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• Jhonny Alejandro Tufiño Bedón

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1. ANTECEDENTES En 1687 Isaac Newton presentó las tres leyes básicas que rigen el movimiento, siendo la segunda ley la que indica una relación entre la masa, fuerza y aceleración de una partícula (Ayala, 2011). La formulación de las leyes del movimiento de Newton fue precedida por innumerables acontecimientos que prepararon el pensamiento para la comprensión y explicación del comportamiento de la naturaleza (Rueda, 2014), (López, 2009). Aristóteles, con sus ideas sobre el movimiento de los cuerpos terrestres y celestes, Arquímedes cuyas ideas y explicación de la palanca fundamentaron el concepto de equilibrio, Filopón, Buridan, Oresme, Stevin, Copérnico, Brahe, Kepler y Galileo, con sus diferentes aportaciones, prepararían el momento y el pensamiento para que al final Isaac Newton lograra la consolidación de los cimientos de la mecánica. (García, 2012) La primera persona en estudiar formalmente el movimiento de los cuerpos fue Aristóteles cuyos estudios estaban dedicados fundamentalmente al análisis de las causas y su relación con el movimiento, siendo más de carácter intuitivo que experimental (García, 2012).Según García 2015, los principios aristotélicos fueron desarrollados teniendo en cuenta las siguientes concepciones: • Inexistencia del vacío. • Existencia de una causa eficiente en todo cambio • El principio de la acción por contacto. En todos los movimientos, excepto en los naturales, debe existir como causa eficiente un agente de contacto con el cuerpo móvil. • La existencia de un primer agente inmóvil que pone en movimiento el universo. La hipótesis aristotélica establece que “todo lo que se mueve es movido por algo”; este algo podría ser una causa o motor (Vadillo, 2010). Los estudios de Aristóteles lo llevaron a clasificar el movimiento en dos clases principales: el movimiento natural que es la inclinación que todo cuerpo posee a ocupar el lugar que le corresponde por su propia naturaleza y el movimiento violento para el cual se necesita un motor y era explicado por la acción permanente de un agente. “sin una fuerza impulsora no hay movimiento” 1

(García, 2012). Como conclusión se puede afirmar que, si se deja de realizar o ejercer dicha fuerza, el movimiento de progresión cesa, deteniéndose, siendo el reposo lo más natural. Aristóteles llego a definir que el movimiento vertical es un movimiento natural que viene determinado por la tendencia del elemento presente a volver a su lugar natural cuando se encuentre fuera de él (López, 2009) por esto también afirmaba que los objetos más pesados deberían caer a rapideces proporcionales a sus pesos; mientras más pesado era un cuerpo, más rápido debería caer, estos resultados a los que llegaban los antiguos griegos no eran el resultado de experiencias mal realizadas o de errores de medidas, ya que ellos no experimentaban, solo especulaban, sino que era una consecuencia característica de un esquema global de pensamiento (García, 2012). Es decir que las teorías de Aristóteles nunca fueron comprobadas experimentalmente, debido a que en la antigüedad todos tenían un pensamiento globalizado y daban estas teorías como correctas. Se puede concluir después de todos los antecedentes mencionados sobre las diferentes teorías del movimiento que, si un objeto está en su estado natural, este no se moverá, sino cuando se le someta a una fuerza, a esta deducción llegó Aristóteles siendo en la actualidad erróneas. Sin embargo, su método inspiró a muchas generaciones por el estudio del orden, clasificación de la naturaleza y la ciencia, durante varios siglos. En 1687, Isaac Newton publicó sus celebradas leyes del movimiento en los Principia (Principios matemáticos de la Filosofía natural). Sin embargo, no debe pensarse que su divulgación estableció de inmediato la mecánica clásica. La labor de Newton en esta área consistió principalmente en la mecánica celeste y así se limitó al movimiento de partículas (Andrew Pytel, 2012). Tuvieron que pasar alrededor de doscientos años para que se desarrollaran la dinámica del cuerpo rígido. Cada una de estas áreas requirió nuevos axiomas para tener una forma aplicable. La segunda ley de Newton se la puede aplicar en diversos casos dentro de los proyectos que se realizan en ingeniería civil, uno de los ejemplos más visibles se nota en los canales de riego, los cuales consisten en conducir el agua desde la presa hasta el campo donde será aplicado a los cultivos (EcuRed, 2012). En este caso los canales se construyen siempre con una pendiente, para darle aceleración al agua y pueda fluir, de

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no ser así el agua tendría a estar en reposo como en una represa o laguna (Newtoneducativa, 2014). También se puede aplicar la segunda ley de Newton en la elaboración de puentes, edificios, vías, debido a que se puede diseñar previniendo la aceleración de un sismo y la masa de las estructuras de las edificaciones involucradas en las zonas de un temblor (Argomedo, y otros, 2014) 2. MARCO TEÓRICO Según Beer 2010 la segunda ley de Newton se la puede enunciar de la siguiente manera: “Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante”. Es decir, si se le aplica una fuerza a una partícula, está se moverá en la misma dirección en la cual fue aplicada esta fuerza. Por otro lado, Hibbeler 2010 establece: cuando una fuerza desbalanceada actúa en una partícula, esta se acelera en dirección de la fuerza con una magnitud que es proporcional a esta, las definiciones de los dos autores mencionados nos indican la misma idea, que la partícula se moverá en la misma dirección de la fuerza. Newton estableció que la fuerza total sobre una partícula es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal, que es el producto de su masa y de su velocidad (Bedford & Fowler, 2008):

Si la masa de la partícula es constante, la fuerza total es igual al producto de su masa y de su aceleración:

La segunda ley precisa los términos fuerza y masa. Una vez elegida una unidad de masa, la unidad de fuerza se define como la fuerza necesaria para dar a la unidad de masa una aceleración de magnitud unitaria (Bedford & Fowler, 2008). 3

Por lo tanto, con la segunda ley se puede determinar el movimiento de una partícula si se conoce la fuerza total que actúa sobre ella, o se puede encontrar la fuerza total cuando se conoce el movimiento (Bedford & Fowler, 2008). Marco de referencia Inercial. Cuando se aplica la ecuación del movimiento, es importante que la aceleración de la partícula se mida con respecto a un marco de referencia que este fijo o se traslade a una velocidad constante (Hibbeler, 2010). Este marco de referencia se lo conoce como marco de referencia inercial o Newtoneano.

Un ejemplo bien conocido de un marco de referencia es una persona que aborda un elevador. Las fuerzas que actúan sobre la persona son su peso W y la fuerza N ejercida sobre la persona por la báscula. La persona en el elevador ejerce una fuerza igual y opuesta N sobre la báscula que es la fuerza que ésta mide. Si el elevador está en reposo, se observa que la báscula registra su peso, N = W. La suma de las fuerzas sobre la persona es cero, y la segunda ley de Newton establece de manera correcta que su aceleración respecto al elevador es cero (Bedford & Fowler, 2008). Si el elevador tiene una aceleración a hacia arriba, se sabe que se sentirá más pesado y, de hecho, la báscula registrará una fuerza más grande que su peso, N > W. En términos de un marco de referencia fijo en la tierra. La segunda ley de Newton relaciona de manera correcta las fuerzas que actúan sobre la persona con su aceleración:∑ � = � − � = ��. Pero suponga que se usa el elevador como marco de referencia. Entonces la suma de las fuerzas que actúan sobre la persona no es igual a cero, por lo que la segunda ley de Newton establece que se está acelerando respecto al elevador. Sin embargo, la persona se encuentra en reposo respecto al elevador. Así, expresada en términos de este 4

marco de referencia acelerado, la segunda ley de Newton da un resultado erróneo (Bedford & Fowler, 2008). En casi todas las aplicaciones “terrestres” se puede aplicar la segunda ley de Newton en términos de un marco de referencia fijo respecto a la Tierra, y obtener respuestas suficientemente precisas. Por ejemplo, si se tira un pedazo de tiza a través de un cuarto, con un sistema coordenado fijo respecto al cuarto se puede predecir su movimiento (Bedford & Fowler, 2008). Para concluir se puede decir que la segunda ley de Newton implica que la suma de las fuerzas externas sobre cualquier objeto es igual al producto de su masa por la aceleración respecto a un marco de referencia inercial. En muchas situaciones, un marco de referencia que está fijo con respecto a la Tierra puede asumirse como inercial. Ecuación de movimiento para un sistema de partículas. Ahora se aplicará la ecuación del movimiento para incluir un sistema de “n” partículas, aisladas dentro de una región específica en el espacio (Ayala, 2011).

En el instante en que se considera, la partícula arbitraria i-ésima, con una masa m 1, está sujeta a un sistema de fuerzas internas y una fuerza externa resultante. La fuerza interna resultante

, se determina a partir de las fuerzas que las demás partículas

ejercen sobre la partícula i-ésima (Hibbeler, 2010). Al aplicar la ecuación del movimiento se obtiene:

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Si se considera a todas las partículas se obtendrá: ∑ �� + ∑ �� = ∑ ���� La sumatoria de fuerzas internas sería cero, ya que las fuerzas internas entre dos partículas ocurren en pares colineales iguales pero opuestos (Ayala, 2011), en consecuencia solo prevalecerá la suma de las fuerzas externas, y la ecuación se reduce a (Hibbeler, 2010): ∑ �� = ∑ ���� Si �� es un vector de posición que localiza el centro de masa G de las partículas, entonces por definición del centro de masa ��� = ∑ � ��� donde � = ∑ �� es la masa total de todas las partículas. Al diferenciar esta ecuación dos veces con respecto al tiempo y suponer que ninguna masa entra o sale del sistema, se obtiene (Ayala, 2011):

∑ � = ��� Por lo tanto, la suma de las fuerzas externas que actúan en el sistema de partículas es igual a la masa total de las partículas por la aceleración de su centro de masa G. Ecuación del movimiento: Coordenadas Cartesianas Cuando una partícula se mueve en relación con un marco de referencia x, y, z, es posible expresar las fuerzas que actúan sobre ella, así como su aceleración, en términos de sus componentes ��, ��, ��, al aplicar la ecuación del movimiento se obtiene ∑ � = � ∙ � = (Bedford & Fowler, 2008)

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Para que esta ecuación satisfaga, las componentes

del lado izquierdo deben ser

iguales a las equivalentes en el lado derecho. Por lo tanto, se pueden escribir las siguientes ecuaciones escalares (Ayala, 2011).

∑ �� = ��� ∑ �� = ��� ∑ �� = ��� En particular, si la partícula está limitada a moverse solo en el plano x-y, entonces se utilizan las primeras dos de estas ecuaciones para especificar el movimiento (Ayala, 2011). Ecuación del movimiento: Coordenadas normal y tangencial. Cuando un objeto se mueve en una trayectoria curva plana, es posible descomponer la suma de las fuerzas que actúan sobre él en sus componentes normal y tangencial (Bedford & Fowler, 2008).

Se tiene, por lo tanto: ∑ � = �� ∑ ����� + ∑ ����� = �(���� + ����) Donde:

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Igualando las componentes normal y tangencial, se obtienen dos ecuaciones escalares de movimiento:

La suma de las fuerzas en la dirección tangencial es igual al producto de la masa por la razón de cambio de la magnitud de la velocidad, y la suma de las fuerzas en la dirección normal es igual al producto de la masa por la componente normal de la aceleración (Bedford & Fowler, 2008). Si la trayectoria del centro de masa pertenece a un plano, la aceleración del centro de masa perpendicular al plano es cero, por lo que la suma de las fuerzas perpendiculares al plano también es igual a cero. Ecuación del movimiento: Coordenadas Cilíndricas. Cuando un objeto se mueve en una trayectoria curva planar, el movimiento del centro de masa del objeto se puede describir en términos de coordenadas polares. Al descomponer la suma de las fuerzas paralelas al plano en componentes y al expresar la aceleración del centro de masa en términos de componentes polares, la segunda ley de Newton, puede escribirse en la forma (Bedford & Fowler, 2008)

Donde

Y

Igualando las componentes �� y ��, se obtienen las ecuaciones escalares:

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El movimiento tridimensional de un objeto se puede describir usando coordenadas cilíndricas, en las cuales la posición del centro de masa perpendicular al plano x-y está medida por la coordenada z y el vector unitario apunta en la dirección positiva de z. La suma de las fuerzas se descompone en las componentes radial, transversa y z y la aceleración del centro de masa se expresa en términos de las componentes radial, transversa y z. Las tres ecuaciones escalares de movimiento son las ecuaciones polares y la ecuación de movimiento en la dirección z,

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3. MODELO SIMPLIFICADO Al analizar la segunda ley de Newton, no se incluyó en el análisis del presente trabajo el tema de fuerzas gravitacionales, ya que no son de mucha relevancia en la asignatura de Dinámica aplicada en la Ingeniería Civil. De la teoría estudiada, la parte relevante es la relación entre la masa y la aceleración de un cuerpo, diciendo que estas dos variables son proporcionales entre sí, y para que sea aplicable se debe tener en cuenta un marco de referencia inercial para poder verificar con respecto a que se está tomando en cuenta el movimiento. La ecuación del movimiento indicada en el marco teórico se puede aplicar para diferentes sistemas, estos temas también son relevantes ya que de esta manera se pueden solucionar los diferentes problemas en cualquier sistema de referencia que se tenga. Se debe tomar en cuenta que la segunda ley de Newton se la aplica en un modelo idealizado, debido a que se considera que todos los cuerpos tienen una masa constante, lo cual no es real y tampoco se consideran las fuerzas internas que tienen los cuerpos, 10

debido a esto se puede concluir que la segunda ley de Newton nos sirve únicamente en problemas idealizados y no se cumple a su totalidad en la realidad.

Bibliografía Andrew Pytel, J. K. (2012). Ingeniería Mecánica Dinámica. Santa Fé: Cengage Learning. Argomedo, B., Castro , S., Castro , M., Rodriguez, B., Tapia, G., & Torre, R. (4 de Diciembre de 2014). Prezi. Obtenido de UPAO: https://prezi.com/ee1fqaahax9g/las-leyes-de-newton-aplicada-a-la-ingenieria/ Ayala, G. (2011). Dinámica. Sangolqui: Escuela Politécnica del Ejercito. Bedford, A., & Fowler, W. (2008). Mecánica para Ingeniería Dinámica. Monterrey: Pearson education. Beer, J. C. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros Dinámica. México D.F: McGrawHill. EcuRed. (15 de Abril de 2012). Canal de riego. Obtenido de Canal de riego: http://www.ecured.cu/Canal_de_riego García, A. P. (2012). Interpretación y aplicación de las leyes de movimiento de Newton: . Bogota: Universidad Nacional de Colombia. Hibbeler, R. (2010). Dinámica. México D.F: Pearson Education. López, F. J. (12 de Diciembre de 2009). eumed.net. Obtenido de EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LA RELACIÓN FUERZA-MOVIMIENTO: http://www.eumed.net/rev/cccss/06/fjpl4.htm Newtoneducativa. (23 de Agosto de 2014). La Dinámica . Obtenido de Aplicaciones de leyes de Newton: http://newtoneducativa.blogspot.com/2014/08/aplicacionesdeleyes-de-newton.html Rueda, L. (20 de Agosto de 2014). HISTORIA DE LAS TRES LEYES DE NEWTON. Obtenido de HISTORIA DE LAS TRES LEYES DE NEWTON: https://prezi.com/omvrbzfxkl8n/historia-de-las-tres-leyes-de-newton/ Vadillo, Á. (29 de Noviembre de 2010). Las Leyes de Newton. Obtenido de Las Leyes de Newton: http://fisicaleyesnewton.blogspot.com/2010/11/antecedenteshistoricos.html

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ANEXOS: Guía de discusión de grupo: 1. ¿Cree usted que la segunda ley de Newton es importante para el diseño de alguna estructura en la ingeniería civil? 2. ¿Qué tema le parece relevante y que no en el estudio de nuestra carrera? 3. ¿En qué caso cree que la masa de un cuerpo no es constante?, De 3 ejemplos

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