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• Luis Mesta

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TITULO:

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL: Ondas EM y propagación de la energía

OBJETIVO:

-Dar a conocer las diferentes aplicaciones que podemos conociendo las ecuaciones de maxwell

-Llegar a plantear ecuaciones utilizando las ecuaciones de maxwell

-Aplicar las ecuaciones de maxwell en diferentes medios

RESUME:

En este capítulo daremos a conocer cómo podemos proponer ecuaciones utilizando las ecuaciones de maxwell para poderlo aplicar a diferentes medios por ejemplo cuando el espacio es libre y haya perdida, cuando sea con pérdidas, etc. También daremos a conocer ondas planas en medios aislantes o dieléctricos. En este capítulo también daremos a conocer como está relacionado el flujo de energía con el vector de poynting (es el cual nos da la dirección de propagación de la onda) y al final pondremos ejercicios para aplicar lo aprendido Tenemos que tener en cuenta que debemos recordar nuestro análisis vectorial y algunas propiedades que utilizaremos para poder llegar a las ecuaciones ya que no solo nos basta saber las ecuaciones de maxwell sino que también propiedades como por ejemplo del productor cruz o producto punto, la divergencia, rotacional, etc.

Ecuación de onda: Una de las consecuencias más importantes de las ecuaciones de Maxwell es la deducción de las ecuaciones de propagación de ondas electromagnéticas en un medio lineal. La ecuación de onda para campo eléctrico y para el campo magnético se deduce atraves de las siguientes ecuaciones:

Demostración de la ecuación de onda para E:

Demostración de la ecuación de onda para B:

Ecuación de onda para el espacio libre (caso sin pérdidas): Para conocer la naturaleza de las ondas, podemos considerar un gran volumen del espacio

ᵨ

vacío. Como en el espacio vacío no puede haber fuentes: J= =0. Los campos en tal región deben satisfacer la ecuación de onda.

Debe recordarse que el campo eléctrico físico se obtiene tomando la parte real de solución. Además, E(r) es en general complejo, de modo que el campo eléctrico real es proporcional a cos(ωt+ᵠ), donde ᵠ es la fase de E(r). Empleando en la solución de la ecuación diferencial, se tiene

…..(1) Para la ecuación que rige la variación espacial del campo eléctrico (el factor común puede omitirse por supuesto). El siguiente problema es resolver la ecuación 1 en los distintos casos especiales de interés para determinar la variación espacial del campo electromagnético. Sabemos que g=J=ρ=0, ϵ=ϵ0, μ=μ0. Además, supondremos que E(r) varia solo en una dimensión, digamos la dirección Z, y que es independiente de X e Y. Entonces la ecuación 1 se convierte en:

Donde hemos escrito ϵ0 μ0=1/c2 Esta ecuación (ecuación de Helmholtz) es matemáticamente la misma que la ecuacionde un oscilador armónico y tiene como solución.

Dónde i es la unidad imaginaria, k es el vector de onda, ω es la frecuencia angular y a es la amplitud compleja. La solución física es usualmente encontrada tomando la parte real de la expresión. Esta es la solución para una ecuación de onda escalar en un medio homogéneo. Para ecuaciones de onda vectoriales, como las que describen a la radiación electromagnética o las ondas en un medio elástico, la solución para un medio homogéneo es similar: multiplicado por un vector constante a. (Por ejemplo, en electromagnetismo a es típicamente el vector para el campo eléctrico, campo magnético, o el potencial vectorial). Una onda transversal es aquella en que el vector amplitud es ortogonal a k (por ejemplo, para ondas electromagnéticas en un medio isotrópico), mientras que una onda longitudinal es aquella en que el vector amplitud es paralelo a k (por ejemplo en ondas acústicas propagándose en un gas o fluido).En esta ecuación, la función ω(k) es la relación de dispersión del medio, con el radio ω/|k| dando la magnitud de la velocidad de fase y dω/dk dando la velocidad de grupo. Para el electromagnetismo en un medio

isotrópico con índice de refracción n, la velocidad de fase es c/n (la cual iguala a la velocidad de grupo solamente si el índice no depende de la frecuencia). Tomando la parte real la solución nos quedaría:

que es equivalente a

Representa una onda senoidal que se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda en la dirección de z (según se use el signo más o menos) Tener un medio sin pérdidas significa que no existe la conductividad en ese medio, o que la conductividad es cero. Las condiciones que se dan en este medio son las que se muestran en las siguientes ecuaciones:

La impedancia intrínseca se vuelve un número real.

Ya que la conductividad se vuelve cero. Por lo tanto, solo tiene una parte real y no parte imaginaria. La velocidad de fase de la onda se vuelve:

La siguiente ecuación nos dice como se propaga el campo eléctrico:

A continuación, la propagación del campo magnético:

Consideraciones para la propagación en el espacio libre:

H/m Permeabilidad en el espacio libre

F/m Permitividad en el espacio libre m/s Velocidad de Propagación en el espacio libra

Para cualquier otro tipo de material ϵ=ϵrϵ0 y μ=μrμ0

Ecuación de onda en un medio material (caso con pérdidas) Las ondas que se propagan en un medio distinto al vacío experimentan ciertas perdidas debidas a la absorción en el medio. Si la propagación es en la atmosfera, las perdidas por absorción en el medio. Si la propagación es en la atmosfera, las perdidas por absorción son pequeñas. Por otro lado, si está en un medio conductor tal con agua salada, gas ionizado, o medio metálico, las perdidas pueden ser muy elevadas. Ya que el problema ahora es considerar las distribuciones de carga y de corriente especificadas, ρ(r,t) y J(r,t), y hallar los campos producidos por ellas. Hay diversas formas de enfocar el problema; la más fructífera es el enfoque del potencial que se desarrolla de forma análoga a los procedimientos usados en electroestática y magnetos tatica. Como la inducción magnética tiene divergencia cero, puede representarse siempre como el rotacional de un potencial vectorial. Asi que la ecuación de onda para regiones libres de fuentes es

El efecto de los nuevos términos de perdida en las ecuaciones anteriores es atenuar la onda que se propaga, debido a q se saca energía de la onda para proporcionar la perdida por calentamiento óhmico en el medio. Cuando este término es pequeño, por ejemplo, cuadno el medio absorbente es un dieléctrico de bajas perdida (σ=0), cuando la onda se propague en el medio sufrirá una disminución pequeña (exponencial) de amplitud. Por otro lado, cuando las perdidas por conducción son grandes (σ>>1), el decrecimiento exponencial de la onda será tan rápido que difícilmente puede hablarse de propagación. Es más bien una difusión en el medio. El que haya principalmente difusión o propagación depende de los valores relativos de los dos

últimos términos, los cuales pueden identificarse con la corriente de desplazamiento y corriente de conducción como sigue

En un medio en el que las corrientes de desplazamiento dominan y las corrientes de conducción son lo suficientemente despreciables para que puedan ignorarse , las ecuaciones de Maxwell nos dicen que el campo magnético se produce por las corrientes de desplazamiento y que la propagación en tal medio se caracteriza por la ecuación de onda sin pérdidas; es decir,

mientras que si domina la corriente de conducción , el capo magnético esta producido por la corriente de conducción y la propagación se caracteriza por una ecuación de difusión, que es muy similar a la ecuación que rige la difusión de calor o gases; es decir,

Esta última ecuación también se conoce como ecuación de las corrientes tur billonarias, a causa de que es de la misma forma que la ecuación para la densidad de corriente J. Ya que J=σE, tenemos = 0 como la ecuación que rige el comportamiento de la corriente en un medio conductor. Un medio con pérdida existe cuando hay conductividad aunque sea mínima, y como existe conductividad dentro de ese medio la onda va a cambiar.Debemos dejar bien claro que existen dos diferencias muy notables entre las ondas planas uniformes en medios sin pérdidas y las ondas planas uniformes en medios con pérdidas. La primera es que la parte imaginaria de la constante de propagación se vuelve distinta de cero, y por lo tanto se divide en dos como se muestra a continuación:

Podemos ver que la gamma se dividió en su parte real alfa (α), que se le conoce como constante de atenuación y está dada [Np/m] y su parte imaginaria beta (β), que se le conoce como constante de fase y está dada en [rad/m].

La otra diferencia es la impedancia intrínseca que para medios con pérdidas también se vuelve compleja y no tiene los mismos valores que para un medio sin pérdidas. La impedancia intrínseca se calcula de la siguiente manera:

Y ahora las ecuaciones de onda:

Relación entre los campos eléctricos y magnéticos en una onda plana Partiendo de las ecuaciones de onda en un medio material y usando un procedimiento similar que el seguido para E, podemos obtener H como

Para una onda en la dirección de z, H puede ser Hx o Hy pero no Hz, como en el caso de E. Para una relación entre E y H debemos retroceder a las ecuaciones de maxwell. Así, para variación sinusoidal en el tiempo y para una onda plana que solamente tiene componente Ex, da

Que en coordenadas rectangulares se simplifica a

ya que d/dy=d/dx=0 para una onda plana en la dirección z. Esto determina que en una onda plana que tiene una componente Ex puede tener solamente una componente H, del campo magnético. Sustituyendo Ex y derivando obtenemos para la anterior ecuación

Usando H(z,t), hallamos que la amplitud H0 del campo magnético está relacionada a la del campo eléctrico H0 = E0(β*/ωμ). Podemos ahora hacer la importante observación que E y H son perpendiculares mutuamente en una onda plana y, además, que la dirección de propagación, la dirección del campo H y la dirección del campo E son ortogonales entre sí. Es corriente escribir el interior resultado en una forma llamada ley de ohm para una onda plana: Ex=η*Hy η*=ωμ/β*

Y se llama característica compleja, intrínseca o impedancia de la onda del medio. Las unidades de η son volt/ampere u ohm. Para el vacío η* es real y vale η0=ωμ0/ω (μ0ε0)1/2= (μ0ε0)1/2=377 Ω. Si el campo eléctrico en la onda plana tiene solamente una componente Ey, la relación análoga a η* seria Ey=-η*Hx. Podemos ahora generalizar como sigue: Si la dirección de propagación viene dada por el vector z, la ley de ohm para ondas planas viene dada por

Ondas planas en medios aislantes o dieléctricos En este caso es el de propagación de ondas planas en el vacío, aire o cualquier otro medio dieléctrico que prácticamente no tenga perdida. La corriente de desplazamiento domina y la solución de la onda plana que se aplica es siendo las otras constantes

Donde se ha supuesto que es válida la aproximación σ=0 y la permeabilidad μ del medio (excepto para los medios ferromagnéticos) es la del vacío. Para el vacío ε0 = 8,85 x 10-12 Fm-1, μ0= 4pi x 10-7 Hm-1, η0= 377 Ω= 120pi Ω. Los campos eléctrico y magnético vienen dados por

y su variación a lo largo de la dirección de propagación se indica en la figura. La variación senoidal que se muestra en la figura se obtiene tomando la parte real de la manera usual cuando se emplea la notación exponencial; es decir, los valores instantáneos vienen dados por Re E0ej(ωt-βz) = E0 cos(ωt-βz).

En la primera figura: Campos E y H en una onda plana senoidal (instantánea) de una sección tridimensional de una onda plana mostrando las relaciones entre los campos E y H. En la segunda imagen es la representación alternativa de una onda planada mostrando la naturaleza senoidal de los campos y ortogonalidad entre E, H y la dirección de propagación. Fuente: Las imágenes fueron sacadas del libro A.Plonus Ondas planas en medios conductores En los medios conductores las corrientes de conducción dominan sobre las de desplazamiento

hasta tal extremo que ignoramos completamente las corrientes de desplazamiento y sustituimos ε* = ε(1-jσ/ωε) simplemente por ε* = -jσ/ω, siendo las otras constantes

donde la constante de propagación de fase es β=1/δ, la constante de atenuación es α = 1/ δ,

√−𝑗 = 𝑒 −𝑗𝜋/4 = (1 − 𝑗)/√2 y la impedancia intrinseca del medio conductor es

Aún tenemos propagación de onda en el medio conductor, ya que la solución contiene el 𝑡

término 𝑒 𝑗(𝜔𝑡−δ) , que es una onda cuya constante de fase viene dada por β= 1/δ ; es decir Β=ω/ѵ =2𝜋/λ=1/δ En los buenos conductores σ es muy grande, lo que implica que la constante de propagacion de fase β tambien sean grandes, y la velocidad ѵ, la longitud λ y la profundidad de penetracion δ muy pequeñas. Esto significa que si existe una onda en un medio conductor se atenua rapidamente y tiene un gran cambio de fase por unidad de longitud. La velocidad de fase ѵ

viene nada por : 2𝜔

ѵ=ω/β=ωδ=√ 𝜇𝜎

Que es pequeña cuando σ es grande. La longitud de onda sufre una gran contraccion al pasar del espacio libre a un medio conductor. La longitud de onda efectiva en el medio conductor viene dada por : λ= 2𝜋δ

Flujo de energia y vector de poyting Hemos desmotrado que la densidad de energia de un campo electrico estatico es 1/2εE2 y que la de un campo magnetico estatico es 1/2μH2. Cuando los campos varian con el tiempo estas densidades de energia tambien varian con el tiempo. Pero el hecho mas importante es que el campo electromagnetico variable con el tiempo puede transportar energia. Asi cuando se propaga una, transporta energia. Si consideramos un volumen, una onda sque incida en el puede transferirle energia (caso de receptor). Por otro lado, si una fuente radiante esta dentro del volumen, el campo electromagnetico producido por la fuente puede transportar energia fuera del volumen (caso transmisor). Para juzgar el transporte de energia en una base formal, consideremos la identidad ∇. (𝐸𝑥𝐻) = 𝐻. ∇𝑥𝐸 − 𝐸. ∇𝑥𝐻 𝜕𝐵

Usando las ecuaciones de maxwell ∇𝑥𝐸 = − 𝜕𝑡 𝑦 ∇𝑥𝐻 = 𝐽 +

𝜕𝐷 , 𝑑𝑡

la identidad anterior se

transforma en ∇. (𝐸𝑥𝐻) = −𝐻.

𝜕𝐵 𝜕𝐷 − 𝐸. − 𝐸. 𝐽 𝜕𝑡 𝜕𝑡

Si integramos esta expresion extendida al volumen ѵ(A), limitado por la superficie A, obtenemos 𝜕

𝐻.𝐵 2

∯𝐴(𝑣)(𝐸𝑥𝐻 ). 𝑑𝐴 = − 𝜕𝑡 ∭𝑣(𝐴)(

+

𝐸.𝐷 )𝑑𝑣-∭𝑣(𝐴) 𝐸. 𝐽 2

𝑑𝑣

Donde el primer miembro se invertido en una integral de superficie cerrada por el teorema de la divergencia de gauss. Para ε y μ constantes tambien tenemos que

𝜕(𝐷.𝐸) 𝜕𝑡

= 2𝐸.

𝜕𝐷 𝜕𝑡

y

𝜕(𝐻.𝐵) 𝜕𝑡

=

𝜕𝐵 2𝐻. 𝜕𝑡 .

El primer termino representa un flujo de potencia a traves de la superficie A que limita el volumen v. Recordemos que E viene en volt/metro y H en ampere/metro, lo que hace EH una magnitud en watt/metro cuadrado. El vector ExH representa la cantidad de energia que atraviesa un area univdad en la superficie A, por unidad de tiempo. Esta densidad de potencia se llama vector de Poynting P 𝑃 = 𝐸𝑥𝐻

𝑊/𝑚2

Tal vector es perpendicular al plano determinado por E y H y tiene la direccion y sentido del flujo de energia. El vector P forma un triedro trirrectangulo con los vectores E y H, como se indica en la figura. Asi que un valor negativo para la integral del vector de Poynting ∯ 𝑃. 𝒏 𝑑𝐴 = −|∯ 𝑃. 𝑑𝐴| reprensenta un flujo de energia entrante, a traves de la superficie A (notese que la direccion y sentido del elemento de superficie dA viene representado por la

normal hacia fuera de n: es decir, dA=ndA). Denotamos este caso cmo caso receptor. De manerca parecida, un valor positivo para la integral ( ∯ 𝑃. 𝒏 𝑑𝐴 = +|∯ 𝑃. 𝑑𝐴| debido a que n y p tienen mayormente la misma direccion y sentido) representa flujo saliente a traves de la superficie; este es el caso transmisor. Ambos casos estan ilustrados en la figura El segundo termino representa la variacion con el tiempo del aumento de la energia en los campos electrico y magnetico dentro del volumen v. Para el caso en que las fuentes sean exteriores al volumen v, el tercer termino es un termino de perdidas ohmicas. La E y la J tienen la misma direccion y sentido, y representan la energia disipada por unidad de tiempo en calor (la perdida usual I2R). El termino fuente es entonces el termino vector de Poynting que da cuenta de la influencia de energia. Para esta situacion opdemos establecer explicitamente como Caso receptor:

Ejercicios aplicado a todo lo visto en este capitulo 1.-Consideremos el caso de un hilo cilindrico que conduce la corriente I como se indica en la figura. Si la resistencia por unidad de longitud del hilo es R’, demostrar, usando el vector de poynting, que la potencia disipada en I2R’ whatt por unidad de longitud. Solucion: De la ley de ohm, el campo electrico en el hilo es Ez = Iz R’ V/m El campo magnetico en la superficie del hilo viene dado por : Hᵩ = Iz/2𝜋𝑟 A/m Por tanto el vector de poything esta radialmente hacia dentro: ρ=E x H = Ez Hᵩr = (I2z R’)/2𝜋𝑟 r = ρr r

W/m2

Al integrar para la superficie cilindrica del hilo da ∯ 𝜌. 𝑑𝐴 = ∬ 𝜌r dA= ρr(2𝜋rl) = I2zR’l=I2zR

W

(a) Un hilo de radio r y longitud l que conduce la corriente Iz, disipa I2zR’ watt, por unidad de longitud, en calor. (b) En una linea de transmision coaxial las perdidas en el conductor central son I2zR, las mismas que en el conductor exterior. La energia transmitida a lo larg de la linea, lo es por el campo transversal Er y Hᵩ 2.-Usar el metodo del vector de poynting para demostrar que la energia alcenada en un condensador es W= 1/2 VQ

Solucion La figura muestra un condensador plano de capacidad C=εA/d que se encarga por medio de la corriente I que circula por los hilos de conexión. Desprreciando el efecto de los bordes, solamente existe campo electrico en el interior del condensador. El campo es uniforme y viene dado por Ez. El campo magnetico creado por I en el hielo o, equivalentemente, por la corriente 𝜕𝐷

de desplazamiento ( 𝑑𝑡 ) 𝐴 dentro del condensador puede hallarse a partir de la ecuacion de Maxwell

∮ 𝐻. 𝑑𝑙 = ∬

𝜕𝐷 . 𝑑𝐴 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑡

Usando la simetria del problema, la expresion anterior de para el campo magnetico 𝜕𝐸

𝐻ᵩ=(εr/2) 𝑑𝑡 z El vector de Poynting dentro del condensador, por tanto, tiene solamente componente r: ExH=EzHᵩr=ρr r. El flujo total de potencia a traves de la superficie entre placa es

∯ 𝜌r dA= Ez

𝜀𝑟 2

𝜕𝐸 z/dt 2𝜋𝑟𝑑 =

𝐴𝑑𝜕 1 ( 𝜀𝐸 x2) 𝑑𝑡 2

Esta es la energia por unidad de tiempo que fluye dentro del volumen del condesandor debido a la corriente de carga, recordando que ½ εE2 es la densidad de energia de un campo electrico E y Ad es el volumen del condensador.Comporando con el caso de receptor, vemos que ∯ 𝜌. 𝑑𝐴 es igual al aumento por unidad de tiempo de la energia electrostatica almacenada. Ya que la energia es igual a la integral, respecto al tiempo, de la potencia, tenemos, para la energia W almacenada en el condensador. 1

1

1

𝑊 = ∫(∯ 𝜌. 𝑑𝐴)𝑑𝑡 = 𝐴𝑑 2 𝜀𝐸 2z=2 (𝐸 zd)(DzA)=2 𝑉𝑄 Donde el voltaje V entre armaduras del conductor es V=Ezd y la carga Q en las plcas es Q =ρsA=DzA. Notese que la condicion de contorno, para componentes normales del campo E, en una superficie conductora es D=ρs, donde 𝜌s es la densidad superficial de carga.

Conclusiones Hemos podido comprender como actúa una onda electromagnética en medios con pérdidas y sin perdidas y hemos podidos poder llegar a las ecuaciones mencionadas aplicando la ley de maxwell y también hemos podido comprender cuál es la dirección de la onda utilizando el vector de poynting. -Nota la teoría, formulas y imágenes fueron sacados de los libros: -Autor: Martin A. Plonus, Libro: Electromagnetismo aplicado, Editorial: Reverte S.A -Autor: Reitz Milford Christy, Libro: Fundamentos de la teoría electromagnética, Editorial: 4 edición.