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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Prof. María Elena Ruiz Análisis Matemático 1 - 2º Cuatrimestre 2006 Prof. Claudia Garelik Facultad de Economía y Administración UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE _______________________________________________________________________________________

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Entre las aplicaciones de la integral definida, las que estudiaremos serán: 1. Cálculo de áreas de regiones limitadas por curvas: 1.1 representadas en coordenadas cartesianas, 1.2 representadas con ecuaciones paramétricas, 2. Cálculo de la longitud de un arco de una curva: 2.1 representadas en coordenadas cartesianas, 2.2 representadas con ecuaciones paramétricas. 1. CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES LIMITADAS POR CURVAS 1.1. Representadas en coordenadas cartesianas Sea f una función continua en el intervalo [a, b], f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b], el área de la región S acotada por y = f(x) , el eje x y las rectas verticales x = a y x = b es igual a b

A = ∫ f ( x)dx a

Ejemplo: Calcular el área de la región acotada por y = - |x| + 3 , el eje x y las rectas x = 2 y x = -2. 2

y

A=

0

2

∫ (− x + 3)dx = ∫ (x + 3)dx + ∫ (− x + 3)dx =

−2

−2

0

  −x x + 3 x  = 8 u.de a. =  + 3 x  +  0  −2  2  2 2

-2

2

0

2

x

− x + 3 y = −x +3=  x + 3

si x ≥ 0 si x < 0

Observación:

Por la simetría de la gráfica respecto del eje y podríamos haber resuelto: 2 2 − x2 A = 2 ∫ (− x + 3)dx = 2  + 3 x  = 2(− 2 + 6 ) = 8 u. de a. 0  2 0

2

1

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2

Si f(x) ≤ 0 en [a, b] con f(x) continua para todo x en [a, b], resulta que por propiedades de la b

integral definida se tiene que

∫ f ( x)dx ≤ 0 , luego el área de la región S sobre la gráfica de a

y = f(x), el eje x y las rectas verticales x = a y x = b está dada por: b

A = − ∫ f ( x)dx

y

a

a

b x

Ejemplo: Calcular el área de la región acotada por y = x2 – 4; el eje x y las rectas verticales x = 2 y x = -2. 2

(

)

A = − ∫ x 2 − 4 dx o bien, teniendo en cuenta la simetría de

y

−2

-2

2

x

la gráfica respecto al eje y, podríamos calcular el área como sigue: 2 2  x3 8  32 A = −2 ∫ (x 2 − 4 )dx = −2  − 4 x  = −2 − 8  = u.de a. 0 3  3 3 0

-4

Si f (x) es continua en [a, b] y cambia de signo un número finito de veces en el intervalo [a, b], entonces podemos descomponer la integral definida en [a, b] como la suma de las integrales definidas en los segmentos parciales que se obtienen con el cambio de signo de y = f(x) en [a, b]. Así, las integrales definidas serán positivas en los segmentos donde f(x) ≥ 0 y negativa donde f(x)< 0.

Para obtener el área de la región acotada por y = f(x); el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, debemos calcular la suma de las áreas, para lo cual es necesario hallar la suma de los valores absolutos de las integrales definidas en los segmentos parciales en [a, b] b

A = ∫ f ( x)dx . a

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Ejemplos:

π

Hallar el área acotada por y = senx, el eje x y las rectas x =

1)

2

3

y x = 2π .

2π

A=

∫ senx dx =

−π 2

0

π

2π

−π 2

0

π

= − ∫ senx dx + ∫ senx dx − ∫ senx dx =

= − (− cos x)

0 −π 2

π

2π

0

π

− cos x + cos x

=

= 1 − 0 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 u. de a. O bien, dada la simetría de la figura, podríamos haber calculado el área como sigue: π

π

2

2

A = 5 ∫ senx dx = 5(− cos x) = 0 + 5 = 5 u. de a. 0

0

2π

Hallar la

2)

∫ senx dx

−π 2 2π

∫

senx dx = (− cos x)

−π 2

2π

−π 2

= −1 + 0 = −1

Observación: Notemos que en el ejemplo 1) estamos calculando las sumas de las áreas situadas sobre el eje x y las situadas por debajo del eje x. Mientras que en el ejemplo 2) sólo estamos evaluando la integral definida.

Área de una región entre dos curvas: Sea S la región entre las curvas y = f (x) e y = g (x) y entre las rectas verticales x = a y x = b donde f y g son continuas y f ( x) ≥ g ( x) para todo x en [a, b]. Podemos aproximar el área de la región por la suma de las áreas de los rectángulos verticales que la forman. Entonces el área está dada por b

A = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx

f

y

a

a

g

b

x

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Ejemplos: 1) Encontrar el área limitada por arriba con la función y = e x , por abajo por la función y = x y por las rectas verticales x = 0 y x = 1. 1

A=∫ 0

(

)

x2 e − x dx = e − 2 x

x

y = ex

y

3 = e − u. de a. 0 2

1

y=x 1

1

2)

x

Hallar el área encerrada por las parábolas y = x 2 e y = 2 x − x 2 . 1

(

)

A = ∫ 2 x − x 2 − x 2 dx = 2 0

x2 x3 −2 2 3

1 0

=

1 u. de a. 3

Cuando queremos hallar el área entre las curvas y = f (x) e y = g (x) donde f ( x) ≥ g ( x) para algunos valores de x y g ( x) ≥ f ( x) para otros, partiremos la región dada en varias regiones de acuerdo a qué función es mayor. Entonces el área buscada será: b

A = ∫ f ( x) − g ( x) dx donde a

 f ( x) − g ( x) si f ( x) ≥ g ( x) f ( x) − g ( x) =   g ( x) − f ( x) si g ( x) ≥ f ( x)

Ejemplo:

Calcular el área de la región acotada por las curvas y = sen x, y = cos x, x = 0 y x =

π

. 2 Buscamos los puntos intersección entre las curvas:

sen x = cos x ⇒ x = Si 0 ≤ x ≤ Si

π 4

π

≤x≤

4

π 2

π

4

⇒ cos x ≥ sen x ⇒ sen x ≥ cos x

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Entonces el área será: π

π

4

2

A = ∫ (cos x − sen x ) dx + ∫ (sen x − cos x ) dx = (sen x + cos x ) π

0

(

π 4

0

+ (− cos x − sen x )

π 2

π

=

4

4

)

= 2 2 − 1 u. de a.

Como hay simetría en la figura, se podría haber calculado el área como: π 4

A = 2 ∫ (cos x − sen x )dx 0

Algunas regiones se trabajan mejor considerando a x como función de y. Si una región está limitada por las curvas de ecuaciones x = f ( y ) y x = g ( y ) , y = c, y = d, donde f ( y ) ≥ g ( y ) para c ≤ y ≤ d , entonces su área estará dada por d

A = ∫ ( f ( y ) − g ( y ) )dy c

donde el área se aproxima por medio de rectángulos horizontales.

Ejemplo:

Hallar el área encerrada por la recta y = x – 1 y la parábola y 2 = 2 x + 6 . Busquemos los puntos intersección entre las curvas: (x − 1)2 = 2 x + 6 ⇒ x 2 − 2 x + 1 − 2 x − 6 = 0

⇒ x 2 − 4 x − 5 = 0 ⇒ x1 = 5

x 2 = −1

4   y2 A = ∫  y + 1 − + 3 dy = 2  − 2 2 3 4 y 1 y = + y− + 3y = 18 u. de a. −2 2 2 3

Si hubiéramos integrado respecto de la variable x, el área de la región se hubiera calculado como:

∫(

−1

A = A1 + A2 =

−3

)

5

2 x + 6 − (− 2 x + 6 ) dx + ∫

−1

(

)

2 x + 6 − ( x − 1) dx

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Por lo tanto, es más sencillo integrar respecto de la variable y ya que de este modo se necesita calcular una sola integral para hallar el área de la región. 1.2. Representadas por medio de ecuaciones paramétricas

Sabemos que si f es continua y f(x) ≥ 0 en [a, b], el área bajo la curva está dada por b

A = ∫ f ( x) dx . a

b  x = f (t ) Si y = f(x), entonces A = ∫ y dx . Si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas   y = g (t ) a y se trata de una curva suave (es decir, g ′(t ) y f ′(t ) son continuas y no se anulan simultáneamente), y además, se recorre una vez cuando t crece de α a β entonces, usando la regla de sustitución para integrales definidas, se tiene:  x = f (t ) y dx = f ′(t ) dt α≤ t≤β   y = g (t ) b

β

a

α

entonces A = ∫ y dx = ∫ g (t ) f ′(t ) dt Si a = f (α ) y b = f ( β ) , la curva se traza de izquierda a derecha a medida que t aumenta y a ≤ x ≤ b ⇒ a ≤ f (t ) ≤ b ⇒ f

−1

(a) ≤ t ≤ f

−1

t= β

(b) t=α a

b

x

Si a = f ( β ) y b = f (α ) , la curva se traza de derecha a izquierda a medida que t aumenta y t=α t= β a

b β

Entonces el área es

x

∫ g (t ) f ′(t )dt

si a = f (α ) < b = f ( β ) mientras que

α

α

A = ∫ g (t ) f ′(t )dt si f ( β ) < f (α ) entonces β

β

A = − ∫ g (t ) f ′(t ) dt . α

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Ejemplos: 1)

Determinar el área bajo la curva  x = a cos t 0≤ t ≤π   y = b sen x

dx = − a sen t dt π

π

1  entonces A = − ∫ b sen t (− a sen t ) dt = ab ∫ sen 2 t dt = ab (t − sen t cos t )  2  0 0

π 0

= ab

π 2

y b -a

2)

a x

Determinar el área bajo la curva de uno de los arcos de la cicloide  x = r (θ − senθ ) 0 ≤ θ ≤ 2π .   y = r (1 − cosθ ) 2π

A = ∫ r (1 − cos θ )r (1 − cos θ ) dθ =

y

0

2π

= r 2 ∫ (1 − 2 cos θ + cos 2 θ ) dθ = 0

2π

x

= r 2 (θ − 2 sen θ ) = 2π r 2 + r 2

2π

Nota: Para resolver

∫ cos θ dθ 2

2π 0

2π

+ r2

1

∫ 2 (1 + cos 2θ ) dθ = 0

sen 2θ  1 θ +  2 2 

2π 0

= 3π r 2

se usa la identidad trigonométrica cos 2 θ = ½ (1+cos 2 θ).

0

2. CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO DE UNA CURVA 2.1. Representadas en coordenadas cartesianas ¿Qué se entiende cuando se habla de longitud de una curva? Si la curva es un polígono, es fácil determinar su longitud, simplemente sumamos las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polígono. Para la distancia entre los extremos de cada segmento, podemos usar la fórmula conocida para la distancia. Ahora, si C es una curva suave y queremos determinar la longitud de dicho arco suave, haremos el siguiente procedimiento análogo al dado para definir integral definida.

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La idea para aproximar la longitud C es inscribir en C un arco poligonal y calcular después la longitud del arco poligonal. P4 P1

P2

P3

P0

Para ello suponemos que la función y = f(x) es continuamente derivable en [a, b]. Se dice entonces que la curva C es una curva lisa o suave. Comenzamos dividiendo el intervalo [a, b] en un número arbitrario de subintervalos cuyos puntos de división son: a = x0 < x1 < x2