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TERCERA SEMANA

ESTADISTICA APLICADA

KUNCEWITZ CERRÓN

APLICACIONES A LA DISTRBUCIÓN NORMAL ESTANDAR I. Calculo de áreas bajo la curva normal estándar: 1.Si 𝑋 → 𝑛(0,1), hallar a) 𝑃[𝑍 ≤ 1.57] RESOLUCION 𝑃[𝑍 ≤ 1.57]=¶

Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

94.18%

0.9418

0.2

0.1

0.0

0

1.57

X

𝑃[𝑍 ≤ 1.57]=0.9418≅94.18% b) 𝑃[𝑍 ≥ 1.84] RESOLUCION 𝑃[𝑍 ≥ 1.84]

1

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ESTADISTICA APLICADA

KUNCEWITZ CERRÓN

Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

0.2

0.1

3.29%

0.03288

0.0

0

1.84

X

𝑃[𝑍 ≥ 1.84]=0.03288≅ 3.29% c) 𝑃[1.57 ≤ 𝑍 ≤ 1.84] RESOLUCION 𝑃[1.57 ≤ 𝑍 ≤ 1.84] Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

0.2

0.1

2.53%

0.0

0.02532

0

1.571.84

X

𝑃[1.57 ≤ 𝑍 ≤ 1.84]=0.02532≅ 2.53% d) 𝑃[−1.84 ≤ 𝑍 ≤ 1.84] RESOLUCION 𝑃[−1.84 ≤ 𝑍 ≤ 1.84]

2

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ESTADISTICA APLICADA

KUNCEWITZ CERRÓN

Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.9342

0.4

93.42%

Densidad

0.3

0.2

0.1

0.0

-1.84

0

1.84

X

𝑃[−1.84 ≤ 𝑍 ≤ 1.84]=0.9342≅ 93.42%

e) 𝑃[𝑍 ≥ −2.08] RESOLUCION 𝑃[𝑍 ≥ −2.08] Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

98.12%

0.9812

Densidad

0.3

0.2

0.1

0.0

-2.08

0

X

𝑃[𝑍 ≥ −2.08]=0.9812≅ 98.12% 2. Si 𝑃[𝑍 ≥ 𝑍0 ] = 0.5; Hallar 𝑍0 RESOLUCION 𝑍0 =? 3

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KUNCEWITZ CERRÓN

Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

0.2

50%

0.5

0.1

0.0

0

X

𝑍0 = 0.00

3. Si 𝑃[𝑍 ≥ 𝑍0 ] = 0.025; Hallar 𝑍0 RESOLUCION 𝑍0 =? Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

0.2

0.1

2.5% 0.025 0.0

0

X

1.960

𝑍0 =1.960 4.¿Entre que dos valores de Z(simétricos alrededor de la media) estará contenido el 68.26% de todos los valores posibles de Z?. [𝑍0 ≤ 𝑍 ≥ 𝑍0 ] ≅ 4

TERCERA SEMANA

ESTADISTICA APLICADA

Gráfica de distribución Normal, Media=0, Desv.Est.=1 0.6826

0.4

68.26%

Densidad

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.9998

0

0.9998

X

5.Si 𝑋 → 𝑛(100,100),hallar RESOLUCION DATOS: 𝜇=100 𝜎 = 10 a) 𝑃[𝑍 ≤ 75]

5

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ESTADISTICA APLICADA

KUNCEWITZ CERRÓN

Gráfica de distribución Normal, Media=100, Desv.Est.=10 0.04

Densidad

0.03

0.02

0.01

0.621%

0.006210

0.00

75

100

X

𝑃[𝑍 ≤ 75]=0.006210≅ 0.621% b) 𝑃[𝑋 < 70] c) 𝑃[75 ≤ 𝑋 < 85] d) 𝑃[𝑋 > 112]

II. Aplicaciones a la distribución normal estándar: 1.Las ventas diarias (incluyendo los sábados) en un restaurant pequeño tienen una distribución de probabilidades que es aproximadamente normal con media igual a $530 y una desviación estándar de $ 120. a). ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas excedan de $700 en un día dado? Resolución Variable aleatoria X: Ventas diarias en dólares. 𝑋 → 𝑛(530,14400) 𝜇 = $530 𝜎 = $120 a). 𝑃[𝑍 > 700] = 𝑃[

𝑋−𝜇 𝜎

>

700−530 120

]= 𝑃[𝑍 > 1.42] =

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Gráfica de distribución Normal; Media=530; Desv.Est.=120 0.0035 0.0030

Densidad

0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005

0.07829

0.0000

530

X

700

𝑃[𝑍 > 1.42] = 0.778

2.El promedio de las alturas de 800 alumnos de la Universidad Peruana Los Andes es de 1.50m y la desviación estándar es 0.30 m . Asumiendo que las alturas están normalmente distribuidas, encontrar cuántos alumnos miden: a). Entre 1.30 m y 1.70 m. b). Más de 1.65 m RESOLUCION ×→ 𝑛(1.50,0.90) [1.30 ≤ 𝑧 ≤ 1.70] = 0.4950 Gráfica de distribución Normal, Media=1.5, Desv.Est.=0.3 1.4

0.4950

1.2

Densidad

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

1.3

1.5

X

1.7

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KUNCEWITZ CERRÓN

800x0.4950=396 alumnos P(zmenor1.65)=¿? Gráfica de distribución Normal, Media=1.5, Desv.Est.=0.3 1.4 1.2

Densidad

1.0 0.8 0.6 0.4

0.3085 0.2 0.0

1.5

X

1.65

800x0.3085=246.8=247 alumnos 3. Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $ 70000 y una desviación estándar de $ 20 000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que : a). El monto solicitado sea de $ 80 000 o superior. b). El monto solicitado oscile entre $65 000 y $80 000. c) El monto solicitado sea de $ 65 000 o superior.

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TAREA DOMICILIARIA.II 1.Calcular el área bajo la curva como sigue Si 𝑋 → 𝑛(0,1), hallar: a) Hallar P[𝒁 ≥ 𝟐. 𝟑𝟐] RESOLUCION P[𝑍 ≥ 2.32]=¶ Gráfica de distribución Normal; Media=0; Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

0.2

1.017% 0.1

0.01017 0.0

0

X

P[𝑍 ≥ 2.32]=0.01017≅1.02% b) Hallar P[Z≤0.03] RESOLUCION P[Z≤0.03]=¶ Gráfica de distribución Normal; Media=0; Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

51.2%

0.2

0.5120 0.1

0.0

0.03 0

X

9

2.32

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KUNCEWITZ CERRÓN

P[Z≤0.03]=0.5120≅51.2%

c) Hallar P[𝒁 ≥ −𝟏. 𝟑𝟎] RESOLUCION P[𝑍 ≥ −1.30]=¶

Gráfica de distribución Normal; Media=0; Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

0.9032

90.32%

0.2

0.1

0.0

-1.3

0

X

P[𝑍 ≥ −1.30]=0.9032≅90.32% d) Hallar P[-2.05≤ Z≤ 𝟏. 𝟑𝟔] RESOLUCION P[-2.05≤ Z≤ 1.36]=¶

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KUNCEWITZ CERRÓN

Gráfica de distribución Normal; Media=0; Desv.Est.=1

0.8929

0.4

Densidad

0.3

89.29%

0.2

0.1

0.0

-2.05

0

X

1.36

P[-2.05≤ Z≤ 1.36]=0.8929≅89.29% e) Hallar P[2.58 ≤ Z≤ 𝟑. 𝟒𝟗] RESOLUCION P[2.58 ≤ Z≤ 3.49]=¶ Gráfica de distribución Normal; Media=0; Desv.Est.=1 0.4

Densidad

0.3

0.2

0.47%

0.1

0.004699

0.0

0

P[2.58 ≤ Z≤ 3.49]=0.004699≅0.47%

11

X

2.58

3.49

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KUNCEWITZ CERRÓN

2.La temperatura durante setiembre está distribuida normalmente como media 18.7° C y la desviación estándar 5°C. calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por debajo de 21°C. RESOLUCION 𝑋 → 𝑛(18.7,25) 𝜇 = 18.7°𝐶 𝜎 = 5°𝐶 calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por debajo de 21°C. a). 𝑃[𝑍 < 21]

Gráfica de distribución Normal; Media=18.7; Desv.Est.=5 0.09 0.08 0.07

Densidad

0.06

67.72%

0.05 0.04

0.6772

0.03 0.02 0.01 0.00

18.7 21

X

𝑃[𝑍 < 21]=0.6772

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TERCERA SEMANA

ESTADISTICA APLICADA

KUNCEWITZ CERRÓN

3. La temperatura durante setiembre está distribuida normalmente como media 18.7° C y la desviación estándar 5°C. calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por encima de 21°C. RESOLUCION 𝑋 → 𝑛(18.7,25) 𝜇 = 18.7°𝐶 𝜎 = 5°𝐶 calcule la probabilidad de que la temperatura durante setiembre esté por encima de 21°C. a). 𝑃[𝑍 > 21]

Gráfica de distribución Normal; Media=18.7; Desv.Est.=5 0.09 0.08 0.07

Densidad

0.06 0.05

32.28%

0.04 0.03

0.3228

0.02 0.01 0.00

18.7 21

X

𝑃[𝑍 > 21]=0.3228

4.En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del més en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. RESOLUCION 𝑋 → 𝑛(23,25) 𝜇 = 23°𝐶 𝜎 = 5°𝐶 Calcular el número de días del més en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. 13

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KUNCEWITZ CERRÓN

a). 𝑃[21 ≤ 𝑍 ≤ 27]

Gráfica de distribución Normal; Media=23; Desv.Est.=5 0.09

0.4436

0.08 0.07

44.36%

Densidad

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

21

23

X

27

𝑃[21 ≤ 𝑍 ≤ 27]=0.4436 El número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°es: 30 días x o.4436=13.308 = 13 días

5. los pesos de 600 paquetes están normalmente distribuidos con medias 65.3 kg. Y desviación estándar 5.51 kg. Encuentre el número de paquetes que pesan: a) Entre 60 y 70 kg. RESOLUCION 𝑋 → 𝑛(65.3,30.36) 𝜇 = 65.3 𝑘𝑔 𝜎 = 5.51 𝑘𝑔 𝑃[60 ≤ 𝑍 ≤ 70]

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KUNCEWITZ CERRÓN

Gráfica de distribución Normal; Media=65.3; Desv.Est.=5.51 0.08 0.07

0.6351

Densidad

0.06

63.51%

0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.00

60

65.3

X

𝑃[60 ≤ 𝑍 ≤ 70]=0.6351 El número de paquetes que pesan entre 60 y 70 kg es: 600 paquetes x 0.6351=381.06 =381 paquetes

b). más de 63.2 kg. RESOLUCION 𝑋 → 𝑛(65.3,30.36) 𝜇 = 65.3 𝑘𝑔 𝜎 = 5.51 𝑘𝑔 P[𝑍 ≥ 63.2]

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70

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KUNCEWITZ CERRÓN

Gráfica de distribución Normal; Media=65.3; Desv.Est.=5.51 0.08 0.07

Densidad

0.06

64.84%

0.05 0.04

0.6484

0.03 0.02 0.01 0.00

63.2 65.3

X

P[𝑍 ≥ 63.2]=0.6484 El número de paquetes que pesan más 63.2kg es: 600 paquetes x 0.6484=389.04 =389 paquetes

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