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ANUALIDADES GENERALES Victor Hugo Carranza Serna

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Visite: http://economistasonline.blogspot.com ANUALIDADES GENERALES

Mientras que en una anualidad simple es un conjunto de dos o más flujos de efectivo, en el que a partir del segundo, los periodos de esta tasa y de renta son del mismo plazo y los importes de cada flujo o renta son uniformes, una anualidad general es aquella en la cual:  Los periodos de tasa y los periodos de renta no son necesariamente del mismo plazo.  Los importes de las rentas que componen el horizonte temporal puede ser uniformes o variables.

Figura 1.1.- Anualidad simple cuyos periodos de tasa, período de renta y sus respectivos importes es uniforme.

0

R

R

R

R

1

2

3

4

i

i

i

i

R

R

5 i

6 i

Figura 1.2.- Anualidad general con varios periodos de tasa por uno de renta e importes de rentas uniformes. R

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1 i

2 i

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3 i

4 i

5 i

6 i

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Figura 1.3.- Anualidad general con varios periodos de renta por uno de tasa e importes de rentas uniformes.

R

R

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1

R

2

R

3

R

4

i

R

5

6

i

Figura 1.4.- Anualidad general con periodos de tasa y periodos de renta iguales, pero con importes de rentas variables.

R

0

1

R

R

R

2

3

4

R`

R`

5

6

Figura 1.5.- Anualidad generales con periodos de tasa y periodos de una renta de diferentes plazos, cuyos importes de renta son variables. Renta5 Renta1

Renta7 Renta2

0

1 i = TEA

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Renta3

2 i = TEM

3

Renta4

4 i = TET

Renta6

5 6

7

i = TES

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Visite: http://economistasonline.blogspot.com Figura 1.6.- Anualidad general cuyos periodos de tasas y periodos de rentas son uniformes y los importes de rentas son variables cada cierto periodo de renta.

0

R

R

R’

R’

1

2

3

4

i

i

i

i

i

R’’

R’’

5

6 i

Como habrá podido verse en los diagramas de series de flujo de renta anteriores al tomar en cuenta los importes de las rentas, los plazos de renta y los plazos de tasa, pueden presentarse varios casos de anualidades generales:  Anualidades cuyos importes de rentas son uniformes, pero cuyo periodo de tasa de renta son diferentes. Pueden presentarse los siguientes casos:   





Varios períodos de tasa por periodo de renta, como se presenta en la figura 1.2, en que hay tres periodos de tasa por cada periodo de renta. Varios periodos de renta por periodos de tasa, como se presenta en la figura 1.3 en que hay tres periodos de renta por periodo de tasa. Anualidades cuyos importes de rentas son diferentes, pero cuyos periodos de tasa y periodos de renta son iguales, como se presenta en la figura 1.4, en que las dos últimas rentas uniformes son diferentes de las cuatro anteriores. Anualidades cuyos importes de rentas son variables y cuyos periodos de tasa y periodos de renta también son variables, como se presenta en la figura 1.5, en la que hay cuatro periodos de tasa y siete periodos de renta. Anualidades cuyos periodos de tasa y de renta son uniformes, pero cuyos importes de rentas son variables de acuerdo con una ley previamente establecida (crecientes, decrecientes, variables cada cierto periodo, etc.)como se presenta en la figura 1.6, en que los importes de renta crecen cada dos periodos de renta.

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MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD GENERAL De modo similar a lo trabajado en las anualidades simples, en una anualidad general puede hallarse su valor futuro, su valor presente y convertir sus rentas variables en rentas uniformes, para transformarlas en anualidades simples. No se generalizan en la utilización de factores financieros para hallar el monto y el valor presente de una anualidad; sin embargo, si la anualidad general presente las características de los dos primeros casos, cuyos correspondientes diagramas son las figuras 1.2 y 1.3, la anualidad general puede convertirse en una anualidad simple del siguiente modo:  Al transformar las rentas vencida en una renta equivalente vencida que coincida con el periodo de la tasa de interés con el FDFA con factor de distribución y el FCS con factor de agrupamiento. Si las rentas son anticipadas puede utilizarse el FRC con factor de distribución de rentas anticipadas y el FAS como factor de agrupamiento de rentas anticipadas.  Al transformar la tasa de interés dada, en una tasa equivalente que coincida con el período de renta. Efectuando esta conversión le son aplicables las formulas simples ya sean vencidas, anticipadas o diferidas.

de las anualidades

Figura 1.7.- FDFA aplicado a R para convertirlas en rentas vencidas equivalentes de importe de x que coinciden con el plazo de la tasa de interés. R

X═?

0

1

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x═?

R

x═?

2

3

x═?

x═?

4

5

x═?

6

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Visite: http://economistasonline.blogspot.com Figura 1.8.- FCS aplicado a R para convertirlas en rentas vencidas

equivalentes de importe X que coinciden con el plazo de la tasa interés. x═?

x═?

R

R

R

R

R

R

1

2

3

4

5

6

0

i

i

Figura 1.9.- FRC aplicado a Ra para convertirlas en rentas vencidas

equivalentes de importante X que coinciden con el plazo de la tasa de interés. Ra

Ra

0

X═?

x═?

x═?

1

2

3

i

i

i

x═?

x═?

x═?

5

6

4 i

i

i

Figura 1.10.- FAS aplicado a R para convertirlas en rentas anticipadas

equivalentes de importe x que coinciden con el plazo de la tasa de interés. x=?

x=?

Ra

0

Ra

1

2 i

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Ra

Ra

3

Ra

4

Ra

5

6

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Visite: http://economistasonline.blogspot.com Para hallar las equivalencias financieras, se sugiere convertir la anualidad general en una anualidad simple al transformar el plazo de la tasa de interés en el plazo de la renta y luego hallar su respectivo monto o valor presente, como se presentan en los siguientes ejemplos.

MONTO DE UNA ANUALIDAD GENERAL De acuerdo con lo indicado ya, el monto de una anualidad general se calculara después de convertir el plazo de la tasa de la renta (esto significa transformar la anualidad general en una anualidad simple); mediante el FCS. EJEMPLO: Halle el monto quincenal de una serie de depósitos de un 3000, realizados a fin de año en un banco que los remunera con una TET de 3%.

Solución: la anualidad general con rentas anuales y tasa trimestral se transforma en anualidad simple al convertir la TET a TEA y con los datos anuales: R= 3000; n=5; TEA=1.034 – 1 = 0.12550881 puede obtenerse S al aplicar la fórmula:

s═? 3000

0

1 [ [

3000

3000

2 ]

3000

3

4

n═5 años

] )

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3000

)

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Visite: http://economistasonline.blogspot.com VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD GENERAL Si se transforma la anualidad general en una anualidad simple su valor presente se calcula con el FAS.

EJEMPLO: Calcule el valor presente de una anualidad en cuyo horizonte temporal anual se realizan pagos vencidos uniformes trimestrales de 2000 um. Utilice una TEM de 1%. Solución: la anualidad general con rentas trimestrales y tasa mensual se transforma en anualidad simple al convertir la TEM en TET y con los datos trimestrales: R = 2000; n = 4; TET = 1.013 – 1= 0.030301 se obtiene P al aplicar la

[

fórmula

) )

]

2 000 0

2 000

1 [

2 000

2 ) )

2 000

3

4

] )

)

RENTAS DE UNA ANUALIDAD GENERAL Si la anualidad general tiene las características de los dos primeros casos, se calcula sus rentas uniformes al convertir la anualidad general en una anualidad simple y mediante los factores financieros: FCS, FDFA, FRC o FAS.

EJEMPLOS 1.- Remplace pagos de 5000um que deben realizarse al final de cada trimestre por pagos equivalentes que se realizarían al final de cada quincena, con una TEA de 15%.

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Visite: http://economistasonline.blogspot.com Solución: la anualidad general con rentas trimestrales y tasa anual se transforma en anualidad simple al convertir la TEA en TEQ y con los datos R = 5000; n=6; TEQ = 1.1516/360 – 1 = 0.005840403 puede obtenerse la renta uniforme vencida quincenal



de importe X con la fórmula R  S 

i

 1  i 

n

   1

5 000

x=?

x=?

x=?

x=?

x=?

5 000

x=?

x=?

x=?

x=?

x=?

x=?

x=?

n = 2 trim.

[

)

] )

)

2.- calcule el importe de la renta cuatrimestral uniforme vencida que durante dos años amortice una deuda de 8000um. Para estos efectos utilice una TEA de 15%.

Solución: la anualidad general con rentas uniformes vencidas cuatrimestrales se transforma en anualidad simple al convertir la TEA en TEC y con los datos P= 8000; n = 6; TEC = 1.15120/360 – 1 = 0.047689553 puede obtenerse la renta uniforme vencida cuatrimestral con la fórmula 4.

R =?

0

1

R =?

R =?

R =?

2

3

4

R =?

R =?

5

6

P = 8000 R = 8000

0.047689553 × 1.0476895536

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= 8000 × 0.1955641365 = 1564.51 9|Página

Visite: http://economistasonline.blogspot.com 1.0476895536 – 1 = FRC (TE1 a TE2 (15%; 360; 120); 6; 8000) ANUALIDADES CUYOS IMPORTES DE RENTAS, PLAZOS DE RENTA Y DE TASA SON VARIABLES Existen diversos procedimientos y combinaciones de factores financieros que pueden utilizarse para dar respuesta directa al problema plateado; no obstante, en la medida de lo posible, se sugiere tener en cuenta los siguientes pasos:  Dibujar el diagrama de flujo de caja de las rentas, ubicar en éste todas sus variables y colocar un interrogante en la variable a obtener.  Verificar que los plazos de renta y de tasa sean uniformes; si estos plazos no se refieren a una misma unidad de tiempo, se sugiere transformar el plazo de la tasa que corresponde con el plazo de la renta.  Si los flujos no son uniformes, hay que tratar de formar rentas uniformes al descomponerlas de modo que forme en el horizonte temporal anualidades simples, en la medida de lo posible.  Establecer las ecuaciones de equivalencia y resolverlas mediante factores simples. Los factores múltiples son los factores financieros que pueden agruparse convenientemente de acuerdo con las características de las rentas y tasas que intervienen en una anualidad.

EJEMPLO 1.- con una TET de 2.5% se requiere hallar el valor presente de los flujos de caja que se realizaran en los días en que se representa en el siguiente diagrama:

2000

1900 1600

0

40

P =?

TET= 2.5%

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1000

1000

100

170

TET = 2.5%

210

TET = 2-5%

360

TET = 2.5% 10 | P á g i n a

Visite: http://economistasonline.blogspot.com Solución: dado que los importes de los flujos de caja y los plazos de renta son variables, puede hallarse el valor presente con el FSA si se aplica tasas equivalentes para cada uno de los flujos de caja que se hallan en los días 40, 100, 170,210 y 360 respectivamente.

P = 2000/1.02540/90 + 1000/1.025100/90 +1000/1.025170/90 +1600/1.025210/90 +1900/1.025360/90 P = 1978.17 + 972.94 + 954.43 + 1510.42 + 1721.31 P = 7137.26 2.- El 30 de junio la compañía Progreso S.A. estaba reprogramando su presupuesto de remuneraciones al personal, el cual ascendía a 5000um hasta el mes de diciembre. Adicionalmente a esos importes, en julio necesitaran 5000um y en diciembre 7000um, para pagos de ratificación y horas extras. Si la empresa puede percibir una TEA de 8% por sus depósitos en un banco, ¿Qué importe colocado hoy 30 de junio le permitirá retirar a fin de cada mes los importes de las planillas que se devengaran mensualmente a partir del 30 de junio?.

Solución: 12000 10000

30/06

5000

5000

5000

5000

31/08

30/09

31/10

30/11

31/07

31/12

Dado que los importes de los flujos de caja y los plazos de renta son variables, puede hallarse el valor presente con el FSA al aplicar tasas equivalentes para cada uno de los flujos de caja que se hallan al final de cada mes. P = 10000

+

1.0831/360

5000 1.0862/360

+

5000 1.0892/360

+

5000

+

1.08123/360

5000

+ 12000

1.08153/360 1.08184/360

P = 9933.95 + 4934.17 + 4902.62 + 4870.24 + 4839.10 + 11537.14 P = 41017.21

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11 | P á g i n a

Visite: http://economistasonline.blogspot.com 3.- Calcule el precio a pagar por un bono con valor nominal de 10000 um redimible dentro de dos años, el cual rinde una TEA de 12% y cuyos intereses se pagan trimestralmente. El inversionista desea devengar una TEM DEL 1.5%.

Solución: la recta trimestral es 287.37 = 10000[1.1290/360 - 1], la tasa de descuenta trimestrales es 0.045678375 = 1.0153 – 1 y con el valor de redención del bono al final del segundo año se tiene el diagrama de flujo de caja siguiente. 10 287.37

287.37 287.37 287.37 287.37 287.37 287.37

0

1

2

3

4

5

287.37

6

7

8

P =?

1.0456783757 – 1

P = 287.37

+ 10 287.37

0.045678375 × 1.0456783757

1 1.0456783758

P = 1689.19 + 7196.47 P = 8885.66

= FAS(TE1 a TE2(1.5%;30;90);7:287.37) + FSA(TE1 a TE2(1.5%;30;90);8;10287.37).

CALCULO DE n E i EN UNA ANUALIDAD GENERAL Cuando una anualidad general ha podido transformarse en una anualidad simple, el cálculo de n e i se hace de igual manera que las anualidades simples; sin embargo, si los importes de las rentas, los plazos de las rentas y plazos de tasas son variables, el valor de i puede calcularse algorítmicamente mediante la función financiera de Excel TIR.NO.PER, que en todos los casos devuelve la TEA para un año de 365 días. EJEMPLO: Un préstamo de 7000 um debe amortizarse en un plazo de 400 días con las cuotas cuyos importes y vencimientos se muestran en el siguiente diagrama. Se requiere conocer la TEA (en 360 días) que se aplico en esta operación.

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12 | P á g i n a

Visite: http://economistasonline.blogspot.com 2000

0

40

1900 1000

1000

100

170

1600

210

400

P = 7000 Solución: puede elaborarse un modelo y utilizar la función financiera TIR.NO.PER para calcular la TEA de 365 días y luego la función personalizada TE1 a TE2 para hallar la tasa equivalente de 360 días, que en presente caso es 14.01%.

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