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• Jonathan Chasi

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE

ANTENAS Ing. Darío Duque Ms. 28/04/2017

El libro-folleto es una revisión de los parámetros fundamentales de las antenas, su aplicación en antenas elementales, dipolos largos, arreglos de antenas. Se trata de tópicos de dispositivos de RF.

Ing. Dario Duque Ms.

DEEE-Sangolquí

CONTENIDO

Pág. l. PROPIEDADES DE LAS ANTENAS

4

1.1 Introducción 1.2 Función de las antenas 1.3 Patrón de radiación 1.4 Polarización 1.4.1 Polarización lineal 1.4.2 Polarización elíptica o circular 1.5 Ganancia Directiva 1.6 Ganancia de Potencia 1.7 Relación Frente-espalda 1.8 Resistencia de Radiación 1.9 Impedancia l.10 Ancho de Banda l.11 Apertura Efectiva

4 4 5 7 7 8 9 11 12 12 13 13 14

2. ANTENAS ELEMENTALES

15

2.1 Método de Análisis 2.1.1 Función Potencial 2.2 Antena Dipolo Hertziano 2.2.1 Campos en zonas apartadas 2.2.2 Patrón de Radiación 2.2.3 Potencia Radiada 2.2.4 Resistencia de Radiación 2.2.5 Polarización 2.3 Dipolo Magnético Elemental

15 15 18 21 22 23 24 24 25

3. ANTENAS DE ALAMBRE

30

3.1 Antena Dipolo Largo 3.1.1 Campos Radiados 3.1.2 Patrón de Radiación 3.1.3 Potencia Radiada 3.1.4 Dipolo de longitud Resonante 3.1.5 Impedancia 3.1.5.1 Resistencia de Pérdidas

30 31 35 36 37 38 39

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1

3.2 3.3 3.4 3.5

Antena Dipolo Doblado Antena Dipolo Corto Antena Dipolo de banda Dual Antena Monopolo

44 50 54 55

4. REDES DE ACOPLAMIENTO

58

4.1 4.2 4.3 4.4

58 63 68 70

Red tipo L Red tipo L invertida Red tipo T Red tipo PI

5. BALUNS

71

6. DUPLEXORES

76

7. ARREGLOS DE ANTENAS

78

7.1 Principio de multiplicación de patrones 7.2 Arreglos uniformes en una dimensión 7.2.1 Arreglo de radiación lateral 7.2.2 Arreglo de radiación longitudinal 7.3 Arreglos uniformes en dos dimensiones

79 80 83 87 91

8. ARREGLOS CON ELEMENTOS PARASITOS

93

8.1 Procedimiento de diseño de una antena YAGI – UDA 8.1.1 Determinación del número de elementos del arreglo 8.1.2 Cálculo de las longitudes de los dipolos 8.1.3 Cálculo de la longitud total de la antena 8.1.4 Cálculo de los espaciamientos 8.1.5 Cálculo de los diámetros de los conductores 8.1.6 Consideraciones en la implementación del diseño

99 99 101 102 102 103 103

9. ANTENAS DE BANDA ANCHA

104

9.1 Diseño de Arreglos logarítmico periódicos de dipolos 9.1.1 Regiones de funcionamiento 9.1.2 Condiciones de escalamiento 9.1.3 Impedancia de entrada 9.1.4 Consideraciones de Diseño 9.1.4.1 Constante de truncamiento de baja frecuencia 9.1.4.2 Constante de truncamiento de alta frecuencia 9.1.4.3 Espaciamiento 9.1.4.4 Longitud del alimentador y número de elementos 9.1.4.5 Carga Terminal

105 109 110 111 112 112 112 112 113 113

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9.1.5 Procedimiento de diseño

113

Apéndice (Tablas de diseño)

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1. -PROPIEDADES DE LAS ANTENAS

1.1.- INTRODUCCION Hay dos categorías amplias en los sistemas de comunicaciones: aquellos que utilizan líneas de transmisión, en la interconexión de una red y, aquellos que dependen de la radiación electromagnética con una antena en los sitios de transmisión y recepción. En esta segunda categoría, las antenas son sin duda, componentes esenciales de un sistema de comunicaciones, consecuentemente, quien esté relacionado con sistemas de comunicaciones debe tener claro, y entender los fundamentos de las antenas, para poder evaluar el comportamiento de un sistema de comunicaciones utilizando sus conocimientos básicos. Los principios generales revisados hasta ahora, son muy útiles para el estudio de antenas, el mismo que es inherentemente mas complicado desde el punto de vista electromagnético, que aquel para líneas de transmisión y guías de onda. El estudio de antenas en el presente curso, será únicamente superficial puesto que el tema es sumamente extenso y profundo.

1.2.- FUNCION DE LAS ANTENAS

Las antenas son estructuras metálicas o también metálicas dieléctricas, diseñadas para radiar o recibir ondas electromagnéticas permitiendo una transferencia eficiente de energía entre una línea de transmisión y el espacio libre; esto es, transforman una onda guiada en una onda en el espacio libre o viceversa. El carácter de los procesos, que tienen lugar en las antenas transmisora y receptora atestigua su reciprocidad, la misma que encuentra su expresión en la posibilidad de utilizar una misma antena en calidad de transmisora y receptora, y de conservar invariables los parámetros principales de la antena al pasar del régimen de transmisión al de recepción y viceversa. Este principio tiene gran importancia práctica, y es utilizado en la mayoría de sistemas de comunicaciones. Todas las antenas, independientemente de su aplicación, tienen ciertas propiedades básicas comunes, como son: patrón de radiación, polarización, directividad, ganancia, impedancia, ancho de banda, mientras que otras propiedades como: resistencia de radiación, relación frente a espalda, etc. no son aplicables a todos los tipos de antenas. Estas propiedades son iguales para transmisión o recepción en virtud del principio de reciprocidad (no para antenas activas).

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1.3.- PATRON DE RADIACION El patrón de radiación de una antena determina la distribución espacial de la energía radiada, y es usualmente la primera propiedad que es especificada en una antena luego de conocer la frecuencia de operación. Es común en la práctica realizar gráficas de secciones planas del patrón de radiación en vez de la superficie tridimensional completa. Las dos vistas más importantes del patrón de radiación, son aquellas del plano principal paralelo al vector intensidad de campo eléctrico en la dirección en que este es máximo, conocido como plano-E y la del plano principal perpendicular al plano-E conocido como plano-H. El ancho del haz en un plano principal se define como el ancho angular entre puntos que están 3 dB por debajo del máximo del haz. Los tipos más comunes de patrones de radiación son: patrón de radiación omnidireccional, patrón direccional, patrón de haz tipo lápiz, patrón de haz tipo abanico, y patrón de haz de forma arbitraria. El patrón de radiación omnidireccional se utiliza para sistemas de radiodifusión o servicios de comunicaciones donde todas las direcciones deben ser cubiertas en igual forma. El patrón en el plano horizontal es circular, mientras que en el plano vertical, tendrá un ancho angular.

Figura l.1 Patrones de radiación en Coordenadas Polares (a) Omnidireccional Plano-H; (b) tipo Lápiz (volumétrico); (c) Direccional plano-E

El patrón de haz tipo lápiz es un patrón altamente direccional y es usado cuando se desea obtener máxima ganancia y cuando la radiación debe ser concentrada en un sector angular lo mas angosto posible. El ancho del haz en los dos planos principales es esencialmente igual. El patrón de haz tipo abanico es similar al tipo lápiz excepto que la sección transversal del haz es de forma elíptica en vez de circular. El ancho angular del haz en uno de los planos es mucho mayor que en el otro plano.

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El patrón de haz de forma arbitraria se usa cuando en uno de los planos se desea tener un tipo de cobertura especificada. El patrón en el otro plano principal puede tener un ancho angular angosto o en forma de circunferencia para cierto tipo de aplicaciones. Hay otros tipos de patrones de diferentes formas utilizados en aplicaciones especiales (cardioide, de multilóbulo, etc.). El patrón de radiación de una antena, es particular para el tipo de antena y sus características eléctricas así como también para sus dimensiones físicas. La medida del mismo, se realiza a una distancia constante en las zonas apartadas de la antena. El patrón de radiación de una antena es a menudo graficado en términos de potencia relativa (normalizado). Esto es, la posición de la potencia máxima radiada es graficada a 0 dbs; así la potencia de todas las otras posiciones aparecerá como un valor negativo. En cualquier tipo de patrón de radiación, podrían aparecer haces (lóbulos) de radiación no deseada, conocidos como lóbulos laterales o secundarios, los cuales están separados del lóbulo principal y cuyo nivel se especifica con referencia al lóbulo principal generalmente en dB bajo este. Puesto que estos no contribuyen en la dirección principal de interés, siempre es deseable mantener los lóbulos laterales en niveles razonablemente bajos. El patrón de radiación puede ser graficado usando coordenadas rectangulares o coordenadas polares. Los gráficos en coordenadas rectangulares pueden ser leídos en forma más precisa, sin embargo, los gráficos polares, dan una representación más real, siendo así fácil la visualización.

Figura 1.2. Patrón de radiación en coordenadas rectangulares

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1.4.- POLARIZACION Aunque este término puede ser aplicado igual para polarización magnética o eléctrica, el mismo es definido exclusivamente en términos de la orientación del vector intensidad de campo eléctrico en la dirección de máxima radiación. Esto es, como varía la amplitud del campo eléctrico en el tiempo, si nos ubicamos en un punto fijo en el espacio. Así, el extremo del campo eléctrico podría describir una línea recta, una elipse o un círculo. Se dice entonces que la polarización de una antena, es la polarización del campo eléctrico que radiaría la antena en la dirección en que este sea máximo.

1.4.1.- POLARIZACIÓN LINEAL

En el caso de polarización lineal, el vector intensidad de campo eléctrico varía senoidalmente en el tiempo en un plano (plano YZ) como se indica en la figura 1.3. Si un observador, en un punto fijo en el espacio (Ejem. z=0), mira la punta del vector campo eléctrico conforme transcurre el tiempo, observará, que este describe una trayectoria lineal, y para este caso vertical. Se dice entonces que el campo eléctrico tiene polarización vertical (polarización lineal). Si la trayectoria lineal es en el plano horizontal, se tendrá el caso de polarización horizontal. El vector campo eléctrico podría también estar polarizado, formando cualquier ángulo con los planos horizontal o vertical, sin embargo solo el ángulo de 45 grados es utilizado, caso en el cual se conoce como polarización oblicua o inclinada. Em sin (wt-Bz)

Figura 1.3. Variación del campo eléctrico con el tiempo en un punto fijo en el espacio para polarización vertical. Es importante entonces hacer notar, que la polarización de la antena receptora, debe coincidir con la polarización de la radiación incidente, para detectar el máximo del campo

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eléctrico. Si no sucede esto, será detectado solo el componente del campo en la dirección de polarización de la antena.

1.4.2.- POLARIZACION ELIPTICA O CIRCULAR

La polarización circular es un caso particular de la polarización elíptica por lo que serán revisadas juntas. Asúmase que el campo eléctrico radiado por una antena tiene dos componentes que varían senoidalmente en el tiempo con un desfasamiento temporal y espacial de 90 grados como se indica en la figura 1.4. E = Em1 Sin(wt - Bz) i + Em2 Sin(wt – Bz + 90°) j

Figura 1.4 Polarización circular producida por dos ondas planas ortogonal mente polarizadas en cuadratura de fase. Un observador ubicado en un punto fijo en el espacio (Ejem. z=0), mirará que el campo resultante en cada instante de tiempo, será la suma de los dos componentes. Si las amplitudes de los componentes son iguales, el campo resultante siempre tendrá la misma amplitud pero diferente dirección, describiendo por tanto una trayectoria circular como se indica en la figura 1.4. Se trata entonces de un campo con polarización circular.

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Si, las amplitudes de los componentes son diferentes (Ejem. Em2>Eml), el campo resultante describirá una trayectoria elíptica con el eje mayor en la dirección vertical como se indica en la figura 1.5. El campo eléctrico tendrá entonces polarización elíptica.

Figura 1.5 Dos casos de polarización elíptica: a) eje mayor vertical, b) eje mayor horizontal Para el caso de los ejemplos, la amplitud del campo eléctrico resultante cambia de posición rotando en la dirección horaria. Se dice entonces que se trata de POLARIZACIÓN CIRCULAR A LA DERECHA que se abrevia como RHCP (Right Hand Circular Polarization). Si el vector resultante, estuviese rotando en la dirección antihoraria se conoce como POLARIZACIÓN CIRCULAR A LA IZQUIERDA que se abrevia como LHCP (Left Hand Circular Polarization). Las antenas pueden radiar energía no deseada con una polarización diferente a la esperada. A esta radiación con polarización no deseada se la conoce como POLARIZACIÓN CRUZADA. Para el caso de polarización lineal la polarización cruzada es perpendicular a la polarización que se espera. Para polarización circular, la polarización cruzada puede ser considerada como el componente que tiene el sentido de rotación opuesto al que se espera.

1.5.- GANANCIA DIRECTIVA AKI Ninguna antena real irradia energía uniformemente en todas las direcciones, por lo que siempre existirá una mayor concentración de energía en cierta dirección. Si esta concentración de energía es medida tomando como referencia un radiador ficticio sin perdidas que irradie energía uniformemente en todas las direcciones, se tendrá una medida

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de la concentración de potencia en una dirección particular para esa antena. A esta medida de la concentración de potencia en una dirección particular (,  a una distancia fija (r) de la antena se conoce como ganancia directiva de la antena. Al radiador ficticio sin perdidas que irradie energía uniformemente en todas las direcciones y que se lo toma como referencia se lo conoce como RADIADOR ISOTROPICO. La ganancia directiva D(,  de una antena estará entonces dada por: D(, =

donde:

U (  ) U AV ( ,  )

U(,  = Intensidad de radiación Uav= Intensidad media de radiación asumiendo distribución uniforme Uav= P rad / 4

La intensidad media de radiación asumiendo una distribución uniforme de potencia en todas las direcciones (radiador isotrópico) se la puede obtener mediante la relación de la potencia total radiada (P rad ) para el ángulo sólido total 4. Esto es, la ganancia directiva quedará: D(,  = 4 

U ( ,  ) PAV

La intensidad de radiación no es mas que la potencia radiada por unidad de ángulo sólido y puede ser determinada como: U(,  = Sav r2 ó también así: U(,  = (1/2ŋ)E2(r, ,  . r2 donde: Sav = Densidad media de potencia ŋ = Impedancia característica del aire = 120  r = Distancia radial desde la antena al punto donde se determina el campo E(r, ,  = Amplitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas (r, ,  El valor de la ganancia directiva D(r, ,  en la dirección en que esta es máxima se conoce simplemente como DIRECTIVIDAD.

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1.6.- GANANCIA DE POTENCIA

La ganancia directiva de una antena es simplemente una función de la forma del patrón de radiación de la antena. La ganancia de potencia por otro lado tiene en cuenta las perdidas en la antena y está definida de manera similar a la ganancia directiva, excepto que en este caso la potencia de entrada total a la antena es usada como referencia en vez de la potencia total radiada. Siendo la diferencia entre estas dos potencias una medida de la eficiencia de la antena; esto es: Prad = e Pin Donde e es la eficiencia, Pin es la potencia total de entrada a la antena y Prad es la potencia total radiada por la antena. La ganancia de potencia es entonces definida como: G(,  = 4 

Y usando la relación anterior

U ( ,  ) Pin

G(,  = e D(, 

Esto quiere decir que para antenas sin pérdidas donde la eficiencia es 100%, la ganancia directiva y la ganancia de potencia son sinónimos. Esto sucede en el radiador isotrópico. El valor de la ganancia de potencia en la dirección en que esta es máxima se conoce simplemente como GANANCIA. A menudo la ganancia de una antena está dada en decibelios tomando como referencia la ganancia de un radiador isotrópico Go (que es 1) así: G(dB) = 10 log (G/Go) G(dB) = 10 log G -10 log Go G(dB) = 10 log G La ganancia expresada en dB teniendo como referencia el radiador isotrópico se conoce con la unidad dBi. Por el contrario, si la referencia es el dipolo de longitud resonante, su unidad se denomina dBd. Las ganancias de las antenas varían entre valores de 2 dB para un dipolo, hasta valores alrededor de 70 dB para una antena de estación de tierra satelital. Estas representan ganancias lineales en relaciones de 1.5 a 10'000.000, respectivamente comparados con una antena isotrópica.

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1.7.- RELACION FRENTE A ESPALDA

La relación frente a espalda F/B (Front to Back ratio) es una medida de la habilidad de una antena direccional para concentrar el lóbulo principal en la dirección requerida. En términos lineales, esta es definida como la relación de la potencia máxima del lóbulo principal para aquella del lóbulo en la dirección contraria (Backlobe). Esta, está usualmente expresada en decibelios, como la diferencia entre los niveles del máximo en la dirección frontal (forward) y el máximo en la dirección opuesta. Ver figura 1.6.

Figura 1.6. Patrón de radiación mostrando el lóbulo de espalda.

1.8.- RESISTENCIA DE RADIACION

La Resistencia de radiación de una antena es aquella resistencia equivalente, la cual disiparía la misma cantidad de potencia que la antena irradia, cuando la corriente en esta resistencia es igual a la corriente en los terminales de entrada de la antena. De acuerdo a esto, la resistencia de radiación caracterizará la capacidad de la antena para la emisión de energía electromagnética, y no provocará la transformación de energía eléctrica en térmica. El valor de la resistencia de radiación, puede determinarse entonces, mediante la siguiente relación: Rrad = P rad / Iin2

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donde Prad , es la potencia total radiada por la antena y, Iin es la corriente en los terminales de entrada a la antena.

1.9.-IMPEDANCIA

La impedancia de entrada de un sistema de antena es de considerable importancia, puesto que esta directamente afecta la eficiencia de la transferencia de energía a ó desde la antena. La impedancia de entrada de un sistema de antena depende no solamente de la impedancia de los elementos individuales de la antena, sino también de la impedancia mutua entre los elementos de la antena, así como de las condiciones de acoplamiento y montaje de la antena. Es extremadamente difícil determinar de manera teórica la impedancia de entrada de una antena, aunque tenga una forma geométrica simple. Y aun, para estos casos simples existen muchos tropiezos, por lo que es generalmente preferible usar inicialmente valores de impedancia teóricos para propósitos de interpretar y guiar el procedimiento de medición experimental.

1.10.- ANCHO DE BANDA

El ancho de banda de una antena es una medida de su habilidad para radiar o recibir diferentes frecuencias, y se define como el rango de frecuencias en que la antena puede radiar o recibir con una eficiencia de potencia del 50% o más (o, en voltaje con una eficiencia del 70,7% o más). Un gran ancho de banda, es alcanzado sacrificando la ganancia. El ancho de banda es generalmente expresado en una de las dos formas: como un porcentaje o como una fracción o múltiplo de una octava. (Una octava es una banda de frecuencias entre una frecuencia y la frecuencia que es el doble o la mitad de la primera frecuencia.) Cuando éste, está expresado como un porcentaje del ancho de banda, el mismo debe ser repartido y expresado relativo a su frecuencia central. Cuando el ancho de banda es expresado en forma de porcentaje, este es definido por la relación: Bw= (Δf / f) .100 donde f es la frecuencia central y Δf es el rango de frecuencia. Ejemplo: Las frecuencias de operación de una antena están en el rango de 1 GHz. a 2GHz., expresar el este ancho de banda como un porcentaje.

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Solución: Si el rango de frecuencias es de 1 GHz a 2GHz , Δf será 2-1 = 1 GHz. y la frecuencia central.5GHz. Utilizando la expresión anterior Bw= 66.7%. Entonces el ancho de banda puede ser descrito como 66.7% a 1.5GHzó 1.5GHz + 33.3% ó 1.5GHz. + 0.5GHz. Cuando el ancho de banda es expresado en términos de una fracción o múltiplos de una octava, éste está definido por la siguiente relación: Bw= log2( fsup / finf ) donde fsup es la frecuencia mayor y, finf es la frecuencia menor de operación. 1.11.- APERTURA EFECTIVA

Considerando una antena como dispositivo receptor, es sumamente útil emplear el concepto de área efectiva. Si una antena receptora es ubicada dentro del campo de una onda electromagnética linealmente polarizada, la potencia recibida disponible en los terminales de la antena es igual al área efectiva que multiplica a la potencia por unidad de superficie que transporta la onda (densidad de potencia).

Prec = Sav .Aeff ó Aeff = Prec / Sav

donde Prec es la potencia recibida en vatios, Sav es la densidad de potencia de la onda presente en vatios por metro cuadrado, y, Aeff es el área efectiva de la antena en metros cuadrados. Existe una relación muy útil entre el área efectiva y su ganancia de potencia como sigue:

Aeff = 2 G / 4

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2. ANTENAS ELEMENTALES

2.1.-

METODO DE ANALISIS

Uno de los métodos para determinar la configuración de los campos electromagnéticos radiados por una antena es partir del conocimiento ya sea de la distribución de corriente en la superficie de la estructura o del conocimiento de los campos en la superficie de la misma. Puesto que es mas sencillo determinar o asumir de alguna manera la distribución de corriente, antes que la forma de los campos, se enfoca el análisis generalmente a partir de la distribución de corriente, mediante la utilización de funciones potencial auxiliares como el vector potencial magnético o el vector potencial eléctrico. En este caso se utilizará exclusivamente el vector potencial magnético.

2.1.1.- FUNCION POTENCIAL

Partiendo de las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre en notación fasorial se tiene que: xEˆ   jwHˆ   jwBˆ xHˆ  Jˆs  jwEˆ

donde el término Jˆs es el fasor densidad de corriente en la región, el mismo se lo tratará como la fuente conocida de los campos electromagnéticos radiados.  Utilizando la identidad vectorial  N  0 Y puesto que   Bˆ  0 , entonces el vector Bˆ puede escribirse como el rotacional de una función vectorial, que en este caso se la define como vector potencial magnético ( Aˆ ), esto es,

Bˆ    Aˆ reemplazando en la primera ecuación

xEˆ   jw (xAˆ ) x( Eˆ  jw Aˆ )  0 y por la identidad vectorial

    V  0 se tiene que

Eˆ  jwAˆ  V

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donde el signo negativo es arbitrario y sirve para simplificar futuros resultados. Siendo V la función potencial escalar eléctrico. Por lo tanto si de alguna forma se puede determinar Aˆ y V, los vectores intensidad de campo eléctrico e intensidad de campo magnético pueden encontrarse como

 1 H xAˆ

0

Eˆ   jw Aˆ  V Esto es, Aˆ y V pueden considerarse únicamente como funciones intermedias en el proceso de determinación de los vectores de campo deseados. De la ley de Ampere y utilizando la identidad vectorial del rotacional de una función vectorial se tiene que

   (  0 H )   0 Jˆs  jw 0  0 Eˆ     Aˆ   Jˆs  jw  Eˆ 0

0

0

(  Aˆ )   Aˆ   0 Jˆs  jw 0  0 ( jwAˆ  V ) 2

de donde,

 2 Aˆ    0 Jˆs  (  Aˆ )  w 2  0 0 Aˆ  jw  0 0 V  2 Aˆ   0 2 Aˆ    0 Jˆs  (  Aˆ  jw  0 0V ) ecuación que está en términos únicamente de las funciones potencial ( a ser determinadas) Aˆ y V y de la fuente (densidad de corriente Jˆs ) la cual se asume conocida. En este punto, se requiere más información de la función potencial auxiliar. Para determinar completamente Aˆ , es necesario definir no solo el rotacional sino la divergencia. Esto es, si se hace que,

  Aˆ   jw 0 0V relación conocida como condición de Lorentz, la ecuación anterior quedará 2  2 Aˆ   0 Aˆ   0 Jˆs

donde



0

   0 0

Se obtiene entonces una ecuación que relaciona exclusivamente al vector potencial magnético con la densidad de corriente (fuente conocida), la misma que es similar a la ecuación de la onda con un término adicional -  0 Jˆs . Esta es una ecuación vectorial que puede expandirse en sus componentes escalares, cada uno de los cuales será también una ecuación diferencial parcial de segundo orden no homogénea. Esto es, asumiendo

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coordenadas rectangulares, los componentes escalares serán: 2  2 Aˆ x   0 Aˆ x    0 Jˆs x 2  2 Aˆ y   0 Aˆ y    0 Jˆs y 2  2 Aˆ z   0 Aˆ z    0 Jˆs z

La expresión que se asume como solución de este tipo de ecuación diferencial, es la conocida expresión integral da por:

 Aˆ x  0 4

Jˆs x´ e  j 0 R v´ R dv´

Teniendo la misma forma para el caso de Aˆ y y Aˆ z . O en forma vectorial el vector Potencial magnético estará dado por:

 Aˆ  0 4

Jˆs' e  j 0 R  R dv´ v´

donde dv’ contiene a Jˆs ' , R es la distancia entre el diferencial elemental de volumen y el punto en el cual se está determinando Aˆ y r es la magnitud del vector posición del punto donde se determina Aˆ . De este modo entonces, si se conoce la distribución de corriente sobre la superficie del radiador de una antena ( Jˆs ), mediante la solución de la expresión integral anterior se puede determinar el vector potencial magnético, y conocido este los vectores del campo electromagnético radiado de las expresiones

1 Hˆ  xAˆ

0

(  Aˆ ) Eˆ   jw Aˆ  jw  0 0 Alternativamente, para puntos fuera de la distribución de corriente ( Jˆs = 0) el campo eléctrico podría ser determinado como Eˆ 

1 xHˆ jw 0

Pero ahora, por el momento, la principal dificultad será determinar Jˆs , sin embargo, la forma aproximada de Jˆs podría deducirse experimentalmente o por razonamiento físico para ciertas estructuras simples asumiendo que el mismo está localizado exclusivamente en

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la superficie de la antena. Por lo que las soluciones no son exactas para la mayoría de las estructuras. Para antenas de formas complicadas es difícil deducir la forma de Jˆs sobre la superficie de la antena, por lo que para estos casos deberán utilizarse métodos más sofisticados para aproximar soluciones, tales como el método de los momentos. Para obtener una buena simplificación, la solución es típicamente restringida a puntos del campo a grandes distancias desde la antena.

2.2 ANTENA DIPOLO HERTZIANO

Una antena simple para la cual se pueden calcular los campos de una manera directa no complicada, es el dipolo Hertziano o dipolo eléctrico elemental. Esta antena ideal consiste de un elemento infinitesimal de corriente (infinitesimal respecto de la longitud eléctrica),  de longitud “dl”, que transporta un fasor de corriente I el mismo que se asume constante en magnitud y fase a lo largo de toda la longitud del segmento.

Fig. 2.1 Antena dipolo eléctrico elemental

Así entonces, debido a que se conoce la distribución de corriente, el vector Potencial magnético en un punto ubicado a una distancia radial r del origen de coordenadas y del dipolo, puede determinarse como

 Aˆ  0 4

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Jˆ´e  j 0 R v´ R dv´

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 Puesto de la densidad de corriente está en la dirección Z ( k ) y la longitud dl del segmento es sumamente pequeña comparada con la distancia radial r puede aproximarse en la expresión integral sin cometer un apreciable error que (1/R)  (1/r) en el caso de la magnitud y que R  r para la fase, y además, debido a que no existe ninguna especificación respecto del diámetro del segmento diferencial de corriente, el integral de volumen se transforma en un integral de línea a lo largo de la longitud del segmento. Esto es , Aˆ queda    Aˆ  0 e  j 0 r  I dz´k 4 r l

   Aˆ  0 e  j 0r I dlk 4 r

de donde

Este será entonces el vector potencial magnético a una distancia r de la antena, el mismo que se encuentra expresado en función de la distancia radial r (coordenadas esféricas) y del  vector unitario k (coordenadas rectangulares), por lo que para la determinación de H y E será necesario transformar el mismo completamente a coordenadas esféricas o coordenadas rectangulares para poder aplicar las operaciones diferenciales del rotacional.  Para expresarlo en coordenadas esféricas, se tiene que el vector unitario k esta dado por   k  cos  r  sen ˆ de donde





 0 I dle  j r  0 I dle  j r ˆ A cos  rˆ  sen ˆ 4 r 4 r 0

Aˆ  Ar rˆ  A ˆ

esto es,



0

donde



 I dle  j r Ar  0 cos  4 r 0

y

 I dle  j r A   0 sen 4 r 0

El vector Intensidad de campo magnético estará entonces dado por

1 Hˆ    Aˆ

0

 H  rˆ

1  0 rsen

  Aˆ  ( Sen Aˆ )      

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ˆ   (rAˆ )  1  (rAˆ ) Aˆ r   ˆ 1  1 Ar   ˆ    r  sen    r  r  r  0 0    

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   

de donde

 1  (rAˆ ) Aˆ r H   0 r  r 

esto es,

 Idl    1 Hˆ   Sen e  j 0 r  2  j 0 ˆ r  r  4

 lo que implica que H r  0 , Hˆ   0

y

 ˆ  

   Idl  1 H  Sen e  j 0r  2  j 0  4 r  r

Se observa entonces que el campo magnético radiado por esta estructura tiene solo un componente en la dirección φ, el mismo que tiene la contribución de dos partes, la primera que es proporcional a (1/r) y la segunda que es proporcional a (1/r2). La primera parte se denomina componente del campo en zonas apartadas puesto que si r es muy grande, el término proporcional a (1/r2) es despreciable, mientras que la segunda se denomina componente del campo de inducción el mismo que domina en zonas cercanas, puesto que si r es muy pequeño, el término proporcional a (1/r) es despreciable. Conocido el campo magnético, es posible rápidamente determinar el campo eléctrico aplicando localmente la primera ecuación de Maxwell, esto es Eˆ 

1   Hˆ jw 0

que se expande como:

ˆ   ˆ )  H   ( Sen  H      1   (rHˆ  Hˆ r   ˆ  jw  0 r  r  

Eˆ  rˆ

quedando

de donde

1 jwr  0 Sen

Eˆ 

Eˆ r 

( Sen Hˆ  ) 1 jwr 0 Sen 

ˆ    (rHˆ  )    ˆ 1  1 ( H r  )    jw  r sen     r 0   

rˆ 

1 (rHˆ  ) ˆ  jw 0 r r

 1 I dl  jor jo  1 e 2 sen cos   3  2  jwr 0 Sen 4 r  r

IdlSen  e  jor Eˆ  wr 0 4

 o 2 o 1  j  2  j 3  r r   r

y

 E  0

Se observa entonces que el campo eléctrico tiene dos componentes un componente en la dirección radial y un componente en la dirección θ, pero en el componente en la dirección θ aparece una contribución de campo proporcional a (1/r3), conocido como campo electrostático, y que domina en la región sobre el dipolo donde los componentes

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20

proporcionales a (1/r) y a (1/r2) son despreciables.

2.2.1 CAMPOS DEL DIPOLO HERTZIANO EN ZONAS APARTADAS

Debido a que el interés del estudio de antenas radica principalmente en el conocimiento de los campos en zonas apartadas (transmisión de información a distancia), las expresiones anteriores para E y H pueden simplificarse notablemente si se desprecian las contribuciones del campo de inducción (proporcional a 1/r2) y del campo electrostático (proporcional a 1/r3), quedando  j I dl Eˆ F  F   o  o Sen e  jorˆ 4 r

 jI dl ˆ H F F   O Sen e  jorˆ 4 r

o 

donde

o o

y

puede notarse además que,

 o  w  o o

o 

Eˆ F  F Hˆ F  F

que no es mas que la impedancia

característica del medio en el que se propagan las ondas, en este caso el vacío. Por lo que si se conoce el campo eléctrico, el campo magnético puede determinarse como 1 Hˆ F  F  (rˆ  Eˆ F  F ) o, por el contrario si se conoce el campo magnético, el campo

o

Eˆ F  F  o ( Hˆ F  F  rˆ)

eléctrico será

Analizando las expresiones, del campo eléctrico y magnético, se observa que las mismas tienen una amplitud que decrece como 1/r una función de θ, y una fase. A esta forma de onda se la conoce como onda esférica, pues se propaga, radialmente en todas las direcciones, y será la forma que tendrán los campos radiados por la mayoría de estructuras como se verá mas adelante. El vector de Poynting o vector densidad media de potencia esta dado por

S AV

esto es,

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  H o  1  e( Eˆ  Hˆ * )  2 2

S AV

 o I 2 dl 2 o 2 Sen 2  rˆ 32 2 r 2

21

2

rˆ 

 E

2

2 o

rˆ

2.2.2 PATRON DE RADIACION DEL DIPOLO HERTZIANO

La gráfica del módulo de la densidad media de potencia para valores constantes de r se conoce como el patrón de radiación. Para este caso se obtiene un patrón tridimensional como se indica en la figura 2.2.

Fig. 2.2 Patrón de radiación tridimensional de la antena dipolo Hertziano

Se observa entonces, que la máxima radiación ocurre para un ángulo θ = 90°, mientras que radiación cero para cualquier punto ubicado sobre el eje Z. La gráficas del patrón de radiación en los planos E y H dan patrones como los que se indica en la figura 2.3, donde el patrón en el plano E es direccional con máximos en θ = 90°, siendo el mismo para cualquier ángulo φ, y el patrón en el plano H omnidirecional.

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22

(a) Figura 2.4

2.2.3

(b)

(a) Patrón de radiación plano E (b) Patrón de radiación plano H

POTENCIA RADIADA

Para determinar la potencia total radiada por la antena, es necesario integrar el vector de Poynting en la superficie esférica de radio r que rodea la antena, como se indica en la figura 2.5.

Fig. 2.5 Superficie para la determinación de la potencia total radiada por el dipolo

Así entonces,

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 PAV   S AV dA

23





2

 I 2 dl 2 o 2 Sen 2 PAV    o rˆ  r 2 Sen d d rˆ 2 2 32 r  0  0 

PAV

  I 2 dl 2 o 2  o ( 2  ) Sen 3 d  32 2  0

PAV PAV 

o I 2 dl 2 o 2 4  (2 ) 2 3 32

 o I 2 dl 2 o 2 12

puesto que o  120 , entonces la potencia media total radiada por el dipolo hertziano queda PAV  10I 2 dl 2 o 2 ó en función de la longitud de onda, sabiendo que  o 

2

o

, la expresión del PAV queda

2

 dl   PAV  40 I   0  Ejemplo: dl = 0.1 o y considerar: I = 1 A. Prad= 3.95 W dl= 0.01 o Prad = 39,5 mW. 2 2

DIRECTIVIDAD: Dmáx= 3/2, 1,76 dBi

2.2.4

RESISTENCIA DE RADIACION

De acuerdo a la definición de resistencia de radiación la PAV será igual a PAV  Irms 2 R rad

de donde, remplazando el PAV , y sabiendo que I2 = 2 I2rms se tiene que 2

 dl    Irms 2 R rad 40 (2 Irms )  o  2

2

2

 dl   R rad  80   o  Ej: dl = 0.1 o Rrad= 7,9 Ω , dl= 0.01 o Rrad = 78,9 mΩ 2

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24

2.2.5 POLARIZACIÓN

De la expresión del campo eléctrico,

Eˆ F  F

 jI dl   o  o Sen e  jorˆ , 4 r

se observa, que el mismo, será máximo cuando θ = 90°, en la dirección ˆ que corresponde  a - k en ese punto. Por lo que el campo eléctrico conforme transcurra el tiempo describirá una trayectoria lineal, en este caso vertical. Se trata por tanto de una antena con polarización vertical

2.3

DIPOLO MAGNETICO ELEMENTAL

El dipolo magnético elemental es un lazo conductor de radio “a”, en el que la longitud total del lazo es sumamente pequeña comparada con la longitud de onda, y a través de la cual circula una corriente I que se asume es igual en magnitud y fase a lo largo de todo el lazo (ver Figura 2.6).

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25

Fig. 2.6 Dipolo magnético elemental

Puesto que se conoce la corriente, el vector potencial magnético en un punto situado a una distancia radial r del centro del lazo será Aˆ 

o 4

Jˆ´e  joR  R dv´ v´

donde, debido a que el diámetro del conductor es despreciable comparado con su longitud, el integral de volumen se transforma en un integral de línea a lo largo del lazo y J’ dv’ en I dl, así, Aˆ queda

 Aˆ  o 4

Iˆ e  joR   R dl

utilizando el siguiente artificio, el exponente puede escribirse como e  joR  e  joRe  jor e jor e  joR  e  jor e  jo ( R r ) e  jo ( R r )  (Cos o ( R  r )  jSen  o ( R  r ))

y puesto que R es muy semejante a r se tiene que e  joR  e  jor 1  j o ( R  r )  e  jor 1  j o r   j o R

por lo que Aˆ queda

 o  j0r  Iˆ  Aˆ  e 1  j or dl  jo  Iˆdl  4 R  

Puesto que I es un vector constante en magnitud y fase, el segundo integral es cero, mientras que el primer integral es una expresión conocida dada por Iˆ  Iˆ a 2 Sen  R dl  r 2 ˆ

Así, el vector potencial magnético queda

 Iˆ a 2 Sen 1  j 0 r e  j0rˆ Aˆ  0 4 r2 de donde el vector H será

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26

1 Hˆ    Aˆ

o

Hˆ  rˆ

1 A  ˆ 1  1 Ar  (rA )  1   (rA ) Ar      ˆ ( Sen A )          0 rSen      0 r  Sen  r   o r    

1  1  (rA ) ˆ ( Sen A )rˆ    o rSen  o r  Hˆ  H r rˆ  H  ˆ Hˆ 

y por tanto, jw 0 Iˆa 2  02 Hˆ r  2 0

 1 1    j cos  e  j 0 r 2 3 3    r2 0 r   0

jw o Iˆa 2  o2 Hˆ   4 o

 1 1 1  j   j sen e  j 0 r 2 3 3  2   r  r  r 0 0 0  

Hˆ   0 y, el campo eléctrico podrá determinarse como Eˆ 

1   Hˆ jw 0

esto es,

ˆ   ˆ )  H   ( Sen  H      1   (rHˆ  Hˆ r   ˆ  jw  0 r  r  

Eˆ  rˆ

1 jwr  0 Sen

Eˆ 

de donde,

1  (rHˆ  Hˆ r  jw 0 r  r 

  ˆ  

2 w o Iˆa 2  o Eˆ    j sin  4

ˆ    (rHˆ  )    ˆ 1  1 ( H r  )    jw  r sen     r 0   

 Eˆ  ˆ

 1 1  j    r  2r 2  o o  

Esto es, el campo eléctrico y magnético quedan definidos completamente, observándose que en este caso, el campo eléctrico tiene una expresión similar que la del campo magnético del dipolo Hertziano, y a su vez, el campo magnético, una expresión similar al campo eléctrico del dipolo Hertziano, con las contribuciones del campo electrostático, campo de inducción y campo en zonas apartadas.

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27

Considerando exclusivamente las contribuciones en zonas apartadas, las expresiones de los campos quedan: 2 Iˆa 2  o ˆ H F F   sen e  j 0rˆ 4r

 Iˆa 2  o 2 Eˆ F  F  o sen e  j 0r ˆ 4r Donde nuevamente se observa que las mismas corresponden a una onda esférica, teniendo la misma forma que para el caso del dipolo eléctrico. El vector densidad media de potencia estará dado por 

S AV

esto es,

1  e( Eˆ  Hˆ * )  2

S AV 

o I 2 a 4 o 4 Sen 2 32r 2

o H 2

rˆ

o,

2

rˆ 

S AV

 E

2

2 o

rˆ

 A  1860 I  2  o 2

2

 Sen 2  ˆ  r2 r 

donde A = a2 La gráfica del módulo de esta expresión para valores constantes de r da una forma del patrón de radiación tridimensional, similar que para el caso del dipolo Hertziano, como se observa en la figura 2.7. Y los cortes de esta gráfica en los planos E y H, dan un patrón de radiación omnidireccional en el plano E y direccional en el plano H como se observa en la figura 2.8, Esto es, contrario de lo que ocurría con el dipolo eléctrico.

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28

Figura 2.7 Patrón de radiación tridimensional del dipolo magnético elemental

(a)

(b)

Figura 2.8 (a) Patrón de radiación plano – E,

(b) Patrón de radiación plano - H

La potencia media total radiada por esta estructura se obtiene de igual forma que en el caso anterior, esto es, integrando el vector de Poynting en toda la superficie esférica que rodea el lazo. Esto es,

 PAV   S AV ds 

PAV 

2

   

o I 2 a 4  o 4 Sen 2 2

rˆ  r 2 Sen d d rˆ

32r 2 4 4   I a o PAV  o (2 )  Sen 3d 32  0 2 4 4  I a o 4 PAV  o (2 ) 32 3 0 0

D=3/2 Sen 2

; Dmax= 1,5 ó 1,76 dBi

puesto que o  120 , y además,

o 

2

o

, entonces

 A PAV  15585 I 2  2   

2

done A es el área del lazo. Y de esta expresión, de acuerdo a la definición de resistencia de radiación se tiene que

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29

PAV  Irms 2 R rad

de donde la resistencia de radiación será

R rad

 A   31170 2      o 

2

Tanto el dipolo eléctrico elemental como el dipolo magnético, son antenas sumamente ineficientes esto es, requieren de corrientes excesivamente altas para irradiar bajas potencias, o de muy altas potencias en el medio para inducir muy bajas corrientes, sin embargo las expresiones obtenidas para estas antenas, permiten simplificar de cierta manera el análisis de estructuras más complejas. Para el caso particular de la antena dipolo magnético, esta se utiliza ampliamente a pesar de su baja eficiencia como antena receptora en la banda de radiodifusión AM, debido a las altas potencias radiadas en esta banda. Respecto de la polarización, se observa que el campo eléctrico se encuentra en la dirección φ, y será máximo, para un ángulo θ = π/2, variando en el tiempo sobre el plano horizontal, por lo que esta antena tiene polarización horizontal. 3. ANTENAS DE ALAMBRE

3.1

ANTENA DIPOLO LARGO

La antena dipolo largo o simplemente dipolo, consiste en un alambre delgado de longitud comparable a la longitud de onda, que es excitado o alimentado con una fuente de voltaje insertada en el punto medio como se muestra en la figura 3.1

Figura 3.1 Antena dipolo Asumiendo que los alambres del dipolo son sumamente delgados, de tal manera que las variaciones de la corriente en la superficie del alambre sean únicamente a través de la longitud, y a pesar que no se conozca la distribución de corriente se puede tratar de hacer

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30

una predicción razonable de la misma. Así entonces, considerando los dos alambres como si se tratase de una línea de transmisión la misma que tiene un circuito abierto como carga, el fasor I(z) estará distribuido senoidalmente respecto de la posición a lo largo del alambre, y debido al circuito abierto en la carga, la corriente debe ser cero en los puntos terminales. Entonces si una línea de transmisión con esta distribución de corriente es abierta hasta formar un dipolo, la distribución de corriente no deberá cambiar mayormente respecto de lo indicado como se observa en la figura 3.2 para diferentes longitudes del dipolo.

Figura 3.2 Distribución de corriente a lo largo de líneas abiertas y sus correspondientes dipolos de diferentes longitudes. Se puede entonces predecir que la distribución de corriente tendrá la forma l  I ( z )  Im Sen o   z  2  l   I ( z )  Im Sen o   z  2 

0 z

-

l 2

l z0 2

Debe notarse que estas expresiones son más razonables que la distribución asumida para el

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31

dipolo Hertziano.

3.1.1 CAMPOS RADIADOS POR LA ANTENA DIPOLO

Así, entonces conocida la distribución de corriente en la superficie del dipolo, se puede determinar el vector potencial magnético como

 Aˆ  0 4

Jˆs' e  j 0 R v´ R dv´

y, los campos radiados por las expresiones

1 Hˆ  xAˆ

0

(  Aˆ ) Eˆ   jw Aˆ  jw  0 0 sin embargo, un método mas fácil y directo podría ser utilizar los resultados obtenidos para el dipolo hertziano, considerando los campos del dipolo de longitud l, como la superposición de los campos debido a pequeños dipolos hertzianos de longitud dz’, cada uno de los cuales tiene una corriente constante I(z’). Por ejemplo considerando el segmento infinitesimal dz’, como se indica en la figura 3.3

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32

Figura 3.3 Principio de superposición para la determinación de los campos radiados por la antena dipolo.

Así, el campo total será el integral de las contribuciones de todos los elementos infinitesimales a lo largo de la longitud del dipolo. El integral con todas las contribuciones de los campos de inducción y electrostático es sumamente complicado, por lo que se consideran únicamente los campos en zonas apartadas que son los de real interés. En este caso el campo eléctrico F-F de un segmento diferencial será:

dEˆ 

j o  o I ( z´)dz´Sen ´e  j o R 4 R

Puesto que r >> l , para el caso de la amplitud puede decirse que R  r y θ  θ’, sin embargo, para la fase, no puede utilizarse la misma aproximación ya que el cambio de fase no depende de la distancia física R, sino de la distancia eléctrica R/o. Esto es, por ejemplo si R=1000,5 m , o=1m, y r=1000m, entonces despreciar 0,5m en R representa despreciar 180° de diferencia de fase, por lo que se hace necesario introducir otra aproximación para la fase, esto es, asumiendo que R es aproximadamente paralela a r debido a la gran distancia del punto en zonas apartadas, como se observa en la figura 3.4, R puede ser aproximada entonces por R = r – z’cosθ.

R = r – z’cosθ Figura 3.4 Aproximación para la fase Sustituyendo estas aproximaciones en la expresión para el campo eléctrico del segmento diferencial se tiene que

dEˆ 

j o  o I ( z´)dz´Sen e  jo ( r  z´Cos ) 4 r

y el campo eléctrico total en zonas apartadas será

j  Sen Eˆ  o o 4 r

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l 2

 I ( z´)e

l  2

33

 jo ( r  z´Cos )

dz´

reemplazando la expresión para la distribución de corriente en las dos secciones del dipolo queda l  0  2 j   Sen  l l        j  r jz ´  Cos  jz ´  Cos  o o o 0 0 Eˆ  e Im Sen o   z  e dz´  Im Sen o   z  e dz´   4 r 2  2  z ´ 0  z 2l  realizando una sustitución de variables y cambiando el signo del primer integral, la expresión puede escribirse como l  2l  2 j   Sen  l l         j  r  j z  oCos  jz ´  oCos  Eˆ  o o e o Im  Sen o   z e dz   Sen o   z e dz´ 4 r 2  2  z ´ 0  z0  de donde

l 2

j  Sen  j o r l  Eˆ  o o e Im  Sen o   z´(e  jzoCos  e joz´Cos )dz´ 4 r 2  0 l 2

j  Sen  j o r l  Eˆ  o o e Im  2Sen o   z´Cos (  o z´Cos )dz´ 4 r 2  0

Aplicando la identidad trigonométrica SinA CosB = (1/2) (Sin(A+B) +Sin (A-B)) se tiene que l 2

  l   l  j  Sen  jor   Eˆ  o o e Im   Sen   o   z´   o z´Cos   Sen   o   z´   o z´Cos  dz´ 4 r    2   2  0 e integrando l

j  Sen  j o r Eˆ   o o e 4 r

  l   l  2   Cos   o 2  z´( o (1  Cos ) Cos   o 2  z´( o (1  Cos )    ´   Im  o (Cos  1)  o (Cos  1)      0

de donde,

  l   l   Cos o Cos   Cos  o   j I Sen  j o r   2   2 Eˆ  o m e 2   2 r Sen     

esto es,

j I Eˆ   o m F ( )e  j o r 2 r

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34

  l   l   Cos  o Cos   Cos  o    2   2 F ( )     Sen     

donde

Aplicando el mismo procedimiento para el campo magnético, se tiene que

jI Hˆ   m F ( )e  j o r 2 r con lo que quedan determinados los campos radiados por la antena dipolo en zonas apartadas, esto es

j I Eˆ F  F  o m F ( )e  j o rˆ 2 r

jI Hˆ F  F  m F ( )e  j o r ˆ 2 r

y

Una vez conocidos los campos radiados el vector densidad media de potencia será

S AV

  H o  1  e( Eˆ  Hˆ * )  2 2

S AV 

2

rˆ 

 E

2

2 o

rˆ

o Im 2 F 2 ( ) rˆ 8 2 r 2

3.1.2 PATRON DE RADIACION DE LA ANTENA DIPOLO

La grafica del modulo del vector Sav para valores constantes de r, básicamente corresponde a la gráfica del módulo de la función F2(θ), la misma que no puede obtenerse mientras no se defina la longitud de la antena dipolo (en longitudes de onda). Así, dando diferentes valores a la longitud de la antena dipolo, se obtienen las gráficas que se indican en la figura 3.5 en las mismas que únicamente se representan los cortes en el plano E debido a la complejidad de las gráficas tridimensionales.

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35

Figura 3.5 Patrones de radiación en el Plano - E de la antena dipolo para diferentes longitudes (a) l = 0,5; (b) l = ; (c) l = 1,25; (e) l =2; (f) l = 3

De estas gráficas puede observarse, que dependiendo de la longitud, la antena dipolo puede radiar en diferentes direcciones considerando el plano E, mientras que para el plano H (no graficado) los patrones son generalmente omnidireccionales. Para el caso particular de la antena dipolo de  /2 que se conoce como antena dipolo de longitud resonante (por razones que se indicarán mas adelante), el patrón de radiación es similar al de la antena dipolo Hertziano (Figura 2.2), esto es direccional en el plano E y omnidirecional en el plano H

3.1.3 POTENCIA RADIADA POR LA ANTENA DIPOLO

La potencia media total radiada por la antena dipolo será

 PAV   S AV ds

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36



PAV 

2

o I m 2 2 F ( )rˆ  r 2 Sen d d rˆ 2 2   r  0  0 8

 o I m 2 PAV  (2 )  F 2 ( ) Sen d 2 8  0

reemplazando el valor de la impedancia característica, la expresión queda 

PAV  30 I m

2

F 

2

( ) Sen d

0

Donde el integral de esta expresión no puede obtenerse en forma cerrada para ninguna longitud de la antena dipolo debiendo ser evaluado en forma numérica.

3.1.4 DIPOLO DE LONGITUD RESONANTE

Para el caso particular de la antena dipolo de longitud resonante (l = /2) este integral se evalúa numéricamente como 

F 

2

( ) Sen d  1,2186

0

por lo que la potencia total radiada por la antena de longitud resonante será

PAV  30 I m (1,2186) 2

PAV  36,5 I m

2

(vatios)

Nótese que para el dipolo de ½ longitud de onda, la corriente en la entrada de la antena (z = 0) es Îin = Îm Sin βo(l/2) y puesto que l/2 = /2, entonces Îin = Îm . Esto es, la amplitud de la distribución de corriente a lo largo del dipolo es el valor de la corriente en los terminales de entrada de la antena.

 Puesto que el valor RMS de la corriente de entrada a la antena está dado por ( I m / 2 ), la potencia radiada será Prad  36,5 I rms 2  I rms Rrad 2

2

de donde la resistencia de radiación para la antena dipolo de ½ longitud de onda queda

Rrad  73  valor que es muy conocido y que se lo normaliza general mente en 75 ohmios.

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37

Para el caso de una antena dipolo de cualquier longitud, la expresión de la resistencia de radiación será 

Rrad  60  F 2 ( ) Sen d  0

3.1.5 IMPEDANCIA DE LA ANTENA DIPOLO

La impedancia total vista en los terminales de entrada de una antena dipolo será igual en forma general a una parte real más una parte imaginaria, esto es Zant = Rin + j Xin Donde la parte real de la impedancia de la antena puede ser determinada o aproximada en función de la resistencia de radiación y la resistencia de perdidas de la estructura, mientras que la determinación de la parte reactiva (imaginaria), es sumamente compleja incluso para las estructuras más simples. para determinar la parte real, consideremos la corriente en los terminales de entrada de la antena, esto es si evaluamos z = 0 en la ecuación de la distribución de corriente esta queda

   I in  I m Sin (  o ) 2 que para el caso en el cual si la longitud del dipolo es algún múltiplo impar de /2 se   tendrá que I in  I m . La potencia entregada a la antena debido a la corriente en su entrada estará dada en función de la parte real de la impedancia de la antena como

esto es,

Pant 

I in

Pant 

Im

2

Rin ,

2 2

 Sin 2 (  o ) Rin 2 2

por otro lado, la potencia radiada por la antena será Prad 

Im 2

2

Rrad

y para el caso en el que se pueda asumir que las pérdidas en la antena sean totalmente despreciables, la potencia entregada a la antena será simplemente la potencia radiada por la antena, así,

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38

Prad  Pant  de donde,

2

Im

Rrad 

2

Im

2

 Sin 2 (  o ) Rin 2 2

 Rrad  Rin Sin 2 (  o ) 2

Esto es, para antenas sin pérdidas en las que la longitud es un múltiplo impar de /2, la resistencia de radiación será igual a la parte real de la impedancia de la antena., y si la longitud es diferente, se aplica la relación anterior. Para el caso en el que las perdidas no sean despreciables, la parte real de la impedancia de  la antena por el factor Sin 2 (  o ) , puede estimarse como la suma de la resistencia de 2 radiación más la resistencia de perdidas de la antena.

3.1.5.1 RESISTENCIA DE PERDIDAS

La resistencia de pérdidas puede ser determinada aproximadamente de la siguiente forma: Utilizando conocimientos en líneas de transmisión, puede determinarse la resistencia por unidad de longitud de los conductores, para luego conocido este valor encontrar la potencia total disipada en las pérdidas óhmicas integrando las pérdidas de potencia en los segmentos diferenciales, como sigue: La potencia de pérdidas a lo largo del dipolo será l 2

PLOSS

I 2 ( z´)   rW dz´ 2 l 

2

donde rw es la resistencia por unidad de longitud del conductor. O también puede ser determinada en función de la resistencia de perdidas como PLOSS 

 I in 2

2

RLOSS

de donde, la resistencia de pérdidas será

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39

l 2

 rW RLOSS 



l 2

I 2 ( z´) dz´ 2  I in

2

2 Para establecer la resistencia por unidad de longitud del conductor, es necesario realizar cierta aproximación, pues la corriente tiende a fluir exclusivamente por la superficie del conductor y puede asumirse que solo penetra una distancia igual a una profundidad de piel () en el conductor como se muestra en la figura 3.6, por lo que la resistencia por unidad de longitud será

Figura 3.6 Sección transversal por donde circula la corriente de grosor  rW 

1 A

donde A, es el área de la sección transversal que estará dada por A = 2 π ra  siendo ra el radio del conductor y  la profundidad de piel, la misma que esta dada por

 

esto es,

rW 

2 w  1

 2 ra 

Reemplazando en la expresión de la resistencia de pérdidas e integrando la misma para la distribución de corriente I(z’) a lo largo de la longitud del dipolo se tiene que

RLOSS 

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 Sen 1  4 ra    l l

40

l  

Expresión que permite estimar la resistencia de pérdidas de una antena dipolo de cualquier longitud. Para el caso de una antena dipolo de longitud  /2, βl = π por lo que

RLOSS 

o 8 ra  

para l =  /2

De esta manera se puede estimar la parte real de la impedancia de la antena, mientras que la determinación de la parte reactiva de la impedancia es difícil porque esta requiere de expresiones precisas para la corriente de excitación sobre la antena y de los campos reactivos resultantes en las zonas cercanas. La impedancia de la antena está relacionada con la potencia y energía reactiva almacenada de la siguiente forma

Zant 

Prad  PLOSS  j 2w Wm  We * I Iˆ in in

2 donde, Prad es la potencia radiada, PLOSS es la potencia disipada en las pérdidas óhmicas, Wm y We son las energías magnética y eléctrica media almacenadas en los campos de las zonas cercanas , w la frecuencia e Iin la corriente en los terminales de entrada. Cuando, la energía eléctrica y magnética almacenadas son iguales, una condición de resonancia existe, y la parte reactiva de la impedancia de la antena se desvanece. Para una antena dipolo delgada, esto ocurre cuando la longitud de la antena es muy cercana a 0,5 . El comportamiento general de la impedancia de entrada de una antena dipolo de longitud l, formada por un cilindro de diámetro d se muestra en la figura 3.7 Estas curvas experimentales son el resultado de muchas mediciones en antenas de diferentes longitudes y diámetros y de la comparación con valores obtenidos analíticamente. Las mismas sirven para mostrar el comportamiento de la impedancia de las antenas dipolo habiéndose graficado la parte real y la parte reactiva como función de la longitud para diferentes longitudes eléctricas (en longitudes de onda) de la antena y para diferentes relaciones longitud para el diámetro.

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Figura 3.7 Curvas típicas de impedancia de una antena dipolo (a) Parte real; (b) Parte reactiva

En la gráfica de la figura 3.7 (a) donde se representa la parte real, se observa que para longitudes menores a 0,25 la parte real es prácticamente cero, para longitudes entre 0,25 a 0,5 la parte real es pequeña llegando a ser aproximadamente 73 ohms para 0,5 e independiente del diámetro de la antena. Para longitudes mayores a 0,5  la parte real puede tomar cualquier valor dependiendo de la longitud y del diámetro de la antena. Se observa además que mientras mayor es el diámetro (relación longitud /diámetro menor) las curvas tienen menor pendiente, esto implica que mejora el ancho de banda conforme se incrementa el diámetro. La gráfica de la figura 3.7 (b) muestra la parte reactiva de la impedancia en la que puede observarse que para una longitud de la antena aproximadamente de 0,48 la reactancia es cero para todas las curvas independientemente del diámetro de la estructura. Es decir ocurre la resonancia, siendo la impedancia de la antena en esta condición puramente resistiva y aproximadamente igual a 73 ohms. Esta es una característica sumamente importante por lo que a esta longitud se la denomina longitud resonante que generalmente se la aproxima a 0,5 , a pesar de ser ligeramente menor. Una segunda resonancia ocurre entre 0,8 y 0,9 y conforme el diámetro disminuye, el punto de resonancia se acerca a l = , pero en este caso la resistencia de radiación alcanza valores grandes, y para un pequeño cambio de frecuencia la reactancia cambia mucho. Para una antena un poco mas gruesa la resistencia y la reactancia son mas uniformes

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respecto de los cambios en l/ , función que es deseada para que una antena opere mejor sobre una banda de frecuencias. Debe notarse también, que una antena de longitud menor a 0,5  tiene una resistencia de radiación pequeña y una gran reactancia capacitiva que podría eliminarse y entrar en resonancia con un inductor en el punto de alimentación de la antena, pero esto reduce la eficiencia debido a las pérdidas óhmicas en el inductor. Debe quedar claro, que la impedancia de la antena es influenciada en una forma no predecible por la capacitancia asociada con la unión física donde la línea de transmisión es conectada a la antena. La estructura usada para soportar la antena, también influencia la impedancia de la antena, consecuentemente las curvas indicadas únicamente muestran el comportamiento típico de estas antenas. Una expresión práctica que es válida únicamente cuando la longitud de una antena con alimentación central no es mucho menor que  /2 (en la práctica es el rango más útil) , se reduce a la siguiente forma

Z ant  R(   / 2)  j120ln( / 2a)  1cot(  / 2)  X (   / 2) impedancia que corresponde a una antena cilíndrica de radio “a” y longitud l. Las funciones R(βl/2) y X(βl/2) se encuentran tabuladas para el rango de 0 < βl/2 < /2 como se indica a continuación:

(βl/2)

R(βl/2)

X(βl/2)

(βl/2)

R(βl/2)

X(βl/2)

0,1

0,1506

1,010

0,9

18,16

15,01

0,2

0,7980

2,302

1,0

23,07

17,59

0,3

1,821

3,818

1,1

28,83

20,54

0,4

3,264

5,584

1,2

35,60

23,93

0,5

5,171

7,141

1,3

43,55

27,88

0,6

7,563

8,829

1,4

52,92

32,20

0,7

10,48

10,68

1,5

64,01

38,00

0,8

13,99

12,73

/2

73,12

42,46

Tabla 3.1 Valores de las funciones R y X para el cálculo de la impedancia de la antena dipolo.

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43

Si (βl/2) cae entre dos valores de la tabla, las funciones R(βl/2), y X(βl/2) pueden determinarse utilizando interpolación lineal. Por ejemplo si θ es el valor de (βl/2) deseado y cae entre los valore θ1 y θ2 de la tabla, entonces el valor de la función R(θ) estará dado por R( )  R( 1) 

(   1)R( 2)  R( 1) ( 2   1)

Para antenas de longitud mayor a 0,5, existen muchas expresiones, sin embargo, ninguna de estas es lo suficientemente simple en cuanto al cálculo numérico que concierne las mismas para ser expuestas en este punto y además la importancia y utilización de antenas de estas longitudes es mínima.

3.2

ANTENA DIPOLO DOBLADO

Esta antena consiste de dos conductores de longitud l conectados en sus extremos como se indica en la figura 3.8. Un o de los conductores es abierto en el centro y conectado a la línea de transmisión. La antena dipolo doblado tiene una resistencia de radiación de 292 ohms y por lo tanto útil con líneas de transmisión de impedancia 300 ohms, el cual es el nivel de impedancia común en televisión. La antena dipolo doblado por construcción tiene una línea de transmisión equivalente que actúa como stub de sintonía compensando variaciones de impedancia de la antena con la frecuencia. Así, la banda de frecuencias de operación útil, para esta antena es mayor que para la antena dipolo convencional de espesor equivalente.

Figura 3.8 Antena dipolo doblado o dipolo plegado En la frecuencia de resonancia donde l = /2, la corriente en cada conductor es la misma, puesto que los conductores tienen el mismo diámetro y la separación eléctrica entre los mismos es despreciable. La razón para esto es el fuerte acoplamiento mútuo entre los dos conductores.

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l  La corriente en cada conductor puede ser aproximada por I ( z )  Im Sen o   z  . 2  Puesto que, los conductores están separados por una pequeñísima facción de longitud de onda, hay una diferencia de fase despreciable en el campo radiado desde cada conductor. Consecuentemente el campo radiado es dos veces más fuerte que aquel radiado por un simple conductor. La potencia radiada será entonces 4 veces más grande. Puesto que la corriente aplicada por la línea de transmisión es únicamente Im, la resistencia de radiación referida a los terminales de entrada de la antena, es incrementada en un factor de 4 sobre aquella de la antena dipolo convencional. Esto es la potencia radiada será

Prad  4 x36,56 I m

2

 Rrad

Im

2

2

esto es,

Rrad  8x36,56  292,5 

Para comprender las características de compensación de impedancia del dipolo doblado, su operación puede ser vista como la superposición de los efectos obtenidos de la operación de esta estructura como una antena y como una línea de transmisión. Las gráficas (b) y (c) de la figura 3.9 muestran dos formas de operación de esta estructura.

(a) Figura 3.9

(b)

(c)

Efectos de operación de la antena dipolo doblado

La excitación en la figura 3.9 (b), producirá corrientes iguales en los dos conductores y funcionará como una antena dipolo convencional. La excitación en la figura 3.9 (c), producirá corrientes opuestas en cada conductor, o en otras palabras hará funcionar a la estructura como dos líneas de transmisión terminadas en cortocircuito y conectadas en serie. Puesto que las corrientes en la línea de transmisión están en direcciones opuestas y con una separación muy pequeña, la radiación desde las dos es casi completamente cancelada. Cuando el efecto de los dos métodos de excitación de la estructura se superponen, el voltaje resultante que maneja un conductor llega a ser V y se reduce a cero

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45

en el otro conductor. La corriente de entrada puede ser encontrada por la adición de las corrientes en el conductor principal debido a las dos formas de excitación.

Figura 3.10 Excitación como antena dipolo equivalente

En la figura 3.10 se muestra la antena dipolo equivalente para la cual, la corriente 2I1 esta dada por V 1 V V o, de donde, 2 I 1  Ydip I 1  Ydip 2I1  2 2 Zdip 4 siendo Ydip la admitancia de entrada de una antena dipolo construida con dos conductores paralelos conectados en los extremos y en el centro como se indica en la figura 3.10, donde la estructura dipolo equivalente tiene un radio que puede determinarse con la siguiente relación

ln aeq  ln a1 

1 (u 2 ln u  2u ln v) 2 (1  u )

donde

u

a2 a1

y v

d a1

Ahora debido al efecto como línea de transmisión equivalente la corriente I2, como se observa en la figura 3.11 estará dada por

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46

Figura 3.11 Efecto como línea de transmisión equivalente

I2 

V Yin 2

donde Yin es la admitancia de entrada del segmento de línea de transmisión terminada en corto circuito y por lo tanto esta dada por

Yin 

1   jYo cot(  / 2) Zin

siendo Yo la admitancia característica de la línea de transmisión formada por dos conductores paralelos, la misma que puede determinarse como

Yo 

1 Zo

Z o  120 cosh 1

donde,

d 2 a1 a 2

Entonces, I2 quedará:

I2   j

V Yo cot(  / 2) 2

Cuando las dos excitaciones como se indica en la figura 3.9 se superponen, se obtiene la excitación original, por lo que la corriente I en el conductor principal será I = I1 + I2 Y la admitancia vista en los terminales de entrada de la antena estará dada por Yant 

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I I1  I 2 I1 I 2    V V V V

47

reemplazando I1 y I2 de las expresiones anteriores se tiene que Yant 

Y Y1  j o cot(  / 2) 4 2

debe notarse que la admitancia de la antena dipolo (simple) se reduce en un factor de 4 y una admitancia de compensación es adicionada en paralelo. Cuando l = /2, la admitancia de compensación se hace cero puesto que   / 2 = /2 . Para antenas de conductores sumamente delgados, esta entra en resonancia cuando l = /2 y en este caso Y1=(73,13)-1 ohms-1 de tal forma que Zant = Rant = 292,5 ohms. Para   / 2 diferente de /2, se tiene que Y1 = G1 + j B1 con B1 positivo (o capacitivo si l /2 , la suceptancia B1 de la antena ( antena dipolo de dos conductores) es negativa, pero la cot(  / 2) también cambia de signo ( l > /2), así que la compensación nuevamente se produce. Con una selección apropiada de las dimensiones del dipolo doblado, el ancho de banda de operación, puede ser incrementado en una cantidad considerable sobre aquel de un dipolo convencional del mismo espesor equivalente. En dipolos doblados prácticos la longitud resonante es ligeramente menor que /2, y por lo tanto las frecuencias de resonancia de la antena y de la línea de transmisión no coinciden exactamente. El dipolo doblado, no está limitado a ser una estructura con dos conductores de igual diámetro. Mediante la variación de la relación del diámetro de los conductores la impedancia puede ser variada desde menos de 2 a 20 o mas veces. Es también, posible conectar 3 o mas conductores en paralelo. Para tres conductores idénticos, la impedancia es incrementada en un factor de 9. En la práctica las antenas dipolo de longitud resonante ( l = /2) son las más utilizadas para las cuales la impedancia de la antena formada por dos conductores de diferente radio puede ser estimada con la relación

Z ant( / 2)  (1  a) 2 Z1 donde Z1 es la impedancia del dipolo resonante equivalente formado por los conductores conectados en paralelo con un radio equivalente aeq. (1+a)2 es la relación de transformación que fija el incremento de impedancia donde “a” está dada por

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48

Figura 3.12 Relación de transformación de impedancia del dipolo doblado

 v2 Cosh   a 2 1  v Cosh   1

 u 2 1  2v  2  u 1  2vu 

siendo

u

a2 a1

y v

d a1

La relación de transformación de impedancia puede ser determinada rápidamente en la gráfica que se indica en la figura 3.12 El patrón de radiación de la antena dipolo doblado es exactamente igual que para el caso de la antena dipolo simple, al igual que su polarización, mientras que el ancho de banda puede incrementarse hasta en un 5% de su frecuencia central.

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49

3.3

ANTENA DIPOLO CORTO

A bajas frecuencias donde la longitud de onda es sumamente grande, las limitaciones de espacio, a menudo no permiten el uso de una antena dipolo de longitud resonante (media longitud de onda), sino muchísimo menor. Como consecuencia la resistencia de radiación se reduce considerablemente, por lo que algún medio debe ser empleado para eliminar la gran reactancia capacitiva que presenta la impedancia de esta antena. Esto último es usualmente logrado mediante el uso de uno o más inductores conectados en serie con la antena. Las pérdidas adicionales en estas bobinas de sintonía reducen la eficiencia y ganancia. El arreglo más simple serían bobinas en la entrada como se muestra en la figura 3.13.

Figura 3.13 Compensación de la alta reactancia capacitiva mediante bobinas en la entrada Sin embargo, se ha observado, en la práctica, que si las bobinas son movidas hacia el centro de cada brazo del dipolo, entonces una distribución de corriente más uniforme en la antena es obtenida, lo que incrementa la resistencia de radiación. Para un dipolo corto, la distribución de corriente es triangular y la potencia radiada es proporcional al cuadrado del área bajo la distribución de corriente. Si una distribución de corriente uniforme puede ser lograda, un incremento en la resistencia de radiación hasta en un factor de 4 sobre aquella para una distribución triangular puede ser obtenido. Para observar como estas bobinas ubicadas en el centro del brazo del dipolo, pueden mejorar la distribución de corriente, la antena es modelada como una línea de transmisión terminada en circuito abierto como se muestra en la figura 3.14

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50

(a)

(b)

Figura 3.14 (a) compensación inductiva en el centro del brazo del dipolo (b) Antena como línea de transmisión equivalente La inductancia de las bobinas debe ser escogida, de tal forma que la antena se haga resonante (como si la longitud efectiva de la línea de transmisión fuese /4). Esto es equivalente a hacer este modelo de línea de transmisión efectivamente un cuarto de longitud de onda, lo que significa que la impedancia de entrada en la línea de transmisión equivalente debe hacerse cero. Así, a la izquierda de las bobinas, la impedancia Z1 será:

Z1  jwL0  Z o

( Z L  )  jZ o tan(  / 4) Z o  j ( Z L  ) tan(  / 4)

Z1  jwL0  jZ o cot(  / 4) y, por lo tanto, en la entrada de la línea se tendrá que:

Zin  Z o

Z1  jZ o tan(  / 4) Z o  jZ 1 tan(  / 4)

Zin  Z o

( jwL0  jZ o cot(  / 4))  jZ o tan(  / 4) Z o  j ( jwL0  jZ o cot(  / 4)) tan(  / 4)

Pero para que esta línea de transmisión sea equivalente a una línea de un cuarto de longitud de onda, Zin debe ser cero. Por lo que el numerador de la expresión anterior deberá ser cero, esto es,

( jwL0  jZ o cot(  / 4))  jZ o tan(  / 4)  0 Así, entonces se tiene que

wL0  Zo cot(  / 4)  Zo tan(  / 4) expresión que determina el valor de inductancia requerida para que se produzca la condición de resonancia Zin=0. Considerando ahora las ecuaciones de voltaje y corriente en una línea de transmisión se tiene que :

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V  V  (e j z  e  j z ) I 

V  j z (e  e  j z ) Zo

Debido a la condición de impedancia cero en la entrada, la distribución de voltaje estacionario deberá tener un nodo cero en la entrada y la onda estacionaria de corriente deberá tener un máximo. Por lo que tomando como punto de referencia z = 0 a la entrada, las ecuaciones de voltaje y corriente pueden escribirse como:

V  V1 Sin z I  I 1Cos z siendo la relación entre I1 y V1

I1 = j(V1/Zo)

Figura 3.15 Relación de voltaje y corriente estacionario en la antena En la sección a la derecha de las bobinas, la onda estacionaria de corriente debe ser cero en Z = l/2 y la onda estacionaria de voltaje tendrá un máximo valor como se indica en la figura 3.15 donde V2 e I2 tendrán la misma relación que I1 y V1. Puesto que sobre la bobina, la corriente debe ser continua a través de la misma y el voltaje discontinuo en una cantidad igual a la caída de tensión en el inductor, las relaciones entre V2 y V1 y entre I2 e I1 llegan a ser V2 = V1Cot(βl/4)

e

I2 = I1Cot (βl/4)

La distribución de corriente queda entonces como se indica en la figura 3.16

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Figura 3.16 Distribución de corriente en la antena dipolo corto

Para una antena con l

RL2  ( X L  X 2 ) 2 RL

Figura 4.13 Reducción de la red T a L invertida Puede verse entonces, que utilizando la definición del factor de calidad, la red tipo T se reduce a la solución de una red tipo L invertida cuya solución fue analizada anteriormente.

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70

4.4

RED TIPO PI

La red tipo PI, está formada por la conexión de tres elementos reactivos, dos en paralelo y uno en serie como se indica en la figura 4.14

Figura 4.14 Red de acoplamiento tipo PI Existen diferentes procedimientos de diseño para este tipo de red, sin embargo uno de los más versátiles y simples, es mediante la utilización de un parámetro característico de la red como es el factor de calidad (Q), el mismo que en este caso está definido como

Q

B L  B2

GL De experiencias practicas, se ha observado, que valores óptimos del factor de calidad están en el rango de 1 a 2, por lo que asumiendo un valor para el factor de calidad dentro de este rango, puede determinase la susceptancia paralelo B2. El carácter de la susceptancia, inductiva o capacitiva, depende del signo seleccionado, y puesto que en el numerador de la expresión del factor de calidad se requiere el modulo, esto permitirá que para ciertos casos se cumpla la misma condición con un valor de susceptancia inductiva o con otro de susceptancia capacitiva. Si B2 ha sido determinada, la determinación de los dos elementos restantes se reduce a la solución de una red tipo L como se indica en la figura 4.15. La misma que tendrá solución únicamente si se cumple que

RL < Z o

Figura 4.15 Reducción de la red PI a tipo L

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Puede verse entonces, que utilizando la definición del factor de calidad, la red tipo PI se reduce a la solución de una red tipo L cuya solución fue analizada anteriormente. 5. BALUNS Los baluns son dispositivos que permiten acoplar un sistema no balanceado a uno balanceado o viceversa a mas de permitir un acoplamiento de impedancia (el nombre balun viene de las palabras en inglés balanced, unbalanced). Es necesario entonces definir lo que se conoce como sistemas balanceados y no balanceados. Un sistema balanceado es aquel cuyos terminales de entrada o salida tienen potenciales simétricos respecto de tierra, y uno no balanceado aquel cuyos terminales tienen potenciales no simétricos respecto de tierra. Como ejemplo de un sistema balanceado se tiene el caso de una línea de transmisión de conductores paralelos, o una antena dipolo simple o dipolo doblado, mientras que una línea de transmisión coaxial será el caso típico de un sistema no balanceado como se indica en la figura 5.1

Figura 5.1 (a) Sistemas balanceados;

(b) Sistemas no balanceados

Cuando se conecta una línea de transmisión coaxial a una antena dipolo, como se muestra en la figura 5.2 (a), esto es una línea no balanceada, a la antena que requiere de una entrada balanceada, el potencial de cero respecto de tierra del conductor externo del cable coaxial aplicado a un brazo del dipolo, permite que se produzca la inducción de corrientes en la superficie exterior del conductor externo del cable e coaxial, lo que a su vez ocasiona radiación de energía desde esta superficie cambiando totalmente la distribución de energía radiada por la antena dipolo, la impedancia y la resistencia de radiación, esto es, los parámetros de la antena cambian en forma no predecible. Para que no ocurra esto, es necesario transformar la alimentación no balanceada a una balanceada, siendo esta la función del balun. Un balun sumamente simple es el que se indica en la figura 5.2 (b) conocido como choque de RF, el mismo que esta formado por un conductor cilíndrico de longitud /4 que rodea al conductor coaxial y conectado al conductor externo del cable coaxial en la parte inferior. Así, la impedancia de entrada en la línea de transmisión formada por el conductor cilíndrico y el conductor externo del cable coaxial tiende al infinito (transformador de /4),

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lo que impide la circulación de corriente en la parte externa del cilindro conductor y por ende del cable coaxial, permitiendo así, que las características de radiación de la antena permanezcan invariables.

Figura 5.2 (a) Conexión incorrecta; (b) Balun choque de RF

Otros tipos de balun que pueden construirse fácilmente con secciones de líneas de transmisión de /4 y /2, y que además producen transformación de impedancia son los que se indican en las figuras 5.2 (a) y 5.2 (b)

Figura 5.2 (a) Balun de relación 1:1 (b) Balun de relación 4:1 El balun de la figura 5.2 (a) acopla una línea coaxial de 75 ohmios (no balanceada), a una antena dipolo de 75 ohmios (balanceada), esto es, no existe transformación de impedancia. Este balun esta formado por dos secciones de línea de transmisión de impedancia característica 75 ohmios, una de longitud /4 y otra de longitud 3/4. La impedancia en los terminales de entrada de la antena dipolo, es de 75 ohmios, mientras que la impedancia entre cada uno de los terminales de la antena y el punto de tierra es 37,5 ohmios (mitad de

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la impedancia entre los terminales de la antena). En el otro extremo de las secciones de línea de transmisión, la impedancia será (Zo)2/37.7= 150 ohmios, pues se trata de transformadores de /4. Puesto que estos extremos están conectados en paralelo, la impedancia que ve la línea de transmisión será de 150/2= 75 ohmios. Esto es, la relación de transformación de impedancia es de 1:1. Debido a que la diferencia de longitud entre las dos secciones de línea de transmisión es /2, los voltajes en los terminales que alimentan a la antena tendrán una diferencia de fase de 180°, así, si uno es V el otro será –V, es decir una alimentación balanceada. De esta forma se acopla la línea coaxial (no balanceada) a la antena dipolo (balanceada)con una relación de transformación de impedancia 1:1. El balun de la figura 5.2 (b) acopla una línea coaxial de 75 ohmios (no balanceada) a una antena dipolo doblado de 300 ohmios (balanceada), esto es, produce una transformación de impedancia de 4:1. Este balun, esta formado por una sección de línea de transmisión de impedancia característica 75 ohmios, de longitud /2 conectada como se indica en la figura 5.2 (b). La impedancia en los terminales de entrada de la antena dipolo doblado, es 300 ohmios, mientras que la impedancia entre cada uno de los terminales de la antena y el punto de tierra es 150 ohmios (mitad de la impedancia entre los terminales de la antena). Así, la impedancia de 150 ohmios entre el brazo derecho del dipolo y el punto de tierra se aplica a la entrada de la sección de línea de /2, y debido a la longitud de la línea en el otro extremo aparece la misma impedancia, esto es 150 ohmios. Pero este extremo de la línea está conectado en paralelo con el terminal izquierdo de la antena y el punto de tierra que también tienen una impedancia de 150 ohmios, por lo que la impedancia resultante será 150/2 = 75 ohmios, que es la impedancia que verá la línea de transmisión de alimentación. Así, entonces, se produce una transformación de impedancia de 300 ohmios a 75 ohmios, esto es de 4:1 Debido a la conexión entre los brazos del dipolo a través de la línea de /2, el voltaje entre estos dos puntos tiene una diferencia de fase de 180°, así, si uno es V el otro será –V, es decir una alimentación balanceada. De esta forma se acopla la línea coaxial (no balanceada) a la antena dipolo (balanceada)con una relación de transformación de impedancia de 4:1. Otro tipo de balun de banda ancha muy utilizado en RF y en televisión, es el que se indica en la figura 5.3 el cual esta formado por dos secciones de línea de transmisión de cables paralelos enrollados en un pequeño núcleo toroidal formando un transformador, con relación de impedancia de 300 a 75 ohmios.

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Figura 5.3 Balun de banda ancha de relación 4:1 El funcionamiento de este tipo de balun puede explicarse mediante el principio de superposición del sistema con conexión balanceada y no balanceada como se indica a continuación.

Figura 5.4 (a) Conexión balanceada (b) Conexión no balanceada (c) Superposición Debido a la conexión, balanceada de las dos secciones de línea de transmisión como se indica en la figura 5.4 (a), el potencial en el punto medio de la carga será cero, al igual que el potencial en el punto medio del conductor que conecta las dos líneas. Así, una línea de transmisión tendrá como carga efectiva ZL/2, y para que no exista reflexión debe cumplirse que ZL  Zo 2 2V La corriente Ia será entonces igual a y, reemplazando la ecuación Ia  Zo 4V Ia  anterior en Ia, esta queda ZL

Ahora, debido a la conexión no balanceada (figura 5.4 (b)), la corriente Ib dependerá de la capacitancia parásita de los terminales de las líneas con respecto a tierra. Al sumar los dos efectos, aplicando el principio de superposición, como se observa en la

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figura 5.4 (c), la corriente I será I = Ia + Ib, observándose que en la entrada se tienen potenciales de 2V y cero que corresponden a la entrada no balanceada, y sobre la carga la salida balanceada. La impedancia en la entrada no balanceada será

2V V  2I I a  I b despreciando la corriente Ib, que depende de la capacitancia parásita, y además porque al enrollar las líneas en el núcleo toroidal se incrementa la oposición a esta corriente, la expresión anterior queda Z in 

Z in 

Z V V   L I a 4V / Z L 4

ZL 4 Esto es, la impedancia en la carga balanceada es 4 veces la impedancia de la entrada no balanceada. Z in 

(a)

(b)

Figura 5.5 Baluns de banda ancha (a) relación 1:1 ; (b) relación 4:1 En la figura 5.5 se muestran dos configuraciones típicas de este tipo de balun, con sus arrollamientos en el núcleo toroidal. La grafica de la figura 5.5 (b) corresponde a un balun de relación de transformación 4:1 como el que se analizo anteriormente; mientras que la

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figura 5.5 (a) corresponde a un balun de relación de transformación 1:1. Existen muchísimos tipos de balun, los cuales son generalmente construidos con secciones de líneas de /4, /2,3/4. En la figura 5.6 se muestran algunos de los más conocidos.

Figura 5.6 Diferentes tipos de balun

6. DUPLEXORES Los duplexores, son dispositivos que permiten la utilización de una misma antena para transmisión y recepción, en diferentes frecuencias sin que las señales de transmisión interfieran en la recepción, y sin que las señales recibidas por la antena interfieran en la transmisión. Estos dispositivos pueden construirse con diferentes tipos de elementos, dependiendo de las frecuencias de operación. Así, por ejemplo para el caso de bajas frecuencias se utilizan filtros con elementos reactivos L y C, para frecuencias mas altas cavidades resonantes, acopladores direccionales y para muy elevadas frecuencias circuladores y acopladores direccionales. Para entender el funcionamiento de los mismos se utilizará el diagrama de un duplexor para baja frecuencia, que emplea circuitos resonantes LC como se indica en la figura 6.1 En el circuito de la figura 6.1, puede verse al duplexor como un sistema de seis terminales; dos para entrada o salida a la frecuencia f1, dos para entrada o salida a la frecuencia f2, y dos para la conexión a la antena, siendo en este caso tres de los terminales comunes, que corresponden a la conexión de tierra.

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Figura 6.1 Circuito típico de un duplexor de baja frecuencia Si la entrada a la frecuencia f1, está presente el circuito resonante paralelo L3C3 y el circuito resonante serie L4C4 deben estar en resonancia, actuando L4C4 como un corto circuito, y L3C3 como un circuito abierto. Esto permite, que la señal a la frecuencia f1, se aplique exclusivamente a la antena y no a los terminales de salida de la señal f2. Por el contrario, si la señal a la frecuencia f2, está presente, el circuito resonante paralelo L2C2 y el circuito resonante serie L1C1 deben estar en resonancia, actuando L2C2 como un circuito abierto y L1C1 como un cortocircuito. Esto permite que la señal a la frecuencia f2 se aplique exclusivamente a la antena o de la antena al terminal de salida f2. Los elementos reactivos jXs1 y jXs2 serán determinados tal que, la impedancia de la antena a la frecuencia f1 quede acoplada a la línea de transmisión que alimenta la señal f1, y, la impedancia que presenta la antena a la frecuencia f2 quede acoplada a la línea de transmisión que alimenta o recibe la señal f2.

Figura 6.2 Circuitos equivalentes (a) Operando a f1 ; (b) Operando a f2 Para realizar estos acoplamientos, si la frecuencia f2 es mayor que la frecuencia f1, el circuito equivalente operando a la frecuencia f1, quedará como se indica en la figura 6.2 (a), dando en este caso L2C2 una inductancia equivalente y L1C1 una capacitancia equivalente. Así, la determinación de jXs1 se reduce a resolver una red tipo T. De igual forma, el circuito equivalente operando a la frecuencia f2, quedará como se indica en la

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figura 6.2 (b), dando en este caso L3C3 una capacitancia equivalente y L4C4 una inductancia equivalente. Así, la determinación de jXs2 se reduce a resolver una red tipo T. 7. ARREGLOS DE ANTENAS La antena dipolo, es una antena muy simple que se utiliza cuando un patrón omnidirecional es requerido. Sin embargo, su ganancia es baja ( máximo 1,64). En muchos sistemas de comunicaciones el interés está en la comunicación punto a punto y un lóbulo de radiación altamente directivo puede ser usado como ventaja. Mediante la disposición de varios dipolos u otros radiadores elementales dentro de un arreglo, un lóbulo de radiación sumamente directivo puede ser obtenido. Un lóbulo mas directivo, implica también, que la antena tenga una alta ganancia. Arreglos simples pueden ser construidos, para rangos de ganancia de hasta 15 dB sobre la del dipolo de longitud resonante. Un incremento en la ganancia por un determinado factor, permite reducir la potencia de transmisión, manteniendo la misma fuerza de señal en el sitio de recepción. Si adicionalmente la antena receptora también tiene cierta ganancia, una mayor reducción en la potencia puede ser efectuada relativamente para el mismo comportamiento del sistema. Para establecer el método básico utilizado en el análisis de arreglos, considere el arreglo general mostrado en la figura 7.1

Figura 7.1 Arreglo de n radiadores de iguales características Este arreglo consiste de N antenas de iguales características con la misma orientación, pero excitadas con amplitudes relativas Ci y fase i, para la iésima antena. La posición de la iésima antena esta dad por el vector ri. Tomando como referencia el campo eléctrico radiado por una antena (parte del arreglo), localizada en el origen, con un coeficiente de excitación unitario, se tiene que  j o r

e Eˆ (r )  f ( ,  ) 4 r donde f() describe el patrón de radiación de una antena del arreglo. Considerando el campo en zonas apartadas, esto es, en la región donde r >>ri, las distancias desde cada radiador al punto donde se considera el campo, parecen paralelas, por lo que la distancia desde el iésimo radiador al punto de interés, puede aproximarse por

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Ri  r  aˆ r  rˆi El campo distante producido por la iésima antena sufrirá un retardo de propagación de fase en una cantidad de  o aˆ r  rˆi menos que de la antena de referencia en el origen. Cuando el diferente retardo de fase, y la diferente amplitud y fases de excitación son tomadas en cuenta, el campo resultante desde todas las antenas en el arreglo puede ser expresado en la siguiente forma N

 j o ( rˆ  ar rˆi

i 1

4 Ri

e Eˆ   Ci e j i f ( ,  )

para el caso de la amplitud puede aproximarse que  j o r

)

1 1  r Ri

N

e Eˆ  f ( ,  ) Ci e j ( i   o aˆ r rˆi )  4 r i 1 Para el caso de la magnitud se observa que se aproximo r = R i, sin embargo, debe notarse que aún cuando Ri y r podrían diferir por menos de una parte en 1000, esto podría todavía representar una distancia de algunas longitudes de onda en la fase, así que la aproximación r = Ri, para la fase no puede ser usada. Una diferencia de trayecto correspondiente a , representa un cambio de fase de 360°. Estas diferencias de fase debido a las diferentes longitudes de los trayectos desde las varias antenas del arreglo son de fundamental importancia en el control de los efectos de interferencia que permiten que un haz directivo de radiación sea formado. quedando

7.1 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN DE PATRONES  j o r

N

e Eˆ  f ( ,  ) Ci e j ( i   o aˆ r rˆi )  4 r i 1 es examinada, se verá que el campo de radiación desde la antena de referencia está multiplicado por un factor F(), que depende del arreglo, denominado factor del arreglo, y dado por Si la expresión

N

F ( ,  )   Ci e j ( i   o aˆr rˆi ) i 1

 j o r

e Eˆ  f ( ,  ) F ( ,  ) 4 r Pero se ha visto que el patrón de radiación (representado por S av), y la ganancia directiva son directamente proporcionales al cuadrado del factor que es función de  y . Por lo que en este caso S AV   f ( ,  ) 2 F ( ,  ) 2 y por tanto,

D( ,  )   f ( ,  ) 2 F ( ,  ) 2 relación que representa el importante principio de multiplicación de patrones, el cual enuncia que el patrón de radiación de un arreglo es el producto de la función patrón de una

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antena individual con la función patrón del arreglo. Donde la función patrón del arreglo, depende de la localización de cada antena en el arreglo y de las amplitudes relativamente complejas de la alimentación. Este principio es sumamente importante y se lo utilizará mas adelante. La derivación del principio de multiplicación de patrones, asume que todas las antenas en el arreglo tienen el mismo patrón de radiación. Esta consideración, no es generalmente correcta, porque la distribución de corriente sobre una antena es perturbada por los efectos del acoplamiento mutuo con objetos cercanos, esto es las otras antenas del arreglo. Así, las antenas cerca de los extremos del arreglo, serán influenciadas de una manera diferente que aquellas en el centro del arreglo. Sin embargo, la modificación en el patrón de radiación de las antenas individuales es a menudo sumamente pequeña, que esta puede ser despreciada. El comportamiento general de los arreglos, puede ser establecido con buena precisión asumiendo que el principio de multiplicación de patrones es valido. En el estudio de arreglos, es usual enfocar la atención sobre el factor del arreglo por separado, puesto que en un arreglo con alta directividad, las antenas individuales generalmente tienen un patrón muy abierto y la mayor contribución a la directividad la da el factor del arreglo. 7.2 ARREGLOS UNIFORMES EN UNA DIMENSION En la figura 7.2 se muestra un arreglo lineal de N+1 elementos, dispuestos a lo largo del eje x, en el que por conveniencia se asume dipolos de longitud resonante separados una distancia d, donde cada antena es excitada con la misma amplitud constante C = Io, pero con un cambio de fase progresivo d de elemento a elemento, así que i = id,

Figura 7.2 Arreglo unidimensional El campo eléctrico total en zonas apartadas está dado por  j o r

e Eˆ  f ( ,  ) F ( ,  ) 4 r donde F ( ,  ) está dado por

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N

N

i 0

i 0

F ( ,  )   Ci e j ( i   o aˆr rˆi )  I o  e jid  j oid cos

donde  es el ángulo entre el vector unitario aˆ r y el vector posición del iésimo radiador rˆi , siendo rˆi  id iˆ y, aˆ r  sin  cos  iˆ  sin  sin  ˆj  cos  kˆ de donde aˆ r  rˆi  id cos   id sin  cos  N

F ( ,  )  I o  e jid  j oid sin cos

entonces

i 0

si observamos esta expresión como una serie geométrica que podría ser sumada usando la N 1  W N 1 n expresión W  0 1W Así, F ( ,  ) puede ser expresado como

1  e ( N 1) j (d   o d sin cos ) 1  e j (d   o d sin cos ) si hacemos A = ( d   o d sin  cos  ) F ( ,  )  I o

F ( ,  )  I o

F ( ,  ) puede escribirse como

e

j(

N 1 )A 2

e

(e

 j(

A j 2

N 1 )A 2

e

A j 2

e e

j(

N 1 )A 2

)

A j 2

esto es

F ( ,  )  I o e

j

NA 2

(e

 j(

N 1 )A 2

e

A j 2

e e

j(

N 1 )A 2

A j 2

)

de donde se tiene que

N 1 )( d  0 d sin  cos  ) j N ( d  0d sin cos ) 2 F ( ,  )  I o e 2  d  0d sin  cos  sin( ) 2 que es la expresión completa del factor del arreglo, en la que la primera parte corresponde a la magnitud y la segunda, a la fase. Sin embargo, la contribución del factor del arreglo al patrón de radiación y a la directividad, es exclusivamente del módulo del mismo, por lo que el estudio de arreglos enfoca el análisis del módulo del arreglo. Esto es sin(

F ( ,  )  I o

N 1 ( d   0 d sin  cos  )) 2  d   0d sin  cos  sin( ) 2

sin(

Así, para estudiar el modulo del factor del arreglo es conveniente introducir la variable “u“ definida por u =  o d cos  , donde cos   sin  cos  y la constante uo =  d

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El factor del arreglo queda entonces

F (u )  I o

N 1 (u o  u )] 2 u u sin( o ) 2

sin[

sin u ), u La gráfica del factor del arreglo como función de u se

Esta función se comporta de manera muy similar a la función bien conocida ( excepto que esta es periódica. ilustra en la figura 7.3

Figura 7.3 Factor del arreglo u  uo  m , donde m es un 2 entero . Estos máximos tienen un valor que puede determinarse como

Note que el máximo de F(u) ocurre cuando u = -uo, y cuando

sin[( N  1) X2 ] ( N  1)( X2 ) lim I o  Io  I o ( N  1) x 0 sin( X2 ) ( X2 ) esto es F (u) max  I o ( N  1) que corresponderá a una adición en fase de los campos radiados desde todos los N+1 dipolos. Los máximos mas pequeños, ocurrentes en esta función, son llamados lóbulos laterales, los cuales normalmente tienen amplitudes muy pequeñas comparadas con las amplitud del principal, por lo que usualmente se desprecian. Para verificar lo indicado, la amplitud del primer lóbulo secundario puede encontrarse como: Cada cero de la función ocurre cuando el argumento de la función seno del numerador tenga un valor de m, para m = 1, 2, 3,... , esto es el primer máximo a partir del primer cero ocurrirá cuando el argumento de la función del numerador sea  +( /2)=3/2, es N 1 3 3 (u  u o )  (u  u o )  decir que de donde , y, así entonces 2 2 N 1

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1 , pero si N es grande, la función del denominador puede 3 sin( ) 2( N  1) 1 aproximarse por el argumento, quedando F (u )  I o  0,21 I o ( N  1) 3 2( N  1) Se observa entonces, que la amplitud del primer lóbulo lateral es apenas el 21% de la amplitud del lóbulo principal por lo que generalmente se desprecia los lóbulos laterales. F (u )  I o

Puede demostrarse que el número de lóbulos laterales entre los principales es función de N , y es igual a N-1 lóbulos laterales. Como función de u, el patrón del arreglo se repite cada 2 unidades a lo largo del eje u como se observa en la figura 7.3. También puede notarse que puesto que u   o d cos  El rango de u correspondiente al espacio físico real denominado “región visible”, es  o d  u  o d , debido a que cos  cae entre –1 y 1. Así, la región visible corresponde a un valor de u igual a  2 d / o a cada lado de u = 0. En la práctica es deseable tener sólo un lóbulo principal en el espacio físico, por lo que debe escogerse un valor adecuado del espaciamiento d lo suficientemente pequeño para este propósito, como se indica en la figura 7.4

Figura 7.4 Zona visible Dos casos de especial importancia en este tipo de arreglos uniformes en una dimensión son el arreglo de radiación lateral (perpendicular) al eje del arreglo (broadside array), y el arreglo de radiación longitudinal (end-fire array). 7.2.1

ARREGLO DE RADIACION LATERAL

Si, se fija  = 0, entonces u o  0 y el máximo del lóbulo principal ocurre en u = 0 ó cos = 0, lo cual da  = /2. Así, la radiación máxima ocurre lateralmente al eje del arreglo. Intuitivamente se podría decir que este es el caso en el que todos los elementos son alimentados en fase. Si se examina la figura 7.5, puede verse que debido a que se mantiene la distancia d entre los elementos algo menor que o, lóbulos mayores adicionales no ocurrirán en el espacio visible, puesto que el lóbulo mayor más cercano esta a  2 del

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lóbulo en u = 0. La región visible se extiende desde -  o d hasta  o d , y esto yace dentro del intervalo  2 < u < 2 puesto que d < o.

Figura 7.5 Arreglo de radiación lateral (Factor del arreglo) Es de interés determinar el ancho angular del lóbulo principal entre ceros, puesto que esta es una medición de la concentración que logra determinado haz. Los ceros para el haz principal ocurrirán cuando el argumento de la función seno del numerador, sea igual a   . Así, N 1 ( )(u o  u )    2 N 1 ( )  o d cos     2  o  2 cos    ó ( N  1)  o d ( N  1)d para N muy grande cos  es pequeño, así que  es cercano a /2. Por lo que esta expresión puede escribirse como

  2 cos(   )   sin(  ) 2 ( N  1)  o d  2   sin  ( N  1)  o d entonces,

 

2  ( N  1)  o d

2 ( N  1)

2

o

 d

o ( N  1)d

consecuentemente el ancho del haz (BW) (beam wide) será BW = 2  

2o ( N  1)d

2o L siendo L = (N+1)d aproximadamente la longitud del arreglo. BW 

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2o , expresa la propiedad general de un arreglo lineal de radiación L lateral que indica que el ancho del haz es inversamente proporcional a la longitud del arreglo medido en longitudes de onda.

Esta ecuación, BW 

Para un ancho del haz de 6° (cerca de 0,1 rad.), un arreglo alrededor de 20 o de longitud es requerido. Esto es factible a altas frecuencias, pero en 1 MHz. Donde o = 300 m, la longitud del arreglo podría ser de 6 Km, lo cual prueba ser impráctico y además costoso. La amplitud del factor del arreglo como un patrón se muestra en la figura 7.6 (a) como función de  y  (máximo para    / 2 e independiente de  ).

Figura 7.6 Patrón de radiación (a) Patrón de radiación del factor del arreglo; (b) Patrón de radiación del dipolo de /2; (c) Patrón de radiación total del arreglo. Si el arreglo consiste de dipolos de media longitud de onda, entonces el patrón de radiación resultante total, es el producto del patrón del factor del arreglo por el patrón del dipolo como se muestra en la figura 7.6 (c). Nótese que los ceros a lo largo del eje z, del patrón del dipolo produce dos lóbulos orientados a lo largo del eje  y, juntamente con los lóbulos menores y lóbulos laterales. Es generalmente difícil calcular el valor absoluto de la directividad para un arreglo, especialmente por la dificultad que el patrón del arreglo ocasiona en la evaluación de la potencia total radiada. En el presente caso para un arreglo de dipolos de media longitud de onda, se requeriría evaluar el siguiente integral 2 

( 0 0

cos( 2 cos  ) sin[( N21 )(  0 dsin cos  )] 2  ) sin d d  0 dsin cos  sin sin[ ] 2

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Una estimación razonable de la directividad podría ser obtenida dividiendo el ángulo sólido total ocupado por una esfera, esto es 4 steradianes para el ángulo sólido ocupado por el haz principal, el mismo que se aproxima por el producto del ancho angular de media potencia en el plano vertical, por el ancho angular de media potencia en el plano horizontal. El ancho angular del haz de media potencia está usualmente dado por los patrones de los planos principales E y H, y es el ancho angular entre puntos en los cuales la potencia radiada por unidad de área es la mitad de la potencia radiada máxima. Respecto del campo eléctrico, son los puntos donde el campo es Emax / 2 . Para el arreglo bajo discusión, el ancho angular del haz de media potencia en el plano vertical (plano E), es aquel del dipolo de media longitud de onda, el mismo que tiene un valor de 1,36 radianes (78°), mientras que el ancho angular del haz en el plano horizontal (plano H), esta determinado por el factor del arreglo, el mismo que se determina como sigue: El valor del módulo del factor del arreglo en el punto de media potencia será

N 1 )u 1 ] ( N  1) 2 2 F (u 1 )  I o  Io 2 u1 2 sin[ 2 ] 2 pero puesto que u 1 es cercano a cero, y además el argumento del denominador varía más sin[(

2

lentamente que el argumento del numerador, entonces puede aproximarse el denominador al argumento de la función, esto es

sin[(

N 1 )u 1 ] ( N  1) 2 2  u1 2 2

2

N 1 ( N  1) u 12 )u 1 ]  2 2 2 2 la función seno restante puede aproximarse por los dos primeros términos de la serie infinita, esto es u1 u1 N 1 N 1 N 1 1 sin[ u1 ]  u 1  ( N  1) 3 ( 2 ) 3  2 2 2 2 2 6 2 2 2 u1 1 1 quedando 1  ( N  1) 2 ( 2 ) 2  6 2 2 2.65 de donde u1  2 ( N  1) sin[(

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Ahora, puesto que

u 1   o d cos( 2   1 )

se tiene

u 1   o d  1

2

2

2

quedando

2

 1  2

u1 2

od

Entonces el ancho del haz de media potencia en el plano horizontal será BW 1 H  2 1  2

2

BW 1 H  2

2 2,65 ( ) od N 1

o 2,65 ( )  d N 1

La directividad del arreglo estará entonces determinada como

D

4 2(1,36 rad )  BW 1 H 2

donde el denominador se ha multiplicado por 2 debido a que se tienen dos lóbulos D

 d ( N  1) 4  2(1,36 rad ) o (2,65)

D  5,48

esto es

( N  1)d

o

Puede verse entonces, que la directividad del arreglo es directamente proporcional a la longitud del arreglo ( L  (N+1)d ). Como ejemplo considérese un arreglo de 21 elementos, esto N = 20, d = 0,9 o. Su directividad será entonces

D  5,48

21  0,9o

o

= 103

Así, un arreglo de 21 elementos, tiene una directividad muy grande y también una gran ganancia. 7.2.2

ARREGLO DE RADIACIÓN LONGITUDINAL

Si se selecciona u o igual a   o d , un lóbulo máximo es formado cuando u  uo   o d   o d cos  esto es, cuando   0 , lo cual indica que el haz está a lo largo del eje del arreglo. El cambio de fase progresivo d a lo largo del arreglo, es entonces   o d , una cantidad que

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justo mantiene nulo el avance de propagación de fase de elemento a elemento en la dirección x. Si uo es escogido igual a  o d , entonces el haz es formado en la dirección -x. El factor del arreglo y el patrón resultante del arreglo se muestran en la figura 7.7 , donde puede observarse que un espaciamiento d algo menor que o/2, es ahora requerido para evitar tener un segundo lóbulo principal dentro de la zona visible.

Figura 7.7 Arreglo de radiación longitudinal El segundo lóbulo empieza a aparecer a lo largo de la dirección –x cuando d se aproxima a o/2. El patrón del arreglo es nuevamente una figura de revolución alrededor del eje del arreglo. Para este tipo de arreglo, el factor del arreglo estará dado por

N 1 (  o d cos    0 d )) 2 F ( ,  )  I o  d cos    0 d sin( o ) 2 N 1 sin(  o d (cos   1)) 2 F ( ,  )  I o  d (cos   1) sin( o ) 2 sin(

Para determinar en este caso, el ancho angular del haz, se tiene que los ceros del lóbulo principal aparecerán cuando el argumento de la función seno del numerador sea   , esto es

N 1  o d (cos( )  1)   2 de donde,

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cos( ) 

 2 1 ( N  1)  o d

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pero para valores grandes de N,  es pequeño, por lo que la función puede ser aproximada por los dos primeros términos de su serie infinita, esto es,

cos   1 

( ) 2 , que reemplazando en la relación anterior se tiene que 2 ( ) 2  2 1  1 2 ( N  1)  o d

obteniéndose

 2 o     ( N  1)d

  

1 2

y entonces el ancho angular del haz será: 1

 1  2o  2   2 2 ( o ) 2 BW = 2  2 L  ( N  1)d  Donde L es aproximadamente la longitud del arreglo. Puede verse entonces que para un arreglo de radiación longitudinal el ancho angular del haz es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del arreglo medida en longitudes de onda. El haz en un plano dado no es angosto como para el arreglo de radiación lateral, pero en este caso el ancho del haz está limitado en dos planos. El gran ancho del haz, es compensado por la limitación en los planos E y H. Para un arreglo largo, la multiplicación del patrón del arreglo, por el patrón del dipolo de /2, tiene un efecto pequeño, puesto que el último es casi constante sobre la región angular ocupada por el patrón del arreglo. Para este arreglo, la directividad también puede ser estimada como en el caso anterior, esto es, la relación del ángulo sólido total ocupado por la esfera, para el ángulo sólido ocupado por el haz. Así, primeramente se requiere determinar el ancho angular de media potencia, que para este arreglo, es igual en el plano vertical como en el plano horizontal, esto es,

 N 1  sin  o d (cos  1  1)  2  2   I N 1 Io o   o d (cos  1  1)  2 2  sin   2   2 ( ) utilizando la aproximación cos   1  , se tiene que 2

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 N 1  sin   o d ( 1 ) 2  2 4    N 1   d  2 sin  o ( 1 ) 2  2 4   de donde, aproximando el numerador por los dos primeros términos de la serie infinita, y el denominador por el argumento de la función seno, se tiene que

(

N 1 1 N 1 3 3 3 )  o d ( ) 2  ( ) d  o ( ) 6 N 1 4 6 4  od 2 ( ) 2 4 1

obteniéndose,

 2 o   1  1,63 2  ( N  1) d 

Para este caso en el que el patrón de radiación total del arreglo es simétrico en los dos planos, el ángulo sólido ocupado por el mismo puede determinarse mediante la integración del diferencial de ángulo sólido entre cero y  1 . Esto es, 2

2 

B 

  sin d d  2 (cos  0 0

entonces

1 2

 o  B   (1,63) 2   ( N  1) d 

 1)   ( 1 ) 2 2

   

siendo la expresión aproximada de la directividad D

4 4 ( N  1) d  B  (1,63) 2 o

D  4,73

( N  1) d

o

Expresión que corresponde a una muy buena aproximación, respecto de los valores teóricos exactos calculados con integración numérica. Nuevamente se observa que la directividad para este arreglo es directamente proporcional a la longitud del arreglo. Una forma de obtener mayor directividad en el arreglo de radiación longitudinal, sin cambiar las dimensiones del mismo, es haciendo el retardo de fase progresivo a lo largo del arreglo, más grande que N  o d . Así, en vez de escoger Nd igual a - N  o d , se escoge Nd = - N  o d - 

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d = uo = -  o d -

ó 

  N

Esta selección hace que el máximo ocurra en u = - uo =  o d +

 o cos    o d +

  lo que requiere que cos  >1 N

 N

o donde

Esto es el máximo está fuera de la zona visible como se observa en la figura 7.8

Figura 7.8 Arreglo de radiación longitudinal mas directivo 7.3

ARREGLOS UNIFORMES EN DOS DIMENSIONES

Un arreglo en dos dimensiones de dipolos de media longitud de onda, se muestra en la figura 7.9, el mismo que consiste de N+1 dipolos distribuidos a lo lardo del eje x, y M+1 dipolos, distribuidos a lo largo del eje z, o un total de (N+1)(M+1) dipolos. Se asume que los dipolos tienen la misma amplitud de excitación, pero con un cambio de fase progresivo a lo largo del eje “x” y del eje “z”. Así, la fase de corriente en el mn avo elemento estará dada por e jn x d  jm z d El arreglo descrito, puede ser visto como un arreglo de M+1 arreglos lineales. Así, mediante el uso del principio de multiplicación de patrones, el factor del arreglo en dos dimensiones es el producto del factor del arreglo de las M+1 antenas dispuestas a lo largo del eje z con el factor del arreglo para N+1 elementos arreglados a lo largo del eje x. Esto es,

F ( ,  )  I o

N 1 M 1 ( x d   0 dsin cos  ) sin( ( z d   0 d cos  ) 2 2   x d   0 dsin cos   d   0 d cos  sin( ) sin( z ) 2 2

sin(

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Figura 7.9 Arreglo en dos dimensiones donde se ha utilizado aˆ r  aˆ x   o d sin cos  y aˆ r  aˆ z   o d cos  definiendo las variables u y v y las constantes uo y vo, como

u   o dsin cos 

v   o d cos 

uo   x d vo   z d

el factor del arreglo en dos dimensiones queda N 1 M 1 sin( (u o  u ) sin( (v o  v ) 2 2 F (u, v)  I o  uo  u v v sin( ) sin( o ) 2 2 El factor del arreglo tiene su primer máximo principal cuando u  u o , v  vo , el cual define la dirección en el espacio del lóbulo de radiación principal. Si  x   z  0 , la dirección de radiación máxima es perpendicular al plano del arreglo, esto es a lo largo del eje  y. Para valores apropiados de  x y  z el lóbulo puede ser orientado en cualquier dirección deseada. Si la fase de los elementos es controlada por cambiadores de fase en cada línea de alimentación, puede obtenerse un control de la dirección del haz electrónicamente tal que el lóbulo scannee cualquier sector angular deseado. Arreglos de este tipo son conocidos como arreglos de fase cambiante. En el caso de un arreglo de radiación lateral el ancho angular del lóbulo en los planos “xy” y “yz” se obtiene cuando el argumento de las funciones del numerador de los factores parciales serán

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N 1 M 1 u   v   2 2 y como fue desarrollado para el arreglo lineal, el ancho angular en cada plano será

2o ( N  1)d 2o BW yz  ( M  1)d El ancho angular del haz en cada plano es inversamente proporcional a la longitud del arreglo en aquel plano. De manera similar los anchos angulares de media potencia pueden ser encontrados y, están dados por las expresiones BW xy 

2,65o ( N  1)  d 2,65o  ( M  1)  d

( BW 1 ) xy  2

( BW 1 ) yz 2

La directividad estará entonces aproximadamente dada por D

8,83( N  1)( M  1) d 2 4  2( BW 1 ) xy ( BW 1 ) yz 2o 2

D  8,83

2

A

2o

donde se ha reemplazado ( N  1)(M  1) d 2 por el área A ocupada por el arreglo. De esta ecuación, se observa que la directividad de esta antena es directamente proporcional al área medida en longitudes de onda al cuadrado, una propiedad que es característica de todas las antenas.

8.

ARREGLOS CON ELEMENTOS PARASITOS

Todo elemento conductor que no tenga una alimentación directa de corriente o voltaje en las cercanías de otro que si lo tiene se denomina elemento parásito. Así, entonces un arreglo formado con varios de estos elementos junto a un elemento activo (alimentado), se denomina arreglo con elementos parásitos. Los elementos parásitos, son excitados por el acoplamiento de la impedancia mutua con los elementos activos, así como con otros elementos parásitos. Los arreglos con elementos parásitos, han sido usualmente diseñados por métodos experimentales debido a la gran dificultad de cálculo de las impedancias mutuas, de las longitudes de los elementos, y de las separaciones óptimas , debido a que todos estos parámetros están relacionados en una forma compleja no lineal. El arreglo con elementos parásitos más conocido es el arreglo Yagi-Uda.

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Figura 8.1 Arreglos con elementos parásitos El arreglo más simple con elementos parásitos, es el de dos elementos como se muestra en la figura 8.1 (a), el mismo que consiste de un elemento activo y un elemento reflector. Este es un arreglo de radiación longitudinal con la máxima radiación a lo largo del eje del arreglo. Para su análisis este arreglo puede ser visto como una red con dos pares de terminales. Puesto que el elemento reflector no tiene alimentación, su voltaje terminal es cero. Así, puede escribirse que

0  Z11I1  Z12 I 2 V2  Z 21I1  Z 22I 2 Si se resuelve para la corriente I1 e I2, se obtiene

 Z12V2 Z11Z 22  Z122 Z11V2 I2  Z11Z 22  Z122 I1 

la relación de I1 para I2 es  Z12 / Z11 , que en módulo y fase puede ser expresada como  Z12 / Z11 e j d , y por tanto el factor de este arreglo será

F (u )  1 

Z12 j d  j o d cos e Z11

donde  es el ángulo relativo al eje del arreglo. Para obtener la máxima radiación en la dirección  = 0, se requiere que  d   o d   o d =   /(  o   ) Si se requiere que la radiación en la dirección  =  (dirección de espalda), sea cero, entonces también se necesita que  d   o d  0 o 2 y además que Z12 / Z11  1 , lo que generalmente no es factible, por consiguiente, únicamente un mínimo y no un cero podrá obtenerse en la dirección de espalda. El ángulo de fase de Z11, puede ser variado, mediante

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la variación de la longitud del elemento. Cuando el elemento es menor que la longitud resonante, Z11 tiene una reactancia capacitiva, mientras que si es mayor que la longitud resonante Z11 tendrá una reactancia inductiva. La impedancia mutua Z12 de pende de la distancia d entre los elementos. En la práctica se ha determinado que la longitud del elemento reflector debe ser mayor que la longitud resonante, y el espaciamiento “d” óptimo, alrededor de 0,15o. Idealmente, se debería tener d = o /4, d = -  /2 y Z12 / Z11  1 . Un espaciamiento d igual a o /4, produce un pequeño valor de Z12 y por consiguiente una pequeña corriente inducida. Así, entonces, un espaciamiento menor que o /4 es mejor, aún cuando el valor teórico exacto requerido de la fase d pueda generalmente no ser obtenido. Con una selección óptima del espaciamiento, y de la longitud de los elementos, una directividad alrededor de 3 puede ser alcanzada. Si el elemento parásito es más corto que la longitud resonante, este actúa como un director, y la radiación máxima ocurre en la dirección del elemento director. Un gran mejoramiento de la directividad puede obtenerse usando los dos elementos parásitos reflector y director, como se muestra en la figura 8.1 (b). Este arreglo es la forma mas simple del arreglo Yagi-Uda. En este tipo de arreglos se cumple que la ganancia es pequeña cuando hay más de un reflector pero que, hasta un cierto limite, a mayor número de directores mayor ganancia de la antena. Lo normal es que una antena Yagi tenga entre 12 y 16 elementos directores. Para una antena que tenga más de 40 elementos, el rendimiento que se consigue no justifica su tamaño.

Figura 8.2 Lóbulo de radiación horizontal con elemento parásito a 0,15 Si la medida del elemento parásito es la misma que la del dipolo y existe una separación entre ellos de 0.15 longitudes de onda, la antena da dos lóbulos de ganancias iguales, uno hacia adelante y otro hacia atrás, como se muestra en la figura 8.2. Si la longitud del elemento parásito, se aumenta hasta en un 5%, pasa a actuar como reflector, disminuyendo el lóbulo de radiación de espalda, para reforzar el principal obteniéndose una ganancia de hasta 3 dB, siendo el patrón de radiación en el plano horizontal como se muestra en la figura 8.3

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Figura 8.3 Diagramas de radiación (a) Plano horizontal (b) Plano vertical Si la longitud del elemento parásito disminuye hasta en un 5% de la longitud resonante, este actuará como director, reforzándose la ganancia en la dirección principal, como se muestra en la figura 8.4

Figura 8.4 Diagramas de radiación (a) Plano horizontal (b) Plano vertical Para cada uno de los casos, la ganancia de la estructura según la separación entre los elementos, utilizando un elemento parásito como reflector se indica en la figura 8.5 (a) y, con el elemento parásito como director se muestra en la figura 8.5 (b)

Figura 8.5 (a) Ganancia de una antena de dos elementos dipolo - reflector (b) Ganancia de una antena de dos elementos dipolo - director

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Un problema serio de los arreglos con elementos parásitos es el bajo valor de la resistencia de radiación vista el los terminales del elemento activo. La reducción en la resistencia de radiación con un espaciamiento de 0,1 longitudes de onda para un único elemento parásito es alrededor de 0,15 y, con un espaciamiento de 0,5 , esta se reduce por un factor 0,3.

Figura 8.6 Resistencia de radiación de una antena de dos elementos (a) con reflector línea llena; (b) con director línea segmentada En la figura 8.6 se observa que para valores de espaciamiento inferiores a 0,11 , la resistencia es de 14  , aumentando a medida que se separan. La baja resistencia de radiación para los espaciamientos que dan más alta ganancia , tiende a reducir la eficiencia de radiación. Esto es porque con una resistencia de pérdidas fija, la potencia subministrada a la antena se pierde en calor y se irradia menos, ya que la resistencia de radiación se aproxima a la resistencia de pérdidas en magnitud. La resistencia de pérdidas puede decrecer con el uso de conductores de baja resistencia para los elementos de la antena. Esto significa principalmente conductores de diámetro grande, usualmente tubos de aluminio, cobre o bronce. Para un dipolo estándar de longitud resonante, la resistencia de radiación en presencia de un elemento parásito es típicamente de 20  o menos. Este valor puede ser incrementado por un factor de 4 usando un dipolo doblado. Adicionalmente, al decrecimiento de la resistencia de radiación, la banda de frecuencias de operación usualmente no excede 2 o 3% debido a la sintonización crítica requerida de los elementos parásitos para óptimos resultados. La relación frente a espalda (F/B) conocida también como eficacia directiva, aumenta cuando el espaciamiento aumenta al utilizar un elemento director, y disminuye con el aumento del espaciamiento al utilizar un elemento reflector, como se muestra en la figura 8.7

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Figura 8.7 Relación F/B (a) con reflector (b) con director Las condiciones de sintonía que dan máxima ganancia en la dirección principal, no dan máxima reducción de la señal o atenuación en la parte de atrás. Por lo que es necesario reducir la ganancia para tener la mas alta relación F/B. En la práctica hay ciertos casos en los que se debe condicionar para la máxima relación F/B, antes que para una máxima ganancia. Las más grandes relaciones F/B pueden ser garantizadas con el elemento parásito actuando como director, antes que como reflector. Un arreglo Yagi-Uda típico, es un arreglo de radiación longitudinal con un elemento activo, un elemento reflector y algunos elementos directores como se muestra en la figura 8.8

Figura 8.8 Arreglo Yagi-Uda Respecto de la figura 8.4, si Zij es la impedancia mutua entre los elementos i y j , Zii es la impedancia propia del elemento i , y todos los voltajes terminales son cero, excepto Vo para el elemento activo, las siguientes ecuaciones circuitales pueden ser escritas

0  Z 11 I 1  Z 10 I 0  Z 11I1  ..........Z 1N I N Vo  Z 01 I 1  Z 00 I 0  Z 01I1  ..........Z 0 N I N ..................................................................... 0  Z N 1 I 1  Z N 0 I 0  Z N1 I1  ..........Z NN I N Si todas las impedancias Zij son conocidas, las corrientes Ii podrían determinarse y entonces calcularse los campos radiados. El problema de diseño requiere seleccionar los espaciamientos di y longitudes de elementos li (lo cual controla Zij) tal que las corrientes Ii

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tengan la fase apropiada para proveer la adición en fase para el campo radiado en la dirección principal. Puesto que los parámetros ajustables están todos interrelacionados, es difícil obtener buenos datos de diseño. A lo largo de los años, un gran número de diseños han sido desarrollados mas por métodos experimentales, y estos son usados para diseñar los arreglos Yagi-Uda. Con arreglos típicos de 8 a 10 elementos, ganancias alrededor de 14 dB son obtenidas. Debido a la longitud crítica de cada elemento, los arreglos Yagi-Uda son antenas de banda angosta, operando satisfactoriamente solo en un ancho de banda de pequeño porcentaje. Su popularidad es debido a su estructura simple. 8.1 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE UNA ANTENA YAGI-UDA El diseño de este tipo de antenas se basa principalmente en datos experimentales y prácticos recopilados a lo largo de los años, los mismos que han permitido establecer criterios o tablas de valores típicos como se verá a continuación. El diseño comprende la determinación de las diferentes longitudes y espaciamientos de todos y cada uno de los elementos del arreglo.

Figura 8.1 Distancias y espaciamientos de los elementos de un arreglo Yagi-Uda Los pasos a seguirse para el diseño de una antena Yagi-Uda son los siguientes: 8.1.1 Determinación del número de elementos del arreglo Para la determinación del número de elementos se tienen varios criterios, uno de ellos es a partir de la ganancia de la antena mediante la curva que se indica a continuación en la figura 8.2

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Figura 8.2 Ganancia en dB en función del número de elementos de la antena Yagi Otros criterios comprenden obtener el número de elementos del arreglo en función de la relación F/B. La eficiencia de la antena es también otro parámetro que se asume conocido.

Tabla 8.1 Relación Frente - Espalda en dB y eficiencia para distinto número de elementos Otro criterio para escoger el número de elementos del arreglo es mediante el ancho del lóbulo principal de media potencia (ancho del haz).

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Tabla 8.2 Ancho del haz de media potencia para distintos arreglos Yagi 8.1.2 Cálculo de las longitudes de los dipolos: Puesto que se conoce la frecuencia de trabajo de la antena se puede calcular las longitudes del reflector. conductor y directores utilizando el criterio inicial(5%): Longitud de onda:  

fc  frecuencia de trabajo.

c fc

Tabla 8.3 Longitudes óptimas en  de los directores Yagi DIPOLO: posee la longitud resonante: 0.48 o aproximadamente /2. DIRECTORES: su longitud debe ser MENOR (de 1 a 5%) que la longitud resonante. Este valor puede ser escogido de la tabla 8.3. REFLECTOR: su longitud debe ser MAYOR (de 1 a 5%) que la longitud resonante. Un valor óptimo de este parámetro es Lref = 150 / f(MHz). Además, la selección de la longitud de este elemento es muy importante ya que la misma esta relacionada con el ancho de banda de la antena. Generalmente se coloca un valor mayor al calculado con el propósito de incrementar el ancho de banda. En términos prácticos las longitudes de los elementos y su separación no son muy criticas, y se pueden permitir variaciones de 1% en la longitud y hasta 5% en la separación. La longitud del reflector es más tolerante que la del director aunque en algunos casos se utilizan estas tolerancias para ampliar el ancho de banda de la antena; es decir, con reflectores un poco más largos y directores un poco más cortos, aumenta el ancho de banda, sin embargo en sentido contrario, el efecto es totalmente dañino y anula el comportamiento de la antena.

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8.1.3 Cálculo de la longitud total de la antena Este es un parámetro de gran importancia en el diseño pues, más que el valor de los espaciamientos entre los elementos influye la longitud total del arreglo. Sobre todo los efectos de la longitud total de la antena se pueden observar a altas frecuencias de operación. A continuación se muestra una curva en la que se observa la relación entre la longitud de la antena y la ganancia en dB de esta.

Figura 8.3 Longitud total del arreglo en longitudes de onda () óptima de la antena Yagi en función de la cantidad de elementos

8.1.4 Cálculo de los espaciamientos: Los elementos de una antena Yagi deberían (teóricamente) estar distribuidos uniformemente, pero por experiencia, debido a numerosos experimentos realizados se han logrado establecer espaciamientos entre los diferentes elementos para un rendimiento óptimo de la antena, los cuales se encuentran tabulados para antenas de N elementos.

Tabla 8.4 Espaciamientos óptimos par una antena Yagi

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En antenas hasta de 4 elementos, la separación entre elementos debe estar entre 0.15 a 0.2 aunque en algunos casos se logra una ganancia mayor si el segundo director esta 0.251 del primero, se puede obtener mayor ganancia ,separando un poco mas el tercero y cuarto elementos hasta un máximo de 0.41 8.1.5 Cálculo de los diámetros de los conductores: Este es un parámetro que debe ser tomado muy en cuenta debido a su influencia en el comportamiento de la antena, para facilidad en el diseño, el desempeño para los diámetros de los elementos más comunes se ilustra a continuación.

Figura 8.4 Longitud de los directores en función de su posición en el arreglo para varios espesores del material. 8.1.6 CONSIDERACIONES EN LA IMPLEMENTACION DEL DISEÑO Los dipolos de la antena deberán montarse sobre una vara o varilla, no importa si la vara es también conductora ya que por estar a ángulos rectos de las corrientes de los elementos y a los campos eléctricos irradiados, aporta muy poca o ninguna corriente y no contribuye a la radiación. Si la varilla se fabrica del mismo material del de los elementos dipolares, puede conectarse eléctricamente al reflector y a los directores (pero nunca al conductor) sin afectar las propiedades de la antena.

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Debido a la complejidad matemática que conlleva el cálculo de impedancia, ganancia relación (F/B) y otros parámetros relacionados con la antena es necesario el uso de un software para verificar los resultados del diseño.

9. ANTENAS DE BANDA ANCHA

Teóricamente hablando, se dice que una antena es independiente de la frecuencia cuando al variar esta en cualquier magnitud, no se modifican las características eléctricas de la antena ( configuración de radiación, impedancia de entrada, resistencia de radiación, etc.), Sin embargo, en la práctica esto es demasiado ideal, considerándose que una antena es independiente de la frecuencia cuando no se alteran sus características eléctricas en un ancho de banda limitado, denominándose mejor a este tipo de antenas como antenas de banda ancha. Las antenas de banda ancha, representan el desarrollo de ideas relativamente simples, pero brillantes, propuestas por primera vez por Rumsey en 1957. La primera idea establece que cualquier estructura cuya forma este completamente definida por ángulos, y no por alguna dimensión longitudinal, tendrá propiedades de independencia en la frecuencia, denominándose a este enunciado condición angular. Hay dos clases de antenas que satisfacen esta condición angular: las antenas cónicas y las antenas espirales equiangulares. Para que estas antenas satisfagan completamente la condición angular, deberían extenderse hasta el infinito, pero esto es imposible, por lo que se deben truncar limitando el ancho de banda a un determinado valor. El segundo postulado se basa en el principio de escalamiento y establece que: si una estructura llega a ser igual a si misma por un cambio particular en sus dimensiones, proporcional a una constante de relación , tendrá las mismas propiedades eléctricas a las frecuencia f, f, 2f, … A esto se denomina condición de escalamiento. Para antenas que satisfacen la condición de escalamiento, la impedancia, la configuración de radiación, la distribución de corriente, etc. Tendrán los mismos valores a las frecuencias f, f, 2f, 3f,…. Expresando esta serie de frecuencias en escala logarítmica, se tiene: log f, (log f + log ), (log f + 2 log ), (log f + 3 log ), ….., observándose que se obtiene una serie periódica con período log  , del logaritmo de la frecuencia. Las antenas que se obtienen bajo este principio se denominan antenas periódico logarítmicas. Hay diferentes tipos de antenas que satisfacen la condición de escalamiento, entre las mas conocidas están: las antenas trapezoidales logarítmico periódicas, y los arreglos periódico logarítmico de dipolos, siendo este último de especial interés, por lo que se revisa a continuación.

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9.1 DISEÑO DE ARREGLOS LOGARITMICO PERIODICOS DE DIPOLOS

Considérese dos dipolos de media longitud de onda, operando en frecuencias f1 y f2 respectivamente. Puesto que las dos antenas tienen la misma longitud eléctrica (/2) se L1 f  2 , donde L1 y L2 son las longitudes físicas de los dipolos. Se dice cumple que L2 f1 entonces, que estas dos antenas cumplen con el principio de semejanza electrodinámica o principio de escalamiento. Este principio es aplicado en las antenas logarítmicas periódicas de dipolos (LPD). Para el análisis de sus características considérese primero que se tiene un arreglo de dos elementos iguales separados una distancia d, formando un arreglo end-fire como se muestra en la figura 9.1

Figura 9.1 Arreglo de dos elementos de igual longitud (/2) Si las corrientes de alimentación tienen igual amplitud, pero fases 0 y - respectivamente, el factor del arreglo estará dado por



F ( ,  )  I o 1  e  j (  o d cos



Para máxima ganancia, en la dirección   0 , debe cumplirse que    o d , esto es que el desfasamiento entre las corrientes debe ser igual al espaciamiento eléctrico . Si = /2, entonces d =  /4 Con esto se consigue una ganancia considerable, sin embargo el ancho de banda es pequeño. Si los elementos tienen longitudes diferentes, se podrían dar los siguientes casos: 1er caso.- Si un elemento tiene longitud resonante, y el otro una longitud menor a la resonante como se indica en la figura 9.2

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Figura 9.2 Dipolo corto y dipolo resonante El dipolo más corto presentará a la frecuencia de resonancia una impedancia capacitiva de la forma Zc = Zc e  j c . Las corrientes en los elementos no serán iguales ni en magnitud ni en fase. El factor k < 1 se debe a la mayor impedancia del elemento resonante, y el desfasamiento de la corriente será:

  od c pero para lograr máxima ganancia en la dirección   0 , deberá cumplirse que    o d , lo que implica que  c  0 , requiriendo que los dipolos sean iguales, oponiéndose al supuesto inicial. Sin embargo, son posibles dos soluciones para que se produzca máxima radiación en la dirección   0 . a) Si la línea de alimentación entre los dos dipolos  es de mayor longitud que la separación entre ellos d. Si esto ocurre, se tendría entonces que para máxima ganancia debe cumplirse que

  o  c  od (b) La transposición de la línea de alimentación entre los dos dipolos, para lo cual se considera la alimentación por el dipolo más corto y además se ha girado el arreglo (por conveniencia), Figura 9.3. En este caso debido a la transposición de la línea, se produce una diferencia de fase adicional de 180°, obteniéndose en este caso que para máxima ganancia en la dirección de alimentación (    ) deberá cumplirse que 180   c    o d   c  180    o d de donde  2

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Figura 9.3 Radiación Back-Fire 2do Caso Por el contrario si tenemos un dipolo de longitud resonante y otro mas largo como se indica en la figura 9.4

Figura 9.4 Dipolo largo y dipolo resonante En este caso el elemento mas largo, tendrá una impedancia de carácter inductivo ZL = Z L e j L y para que exista máxima radiación en la dirección   0 , deberá cumplirse que,

  od  L  od condición que se cumple solo si  L  0 , que no es posible, pues se opone al supuesto inicial.

Figura 9.5 Dipolo largo y dipolo resonante con alimentación transpuesta

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Si se realiza una transposición de la alimentación, como se indica en la figura 9.5 , se tendrá máxima radiación en la dirección de la alimentación (    ), esto es

   o d   L  180    o d Así, para máxima radiación deberá cumplirse que  

180   L 2

Si se combinan los dos caso anteriores como se indica en la figura 9.6, el dipolo más largo que el resonante, se comporta como un reflector, y la corriente en el adelanta a la corriente del dipolo resonante. Por el contrario, el dipolo mas corto, hace las veces de director y la corriente en el se retarda de la corriente del dipolo resonante. Figura 9.6 Arreglo de 3 elementos con alimentación cruzada

Este arreglo presenta similares condiciones de ganancia para cada una de las frecuencias a las cuales uno de los dipolos es resonante, ampliándose de esta manera el ancho de banda. Para conservar una directividad satisfactoria a las frecuencias extremas, se debe procurar, que el dipolo resonante a la onda mas larga, tenga seguidamente al menos un dipolo reflector mas largo, y el dipolo resonante a la onda más corta tenga seguidamente al menos un dipolo director mas corto. La banda de frecuencias puede ser arbitrariamente ampliada solo con la extensión de la geometría de la antena. Para que las características de la antena varíen lo menos posible sobre la banda de frecuencias de diseño, el arreglo debe presentar las mismas condiciones de fase espaciamiento y longitud de los dipolos a las diferentes frecuencias de resonancia, lo que puede conseguirse si la longitud de los elementos y el espaciamiento entre ellos dependen de una progresión geométrica con relación común  < 1. Esto es si se cumple con la condición de escalamiento. Así, cumpliendo la condición de escalamiento, se tendrán los mismos valores de impedancia, resistencia de radiación, etc. a las frecuencias f, f, 2f, 3f,…., que en escala logarítmica será log f, (log f + log ), (log f + 2 log ), (log f + 3 log ), ….., es decir la geometría de la estructura debe ser logarítmico periódica.

9.1.1 REGIONES DE FUNCIONAMIENTO

Para entender mejor el funcionamiento de una antena LPD, es conveniente diferenciar 3 regiones en la misma.

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1) Región de entrada o región de transmisión.- Está formada por dipolos de longitudes pequeñas  >  / 2), teniendo una alta impedancia inductiva. Entre los dipolos existe un considerable desajuste y, debido además a la fuerte radiación de la región activa, ocasiona que los campos radiados por esta región sean casi cero.

9.1.2 CONDICIONES DE ESCALAMIENTO

Figura 9.7 Definición de parámetros de una antena LPD

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Las estructuras que satisfacen la condición de escalamiento deben cumplir con las siguientes ecuaciones

n   n 1

Rn  Rn 1

n 

Ln 2

  constante de escalamiento

n  tan  Rn   Rn1  Rn    n    n1   n   n1 1 Rn d R  Rn 1 Si realizamos n  n   de donde d n   d n1  dn   d n 1 Rn 1  Rn     Ahora puesto que  n  n  1  1 ,  2  2 ,  3  3 , etc. 4 4 4 4

n 1

n 1

R1

d1

El espaciamiento d n expresado en longitudes de onda se define como la constante de espaciamiento  .



9.1.3

dn

n



Rn  Rn1 Rn (1   )  4 n 4 Rn tan 



tan  

1 4

IMPEDANCIA DE ENTRADA

El cálculo de la resistencia media de entrada (Zin), está determinado principalmente por la impedancia característica del alimentador principal y depende inversamente de  y  . El análisis es complejo, pero mediante aproximaciones, y considerando la muy alta carga capacitiva de los elementos de longitud pequeña, se puede estimar la resistencia de entrada en función de la separación y diámetro del alimentador principal como sigue: La relación de la separación para el diámetro de los conductores utilizados en el alimentador esta dada por S Z  donde S es la separación (entre centros), D es el  cosh 0  D  120  diámetro, y Zo la impedancia característica del alimentador (sin carga), la misma que está dada por Z in2  64( ) 2 Z a  Zo  1 1 donde a su vez, Zin es la impedancia  8  Z a  Z in2  de entrada (Resistencia media de entrada), Za es la impedancia característica promedio de los dipolos, dada por

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 L    270 Z a  276 log en la cual, L es la longitud promedio de los  Dd  dipolos y, Dd es el diámetro de los dipolos (asumiendo igual diámetro); y por último,   es la relación

 

 

Para el caso particular en el cual el alimentador está construido con tubo de sección rectangular o cuadrada como se indica en la figura 9.8, el diámetro equivalente del alimentador esta dado por D = 2 r, donde r  0,287(a  b) para el caso del tubo con sección rectangular, y r  0,574a para el caso del tubo con sección cuadrada.

Figura 9.8 Radio equivalente del alimentador rectangular o cuadrado.

9.1.4 CONSIDERACIONES DE DISEÑO Las consideraciones generales de diseño, sugieren la minimización del tamaño de la antena y la reducción del número de dipolos. Como el número de dipolos depende de  Entonces los valores de  y  , deben ser calculados varias veces hasta conseguir la mínima longitud con el menor número de elementos. El rango de valores del ángulo  , puede variar de 2° a 40°, sin embargo, los valores óptimos usados para máxima ganancia están en el rango 4° <  < 20°. La frecuencia límite inferior, determina el tamaño de la antena, mientras que la frecuencia límite superior determina la precisión en la construcción de la antena. 9.1.4.1 CONSTANTE DE TRUNCAMIENTO DE BAJA FRECUENCIA Puesto que las características de la antena deben ser igual a cualquier frecuencia dentro del ancho de banda, es necesario, asegurar que a la frecuencia límite inferior, la zona activa contenga un elemento reflector, esto es, K1 es simplemente la longitud del elemento mas largo requerido expresado en longitudes de onda, a la frecuencia mas baja en la cual la antena LPD opera.  L1  K1 L Los valores óptimos de K1, están entre 0,5 y 0,6 ; y están relacionados con los valores de  y  seleccionados. 9.1.4.2 CONSTANTE DE TRUNCAMIENTO DE ALTA FRECUENCIA

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Igual que en el caso anterior, para asegurar un elemento director en la zona activa cuando la antena opera a la frecuencia más alta, es necesario que la longitud del último elemento sea menor que 0,5 longitudes de onda de la frecuencia más alta, esto es, Lx  longitud del último elemento Lx  K 2  H Esto es, K2 es la longitud aproximada del menor elemento, expresado en longitudes de onda de la más alta frecuencia a la que opera la antena LPD. Valores óptimos están entre 0,1< K2 < 0,44 y depende de  y  . 9.1.4.3 ESPACIAMIENTO Como se analizó anteriormente, la separación entre dipolos se puede determinar por d n   n1d1 sin embargo , la misma se utiliza solo para bajas frecuencia (HF), pero para frecuencias más altas (VHF, UHF), en la medición de los espaciamientos se pueden acumular muchos errores, por lo que el espaciamiento es mejor tomarlo teniendo como referencia el apex.

Así,

 2  R1  L1   1 

y

Rn   n1 R1

9.1.4.4 LONGITUD DEL ALIMENTADOR Y # DE ELEMENTOS La longitud total del alimentador esta dada por Ls  R1  Rx 

L1  Lx K1 L  K 2  H  2 tan  2 tan 

mientras que el número total de elementos puede determinarse a partir de la expresión como donde x es el número de elementos, Lx   x 1 L1 Así entonces despejando x se tienen que

 K   log  1  B   K 2   x  1 1 log   

siendo B =

L f 2  H f1

9.1.4.5 CARGA TERMINAL Es la terminación de la línea de transmisión en el lado de baja frecuencia, usualmente se termina en un cortocircuito a una distancia de /8 del último elemento a la frecuencia menor, o se puede terminar en cortocircuito sobre el último elemento, actuando este último como un reflector pasivo.

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9.1.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO Datos Requeridos : -

Rango de frecuencia fL - fH Ancho angular de haz en el plano horizontal (opcional) Ancho angular del haz en el plano vertical (opcional) Directividad mínima(1,5 a 2 dB mas que la ganancia) Impedancia de entrada deseada Longitud máxima permitida para la estructura

1ro Con la directividad se determina los valores óptimos de  y  mediante las curvas de la figura 1 del anexo. 2do Se verifica si es del caso, que estos valores de  y  cumplan con el ancho angular del haz deseado en el plano E y H. Mediante las curvas de las figuras 2 (a) y (b) del anexo3ro Se determinan las constantes de truncamiento K1 y K2 mediante las curvas de las figuras 3 (a) y (b) del anexo. 4to Se verifica si la longitud del alimentador no excede el límite impuesto y se determina el # de elementos. 5to Se calcula la longitud de los elementos utilizando logaritmos para no introducir errores acumulativos. Esto es,

Ln  anti log(log L1  (n  1) log  ) 6to Se determinan las posiciones de los elementos teniendo como referencia el apex, 2 Rn  Ln ( ) esto es 1 7mo Se calcula la relación S/D del alimentador.

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APENDICE

Figura 1

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DEEE-Sangolquí

Figura 2

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Figura 3

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BIBLIOGRAFIA

- Advanved Engineering Electromagnetics

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C. A. Balanis

John Willey

- Antennas and Radiowave Propagation R.E. Collin

McGraw-Hill

- Handbook of Antennas for EMC T. Magnamara

Artech House

- Handbook of Antennas Jonsson & Jasik

McGraw-Hill

- The ARRL Antenna Book G. L. Hall

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ARRL

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