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Apuntes del Curso Análisis Funcional I Dictado por

Amado Reyes AT X: Luis E. Rojas Apuntes y digitación en L E

Universidad Autónoma de Santo Domingo (UASD)

Facultad de Ciencias Escuela de Matemática República Dominicana

Copyright

c 2017

Amado Reyes/LR. Todos los derechos reservados

Abril 2017

Índice 1. Espacios Métricos

1.1. Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Completación de Espacios Métricos . . . . 1.3. Espacios Métricos Compactos . . . . . . . 1.4. Funciones Continuas en Espacios Métricos 1.4.1. Teorema de Ascoli-Arzelà . . . . . 1.4.2. Teorema del Punto Fijo . . . . . .

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2. Espacios Normados

2.1. Espacios Vectoriales Normados . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Principio de la Acotación Uniforme . . . . . . . . . . . 2.4. Teorema de la Función Abierta y de la Gráca Cerrada 2.4.1. Teorema de la Función Abierta . . . . . . . . . 2.4.2. Teorema de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Teorema de la Gráca Cerrada . . . . . . . . . 2.5. Teorema de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Funcionales Lineales . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Teorema de la extensión de Hahn-Banach . . . . 2.6. Espacios Duales y Reexivos . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Las Topologías Débil y Débil-* . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Operadores Adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1. Teorema de F. Riesz . . . . . . . . . . . . . . .

3. Operadores compactos

3.1. Propiedades Básicas . . . . . . . 3.2. Teoría Espectral . . . . . . . . . . 3.2.1. Introducción . . . . . . . . 3.2.2. Clasicación del Espectro

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4. Espacios de Hilbert

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2

2 4 10 12 15 17 19 21

21 24 27 32 36 37 37 38 38 38 39 43 48 51 55

57

57 63 63 63

67

4.1. Teorema de Representación de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2. Operador Autoadjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1

Unidad 1 Espacios Métricos 1.1. Espacios Métricos Denición 1.1 Sea X un conjunto dado, una distancia o métrica sobre X es una función d : X × X → R con las propiedades siguientes:

1. No negatividad: d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) = 0 si y solo si x = y ∀x, y ∈ X 2. Simetría: d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X 3. Desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X Observación.

Dado un conjunto X y una métrica d denida sobre él, se denota como espacio métrico a la pareja1 : (X, d) Ejemplo 1.

Si X = Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , y si denimos la función d : Rn × Rn → R por:   21 n X d(x, y) = |x − y| =  (xi − yi )2  i=1

∴

X = R con esta función , es un espacio métrico. n

2

Observación.

En un espacio métrico (X, d) denimos la función distancia entre dos subconjuntos A y B de X por: d(A, B) = inf d(x, y) x∈A y∈B

1 Si

2 Se

no hay confusión, se estila omitir

d,

X Rn .

y por tanto, se puede referir a

puede probar que en realidad la función

d

es una métrica sobre

2

como el espacio métrico.

3

UNIDAD 1. ESPACIOS MÉTRICOS

Nota.

Si A = {x} entonces d(A, B) = d(x, B) = inf d(x, y)

Nota.

Si A es un conjunto en un espacio métrico (X, d), entonces el diámetro de A se dene3

como:

y∈B

diam(A) = sup d(x, y) x,y∈A

Denición 1.2 Un conjunto A en un espacio métrico (X, d) se dice ser acotado si diam(A) < ∞.

Denición 1.3 Si (X, d) es un espacio métrico, entonces dado x ∈ X y  > 0 (jos), el conjunto: B(x, ) = {y ∈ X : d(x, y) < }

se llama bola abierta con centro x y radio . También se dice que B(x, ) es un -entorno de x.

Ejemplo 2.

d : R2 × R2 → R,

x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), d(x, y) =

p

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

Si y está en la bola de centro x, radio , entonces: p (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 <  (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 < 2 ,

Así que y está realmente contenido en el disco de centro x y radio  > 0. R x



R

3 Se

trata del diámetro del círculo más pequeño que contiene a

Análisis Funcional I

UASD

A.

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1.1. Espacios Métricos Nota.

4

El conjunto B(x, ) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ } se llama Bola cerrada de centro x y radio . R x



R

1.1.1. Sucesiones Una sucesión o secuencia sobre el conjunto X, es una función s : N → X y se representa {s1 , s2 , . . .} = {sn : n ∈ N} o simplemente {sn }. También se usa la notación alterna (s1 , s2 , . . .) = (sn ). Nota.

Denición 1.4 Sea (X, d) un espacio métrico, una sucesión {xn } en X (es decir {xn } ⊂ X), se dice convergente si existe un punto x ∈ X tal que d(xn , x) → 0 cuando n → ∞. Decimos que {xn } converge a x cuando n → ∞ y se denota lim xn = x o xn → x. n→∞ El punto x se llama límite de la sucesión {xn }.

Una sucesión {xn } en (X, d) converge a x, si todo -entorno de x contiene casi todos los términos de la sucesión, es decir, todos los términos excepto un número nito de ellos. Recordar.

Un conjunto E ⊂ X, espacio métrico, se dice ser abierto si para cada x ∈ E existe una bola B(x, ) (con  > 0) que está contenida en E . Recordar.

Sea D ⊂ X, espacio métrico, dado un punto x ∈ X, éste se dice un punto límite (o de acumulación) para D si toda bola B(x, ) contiene puntos de D diferentes a x.

Recordar.

Se puede probar que x es un punto límite para D si y sólo si existe una sucesión {xn } en D − {x} que converge a x. Nota.

Recordar. El interior de un conjunto E ⊂ X, espacio métrico, es el conjunto de puntos x ∈ E tales que siempre existe un -entorno de x contenido en E .

Sea (X, d) un espacio métrico, si E ⊂ X entonces la clausura de E, E , es el conjunto de puntos x ∈ X tales que todo -entorno de x interseca a E . Recordar.

Denición 1.5 Sea (X, d) un espacio métrico, una sucesión {xn } ⊂ X se dice ser de Cauchy o Fundamental, si d(xn , xm ) → 0 cuando n, m → ∞ (con n, m ∈ N).

Análisis Funcional I

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5

UNIDAD 1. ESPACIOS MÉTRICOS Teorema 1.6 Sea (X, d) un espacio métrico, entonces si {xn } es una sucesión convergente a un punto x ∈ X, entonces {xn } es una sucesión de Cauchy.

Prueba

Por la desigualdad triangular de la métrica, se tiene que: d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm )

Ahora, cuando n → ∞ ⇒ d(xn , x) → 0 ya que {xn } converge a x. Así mismo, cuando m → ∞ ⇒ d(x, xm ) → 0 porque {xm } converge a x. Por tanto, cuando n, m → ∞: :0  :0  n lim d(xn , xm ) ≤ lim  d(x , x) + lim  d(x, x  m) n,m→∞ n→∞ m→∞

⇒ lim d(xn , xm ) = 0 n,m→∞

Así d(xn , xm ) → 0 cuando n, m → ∞. ∴ {xn } es de Cauchy.

2 

Observación.

Sea X = (0, 1], {xn } = { n1 }. Del Análisis Real, se sabe que {xn } = { n1 } es de Cauchy; sin embargo, esta sucesión no converge4 en X.

Denición 1.7 Si toda sucesión de Cauchy converge en X, espacio métrico, entonces decimos que el espacio métrico es completo.

Denición 1.8 Un subconjunto Y de un espacio métrico X se llama secuencialmente compacto si toda sucesión {yn } en Y tiene una subsucesión {ynk } que converge a un punto y de Y; es decir, d(ynk , y) → 0 cuando nk → ∞, para algún y ∈ Y.

Denición 1.9 Un subconjunto Y de X se dice ser denso en X, si su clausura Y = X.

4 La

sucesión se acerca a

Análisis Funcional I

0∈R

pero

0∈ / X = (0, 1].

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1.1. Espacios Métricos

6

Denición 1.10 Decimos que Y es denso en ninguna parte (nada denso), si Y no tiene puntos interiores.

Denición 1.11 Un espacio X se dice ser separable5 si contiene un subconjunto denso Y contable.

Ejemplo 3

(Casos de Espacios Métricos).

1. Considere el espacio de sucesiones de números reales o complejos, donde cada elemento x es de la forma x = (x1 , x2 , x3 , . . .) tal que sup |xn | < ∞, este es el conjunto de sucesiones acotadas. n

Este conjunto con la métrica dada por d(x, y) = sup |xn −yn | es un espacio métrico, denotado n

por `∞ . Si {xn } es una sucesión de `∞ ({xn } ∈ `∞ ), donde cada elemento xn = (xn1 , xn2 , xn3 , . . .), entonces la misma converge a un elemento y ∈ `∞ si y solo si: lim xnk = yk

n→∞

∀k

xn = (xn1 , xn2 , xn3 , . . .) → (y1 , y2 , y3 , . . .)

2. Considere el espacio de sucesiones de números reales o complejos, donde cada elemento x es de la forma x = (x1 , x2 , x3 , . . .) con la condición que

∞ X

|xn | < ∞.

n=1

Este conjunto se llama `1 (son sucesiones). Si denimos una métrica como: d(x, y) =

∞ X

|xn − yn |

n=1

entonces (`1 , d) es un espacio métrico. 3. Considere el espacio c ⊂ `∞ de todas las sucesiones x = (xn1 , xn2 , xn3 , . . .) para los cuales existe lim xn . Este es el subespacio de `∞ de las sucesiones convergentes. El subespacio de c n→∞ que consiste de las sucesiones en `∞ que convergen a cero, se denota por c0 . 4. El espacio s consistiendo en todas las sucesiones x = (x1 , x2 , x3 , . . .) con componentes reales. Sea y = (y1 , y2 , y3 , . . .) otra sucesión. Entonces denimos: ∞ X 1 |xn − yn | d(x, y) = · , n 2 1 + |xn − yn | n=1

Con esta métrica (s, d) es un espacio métrico. 5 Como

Q=R

y

Q

es denso y contable, entonces

Análisis Funcional I

R

es separable.

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7

UNIDAD 1. ESPACIOS MÉTRICOS

5. El espacio `p consistiendo en todas las sucesiones x = (x1 , x2 , x3 , . . .) tales que: ∞ X

|xn |p < ∞

n=1

Denimos: d(x, y) =

∞ X

! p1 , 1 ≤ p < ∞,

|xn − yn |p

n=1

Con esta métrica el espacio (`p , d) es un espacio métrico. 6. Sea C[a,b] el espacio de todas las funciones continuas en [a, b]. Si f y g son continuas en [a, b], denimos: d(f, g) = max |f (t) − g(t)|, a≤t≤b

Con esta métrica el espacio (C[a,b] , d) es un espacio métrico. Esta métrica se llama la métrica del máximo. Convergencia de una sucesión de funciones continuas en esta métrica signica que la sucesión converge uniformemente en [a, b]. De aquí que a esta métrica también se le llama métrica uniforme. 7. Sea L (X, Ω, µ) el conjunto de funciones integrables en X respecto al espacio de medida (X, Ω, µ). Dicho espacio, está conformado por Z la función medida µ : Ω → [0, ∞), donde Ω es una σ -álgebra. Si denimos p(f, g) =

|f (x) − g(x)|dµ. Note que p(f, g) puede ser

X

cero sin que f y g sean iguales, entonces p no dene una distancia! Sería una pseudo métrica. Lo mismo ocurre con L p (X, Ω, µ) el conjunto de funciones cuya potencia p de su valor absoluto es integrable: si f ∈ L p (X, Ω, µ) entonces: Z

|f (x)|p dµ < ∞

X

Z

p

 p1

|f (x) − g(x)| dµ

p(f, g) = X

Sea [f ] la clase o conjunto de todas las funciones de L p (X, Ω, µ) que tienen la misma integral (p-integral) que f . Este procedimiento separa a L p (X, Ω, µ) en clases de equivalencia, donde f y g son equivalentes si están en la misma clase. Sea Lp (X, Ω, µ) el conjunto de las clases de equivalencia en las cuales queda dividida L p (X, Ω, µ). En L (X, Ω, µ) denimos la distancia d([f ], [g]) = p

comprobar, (Lp , d) es un espacio métrico.

Análisis Funcional I

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Z

p

|f (x) − g(x)| dµ

 p1

. Como se puede

X

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1.1. Espacios Métricos

8

Denición 1.12 Dos métricas d y dˆ sobre un espacio X se dicen ser equivalentes si existen constantes positivas α y β tales que: ˆ(x, y) ≤ d(x, y) ≤ β d ˆ(x, y) ∀x, y ∈ X αd

Observación.

Sea n ∈ N (jo), si X = Rn y se denen las siguientes métricas para x, y ∈ X:  d(x, y) = 

n X

 12 2

|xi − yi |

,

ˆ(x, y) = sup |xi − yi |, d

ˆˆ(x, y) = d

1≤i≤n

i=1

n X

|xi − yi |

i=1

Entonces estas métricas son equivalentes. Veamos que d y dˆ son equivalentes6 : 

! sup |xi − yi |2 1≤i≤n

≤

n X

 ˆ(x, y) ≤ d(x, y) |xi − yi |2  ⇒ d

i=1

no depende de i



n X



 |xi − yi |2  ≤

i=1

n X

}|

z

{ !2

sup |xj − yj | 1≤j≤n

i=1

! sup |xj − yj |

= n

1≤j≤n

ˆ2 (x, y) ⇒ d(x, y) ≤ d(x, y)2 ≤ n d ˆ (x, y) ≤ d(x, y) ≤ ⇒ |{z} d α=1

√ ˆ(x, y) nd | {z√ } β= n

√

ˆ(x, y) nd

2 

Denición 1.13 Un espacio topológico (X, T) se dice ser metrizable si existe una métrica d sobre X tal que la topología M generada por la métrica coincida con la topología T original en X (M = T ).

Ejemplo 4.

Considere el espacio topológico (X, T) donde T es la topología discreta sobre X. Denamos ahora sobre X una métrica d: 6 Se

pueden probar las otras equivalencias.

Análisis Funcional I

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UNIDAD 1. ESPACIOS MÉTRICOS

d(x, y) =

   0

si

x=y

  1

si

x 6= y

∀x, y ∈ X

Notemos que las bolas abiertas en X, son de la forma: B(x, ) = {y ∈ X : d(x, y) < } Si  ≤ 1, B(x, ) = {x}, para todo otro valor de  (es decir para  > 1) se tiene B(x, ) = {y ∈ X : d(x, y) < } = X

Sabemos que todo subconjunto de X en la topología discreta son abiertos y sabemos que cualquiera de ellos se obtiene por la unión de elementos del tipo {x}. Por tanto, estos conjuntos unitarios forman una base para la topología métrica. Entonces la topología métrica M es igual a la topología discreta T original7 . Por tanto (X, T) es metrizable. Observación.

1. Sean (X, d1 ), (X, d2 ), . . . , (X, dn ) espacios métricos con distancias d1 , d2 , . . . , dn denidas sobre el mismo conjunto X. Las bolas abiertas en estos espacios pueden tener formas diferentes, pero si d1 , d2 , . . . , dn son métricas equivalentes, entonces generan la misma topología en X. 2. Sean (X1 , d1 ), (X2 , d2 ), . . . , (Xn , dn ) espacios métricos. El producto cartesiano X1 × X2 × . . . × Xn tiene por elementos n m-uplas. Si X es el producto cartesiano, entonces si x ∈ X : x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xi ∈ Xi y d(x, y) =

n X

di (xi , yi )

i=1

es una métrica sobre X =

n Y

Xi .

i=1

Si c1 , c2 , . . . , cm son números reales positivos cualesquiera, entonces la métrica dc (x, y) = m X

ci di (xi , yi ) es equivalente a la métrica d.

i=1

3. Sea {(xi , yi )} una sucesión innita de espacios métricos. Sea X el producto cartesiano X1 × X2 × . . . =

∞ Y

Xi los elementos de X son de la forma: x = (x1 , x2 , . . .).

i=1

∞ X 1 dn (xn , yn ) , la cual es una métrica. Denimos d(x, y) = n 1 + d (x , y ) 2 n n n i=1

7 Por

esto la métrica trivial se llama discreta.

Análisis Funcional I

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1.2. Completación de Espacios Métricos

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1.2. Completación de Espacios Métricos

Denición 1.14 ˆ d ˆ se dice ser una isometría ˆ) dos espacios métricos. Una función σ : X → X Sean (X, d) y (X, ˆ si d(σ(x), σ(y)) = d(x, y), ∀x, y ∈ X (cuando existe una transformación σ que preserva la distancia entre dos espacios métricos). También decimos que σ es un embebimiento de (X, d) ˆ d ˆ. ˆ) porque vía σ todo X entra en X en (X, ˆ d ˆ) son isométricos. Ahora, si σ es sobreyectiva, entonces decimos que los espacios (X, d) y (X,

Teorema 1.15 ˆ d ˆ) con la siguientes Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces existe un espacio métrico (X, propiedades: ˆ d ˆ) es completo. (i) (X, ˆ (ii) Existe un embebimiento σ de X en X ˆ (iii) σ(X) es denso en X ˆˆ) es otro espacio métrico con estas propiedades (anteriores), entonces es isomorfo a ˆˆ d Si (X, ˆ d ˆ d ˆ). Llamamos a (X, ˆ) la completación del espacio métrico (X, d). (X,

Teorema 1.16 Sea {Fn } una sucesión monótona decreciente de conjuntos cerrados no vacíos en un espacio métrico completo (X, d). Si la sucesión de diámetros diam(Fn ) converge a cero, entonces

existe uno y solo un punto x tal que x ∈

∞ \

Fn .

n=1

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11

UNIDAD 1. ESPACIOS MÉTRICOS

Prueba Supongamos que existen dos puntos x e y que pertenecen a

∞ \

Fn . Entonces:

n=1

d(x, y) ≤ diam(fn ). Ahora, lim d(x, y) ≤ lim diam(fn ), lo que implica que d(x, y) ≤ 0, y n→∞

por tanto d(x, y) = 0, es decir x = y Así que

∞ \

n→∞

Fn o es vacía o tiene sólo un punto.

n=1

∞ \

Para probar que

fn no es vacía consideramos dos casos:

n=1

(i) Cuando hay innitos conjuntos distintos, es decir, existe una subsucesión innita {Fnk } tal que Fnk 6= Fnk+1 ∀k ∈ N (ii) Cuando hay un número nito de conjuntos distintos, en otras palabras ∃n0 ∈ N tal que Fn = Fn0 ∀n ≥ n0

Supongamos que (ii) se cumple. Entonces cualquier punto x ∈ Fn0 está también en Pero sabemos que en solo x estará en

∞ \

∞ \

∞ \

Fn .

n=1

Fn existe un punto si no es vacío. Pero si asumimos que x ∈ Fn0 ,

n=1

Fn ; ya que d(fn0 ) = 0.

n=1

Supongamos ahora que (i) se cumple. Entonces podemos elegir una subsucesión {xnk } tal que xnk ∈ Fnk , pero xnk ∈ / Fnk+1 Entonces d(xnk , xnj ) ≤ diam(Fnk ) si j ≥ k → ∞. Puesto que diam(Fnk ) → 0 cuando k → ∞, la subsucesión {xnk } es una sucesión de Cauchy y por ser Fnk cerrado, la sucesión tiene un limite en Fnk , sea x ∈ fnk el límite de {xnk }. Así que x ∈

∞ \

Fn

n=1

Esto muestra que

∞ \

Fn no es vacía, y por la primera parte tiene un único elemento.

n=1

2 

Denición 1.17 Primera y Segunda Categoría Un espacio métrico se dice ser de la primera categoría si se puede escribir como la unión contable de conjuntos nada densos. Si un espacio métrico no es de la primera categoría, entonces decimos que es de la segunda categoría.

Teorema 1.18 de la Categoría de Baire Un espacio métrico completo es un espacio de la segunda categoría.

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1.3. Espacios Métricos Compactos

12

Prueba Sea X es un espacio métrico completo, supongamos que puede escribirse como X =

∞ [

{Xj }

j=1

(unión contable), donde Xj es nada denso. Así que cada Xj (j ∈ N) no tiene puntos interiores. Fijemos en X una bola B(x0 , 1). Ahora puesto que X1 no contiene (enteramente) a la bola B(x0 , 1), existe un punto x1 ∈ B(x0 , 1) tal que x1 ∈ / X1 . Pero entonces hay también una bola B(x1 , r1 ) tal que B(x1 , r1 ) ⊂ B(x0 , 1) y B(x1 , r1 ) ∩ X1 = ∅. Podemos asumir r1 < 12 . De igual manera, existe un punto x2 tal que B(x2 , r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) y B(x2 , r2 ) ∩ X2 = ∅. Pongamos r2 < 13 . Procediendo de esta manera obtenemos una sucesión monótona decreciente de bolas cerradas cuyo diámetro tiende a cero, con B(xn , rn ) ∩ Xj = ∅ si 1 ≤ j ≤ n y rn → 0. Así que por el teorema anterior existe un punto x que pertenece a todas las bolas cerradas, pero / ∪ Xj = X una contradicción! Así que X no puede escribirse x∈ / Xj ∀j ≥ 1. Entonces x ∈ j como la unión contable de conjuntos nada densos, es decir, X no es de la primera categoría. ∴ X es de la segunda categoría. 2 

1.3. Espacios Métricos Compactos Observación.

Un subconjunto Y de un subconjunto Z de un espacio X (Y ⊂ Z ⊂ X), se dice ser denso en Z, si Z ⊂ Y. Si Z tiene un subconjunto contable que es denso en Z entonces decimos que Z es separable. Teorema 1.19 Un subconjunto secuencialmente compacto de un espacio métrico es un conjunto cerrado.

Prueba

Sea K un subconjunto secuencialmente compacto de un espacio métrico X. Suponga que {xn } es una sucesión en K que converge a y ∈ X. Ahora por ser K secuencialmente compacto, la sucesión {xn } tiene una subsucesión {xnk } que converge en K digamos que el punto x ∈ K. Ahora si {xn } y {xnk } ambas convergen debe ser el mismo límite por tanto x = y es decir y ∈ K. Entonces tenemos que una sucesión convergente {xn } en K, converge a un elemento de K. ∴ K es cerrado. 2 

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13

UNIDAD 1. ESPACIOS MÉTRICOS

Teorema 1.20 Un subconjunto secuencialmente compacto de un espacio metrico es acotado.

Prueba

Si un subconjunto secuencialmente compacto K de un espacio métrico X no fuere acotado, entonces contiene él mismo una sucesión {xn } tal que d(xn , z) → ∞ cuando n → ∞ siendo z un punto jo dado en K. Entonces si {xnk } es una subsucesión de {xn } entonces d(xnk , y) → ∞ cuando n → ∞ para toda y ∈ K. Asi que {xn } no tiene una subsucesión convergente en K, contradice el hecho de que K es secuencialmente compacto! ∴ K es acotado. 2 

Teorema 1.21 Un subconjunto secuencialmente compacto de un espacio métrico es separable.

Prueba Dado un entero positivo n y un punto x ∈ K, sea Bn (x, n1 ) = {y ∈ X : d(x, y) < n1 }, la bola abierta de radio n1 y centro x. La colección de esas bolas variando x en K forman un cubrimiento para K. Por ser K compacto existe un subcubrimiento nito para K. Sea Sn el conjunto de los centros de las bolas de este subcubrimiento nito. Así que {Bn } es un n1 cubrimiento para Sn ; de aquí que cada punto z ∈ K está a una distancia menor o igual a n1 de cada punto de Sn . Así que la unión contable S de todos los conjuntos Sn es contable y puesto que cada elemento de K estará tan cerca de puntos de S como se quiera, S es denso en K. Entonces hemos encontrado un conjunto contable y denso en K. ∴ K es separable. 2 

Teorema 1.22 Un subconjunto de un espacio métrico es compacto si y solo si es secuencialmente compacto.

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1.3. Espacios Métricos Compactos

14

Prueba

Supongamos que un subconjunto K de un espacio métrico X es compacto. Supongamos que K no es secuencialmente compacto, entonces existe una sucesión {xn } en K tal que no tiene puntos de acumulación en K. Esta sucesión contiene una subsucesión innita de elementos mutuamente distintos. Denotemos esta subsucesión por {yn }. Ahora, puesto que cada punto ym no es punto límite de {yn }, y puesto que yn 6= ym si n 6= m, existe una bola B(ym , rm ) tal que B(ym , rm ) ∩ K no contiene ninguno de los puntos yn , con n 6= m. Note que la sucesión de bolas {B(ym , rm )} junto al conjunto K − {yn } forman un cubrimiento abierto de K. De este cubrimiento no podemos extraer un subcubrimiento nito para K, por tanto K no sería compacto, contrario a la hipótesis! El problema estuvo en suponer que K no era secuencialmente compacto. Entonces K es secuencialmente compacto. Sea {Ej }∞ la familia de Supongamos que K es secuencialmente compacto. j=1 conjuntos

abiertos

en

un

cubrimiento

para

Supongamos que para cualquier entero positivo n,

n [

K,

es

decir,

K

=

Ej no es igual a K, es decir,

j=1

no cubre K. Así, debe existir una sucesión {xn } en K tal que xn ∈ /

∞ [

Ej .

j=1 n [

Ej

j=1 n [

Ej . Sea {xnk } un

j=1

subsucesión de {xn } que converge a un punto y ∈ K . Ahora, por ser K −

n [

Ej cerrado

j=1

y contiene todos los puntos xm con m ≥ n, es claro que y pertenece a este conjunto. Pero entonces y ∈ K − (

∞ [

j=1

Ej ); lo que indica que y ∈ /

∞ [

Ej , esto contradice el hecho que {Ej }∞ j=1

j=1

cubren K. Así que los {Ej }nj=1 cubren K para algún n. ∴ K ha de ser compacto. Los últimos cuatro teoremas se pueden resumir de la siguiente manera: Corolario 1.

2 

Un subconjunto compacto de un subespacio métrico es cerrado, acotado y separable.

Denición 1.23 Un subconjunto K de un espacio métrico X es llamado totalmente acotado si para cualquier  > 0 existe un número nito de bolas B(xi , ), xi ∈ K tal que cubren K. Estas bolas se dicen que forman un -cubrimiento para K.

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15

UNIDAD 1. ESPACIOS MÉTRICOS

Teorema 1.24 Sea X un espacio métrico completo. Un subconjunto cerrado K es compacto si y solo si es totalmente acotado.

Prueba

Supongamos que K es compacto, entonces para cualquier  > 0 la colección de bolas {B(x, )} donde x corre sobre K, es un cubrimiento para K (o se dice que forma un cubrimiento abierto de K). Ahora por ser K compacto, podemos extraer un subcubrimiento nito {B(xi , )| i = 1 . . . n} para K. Entonces por denición, K es totalmente acotado. Supongamos ahora que K es cerrado y totalmente acotado. Sea {yn } una sucesión de puntos en K. Tenemos un 1-cubrimiento nito de K; {B(x1 , 1), B(x2 , 1), B(x3 , 1), . . . , B(xm , 1)}. Por lo menos una de las bolas {B(xi , 1)} contiene una subsucesión innita, {yn1 } de la sucesión original {yn }. Luego tomamos un 12 -cubrimiento de K y extraemos una subsucesión {yn2 } de {yn1 }. La subsucesión {yn2 } estará completamente contenida en una de las bolas del 21 -cubrimiento. Procediendo de esta manera, podemos extraer una subsucesión en el paso m-ésimo, {ynm } el cual es subsucesión de {ynm−1 }. La subsucesión diagonal formada (y11 , y22 , y33 , . . .) es una sucesión de Cauchy, y por ser X completo, su límite existe en X. Ahora, este límite también pertenece a K, ya que K es cerrado. Hemos mostrado que la sucesión {yn } contiene una subsucesión convergente: la subsucesión diagonal {ynn }. ∴ K es secuencialmente compacto. 2 

1.4. Funciones Continuas en Espacios Métricos Recordar. El concepto de continuidad secuencial: Si f : X → Y , entonces f es continua si para toda sucesión de X, {xn } tal que xn → x entonces f (xn ) → f (x). En términos de espacios métricos podemos decir: f es continua en y0 si y solo si para cualquier sucesión {xn } en X, espacio métrico, tal que:

d(xn , y0 ) → 0 cuando n → ∞ entonces f (xn ) → f (y0 ) cuando n → ∞ Observación.

Una función f denida sobre un conjunto Y de un espacio métrico X, se dice ser continua en un punto y0 ∈ Y si para cualquier  > 0, ∃ δ(, x) > 0 tal que |f (x) − f (y0 )| <  ∀x ∈ Y ∩ B(y0 , δ)

Si f es continua en cada uno de sus puntos, entonces decimos que f es continua en Y. Una función f se dice ser uniformemente continua sobre Y si ∀ > 0 existe δ() > 0 tal que |f (y) − f (x)| <  siempre que x, y ∈ Y, d(x, y) < δ

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1.4. Funciones Continuas en Espacios Métricos

16

Teorema 1.25 Si f es una función continua sobre un conjunto compacto Y de un espacio métrico X entonces f es uniformemente continua sobre Y.

Prueba

Si la armación fuese falsa, entonces existe un  > 0 y sucesiones {yn }, {xn } en Y tales que: |f (yn ) − f (xn )| ≥  (∗)

con d(yn , xn ) → 0 cuando n → ∞. Pero por otro lado, existen subsucesiones {ynk } y {xnk } que convergen a puntos y y x respectivamente, los cuales pertenecen a Y. Puesto que d(x, y) ≤ d(y, ynk ) + d(ynk , xnk ) + d(xnk , x) → 0 cuando k → ∞, entonces: d(x, y) ≤ 0 ⇒ d(x, y) = 0, por tanto x = y

De aquí: |f (ynk ) − f (xnk )| ≤ |f (ynk ) − f (y)| + |f (x) − f (xnk )| → 0

cuando n → ∞. Esto contradice (∗)! ∴ f es uniformemente continua.

2 

Teorema 1.26 Una función real y continua sobre un subconjunto compacto Y de un espacio métrico X es acotada y alcanza su máximo y su mínimo.

Prueba

Sea M = sup f entonces existe una sucesión {yn } tal que f (yn ) → M . Ahora por ser Y Y

compacto, existe una subsucesión de {yn }, {ynk } la cual converge a un punto y ∈ Y, siendo así y por ser f continua f (ynk ) → f (y) < ∞; por lo que M < ∞, ya que f (y) = M . Así que f alcanza su máximo en Y. Sea m = inf f . Entonces existe una sucesión {yn } tal que f (yn ) → m. Por la compacidad Y de Y existe una subsucesión {ynk } de {yn } que converge a y ∈ Y. Ahora, la continuidad de f nos dice que f (ynk ) → f (y) < ∞; por lo que m > −∞, ya que f (y) = m. Así que f alcanza su mínimo en Y. 2 

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17

UNIDAD 1. ESPACIOS MÉTRICOS

Denición 1.27 Una familia {fα } de funciones denidas sobre un conjunto Z de un espacio métrico, se dice ser uniformemente acotada si existe una constante c tal que |fα (x)| ≤ c, ∀α y ∀x ∈ Z.

Denición 1.28 Una familia {fα } de funciones continuas denidas sobre un subconjunto Z de un espacio métrico (X, d) se dice ser equicontinua si: ∀ > 0, existe δ > 0 tal que |fα (x) − fα (y)| <  si d(x, y) < δ

∀x, y ∈ Z ∀α

1.4.1. Teorema de Ascoli-Arzelà Observación.

Para cualquier espacio métrico compacto X, denotemos por C(X) el espacio de todas las funciones continuas sobre X. En este espacio de funciones introducimos la métrica: d(f, g) = max |f (x) − g(x)|, x∈X

∀f, g ∈ C(X)

Se puede probar que la función d : C(X) × C(X) → R es una métrica y que C(X) con esta métrica es un espacio métrico completo. Nota.

Denición 1.29 Un subconjunto K de un espacio métrico X se dice ser relativamente compacto o condicionalmente compacto si su clausura, K, es compacto.

Teorema 1.30 de Ascoli-Arzelà Sea C una familia de funciones uniformemente acotada y equicontinua sobre un espacio métrico compacto X. Entonces toda sucesión de funciones de C tiene una subsucesión que es uniformemente convergente sobre X a una función continua.

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1.4. Funciones Continuas en Espacios Métricos

18

Prueba

Sea {fn } una sucesión de funciones en C . Tratemos de encontrar una subsucesión de {fn } que converge, digamos sobre S , donde S es un conjunto separable de X. Para esta parte de la prueba usamos un argumento estándar, el de la diagonal. Pongamos los elementos de S como {x1 , x2 , . . .}. Entonces la sucesión numérica {fn (x1 )} es acotada y por tanto, tiene una subsucesión convergente {f1n (x1 )}. Así mismo, la sucesión {f1n (x2 )} es acotada, por lo que tiene una subsucesión convergente {f2n (x2 )}. Notemos que la sucesión de funciones {f2n } siendo una subsucesión de {f1n }, converge en x1 y x2 . Procediendo de esa manera obtenemos una colección contable de sucesiones de la sucesión original: f11

f12

f13 . . .

f21

f22

f23 . . .

f31

f32

f33 . . .

.. .. .. . . . Donde la sucesión en la n-ésima la converge en x1 , x2 , . . . xn , y cada la es una subsucesión de la que está encima de ella. Así la sucesión diagonal converge en cada punto de S . La prueba estará completa si mostramos que la convergencia es uniforme. Sea {gn } = {fnn } la subsucesión diagonal construida más arriba, y que converge en cada punto del conjunto S . Sea  > 0 dado, y elijamos δ > 0 tal que por la equicontinuidad de la sucesión original con d(x, y) < δ se tiene que |gn (x) − gn (y)| < 3 ∀x, y ∈ X y cada entero positivo n. Fijamos un M > 0 tal que δ > M1 y de tal suerte que el subconjunto SM ⊂ S sea denso en X, en el sentido que SM corresponde a un δ -cubrimiento para X. Puesto que {gn } converge en cada punto de SM , existe N > 0 tal que ∀n, m > N, |gn (s) − gm (s)| < 3 , ∀s ∈ SM . Fijemos un x ∈ X. Entonces x está cercano en menos de δ de algún s ∈ SM , así que si n, m > N : |gn (x) − gm (x)| = |gn (x) − gn (s) + gn (s) − gm (x)| ≤ |gn (x) − gn (s)| + |gn (s) − gm (x)| = |gn (x)−gn (s)|+|gn (s)−gm (s)+gm (s)−gm (x)| ≤ |gn (x)−gn (s)|+|gn (s)−gm (s)|+|gm (s)−gm (x)|

Por la elección de δ y la equicontinuidad de {fn }, el primer término, así como el tercero son menores que 3 ; la misma suerte corre el segundo término por la elección de N . Así que dado  > 0 hemos mostrado un N tal que para cada x ∈ X, y n, m > N , se tiene que: |gn (x) − gm (x)|
0 tal que |fj (y) − fj (z)| <  si d(y, z) < δ, ∀y, z ∈ X, ∀j, 1 ≤ j ≤ h. Si combinamos las dos últimas expresiones, tenemos |f (y) − f (z)| <  si d(y, z) < δ . Esto prueba la equicontinuidad de la familia K . 2 

1.4.2. Teorema del Punto Fijo Denición 1.32 Una función T de un subconjunto X0 de un espacio métrico (X, d) en X, T : X0 → X, se llama una contracción sobre X0 si existe un número θ con 0 < θ < 1, tal que: d(T(x), T(y)) ≤ θ d(x, y),

∀x, y ∈ X0

Denición 1.33 Un punto z para el cual Tz = T(z) = z se llama un punto jo8 para T : X0 → X.

Teorema 1.34 del Punto Fijo Sea T una función de un espacio métrico completo en sí mismo, T : X → X. Si T es una contracción, entonces existe un único punto jo z tal que Tz = z .

8 De

ahora en adelante, escribiremos

Análisis Funcional I

Tz

en lugar de

T(z).

UASD

No confundir con

Tz .

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1.4. Funciones Continuas en Espacios Métricos

20

Prueba

Fijemos un x0 ∈ X y denamos inductivamente una sucesión mediante Txn = xn+1 para n = 0, 1, 2, . . . Entonces: d(xn+1 , xn ) = d(Txn , , Txn−1 ) ≤ θd(xn , xn−1 ) = θd(Txn−1 , Txn−2 ) ≤ θ · θd(xn , xn−1 ) = θ2 d(xn , xn−1 ) ≤ θn d(x1 , x2 ) ⇒ d(xn+1 , xn ) ≤ θn d(x1 , x0 )

Consideremos d(xn+p , xn ) : d(xn+p , xn ) ≤ d(xn+p , xn+p−1 ) + d(xn+p−1 , xn ) ≤ . . . ≤ d(xn+p , xn+p−1 ) + . . . + d(xn+1 , xn ) ≤ θn+p−1 d(x1 , x0 ) + θn+p−2 d(x1 , x0 ) + θn+p−3 d(x1 , x0 ) + . . . + θn d(x1 , x0 ) = d(x1 , x0 )(θn+p−1 + θn+p−2 + θn+p−3 + . . . + θn ) = d(x1 , x0 )θn (θp−1 + θp−2 + θp−3 + . . . + θ0 ) ≤ θn d(x1 , x0 )(

1 ) 1−θ

θn Así, d(xn+p , xn ) < d(x1 ,0 ), llamemos k = d(x1 ,0 ) 1−θ θn ⇒ d(xn+p , xn ) < k 1−θ cuando n → ∞, d(xn+p , xn ) → 0 Por tanto, la sucesión es un sucesión de Cauchy, pero X es completo, por tanto el límite de {xn } existe, digamos z ; entonces: d(xn , z) → 0 cuando n → ∞. Proponemos que de ser así, entonces Tz = z , es decir z es un punto jo: d(Tz, z) ≤ d(Tz, xn ) + d(xn , z) = d(Tz, Txn−1 ) + d(xn , z) → 0

cuando n → ∞. Por tanto d(Tx, z) = 0 y Tz = z . Debemos probar ahora que el punto jo es único: supongamos que y es también un punto jo para T. Entonces: d(y, z) = d(Ty, Tz) ≤ θd(y, z), así que d(y, z) ≤ θd(y, z) Por tanto (1 − θ)d(y, z) = 0 ⇒ d(y, z) = 0 , es decir y = z 2 

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Unidad 2 Espacios Normados 2.1. Espacios Vectoriales Normados Denición 2.1 Un espacio vectorial X se dice ser un Espacio Vectorial Topológico si:

1. Se ha denido una topología sobre X 2. Las operaciones de suma y multiplicación por escalares son continuas, donde: +:X×X→X si x, y ∈ X, entonces +(x, y) = x + y ∈ X ·:K×X→X Si λ ∈ K, x ∈ X ⇒ ·(λ, x) = λ · x ∈ X

Observación.

Si A y B son subconjuntos de un espacio vectorial X, entonces: A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}

Así mismo, si λ ∈ K (R o C), entonces: λA = {λa : a ∈ A}

Denición 2.2 Sea X un espacio vectorial sobre el campo K (R o C), una norma sobre X es una función k.k : X → R tal que satisface las condiciones siguientes:

1. kxk ≥ 0 y kxk = 0 si y solo si x = 0 (No negatividad de la norma) 2. Si x ∈ X y λ ∈ K, entonces kλkk = |λ| ·kxk (homogeneidad de la norma) 3. Si x, y ∈ X, entonces kx + yk ≤ kxk +kyk (desigualdad triangular de la norma)

21

2.1. Espacios Vectoriales Normados

22

Denición 2.3 Un espacio vectorial normado es aquel sobre el cual se ha denido una norma.

Denición 2.4 Una espacio de Fréchet es un espacio vectorial métrico X con las propiedades siguientes:

1. d(x, y) = d(x − y, 0) 2. X es completo

Observación.

Todo espacio (vectorial) normado puede ser visto como un espacio métrico mediante la métrica inducida por la norma, en la forma siguiente: d(x, y) = kx − yk ,

∀ x, y ∈ X

Así, kxk = d(x, 0), ∀ x ∈ X Debemos comprobar que efectivamente d denida de esta manera, es una métrica: 1. d(x, y) = kx − yk, entonces d(x, y) ≥ 0, y además, d(x, y) = 0 si kx − yk = 0, pero kx − yk = 0 si y solo si x − y = 0 si y solo si x = y 2. Si d(x, y) = kx − yk = (−1)(−x + y) = | − 1| ·ky − xk = ky − xk = d(y, x)



3. d(x + y, 0) = kx + yk ≤ kxk +kyk = d(x, 0) + d(y, 0) ⇒ d(x + y, 0) ≤ d(x, 0 + d(y, 0) Ahora, d(x, z) = kx − zk = kx − y + y − zk = (x − y) + (y − z) ≤ kx − yk +ky − zk ⇒ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Así que la distancia d(x, y) = kx − yk es una métrica sobre X. Pero toda métrica incluye una topología sobre X; así que esta métrica induce una topología que llamamos la  topología inducida por la norma. 2

Observación.

Debemos comprobar que bajo esta topología inducida por la norma, las operaciones de suma y multiplicación por escalares del espacio vectorial X son continuas. Debemos probar que si λn → λ, µn → µ, kxn − xk → 0, kyn − yk → 0, entonces:

(λn xn + µn yn ) − (λx + µy) → 0

(n → ∞)

Donde {xn }, {yn } son sucesiones en X y {λn }, {µn } son sucesiones en K. Veamos:



(λn xn + µn yn ) − (λx + µy) = (λn xn − λx) + (µn yn − µy) ≤ kλn xn − λxk +kµn yn − µyk

= kλn xn − λx − λn x + λn xk +kµn yn − µy − µn y + µn yk



= (λn xn − λn x) + (λn x − λx) + (µn yn − µn y) + (µn y − µy)

Análisis Funcional I

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23

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS ≤ kλn xn − λn xk +kλn x − λxk +kµn yn − µn yk +kµn y − µyk







= λn (xn − x) + (λn − λ)x + µn (yn − y) + (µn − µ)y = |λn | ·kxn − xk + |λn − λ| ·kxk + |µn | ·kyn − yk + |µn − µ| ·kyk

:0  :0 :0 :0    ⇒ (λn xn + µn yn ) − (λx + µy) ≤ |λn | · kx − xk +  |λ |µ n n − λ| ·kxk + |µn | · ky n − yk +  n − µ| ·kyk   ⇒ Por tanto, cuando n → ∞

(λn xn + µn yn ) − (λx + µy) → 0

Así que las operaciones de suma y multiplicación por escalares son continuas en la topología inducida por la norma. Por tanto, X es un espacio vectorial topológico. 2  Observación.

Un espacio vectorial métrico con una métrica d, se dice ser un espacio vectorial normado si existe una norma k·k tal que d(x, y) = kx − yk. Si es este el caso entonces d(x, y) = d(x − y, 0), d(λxλy) = |λ| · d(x, y). Por ejemplo: R , x = (x1 , x2 , . . .), d(x, y) = n

n X i=1

d(λx, λy) =

|xi − yi | 1 + |xi − yi |

n X i=1

λkxi − yi k 1 + λkxi − yi k

Algunas distancias no provienen de una norma, sin embargo, todo Espacio Vectorial Normado es un Espacio Métrico. Nota.

Denición 2.5

Una serie es una bi-sucesión {xm ,

m X

xn }.

n=1

Sea {xn } una sucesión en un espacio vectorial normado X y sea Sm = {Sm } tiene un límite s, entonces decimos que la serie

Escribimos: s =

∞ X

∞ X

m X

xn . Si la sucesión

n=1

xn converge y su suma es s.

n=1

xn

n=1

∞ ∞ X X Si kxn k < ∞, entonces decimos que la serie xn es absolutamente convergente. n=1

Análisis Funcional I

n=1

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2.1. Espacios Vectoriales Normados

24

2.1.1. Espacios de Banach Denición 2.6 Un espacio vectorial normado y completo es un espacio de Banach.

Observación.

Un conjunto A en un espacio vectorial normado X, es acotado si y solo si existe k > 0 tal que kxk ≤ k, ∀x ∈ A

Donde kxk ≤ k ⇒ kx − 0k = d(x, 0) ≤ k Denición 2.7 Dos normas k·k1 y k·k2 sobre un mismo espacio normado X se dicen ser equivalentes si existen constantes positivas α y β tales que: α kxk1 ≤ kxk2 ≤ β kxk1

Teorema 2.8

Sea X un espacio de Banach y sea {xn } ⊂ X, si la serie

∞ X

xn es absolutamente convergente

n=1

entonces es convergente.

Prueba Sea Sm =

m X

xn , entonces:

n=1



m

m

k m X X X

X



kSm − Sk k = x − x = x ≤ kxn k n n n

n=1

n=1 n=k+1 n=k+1

Pero como la serie converge absolutamente

m X

kxn k → 0 (m > k → ∞)

n=k+1

⇒ kSm − Sk k → 0 (m, k → ∞)

Así que la sucesión {Sm } es de Cauchy, pero como X es completo, {Sm } tiene límite s. Así

∞ X

xn = s < ∞, es decir, la serie

i=1

Análisis Funcional I

∞ X

xn converge.

i=1

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2 

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25

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS

Ejemplo 5

(Casos de Espacios Normados).

1. Los espacios Lp (X, Ω, µ),

1 ≤ p ≤ ∞ son espacios vectoriales normados.

Comentario: L p (X, Ω, µ) es el espacio de todas las funciones medibles de potencia p integrables con respecto a la medida µ. f ∈ L (X, Ω, µ) si y solo si p

Z

|f (x)|p dµ < ∞

X

Si se dene:

 p1 |f (x)| dµ

Z

p

kf kp = X

Entonces, habría problemas para denir una norma, debido a que si f = g c.t.p. entonces: Z

 p1

p

p

 p1

|g(x)| dµ

= kgkp =

|f (x)| dµ

kf kp =

Z X

X

Si denimos h = f − g , entonces: Z khkp =

 p1 |h(x)| dµ p

X

Z = kf − gkp =

 p1 |f (x) − g(x)| dµ p

X

Por otro lado, por las propiedades de la norma de una función: kuk ≥ 0 y kuk = 0 si y solo si u = 0(función cero) ⇒ khkp = 0(función cero)

Pero h no es la función cero. Así que no se puede denir una norma, solamente una semi-norma, una semi-métrica. Para obtener espacios normados, en lugar de manejar funciones se manejarán clases de funciones: [f ] = {g ∈ L p (X, Ω, µ) : f = g

c.t.p}

[h] = {g ∈ L p (X, Ω, µ) : h = g c.t.p}

Se dene entonces: [f ] = kgk ∀g ∈ [f ]

Ahora con esta denición, tal como ocurrió en espacios métricos, se construye el espacio Lp (X, Ω, µ), 1 ≤ p ≤ ∞ a partir de L p (X, Ω, µ), esta vez con una norma asociada. Cuando se tenga [f ] = 0 ⇒ [0] lo que quiere decir la función cero y todas las que dieren de la función cero en un conjunto de medida cero.

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2.1. Espacios Vectoriales Normados

26

Por tanto, con esta nueva denición los espacios Lp (X, Ω, µ) son espacios vectoriales normados1 , donde los elementos de Lp (X, Ω, µ) son clases de equivalencia, tal que en caso que f = g ctp, entonces f y g pertenecen a la misma clase. Es decir, los elementos de Lp (X, Ω, µ) ya no son funciones como en L p (X, Ω, µ) sino clases de funciones. La suma en Lp (X, Ω, µ) viene como [f ] + [g] = [f + g] y el producto por escalar: λ[f ] = [λf ].

Se tiene entonces [f ] p =

Z

p

 p1

|f (x)| dµ

, 1 ≤ p < ∞, la cual sí representa una norma,

X

como se dijo anteriormente.

Z

 p1

|f (x)| dµ , pero realmente se reere a X

la norma p de la clase [f ], es decir [f ] p

Para p = ∞, kf k∞ = [f ] ∞ = ess sup |f (x)| = inf{c : |f (x)| ≤ c, c.t.p.}

Es de notar que usualmente se escribe kf kp =

p

X

Nota. Las desigualdades de Hölder y Minkowski se obtienen del curso de Teoría de la Medida e Integración.

2. Los espacios `p , 1 ≤ p < ∞ son espacios vectoriales normados (espacios de sucesiones), las operaciones de espacio vectorial vienen dadas por: x + y = (x1 , x2 , . . .) + (y1 , y2 , . . .) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . .) ! p1 ∞ X y λx = λ(x1 , x2 , . . .) = (λx1 , λx2 , . . .) La norma es kxkp = |xn |p , 1≤p nkx0n k. Pongamos ahora xn =

x0n . Es claro que nkx0n k

xn → 0 pero kTxn k > 1 así que kTxn k 6→ 0. Por lo que T no sería continua, contrario al

supuesto. ∴ T es acotada.

2 

Observación.

El espacio de todas las transformaciones lineales T de un espacio vectorial X a un espacio vectorial Y se puede poner bajo la estructura de un espacio vectorial con las operaciones de: 1. Suma, si T y S son transformaciones lineales de X a Y, entonces: (T + S)(x) = Tx + Sx,

∀x ∈ X

2. Multiplicación por escalares: (λT)(x) = λTx,

∀x ∈ X, ∀λ ∈ K (C o R)

Denotamos por L (X, Y) al espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de X e Y. Denotamos por B(X, Y) al subespacio de L (X, Y), formado por todas las transformaciones lineales y continuas (acotadas) de X a Y. Nota: Si X = Y, entonces L (X, Y) = L (X) y B(X, Y) = B(X)

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2.2. Operadores Lineales

30

Teorema 2.12 Sean X e Y espacios vectoriales normados. Entonces B(X, Y) es un espacio vectorial normado con la norma para las T, kTk, como se denió antes.

Prueba

La primera condición para la norma:

kTxk , entonces kTk ≥ 0, ahora, kxk6=0 kxk k0xk 0 Si T = 0, es claro que kTk = sup = = 0 ⇒ kTk = 0, kxk kxk6=0 kxk kT k Ahora, si kTk = 0 ⇒ sup x = 0 ⇒ kxkY = 0, ∀x ∈ X kxk6=0 kxk

Si kTk = sup

⇒ Tx = 0, ∀x 6= 0 ⇒ T = 0

La segunda parte o condición para la norma: Si T ∈ B(X, Y) y λ ∈ K entonces: kλTxkY kTxk = sup |λ| kxk kxk6=0 kxk6=0 kxkX

kλTk = sup

kTxk = |λ| ·kTk kxk6=0 kxk

= |λ| · sup

⇒ kλTk = |λ| ·kTk

La tercera condición para la norma: Si T y S ∈ B(X, Y) entonces:

(T + S)x kTx + Sxk kTxk +kSxk = sup kT + Sk = sup ≤ sup kxk kxkX kxk kxk6=0 kxk6=0 kxk6=0   kTxk kSxk kSxk kTxk = sup + + sup = kTk +kSk ≤ sup kxk kxk kxk6=0 kxk6=0 kxk kxk6=0 kxk ⇒ kT + Sk ≤ kTk +kSk kTxkY es una norma para los elementos de B(X, Y). kxk6=0 kxkX De esta manera B(X, Y) es un espacio vectorial normado.

Así, kTkB(X,Y) = sup

2 

Denición 2.13 Una sucesión {Tn } de transformaciones (operadores) lineales acotados (continuos), de un espacio vectorial normado X a un espacio vectorial normado Y, se dice ser uniformemente convergente si existe un operador lineal y acotado T de X a Y tal que kTn − TkB(X,Y) → 0 cuando n → ∞. Decimos que {Tn } es uniformemente convergente a T.

Análisis Funcional I

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31

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS

Teorema 2.14 Si X es un espacio vectorial normado y Y es un espacio de Banach, entonces B(X, Y) es un espacio de Banach.

Prueba

Sea {Tn } una sucesión de Cauchy en B(X, Y). Por tanto {Tn } es una sucesión acotada, es decir, existe una constante k tal que kTn xk ≤ kkxk

, ∀x, ∀n ≥ 1

Notemos que kTn x − Tm xkY = (Tn − Tm )x ≤ (Tn − Tm ) B(X,Y) ·kxkX Cuando n, m → ∞,kTn − Tm k → 0. Por tanto, kTn x − Tm xk → 0 cuando n, m → ∞. Así que la sucesión {Tn x} es una sucesión de Cauchy en Y. Por ser Y completo, existe el límite de {Tn x}, es decir: lim Tn x existe. Pongamos, como Tx = lim Tn x n→∞ n→∞ Veamos que T : X → Y es lineal: a) Si x1 , x2 ∈ X, entonces: T(x1 + x2 ) = lim Tn (x1 + x2 ) = lim (Tn x1 + Tn x2 ) = n→∞

n→∞

lim Tn x1 + lim Tn x2 =

n→∞

n→∞

Tx1 + Tx2 ⇒ T(x1 + x2 ) = Tx1 + Tx2

b) Si x ∈ X y λ ∈ K, entonces: T(λx) = lim Tn (λx) = lim λTn x = λ lim Tn x n→∞

n→∞

n→∞

= λTx ⇒ T(λx) = λTx

De a) y b) T : X → Y es un operador lineal. Veamos que T : X → Y es acotado. Sabemos que los Tn : X → Y son operadores acotados. Por tanto, existe k tal que kTn xk ≤ kkxk

Ahora, lim kTn xk ≤ k lim kxk = kkxk ⇒ kTxk ≤ kkxk ⇒ T es acotado. n→∞ n→∞ Ahora, puesto que {Tn } es de Cauchy, dado  > 0, existe n0 tal que kTm − Tn k <  si m ≥ n ≥ n0 . Así, ∀x ∈ X, tenemos: kTm x − Tn xk < kxk

Ahora, haciendo m → ∞, tenemos kTx − Tn xk < kxk



(T − Tn )(x

(T − Tn )(x kTx − Tn xk 0 tal que kAn xk ≤ k, ∀n, ∀x ∈ B(x0 , δ). Establezcamos la propiedad: sea x un vector tal que kxk ≤ δ . Siendo así, kAn xk =



An (x + x0 − x0 ) = An (x + x0 ) − An x0 ) . Sabemos que kx + x0 − x0 k = kxk ≤ δ , por

tanto x + x0 ∈ B(x0 , δ). De aquí que An (x + x0 ) < k para cada n, note que x0 ∈ B(x0 , δ), por lo que kAn x0 k < k , así que kA sea x ∈ X y

n xk < 2k, ∀x ∈ X tal que kxk ≤ δ . Ahora,  

kxk δ·x

kxk

· An consideremos la relación kAn xk =

=

δ kxk δ ⇒ kAn xk ≤

 δx  kxk

· An 2k, ∀n

≤

kxk δ

kAn xk 2k kxk 2k, ∀n ⇒ ≤ , ∀n δ kxk δ

kAn xk 2k 2k 2k ≤ , ∀n. Por tanto, kAn k ≤ , ∀n ⇒ supkAn k ≤ 0 tal que kAn xk < k, ∀n ∀x ∈ B(x0 , δ), es decir, supongamos que para cualquier entorno S de cualquier punto y ∀a ∈ R, existe n0 ∈ N x0 ∈ S tal que kAn0 x0 k > a. Ahora, puesto que f (x) = kAn0 xk es una función real y continua, debe haber todo un entorno de x0 tal que f (x) > a. Podemos asumir que dicho entorno está todo contenido en S ; es decir, que existe un entorno, digamos, Sa ⊂ S y tal que kAn0 xk > a para todo x ∈ Sa . Supongamos a = 1 y que existe un entorno cerrado de x0 tal que kAn1 xk > 1, para un entero n, más aún, podemos suponer que diam(S1 ) < 1. Repetimos el proceso para a = 2, y obtenemos un conjunto cerrado S2 , S2 ⊂ S1 ⊂ S , tal que diam(S2 ) < 12 , tal que para un n2 : kAn2 xk > 2, ∀x ∈ S2 . Continuando de esta manera tenemos una sucesión de conjuntos cerrados decrecientes (encajados) y siendo X de Banach, debe existir un \ {Sk } monónotamente



y∈ Sk , lo que implica que Ank y > k, ∀k . De aquí que esto es contrario a supkAn xk < ∞. n

De aquí que la propiedad queda realmente establecida. Pasemos al caso general del conjunto J de índices. Supongamos que {Aα }α∈J satisface la condición del teorema, es decir, supkAα xk < ∞ y supongamos que supkAα k = ∞. Esto implica que existen α

α

A1 , A2 , . . . , An , . . ., tales que: kA1 k > 1,kA2 k > 2, . . .; pero como el teorema se cumple para

cuando el conjunto de índice es contable, pero hemos probado que para un conjunto contable de operadores con supkAn xk < ∞ debe ocurrir supkAn k < ∞. n

n

Por tanto ocurre siempre que si supkAα xk < ∞ entonces supkAα k < ∞. α

Análisis Funcional I

α

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2 

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2.3. Principio de la Acotación Uniforme

34

Denición 2.17 Una sucesión {Tn } de operadores lineales y acotados de un espacio normado X a un espacio normado Y, se dice ser fuertemente convergente si para cualquier x ∈ X, lim Tn x existe. Si n→∞ existe un operador lineal y acotado T tal que lim Tn x = Tx entonces decimos que {Tn } es n→∞ fuertemente convergente a T.

Nota.

Tenemos que:

Si {Tn } converge uniformemente a T, dado  > 0, existe N () tal que ∀n ≥ N, kTn − TkB(x,y) < , se mide en la norma del espacio B(x, y) Si {Tn } converge fuertemente a T, dado  > 0, existe N () tal que ∀n ≥ N, kTn x − TxkY < , se mide en la norma de las imágenes en Y Sabemos que, dado {Tn }, entonces kTn x − Txk = (Tn − T)x ≤ kTn − Tk ·kxk < kxk



|

{z 0 tal que:

f (x) = |f (x)| ≤ kkxk X K

Análisis Funcional I

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39

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS

Observación.

Sea X un espacio vectorial normado, entonces {f : f (x) ∈ K, ∀x ∈ X} dado que f es una funcional lineal y continua, se llama el espacio dual de X. El espacio dual de X se denota normalmente por X∗ . Por tanto X∗ = {f |f : X → K, f es lineal y continua } = B(X, K). Es claro que X∗ es un espacio vectorial normado con la siguiente norma: kf kX∗ = sup x6=0

|f (x)| 0. Entonces existe x∗ ∈ X∗ tal que x∗ (x0 ) = 1, kx∗ k = d1 , y∈Y ∗

x (y) = 0, ∀y ∈ Y.

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2.5. Teorema de Hahn-Banach

42

Prueba

Denotemos por Y1 , el espacio vectorial generado por Y y x0 ; puesto que x0 ∈ / Y cada punto x ∈ Y1 , tiene la forma x = y + λx0 , donde y ∈ Y1 , y el escalar λ está unívocamente determinado. Consideremos la funcional lineal z ∗ sobre Y1 , dada por z ∗ (y + λx0 ) = λ



Si λ 6= 0, entonces ky + λx0 k = λ( λy + x0 ) = |λ| · λy + x0 ≥ |λ| · d |

{z x

}

1 |z ∗ (x)| 1 |z ∗ (x)| ≤ ⇒ sup ≤ ⇒ kxk ≥ |λ| · d ⇒ kxk ≥ z ∗ (x) · d ⇒ kxk d d kxk6=0 kxk 1 ⇒ kz ∗ k ≤ , ∀x ∈ Y1 d Ahora, para obtener la otra desigualdad, sea {yn } una sucesión en Y, con la propiedad de que kx0 − yn k → d, n → ∞. Entonces: 1 = z ∗ (x0 − yn ) ≤ kz ∗ k ·kx0 − yn k → kz ∗ k · d ⇒ kz ∗ k ≥

Así que kz ∗ k =

1 d

1 d

si cambiamos z ∗ por x∗ tenemos:

x∗ (x0 ) = z ∗ (0 + x0 ) = 1, kx∗ k =

1 y x∗ (y) = z ∗ (y + 0x0 ) = 0 d

∴

x∗ (y) = 0, ∀y ∈ Y 2 

Corolario 3.

Sea X un espacio vectorial normado. Para todo x 6= 0 existe un x∗ ∈ X∗ con

kx∗ k = 1, x∗ (x) = kxk ≥ 0

Prueba

En el contexto del teorema anterior, si Y = {0} entonces existe un z ∗ ∈ X∗ tal que kz ∗ k =

1 , z ∗ (x) = 1 kxk

Tomemos: x∗ = kxk z ∗ ⇒ kx∗ k = kxk ·kz ∗ k = kxk · Además: x∗ (x) = kxk · z ∗ (x) = kxk ⇒ x∗ (x) = kxk

1 = 1 ⇒ kx∗ k = 1 kxk 2 

Sea X un espacio vectorial normado y suponga que x∗ (x) = 0, ∀x∗ ∈ X∗ . Entonces debemos tener x = 0.

Corolario 4.

Prueba

Si x 6= 0, entonces existe x∗ ∈ X∗ tal que x∗ (x) > 0; pero estamos asumiendo que x∗ (x) = 0, ∀x∗ ∈ X∗ ; esto es una contradicción ya que el corolario anterior asegura la existencia de un x∗ (x) > 0 si x 6= 0 por tanto si x∗ (x) = 0, ∀x∗ ∈ X∗ es porque x = 0. 2 

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43

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS

Si y, z son puntos distintos de un espacio vectorial normado X, entonces existe un x∗ ∈ X∗ tal que x∗ (y) 6= x∗ (z). (La funcional x∗ separa puntos en X∗ ).

Corolario 5.

Prueba

En el corolario penúltimo pongamos x = y − z , entonces x∗ (x) = x∗ (y − z) = x∗ (y) − x∗ (z) = kxk > 0, por ser y y z distintos. Así, x∗ (y) − x∗ (z) > 0 ⇒ x∗ (y) 6= x∗ (z). 2 

2.6. Espacios Duales y Reexivos Observación.

Sean X y Y espacios vectoriales normados, vimos que el conjunto de funcionales lineales continuas sobre X es un espacio vectorial normado y completo, denotado por X∗ . Así mismo, denimos el espacio dual a X∗ como el conjunto de funcionales lineales y continuas sobre X∗ ; el espacio dual a X∗ se denota por X∗∗ . También se dice que X∗∗ es el espacio doble dual de X. X∗ : X → R, X∗∗ : X∗ → R,

x∗ (x) ∈ R

x∗∗ (x∗ ) ∈ R,

x∗ ∈ X∗

Estudiando la relación entre X y X∗∗ : Si ponemos x˜(x∗ ) = x∗ (x), (x → x˜), donde x˜ ∈ X∗∗ , x∗ ∈ X∗ ; esto establece una correspondencia inyectiva entre elementos x ∈ X con elementos x˜ ∈ X∗∗ . Así que con la denición de la funcional x˜ estamos estableciendo un embebimiento-k de X en X∗∗ . Ahora, si kxk = kkxk = k˜ xk, ˜ entonces decimos que k es un isomorsmo isométrico de X sobre X. Teorema 2.26 Sea X un espacio vectorial normado. Entonces X es isométricamente isomorfo a un subespacio ˜ del doble dual de X, X∗∗ . X

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2.6. Espacios Duales y Reexivos

44

Prueba

Denotemos por x los elementos de X y por x∗ los elementos de X∗ . Denamos una funcional lineal x˜ sobre X∗ , por x˜(x∗ ) = x∗ (x), aquí x ∈ X, x∗ ∈ X∗ , x˜ ∈ X∗∗ . Así, cada x∗ ∈ X∗ tiene asociado un valor de x∗ en x ∈ X. Ahora, veamos que x˜ es también continua: |˜ x(x∗ )| = |x∗ (x)| ≤ kx∗ k ·kxk |˜ x(x∗ )| ≤ kxk kx∗ k

⇒

(x∗ : X → R)

|˜ x(x∗ )| ≤ kxk ∗ kx∗ k6=0 kx k

k˜ xk = sup ⇒ k˜ xk ≤ kxk, así x˜ : X∗ → R es acotada.

˜ la imagen de X bajo la función h : X → X ˜ . Debemos probar que h es Sea ahora X una isometría. Sabemos por un corolario al teorema de Hahn-Banach que existe un y ∗ ∈ X∗ tal que y ∗ (x) = kxk y ky ∗ k = 1. Entonces: ∗ ∗

∗ |˜ x(y )| |˜ x(x )| ∗

y (x) = kxk ≥ = |˜ x (y )| = ∗ ky ∗ k kx∗ k6=0 kx k

k˜ xk = sup

⇒ k˜ xk ≥ kxk ˜ x∈X Por tanto, k˜ xk = kxk , x˜ ∈ X, ˜ son isométricamente isomorfos vía la isometría h : X → X ˜ Así X y X

2 

Estamos diciendo que X y X∗∗ se relacionan de la forma siguiente: ˜ ⊂ X∗∗ . X es equivalente algebráica y topológicamente a X ˜ = X∗∗ , entonces, se dice que X es un espacio vectorial Si h : X → X∗∗ es sobreyectiva, es decir, si X normado reexivo. Nota.

Ejemplo 9.

Ejemplos de espacios duales: 1. El espacio dual de Rn en Rn Para cada x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , pongamos f ∈ (Rn )∗ ; ésta tiene la representación f (x) =

n X

xk γk , donde γk = f (ek ) y ek es el k-ésimo vector de la base canónica para Rn .

k=1

f es lineal y por ser Rn de dimensión nita, f es acotada. Ahora: |f (x)| = |

n X

xk γk | ≤

k=1

 = kxk 

n X

n X

 |xk γk | ≤ 



γk2  ⇒ |f (x)| ≤ kxk 

k=1

Análisis Funcional I

 12  x2j  

j=1

k=1

 21

n X

n X

n X

 21 γk2 

k=1

 21 γk2  = kxk ·kγk

k=1

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45

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS 

⇒

 21

n X



n X

 12



n X

 21

|f (x)|  |f (x)|  ≤ ≤ γk2  = kγk γk2  ⇒ sup γk2  ⇒ kf k ≤  kxk kxk kxk6 = 0 k=1 k=1 k=1

Por otro lado, tomemos un x igual a γ = (γ1 , γ2 , . . . , γn ) ∈ Rn |f (γ)| ≤ kf k ·kγk ⇒ 

n X



1 γk2 

k=1



n X



|f (γ)| ≤ kf k ⇒ kγk



 21 ≤ kf k ⇒ 

n X

 12 γk2  ≤ kf k ⇒ kγk ≤ kf k

k=1

γk2 

k=1

⇒ kf k = kγk; por ser γ ∈ Rn nos dice que el dual de Rn es Rn .

2. El espacio dual de `1 es `∞ Una base para `1 es {ek }. Entonces cada x ∈ `1 tiene la representación única x = Tomemos f ∈ (`1 )∗ , puesto que f es lineal y acotada, f (x) =

∞ X

∞ X

xk e k .

k=1

xk γk , γk = f (ek )

k=1

Ahora, notemos: |γk | = |f (ek )| ≤ kf k ·kek k = kf k

Entonces |γk | ≤ kf k. Ahora: sup |γk | ≤ kf k, entonces γ ∈ `∞ k

Considere ahora, |f (x)| = |

∞ X

xk γk | con x ∈ `1

k=1

 ≤ sup |γj | j

∞ X



∞ X   recordar: x ∈ `p ⇒ kxk =  |xk |p   p  

|xk | = sup |γj | ·kxk j

k=1

 p1



k=1

⇒ |f (x)| ≤ sup |γj | ·kxk ⇒ j

|f (x)| ≤ sup |γj | kxk j

|f (x)| ≤ sup |γj | ⇒ kf k ≤ sup |γj | j j kxk6=0 kxk   recordar: kyk∞ = sup |yk |

⇒ sup

Por tanto: kf k = sup |γk | k

k

⇒ kf k = kγk∞ . Así que (`1 )∗ ≈ `∞ . Así el dual de `1 es `∞

3. El espacio dual de `p es `q , 1 < p < ∞,

1 p

+

1 q

=1

Una base para ` es {ek }, así toda x ∈ ` tiene la representación única x = p

p

∞ X

xk ek . Tomemos

k=1

Análisis Funcional I

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2.6. Espacios Duales y Reexivos

46

cualquier f ∈ (`p )∗ ; así sabemos que f es lineal y continua. Ahora f (x) =

∞ X

xk γk ,

γk = f (ek )

k=1

Sea q el exponente conjugado de p y consideremos una sucesión: (n) xn = {xk } con:

(n) xk

Así que f (xn ) =

∞ X

(n)

xk γk =

k=1

⇒ f (xn ) =

n X

 |γk |q   k≤n y  γ k =    0 k>n o

n X |γk |q

γ k 

k=1

γ k = 

n X

γk 6= 0 γk = 0

|γk |q

k=1

|γk |q

k=1

Además,  |f (x)| ≤ kf k ·kxn k = kf k · 

n X

 p1 (n)

|xk |p 

k=1

1 1   p  p n  n  q p q p X X |γk | |γk |  | |  = kf k ·  = kf k ·  γk |γk | k=1 k=1 

 p1   p1 n n X X  q−1 p  = kf k ·  |γk | = kf k ·  |γk |(q−1)p  

k=1

 = kf k · 

k=1

n X

 p1



q

|γk |(q−1) q−1  = kf k · 

k=1

 ⇒ |f (x)| ≤ kf k · 

n X

 p1 |γk |q  ⇒

n X



n X

|γk |q 

  p1 n X |γk |q ≤ kf k ·  |γk |q 

k=1

 1 n X  |γk |q  k=1

 p1

k=1

k=1

⇒

n X



 p1 ≤ kf k ⇒ 

k=1

n X

 1q |γk |q  ≤ kf k

k=1

|γk |q 

k=1

Análisis Funcional I

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47

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS 

Si hacemos n → ∞, tenemos: 

∞ X

 1q |γk |q  ≤ kf k

k=1

Notemos ahora: |f (x)| = |

∞ X

xk γk | ≤

k=1



∞ X

|xk γk | ≤ 

k=1

 ⇒ |f (x)| ≤ kxkp · 

⇒ kf k ≤ 

∞ X

 p1  |xk |p  · 

∞ X

 1q



|γk |q  ⇒

∞ X

 1q |γk |q 

k=1

k=1

k=1



∞ X

 1q

∞ X

|f (x)|  ≤ |γk |q  kxk k=1

 1q |γk |q  ⇒ kf k ≤ kγkq

∴ kf k = kγkq

k=1

Así que (`p )∗ = `q , es decir, el dual de `p es `q . 4. El espacio dual de Lp es Lq , p1 + 1q = 1 Si f ∈ LZp (X, Ω, µ) y g ∈ Lq (X, Ω, µ), donde g es ja, entonces la expresión:

f (x)g(x)dx dene una funcional lineal y continua sobre Lp (X, Ω, µ). Es claro que

F (f ) = X

F : Lp → R es una funcional lineal y continua. Note: Z Z 1 1 |F (f )| = | (f · g)dx| ≤ |f · g|dx ≤ kf kp ·kgkq , + = 1 p q X X ⇒

|F (f )| |F (f )| ≤ kgkq ⇒ kF k ≤ kgkq ≤ kgkq ⇒ sup kf kp kf k6=0 kf k

q−1 Por otro lado, tomemos Z un f como f = |g| sgn g (función signo) Z Note que |f |p dx = ||g|q−1 sgn g|p dx X

X

Z


q−1 p

|g|

=

Z

|g|1

dx =

X


q

dx < ∞, ya que p =

X

q q−1

Así que f ∈ Lp (X, Ω, µ). Por otro lado, f · g = |g|q−1 sgn g · g = |g|q−1 · |g| = |g|q | {z } ⇒ f · g = |g|q

Ahora, F (f ) =

Z

Z

|g|q dx =

f · gdx = X

X

Z

q

|g| dx

= X

 p1 + 1q

Z = X

 p1 Z  1q q |f | dx · |g| dx p

X

= kf kp ·kgkq ⇒ F (f ) = kf kp ·kgkq

Análisis Funcional I

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2.7. Las Topologías Débil y Débil-*

48

⇒

|F (f )| = kgkq ⇒ kF k = kgkq kf kp

Puesto que F ∈ (Lp (X, Ω, µ))∗ nos dice que la correspondencia entre los elementos de (Lp )∗ y los elementos de Lq (X, Ω, µ) es un isomorsmo isométrico. Por tanto: (Lp )∗ = Lq Observación.

1. Si X e Y son isomórcamente isométricos y Y es reexivo entonces X es reexivo. 2. Un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach reexivo es reexivo. 3. Un espacio de Banach es reexivo si y solo si su dual es reexivo.

2.7. Las Topologías Débil y Débil-* Considere un espacio vectorial normado X. Entonces la norma dene una distancia y ésta a su vez induce una topología sobre X. Considere, además el espacio dual de X, X∗ , el cual consiste en todas las funcionales lineales y continuas sobre X. La topología débil sobre X es la topología menos na de todas en X (se puede decir la más pequeña), tal que todas las funcionales lineales y continuas sobre X sean o permanezcan continuas. La topología original inducida por la norma se llama topología fuerte sobre X. Así, si T es la topología de la norma Tω es la topología débil. Note: T ⊃ Tω Sea X un espacio vectorial normado y X∗ su dual. Si f ∈ X∗ , podemos denir la norma de f por

|f (x)| , esto convierte a X∗ en un espacio vectorial normado. Es claro que la norma de kxk6=0 kxk X∗ induce una topología sobre X∗ , la topología de la norma. Sea X∗∗ el espacio dual de X∗ , X∗∗ consiste en todas las funcionales lineales y continuas sobre X∗ . La topología débil sobre X∗ es la topología menos na sobre X∗ , tal que las funcionales lineales y continuas sobre X∗ , sean continuas. De todas las funcionales lineales y continuas sobre X∗ , están las que son atadas a elementos de X,

kf k = sup

de la forma:

(4)

x∗∗ (x∗ ) = x∗ (x)

La topología débil-* (débil estrella) sobre X∗ es la topología menos na (o más pequeña) de tal suerte que las funcionales lineales y continuas de la forma (4) sean continuas. Si denotamos la topología de la norma sobre X∗ por T , la topología débil sobre X∗ por Tω , y la topología débil-* sobre X∗ por Tω ∗ se tiene que T ⊃ Tω ⊃ Tω∗ Denición 2.27 Los conjuntos abiertos de la topología débil se llaman débilmente abiertos, y los cerrados se llaman débilmente cerrados. Así mismo, para la topología débil-*, los abiertos se llaman débil-* abiertos, y los cerrados se llaman débil-* cerrados.

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49

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS

Denición 2.28 Sea X un espacio vectorial normado. Una sucesión {xn } en X se dice ser débilmente convergente si existe un elemento x ∈ X tal que lim x∗ (xn ) = x∗ (x), ∀x∗ ∈ X∗ . n→∞ Llamemos a x ∈ X el límite débil de la sucesión {xn } y decimos que {xn } converge débilmente a x ∈ X.

Denición 2.29 Un conjunto K de un espacio vectorial normado X se dice ser débilmente secuencialmente compacto si toda sucesión {Xn } en K contiene una subsucesión que es débilmente convergente a un punto de K .

Denición 2.30 Una sucesión {xn } de un espacio vectorial normado X se dice ser una sucesión débilmente de Cauchy si {x∗ (xn )} es una sucesión de Cauchy para todo x∗ ∈ X∗ .

Denición 2.31 Un espacio vectorial normado X se dice ser débilmente completo si toda sucesión {xn } débilmente de Cauchy tiene un límite en X.

Observación.

Un conjunto K de un espacio vectorial normado X, se dice débilmente cerrado si el límite débil de toda sucesión {xn } ⊂ K débilmente convergente está en K .

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2.7. Las Topologías Débil y Débil-*

50

Teorema 2.32 Sea {xn } una sucesión débilmente convergente en un espacio vectorial normado X. Entonces

1. {xn } es acotada 2. El límite débil x pertenece al subespacio cerrado generado por {x1 , x2 , . . . , xn } 3. kxk ≤ lim kxn k n→∞

Prueba

1. kxn k = sup |x∗ (xn )| < ∞, ya que x∗ (xn ) es una sucesión convergente de números reales.

kx∗ k=1

2. Asumamos que no es cierta la armación. Entonces debe existir x∗ ∈ X∗ tal que x∗ (xn ) = 0, ∀n ≥ 1. Pero sabemos que {x1 , x2 , . . . , xn } genera un espacio que es mayor que el espacio cuyo único elemento es el cero. De ahí, que debe haber un x tal que x∗ (x) 6= 0. Por lo que es imposible que x∗ (xn ) = 0, ∀n ≥ 1, ya que {xn } converge débilmente a x. Por lo que la armación (2) es cierta. 3. Sabemos que x∗ (x) = lim x∗ (xn ). Ahora, n→∞

  |x∗ (x)| = lim |x∗ (xn )| ≤ lim kx∗ k ·kxn k = lim kx∗ k ·kxn k = kx∗ k lim kxn k n→∞

n→∞

⇒ |x∗ (x)| ≤ kx∗ k lim kxn k ⇒ n→∞

n→∞

n→∞

|x∗ (x)| |x∗ (x)| ≤ lim kx k ⇒ kxk = sup ≤ lim kxn k n ∗ kx∗ k n→∞ n→∞ kx∗ k6=0 kx k ∴

kxk ≤ lim kxn k n→∞

2  Observación.

1. Sea X un espacio vectorial normado, si el espacio dual de X (X∗ ), es separable entonces X es separable. 2. Sean X, Y isométricamente isomorfos, espacios vectoriales normados. Si Y es reexivo entonces X es reexivo. 3. Un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach reexivo, es reexivo 4. Un espacio de Banach es reexivo si y solo si su dual es reexivo 5. Sea X un espacio de Banach reexivo. Un conjunto K ⊂ X es débilmente secuencialmente compacto si y solo si es tanto acotado como débilmente cerrado 6. Sea X un espacio normado separable. Entonces toda sucesión acotada de funcionales lineales y continuas en X∗ tienen una subsucesión débilmente convergente. Análisis Funcional I

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51

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS

Teorema 2.33 Un espacio vectorial normado reexivo es débilmente completo.

Prueba

Sea {xn } una sucesión débilmente de Cauchy en X, entonces lim x∗ (xn ) existe ∀x∗ ∈ X∗ . n→∞ Sabemos que {xn } es acotada, entonces por la observación anterior existe una subsucesión convergente {xnk }, esta converge a un elemento x ∈ X. Pero entonces lim x∗ (xn ) = lim x∗ (xnk ) = x∗ (x), ∀x∗ ∈ X∗

n→∞

n→∞

Por tanto, lim x∗ (xn ) = x∗ (x), es decir, {xn } es débilmente convergente a un elemento x ∈ X. n→∞ Así X es débilmente completo. 2 

2.8. Operadores Adjuntos Denición 2.34 Sean X e Y espacios vectoriales normados y T ∈ B(X, Y). El adjunto de T, T∗ , es un operador de Y ∗ a X∗ denido por (T∗ y ∗ )(x) = y ∗ (Tx). | {z }

Teorema 2.35 La correspondencia T → T∗ es un isomorsmo isométrico de B(X, Y) a B(Y∗ , X∗ )

Prueba

Tomemos cualquier y ∗ ∈ Y∗ , entonces es claro que T∗ y ∗ es una funcional lineal sobre X, más aún, |(T∗ y ∗ )(x)| ≤ kT∗ y ∗ k ·kxk ≤ kT∗ k ·ky ∗ k ·kxk < ∞. Así que T∗ y ∗ es acotada o continua. Así que T∗ y ∗ ∈ X∗

Ahora, kTxk = sup y ∗ (Tx) . Notemos que kT∗ k = sup kT∗ y ∗ k = sup sup |T∗ y ∗ (x)| ky ∗ k=1

ky ∗ k=1

ky ∗ k=1 kxk=1

= sup sup |y ∗ (Tx)| = sup kTxk = kTk ⇒ kT∗ k = kTk ky ∗ k=1 kxk=1

kxk=1

2 

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2.8. Operadores Adjuntos

52

Ejemplo 10.

1. Consideremos A : L

2

[0,1]

2

→L

[0,1]

. Calcular A . Donde Ax(t) = ∗

Z

t

x(τ )dτ 0

Solución: 1

Z

t

Z

x(τ ) dτ dt

y(t)

f (Ax(t)) =

0

0 1

Z

t

Z

=

y(t) x(τ ) dτ dt 0

0

En lugar de integrar respecto a t en la integral exterior, integremos con respecto a τ : Z

1

t

Z

1

Z

y(t) dt dτ

x(τ )

y(t) x(τ ) dτ dt = 0

1

Z τ

0

0

Renombrando las variables: Z

1

Z

1

x(t)

∴ f (Ax(t)) =

t

0

|

y(τ ) dτ dt {z }

A∗ y(t)

Así que: Z

∗

1

y(τ ) dτ

A y(t) = t

2. A : L2 [0,1] → L2 [0,1] donde Ax(t) = t x(t) Solución: Z

1

f (Ax(t)) =

y(t)(t x(t)) dt 0

1

Z

x(t)(t y(t)) dt ⇒ A∗ y(t) = t y(t)

f (Ax(t)) = 0

3. A : L2 [0,1] → L2 [0,1] donde Ax(t) =

1

Z

t x(s)ds 0

Solución: Z f (Ax(t)) =

Z y(t)

0

Análisis Funcional I

1

!

1

Z

1

Z

t x(s) ds dt = 0

t y(t) x(s) ds dt 0

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1

0

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53

UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS 1

Z =

 Z  x(s)

0



1

t y(t) dt ds ⇒ A∗ y = {z }

0

|

Z

1

t y(t) dt 0

4. A : `1 → `1 x = (x1 , x2 , . . .) y = (y1 , y2 , . . .) Ax = (x1 , x2, . . . , xn , 0, 0, 0, . . .)

Solución: f (Ax) =

∞ X

y Ax =

k=1

=

n X

(y1 , y2 , . . . , yn , . . .) · (x1 , x2, . . . , xn , 0, 0, 0, . . .)

k=1

y k xk =

n X

k=1

=

∞ X

(x1 , x2 , . . . , xn , . . .) · (y1 , y2 , . . . , yn , 0, 0, 0, . . .)

k=1 ∞ X

x · Ay ⇒ A∗ y = Ay = (y1 , y2 , . . . , yn , 0, 0, 0, . . .)

k=1

5. A : `1 → `1 Ax = (λ1 x1 , λ2 x2 , . . .),

Solución: f (Ax) =

∞ X

y · Ax =

k=1

=

∞ X

∞ X

λ ∈ R, |λn | ≤ 1

(y1 , y2 , . . .) · (λ1 x1 , λ2 x2 , . . .)

k=1

yk λk xk =

k=1

∞ X

xk λk yk =

k=1

∞ X

x · Ay

k=1

∗

⇒ A y = (λ1 y1 , λ2 y2 , . . .) = Ay

6. A : `1 → `1 x = (x1 , x2 , . . .) Ax = (0, x1 , x2 , . . .)

Solución: f (Ax) =

∞ X

y · Ax =

k=1

=

∞ X

=

(y1 , y2 , . . .) · (0, x1 , x2 , . . .)

k=1

yk+1 xk =

k=1

∞ X

∞ X

(x1 , x2 , . . .) · (y2 , y3 , . . .)

k=1 ∞ X

x · A∗ y ⇒ A∗ y = (y2 , y3 , . . .)

k=1

Teorema 2.36 Sean X, Y, Z espacios vectoriales normados y T ∈ B(X, Y), S ∈ B(Y, Z). Entonces (ST)∗ = T∗ S ∗ . El adjunto de la identidad I ∈ B(X, X) = B(X) es la identidad en B(X∗ , X∗ ) = B(X∗ )

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2.8. Operadores Adjuntos

54

Prueba

Tomando en cuenta que: T : X → Y, S : Y → Z, ⇒ ST : X → Z, (ST)∗ : Z∗ → X∗ y (T∗ y ∗ )(x) = y ∗ (Tx)

Sea z ∗ ∈ Z∗ . Entonces, para cualquier x ∈ X, se tiene: [(ST)∗ z ∗ ](x) = z ∗ [(ST)x] = z ∗ (S(Tx)) = (S ∗ z ∗ )(Tx) = [(T∗ S ∗ )z ∗ ](x) ⇒ (ST)∗ z ∗ = (T∗ S ∗ )z ∗ ⇒ (ST)∗ = T∗ S ∗

Ahora,

(I ∗ x∗ )(x) = x∗ (Ix) = x∗ (x) ⇒ I ∗ x∗ = x∗ 2 

Observación.

˜ Y ˜ las imágenes bajo los embebimientos naturales K1 y K2 de X e Y en X∗∗ e Denotemos por X, ˜ ∈ B(X, ˜ Y) ˜ dado por T˜ ˜ x = y˜, donde y = Tx. Si Y∗∗ respectivamente. Si T ∈ B(X, Y), entonces T ˜ ⊂ DS y S x˜ = T˜ ˜ x, ∀˜ ˜ entonces S es un operador lineal denido de DS ⊂ X∗∗ a Y∗∗ tal que X x∈X ˜ = DS , entonces S = T. llamamos a S una extensión de T. Si X Note que: ˜ → Y, ˜ K1 (X) = X, ˜ K2 (Y) = Y, ˜ S : DS → Y∗∗ ˜ :X T : X → Y, T∗∗ : X∗∗ → Y∗∗ , T

Teorema 2.37 Sean X e Y espacios vectoriales normados y sea T ∈ B(X, Y). El segundo adjunto T∗∗ : X∗∗ → Y∗∗ es una extensión de T. Si X es reexivo entonces T∗∗ = T.

Prueba f ∗) Sean x ∈ X, y ∗ ∈ Y∗ . Entonces: (T∗∗ x˜)(y ∗ ) = x˜(T∗ y ∗ ) = (T∗ y ∗ )(x) = (y ∗ )(Tx) = Tx(y ∗ ∗∗ ˜ x(y ) ⇒ T = T ˜ (siempre que use x˜). = T˜ ∗∗ ˜ y por tanto una extensión de T. Es decir, T es una extensión de T 2 

Teorema 2.38 Sea X un espacio de Banach y Y un espacio vectorial normado. Un operador lineal T ∈ B(X, Y) tiene una inversa acotada, T−1 si y solo si T∗ tiene una inversa acotada, (T∗ )−1 . En este caso se tiene, (T∗ )−1 = (T−1 )∗ .

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UNIDAD 2. ESPACIOS NORMADOS

Prueba Supongamos que T−1 existe, entonces: I ∗ = (T T−1 )∗ = (T−1 )∗ T∗ , donde I ∗ es la identidad en B(Y ∗ ). Así mismo: I ∗ = (T−1 T)∗ = T∗ (T−1 )∗ es la identidad en B(X ∗ ). Así que (T∗ )−1 existe y es igual a (T−1 )∗ . En el otro sentido, supongamos que (T∗ )−1 es un operador acotado B(X ∗ , Y∗ ). Entonces (T∗ )−1 existe y está en B(Y∗∗ , X∗∗ ). Ahora, T∗∗ es una extensión de T y es inyectiva, falta probar que T es sobreyectiva, es decir, T(X) = Y. Supongamos que T(X) 6= Y entonces T(x) 6= Y, esto signica que existe un y ∗ ∈ Y∗ tal que y ∗ 6= 0 y y ∗ (Tx) = 0, ∀x ∈ X. Por tanto (T∗ y ∗ )(x) = 0, ∀x ∈ X entonces T∗ y ∗ = 0, contradiciendo el hecho de que T∗ ha de ser inyectiva. Por tanto T(X) = Y, por lo que T−1 existe. 2 

2.8.1. Teorema de F. Riesz Lema 2 (de F. Riesz). Supongamos que X es un espacio vectorial normado y X0 = X0 un subespacio propio de X. Entonces ∀ > 0, existe x ∈ X, kx k = 1, tal que kx − x0 k ≥ 1 −  ∀x0 ∈ X0

Teorema 2.39 de F. Riesz En un espacio normado X, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. La bola unitaria cerrada B(0, 1) es compacta. 2. X tiene dimensión nita.

Prueba

1) -> 2) Supongamos que dimX = ∞, y sea x1 ∈ X con kx1 k = 1 y construimos X1 =< {x1 } > (espacio vectorial generado por {x1 }). Este es un subespacio propio y cerrado de X. Por el lema de Riesz existe x2 ∈ X\X1 con kx2 k = 1 y kx2 − x1 k ≥ 21 . Sean X2 =< {x1 , x2 } >, por tanto existe x3 ∈ X\X2 , con kx3 k = 1 y kx3 − x1 k ≥ 12 ; y así sucesivamente. Obtenemos una sucesión {xn } ⊂ B(0, 1) tal que kxn − xm k ≥ 12 ∀n, m ∈ N. Así que {xn } no puede tener subsucesión convergente alguna, por lo que B(0, 1) no puede ser compacto. 2) -> 1) Por Bolzano-Weierstrass en Rn , todo conjunto cerrado y acotado es compacto. 2 

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2.8. Operadores Adjuntos

56

Teorema 2.40 de Alaoglu La bola unitaria cerrada S ∗ = {f : kf k ≤ 1} de X ∗ es compacta en la topología débil-*.

Prueba

Si f ∈ S ∗ , entonces |f (x)| ≤ kf k ·kxk = kxk, es decir, |f (x)| ≤ kxk, por lo que −kxk ≤ f (x) ≤ kxk; los valores de f (x) están entre −kxk y kxk para cada x ∈ X; así, ∗ f (x) ∈ [−kxk ,kxk] Y . Pongamos Ix = [−kxk ,kxk]. Entonces cada f ∈ S corresponde a un punto en P = Ix , ya que P es por denición el conjunto de todas las funciones f sobre X x∈X

tales que f (x) ∈ Ix . Así que podemos ver a S ∗ como un subconjunto de P , y la denición de la topología para P prueba que la topología que S ∗ hereda como un subespacio de P es la topología débil-* de S ∗ . Por ser P compacto, S ∗ será compacto si es un subespacio cerrado de P . Sea f un punto de clausura de S ∗ en P . Entonces f es una correspondencia de X en R. Puesto que |g(x)| ≤ kxk para todo q ∈ S ∗ , y puesto que la evaluación en x es una función continua sobre P , tenemos que |f (x)| ≤ kxk. Sean x, y, z tres puntos de X tales que z = αx + βy . Para cada  > 0, el conjunto N = {g ∈ P : |g(x)−f (x)| < , |g(y)−f (y)| < , |g(z)−f (z)| < } Es un subconjunto abierto de P que contiene a f . Puesto que f es un punto de clausura de S ∗ , podemos encontrar un g en S ∗ ∩N . Puesto que este g es lineal, tenemos g(z) = αf (x)+βg(y). De aquí se sigue que: |f (z) − αf (x) − βf (y)| < (1 + |α| + |β|)

Como esta desigualdad se cumple para todo  > 0, tenemos que f (z) = αf (x) + βg(y), y entonces f es lineal sobre X. Así, f está en S ∗ , y por tanto S ∗ es cerrado. 2 

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Unidad 3 Operadores compactos 3.1. Propiedades Básicas Denición 3.1 Sean X e Y espacios normados. Un operador T : X → Y es compacto o completamente continuo si es lineal y la imagen de todo conjunto acotado en X es relativamente compacto (tiene clausura compacta).

Lema 3.

Propiedades:

1. Todo operador compacto T : X → Y es acotado y por tanto continuo. 2. Si dim(X) = ∞, el operador identidad no es compacto.

Prueba 1. Puesto que S = {x ∈ X : kxk = 1} es acotado, T(S) es compacto y por tanto acotado. Así, kTk = sup kTxk < ∞. Por lo que T es acotado. kxk=1

2. La bola unitaria cerrada B = {x ∈ X : kxk ≤ 1} es acotada. Ahora, si dimX = ∞, B no puede ser compacto, así que I(B) = B = B, lo cual no es compacto. Por tanto, I : X → X no es un operador compacto. 2 

57

3.1. Propiedades Básicas

58

Teorema 3.2 Sea T : X → Y lineal. Son equivalentes los enunciados siguientes:

1. T es compacto 2. Dada cualquier sucesión {xn }n∈N acotada en X, la sucesión imagen {Txn } tiene alguna subsucesión convergente. 3. Dada cualquier sucesión {xn } ⊂ B(0, 1), {Txn } tiene alguna subsucesión convergente.

Prueba

1) -> 2) Si T es compacto y {xn } es acotada, la clausura de {Txn } es compacta. Por tanto {Txn } tiene una subsucesión convergente. 2) -> 3) Directamente a partir de 2), ya que {xn } es acotada por estar toda metida en B(0, 1) 3) -> 1) Sea M un subconjunto acotado de X y {yn } una sucesión arbitraria en T(M ). Entonces existe una sucesión {xn } en M tal que Txn = yn , ∀n. Por estar M acotado, {xn } es una sucesión acotada, por lo que existe un r > 0, tal que kxn k < r, ∀n

. −1 −1 −1 −1

Se tiene que r xn = r kxn k < r r = 1 ⇒ r xn < 1 Por hipótesis {T(r−1 xn )} tiene una subsucesión convergente, digamos {T(r−1 xnk )}. Puesto que Txnk = r T(r−1 xnk ) la subsucesión {Txnk } = {ynk } es convergente, por tanto T(M ) es |

{z

}

T es lineal relativamente compacto y así T(M ) es compacto. Así T lleva un conjunto acotado M a uno relativamente compacto T(M ); por tanto T : X → Y es compacto. 2 

Teorema 3.3 Sea T : X → Y lineal y dim(T(x)) < ∞. Entonces:

1. Si T es acotado y de rango nito, entonces T es compacto. 2. Si dimX < ∞, entonces T es compacto.

Prueba

1. Sea {xn } acotada en X. De la desigualdad kTxn k ≤ kTk ·kxn k se deduce que {Txn } es acotado. Ahora, por ser dimT(X) < ∞, {Txn } es relativamente compacto, de ahí, que {Txn } debe tener una subsucesión convergente por tanto T es compacto.

2. Recuerde dimT(x) ≤ dimX < ∞ (por algebra lineal). Por la parte (1) dimT(x) < ∞ indica que es de rango nito y por tanto T es compacto. 2 

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59

UNIDAD 3. OPERADORES COMPACTOS

Observación.

Todo operador compacto se puede descomponer en la suma de dos operadores, donde uno tiene rango nito y el otro tiene norma menor que cualquier número positivo. Teorema 3.4 El conjunto {T : X → X : T es lineal y compacto} es un subespacio L (X, X) ≡ L (X).

Prueba

Dados S, T operadores compactos y α, β ∈ K, consideremos una sucesión {xn } acotada en X. Por ser T compacto {Txn } tiene una subsucesión convergente, {Txnk }, si aplicamos S a {xnk }, entonces {Sxnk } tiene una subsucesión convergente {Sxnkj } por ser S compacto. Puesto que ambas subsucesiones {Txnkj } y {Sxnkj } son convergentes, entonces {α{Txnkj } + β{Sxnkj }} converge, {(αT + βS){xnkj }} converge. 2 

Teorema 3.5 Sea T : X → X un operador compacto y S : X → X un operador lineal y acotado. Entonces TS y ST son compactos.

Prueba

Sea B ⊂ X, B es acotado, entonces S(B) es acotado y T(S(B)) = TS(B) es relativamente compacto por ser T compacto; así TS lleva el conjunto acotado B a un conjunto relativamente compacto TS(B); por tanto TS es compacto. Ahora, sea {xn } una sucesión acotada en X. Entonces, por ser T compacto {Txn } tiene una subsucesión convergente, {Txnk }. Por otro lado, como S es acotado (continuo), S(Txnk ) converge. Así que si {xn } es acotada {STxn } tiene una subsucesión convergente {STxnk }; Por tanto ST es compacto. 2 

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3.1. Propiedades Básicas

60

Teorema 3.6 Sea {Tn } una sucesión de operadores lineales y compactos de X a Y, donde Y es un espacio de Banach y X es un espacio vectorial normado. Si {Tn } converge uniformemente, es decir, existe T tal que kTn − Tk → 0 cuando n → ∞; entonces T es compacto.

Prueba

Sea {xn } una sucesión acotada en X. Por ser T1 compacto, existe una subsucesión, digamos {x1n } tal que {T1 x1n } es convergente. Asi mismo por ser T2 compacto, existe una subsucesión {x2n } de {x1n } tal que {T2 x2n } es convergente; así sucesivamente, existirá una subsucesión {xmn } de de {xm−1 n } tal que {Tm xmn } es convergente. Por el método de la diagonal, la sucesión {Tm xmn } es convergente. Si elegimos la subsucesión diagonal {yn } = {xnn } ∀n, entonces {Tn yn } es convergente, por ser {yn } una subsucesión acotada existe c > 0 tal que kyn k ≤ c ∀n. Ahora, puesto que {Tn } converge uniformemente, se deduce que ∀ > 0 existe N1 tal que kTn − Tk <  siempre que n ≥ N1 . Ahora, puesto que {Tn yn } converge, {Tk yj } con k > j también es convergente. Eso quiere decir que ∀ > 0, existe N2 tal que Tp yk − Tp yj <  siempre que k, j ≥ N2 (por la denición de límites). Entonces:



Tyj − Tyk = Tyj + (−Tp yj + Tp yj ) + (−Tp ym + Tp ym ) − Tyk

= (Tyj − Tp yj ) + (Tp yj − Tp ym ) + (Tp ym − Tyk )



≤ Tyj − Tp yj ) + Tp yj − Tp ym + Tp ym − Tyk

Como convergencia uniforme implica convergencia fuerte, se tiene que:



Tyj − Tyk <  +  +  =  ⇒ Tyj − Tyk <  ∀j, k ≥ M (max n) 3 3 3

La sucesión de las imágenes de las diagonales es convergente. Por tanto T debe ser compacto. T aplicado a una subsucesión de una sucesión acotada, si cualquiera es mayor que el otro, por ej si j > k entones {Tyk } converge entonces {Tyj } también converge. Entonces si {xn } es acotada entonces {Txn } tiene una subsucesión {Txnj } la cual converge, por tanto T es relativamente compacto. La clave fue demostrar la cercanía o convergencia de los elementos basado en las diagonales donde cada una era subsucesión convergente de la anterior. Nota.



Tyj − Tyk <  ∀j, k ≥ M (puede ser el máximo de los N)

Indica que {Tyj } es de Cauchy, pero cada Tyj ∈ Y, y por ser Y de Banach {Tyj } converge. Así T : X → Y es compacto. 2 

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UNIDAD 3. OPERADORES COMPACTOS

Ejemplo 11.

Sean x = (x1 , x2 , x3 , . . .) ∈ `2 , T : `2 → `2 , Tx = (x1 , x22 , x33 , . . .) Y sea {Tn } una sucesión de operadores Tn : `2 → `2 ∀n, denidos por: Tn x = (x1 , 

Como ∀x ∈ `2 :

kxk`2 = 

∞ X

x2 x3 xn , , . . . , , 0, 0, 0, . . .) 2 3 n

 12 |xk |2 , se puede ver que Tn es lineal mostrando que:

k=1

Tn (x + y) = Tn x + Tn y y que Tn (αx) = αTn x

y acotado mostrando que:   21 n n X X xk 2  xk 2 2  kTn xk = ( ) ⇒ kTn xk = 0. Ahora bien, puesto que {xn } converge débilmente, está acotada. Así que también estará acotada una subsucesión {xnk }. Esta subsucesión se elige como los xnk tales que Txnk = ynk . Por ser T compacto, la subsucesión {Txnk } = {ynk } tiene una subsucesión convergente (por ser conjunto relativamente compacto). Sea {˜ yj } la subsucesión de {ynk } que converge en Y. Pongamos y˜j → y˜. Puesto que {yn } converge débilmente (a y ), mientras que tiene una subsucesión {˜ yj } que converge fuertemente (a y˜), entonces los límites deben ser iguales y˜ = y . d



kyn − yk = yn + (−ynk + ynk ) − y = (yn − ynk ) + (ynk − y)



  ≤ yn − ynk + ynk − y) < + =  2 2 Por lo que {yn } es de Cauchy, y así {yn } converge a y (o y˜) fuertemente.

f En otras palabras yn → − y . Así que ynk − y < , ∀nk ≥ N , es decir, {yn } converge en la f

norma a y (yn → − y ).

Análisis Funcional I

2 

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63

UNIDAD 3. OPERADORES COMPACTOS

Teorema 3.8 Si T : X → Y es compacto, entones T∗ es también compacto.

Nota.

lo es.

En otras palabras, si un operador lineal y acotado es compacto entonces su adjunto también

3.2. Teoría Espectral 3.2.1. Introducción Esto surge debido a que se presenta la necesidad de resolver ecuaciones de la forma: (1) Ax = λx,

A : X → X, ∀λ ∈ K (R, C)

De (1) tenemos que Ax − λx = 0 ⇒ (A − λI)x = 0 ¾ tiene (A − λI) inverso en todo x? En general Ax = λx es un problema de valores propios en dimensión nita, donde A : Rn → Rn , λ se llama valor propio y x 6= 0 se llama vector propio. Denición 3.9 Decimos que λ ∈ C(R) es un punto regular de A : X → X, si existe Rλ (A) = (A − λT)−1 y es un operador acotado denido en un subconjunto denso en X.

Denición 3.10 El operador Rλ (A) = (A − λI)−1 se llama operador resolvente denido en A : X → X. El conjunto ρ(A) = {λ ∈ C(R) : λ es un punto regular de A} se llama conjunto resolvente de A.

Nota.

Se llama espectro de A al conjunto σ(A) = K\ρ(A) (el complemento de ρ(A) en C o R).

3.2.2. Clasicación del Espectro 1. Un punto λ ∈ C es un valor propio de A o pertenece al espectro puntual de A, λ ∈ σp (A) si no existe (A − λI)−1 . Cada valor de λ es un valor propio, y el vector correspondiente, se llama vector propio. 2. Un punto λ ∈ C(R) pertenece al espectro continuo de A, σc (A), si Rango (A − λI) es denso en X, (A − λI)−1 existe, pero no es acotado. 3. Un punto λ ∈ C(R) pertenece al espectro residual de A, σr (A), si (A − λI)−1 existe, pero está denido en un conjunto no denso en X. Análisis Funcional I

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3.2. Teoría Espectral

64

Nota.

C = ρ(A) ∪ σ(A) C = ρ(A) ∪ σp (A) ∪ σc (A) ∪ σr (A) Ejemplo 12.

Considere el operador A : R3 → R3 dado por: Sea x = (x1 , x2 , x3 ), entonces A(x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 , x3 , x2 ) ⇒ A(1, 0, 0) = (1, 0, 0) A(0, 1, 0) = (1, 0, 1) A(0, 0, 1) = (0, 1, 0)   1 0 0   ⇒ [A] = 1 0 1 (representación matricial del operador A) 0 1 0

Debemos buscar los valores propios de A ([A]). ([A] − λI)x = 0, ¾ λ ?, x 6= 0   1−λ 0 0   1 −λ 1 [A] − λI =  0 1 −λ   1−λ 0 0   1 −λ 1 = 0 ⇒ det  0 1 −λ ⇒ λ3 − λ2 − λ + 1 = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 1 son los valores propios de [A] y por tanto A. σp (A) = {−1, 1} Ejemplo 13.

2 2 Considere A : C[0,1] → C[0,1] dado por:

d2 ϕ Aϕ = 2 , dx

ϕ ∈ C 2 [0, 1]

Si ϕ(x) = sen cx, entonces: A(sen cx) =

d (c cos cx) = c2 sen cx dx

⇒ A(sen cx) = c2 sen cx Aϕ = c2 ϕ

Aquí ϕ es un vector propio y c2 es un valor propio para A. Análisis Funcional I

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UNIDAD 3. OPERADORES COMPACTOS

Ejemplo 14.

Considere A : C[0,1] → C[0,1] dado por: Ax(t) = µ(t)x(t), donde µ(t) es una función ja. Pero note que: (A − λI)x(t) = Ax(t) − λx(t) = µ(t)x(t) − λx(t) = (µ(t) − λ)x(t) ⇒ (A − λI)x(t) = (µ(t) − λ)x(t) ⇒ (A − λI)−1 (A − λI)x(t) = (A − λI)−1 (µ(t) − λ)x(t) ⇒ Ix(t) = (A − λI)−1 (µ(t) − λ)x(t) ⇒ x(t) = (µ(t) − λ)(A − λI)−1 x(t) ⇒

x(t) = (A − λI)−1 x(t) µ(t) − λ

El operador inverso existe pero no es acotado, porque en la medida que t corra de 0 a 1 algún valor de µ(t) − λ podría ser cero. Pudieran haber puntos de t en el intervalo [0, 1] que indenan al operador. Por ejemplo, si µ(t) = t ⇒ si t = λ entonces ocurriría una indenición. Los valores de λ que hacen que (A − λI)−1 no sea acotado constituyen el espectro continuo de A. Estos valores están obviamente en el intervalo [0, 1]. De esta manera: σc (A) = [0, 1], con el ejemplo de µ(t) = t Ejemplo 15.

Sea T : `2 → `2 (dimensión innita), el operador dado por: T(x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , x3 , . . .) (operador de traslación)

El operador inverso: T−1 (x1 , x2 , x3 , . . .) = (x2 , x3 , . . .) ⇒ T−1 = (T − 0I)−1 (para ponerlo en formato A − λI)

Note: el rango de T no es denso en `2 (por el primer cero que resulta de aplicar el operador a un elemento x = (x1 , x2 , x3 , . . .) de `2 ), por lo que el operador T−1 aún cuando existe no está denido sobre un conjunto denso en X = `2 . Así para λ = 0, (T − 0I)−1 existe, pero no está denido en un conjunto denso `2 . Así λ = 0 es del espectro residual de T, σr (T). Observación.

Vemos que si A : X → X es un operador lineal, acotado sobre el espacio normado X, entonces se presenta el problema de determinar x ∈ X tal que: Ax = λx,

λ ∈ K(C)

Esa expresión se puede poner como: (A − λI)x = 0

La pregunta es si esa ecuación tiene solución diferente de cero. Si (A − λI)−1 no existe, la ecuación tiene solución diferente de cero y los valores λ para los cuales esto ocurre se llaman valores propios de A. Análisis Funcional I

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3.2. Teoría Espectral

66

Aquellos valores de λ para los cuales (A − λI)−1 existe, pero no es acotado, se dice que pertenecen al espectro continuo de A. Aquellos valores de λ para los cuales (A − λI)−1 existe, pero no está denido en un conjunto denso en X, se dice que pertenecen al espectro residual. Los otros valores de λ para los cuales (A − λI)−1 existe, es acotado y está denido en un conjunto denso de X, se dice que pertenecen al conjunto resolvente de A. Observación.

1. Vectores propios correspondientes a valores propios distintos, son linealmente independientes. 2. Si X es de Banach, T : X → X es lineal y λ ∈ ρ(T) y si T es cerrado o acotado, entonces el operador resolvente, Rλ (T) está denido en todo X y es acotado. 3. Si T es un operador lineal sobre X (espacio vectorial normado), es decir T ∈ L (X) y λ, µ ∈ ρ(T). Entonces: a) Rµ − Rλ = (µ − λ)Rµ Rλ b) Rλ S = SRλ , ∀S ∈ L (X) y con ST = TS c) Rλ Rµ = Rµ Rλ

4. σ(T) = σ(T∗ ) 5. Si T ∈ L (X) y el polinomio P (λ) = an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 Entonces P (σ(T)) = σ(P (T)) = σ(an Tn + an−1 Tn−1 + . . . + a1 T + a0 I) (donde Tn signica componer el operador T consigo mismo n veces). Esto se cumple no solo para funciones en forma de polinomios sino para cualquier función uniformemente continua. 6. El espectro σ(T) de un operador T ∈ L (X), donde X es de Banach complejo, es un conjunto cerrado. Si el espectro es cerrado, entonces el complemento del espectro, que es el resolvente es abierto. 7. Si T es un operador lineal de X a X, es decir T ∈ L (X), entonces σ(T) 6= ∅ 8. El espectro σ(T) de T ∈ L (X) es compacto y está contenido en la bola cerrada B(0,kTk) fuera del espectro tenemos el conjunto resolvente.

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Unidad 4 Espacios de Hilbert Denición 4.1 Sea X un espacio vectorial sobre un campo K(C, R), digamos que es sobre C. Un producto interior sobre X es una función h, i : X × X → C, y cumple las propiedades siguientes:

1. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, 2. hαx, yi = αhx, yi, 3. hx, yi = hy, xi,

∀x, y, z ∈ X

∀x, y ∈ X, α ∈ C

∀x, y ∈ X

4. hx, xi ≥ 0, hx, xi = 0, si y solo si x = 0

Denición 4.2 Un espacio con producto interior es un espacio vectorial X sobre el cual se ha denido un producto interior.

Observación.

Considere la función k·k : X → R denida por kxk = hx, xi. Esta función se dice que es una norma (se puede vericar) que proviene del producto interior. p

Lema 4. Sea X un espacio con producto interior, entonces para todo x, y ∈ X se cumple la desigualdad:

|hx, yi| ≤ kxk ·kyk Cauchy-Schwarz

67

68

Prueba

Note que la desigualdad se cumple si x = 0 o y = 0. Supongamos que x 6= 0 y y 6= 0. Entonces, ∀α ∈ C, se tiene que: 0 ≤ kx − αyk2 = hx − αy, x − αyi = hx, x − αyi − hαy, x − αyi = hx − αy, xi − hαx − αy, yi = hx, xi − αhy, xi − αhx, yi − αhy, yi = hx, xi − αhx, yi − α[hy, xi − αhy, yi] ⇒ 0 ≤ hx, xi − αhx, yi − α[hy, xi − αhy, yi]

Esto debe cumplirse para todo α. Así que, en particular, debe cumplirse para α = ⇒ 0 ≤ hx, xi −

hy,xi hy,yi

hx, yi hx, yi hx, yi  hx, yi − [hy, xi − hy,yi]   hy, yi hy, yi hy, yi 

⇒ 0 ≤ hx, xi − ⇒ 0 ≤ hx, xi −

hx, yi2 hx, yihy, xi hx, yi2 − + hy, yi hy, yi hy, yi

|hx, yi|2 ⇒ 0 ≤ hy, yihx, xi − |hx, yi|2 hy, yi

⇒ |hx, yi|2 ≤ hy, yihx, xi = kyk2 kxk2 |hx, yi| ≤ kxk ·kyk

∴

2  Observación.

Sea k·k : X → R dada por kxk =

p hx, xi, es una norma sobre X, espacio con producto interior.

1. kxk ≥ 0 y kxk = 0 si y solo si x = 0 kxk2 = hx, xi ≥ 0 y que hx, xi = 0 si y solo si x = 0 2. kαxk = |α| ·kxk kαxk =

p p p hαx, αxi = |α|2 hx, xi = |α| · hx, xi = |α| ·kxk ⇒ kαxk = |α| ·kxk

3. kx + yk ≤ kxk +kyk kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, x + yi + hy, x + yi = hx + y, xi + hx + y, yi = hx, xi + hy, xi + hx, yi + hy, yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi = kxk2 + 2Rehx, yi +kyk2 ≤ kxk2 + 2|hx, yi| +kyk2 ≤ kxk2 + 2kxk ·kyk +kyk2 = (kxk +kyk)2 ⇒ kx + yk2 ≤ (kxk +kyk)2 ∴

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kx + yk ≤ kxk +kyk

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UNIDAD 4. ESPACIOS DE HILBERT

Observación.

Sabemos que toda norma induce una métrica vía: d(x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ X Así que la norma del producto interior induce una métrica sobre el espacio con producto interior: d(x, y) = kx − yk =

p hx − y, x − yi

Esto nos provee de una topología con la cual podemos hablar de abiertos, cerrados, continuidad, convergencia, etc. Denición 4.3 Un espacio con producto interior, el cual es completo con respecto a la norma inducida por el producto interior, se llama un Espacio de Hilbert.

Nota.

Las propiedades del producto interior nos permiten obtener las relaciones siguientes:

1. hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi,

∀x, y, z ∈ X, α, β ∈ C

2. hx, αyi = hαy, xi = αhy, xi = αhx, yi,

∀x, y ∈ X, α ∈ C

3. hx, αy + βzi = hαy + βz, xi = hαy, xi + hβz, xi = hαy, xi + hβz, xi = αhx, yi + βhx, zi

Vimos que un espacio de Hilbert es un espacio con producto interior y completo en la norma kxk =

p hx, xi

Denición 4.4 Si H es un espacio con producto interior, entonces decimos que x, y ∈ H son ortogonales si ocurre que hx, yi = 0, se dice que x⊥y .

Teorema 4.5 Ley del Paralelogramo Si H es un espacio con producto interior, entonces ∀x, y ∈ H se cumple que: kx + yk2 +kx − yk2 = 2(kxk2 +kyk2 )

Esto se llama la ley del paralelogramo.

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Prueba kx + yk2 +kx − yk2 = hx + y, x + yi + hx − y, x − yi = (hx + y, xi + hx + y, yi) + (hx − y, xi − hx − yyi)     = [(hx, xi +  hy,xi) + ( hx,yi + hy, yi)] + [(hx, xi −  hy,xi) − ( hx,yi − hy, yi)]

= hx, xi + hy, yi + hx, xi + hy, yi = 2hx, xi + 2hy, yi = 2kxk2 + 2kyk2 kx + yk2 +kx − yk2 = 2(kxk2 +kyk2 )

∴

2 

Teorema 4.6 Sea H un espacio con producto interior. Si {xn } y {yn } son sucesiones en H tales que existen x, y ∈ H con xn → x y yn → y , entonces hxn , yn i → hx, yi es decir, el producto interior es una función continua.

Prueba

Debemos probar que |hxn , yn i − hx, yi| → 0 cuando n → ∞. |hxn , yn i − hx, yi| = |hxn , yn i − hxn , yi + hxn , yi − hx, yi| = |hxn , yn − yi + hxn − x, yi| :0  :0  ≤ kxn k · ky − xk ·kyk → 0 (n → ∞) n − yk + kx n  

⇒ |hxn , yn i − hx, yi| → 0 (n → ∞) ⇒ |hxn , yn i → hx, yi| (n → ∞)

Así que h, i : H × H → R es continua.

2 

Si H es un espacio con producto interior y si A es un subconjunto de H tal que x ∈ H (jo), hx, ai = 0, ∀a ∈ A, entonces decimos que x es ortogonal a A y escribimos x ⊥ A.

Nota.

(Teorema de Pitágoras en Espacios de Hilbert). Si x ⊥ y , entonces: Observación

kx + yk2 = kxk2 +kyk2

*0  *0    hx + y, x + yi = hx, x + yi + hy, x + yi = hx, xi +  hx,yi + hy,xi + hy, yi

= hx, xi + hy, yi = kxk2 +kyk2

Es decir, kx + yk2 = kxk2 +kyk2

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UNIDAD 4. ESPACIOS DE HILBERT

Teorema 4.7 Sea H un espacio de Hilbert y Y un subespacio de H. Entonces:

1. Y es completo si y solo si Y es cerrado en H. 2. Si Y es de dimensión nita, entonces Y es completo. 3. Si H es separable, así lo es Y. Más aún, todo subconjunto de un espacio con producto interior separable, es separable.

Nota.

Los espacios de Hilbert son de Banach, ya estudiados.

Denición 4.8 Dados dos vectores x, y de un espacio vectorial V, el segmento que une estos dos puntos se dene como z = αx + (1 − α)y, 0 ≤ α ≤ 1.

Denición 4.9 Un conjunto A se dice ser convexo, si para dos puntos cualesquiera, el segmento de recta que los une está todo en A, es decir, si x, y ∈ A y 0 ≤ α ≤ 1, entonces z = αx + (1 − α)y ∈ A.

Teorema 4.10 Sea H un espacio con producto interior y A 6= ∅, un subconjunto convexo de H entonces para cada x ∈ H, es decir, jando el x primero, existe un único y ∈ A tal que: δ = inf kx − yk = kx − yk y∈A

Nota.

Los espacios Lp son de Banach, pero el único que es de Hilbert es L2

Ejemplo 16.

Espacios de Hilbert: 1. El espacio euclídeo Rn , con el producto interior: hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn , donde x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) q ⇒ hx, xi = x21 + x22 + . . . + x2n 1 2

2. El espacio unitario, Cn , con el producto interior: hz, ξi = z1 ξ1 + z2 ξ2 + . . . + zn ξn , donde z = (z1 , z2 , . . . , zn ), ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) Note que: C2 = C × C y si (z, ξ) ∈ C2 ⇒ z = (a + bi) ∈ C y ξ = (c + di) ∈ C ⇒ C2 ≈ (a, b, c, d) ∈ R4 , por lo que C2 es isomórfo a R4 . p √ 1 En este caso, hz, zi 2 = kzk = z1 z1 + z2 z2 + . . . + zn zn = |z1 |2 + |z2 |2 + . . . + |zn |2 Análisis Funcional I

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3. El espacio L2 [a,b] (conjunto de la clase de funciones cuyo cuadrado es integrable en el intervalo real cerrado [a, b] ), con el producto interior hx, yi =

Z

b

x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a,b] (si L2 se

a

toma como espacio vectorial en C, sino no hace falta colocarlo así). ! 21

b

Z kxk = hx, xi =

|x(t)|2 dt

=

x(t)x(t)dt

! 21

b

Z a

a

También se puede usar L2 sobre un conjunto más general, digamos Ω ⊂ Rn , en vez de [a, b]: L2 (Ω) = {f : Ω → R}  12

Z hf, gi =

f (x)g(x)dx Ω

 12

Z hf, f i = kf k =

f (x)f (x)dx

Z =

 12 |f (x)|2 dx

Ω

Ω

4. El espacio `2 , con el producto interior: hx, yi =

∞ X

xk y k

k=1

Con x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .), y = (y1 , y2 , . . . , yn , . . .)  hx, xi = kxk = 

∞ X

 12  ∞ X |xk |2  xk xk  =   12

k=1

k=1

Denición 4.11 Un espacio vectorial X se dice ser la suma directa de los subespacios Y, Z, es decir X = Y ⊕Z, si cada elemento x ∈ X se puede escribir de la forma única x = y + z , donde y ∈ Y y z ∈ Z.

Nota.

El subespacio Y se llama Complemento Algebráico de Z y recíprocamente.

Tenemos interés en representar un Espacio de Hilbert como la suma directa de un subespacio Y, cerrado, y lo que se llama el complemento de Y, Y⊥ = {z ∈ H : z ⊥ Y} Nota.

Se puede probar que si Y es un subespacio cerrado de H y Y⊥ es su complemento ortogonal, entonces:

Nota.

H = Y ⊕ Y⊥

Si x ∈ X, entones x = y + y ⊥ Si tenemos esa descomposición de H, entonces podemos denir un operador P : H → Y, dado por: P (x) = y,

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x∈H

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UNIDAD 4. ESPACIOS DE HILBERT

Así mismo:

P1 : H → Y ⊥ ,

P1 (x) = y ⊥ , x ∈ H

Si y ∈ Y ⊂ H, entonces P (y) = y Entonces, si x ∈ H (x = y + y ⊥ ) P (x) = y ⇒ P (P (x)) = P (y) ⇒ P 2 (x) = P (y) = P (x) ⇒ P 2 = P

P (x) kyk = sup 0) (c > 0)

para todo x, y ∈ H. Entonces, para toda funcional lineal acotada x∗ ∈ H existe un punto único z ∈ H tal que x∗ (x) = h(x, z) ∀x ∈ H. Teorema 4.15 de Lax-Milgram Sean H1 , H2 espacios de Hilbert y h : H1 × H2 → K una forma sesquilineal acotada. Entonces h tiene una representación h(x, y) = hSx, yi donde S : H1 → H2 es un operador lineal y acotado. S está únicamente determinado por h y tiene por norma kSk = khk.

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UNIDAD 4. ESPACIOS DE HILBERT

Prueba Notemos que h(x, y) es lineal en y . Fijemos x, entonces el teorema de Riesz nos asegura que para cada y , existe z tal que h(x, y) = hy, zi, por tanto, h(x, y) = hz, yi, y el elemento z es único, pero depende del elemento jo x ∈ H. Esto signica la existencia de un operador S : H1 → H2 , dado por por z = Sx, así que si cambiamos z por Sx, tenemos que: h(x, y) = hSx, yi

El operador S : H1 → H2 debe ser lineal, es decir: S(αx1 + βx2 ) = αSx1 + βSx2 La denición de S nos dice que: hS(αx1 + βx2 ), yi = h(αx1 + βx2 , y) = αh(x1 , y) + βh(x2 , y) = αhSx1 , yi + βhSx2 , yi = hαSx1 , yi + hβSx2 , yi = hαSx + βSx2 , yi ⇒ S(αx1 + βx2 ) = αSx1 + βSx2

∴

S : H1 → H2 es lineal.

Veamos si S es acotado: 1

kSxk
2

|hSx, yi| |hSx, Sxi| ≥ sup = sup  kxk6=0 kxk ·kSxk kxk6=0 kxk · kSxk kxk6=0 kxk ·kyk 

khk = sup

kyk6=0

kyk6=0

kSxk = kSk kxk6=0 kxk

⇒ khk ≥ sup

kyk6=0

∴

khk ≥ kSk (∗)

Así, puesto que khk < ∞, se tiene que kSk < ∞, es decir, S es acotado. Por otro lado:  kSxk · kyk |hSx, yi|  ≤ sup  kxk6=0 kxk · kyk kxk6=0 kxk ·kyk 

khk = sup

kyk6=0

kyk6=0

kSxk = kSk kxk6=0 kxk

⇒ khk ≤ sup

∴

khk ≤ kSk (∗∗)

Así que por (*) y (*) nos dice que khk = kSk. Asumamos que existe otro operador T : H1 → H2 tal que ∀x ∈ H1 y y ∈ H2 , se tenga: h(x, y) = hSx, yi = hTx, yi

Así que hSx, yi − hTx, yi = 0 ⇒ hSx − Tx, yi = 0 ⇒ Sx − Tx = 0 ⇒ Sx = Tx, ∀x ∈ H ⇒ S = T 2 

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4.2. Operador Autoadjunto

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4.2. Operador Autoadjunto Denición 4.16 Sea T : H1 → H2 un operador lineal y acotado, donde H1 , H2 son espacios de Hilbert. Entonces el operador adjunto a T, T∗ , es el operador: T∗ : H2 → H1

y es tal que ∀x ∈ H1 , y ∈ H2 , hTx, yi = hx, T∗ yi

Teorema 4.17 El operador T∗ , adjunto a T existe, es único y es un operador lineal acotado, si T es lineal acotado, con norma kTk = kT∗ k

Teorema 4.18 Sean H1 , H2 espacios de Hilbert, S : H1 → H2 y T : H1 → H2 son operadores lineales acotados y α un escalar cualquiera. Entonces se tiene:

(i) hT∗ y, xi = hy, Txi (ii) (S + T)∗ = S ∗ + T∗ (iii) (αT∗ ) = αT∗ (iv) (T∗ )∗ = T (v) kT∗ Tk = kTT∗ k = kTk2 (vi) T∗ T = 0 si y solo si T = 0 (vii) Si H1 = H2 = H,

(ST)∗ = T∗ S ∗

Observación.

Un operador lineal acotado T : H → H sobre un espacio de Hilbert H, se dice ser: (i) Autoadjunto o Hermítico si T∗ = T (ii) Unitario si T es biyectivo y T∗ = T−1 (iii) Normal si TT∗ = T∗ T

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UNIDAD 4. ESPACIOS DE HILBERT

Teorema 4.19 Sea T : H → H un operador acotado sobre un espacio de Hilbert H. Entonces:

(i) Si T es autoadjunto entonces hTx, xi es un número real, ∀x ∈ H (ii) Si H es complejo y hTx, xi es real, ∀x ∈ H, el operador T es autoadjunto

Prueba

(i) Si T es autoadjunto, entonces ∀x ∈ H, hTx, xi = hx, Txi = hTx, xi ⇒ hTx, xi = hTx, xi ⇒ hTx, xi ∈ R

(ii) Si hTx, xi ∈ R, ∀x ∈ H, entonces: hTx, xi = hTx, xi = hx, T∗ xi = hx, T∗ xi ⇒ hTx, xi = hx, T∗ xi ⇒ hTx, xi − hx, T∗ xi = 0 ⇒ hTx, xi − hT∗ x, xi = 0 ⇒ hTx − T∗ x, xi = 0 ⇒ Tx − T∗ x = 0 ⇒ Tx = T∗ x, ∀x ∈ H ∴

T = T∗

Es decir, T es autoadjunto. 2 

Teorema 4.20 El producto o composición de dos operadores lineales, acotados y autoadjuntos S y T sobre un espacio de Hilbert H es autoadjunto si y solo si los operadores conmutan, es decir, si y solo si ST = TS .

Prueba

Supongamos que ST = TS . Entonces TS = T∗ S ∗ = (ST)∗ Pero ST = TS , así que TS = (ST)∗ = (TS)∗ ⇒ TS = (TS)∗ ⇒ TS es autoadjunto. Lo mismo con ST Supongamos que ST es autoadjunto: Entonces ST = (ST)∗ = T∗ S ∗ = TS ⇒ ST = TS conmutan.

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2 

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4.2. Operador Autoadjunto

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Teorema 4.21 Sea {Tn } una sucesión de operadores lineales, acotados y autoadjuntos sobre un espacio de Hilbert H. Supongamos que {Tn } converge, digamos Tn → T en la norma de operadores, es decir, kTn − Tk → 0 cuando n → ∞, entonces el operador límite, T, es un operador lineal acotado y autoadjunto sobre H.

Prueba

Sabemos de la teoría de operadores en espacio de Banach que el límite uniforme de operadores lineales y acotados, es un operador lineal y acotado. Nos queda probar que T es autoadjunto. Debemos probar que T∗ = T. Ahora, kTn ∗ − Tk = (Tn − T)∗ = kTn − Tk Por otro lado,

kT − T∗ k = T − T∗ + (Tn − Tn ) + (Tn ∗ − Tn ∗ )

= (T − Tn ) + (Tn − Tn ∗ ) + (Tn ∗ − T∗ ) ≤ kT − Tn k +kTn − Tn ∗ k +kTn ∗ − T∗ k

: 0  

(Tn − T)∗  = kT − Tn k + kT − T k +  n n  = kT − Tn k +kT − Tn k

Así que:

kT − T∗ k ≤ 2kT − Tn k

Tomando límite cuando n → ∞: ⇒ kT − T∗ k = 0 ⇒ T − T∗ = 0 ⇒ T = T∗

Es decir T es autoadjunto.

2 

Teorema 4.22 Sea H un espacio de Hilbert y U : H → H y V : H → H operadores unitarios. Entonces:

(i) U es isométrico, es decir kUxk = kxk , ∀x ∈ H (ii) kUk = 1 siempre que H 6= {0} (iii) U−1 es unitario (iv) UV es unitario (v) V es normal (vi) Un operador lineal y acotado T sobre un espacio de Hilbert complejo H, es unitario si y solo si T es isométrico y sobreyectivo.

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Bilbliografía recomendada 0. Friedman, Avner. Foundations of Modern Analysis. 1. Rudin, Walter. Análisis Funcional. 2. Reed, Michael and Simon, Barry. Functional Analysis - Methods of Modern Mathematical Physics. 3. Bachman, George and Narici, Lawrence. Functional Analysis. 4. Kolmogorov, A. y Fomin, S. Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional.

83

Prácticas PRÁCTICA No 0 1. Sea d una métrica sobre X. Determine los valores de k para los cuales i) k.d y ii) d + k son métricas sobre X. 2. Determine si la función d : R × R → R denida por d(x, y) = |x2 − y 2 | es una métrica sobre R. Si no lo es, entonces diga si existe un subconjunto de R en el cual sí lo sea. 3. Sea (X, d) un espacio métrico cualquiera. Pruebe que la función D : X × X → R denida por D(x, y) =

d(x, y) es también una métrica sobre X. 1 + d(x, y)

4. Pruebe que la clausura B(x0 , t) de una bola abierta B(x0 , t) en un espacio métrico puede ser distinta de la bola cerrada B(x0 , t). 5. Pruebe que un espacio métrico X es separable si y solo si existe Y ⊂ X numerable tal que ∀ > 0, ∀x ∈ X, existe y ∈ Y tal que d(x, y) < . 6. Si d1 y d2 son métricas equivalentes sobre X, pruebe que las sucesiones de Cauchy en (X, d1 ) y (X, d2 ) son las mismas. 7. Sea f : R → R una función estrictamente creciente. Pruebe que la función: D(x, y) = |f (x) − f (y)| es una métrica sobre R, pero D no es equivalente a | · |. 8. Sea M ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones con un número nito de términos no nulos. Pruebe que M no es completo. 9. Pruebe que todo espacio con la métrica discreta es completo. 10. Si (X1 , d1 ) y (X2 , d2 ) son espacios métricos isométricos, y si (X1 , d1 ) es completo; pruebe que (X2 , d2 ) también es completo.

84

PRÁCTICA No 1 1. Si `∞ = {x = (x1 , x2 , . . .) : xn ∈ C, kxk∞ = sup |xn | < ∞}, el espacio de todas las sucesiones n∈N

innitas, complejas y acotadas. Pruebe que (`∞ ,k·k∞ ) es un espacio vectorial normado y completo. 2. Sea C0 = {x = (x1 , x2 , . . .) : xn ∈ C, xn → 0, cuando n → ∞}, el espacio de todas las sucesiones innitas y complejas que convergen a cero. Pruebe que C0 es un espacio cerrado de `∞ (en la norma k·k∞ del ejercicio anterior). 3. Sea 0 < p < ∞, y dena `p = {x = (x1 , x2 , . . .) : xn ∈ C, kxkp =

∞ X

! p1 |xn |p

< ∞},

n=1

a) Pruebe que `p es un espacio vectorial normado; b) ¾ Es (`p ,kxkp ) un espacio vectorial normado con 1 ≤ p < ∞? 4. Sea 1 < p < ∞ y

1 p

+

1 q

= 1,

a ) Pruebe que para números cualesquiera x, y ≥ 0, se tiene x·y ≤

xp y q + p q

(Desigualdad de Young)

b ) Pruebe que si x1 , x2 , . . . , xk ∈ C y y1 , y2 , . . . , yk ∈ C entonces: 1) |

k X

 xj · y j | ≤ 

j=1

k X

 p1   1q k X |xj |p  ·  |yj |p 

j=1

(Desigualdad de Holder)

j=1

2) 

k X

 j=1

 p1



|xj + yj |p  ≤ 

k X j=1

 p1  |xj |p  +

k X

 p1 | + yj |p 

(Desigualdad de Minkowski)

j=1

85

5. Sea | · | la distancia euclídea usual en R. Dena d(x, y) =

|x − y| , x, y ∈ R 1 + |x − y|

a ) Pruebe que d dene una métrica en R. b ) Pruebe que las dos métricas denidas por |·| y d producen los mismos conjuntos abiertos. 6. ¾ Cuáles condiciones debe satisfacer una función continua u = f (v) denida sobre R para que en la recta real se pueda dar una métrica por medio de la igualdad d(x, y) = |f (x) − f (y)|? ¾ Es R completo con esta métrica? 7. En un conjunto X de todas las posibles sucesiones de números reales, denotemos, para los elementos x = (x1 , x2 , . . . , xk , . . .) y y = (y1 , y2 , . . . , yk , . . .), mediante k0 (x, y) el índice mínimo para el cual xk 6= yk . Demostrar que:

a) d(x, y) =

  0,     

1 , k0 (x, y)

para para

x=y

es una métrica en X x 6= y

b ) Si en X dos bolas tienen un punto en común, una de ellas comprende a la otra. 8. Pruebe que un subespacio cerrado F de un espacio métrico completo X es completo. 9. Pruebe que f (x) =

2x − 1 , x ∈ (0, 1), es un homeomorsmo de (0, 1) en R x(x − 1)

10. Pruebe que en un espacio métrico X

a ) Una sucesión convergente tiene un único punto límite. b ) Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. c ) Si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, entonces la sucesión completa es convergente.

86

PRÁCTICA No 2 1. Demostrar que el conjunto Lp [a,b] es normado, si ∀x ∈ Lp [a,b] , kxk =

Z

b

! p1 |x(t)|p dt

, 1≤p 0 es un número real. d

el operador de derivada sobre el espacio P de polinomios en una variable real t. 7. Sea D = dt Suponga que la transformación T está denida sobre P por T p(t) = t · p(t), para cualquier p(t) ∈ P . Pruebe que DT = TD + I 8. Sean X, Y espacios de Banach, An , A ∈ L (X, Y), n ∈ N y An → A cuando n → ∞ fuertemente sobre un subespacio de X (DAn ⊂ X). ¾ Se desprende de esto que An → A, cuando n → ∞ fuertemente? 88

9. Sean X, Y espacios normados, An ∈ L (X, Y), n ∈ N y An → 0 fuertemente cuando n → ∞. ¾ Se desprende de aquí que An → 0 cuando n → ∞ según la norma del espacio L (X, Y)? 10. Sean X, Y espacios normados, xn , x ∈ X con xn → x cuando n → ∞. An , A ∈ L (X, Y) con An → A cuando n → ∞. Demostrar que An xn → Ax cuando n → ∞

89

PRÁCTICA No 4 1. Pruebe que los operadores:

a ) A : C[0,1] → C[0,1] , dado por Ax(t) =

t

Z

x(τ )dτ 0

b) A : L

2

[0,1]

2

→L

[0,1]

, dado por Ax(t) =

Z

t

x(τ )dτ 0

c ) A : C[0,1] → C[0,1] , dado por Ax(t) = t2 x(0) son lineales y acotados. Halle sus normas. 2. Pruebe que el núcleo de un operador lineal acotado T : X → Y es un subespacio vectorial del espacio X. 3. Sean X, Y espacios de Banach; An , A ∈ L (X, Y); y An → A fuertemente sobre un subespacio de X (DAn ⊂ X). ¾ Se desprende de esto que An → A en la norma de operadores? 4. Sean X, Y espacios normados, An ∈ L (X, Y), y An → 0 fuertemente. ¾ Se desprende de aquí que An → 0 en la norma L (X, Y)? 5. Sea X un espacio vectorial; A : X → X un operador lineal que satisface la relación I + λ1 A + λ2 A2 + . . . + λn An = 0 para ciertos λi ∈ R. Pruebe que el operador A−1 existe. 6. Sea X un espacio vectorial; A, B : X → X operadores con D(A) = D(B) = X que satisfacen las relaciones AB + A + I = 0 y BA + A + I = 0. Pruebe que el operador A−1 existe. 7. Pruebe que un operador lineal acotado A : X → Y es cerrado si y solo si D(A) es cerrado en X

8. Sea A : X → Y un operador lineal acotado, y también R(A) = Y y el operador A−1 existe. Pruebe que A−1 es lineal. 9. Pruebe que las siguientes funcionales son lineales y continuas. Halle sus normas:

a ) f (x) =

Z

b ) f (x) =

Z

1

t x(t) dt, x ∈ L1 [−1,1]

−1 1

1

t− 3 dt, x ∈ L2 [0,1]

0

c ) f (x) = x1 + x2 , x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `2 d ) f (x) = lim xn , x = (x1 , x2 , . . .) ∈ C n→∞

10. Sea X un espacio normado real, f una funcional lineal denida sobre X. Pruebe que f es continua si y solo para cualquier k ∈ R, los conjuntos: {x ∈ X : f (x) < k} y {x ∈ X : f (x) > k} son abiertos en el espacio X 11. Sea f una funcional lineal denida sobre un espacio normado X; además, para cualquier sucesión {xn } ⊂ X tal que xn → 0 para n → ∞, el conjunto {f (xn )} es acotado. Pruebe que f ∈ X∗ 90

12. Sea X un espacio de Banach, fn ∈ X∗ , y sean que para cualquier x ∈ X existe lim fn (x) = f (x). Pruebe que f ∈ X∗ . n→∞

13. Pruebe que si un espacio normado X es de dimensión nita, entonces el espacio X∗ también lo es. 14. Sea X un espacio normado; fn , f ∈ X∗ , y fn → f . Pruebe que fn → f débilmente−∗ 15. Sea X un espacio normado; xn ∈ X. Pruebe que la sucesión {xn } converge en X si y solo si {xn } converge débil y uniformemente en la bola {f ∈ X∗ : kf k ≤ 1} 16. Sea X un espacio de Banach y reexivo, con f ∈ X∗ . Pruebe que: existe x ∈ X, x 6= 0 tal que f (x) = kxk ·kf k 17. Pruebe que en un conjunto de un espacio de Banach, toda sucesión débilmente convergente, es débilmente de Cauchy. 18. Pruebe que un conjunto en un espacio de Banach es débilmente acotado si y solo si es acotado. 19. Sean X, Y espacios normados; α, β ∈ K, A, B ∈ L (X, Y). Pruebe que: (α A + β B)∗ = α A∗ + β B ∗

20. Halle el operador conjugado en cada caso: (i) Ax(t) =

Z

t

x(τ )dτ ; A : L2 [0,1] → L2 [0,1]

0

(ii) Ax(t) = t x(t); A : L2 [0,1] → L2 [0,1] (iii) Ax = (x1 , x2 , . . . , xn , 0, 0, . . .); A : `1 → `1 (iv) Ax(t) =

Z

(v) Ax(t) =

Z

1

t x(s)ds; A : L2 [0,1] → L2 [0,1]

0 1

t x(t)dt; A : L2 [0,1] → L2 [0,1]

0

(vi) Lo mismo que los anteriores pero `2 → `2 y C0 → C0

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PRÁCTICA No 4b 1. Probar que el espacio H = C[0,1] con el producto interior hx, yi =

Z

1

x(t) y(t) dt es un

0

pre-Hilbert espacio, es decir, es Espacio Vectorial con Producto Interno pero no es completo. 2. Sea H un espacio de Hilbert. Probar que si H contiene una sucesión ortonormal que es completa (todo elemento x ∈ X se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de la sucesión), entonces H es separable. 3. Si {Tn } es una sucesión de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert H y Tn → T, pruebe que Tn ∗ → T∗ 4. Si S y T son operadores lineales, acotados y autoadjuntos en un espacio de Hilbert, y α, β ∈ R; ˜ = αS + βT es autoadjunto. pruebe que T 5. Sea H un espacio vectorial y h una forma sesquilineal sobre H × H. Esta forma se dice ser positivapsemidenida si h(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ H. Pruebe que bajo estas condiciones ρ(x) = h(x, x) dene una semi-norma sobre H.

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