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Investigación de Operaciones I

Fermín Rolando Montesinos Chávez

UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS Investigación de Operaciones I Problemas Tipo Son problemas representativos que se muestran para ser analizados y ser resueltos. El objetivo es facilitar al alumno su iniciación en la formulación de problemas de programación lineal. Esto se relaciona fuertemente con el método didáctico empleado, el cual se basa sustancialmente en la participación activa de los alumnos en clase. Por este motivo es necesario que los mismos trabajen sobre los problemas tipo y así, posteriormente, en la resolución de los ejercicios propuestos para cada ocasión. De esta forma, se posibilitará una mejor comprensión en la formulación actuando como catalizador positivo de la participación en clase y de la asimilación de los temas. Problemas para resolver Debe quedar claro que en los planteos de programación lineal no existe una única solución posible. Un mismo enunciado puede ser planteado de diversas maneras (cada una con sus hipótesis particulares) y todas ellas ser correctas, siempre que no se modifique ningún aspecto del enunciado dado. Para un óptimo aprovechamiento del tiempo de estas clases, los alumnos deberán traer planteados los problemas. De esta manera podrán presentarle sus dificultades en cada resolución y el grupo podrá profundizar el análisis de los diversos planteos obtenidos. Así se enriquecerá la clase, ya que para cada enunciado se planteará no una, sino varias formas de resolverlo. Y al verlo desde diversos puntos de vista se hace más fácil la comprensión y el dominio del tema en estudio. Cuando se encuentren serias dificultades para resolver un ejercicio, se podrán consultar los problemas tipo buscando soluciones similares dentro de los enunciados. Una vez resuelto el problema, se deberá buscar dentro de los problemas para resolver, un enunciado similar para reafirmar los conceptos aprehendidos. Nunca puede considerarse sabido un tema, con sólo haber leído y comprendido problemas resueltos por otra persona. Únicamente resolviendo una a una las dificultades que se van presentando al realizar el planteo de un problema, pueden irse incorporando los distintos conceptos de programación lineal. Además es importante que los alumnos se acostumbren a que la resolución de los ejercicios debe efectuarse en forma prolija, clara y, en el caso de los modelos, a identificar cada grupo de inecuaciones en forma precisa junto con sus variables correspondientes. 1. El dueño de un restaurante necesitará en 3 días sucesivos 40, 60 y 70 manteles. El puede adquirir manteles a un costo de S/. 20 cada una y después de haberlos usado, puede mandar manteles sucios a lavar, para lo cual tiene 2 servicios de lavandería disponibles: uno rápido (el lavado tarda 1 (día) que cuesta S/. 15 por cada mantel y uno normal (tarda 2 días) que cuesta S/. 8 por mantel. Formule un modelo que permita conocer al dueño del restaurante que número de manteles debe comprar inicialmente y que número debe mandar a lavar cada día para minimizar sus costos. 2. Una carnicería de la ciudad acostumbra preparar la carne para la elaboración de albóndigas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda S/. 80 la libra; la carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y cuesta S/. 60 la libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda en cada libra de 1

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albóndigas, si se desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25%? 3. Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A S/. 700; B S/. 3,500; C S/. 7,000. Producir cada unidad de A necesita 1 hora de trabajo. Producir una unidad de B necesita 2 horas de trabajo, más 2 unidades de A. Producir una unidad de C necesita 3 horas de trabajo, más 1 unidad de B. Cualquier unidad de A utilizada para producir B, no puede ser vendida. Similarmente cualquier unidad de B utilizada para producir C, no puede ser vendida. Para este período de planificación están disponibles 40 horas de trabajo. Formule y Construya el modelo Lineal que maximice los ingresos de la empresa. 4. La empresa BOMBA S. A. fabrica y vende dos tipos de bombas hidráulicas: (1) normal y (2) extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las bombas implica tres actividades: ensamblado, pintura y pruebas (control de calidad). Los requerimientos de recursos para ensamblaje, pintura y prueba se muestran en la tabla N° 01. La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es S/. 50, en tanto que la utilidad por una bomba extra grande es S/. 75. existen disponibles por semana 4800 horas de tiempo de ensamble, 1980 de tiempo de pintura y 900 horas de tiempo de prueba. Las experiencias anteriores de venta señalan que la empresa puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extra grande por semana. A la empresa le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades. TABLA N° 01 Requerimiento de manufactura (horas) Tipo

Tiempo de Ensamble

Normal Extra Grande

3.6 4.8

Tiempo de Pintado

Tiempo de Prueba

1.6 1.8

0.6 0.6

5. Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres grados A, B, y C. Los combina de acuerdo a las recetas que especifican los porcentajes máximo y mínimo de los grados A y C en cada mezcla. Estos porcentajes se dan en la tabla N° 1. TABLA N° 1 ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS MEZCLA Súper Fuerte Fuerte Menos Fuerte

ESPECIFICACION No menos de 60% de A No mas de 20% de C No más de 60% de C No menos de 15% de A No más de 50% de C

PRECIO POR BOTELLA S/. 6.80 S/. 5.70 S/. 4.50

La provisión de los tres grados de aguardientes básicos, junto con sus costos se presente en la tabla N° 2. TABLA N° 2 DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTE AGUARDIENTE

A B C

MAXIMA CANTIDAD DISPONIBLE BOTELLAS POR DIA 2000 2500 1200

COSTO POR BOTELLA

S/. 7.00 S/. 5.00 S/. 4.00

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Indique cómo se obtiene la primera matriz en un modelo de programación lineal de una política de producción que haga máxima la ganancia. 6. Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad, y el cinturón B es de baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón es de S/. 0.40 y S/. 0.30. Cada cinturón de tipo A requiere el doble de tiempo que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar 1000 día, el abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 800 cinturones diarios (A y B combinados) el cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone 400 diarias. Se tiene únicamente 700 hebillas al día para el cinturón B. Establezca las ecuaciones de programación lineal para el problema. 7. METALESA fabrica un tipo especial de molde que debe contener cuando menos 20% de hierro forjado y 5% de plomo. La compañía tiene dos tipos de mineral a partir del cual puede fabricar los moldes. Los contenidos de hierro forjado y plomo (expresados en porcentaje por tonelada) de minerales son: HIERRO FORJADO 60% 13%

Mineral N° 1 Mineral N° 2

PLOMO 10% 3%

El costo por tonelada de mineral N° 1 es $ 260 y del N° 2 es $ 80. Formule un modelo de programación lineal que minimice el costo total de los moldes. 8. Una industria de muebles requiere de 350 barras de 2x4x20 cm. y de 200 barras de 2x3x20., si dicha empresa dispone de barras cuyas dimensiones son 7x5x20cm., cual debe ser el programa que debe seguir para minimizar desperdicios sabiendo que el máximo debe ser de 140 cm3 Formule el problema como un modelo de programación lineal.. 9. Un fabricante de láminas metálicas recibe un pedido para producir 2000 láminas de tamaño 2’ x 4’ y 1000 láminas de tamaño 4’ x 7’. Se dispone de dos láminas estándar de tamaño 10’ x 3000’ y 11’ x 2000’. El personal del departamento de ingeniería decide que los tres siguientes patrones de corte son adecuados para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio. Formule el problema como un modelo de programación lineal. Patron N° 1

Patron N° 2

4'

2'

4'

2'

7

2'

7'

Patron N° 3

4'

2'

2'

2'

2'

2' 3

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10. El Real Hotel opera los 7 días a la semana. Las mucamas son contratadas para trabajar seis horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2 días. Todas las mucamas reciben el mismo sueldo semanal. El Real hotel requiere como mínimo las horas de servicio. Lunes 150, Martes 200, Miércoles 400, Jueves 300, Viernes 700, Sábado 800 y Domingo 300. El administrador desea encontrar un plan de programación de empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo. Formule este problema como un modelo de programación lineal. El gerente le solicita a usted el programa óptimo de compra y venta para el trimestre. 11. La Compañía XYZ produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta S/. 2 por unidad, mientras que la materia prima para el clavo cuesta S/. 2.50. Un clavo requiere dos horas de mano de obra en el departamento N° 1 y tres en el departamento N° 2, mientras que un tornillo requiere 4 horas en el departamento N° 1 y 2 horas en departamento N° 2, el jornal por hora en ambos departamentos es de S/. 2. Si ambos productos se venden a S/. 18, y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos son de 160 y 180 respectivamente. Expresar el problema propuesto como un programa lineal, tal que maximice las utilidades. 12. La Ferguson Ingeniería S. A. fabrica válvulas de aguja, válvulas de globo y ensambla un módulo que consta de un bloque maquinado y dos válvulas de agujas. Recientemente ha obtenido un contrato para ensamblar 200 módulos. El contrato estipula que por cada módulo que deje de entregar la Ferguson tiene que pagar una multa de $ 20. El mercado para las válvulas, agujas y globo se presenta óptimo ya que la demanda de estos dos productos es bastante grande. La ganancia por unidad por cada tipo de producto es como sigue: Válvula aguja Válvula globo Módulo

: $ 10.00 : $ 20.00 : $ 60.00

La Ferguson tiene limitaciones de tiempo tanto en el Departamento de Maquinaria así como en los Departamentos de Inspección, Prueba y Ensamble. TIEMPO REQUERIDO EN EL DEPARTAMENTO DE MAQUINARIA (Minutos por unidad)

MAQUINA

VALVULA AGUJA

VALVULA GLOBO

BLOQUE MAQUINADO

10 5

15 5

25 10

Torno Fresadora

TIEMPO DISPONIBLE (minutos/semana) 25,000 15,000

TIEMPO REQUERIDO (Minutos por unidad) DEPARTAMENTO

Inspección Ensamblaje Prueba

VALVULA AGUJA

VALVULA GLOBO

MODULO

5 -

5 5 5

10 10 20

TIEMPO DISPONIBLE (minutos/semana) 45,000 45,000 45,000

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13. TAKAGAKI S. A. fabrica dos tipos de alimentos balanceados, recibe un pedido especial de 200 TN de una mezcla de proteínas y carbohidratos, la mezcla debe contener a lo más 40% de proteínas y por lo menos 30% de carbohidratos, el costo de cada TN de proteínas es de S/. 3 y de cada TN de carbohidratos es de S/. 8, determinar la mezcla óptima. 14. La Confederación Agraria del Centro está formada por tres comunidades. La planeación global se hace en su oficina de coordinación técnica. En la actualidad se están planeando la producción agrícola para el año próximo. La producción agrícola está limitada tanto por la extensión de terreno disponible para irrigación como por la cantidad de agua que la Comisión de aguas (una oficina del gobierno regional) asigna para irrigarlo. La siguiente tabla contiene los datos. Datos de recursos para la Confederación Agraria del Centro Comunidad

Terreno disponible (acres)

1 2 3

400 600 300

Asignación de agua (pies – acre) 600 800 375

El tipo de cosecha apropiada para la región incluye remolacha, algodón y sorgo, y éstas son precisamente las tres que se están estudiando para la estación venidera. Las cosechas difieren primordialmente en su rendimiento neto esperado por acre y en su consumo de agua. Además, el Ministerio de Agricultura ha establecido una cantidad máxima de acres que la Confederación puede dedicar a estas cosechas. En la siguiente tabla se muestran estas cantidades. Datos de cosechas para la Confederación Agraria del Centro Cosecha Remolacha Algodón Sorgo

Cantidad Máxima (acres) 600 500 325

Consumo de agua (pies-acres/acre) 3 2 1

Rendimiento neto (soles/acre) 1000 750 250

Debido a la disponibilidad limitada de agua para irrigación, la Confederación no podrá usar todo el terreno irrigable para las cosechas de la próxima temporada. Para asegurar la equidad entre las tres comunidades, han acordado que cada comunidad sembrará la misma proporción de sus tierras irrigables disponibles. Por ejemplo, si la comunidad 1 siembra 200 de sus 400 acres disponibles, entonces la comunidad 2 debe sembrar 300 de sus 600 acres, mientras que la comunidad 3 sembraría 150 acres de los 300 que tiene. Cualquier combinación de estas cosechas se puede sembrar en cualquiera de las comunidades. El trabajo que se enfrenta la oficina de coordinación técnica consiste en planear cuántos acres deben asignarse a cada tipo de cosecha en cada comunidad, cumpliendo con las restricciones dadas. El objetivo es maximizar el rendimiento neto total para la Confederación del Centro 15. La NORI & LEETS CO., una de las mayores productoras de acero del mundo occidental, esta localizada en la ciudad de Steeltown y es la única empresa grande de la localidad. Steeltown ha crecido y prosperado junto con la compañía, que de momento emplea a cerca de 50,000 residentes. La actitud de los habitantes ha sido siempre “lo que es bueno para Nori & Leets Co. Es bueno papa nosotros”. Sin embargo, esta actitud esta cambiando; la contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de la planta está arruinando la apariencia de la ciudad y poniendo en peligro la salud de sus habitantes. Como resultado, después de una revuelta entre los accionistas se eligió un nuevo consejo directivo más responsable. Los nuevos directores han decidido seguir políticas de responsabilidad social y están en conversaciones con las autoridades de la ciudad y con 5

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grupos de ciudadanos para tomar medidas respecto a la contaminación ambiental. Juntos han establecido estándares rigurosos de calidad de aire para la ciudad de Steeltown. Los tres tipos principales de contaminantes son partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que la compañía reduzca su emisión anual de estos contaminantes en las cantidades presentadas en la tabla N° I. El consejo directivo ha dado instrucciones a la gerencia para que el personal de ingeniería determine cómo lograr estas reducciones en la forma más económica. La fabricación de acero tiene dos fuentes principales de contaminación, los altos hornos para fabricar el arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierro en acero. En ambos casos, los ingenieros determinaron que los métodos de abatimiento más efectivos son: 1) aumentar la altura de las chimeneas, 2) usar filtros (incluyendo trampas de gas) en las chimeneas y 3) incluir limpiadores de alto grado en los combustibles en los hornos. Todos estos métodos tienen limitaciones tecnológicas en cuanto al nivel en que puede usarse (por ejemplo, un incremento factible máximo en la altura de las chimeneas), pero también existe una gran flexibilidad para usar el método en cualquier nivel fraccionario de su límite tecnológico. Tabla N° I Estándares de aire limpio para Nori & Leets Co. Contaminantes

Reducción requerida en la tasa de emisión anual (millones de libras) 60 150 125

Partículas Oxidos de azufre Hidrocarburos

La tabla N° II muestra la cantidad de emisión (en millones de libras anuales) que se pueden eliminar de cada tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo límite tecnológico. Para fines de análisis, se supone que cada método se puede usar a un nivel menor para lograr cualquier fracción en las reducciones de las tasas de emisión mostradas en esta tabla. Más aún, para cualquiera de los hornos, el uso simultáneo de otro método no afecta de manera significativa la reducción de emisiones que alcanza cada uno de ellos. Tabla N° II Reducción en la tasa de emisión (millones de libras por año) con el uso máximo factible del método de abatimiento para Nori & Leets Co. Contaminante

Partículas Oxidos de azufre Hidrocarburos

Chimeneas más altas Altos Hornos de Horno Hogar s abierto

Filtros Altos Horno s

Hornos de Hogar abierto

Mejores combustibles Altos Hornos Hornos de Hogar abierto

12 35

9 42

25 18

20 31

17 56

13 49

37

53

28

24

19

20

Después de obtener estos datos, quedó claro que ningún método por sí solo podía lograr las reducciones requeridas. Por otro lado, la combinación de los tres métodos a toda su capacidad (lo que sería demasiado caro si se quiere que los productos sigan siendo competitivos en precio) resulta mucho mayor de lo que se pide. Por todo esto, la conclusión de los ingenieros fue que tendrían que usar alguna combinación de métodos, tal vez con capacidades fraccionarias, con base en sus costos relativos. Lo que es más, debido a las diferencias los altos hornos y los hornos de hogar abierto, es probable que la combinación sea diferente para cada tipo de horno. Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada método de abatimiento. El costo total anual de un método incluye el aumento de los gastos de operación y 6

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mantenimiento al igual que la reducción en los ingresos debida a cualquier pérdida de eficiencia en el proceso de producción que pueda resultar por el uso del método. El otro costo importante es el costo fijo inicial (el capital inicial) requerido para instalar el método. Para hacer que este costo único fuera conmensurable con los costos anuales, se usó el valor del dinero en el tiempo para calcular el gasto anual (sobre el tiempo esperado de vida del método) que sería equivalente a este costo fijo inicial. El análisis proporcionó estimaciones de los costos anuales totales (en millones de dólares) dados en la tabla N° III, en que se incurren al usar los métodos a toda su capacidad de abatimiento. También se determinó que el costo de un método que se utiliza a un nivel menor es esencialmente proporcional a la capacidad fraccional de la capacidad de abatimiento dada en la tabla N° II que se logra. Entonces, para cualquier fracción lograda, el costo anual sería en esencia la fracción de la cantidad correspondiente en la tabla N° III. En este momento, todo esta listo para desarrollar el marco general del plan de la compañía para disminuir la contaminación. Este plan especifica qué tipo de métodos de abatimiento deberán emplearse y a qué fracciones de su capacidad para: 1) los altos hornos y 2) los hornos de hogar abierto. Debido a la naturaleza combinatoria del problema de encontrar un plan que satisfaga los requisitos con el menor costo posible, se formó un equipo de investigación de operaciones para resolverlo. El equipo decidió enfocar el problema desde un punto de vista de programación lineal. Tabla N° III Costo total anual para el uso máximo factible del método de abatimiento para Nori & Leets Co. (millones de dólares) Método de abatimiento Chimeneas más altas Filtros Mejores combustibles

Altos hornos 8 7 11

Hornos de hogar abierto 10 6 9

16. Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20,000 y 15,000 soles cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. de acero y 3 kgs. de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? 17. Un autobús Huánuco - Lima ofrece plazas para fumadores al precio de 10,000 soles y a no fumadores al precio de 6,000 soles. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3,000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio? 18. A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo? 19. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga S/. 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga S/. 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 20. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio. 7