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• Carito Chunga Martinez

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1. APROXIMACION POLIMONIAL Si la información se representa mediante un polinomio pn(x) en un intervalo dado, nos referimos a APROXIMACION POLINOMIAL. Es la aproximación a una función dentro de un intervalo, por medio de una función simple.

Pn(X)= a0 a1x+a2x2+…+anxn 1.1 INTERPOLACION LINEAL La interpolación lineal es un caso particular de la interpolación general de Newton. Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, que se ajusta a los valores en los puntos X1 y X2. Se denota de la siguiente manera:

Dados dos puntos (Xk, yk) y (xk+1, yk+1), si se desea encontrar un valor de y para una x dada dentro de un intervalo, se utiliza la siguiente ecuacion:

Y despejando para y , tenemos

EJEMPLO Determinar la función lineal de interpolación que pasa por los puntos (-1 , 0) , (4 , 2) .

Interpola el valor a = 1 y extrapola el valor b = 5.

Tenemos los puntos: P(x0 , y0) = (-1 , 0)

Q(x1 , y1) = (4 , 2)

Obtenemos la función de interpolación lineal:

APLICACIÓN En un negocio recién abierto, la primera semana hubo 150 clientes que supusieron unos ingresos de 3600 euros, y la segunda semana 200 clientes que supusieron ingresos de 5600 euros. Lo primero es hallar la función de interpolación lineal para relacionar los ingresos (y) con el número de clientes (x). Tenemos dos parejas de datos clientes-ingresos (x, y): (150, 3600) y (200, 5600).

Si se desea saber cuántos ingresos generarían con 190 clientes b) Interpolando: f (190)=40⋅190−2400=5200 . 190 clientes supondrían unos ingresos de 5.200 €

1.2 INTERPOLACION LAGRANGE En algunas ocasiones, no se tiene una función continua, sino valores de la función específicos y(x) para una x dada. A estas funciones se les conoce como funciones tabulares, y son de la siguiente forma:

En la práctica tenemos como ejemplo los resultados de experimentos en un laboratorio, o el censo de la población cada 5 años.

La interpolación requiere el cálculo de los valores de una función y(x) para argumentos entre

en los cuales se conocen los valores

, en otras

palabras, interpolar es recuperar los valores de una función en puntos intermedios dada una tabla de valores de esta función.

Por ejemplo, a veces es imposible o muy costoso hacer experimentos de laboratorio para valores intermedios de x. También sería muy costoso hacer un censo de la población cada año, sin embargo, si tenemos el tamaño de la población en 1980, 1985 y 1990, podemos interpolar para obtener el tamaño de la población en 1983.

Para poder realizar una interpolación de Newton es necesario que los valores de las x dadas en la función tabular tengan un espaciamiento constante mientras que una interpolación de Lagrange se puede llevar a cabo sin importar si el espaciamiento es constante o variable.

La interpolación de polinomios de Lagrange es una reformulación del polinomio de Newton que evita el cálculo de la tabla de diferencias, el polinomio de Lagrange se expresa como:

Donde:

P es el símbolo de “multiplicatoria” y significa el producto de.

Por ejemplo, el polinomio de Lagrange de primer grado es:

Mientras que el polinomio de Lagrange de segundo grado es:

En este caso

es la

y la x es la

. Mientras más datos se tengan

en la tabla, se podrá usar un polinomio de mayor grado, lo que dará mejores resultados.

EJEMPLO

Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

Para solucionar el problemas deberemos aplicar la siguiente fórmula:

donde:

Sustituyendo, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

Simplificamos, y obtenemos:

Tras realizar las diferentes operaciones la ecuación resultante quedará de la siguiente forma: f(x) = -0,0739x3 + 0,3906x2 + 0,624x - 2,978

APLICACIÓN

Aunque el polinomio interpolador de Lagrange se emplea mayormente para interpolar funciones e implementar esto fácilmente en una computadora, también tiene otras aplicaciones en el campo del álgebra exacta, lo que ha hecho más célebre a este polinomio, por ejemplo, en el campo de los proyectores ortogonales:

Sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita E en el que definimos un producto escalar (no necesariamente el usual). Sea F un operador normal, tal que gracias al teorema

de la descomposición espectral es igual a

. Donde Pi son los proyectores

ortogonales λi y los autovectores de F asociados a cada proyector. Entonces:

Siendo I la matriz identidad.

Demostración: Haciendo uso de la descomposición espectral y aplicando las propiedades de los proyectores:

1.3 INTERPOLACIÓN DE NEWTON

Es un método de interpolación polinómica. Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este método es útil para situaciones que requieran un número bajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece el número de puntos, también lo hace el grado del polinomio.

Existen ciertas ventajas en el uso de este polinomio respecto al polinomio interpolador de Lagrange. Por ejemplo, si fuese necesario añadir algún nuevo punto o nodo a la función, tan sólo habría que calcular este último punto, dada la relación de recurrencia existente y demostrada anteriormente.

El polinomio de interpolación de Newton de forma hacia adelante se puede determinar asumiendo la siguiente forma:

Donde los coeficiente ck, k= 0,…, n se determinan al cumplir con las restricciones Pn(xi) = yi, i=0,…,n.

Los coeficientes ck se pueden calcular en términos de: 

Diferencias finitas hacia adelante



Diferencias finitas hacia atrás.



Diferencias centradas.

EJEMPLO

Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a continuación, e interpolar en el punto x = -1

xk

2

0

-2

yk

15

-1

-17

Sabemos que si tenemos los n+1 puntos (xi,yi), i=0… n, y queremos calcular el polinomio que interpola en dichos puntos utilizando la fórmula de Interpolación de Newton en diferencias divididas, hemos de usar: pn(x)= f[x0] + f[x0,x1](x−x0)+ f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+…+f[x0,x1, …,xn](x−x0)(x−x1)…(x−xn−1)

Calculamos entonces la tabla de diferencias divididas:

xk

yk

f[xk, xk+1]

2

15

0

-1

8

-2

-17

8

f[xk,xk+2]

0

donde se ha expresado por brevedad la diferencia dividida f[xk,xk+1,…,xk+p] como f[xk || xk+p]. La diagonal de la tabla de diferencias divididas, en color rojo, es entonces:

[15,8,0], que se corresponde exactamente con el conjunto de valores que aparece en la fórmula y por tanto, los polinomios de Newton son los siguientes: p0(x) = 15 (interpola en el primer punto) p1(x) = 8(x-2) + p0(x) = 8x−1 (interpola en todos los puntos) O también: p(x) = 15 +8(x−2) = 8x−1 Si se quiere interpolar en un punto concreto, lo mejor es tomar el polinomio de interpolación en su forma de Newton y reordenarlo al estilo Ruffini-Horner expresando el polinomio como: p(x) = 15 +(x−2) (8)

lo que supone realizar a lo sumo 2 sumas/restas y 1 multiplicaciones para interpolar en un punto x. Para interpolar entonces en x= −1, basta sustituir la x de la expresión reordenada anterior por su valor −1 para obtener p(−1) = −9.

APLICACIÓN

POLINOMIO DE TAYLOR

Llamaremos polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a , y lo denotaremos por Pn,a , al polinomio:

En la versión más sencilla podemos aproximar la función a estudiar por una constante. Es claramente mucho más fácil operar con un número (la constante) que con una función que puede ser complicada. Esta aproximación se usa mucho en las aplicaciones. Por ejemplo, la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la tierra se aproxima por la constante g = 9,8m/s2 (o a veces directamente g ≈ 10m/s2), por más que en realidad es una función que depende de la altura.

AJUSTE DE CURVAS El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).

AJUSTE DE LINEAS Y CURVAS POLINÓMICAS A PUNTOS Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado: Y = ax + b Esta línea tiene pendiente a. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera. Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste perfecto entre dos puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos: y = ax2+bx2 + c Esto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de tercer grado, obtenemos: Y = ax3 + bx2 + cx + d que se ajustará a cuatro puntos.

Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cada restricción puede ser un punto, un ángulo o una curvatura (que es el recíproco del radio, o 1/R). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. A menudo se usan condiciones finales idénticas para asegurar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una única spline. También se pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas, para entender las

fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables de velocidad. Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres puntos colineales). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cada aproximación. El método de mínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones. Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Existen varias: 

Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere decir necesariamente que podamos

encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada. 

Quizá prefiramos el efecto de promediar datos cuestionables en una muestra, en

lugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta. 

Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una

curva por los puntos A y B, esperaríamos que la curva pase también cerca del punto medio entre A y B. Esto puede no suceder con curvas polinómicas de grados altos, ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Con polinomios de grado bajo existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasará exactamente por ahí, en los de primer grado). 

Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los

polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con más precisión, el número máximo de puntos de inflexión de una curva polinómica es n-2, donde n es el orden de la ecuación polinómica. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Obsérvese que la "bulbosidad" de los polinomios de orden alto es sólo una posibilidad, ya que también pueden ser suaves, pero no existen

garantías, al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo, trece puntos de inflexión, pero podría tener también doce, once, o cualquier número hasta cero. Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto, comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dicho ajuste. Esto es malo por las razones comentadas anteriormente si los polinomios son de orden alto, pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de soluciones. Por ejemplo, un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un único punto, en lugar de los dos habituales, nos dará un número infinito de soluciones. Esto nos trae el problema de cómo comparar y escoger una solución única, lo que puede ser un problema tanto para humanos como para el software. Por esta razón es mejor escoger el polinomio de menor grado posible para obtener un ajuste exacto en todas las restricciones, y quizá incluso un grado menor si es aceptable una aproximación al ajuste.

EJEMPLO Los tiempos t empleados en descender crecientes alturas z por una pequeña esfera en un viscosímetro de Stokes se presentan en la Tabla a continuación.

Se muestra los datos experimentales medidos a partir del viscosímetro de Stokes. Obtener el mejor modelo matemático que ajusta a tales datos. Conocido el modelo con sus respectivos coeficientes, determinar sus correspondientes incertidumbres al nivel de confianza del 95%.

Solución Procedemos a elaborar una Tabla con los modelos matemáticos que mejor ajustan a los datos experimentales dados de la Tabla 1:

Se evidencia en la Tabla los modelos matemáticos aplicados a los datos de la la primera tabla Se puede observar en la Tabla 2 los modelos matemáticos que mejor ajustan a los datos experimentales de la Tabla 1. En la Tabla 2. se puede evidenciar el ajuste lineal como el candidato idóneo a los datos observados en la Tabla 1, es decir:

La gráfica a continuación ejemplifica el mejor modelo de ajuste a los datos experimentales con su respectiva línea de ajuste (Excel).

Para obtener las incertidumbres en los coeficientes B y A, se procede a calcular en una hoja de Excel dichas incertidumbres, tal como se muestra en la siguiente figura:

La Figura muestra los cálculos realizados para estimar las incertidumbres asociadas a los coeficientes B y A. Los resultados obtenidos en una hoja de cálculo Excel, permiten escribir la ecuación empírica del movimiento con sus respectivas incertidumbres, es decir: