• Author / Uploaded
• Pedro Fiestas

• Categories
• Rigidez
• Mecánica
• Cantidad
• Ingeniería de productos químicos
• Análisis estructural

Citation preview

Ensamble de la matriz de rigidez global k221 +k115 +k113 k125 K k215 k222 +k225 +k114 k213 0 0 k214 Encontramos el vector fuerza (global) r1z r1y m1x r2z r2y F = m2x = r3z r3y m3x r4z r4y m4x Ensamblamos la matriz de desplazamiento ∆1 =

u =

∆1 ∆1 ∆1 ∆1

∆2 =

∆3 =

∆4 =

para el elemento 1-2 θ = 90.00 1.5707963268 cos θ = 0.00 sen θ = 1.00 A = 5.00 B = 0.5625 C = 3.00 -D = 1.125 -E = 1.13

5 0 0 5 0 0 7.5 0 0 7.5 0 0 u1z u1y θ1x u2z u2y θ2x u3z u3y θ3x u4z u4y θ4x

k221

k123 0 k223 +k116 k216

0 k124 k126 k224 +k226

Ton

=

u1z u1y θ1x u2z u2y θ2x u3z u3y θ3x u4z u4y θ4x

k222

0.5625 0.0000 1.1250

0.0000 5.0000 0.0000

1.1250 0.0000 3.0000

k000 kij k000

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Kij

PARA EL ELEMNTO 3 - 4 θ = 90.00 1.57079633 cos θ = 0.00 ### A = 6.6667 B = 0.8889 C = 2.6667 D = 1.3333 E = 1.3333

K113 Kij

0.8889 0.0000 -1.3333

0.0000 6.6667 0.0000

-1.3333 0.0000 2.6667

Kij

-0.8889 0.0000 1.3333

0.0000 -6.6667 0.0000

-1.3333 0.0000 1.3333

θ = 0.00 cos θ = 1.00 ### -A = 2.5000 -B = 0.0234 C = 0.2500 D = 0.0938 -E = 0.0938

Kij

-0.8889 0.0000 -1.3333

0.0000 -6.6667 0.0000

1.3333 0.0000 1.3333

θ = 0.00 cos θ = 1.00 ### -A = 2.5000 -B = 0.0234 C = 0.2500 -D = 0.0938 E = 0.0938

Kij

0.8889 0.0000 1.3333

0.0000 6.6667 0.0000

1.3333 0.0000 2.6667

θ = 0.00 cos θ = 1.00 ### A = 2.5000 B = 0.0234 C = 0.5000 -D = 0.0938 -E = 0.0938

K114

θ = 90.00 1.57079633 cos θ = 0.00 ### -A = 6.6667 -B = 0.8889 C = 1.3333 D = 1.3333 -E = 1.3333

K123

θ = 90.00 1.57079633 cos θ = 0.00 ### -A = 6.6667 -B = 0.8889 C = 1.3333 -D = 1.3333 E = 1.3333

K213

θ = 90.00 1.57079633 cos θ = 0.00 ### A = 6.6667 B = 0.8889 C = 2.6667 -D = 1.3333 -E = 1.3333

K223

K124

K214

K224

PARA EL ELEMNTO 5- 6 θ = 0.00 cos θ = 1.00 ### A = 2.5000 B = 0.0234 C = 0.5000 D = 0.0938 E = 0.0938

Ensamble de la matriz de rigidez global con k221 +k115 +k113 K k215 k213 0

ARA EL ELEMNTO 5- 6 0

K115 Kij K116

2.5000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0234 0.0938

0.0000 0.0938 0.5000 k

0

K125 Kij K126

-2.5000 0.0000 0.0000

0.0000 -0.0234 -0.0938

0.0000 0.0938 0.2500

3.9514 0.0000 -0.2083 -2.5000 0.0000 0.0000 -0.8889 0.0000 -1.3333 0.0000 0.0000 0.0000

Obtencion de los desplazamientos y giros gl

[𝑢]= 〖 [𝐾] 〗 ^(−1) ∗[𝐹] 0

K215 Kij K216

-2.5000 0.0000 0.0000

0.0000 -0.0234 0.0938

0.0000 -0.0938 0.2500 [u] =

0

K225 Kij K226

2.5000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0234 -0.0938

0.0000 -0.0938 0.5000

[u] =

7 Calculo de deformaciones en

y que lasfuerzas en los elemen

para el elemento 1 6 4 3 2 3 4 5 1 2 2 1 2 1 a [u]

T

ahora calculamos la matriz de

[k']

triz de rigidez global con las respectivas submatrices +k115 +k113 k125 k222 +k225 +k114 0 k214

0.0000 11.6901 0.0938 0.0000 -0.0234 0.0938 0.0000 -6.6667 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

-0.2083 0.0938 6.1667 0.0000 -0.0938 0.2500 1.3333 0.0000 1.3333 0.0000 0.0000 0.0000

-2.5000 0.0000 0.0000 3.9514 0.0000 -0.2083 0.0000 0.0000 0.0000 -0.8889 0.0000 -1.3333

k123 0 k223 +k116 k216

0 k124 k126 k224 +k226

0.0000 -0.0234 -0.0938 0.0000 11.6901 -0.0938 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -6.6667 0.0000

0.0000 0.0938 0.2500 -0.2083 -0.0938 6.1667 0.0000 0.0000 0.0000 1.3333 0.0000 1.3333

-0.8889 0.0000 1.3333 0.0000 0.0000 0.0000 3.3889 0.0000 1.3333 -2.5000 0.0000 0.0000

esplazamientos y giros globales

〖 [𝐾] 〗 ^(−1) ∗[𝐹]

u1z u1y θ1x u2z u2y θ2x u3z u3y θ3x u4z u4y θ4x u1z u1y θ1x u2z u2y θ2x u3z u3y

=

=

2.06393179 0.0295944716 -0.5516312381 1.8912213308 -0.0295944716 -0.5370564334 3.1910486013 0.0366802076 -0.2206941924 3.1799096561 -0.0366802076 -0.3012152905 67.5580 1.5253 -22.6679 67.5580 -1.5253 -22.6679 138.3072 2.0421

0.0295944716 0.1994493408 -0.0147972358 0.0295944716 0.0005506592 -0.0147972358 0.0819567389 0.1993180873 -0.0201122515 0.0819567389 0.0006819127 -0.0201122515

-0.5516312381 -0.0147972358 0.3687934428 -0.5370564334 0.0147972358 0.175550393 -1.1619277279 -0.0183401038 0.0892096996 -1.1346625119 0.0183401038 0.1717450419

1.8912213308 0.0295944716 -0.5370564334 2.06393179 -0.0295944716 -0.5516312381 3.1799096561 0.0366802076 -0.3012152905 3.1910486013 -0.0366802076 -0.2206941924

θ3x -18.8750 u4z 138.3072 u4y -2.0421 θ4x -18.8750 ulo de deformaciones en coordenadas locales y de elementos mecanicos

local

global

lasfuerzas en los elementos en coordenadas locales pueden obtenerse a partir de la ecuacion

el elemento 1 datods A = 20.00 I I = 3.00 I 4.00 m

5.0000 EI

0.5625 EI

1.1250 EI

2 3.0000 EI

1.5000 EI

1 b

uaz 0 uay 0 ∆a θax 0 1 ∆1 u1z 67.5580 EI u1y 1.5253 θ1x -22.6679 θ = 90.00 1.5707963268 cos θ = 0.00 sen θ = 1.00 0.0000 1.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 calculamos la matriz de rigidez de coordenadas locales

[u']

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

0 0 0 1.5252958004 -67.5579525342 -22.667865156

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

5.0000 EI 0 0 -5.0000 EI 0 0

0 0.5625 1.1250 0 -0.5625 1.1250

[F']

EI EI EI EI

0 1.1250 3.0000 0 -1.1250 1.5000

-5.0000 EI 0 0 5.0000 EI 0 0

EI EI EI EI

-7.626479002 12.5 42.000898867 7.626479002 -12.5 7.999101133

a a a 1 1 1

0 -0.5625 -1.1250 0 0.5625 -1.1250

EI EI EI EI

0 1.1250 1.5000 0 -1.1250 3.0000

EI EI EI EI 9

0.0000 -6.6667 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6.6901 0.0938 0.0000 -0.0234 0.0938

-0.0295944716 0.0005506592 0.0147972358 -0.0295944716 0.1994493408 0.0147972358 -0.0819567389 0.0006819127 0.0201122515 -0.0819567389 0.1993180873 0.0201122515

-1.3333 0.0000 1.3333 0.0000 0.0000 0.0000 1.3333 0.0938 3.1667 0.0000 -0.0938 0.2500

-0.5370564334 -0.0147972358 0.175550393 -0.5516312381 0.0147972358 0.3687934428 -1.1346625119 -0.0183401038 0.1717450419 -1.1619277279 0.0183401038 0.0892096996

0.0000 0.0000 0.0000 -0.8889 0.0000 1.3333 -2.5000 0.0000 0.0000 3.3889 0.0000 1.3333

3.1910486013 0.0819567389 -1.1619277279 3.1799096561 -0.0819567389 -1.1346625119 7.1937012564 0.1116864561 -1.1198651453 6.9999586593 -0.1116864561 -1.0488558757

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -6.6667 0.0000 0.0000 -0.0234 -0.0938 0.0000 6.6901 -0.0938

0.0366802076 0.1993180873 -0.0183401038 0.0366802076 0.0006819127 -0.0183401038 0.1116864561 0.3489870268 -0.0316659371 0.1116864561 0.0010122232 -0.0316659371

0.0000 0.0000 0.0000 -1.3333 0.0000 1.3333 0.0000 0.0938 0.2500 1.3333 -0.0938 3.1667

-0.2206941924 -0.0201122515 0.0892096996 -0.3012152905 0.0201122515 0.1717450419 -1.1198651453 -0.0316659371 0.6434057914 -1.0488558757 0.0316659371 0.1935549973

3.17990966 0.08195674 -1.1346625 3.1910486 -0.0819567 -1.1619277 6.99995866 0.11168646 -1.0488559 7.19370126 -0.1116865 -1.1198651

4

3

1

2

para el elemento 2 6 2 3 4 5 2 2 1 2 1 1 a b

datods A = 20.00 I I = 3.00 I 5.0000 EI 4.00 m 3.0000 EI

uaz uay [u] ∆a θax ∆1 u2z u2y θ2x θ = 90.00 1.57079633 cos θ = 0.00 sen θ = 1.00 0.0000 1.0000 -1.0000 0.0000 T 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ahora calculamos la matriz de rigidez de coordenadas locales

[u']

0 0 0 1.5252958004 -67.557952534 -22.667865156

[k']

5.0000 EI 0 0 -5.0000 EI 0 0

0 0.5625 1.1250 0 -0.5625 1.1250

[F']

EI EI EI EI

-0.0366802 0.00068191 0.0183401 -0.0366802 0.19931809 0.0183401 -0.1116865 0.00101222 0.03166594 -0.1116865 0.34898703 0.03166594

-0.3012153 -0.0201123 0.17174504 -0.2206942 0.02011225 0.0892097 -1.0488559 -0.0316659 0.193555 -1.1198651 0.03166594 0.64340579

[F] 5 0 0 5 0 0 7.5 0 0 7.5 0 0

4

3 0.5625 EI

1.1250 EI 1

2

1.5000 EI 0 0 0 1 67.5580 EI -1.5253 -22.6679

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 z de coordenadas locales

[u']

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

0 0 0 -1.5252958 -67.557953 -22.667865

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

para el elemento 3 6 2 3 4 5 2 1 2 1 a [u]

T

ahora calculamos la matriz de

0 1.1250 3.0000 0 -1.1250 1.5000

EI EI EI EI

7.626479 12.5 42.0008989 -7.626479 -12.5 7.99910113

-5.0000 EI 0 0 5.0000 EI 0 0

0 -0.5625 -1.1250 0 0.5625 -1.1250

EI EI EI EI

0 1.1250 1.5000 0 -1.1250 3.0000

EI EI EI EI

[u']

0 0 0 -1.5252958 -67.557953 -22.667865

[k']

ara el elemento 3 datods A = 20.00 I I = 2.00 I 6.6667 EI 3.00 m

0.8889 EI

1.3333 EI 1

2 2.6667 EI

4

3

2

1.3333 EI

1 b

u1z 67.5580 u1y 1.5253 ∆a θ1x -22.6679 1 ∆1 u3z 138.3072 EI u3y 2.0421 θ3x -18.8750 θ = 90.00 1.57079633 cos θ = 0.00 ### 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 hora calculamos la matriz de rigidez de coordenadas locales

[u']

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

1.5252958 -67.557953 -22.667865 2.04209892 -138.30724 -18.874955

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

6.6667 EI 0 0 -6.6667 EI 0 0

0 0.8889 1.3333 0 -0.8889 1.3333

[F']

EI EI EI EI

0 1.3333 2.6667 0 -1.3333 1.3333

EI EI EI EI

-3.4453541 7.49782914 8.71813698 3.44535412 -7.4978291 13.7753504

-6.6667 EI 0 0 6.6667 EI 0 0

0 -0.8889 -1.3333 0 0.8889 -1.3333

EI EI EI EI

0 1.3333 1.3333 0 -1.3333 2.6667

EI EI EI EI

[u']

1.5252958 -67.557953 -22.667865 2.04209892 -138.30724 -18.874955

para el elemento 4 6 datods 2 A = 20.00 I 3 4 I = 2.00 I 6.6667 EI 0.8889 EI 1.3333 EI 5 3.00 m 2 2 1 2 2.6667 EI 1.3333 EI 1 1 a b u2z 67.5580 u2y -1.5253 [u] ∆a θ2x -22.6679 1 ∆1 u4z 138.3072 EI u4y -2.0421 θ4x -18.8750 θ = 90.00 1.57079633 cos θ = 0.00 ### 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 T 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ahora calculamos la matriz de rigidez de coordenadas locales

4

3

1

[u']

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

2

-1.5252958 -67.557953 -22.667865 -2.0420989 -138.30724 -18.874955

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

[k']

6.6667 EI 0 0 -6.6667 EI 0 0

0 0.8889 1.3333 0 -0.8889 1.3333

[F']

EI EI EI EI

0 1.3333 2.6667 0 -1.3333 1.3333

EI EI EI EI

3.44535412 7.49782914 8.71813698 -3.4453541 -7.4978291 13.7753504

-6.6667 EI 0 0 6.6667 EI 0 0

0 -0.8889 -1.3333 0 0.8889 -1.3333

EI EI EI EI

0 1.3333 1.3333 0 -1.3333 2.6667

EI EI EI EI

4

para el elemento 5 6 datods 2 A = 20.00 I 3 4 I = 1.00 I 2.5000 EI 0.0234 EI 0.0938 EI 5 8.00 m 2 2 1 2 0.5000 EI 0.2500 EI 1 1 a b u1z 67.5580 u1y 1.5253 [u] ∆a θ1x -22.6679 1 ∆1 u2z 67.5580 EI u2y -1.5253 θ2x -22.6679 θ = 0.00 0 cos θ = 1.00 ### 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 T 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ahora calculamos la matriz de rigidez de coordenadas locales

[u']

-1.5252958 -67.557953 -22.667865 -2.0420989 -138.30724 -18.874955

[k']

2.5000 EI 0 0 -2.5000 EI 0 0

0 0.0234 0.0938 0 -0.0234 0.0938

[F']

EI EI EI EI

0 0.0938 0.5000 0 -0.0938 0.2500

EI EI EI EI

0.0000 EI -4.1787 EI -16.7149 EI 0.0000 EI 4.1787 EI -16.7149 EI

-2.5000 EI 0 0 2.5000 EI 0 0

4

3

1

[u']

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

2

67.5579525 1.5252958 -22.667865 67.5579525 -1.5252958 -22.667865

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

para el elemento 5 6 datods 2 A = 20.00 I 3 4 I = 1.00 I 2.5000 EI 5 8.00 m 2 2 1 2 0.5000 EI 1 1 a b u3z u3y [u] ∆a θ3x ∆1 u4z u4y θ4x θ = 0.00 0 cos θ = 1.00 ### 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 T 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 ahora calculamos la matriz de rigidez de coordenadas loc

0 -0.0234 -0.0938 0 0.0234 -0.0938

EI EI EI EI

0 0.0938 0.2500 0 -0.0938 0.5000

EI EI EI EI

[u']

67.5579525 1.5252958 -22.667865 67.5579525 -1.5252958 -22.667865

[k']

2.5000 EI 0 0 -2.5000 EI 0 0

0 0.0234 0.0938 0 -0.0234 0.0938

[F']

EI EI EI EI

0.0234 EI

0.0938 EI

0.2500 EI 138.3072 2.0421 -18.8750 1 138.3072 EI -2.0421 -18.8750

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 de rigidez de coordenadas locales

[u']

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

138.307241 2.04209892 -18.874955 138.307241 -2.0420989 -18.874955

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

0 0.0938 0.5000 0 -0.0938 0.2500

EI EI EI EI

0.0000 EI -3.4433 EI -13.7733 EI 0.0000 EI 3.4433 EI -13.773323

-2.5000 EI 0 0 2.5000 EI 0 0

0 -0.0234 -0.0938 0 0.0234 -0.0938

EI EI EI EI

0 0.0938 0.2500 0 -0.0938 0.5000

EI EI EI EI

[u']

138.307241 2.04209892 -18.874955 138.307241 -2.0420989 -18.874955

2 nudos osea tiene 6 grados de libertad encontramos el vector fuerza f1z f1y f1 m1x [F] f2 f2z f2y m2x encontramos los desplazamientos u1z u1y ∆1 θ1x [u] ∆2 u2z u2y θx

75 0 0 75 0 0

=

para los elementos 1-2 propiedades geometricas de las columnas de seccion transversal cuadrad 40 40 area 1600 LONGITUD 2.7 inercia 213333.333 100 L2 72900 L3 19683000 entonces los coeficentes de rigidez serian:

5.9259 E

0.1301 E

17.5583 E

3160.4938 E

1580.2469 E

submatricez de rigidez en coordenadas locales elementos 1 - 2 1 5.9259 E

0

0

ton

270

[k'11] 2 1 [k'12] 2 1 [k'21] 2 1 [k'22] 2

0 0

0.1301 E 17.5583 E

-5.9259 E 0 0 -0.1301 E 0 -17.5583 E -5.9259 E 0 0

17.5583 E ### 0 17.5583 E ###

0 0 -0.1301 E -17.5583 E 17.5583 E ###

5.9259 E 0 0 0 0.1301 E -17.5583 E 0 -17.5583 E ###

de la figura nos interesan k221 y k222 para el elemento 1-2 θ = 90.00 1.57079633 cos θ = 0.00 sen θ = 1.00 A = 5.9259 B = 0.1301 C = 3160.49 -D = 17.5583 -E = 17.5583

k221 k222

0.1301 0.0000 17.5583

0.0000 5.9259 0.0000

17.5583 0.0000 3160.4938

k000 kij k000

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Kij

para los elementos 3 propiedades geometricas de las columnas de seccion transversal cuadrad 25 40 area 1000 LONGITUD 3.5 inercia 133333.333 100 L2 122500 L3 42875000 entonces los coeficentes de rigidez serian:

350

para los elementos 4 propiedades geometricas de cuadrad area COEFICIENTE DE RIGIDEZ

ki

2.8571 E

0.0373 E

6.5306 E

1523.8095 E

761.9048 E

submatricez de rigidez en coordenadas locales elementos 1 - 2

ki

submatriz en coordenadas g 1 2.8571 E

0

0

[k'11] 2 1 [k'12] 2 1 [k'21] 2

0 0

0.0373 E 6.5306 E

6.5306 E ###

-2.8571 E 0 0

0 0 -0.0373 E 6.5306 E -6.5306 E 761.9048 E

-2.8571 E 0 0

0 0 -0.0373 E -6.5306 E 6.5306 E 761.9048 E

2.8571 E 0 0 [k'22] 0 0.0373 E -6.5306 E 2 0 -6.5306 E ### SUBMATRICES EN COORDENADAS LOCALES PARA EL ELEMNTO 3 θ = 0.00 θ = 0.00 0 K113 cos θ = 1.00 Kij sen θ = 0.00 K114 A = 2.8571 B = 0.0373 C = 1523.8095 D = 6.5306 E = 6.5306

�= 〖𝑡𝑎𝑛𝑔〗 ^(− 1)

por lo tanto recordando que

1

θ = 0.00 cos θ = 1.00 sen θ = 0.00 -A = 2.8571 -B = 0.0373 C = 761.9048 D = 6.5306 -E = 6.5306

0

θ = 0.00 cos θ = 1.00 sen θ = 0.00 -A = 2.8571 -B = 0.0373 C = 761.9048 -D = 6.5306 E = 6.5306

0

θ = 0.00 cos θ = 1.00 sen θ = 0.00 A = 2.8571 B = 0.0373

0

2.8571 0.0000 0.0000

0.0000 0.0373 6.5306

0.0000 6.5306 1523.8095

Kij

-2.8571 0.0000 0.0000

0.0000 -0.0373 -6.5306

0.0000 6.5306 761.9048

Kij

-2.8571 0.0000 0.0000

0.0000 -0.0373 6.5306

0.0000 -6.5306 761.9048

Kij

2.8571 0.0000 0.0000

0.0000 0.0373 -6.5306

0.0000 -6.5306 1523.8095

K123 K124

K213 K214

K223 K224

C = 1523.8095 -D = 6.5306 -E = 6.5306

ara los elementos 4 ropiedades geometricas de las columnas de seccion transversal 15 15 t = 14 29 LONGITUDz 3.5 OEFICIENTE DE RIGIDEZ LONGITUDy 2.7 longitud DIA 442.040722

0.6560 E

0.6560 E -0.6560 E -0.6560 E 0.6560 E ubmatriz en coordenadas globales

350 270

0.77142857 0.65707494 37.6476206 cos θ = 0.79 ### or lo tanto recordando que la matriz encoordenadas globales �= 〖𝑡𝑎𝑛𝑔〗 ^(− 1)