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Integrantes : Jennifer de la cruz Eliseo chavez quispe Henrry oliva muñoz Jhoan reyes rodriguez Aplicaciones de las matrices 1. El día del estreno de una película se vendieron 1200 entradas y se recaudó S/.16 000. Si los adultos pagaron S/. 15 y los niños S/. 10. ¿Cuál es el número de adultos y niños que asistieron al entreno de la película? x = niños y= adultos

x+y = 1200 15x+10y=16000

1 1 1200 15 10 1600

0 5 2000 15 10 1600

5y = 2000 Y= 400

N° de adultos

15x + 10y = 16000 15x + 10(400) = 16000 15x + 4000 = 16000 15x = 16000 - 4000 15x = 12000 N° de niños x= 800

2. Se dispone de dos mezclas diferentes de combustibles. Una de ellas contiene el 4% de alcohol y otra 12%. ¿Qué cantidad de cada mezcla tendría que usarse para obtener 20,000 litros de combustible que contenga 9% de alcohol?

x = alcohol A y = alcohol B

4x + 12y = 9(20000)

y =180000 {4 xx+12 + y =20 000 y=45000 ( xx+3+ y=20000 )

3f2 – f1

( 1x 3y|45000 20000 )

(12 30|45000 15000 ) x + 3y = 45000

2x = 15000 2x = 15000 x = 7500

Cantidad de Alcohol A

x + 3y = 45000 7500+ 3y = 45000 3y = 37500

Cantidad de Alcohol B

Y = 12500

3. La edad de un padre es doble que la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquel tiempo de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos? x = Edad actual del padre. y = Edad actual del hijo mayor. z = Edad actu al del hijo menor.

La edad de un padre es doble que la suma de las edades de sus dos hijos

I x = 2(y + z)

⇒

x = 2y + 2z

⇒

x - 2x - 2y = 0

hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos) ⇒ (y – z ) la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquel tiempo de sus hijos

x – (y – z) = 3[ y – (y – z) + z – (y – z) ] x – y + z = 3( y – y + z) + z – y + z) x – y + z = 3 ( z + 2z – y ) x – y + z = 3 ( 3z – y ) x – y + z = 9z -3y x – y + 3y + z – 9z = 0 x + 2y – 8z = 0

II

Suma de las edades actuales de los hijos ( y + z ) La suma de edades de las tres personas será 150 años.

x + ( y + z ) + y + (y + z ) + z + ( y + z ) = 150 x + y + z + y + y + z + z + y + z =150 x + y + z + 2y + 2z + y + z = 150 x + y + 2y + y + z + 2z + z = 150 x + 4y + 4z = 150 III

4.

El dueño de un bar ha comprado gaseosa, cerveza y vino por el importe de S/.500 (sin impuestos). El valor del vino es S/.60 menos que el de la gaseosa y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que las gaseosas deben pagar un impuesto del 6%, por la cerveza del 12% y por el vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos resulte en S/.592, 40. Calcula la cantidad invertida en cada bebida.

x = Gaseosa y = Cerveza z = Vino

{

x+ y+ z=500 x+ y+ z =60 6 x 12 y 30 z + + =924 100 100 100

⇒

{

x + y + z=500 x+ y−z=60 6 x +12 y +30 z =9240

( | ) 1 11 500 1 1−1 60 6 12 30 9240

∆s =

( | ) 1 11 1 1 1 1−1 1 1 6 12 30 6 12

=

( 30 + (-6 ) + 12 ) – ( 6 + ( -12 )

+ 30 ) 36

∆x =

(

| )

500 11 500 1 60 1−1 60 1 9240 12 30 9240 12

–

24

= 12

= (15000 + (- 9240) + 720) – (9240 +

6000) 6480 - 1800

∆y =

(

| )

1 500 1 1500 1 60−1 1 60 6 9240 30 6 9240

= (1800 + ( - 3000 ) + 9240 ) – ( 360 + ( - 9440 ) + 15000 ) 8040

∆z =

– 6120

(

= 1920

| )

1 1500 1 1 1 160 1 1 6 12 9240 6 12

= (9240 + 360 + 6000 ) – (3000 + 720 + 9240 ) 8040 – 6120

= 1920

= 1440

x=

1440 =120 12

Cantidad invertida en Gaseosa

y=

1920 =160 12

Cantidad invertida en Cerveza

2640 =220 12

z=

Cantidad invertida en Vino

5. Una agencia que alquila autos, cobra una tarifa diaria más una tarifa por distancia en millas. El señor Leyva pagó $ 85 por dos días y 100 millas, y al señor Guzmán le cobraron $ 165 por 3 días y 400 millas. ¿Cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por milla? x = Tarifa por día y = Tarifa por millas

85 (23 100 | 400 165 )

x +100=85 {3 2x +400 y =165

∆s =

(23|100 400)

∆x =

85 100 (165 |400)

∆y =

85 (23|165 )

x=

17500 =35 500

y=

75 =0,15 50

= (800 – 300)

= 500

= (34000 – 16500) = 17500

= (330 – 255)

= 75

Tarifa por día

⇒

1,5

Tarifa por millas

6. Se tiene tres denominaciones de billetes de dólar. Un paquete de 4 del primero, 1 del segundo y 2 del tercero, hacen un total de $ 70. Otro paquete de 2 del primero, 4 del segundo y 3 del tercero, hacen un total de 110 dólares y un tercer grupo de 6 del primero, 8 del segundo y 1 del tercero, hacen un total de $ 130. ¿Cuál es el valor de cada billete?

(

4 x + y +2 z=70 2 x+ 4 y +3 z=110 6 x+ 8 y +2=130

)

( | ) 4 12 70 2 4 3 110 6 8 1 130

∆s =

( |)

∆x =

( | )

4 12 4 1 243 24 681 68

70 1 2 70 1 110 4 3 110 4 130 8 1 130 8

= (280 + 390 + 1760) – (1040 + 1680 +110) 2430 - 2830

∆y =

( | ) 4 70 2 4 70 2 110 3 2 110 6 130 1 6 130

= (440 + 1260 + 520) – (1320 + 1560 +140) 2220 - 3020

∆z =

( |) 4 1 70 4 1 2 4 110 2 4 6 8 130 6 8

−400 =5 −80

= - 800

= (2080 + 660 + 1120) – (1680 + 3520 +260) 3860 - 5460

x=

= - 440

= - 1600

y=

z=

−800 =10 −80

−1600 =20 −80

7. Un fabricante produce tres artículos, A, B y C. la utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3, respectivamente. Los costos fijos son de $17 000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente. El año siguiente se producirán y venderán un total de 11 000 unidades entre los tres productos, y se obtendrá una utilidad total de $25 000. Si el costo total será de $80 000. ¿Cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente? DATOS:

X: número de unidades A producidas Y: número de unidades B producidas Z: número de unidades Z producidas SOLUCION

Número de unidades: x + y + z = 11000 Total de costos : 4x +5y + 7z = 63000 Total de utilidades : x +2y + 3z =25000 x + y + z = 11000 4x + 5y + 7z = 63000 x + 2y + 3z = 25000

DETERMINANTE DEL SISTEMA

1 1 1

1 1

4 5 7

4 5

1 2 3

1 2

S= (15 + 7 + 8) 30

– (5 + 14 + 12) 31 = -1

DETERMINANTE DE ¨ X ¨

11000

1

63000 5 25000

1

11000

7

2

63000

3

1 5

25000

X = (165000 + 175000 + 126000) – (125000 + 1 154000 + 189000) 466000

-

468000

= -2000

DETERMIANTE DE ¨ Y ´¨

1

11000

1

1

1 11000

4

63000

5

7

4

63000

1

25000

2

3

1

25000

Y = (189000 + 77000 + 100000) – (63000 + 175000 + 132000) 366000 370000 = - 4000

DETERMINANTE DE ¨ Z ¨ 1

1

11000

1 1

4

5

63000

4 5

1

2

25000

1 2

Z = (125000 + 63000 + 88000) – (55000 + 126000 + 100 000) próximo año deberá producir 276000 281000 = - 5000

RPTA: El

C = 5000 Y= - 4000 = 4000 -1

Z= - 5000 = 5000 -1

A = 2000

-1

B = 4000

X = - 2000 = 2000

8. Una empresa minera tiene tres campamentos mineros con la siguiente información: Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) Camp A 1 2 3 Camp B 2 5 7 Camp C 1 3 1 ¿Cuántas toneladas de cada campamento deben utilizar para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

A Toneladas de níquel necesarias

x + 2y + z = 7

B Toneladas de cobre necesarias

2x +5y +7z =16

C Toneladas de hierro necesarias

x + 3y + z =18

Los números que multiplican a las variables (x, y, z) solos los porcentajes de cada material en cada mina, sumas los porcentajes de cada mina para cada material.

1

2

1

2 -400

5

3

700

1

2

1

700

3

7

1

1800 1600

2F1 – F2

0

-1

-1

3F1 – F 2

0

-1

-1

500

1

2

1

700 F2 – F3 -400

0

-1

3

0

0

1

900

X + 2Y + Z = 700 X + 2Y + Z = 700

3Z=900 Z= 300

X

3Z = 900 + 200 + 300 = 700

Y= 400 – 300 Y= 100

Y + Z = -400 X + 2(100)+ 300 =700

Y + 300 = 400

Y=100

X + 500 = 700 X = 700 – 500

X= 200

RPTA: Se debe utilizar C = 300 B = 100 A = 200

9. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y alpiste. Cada kilo de trigo se vende por S/. 4, El de cebada por S/. 2 y el de alpiste por S/. 0.50. Si se vende 100 kilos en total y el número de kilos de alpiste excede en 36 kilos al trigo y la cebada juntos, obteniendo por la venta S/. 100, ¿Cuántos kilos de cada cereal se venden? x = Volume n de tr igo . y = Volume n de ce bada z = Volu me n de

x + y + z -x – y + z

alp iste

= 100 = 36

4x + 2y + 0.5 = 100 1

1

1

1

1

-1

-1

1

-1

-1

4

2

4

100 36 100

2

0.5

s=

1.5

1

1

100

1

-1

1

36

-1

2

0.5

100

2

1 100 50)

1

-1 36 124

1

-1

36

0.5

4

100

1

1

4

100

1 1 + (- 100) -1 -1 = 272

-1

1 100

-1

0.5 4

-0,5 + 4 + (-2) – (-4) + 2 (- 0,5)

1

-

-2.5

= 4

x = -50 + 100 + 72 - (-100) + 200 + 18 167

-

118

= 49

y = 18 + 400 + (-100) - (149 + 100 + (318

-

194

=

z = (- 100)+ 144 + (-200) - (- 400) + 72

-1

156

4

2

2

X=

Δx Δs

=

49 4

= 12. 25 de trigo.

Y=

Δy Δs

=

124 4

= 31 de cebada.

Z=

Δz Δs

=

272 4

= 68 de alpiste.

-

(- 428)