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´ ALGEBRA Y GEOMETR´IA

NOTAS DE CURSO

Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald

´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA −UNS

2008

A Bib´ı Maccari, Laura Rueda y Sonia Savini, cuyos pertinentes comentarios permitieron las sucesivas mejoras de estas notas, ¡ gracias !

´Indice General 1 N´ umeros Complejos 1.1 Forma bin´omica. Operaciones. M´odulo y conjugado . 1.2 Representaci´on geom´etrica de los n´ umeros complejos 1.3 Forma polar. Operaciones. Potencia y radicaci´on . . 1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

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. 5 . 9 . 10 . 19

Polinomios 2.1 2.2 2.3

23

Definici´on. Grado. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ra´ıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y 3.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . 3.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Vectores 4.1 Segmentos orientados. Vectores libres . . 4.2 Proyecci´on ortogonal y producto escalar 4.3 Orientaciones del Plano y el Espacio . . 4.4 Producto vectorial y producto mixto . . 4.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5

determinantes

39

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65 . . . . .

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Rectas en el Plano. Rectas y planos en el Espacio 5.1 5.2 5.3

39 42 49 54 60

65 72 76 77 81

84

Ecuaci´on de la recta en el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Rectas y planos en el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 Espacios vectoriales 6.1 Definici´on. Propiedades . 6.2 Subespacios . . . . . . . . 6.3 Dependencia lineal y bases 6.4 Componentes . . . . . . . 6.5 Ejercicios . . . . . . . . .

100 . . . . .

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100 102 106 110 112

7 Cambio de base. Bases ortonormales 7.1 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115 . 115 . 123 . 127

8 Transformaciones lineales 130 8.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.2 Matriz asociada a una transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9 Autovalores y autovectores 9.1 Definici´on y ejemplos . . . . . . . . . 9.2 C´alculo de autovalores y autovectores 9.3 Transformaciones lineales sim´etricas . 9.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

139 . . . .

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onicas y Cu´ adricas 10 C´ 10.1 C´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Reducci´on de una c´onica a la forma can´onica . . 10.3 Cu´adricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Reducci´on de una cu´adrica a la forma can´onica 10.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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11 Ap´ endice 11.1 Rango de una matriz . 11.2 Matrices ortogonales . 11.3 Sobre transformaciones 11.4 Sobre transformaciones

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139 140 145 148

150 150 159 163 166 172

176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lineales . . . . . . lineales sim´etricas

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176 179 180 191

BIBLIOGRAF´IA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....195

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald

1

5

N´ umeros Complejos

Es sabido que los n´ umeros reales no son suficientes para resolver cualquier ecuaci´on cuadr´atica con coeficientes reales. Como a2 6= −1; para todo a ∈ R, la ecuaci´on x2 + 1 = 0 carece de soluciones reales. El problema que se plantea es el de ampliar el sistema de los n´ umeros reales de manera que la ecuaci´on anterior tenga soluci´on. Utilizaremos para su construcci´on pares ordenados de n´ umeros reales, por lo que el nuevo sistema num´erico se representar´a por todos los puntos del Plano.

1.1

Forma bin´ omica. Operaciones. M´ odulo y conjugado

Sea R el cuerpo de los n´ umeros reales y R2 = {(a, b) : a, b ∈ R}, donde (a, b) = (a0, b0) si y 0 0 s´olo si a = a y b = b . Definimos en R2 las siguientes operaciones: 1. Suma: Dados (a, b) y (c, d) ∈ R2,

(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d).

2. Producto: Dados (a, b) y (c, d) ∈ R2 , (a, b) · (c, d) = (a c − b d , a d + b c). El conjunto R2, algebrizado con las operaciones de suma y producto definidas anteriormente, se lo nota habitualmente C y recibe el nombre de conjunto de los n´ umeros complejos. Teniendo en cuenta las propiedades de la suma y el producto de n´ umeros reales se prueba que C es un cuerpo conmutativo, pues se verifican las siguientes propiedades: (S1) (z + u) + w = z + (u + w), para todo z, u, w ∈ C. (S2) z + w = w + z, para todo z, w ∈ C. (S3) Existe un u ´nico elemento 0 = (0, 0) ∈ C, tal que z + 0 = z, para todo z ∈ C. ´nico elemento −z = (−a, −b) tal que (S4) Para cada z = (a, b) ∈ C, existe un u z + (−z) = 0. (P1 ) (z · u) · w = z · (u · w), para todo z, u, w ∈ C. (P2 ) z · w = w · z, para todo z, w ∈ C. (P3 ) Existe un u ´nico elemento 1 = (1, 0) ∈ C tal que z · 1 = z, para todo z ∈ C.   −b a −1 tal que (P4 ) Para cada z ∈ C, z 6= 0, existe un u ´nico elemento z = , 2 a2 + b2 a + b2 z · z −1 = 1. (D) z · (u + w) = z · u + z · w, para todo z, u, w ∈ C.

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Cuando no haya lugar a dudas escribiremos z w en lugar de z · w . Definimos la diferencia y el cociente de dos n´ umeros complejos z y w de manera an´aloga al caso z 1 −1 real: z − w = z + (−w) y = z · w , w 6= 0. Es claro que z −1 = . w z 0 0 Sea R = {(a, 0) : a ∈ R} ⊆ C y f : R −→ R definida por f (a) = (a, 0); para todo a ∈ R. f es una funci´on biyectiva y adem´as verifica que f (a + b) = (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0) = f (a) + f (b) y f (a b) = (a b, 0) = (a, 0) · (b, 0) = f (a) · f (b); para todo a, b ∈ R, es decir, preserva las operaciones de suma y producto. Esto significa que los complejos de la forma (a, 0) se comportan, respecto de las operaciones de suma y producto, como los n´ umeros reales a. Esto permite identificar el complejo (a, 0) con el n´ umero real a y podemos escribir (a, 0) = a. Por lo tanto C contiene un subconjunto que se comporta como R. Veamos que C, contiene una soluci´ on de la ecuaci´ on x2 + 1 = 0. Observemos que (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1, y consideremos x = (0, 1) . Entonces x2 + 1 = (0, 1) · (0, 1) + (1, 0) = (−1, 0) + (1, 0) = (0, 0) = 0. Sea z = (a, b) ∈ C. 1. a se denomina la parte real y b la parte imaginaria de z. Los notamos Re(z) e Im(z), respectivamente. 2. Si b = 0, (a, 0) se denomina un complejo real. Si a = 0 y b = 6 0, (0, b) se denomina un complejo imaginario puro. 3. El complejo i = (0, 1) se denomina unidad imaginaria y verifica i2 = −1. Adem´as b i = (b, 0) · (0, 1) = i b y 1 i = (1, 0) · (0, 1) = (0, 1) = i. Observaciones 1. Si z , w ∈ C, entonces z = w si, y s´olo si Re(z) = Re(w) e Im(z) = Im(w). 2. Recordemos que cualesquiera que sean a, b, c ∈ R, entonces: (E1 ) Se verifica una y s´olo una de las siguientes condiciones: i) a = b ii) a < b iii) b < a (E2 ) a < b y b < c ⇒ a < c. (E3 ) a < b ⇒ a + c < b + c. (E4 ) a < b y 0 < c ⇒ a c < b c. Veamos que en C no se puede definir una relaci´on < que verifique las mismas propiedades. Si as´ı fuese, como i 6= 0, deber´ıa ser 0 < i ´o i < 0. Supongamos que 0 < i. Entonces por (E4 ), 0 · i < i · i, o sea, 0 < i2 = −1, una contradicci´on. An´alogamente se razona si suponemos que i < 0.

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Forma bin´ omica Sea z = (a, b) ∈ C. Como (0, b) = (b, 0) · (0, 1) = b i entonces z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + b i, que se denomina forma bin´ omica de z. En lo que sigue escribiremos: z = 0, en lugar de z = 0 + 0 i. z = a, en lugar de z = a + 0 i. z = b i, en lugar de z = 0 + b i. La forma bin´omica permite aplicar las mismas propiedades que en el campo real para obtener la suma y el producto, operando como si i fuese real pero teniendo en cuenta que i2 = −1. En efecto: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i (a + b i) · (c + d i) = (a c − b d) + (a d + b c) i Ejemplo Si z = 3 + 5 i y z 0 = 2 − i, entonces a) z + z 0 = (3 + 5 i) + (2 − i) = 5 + 4 i. b) z − z 0 = (3 + 5 i) − (2 − i) = 1 + 6 i. c) z · z 0 = (3 + 5 i) · (2 − i) = 11 + 7 i. Conjugado de un n´ umero complejo Definici´ on 1.1.1 Dado el n´ umero complejo z = a + b i, llamaremos conjugado de z al n´ umero complejo z = a − b i. Ejemplo Si z = 1 + i, entonces z = 1 − i. Si z = 3, entonces z = 3. Si z = −3 i, entonces z = 3 i. Propiedades del conjugado Sea z = a + b i. Entonces: 1) z = z

6)

z = −z ⇔ Re(z) = 0

2)

z + z = 2 Re(z)

7)

z+w =z+w

3)

z − z = 2 i Im(z)

8)

z−w = z−w

4)

z · z = a2 + b2

9)

z·w =z·w

5)

z = z ⇔ Im(z) = 0

10)

Si z 6= 0, z −1 = (z)−1

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Valor absoluto de un n´ umero real Sea x ∈ R . El valor absoluto de x (lo notamos |x| ) se define como sigue: n x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0 Propiedades 1) |x| ≥ 0. Adem´as, |x| = 0 ⇔ x = 0 . 2) | − x| = |x|. 3) Si d ∈ R , d > 0, entonces |x| ≤ d ⇔ −d ≤ x ≤ d. 4) Si d ∈ R , d > 0, entonces |x| ≥ d ⇔ x ≤ −d ´o x ≥ d. 5) −|x| ≤ x ≤ |x|. 6) |x + y| ≤ |x| + |y| . 7) |x − y| ≥ | |x| − |y| | . 8) |x · y| = |x| · |y| . x |x| 9) = . y |y| √ 10) x2 = |x| . M´ odulo de un n´ umero complejo Definici´ on 1.1.2 Dado z =√ a + b i, se llama m´ odulo de z al n´ umero real no negativo √ a2 + b2. Notaremos kzk = a2 + b2. Ejemplo k2 + 3 ik =

√

22 + 32 =

√ 13

;

k − 2 − ik =

p √ √ (−2)2 + (−1)2 = 4 + 1 = 5.

Observaci´ on √ Si z = a + 0 i, entonces kzk = a2 = |a|, por lo que la noci´on de m´odulo generaliza la de valor absoluto. Propiedades del m´ odulo 1) kzk ≥ 0. Adem´as, kzk = 0 ⇔ z = 0. 2) kzk = kzk = k − zk. 3) z · z = kzk2. 4) |Re(z)| ≤ kzk , |Im(z)| ≤ kzk.

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5) kz · wk = kzk · kwk. z kzk 6) Si w 6= 0, = . w kwk 7) kz + wk ≤ kzk + kwk. 8) |kzk − kwk| ≤ kz − wk. Cociente de n´ umeros complejos en forma bin´ omica z Recordemos que para z, w ∈ C, w 6= 0, = z · w−1 . Entonces, si z = a + b i y w = c + d i, w para hallar el cociente se puede proceder de la siguiente manera: z w 1 (ac + bd) + (bc − ad) i (a + b i)(c − d i) ac + bd bc − ad z = · = = z·w = = 2 + 2 i 2 2 2 w w w kwk (c + d i)(c − d i) c +d c + d2 c + d2 Ejemplo (3 + i) · (2 + 5 i) 1 + 17 i 1 17 3+i = = = + i. 2 − 5i (2 − 5 i) · (2 + 5 i) 29 29 29

1.2

Representaci´ on geom´ etrica de los n´ umeros complejos

Teniendo en cuenta que los n´ umeros complejos se han definido como pares ordenados de n´ umeros reales, es natural representarlos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Sabemos que todo punto P (a, b) del Plano est´a determinado por dos n´ umeros reales a y b que son, respectivamente, la abscisa y la ordenada de P . Entonces a cada n´ umero complejo z = (a, b) (´o z = a + b i), le corresponde un punto en el Plano de abscisa a y ordenada b, y rec´ıprocamente, al punto P (a, b) del Plano le corresponde el n´ umero complejo z = a + b i, de parte real a y de parte imaginaria b. El punto P correspondiente al n´ umero complejo z se llama afijo de z. . ... ....... .. ... ... .... .. ... .... .. . Im(z) = b .......... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...................• ... .... .. .. .. ...... ..... ..... ... ..... . . . .. . . ... . . ... . . ... ..... .... . ..... . . .. . ... . . ... . ... . ... . . . . . .... ... . . ... . .. . ... . . . . . .... ... . . . .. ... . ... . . . . ... . .. . . . . .... ... .... . . .. . . . .... . . ... . ... . .... ......... . .. ...... . . . . . . . ........................... ........................................................................................................................................................................................ .. ... Re(z) = a .. ... ..

P (a, b)

kzk

O

Figura 1 √ Teniendo en cuenta que kzk = a2 + b2 , el m´odulo de z es la longitud del segmento OP . Si z es un complejo real, entonces su afijo est´a sobre el eje de abscisas, que por esta raz´on se

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llama eje real. Si z es imaginario puro, entonces su afijo est´a sobre el eje de las ordenadas, que recibe el nombre de eje imaginario. El Plano cuyos puntos se identifican con n´ umeros complejos se denomina Plano complejo. Ejemplo Representar el complejo z = 2 + i. ... ....... .... ... ... .... .. ... .... .. .... .. ... .... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ......... ... • ... ....... .... .... ....... ........ .. .. ....... . . .. . . . ... . ..... .... ... ....... .. .............. . . . . . . . . . ............................................................................................................................................................................................ .. ... .. .... .. ... ...

2+i

1

2

O

Figura 2

1.3

Forma polar. Operaciones. Potencia y radicaci´ on

Vimos que el complejo z = a + b i queda determinado por su parte real y su parte imaginaria, es decir por la coordenadas de su afijo en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Tambi´ √ en z queda determinado por sus coordenadas polares, es decir por la longitud ρ = kzk = a2 + b2 del segmento OP y la medida radial θ, 0 ≤ θ < 2 π del ´angulo −→ determinado por el semieje real positivo y la semirrecta OP y considerando como sentido positivo de giro, el antihorario. .... ........ .... ... ....... ... ..... .... ... .... . . .... .... .. ... ... .... .... .... .. ...... ...... ...... ...... ........... . z = a + bi ... ...• .... .. .... .... .. .. ... . . . ... . . ... .. .... ... .. .. .... . ............ ... .... ...... . .. . ... . .. .. ... ...... ... ... ..... .. . . . . . . ......................................................................................................................................... ... ... ...

b

θ

O

a

z

. ... ....... .... ... ... ... .... .... .. ......... .... ... .... .... .... .. .... .... ... .• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... = a + b i ......... .... .. ... ...... ... . ... .... .. .... ........................... .... . .............. ... .... .... . .. ... .... .... .. .. .... .. ... . ...... .. . . . ..................................................................................................................................... .... .. ....

b

a

θ O

... ........ . ................................ . . . . ... .... ... ... ... ... ... ... .. . . .. ............................................................................................................................................... . . . ... . . . ... ...... .... .. ... . ............... . .... .... ....... ... .. . ... . . ...... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... z = a + b i .......• ... . . . .. . . ..... . ... ... . . ... ... . . .. . . .... . ........ ... . ..... ... ... ... .

a

θ O b

.. ........ .. .................................. . . . .... ... .... ... ... . ..... .. . ... . .............................................................................................................................................. .... .. . . . .. . . ... .... ...... ... ... ... ... ..... . . . . . . . . . . . . . . ......... .. ........... ... ... .......... .... . ... . .... ......... ...... ...... ...• .... z = a + b i .... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ... .... ... ... ..... ... ......... ..... ... ...

θ

O b

Figura 3 θ se denomina el argumento principal de z y se nota θ = Arg(z). Observaci´ on Si z = 0 , entonces Arg(z) no est´a definido y z queda caracterizado por su m´odulo. Forma polar o trigonom´ etrica de un n´ umero complejo Sea z = a + b i, z 6= 0. Se tienen entonces las siguientes relaciones (Ver Figura 3): √ (  a2 + b2 ρ = a = ρ cos θ y b b = ρ sen θ tg θ = , a 6= 0 a

a

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11

Entonces z = a + b i = ρ(cos θ + i sen θ), denominada la forma polar de z. Si α = θ + 2 k π, k ∈ Z, entonces ρ(cos α + i sen α) = ρ [cos(θ + 2 k π) + i sen(θ + 2 k π)] = ρ(cos θ + i sen θ) = z. Es decir el complejo z queda determinado por su m´odulo y por cualquier n´ umero real que difiere de θ en un m´ ultiplo entero de 2 π. Todo elemento del conjunto {θ + 2 k π, k ∈ Z} se denomina un argumento de z y se nota arg(z). Entonces arg(z) = Arg(z) + 2 k π, k ∈ Z Si α = arg(z), entonces abreviamos z = kzkα = ρα . Adem´as si z = ρθ y z 0 = ρ0α , entonces z = w si, y s´olo si ρ = ρ0 y α = θ + 2 k π, k ∈ Z. Ejemplos √ a) Hallemos la forma polar de z = 3 + i . q√ √ kzk = ( 3)2 + 12 = 3 + 1 = 2. π π 1 ´o θ = + π. Si θ es el argumento principal de z, entonces tg θ = √ , luego θ = 6 6 3 π Como z pertenece al primer cuadrante, θ = . Por lo tanto, z = 2 π . 6 6 √ π π b) Si z = 2 π , entonces z = 2(cos + i sen ) = 1 + 3 i. Por lo tanto la forma bin´omica 3 3 3 √ de z es z = 1 + 3 i. Producto de n´ umeros complejos en forma polar Proposici´ on 1.3.1 Si z = ρ θ y w = ρ0Ψ , entonces z · w = (ρ.ρ0 ) θ+Ψ . Dem. z · w = (ρ θ ) · (ρ0Ψ ) = [ρ(cos θ + i sen θ)] · [ρ0 (cos Ψ + i sen Ψ)] = ρ.ρ0 [cos θ cos Ψ − sen θ sen Ψ] + i[cos θ sen Ψ + sen θ cos Ψ] = ρ.ρ0 [cos(θ + Ψ) + i sen(θ + Ψ)] = (ρ.ρ0) θ+Ψ .

2

Luego, el producto de dos n´ umeros complejos expresados en forma polar es otro complejo cuyo m´odulo es el producto de los m´odulos y uno de sus argumentos es la suma de los argumentos de los complejos dados. Es decir arg(z · w) = arg(z) + arg(w) Observaci´ on θ + Ψ no necesariamente es el argumento principal de z · w. Ejemplo Si z = 2 π y w = 3 π , entonces z · w = 6 π π = 6 5 . ( + ) π 6 4 6 4 12

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12

Cociente de n´ umeros complejos en forma polar   ρ z Proposici´ on 1.3.2 Si z = ρθ y w = = , entonces . w ρ0 θ−Ψ   ρθ ρ (cos θ + i sen θ)(cos Ψ − i sen Ψ) ρ(cos θ + i sen θ) z = 0 = 0 = 0 = Dem. w ρΨ ρ (cos Ψ + i sen Ψ) ρ (cos Ψ + i sen Ψ)(cos Ψ − i sen Ψ) ρ ρ [(cos θcos Ψ + sen θsen Ψ) + i (sen θcos Ψ − cos θsen Ψ)] = [cos(θ − Ψ) + i sen (θ − Ψ)] = ρ0  ρ0  ρ . 2 ρ0 θ−Ψ ρ0Ψ

Luego el cociente de dos n´ umeros complejos expresados en forma polar es un complejo cuyo m´odulo es el cociente de los m´odulos y uno de sus argumentos es la diferencia de los argumentos de los complejos dados. Es decir z arg = arg(z) − arg(w) w Ejemplos       z 3 3 3 = 1. Si z = 3 π y w = 2 π , entonces . π π = π = w 2 ( − ) 2 − 2 7π 4 2 4 2 4 4     1 1 1 = . 2. Si z = ρθ , entonces z −1 = = z ρ −θ ρ 2 π−θ Potencia de n´ umeros complejos Sea z ∈ C y n ∈ N. Se define la potencia n-´esima de z por recurrencia como sigue:  1 z =z z n+1 = z · z n La definici´on anterior se extiende para z ∈ C, z 6= 0 y n ∈ Z, n ≤ 0 como sigue:  0 z =1 z n = (z −n )−1 Las propiedades de la potencia de exponente entero que valen para n´ umeros reales, tambi´en valen en C. Ejemplos 1. Potencias de i i0 = 1. i1 = i. i 2 = i · i = −1.

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i 3 = i 2 · i = (−1) · i = −i. i 4 = i 3 · i = (−i) · i = −i 2 = −(−1) = 1. En general si n ∈ N y r es el resto de dividir n por 4, entonces i n = i r . En efecto, como n = 4 q + r; 0 ≤ r < 4, entonces i n = i 4 q+r = i 4 q · i r = (i 4 )q · i r = 1 q · i r = i r. 2. (1 − i)−2 =

1 1 1 = − i. = 2 (1 − i) −2 i 2

F´ ormula de De Moivre La f´ormula de De Moivre (1667 − 1754) se usa para calcular la potencia entera de un complejo expresado en forma polar. Teniendo en cuenta las propiedades del m´odulo y el argumento de un producto, y utilizando un proceso inductivo, se demuestra que si n ∈ N y z = ρ θ , entonces z n = (ρn ) n θ . La f´ormula anterior se verifica para n = 0. −n Si n ∈ Z, n < 0, entonces z n = (z −1 )−n = [(ρ−1 )−θ ] = (ρn )n θ . Entonces z n = ρn [cos (n θ) + i sen (n θ)], para todo n ∈ Z Ejemplos √ π 1. Calculemos (−1 − i)−78 . Si z = −1 − i, entonces kzk = 2 y tg θ = 1, luego θ = 4 √ 5 5 ´o θ = π. Como z pertenece al tercer cuadrante, θ = π, luego z = 2 5 , y por 4 4 π 4 √ 78 39 la f´ormula de De Moivre, z 78 = ( 2 ) 5 = (2 ) 5 . 78 · π 39 · π 4 2 195 195 5 , entonces se tiene que 195 = 2 × 97 + 1 por lo tanto π = Como 39 · = 2 2 2 3 1 1 97 π + π = 48 · 2 π + π, luego z 78 = (2 39 ) 3 y por consiguiente, z −78 = 78 = 2 2 z π 2   1 = (2−39 ) π = 2−39 · i. 239 − 3 π 2 2 √ 105 2. Calcular √ (− 3 + i) . z = − 3 + i = (2) 5 , luego z 105 = (2105) 525 . Si deseamos hallar su argumento π π 6 6 π π 3 525 π = 87 π + = 86 π + π + = 86 π + π, luego z 105 = principal observamos que 6 2 2 2 (2105) 3 = −2105 i. π 2

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Regiones del Plano complejo Analicemos, a partir de algunos ejemplos, un par de problemas que se presentan al considerar subconjuntos de n´ umeros complejos. a) Hallar todos los complejos z que verifican una ´o m´as condiciones, y graficar en el Plano complejo. b) Dada una regi´on del Plano complejo, hallar las condiciones m´ınimas que caracterizan a los complejos cuyos afijos pertenecen a la misma. Ejemplos 1. Sea r ∈ R, r > 0 y z0 = x0 + y0 i. Hallar los z ∈ C tal que kz − z0k < r. Si z = x + y i, entonces z − z0 = (x − x0 ) + (y − y0 )i. p Luego kz − z0k = (x − x0)2 + (y − y0)2 < r ⇔ (x − x0)2 + (y − y0)2 < r2 . Luego los afijos de los complejos buscados pertenecen al interior del c´ırculo de centro z0 y radio r. . ... ....... .... .. ....... ......... ....... .... .. .... . . . . . . . ..... . .... ... ... .... ... . ...... ... .... .... ... ... .... ..........• . .... .... .... ... ... .... .... ... .. . .. ..... .... ... ... ............ ... ...... ... . . . . . . . .. . . . . . ... ...... ............................... ................ ... ... ....... . . • . .z.. ... .... . 0 ..... ... .... ...... ..... ... ........ ...0 .. . . . . . .. . . .. ..... ....... .... ..... ...... ..... ... ....... ..... .... .. .. ... . . . . . . .. . . . . . . ... ....... ... .. ..... ... ....... .... .. . . .. ...... ..... ..... . .. ................ ... ... .... ... .. . .......................................................................................................................................... .. ... ... 0

z

y

x

O

Figura 4 2. Hallar los z ∈ C que verifican kz − ik ≤ 1 y |Re(z)| ≥ 12 . Si z = x + y i, entonces |Re(z)| ≥ 12 ⇔ |x| ≥ 12 ⇔ x ≥ 12 ´o x ≤ − 12 . La condici´on kz − ik ≤ 1 es un caso particular del Ejemplo 1, considerando z0 = i y r = 1. Luego los complejos que verifican ambas condiciones se hallan en la regi´on indicada en la Figura 5. . ... ....... .... ... ... ... ... .... ... ... .. ... .. ... ............................... ..... . . . . . . . . . . . ... ......... .. . . ............ . . ... . ... .... ...... .... .. . ... ... ....... .... ... ... ... ... ....... . .. ... . ... .... .. . . . ... ....... ..... .... .. ... ..... •...... i .............. .......... ... .. ... .... ... . ... .... . . ....... . ... .. . ... .... .... ....... ... .. ... ... ... . ... ... .......... ... . .. . . ........... ........ .. ....... .... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................... ................ ..................................................................... ... ... ... 1 ... .. .. 1 .. .... ... . .

−2 O

2

Figura 5 3 π < arg(i z) ≤ π e Im(z) ≤ 1. 4 4 3 π < arg(i) + arg(z) ≤ π . arg(z · w) = arg(z) + arg(w), en consecuencia 4 4

3. Hallar los complejos que verifican

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π Como arg(i) = + 2 k π, k ∈ Z, analizando los distintos valores de k obtenemos que 2 π π − < arg(z) ≤ . Si z = x + y i, entonces Im(z) ≤ 1 ⇔ y ≤ 1. 4 4 .... ........ ... ... ... .... .. ... .. .... .... .. .... .... ... ... . . . .... .. .. .... ... .... y=1 ... ........................................................................................................................................... . ... . ..... ... .... ... ... .. .. ......... ... .... ... ... .. . . ... .. . . . . . . . . . . .... .... .. ........ .... ...... ..... .... ... .. ....... ....π .. ... ......... ..... ........... ...... .... ..... ... . . . . . .4. . ... . . . . . . . .......................................................................................................................................................... .. .... . . . . . . . . . . . . ... ... .... ... ... .... ... ... . ... .... .... ... ... .... ... ... . ...... ... ... .... ... .. . .. . .. .. . ..... ... .... ... . . .. .. . . ...... .... ... .. .. ....... .. . . ..... .

1

◦

O

Figura 6 4. Caracterizar las regiones indicadas a continuaci´on: . ... ....... .... .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . ...... ........ .......... ....... ...... ..... .... ...... ....... .... ..... ........ . . . . . . . . . ... . . . . .... ....... ...... ..... .... ...... ....... .... ..... ....... . . . . . . . . . ... . . . . ... ....... .... ... ... .... ..... ... ... ....... ... .... ... ... .... .... ... ... ..... ....... ...... ..... .... ...... ....... .... ..... ........ . . . . . . . . . ... . . . . .... ........ ...... ..... .... ...... ...... .... ..... ....... . . . . . . . . . ... . . . . ... ....... ...... ..... .... ...... ...... .... ..... ........ .. . . . . . . . . ... . . . . ... ...... ...... ..... .... ...... ....... .... ..... ........ . . ............................................................................................................................................................ . ....... ...... ..... .... ...... ....... .... ..... ........ . .. . . . . . . . . . . . . . .... ....... ...... ..... .... ...... ....... .... ..... ....... . .. . . . . . . . . .. . . . . .. ...... ...... ..... .... ...... ...... .... ..... ........ . . . . . . . . . ... . . . . ... ........ ...... ..... .... ...... ...... .... ..... ........ . . . . . . . . . ... . . . . ... .............................................................................................................. ... ... .

3

−2

1

O

 −2 < Re(z) ≤ 1      

−2 ≤ Im(z) < 3

. ... ........ . . . . . . ........................ . . . . . . . . . . . . ... ......... . . .... . . ......... ......... ...... ..... ...... ...... ..... ............. . . . .. .. .... ... ... .... ... ..... .... ... ... ... ..... ...... ... ... .... ... .... .... ... ... .... . ... .. . . . . . . . . ..... . . . . . . . . ..... ... ........................................................................................................................• . ...•............ .. ... ... ...... .. ... ....... ... ...... .. ...... .. ... ...... ... ...... . . . ... ...... . . . . ...... ... ......... .. .... .. . .............................................................................................................................................................................. ... ... ... .... .. .

2

√ (2 3, 2)

O

  kzk ≤ 4 

Im(z) ≥ 2

−2

Figura 7 Radicaci´ on de n´ umeros complejos Definici´ on 1.3.1 Sea z ∈ C y n ∈ N. w ∈ C se dice una ra´ız n-´ esima de z si wn = z. Si n = 2, w se dice una ra´ız cuadrada de z, si n = 3 una ra´ız c´ ubica, y as´ı sucesivamente. Ejemplos 1. Como 12 = (−1)2 = 1, entonces 1 y −1 son ra´ıces cuadradas de 1. 2. Como 14 = (−1)4 = i4 = (−i)4 = 1, entonces 1 , −1 , i y −i son ra´ıces cuartas de 1. 3. Si w = x+y i es una ra´ız cuadrada de 3+4 i, entonces w2 = (x+y i)2 = (x2 −y 2)+2 x y i = 3 + 4 i. Por el criterio de igualdad de dos complejos en forma bin´omica se tiene que:  2 x2 − y 2 = 3 ⇒ y = . Reemplazando en la primera ecuaci´on y operando se obtiene xy = 2 x la ecuaci´on bicuadrada x4 − 3 x2 − 4 = 0. De la resoluci´on de la misma resulta que x = 2 ´o x = −2. Luego y = 1 ´o y = −1 y entonces w0 = 2 + i ´o w1 = −2 − i = −w0.

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C´ alculo de las ra´ıces de un complejo Sea z ∈ C y n ∈ N. Si z = 0, la u ´nica ra´ız n-´esima de z es w = 0, para todo n ∈ N. Si z 6= 0, entonces z = ρ θ , 0 ≤ θ < 2 π. Sea w = ρ0α una ra´ız n-´esima de z. Como 0n wn = z, por De Moivre se tiene que ρ0n n α = ρ θ . Entonces ρ = ρ y n α = θ + 2 k π, k ∈ Z. θ + 2k π √ , k ∈ Z. Concluimos que ρ0 = n ρ y α = n θ + 2(n − 1)π θ θ + 2π , , ... , , los Si k = 0, 1, . . . , (n − 1), obtenemos los argumentos n n n cuales no difieren, dos a dos, en un m´ ultiplo entero de 2 π. √ √ √ Entonces w0 = ( n ρ) θ , w1 = ( n ρ) θ + 2 π , . . . , wn−1 = ( n ρ) θ + 2(n − 1)π son n ra´ıces n n n n-´esimas distintas de z. Si k 6= 0, 1, . . . , (n − 1), como k y n son enteros, k = q n + r, con 0 ≤ r < n. θ + 2(q n + r)π θ + 2rπ En consecuencia α = = + 2 q π, q ∈ Z, r = 0, 1, . . . , (n − 1). n n Es decir, α difiere de alguno de los argumentos anteriores en un m´ ultiplo entero de 2 π. Hemos probado que: Teorema 1.3.1 Todo complejo no nulo z posee exactamente n ra´ıces n-´esimas distintas. Sus m´ odulos son la ra´ız n-´esima aritm´etica del m´ odulo de z y sus argumentos principales son θ + 2(n − 1)π θ θ + 2π , , ... , . n n n p Al conjunto de las ra´ıces n-´esimas de z lo notamos n ((z)) y escribimos      p θ + 2k π θ + 2k π √ n n + i sen ((z)) = ρ cos n n k=0,1,...,(n−1) Ejemplos √ 1. Hallar las ra´ıces c´ ubicas de z = −1 + i. De z = −1 + i obtenemos que ρ = 2 y su p √ 3 π, luego z = ( 2) 3 . Los elementos del conjunto 3 ((z)) argumento principal es 4 π 4 son √
√ √ wk = 6 2 3 π + 2 k π , k = 0, 1, 2. Por lo tanto w0 = ( 6 2) π , w1 = ( 6 2) 11 y 4 π 4 12 3 √ 6 w2 = ( 2) 19 . π 12 √ 3 3 − 3i 3 . 2. Hallar todos los valores de z que verifican z = √ − 2+i Efectuando el cociente obtenemos que z 3 = −3 = 3π . Luego los complejos buscados son

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     p √ π + 2k π π + 2k π 3 3 los elementos de + i sen ((−3)) = 3 cos . 3 3 k=0,1,2 √ √ √ Obtenemos w0 = ( 3 3) π , w1 = ( 3 3)π y w2 = ( 3 3) 5 . π 3 3 Representaci´ on geom´ etrica de las ra´ıces de un n´ umero complejo √ Como todas las ra´ıces n-´esimas de un complejo z = ρθ tienen m´odulo n ρ, entonces sus afijos equidistan del origen de coordenadas, es decir se encuentran sobre la circunferencia C con √ centro en el origen y radio n ρ. 2π Como Arg wj+1 − Arg wj = , el argumento principal de cada ra´ız se obtiene sum´andole al n 2π 2π . Como es la medida radial del ´angulo central argumento principal de la ra´ız anterior n n correspondiente a un arco obtenido al dividir la circunferencia en n arcos congruentes, entonces los afijos de las n ra´ıces n-´esimas de z, n ≥ 3, son los v´ertices de un pol´ıgono regular de n √ lados, inscripto en una circunferencia con centro en el origen y radio n ρ. . ... ....... .... 1 ... 2 ................................................................................................•.................... . . .... ....... ........................ . . . . . . . . . .... ..... ..• .... .... ..... ... .... . .... .... .... .. .... .... .... ... .... . ..... .... . . ............. . . .. .... ... . . . . . . . . ........ ........ . ... ... . . . . . ....... .... . . . ... . . . ... . . .... ... . . .. .• . 0 . . . . ... .. .... ... . ... 2 π √ .. . . . ... . . . ... ... n ρ . ... .. . .... . . . . . . . . ... ... ... ... . n ... .. .. . .. .. .. ... ... .... ... ... .. .. . .. ... ... .. .... .......... .. . . ............................................................................................................................................................................................................................... ... . . . . . . .... .. ... . . ... .. ..... ... .. ... .. .. .. ... .. .. . . . . ... . .... .. .. .. ... ... ... ... .... ... ... . . . ... ... .... .... .... .... ... ..... .... ..... ... ..... . . . ...... . . . . ... ........ ... ........ ........... ........................................................ .... .

w

w

w

Figura 8 Ejemplo

q √ √ Calculemos 4 ((−1 + 3 i)). Como z = −1 + 3 i se tiene que z = 2 2 , por lo tanto las π 3 ra´ıces son: √ √ √ √ π π 3 1 4 4 4 = = + i) 2π 2(cos + i sen ) 2( w0 = 6 6 2 2 6 √ √ √ √ 2 2 1 3 = 4 2(cos π + i sen π) = 4 2(− + w1 = 4 2 2 i) 3 3 2 2 π 3 √ √ √ √ 7 7 3 1 4 4 4 − i) w2 = 2 7 2(cos π + i sen π) = 2(− = 6 6 2 2 π 6 √ √ √ √ 1 5 5 3 w3 = 4 2 5 i) = 4 2(cos π + i sen π) = 4 2( − 3 3 2 2 π 3

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald Representemos en el plano complejo, las ra´ıces halladas: ... ....... ... .... 1 ............................................................................... ....... . . . ... . ........ ...... ..... . .... ......• . ...... .. ..... ..... .. .... ........ .... .. .... .... . . . . . .... ... . .. .. ...... ...... ... . . . .. ... ... ...... . .. . . . . . . ... ...... .. ..... . .. . . . 0 .... ...... . . . ... . . .. . ...... . . . .. . .. .......• . .. . . ... ... . . . ... ... ... . . . .. ... . . ... . . . .. . . ... .. ...... .. ....... ... ... .... . .. ... ...... ...... .. ... .. .. ... ....... .... .. . .. . ...... π ... .. 4 . ... .. . . . ... . . ... . .. ...... .......... . ... ... 6 . . . ............................................................................................................................................................................................................................................. ... . . . . . . . . . .. . .. .... ... .... . . . . . . . . . . .. ..... .. .. .... .... .. .. ....... . . . . ... . . . . . . . . . . .. . . .. ..... ... .... ... .. . ...... . .. .. .. .. ... ....... .. ... .. .. . .......... ... .. ....... ... .. . . ........ ... . . ... . •..... ...... ... ... .... ... . ... .. .. ... 2 ......... ... ...... ...... ...... ..... ... ... .. .. . ... . . . . . . . . . . ... . .... ....... .. ..... . .. .... .... ..... .. ...... ............... ..... ... ....... ....... .... ......... .......• . . . . . . . ............. . ... . .......................................... 3 ....

w

w

√ 2

w

w

Figura 9

18

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1.4 1.

19

Ejercicios a) Escribir en forma bin´omica los siguientes n´ umeros complejos: √ 1 (0 , ) , (− 2 , 0) , (−3 , 2) , (0 , 0). 3 b) Escribir como par ordenado a los siguientes umeros complejos: √ n´ 1 3 −2 + i , −4 , −2 i , − + i. 2 2

2. En cada uno de los siguientes casos hallar: Re(z), Im(z), kzk, Re(z −1 ) e Im(z −1). 1 b) z = (3 − 5 i) − (7 − 2 i) + (1 − 3 i) a) z = (2 + 5 i) + (3 − i) + i 2 1 d) z = (1 + 2 i) + i (2 + i) c) z = 2 i · ( + 7 i) − (3 + 4 i) √ 3 √ e) z = [( 2 − i)( 2 + i)]−1 f) z = (1 + i)(2 + i) 1 1+i h) z = g) z = 1−i 1−i 3.

a) Hallar los m´odulos de los siguientes n´ umeros complejos: √ 2 −2 i −i 5 + 2i k1 − ik + i

k3 + 2 ik · i

b) Hallar los conjugados de los siguientes n´ umeros complejos: 1 4+i 7 + 4i 0 2 2i i 1−i 4.

a) Dados z = 2 − a i y z 0 = 3 − b i, hallar a y b de modo que z · z 0 = 8 + 4 i. k + 2i sea de m´odulo 2. b) Hallar el valor de k de modo que 1−i

5.

a) Hallar todos los x ∈ R y los correspondientes w sabiendo que w = (x−i)(x+3−4 i) es imaginario puro. 6 5 b) Hallar a y b ∈ R tal que i + b i − 2 = 3 i − + b. a a

6. Hallar los complejos z tales que: a) z (2 + 3 i) es un complejo real. b) z (i − Im(z)) = 10 i. c) z 2 = z. d) z 2 + 2 = Re(z) z. e) z 2 − 2 z + 1 = 0. f) Re(z) = kzk. 7. Si z = 1 + 2 i y w = 2 + 3 i, representar los siguientes n´ umeros complejos: z , w, , z + w , z − w , z , z · w y 4 z.

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8. Hallar la forma bin´omica de: a)

z=2 π 3

d)

z = 2 (cos

7 7 π + i sen π) 6 6

b)

1 2 2 z = (cos π + i sen π) 2 3 3

e)

z=

c)

z=1 π 4

√ 3 π − 2

9. Hallar la forma polar de: a)

−1 + i

b)

1 π − i sen 2 3

c) −17

d)

(2 + 2 i)−1

e)

−i

f)

−3(cos

g)

i15 − 1

h)

11 13 1 (cos π − i sen π) 2 3 3

i)

sen

3 3 π + i sen π) 7 7

π π + i sen 6 3

10. Expresar en forma bin´omica los complejos:

11.

12.

a)

i43 − i38

b)

c)

(1 + i)231

d)

i86 i165 (−3 − 3 i)228

(1 + i)16 , y expresar el resultado en forma bin´omica. (1 − i)4 15 17 2−i +( + i) = 0. b) Verificar que (−1 + i)7 + 3+i 2 2 √ !20 −1 − 3 i a) Calcular el m´odulo y el argumento principal de . 1−i a) Calcular

6 6 b) Idem que a) para z 23, siendo z = cos π + i sen π. 7 7 √ !90 1 − 3i c) Mostrar que = −245 i. 1+i 13. Sea z = cos

π π + i sen . Hallar todos los n ∈ Z tal que z n = 1. Idem para z n = −1. 8 8

14. Hallar: a) Las ra´ıces cuartas de 5. b) Las ra´ıces quintas de −1. c) Las ra´ıces cuadradas de a, con a ∈ R.

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d) Las ra´ıces c´ ubicas de i. 15. Hallar los n´ umeros complejos z que verifiquen: √ √ !16   3 − 2i 2 2 3 21 a) − + i 5. z − 8 − 28 i = 2 2 −2 + i b) (2 − i)z + (−1 − i)4 = 4 i28 +

1 − 3i z + z3. 1−i

1 c) z 3 = (−1 + i)12. 8 d) (1 − i)10 + z 5 = 32 − 32 i29 . e) z 4 + i = 0. f) (z + 1)3 = z 3. 16. Representar en el Plano complejo la regi´on determinada por los z ∈ C que verifican: a) kz − 2 ik ≤ 1 y |Re(z)| > 12 . π b) 4 < kzk2 ≤ 9 y − ≤ arg(z) ≤ π. 2 c) Re(z 2 − i) ≥ 0. d) 4 ≤ 5 kzk2 − 1 ≤ 79 y Re(z) > 1. e) kz − 2k ≤ 2 y Re(z − i) ≤ 2. 17. Caracterizar, por una o m´as condiciones, las siguientes regiones del plano complejo: √ (−3, 3 3)

. ... ....... .. •................................................................................................ ........ ... ... .... ... ... ...... . ... ... ... .... ... ... .... ...... ... ... .... ... ... ..... . . ... ... .... ... ... ..... ...... ... .... ... ... ..... . . . . . . . . .. .... ... .... ... ... ...... . ... .... ... ... ..... ..... .... ... ... ..... .. .... ... ... .... ....... ... ... ...... . . . . . .. .... ... ... ..... . ...................... . .. ...... . . .... .. .. .... ... ... . .. .... . .. ... ... ... ... .. ..................................................................................................................... .... ... .. ..

−2

... ....... .. . . . . . .................. . . . . . . . . ... ............ . . . ... . . ............ ................ ... .... ....... ...... .... ................... . . . . . . ..... . . . . . . . ... . . . . . . ..... ..... ... ... .... .. ... .... .... ... ... .... ...... .... . . . . . . . . ... . . . . . . . . . .... ........ ... ... .... .. ... .... .... ... ... .... ... . .... ..... .... ... ... .................................................. ... .... ... ....... . . . . . . . . . .... ....... .. .... ... ... ... ..... ..... . . . . . .. ... . . . . . . .... ... ... ... ... . .. .. .. . ... .... ... ..... ... . . . . . .. .. . . . . . .... ... .... . . . . .. .. ... .... ...... ....... .. . . ... ... ... .. .. . .... ... ... ........ ..... ... ... .. . ... ... ... ...... .. ... . . . . . .. . .. .. ... ... . .. .... .. .... ..... ....... .... . ............................................................................................................................................................................................. ... ... ... .. ... ... ... ... . . . ... . .. . . . . . . . . ... ... ... ... .... .. ... .. .. ... ... .... .. .. .... .... ... ... .. .... ...... . . . . ... . . . ... ......... . . ... .................................... ... ... .. ... ... .... .... ... .... .... . . . . . ..... ...... ..... .... ...... ........ .. ............ ......... .......................................... .... .. ..

3

5

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√ (3, 3 3)

... ........ ...................... ......... ... ....... .. . ... • ...... ..... ... ... .. ....... ... .......... .... . . ... ... . .. ... . .... ... ... ..... ..... .. ... .... ... ...... .. . ... . . . .. ... ....... ... ...... .. ... ... .... ... ... ..... .. ... ..... ... ... ..... .. .......... ... ... ..... ...................................................................................................................... ... ... ... ... ... .. .. ... .. ... .. .. . ... ... ... ... .... .... ... .... . . . ... .... ... ...... .............................. .. ... .

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√ (−2 3, 2)

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−5

(−3, −3)

√ (2 3, 2)

.... ....... ... .... .. ... .... .. ... ... ... .... ... .. . ... ... . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . .. ... ........ .... . . . .... . ... .... .............. ... ........ . . .... ... ... ....... .. ...... . ... . .... . .... . . ... . .......... ... ... .... . .. . . . . . ... ... .... ....... .. ... ....... .. .. ...... .. .. .. ............................................................................................................................................................................................. ... ........... ... ........ ... ... ..... ... ... ... . ... .. .... ...

√ y = − 3x

y = −x

−2

√ (3, 3 3)

.. ........ .. .................................... . . . . . . . . . . . . ........ ........ ..... .... ..... .... . . . ... . .... ... .... ... .. ... . . . ....................................................................................................... . . ........ ... ... .... ... ... ...... ... ... .... .. ...........•.... . . ..... ... ... .... ... ... ...... ... ... ............ .. . . .. .. ..... ... ... .... ... ... ...... ... ........... .. .... ..... ... ... .... ... ... ...... .. ........... .. ... ..... ... ... .... ... ... ................. .. ................................................................................................................................................................... .... .. .... .... ..

2

√ (2 3, 2)

22

. ... ....... ... ... .... • .... ..... .. ... .. ....... .... ... . . ...... ... .... .. .... .... ... .... . . ... ... ...... ...... .... . .... ... . . . .. .. .. . ... .... .. ... ... . . . . . ... .. . . . . . .. .... ..... .... ..... ...... .... .. . ...... ... ... .... .... .... .. ....... ... ... .... ... ... ..... .... ... ... .... .... .... ...... .... ... ... .... .... .. ... ... .... ... ... .... ... ... .... ... .... ... ... .... .. ........................................................................................................................................................................... .. ......... .... ... ... .... ... ....... . . . . . . ... ... ...... . . . . . .. ... ....... ... .... .. ...... . . . .. ... ....... .. ... ... ...... .. ...... ... • ... .. .... ... .

√ (3, − 3)

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(−3, 3)

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2

Polinomios

2.1

Definici´ on. Grado. Operaciones

23

La definici´on de polinomio no es sencilla de dar dentro de los niveles de este curso. Aqu´ı adoptaremos la presentaci´on del Dr. Enzo Gentile en su libro “ Anillo de polinomios”. En esta secci´on, con K representamos al cuerpo de los n´ umeros racionales, reales o complejos. Definici´ on 2.1.1 Una sucesi´ on de elementos de K es una funci´ on f : N ∪ {0} → K. Ejemplos 1. f : N ∪ {0} → K, f(n) =

1 . n+1

2. f : N ∪ {0} → K, f(n) = n2 + 1. Una sucesi´on queda determinada por los valores a0 = f (0), a1 = f (1), a2 = f (2), . . . , an = f (n), . . . . Por lo tanto, dar una sucesi´on f : N ∪ {0} → K es equivalente a dar ordenadamente los n´ umeros a0 = f (0), a1 = f (1), a2 = f (2), . . . , an = f (n), . . . . Se escribe entonces a = (a0, a1, a2, . . . , an , . . .) . 1 es equivalente a dar la As´ı por ejemplo dar la sucesi´on f : N ∪ {0} → K, f(n) = n+1   1 1 1 , ... . expresi´on 1, , , . . . , 2 3 n+1 Los n´ umeros ai de la sucesi´on (a0, a1, a2 , . . . , an , . . .) se llaman los coeficientes de la sucesi´on. Definici´ on 2.1.2 Sean a = (a0, a1, a2, . . . , an , . . .) y b = (b0 , b1, b2, . . . , bn , . . .). Diremos que a es igual a b y notaremos a = b si, y s´ olo si ai = bi para todo i ∈ N ∪ {0}. Observaci´ on La sucesi´on a = (a0, a1, a2, . . . , an , . . .) y b = (0, 0, 0, . . . , 0, . . .) son iguales si, y s´olo si ai = 0 para todo i ∈ N ∪ {0}. Vamos a considerar ahora s´olamente aquellas sucesiones tales que sus coeficientes son cero desde un ´ındice en adelante. La notaci´on utilizada para designar el siguiente conjunto se ver´a justificada m´as adelante. Sea K[X] = {a = (a0, a1, a2 , . . . , an , . . .), ai ∈ K : existe m ∈ N tal que ai = 0 si i > m}. Ejemplo Son elementos de K[X] 1. a = (0, 0, 0, . . . , 0, . . .) ; ai = 0 para todo i ∈ N ∪ {0}. 2. a = (1, 0, 0, . . . , 0, . . .) ; a0 = 1, ai = 0 si i > 1. 3. a = (0, 1, 0, . . . , 0, . . .) ; a0 = 0, a1 = 1, ai = 0 si i > 2. Algebricemos a K[X].

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Definici´ on 2.1.3 Sean a, b ∈ K[X], a = (a0, a1, a2 , . . . , an , . . .) y b = (b0, b1, b2 , . . . , bn , . . .). on cuyo coeficiente a + b = (a0 + b0, a1 + b1 , a2 + b2, . . . , an + bn , . . .). Esto es, a + b es la sucesi´ i-´esimo es (a + b)i = ai + bi . Observaciones 1. Es claro que si a, b ∈ K[X], entonces a + b ∈ K[X]. 2. La suma definida en K[X] verifica las siguientes propiedades: a) Es asociativa. Si a, b, c ∈ K[X], entonces (a + b) + c = a + (b + c). b) Es conmutativa. Si a, b ∈ K[X], entonces a + b = b + a. c) Admite elemento neutro: 0 = (0, 0, 0, . . . , 0, . . .). d) Todo elemento a = (a0 , a1, a2, . . . , an , . . .) admite un sim´etrico −a = (−a0, −a1, −a2, . . . , −an , . . .). Definiremos ahora un producto en K[X]. Previamente vamos a definir el producto de un elemento de K por un elemento de K[X], para obtener una representaci´on de los elementos de K[X] que nos permita operar con mayor sencillez. Definici´ on 2.1.4 Sean k ∈ K y a = (a0, a1, a2 , . . . , an , . . .) ∈ K[X]. k.a = (k a0, k a1, k a2, . . . , k an , . . .). Esto es, k.a es la sucesi´ on cuyo coeficiente i-´esimo es (k.a)i = k ai . Observaci´ on 0.a = 0 = (0, 0, 0, . . . , 0, . . .), para toda sucesi´on a. Se prueba sin dificultad que este producto tiene las siguientes propiedades: a) k.(a + b) = k.a + k.b, a, b ∈ K[X], k ∈ K. b) (k1 + k2 ).a = k1 .a + k2 .a, a ∈ K[X], k1 , k2 ∈ K. c) (k1 k2 ).a = k1 .(k2 .a), a ∈ K[X], k1 , k2 ∈ K. d) 1.a = a, para todo a ∈ K[X]. Vamos a destacar ahora algunas sucesiones particulares de K[X] : X0 = (1, 0, 0, 0, . . .) X1 = (0, 1, 0, 0, . . .) X2 = (0, 0, 1, 0, . . .) .. .. . . Xi = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .)

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Es decir xi = 1, xj = 0 si i 6= j. Si a = (a0, a1, a2 , . . . , an , . . .) ∈ K[X] y suponemos que ai = 0 para i > n, entonces a puede escribirse: a = a0 .(1, 0, 0, 0, . . .) + a1 .(0, 1, 0, 0, . . .) + a2.(0, 0, 1, 0, . . .) + · · · + an .(0, 0, . . . , 0, . . . , 1, . . .) = a0.X0 + a1.X1 + a2.X2 + · · · + an .Xn . En particular 0 = a0.X0 +a1.X1 +a2.X2 +· · ·+an .Xn si, y s´olo si a0 = a1 = a2 = · · · = an = 0. Entonces todo elemento a ∈ K[X] se puede representar como una combinaci´on lineal finita de las sucesiones X0 , X1 , X2 , . . . , Xi , . . . , con coeficientes en K. Para definir un producto en K[X], basta definirlo para los elementos X0 , X1 , X2 , . . . , Xi , . . . , y extenderlo a todos los elementos de K[X] por medio de la propiedad distributiva. Definici´ on 2.1.5 Xi .Xj = Xi+j . Observaciones 1. El producto anterior es asociativo y conmutativo. 2. X0 .Xi = Xi , para todo i. 3. X12 = X1 .X1 = X2 , X13 = X1 .X1.X1 = X12 .X1 = X2 .X1 = X3 , . . . , X1n = Xn , para todo n. Entonces, si convenimos en notar X10 = X0 = 1 (neutro del producto) y X1 = X11 = X, la expresi´on de un elemento cualquiera de K[X] es: a0.1 + a1 .X + a2.X 2 + · · · + an .X n . Si consideramos la funci´on ϕ : K → K[X], definida por ϕ(k) = k.X0 = k.1, ϕ es inyectiva y respeta las operaciones de suma y producto. En consecuencia, para cada a ∈ K, podemos identificar a con ϕ(a), es decir, podemos escribir a = a · X0 = a · 1, y entonces la expresi´on de un elemento de K[X] es a0 + a1 .X + a2.X 2 + · · · + an .X n , ai ∈ K. Con esta representaci´on el producto de elementos de K[X] se efect´ ua teniendo en cuenta la propiedad distributiva y la siguiente definici´on. Definici´ on 2.1.6 (ai .X i ).(aj .X j ) = (ai aj ).X i+j . Los elementos de K[X] se llaman polinomios con coeficientes en K en la indeterminada X. En lo que sigue los notaremos, en forma simplificada, P (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n . Ejemplos 1. Si A(X) = X 2 +X +1 y B(X) = 2 X 3 +1, entonces A(X)+B(X) = 2 X 3 +X 2 +X +2. 2. Si A(X) = X 2 − 1 y B(X) = X 3 + 2, entonces A(X).B(X) = (X 2 − 1)(X 3 + 2) = X 5 − X 3 + 2 X 2 − 2. Grado de un polinomio un i. Si P (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n 6= 0, entonces ai 6= 0, para alg´ Definici´ on 2.1.7 Se llama grado de un polinomio no nulo P (X), y se nota gr P (X), al mayor ´ındice i ∈ N ∪ {0} tal que ai 6= 0.

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Observaciones 1. Al polinomio nulo no se le atribuye grado. 2. Si P (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n , no necesariamente gr P (X) = n. Por ejemplo: gr (1 + X + 0 X 2 ) = 1. 3. Si P (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n , an 6= 0, entonces gr P (X) = n. onico. an se denomina el coeficiente principal de P (X). Si an = 1, P (X) se dice m´ 4. Al escribir un polinomio, por convenci´on, los monomios de la forma 0 X j , j > 0 son omitidos. Propiedades del grado Sean A(X) y B(X) ∈ K[X]. a) Si A(X).B(X) 6= 0, entonces gr(A(X).B(X)) = gr A(X) + gr B(X). b) Si A(X) + B(X) 6= 0, A(X) 6= 0 y B(X) 6= 0, entonces gr (A(X) + B(X)) ≤ m´ax(gr A(X) , gr B(X)). c) gr P (X) = 0 si, y s´olo si P (X) = k ∈ K, k 6= 0. Esto es, los polinomios de grado cero son las constantes no nulas. De las propiedades a) y c) obtenemos que los u ´nicos polinomios que tienen inverso multiplicativo, es decir polinomios A(X) para los cuales existe B(X) tal que A(X) · B(X) = 1, son las constantes no nulas. Igualdad de Polinomios Podemos dar ahora una nueva versi´on del criterio de igualdad para dos polinomios no nulos. Si A(X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n , an 6= 0 y B(X) = b0 + b1 X + b2 X 2 + · · · + bm X m , bm 6= 0, entonces A(X) = B(X) si gr A(X) = n = m = gr B(X) y ai = bi , para todo i, 0 ≤ i ≤ n. Funciones polinomiales Dado un polinomio P (X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n ∈ K[X] la funci´on ϕP : K → K on polinomial asociada definida por ϕP (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · · +an xn , se denomina funci´ a P (X). Si K es el cuerpo de los n´ umeros racionales, reales o complejos, existe una correspondencia biun´ıvoca entre funciones polinomiales y polinomios. Este resultado no es, en general, v´alido. Basta considerar como K un cuerpo con un n´ umero finito de elementos. Ejemplo Sea K = {0, 1}, con las operaciones de suma y producto definidas por las siguientes tablas:

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald + 0 1

0 0 1

1 1 0

. 0 1

0 0 0

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1 0 1

(K, +, .) es un cuerpo, es decir verifica para la suma y el producto las mismas propiedades que R. Si consideramos K[X] y los polinomios P (X) = X y Q(X) = X 2 , es claro que P (X) 6= Q(X) pues son de distinto grado. Sin embargo, si consideramos las funciones polinomiales, ϕP y ϕQ , asociadas a P (X) y a Q(X), respectivamente, tenemos que ϕP (0) = ϕQ (0) y ϕP (1) = ϕQ (1). Por lo tanto, ϕP = ϕQ. Divisi´ on entera de polinomios Como cuando trabajamos con n´ umeros enteros, en K[X] existe un algoritmo de la divisi´on, que enunciamos sin demostraci´on. Proposici´ on 2.1.1 Dados A(X) y B(X) ∈ K[X], B(X) 6= 0, existen polinomios q(X) y r(X) ∈ K[X], un´ıvocamente determinados, tales que: A(X) = B(X).q(X) + r(X); con r(X) = 0 ´ o gr (r(X)) < gr B(X). Si r(X) = 0 diremos que B(X) divide a A(X), que A(X) es divisible por B(X), o que B(X) es un factor de A(X) . Observaci´ on Si gr B(X) > gr A(X), entonces q(X) = 0 y r(X) = A(X). Ejemplos 1. Sean A(X) = X 4 − 3 X 2 + 1 y B(X) = X 2 − 2 X. X4 + 0 X3 − 3 X2 + 0 X + 1 X4 − 2 X3 2 X3 − 3 X2 2 X3 − 4 X2 X2 + 0 X X2 − 2 X 2X + 1

|X 2 − 2 X X2 + 2 X + 1

Entonces q(X) = X 2 + 2 X + 1 y r(X) = 2 X + 1. 2. Determinar los valores a ∈ R de modo que X 3 + 3X 2 + (a + 3)X + (a2 − 1) divisible por X 2 + 1.

sea

Efectuamos la divisi´on y obtenemos r(X) = (a + 2)X + (a2 − 4), luego a + 2 = 0 y a2 − 4 = 0. Entonces a = −2. El algoritmo utilizado en los ejemplos anteriores se puede simplificar cuando se trata de dividir un polinomio P (X) por uno de la forma (X − a). Se utiliza entonces la conocida regla de Ruffini.

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Ejemplo 1 3

2

Sea A(X) = X − 2 X + 1 y B(X) = X − 2.

1

0 2 2

−2 4 2

1 4 5

Entonces q(X) = X 2 + 2 X + 2 y r(X) = 5.

2.2

Ra´ıces de polinomios

Definici´ on 2.2.1 Sea c ∈ K y P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ K[X]. Se llama valor num´ erico de P en c al n´ umero P (c) = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0. Es decir P (c) = ϕP (c). Si P (c) = an cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0 = 0, diremos que c es ra´ız de P (X) Ejemplo Sea P (X) = X 2 + 2 X − 1. Entonces P (2) = 7, P (−1) = −2 y P (0) = −1. Teorema 2.2.1 (Teorema del resto) El resto de dividir un polinomio P (X) por otro de la forma X − c es P (c). Dem. Sean q(X) y r(X) el cociente y el resto de dividir P (X) por X − c. Entonces P (X) = q(X)(X − c) + r(X), donde r(X) = 0 ´o gr (r(X)) < gr (X − c) = 1. Luego r(X) = r y entonces P (c) = q(c)(c − c) + r = r = r(X). 2 Corolario 2.2.1 Un n´ umero c es ra´ız de un polinomio P (X) si, y s´ olo si P (X) es divisible por (X − c). Dem. c es ra´ız de P (X) si, y s´olo si P (c) = 0. Como P (c) es el resto de dividir P (X) por (X − c), entonces c es ra´ız de P (X) si, y s´olo si P (X) = (X − c) · q(X) lo que es equivalente a decir que P (X) es divisible por (X − c). 2 Ejemplo Verificar que 3 es ra´ız de P (X) = X 3 − X 2 − 5 X − 3. Para ello basta ver que el resto de dividir P (X) por (X − 3) es el polinomio nulo. Aplicamos la regla de Ruffini: 1 3 1

−1 3 2

−5 6 1

−3 3 0

Observaci´ on A partir del corolario del Teorema del resto, si P (X) es un polinomio de grado n y conocemos una ra´ız c de P (X), entonces existe un polinomio q(X) tal que P (X) = (X − c)q(X). Si b es ra´ız de q(X), entonces P (b) = (b − c).q(b) = (b − c).0 = 0, es decir b tambi´en es ra´ız de P (X). Esto es , las restantes ra´ıces de P (X) son las ra´ıces de q(X), que es un polinomio de un grado menor que el grado de P (X).

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Ra´ıces m´ ultiples Definici´ on 2.2.2 Sea P (X) ∈ K[X] y c una ra´ız de P (X). Se dice que c es una ra´ız multiple de orden k de P (X) ´ o que c es una ra´ız de orden de multiplicidad k de P (X) k si P (X) = (X − c) q(X), con q(c) 6= 0, es decir si k es el mayor n´ umero natural tal que k P (X) es divisible por (X − c) . Si k = 1, c se dice una ra´ız simple. Si k > 1, c se dice una ra´ız m´ ultiple. Observar que para hallar el orden de multiplicidad de una ra´ız de un polinomio basta aplicar reiteradamente la regla de Ruffini. Ejemplo Verificar que 2 es ra´ız del polinomio P (X) = X 5 − 6 X 4 + 11 X 3 − 2 X 2 − 12 X + 8 y hallar su orden de multiplicidad. Debemos efectuar divisiones sucesivas por (X − 2) hasta que el resto no d´e el polinomio nulo. 1 2 1 2 1 2 1 2 1

−6 2 −4 2 −2 2 0 2 2

11 −8 3 −4 −1 0 −1 4 3

−2 6 4 −2 2 −2 0

−12 8 −4 4 0

8 −8 0

Entonces el orden de multiplicidad de la ra´ız es 3. Si conocemos una ra´ız de P (X) es conveniente calcular su orden de multiplicidad para obtener un polinomio de menor grado cuyas ra´ıces son tambi´en ra´ıces de P (X). As´ı, en el ejemplo anterior, 2 es ra´ız m´ ultiple de orden 3 de P (X) y se tiene que P (X) = (X − 2)3 (X 2 − 1). Luego las restantes ra´ıces son las de X 2 − 1, es decir 1 y −1. Proposici´ on 2.2.1 Si P (X) ∈ K[X] es un polinomio de grado n ≥ 1, entonces P (X) tiene a la sumo n ra´ıces en K. Observaciones 1. Cada ra´ız se cuenta tantas veces como su orden de multiplicidad. 2. X 2 + 1 ∈ Q[X] ⊂ R[X] y no poseen ra´ıces reales. La situaci´on dada en la observaci´on 2. no se da si consideramos a los polinomios en C[X], pues se verifica el siguiente teorema.

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´ Teorema 2.2.2 (Teorema Fundamental del Algebra) Todo polinomio no constante con coeficientes en C tiene por lo menos una ra´ız en C. La primera demostraci´on de este teorema fue hecha por Gauss a principios del siglo XIX, y escapa a los alcances del curso. ´ Veamos que el Teorema Fundamental del Algebra es equivalente a decir que todo polinomio de grado n, n > 1 con coeficientes en C tiene exactamente n ra´ıces en C, contando cada ra´ız tantas veces como su orden de multiplicidad. En efecto, si P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ C[X], an 6= 0, por el teorema ´ fundamental del Algebra, P (X) tiene una ra´ız c1 en C. Luego P (X) = (X − c1)q1 (X), ´ con gr q1 (X) = n − 1. Pero por el Teorema Fundamental del Algebra, q1(X) tiene una ra´ız c2 en C, luego q1(X) = (X − c2 )q2(X), con gr q1(X) = n − 2 y entonces P (X) = (X − c1 )(X − c2 )q2(X). Reiterando este procedimiento, luego de n pasos se tiene: P (X) = an (X − c1 )(X − c2 ) · · · (X − cn ) y P (X) tiene exactamente n ra´ıces en C. Si con α1 , α2, . . . , αt notamos a las ra´ıces distintas de P (X), entonces el polinomio admite una descomposici´on como producto de polinomios en C[X] de la forma: P (X) = an (X − α1 )n1 (X − α2 )n2 · · · (X − αt )nt ,

n1 + n2 + · · · + nt = n

Ra´ıces complejas de polinomios con coeficientes reales Sea P (X) ∈ R[X] y α ∈ C . • Teniendo en cuenta que z + z 0 = z + z 0, obtenemos que P (α) = P (α).

z · z 0 = z · z 0 y que z = z ⇔ z es real,

• El polinomio ϕ(X) = (X − α)(X − α) = X 2 − 2 Re(α) X + kαk2 = X 2 + p X + q ∈ R[X]. Proposici´ on 2.2.2 Sea P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ R[X] y α = a + b i, b 6= 0, una ra´ız compleja de P (X). Entonces α es ra´ız de P (X) si, y s´ olo si α es ra´ız de P (X) . Adem´ as α y α poseen el mismo orden de multiplicidad. Dem. Como α = α, basta demostrar una de las implicaciones. Si α es ra´ız de P (X) entonces P (α) = 0 y por lo tanto P (α) = P (α) = 0 = 0, luego α es ra´ız de P (X). Veamos que α y α tienen el mismo orden de multiplicidad. Supongamos que α y α son de orden k y l respectivamente y que k 6= l; podemos tomar, por ejemplo, k > l, es decir, k − l > 0. Como α y α son ra´ıces de P (X) de orden k y l respectivamente, entonces P (X) = (X − α)k (X − α)l q1(X) = (X − α)l (X − α)l (X − α)k−l q1(X) = ϕ(X)(X − α)k−l q1(X), con q1(α) 6= 0. Como q(X) = (X − α)k−l q1(X), es el cociente de dos polinomios de R[X], entonces q(X) ∈ R[X]. Se tiene entonces que q(α) = 0 y q(α) 6= 0; pues α − α 6= 0, lo que contradice la primera parte del teorema. Luego, k = l. 2

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Observaciones 1. Las ra´ıces complejas de un polinomio con coeficientes reales aparecen de a pares conjugados. 2. Si gr P (X) = n > 0; c1, c2 , . . . , cr son todas sus ra´ıces reales y α1, α1 , α2 , α2 , . . . , αs , αs , son todas sus ra´ıces complejas entonces P (X) admite una descomposici´on en R[X] del tipo: P (X) = an (X −c1 )(X −c2 ) · · · (X −cr )(X 2 +p1 X +q1)(X 2 +p2 X +q2) · · · (X 2 +ps X +qs ), con r + 2 s = n. 3. Si P (X) = X 2 − i X entonces sus ra´ıces son 0 e i, lo que muestra que el teorema anterior deja de ser v´alido si el polinomio no tiene coeficientes reales. Corolario 2.2.2 Todo polinomio con coeficientes reales de grado impar admite por lo menos una ra´ız real. Ejemplo Hallar todas las ra´ıces del polinomio X 7 + 5 X 5 − 2 X 4 − 33 X 3 − 16 X 2 + 27 X + 18, sabiendo que −1 y −3 i son ra´ıces. Aplicamos Ruffini y obtenemos: 1 −1 1 −1 1 −1 1

0 −1 −1 −1 −2 −1 −3

5 1 6 2 8 3 11

−2 −6 −8 −8 −16 −11 −27

−33 8 −25 16 −9 27 18

−16 25 9 9 18 −18 0

27 −9 18 −18 0

18 −18 0

Al efectuar nuevamente la divisi´on por X + 1, el resto es no nulo, luego P (X) = (X + 1)3 (X 4 − 3 X 3 + 11 X 2 − 27 X + 18). Como P (X) ∈ R[X] y −3 i es ra´ız , entonces 3 i tambi´en lo es. Por lo tanto, (X 2 + 9) divide a X 4 − 3 X 3 + 11 X 2 − 27 X + 18. Si efectuamos la divisi´on obtenemos como cociente X 2 − 3 X + 2 . Podemos escribir entonces P (X) = (X + 1)3 (X 2 + 9) (X 2 − 3 X + 2). Las restantes ra´ıces son las del polinomio X 2 − 3 X + 2. Resolviendo la ecuaci´on cuadr´atica obtenemos α1 = 2 y α2 = 1. Luego las ra´ıces de P (X) son : −1 (triple), 3 i, −3 i , 2 y 1 .

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C´ alculo de las ra´ıces de un polinomio a0 de un polinomio de primer grado a1 X + a0. a1 Para polinomios de grado 2, a2 X 2 + a1 X + a0, es muy conocida la f´ormula que permite −a1 + t −a1 − t y α2 = , donde t es calcular sus ra´ıces. Las mismas est´an dadas por α1 = 2 a2 2 a2 un elemento de K que verifica t2 = a21 − 4 a2 a0. Es muy simple calcular la u ´nica ra´ız α = −

A pesar de que los griegos ya conoc´ıan los m´etodos de resoluci´on de las ecuaciones cuadr´aticas, el descubrimiento de las f´ormulas para calcular las ra´ıces de polinomios de tercer y cuarto grado pertenece al siglo XVI, aunque creemos razonable no incluirlas aqu´ı. Se dice que las ecuaciones algebraicas de grado menor que 5 admiten resolubilidad por radicales porque pueden resolverse mediante f´ormulas que involucran las operaciones de suma, producto y radicaci´on entre sus coeficientes. El problema de la resoluci´on general de la ecuaci´on de grado n por radicales ha sido de gran importancia en la historia de la Matem´atica y su estudio ha sido el motivador de gran parte de la matem´atica actual. Se puede demostrar que no existe una f´ormula general que involucre s´olamente operaciones de suma, producto y extracci´on de ra´ıces n-´esimas que permita calcular las ra´ıces de un polinomio de grado mayor o igual que 5. La soluci´on de este problema se debe a Evaristo Galois (1811 − 1832). Ra´ıces racionales de polinomios en Q[X] Sea P (X) ∈ Q[X]. Sin perder generalidad, podemos considerar que P (X) tiene coeficientes enteros, pues en caso contrario, si k es el producto de los denominadores de sus coeficientes, entonces k P (X) ∈ Z[X] y tiene las mismas ra´ıces que P (X). p Proposici´ on 2.2.3 Sea P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ Z[X] y ∈ Q, q   p = 0 entonces p es divisor de a0 y q es divisor de an . una fracci´ on irreducible. Si P q Observaciones 1. Si a , b ∈ Z, recordar que b es un divisor de a si existe c ∈ Z tal que a = b · c. 2. Si P (X) ∈ Z[X] es m´onico, sus ra´ıces racionales, en caso de existir, son enteras. Ejemplo 1 2 7 X − X − 3. 2 2 3 2 Las ra´ıces del polinomio coinciden con las de 2 X + X − 7 X − 6 que se obtiene del anterior p multiplic´andolo por 2. Si existen ra´ıces racionales, son de la forma , donde p divide a −6 q y q divide a 2. Por lo tanto p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6 } y q ∈ {±1, ±2}. 3 1 Luego las posibles ra´ıces racionales son: ±1, ±2, ±3, ±6, ± , ± . Reemplazando en P (X) 2 2 3 o aplicando la regla de Ruffini, se ve que las ra´ıces racionales son: −1, −2 y − . 2 Calcular todas las ra´ıces racionales del polinomio P (X) = X 3 +

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B´ usqueda de ra´ıces reales Diversos problemas se reducen al c´alculo de las ra´ıces reales de un polinomio a coeficientes reales. Como no existen m´etodos para calcularlas con exactitud se plantean los siguientes problemas: 1. Acotar las ra´ıces reales. Esto es, determinar un intervalo real que las contenga a todas. 2. Separar las ra´ıces. Es decir, determinar ciertos intervalos en cada uno de los cuales haya una u ´nica ra´ız. 3. Aproximar las ra´ıces con cierta exactitud prefijada. Acotaci´ on de las ra´ıces reales de un polinomio con coeficientes reales Dado un polinomio P (X) con coeficientes reales, existen varios m´etodos que permiten encontrar un intervalo [a, b] ⊆ R de modo que [a, b] contenga a todas las ra´ıces reales de P (X). Como una aplicaci´on del teorema del resto y la regla de Ruffini daremos la regla de Laguerre-Thibault. Proposici´ on 2.2.4 (Regla de Laguerre-Thibault) Sea P (X) = an X n + · · · + a1 X + a0 un polinomio no constante a coeficientes reales tal que an > 0. Si al dividir P (X) por X − c , c ≥ 0, el resto y todos los coeficientes del cociente son no negativos, entonces c es una cota superior de las ra´ıces reales de P (X). Dem. Por el teorema del resto P (X) = (X − c)(an X n−1 + qn−2 X n−2 + · · · + q0) + P (c). Como todos los coeficientes del cociente q(X) y P (c) son no negativos entonces, para todo s, s > c ≥ 0, P (s) = (s − c)(an sn−1 + qn−2 sn−2 + · · · + q0) + P (c) > 0, por lo tanto P (X) no posee ra´ıces reales mayores que c. Luego c es una cota superior para las ra´ıces reales de P (X). Para la cota inferior se tiene en cuenta que: • α es ra´ız de P (−X) si, y s´olo si −α es ra´ız de P (X). • α ≤ c si, y s´olo si −c ≤ −α. Entonces si l es una cota superior de las ra´ıces reales de P (−X), se tiene que −l es cota inferior para las ra´ıces reales de P (X). 2 Observaci´ on Si el coeficiente principal de P (X) es negativo, basta considerar −P (X), que posee las mismas ra´ıces que el anterior. Ejemplo Hallar un intervalo [a, b] en el cual se encuentren todas las ra´ıces reales del polinomio X 3 − X + 4. Aplicamos la regla de Laguerre-Thibault. 1 0 −1 4 1 1 0 1 Como todos los coeficientes son no negativos, 1 es cota superior, luego 1 1 0 4

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tomamos b = 1. Calculamos P (−X) = −X 3 + X + 4, como a3 < 0 consideremos −P (−X) que posee las mismas ra´ıces que P (−X) . −P (−X) = X 3 − X − 4. Hallemos una cota superior para las ra´ıces reales de −P (−X). 1

0 −1 −4 2 4 6 2 Luego 2 es cota superior y por lo tanto −2 es cota inferior de las 1 2 3 2 ra´ıces de P (X) y entonces tomo a = −2. Las ra´ıces reales de P (X) se hallan en el intervalo [−2, 1] . Ra´ıces reales positivas y negativas de un polinomio con coeficientes reales Existen m´etodos para calcular el n´ umero exacto de ra´ıces reales positivas y negativas de un polinomio con coeficientes reales. M´as a´ un, permiten conocer el n´ umero de ra´ıces reales que existen en cualquier intervalo (a, b). El m´etodo m´as sencillo es el de Sturm (1803 − 1855). La regla de los signos de Descartes, que enunciaremos sin demostraci´on, nos proporciona solamente una cota del n´ umero de ra´ıces reales positivas y negativas de P (X). Sea P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ R[X] y V (P (X)) = V (an , an−1 , . . . , a0), el n´ umero de variaciones de signo de la sucesi´on finita an , an−1 , . . . , a0. Proposici´ on 2.2.5 El n´ umero de ra´ıces reales positivas de un polinomio P (X) con coeficientes reales, contadas tantas veces como su orden de multiplicidad, es a lo sumo V (P (X)) . Si es menor, difiere de V (P (X)) en un n´ umero par. An´ alogamente, el n´ umero de ra´ıces reales negativas de P (X) , es a lo sumo V (P (−X)) . Si es menor, difiere de V (P (−X)) en un n´ umero par. Ejemplos 1. Si P (X) = X 2 +1, como V (P (X)) = V (P (−X)) = V (1, 0, 1) = 0, la regla de Descartes nos asegura que P (X) no tiene ra´ıces reales. 2. Acotar el n´ umero de ra´ıces reales positivas y negativas de P (X) = −X 3 + 7 X − 3. Como V (P (X)) = V (−1, 0, 7, −3) = 2, el n´ umero de ra´ıces reales positivas de P (X) 3 es 0 ´o 2 . Por otro lado P (−X) = X − 7 X − 3 y V (P (−X)) = 1. Entonces el n´ umero de ra´ıces reales negativas es 1. El siguiente teorema juega un papel importante en la localizaci´on y aproximaci´on de las ra´ıces reales de un polinomio con coeficientes reales. Dado P (X) ∈ R[X] y teniendo en cuenta que la funci´on polin´omica asociada es continua en toda la recta, se tiene que: Proposici´ on 2.2.6 (Teorema de Bolzano) Sean a, b ∈ R, a < b . Si P (a) · P (b) < 0, entonces existe c ∈ (a, b) tal que P (c) = 0. Ejemplo Usemos el teorema de Bolzano y localicemos, para el polinomio del ejemplo 2., los intervalos

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en que se encuentran las ra´ıces reales de P (X). Calculemos los valores de P (a) para algunos enteros a. P (0) P (1) P (3) P (−1) P (−2) P (−3)

= = = = = =

−3 3 −9 −9 −9 3

(Negativo) (P ositivo) (Negativo) (Negativo) (Negativo) (P ositivo)

Una ra´ız real positiva se halla en el intervalo (0, 1), la otra en el intervalo (1, 3), y la negativa en el intervalo (−3, −2). .... ........ .... ... ... ............ ... .... .... .. ........ .. ... .. ... ... ... .. .... ... .. .. ... . .. .... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .... .. . ... .. ... .. ... .. . .. .. .. 1 . −1 . .. ... .. ... . . ....................................................... ...............................................• .........................................................................................................• ............................................................• .. ... . ... .. . . . .. ... . ... . . 1 ... 2 3 ....... ... .... . . .. .. .... ... .. . ... ... ....... .. ... .. .. .... .. ... .. ... ... .. . .. . ... . . . .. . . .. . ... ... .... .. . ... ... . . . . . . ... .. . .... .. . .. .. ... ..... ... . .. ... . ... ... .. . . .. ... . ... . . ... ... .. ... ... . .. ... .. .. . .. . ... . .. . . .. .. ... .. ... . ... . . . . ... . . ... . ... ... ... ... .. ... . . ... .. ... ... . .. ... .. .... .. .... .. . ..... . . ..............

Y

α

O

α

α

X

y = ϕP (x) = −x3 + 7 x − 3

Figura 10

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2.3

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Ejercicios

1. Dados P (X) = X 3 + 3 X 2 − X + 2 y Q(X) = 2 X 2 + 4 X − 1, calcular: a) El coeficiente principal de P (X) · Q(X)5 − Q(X)3 . b) El t´ermino independiente de 8 P (X)2 − Q(X)3 . c) El coeficiente de X 3 en P (X) · Q(X). 2. Dados los polinomios P (X) = X 40 − 3 X 25 + 2 X 4 − 5 X + 3 y Q(X) = X 2 − 2, calcular el grado de: a) Q(X)25. b) (Q(X) + 1) · P (X)2 . c) X 25 · P (X) − Q(X)40 . 3. Determinar a, b ∈ R de modo tal que P (X) = Q(X). a) P (X) = 6 X 2 + a X + b ,

Q(X) = (3 X − 1) (2 X + 1). 5 b) P (X) = a (X 2 − X − 2) + b (X − 1) + (X 2 − 3 X + 4) , Q(X) = 3 X 2 + 2 X − 1. 2 7 c) P (X) = a (X 2 + X + 3) + b (X 2 − 2 X + 1) + (X 2 − 3) , Q(X) = 2 X − 1. 16 4. Hallar el cociente y el resto de dividir: a) −5 X 4 + 2 i X 3 + X por X 3 + X 2 + X. b) 3 X 5 + 3 X + 2 por 2 X 2 + 1. c) −4 X 3 + X 2 por 2 X 2 + X + 3 . 5. Calcular el valor num´erico de los siguientes polinomios, en los valores de a indicados: a) P (X) = X 4 − 2 X 3 + X + 1 , a = 0. √ √ √ 8 2 X , a = 2. b) P (X) = 2 X − 5 5 c) P (X) = 2 X − 7 X 3 − 10 X 2 + 2 X + 7 ,

a = −1.

6. Aplicando la regla de Ruffini hallar: a) el cociente y el resto de dividir i) −X 4 + 2 X 3 − 3 X 2 − 4 X + 1 ii) X 5 por X − 2. 1 iii) X 3 + X por X + . 2

por

X + 1.

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  1 1 b) P (−2) , Q y P (i), siendo P (X) = 2 X 5 − X 4 + 3 X 3 − y Q(X) = 3 3 3 X 7 − X 6 + 2 X 2. 7. Aplicar el teorema del resto y hallar las condiciones para que X n ± an sea divisible por X ± a, a = 6 0. 8. P (X) = 5 X 3 −25 X 2 +k X −10 es divisible por X −5. Determinar cu´al de los siguientes polinomios es factor de P (X): i) 5 X 2 + X − 2 9.

ii) 5 X 2 − 2

iii) 5 X 2 + 2

a) Dados P (X) = X 5 + 2 X 3 + 2 X 2 + (a2 − 4)X + 5 + a y q(X) = X 2 + 3, hallar el valor de a para el cual P (X) es divisible por q(X). b) Hallar los valores de p y q, sabiendo que X 2 − 3 X + 2 divide a X 4 + p X 2 + q. c) Determinar b ∈ R de modo que el resto de la divisi´on de X 5 + 2 X 3 + b X + 1 por X 2 + 3 sea 2 X + 1.

10.

a) Hallar un polinomio P (X) de grado 3, con coeficiente principal 2, tal que P (0) = −3 y que al dividirlo por X 2 − 2 tenga resto X + 1. b) Sea P (X) ∈ R[X]. Sabiendo que P (2) = 5, P (3) = −1, hallar el resto de dividir P (X) por (X − 2)(X − 3).

11. Determinar la multiplicidad de α como ra´ız de P (X) en cada uno de los siguientes casos: a) α = 1, P (X) = (X 2 + 1)(X 2 − 1)(X − 1)3 . b) α = 2, P (X) = (X 2 − 4)(X 2 − 4 X + 4). c) α = i, P (X) = (X 4 + 1)(X 2 + 1)(X 3 + i). 12. Sea P (X) = X 5 − a X 4 − a X + 1. a) Mostrar que −1 es ra´ız de P (X). b) Hallar un valor de a de modo que −1 sea ra´ız m´ ultiple. ¿ Cu´al es la multiplicidad de −1 para el valor de a hallado anteriormente ? 13. Hallar las ra´ıces racionales, en caso de existir, de los siguientes polinomios: a) X 4 + X 3 − 8 X 2 − 2 X + 12. b) X 3 − X − 5. c) 18 X 5 − 3 X 4 + 51 X 3 − 9 X 2 − 9 X. 13 3 13 d) X 4 − X − X2 + X − 2. 6 3

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14. Hallar las ra´ıces de los siguientes polinomios indicando el correspondiente orden de multiplicidad. 1 2 2 X − 2X + . 3 3 1 5 8 X 8 + X 7 + 5 X 6 + X 5 − 8 X 4 − X 3 − 48 X 2 − 16 X, sabiendo que 2 i es ra´ız. 3 3 3 1 7 (X 3 − i)(X 5 + X 4 + 7 X 3 + X 2 − 18 X − 9), sabiendo que 3 i es ra´ız. 2 2 3 3 1 X 8 − X 7 + X 6 − X 5 + 16 X 4 − 24 X 3 + 12 X 2 − 2 X. 2 4 8 5 3 2 X + X + (1 − i) X + (1 − i), sabiendo que X 2 + 1 es un factor del mismo.

a) X 3 − b) c) d) e)

15. El polinomio P (X) = 6 (X − 2i)3 (X 9 + 6 i X 8 − 8 X 7 + 16 i X 6 − 49 X 5 − 38 i X 4 + 8 X 3 − 16 i X 2 + 48 X + 32 i) ∈ R[X]. Hallar todas sus ra´ıces indicando el orden de multiplicidad de las mismas. 16. Hallar un intervalo [a, b] en el cual se encuentren todas las ra´ıces reales de los siguientes polinomios: a) X 3 − X − 4. b) X 4 − 2 X + 1. c) 8 X 5 + 4 X 4 − 2 X 3 + 7 X 2 − 10 X + 3. d) X 3 − X 2 − 7 X + 6. 17.

a) Acotar, utilizando la regla de los signos de Descartes, el n´ umero de posibles ra´ıces reales positivas y negativas de los siguientes polinomios: i) X 4 − 8 X + 6. ii) X 5 − 6 X 2 + 3. iii) 4 X 3 − 24 X 2 + 35 X − 12. b) Determinar exactamente el n´ umero de ra´ıces reales (positivas y negativas) de los polinomios del inciso anterior, y los intervalos en que se encuentran.

18. Sea P (X) = X 8 − 3 X 5 − 6 X 3 − X + 8. Determinar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando convenientemente la respuesta. a) P (X) no tiene ra´ıces reales. b) P (X) tiene exactamente dos ra´ıces reales negativas. c) P (X) tiene exactamente tres ra´ıces complejas no reales. d) P (X) no posee ra´ıces reales negativas, pero posee al menos una ra´ız real positiva. e) P (X) tiene por lo menos seis ra´ıces complejas no reales.

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3

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Sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes

Los coeficientes num´ericos utilizados en esta secci´on pertenecen al cuerpo de los n´ umeros racionales Q, al cuerpo de los n´ umeros reales R, o al cuerpo de los n´ umeros complejos C, que notaremos indistintamente con K.

3.1

Matrices

Una matriz m × n (o de orden m × n) es un cuadro n columnas (verticales):  a11 a12 · · ·  a21 a22 · · · A= .. ..  ... . . am1 am2 · · ·

de n´ umeros con m filas (horizontales) y  a1n a2n  . ..  . 

amn

Si m = n, A se dice una matriz cuadrada de orden n. El n´ umero aij es el elemento de la matriz que est´a en la fila i y en la columna j. Tambi´en usaremos la notaci´on A = (aij ), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, para designar una matriz de orden m × n. Si n = 1, la matriz tiene una sola columna y se llama matriz columna. De la misma manera, si m = 1, la matriz tiene una sola fila y se llama matriz fila. Si A es una matriz m × n, la diagonal principal de A est´a formada por los elementos aii , 1 ≤ i ≤ min{n, m}. Igualdad de matrices Dos matrices m × n, A = (aij ) y B = (bij ), son iguales si aij = bij para todos los valores posibles de los sub´ındices i y j. Operaciones con matrices Suma de matrices y multiplicaci´ on de un n´ umero por una matriz Definici´ on 3.1.1 La suma de dos matrices A y B de orden m × n es otra matriz m × n que se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B. En s´ımbolos, si A = (aij ) y B = (bij ), entonces A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij ) . Ejemplo     −2 1 4 6 3 0 Si A = y B= , entonces 2 −3 5 −2 0 −7     −2 + 6 1+3 4+0 4 4 4 A+B = = . 2 − 2 −3 + 0 5 − 7 0 −3 −2

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Propiedades Sean A, B, C matrices m × n. Entonces : S1) (A + B) + C = A + (B + C) . S2 ) A + B = B + A .  0 0 ... 0 ..  . . S3) La matriz de orden m × n, 0 =  .. .. . 0 0 ... 0 toda matriz A de orden m × n. 

es tal que 0 + A = A + 0 = A para

S4) Dada A = (aij ), la matriz B = (−aij ) es tal que A + B = 0 . Definici´ on 3.1.2 El producto de un n´ umero k y la matriz A es la matriz k · A que se obtiene multiplicando por el n´ umero k cada uno de los elementos de A. En s´ımbolos, k · A = k · (aij ) = (kaij ). En estos casos es costumbre llamar escalares a los elementos de K, y la operaci´on anterior se denomina multiplicaci´ on por un escalar. Ejemplo     0 1 −5 0 3 −15 , entonces 3 · A = . Si A = 2 −3 2 6 −9 6 Propiedades Sean A, B matrices de orden m × n y λ , λ0 ∈ K. Entonces: 1) λ · (A + B) = λ · A + λ · B . 2) (λ + λ0 ) · A = λ · A + λ0 · A. 3) (λ λ0 ) · A = λ · (λ0 · A). 4) 1 · A = A. Producto de matrices Definici´ on 3.1.3 Sea A una matriz m × n, y sea B una matriz n × p. El producto de A y B es la matriz A · B de orden m × p definida por: A · B = (cij ), donde cij = ai1 b1j + ai2b2j + · · · + ain bnj =

n X

ait btj .

t=1

Es decir, para obtener el elemento cij de A · B se multiplica cada elemento de la fila i de A por el correspondiente elemento de la columna j de B, y luego se suman esos productos.

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Ejemplos 

     1 4 5 −1 3 5 7 −5 1. Si A = yB= , entonces A · B = . −3 2 0 2 −2 −15 7 −13 Observemos que en este ejemplo no es posible efectuar el producto B · A.       3 −2 5 1 27 −3 2. Si A = y B= , entonces A · B = 1 4 −6 3 −19 13   16 −6 . y B·A= −15 24 En este ejemplo, los productos A · B y B · A pueden efectuarse; sin embargo, A · B 6= B · A. Propiedades Siempre que el producto pueda efectuarse, se verifican M1 ) A · (B · C) = (A · B) · C . M2 ) A · (B + C) = A · B + A · C ,

(B + C) · A = B · A + C · A.

M3 ) Se llama matriz identidad de orden n a una matriz cuadrada de orden n en la que aii = 1 para todo i, 1 ≤ i ≤ n y aij = 0, si i 6= j. Se nota I ´o In .   1 0 ... 0 0 1 ... 0  In =   ... ... . . . ...  es tal que A · In = In · A = A, para toda matriz A de orden n. 0 0 ... 1 M4 ) (λ · A) · B = A · (λ · B) = λ · (A · B), λ ∈ K. Observaci´ on  1 Sean A = 0  0 y B·A= 1

  0 0 y B= 0 1     0 1 0 0 · = 0 0 0 1

0 0



0 0

. Entonces A · B =





1 0 0 0

     0 0 0 0 · = 1 0 0 0

.

De lo anterior se deduce que: 1. El producto de matrices no es, en general, conmutativo. 2. El producto puede ser nulo sin que ninguno de los factores lo sea. Matriz traspuesta Definici´ on 3.1.4 Se llama matriz traspuesta de la matriz A, y se nota AT , a la matriz que se obtiene al intercambiar las filas y las columnas de A. Es decir, si A = (aij ), entonces AT = (bij ), con bij = aji .

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Observaci´ on 1. Si A es de orden m × n, entonces AT es de orden n × m. etrica. 2. Si A = AT , entonces A se dice sim´ Ejemplo La matriz traspuesta de la matriz A =



−1 2 5 −2 3 −7



 −1 −2 3 . es la matriz AT =  2 5 −7 

Propiedades 1) (AT )T = A. 2) (A + B)T = AT + B T . 3) (λ · A)T = λ · AT ; λ ∈ K. 4) (A · B)T = B T · AT , si el producto A · B est´a definido.

3.2

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Consideremos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas:  ax + by = e cx + dy = f El nombre de lineales, que tambi´en se utiliza para mayor n´ umero de inc´ognitas, se debe a que las ecuaciones del tipo a x + b y = e se representan en el Plano por una recta. Un par ordenado de n´ umeros (x0, y0) se llama soluci´ on del sistema si al reemplazar x por x0 e y por y0 se satisfacen ambas ecuaciones. Geom´etricamente, esto sucede cuando el punto (x0, y0 ) es el punto de intersecci´on de las rectas r1 y r2, donde r1 y r2 son los gr´aficos de a x + b y = e y c x + d y = f, respectivamente. Hay tres posibilidades para el conjunto de soluciones: 1. Puede ser vac´ıo, es decir, las rectas r1 y r2 no se intersectan. Decimos entonces que el sistema es incompatible. 2. Contiene exactamente un punto. Geom´etricamente significa que las rectas se intersectan. Decimos que el sistema es compatible determinado. 3. Contiene infinitos puntos, es decir, r1 y r2 son coincidentes. En este caso decimos que el sistema es compatible indeterminado.

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43

Ejemplos 



2x − y = 2 2x − y = 4

. ... ....... . .... ... ... .... .. ... .... .. .... .. . ... .. ... .. .. .... .. .. .. .. .. . . ... . . . .. .... r1 ..... .. r2 .. .. ... .. .. .. .. .... . . .. .. .. .. .. ... .. .. .... .. .. .. .. .. . . .. .. ... .. .. ... .. ... .............................................................................................................................................................................. . . . . .... . . .. .. 1 ... 2 ... . .. .. .. .... .. .. .

Y

X



2x − 3y = 0 2x − y = 4

. ... ....... .. ... ... ... .... .. ... .... .. .... .. .. ... .. .... .. .. ... .. ...... ... . .... . 2 ........ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......................•....... .. .. .... .... ... (3, 2) . . . ... . . ... r1 .............. ...... .... ... .. ... ..... ... .. .... . . . .... . ... . ... .. .. .. ..... .. ... ........ . . . . . . . . . . . ............................ .............................................................................................................................................. . . . . . . .. 2 ..... ... . 3 .. . .... ... .... . .. r2

Y

X

2x − y = 2 4x − 2y = 4

. ... ....... . .... ... ... .... .. ... .... .. .... .. .. ... .. .... ... .. .. .. ... . .... ... .. ... ... .. .. .... . . .. .. ... ... r = r 1 2 .... ... .. .. . .. ... .. .... . . ............................................................................................................................................................................ .... .. .. .. .. 1 . ... ... .... . ..

Y

X

Figura 11 Las tres situaciones anteriores son las u ´nicas posibles, es decir, no puede haber un sistema con exactamente dos soluciones, exactamente tres soluciones, etc. Esto es claro en el caso de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, porque dos puntos determinan una recta, pero tambi´en es v´alido para un n´ umero mayor de ecuaciones y de inc´ognitas. Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas se acostumbra usar alguno de estos tres m´etodos: 1. Sustituci´on. 2. Igualaci´on. 3. Eliminaci´on. Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:  3 x − 2 y = 50 2 x + 4 y = 140 Sustituci´ on. Despejamos una de las inc´ognitas, por ejemplo y, en una de las ecuaciones y la 3 reemplazamos en la otra. De la primera ecuaci´on, y = −25 + x. 2 3 Reemplazando en la segunda ecuaci´on, 2 x + 4(−25 + x) = 140. 2 3 Resolviendo obtenemos x = 30, y sustituyendo este valor en y = −25 + x resulta 2 y = −25 + 45 = 20. Luego la soluci´on es el par ordenado (30, 20). Igualaci´ on. Despejamos una misma inc´ognita de ambas ecuaciones e igualamos las expresiones obtenidas. 1 3 3 De la primera ecuaci´on, y = −25 + x, y de la segunda, y = 35 − x. Luego −25 + x = 2 2 2 1 1 35 − x. De aqu´ı se obtiene x = 30, y entonces y = 35 − · 30 = 20. 2 2 Eliminaci´ on. Se elimina una inc´ognita, multiplicando cada ecuaci´on por el coeficiente de esa

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inc´ognita en la otra ecuaci´on, y luego restando ambas ecuaciones. En el ejemplo, supongamos que queremos eliminar la inc´ognita x. Multiplicamos la primera ecuaci´on por 2 y la segunda por 3 y luego restamos: 6x 6x

− +

4y 12 y −16 y

= = =

100 420 −320

Luego y = 20. Para determinar x se sustituye y = 20 en cualquiera de las ecuaciones, y se resuelve, obteniendo x = 30. M´ etodo de eliminaci´ on de Gauss Nos proponemos indicar un m´etodo que nos permita resolver sistemas de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas, m y n arbitrarios. Tal sistema puede escribirse:   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 (1) .. .. .. .. .. .. .. .. ..  . . . . . . . . .    a x + a x + ··· + a x = b m1

1

m2

2

mn

n

m

donde los n´ umeros aij , 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ m, son los coeficientes, y los n´ umeros b1, b2 , . . ., bm son los t´erminos independientes. on del sistema de ecuaciones lineales Una n-upla de n´ umeros (k1 , k2 , . . . , kn ), es una soluci´ (1), si cada una de las ecuaciones del mismo se convierte en una identidad despu´es de haber sustituido en ellas las inc´ognitas xi por los correspondientes valores ki , i = 1, 2, . . . , n. Las definiciones de sistema compatible (determinado e indeterminado) e incompatible vistas anteriormente se aplican tambi´en al caso general. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene soluci´on, entonces se denomina incompatible. Si el sistema de ecuaciones lineales tiene soluci´on se denomina compatible. Se dice que un sistema compatible es determinado si posee soluci´on u ´nica, e indeterminado si tiene m´as de una soluci´on. eneo y siempre es compatible, Nota: Si b1 = b2 = · · · = bm = 0 el sistema (1) se dice homog´ pues (0, 0, . . . , 0) es soluci´on del mismo. Un problema de la teor´ıa de los sistemas de ecuaciones lineales consiste en la elaboraci´on de m´etodos que permitan establecer si un sistema dado es compatible o no, y en caso de ser compatible, indicar el n´ umero de soluciones y se˜ nalar un m´etodo para hallarlas a todas. Operaciones elementales y matriz asociada al sistema Si se aplica a un sistema de ecuaciones lineales alguna de las tres operaciones que se indican a continuaci´on, se obtiene un nuevo sistema equivalente al dado, en el sentido que ambos sistemas tienen las mismas soluciones:

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45

(I) Intercambiar dos ecuaciones entre s´ı. (II) Reemplazar una ecuaci´on por la que se obtiene multiplic´andola por una constante distinta de cero. (III) Reemplazar una ecuaci´on por la que se obtiene sumando a dicha ecuaci´on otra ecuaci´on multiplicada por una constante. En el sistema (1) podemos suponer sin p´erdida de generalidad que a11 6= 0. Por ejemplo, dado el sistema   2x + 3y − z = 1 x + 4y − z = 4 ,  3x + y + 2z = 5 si intercambiamos la primera y segunda ecuaci´on, obtenemos el siguiente sistema equivalente:   x + 4y − z = 4 2x + 3y − z = 1 .  3x + y + 2z = 5 Si ahora reemplazamos: • la segunda ecuaci´on por la suma de la segunda y la primera multiplicada por (−2), y • la tercera ecuaci´on por la suma de la tercera mas la primera multiplicada por (−3), obtenemos el siguiente sistema equivalente:  4y − z = 4  x + −5 y + z = −7 .  −11 y + 5 z = −7 1 Multiplicando ahora la segunda ecuaci´on por − : 5  x + 4y − z = 4   7 1 . z = y −  5 5  − 11 y + 5 z = −7 Reemplazando la tercera ecuaci´on por la suma de la tercera y 11 veces la segunda:  x + 4y − z = 4     7 1 z = y − 5 5 .   42 14   z = 5 5 Este u ´ltimo sistema es equivalente al primero y puede resolverse en forma muy sencilla. El resultado es z = 3, y = 2 y x = −1; esto es, la soluci´on es el conjunto S = {(−1, 2, 3)}.

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46

La matriz cuyos elementos son los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales dado, se llama matriz de los coeficientes. Se llama matriz del sistema o matriz ampliada a la matriz   a11 a12 · · · a1n b1  a21 a22 · · · a2n b2     .. ..  . .. .. . .  . . .  . . am1 am2 · · · amn bm Podemos aplicar a las filas de la matriz del sistema las mismas operaciones que se aplicaron a las ecuaciones. Aplicadas a la matriz reciben el nombre de operaciones elementales. Traducidas en t´erminos de la matriz del sistema, estas operaciones son: 1. Intercambiar dos filas de la matriz. 2. Reemplazar una fila por la que se obtiene al multiplicarla por un n´ umero distinto de cero. 3. Reemplazar una fila por la que se obtiene al sumarle a esa fila otra fila previamente multiplicada por un n´ umero. Estas operaciones elementales transforman la matriz del sistema en otra matriz que corresponde a un sistema de ecuaciones equivalente al dado. La aplicaci´on de las operaciones elementales tiene por objetivo obtener una matriz que tenga: • Ceros debajo de la diagonal principal. • Unos en la diagonal principal (eventualmente puede aparecer alg´ un cero). Este procedimiento se llama el m´ etodo de eliminaci´ on de Gauss (Karl Friedrich Gauss, 1777–1855). Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:  2  x + y + z = 2x + 5y + 3z = 1  3 x − y − 2 z = −1 Comenzamos considerando la matriz del sistema. Las operaciones elementales que se efect´ uan se indican usando Fi para indicar la fila i.     1 1 1 2 1 1 1 2 (1/3)F2 : F2 F2 −2F1 : F2 ; F3 −3F1 : F3  2  0 5 3 1  3 1 −3  −→ −→ 3 −1 −2 −1 0 −4 −5 −7       1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 −(3/11)F3 : F3 F +4F2 : F3  0  0 1  0 1 1/3 −1  1 1/3 −1  3 −→ 1/3 −1  −→ 0 −4 −5 −7 0 0 −11/3 −11 0 0 1 3

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47

Esta u ´ltima matriz representa el sistema  z = 2  x + y + y + (1/3)z = −1  z = 3 cuya soluci´on es (1, −2, 3) Si durante la aplicaci´on del m´etodo de eliminaci´on de Gauss alguna de las matrices intermedias tiene una fila con todos los elementos nulos excepto el u ´ltimo, es decir, una fila de la forma 0 0

···

0 b, con b 6= 0,

entonces el sistema es incompatible, ya que esa fila corresponde a una ecuaci´on 0 x1 + 0 x2 + · · · + 0 xn = b que no tiene soluci´on. Si alguna de las matrices tiene una fila con todos los elementos nulos (incluyendo el u ´ltimo), esa fila simplemente se elimina. Si en la u ´ltima matriz el n´ umero de filas r es igual al n´ umero de inc´ognitas n, entonces el sistema es compatible determinado. Si r < n, hay n − r inc´ognitas a las cuales se les puede dar valores arbitrarios y calcular en funci´on de ellos los valores de las otras inc´ognitas. En ese caso el sistema es compatible indeterminado. Ejemplos 1. Resolver

 

x − 2y + 2x − 3y −  5x − 9y +    1 −2 3 10 1 −2 3  2 −3 −1 8  −→  0 1 −7 5 −9 8 20 0 1 −7

3 z = 10 z = 8 8 z = 20    10 1 −2 3 10 −12  −→  0 1 −7 −12  −30 0 0 0 −18

El sistema es incompatible. 2. Resolver

 

x − 2y + 2x − 3y −  4x − 7y +    1 −2 3 10 1 −2 3  2 −3 −1 8  −→  0 1 −7 4 −7 5 28 0 1 −7

3 z = 10 z = 8 5 z = 28    10 1 −2 3 10 −12  −→  0 1 −7 −12  −12 0 0 0 0

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald El sistema asociado es



48

x − 2y + 3z = 10 y − 7 z = −12

Resolviendo la segunda ecuaci´on y reemplazando en la primera se obtiene x = 11 z − 14, y = 7 z − 12, z arbitrario. El sistema es compatible indeterminado y la soluci´ on general del mismo es S = {(11 k − 14, 7 k − 12, k), con k ∈ R}. 3. Resolver

    



1 3  0 1   0 0 0 0  1 3  0 1   0 0 0 0

x 2x 3x    −x

1 3 1 0  2 7 1 −1   3 −2 0 4 −1 1 −3 −1  1 0 1 −1 −1 −3   −14 −7 −28  2 3 7  1 0 1 −1 −1 −3   1  1 2 2 0 2 3

+ 3y + z + 7y + z − 2y + y − 3z   1  −1   −→   8  −6  1 3 1  0 1 −1 −→   0 0 1 0 0 2

= 1 − u = −1 + 4u = 8 − u = −6 1 3 1 0 1 0 1 −1 −1 −3 0 −11 −3 4 5 0 4 −2 −1 −5  0 1 −1 −3   −→ 1  2 2 3 7



  −→ 

El sistema asociado es  x + 3y + z     y − z −    

z +

= 1 u = −3 1 u = 2 2u =

2 3

3 5 1 1 Entonces, u = , z = , y = − y x = . 2 4 4 2 El sistema es compatible determinado, con u ´nica soluci´on



 1 1 5 3 ,− , , . 2 4 4 2

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3.3

49

Determinantes

Determinantes de segundo y tercer orden   a11 a12 Dada una matriz cuadrada de orden 2, A = , el valor de su determinante se define a21 a22 como det A = |A| = a11a22 − a12a21. Ejemplo  Si A =

3 2 −1 2

 , entonces |A| = 3 · 2 − (−1) · 2 = 8.

Consideremos ahora una matriz cuadrada de tercer  a11 a12  A= a21 a22 a31 a32

orden  a13 a23  . a33

Entonces el determinante de A se define como det A = |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 donde cada t´ermino consta de un producto de tres factores, uno de cada fila y uno de cada columna. Si a cada t´ermino le asociamos la permutaci´on σ de {1,2, 3} determinada por los  1 2 3 sub´ındices (por ejemplo, al t´ermino a11a23a32 le asociamos σ = ) entonces se 1 3 2 asigna a ese t´ermino el signo (−1)s , donde s es el n´ umero de inversiones de la permutaci´on σ. Para obtener r´apidamente el valor de det A, puede aplicarse la siguiente regla pr´actica, llamada regla de Sarrus: s s s  @
@
@
@
  s
@ s
@s
 @
@  
@
@  s @

 s @s

Signo +

Ejemplo 2 −4 −5 1 0 4 2 3 −6

s s s H A HH A A A H H s A s A Hs HHA A H A HHA s As H As

Signo −

= 2 · 0 · (−6) +(−4) · 4 · 2+1 · 3 · (−5) − ((−5) · 0 · 2 +(−4) · 1 · (−6) +4· 3 · 2) = −95.

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50

Determinantes de orden n Sea dada una matriz cuadrada de orden n,  a11 a12  a21 a22  A =  .. ..  . . an1 an2

· · · a1n · · · a2n . .. . .. · · · ann



  . 

Consideremos todos los productos posibles de n elementos de esta matriz de modo que en cada producto haya un factor de cada fila y uno de cada columna, o sea, productos de la forma a1α1 a2α2 · · · anαn donde los sub´ındices α1, α2 , . . ., αn forman una permutaci´on de los n´ umeros 1, 2 , . . ., n. Hay n! productos de esta forma. A cada producto de este tipo se le adjunta un signo + ´o un signo − seg´ un que la permutaci´on   1 2 ... n σ= α1 α2 . . . α n sea de clase par o impar, respectivamente, esto es, se considera el n´ umero (−1)s a1α1 a2α2 · · · anαn , donde s es el n´ umero de inversiones de σ. Definici´ on 3.3.1 Se llama determinante de la matriz cuadrada A a la suma de los n! productos de la forma (−1)s a1α1 a2α2 · · · anαn . Se nota det A ´ o |A|. X det A = |A| = (−1)s a1α1 a2α2 · · · anαn . det A se dice un determinante de orden n. Ejemplo Calcular

−1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 −1 1 3 −1 0 2



Los productos que no se anulan son: a11 · a23 · a32 · a44 y a11 · a23 · a34 · a42, adem´as el n´ umero de inversiones de 1324 es 1 y el n´ umero de inversiones de 1342 es 2, luego, det A = (−1)1 ·a11·a23 ·a32·a44 +(−1)2 ·a11 ·a23·a34 ·a42 = −(−1)·1·1·2+(−1)·1·1·(−1) = 2+1 = 3.   a11 a12 , det A = (−1)0 · a11 · a22 +(−1)1 · a12 · a21 = a11 · a22 − a12 · a21. Para n = 2, si A = a21 a22

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald 

a11 a12  Para n = 3, si A = a21 a22 a31 a32

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 a13 a23  , det A = (−1)0 · a11 · a22 · a33 + (−1)1 · a11 · a23 · a32 + a33

+(−1)2 · a12 · a23 · a31 + (−1)1 · a12 · a21 · a33 + (−1)2 · a13 · a21 · a32 + (−1)3 · a13 · a22 · a31 = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 − a13 · a22 · a31, resultado que puede obtenerse aplicando la regla de Sarrus para el c´alculo de determinantes de orden 3. Es f´acil convencerse de que la definici´on de determinante es completamente ineficiente para calcular determinantes de orden n, incluso para valores de n no muy grandes, por lo que es necesario establecer algunas propiedades de los determinantes que faciliten su c´alculo. El caso m´as simple de c´alculo de un determinante es el caso del determinante de una matriz triangular (A = (aij ) es triangular superior si aij = 0 cuando i > j; es triangular inferior si aij = 0 cuando i < j y triangular, si es triangular superior o triangular inferior):   a11 a12 a13 . . . a1n  0 a22 a23 . . . a2n    0 0 a . . . a A= 33 3n   . .. ..  .. ..  .. . . .  . 0 0 0 . . . ann Todos los t´erminos del determinante se anulan excepto el formado por el producto de los elementos de la diagonal principal, luego det A = a11a22 · · · ann . Propiedades Vamos a ver ahora algunas propiedades elementales de los determinantes que ser´an de utilidad para hallar m´etodos para calcularlos. Propiedad 1 El determinante de una matriz coincide con el determinante de su traspuesta. Es decir, det A = det AT . De la Propiedad 1 se deduce que a toda propiedad de un determinante relativa a las columnas le corresponde una an´aloga para las filas, y rec´ıprocamente, puesto que las columnas (filas) de una matriz son las filas (columnas) de la matriz traspuesta. En lo que sigue indicaremos las propiedades de los determinantes u ´nicamente para las columnas pero sabemos, por lo anterior, que para las filas valen propiedades an´alogas. Propiedad 2 Si una de las columnas de la matriz A est´ a constituida por ceros, entonces det A = 0. Propiedad 3 Si A0 es la matriz que se obtiene de la matriz A intercambiando dos columnas, entonces det A0 = −det A. Propiedad 4 Si A es una matriz con dos columnas iguales, entonces det A = 0.

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Propiedad 5 Si A0 es la matriz que se obtiene multiplicando todos los elementos de una columna de la matriz A por un n´ umero k, entonces det A0 = k · det A. Propiedad 6 Si A es una matriz que tiene dos columnas proporcionales, entonces det A = 0. Propiedad 7 Si A = (aij ) y la columna r-´esima se puede expresar air = bir + cir , 1 ≤ i ≤ n, entonces det A = det B + det C donde B y C coinciden con A salvo en la columna r-´esima, en la que B tiene los elementos bir y C tiene los elementos cir , 1 ≤ i ≤ n. Sea A una matriz de orden m × n, si indicamos con C1 , C2 , . . . , Cn las columnas de A, diremos que la columna Ci es combinaci´on lineal de las columnas Cj y Ck , con 1 ≤ j, k ≤ n, si existen n´ umeros α, β tales que Ci = α · Cj + β · Ck . Ejemplo 

 1 5 7 (a) En  −2 1 −3  , C3 = 2 · C1 + C2 . 3 0 6   1 0 −2 3 , C3 = −2 · C1. (c) En 2 1 −4 −1

(b) En



−1 0 1 0



, C2 = 0 · C1 .

Propiedad 8 Si en una matriz A una columna es combinaci´ on lineal de otras, entonces det A = 0. Propiedad 9 Si A0 es la matriz que se obtiene al sumar a una columna de una matriz A una combinaci´ on lineal de otras columnas de A, entonces det A0 = det A. C´ alculo de determinantes De las propiedades anteriores resulta que si se pasa de una matriz A a otra matriz por medio de una operaci´on elemental, entonces (I) El determinante cambia de signo si se intercambian dos columnas (filas). (II) El determinante queda multiplicado por un escalar no nulo si se reemplaza una columna (fila) por un m´ ultiplo no nulo de esa columna (fila). (III) El determinante no var´ıa si a una columna (fila) se le suma un m´ ultiplo de otra. Por consiguiente, un m´etodo para calcular el determinante de una matriz A consiste en transformar A en una matriz A0 triangular, cuyo determinante es de c´alculo inmediato. Seg´ un lo anterior, det A y det A0 diferir´an a lo sumo en un escalar.

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald Ejemplo

0 3 2 1 −6 6 5 9 1

=

1 0 2 = −3. −2 1 6 = 3 5 1

1 0 0 = −3. −2 1 0 3 5 −55

C1 ↔ C2

−2.C1 + C3 → C3

= (−3) · (−55) = 165

53

3 0 2 − −6 1 6 = 9 5 1

1 0 0 −3. −2 1 10 3 5 −5

1 .C1 3

→ C1

= −10.C2 + C3 → C3

Desarrollo de un determinante por los elementos de una l´ınea (fila o columna). Dada una matriz A = (aij ) se llama menor complementario del elemento aij y se nota Mij al determinante de la matriz que se obtiene a partir de A suprimiendo la i-´esima fila y la j-´esima columna. umero Se llama complemento algebraico, cofactor o adjunto del elemento aij de A al n´ i+j Aij = (−1) · Mij . Teorema 3.3.1 El determinante de una matriz A = (aij ) es igual a la suma de los elementos de una l´ınea (fila o columna) multiplicados cada uno de ellos por sus respectivos complementos algebraicos. As´ı, det A = ai1 · Ai1 + ai2 · Ai2 + · · · + ain · Ain es el desarrollo de det A por los elementos de la i-´esima fila y det A = a1j · A1j + a2j · A2j + · · · + anj · Anj es el desarrollo de det A por los elementos de la j-´esima columna. Corolario 3.3.1 Si A = (aij ) , la suma de los elementos de una fila (columna) multiplicados cada uno de ellos por los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de otra fila (columna) distinta, es cero. Es decir, as1 · At1 + as2 · At2 + · · · + asn · Atn = 0 y a1s · A1t + a2s · A2t + · · · + ans · Ant = 0, si s 6= t . Dem. En efecto, as1 · At1 + as2 · At2 + · · · + asn · Atn es el desarrollo del determinante de la matriz que se obtiene reemplazando en A la fila t por la fila s. Esta matriz tiene dos filas iguales, y por consiguiente, su determinante es cero. 2 Ejemplo Calculemos el siguiente determinante desarroll´ andolo por los elementos de una l´ınea. Para aplicar este m´etodo resulta conveniente que la fila o columna elegida tenga la mayor cantidad de ceros posible.

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2 −1 0 5 2 3 0 2 3 1 1+1 = (−1) · 2 · 0 −1 1 0 −1 4 1 −2 2 1 −2 8 0 2 1 1+3 1+4 +(−1) · 0 · 1 0 4 + (−1) · 5 · 2 1 8

1 4 8

0 3 1 + (−1)1+2 · (−1) · 1 −1 4 2 −2 8

54 +

0 2 3 1 0 −1 = 2 · 13 + 0 + 0 + (−5) · 3 = 11. 2 1 −2

Si una matriz A = (aij ) de orden n tiene iguales a cero los elementos de una l´ınea, excepto uno de ellos, el c´alculo de su determinante se reduce, desarrollando por los elementos de esa l´ınea al c´alculo de un determinante de orden n − 1. Ejemplo 3 5 −2 1 2 −1 2 4 1 3 7 5

0 −1 1 3 −1 1 3 −3 · F2 + F1 → F1 1 2 −1 1 2+1 = −2 · F2 + F3 → F3 = 0 3 3 = (−1) · 1 · 0 0 3 3 1 8 0 −3 · F2 + F4 → F4 0 1 8 0 0 9 3 9 3 3+1 = −18. F1 + F3 → F1 = − 0 3 3 = −(−1) ·1· 3 3 1 8 0 6 1 5 3

=

Algunas propiedades m´ as de los determinantes Propiedad 10 Si A es una matriz de orden n y α es un n´ umero entonces det (α · A) = n α · det A. Propiedad 11 El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes de cada una de ellas, es decir, si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces det (A · B) = det A · det B.

3.4

Matriz Inversa

Si A es una matriz de orden n y si existe una matriz B tal que A · B = B · A = In , donde In es la matriz unidad de orden n, entonces A se dice inversible y B se llama la inversa de A. Se escribe B = A−1 .   2 1 no existe ninguna matriz B tal No toda matriz tiene inversa. Por ejemplo, si A = 2 1 que A · B = B · A = In .         2 1 x y 1 0 x y , . = En efecto, sea B = . Entonces si fuese A · B = In , 2 1 z u 0 1 z u o sea,     2x + z 2y + u 1 0 = , 2x + z 2y + u 0 1

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald de donde resulta

55

 2x + z = 1   2x + z = 0  2y + u = 0 2y + u = 1

que es un sistema incompatible. Propiedades a) Si A es inversible, tambi´en lo es A−1 y (A−1 )−1 = A. b) Si A es inversible, tambi´en lo es λ · A, λ ∈ R − {0} y (λ · A)−1 =

1 · A−1 . λ

c) Si A y B son matrices inversibles, entonces A·B tambi´en lo es y (A·B)−1 = B −1 ·A−1. d) Si A es inversible, entonces det A−1 =

1 . det A

Definici´ on 3.4.1 Si A = (aij ) es una matriz de orden n, definimos la matriz adjunta de A, y la notamos AdjA, de la siguiente manera: AdjA = (Aij ) donde Aij es el complemento algebraico del elemento aij .   A11 A12 · · · A1n  A21 A22 · · · A2n  AdjA =  .. ..  ..  ... . . .  An1

An2

···

Ann

Ejemplo 

   3 3 −1 1 −1 2 0 . 1 3  , AdjA =  −2 −2 Si A =  0 −5 −3 1 1 −1 0 Teorema 3.4.1 Sea A una matriz de orden n. Entonces A es inversible si y s´ olo si det A 6= 0. En ese caso, (Adj A)T A−1 = . det A Dem. Veamos que A · (Adj A)T = (Adj A)T · A = det A · In . Si A · (AdjA)T = (cij ) entonces cij = ai1 · Aj1 + ai2 · Aj2 + · · · + ain · Ajn , donde Ajk es el complemento algebraico del elemento un el teorema 3.3.1 y su corolario, resulta: ajk . Por lo tanto, seg´  det A si i = j . cij = 0 si i 6= j

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald

56

 det A 0 ··· 0  0 det A · · · 0  = det A · In . Luego, A · (AdjA)T =  . ..  . . .. ..  .. .  0 0 · · · det A 

An´alogamente se prueba que (AdjA)T · A = det A · In . Por lo tanto, si det A 6= 0, (AdjA)T (AdjA)T A· = · A = In det A det A y, por consiguiente, (AdjA)T . det A Rec´ıprocamente, supongamos que A es inversible. Entonces existe una matriz A−1 tal que A · A−1 = In . Por la Propiedad 11, A−1 =

det A · det (A−1 ) = det In . Pero det In = 1. Luego det A · det (A−1 ) 6= 0. De donde det A 6= 0.

2

Ejemplo Averiguar si la matriz A es inversible. En caso afirmativo hallar su inversa.   1 −1 2 1 3  A= 0 1 −1 0 Como det A = −2 6= 0, A es inversible. Su inversa es   3 −2 −5  3 −2 −3    −3/2 1 5/2 T −1 0 1 (AdjA) 3/2  A−1 = = =  −3/2 1 det A −2 1/2 0 −1/2 C´ alculo de la inversa de una matriz aplicando operaciones elementales Dada una matriz A de orden n, si aplicando un n´ umero finito de operaciones elementales E1 , E2 , . . . , Ek sobre sus filas se puede obtener la matriz unidad de orden n, entonces la matriz A es inversible y para calcular su inversa basta aplicar a la matriz unidad de orden n las mismas operaciones elementales E1 , E2, . . . , Ek y en el mismo orden. Si al aplicar operaciones elementales por filas a la matriz A, tratando de obtener la matriz unidad, se obtiene una fila nula, entonces A no es inversible. Ejemplo Decir si la matriz A es o no inversible, y en caso afirmativo, hallar su inversa:   1 −1 2 A= 3 0 1  4 −1 5

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald 

 1 −1 2  3 0 1  4 −1 5 −3F1 + F2 → F2 −4F1 + F3 → F3



 1 0 0  0 1 0  0 0 1



 1 −1 2  0 3 −5  0 3 −3



 1 0 0  −3 1 0  −4 0 1

 1 −1 2  0 1 −5/3  0 3 −3



 1 0 0  −1 1/3 0  −4 0 1

 1 0 1/3  0 1 −5/3  0 0 2



 (1/3)F2 → F2

F2 + F1 → F1 −3F2 + F3 → F3

(1/2)F3 → F3

−(1/3)F3 + F1 → F1 (5/3)F3 + F2 → F2

 0 1/3 0  −1 1/3 0  −1 −1 1





 1 0 1/3  0 1 −5/3  0 0 1 

 1 0 0  0 1 0  0 0 1

57



 0 1/3 0  −1 1/3 0  −1/2 −1/2 1/2 

 1/6 1/2 −1/6  −11/6 −1/2 5/6  −1/2 −1/2 1/2

Verificaci´on: 

     1 −1 2 1/6 1/2 −1/6 1 0 0  3 5/6  =  0 1 0  . 0 1  ·  −11/6 −1/2 4 −1 5 −1/2 −1/2 1/2 0 0 1 Resoluci´ on de sistemas lineales por determinantes. Regla de Cramer Como aplicaci´on del Teorema 3.4.1, vamos a probar que si el determinante de la matriz de los coeficientes de un sistema de n ecuaciones lineales con n inc´ognitas es distinto de cero, entonces el sistema tiene una u ´nica soluci´on. Adem´as vamos a dar una f´ormula que expresa la soluci´on u ´nica del sistema en funci´on de los coeficientes y de los t´erminos independientes. Un sistema de n ecuaciones y n inc´ognitas   a11x1 + a12x2 + · · · + a1n xn = b1    a21x1 + a22x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. .. ..  . . . .    a x + a x + ··· + a x = b n1 1 n2 2 nn n n puede escribirse en forma matricial como sigue:

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald     

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

. . . a1n . . . a2n . .. . .. . . . ann

      ·  

x1 x2 .. . xn





    =  

58 b1 b2 .. . bn

    

es decir, puede escribirse A · X = B, donde A = (aij ) es la matriz de orden n × n de los coeficientes del sistema, X = (xi) es la matriz de orden n × 1 de las inc´ognitas y B = (bi ) es la matriz de orden n × 1 de los t´erminos independientes. Teorema 3.4.2 (Regla de Cramer) Si det A 6= 0, el sistema A · X = B es compatible determinado, y la u ´nica soluci´ on del sistema est´ a dada por a11 a12 . . . b1 . . . a1n a21 a22 . . . b2 . . . a2n . .. .. .. .. . . . a an2 . . . bn . . . ann n1 , xi = det A donde b1, b2, . . ., bn son los elementos de la i-´esima columna. Dem. Si det A 6= 0, entonces A es inversible. Entonces una soluci´on del sistema A · X = B es X = A−1 · B, ya que A · (A−1 · B) = (A · A−1) · B = B. Adem´as, esta soluci´on es u ´nica, pues si Z es soluci´on del sistema, se tiene A · Z = B, de donde A−1 · A · Z = A−1 · B, esto es, Z = A−1 · B. (AdjA)T , resulta: De X = A−1 · B, y teniendo en cuenta que A−1 = det A       b1 A11 A21 · · · An1 x1  A  x2  A22 · · · An2    b2   .  = 1 ·  .12  = .  . . . ..  ..  det A  .. .. ..   ..  .  A1n A2n · · · Ann xn bn   A11 b1 + A21 b2 + · · · + An1 bn     1  A b + A b + · · · + A b ·  12 1 22 2 n2 n  .  det A  ..  . A1n b1 + A2n b2 + · · · + Ann bn A1i · b1 + A2i · b2 + · · · + Ani · bn , es decir, Luego, para cada i = 1, 2, . . . , n se verifica xi = det A a11 a12 . . . b1 . . . a1n a21 a22 . . . b2 . . . a2n . .. .. .. .. . . . a an2 . . . bn . . . ann n1 . xi = det A 2

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59

Ejemplo Verificar si los siguientes sistemas son compatibles determinados, y en caso afirmativo, hallar la soluci´on aplicando la regla de Cramer.   x − y + u = 0   = 3  2x − 6y  2x − z + 3u = 4 x − 3y + z = 2 b) a) 5y − z − u = 1    2 y − 3 z = −1  3x + 4y − 2z + 3u = 5   2 −6 0  1 −3 1  a) A = 0 2 −3 Como det A = −4 6= 0, el sistema es compatible determinado. La soluci´on es: 3 −6 2 2 −6 0 3 0 3 2 −3 1 2 1 2 1 1 −3 −1 2 −3 0 −1 −3 0 2 −1 9 1 x= = , y= = , z= −4 4 −4 4 −4   1 −1 0 1  2 0 −1 3   b) A =   0 5 −1 −1  3 4 −2 3



=

1 2

En este caso, det A = 0, luego el sistema no puede resolverse por la regla de Cramer. La expresi´on matricial de la soluci´on es u ´til para diversos fines. Sin embargo hay que enfatizar que, para un sistema gen´erico dado, el m´etodo de Gauss es m´as r´apido a los efectos del c´alculo num´erico.

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3.5

60

Ejercicios

1. Construir matrices que cumplan las siguientes condiciones: a) A = (aij ) de orden 2 tal que aij = i2 − 2j + 1. b) B = (bij ) de orden 3 tal que bij − bji = 0 si i 6= j , c) C = (cij ) de orden 2 tal que

cij =

d) D = (dij ) de orden 4 tal que dij =

 (

bij = 0 si i = j.

0 si i + j = 3 . 2 si i + j 6= 3 i−j 0 −2j

si i > j si i < j . si i = j

2. Resolver, si es posible, las siguientes ecuaciones matriciales:       −1 a 2 3−a b −2 2 a+b 4 . + = a) 2 0 6 1−c 2 0 4 −c + 1 6 b)



d c a−c a+b



+



0 2d

−d c−d



=



2 1

4 0 0 0



.



     a − b −1 2 b 0 c −1 −1 3 c)  1 b −a  +  −c 2 3  =  0 4 4 . 0 c 2 2 3 a −2 4 1 3. Efectuar los siguientes productos entre matrices:         2 −1 2 5 6 1 −3 2 1 2 3       1 · b) 0 a) 3 −4 1 · 1 2 5 0 −1 1 2 0 1 3 2 2 −5 3 4. Sean A =



0 1 0 0



,B=



1 0 0 −1



y C=

Calcular: A · B − B · A , B · C − C · B y    0 1 2 −1 5. Sean A =  −1 0 1  , B =  −2 2 −1 0 3 cij = i + j. a) ¿ Es posible efectuar A · C ? b) Calcular (C · A)T − 3 · B.



0 0 1 0



.

A · C − C · A.  0 4  y C = (cij ) de orden 2 × 3, tal que 1

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61

6. Una matriz cuadrada A = (aij ) se dice diagonal si aij = 0 cuando i 6= j y escalar si A = λ · In . Adem´as, si A es una matriz cuadrada de orden n y k ∈ N, definimos la potencia natural como sigue: A1 = A, Ak+1 = Ak · A para k ≥ 1. Decidir la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones justificando su respuesta. Si A, B, C son matrices cuadradas de orden n se tiene: a) [2 · AT · (3 · B) · C]T = 6 · (B · C)T · A. b) (2 · A + B · C)T = 2 · AT + B · C, donde B y C son matrices diagonales. c) Si A · B = 0, entonces B · A = 0. 2 T

d) ((AT ) ) = A2. 7.

a) Mostrar que: i) Si A es una matriz m × n, entonces el producto A · AT est´a definido y es una matriz sim´etrica . ii) La suma de matrices sim´etricas es una matriz sim´etrica. iii) El producto de dos matrices sim´etricas es una matriz sim´etrica, si las matrices conmutan. b) Hallar los valores de x , y , z de modo que la siguiente matriz sea sim´etrica:   x x+y x−z  x−y y y+z  y+z−2 z−y z

8. Resolver y clasificar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Si el sistema es compatible indeterminado, hallar una soluci´on particular del mismo. ( x + y + 2 z = −1 (x − y −z = 1 a)

c)

e)

x − 2 y + z = −5 3x + y + z = 3

 3x + 2y + 5z + 4t = 3   2x + 3y + 6z + 8t = 5   x − 6 y − 9 z − 20 t = −11 4x + y + 4z + 2t = 2  x + 3 y + z = 11   x + 2y − 3z = 4   2 x + 5 y − 4 z = 13 2 x + 6 y + 2 z = 22

b)

d)

f)

3x − 2y + 2z = 3 2 x − y + 3 z = −1

 2x − y + 3z − t + u = 2   4x −2y + 6z − 2t −2u = 4  2x − y − z + 2t = 0 4z − 3t + u = 2  x + 2 y + 3 z − 2 u = −1   2 x + 3 y + 4 z − 3 u = −2   2 x + 6 y + 9 z − 6 u = −3 −2 x − 3 y − 4 z + 3 u = 2

9. Hallar el valor de λ para el cual los siguientes sistemas son compatibles determinados, indeterminados ´o incompatibles:

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald  x+ y− u=2   3x + 2y + z − 8u = 3 a)  5x − λz = 1 z − 5 u = −1 (x + y − z = 1 c)

10.

62

 x+ 3y + 2z − t = 1   2x + 5y − z = 6 b)  x+ y − 2z = 4 3x + 5y − 2z + λt = 9

3x + λy + λz = 5 4x + λy = 5

a) De una fiesta se van 21 chicas y quedan 2 varones por cada mujer. M´as tarde se van 63 chicos y quedan 5 mujeres por cada var´on. ¿ Cu´antos chicos y cu´antas chicas hab´ıa al principio ? b) El due˜ no de una tienda, al hacer el inventario, en lugar de contar el n´ umero de bicicletas y triciclos existentes, cuenta los pedales y las ruedas. Cont´o 153 ruedas y 136 pedales. ¿ Cu´antas bicicletas y triciclos ten´ıa ? c) Un frasco de remedios con 20 tabletas iguales pesa 270 gramos. El mismo frasco, con 15 tabletas pesa 240 gramos. ¿ Cu´anto pesa el frasco vac´ıo ? d) Si Ana, Beatriz, C´esar y Dami´an juntan todo el dinero que tienen, suman en total 32046 pesos. Si Ana tuviera seis pesos m´as de los que tiene y Beatriz tuviera seis pesos menos de los que tiene y C´esar tuviera seis veces lo que tiene y Dami´an tuviera la sexta parte de lo que tiene entonces las cantidades de dinero que tendr´ıa cada uno ser´ıan iguales entre s´ı. ¿ Cu´anto dinero tiene cada uno ? e) Alicia y Beatriz llevaban 50 $ cada una. Alicia compr´o 3 Kg. de helado y un postre. Para poder pagar tuvo que pedirle 4 $ prestados a Beatriz. Beatriz compr´o 1 Kg. de helado y un postre del mismo precio que el de Alicia; despu´es de pagar y prestarle a Alicia los 4 $, le quedaron 16 $. ¿ Cu´anto costaba el postre ?

11. Calcular: 2 1 a) 1 2

cos θ −sen θ b) sen θ cos θ



12. Hallar los valores de x tales que det A = 0.    x 1 x − 1 −2 a) A = b) A =  2 x 1 x−4 1 x   a b c 13. Si A =  d e f  y det A = 5 decir, sin g h m las siguientes igualdades:

1 4 3 c) 2 1 0 0 3 1



   7 0 −6 2 2  c) A =  2 x −1  3 0 4 1 calcular los determinantes, por qu´e valen

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald d e f a) g h m = 5 a b c

a + d b + e c + f c) d e f = 5 g h m

63

−a −b −c b) 2 d 2 e 2 f = 10 −g −h −m

a b c d) d − 3 a e − 3 b f − 3 c = 10 2g 2h 2m

14. Calcular, triangulando previamente la matriz, los siguientes determinantes: 1 0 3 5 2 4 −2 2 1 2 7 3 5 2 2 2 0 4 2 5 1 3 2 1 2 15. Calcular, desarrollando por los elementos de determinante 3 0 0 3 0 0 3 3

la fila ´o columna con m´as ceros, el siguiente 0 3 0 3 3 3 0 0

16. Calcular los siguientes determinantes haciendo previamente todos los elementos de una fila o columna cero excepto uno, y desarrollando luego por esa l´ınea. 1 −1 2 1 3 1 2 −1 3 0 1 −1 2 1 −1 1 0 0 1 −1 2 1 1 −1 2 1 3 a) 0 c) 1 b) 2 −1 5 0 0 −1 1 −1 3 0 1 1 0 1 1 1 1 −1 1 1 1 17. Si A es una matriz de orden 3 y det A = 2, hallar det ( 12 · A) y det (A · AT ). 18. Calcular A · B, det A, det B, det (A · B) y det (A + B) para     3 0 1 1 0 −1 A =  1 2 −1  y B =  2 0 1  1 0 1 0 1 0 ¿ Es cierto que det (A + B) = det A + det B ? Justificar la respuesta. 19. Dadas las siguientes matrices decir si son o no inversibles, y en caso afirmativo, hallar su inversa:

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald 

 1 −1 2 a)  3 0 1  4 −1 5

64



 1 1 1 b)  1 1 0  0 0 0



   1 1 1 3 1 0 c)  1 1 0  d)  1 −1 2  1 0 0 1 1 1     1 2a −1 1 0 1 20. Sean A =  2 2 a −(a + 3)  y B =  0 1 −1  . 0 −3 a −a 0 −1 0 Hallar los valores de a, de modo que A · B no sea inversible. Para a = 1, calcular A−1 · B. 21.

a) Si A es una matriz de orden 4 y det A = 3, hallar det [(3 · A2)−1 · AT ]. b) Sabiendo que A y B son matrices de orden cuatro; det A = 5 y det B = 2, calcular det [(5 · A−1 · B T )−1 ].

22. Hallar las inversas de las siguientes matrices utilizando operaciones elementales:       1 3 0 3 1 0 3 2 0 1  2 1 −1 1      a) 2 1 −1 b) 1 3 2  c)   0 1 4 0  3 1 4 1 −3 3 0 0 1 0 23.

a) Determinar, usando la regla triviales el sistema  x    x x    x

de Cramer, para qu´e valores de λ tiene soluciones no + y + λy + y + y

+ z + z + λz + z

+ t + t + t + λt

= = = =

0 0 0 0

b) ¿ Para qu´e valores de n ∈ Z, la soluci´on del siguiente sistema satisface la condici´on x>0 e y 0 y sentido opuesto, si λ < 0. Ejemplo

.. ........ .... ... . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... . ... ......... ... . . .... ... ... ... ... . . . . 1 .. .. ... ... ... ... 3 ... ...

. ........ .... ... . . .. ... ... ... ... . . .. ... ... ... .. ... . ... . ... ... ... ... . . . . .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . .. .. ... ... ....... ... .... ...

~u

~v

− 12 .~v

.~u Figura 17

Propiedades V5 ) λ.(~u + ~v) = λ.~u + λ.~v, para todo λ ∈ R; ~u, ~v ∈ V. V6 ) (λ + µ).~u = λ.~u + µ.~u, para todo λ, µ ∈ R, ~u ∈ V. V7 ) (λ µ).~v = λ.(µ.~v ), para todo λ, µ ∈ R, ~v ∈ V. V8 ) 1.~v = ~v, para todo ~v ∈ V.

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69

Observaciones 1. Si ~u 6= ~0, el vector

1 · ~u, denominado versor ~u, tiene igual direcci´on y sentido que k~uk

~u y m´odulo 1. 2. Dos vectores no nulos v~1 y v~2 son paralelos si v~1 = λ.v~2 , λ ∈ R. 3. −(λ.~u) = (−λ).~u = λ.(−~u), para todo λ ∈ R ; ~u ∈ V. En particular: −~u = (−1).~u. Definici´ on 4.1.5 Un vector ~u ∈ V se dice una combinaci´ on lineal de los vectores v~1, v~2, . . . , v~n si existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R tales que ~u = λ1 .v~1 + λ2 .v~2 + · · · + λn .v~n. Bases de E2 y E3 Si consideramos en el Plano dos vectores b~1 y b~2 no nulos ni paralelos (podemos suponerlos con origen com´ un O ), todo vector ~u del Plano se escribe en forma u ´nica como combinaci´on ~ ~ ~ ~ lineal de b1 y b2 . En tal caso diremos que B = {b1 , b2} forma una base de E2 . En el Espacio, B = {b~1 , b~2, b~3} es base si, y s´olo si b~1 , b~2 y b~3 son no nulos y no paralelos a un mismo plano. Si los pensamos con origen com´ un {b~1, b~2, b~3 } es base si, y s´olo si b~1, b~2 y b~3 son no coplanares. Si en V a los vectores de una base B los consideramos en cierto orden, diremos que B es una base ordenada. ..

.. . ..

. ..

. .. ........... ....... ....... ....... ....... ........ .......... . . . . . . . . ... ... .. . .. . .. .. .. . .. .. .. ... 2 2 .. .. ... .......... .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. ... .. .. ... .. ... 2 ... ... . .. .. .. ... . .. .. .. .. ... ... .. .. .......... ....... ....... ....... ....... ......................................................... ....... ....... .......

.. ........ ....... ....... ....... ............... ..... ..... ..... .. . .... . . .... .. ... . . . . . . . .... .. 2 2. . ... .... .. ... .... ... . . . . . . . . . ..... .... . . ... .. ... .... .. .... . .. ... . . ... . . 2 ..... .......... . .. ... .. .. ... . .. ..... .. ... ...... .. .. . ...... .. ...................................................... ............. ....... ....... ....... ....... .......

λ .b~

~u

b~

O b~ 1

λ .b~

~u

b~

λ1 .b~1

....... ..... . .... .... .. . . . .... .... . .. .. .... . . . .. . . . . .. .... . .... . . . . . ..... . .. . ... . . . .... . ....... . . . . . . ... .. .... ... ... . . . . .... . .... . . . . ... ...... ... ............... .. . ... ......... ..... . . . 3 3 .... . . . . . . . .... ..... .. . . . .... . . . . . ... . ........ . . . .... ......... . .... . ... ......... ... 2 2.............. ... ..... ............... ... . ... ........ ... . . . . . .. . . . . . . ..... . . .. .. .... ................ ... ... ... ..... ......... .. .. ... ........ ..... ... .... .. 3 ....... 2................ ......................... .... . . . . . . ... ... ..... ......... ... ..... ............ .. . ..... .. ... ................. .. . ................ .. .... . ... ... . .... .... ... .... . .... .... .. .. .... . . .... ..... . .... . .... ... .... ............. . . ... 1 ... .... ..... . . .... .... .. . . .... .... .. ... . . ...... . .. ........... ..... 1 1 ..... ...

λ .b~

~u

λ .b~

b~ b~ O

b~

λ .b~

Figura 18

λ1 .b~1

O b~1

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald

70

Los elementos de V son de naturaleza geom´etrica, queremos obtener una expresi´on num´erica de los vectores a fin de efectuar con ellos c´alculos en forma eficiente. Si B = {b~1, b~2 } es una base ordenada del Plano, todo vector ~v se escribe de manera u ´nica ~ ~ en la forma ~v = λ1 .b1 + λ2 .b2 . Entonces al vector ~v le podemos asociar el par ordenado (λ1 , λ2 ). Los n´ umeros reales λ1 , λ2 se denominan las componentes del vector ~v en la base   λ1 B. Notamos (~v )B = (λ1 , λ2 ) ´o en forma matricial [~v]B = . λ2 Sea O un punto del Plano y B = {b~1 , b~2} una base ordenada de E2 . La base y O determinan, en el Plano, un sistema de coordenadas cartesianas (O, XY ).

1 ..............

. ...

. ...

. ...

. ........ . ...

Y

. ... ... .. . . ... ... ... .. . ... 1 .. ....... ....... ....................................................................................................................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ................. . .. . . . ... . . ..

b~2

b~

1

O

X

Figura 19

Rec´ıprocamente, un sistema (O, XY ) de coordenadas cartesianas en el Plano, determina una −→ − − → base ordenada {OU , OV } de E2 . . ...... .... .. .. . . ... .. ... ... .. . ... ... ... .. . . . . ...... .. ... ... ... . ... ... ... ... . ... ... ................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . ... ... ... .. . ... ...

Y

V 1 − − → OV O

1 −→ U OU Figura 20

X

Dado un punto P del Plano veamos que relaci´on existe entre sus coordenadas en el sistema −→ (O, XY ) y las componentes del vector OP en la base B. Sea P un punto de coordenadas (λ1 , λ2 ) en el sistema (O, XY ). Si P1 (λ1 , 0), P2 (0, λ2 ) −−→ −→ −−→ −−→ −−→ y consideramos los vectores OP1 y OP2 , entonces se tiene que OP = OP1 + OP2 = − → λ1 .~b1 + λ2 .~b2. Por lo tanto (OP )B = (λ1 , λ2 ). Como tambi´en vale la rec´ıproca concluimos que −→ P (λ1 , λ2 ) en (O, XY ) si, y s´olo si (OP )B = (λ1 , λ2 ).

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald . ...

71

. .... ...

. ... .. .. 2 2 .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......................... .... ....... .. .. ........ .. .. ....... . . . . . . . . . . ... ........ ... ....... . . . . . . . . ....... ... ... ........ . ....... . ........ ... ... ....... . . . . . . . . . ....... ... ... ....... ........... ....... .. . ....... .. .. ........ . . . . . . . . ....... .. 2 ........ ....... .. ........ .. ....... ... ........ .. . . . . . . . . . . ....... . ... ....... ... ... ....... . .. ........ .. ................ . . . . . . . . ....... ........................................................................................................... ....... ....... ....... ........... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .......... . . ...

P (0, λ )

Y

P (λ1 , λ2 )

−→ OP

b~

1

b~1

O

1

P1 (λ1 , 0)

X

Figura 21 Veamos que fijados O y la base ordenada B = {b~1 , b~2}, podemos identificar al vector ~u = λ1 .~b1 + λ2 .~b2 con el par ordenado (λ1 , λ2 ) y escribir ~u = (λ1 , λ2 ). Debemos definir una aplicaci´on biyectiva de E2 y R2 que respete las operaciones. Si ~u = λ1 .~b1 + λ2 .~b2, ϕ : E2 → R2 tal que ϕ(~u) = (λ1 , λ2 ), define una funci´on biyectiva. Notemos que si ~u = λ1 .~b1 + λ2 .~b2, ~v = µ1 .~b1 + µ2 .~b2 y λ ∈ R; ~u + ~v = (λ1 .~b1 + λ2 .~b2 ) + (µ1 .~b1 + µ2 .~b2) = (λ1 + µ1 ).~b1 + (λ2 + µ2 ).~b2 y λ.~u = λ.(λ1 .~b1 + λ2 .~b2 ) = (λ λ1 ).~b1 + (λ λ2 ).~b2. Luego ϕ(~u + ~v ) = ϕ(~u) + ϕ(~v) y ϕ(λ.~u) = λ.ϕ(~u), algebrizando a R2 como sigue: (λ1 , λ2 ) + (µ1 , µ2 ) = (λ1 + µ1 , λ2 + µ2 ) λ.(λ1 , λ2 ) = (λ λ1 , λ λ2 ) En lo que sigue trabajaremos con sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales, es decir fijamos en el Plano y el Espacio un punto O y las bases ordenadas {~e1, ~e2} ; {~e1 , ~e2, ~e3} respectivamente, cuyos vectores se representan por segmentos perpendiculares dos a dos y de m´odulo unitario. Sea (O, XY ) un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales, A(x1, y1) y B(x2, y2) −→ puntos del Plano. Consideremos el vector AB , queremos encontrar las componentes (λ1 , λ2 ) −→ −→ del mismo, es decir las coordenadas del punto P de modo que OP = AB. ... ....... Y ........ ... ... y2 .............. ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... .........................................B .... .. ....... .. . ... ....... ..... .... ... ....... .. ........ . . . . ... . ... . .... ........ ... .. .... ....... .. . . . . . . . .. . . . ... ..... .. . . . . . . ... . . .. .. ........ ....... ....... ....... ............. . . 1 ... ........ ... ... ... .... . .. ... .... . .. . ... ... . . ... .. . .. . ... . . .. .. .. ... . . . .... . ... ... .. .. ... ... .. .. . ... . . .. .. . . . . .... . . ... .. ... ...... ... .. . . . .... . . . ... ... .. ... ........ .. .. ... . .... . ... . .... ... .. . . .. ... . .. .. .... . .... ... . ... ... .. .. ... ... . .. . . . . ... ... . . . . . .. ....... . . . .. . . . . . .... . . ... ..... . .. .... . . . .. . . . . .......... .. .. ... .... . . . ..... ... ..... ....... ... . . ........ ... .. ..... ... ..... ............. .. . . . . . . . . ... 2 ......................... . . .. ............. . . . . . . . . ....................... ............................................................................................................................................................................................................ ... ... 1 2 .. 1 ... ... ...

y

A

P

e~ O e~

x

x

Figura 22

X

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72

−→ −→ − −→ −→ −→ − − → −→ − −→ −→ Como OA + AB = OB se tiene que OA + OP = OB y entonces OP = OB − OA. En funci´on de las componentes este resultado se expresa como: (λ1 , λ2 ) = (x2 , y2) − (x1 , y1) = (x2 − x1 , y2 − y1). −→ −→ En forma an´aloga para el caso de E3 , el vector OP que representa a AB tiene componentes (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 ), donde A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2 ).

4.2

Proyecci´ on ortogonal y producto escalar

a) Proyecci´ on ortogonal de un punto sobre una recta Sea L una recta y P un punto. • Si P ∈ L, entonces proyL P = P. ´nica recta perpendicular a • Si P ∈ / L, entonces proyL P = L ∩ L0 , donde L0 es la u L que pasa por P e intersecta a L. P

.... ... .... .... ... .... ... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ... 0 .... .... .... . .... .... .... .... .... .... .... ... ... . . .... .. ... .... .... .... .... .... ..... .... ...... ...... ...... ..... ... .... ....... ....... .... ... ....... . . .... .... .... ... .... ... .... .... .... .... . .... . . . .... . . .... ... . . . ....

•

L

• M = proyL P

L

Figura 23 b) Proyecci´ on ortogonal de un vector sobre otro B

. ........... .... .. ... . . . ... .. ... ... ... ... ... .. . . ... ... ... . . . .. . . .. . .... . .. . . ... ... ... . . . ... ... . .... . .. . . ... ... ... . . . ....... ....... ....... ....... ....... ....... ............................................................................................................................................ ....... ....... ....... ....... ....... .......

~u

L

O

~ v k~ vk

• M

~v

Figura 24 Sean ~u y ~v vectores, ~v 6= ~0, (podemos suponerlos con origen com´ un) y consideremos la recta L que contiene a ~v. Fijemos sobre L, como unidad de medida y sentido positivo, ~v el versor . Ver Figura 24. k~vk Si M es la proyecci´on ortogonal de B sobre L, llamamos proyecci´ on ortogonal de ~u sobre ~v, y la notamos proy~v ~u, a la abscisa de M.

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73

Observaciones 1. Si ~u y ~v son vectores no nulos con origen com´ un O y θ es la medida radial del ´angulo por ellos formado, 0 ≤ θ ≤ π, se tiene que: proy~v ~u = k~uk cos θ. 2. La proyecci´on ortogonal de ~u sobre ~v puede ser positiva, negativa o nula, seg´ un la medida del ´angulo θ, como lo indica la Figura 25. .. .......... . .. ... .. .. . ... ... ... . ... ... .. . ... ... ... . . ... ... ... . .. .. . ... ..... .. ....... . . ... .. . ... ... .. . .. .. . . . . ............. .. .. .. .. ... ... . . . ....... ....... ....... ......................................... ..................................................................

~u

θ

~v

O proy~v ~u > 0 0≤θ
1, ya que si t = 1, λ1 .~v1 = ~0 con λ1 6= 0 entonces ~v1 = ~0. Por lo tanto ~0 = λ1 .~v1 + · · · + λt .~vt + 0.~vt+1 + · · · + 0.~vn , de donde se deduce que λ1 λ2 λt−1 ~vt = − .~v1 − .~v2 − · · · − .~vt−1. λt λt λt Luego ~vt es combinaci´on lineal de los precedentes, en contradicci´on con 4). Por lo tanto λi = 0, para todo i, 1 ≤ i ≤ n, y {~v1, ~v2, . . . , ~vn } es linealmente independiente. 2

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108

Observaciones 1. Si M = {~v1, ~v2, . . . , ~vk } es linealmente independiente, la manera de expresar a un vector ~v como combinaci´on lineal de los vectores de M es u ´nica. 2. Si M = {~v1 , ~v2, . . . , ~vk } es linealmente independiente, todo subconjunto de M lo es. 3. Si M = {~v1, ~v2 , . . . , ~vk } es linealmente independiente, entonces ~vi 6= ~vj para todo i 6= j. 4. Si M = {~v1, ~v2, . . . , ~vk } es linealmente independiente y ~u no es combinaci´on lineal de ellos entonces {~v1, ~v2, . . . , ~vk , ~u} es linealmente independiente. Dem. Ejercicio a cargo del lector.

2

Definici´ on 6.3.2 Sea V un R-espacio vectorial. Un subconjunto finito B ⊆ V se dice una base de V si: B1) B es linealmente independiente. B2) V = B. Es decir, una base de un R-espacio vectorial V es un conjunto de vectores linealmente independientes que genera a V , lo que es equivalente a decir, por el teorema 6.3.1, que todo vector de V se escribe en forma u ´nica como combinaci´on lineal de los vectores de B. Ejemplos 1. Si V = Rn , Cn = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)} es una base de Rn llamada la base can´ onica. 2. Si V = R3 , B = {(1, −1, 0), (0, 1, 0), (2, 1, 3)} es una base de R3 . En efecto: B es linealmente independiente pues λ1 .(1, −1, 0) + λ2 .(0, 1, 0) + λ3 .(2, 1, 3) = (0, 0, 0) ( λ1 + 2 λ3 = 0 implica que −λ1 + λ2 + λ3 = 0 y por lo tanto λ1 = λ2 = λ3 = 0. Adem´as si 3 λ3 = 0 z 2 (x, y, z) ∈ R3 , (x, y, z) = (x − z).(1, −1, 0) + (x + y − z).(0, 1, 0) + .(2, 1, 3), por lo 3 3 tanto B genera a V . 3. Si V = {~0}, B = ∅ es una base de V . 4. Si V = E2 , una base de V est´a formada por dos vectores no nulos ni paralelos. Si V = E3 , forman base de V tres vectores no nulos y no paralelos a un mismo plano (no coplanares si los pensamos con origen com´ un).         1 0 0 1 0 0 0 0 , , , es una base de V . 5. Si V = M2 (R), B = 0 0 0 0 1 0 0 1

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4

6. Sea S ⊆ R el subespacio de soluciones del sistema:



109

x1 − x2 + 2 x3 = 0 , por lo tanto x3 − x4 = 0

S = {(x2 − 2 x4 , x2, x4, x4) : x2, x4 ∈ R} = {x2.(1, 1, 0, 0) + x4.(−2, 0, 1, 1); x2 , x4 ∈ R} = {(1, 1, 0, 0), (−2, 0, 1, 1)}. Como B = {(1, 1, 0, 0) , (−2, 0, 1, 1)} es linealmente independiente, es una base de S. ~s } y {v~1, v~2, . . . , v~r } ⊆ Proposici´ on 6.3.1 Sea V un R-espacio vectorial, V = {w~1 , w~2, . . . , w V un conjunto linealmente independiente. Entonces r ≤ s. Dem. Como {w~1, w~2 , . . . , w~s } genera V entonces v~i = a1i.w~1 + a2i.w~2 + · · · + asi .w~s ; 1 ≤ i ≤ r. Consideremos el sistema de s ecuaciones con r inc´ognitas homog´eneo:  a11x1 + a12x2 + · · · + a1r xr = 0   a x + a x + ··· + a x = 0 21 1 22 2 2r r . .. .. ..  . . .   as1x1 + as2x2 + · · · + asr xr = 0 Si r > s el sistema es compatible indeterminado, y entonces existe una soluci´on no trivial del mismo (λ1 , λ2 , . . . , λr ). Entonces: vr = λ1 .(a11.w~1 + a21.w~2 + · · · + as1.w~s ) + λ2 .(a12.w ~1 + a22.w~2 + · · · + λ1 .v~1 + λ2 .v~2 + · · · + λr .~ ~s ) = (λ1 a11 + λ2 a12 + · · · + λr a1r ).w~1 + (λ1 a21 + as2.w~s ) + · · · + λr .(a1r.w~1 + a2r .w~2 + · · · + asr .w ~s = 0.w~1 + 0.w~2 + · · · + 0.w~s = ~0, λ2 a22 + · · · + λr a2r ).w~2 + · · · + (λ1 as1 + λ2 as2 + · · · + λr asr ).w con alg´ un λi no nulo. Esto contradice la hip´otesis de que {v~1, v~2, . . . , v~r } es linealmente independiente. Por lo tanto r ≤ s. 2 Corolario 6.3.1 Sea V un R-espacio vectorial, {v~1, v~2, . . . , v~r } y {u~1 , u~2, . . . , u~t }, bases de V . Entonces r = t. Definici´ on 6.3.3 Sea V un R-espacio vectorial. Diremos que V tiene dimensi´ on n sobre R si posee una base con n vectores. Se nota dimR V = n. Proposici´ on 6.3.2 Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´ on finita y S ⊆ V un conjunto linealmente independiente. Entonces existe una base B de V que contiene a S. Dem. Si S = {v~1, v~2, . . . , v~r } genera V la proposici´on est´a probada. Caso contrario, existe u~1 ∈ V tal que {v~1, v~2, . . . , v~r , u~1} es linealmente independiente. Si {v~1, v~2, . . . , v~r , u~1 } no genera V , reiteramos el procedimiento anterior y luego de un n´ umero finito de pasos, pues V es finitamente generado, obtenemos u~1, u~2 , . . . , u~s ∈ V de modo que {v~1, v~2, . . . , v~r , u~1, u~2 , . . . , u~s } 2 genera V . Por lo tanto B = {v~1, v~2, . . . , v~r , u~1 , u~2, . . . , u~s } es base de V . Corolario 6.3.2 Todo R-espacio vectorial V de dimensi´ on finita tiene una base. Dem. Si V = {~0}, entonces B = ∅ es base. Si V 6= {~0}, existe v~1 ∈ V, v~1 6= ~0. Basta entonces considerar S = {v~1}, y aplicar la proposici´on 6.3.2. 2

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110

Observaciones 1. Si S es un subespacio de V, entonces dimR S ≤ dimR V. 2. Si dimR V = n, entonces: i) Todo conjunto de vectores con m´as de n elementos es linealmente dependiente. ii) B = {v~1, v~2 , . . . , v~n } es base de V ⇐⇒ B es linealmente independiente. umero m´aximo de vectores linealmente 3. Si V = {v~1, v~2 , . . . , v~k } entonces, dimRV es el n´ independientes existentes entre los k generadores. Ejemplos 1. dimRE2 = 2 y dimR E3 = 3. 2. Si V = Rn , dimR Rn = n. 3. Si V = M2 (R), dimR V = 4. 4. V = Rn [X] = {P (X) ∈ R[X] : P (X) = 0 ´o grP (X) ≤ n}, B = {1, X, X 2 , . . . , X n } es una base de V , por lo tanto dimR Rn [X] = n + 1.

6.4

Componentes

Una de las caracter´ısticas de una base B de un R-espacio vectorial V , de dimensi´on n, es que permite introducir componentes en V en forma an´aloga a las de un vector ~v = (x1 , x2, . . . , xn ) ∈ Rn . Dada una base B = {v~1 , v~2, . . . , v~n } y ~u ∈ V, las componentes de ~u se obtienen a partir de la unicidad de la expresi´on de ~u como combinaci´on lineal de los vectores de B. Si B es la base can´onica de Rn se puede decir cu´al es la i-´esima componente porque se tiene un orden natural, si B es una base arbitraria se lo debe fijar. Necesitamos entonces el concepto de base ordenada. Definici´ on 6.4.1 Si V es un R-espacio vectorial de dimensi´ on n, una base ordenada es una sucesi´ on v~1, v~2, . . . , v~n de vectores linealmente independientes que generan V . Observaci´ on Si v~1, v~2, . . . , v~n es base ordenada entonces B = {v~1, v~2 , . . . , v~n } es base de V . Por abuso de notaci´on escribiremos B = {v~1, v~2, . . . , v~n } para notar a la base ordenada B. Tener en cuenta 6 B 0 = {v~2 , v~3, . . . , v~n , v~1} como bases ordenadas, pero iguales como que B = {v~1, v~2, . . . , v~n } = conjuntos. Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´on n y B = {v~1 , v~2, . . . , v~n } una base ordenada de V . Dado ~u ∈ V existe una u ´nica n-upla (x1 , x2, . . . , xn ) ∈ Rn tal que ~u = x1 .v~1 + x2 .v~2 + · · · + xn .v~n , xi se denomina la i-´esima componente de ~u respecto a B. Rec´ıprocamente si (x1, x2, . . . , xn ) ∈ Rn entonces existe ~u = x1.v~1 + x2.v~2 + · · · + xn .v~n ∈ V, u ´nico, tal que sus componentes respecto a B son (x1, x2 , . . . , xn ).

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111

Fijada la base ordenada B hemos establecido una correspondencia biun´ıvoca ϕ : V → Rn definiendo ϕ(~u) = (x1, x2 , . . . , xn ), si ~u = x1 .v~1 + x2 .v~2 + · · · + xn .v~n . Observemos que si ~u = x1 .v~1 + x2.v~2 + · · · + xn .v~n, ~v = y1.v~1 + y2 .v~2 + · · · + yn .v~n y λ ∈ R, se tiene que: ~u + ~v = (x1 + y1).v~1 + · · · + (xn + yn ).v~n ; λ.~u = (λ x1 ).v~1 + · · · + (λ xn ).v~n. Por lo tanto ϕ(~u +~v) = ϕ(~u)+ϕ(~v) y ϕ(λ.~u) = λ.ϕ(~u). Por lo que ϕ respeta las operaciones, y entonces podemos identificar cada R-espacio vectorial V de dimensi´on n con Rn .

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6.5

112

Ejercicios

1. Determinar cuales de los siguientes conjuntos son R-espacios vectoriales: a) V = R3 con las operaciones: (x, y, z) + (x0, y 0, z 0) = (x + x0, y + y 0 , z + z 0 ), λ.(x, y, z) = (λ2 x, λ2 y, λ2 z), λ ∈ R. b) V = R3 con las operaciones: (x, y, z) + (x0, y 0, z 0) = (x + x0, y + y 0 , z + z 0 ), λ.(x, y, z) = (λ x, y, z), λ ∈ R. 2. Sea V = R3 . Hallar todos los valores de k para los cuales el vector ~u es combinaci´on lineal de los vectores dados a continuaci´on: a) v~1 = (2, 3, 5); v~2 = (3, 7, 8); v~3 = (1, −6, 1) y ~u = (7, −2, k). b) v~1 = (3, 4, 2); v~2 = (6, 8, 7)

y ~u = (9, 12, k).

c) v~1 = (4, 4, 3); v~2 = (7, 2, 1); v~3 = (4, 1, 6) y ~u = (5, 9, k). d) v~1 = (1, 2, −1); v~2 = (2, 4, −2) y ~u = (4, 5, 2 k). 3.

a) Sea V = R3 . Dado ~u = (1, −2, 3), escribirlo, si es posible, como combinaci´on lineal de los vectores pertenecientes a los siguientes conjuntos, indicando si la expresi´on es u ´nica: {(−1, 1, 1) , (0, 0, 1) , (0, 1, 1) , (1, 1, 0)}

;

{(−1, 1, 1) , (0, 0, 1) , (2, −2, 1)};

{(1, 2, 0) , (0, 0, −1)}. b) Sea V = M2 (R). Verificar que la matriz A =     5 1/2 3/4 1/6 de y . 0 −2 2 −3



18 13/6 8 −18



es combinaci´on lineal

c) Sea V = R[X]. Expresar,si es posible, al polinomio 4 X 2 + 4 X + 5 como combinaci´on lineal de los polinomios 2 X 2 + 3 X + 4 y X 2 − 2 X + 3. 4. Determinar cuales de los siguientes subconjuntos son subespacios del correspondiente R-espacio vectorial V : a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0 } ; V = R3 . b) S = {(x, y) ∈ R2 : x · y ≥ 0} ; V = R2 . c) S = {A ∈ Mn (R) : det A = 0} ; V = Mn (R). d) S = Rn [X] = {P (X) : P (X) = 0 ´o gr(P (X)) ≤ n} ; V = R[X]. e) S = {P (X) ∈ R[X] : P (X) = a X 3 + b, a, b ∈ R} ; V = R[X]. 5.

a) Verificar que {(0, 1, 1), (0, 2, −1)} = {(0, 1, 2), (0, 2, 3), (0, 3, 1)}.

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113

b) Dados los siguientes subconjuntos de R3 , hallar los subespacios por ellos generados: i) {(1, 0, −2) , (−1, 0, 2) , (3, 0, −1) , (−1, 0, 3)}, ii) {(1, 2, −1) , (−1, 4, 1) , (0, 1, 0)}, iii) {(1, 1, 2) , (0, 0, 1)}. c) Determinar el valor de los escalares p y q para los cuales el vector (2, p, 3, −q) pertenece al subespacio de R4 generado por (2, 3, 1, −5) y (0, 2, −1, 3). 6. Indicar cuales de los siguientes subconjuntos generan V : a) V = R2 . i) {(2, −5) , (−1, 5/2) }, ii) {(1, 2) , (−1, 1) , (2, 3)}, iii) {(1, 2)}. b) V = {(1, 0, −1) , (1, 1, 0) , (0, 1, 1)}. i) {(2, 1, −1) , (1, 2, 1)}, ii) {(2, 1, −1) , (1, −1, 0)}. 7. Determinar si los conjuntos de vectores indicados a continuaci´on son linealmente independientes: a) {(1, −2, 1) , (2, 1, −1) , (7, −4, 1)}, b) {(1, 1, 1) , (0, 1, 0)}, c) {(1, −3, 7) , (2, 0, −6) , (3, −1, −1) , (2, 4, −5)}, d) {(1, 1) , (2, −1) , (0, 0)}. 8. Determinar en cada caso los valores de k para los cuales el conjunto de vectores que se indica es linealmente independiente: a) {(k, 1, 0) , (1, 0, 0) , (k, k, 0)}, b) {(1, k, 2 k) , (1, 0, 0) , (1, −1, 1)}, c) {(1, k, −3 k) , (k, 1, −1)}, d) {(1, k) , (1 + k, 0)}. 9. Sea {~v1, ~v2, ~v3} un conjunto de vectores de un R-espacio vectorial V . Indicar, justificando la respuesta, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si {~v1 , ~v2 , ~v3} es linealmente independiente, entonces: i) {~v1 , ~v2} es linealmente independiente. ~ es linealmente dependiente si, y s´olo si w ~ es combinaci´on ii) {~v1 , ~v2 , ~v3 , w} lineal de ~v1, ~v2 y ~v3. iii) {~v1 , ~v1 − ~v2 , ~v1 − 2.~v2 + ~v3 } es linealmente independiente.

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iv) {~v1 , ~v1 − ~v2 , 2.~v1 − ~v2} es linealmente independiente. b) Si {~v1 , ~v2 , ~v3} es linealmente dependiente y ~vi 6= ~0, 1 ≤ i ≤ 3, entonces: i) {~v1 , ~v2} es linealmente dependiente. ii) {~v1} es linealmente independiente. ~ es linealmente dependiente, para todo w ~ ∈V. iii) {~v1 , ~v2 , ~v3 , w} 10. Hallar una base y la dimensi´on de los subespacios siguientes: a) {(1, 0, −2) , (0, 1, 0) , (1, 1, −2)}. b) {(1, 2) , (2, 1)}. c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 0}, d) S = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x = t − 7z}, e) S = {(aij ) ∈ M2 (R) : a12 = a21}. 11.

a) Verificar que los vectores ~u = (1, 1, 0, 2) y ~v = (1, −1, 2, 0) forman un conjunto linealmente independiente y extenderlo a una base de R4. b) Hallar una base de R4 que contenga al vector (1, 2, −1, 1). c) ¿ Existe una base de R3 que contenga a los vectores (1, −1, 2) y (2, −2, 4) ?

12. Sean S = {(x, y, z) : 2 x + y = 0} y T = {(1, −1, 1) , (1, 3, 0)}, subespacios de R3. a) Hallar bases para S y T . b) Hallar un subconjunto linealmente independiente de S, que no sea base de S. c) Hallar un conjunto de generadores de T , que no sea base de T . 13. Sean T y S subespacios de R4 , T = {(1, 2, −1, 0), (1, 0, 0, −1), (2, 2, −1, −1)} y S = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x = y + z , t = 0}. a) Hallar una base de S y extenderla a una base de R4 . b) Escribir el subespacio T utilizando ecuaciones. c) Hallar S ∩ T y su dimensi´on.

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7 7.1

115

Cambio de base. Bases ortonormales Cambio de base

Recordemos que si V es un R-espacio vectorial de dimensi´on finita n y B = {b~1 , b~2, . . . , b~n } es una base ordenada de V, todo vector ~v ∈ V puede escribirse de manera u ´nica como combinaci´on lineal de los vectores de la base B. Es decir, existen α1 , α2, . . . , αn ∈ R, un´ıvocamente determinados, tales que ~v = α1 .b~1 + α2 .b~2 + · · · + αn .b~n. Los coeficientes α1 , α2, . . . , αn , se denominan las componentes del vector ~v con respecto a la base ordenada B. Usaremos, de acuerdo a las circunstancias, las siguientes notaciones:   α1  α2    [~v]B =  ..  , matriz de orden n × 1 ´o (~v)B = (α1 , α2 , . . . , αn ). En este u ´ltimo caso, si  .  αn V = Rn y B es la base can´onica, escribiremos simplemente ~v = (α1, α2 , . . . , αn ). Sean B = {b~1, b~2 , . . . , b~n } y B 0 = {b~01, b~02 , . . . , b~0n }, bases ordenadas de un R-espacio vectorial V . Dado ~v ∈ V, queremos hallar sus componentes en la base B 0, conocidas las mismas en la base B. Supongamos que (~v)B = (α1 , α2, . . . , αn ) ; b~1 = a11.b~01 + a21.b~02 + · · · + an1.b~0n , b~2 = a12.b~01 + a22.b~02 + · · · + an2 .b~0n , . . . , b~n = a1n .b~01 + a2n .b~02 + · · · + ann .b~0n . Entonces ~v = α1 .(a11.b~01 + a21.b~02 + · · · + an1 .b~0n ) + α2 .(a12.b~01 + a22.b~02 + · · · + an2 .b~0n ) + · · · + αn .(a1n .b~01 + a2n.b~02 + · · · + ann .b~0n ) = (a11α1 + a12α2 + · · · + a1n αn ).b~01 + (a21α1 + a22α2 + · · · + a2n αn ).b~02 + · · · + (an1 α1 + an2 α2 + · · · + ann αn ).b~0n.    a11α1 + a12α2 + · · · + a1n αn  a21α1 + a22α2 + · · · + a2n αn      Es decir, [~v]B 0 =  = ..    . an1 α1 + an2α2 + · · · + ann αn 

luego, [~v]B 0

  = 

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

a11 a12 a21 a22 .. .. . . an1 an2

· · · a1n · · · a2n . .. . .. · · · ann

      ·  

α1 α2 .. . αn



  , 

 · · · a1n · · · a2n   ..  · [~v]B . .. . .  · · · ann

 a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n      La matriz A =  .. [b~1]B 0 [b~2]B 0 · · · [b~n ]B 0 , cuyas columnas ..  = .. . .  . . .  . an1 an2 · · · ann est´an formadas por las componentes de los vectores de la base B respecto a la base B 0, se 

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116

denomina la matriz de cambio de base de la base B a la base B 0 y la notaremos [B]B 0 . Obtenemos entonces que: [~v]B 0 = [B]B 0 · [~v]B igualdad que nos permite hallar las componentes de cualquier vector ~v respecto a la base B 0, conociendo sus componentes respecto a la base B. An´alogamente [~v]B = [B 0]B · [~v]B 0 permite obtener las componentes de cualquier vector ~v respecto a la base B, conociendo sus componentes respecto a la base B 0. Proposici´ on 7.1.1 Si B y B 0 son bases ordenadas de un R-espacio vectorial V de dimensi´ on . n, entonces [B 0]B = [B]−1 B0 [~v]B 0 = [B]B 0 · [~v]B = [B]B 0 · ([B 0]B · [~v]B 0 ) = ([B]B 0 · [B 0]B ) · [~v]B 0 , para todo ~v ∈ V.   1  0    [B]B 0 · [B 0]B = (cij ). Tomemos ~v = b~01 , entonces como [b~01]B 0 =  ..  resulta  .  0        c11 c12 · · · c1n c11 1   c21 c22 · · · c2n   0   c21          =  .. .. . . ..  ·  ..  =  ..  . Repitiendo el procedimiento para   . . .   .   .  . cn1 cn2 · · · cnn 0 cn1

Dem.

Sea     

1 0 .. . 0

cada uno de los vectores de la base B 0 obtenemos que (cij ) = In , de donde resulta la proposici´on. 2 Ejemplo Sean B = {(1, −1, 2), (1, 0, 1), (2, −1, 1)} y B 0 = {(3, 0, 1), (−1, 2, 0), (2, 2, 3)} bases ordenadas de R3 . Si las componentes de un vector ~v en la base B son (1, 2, −1) queremos hallar sus componentes en la base B 0. Para hallar [B]B 0 , debemos escribir cada vector de la base B como combinaci´on lineal de los vectores de la base B 0. Para ello planteamos, (1, −1, 2) = α · (3, 0, 1) + β · (−1, 2, 0) + γ · (2, 2, 3), ( 3α − β + 2γ = 1 17 11 3 y γ= . obteniendo el sistema 2 β + 2 γ = −1 , cuya soluci´on es α = − , β = − 4 12 12 α + 3γ = 2 17 11 3 · (2, 2, 3). Haciendo lo mismo Por lo tanto, (1, −1, 2) = (− ) · (3, 0, 1) + (− ) · (−1, 2, 0) + 4 12 12 1 1 para los otros dos vectores de B, se obtiene: (1, 0, 1) = (− ) · (−1, 2, 0) + · (2, 2, 3) y 3 3 3 1 1 (2, −1, 1) = · (3, 0, 1) + (− ) · (−1, 2, 0) + · (2, 2, 3) luego, 4 4 4       −3/4 0 1/4 1 −1 [~v]B 0 = [B]B 0 · [~v]B =  −17/12 −1/3 −3/4  ·  2  =  −4/3  . 11/12 1/3 1/4 −1 4/3

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Proposici´ on 7.1.2 Sean B , B 0 y B 00 bases ordenadas de un R-espacio vectorial V de dimensi´ on n. Entonces [B]B 00 = [B 0]B 00 · [B]B 0 Dem. Siguiendo un razonamiento an´alogo al de la proposici´on anterior, basta probar que [B]B 00 · [~v]B = ([B 0]B 00 · [B]B 0 ) · [~v]B , para todo ~v ∈ V. En efecto, [B]B 00 · [~v]B = [~v]B 00 = [B 0]B 00 · [~v]B 0 = [B 0]B 00 · ([B]B 0 · [~v]B ) = ([B 0]B 00 · [B]B 0 ) · [~v]B .2 Corolario 7.1.1 Si V = Rn y C es la base can´ onica, se tiene que [B]B 0 = [C]B 0 · [B]C = · [B] . [B 0]−1 C C Ejemplo Resolvamos el ejemplo anterior utilizando el corolario 7.1.1. Consideremos la base can´onica de R3.     6 3 −6 3 −1 2 1  2 7 −6 . 2 2  y det A = 12, entonces A−1 = Como A = [B 0]C =  0 12 −2 −1 6 1 0 3       6 3 −6 1 1 2 −9 0 3 1  1  Luego [B]B 0 = 2 7 −6  ·  −1 0 −1  = −17 −4 −9  . 12 12 −2 −1 6 2 1 1 11 4 3       −9 0 3 1 −1 1  −17 −4 −9  ·  2  =  −4/3  . Por lo tanto [~v]B 0 = 12 11 4 3 −1 4/3 Interpretaci´ on geom´ etrica de un cambio de base Recordemos que si V = E2 ´o E3 , al fijar un punto O y una base ordenada B del Plano o del Espacio, queda determinado un sistema de coordenadas cartesianas. Si cambiamos la base B por otra B 0 obtenemos, en forma an´aloga, un sistema de coordenadas cartesianas distinto   x −→ . al anterior. Si P tiene coordenadas (x, y) en el sistema (O, XY ) entonces [OP ]B = y Al cambiar la base, si queremos hallar las coordenadas hx0 , y 0i de P en el sistema (O, X 0 Y 0 ) usamos que:    0 −→ x −→ x = [OP ]B 0 = [B]B 0 · [OP ]B = [B]B 0 · 0 y y De aqu´ı resultan las f´ormulas que nos permiten efectuar los correspondientes cambios de coordenadas en E2 :  0      0 x x x x −1 = [B]B 0 · = [B]B 0 · 0 y y y y0 Para E3 las f´ormulas son an´alogas.

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... ... ... ... .... .. ... .. .... .. .. .. ... .. 0 .. . .... .. .. P (x, y) = P hx0 , y0 i ... ... ......... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ....... ....... . . ... ......• .. .. . . . ... . ... . ... . ... .. ....... . .. . ... . . . ... ..... .. .... . . . .. . ...... .. .. 0 ........ ....... ... ... .. .. .. . .... . ..... . . ........ .. . ... ....... . .. . ... . .. ............. .. .. . . . ... . . 0 ..... . ... ... ....... .. ....... .. .............. ... ... ......... .... ..... ... ........... .. . . .. . . . .. ... . 2 ...... ..... 0 ......................... 0 ... .. ...... . ... .... 2 ....... . . . . ... ... . . ... .... 0 .... ... ............. .. ................ ..................................................................................................1 .............................................................................................................................. . .... . . . . . . ..... .. ... . . . . . . . . ....... .. .. ....... 1 .. . .. ..... .. .. . .... ... ..

Y

Y

y

y

X

~b

~b

~b

O

~b

x

x

X

Figura 47

Ejemplo Sea V = R3 , (O, XY Z) el sistema de coordenadas asociado a la base can´onica y (O, X 0 Y 0Z 0 ) el sistema asociado a la base B = {(1, 0, 0) , (0, −1, 2) , (0, 1, 1)}.     1 0 0 1 0 0  0 −1/3 1/3  , por lo que Se tiene entonces que [B]C =  0 −1 1  y [B]−1 C = 0 2 1 0 2/3 1/3  0  x =x   1 1  x = x0  0 y =− y+ z y = −y 0 + z 0 3 3    z = 2 y0 + z0  z0 = 2 y + 1 z 3 3 a) Si P h1, 0, −2i en (O, X 0 Y 0Z 0 ), hallar sus coordenadas en (O, XY Z).        x 1 0 0 1 1  y  =  0 −1 1   0  =  −2  . Por lo tanto P (1, −2, −2). z 0 2 1 −2 −2 b) Si π : x0 +3 y 0 +3 z 0 +2 = 0, en el sistema (O, X 0 Y 0Z 0 ), hallar su ecuaci´on en (O, XY Z).     1 2 1 1 y + z + 2 = x + y + 2 z + 2 = 0. Reemplazando obtenemos x + 3 − y + z + 3 3 3 3 3 Luego π : x + y + 2 z + 2 = 0 en (O, XY Z). Observaciones 1. Si π : a x0 + b y 0 + c z 0 + d = 0, en (O, X 0 Y 0Z 0 ) asociado a una base B que no es la can´onica de R3 , en general (~v )B = (a, b, c) no es perpendicular a π.  0 a x + b y0 + c z0 + d = 0 2. Si L : en (O, X 0 Y 0 Z 0) asociado a B = {~b1 , ~b2, ~b2} , ena0 x0 + b0 y 0 + c0 z 0 + d0 = 0 ( 0 x = x0 + ∆1 t tonces la ecuaci´on param´etrica de L es: L : y 0 = y0 + ∆2 t ; t ∈ R, donde (x0, y0 , z0) z 0 = z0 + ∆3 t

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~b1 ~b2 ~b3 es una soluci´on particular del sistema y (∆1 , ∆2, ∆3) = a b c , como si fuera un a0 b0 c0 producto vectorial. Traslaciones Supongamos que trasladamos el origen O de coordenadas a otro punto O0 , es decir a los vectores de B los pensamos con origen en O0 . Obtenemos nuevos ejes X 0 e Y 0, distintos, paralelos a los anteriores y con las mismas unidades de medida. Sean (x0, y0 ) las coordenadas de O0 en el sistema (O, XY ) y P un punto del Plano que en el sistema (O, XY ) tiene coordenadas (x, y). Si con hx0 , y 0i notamos las coordenadas de P en el sistema (O0 , X 0 Y 0 ) entonces se obtiene: −−→ −−→0 −→ OO = x0 .b~1 + y0.b~2, OP = x.b~1 + y.b~2 y O0 P = x0.b~1 + y 0 .b~2. −−→ −−→ −→ Como OP = OO0 + O0 P , entonces obtenemos x.b~1 + y.b~2 = x0.b~1 + y0 .b~2 + x0 .b~1 + y 0.b~2 = (x0 + x0 ).b~1 + (y0 + y 0).b~2. Por lo tanto, (1)

x = x0 + x0 y = y0 + y 0

(2)

x0 = x − x0 y 0 = y − y0

(1) y (2) son las f´ormulas que nos permiten pasar del sistema (O, XY ) al (O0 , X 0 Y 0 ) y rec´ıprocamente. En forma matricial (1) y (2) se expresan, respectivamente:    0   0   x x + x0 x x − x0 = = y y 0 + y0 y0 y − y0

. .. .. .. ... .. .. .. 0 ...... .. .. .. .. . . .. ... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ............ .. ..... .. .. ........ .. .. . ......... . .. .. .... .. .. .......... .... . . . . . ... ...... .... .. . .. . . .. ... .... ... .. ... .. .... ... . ... ........ .... . . ... 2 ....... .... .. . .. . ... . .. ..... ..... .. .. .... .. .. .... .. ... ... . ... .... .... . . . . . . . . ... ... .... .. ... .. .. .... ... .... .. .. ... .. ... .... ... . . .. . . . . . . . . .... .. .. . .. ... .. ... ........... .... ..... .. .. .... .... 0 ........... ....... ....... ........................................................................................................................................................................................................................................................... . . .... .. ... 0 ... 0 ..... ... ... .... ..... ... .. .... . ..... . .. . ... . . . . . . . . . . .. ... . .. . . . . . . . . . 1 . . . . .. .... ...... .. ... .. .. 2 ...... .......... .............. . .. .. .. ... ........ .. . . . . . . . . . ... .... ..... .. .... ...... .. .. ... .... ..... .. . .................. . . . . . . ..... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................... . ... .. 0 . . .. .. 1 .. . .. .. .. ..

Y y

Y

P (x, y)

~b

y

O

~b

O

~b

x

X

~b

x

Figura 48

X

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Ejemplo Consideremos la base C = {e~1, e~2} y (O, XY ) el sistema de coordenadas asociado. Sea (O0 , X 0 Y 0 ) el sistema que se obtiene trasladando paralelamente los ejes X e Y al nuevo origen O0 de coordenadas (−1, 6). a) Si P tiene coordenadas (2, 5) en el sistema (O, XY ), ¿ cu´ales son sus coordenadas en el (O0 , X 0 Y 0 ) ? x0 = x − x0 = x + 1; y 0 = y − y0 = y − 6. Si x = 2 entonces x0 = 3, y si y = 5 entonces y 0 = −1, luego P tiene coordenadas h3, −1i en el sistema (O0 , X 0Y 0). b) Si Q tiene coordenadas h−3, 2i en el sistema (O0 , X 0 Y 0 ), ¿ cu´ales son sus coordenadas en el (O, XY ) ? x = x0 + x0 = x0 − 1 , y = y 0 + y0 = y 0 + 6. Si x0 = −3 entonces x = −4 ; si y 0 = 2 entonces y = 8, luego Q tiene coordenadas (−4, 8) en el sistema (O, XY ). c) Si 3 x + y − 2 = 0 es la ecuaci´on de una recta L en el sistema (O, XY ), ¿ cu´al es la ecuaci´on de L en el (O0 , X 0Y 0) ? Como L tiene ecuaci´on 3 x + y − 2 = 0, x = x0 − 1 e y = y 0 + 6 tenemos que: 3(x0 − 1) + y 0 + 6 − 2 = 0, lo que implica que 3 x0 + y 0 + 1 = 0. Luego L tiene ecuaci´on 3 x0 + y 0 + 1 = 0 en el sistema (O0 , X 0 Y 0 ). Traslaci´ on y cambio de base Supongamos ahora que trasladamos el sistema y adem´as cambiamos la base. Sea B = {b~1, b~2 }, una base ordenada y (O, XY ) el sistema de coordenadas asociado a la base B. Sea O0 (x0 , y0) el nuevo origen y consideremos la base ordenada B 0 = {b~01 , b~02}. El sistema (O0 , X 00Y 00) es el que se obtiene trasladando el (O, XY ) al punto O0 y luego cambiando la base. Si un punto P tiene coordenadas (x, y) en el sistema (O, XY ) escribiremos hx0, y 0i para representar las coordenadas de P en el sistema (O0 , X 0 Y 0 ) y hhx00 , y 00ii para representar las coordenadas de P en el sistema (O0 , X 00 Y 00). Veamos la relaci´on que existe entre las mismas.  0   00   0  x x − x0 x x = y = [B]B 0 · Trabajando en forma matricial tenemos que: 0 00 y y − y0 y y0 de donde,    00  x − x0 x = [B]B 0 · y 00 y − y0 Rec´ıprocamente tenemos que:  0  00   00       0   0   x x x x x + x0 x x0 x0 0 0 = [B ]B · y = = + = [B ]B · + 0 00 0 0 00 y y y + y0 y y0 y y0 y de donde,  00      x x0 x 0 + = [B ]B · y 00 y0 y

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121

.. ... .... ... .... ... ... .... .... . . ... .... .. .. .... ... . . . . . 0 00 . . . .. .. 00 ........ .. .... .. .. .... .... .. .. .... ... .. . . . . . . ... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ........ ....... ........... .... .... .. .. . ... .... ... .. .... ....... ..... ...... .. .. .... . . .. .. .. . . . . ... . . . . . . . . .... .. .. . ......... .... ... ... .. 00 .... . .... .. . .. ... .... .. .. .. .. ..... .. ....... .... . . . . ......... .... . ...... . . .... .... . . 2 ..... .. ..... .... . ...... .. .... ...... ...... .. ... . ... .. ....... .... 0 . . .... ... . ... .... .... . . .... . . ... . . .... 2 . .... .... .... . .... .. ............ .. . .... .. .. .... .... ... . .. .. .... ... .. ....... . .. . . . . ... . . .. 00........... ................. 0 . .. ......... .. . ... .. .. ............................................................................................................................................................... 0 ........... ....... ....... .......................................................................................1 . .. ... . ... 0 ... .... ... ...... . ... .. .... . ... 0 ..... ... .... 1 . . .... . ... .. ... . . . . . ... . .. .. .. .. ...... .. .... .. .. .. .... .. .. . ... .. 2 ...... .... . . . . .. .. ... .. .. . .. .. . ... . . . . . . . . . . . ......................................................................................................... ................................................................................................................................................................ . .. .. 0 ... .. 1 . . .. ... . .. .. ..

Y

Y

rP

Y

y

~b

X

x

~b

y

~b

y

O

~b

X

~b

O ~b

x

x

X

Figura 49

En lo que sigue trabajaremos con sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales. Ejemplos 1. Sea (O, XY ) el sistema de coordenadas asociado a la base C = {e~1, e~2}, (O, X 0 Y 0 ) el sistema obtenido rotando el sistema (O, XY ) un ´angulo α y (O0 , X 00 Y 00) el sistema obtenido trasladando los ejes X 0 e Y 0 al nuevo origen O0 de coordenadas (x0, y0) en el sistema (O, XY ). Si B = {b~1, b~2} es la base asociada al sistema 0 (O, X 0 Y  ) entonces, b~1 =cos α.~ e1 + senα.e~2 y b~2 = −sen e2 , por lo tanto  α.e~1 + cos α.~ cos α −sen α cos α sen α [B]C = y [B]−1 . Las f´ormulas de cambio de C = sen α cos α −sen α cos α coordenadas son:         00     00   x − x0 cos α −sen α x cos α sen α x x0 x = · = · + y 00 y − y0 y 00 y0 −sen α cos α y sen α cos α 2. Sea (O0 , X 00 Y 00) el sistema que se obtiene rotando el sistema (O, XY ) en un ´angulo de π radianes y trasladando el origen del sistema al punto O0 de coordenadas (1, 1) en el 3 sistema (O, XY ). a) Hallar las coordenadas, en el sistema (O0 , X 00 Y 00), del punto A que en el sistema (O, XY ) tiene coordenadas (2, 1). √  00      x x − 1 3/2 1/2 √ · , remplazando x por 2 e y por 1 se ob= y 00 y−1 − 3/2 1/2 √ 1 3 00 00 e y =− , que son las coordenadas del punto A en el sistema tiene x = 2 2 (O0 , X 00 Y 00).

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122

b) Hallar la ecuaci´on, en el sistema (O0 , X 00 Y 00), de la recta L cuya ecuaci´on en el sistema (O, XY ) es y − 2 x = 0. √ √      00    1 3 00 x 1/2 − 1 x 3/2 00 = √ + , por lo tanto x = x − y +1 e · y 1 3/2 1/2 y 00 2 2 √ 3 00 1 00 y= x + y + 1, luego la ecuaci´on de la recta L en el sistema (O0 , X 00 Y 00) es 2 2 √ √ 00 ( 3 − 2) x + (1 + 2 3) y 00 − 2 = 0. En forma an´aloga al caso del Plano, si O es un punto del Espacio y B = {b~1, b~2 , b~3} es una base ordenada del mismo, queda determinado un sistema de coordenadas cartesianas (O, XY Z). Cualquier punto P del Espacio tendr´a, en el sistema (O, XY Z), coordenadas (λ1 , λ2 , λ3 ) que −→ son las componentes del vector OP en la base B. Sea (O, XY Z) el sistema asociado a una base ordenada B = {b~1, b~2, b~3 }, (O, X 0 Y 0Z 0 ) el sistema asociado a una base ordenada B 0 = {b~01, b~02 , b~03} y (O0 , X 00Y 00 Z 00) el sistema que se obtiene trasladando paralelamente los ejes X 0 , Y 0 y Z 0 a un nuevo origen O0 que en el sistema (O, XY Z) tiene coordenadas (x0, y0, z0 ). Las f´ormulas del cambio de coordenadas son:    x − x0 x00  y 00  = [B]B 0 ·  y − y0  z 00 z − z0 

 00      x x x0  y  = [B 0]B ·  y 00  +  y0  z 00 z0 z

Ejemplo Sea (O, XY Z) el sistema de coordenadas asociado a la base can´onica de R3 , la base 1 1 2 1 1 1 1 1 B = {( √ , √ , √ ), (0, − √ , √ ), ( √ , − √ , − √ )} con sistema asociado (O, X 0 Y 0 Z 0 ) 3 3 3 2 2 6 6 6 y (O0 , X 00Y 00 Z 00) el sistema obtenido del (O, X 0 Y 0 Z 0 ) trasladando los ejes al nuevo origen O0 , cuyas coordenadas en el sistema (O, XY Z) son (0, −1, 3).  √ √  x00 = √ 12 + 3 λ Dada la recta L de ecuaci´on , λ ∈ R, en el sistema (O0 , X 00 Y 00Z 00), y 00 = −√ 8  00 z = 3 6λ hallemos su ecuaci´on en el (O, XY Z).  00       x x − x0 x − x0  y 00  = [C]B ·  y − y0  = [B]−1  y − y0  =  C · 00 z z − z0 z − z0  00     √   1/√3 0√ x0 x x 00  y  = [B]C ·  y  +  y0  =  1/ 3 −1/ 2 √ √ z 00 z0 z 1/ 3 1/ 2

√ √   √  1/√3 1/√3 1/ 3 x 1/√2  ·  y + 1  , 0√ −1/√2 z−3 2/ 6 −1/ 6 −1/ 6 √      2/√6 0 x00 −1/√6  ·  y 00  +  −1  . 3 z 00 −1/ 6

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123

√ √ ~L = hh 3, 0, 3 6ii y un punto perteneciente a L es Un vector director de L es d √ √ P0 hh 12, − 8, 0ii. Observaci´ on Cuando se realiza una traslaci´on del sistema de coordenadas las componentes de los vectores no cambian por la misma, s´ı las coordenadas de los puntos. De acuerdo con la observaci´on, obtenemos: √ √      √  1/√3 0√ 2/√6 7 x 3  y  =  1/ 3 −1/ 2 −1/ 6 ·  0  =  −2  , por lo tanto, d~L = (7, −2, −2). √ √ √ √ z −2 3 6 1/ 3 1/ 2 −1/ 6 Las coordenadas de P0 se ven afectadas por la traslaci´on y por el cambio de base: √  √         √ 1/√3 0√ 2/√6 2 0 x 12 √  y  =  1/ 3 −1/ 2 −1/ 6  ·  − 8  +  −1  =  3  . Como P0 (2, 3, 3), √ √ √ 3 3 z 0 1/ 3 1/ 2 −1/ 6 ( x = 2 + 7λ entonces la ecuaci´on de L en el sistema (O, XY Z) es: y = 3 − 2 λ , λ ∈ R. z = 3 −2λ

7.2

Espacios con producto interno

Definici´ on 7.2.1 Sea V un R-espacio vectorial. Un producto interno sobre V es una funci´ on h , i : V × V −→ R que asigna a cada par ordenado de vectores (~u, ~v) un n´ umero real h~u, ~vi de tal modo que para cualquier ~u, ~v, w ~ ∈ V y todos los escalares λ ∈ R se verifiquen: a) h~u, ~vi = h~v, ~ui. b) h~u + ~v, wi ~ = h~u, wi ~ + h~v , wi. ~ c) hλ.~u, ~vi = λ h~u, ~vi. d) h~v, ~v i ≥ 0. Adem´ as, h~v , ~vi = 0 ⇔ ~v = ~0. Definici´ on 7.2.2 Un R-espacio vectorial que tiene definido un producto interno se denomina espacio vectorial con producto interno o espacio eucl´ıdeo. Ejemplos 1. V = E2 ´o E3 donde h~u, ~vi =



0 k~uk k~vk cos θ

si ~u = ~0 ´o ~v = ~0 , si ~u = 6 ~0 y ~v 6= ~0

donde θ es la medida del ´angulo comprendido entre ~u y ~v . 2. V = Rn , ~u = (x1, x2, . . . , xn ) y ~v = (y1, y2, . . . , yn ) ∈ V, h~u, ~vi = x1y1 + · · · + xn yn define un producto interno llamado producto interno o producto escalar can´ onico. 3. V = R2 , ~u = (x1 , x2) y ~v = (y1, y2 ) ∈ V, h~u, ~vi = 3x1y1 + 2x2 y2 define un producto interno en V , distinto al considerado en 2.

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124

Definici´ on 7.2.3 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno h , i , llamaremos norma p de ~v ∈ V y la notaremos k~vk al n´ umero real k~vk = h~v, ~v i. Ejemplo Si V =pRn , con el producto interno can´onico y ~v = (x1 , x2, . . . , xn ), entonces k~vk = x12 + x22 + · · · + xn2. Si V es un R-espacio vectorial con producto interno, la norma posee las siguientes propiedades, cualquiera sean ~u y ~v ∈ V, λ ∈ R: 1) kλ.~vk =| λ | k~vk. 2) k~vk ≥ 0. Adem´as, k~vk = 0 ⇐⇒ ~v = ~0. 3) k~u + ~vk ≤ k~uk + k~vk. 4) | h~u, ~vi |≤ k~uk k~v k. Bases ortonormales Definici´ on 7.2.4 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno. ~u y ~v ∈ V se dicen ortogonales si h~u, ~vi = 0. Definici´ on 7.2.5 Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´ on finita con producto interno y B = {v~1, v~2, . . . , v~n } una base de V . B se dice ortonormal si  1 si i = j h~ vi , v~j i = 0 si i 6= j Ejemplos 1. En E2 y E3 las bases {e~1 , e~2 } y {e~1 , e~2 , e~3 } son bases ortonormales.   2 2 1 1 2. En R2 , C = {(1, 0), (0, 1)} y B = ( √ , − √ ), ( √ , √ ) son bases ortonormales. 5 5 5 5   2 2 1 1 3 3. En R , C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B = ( √ , 0, − √ ), ( √ , 0, √ ), (0, 1, 0) 5 5 5 5 son bases ortonormales. Nota: El producto interno considerado en los ejemplos anteriores es el can´onico. h~u, ~vi ≤ 1, k~uk k~vk lo que permite definir la noci´on de ´ angulo entre los vectores ~u y ~v a partir de la igualdad

La propiedad 4) de la norma implica que si ~u y ~v son vectores no nulos −1 ≤

cos α =

h~u, ~vi k~uk k~vk

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125

Proposici´ on 7.2.1 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno y B = {b~1, b~2, . . . , b~n } una base ortonormal de V. Si ~u = λ1 .b~1 + λ2 .b~2 + · · · + λn .b~n y ~v = µ1 .b~1 + µ2 .b~2 + · · · + µn .~bn, entonces h~u, ~vi = λ1 µ1 + λ2 µ2 + · · · + λn µn . Dem. h ~u , ~v i = h λ1 .b~1 + λ2 .b~2 + · · · + λn .b~n , µ1 .b~1 + µ2 .b~2 + · · · + µn .~bn i = λ1 µ1 h b~1 , b~1 i+ λ2 µ2 h b~2 , b~2 i + · · · + λn µn h b~n , b~n i = λ1 µ1 + λ2 µ2 + · · · + λn µn .

2

Proposici´ on 7.2.2 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno, y M = {b~1 , b~2, . . . , b~r } un conjunto de vectores no nulos ortogonales dos a dos de V . Entonces M es linealmente independiente. Dem. Supongamos que λ1 .b~1 + λ2 .b~2 + · · · + λr .b~r = ~0. Si b~i ∈ M, entonces 0 = h b~i , ~0i = h b~i , λ1 .b~1 + λ2 .b~2 + · · · + λr .b~r i = λ1 h b~i , b~1 i + λ2 h b~i , b~2 i + · · · + λi h b~i , b~i i + · · · + λr h b~i , b~r i = λi h b~i , b~i i = λi kb~ik2 , lo que implica λi = 0 pues kb~ik = 6 0. 2 C´ alculo de una base ortonormal de R3 v~1 . Si b~1 = (x1, x2, x3 ), sea ~b = (0, − x3, x2 ). Sea v~1 ∈ R3 , v~1 6= ~0 y consideremos b~1 = kv~1 k ~b y b~3 = b~1 ∧ b~2. Es claro que Como h b~1 , ~b i = x2 x3 − x3 x2 = 0, tomemos b~2 = ~ kbk B = {b~1, b~2 , b~3} es un base ortonormal de R3 . Ejemplo Construyamos una base ortonormal de R3 a partir de v~1 = (1, 1, 1). 1 1 1 1 1 v~1 1 1 = ( √ , √ , √ ) y ~b = (0, − √ , √ ). Luego b~2 = (0, − √ , √ ), entonces Sea b~1 = kv~1k 3 3 3 3 3 2 2 1 1 2 b~3 = b~1 ∧ b~2 = ( √ , − √ , − √ ). 6 6 6   1 1 2 1 1 1 1 1 Por lo tanto B = ( √ , √ , √ ) , (0, − √ , √ ) , ( √ , − √ , − √ ) es una base ortonor3 3 3 2 2 6 6 6 mal de R3 . Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´on finita con producto interno, (podemos suponer V = Rn ), S un subespacio de V y B una base de S. Queremos hallar, a partir de B, una base ortonormal de S. M´ etodo de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt Sea V = Rn , S ⊆ Rn un subespacio y B = {b~1 , b~2 , . . . , b~r } una base de S. −−−−−→ b~1 , y consideremos v~20 = b~2 − (proyv~1 b~2 ) = b~2 − h b~2 , v~1 i.v~1. Sea v~1 = kb~1k Se tiene entonces que h v~20 , v~1 i = h b~2 − h b~2 , v~1 i · v~1 , v~1 i = h b~2 , v~1 i − h b~2 , v~1 i · k~v1k2 = 0. v~20 entonces h v~1 , v~2 i = 0 y adem´as v~1 y v~2 pertenecen a S, pues son Si v~2 = kv~0 k 2

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126

combinaci´on lineal de b~1 y b~2. Supongamos conocidos v~1, v~2 , . . . , v~s tales que:  1 si i = j 1) h~ vi , v~j i = , 1 ≤ i, j ≤ s. 0 si i 6= j 2) Cada v~i es combinaci´on lineal de b~1 , b~2, . . . , b~s . −− 0→ −− vs+1 −−→ −−→ −−→ 0→ − − → Entonces, vs+1 = −−→ , donde vs+1 = bs+1 − (h bs+1 , v~1 i.v~1 + · · · + h bs+1 , v~s i.v~s ). 0 kvs+1 k −− −− 0→ 0→ Se verifica adem´as que h vs+1 , v~i i = 0 , 1 ≤ i ≤ s y vs+1 ∈ S. Sea B = {v~1, v~2, . . . , v~r }, donde cada v~i, 1 ≤ i ≤ r, se obtiene aplicando el m´etodo anterior. Como dimRS = r y B es linealmente independiente, entonces B es base ortonormal de S. . .........

~b1 ............ . ...

.. ... ... ... . . .. .... ......... .... . ... . .. ... 2 .. ........... .. .. . . . ........ ... .... ~ v1 2........ ..... . .. . . .... .. . . . 0 .. . ..... . . . . . . ........ ..... 2 . . 1....... ..... . .... ... 2 . . ... . . . . ..........................................................................................................................................................................

~v

−−−−−→ proy ~b

v~

~v

~b

Figura 50 Ejemplo Sea S = {(1, 0, 0, 0) , (1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 1)} ⊆ R4. B = {(1, 0, 0, 0) , (1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 1)} es linealmente independiente, por lo tanto es base de S. Sea v~1 = (1, 0, 0, 0) , v~20 = (1, 1, 0, 0) − h (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0) i.(1, 0, 0, 0) = (1, 1, 0, 0) − (1, 0, 0, 0) = (0, 1, 0, 0). Como kv~20 k = 1, entonces v~2 = (0, 1, 0, 0). v~30 = (0, 1, 1, 1) − (h (0, 1, 1, 1) , (1, 0, 0, 0) i.(1, 0, 0, 0) + h (0, 1, 1, 1) , (0, 1, 0, 0) i.(0, 1, 0, 0)) = (0, 1, 1, 1) − (0, 1, 0, 0) = (0, 0, 1, 1).   1 1 v~30 1 1 0 = (0, 0, √ , √ ) y B = (1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (0, 0, √ , √ ) es Por lo tanto, v~3 = 2 2 2 2 kv~30 k una base ortonormal de S.

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7.3

127

Ejercicios

1. Sean B = {(−1, 1, 0) , (1, 2, 3) , (−1, −2, −4)} y B 0 = {(1, −1, 1) , (1, 2, 3) , (1, 3, 4)}, bases de R3 . a) Hallar [B]C , [C]B , [B 0]C , [C]B 0 , [B]B 0 y [B 0]B . b) Si ~v = (1 , −1 , 1), hallar (~v )B y (~v)B 0 . 2. Sean B = {b~1 , b~2 , b~3} y B 0 = {b~01 , b~02 , b~03} bases ordenadas de R3 tal que b~1 = 2.b~01 , b~2 = b~0 + b~0 − b~0 y b~3 = −b~0 . 1

2

3

2

a) Encontrar [B]B 0 y [B 0]B . b) Sabiendo que (~v )B 0 = (−2, 0, 3), hallar (~v)B .   1 1 1 3. Sabiendo que A =  1 −1 2  es la matriz de cambio de base que permite pasar de 0 0 3 la base B = {(1, −1, 0) , (1, 0, 1) , (0, 2, −1)} a una base B 0 , encontrar B 0 . 4. Sea B = {v~1 , v~2 , v~3 , v~4 } una base ordenada de un R-espacio vectorial V. a) Probar que B 0 = {2.v~1 , −v~1 + v~2 , −v~2 + v~4 , v~1 + v~3 } tambi´en es una base de V . b) Si un vector de V tiene componentes (0, α, 0, α) respecto de la base B, ¿ qu´e componentes tendr´a respecto de la base B 0 ? c) Hallar los vectores ~v ∈ V tales que (~v)B = (~v)B 0 .         1 −3 1 4 −1 6 0 0 , , y , 5. Sea V = M2 (R), B = 2 4 5 0 −1 3 3 0         1 −1 1 1 0 0 0 0 0 B = , , , . 0 0 0 0 1 1 −1 1 Si A ∈ M2 (R) es tal que (A)B = (1, 2, −1, 0), hallar [A]B 0 . 6. Sea V = R3 [X], B = {1 , X , X 2 , X 3 } y B 0 = {1 , 1 − X , X + X 2 , X 2 + X 3 }. Si P (X) ∈ V es tal que (P )B = (−6, 5, −3, 2), hallar (P )B 0 . √ √ √ √ 7. Sean B = {(1, 3), (2, −1)} y B 0 = {(−1/ 10, 3/ 10) , (3/ 10, 1/ 10)} bases ordenadas de R2 ; (O, X 0 Y 0 ) y (O, X 00 Y 00) los sistemas de coordenadas cartesianas asociados a B y a B 0 , respectivamente. a) Si la recta L tiene ecuaci´on impl´ıcita 2 x + y − 5 = 0 en el sistema asociado a la base can´onica, hallar su ecuaci´on en (O, X 0 Y 0). √ √ b) Si P h 10, − 10i, hallar las coordenadas de P en (O, X 00 Y 00).

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128

√ √ √  √ 8. Sea B = (2/ 5, 1/ 5), (1/ 5, −2/ 5) , una base ordenada de R2 . Sea (O, X 0 Y 0) el sistema de coordenadas asociado a la base B y (O, XY ) el sistema asociado a la base can´onica. √ a) Si h0, 5i son las coordenadas de un punto en el sistema (O, X 0 Y 0) , hallar sus coordenadas en el sistema (O, XY ). b) Hallar la ecuaci´on del eje X en el sistema (O, X 0 Y 0 ). 0

0

c) Sea L la recta que en el sistema (O, X Y ) tiene ecuaci´on



x0 = 2 + 3 λ , λ ∈ R. y 0 = −1 − λ

Hallar su ecuaci´on en el sistema (O, XY ). 9. Sea (O, XY Z) el sistema de coordenadas asociado a B = {(2, 0, 1), (0, −1, 1), (1, 1, 0)} y (O, X 0 Y 0 Z 0) el sistema asociado a la base B 0 = {(1, −1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, −1)}. Hallar, en el sistema de coordenadas (O, XY Z),( la ecuaci´on param´etrica de la recta L x0 = 1 + λ que, en el sistema (O, X 0 Y 0 Z 0), tiene ecuaci´on , λ ∈ R. y0 = 1 0 z = 2λ 10. Sea (O, XY ) el sistema de coordenadas asociado a la base can´onica de R2 . Sea (O0 , X 0 Y 0 ) el sistema que se obtiene trasladando paralelamente los ejes X e Y al nuevo origen O0 de coordenadas (−1, 4). a) Si P tiene coordenadas (4, 3) en el sistema (O, XY ), hallar sus coordenadas en el sistema (O0 , X 0 Y 0 ). b) Si Q tiene coordenadas h−3, 1i en el sistema (O0 , X 0 Y 0 ), hallar sus coordenadas en el sistema (O, XY ).  0 x = 1 + 2λ 0 0 0 c) Sea L la recta que en el sistema (O , X Y ) tiene ecuaci´on, , λ ∈ R. y 0 = −λ Hallar su ecuaci´on en el sistema (O, XY ). d) Verificar gr´aficamente los resultados anteriores. 11. Sea (O0 , X 00 Y 00) el sistema que se obtiene rotando el sistema (O, XY ) en un ´angulo de π radianes y trasladando el origen del sistema al punto O0 (1, 2) en el sistema (O, XY ). 6 Hallar la ecuaci´on param´etrica, en el sistema (O, XY ), de la recta L cuya ecuaci´on en  √ 00 x =√ 1 + 3λ el sistema (O0 , X 00Y 00 ) es , λ ∈ R. 00 y = 3+λ XY ) trasladando el ori12. Sea (O0 , X 00Y 00 ) el sistema que se obtiene a partir del sistema √ (O, √ √ √ 0 gen al punto O (−1, 1) y considerando la base B = {(−1/ 2, 1/ 2), (−1/ 2, −1/ 2)}.  x = −1 − 2 λ , λ∈R Sean L1 la recta que en el sistema (O, XY ) tiene ecuaci´on L1 : y = 2 − 3λ  00 x = −µ √ y L2 la recta que en (O0 , X 00Y 00) tiene ecuaci´on L2 : , µ ∈ R. y 00 = 2 2 + 5 µ

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129

a) Averiguar si L1 y L2 son coincidentes. b) Graficar los sistemas de coordenadas utilizados y la recta L2 . 13. Sea (O, XY Z) el sistema de coordenadas asociado a la base can´onica de R3 y (O0 , X 00Y 00Z 00) el sistema asociado a la base B = {(1, −1, 0), (0, −1, 1), (2, 0, −1)} con origen en el punto O0 cuyas coordenadas en el sistema (O, XY Z) son (1, 0, 1). a) Si el plano π tiene ecuaci´on x00 − 2 y 00 + z 00 + 1 = 0 en el sistema (O0 , X 00Y 00 Z 00), hallar su ecuaci´on en el sistema (O, XY Z).  x−y+1 = 0 b) Si la recta L en (O, XY Z) est´a dada por , verificar que el punto y + 2z = 0 que tiene coordenadas hh4, −4, −3ii en el sistema (O0 , X 00 Y 00Z 00) pertenece a L. n √ o √ √ √  2 2 2 2 14. B = ( 2 , − 2 , 0) , ( 2 , 2 , 0) , (0, 0, 1) , B 0 = ( 45 , 0, − 35 ) , ( 35 , 0, 45 ) , (0, 1, 0) y  1 2 2 2 2 1 2 1 2 00 3 B = ( 3 , 3 , 3 ) , ( 3 , − 3 , 3 ) , ( 3 , 3 , − 3 ) , son bases de R . a) Averiguar si son bases ortonormales. b) Hallar [B]B 00 y [B 0]B 00 . √  √ 15. Sea T = (1/ 6, k, 0) , (−k, 1/ 6, 0) . Hallar los valores de k para los cuales T pueda extenderse a una base ortonormal de R3 . Indicar una de esas bases.

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8

130

Transformaciones lineales

8.1

Definici´ on y ejemplos

Definici´ on 8.1.1 Sean V y W R-espacios vectoriales. Una aplicaci´ on T : V −→ W se dice una transformaci´ on lineal si verifica: T1) T (~u + ~v ) = T (~u) + T (~v), para todo ~u, ~v ∈ V . T2) T (λ.~u) = λ.T (~u), para todo λ ∈ R; ~u ∈ V . Consecuencias de la definici´ on Sea T : V −→ W una transformaci´on lineal. De la definici´on se deduce que: 1) T (~0) = 0~0 . En lo que sigue notaremos al vector nulo de cualquier espacio vectorial con ~0. 2) T (−~v) = −T (~v), para todo ~v ∈ V . 3) T (~u − ~v) = T (~u) − T (~v), para todo ~u, ~v ∈ V . 4) T (λ1.~v1 + λ2 .~v2 + · · · + λn .~vn) = λ1 .T (~v1) + λ2 .T (~v2) + · · · + λn .T (~vn), para todo ~vi ∈ V ; λi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Ejemplos 1. Sea V un R-espacio vectorial, c ∈ R, c fijo. T : V −→ V definida por T (~v) = c.~v es una transformaci´on lineal denominada homotecia de raz´ on c. • Si c = 0, T (~v) = ~0, para todo ~v ∈ V . T se denomina transformaci´ on lineal nula y se nota T = O. • Si c = 1, T (~v) = ~v , para todo ~v ∈ V . T se denomina transformaci´ on lineal identidad y se nota T = IdV . 2. T : R2 −→ R2 definida por T (x, y) = (x2, y) no es una transformaci´on lineal pues, T (1, 0) + T (−1, 0) = (1, 0) + (1, 0) = (2, 0) 6= (0, 0) = T [(1, 0) + (−1, 0)]. 3. T : R2 −→ R3 definida por T (x, y) = (x, x + y, x − y) es una transformaci´on lineal. En efecto, si ~u = (x1, y1) y ~v = (x2 , y2) entonces ~u + ~v = (x1 + x2, y1 + y2 ). T (~u + ~v ) = T (x1 + x2 , y1 + y2 ) = (x1 + x2, x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2 − y1 − y2 ) = (x1, x1 + y1 , x1 − y1 ) + (x2 , x2 + y2 , x2 − y2) = T (x1, y1) + T (x2, y2 ) = T (~u) + T (~v). Si λ ∈ R, λ.~u = λ.(x1, y1 ) = (λ x1 , λ y1 ) entonces, T (λ x1, λ y1 ) = (λ x1 , λ x1 + λ y1 , λ x1 − λ y1 ) = λ.(x1 , x1 + y1, x1 − y1) = λ.T (x1, y1 ) = λ.T (~u).

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131

4. T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (x, y, 0) es una transformaci´on lineal que se interpreta geom´etricamente como la proyecci´on ortogonal de un punto P (x, y, z) sobre el plano XY . 5. T : R3 −→ R3 la aplicaci´on que a cada punto de coordenadas (x, y, z) le hace corresponder su sim´etrico respecto al eje X. Sea P (x0 , y0, z0 ) un punto cualquiera del Espacio y π un plano que contiene al punto P y es perpendicular al eje X. Si Q es el punto de intersecci´on de π con el eje X, T (P ) es el punto que pertenece a la recta L, que pasa por P y Q, y que verifica d(T (P ), Q) = d(P, Q). . ... ....... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ................. ... .... ............... ... .... ... ................ ... ... ................ .... ... ............... .... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ... .. .. ............... ... ... ... ... .... ................ .. ... ................ .. ............... ........ ... ............................ ................ ........ ................... ........... . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ........ . ....... ....... ............................ ... .... .. ..... . .... ................... ... ... ..... ...... .... ..... ... .... .... .... ...... .. . . ....... . . . . ... . . . .... . . . ... .... . . . ....... . . . . . . . . . .. . . . . ..... ... .. ....... ....... ....... . ... .... .. .. ....... ............. ....... .. .... .... ... ....... ... ... ... ....... ... ....... ... ... ....... ....... .. . . . . . .... . . . . . . . . . . ... . .. . ... .... ........... ... ... ...... ........ ....... ....... . . . ....... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. ......... ........ .... . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .. . .......... ... .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... . . ... ....... ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ...... ......... . . . . . . . . . . . . . ..... . ... ...... . . .... . . . . . .......... ......... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . ... . . . ........ ...... ................... .. . ... . . . . ... ... . . ... ........ .. . . . . ... . .. . .. ... . . ......... ... .. . . . ... . . ........ ..... .. . ... . ... . . . ... . . .......... ... . ... . ... .......... ... . .. ......... ... .... ... ... .... ........ ... .. .. ........ ... .... . ......... ... . .... . ... . ........ ... ..... ... . ... ......... .. ... .... .. ........... . ... ... ...... ......... . ... ... . .... ... . .. ... . . .. . . ... . ... ... ..... . . . . . . . . . . . . ... . . .. .. .... ............... ... . ............... ... .... ................ ............... ...... ... ............... ... . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . .. ............... ... .... .... ............... ... ................ .... ... ................ .... ... ................... . . . . . . . . . . . . . . ... . . ...... ..... .... ........................ ... ... .... ... .... .. ....

Z

L

Pr

O

Y

r

Q

r

T (P )

X

π

Figura 51

  x = x0 y = α y0 , α ∈ R. π : x − x0 = 0, Q(x0, 0, 0), L :  z = α z0 Si T (P )(x00, y00 , z00 ), entonces x00 = x0, y00 = α y0 y z00 = α z0. Adem´as d(T (P ), Q) = d(P, Q), es decir, α2 y02 + α2 z02 = y02 + z02, por lo tanto (α2 − 1)(y02 + z02 ) = 0 lo que implica α2 − 1 = 0 ´o y0 = z0 = 0. Si y0 = z0 = 0, P est´a sobre el eje X y por lo tanto T (P ) = P . Para α = 1 obtenemos el punto P y para α = −1 obtenemos T (P )(x0, −y0 , −z0). Luego T est´a definida por T (x, y, z) = (x, −y, −z).

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132

6. Sea T : R2 −→ R2 la aplicaci´on que a cada punto de coordenadas (x, y) del Plano le hace corresponder el que se obtiene rot´andolo un ´angulo θ, 0 ≤ θ < 2 π alrededor del origen. Sea P (x, y) un punto cualquiera de R2, φ el ´angulo que forma el vector −→ OP con el semieje positivo de las abscisas y supongamos que T (P ) tiene coordenadas (x0, y 0). .... ....... ... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 0 0 .. 0 ............ ....... ....... ....... ....... ......... ... ............ ....... ... . . .... . ... .. ..... ... ... ... . .. .. ... . .... . ... ... . . . ... .. . . .... . ... . . . ... . ... .. ... ... . . .. .. ... . ... ... .. ... . .. ... . . . ... .. .. . . . . ........... ....... ....... .......... ....... ....... ... ....... ....... ....... ....... ....... .............. . . . . ... . . ... ..... . ... . . . .. ... . . . . .. .. ....... ... .. ....... ... ... ... ....... ........ ... ....... .. ....... .. .. ....... .. ... .... . . . . . . . . . ... ... .... ... . .. . . . . . . . . . . ... .. .. ... . ...... . . . . . . . . . . . ... ......... .. . . .. ... ... .. ... ....... . . ... . . . . .. . . . . . ..... .. ... ... . . . . . . .. ... .. .. .. ..... . . . . . . . .. .. ... .. .......... . . . . . .... . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... .. 0 ... .... .. ... ..

Y

Tr (P )(x , y )

y

y

r

θ

O

rP (x, y)

φ

x

x

X

Figura 52

−−−−→ −→ Observemos que kOP k = kOT (P )k y notemos a este n´ umero con r. Entonces x = r cos φ, y = r sen φ, x0 = r cos(φ + θ) e y 0 = r sen(φ + θ). Es decir: x0 = r cos φ cos θ − r sen φ sen θ = x cos θ − y sen θ y 0 = r sen φ cos θ + r cos φ sen θ = y cos θ + x sen θ Luego T (x, y) = (x cos θ − y sen θ , x sen θ + y cos θ). 7. Sea T : R3 −→ R3 la aplicaci´on que a cada punto de coordenadas (x, y, z) le hace corresponder el que se obtiene rot´andolo un ´angulo θ, 0 ≤ θ < 2 π alrededor del eje Z y en forma paralela al plano XY . Es claro que T (x, y, z) = (x0, y 0, z), donde x0 = x cos θ − y sen θ e y 0 = x sen θ + y cos θ. Luego T (x, y, z) = (x cos θ − y sen θ , x sen θ + y cos θ , z). El siguiente teorema es elemental, pero de gran importancia. Nos muestra que las transformaciones lineales son funciones, entre espacios vectoriales, con propiedades muy particulares. Teorema 8.1.1 Sean V y W R-espacios vectoriales, B = {~b1 , ~b2, . . . , ~bn } una base de V y ´nica transformaci´ on lineal T : V −→ W tal que ~v1, ~v2, . . . , ~vn ∈ W , entonces existe una u T (~bi) = ~vi, 1 ≤ i ≤ n.

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133

Dem. Sea ~v ∈ V , entonces ~v = α1 .~b1 + α2.~b2 + · · · + αn .~bn , donde α1, α2 , . . . , αn ∈ R est´an un´ıvocamente determinados. Definimos T (~v) = α1.~v1 + α2.~v2 + · · · + αn .~vn. Debemos probar que T es la u ´nica transformaci´on lineal que verifica las condiciones del enunciado. T1) Si ~u, w ~ ∈ V, ~u = β1.~b1 + β2.~b2 + · · · + βn .~bn y w ~ = γ1 .~b1 + γ2 .~b2 + · · · + γn .~bn , entonces ~u + w ~ = (β1 + γ1 ).~b1 + (β2 + γ2 ).~b2 + · · · + (βn + γn ).~bn , por lo tanto T (~u + w) ~ = (β1 + γ1 ).~v1 + (β2 + γ2 ).~v2 + · · · + (βn + γn ).~vn = ~ (β1.~v1 + β2 .~v2 + · · · + βn .~vn ) + (γ1 .~v1 + γ2 .~v2 + · · · + γn .~vn ) = T (~u) + T (w). T2) Si α ∈ R, α.~u = (α β1).~b1 + (α β2).~b2 + · · · + (α βn ).~bn , luego T (α.~u) = (α β1).~v1 + (α β2).~v2 + · · · + (α βn ).~vn = α.(β1.~v1 + β2.~v2 + · · · + βn .~vn) = α.T (~u). Adem´as T (~bi ) = T (0.~b1 + · · · + 1.~bi + · · · + 0.~bn ) = 0.~v1 + · · · + 1.~vi + · · · + 0.~vn = ~vi. Sea T 0 una transformaci´on lineal tal que T 0(~bi ) = ~vi , 1 ≤ i ≤ n. Cualquiera sea ~v ∈ V, ~v = α1 .~b1 + α2.~b2 + · · · + αn .~bn , por lo tanto T 0(~v) = α1.T 0(~b1) + α2 .T 0(~b2 ) + · · · + αn .T 0(~bn ) = α1 .~v1 + α2 .~v2 + · · · + αn .~vn = T (~v). Luego T = T 0.

2

Entonces concluimos que para conocer a una transformaci´on lineal basta con conocer los efectos de la misma sobre los vectores de una base. Ejemplo Sean V = R3 , W = R2, B = {(1, −1, 0) , (0, 1, 1) , (0, 1, 0)} una base de R3 y S = ´nica transformaci´on lineal T : R3 −→ R2 tal que {(1, −1) , (0, 1) , (3, 1)} ⊆ R2 . Hallar la u T (1, −1, 0) = (1, −1), T (0, 1, 1) = (0, 1) y T (0, 1, 0) = (3, 1). A partir del teorema anterior obtenemos que: (x, y, z) = x (1, −1, 0) + z (0, 1, 1) + (x + y − z)(0, 1, 0). Por lo tanto T (x, y, z) = x T (1, −1, 0) + z T (0, 1, 1) + (x + y − z) T (0, 1, 0) = x (1, −1) + z (0, 1) + (x + y − z)(3, 1) = (4 x + 3 y − 3 z, y).

8.2

Matriz asociada a una transformaci´ on lineal

Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´on n, W un R-espacio vectorial de dimensi´on m, B = {~b1 , ~b2, . . . , ~bn } una base ordenada de V y B 0 = {b~01 , b~02, . . . , b~0m } una base ordenada de W . Como toda transformaci´on lineal T : V −→ W queda determinada por su efecto sobre los vectores de una base de V, se tiene que T (~bj ) = a1j .b~01 + a2j .b~02 + · · · + amj .b~0m ; 1 ≤ j ≤ n,   a1j  a2j  h i   lo que implica que T (~bj ) =  ..  ; 1 ≤ j ≤ n. Entonces T queda determinada por B0  .  amj

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134

m · n escalares aij . La matriz A = (aij ) ∈ Mm×n (R) se denomina matriz de T respecto a las bases B y B 0 , se nota [T ]BB 0 y se tiene que   [T ]BB 0 = [T (~b1)]B 0 [T (~b2)]B 0 · · · [T (~bn)]B 0 Adem´as, [T (~v)]B 0 = [T ]BB 0 · [~v]B Rec´ıprocamente, si A = (aij ) ∈ Mm×n (R), la aplicaci´on T : V −→ W definida por T (~b1) = a11.b~01 + a21.b~02 + · · · + am1.b~0m , T (~b2) = a12.b~01 + a22.b~02 + · · · + am2.b~0m , . . . , T (~bn) = a1n .b~01 + a2n .b~02 + · · · + amn .b~0m, es una transformaci´on lineal. Como consecuencia, para cada par de bases B, B 0 de V y W respectivamente, existe una correspondencia biun´ıvoca entre el conjunto de las transformaciones lineales de V en W y Mm×n (R). Si V = W, B = B 0 y T : V −→ V es una transformaci´on lineal, [T ]BB se denomina la matriz de T respecto de la base B y para abreviar notamos: [T ]B . Se tiene entonces que: [T (~v)]B = [T ]B · [~v]B Ejemplos 1. Sean B = {~b1, ~b2 , ~b3} , B 0 = {~b01 , ~b02, ~b03}, bases de R3 y T : R3 −→ R3 la transformaci´on lineal definida por T (~b1) = ~b01 + ~b02 − 3.~b03 , T (~b2) = ~b01 − 2.~b03 y T (~b3) = 3.~b01 + 2.~b02. Entonces   1 1 3 [T ]BB 0 =  1 0 2  −3 −2 0 2. Sea T : R3 −→ R3 la transformaci´on lineal definida por T (x, y, z) = (x − y, x + z, 2 x). Queremos hallar la matriz de T con respecto a la base can´onica de R3 . T (1, 0, 0) = (1, 1, 2), T (0, 1, 0) = (−1, 0, 0) y T (0, 0, 1) = (0, 1, 0). Entonces: 

1 [T ]C =  1 2

−1 0 0

 0 1  0

Proposici´ on 8.2.1 Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´ on n, T : V −→ V transformaci´ on lineal, B y B 0 bases ordenadas de V, entonces: [T ]B 0 = [B]B 0 · [T ]B · [B 0]B

una

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135

Dem. Para todo ~v ∈ V se tiene que [T (~v)]B 0 = [B]B 0 · [T (~v)]B = [B]B 0 · ([T ]B · [~v]B ) = [B]B 0 · ([T ]B · ([B 0]B · [~v]B 0 )) = ([B]B 0 · [T ]B · [B 0]B ) · [~v]B 0 . Como [T (~v)]B 0 = [T ]B 0 · [~v]B 0 , resulta que [T ]B 0 · [~v]B 0 = ([B]B 0 · [T ]B · [B 0]B ) · [~v]B 0 Si B 0 = {~b01, ~b02, . . . , ~b0n }, reemplazando ~v sucesivamente por ~b01, ~b02 , . . . , ~b0n se obtiene la igualdad que queremos demostrar. Teniendo en cuenta que [B]B 0 = [B 0]−1 B , resulta que 0 [T ]B 0 = [B 0]−1 B · [T ]B · [B ]B

Los c´alculos se simplifican cuando B y B 0 son bases ortonormales pues en ese caso 0 T 0 T 0 [B 0]−1 B = [B ]B , de donde obtenemos que [T ]B 0 = [B ]B · [T ]B · [B ]B .

2

Ejemplos 1. Sea T : R3 −→ R3 la aplicaci´on que a cada punto del Espacio le hace corresponder su n x−y =0 sim´etrico respecto de la recta L : . z=0 Sabemos que T es una transformaci´on lineal, usando una base adecuada queremos hallar [T ]C . d~L , ~b2 es un versor Sea B = {~b1 , ~b2, ~b3 }, la base ortonormal de R3 , donde ~b1 = ~ kdL k 1 1 1 1 ortogonal a ~b1 y ~b3 = ~b1 ∧ ~b2 . B = {( √ , √ , 0), (0, 0, 1), ( √ , − √ , 0)}. 2 2 2 2 Como T (~b1) = ~b1 = 1.~b1 + 0.~b2 + 0.~b3 , T (~b2) = −~b2 = 0.~b1 + (−1).~b2 + 0.~b3 , y T (~b3) = −~b3 = 0.~b1 + 0.~b2 + (−1).~b3, entonces,   1 0 0 [T ]B =  0 −1 0  0 0 −1 Por otra parte, sabemos que: [T ]C = [B]C · [T ]B · [B]−1 C . Luego, reemplazando:         1 1 √0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 · 0 0  [T ]C = ·  1 √0 −1  ·  0 −1 0 2 = 1 0 2 0 0 −1 0 0 −1 0 2 0 1 −1 0 (

x=λ y = −λ , λ ∈ R, en forma paralela z=0 al plano π de ecuaci´on x + z + 1 = 0. Queremos hallar, usando una base adecuada, [T ]C .

2. Sea T : R3 −→ R3 la proyecci´on sobre la recta L :

Si T 0 : R3 −→ R3 es la proyecci´on ortogonal sobre el eje Z, entonces T 0(x, y, z) =

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

 0 0 0 (0, 0, z). Por lo tanto [T 0]C =  0 0 0  . Debemos hallar B = {~b1, ~b2 , ~b3} tal que 0 0 1   0 0 0 [T ]B = [T 0]C =  0 0 0  . Sea ~b3 = d~L = (1, −1, 0). Consideramos π 0 : x + z = 0, 0 0 1 paralelo a π por el origen de coordenadas y ~b1 = (0, 1, 0) y ~b2 = (1, 0, −1).   0 0 0 Si B = {~b1 , ~b2, ~b3}, entonces [T ]B =  0 0 0  . Luego [T ]C = [B]C · [T ]B · [B]−1 C = 0 0 1   1 0 1  −1 0 −1  . 0 0 0 Observaciones 1. En el ejemplo anterior la base adecuada no puede elegirse ortonormal. 2. En el caso de una rotaci´on la base adecuada debe tomarse con orientaci´on positiva, es decir det[B]C > 0.

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8.3

137

Ejercicios

1. Aplicar la definici´on e indicar cuales de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales: a) T : R2 −→ R2 que a cada punto P (x, y) del Plano le hace corresponder su proyecci´on ortogonal sobre el eje de las abscisas. b) T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (−z , x , y 2). c) T : R3 −→ R3 que a cada punto de coordenadas (x, y, z) del Espacio le hace corresponder su sim´etrico respecto al plano XZ. d) T : R3 −→ R3 que a cada punto de coordenadas (x, y, z) le hace corresponder su proyecci´on ortogonal sobre el eje Y . e) T : R3 −→ R3 que a cada punto de coordenadas (x, y, z) del Espacio le hace corresponder su sim´etrico respecto al eje Y . f) T : Mn (R) −→ R tal que T (A) = det A. g) T : M2 (R) −→ M2×1 (R) tal que T (A) = A ·



1 −1



.

h) T : Rn [X] −→ Rn [X] tal que T (P (X)) = P (X) + 1. 2. Hallar la expresi´on de T (~v) para todo vector ~v ∈ V , siendo: a) V = R2 , T : R2 −→ R2 tal que T (−1, 2) = (1, 0) y T (−1, 1) = (2, 3). b) V = R3 , T : R3 −→ R3 la transformaci´on lineal tal que T (−1, 1, 1) = (0, 0, 1), T (−1, −2, 1) = (0, 0, 0) y T (1, 1, 1) = (1, 1, 0). c) V = R3 , T : R3 −→ R3 es una transformaci´on lineal tal que T (1, 0, 0) = (2, 0, 0) y T (0, 1, 0) = (0, 3, 1). ¿ Es u ´nica ? Justificar la respuesta. 3. ¿ Existe alguna transformaci´on lineal T : R2 −→ R2 que verifique T (1, −1) = (1, 0), T (2, −1) = (0, 1) y T (3, −2) = (1, 2) ? Justificar la respuesta. 4.

a) Considerar las transformaciones lineales del ejercicio 1, incisos a) al e) y hallar la matriz de la transformaci´on respecto de la base can´onica. b) Hallar la matriz de la transformaci´on lineal del inciso a) del ejercicio 1, con respecto a la base B = {(−1, 2), (1, −1)} de R2. c) Idem para la transformaci´on lineal del inciso d) del ejercicio 1, con respecto a la base B = {(1, −1, 2), (0, 1, 0), (−2, 0, 1)} de R3.

5.

a) Hallar la matriz, respecto de las bases usuales de M2 (R) y R1 [X] de la transfora b . maci´on lineal T : R1[X] −→ M2 (R) tal que T (a X + b) = b a

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald 

−1  b) Sea A = 2 −1 base can´onica de

0 1 2 R3

138

 1 0  . Hallar la transformaci´on lineal que, con respecto a la 2 , tiene a A como matriz asociada.

6. Para cada una de las siguientes transformaciones lineales T : Rn −→ Rn , hallar la matriz de la transformaci´on con respecto a la base can´onica de Rn y usando esta matriz, hallar la matriz de T respecto a la base B indicada: a) n = 2, T (x, y) = (x − 2 y, −y), B = {(2, 1), (−3, 4)}. b) n = 3, T la aplicaci´on que a cada punto del Espacio le hace corresponder su proyecci´on ortogonal sobre el plano XY, B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. 7. Si B = {~b1, ~b2, ~b3 } es una base ordenada de E3 y T : E3 −→ E3 es una transformaci´on lineal tal que T (~b1) = ~b1 + ~b3 , T (~b2) = −~b2 y T (~b3) = −~b2 + ~b3, hallar [T ]B. 8. Sea T : R3 −→ R3 , la transformaci´on lineal definida por: T (1, 0, 0) + T (0, 1, 0)

=

(a, a + 1, 1)

T (1, 0, 0) + T (0, 0, 1)

=

(−1, a, 2)

T (0, 0, 1)

=

(−1, 0, 1)

Hallar A = [T ]C , y determinar los valores de a de modo que det A = 0. 9. Para cada una de las transformaciones lineales T : R3 −→ R3 hallar, usando base adecuada, la matriz de T con respecto a la base can´onica de R3 . a) T la aplicaci´on que a cada punto del Espacio le hace corresponder su proyecci´on ortogonal sobre el plano π : 2 x − y + z = 0. b) T

la aplicaci´on que a cada punto del Espacio le hace corresponder su sim´etrico x−y =0 respecto a la recta L : . y+z =0

c) T la simetr´ıa con respecto al plano π : x − y + z = 0, en forma paralela a la recta  x=1+λ L: y = 2 − λ , λ ∈ R.  z=0

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald

9

139

Autovalores y autovectores

9.1

Definici´ on y ejemplos

Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´on n y T : V −→ V una transformaci´on lineal. Queremos hallar, si es posible, una base ordenada B = {~b1 , ~b2, . . . , ~bn } tal que   λ1 0 · · · 0    0 λ2 · · · 0    ~ ~ ~ A = [T ]B = [T (b1)]B [T (b2)]B · · · [T (bn)]B =  .. ..  .. . .  . . .  . 0 0 · · · λn Es decir, queremos hallar una base ordenada B = {~b1, ~b2, . . . , ~bn } tal que T (~bi) = λi .~bi, para todo i, 1 ≤ i ≤ n. Nos interesa hallar vectores no nulos ~v, tales que T (~v) = λ.~v. En R2 y R3, buscamos vectores no nulos de modo que T (~v) y ~v sean paralelos ´o T (~v) = ~0. Definici´ on 9.1.1 Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´ on finita y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Un n´ umero real λ se dice un autovalor de T , si existe un vector no nulo ~v ∈ V tal que T (~v) = λ. ~v ; ~v se denomina un autovector asociado a λ. Ejemplos 1. Sea V = E2 y T la proyecci´on ortogonal sobre el eje X. ... ........ ... ... .......... ....... ....... ....... ....... ....... . ... ............. ... ... ... ... .. .... . . ... ... ... ... .. ... .. .. ... ... . . ... ... .. ... . .. . . ... . ... .. ... .. .. ... . . . ... ... ... ... .. . .. . ... . . ... ... .. ... .. .. . . ... ... ... ... .. ... . .. .. ... . ... ... ... .. .. ... ..... .... ... ... ... .. . . . . ..................................................................................................................................................................................................................................................... .... .. ... ...

rP

Y

−→ OP

O

−→ T (OP )

r

X

Figura 53 −→ −→ −→ Si P 6= O se halla sobre el eje X, entonces T (OP ) = OP = 1.OP . Por lo tanto −→ λ = 1 es un autovalor de T y ~v = OP es un autovector asociado. −→ −→ Si P 6= O se halla sobre el eje Y, T (OP ) = ~0 = 0.OP y entonces λ = 0 es un −→ autovalor de T con autovector asociado OP . 2. Sea V = E3 y T la simetr´ıa respecto al plano XY . −→ −→ −→ Si P 6= O pertenece al plano XY, entonces T (OP ) = OP = 1.OP , de donde se −→ deduce que λ = 1 es un autovalor de T , con autovector asociado OP .

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140

−→ −→ −→ Si P 6= O pertenece al eje Z, entonces T (OP ) = −OP = (−1).OP , por lo tanto −→ λ = −1 es autovalor de T y OP es un autovector asociado. ... ........ .. ... ... .... .. ... .... .. ... .... .. ... ... 0 ............ ....... .. ....... ... ....... .... ...... 0 0 0 .. ........... ... . .... .. .... .... .. . .. . . ... ... .... .. .... .... .... .. ... ... ... ....... .. ... ..... ... 0 ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................... . . . . . . . . . .. ..... .... .... .. ... ..... . .... .... .... . . . . . . . . . .... . .. .. ... ... .. . ..... . .. ..... .. . .. . ...... ........ ....... ....... ........ ......... ....... ................. 0 .. ..... . . . . . . .. .... ..... .. . ..... .. ... ..... ... .. ..... .. .. ..... . . . . . .. ... ..... .. ..... . ..... . . . . . .. .. ... . . . . . . . .. .. ........ .. ....... 0 ... ....... .. .. .. . . ....... .. .. . . .. .. ....... ... ................... .... ... 0 0 0 . ... ..

Z

z

r P (x

,y ,z )

y

O

Y

x

X

−z

r

T (P )(x , y , −z )

Figura 54 Proposici´ on 9.1.1 Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´ on finita y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Si ~v ∈ V es un autovector de T asociado a λ y λ0 , entonces λ = λ0 . Dem. Si T (~v) = λ.~v = λ0 .~v, entonces (λ − λ0 ).~v = ~0 y como ~v 6= ~0 se tiene que λ − λ0 = 0 y en consecuencia λ = λ0 . 2 Proposici´ on 9.1.2 Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´ on finita y T : V −→ V transformaci´ on lineal. Entonces Vλ = {~v ∈ V : T (~v) = λ.~v} es un subespacio de V. Dem. Ejercicio a cargo del lector.

9.2

una 2

C´ alculo de autovalores y autovectores

Proposici´ on 9.2.1 Si V es un R-espacio vectorial de dimensi´ on n, T : V −→ V una transformaci´ on lineal y A = [T ]B , donde B es una base ordenada de V entonces λ ∈ R es un autovalor de T si, y s´ olo si det (A − λ · In ) = 0. Dem. Sea ~v un autovector asociado a λ. Si (~v )B = (x1 , x2, . . . , xn ) se tiene que:               x1 x1 x1 x1 x1 0 0  x2   x2   x2   0   x2   x2   0               A·  ...  = λ· ...  =⇒ A· ...  − λ· ...  =  ...  =⇒ (A − λ·In )· ...  =  ...  , 0 0 xn xn xn xn xn

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141

luego el sistema de ecuaciones lineales homog´eneo:     X1 0  X2   0     (A − λ · In ) ·   ...  =  ...  (∗) 0 Xn tiene soluci´on no trivial y por lo tanto la matriz de los coeficientes tiene determinante nulo, es decir, det (A − λ · In ) = 0. Rec´ıprocamente, si det (A − λ · In ) = 0, el sistema (∗) es compatible indeterminado y posee una soluci´on no nula (x1 , x2, . . . , xn ). Tomando ~v ∈ V tal que (~v)B = (x1 , x2, . . . , xn ), se tiene que ~v es un autovector asociado a λ. 2 Por lo tanto, si T : V −→ V es una transformaci´on lineal y A = (aij ) = [T ]B , donde B es una base ordenada de V entonces: a11 − λ a · · · a 12 1n a21 a22 − λ · · · a2n • λ es un autovalor de T ⇔ det (A − λ · In ) = = 0. .. .. .. .. . . . . an1 an2 · · · ann − λ Es decir, λ es autovalor de T si, y s´olo si λ es ra´ız del polinomio det (A − X · In ).

• ~v es autovector de T asociado λ si (~v)B = (x1, x2, . . . , xn ) es soluci´on no trivial del  a  X1 0  X2   0     sistema (A − λ · In ) ·   ...  =  ...  , es decir un vector no nulo de Vλ . Xn

0

Teorema 9.2.1 Sea V un R-espacio vectorial de dimensi´ on n, T : V −→ V una transformaci´ on lineal, A = [T ]B y A0 = [T ]B 0 ; con B y B 0 bases ordenadas de V . Entonces det (A − x · In ) = det (A0 − x · In ). Dem. Si D = [B 0]B , entonces det (A − x · In ) = det (D · A0 · D−1 − x · In ) = det [D ·A0 ·D−1 − D ·(x·In )·D−1 ] = det [D ·(A0 −x·In)·D−1 ] = det D det (A0 −x·In ) det D−1 = 2 det (A0 − x · In ). El teorema 9.2.1 nos permite concluir que los autovalores de una transformaci´on lineal T no dependen de la base elegida para representarla. Al polinomio det (A − X · In ) se lo denomina polinomio caracter´ıstico de T . Ejemplos 2

2

1. Sea T : R −→ R



0 −1 1 0



tal que A = [T ]C = . −x −1 = x2 + 1. Como x2 + 1 = 0 no tiene soluci´on real, T no det (A − x · I2) = 1 −x posee autovalores.

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142



 3 1 −1 2. Sea T : R3 −→ R3 tal que A = [T ]C =  2 2 −1  . 0 2 2 3 −x 1 −1 2 − x −1 = −(x − 1)(x − 2)2 . Los autovalores de T son: det (A − x · I3) = 2 2 2 −x λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2. • Autovectores asociados al autovalor 1         2 1 −1 x 0 2 x + y − z = 0 2x + y − z = 0  2 1 −1  ·  y  =  0  =⇒ =⇒ . 2x + 2y − z = 0 y=0 2 2 −1 z 0 Luego V1 = {(x, y, z) : y = 0, z = 2 x} = {(x, 0, 2 x) : x ∈ R}. • Autovectores asociados al autovalor 2       (x + y − z = 0  x 0 1 1 −1 x + y − z=0  2 0 −1  ·  y  =  0  =⇒ 2 x − z = 0 =⇒ . −2 y + z = 0 2x + 2y − 2z = 0 2 2 −2 z 0 Entonces V2 = {(y, y, 2 y) : y ∈ R}. Obsevemos que en este caso, no es posible hallar una base de R3 formada por autovectores. Definici´ on 9.2.1 Una transformaci´ on lineal T : V −→ V se dice diagonalizable si existe una base B de V formada por autovectores de T .   λ1 0 0 La definici´on anterior implica que si T es diagonalizable, [T ]B =  0 λ2 0  . 0 0 λ3 Ejemplo T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (−y − z, x + 2 y + z, x + 2 y + z), es una transformaci´on lineal.   0 −1 −1 2 1  . Como det (A − x · I3) = −x(x − 2)(x − 1), los autovalores Sea A = [T ]C =  1 1 2 1 de T son : λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = 1. • Autovectores asociados al autovalor 0        0 −1 −1 x 0 −y − z = 0  1      =⇒ z = −y , x = −y. 2 1 · y = 0 =⇒ x + 2y + z = 0 1 2 1 z 0 Obtenemos as´ı V0 = {(−y, y, −y) : y ∈ R} = {(1, −1, 1)}.

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143

• Autovectores asociados al autovalor 2       ( −2 x − y − z = 0  −2 −1 −1 0 x −2 x − y − z = 0  1 0 1  ·  y  =  0  =⇒ x + z = 0 =⇒ . −y + z = 0 x + 2y − z = 0 0 z 1 2 −1 Entonces V2 = {(−z, z, z) : z ∈ R} = {(1, −1, −1)}. • Autovectores asociados al autovalor 1         0 x −1 −1 −1 x + y + z=0 x + y + z=0      1  1 1 =⇒ . · y = 0 =⇒ x + 2y = 0 y−z =0 1 2 0 0 z V1 = {(−2 y, y, y) : y ∈ R} = {(−2, 1, 1)}. B = {~b1, ~b2 , ~b3} = {(1, −1, 1), (1, −1, −1), (−2, 1, 1)} es una base ordenada de R3 y se verifica que: T (~b1) = 0.~b1 = 0.~b1 + 0.~b2 + 0.~b3 T (~b2) = 2.~b2 = 0.~b1 + 2.~b2 + 0.~b3 T (~b3) = ~b3 = 0.~b1  0 Por lo tanto T es diagonalizable y [T ]B =  0 0

+ 0.~b2 + 1.~b3  0 0 2 0. 0 1

Si se hubiera considerado la base B 0 = {(1, −1, −1),  2 0  [T ]B 0 = 0 0 0 0

(1, −1, 1) (−2, 1, 1)} entonces  0 0 1

Proposici´ on 9.2.2 Si T : R3 −→ R3 es una transformaci´ on lineal, entonces a dos autovalores distintos les corresponden autovectores linealmente independientes. Dem. Si λ1 y λ2 , λ1 6= λ2 , son autovalores de T, con autovectores asociados b~1 , b~2 respectivamente, entonces T (b~1) = λ1 .b~1 y T (b~2) = λ2 .b~2 . Si α.b~1 + β.b~2 = ~0, entonces ~0 = T (α.b~1 + β.b~2) = α.T (b~1) + β.T (b~2) = α.(λ1 .b~1) + β.(λ2.b~2) = (−λ1 β).b~2 + (β λ2 ).b~2 = (λ2 − λ1 ) β.b~2. Como λ2 − λ1 6= 0 y b~2 6= ~0 se tiene que β = 0 lo que implica α.b~1 = ~0 y en consecuencia 2 α = 0, pues b~1 6= ~0. Por lo tanto {b~1 , b~2 } es linealmente independiente. Proposici´ on 9.2.3 Si T : R3 −→ R3 es una transformaci´ on lineal con autovalores λ1 , λ2 , ~ λ3 , distintos dos a dos, y autovectores asociados b1 , b~2 , b~3 respectivamente, entonces {b~1 , b~2 , b~3} es linealmente independiente.

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144

Dem. Como λ1 6= λ2 entonces {b~1 , b~2} es linealmente independiente. Para probar la proposici´on basta ver que b~3 no es combinaci´on lineal de b~1 y b~2 . Supongamos que b~3 = α.b~1 + β.b~2, entonces λ3 .b~3 = T (b~3) = T (α.b~1 + β.b~2) = α.T (b~1) + β.T (b~2) = α.(λ1 .b~1) + β.(λ2.b~2), por lo tanto λ3 .(α.b~1 + β.b~2) = (α λ1 ).b~1 + (β λ2 ).b~2. Se tiene entonces que (α λ3 ).b~1 + (β λ3 ).b~2 = (α λ1 ).b~1 + (β λ2 ).b~2. Como {b~1 , b~2 } es linealmente independiente entonces   α(λ1 − λ3 ) = 0 α λ3 = α λ 1 , como λ1 − λ3 6= 0 y λ3 − λ2 6= 0. debe , esto implica que β λ3 = β λ2 β(λ3 − λ2 ) = 0 ser α = β = 0. 2 Entonces b~3 = ~0, contradiciendo la hip´otesis de que b~3 es un autovector de T . Corolario 9.2.1 Si T : R3 −→ R3 es una transformaci´ on lineal con autovalores λ1 , λ2 , λ3 , distintos dos a dos, entonces existe una base ordenada B formada por autovectores y por consiguiente T es diagonalizable. Dem. Si b~1 , b~2 , b~3 son los autovectores correspondientes a λ1 , λ2 y λ3 , entonces   λ1 0 0 B = {b~1 , b~2 , b~3} es base de R3 y [T ]B =  0 λ2 0 . 0 0 λ3

2

Observaci´ on 3 Si T : R −→ R3 es una transformaci´on lineal con autovalores λ1 6= λ2 = λ3 , nada podemos asegurar de su diagonalizaci´on, como lo demuestran los siguientes ejemplos:   1 1 0 0 . 1. Sea T : R3 −→ R3 tal que A = [T ]C =  0 1 0 0 −1 Como det (A − x · I3) = −(x − 1)2 (x + 1), resulta que λ1 = −1 y λ2 = λ3 = 1 son autovalores de T .       2 1 0 x 0 • Si λ = −1, entonces  0 2 0  ·  y  =  0  implica que: 0 0 0 z 0  2 x+y = 0 ⇒ x = y = 0. Por lo tanto V−1 = {(0, 0, z) : z ∈ R}. 2y = 0       0 1 0 0 x n y=0       0 0 0 . · y = 0 ⇒ • Si λ = 1, entonces z=0 0 0 −2 0 z Por lo tanto V1 = {(x, 0, 0) : x ∈ R}. Entonces T no es diagonalizable pues no se puede elegir una base formada por autovectores.

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145



2. Sea T : R3 −→ R3

 1 0 0 tal que A = [T ]C =  0 1 −1  . 0 0 −1

Entonces det (A − x · I3) = −(x + 1)(x − 1)2 = 0 implica que λ1 = −1, λ2 = λ3 = 1 son los autovalores de T .        2 0 0 0 x 2x=0       . · y = 0 ⇒ 0 2 −1 • Si λ = −1, entonces 2y−z =0 0 z 0 0 0 Por lo tanto V−1 = {(0, y, 2 y) : y ∈ R} .       0 0 0 x 0 • Si λ = 1, entonces  0 0 −1  ·  y  =  0  ⇒ z = 0. 0 0 −2 z 0 Entonces V1 = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.

 −1 0 0 Si se considera B = {(0, 1, 2), (1, 0, 0), (0, 1, 0)} se tiene que [T ]B =  0 1 0  . 0 0 1

9.3



Transformaciones lineales sim´ etricas

Definici´ on 9.3.1 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno de dimensi´ on finita, T : V −→ V una transformaci´ on lineal y B una base ortonormal de V . T se dice una transformaci´ on lineal sim´ etrica si [T ]B es sim´etrica. Observaci´ on 0 Si B es una base ortonormal de V, B 0 6= B y T es transformaci´on lineal sim´etrica, entonces [T ]B 0 es una matriz sim´etrica. En lo que sigue consideraremos V = R3 , con el producto interno can´onico. Entre las m´as importantes propiedades de las transformaciones lineales sim´etricas, cuya demostraci´on se puede consultar en el Ap´endice, se encuentran: a) Todas las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son reales. b) h T (~u) , ~v i = h ~u , T (~v) i, para todo ~u, ~v ∈ V. c) A autovalores distintos corresponden autovectores ortogonales. Los resultados anteriores permiten caracterizar a las transformaciones lineales sim´etricas como sigue: T es una transformaci´ on lineal sim´ etrica si y s´ olo si es diagonalizable en una base ortonormal.

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald Ejemplos 1. Sea T : R3 −→ R3

146



 −2 0 −36 tal que A = [T ]C =  0 −3 0 . −36 0 −23

Como C en una base ortonormal y [T ]C es sim´etrica entonces T es transformaci´on lineal sim´etrica. Calculemos los autovalores y una base ortonormal B, formada por autovectores, con respecto a la cual [T ]B es diagonal. −2 − x 0 −36 = (−3 − x)(x2 + 25 x − 1250). det (A − x · I3) = 0 −3 − x 0 −36 0 −23 − x Son autovalores: λ1 = −3, λ2 = 25, λ3 = −50. • Autovectores asociados a λ = −3       1 0 −36 x 0 n x − 36 z = 0      0 0 0 · y = 0  =⇒ =⇒ x = z = 0. −36 x − 20 z = 0 −36 0 −20 z 0 V−3 == {(0, y, 0) : y ∈ R} = {(0, 1, 0)} . Considero a ~b1 = (0, 1, 0) como autovector asociado al autovalor −3. • Autovectores asociados a λ = 25       ( −27 0 −36 x 0 −27 x − 36 z = 0 4  0 −28 0  ·  y  =  0  =⇒ −28 y = 0 =⇒ y = 0 , x = − z. 3 −36 0 −48 z 0 −36 x − 48 z = 0 4 Por lo tanto V25 = {(− z, 0, z) : z ∈ R } = {(−4, 0, 3)}. Sea ~b2 = (−4/5 , 0 , 3/5) un 3 autovector asociado a λ = 25. • Autovectores asociados a λ = −50       ( x 0 48 0 −36 48 x − 36 z = 0       0 47 0 · y = 0 =⇒ 47 y = 0 =⇒ y = 0 , −36 0 27 z 0 −36 x + 27 z = 0

z=

4 x, 3

4 entonces V−50 = {(x, 0, x) : x ∈ R }. Sea ~b3 = (3/5 , 0 , 4/5) un autovector asociado 3 a λ = −50. B = {~b1, ~b2 , ~b3} = {(0, 1, 0) , (−4/5, 0, 3/5) , (3/5, 0, 4/5)} es una base ortonormal de R3 y   −3 0 0 0  [T ]B =  0 25 0 0 −50

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147



2. Sea T : R3 −→ R3

 4 2 2 tal que [T ]C =  2 4 2  . 2 2 4

Por lo enunciado anteriormente T es una transformaci´on lineal sim´etrica, y por lo tanto existe una base ortonormal B tal que [T ]B es diagonal. 4 −x 2 2 4 −x 2 = −(x − 2)2 (x − 8) = 0 =⇒ λ1 = 8, det (A − x · I3) = 2 2 2 4 −x λ2 = λ3 = 2 son autovalores de T . • Autovectores asociados a λ = 8       ( −2 x + y + z = 0  −4 2 2 x 0 x − 2y + z = 0  2 −4      2 · y = 0 =⇒ x − 2 y + z = 0 =⇒ −3 y + 3 z = 0 x + y − 2z = 0 2 2 −4 z 0 =⇒ y = z = x, por lo tanto V8 = {(z, z, z) : z ∈ R} = {(1, 1, 1)} . 1 1 1 Sea ~b1 = ( √ , √ , √ ). 3 3 3 • Autovectores asociados a λ = 2       2 2 2 x 0  2 2 2  ·  y  =  0  =⇒ x + y + z = 0 =⇒ V2 = {(x, y, −x − y) : x, y ∈ R}. 2 2 2 z 0 ~b2 = ( √1 , 0, − √1 ), es un autovector asociado al autovalor 2. Para completar la base 2 2 1 2 1 debemos hallar ~b3 ∈ V2 tal que k~b3 k = 1. ~b3 = ~b1 ∧ ~b2 = (− √ , √ , − √ ), verifica lo 6 6 6 ~ ~ ~ pedido. Por lo tanto B = {b1, b2, b3 } es una base ortonormal y   8 0 0 [T ]B =  0 2 0  0 0 2 on lineal no sim´etrica tal que sus Proposici´ on 9.3.1 Sea T : R3 −→ R3 una transformaci´ autovalores son λ1 = λ2 = λ3 . Entonces T no es diagonalizable. Dem. Si T fuese diagonalizable existir´ıa una base B tal que [T ]B = λ1 · I3. Entonces −1 [T ]C = [B]C · [T ]B · [B]−1 C = [B]C · (λ1 · I3 ) · [B]C = λ1 · I3 ,

que es una matriz sim´etrica, de donde se deduce que T es una transformaci´on lineal sim´etrica, contradiciendo la hip´otesis. 2

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9.4

148

Ejercicios

1. Indicar, haciendo uso de un gr´afico, cuales son los autovalores y los autovectores de las siguientes transformaciones lineales T : Rn −→ Rn : a) n = 3 y T la proyecci´on ortogonal sobre un plano que pasa por el origen. b) n = 2 y T la proyecci´on ortogonal sobre una recta que pasa por el origen. c) n = 3 y T la proyecci´on ortogonal sobre una recta que pasa por el origen. d) n = 3 y T la simetr´ıa respecto de un plano que pasa por el origen. e) n = 2 y T el sim´etrico respecto de una recta que pasa por el origen. f) n = 3 y T la rotaci´on alrededor de una recta que pasa por el origen. 2. Si cada una de las matrices siguientes es la matriz asociada a una transformaci´on lineal T respecto a la base C, hallar los autovalores reales y los correspondientes autovectores asociados:         4 6 6 0 1 1 0 −1 −12 7 3 2  ; ;  0 2 1  ;  1 2 0 −7 2 −1 −5 −2 0 0 1        0 −1 −1 1 1 0 1 1 0 1 1 1  0 1 1  ;  0 1 1  ;  0 0 0  ;  −2 1 −1  −2 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 

3. Hallar los autovalores y los correspondientes autovectores de cada una de las siguientes transformaciones lineales: a) T : Rn −→ Rn ; T =O. b) T : Rn −→ Rn ; T = IdRn . c) T : R2 −→ R2 ; T (x, y) = (−2 x − 2 y , −5 x + y). d) T : R3 −→ R3 ; T (x, y, z) = (x + y + z , x + y , −z). 4. Hallar todos los valores de k ∈ R, de modo que λ = 9 sea autovalor doble de la transformaci´on lineal T : R3 −→ R3 definida por T (x, y, z) = (k 2 x−2 y , 7 y , 5 y +9 z). 5. Determinar para que transformaciones lineales, correspondientes a los ejercicios 1 y 2, existe una base B tal que [T ]B es diagonal. Indicar claramente B y [T ]B . 6. De una transformaci´on lineal T : R2 −→ R2 se sabe que ~v = (1, 1) es un autovector de T asociado a λ = 2 y que T (0, 1) = (1, 2). a) Hallar [T ]C . b) Hallar, si es posible, una base respecto de la cual la matriz de T sea diagonal.

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149

7. Sabiendo que la transformaci´on lineal T : R2 −→ R2 posee a ~v1 = (1, 2) y a v~2 = (3, 1) como autovectores y que T (5, −5) = (2, −1), hallar los autovalores de T y [T ]C . ¿ Es T diagonalizable ? 8. Cada una de las siguientes matrices es la matriz asociada a una transformaci´on lineal sim´etrica con respecto a la base can´onica. Hallar una base ortonormal B tal que la matriz de la transformaci´on con respecto a la misma sea diagonal.         1 −1 −1 3 4 2 1 1 −1 , , ,  −1 1 −1  4 −3 1 2 −1 1 −1 −1 1      1 −1 0 0 0 1 2 0 1  0 1 0  ,  −1 2 −1  ,  0 1 0  . 1 0 2 0 −1 1 1 0 0 

9. Definir una transformaci´on lineal T : R4 −→ R4 de modo que 0 sea un autovalor doble asociado a v~1 = (2, 1, 0, 0) y a v~2 = (0, 1, 0, 1) y sus otros autovalores sean 3 y −1. ¿ Es ~u = (−2, 2, 0, 3) un autovector de T ? 10. Definir una transformaci´on lineal T : R3 −→ R3 que tenga autovalores 1 y −1, de modo que V1 = {(x, y, z) : 2 x − y + z = 0 } y V−1 = {(−2 z, 0, z) : z ∈ R}. 11. Sea B = {(1, 1, 1) , (1, −1, 0) , (1, 1, 0)} una base de R3 y T : R3 −→ R3 tal que   −1 0 0 [T ]B =  0 1 0 . 0 0 −1 a) Indicar los autovalores y los autovectores de T . b) ¿ Es una transformaci´on lineal sim´etrica ?  3 0 −1 12. Sea T : R3 −→ R3 la transformaci´on lineal tal que [T ]C =  0 b −3  y 0 0 −1 ~v = (7, 2, 0), un autovector de T asociado a λ = 3. 

a) Hallar b. b) Calcular todos los autovalores de T y los respectivos autovectores. c) ¿ Es T diagonalizable ? En caso afirmativo mostrar claramente B y [T ]B . ¿ Es T diagonalizable en una base ortonormal ? Justificar la respuesta.

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10 10.1

150

C´ onicas y Cu´ adricas C´ onicas

Estudiaremos someramente un grupo de curvas que los griegos denominaron c´onicas. Son ellas: la elipse (y como caso particular la circunferencia), la hip´ erbola y la par´ abola. Los matem´aticos griegos consideraron un cono circular e intentaron describir todas las curvas obtenidas al intersectar el cono con un plano. Si el plano no pasa por el v´ertice, se obtienen las c´onicas propiamente dichas: ........................................................... ............. ........ ........ ..... ..... ... ...... . ...... ..... ..... .... . . . . .............. . . . . ... ........................................................................ . ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ......... ... ........ .... ... .. ............. .. ... . ... ... .............. . ... ... ......... ... ............... . ... .... ....... . . . . . . . ... ..... ... .... . . . . . ... . . ..... . .... . . . . . . . . . . ... .... . . . ..... . . . . . . . . ....... .... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... .... . ... . ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ....... ... ... ......... ..... . .............. ...... ... ... .. ........ ... ....... ................... .. ........ ..... . . . . . ... . ... ... ... ... ....... .. ... ....... .. ... .. ..................... .... .... .... .... .... ..... ... .... ..... ... ........................ . ... . ... ............ .. . . . ..... ... ...... . .. ................ ... ..... ... ........ .... . . . . . . . ............. ...........................................................

Elipse

................................................................ ............ ....... ....... .... .. .... ..... .. ...... .... ..... ...... . . . . . . . . ............... ... ... ..................................................................... ... ... ... ... ... .. ... .... .... ................................................................. ... . . . .. .. ... ... .. ... .. .. .. ... .. .. . . . . . . ... . .. .. ... . .. .. ..... ... .. .. ...... ... .. .. .... .... . . .. ... ...... .. ... ... ... .. ... ... ..... .. .. .. ... . . . . . ... ... .. ... . .. ... ... ...... .. .. .. .. .... ....... .. .. ... .. .. . . . . . . . . . . . . .. .. ... .. .. ... ... .. .. ... ... .. .. .... ... ... . . .. .. ... ... ... .... ... .. ... ... . . . . . . . . . . . .... .... .... .... .... ....... . .... ... ..... ..... .... .... ... ........ ........ ........... ............ ... .......... .. .. ..... .. ... ....... .... ... . . .. . .. .... .... ... . . . . ... . .... ...... .. .. ....... .. ........... ............................................................................. ............

Par´abola

........... .. .... ... ..... .................................... . . . . . . . . . . ...... ................. . . . .. . . . .. .... ........ ........ . . . . . ... . . ... ... ..... ... . . ... ... .. ..... . .... . .. . .. . ... ...... ...... . . .... .......... ..... .. ... . . . ............. . . . . . . .. .................... ... ........................... . . . . ...... . ........................ .... ... ... ........ ...... ... ... ... ... ......... .... ... .. .. .... . ... . . ... . ... ... . ... . . ... .. . ... . . ... . ... .. ...... . ... .. ... . ... . ..... . . .. ... .... .. . ... . . ..... .... ... ... .. ..... ... ... .... .... .... .... .... .... ..... ... ... ..... . . ... . . . ... ... ....... . . ... . . ... . . ... .. .. ... . . ... ....... .... .. . . ... ... .. ..... . . . ..... ... ... ... ..... . ... .. . . .. ... . . . . . ... .. .... .... .... .... .... .... .......... .... ...... ..... . .. ... ..... . . .... . . . ... .. ... . . ... . . . . ... ... .. ..... ... . ... ... .. .... ... . ....... ... .... ..... .... ........... ... ................................................................. ... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ... .. ... ... ... ... ....

Hip´erbola

Figura 55 Si el plano pasa por el v´ertice del cono las posibles intersecciones ser´an: un punto, una recta o ...... un par de rectas; denominadas c´onicas degeneradas. .... ............................... ............... ... ... ...... ... ....... ............................................ ............................................ .... ................... .......... ................... .............. .... ......... ......... ..... ...... . . . . . . . . . . . . .... ... .. .. ... .... .... ...... ...... . . ... . . .... . . . . . . ... .. ...... .... . . .... . . . . . . . . . . . . ....... ........ .... ... . ............ . . . . . ............... . . . . . . . . . . . ... ....................... ............. ... ... ............................................................... .... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. .. . ... . . . . . . . ... ... . . ... . . . . . . . . . . ... ... . .. . .. . . . . ... . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .. .. ... .. ... .. .. ... ... ...................................... . . .............................................................. . . . . . ... ... .. ... . .. ... ... .. ..... ... ... .. .. ... ... ... ... ..... .. .. .. .. ... .... .. ... ..... .... .. .. . . . . . . . . . .. . .. ..... .. ... ..... ... .. ... ... ... . ... ... .. ... .. .. .. .... ... .. .. .. .. ... ... . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . .. .. .. ... ... ... ...................................................................................................................................................................................... .. .. ... ... ... .... .. ... ... ... ... .. .. . . . .. . . . . . . . . . . ... .. .. ... ... ....... .. ... ... ... ... ..... ... ... ... .. ... ... ... ... .. . .. . . .. .... .... .... .... .... .... .... ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... .. .... . ... .... ... . ... . .... .... ... .. ....... ... ..... .. .......... . ....... . . .... . . . . . . . . ... . .... ......... .... .... ... .. .... .... .. .. .. .... .. ... . . ... . . . ....... . . . ... .... . .... ...... . . . . ............ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... .... . .. .......................................................... ........................................... .. .. ... ... ... .. .. ... .. .. . .. ... .. . ....

Punto

Recta

Figura 56

................ ... ... ... . . .. .... .... .... .... .... .... .... .... ......... .......... .. . ... ........ . . . . .. . ... ... .... ....... . ... ... .. .. .. ... .. .. ... .. ...... .. .. ................. ................ . ...... ..................................................................... ... . ........ .. .. .... ... ... .... .... .... ... .. .... .. .... .. ... ... ..... ... .... .. . . . ... . ... .. .. ... ... .. ... ... ... ... ... . ... .... ... ... .. ... .... ..... ... . ... .... ...... ... ... ..... ... .... ......... .... .. ...... .. ... . ... ...... .... .... . .... ... ... .. . .... .... .. .. ... ... . .. . ... . ... . .... .. ... .. . ...... .. . .. .. .... .... ... . . .. .. ... .. .. .. .... ....... .. .. ... .. .. ..... ... ... .. ..... .. .. . .. .... . .... .. .... .... .... .... .... .... ........... .... .... . . .......... . ..... . ... . . . . . .. ....... .. .. ... ... . . . . . ... ...... . .. .... ... .... .. .. .... . .... .. . .... ..... .... ... . . . . . . . . . ....... .... .............. ............. . . ............................................................... ...... ...... .... ........ ..

Par de rectas

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Circunferencia Fijemos en el Plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonal (O, XY ). Consideremos C(x0, y0) un punto fijo y r ∈ R, r > 0. Definici´ on 10.1.1 Llamaremos circunferencia con centro C y radio r, al conjunto C de los puntos P del Plano cuya distancia a C es r. .. ..... ... ... .... ........................................ . ....... . .... ...... ...... ...... ...... ...... ............. ...... ...... ...... ...... ........... . . .. . ... . .... . ... ... .... .... ... .... .. . . .. . . . .. .. . . . ... .. ... . .. . .. .. ... .... .. ........ ...... ...... ...... ......... ...... ...... ...... ........... ...... . . . . ... . .. ... 0... .... .... ... ... ... . . . . .. . . . ... . . ... .. ... .. .... ... . ... ..... .... ... ...... .. ... ..... .... . . ....... . . . . ... . .................................... ... ... . .. .. . .... ... . ... ... ... .... ... ... . ... .... ... .. . . . ............................................................................................................................................................................................................. .... 0 ... ... .

Y

y

y

O

C

r

x

r

r P (x, y)

x

X

Figura 57 p P (x, y) ∈ C si, y s´olo si d(P, C) = r. Luego (x − x0 )2 + (y − y0)2 = r, y en consecuencia (x − x0 )2 + (y − y0)2 = r2 (∗). Si x0 = y0 = 0, el centro es el origen de coordenadas y la ecuaci´on toma la forma x2 + y 2 = r2 . Desarrollando (∗) obtenemos x2 + y 2 − 2 x0 x − 2 y0 y + x20 + y02 − r2 = 0. Si A = x0, B = y0 y C = x20 + y02 − r2 resulta x2 + y 2 − 2 A x − 2 B y + C = 0. Rec´ıprocamente, toda ecuaci´on del tipo x2 + y 2 − 2 A x − 2 B y + C = 0;√con A2 + B 2 − C > 0, es la ecuaci´on de una circunferencia con centro C(A, B) y radio r = A2 + B 2 − C. Basta “completar el cuadrado” y obtener (∗), donde x0 = A e y0 = B. Ejemplos 1. La ecuaci´on de la circunferencia de radio 4 y centro en C(1, −2) es (x−1)2 +(y+2)2 = 16. 1 2. Dada la circunferencia de ecuaci´on x2 + y 2 + 3 x + 5 y − = 0, queremos hallar las 2 coordenadas de su centro y su radio. √ 3 5 −2 A = 3 y −2 B = 5 =⇒ A = x0 = − , B = y0 = − y r = A2 + B 2 − C = 2 2 √ 5 3 9 = 3. Por lo tanto la circunferencia tiene centro C(− , − ) y radio 3. 2 2 Elipse Definici´ on 10.1.2 Llamaremos elipse al lugar geom´etrico E de los puntos del Plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, F1 y F2 , es constante y mayor que la distancia entre F1 y F2.

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Observaci´ on La suma de las distancias de un punto M a dos puntos fijos F1 y F2 nunca es menor que la distancia entre F1 y F2. La suma es igual a la distancia entre F1 y F2 si y s´olo si M pertenece al segmento F1F2 . La restricci´on respecto a la constante elimina esta posibilidad. Sea O el punto medio del segmento F1 F2. Como eje X consideremos la recta que contiene a los puntos F1, F2 y como eje Y , a la recta perpendicular a la anterior que contiene a O. Supongamos que F1 y F2 tienen, respectivamente, coordenadas (−c, 0) y (c, 0) , c ≥ 0 y llamemos 2 a, a > 0 a la constante. . ... ....... ... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ................ ............. . . . . . . . . . . . . . ............. ... . ......... . . . . . . . . ... . ......... ..................... ..... . . . . . . ........... .... ......... . . . . . ........... ...... . ........ . . . .... . . . . . . . . . . . . . . ...... . ....... .... ..... . . . . . . . . . . ..... . . . . . . ... . ................ .... .... . . . . ... . .... .......... ... . . . . . . . . . . . .... . . . . ... .. . ...... . . . .... . . . . . . . . . . . . . ... . ... ...... . . . . . . . . ... . . . . . . . . ... ... . ....... . . . . . . . . ... . . . . . . . . ... ....... . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . ... . . ...... . . .. . . . . . . . ... . . . . .... .. . ....... . . . . . . . . ... . . . . . .. .... . ........... . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... . ... .. .. . . .. .. . . . . .. 1 2 . ... .. . . ... ... ... ... ... ... .... ... ... .... .... .... . . . . . .... .... ..... .... ..... ...... ... ...... ........ ....... ... ......... ........ . . . . .......... . . . . . .......... ...... .... ............. .......... ................. .............. ... ............................. ................. ................................................................... ... ... .. ... ..

Y

M(x, y) r

r

F (−c, 0)

O

r

F (c, 0)

X

Figura 58 Sea M(x, y) ∈ E = {P : d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2 a}. Se tiene entonces que p p p p (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2 a =⇒ (x + c)2 + y 2 = 2 a − (x − c)2 + y 2 =⇒ p p (x + c)2 + y 2 = 4 a2 − 4 a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 =⇒ a2 − x c = a (x − c)2 + y 2 =⇒ (a2 − x c)2 = a2 [(x − c)2 + y 2] =⇒ a2 (a2 − c2 ) = (a2 − c2 ) x2 + a2 y 2.

(∗)

Como d(F1 , M) + d(F2 , M) = 2 a > d(F1 , F2) = 2 c se tiene que a > c ≥ 0 =⇒ a2 − c2 > 0. Sea b2 = a2 − c2 , reemplazando en (∗) obtenemos que a2 b2 = b2 x2 + a2 y 2 y dividiendo por a2 b2 resulta: x2 y2 (E) + =1; a≥b>0 a2 b2 que es una de las formas can´onicas de la ecuaci´on de la elipse. Los ejes X e Y se denominan los ejes de simetr´ıa de la elipse. Los segmentos A0A y B 0 B se denominan, respectivamente, el eje mayor y el eje menor de la elipse. Los segmentos OA y OB se llaman, respectivamente, el semieje mayor y el semieje menor y los n´ umeros a y b, son sus respectivas longitudes. Si a = b obtenemos le ecuaci´on de una circunferencia de radio a. La ecuaci´on (E) implica que |x| ≤ a e |y| ≤ b. Los cuatro puntos en que la

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153

elipse corta a los ejes se llaman v´ ertices y sus coordenadas son A0 (−a, 0), A(a, 0), B(0, b) y 0 B (0, −b). O se denomina el centro de la elipse. ... ....... ... .... .. ... .... .. ... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ............................................. . . . . . . .............. . . . . . ................ . . . . . . . . . . . ... ............ ........ . . . . . . . . . ........... . . .... ...... . ......... . . . . . .. . . ........ ..... . . . . . . ....... . . . . ..... ...... . . . . . . . . ..... ... . . . . . .... . ... . . .... . . . . .... .... ... . . . ... .. . . ... . . . .. ... . . . . ... . .. . . . .. .. .. .. . . 0... ... .... . .. . . ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ... . .. . . .. ... .. ... . . . .. ... .. ... .. ... ... ... ... ... .... .... . . . . . .... ... .... .... .... ..... ..... ... ..... ..... ...... ... ...... ....... . . . . . . . . ........ . ........ ......... ... ......... ........... ... ......... ............ ............. ................. ... ............... . . . ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................... .. . 0..... .. ...

Y Br       

Ar

b

r

O|

B

{z a

}

rA

X

r

Figura 59 Observaci´ on Si en los casos anteriores se considera como eje Y a la recta que pasa por los focos y como eje X su perpendicular por O obtendremos, por un procedimiento an´alogo, x2 y2 + =1; b≥a>0 a2 b2

(E 0 )

Ejemplo Hallar la ecuaci´on de una elipse con v´ertice en V (−1, 1), centro en O0 (3, −1) y tal que 1 c = . ¿ Cu´antas elipses existen en esas condiciones ? a 2 ... ........ .... .. .... .. ... .. .. ... 00 .. . ... . ... ... .. ... .. ... . . ... ... .. ... .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . ................... .. .................. ............ ... ........... ......... ... ... .............. ......... . ........... .. ........... . . . . . ..... . ...... .... .. .... ... ..... ... ... .... .... .. ... ... ....... .. .. ... .... ....... . . . . ........ ... ... . .. . . . ............ .... .... ... ... . . . ... •.. .. ... ..... .............. .... . .......... . .. . ... . . ... ............. .. ... ... . . .. .. .... .. .... ............. . .................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........ . .... .. .... ... ........ .. ~b2... ........ ....... ... .. ... ........ ... .. .... ....... ....... ... ... ............ .. ~ b ... .. ....... . .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .• 1 . . ........ . . .. . . .... . . . ... ........... . . . . . . . . . ... ....... ... . 0 . ........ . . .. .... . .. ....... .. . . . . . ........ .. .. . . . . . . . . . . ....... .. . . . . ... . . . . .... . ....... . .. ... ....... .. ... .. ........ ... .. ... ........ .... ... .. ....... . ... .... ......... ... ... .. .. ... .. ... .............. .... .. ...... ... ..... ... ......... ... . . .... ....... . ... 00 .... . . . ...... ... ....... .... ........ ....... .......... ........ ........... ......... . . . . . . . ....................... . . . . . .............................

Y

Y

1

3

−1 O −1

X

O

X

Figura 60

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154

−−→ Como V es un v´ertice y O0 es el centro de la elipse, entonces kV O0 k puede considerarse como la longitud del eje mayor ´o la longitud del eje menor. Luego existen dos elipses que verifican las condiciones del problema. √ −−→ Supongamos que a = kV O0 k = 20 es la longitud del semieje mayor. Como O0 (3, −1), necesitamos hallar una base ortonormal B de manera que en el sistema de coordenadas (O0 , X 00 Y 00), −−→0 VO 0 asociado a O y B, la elipse tenga ecuaci´on can´onica. Consideramos ~b1 = −−→ = kV O0 k √ √ √ √ (2/ 5 , −1/ 5) y ~b2 = (1/ 5 , 2/ 5). B = {~b1 , ~b2} es una base ortonormal y en el sistema x002 y 002 + 2 = 1. de coordenadas (O0 , X 00Y 00) asociado a O0 y B la elipse tiene ecuaci´on 20 b 002 002 1 y c x 2 2 2 2 = , entonces b = 15. Por lo tanto + = 1. Como c = a − b y a 2 20 15 Para hallar la ecuaci´on en el sistema (O, XY ) de partida consideramos las correspondientes f´ormulas de cambio de coordenadas: √   00     √  x x − x0 2/√5 −1/√5 x−3 T = [B]C = y 00 y − y0 y+1 1/ 5 2/ 5 2x −y − 7 x+ 2y −1 √ √ e y 00 = . Reemplazando y efectuando los 5 5 c´alculos se obtiene 16 x2 + 19 y 2 + 4 x y√− 92 x + 26 y − 149 = 0. An´alogamente, si consideramos a = 20 como la longitud del semieje menor obtenemos 24 x2 + 21 y 2 − 4 x y − 148 x + 54 y − 251 = 0. a a Si a > b, las rectas x = − y x = se llaman directrices de la elipse y cada una de ellas ε ε tiene la siguiente propiedad:

Se tiene entonces que x00 =

Si r es la distancia de un punto arbitrario de la elipse a un foco y d es la distancia del mismo r punto a la directriz, unilateral a este mismo foco, entonces = ε. d Observaci´ on c El n´ umero ε = se denomina la excentricidad de la elipse. Es claro que 0 ≤ ε < 1 y que a ε = 0 en el caso en que la elipse es una circunferencia. Hip´ erbola Definici´ on 10.1.3 Llamaremos hip´ erbola al lugar geom´etrico H de los puntos del Plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos, F1 y F2 , es constante en valor absoluto, menor que la distancia entre los focos y no nula. Observaci´ on La diferencia, en valor absoluto, entre las distancias de un punto M a dos puntos fijos F1 y F2, nunca es mayor que la distancia entre F1 y F2. La diferencia, en valor absoluto, es igual a la distancia entre F1 y F2 si M pertenece a la recta determinada por F1 y F2, pero no al segmento abierto F1F2 . La diferencia es nula si M equidista de F1 y F2 , es decir, si M

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pertenece a la recta perpendicular a la determinada por F1 y F2 por su punto medio. Estos casos han sido excluidos por la restricci´on dada a la constante. Sea (O, XY ) el sistema de coordenadas de la Figura 58 y los focos de H : F1(−c, 0), F2(c, 0) c > 0. Llamemos 2 a, a > 0 a la constante. . ... ....... .... ... ... ... ... ..... ... .. .... ..... ... .... ..... .... ... .... ..... . . . . . . .... ... .... .... .... ..... .... ... .... .... ... .... .... . . .... . . . .... .... .... .... ....... .... ... .................. ... ............... ..... ... ... .... ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . ....... .. .... .......................... ... ... .. .. . ............... .. .. ............... .... ... .. .. ............... . . . . . . . . . . . .. . . . ... . . . . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ... ... .. .. ... .. . . . . . . 1 2 .. .. .. .... ... ... ... .... .... .... ... ... . . . . . ... . .... .... .... .... .... .... .... .... .. .... .... . .... . . . . .... . .... . . . . .... . ... . . .... . . . .... ... . . . . . ..... . ... . . . ..... . . . ... .... . . . . ..... . .. . . . . . . . . .... ....

Y

r

M(x, y)

r

F (−c, 0)

O

r

F (c, 0)

X

Figura 61 Sea M(x, y) ∈ H = {P : | d(P, F1 ) − d(P, F2 ) |= 2 a}. Entonces obtenemos que p p (x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = ±2 a. Por un c´alculo an´alogo al caso anterior resulta: a4 + c2 x2 = a2 x2 + a2 c2 + a2 y 2 =⇒ x2(c2 − a2) − a2y 2 = a2(c2 − a2) (∗) Como 2 c = d(F1 , F2) > | d(F1 , M) − d(F2 , M) |= 2 a =⇒ c > a > 0 =⇒ c2 > a2 =⇒ c2 − a2 > 0. Sea b2 = c2 − a2, reemplazando en (∗) obtenemos x2 b2 − a2 y 2 = a2 b2. Dividiendo por a2 b2 resulta: (H)

y2 x2 − = 1 ; a > 0, b > 0 a2 b2

que es una de las formas can´onicas de la ecuaci´on de la hip´erbola. El eje X se denomina el eje de la hip´erbola. La ecuaci´on (H) implica que |x| ≥ a, luego la hip´erbola consta de dos partes, llamadas ramas. La hip´erbola intersecta a su eje en los puntos A0(−a, 0) y A(a, 0), llamados v´ ertices. O es el centro de la hip´erbola y los n´ umeros a y b las longitudes de sus semiejes. Si a = b la hip´erbola se dice equil´ atera. b Las diagonales del rect´angulo |x| ≤ a , |y| ≤ b son las rectas de ecuaci´on y = x e a b y = − x, que se denominan las as´ıntotas de la hip´erbola. a

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156

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Y

(

Ar

r

O

b

|

{z a

}r

A

X

Figura 62 Observaci´ on Si en los casos anteriores se considera a la recta que pasa por los focos como eje Y, y como eje X su perpendicular por O obtendremos, por un procedimiento an´alogo, (H0 )

y2 x2 − = 1 ; a > 0, b > 0 b2 a2

que es la otra forma can´onica de la ecuaci´on de la hip´erbola. Ejemplo Hallemos la ecuaci´on de la hip´erbola con v´ertices A0(−3, 4), A(1, −1) y foco F1(5, −6). Encontremos un sistema de coordenadas (O0 , X 00 Y 00) en el cual la c´onica tenga una ecuaci´on can´onica. Para esto, debemos hallar O0 y una base ortonormal B. Como A0 y A son los v´ertices de la hip´erbola es claro que O0 es el punto medio del segmento 3 A0A, es decir, O0 (−1, ). 2 00 Tomemos como eje X a la recta L : 5 x + 4 y − 1 = 0, que contiene a A0 y a A, como eje Y 00 elegimos la recta perpendicular a L que pasa por O0 .   4 5 5 4 Una base ortonormal adecuada es B = ( √ , − √ ) , ( √ , √ ) . Ver Figura 63 41 41 41 41 En el sistema (O0 , X 00Y 00 ) la hip´erbola tiene ecuaci´on eje X 00 .

x00 2 y 00 2 − 2 = 1, pues F1 pertenece al a2 b

2 41 41 369 d(A0 , A) y c2 = a2 + b2 = + b2. Como c2 = [d(O0 , F1)]2 = = Entonces a = 2 4 4 4 00 2 00 2 41 x 369 y − = 82. La ecuaci´on de la hip´erbola es: = 1 =⇒ 8x00 2 − y 00 2 = 82 (1). b2 = − 41 4 4 82 4 2



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Y

A r

Y

4

b~

O r ~ b

−3

−1 O −1

1 r

X

A

X

Figura 63 Hallemos su ecuaci´on en el sistema (O, XY ). El cambio de coordenadas queda determinado por: √    00      √ x x+1 x+1 4/√41 −5/√ 41 t · , de donde obtenemos = = [B]C · y 00 y − 3/2 y − 3/2 5/ 41 4/ 41 5 23 4 1 4 5 x00 = √ x − √ y + √ e y 00 = √ x + √ y − √ . Reemplazando en (1) se obtiene 41 41 2 41 41 41 41 103 x2 − 360 x y + 184 y 2 + 746 x − 912 y − 2305 = 0.    00    3√ x x −1 0 00 00 41, 0 , y como = [B]C · + En el sistema (O , X Y ), F2  − y 00 y 3/2 2 obtenemos que F2(−7, 9). Par´ abola Definici´ on 10.1.4 Llamaremos par´ abola al lugar geom´etrico P de los puntos del Plano cuya distancia a un punto fijo F llamado foco, coincide con su distancia a una recta fija D, que no pasa por el foco, llamada directriz. Sea L la recta perpendicular a D por F y {M} = D ∩ L. Consideremos el punto medio O del segmento F M, como eje X la recta paralela a D por O y como eje Y la recta L. Suponemos que F (0, p), p 6= 0, y directriz D de ecuaci´on y = −p. Ver Figura 64 Observaci´ on Si la directriz pasara por el foco, los puntos pertenecientes a la recta que pasa por F y es perpendicular a la directriz verificar´ıan la definici´on.

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald

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Y

r

F (0, p)r O

M

P (x, y)

r r

X

y = −p

Figura 64 Sea P (x, y) ∈ P = {P : d(P, F ) = d(P, D)}. Se tiene entonces que: p x2 + (y − p)2 =| y + p | =⇒ x2 + (y − p)2 = (y + p)2 =⇒ x2 + y 2 − 2 p y + p2 = y 2 + 2 p y + p2 . De aqu´ı obtenemos: (P) 4 p y = x2 que es una de las formas can´onicas de la ecuaci´on de la par´abola. El eje Y se denomina el eje de simetr´ıa de la par´abola y O el v´ ertice. Observaci´ on Si consideramos como eje X a la recta L y como eje Y la recta paralela a D por O, se tiene que el foco tiene coordenadas (p, 0), p 6= 0 y la directriz ecuaci´on D : x = −p. Por un procedimiento an´alogo, obtenemos la ecuaci´on can´onica: (P 0) 4 p x = y 2 que es la otra forma can´onica de la ecuaci´on de la par´abola. Ejemplo Hallemos la ecuaci´on de una √ par´abola que tenga foco en el punto de coordenadas (0, 0) y directriz de ecuaci´on D : x − 3 y + 16 = 0. Para hallar un sistema de coordenadas (O0 , X 00Y 00) en el cual, la par´abola tenga una forma perpendicular a la directriz que pasa por el can´onica, consideremos como eje Y 00, la recta L √ foco. Por lo tanto, la ecuaci´on del eje Y 00 es L : 3 x + y = 0. 0 El nuevo origen del √ segmento F M, donde {M} = L ∩ D, esto implica √ O es el punto medio 0 que M(−4, 4 3), por lo tanto O (−2, 2 3).

El eje X 00 es la recta paralela a la directriz por O0 .

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald La base ortonormal ( √ 3 1 B = (− ,− ), 2 2

159

que determina junto con O0 el nuevo sistema de coordenadas es √ ) 1 3 ( ,− ) = {b~1, b~2}. Ver figura 65 2 2

En el sistema (O0 , X 00Y 00 ) la c´onica tiene ecuaci´on 4py 00 = x00 2, con p = d(F, O0 ) = 4. Esto 1 00 2 implica que y 00 = x . . 16 ... ....... . .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............ ... ......... ... . . ....... . . . . . ...... .... ...... ... ... ...... ... ...... .... ...... ... . . . .. . . .... ... . . . . ... . ... .. . . . . .... . ... ... . . . . .. . . ... .... . . . . .. ... . .... ... . . . . ... . ... ......... . ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ........ . . . . . . . .. . ..... ..... . . . . ... . ... ... . . . . . . ... . .. .... . . . . . . ... . . ... .... . . . . . ... . . . .. ... . . . . . ... . . . . .. ...... ... ... ... ...... . ... ...... ... ...... .... ... ... ...... . . . . . . . ... .. .... .......... .... ... .. ....... ................ ... .................... ...... .. ... ................................ ... . . . . . ............... ... .. . . . 0 . . . . . .... ... ...... .... ... ........... . . ..... .. ... . 1....................... ...... ...... ...... ...... ...... . . . . .. ... ....... . . . . . . . . ..... . . ......... .. .. ........... 2 .. ......... .. .... .. .................. ... . . . . . . . . .... . ... .. ..... ..... . . . . . .. . . ... .... ..... . . . . . ... . .. .. . .... . . . . . . . . . ... . . . ... . .... . . . . . . . ... . ... . ... . .... . . . . . . . . ... . . . .. .. . 00...... . ...... ... ... . . . ... . ... . . . . .. . . ... .... .. .. .. .... .... ... .. ..... .. .. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . ........ ... ... ... ... .... .... ... . 00 ....... .

Y

r

M

D

√ 4 3

O b~

√ 2 3

b~

X

−4

−2

O

rF (0, 0)

X

Y

Figura 65 Para obtener su ecuaci´on en el sistema (O, XY ) de partida usaremos las f´ormulas de cambio de coordenadas.  √  1 3   00    √    00 x = − x− y x − x + 2 x + 2 3/2 −1/2 2 √ 2 √ √ √ . = · ⇒ = [B]TC · y 00 y−2 3 y−2 3 1/2 − 3/2  1 3  00 y = x− y+4 2√ 2 √ Esto implica que la par´abola tiene ecuaci´on 3 x2 + y 2 + 2 3 x y − 32 x + 32 3 y − 256 = 0.

10.2

Reducci´ on de una c´ onica a la forma can´ onica

Supongamos fijado, en el Plano, un sistema de coordenadas cartesianas ortogonal (O, XY ) y consideremos el conjunto de puntos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen:

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald (1)

a x2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 ;

a, b y c no simult´aneamente nulos. Es claro que las ecuaciones can´onicas (P), de (1). El conjunto de puntos considerado u ´nico punto (x2 + y 2 = 0), una recta ( x2 que se cortan (x y = 0). Veremos que mediante un cambio adecuado una c´onica degenerada.

160

a, b, c, d, e, f ∈ R ,

(E) y (H) de las c´onicas son casos particulares anteriormente puede ser vac´ıo (x2 + 1 = 0), un = 0), dos rectas paralelas (x2 = 1) o dos rectas de coordenadas, (1) es la ecuaci´on de una c´onica o

Sea f (x, y) = a x2 + 2 b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 y consideremos la transformaci´on lineal   a b 2 2 . sim´etrica T : R −→ R , tal que A = [T ]C = b c Si ~v = (x, y) es un vector cualquiera de R2 , sabemos que:         x a b x ax + by [T (~v)]C = A · = · = y b c y bx + cy Luego, h T (~v), ~v i = h (a x + b y, b x + c y), (x, y) i = a x2 + 2 b x y + c y 2 . Entonces, notando ~ = (d, e), resulta: L ~ ~v i + f = 0 f (x, y) = h T (~v ), ~v i + h L, Como T es una transformaci´on lineal sim´  etrica, existe una base ortonormal B, formada por λ1 0 autovectores, tal que [T ]B = . Como B y la base can´onica son bases ortonormales, 0 λ2 para todo vector ~v ∈ R2 , se verifica que: h T (~v ), ~v i = h (T (~v ))B , (~v)B i Supongamos que (~v )B = (x0, y 0), entonces: [T (~v)]B = [T ]B · [~v]B =



λ1 0

0 λ2

  0   x λ1 x0 · = y0 λ2 y 0

~ B = (d0 , e0), tenemos que: Si notamos (L) 2

2

~ B , (~v)B i + f = λ1 x0 + λ2 y 0 + d0 x0 + e0 y 0 + f h (T (~v))B , (~v)B i + h (L) Por consiguiente, en el sistema de coordenadas (O, X 0 Y 0 ) asociado a la base B, (1) toma la forma: 2 2 f 0 (x0, y 0 ) = λ1 x0 + λ2 y 0 + d0 x0 + e0 y 0 + f = 0 Agrupando las variables y de ser necesario,“completando cuadrados ” se efect´ ua una traslaci´on 0 de los ejes a un nuevo origen O y as´ı se obtiene un sistema de coordenadas (O0 , X 00 Y 00) en onica propiamente dicha o de una el cual f 00(x00, y 00) = 0 es la ecuaci´on can´onica de una c´ c´ onica degenerada. X 00 ser´a paralelo al autovector asociado a λ1 e Y 00 paralelo al asociado a λ2 .

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161

Ejemplos 1. Sea f (x, y) = 3 x2 + 10 x y + 3 y 2 + 22 x + 10 y + 5 = 0 .   3 −x 5 3 5 = x2 − 6x − 16, sus luego det (A − x · I2 ) = A = [T ]C = 5 3 − x 5 3 ra´ıces son λ1 = 8 y λ2 = −2. Hallemos los autovectores asociados. • Si λ = 8,       −5 5 x 0 · = 5 −5 y 0

=⇒

−x + y = 0, de aqu´ı resulta x = y y   1 1 entonces V8 = {(x, x) : x ∈ R }. Elegimos v~1 = √ , √ . 2 2 • Si λ = −2,       x 0 5 5 · = =⇒ x + y = 0 entonces x = −y y por lo tanto y 0 5 5   1 1 V−2 = {(−y, y) : y ∈ R }. Elegimos v~2 = − √ , √ . 2 2

.. .. .. .. .. .. .. .. . .. ... ... .. .... ....... .. .... .. .. ... . ... . ... .. .. ... ... .. 00 ... ... .. .... .. ... ... .. . . . . . .. 00 ... . ... . .... .... .. ... .. .... .... ... .. .... .... .. ... .... ... .. . . . . . . .... .. .. ... .... .... .... .... .. .... ... .. ... .... ... .. .... .... .. . ... . . . .. . .... ... ..... ... 1 ... ... .... ..... ... .... ... ... .. 2 .... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .... .. .... . . .... .. ... .... ... ...... ... .... ..... .... .... ..... ... ... . .... ..... .. . . . ... ........... .... ......... .. .... .......... .... ... ...... .... .. ........... .... .... .......... ... 2..... .... ...... ... ....................... . . . . . ................... .... .. ... .... 1 ... .................... ......... .. . ... ........ .................... ....... .......... ............ ....... .............. ...... ............ ... ... ... ..... ...... .................... . 5 .................. ........................................................... .... .. ... . . 2 ...................... ....0.. .......... .......................................................... .................... . . . . . ................ ... ... .... .... ...... . . .......... ... .. .... ........... .... .... ... .. .... .......... ... . . . . . ..... ........ ... .. .. . . . . . . . . .... ..... ... .. . . . . .... ..... . .. . . . . . . . .... ..... .... .. . . . . . ... ..... .. .... .... .... ... .... .... ... ... .... .... .... ... ... ... ... . . . . . .... . . ... . ... ... . . . . . .. .... .. . . . . . . . ... .. ... .. .... .. ... .. ... ... .. ... .. ... ..

Y

X

Y

O

v~

−

X

v~

O

Figura 66 Sea B =



   1 1 1 1 8 0 ( √ , √ ) , (− √ , √ ) . Es claro que [T ]B = 0 −2 2 2 2 2

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162

√     √  √ 22 16 √2 1/ √2 1/√2 [L]C = · = . =⇒ [L]B = · [L]C = −1/ 2 1/ 2 −6 2 10 √ √ Luego f 0 (x0, y 0) = 8 x0 2 − 2 y 0 2 + 16 2 x0 − 6 2 y 0 + 5 = 0, y por lo tanto √ √ √ 3√ 2 8 (x0 + 2)2 − 2 (y 0 + 2) − 2 = 0. 8 x0 2 + 16 2 x0 − (2 y 0 2 + 6 2 y 0 ) + 5 = 0 =⇒ 2 √ 3√ Consideramos x00 = x0 + 2 ; y 00 = y 0 + 2, es decir efectuamos una traslaci´on de ejes 2 √  √      − − → − − → 1/2 − − 2 2 0 0 0 √ √ , luego [OO ]C = [B]C · = . a O tal que [OO ]B = −5/2 −3 2/2 −3 2/2 

22 10





[B]TC

x002 2 Tenemos entonces que 8 x00 2 − 2 y 002 − 2 = 0 =⇒  2 − y 00 = 1 que es la ecuaci´on 1 2 can´onica de una hip´erbola. √ √ 2. Sea f (x, y) = 3 x2 + 2 3 x y + y 2 − 32 x + 32 3 y + 256 = 0. √  √  3 −x 3 3 3 =⇒ det (A − x · I2 ) = √ = x(x − 4). A = [T ]C = √ 3 1 3 1 − x Los autovalores de T son λ1 = 4 y λ2 = 0.

... ....... ... ... 00...... ... ... .... ... ... ... . ... .... ... .. ... ... ... .. . ............................................................................................................................................................................................................................................................................. ...... .. .... .... ... .... .... .. ... ... ... .. ... ... ..... .... ... ...... ... ... ... ...... ...... ... ... .... 00 ...... . . . ... .. . ... . .. . ... ... ....... ... ....... ... ... ... ...... ....................................... . . . . ... . . ... . ... ........ ... ...... ............ ........ .. ... . ... 1....................................... ... .. ... . ............... . . .. . ..... .... .... .... .... 2 .... ...................... .... ....... .... ...... ... 0 ..... ........... . . . ... . . . . ... ... ................... ... .......... ..... ... ...... .... ... ...... ... ...... . . . . . ... ... ... . . . . . . ... . . ...... .... . . . . ... . . . . . ... .... . . ... . . . . . . . ... ... . . .. . . . . . . . .. . ... .. . . . ... ... ... . . ... .... ... ... ... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .

Y

Y

O

2

X

X

√ −2 3

v~

v~

O

Figura 67 • Si λ = 4, √        √ √ −1 x 0 3 3y = 0 −x + √ =⇒ x = 3 y. · = =⇒ √ 3 −3 y 0 3x −3y = 0

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald √ Por lo tanto V4 = {( 3 y, y) : y ∈ R } . Elegimos v~1 =

163 ! √ 3 1 , . 2 2

• Si λ = 0, √        √ 1 x 0 3 3 3 x + 3y = 0 √ =⇒ x = − √ y. · = =⇒ √ 3 1 y 0 3x+ y = 0 3 √ !    1 1 3 . Luego V0 = − √ y, y : y ∈ R . Elegimos v~2 = − , 2 2 3 ( √

√ )   1 3 3 1 4 0 Sea B = ( , ) , (− , ) . Entonces [T ]B = . 0 0 2 2 2 2        √ −32 0 −32 3/2 √1/2 T √ √ =⇒ [L]B = [B]C · [L]C = · = . Luego, [L]C = 3/2 32 3 64 32 3 −1/2 f 0 (x0, y 0) = 4 x0 2 + 64 y 0 + 256 = 0 =⇒ 4 x0 2 + 64 (y 0 + 4) = 0 =⇒ x02 + 16 (y 0 + 4) = 0. 1 2 Si x00 = x0, y 00 = y 0 + 4, se tiene que x002 + 16 y 00 = 0 y por lo tanto y 00 = − x00 , que es 16 la ecuaci´on de una par´abola. Tenemos adem´as que        √ −−→0 −−→0 0 2√ 0 3/2 √ −1/2 · = . Ver Figura 67. =⇒ [OO ]C = [OO ]B = 3/2 −4 −2 3 −4 1/2

10.3

Cu´ adricas

Supongamos fijado, en el Espacio, un sistema de coordenadas cartesianas ortogonal (O, XY Z). Estudiaremos superficies tales que las coordenadas cartesianas de sus puntos, (x, y, z) satisfacen una ecuaci´on del tipo: f (x, y, z) = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2 a12 x y + 2 a13 x z + 2 a23 y z + a1 x + a2 y + a3 z + k = 0, (∗) donde los coeficientes de los t´erminos cuadr´aticos no son simult´aneamente nulos. Estas superficies se denominan cu´ adricas. Cilindros Un cilindro es una superficie S tal que, para un apropiado sistema de coordenadas, consta de todas las rectas perpendiculares al plano z = 0, que pasan por una curva γ en dicho plano. En nuestro caso γ es una c´onica. Obtenemos entonces: (1) cilindro el´ıptico: (2) cilindro hiperb´ olico: (3) cilindro parab´ olico:

x2 y 2 + =1; a2 b2

a ≥ b > 0.

x2 y 2 − 2 =1; a2 b

a > 0 , b > 0.

4 p y = x2 ; p 6= 0.

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Cilindro el´ıptico

Cilindro hiperb´olico

164

Cilindro parab´olico

Figura 68 Elipsoide Es una superficie que en un sistema de coordenadas adecuado tiene ecuaci´on: (4)

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 =1; a≥b≥c>0 a2 b c

Elipsoide

Esfera Figura 69

Si a = b = c, obtenemos la ecuaci´on de una esfera de radio a. Conos Son superficies que en un sistema de coordenadas adecuado tienen ecuaci´on: (5)

x2 y 2 + 2 − z2 = 0 ; a ≥ b > 0 2 a b

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165

Si a = b, el cono se dice circular y se obtiene por rotaci´on alrededor del eje z de una recta que pasa por el origen. Si a 6= b, el cono se dice el´ıptico.

Cono Figura 70 Hiperboloides Son superficies que poseen ecuaci´on: (6) − (7)

x2 y 2 z 2 − 2 + 2 = 1 ; a ≥ b > 0 , c > 0. Hiperboloide de dos hojas. a2 b c

x2 y 2 z 2 + − 2 = 1 ; a ≥ b > 0 , c > 0. Hiperboloide de una hoja. a2 b2 c

Hiperboloide de dos hojas

Hiperboloide de una hoja Figura 71

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166

Paraboloides Existen dos cu´adricas llamadas paraboloides, el paraboloide el´ıptico de ecuaci´on: (8) z =

x2 y 2 + ; a≥b>0 a2 b2

y el paraboloide hiperb´ olico o “silla de montar” de ecuaci´on: (9) z =

x2 y 2 − 2 ; a>0, b>0 a2 b

Paraboloide el´ıptico

Paraboloide hiperb´olico Figura 72

Las ecuaciones (1), (2), . . . ,(8) y (9) son casos particulares de (∗) y se denominan ecuaciones can´ onicas de las cu´adricas. Observemos que las mismas pueden clasificarse en dos grupos: I: (1), (2), (4), (5), (6) y (7) se denominan cu´ adricas con centro y en un sistema de coordenadas adecuado tienen ecuaci´on: f (x, y, z) = A x2 + B y 2 + C z 2 + D = 0 con A, B y C no simult´aneamente nulos. II: (3), (8) y (9) se denominan cu´ adricas sin centro y tienen ecuaci´on: f (x, y, z) = A x2 + B y 2 + C z = 0 con C 6= 0, A y B no simult´aneamente nulos. Observaci´ on La ecuaci´on (∗) puede representar el conjunto vac´ıo (x2 = −1), un punto (x2 + y 2 + z 2 = 0), una recta (x2 + y 2 = 0), un plano (z 2 = 0), dos planos paralelos (z 2 = 1) o dos planos que se cortan (x y = 0).

10.4

Reducci´ on de una cu´ adrica a la forma can´ onica

Consideremos la ecuaci´on : f (x, y, z) = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2 a12 x y + 2 a13 x z + 2 a23 y z + a1 x + a2 y + a3 z + k = 0. Veremos que con un cambio adecuado de coordenadas obtenemos la ecuaci´on can´onica de una

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167

cu´adrica o uno de los casos considerados en la observaci´on anterior. A f (x, y, z) = 0 le   a11 a12 a13 asociamos la transformaci´on lineal sim´etrica T : R3 −→ R3 tal que [T ]C =  a12 a22 a23 . a13 a23 a33 Si L = (a1 , a2, a3), en forma an´aloga a lo visto para c´onicas f (x, y, z) = 0 se expresa: f (x, y, z) = hT (x, y, z), (x, y, z)i + hL, (x, y, z)i + k = 0 Como T es transformaci´on lineal sim´etrica existe una base ortonormal B formada por autovec  λ1 0 0 tores de T , tal que [T ]B =  0 λ2 0  . B es base ortonormal y determina un sistema de 0 0 λ3 0 0 0 coordenadas (O, X Y Z ) en el cual f (x, y, z) = 0 toma la forma 2

2

2

f 0 (x0 , y 0, z 0) = λ1 x0 + λ2 y 0 + λ3 z 0 + a01 x0 + a02 y 0 + a03 z 0 + k = 0 Veamos ahora como proceder en cada caso, de acuerdo a los autovalores obtenidos. Primer caso: λ1 6= 0 , λ2 6= 0 , λ3 6= 0 En tal caso agrupamos las variables, y si fuera necesario “completamos cuadrados” efectuando una traslaci´on que permite obtener un sistema de coordenadas (O0 , X 00 Y 00Z 00) en el cual f 0 (x0, y 0, z 0 ) = 0 tiene ecuaci´on: 2

2

2

f 00 (x00, y 00, z 00) = λ1 x00 + λ2 y 00 + λ3 z 00 + k 0 = 0 Ejemplo Consideremos la cu´adrica de ecuaci´on f (x, y, z) = −x2 + y z + 2 x − 4 z − 5 = 0.   −1 − x 0 −1 0 0 0 0 1/2  =⇒ det (A − x · I3) = 0 −x 1/2 = A = [T ]C =  0 0 0 1/2 0 1/2 −x   −x 1/2 1 1 1 2 = (−1 − x) x − = (−1 − x) = −(x + 1)(x − )(x + ). 1/2 −x 4 2 2 1 1 Son autovalores: λ1 = −1, λ2 = − y λ3 = . 2 2 • Si λ = −1,       0 0 0 x 0  0 1 1/2  ·  y  =  0  0 1/2 1 z 0 Por lo tanto V−1

 z y + = 0 2 =⇒ =⇒ y = z = 0. y +z =0 2 = {(x, 0, 0) : x ∈ R }. Elegimos v~1 = (1, 0, 0).

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald 1 • Si λ = − , 2       −1/2 0 0 x 0      0 1/2 1/2 · y = 0  =⇒ 0 1/2 1/2 z 0 entonces V− 1

2

168



x=0 =⇒ x = 0 , y = −z. y+z =0   1 1 = {(0, −z, z) : z ∈ R }. Elegimos v~2 = 0, √ , − √ . 2 2

1 • Si λ = , 2       −3/2 0 0 x 0      0 −1/2 1/2 · y = 0 0 1/2 −1/2 z 0

=⇒



x=0 y−z =0

=⇒

x = 0 , y = z.

  1 1 Entonces V 1 = {(0, y, y) : y ∈ R }. Elegimos v~3 = 0, √ , √ . 2 2 2 

 1 1 1 1 Sea B = (1, 0, 0) , (0, √ , − √ ), (0, √ , √ ) , luego, 2 2 2 2   −1 0 0 [T ]B =  0 −1/2 0  0 0 1/2         2 1 0√ 0√ 2 2√ Como [L]C =  0  , [L]B =  0 1/√2 −1/√ 2  ·  0  =  4/ √2  . −4 −4 0 1/ 2 1/ 2 −4/ 2 √ √ 1 02 1 0 2 y + z + 2 x0 + 2 2 y 0 − 2 2 z 0 − 5 = 0 . 2 2 Agrupamos las variables y “completamos cuadrados” y determinamos la traslaci´on a efectuar.

Por lo tanto f 0 (x0, y 0, z 0 ) = −x02 −

√ √ 1 02 1 2 (y − 4 2 y 0 ) + (z 0 − 4 2 z 0 ) − 5 = 2 2 √ √ 1 1 = −[(x0 − 1)2 − 1] − [(y 0 − 2 2)2 − 8] + [(z 0 − 2 2)2 − 8] − 5 = 2 2 √ √ 1 1 = −(x0 − 1)2 − (y 0 − 2 2)2 + (z 0 − 2 2)2 − 4 = 0 2 2 2

f 0 (x0, y 0, z 0 ) = −(x0 − 2 x0 ) −

Si x00 = x0 − 1 ; y 00 = y 0 − 2 1 2 1 2 −x − y 00 + z 00 − 4 = 0 2 2 hiperboloide de dos hojas. 002

√

2 ; z 00 = z 0 − 2 =⇒

√ 2 obtenemos

x002 y 002 z 002 − + = 1, que es la ecuaci´on de un − 4 8 8

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169

Segundo caso: λ1 6= 0 , λ2 6= 0 , λ3 = 0 Se tiene que: f 0 (x0, y 0, z 0) = λ1 x0 2 + λ2 y 02 + a01 x0 + a02 y 0 + a03 z 0 + k = 0. • Si a03 = 0, “completando cuadrados” se obtiene f 00 (x00, y 00, z 00) = λ1 x002 + λ2 y 002 + k 0 = 0. • Si a03 6= 0, “completamos cuadrados” y, sacando un factor com´ un conveniente, obtenemos f 00(x00, y 00, z 00) = λ1 x002 + λ2 y 002 + a03 z 00 = 0. Ejemplo Consideremos la  1  A = [T ]C = 3 0

cu´adrica de ecuaci´on f (x, y, z) = x2 + y 2 + 6 x y − 2 z − 20 = 0 .  1 −x 3 0 3 0 1 − x 3  1 0 =⇒ det (A − x · I3) = 3 1 − x 0 = −x = 3 1 − x 0 0 0 0 −x

−x[(1 − x)2 − 9] = −x(x2 − 2x − 8) = −x(x − 4)(x + 2). Por lo tanto los autovalores de T son λ1 = 4, λ2 = −2 y λ3 = 0. • Si λ = 4,       −3 3 0 x 0  3 −3 0  ·  y  =  0  0 0 3 z 0

n

x−y =0 =⇒ z = 0 , y = x . z=0   1 1 Entonces V4 = {(x, x, 0) : x ∈ R }. Elegimos v~1 = √ , √ , 0 . 2 2

• Si λ  3 3 0

= −2,      0 x 3 0     3 0 · y = 0 0 z 0 2

Por lo tanto V−2 • Si λ  1 3 0

=⇒

=⇒

n

x+y = 0 z=0

=⇒

z = 0 , y = −x.

  1 1 = {(−y, y, 0) : y ∈ R }. Elegimos v~2 = − √ , √ , 0 . 2 2

= 0,      3 0 x 0     1 0 · y = 0 0 0 z 0

=⇒



x + 3y = 0 3x + y = 0

En consecuencia V0 = {(0, 0, z) : z ∈ R }. Elegimos   1 1 1 1 Sea B = ( √ , √ , 0) , (− √ , √ , 0) , (0, 0, 1) . 2 2 2 2 √ √    0 1/ √2 1/√2 Como [L]C =  0  entonces [L]B =  −1/ 2 1/ 2 −2 0 0

=⇒

x = y = 0.

v~3 = (0, 0, 1).

     0 0 0 0  ·  0  =  0 . 1 −2 −2

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170

Luego f 0 (x0, y 0, z 0 ) = 4 x0 2 − 2 y 0 2 − 2 z 0 − 20 = 4 x0 2 − 2 y 02 − 2 (z 0 + 10) = 0. Entonces si x00 = x0 , y 00 = y 0 y z 00 = z 0 + 10, tenemos que: x002 2 − y 00 = z 00, que es la ecuaci´on de un paraboloide hiperb´olico. 1 2 Tercer caso: λ1 6= 0, λ2 = λ3 = 0 f 0 (x0, y 0, z 0 ) = λ1 x02 + a01 x0 + a02 y 0 + a03 z 0 + k = 0. a) Si a02 = 0 ´o a03 = 0 obtenemos, realizando una traslaci´on conveniente, una cu´adrica degenerada, f 00(x00, y 00, z 00) = λ1 x002 + a03 z 00 = 0 ´o f 00(x00, y 00, z 00) = λ1 x002 + a02 y 00 = 0. b) Si a02 6= 0 y a03 6= 0 debemos elegir, en el plano que contiene los vectores v~2 y v~3, otro par de vectores v~20 y v~30 perpendiculares entre s´ı de modo que en la nueva base o a000 ortonormal B 0 = {v~1 , v~20 , v~30 }, f 000(x000, y 000, z 000) = 0 tenga a000 2 =0 ´ 3 = 0. q 1 1 Sea a = a022 + a032 y consideremos v~20 = .(a03.v~2 − a02 .v~3) y v~30 = .(a02.v~2 + a03.v~3). a a 0 B = {v~1, v~20 , v~30 } es una base ortonormal y permite solucionar nuestro problema.  0   00   00   1 0 0 x x x  y 0  = [B 0]B ·  y 00  =  0 a03/a a02 /a  ·  y 00  , luego z0 z 00 z 00 0 −a02 /a a03 /a x0 = x00 , y 0 =

a03 00 a02 00 a0 a0 y + z y z 0 = − 2 y 00 + 3 z 00. a a a a

Reemplazamos en f 0 (x0 , y 0, z 0) = 0 y obtenemos λ1 x002 + a01 x00 + a z 00 + k 0 = 0, por lo que estamos en las condiciones del inciso a). Ejemplo Sea f (x, y, z) = 5 x2 + 5 y 2 − 10 x y − 2 x + 3 y + z + 1 = 0.   5 − x −5 5 −5 0 0 A = [T ]C =  −5 5 0  =⇒ det (A − x · I3 ) = −5 5 − x 0 = −x2(x − 10). 0 0 0 0 0 −x Los autovalores de T son λ1 = 10 y λ2 = λ3 = 0. • Si λ = 10,       0 x −5 −5 0 n x+y =0  −5 −5 0  ·  y  =  0  =⇒ z=0 0 0 −10 0 z Por lo tanto V10 = {(x, −x, 0) : x ∈ R }. Elegimos v~1 =

=⇒ z = 0 , y = −x. 

 1 1 √ , −√ , 0 . 2 2

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald • Si λ = 0,       5 −5 0 x 0  −5     5 0 · y = 0 0 0 0 z 0

=⇒

x−y =0

=⇒

171

x = y.

Obtenemos entonces, V0 = {(x, x, z) : x, z ∈ R }. Elegimos v~2 = v~3 = (0, 0, 1).   1 1 1 1 Sea B = ( √ , − √ , 0) , ( √ , √ , 0) , (0, 0, 1) . 2 2 2 2 √    √ −2 1/√2 −1/√ 2 Como [L]C =  3  , [L]B =  1/ 2 1/ 2 1 0 0



 1 1 √ , √ ,0 y 2 2



 10 0 0 Luego, [T ]B =  0 0 0  . 0 0 √0      −2 −5/√ 2 0 0  ·  3  =  1/ 2  . 1 1 1

5 1 Por lo tanto f 0 (x0, y 0, z 0 ) = 10 x0 2 − √ x0 + √ y 0 + z 0 + 1 = 0, 2 2 r √ 1 1 3 0 0 +1= √ . luego a2 = √ y a3 = 1, lo que implica a = 2 2 2   ) ( √ √ 1 √ 0√ 0√ 1 1 2 2 2/√ 3 √1/ √3  . Si B 0 = v~1 , √ .v~2 − √ .v~3 , √ .v~2 + √ .v~3 , [B 0]B =  0 3 3 3 3 2/ 3 0 −1/ 3 √   −5/√ 2  Observemos que [L]B = 1/ 2  , por lo tanto, 1 √   √     −5/√ 2 −5/ 2 1 √ 0√ 0√ 2/√ 3 √ −1/ √3  ·  1/ 2  =  0√  [L]B 0 = [B 0]TB · [L]B =  0 3/ 6 2/ 3 0 1/ 3 1 Se tiene entonces,

  3 5 00 3 00 1 00 2 00 f (x , y , z ) = 10 x − √ x + √ z + 1 = 10 x − √ x + √ z 00 + 1 = 2 6 2 2 6 # " 2 2  3 3 1 1 1 10 + √ z 00 + 1 = 10 x00 − √ + 1 + √ z 00 = − − 10 x00 − √ 32 32 4 2 6 4 2 6 √ ! 2 2   1 3 22 1 3 22 6 10 x00 − √ = 10 x00 − √ = 0. + √ z 00 + +√ z 00 + 32 3 · 32 4 2 6 4 2 6 00

00

00

00

00 2

1 11 3 Si x000 = x00 − √ , y 000 = y 00 y z 000 = z 00 + √ , se tiene que: 10 x000 2 + √ z 000 = 0, que es 4 2 8 6 6 un cilindro parab´olico.

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10.5

172

Ejercicios

1. Hallar las ecuaciones can´onicas de las circunferencias indicadas a continuaci´on. Graficar. a) Con centro en (2, 3) y radio 3. b) De ecuaci´on x2 + y 2 + 4 x − 6 y − 17 = 0. c) De radio 4 y conc´entrica con la de ecuaci´on x2 + y 2 − 10 x + 16 = 0. d) Pasa por los puntos A(5, 0), B(1, −2) y C(1, 0). e) Su di´ametro es el segmento de la recta de ecuaci´on 4 x − 3 y + 12 = 0 situado entre los ejes coordenados. f) Su centro es el punto C(1, −1) y la recta de ecuaci´on 5 x − 12 y +9 = 0 es tangente a la misma. g) Pasa por los puntos A(3, 1), B(−1, 3) y su centro est´a en la recta de ecuaci´on 3 x − y − 2 = 0. 2. Dada la elipse de ecuaci´on

x2 y2 + = 1, hallar: 100 36

a) Las coordenadas de sus focos. b) Las coordenadas de sus v´ertices. c) La longitud de sus semiejes. d) Los puntos de la elipse que distan 14 unidades del foco derecho. 3. Hallar el ´area de un cuadril´atero que tiene dos v´ertices en los focos de la elipse de ecuaci´on 9 x2 + 5 y 2 = 1 y los restantes coinciden con los extremos de su eje menor. 4. En cada caso hallar, en el sistema (O, XY ), la ecuaci´on de la elipse que satisface las siguientes condiciones y dibujarla. a) Dos v´ertices son A(−1, 2), A0 (−7, 2) y su eje menor es de longitud 2. b) Posee centro en el origen de coordenadas, semieje mayor sobre la recta de ecuaci´on 2 x − y = 0 de longitud 10 y un v´ertice en A0(2, −1). 7 7 c) Dos v´ertices son A0(1, − ) , A(5, − ) y un foco F1(3, −2). 2 2 d) Posee focos F1(0, −4) , F2 (2, 0) y un v´ertice en A0(3, −3). e) Posee centro en O0 (3, −2), foco en F1(−1, 1) y pasa por P (8, −2). f) Tiene centro en el origen de coordenadas, semiejes de longitud 2 y 6 y el eje menor forma un ´angulo de 60◦ con el eje X. g) Sus focos se hallan en el eje X, su centro en el origen de coordenadas, d(F1 , F2) = 6 y 5 c = 3 a.

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5. Dada la hip´erbola de ecuaci´on

173

x2 y 2 − = 1 hallar: 4 9

a) La longitud de sus semiejes. b) Las coordenadas de sus focos y de sus v´ertices. c) Las ecuaciones de sus as´ıntotas. d) El ´area del tri´angulo determinado por las as´ıntotas y la recta 9 x + 2 y − 24 = 0. 6. En cada caso hallar, en el sistema (O, XY ), la ecuaci´on de la hip´erbola que satisface las siguientes condiciones y dibujarla. a) Sus v´ertices son A0 (4, −3) , A(0, −3) y d(F1 , F2) = 6. b) Sus v´ertices son A(1, −2) , A0(−1, 2) y uno de sus focos es F1 (3, −6). c) Posee un foco en F (2, −1) y as´ıntotas de ecuaci´on x = 0 , 3 x − 4 y = 0. d) Sus focos son F1(4, −4), F2(−2, 2) y sus as´ıntotas forman un ´angulo recto. e) Sus as´ıntotas se cortan perpendicularmente en el origen de coordenadas y posee un foco en F1(1, 3). 6 3 f) Posee centro en O0 (3, −4), un v´ertice en ( √ + 3 , √ − 4) y un foco en F1 (6, 2). 5 5 √ √ 6 6 − 1, + 2). g) Sus focos son F1(−1, 0) , F2(1, 2) y pasa por el punto P ( 2 2 7. En cada caso hallar, en el sistema (O, XY ), la ecuaci´on de la par´abola que satisface las siguientes condiciones y dibujarla. a) Posee foco en F (2, −1), pasa por P (2, 2) y su eje de simetr´ıa es paralelo al eje X. ¿ Es u ´nica ? b) Posee el v´ertice en el origen de coordenadas y el foco en F (−3, −1). c) Tiene directriz de ecuaci´on 3 x + 4 y − 1 = 0 y foco en F (5, 9). d) Posee el v´ertice en O0 (−2, −2), pasa por el punto P (4, −4) y su directriz es paralela al eje X. e) La ecuaci´on de la recta directriz es x + 2 y + 6 = 0 y su v´ertice es el origen de coordenadas. 8. Para cada una de las siguientes c´onicas, hallar un sistema de coordenadas (O0 , X 00Y 00 ) en el cual la ecuaci´on de la c´onica tenga forma can´onica. Clasificarla. En a), d) y f) graficar. a) 3 x2 − 2 x y + 3 y 2 + 18 x + 10 y = −19.

(elipse)

b) x2 + y 2 + 4 x y = 7. (hip´erbola ) c) x2 − 2 x y + y 2 = 0.

(una recta)

d) 11 x2 − 24 x y + 4 y 2 + 6 x + 8 y = −15.

(hip´erbola)

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald e) 3 x2 + 10 x y + 3 y 2 + 16 x + 16 y + 16 = 0. f) 16 x2 − 24 x y + 9 y 2 − 30 x − 40 y = 0. 2

174

(rectas incidentes)

(par´abola)

2

g) x + y + x − 1 = 0. (circunferencia) h) 4 x2 − 4 x y + y 2 + 4 x − 2 y − 3 = 0. i) 2 x2 − 4 x y − y 2 + 8 = 0.

(par de rectas paralelas)

(hip´erbola)

j) 16 x2 − 24 x y + 9 y 2 − 30 x − 40 y − 5 = 0. k) 7 x2 + 3 y 2 + 28 x − 42 y + 166 = 0. 9.

(par´abola)

(elipse)

a) Para cada una de las siguientes cu´adricas, hallar un sistema de coordenadas respecto del cual la ecuaci´on de la cu´adrica tenga forma can´onica. Indicar la ecuaci´on can´onica. Clasificarla. b) En (1), (4) y (14) hallar las coordenadas de O0 en el sistema (O, XY Z) de partida. c) En (6) y (8) hallar la ecuaci´on del eje Y en el sistema (O0 , X 00 Y 00Z 00) en el cual la cu´adrica tiene forma can´onica. ( x = −2 + 3 λ ; λ ∈ R y el plano π : x − 2 y + z + 2 = 0 en d) Dada la recta L : y = −λ z = 1 + 5λ el sistema (O, XY Z) de partida, hallar las ecuaciones en el sistema (O0 , X 00Y 00 Z 00) obtenidos en los incisos (2),(3) y (7). 1) 4 x2 + 36 y 2 − 9 z 2 − 16 x − 216 y + 304 = 0. (hiperboloide de una hoja) 2) y 2 − 2 z 2 = 0. (par de planos que se cortan) 3) 6 x2 + 6 y 2 + 8 z = 1. (paraboloide el´ıptico) 4) 2 x2 + 2 y 2 + 2 z 2 + 2 x z − 2 x y − 2 y z = 1. (elipsoide) √ √ 5) x2 + 4 z 2 + 4 x z + 2 5 x + 4 5 z = 0. (par de planos paralelos) 6) −2 y 2 + x z − 4 y + 6 z = 5. (hiperboloide de dos hojas) 7) x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z = 11. (esfera) 8) 2 z 2 + 8 x + 4 y − 9 = 0. (cilindro parab´olico) 9) 2 x2 − y 2 + z 2 + 2 x + 3 y + 4 z − 2 = 0. (hiperboloide de una hoja) 10) 2 x y − 6 x + 10 y + z − 31 = 0. (paraboloide hiperb´olico) 11) 4 x2 + 9 y 2 − z 2 − 54 y − 50 z = 544. (cono el´ıptico) 12) 5 x2 + 5 y 2 − 10 x y − 2 x + 3 y + z + 1 = 0. (cilindro parab´olico) 13) 2 x2 + 2 y 2 + 5 z 2 − 4 x y − 2 x z + 2 y z + 10 x − 26 y − 2 z = 0. (paraboloide el´ıptico) 14) x2 + y 2 + 2 z 2 + 6 x y + 4 x z + 4 y z − 2 = 0. (cilindro hiperb´olico) 15) 3 x2 + 2 z 2 = 0. (recta) 16) x2 = 9. (par de planos paralelos)

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175

17) 4 x2 + 4 y 2 + 5 z 2 − 4 x z − 8 y z − 36 = 0. (cilindro el´ıptico) 10. Dada la cu´adrica 2 x2 − 10 x y − 8 x z − 7 y 2 − 10 y z + 2 z 2 + 6 x + 12 y − 6 z + 5 + λ = 0, calcular su ecuaci´on can´onica y clasificarla en funci´on del par´ametro λ.

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11 11.1

176

Ap´ endice Rango de una matriz

Sea A = (aij ), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, una matriz de m filas y n columnas. Elijamos k filas y k columnas de A, digamos las filas i1, i2, . . ., ik , con i1 < i2 < . . . < ik , y las columnas j1 , j2 , . . ., jk , con j1 < j2 < . . . < jk , k ≤ m, k ≤ n.   a11 · · · a1j1 · · · a1j2 · · · a1jk · · · a1n ..  .. .. ..  ..  . .  . . .    ai11 · · · ai1 j1 · · · ai1 j2 · · · ai1 jk · · · ai1 n   . ..  .. .. .. . A= .  . . . .  .  a  ik 1 · · · aik j1 · · · aik j2 · · · aik jk · · · aik n   . ..  .. .. ..  .. .  . . . am1

· · · amj1

· · · amj2

· · · amjk

· · · amn

Sea B = (bij ) la matriz k × k definida por brs = air js , es decir, los elementos de la matriz B son los elementos intersecci´ on de las k filas y k columnas de A elegidas. Se llama menor de A de orden k al de cualquier matriz B de orden k × k elegida de la manera indicada. En general, una submatriz de una matriz A es una matriz (no necesariamente cuadrada) constru´ıda tomando la intersecci´on de ciertas filas y columnas de A. En consecuencia, un menor de A de orden k es el determinante de una submatriz k × k de A. Definici´ on 11.1.1 Sea A = (aij ) una matriz de orden n × m. El rango (o caracter´ıstica) de A, que notaremos Rg A est´ a definido como sigue. Si A es la matriz nula, Rg A = 0. Caso contrario, Rg A es el n´ umero entero k, definido por la siguiente condici´ on: existe un menor de A de orden k no nulo, y todo menor de A de orden mayor que k es nulo. La matriz de un tal menor de orden k se llama submatriz principal. Tambi´en el menor se llama principal. Ejemplos  1 1 Rg 1 1 2 2  1 1  Rg 2 2 3 3

 2 0 0 0 =2 2 0  1 1 2 2 =1 3 3



 1 2 3 Rg 1 0 0  = 3 1 0 1

;

;

Rg 1 2 3




=1

Observaci´ on Si en la matriz A hay un menor de orden k no nulo y todos los menores de orden k +1 son nulos, entonces Rg A = k. En efecto, cualquier menor de orden k + 2 ser´a tambi´en cero (desarrollarlo por los elementos de una fila o columna). De la misma manera, los menores de orden k + 3, k + 4, . . . son nulos. Sea A una matriz de orden m × n. Si indicamos con C1, C2, . . . , Cn

las columnas de

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177

A, diremos que la columna Ci es combinaci´on lineal de las columnas Cj y Ck , con 1 ≤ j, k ≤ m, si existen n´ umeros α, β tales que Ci = α · Cj + β · Ck . En forma an´aloga se define una combinaci´on lineal de un n´ umero cualquiera de columnas, y una combinaci´on lineal de dos o m´as filas. Lema 11.1.1 Sea A = (aij ) una matriz de orden n. Si Rg A = n − 1 entonces una columna (fila) de A es combinaci´ on lineal de las columnas (filas) de un menor principal cualquiera de A. Dem. Vamos a suponer sin p´erdida de generalidad que a11 a12 · · · a1,n−1 a21 a22 ··· a2n 6= 0. α = det .. .. .. .. . . . . a an−1,2 · · · an−1,n−1 n−1,1 Por hip´otesis, det A = 0, luego a11An1 + a12An2 + · · · + a1n Ann = 0 a21An1 + a22An2 + · · · + a2n Ann = 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . an1 An1 + an2 An2 + · · · + ann Ann = det A = 0 Luego, como Ann = α 6= 0, resulta An1 a11 − α An1 a21 − a2n = − α .. .. .. . . . An1 ann = − an1 − α a1n = −

An2 An,n−1 a12 − · · · − a1,n−1 α α An2 An,n−1 a22 − · · · − a2,n−1 α α .. .. .. .. .. . . . . . An2 An,n−1 an2 − · · · − an,n−1 α α

Es decir, An1 An2 An,n−1 C1 − C2 − · · · − Cn−1 . α α α Una demostraci´on similar vale para filas en lugar de columnas. Cn = −

2

Proposici´ on 11.1.1 Todas las filas (columnas) de una matriz son combinaci´ on lineal de las filas (columnas) de un menor principal.

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178

Dem. Supongamos, sin p´erdida de generalidad, que las primeras k filas y las primeras k columnas de la matriz m × n A = (aij ) forman una matriz M = (mij ) cuyo determinante es principal. 

a11  a21  .  ..  a  k1 A =  ..  .   ar1  .  ..

am1

a12 a22 .. . ak2 .. . ar2 .. . am2

· · · a1k · · · a2k .. .. . . · · · akk .. .. . . · · · ark .. .. . . · · · amk

 · · · a1n · · · a2n  ..  .. . .   · · · akn   ..  .. . .   · · · arn  ..  .. . .  · · · amn

· · · a1s · · · a2s .. .. . . · · · aks .. .. . . · · · ars .. .. . . · · · ams

Elijamos una fila, digamos r, y una columna, digamos s, ampliada de M:  a11 a12 · · · a1k .. .. ..  ... . . .  N = ak1 ak2 · · · akk ar1 ar2 · · · ark

de A, y formemos la siguiente matriz  a1s ..  .  a  ks

ars

Como M es una submatriz principal, se tiene que detM 6= 0 y det N = 0. Entonces, la columna Cs de N es combinaci´on lineal de las columnas de M, o sea, existen λ1 , λ2 , . . . , λk ∈ R tales que   λ1 a11 + λ2 a12 + · · · + λk a1k = a1s      λ1 a21 + λ2 a22 + · · · + λk a2k = a2s .. .. .. .. . . . .    λ a + λ a + · · · + λ a = a 1 k1 2 k2 k kk 2s    λ a 1 r1 + λ2 ar2 + · · · + λk ark = ars Las k primeras ecuaciones de este sistema se pueden escribir M · λ = ds , donde     a1s λ1 a   λ2   , ds =  .2s  , λ= .  ..   ..  λk aks de donde λ = M −1 · ds . Luego la matriz k × 1 λ est´a determinada por ds y no depende de r. En consecuencia, cualquier columna Cs , 1 ≤ s ≤ n, de A es combinaci´on lineal con coeficientes λ1 , λ2 , . . . , λk de las columnas C2, C2 , . . . , Ck . En forma an´aloga se prueba para las filas de A.

2

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179

Proposici´ on 11.1.2 Sea A una matriz y sea B la matriz obtenida de A al sumar a una fila (columna) de A una combinaci´ on lineal de las dem´ as. Sean i1, i2, . . . , ik y j1, j2 , . . . , jk filas y columnas respectivamente de una matriz principal de A. Entonces i1, i2, . . . , ik y j1 , j2 , . . . , jk son filas y columnas de una matriz principal de B. En particular, A y B tienen el mismo rango. La proposici´on anterior permite calcular Rg A utilizando operaciones elementales. En efecto, la triangulaci´on de A se logra sumando a filas de A combinaciones lineales de otras filas de A. Luego las filas i1, i2, . . . , ik y columnas j1 , j2 , . . . , jk de A corresponden a una matriz principal si y s´olo si lo son de una matriz principal de la matriz triangulada, en esta u ´ltima se detectan de inmediato tales i1, i2, . . . , ik y j1 , j2 , . . . , jk . Ejemplo 

1 2 0 −1 1  1 1 2 0 0 A=  3 1 0 0 0 1 −2 −2 1 −1

  1 1 2 0 −1 1 1   0  0 −1 2 1 −1 −1 →   1 0 −5 0 3 −3 −2 0 −4 −2 2 −2 −1 0

  1 2 0 −1 1 1   0 −1 2 1 −1 −1  → →   0 0 −10 −2 2 3  0 0 −10 −2 2 3 



 → 

 1 2 0 −1 1 1 0 −1 2 1 −1 −1   0 0 −10 −2 2 3  0 0 0 0 0 0

El rango de la u ´ltima matriz es evidentemente 3. Luego, como se ha obtenido por el proceso de triangulaci´on, todas las anteriores, incluyendo A, tienen rango 3.

11.2

Matrices ortogonales

Definici´ on 11.2.1 Sea A ∈ Mn (R). A se dice ortogonal si A · AT = AT · A = In . De la definici´on se deduce que si A es ortogonal entonces es inversible y A−1 = AT . Propiedades 1) Si A es una matriz ortogonal entonces A−1 es ortogonal. 2) El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. 3) Si A es ortogonal, entonces det A = ±1. Proposici´ on 11.2.1 Si B es una base ortonormal de Rn , entonces [B]C es una matriz ortogonal. Dem. Sea B = {b~1 , b~2 , . . . , b~n } una base ortonormal de Rn y supongamos que   b11 b12 · · · b1n  b21 b22 · · · b2n    ~ ~ ~ [B]C = ( [b1]C [b2]C . . . [bn]C ) =  .. .. . . ..  .  . . .  . bn1 bn2 · · · bnn

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald 

[B]TC

    

  · [B]C =  

b11 b21 b12 b22 .. .. . . b1n b2n

h b~1 , b~1 i h b~1 , b~2 i h b~2 , b~1 i h b~2 , b~2 i .. .. . . ~ ~ ~ h bn , b1 i h bn , b~2 i

  · · · bn1  · · · bn2    . · .. . ..   · · · bnn

· · · h b~1 , b~n i · · · h b~2 , b~n i .. .. . . ~ · · · h bn , b~n i

b11 b12 b21 b22 .. .. . . bn1 bn2

180

 · · · b1n · · · b2n   ..  = .. . .  · · · bnn



   = In , luego [B]C es ortogonal. 

2

Corolario 11.2.1 Si B y B 0 son bases ortonormales de Rn entonces [B]B 0 es ortogonal. 0 T 0 Dem. [B]B 0 = [B 0]−1 C · [B]C = [B ]C · [B]C y como [B]C y [B ]C son ortogonales, [B]B 0 es ortogonal. 2

Proposici´ on 11.2.2 Si A ∈ Mn (R), entonces A es ortogonal si y solo si las columnas de A forman una base ortonormal de Rn . Dem. (⇒) Sea A = (bij ) ∈ Mn (R) una matriz ortogonal y B = {b~1 , b~2, . . . , b~n } con b~j = (b1j , b2j , . . . , bnj ), 1 ≤ j ≤ n. Entonces:   h b~1 , b~1 i h b~1 , b~2 i · · · h b~1 , b~n i  h b~ , b~ i h b~ , b~ i · · · h b~ , b~ i  2 2 2 n   2 1 T T A · A = A · A = In =   , por lo tanto . . . . . . . .   . . . . h b~n , b~1 i h b~n , b~2 i · · · h b~n , b~n i  1 si i = j ; 1 ≤ i, j ≤ n, luego B es una base ortonormal de Rn . hb~i , b~j i = 0 si i 6= j (⇐) Trivial de la proposici´on anterior, pues A = [B]C . 2

11.3

Sobre transformaciones lineales

N´ ucleo e Imagen de una transformaci´ on lineal Definici´ on 11.3.1 Sean V y W R-espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Se llama n´ ucleo de T al conjunto Nuc T = {~u ∈ V : T (~u) = ~0}. Definici´ on 11.3.2 Sean V y W R-espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Se llama imagen de T al conjunto Im T = {~v ∈ W : ~v = T (~u), con ~u ∈ V }.

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181

Ejemplos 1. Si T : E3 −→ E3 es la transformaci´on lineal que consiste en una proyecci´on ortogonal sobre un plano π que pasa por el origen, entonces Nuc T = L, donde L es la recta perpendicular a π por el origen e Im T = π. 2. Si T : V −→ V es la transformaci´on lineal identidad, T (~u) = ~u para todo ~u ∈ V, entonces Nuc T = {~0} y Im T = V. 3. Si T : V −→ W es la transformaci´on lineal nula, T (~u) = ~0 para todo ~u ∈ V entonces Nuc T = V e Im T = {~0}.

y

Proposici´ on 11.3.1 Sean V y W R-espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ on lineal, entonces Nuc T es un subespacio de V . Dem. Por definici´on Nuc T es un subconjunto de V. Veamos que se verifican las tres condiciones para ser subespacio. S1) N uc T 6= ∅, pues T (~0) = ~0. S2) Si ~u y ~v ∈ Nuc T entonces T (~u) = ~0 y T (~v) = ~0. Esto implica que T (~u + ~v) = T (~u) + T (~v)= ~0 + ~0 = ~0 y por lo tanto ~u + ~v ∈ Nuc T . S3) Si ~u ∈ Nuc T entonces T (λ.~u) = λ.T (~u) = λ.~0 = ~0 y entonces λ.~u ∈ Nuc T, para todo λ ∈ R. 2 Proposici´ on 11.3.2 Sean V y W R-espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ on lineal, entonces Im T es un subespacio de W . Dem. Por definici´on Im T es un subconjunto de W. S1) Im T 6= ∅, ya que T (~0) = ~0 y entonces ~0 ∈ Im T. S2) Si ~v y v~0 ∈ Im T entonces existen ~u y ~0) = T (~u) + T (u~0) = ~v + luego T (~u + u

u~0 ∈ V tales que T (~u) = ~v y T (u~0) = v~0, v~0, por lo que ~v + v~0 ∈ Im T.

S3) Si ~v ∈ Im T entonces existe ~u ∈ V tal que T (~u) = ~v, luego T (λ.~u) = λ.T (~u) = λ.~v, por lo tanto λ.~v ∈ Im T, para todo λ ∈ R. Como se verifican S1 , S2 y S3 , entonces Im T es un subespacio de W.

λ.~u ∈ V

y 2

Definici´ on 11.3.3 Una aplicaci´ on f : A −→ B se dice inyectiva si para x, x0 ∈ A, x 6= x0, 0 se tiene que f (x) 6= f (x ) o lo que es equivalente f (x) = f (x0 ) implica x = x0 . Definici´ on 11.3.4 Sean V y W R-espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ on lineal, entonces T se denomina:

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182

a) Monomorfismo, si T es inyectiva. b) Epimorfismo, si T es epiyectiva. c) Isomorfismo, si T es biyectiva. N´ ucleo de una transformaci´ on lineal inyectiva Proposici´ on 11.3.3 Sean V y W R-espacios vectoriales y T : V −→ W una transformaci´ on ~ lineal, entonces T es inyectiva si, y s´ olo si Nuc T = {0}. Dem. ⇒) Si ~u ∈ Nuc T, entonces T (~u) = ~0 y como T (~0) = ~0 resulta por ser T inyectiva que ~u = ~0. ⇐) Supongamos que T (~u) = T (u~0). Como T (~u − u~0 ) = T (~u) − T (u~0) = ~0 resulta que ~0 = ~0, lo que implica que ~u = u~0 . ~u − u~0 ∈ Nuc T = {~0}, luego ~u − u 2 Generadores de Im T Proposici´ on 11.3.4 Sean V y W R-espacios vectoriales, T : V −→ W una transformaci´ on lineal y V = {~v1, ~v2 , . . . , ~vs }, entonces Im T = {T (~v1), T (~v2), . . . , T (~vs )}. ~ = λ1 .T (~v1) + λ2.T (~v2) + · · ·+ λs .T (~vs) = Dem. Si w ~ ∈ {T (~v1), T (~v2), . . . , T (~vs)} entonces w ~ ∈ Im T. T (λ1.~v1 + λ2 .~v2 + · · · + λs .~vs ) = T (~v), por lo tanto w Rec´ıprocamente, si w ~ ∈ Im T entonces w ~ = T (~v), con ~v ∈ V = {~v1, ~v2 , . . . , ~vs }, por lo tanto w ~ = T (λ1 .~v1 + λ2 .~v2 + · · · + λs .~vs ) = λ1 .T (~v1) + λ2 .T (~v2) + · · · + λs .T (~vs), y por lo tanto w ~ ∈ {T (~v1), T (~v2), . . . , T (~vs )}.

2

Observaci´ on La dimensi´on de la imagen de T se denomina el rango de T y es igual al n´ umero de columnas(filas) linealmente independientes de [T ]B . El siguiente teorema establece una relaci´on entre las dimensiones de la imagen y el n´ ucleo de una transformaci´on lineal definida en un espacio vectorial de dimensi´on finita y proporciona una important´ısima herramienta para el estudio de las trasformaciones lineales. Teorema 11.3.1 (Teorema de la dimensi´ on) Sean V y W R-espacios vectoriales tal que dimRV = n y T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Entonces dimR V = dimRNuc T + dimR Im T

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183

Dem. Si Nuc T = V, entonces T es la transformaci´on lineal nula e Im T = {~0} y el teorema se verifica. Si N uc T 6= V, sea r = dimR Nuc T y probemos que dimRIm T = n − r. Sea {~b1, ~b2, . . . , ~br } una base de Nuc T. Si r 6= 0, por ser r vectores linealmente independientes de V, se pueden extender a una base {~b1, . . . , ~br , ~br+1 , . . . , ~bn } de V . Si r = 0, se elige una base cualquiera de V . Vamos a demostrar que {T (~br+1), . . . , T (~bn )} es una base de Im T, de donde resulta que dimRIm T = n − r. 1) {T (~br+1), . . . , T (~bn)} es linealmente independiente. En efecto, supongamos que λ1 .T (~br+1) + λ2 .T (~br+2) + · · · + λn−r .T (~bn) = ~0, entonces T (λ1 .~br+1 + λ2 .~br+2 + · · · + λn−r .~bn ) = ~0, esto implica que ~u = λ1 .~br+1 + λ2 .~br+2 + · · · + λn−r .~bn ∈ Nuc T . Si Nuc T = {~0} entonces ~u = ~0 y λi = 0 para todo i, 1 ≤ i ≤ n − r, pues {~br+1, ~br+2, . . . , ~bn } es linealmente independiente. Si Nuc T 6= {~0}, es decir, si r 6= 0, ~u = α1 .~b1 + α2 .~b2 + · · · + αr .~br , con α1 , . . . , αr ∈ R. Entonces λ1 .~br+1 + · · · + λn−r .~bn = α1 .~b1 + α2 .~b2 + · · · + αr .~br , por lo tanto (−α1).~b1 + (−α2).~b2 + · · · + (−αr ).~br + λ1 .~br+1 + · · · + λn−r .~bn = ~0 y como {~b1, . . . , ~br , ~br+1 , . . . , ~bn } es linealmente independiente, resulta que todos los escalares de esta combinaci´on lineal son nulos, en particular λi = 0 para todo i, 1 ≤ i ≤ n − r. 2) Im T = {T (~br+1), . . . , T (~bn )}. Como V = {~b1 , ~b2, . . . , ~bn }, entonces Im T = {T (~b1), . . . , T (~br ), T (~br+1), . . . , T (~bn)}. Pero T (~b1) = T (~b2) = · · · = T (~br ) = ~0, luego Im T = {T (~br+1), . . . , T (~bn)}. Por lo tanto, dimRIm T = n − r = dimRV − dimR Nuc T o sea dimRV = dimR Nuc T + dimRIm T y el teorema queda demostrado. 2 Corolario 11.3.1 Si T : V −→ W es una transformaci´ on lineal biyectiva entonces dimRV = dimR W . Dem. T es biyectiva, entonces Nuc T = {~0} e Im T = W, por lo tanto dimR Nuc T = 0 y dimRIm T = dimRW. Por el teorema de la dimensi´on dimR V = dimR Nuc T + dimR Im T = dimRIm T = dimR W.

2

´ Algebra y Geometr´ıa por Ana Mar´ıa Suard´ıaz y Julio A. Sewald Corolario 11.3.2 Si dimR V = dimR W y T : V −→ W entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

184

es una transformaci´ on lineal,

a) T es inyectiva. b) T es suryectiva. c) T es biyectiva. Dem. a) ⇒ b) Como T es inyectiva Nuc T = {~0} y dimR Nuc T = 0. Por el teorema de la dimensi´on dimR V = dimR Im T = dimR W. Como Im T es un subespacio de W de igual dimensi´on, resulta que Im T = W y entonces T es suryectiva. b) ⇒ c) Como T es suryectiva Im T = W y dimRIm T = dimRW. Falta ver que es inyectiva. dimRW = dimR V = dimR Nuc T + dimR Im T = dimR Nuc T + dimR W, de donde resulta dimRNuc T = 0 y entonces Nuc T = {~0}, por lo tanto T es inyectiva. c) ⇒ a) Trivial. 2 Ejemplos 1. Consideremos la transformaci´on lineal T : R4 −→ R3 definida de la siguiente manera: T (x1, x2, x3 , x4) = (x1 − x2 + x3 − 2 x4 , x1 − 3 x2 + 4 x3 − 3 x4 , x1 + x2 − 2 x3 − x4). N uc T = {(x1, x2 , x3, x4) : T (x1, x2, x3 , x4) = (0, 0, 0)}. Resolvemos el sistema hom´ogeneo    x1 − x2 + x3 − 2 x4 = 0 x1 − x2 + x3 − 2 x4 = 0 x1 − 3 x2 + 4 x3 − 3 x4 = 0 y obtenemos . −2 x2 + 3 x3 − x4 = 0  x1 + x2 − 2 x3 − x4 = 0 Luego, Nuc T = {(−3 x2 + 5 x3 , x2 , x3 , −2 x2 + 3 x3 ) : x2, x3 ∈ R}. Una base de Nuc T es B = {(−3, 1, 0, −2), (5, 0, 1, 3)}. Como dimRNuc T = 2 resulta que dimR Im T = 2. Para hallar una base de Im T basta con extender la base de Nuc T a una base de R4 y calcular los transformados de los vectores que se agregan. As´ı, {(−3, 1, 0, −2), (5, 0, 1, 3), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} es una base de R4 y los vectores T (0, 0, 1, 0) y T (0, 0, 0, 1) forman una base de Im T. Entonces B 0 = {(1, 4, −2), (−2, −3, −1)} es una base de Im T.

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185

2. Definamos una transformaci´on lineal T : R4 −→ Rn , para n adecuado, de modo tal que T sea un epimorfismo y Nuc T = {(1, 0, −1, 0), (2, 1, 1, −1)}. Como dimR Nuc T = 2, entonces dimR Im T = 2 y debemos tomar n = 2. Extendemos la base de Nuc T a una base B de R4 . Sea B = {(1, 0, −1, 0), (2, 1, 1, −1), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}. Definamos T : R4 −→ R2 como sigue: T (1, 0, −1, 0)

=

(0, 0)

T (2, 1, 1, −1)

=

(0, 0)

T (1, 0, 0, 0)

=

(1, 0)

T (0, 1, 0, 0)

=

(0, 1)

Los transformados de (1, 0, 0, 0) y (0, 1, 0, 0) deben ser linealmente independientes pues forman una base de Im T. Queda a cargo del alumno hallar la expresi´on general de la transformaci´on lineal definida. Observemos que si T no es epimorfismo, se puede tomar n ≥ 2 y elegir otra base de R4. Por otra parte, los transformados de los vectores de la base pueden definirse de muchas maneras, siempre que se respeten las condiciones del ejercicio. Transformaciones lineales ortogonales Definici´ on 11.3.5 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno. Una transformaci´ on lineal T : V −→ V se dice ortogonal si k~vk = kT (~v)k, para todo ~v ∈ V, o lo que es equivalente, hT (~v), T (~v)i = h~v , ~vi para todo ~v ∈ V. Ejemplos 1. Si T : E2 −→ E2 es la rotaci´on alrededor del origen en un ´angulo α, entonces T es ortogonal. 2. Si T : E3 −→ E3 es la rotaci´on en un ´angulo α alrededor de una recta que pasa por el origen, entonces T es ortogonal. 3. Si T : E3 −→ E3 es la proyecci´on sobre un plano que pasa por el origen, entonces T no es ortogonal. Proposici´ on 11.3.5 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno. Si T : V −→ V es una transformaci´ on lineal ortogonal se verifican las siguientes propiedades: a) k~u − ~v k = kT (~u) − T (~v)k, para todo ~u, ~v ∈ V. b) h~u, ~vi = hT (~u), T (~v)i, para todo ~u, ~v ∈ V. c) Si h~u, ~vi = 0 entonces hT (~u), T (~v)i = 0. d) ´ang(~u, ~v ) = a ´ng(T (~u), T (~v)), para todo ~u, ~v ∈ V.

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186

Dem. a) kT (~u) − T (~v)k = kT (~u − ~v)k = k~u − ~vk. b) h~u + ~v, ~u + ~vi = k~u + ~vk2 = kT (~u + ~v)k2 = kT (~u) + T (~v)k2 = hT (~u) + T (~v), T (~u) + T (~v)i = kT (~u)k2 + 2 hT (~u), T (~v)i + kT (~v)k2 = k~uk2 + 2 hT (~u), T (~v)i + k~vk2 . Por otro lado h~u +~v , ~u +~vi = k~uk2 +2 h~u, ~vi+k~v k2 de donde resulta h~u, ~vi = hT (~u), T (~v)i. c) Resulta trivialmente de b). d) Resulta de la igualdad

hT (~u), T (~v)i h~u, ~v i = . k~ukk~vk kT (~u)kkT (~v)k 2

Proposici´ on 11.3.6 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno de dimensi´ on finita y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Si con T (B) notamos al conjunto de los transformados de los vectores de una base B, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: a) T es ortogonal. b) T (B) es una base ortonormal de V, para toda base ortonormal B de V . c) T (B) es una base ortonormal de V, para alguna base ortonormal B de V . Dem. a) ⇒ b) Si B = {~b1, ~b2 , . . . , ~bn } es una base ortonormal, como T es ortogonal, entonces por la  1 si i = j proposici´on 11.3.5 b) hT (b~i), T (b~j )i = hb~i , b~j i = . 0 si i 6= j Luego T (B) = {T (b~1), T (b~2), . . . , T (b~n)} es una base ortonormal de V . b) ⇒ c) Trivial. c) ⇒ a) Sea B = {~b1 , ~b2, . . . , ~bn } una base ortonormal de V tal que {T (b~1), T (b~2), . . . , T (b~n)} es ortonormal y supongamos que ~v = λ1 .~b1 + λ2 .~b2 + · · · + λn .~bn. Entonces h~v , ~vi = λ2 + λ2 + · · · + λ2 . Adem´as T (~v) = T (λ1 .~b1 + λ2 .~b2 + · · · + λn .~bn ) = 1

2

n

λ1 .T (~b1) + λ2 .T (~b2) + · · · + λn .T (~bn) lo que implica que hT (~v), T (~v)i = λ21 + λ22 + · · · + λ2n , de donde concluimos que h~v, ~v i = hT (~v), T (~v)i. 2 Las propiedades anteriores muestran que si T es una tranformaci´on lineal ortogonal entonces T conserva distancias, ´angulos y productos escalares entre vectores y adem´as transforma vectores ortogonales en vectores ortogonales.

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187

Teorema 11.3.2 Sea V un R-espacio vectorial con producto interno de dimensi´ on finita y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: a) T es ortogonal. b) [T ]B es ortogonal, para toda base ortonormal B de V . c) [T ]B es ortogonal, para alguna base ortonormal B de V . Dem. a) ⇒ b) Sea B = {~b1, ~b2 , . . . , ~bn } una base ortonormal de V . Como T es ortogonal, por la proposici´on 11.3.6, los vectores columnas de [T ]B forman una base ortonormal de Rn lo que implica que [T ]B es ortogonal. b) ⇒ c) Trivial. c) ⇒ a) Sea B = {~b1 , ~b2, . . . , ~bn } una base ortonormal de V tal que [T ]B es ortogonal. Por la proposici´on 11.3.6, como {T (~b1), T (~b2), . . . , T (~bn )} es una base ortonormal de V, T es ortogonal. 2 Ejemplo

  x=1+λ y=0 ; λ ∈ R. Sean π : x − y + z = 0 y L :  z =2+λ Queremos determinar si la transformaci´on lineal T : R3 −→ R3 que es la simetr´ıa con respecto a π, paralelamente a L, es una tansformaci´on lineal ortogonal. Por el teorema 11.3.2, debemos hallar la matriz de T con respecto a una base ortonormal, por ejemplo la base can´onica, y ver si dicha matriz es ortogonal. Observemos que con respecto a la base B = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)},   −1 0 0 [T ]B =  0 1 0  , es una matriz ortogonal, pero como B no es una base ortonormal, 0 0 1 para ver si la transformaci´on lineal es ortogonal, debemos calcular [T ]C .      1 1 0 −1 0 0 1/2 −1/2 −1      0 1 1 · 0 1 0 · 1/2 1/2 [T ]C = [B]C · [T ]B · [B]C = 1 0 1 0 0 1 −1/2 1/2       0 1 −1 1/2 −1/2 1/2 −1 1 0  0 1 1  ·  1/2 0 . 1/2 −1/2  =  0 1 −1 1 0 −1/2 1/2 1/2 −1 0 1 Por lo tanto T no es ortogonal.

 1/2 −1/2  = 1/2

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188

El espacio vectorial de las transformaciones lineales Si V y V 0 son R-espacios vectoriales, indicaremos con L(V, V 0 ) al conjunto formado por todas las transformaciones lineales de V en V 0 . Proposici´ on 11.3.7 L(V, V 0 ) es un R-espacio vectorial si se definen: 1) La suma T + T 0 de dos transformaciones lineales T : V −→ V 0 y T 0 : V −→ V 0 de la siguiente forma: T + T 0 : V −→ V 0 ; (T + T 0 )(~u) = T (~u) + T 0(~u), para todo ~u ∈ V . 2) El producto de un escalar λ por una transformaci´ on lineal T : V −→ V 0 como sigue: λ.T : V −→ V 0 ; (λ.T )(~u) = λ.T (~u), para todo ~u ∈ V, λ ∈ R. Dem. Ejercicio. Probar que si T y T 0 est´an en L(V, V 0) tambi´en lo est´an T + T 0 y λ.T, λ ∈ R y verificar los axiomas de espacios vectoriales. El vector nulo de L(V, V 0) es la transformaci´on lineal O : V −→ V 0 definida por O(~u) = ~0, para todo ~u ∈ V, ya que se verifica que (T + O)(~u) = T (~u) + O(~u) = T (~u) + ~0 = T (~u), esto es T + O = T, para cualquier T ∈ L(V, V 0 ).

2

Ejemplo Si T y T 0 son las transformaciones lineales de R3 −→ R2 definidas por: T (x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3 , 2 x1 + x3) , entonces, (T + T 0)(x1, x2 , x3) (5.T )(x1, x2 , x3)

T 0(x1, x2 , x3) = (2 x1 + 3 x2 − x3 , x1 + 2 x3 )

= (3 x1 + 4 x2 − 2 x3 , 3 x1 + 3 x3 ) = (5 x1 + 5 x2 − 5 x3 , 10 x1 + 5 x3 )

Proposici´ on 11.3.8 Sean V y V 0 R-espacios vectoriales de dimensi´ on finita, T : V −→ V 0 y T 0 : V −→ V 0 transformaciones lineales. Si B y B 0 son bases ordenadas de V y V 0 respectivamente, entonces: a) [T + T 0]BB 0 = [T ]BB 0 + [T 0]BB 0 . b) [λ.T ]BB 0 = λ.[T ]BB 0 ; λ ∈ R. Dem. A cargo del lector entusiasta. Ejemplo Sean T y T 0 las transformaciones lineales de R3 −→ R2 tales que, T (x1, x2, x3) = (x1 + x2 , x1) y T 0(x1, x2, x3 ) = (x3 , −x2). Consideremos las bases: B = {(1, 0, 1), (0, −1, 0), (2, 0, 0)} y B 0 = {(1, −1), (0, 1)}. Entonces:

2

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0

a) [T + T ]BB 0 =



2 3

−1 0

2 4



189

.

En efecto: T (~b1) = T (1, 0, 1) = (1, 1) = 1.(1, −1) + 2.(0, 1) = 1.b~01 + 2.b~02. T (~b2) = T (0, −1, 0) = (−1, 0) = −1.(1, −1) − 1.(0, 1) = −1.b~01 − 1.b~02. T (~b3) = T (2, 0, 0) = (2, 2) = 2.(1, −1) + 4.(0, 1) = 2.b~01 + 4.b~02.   1 −1 2 Luego: [T ]BB 0 = ([T (~b1)]B 0 [T (~b2)]B 0 [T (~b3)]B 0 ) = . 2 −1 4 An´alogamente, T 0(~b1) = T 0(1, 0, 1) = (1, 0) = 1.b~01 + 1.b~02. T 0(~b2) = T 0(0, −1, 0) = (0, 1) = 0.b~01 + 1.b~02. T 0(~b3) = T 0(2, 0, 0) = (0, 0) = 0.b~01 + 0.b~02.   1 0 0 0 Por lo tanto, [T ]BB 0 = 1 1 0  1 −1 0 Resulta entonces, [T + T ]BB 0 = 2 −1   3 −3 6 . b) [3.T ]BB 0 = 3.[T ]BB 0 = 6 −3 12

2 4



+



1 1

0 1

0 0



=



2 3

−1 0

2 4

 .

Composici´ on de transformaciones lineales Proposici´ on 11.3.9 Sean V, V 0 y V 00 R-espacios vectoriales T : V −→ V 0 y T 0 : V 0 −→ V 00 transformaciones lineales. La composici´ on T 0 ◦ T : V −→ V 00, definida de la siguiente manera: 0 0 on lineal. (T ◦ T )(~u) = T (T (~u)), para todo ~u ∈ V, es una transformaci´ Dem. Si ~u, ~v ∈ V, entonces (T 0 ◦ T )(~u + ~v ) = T 0(T (~u + ~v )) = T 0(T (~u) + T (~v)) = 0 T (T (~u)) + T 0(T (~v)) = (T 0 ◦ T )(~u) + (T 0 ◦ T )(~v). (T 0 ◦ T )(λ.~u) = T 0(T (λ.~u)) = T 0(λ.T (~u)) = λ.T 0(T (~u)) = λ.(T 0 ◦ T )(~u); λ ∈ R.

2

Ejemplo Sean T : R4 −→ R2 y T 0 : R2 −→ R3 definidas por: T (x1, x2, x3 , x4) = (x1 − x2 + x3 − x4 , x1 + x2 ) , T 0(x1, x2) = (x1 − x2 , x1 + x2 , x2) Entonces: (T 0 ◦T )(x1, x2, x3, x4 ) = T 0(x1 −x2 +x3 −x4 , x1 +x2) = (−2 x2 +x3 −x4 , 2 x1 +x3 −x4 , x1 +x2). Proposici´ on 11.3.10 Sean V, V 0 y V 00 R-espacios vectoriales, B, B 0 y B 00 bases ordenadas de V, V 0 y V 00, respectivamente. Si T : V −→ V 0 y T 0 : V 0 −→ V 00 son transformaciones lineales se tiene que: [T 0 ◦ T ]BB 00 = [T 0]B 0B 00 · [T ]BB0 .

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Dem. ([T 0]B 0B 00 · [T ]BB 0) · [~v]B = [T 0]B 0B 00 · ([T ]BB 0 · [~v]B ) = [T 0]B 0B 00 · [T (~v)]B 0 = [T 0(T (~v))]B 00 = [(T 0 ◦ T )(~v)]B 00 = [T 0 ◦ T ]BB 00 · [~v]B , para todo ~v ∈ V.

2

Ejemplo Sean T : R4 −→ R2 y T 0 : R2 −→ R3 definidas por: T (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2 + x3 − x4 , x1 + x2 ) , T 0(x1, x2 ) = (x1 − x2 , x1 + x2 , x2). Considerando las bases can´onicas C4 , C2 y C3 de R4 , R2 y R3 respectivamente, las matrices asociadas son:     1 −1 1 −1 1 −1 ; [T 0]C2C3 =  1 1  y [T ]C4C2 = 1 1 0 0 0 1       1 −1 0 −2 1 −1 1 −1 1 −1 [T 0 ◦ T ]C4C3 =  1 1 · = 2 0 1 −1  , por lo tanto 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 (T 0 ◦ T )(x1, x2, x3, x4) = (−2 x2 + x3 − x4 , 2 x1 + x3 − x4 , x1 + x2). Transformaciones lineales inversibles Definici´ on 11.3.6 Sean V y V 0 R-espacios vectoriales de dimensi´ on finita y T : V −→ V 0 una funci´ on. T se dice inversible si existe una aplicaci´ on T 0 : V 0 −→ V tal que T ◦T 0 = idV 0 0 y T ◦ T = idV . Si T 0 existe, es u ´nica y se denomina inversa de T . La notaremos T 0 = T −1 . Proposici´ on 11.3.11 Sean V y V 0 R-espacios vectoriales de dimensi´ on finita y T : V −→ V 0 −1 una transformaci´ on lineal inversible, entonces T es una transformaci´ on lineal y si B y B 0 son bases ordenadas de V y V 0 respectivamente, entonces [T −1]B 0B = [T ]−1 BB 0 . Dem. T1) Sean u~0 y v~0 ∈ V 0 . Como T es una biyecci´on u~0 = T (~u) y v~0 = T (~v), lo que implica que ~u = T −1 (u~0) y ~v = T −1 (v~0). Por lo tanto, u~0 + v~0 = T (~u) + T (~v) = T (~u + ~v ) de donde ~u + ~v = T −1 (u~0 + v~0). Luego T −1(u~0 ) + T −1(v~0) = T −1(u~0 + v~0). T2) Sea u~0 ∈ V 0 y λ ∈ R. λ.u~0 = λ.T (~u) = T (λ.~u), de donde resulta que T −1 (λ.u~0) = λ.~u = λ.T −1(u~0 ). De T1) y T2) resulta que T −1 es transformaci´on lineal. De la proposici´on 11.3.10, considerando V 00 = V , B 00 = B y T 0 = T −1 se deduce que [T −1]B 0B = [T ]−1 BB 0 . Observaciones 1. T es inversible si, y s´olo si T es biyectiva. 2. Si T : V −→ V 0 es inversible, entonces dimR V = dimR V 0.

2

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3. T es inversible si, y s´olo si det([T ]BB 0) 6= 0. Ejemplo

 1 2 0 Sea T : R3 −→ R3 tal que A = [T ]C =  −1 1 0  . Como det A 6= 0, entonces T es 0 0 1   1/3 −2/3 0 −1 inversible. [T −1 ]C = [T ]−1 =  1/3 1/3 0  . C =A 0 0 1 Por lo tanto T −1(x, y, z) = (

11.4



x −2y x + y , , z). 3 3

Sobre transformaciones lineales sim´ etricas

Proposici´ on 11.4.1 Si T : R3 −→ R3 es una transformaci´ on lineal sim´etrica entonces 3 hT (~u) , ~vi = h~u , T (~v)i, para todo ~u , ~v ∈ R . Dem. Basta probar el resultado para los vectores de una base ortonormal B = {b~1 , b~2 , b~3 } de R3. Sea [T ]B = (aij ). Si h ∈ {1 , 2 , 3} entonces (b~h )B = (α1 , α2 , α3 ) con αh = 1 y αk = 0, para todo k 6= h.       a11 a12 a13 α1 a1i [T (b~i)]B =  a21 a22 a23  ·  α2  =  a2i  , por lo tanto hT (b~i ) , b~j i = aji . a31 a32 a33 α3 a3i An´alogamente hb~i , T (b~j )i = aij . Como T es una transformaci´on lineal sim´etrica y B es una base ortonormal entonces [T ]B es sim´etrica, es decir aij = aji y entonces hT (b~i ) , b~j i = hb~i , T (b~j )i. 2 Proposici´ on 11.4.2 Si T : R3 −→ R3 es una transformaci´ on lineal sim´etrica entonces autovectores correspondientes a autovalores distintos son perpendiculares. Dem. Si λ1 , λ2 , λ1 6= λ2 , son autovalores de T con autovectores asociados b~1 y b~2, respectivamente, entonces T (b~1) = λ1 .b~1 y T (b~2) = λ2 .b~2 . Como T es una transformaci´on lineal sim´etrica entonces hT (b~1) , b~2 i = hb~1 , T (b~2)i, lo que implica hλ1 .b~1 , b~2 i = hb~1 , λ2 .b~2i, por lo tanto (λ1 − λ2 )hb~1 , b~2i = 0. Como λ1 6= λ2 entonces hb~1 , b~2 i = 0 luego b~1 es perpendicular a b~2 pues b~1 6= ~0 y b~2 6= ~0. 2 on lineal sim´etrica, entonces todas Proposici´ on 11.4.3 Si T : R3 −→ R3 es una transformaci´ las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son reales.

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Dem. Sea A = [T ]C . Como det (A − x · I3) es un polinomio de grado 3 con ceficientes reales, admite por lo menos una ra´ız real λ1 . Sea b~1 un autovector unitario asociado a λ1 , es decir T (b~1) = λ1 .b~1. Consideremos b~2 perpendicular a b~1 tal que kb~2k = 1 y b~3 = b~1 ∧ b~2. Entonces que B = {b~1 , b~2 , b~3} es una base ortonormal de R3.       λ1 a d ~ ~ ~      , [T (b2)]B = b y [T (b3)]B = e  , entonces 0 Como [T (b1)]B = 0 c f   λ1 a d A0 = [T ]B =  0 b e  0 c f Como B es una base ortonormal y T es una transformaci´on lineal sim´etrica A0 = A0 t, de donde a = d = 0 y e = c. Luego,   λ1 0 0 A0 = [T ]B =  0 b c  0 c f Teniendo en cuenta que det (A − x · I3 ) = det (A0 − x · I3) resulta λ1 − x 0 0 b−x c = (λ1 − x)[x2 − (b + f )x + bf − c2 ]. det (A − x · I3) = 0 0 c f −x (b + f )2 − 4(bf − c2) = (b − f )2 + 4c2 ≥ 0 por lo tanto x2 − (b + f )x + bf − c2 tiene sus ra´ıces reales y como λ1 ∈ R, det (A − x · I3 ) tiene todas sus ra´ıces reales.

2

Los resultados anteriores permiten caracterizar a las transformaciones lineales sim´etricas a partir de los dos teoremas siguientes: Teorema 11.4.1 Sea T : R3 −→ R3 una transformaci´ on lineal. Si existe una base ortonormal B tal que [T ]B es diagonal entonces T es una transformaci´ on lineal sim´etrica. Adem´ as B est´ a formada por autovectores de T y los elementos de la diagonal principal de [T ]B son los correspondientes autovalores. Dem. Como A = [T ]B es una matriz diagonal entonces A = AT y como B es una base ortonormal, T es una transformaci´on lineal sim´etrica. 

λ1 ~ ~ ~ ~ ~ ~  Sea B = {b1 , b2 , b3} y [T ]B = ([T (b1)]B [T (b2)]B [T (b3)]B ) = 0 0

0 λ2 0

 0 0  , por lo tanto λ3

T (b~1) = λ1 .b~1 , T (b~2) = λ2 .b~2 y T (b~3) = λ3 .b~3, con b~1 , b~2 y b~3 vectores no nulos, lo que implica que b~1 , b~2 y b~3 son autovectores asociados a λ1 , λ2 y λ3 , respectivamente.

2

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Teorema 11.4.2 Si T : R3 −→ R3 es una transformaci´ on lineal sim´etrica entonces existe una base ortonormal B tal que [T ]B es diagonal. Dem. Sea A = [T ]C . Como T es una transformaci´on lineal sim´etrica, posee sus autovalores λ1 , λ2 y λ3 . Se presentan los siguientes casos: a) λ1 6= λ2 6= λ3 6= λ1 Sean b~1 , b~2 y b~3 autovectores de m´odulo 1, asociados a λ1 , λ2 y λ3 , respectivamente. Como T es transformaci´on lineal sim´etrica, estos vectores son perpendiculares dos a dos es decir, B = {b~1 , b~2 , b~3 } es una base ortonormal de R3 . Por otra parte, T (b~1) = λ1 .b~1 , T (b~2) = λ2 .b~2 y T (b~3) = λ3 .b~3, de donde,   λ1 0 0 [T ]B =  0 λ2 0  0 0 λ3 b)

λ1 6= λ2 = λ3 Sean b~1 y b~2 autovectores de m´odulo 1, asociados a λ1 y λ2 , respectivamente. Como λ1 6= λ2 y T es una transformaci´on lineal sim´etrica b~1 es perpendicular a b~2. Sea b~3 = b~1 ∧ b~2. Observemos que kb~3k = 1, es decir, B = {b~1 , b~2 , b~3} es una base ortonormal de R3 y si T (~b3) = a.~b1 + b.~b2 + c.~b3  λ1 0 A0 = [T ]B =  0 λ2 0 0

 a b c

Como B es una base ortonormal y T es una transformaci´on lineal sim´etrica, entonces A0 = [T ]B es una matriz sim´etrica, lo que implica a = b = 0 y por lo tanto   λ1 0 0 [T ]B =  0 λ2 0  0 0 c Sabemos que, det (A − x · I3) = (λ1 − x)(λ2 − x)(λ2 − x) = det (A0 − x · I3 ) = (λ1 − x)(λ2 − x)(c − x), entonces c = λ2 y T (b~3) = λ2 .b~3. Luego b~3 es un autovector asociado a λ2 y   λ1 0 0 [T ]B =  0 λ2 0  0 0 λ2

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c) λ1 = λ2 = λ3 Sea b~1 un autovector de m´odulo 1 asociado a λ1 . Consideremos b~2 perpendicular a b~1 tal que kb~2k =1 yb~3 = b~1 ∧ b~2. As´ı,  B ={b~1 , b~2 , b~3} es  una  base ortonormal de λ1 a d R3 y [T (b~1)]B =  0  . Sean [T (b~2)]B =  b  y [T (b~3)]B =  e  , entonces 0 c f   λ1 a d A0 = [T ]B =  0 b e  0 c f Como B es una base ortonormal y T es una transformaci´on lineal sim´etrica, entonces A0 = [T ]B es sim´etrica, lo que implica a = d = 0, c = e y   λ1 0 0 A0 = [T ]B =  0 b c  0 c f Teniendo en cuenta que, det (A0 − x · I3) = det (A − x · I3 ), resulta λ1 − x 0 0 0 b−x c = (λ1 − x)[x2 − (b + f )x + bf − c2 ] = (λ1 − x)3 . 0 c f − x Luego, λ1 es ra´ız doble de x2 − (b + f )x + b f − c2 por lo tanto,

(b + f )2 − 4(bf − c2) = (b − f )2 + 4c2 = 0, lo que implica (b − f )2 = 0 y 4c2 = 0, es decir, b = f y c = 0. Tenemos entonces que   λ1 0 0 [T ]B =  0 b 0  0 0 b y por consiguiente los autovalores de T son λ1 , b , b, de donde obtenemos que b = λ1 y   λ1 0 0 [T ]B =  0 λ1 0  = λ1 · I3 0 0 λ1 2

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