistance (R) = 1 ohm * electric inductance (L) = 0.5 H * input (V): Source Voltage * output (theta): position of shaft * The rotor and shaft are assumed to be rigid The motor torque, T, is related to the armature current, i, by a constant factor Kt. The back emf, e, is related to the rotational velocity by the following equations:

In SI units (which we will use), Kt (armature constant) is equal to Ke (motor constant). From the figure above we can write the following equations based on Newton's law combined with Kirchhoff's law:

1. Transfer Function

Using Laplace Transforms, the above modeling equations can be expressed in terms of s.

By eliminating I(s) we can get the following open-loop transfer function, where the rotational speed is the output and the voltage is the input.

Example: Modeling DC Motor Position Physical Setup System Equations Design Requirements Matlab Representation and Open-Loop Response Physical Setup A common actuator in control systems is the DC motor. It directly provides rotary motion and, coupled with wheels or drums and cables, can provide transitional motion. The electric circuit of

the armature and the free body diagram of the rotor are shown in the following figure:

For this example, we will assume the following values for the physical parameters. These values were derived by experiment from an actual motor in Carnegie Mellon's undergraduate controls lab. * moment of inertia of the rotor (J) = 3.2284E-6 kg.m^2/s^2 * damping ratio of the mechanical system (b) = 3.5077E-6 Nms * electromotive force constant (K=Ke=Kt) = 0.0274 Nm/Amp * electric resistance (R) = 4 ohm * electric inductance (L) = 2.75E-6 H * input (V): Source Voltage * output (theta): position of shaft * The rotor and shaft are assumed to be rigid System Equations The motor torque, T, is related to the armature current, i, by a constant factor Kt. The back emf, e, is related to the rotational velocity by the following equations:

In SI units (which we will use), Kt (armature constant) is equal to Ke (motor constant). From the figure above we can write the following equations based on Newton's law combined with Kirchhoff's law:

1. Transfer Function

Using Laplace Transforms the above equations can be expressed in terms of s.

By eliminating I(s) we can get the following transfer function, where the rotating speed is the output and the voltage is an input.

However during this example we will be looking at the position, as being the output. We can obtain the position by integrating Theta Dot, therefore we just need to divide the transfer function by s.

Análisis de Sistemas Dinámicos Lineales Diagramas de blocks Los diagramas de blocks son una representación gráfica de las ecuaciones que describen el comportamiento de un sistema. Esta representación puede ser simplificada mediante el siguiente álgebra de blocks. Transformación

Ecuación

Diagrama original

Diagrama equivalente

w = G1 z Blocks en cascada

z = G2 y

x

y

G3

z

G2

w

G1

x

G3 G2 G1

w

x

G1  G2

y

y = G3 x x

Blocks en cascada

y = G1 x  G2 x

x

Blocks en retroalimentación

+

z = G1 ( x  y)

y

G1



y = G1 ( x  G2 y) x

Desplazamiento de un punto de

y

G1 +  G2

x

G1 1  G1 G2

y

x

G1 +  G1

z

G2

+



y

z

G1

y

suma después de un block x

Desplazamiento de un punto de

z = G1 x  y

G1 + 

y

z

x

+

y

1 G1

suma antes de un block x

Desplazamiento de un punto de

y = G1 x

y

G1

x

x

Desplazamiento de un punto de

y = G1 x

y

y

y

1 G1

toma después de un block

G1



G1

x

x

z

G1

x y

G1

y

G1

toma antes de un block x

Cambio de puntos de suma

w = xyz

+



y

w

+





w

+



y z

z

w = xyz

+

z

z

Separación de un punto de suma

x

x y

+





w

x y

+



+



w

Ejemplo: Simplificar el diagrama de blocks R(s)

+

+

-

-

G3

G2

G1 H1

+

C(s)

+

G4 H2

R(s)

+

+

-

-

G3 + G4

G1G2

C(s)

H1

H2

R(s)

G1G2 1 + G1G2 H1

+ -

G3 + G4

C(s)

H2

R(s)

+ -

G1G2 (G3 + G4 ) 1 + G1G2 H1

C(s)

H2

R(s)

R(s)

G1G2 (G3 + G4 ) 1 + G1G2 H1 G G (G + G4 ) 1+ 1 2 3  H2 1 + G1G2 H1

G1G2 (G3 + G4 ) 1 + G1G2 H1 + G1G2 (G3 + G4 ) H2

C(s)

C(s)

Ejemplo:

H3 R(s) + -

G1

+ -

+

-

G2

G3

C(s)

G3

C(s)

H2 H1

H3 R(s) + -

+ -

G1

+

-

G2 H2

1 G3

H1

H3 R(s)

G1

+

+

-

-

-

+

H2 G1

R(s)

G1

C(s)

G2 G3

H1

1 G3

G2 G3 1 + G2 G3 H3

+ +

H2

+

G1 H1

C(s)

1 G3

R(s)

G1

G2 G3 1 + G2 G3 H3

+ -

H2 + G1H1

R(s)

G1

+ -

C(s)

1 G3

G2 G3 1 + G2 G3 H3

C(s)

H2 + G1 H1 G3

R(s)

G1

R(s)

G2 G3 1 + G2 G3 H3 G2 G3 H + G1 H1 1+  2 1 + G2 G3 H3 G3

G1G2 G3 1 + G2 G3 H3 + G2 ( H2 + G1 H1 )

C(s)

C(s)

Ejemplo

H3 R(s) +

G1

-

-

+

+

G2

-

G4

G3

H1

H2

1 G1 R(s)

+

G2

G1

-

1 G4

H3

-

+

C(s)

+

G3 -

H1

G4

C(s)

H2 H3 G1G4

R(s)

+

-

+

G1G2

-

G3 G4 1 + G3 G4 H2

C(s)

G3 G4 1 + G3 G4 H2

C(s)

H1

H3 G1G4 R(s)

+

-

G1 G2 1 + G1 G2 H1

H3 G1G4 R(s)

+

R(s)

R(s)

-

G1G2 G3 G4 (1 + G1G2 H1 )(1 + G3 G4 H 2 )

G1 G2 G3 G4 (1 + G1 G2 H1 )(1 + G3 G4 H 2 ) G1 G2 G3 G4 H3 1+  (1 + G1 G2 H1 )(1 + G3 G4 H 2 ) G1 G4

G1 G2 G3 G4 (1 + G1 G2 H1 )(1 + G3 G4 H 2 ) + G2 G3 H 3

C(s)

C(s)

C(s)

Fórmula de Mason N X SAL   = K K X ENT K =1 

X SAL : Vértice de salida.

X ENT : Vértice de entrada.

K :

Ganancia del k-ésimo camino directo.

:

1 - [Suma de las ganancias de todos los lazos] + [Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos lazos disjuntos] - [Suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres lazos disjuntos] + ...

K :

Se obtiene aplicando la ecuación para  a la parte del diagrama que sea disjunto al késimo camino directo.

Lazos disjuntos: Lazos que no tienen vértices en común. Diagrama disjunto: Parte del diagrama que no tiene vértices en común con el camino directo que se está analizando.

Ejemplo: Hallar la función de transferencia x 5 x 1

G24 −G44 G12

x2

G23

x3

G34

G45

x4

x1 −G32

G43

G25 n = 3 caminos directos 3 x5     +  22 +  33 = k k = 1 1 x 1 k =1  

x5

Camino directo #1: G24

G12 x2

x3

G45

x4

x1

 1 = G12 G24 G45

1 = 1

x5

Porque no existe parte del diagrama que sea disjunto a

este

camino

Camino directo #2: −G44 G12 x2

x3

G34

G45

x1

x5

G43

G25

 2 = G12 G25

 2 = 1 − [(G34 G43 ) + ( − G44 )] + 0 ... = 1 − G34 G43 + G44

Camino directo #3

G12

x2

G23

disjunto

Lazos:

G34

G45

x4

x1

 3 = G12 G23 G34 G45

x3

3 = 1

x5

Porque no existe parte del diagrama que sea a este camino

G24

−G44

x2

G23

x3

x2

G34

x3

x4

x4 −G32

−G32

G43

G43

 = 1 − [( −G32 )(G23 ) + (G34 )(G43 ) + ( −G44 ) + ( −G32 )(G24 )(G43 )] + [( −G32 )(G23 )( −G44 )]

x5 G12 G24 G45 + (G12 G25 )(1 − G34 G43 + G44 ) + G12 G23 G34 G45 = x1 1 − [( −G32 )(G23 ) + (G34 )(G43 ) + ( −G44 ) + ( −G32 )(G24 )(G43 )] + [( −G32 )(G23 )( −G44 )]

x5 G12 G24 G45 + G12 G25 − G12 G25 G34 G43 + G12 G25 G44 + G12 G23 G34 G45 = x1 1 + G32 G23 − G34 G43 + G44 + G32 G24 G43 + G32 G23 G44

Ejemplo: Simplificar el siguiente diagrama de flujo

G6

G1

x1

G2

G3

x3

x2

G4

x4

− H1

x5 −H 2

−H 3

G5

1 x6

x6

n = 2 caminos directos 2 x6     + 22 = k k = 1 1 x1 k =1  

Camino directo #1 G6 G1

G4

x2

x1

1 x6

x6

1 x6

x6

−H2

 1 = G1 G6

 1 = 1 − [−G4 H2 ] = 1 + G4 H2

Camino directo #2

G1

x1

 2 = G1 G2 G3 G4 G5

Lazos:

G2

x2

G3

x3

2 = 1

G4

x4

G5

x5

G2

G2

G4

x3

x2

x4

−H1

G3

x2

x5

x3

G4

x4 −H 3

−H2

 = 1 − [( − G2 H1 ) + ( − G4 H 2 ) + ( − G2 G3 G4 H 3 )] + [( − G2 H1 )( − G4 H 2 )]

 = 1 + G 2 H1 + G 4 H 2 + G 2 G3 G 4 H 3 + G 2 G 4 H1 H 2

(G1G6 )(1 + G4 H 2 ) + (G1 G2 G3 G4 G5 ) x6 = x1 1 + G2 H1 + G4 H 2 + G2 G3 G4 H3 + G2 G4 H1 H2

x6 G1G6 + G1G6 G4 H2 + G1G2 G3 G4 G5 = x1 1 + G2 H1 + G4 H2 + G2 G3 G4 H3 + G2 G4 H1 H2 Simplificar el siguiente diagrama de flujo:

G7 − H2 G2

G1

x1

x2

G3 x4

x3

G5

G4

x5

− H3

− H1

x7

G6

x6

x7

G8 − H4

n = 4 caminos directos 4 x7     +  2  2 +  33 +  4 4 = k k = 1 1 x1 k =1  

Camino directo #1

x5

G7

G5

G1

x1

x5

x2

 1 = G1 G7 G5 G6

x7

G6

x6

x7

1 = 1

Camino directo #2 G7

x7

G1

x1

x7

x5

x2

G8

 2 = G1 G7 G8

2 = 1

Camino directo #3

G2

G1

x1

x2

G3 x4

x5

x3

 3 = G1 G2 G3 G4 G5 G6

G5

G4

x7

G6

x6

x7

3 = 1

Camino directo #4

G2

G1

x1

x2

G3 x4

x3

x7

G4 x7

x5 G8

 4 = G1 G2 G3 G4 G8

4 = 1

Lazos: G2

x2

G3

G5

x4 G 4

G6

x5

x3 1

x7

x6

2 − H4

− H1

− H2

3

G3 x4

G5 5

G4

x5

x3

x6

−H3

4

x7

G8 − H4

G7 − H2

G3 x4

6 x2

G7

x2

x5

x3

G5

x4

7

x5

− H1

− H1

G6

x6

x7

− H4

G7

x2

8 − H1

x4 x5

G8

x7

−H4

Lazos disjuntos: 1 y 5

x x

7

=

1 − [( − G G H ) + ( − G G G H ) + ( − G G H ) + ( − G G H ) + ( − G H ) + ( G G H H ) + ( G G G H H ) + ( G G H H )] + [( − G G H )( − G H )] 2 3 1 4 5 6 4 3 4 2 4 8 4 5 3 7 3 1 2 7 5 6 1 4 7 8 1 4 2 3 1 5 3

1

x x

7 1

( G G G G ) ( 1) + ( G G G ) ( 1) + ( G G G G G G ) (1) + ( G G G G G ) ( 1) 1 7 5 6 1 7 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 8

=

G G G G +G G G +G G G G G G +G G G G G 1 7 5 6 1 7 8 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 8 1+G G H +G G G H +G G H +G G H +G H −G G H H −G G G H H −G G H H +G G G H H 2 3 1 4 5 6 4 3 4 2 4 8 4 5 3 7 3 1 2 7 5 6 1 4 7 8 1 4 2 3 5 1 3