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• Andres Rivera Higuera

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PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Problema: Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de x y ' ' +2 y ' =xy con y (1)=1 y en y ' (1)=0 .

1 2 2 3 x4 x5 x5 A. 1+ x+ x − x +9 −44 −5 … 2 3! 4! 5! 5! B. 1+ x+

1 2 4 3 x4 x5 x + x +10 −40 +… 2 3! 4! 5! 4

5

5

1 2 2 3 x x x C. 1+ x − x + 9 −44 −5 … 2 3! 4! 5! 5! 4 3 x4 x5 x5 D. 1+ x+ x − x + 9 −22 −15 … 3! 4! 5! 5! 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

x y ' ' +2 y ' =xy

Ecuación diferencial a resolver mediante el uso del teorema de Taylor

y ( 1 )=1 y ' ( 1 ) =0 n

f ( x )= ∑

k=0

f k ( x )∗( x−a ) k k!

1 y ' ' (1 )+2 y ' ( 1 ) =1 y ( 1 )

Enunciado del teorema de Taylor

y ' ' ( 1 ) +0=1

Conociendo el valor de las condiciones iniciales se puede calcular el valor de la segunda derivada

y ' ' ( 1 )=1

y ' ' (1)

y ' ' + x y ' ' ' + 2 y ' ' = y + xy '

Derivando implicitamente la ecuación diferencial

x y ' ' ' +3 y ' ' = y + xy '

y ' ' ' (1)+ 3 y' ' (1)= y (1)+ y ' (1) y ' ' ' ( 1 )+3=1

Se procede a calcular el valor de y ' ' ' (1)

y ' ' ' ( 1 )=−2 y ' ' ' + x y ( 4 )+3 y ' ' ' = y ' + y ' + x y ' ' ' ''

(4)

Se deriva nuevamente implicitamente

'

x y + 4 y =2 y + xy ' ' y ( 4) ( 1 )+ 4 y ' ' ' ( 1 )=2 y ' ( 1 ) + y ' ' ( 1 ) y ( 4) ( 1 )+ 4 (−2)=2(0)+1

Se procede a calcular el valor de y (4) (1)

y ( 4) ( 1 )=9 y ( 4) + x y( 5) +4 y (4 )=2 y ' ' + y ' ' + x y ' ' '

Se deriva nuevamente implicitamente

x y ( 5) +5 y (4 )=3 y ' ' + xy ' ' ' y (5 ) (1)+5 y ( 4) (1)=3 y ' ' (1)+ y ' ' '(1) y (5 ) ( 1 ) +5 ( 9 ) =3 (1 ) −2

Se procede a calcular el valor de y (5 ) (1)

y (5 ) ( 1 )=−44 f ( x )=

4 valor)5 de estos coeficientes ya y ( 1 ) y ' ( 1 ) ( x−1) y ' ' ( 1 )( x−1 )2 y ' ' ' ( 1 )( x−1 )3 y (4 ) ( x−1 )Con y (5el) ( x−1 + + + + + 1 1 2 6 24 se puede 120determinar la solución de la ecuación diferencial por medio de series de potencia

1 1 9 44 5 f ( x )=x + x 2− x 3+ x 4− x 2 3 24 120

La solución la muestra el literal C

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Situación problema: La ecuación diferencial que modela un circuito eléctrico RLC dispuesto en serie es: t

di 1 L + Ri + ∫ i ( τ ) dτ =E(t) dt c 0 Utilizando la transformada de Laplace encuentre i ( t ) ,si L=0.05 H ; R=1 Ω ; c=0.02 F y E ( t )=50 [ t 3 e−t ] V e i ( 0 )=0 EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Solución

Solución

1. Se reemplazan los valores

1. Se reemplazan los valores

t

0.005

di 1 +i+ ∫ i ( τ ) dτ=50 [ t 3 +e−t ] dt 0.02 0

t

0.05

di 1 +i+ ∫ i ( τ ) dτ=50 [ t 3 e−t ] dt 0.02 0

El valor de L se encuentra mal es 0.05 y el valor de E(t) se encuentra mal 2. Se divide por 0.005 t

di +200 i+ 1000∫ i ( τ ) dτ=10000 t 3−10000 e−t dt 0 . 3. A cada término se le halla la transformada de Laplace sI ( s ) +i ( 0 ) +200 I ( s ) +1000

I ( s ) 30000 10000 = 2 − s s−1 s

2. Se divide por 0.05 t

di +20 i+ 1000∫ i ( τ ) dτ=1000 t 3 e−t dt 0

Errores de división y de signos. 3. A cada término se le halla la transformada de Laplace sI ( s ) +i ( 0 ) +20 I ( s ) +1000

I ( s ) 6000 = s ( s+1 )4

Error en la transformada de Laplace

4. Se agrupan los términos de I(s) s2 +200 s +1000 3 1 ( ) I s =10000 2 − s s s−1

(

)

(

)

5. Se factoriza el numerador del lado izquierdo y se despeja I(s). Se reescribe el resultado para aplicar Transformada inversa.

I ( s) =

10000 s 3 1 − 2 2 s(s+ 100) s s−1

I ( s ) =10000

(

[

(

I ( s )∗

s2 +20 s +1000 6000 = s ( s+1 )4

)

5. Se factoriza el numerador del lado izquierdo y se despeja I(s). Se reescribe el resultado para aplicar Transformada inversa.

)

1 3 1 − + 2 2 (s +100) ( s+100 ) s−1

4. Se agrupan los términos de I(s)

]

6. Se aplica la transformada inversa para hallar i(t)

i ( t )=20000 [ t e−100t −3 ( t−1 ) e−100 (t−1 )−e−t ]

I ( s) =

6000 s ( s +20 s+1000 ) ( s+1 )4

I ( s) =

As+B C D E F + + + + 2 3 4 s +20 s+1000 s+ 1 ( s +1 ) ( s +1 ) ( s +1 ) 2

6. Se aplica la transformada inversa para hallar i(t) i ( t )=

Con esto se obtiene finalmente la corriente en función del tiempo.

2

16642000 −10t 56158000 −10 t e cos (30 t ) + e sin ( 30 t ) − 3811270347 11433811041

Con esto se obtiene finalmente la corriente en función del tiempo.