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• Giancarlo Paredes

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

“ ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS” CURSO

:

DOCENTE :

ANALISIS ESTRUCTURAL II ING. IVAN LEON MALO

NUEVO CHIMBOTE - SETIEMBRE , 2019

“ ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS”

Básicamente los métodos matriciales consisten en reemplazar la estructura continua real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. TÉRMINOS BÁSICOS A) ELEMENTO: Son las partes que constituyen el sistema estructural que se está representando. 2 3 1

A) NODOS:

Son los lugares en la estructura donde se conectan los elementos. En estructuras compuestas de vigas y columnas, los nodos son las juntas o nudos. 3 2 4

UNS / AE-II / IVAN

1

C) COORDENADAS GDL: En las estructuras reticulares o pórticos planos hay tres coordenadas en cada nodo (2 traslaciones ┴ y 1 rotación). 3gdl/nudo En las estructuras reticulares o pórticos espaciales hay seis coordenadas en cada nodo (3 traslaciones ┴ y 3 rotaciones) En las armaduras planas hay dos coordenadas en cada nodo (2 traslaciones ┴) Z En las armaduras espaciales hay tres coordenadas en cada nodo X (3 traslaciones ┴) En las parrillas hay tres coordenadas en cada nodo (1 traslación ┴ Z y 2 rotaciones) 3gdl/nudo NOTA: Esta coordenada estructural no debe confundirse con una coordenada cartesiana, que describe la posición de un punto en el Y espacio. z

O

X

Y

Y'

X

Z X

3gdl/nudo

6gdl/nudo

PARRILLA Z'

2gdl/nudo X' UNS / AE-II / IVAN

PÓRTICO

D) FUERZA:

Fuerza que actúa en una coordenada traslacional o a un momento que actúa en una coordenada rotacional. No hay distinción respecto a si la fuerza es una carga estructural conocida o una fuerza de reacción desconocida. F2

F1

W

E) DESPLAZAMIENTO: Igual que “Fuerza”, desplazamiento es un término general que se refiere a una traslación en una coordenada traslacional o a una rotación en una coordenada rotacional. No hay distinción respecto a si el desplazamiento es un desplazamiento desconocido en un grado de libertad no restringido o un desplazamiento conocido en un grado de libertad restringido. Y'

Y'

O

X'

UNS / AE-II / IVAN

Z'

O

X'

Z'

D) RIGIDEZ:

La rigidez es la fuerza requerida para generar una deformación unitaria en un material elástico.

AE

L

D

F

Los sistemas estructurales de comportamiento elástico lineal sufren pequeños desplazamientos. Cabe recordar que en una estructura que sufre desplazamientos pequeños, la geometría no deformada puede usarse en los cálculos. Estos sistemas estructurales se comportan de acuerdo a la ley de Hooke:

F = KD ………..

(La fuerza es como el alargamiento)

Ϭ =Eϵ La forma básica de la ecuación usada en el análisis matricial, que es análoga a la expresión básica de la ley de Hooke, es la siguiente: {F} = [ K ] { D } ………. (1) UNS / AE-II / IVAN

Donde, {F}:

El vector fuerza, que contiene todas las fuerzas que actúan en las coordenadas estructurales. (GDL) Matriz de rigidez. Es una representación de la capacidad de un sistema estructural para resistir cargas. Es el vector desplazamiento, que contiene los desplazamientos en cada una de las coordenadas estructurales. (GDL)

[ K ]: { D }:

ACLARAMOS: Consideremos el resorte que se muestra en la figura 1, que tiene una rigidez K =100 Tn/m. Si impedimos que se mueva el punto “A” y colocamos una fuerza de 100 Tn en el punto “B”, este se desplazará 1.00m hacia la derecha.

A

B

B'

100Tn

100Tn

1.00m

FIGURA 1

Inversamente para causar un desplazamiento unitario en el punto “B”, debemos aplicar una fuerza de 100 Tn actuando hacia la izquierda que ocasiona que el sistema esté en un estado de equilibrio estático. Los coeficientes en la matriz [ K ] de rigidez siguen la misma idea general. UNS / AE-II / IVAN

Ahora consideremos dos coordenadas dirigidas a lo largo del eje del resorte; una de las coordenadas estará localizada en cada extremo del resorte en los dos posibles grados de libertad por desplazamiento. Ver figura 2 K =100Tn/m 1

2

FIGURA 2

Hay una fila y una columna en la matriz de rigidez para cada coordenada que se está considerando en la estructura. La matriz de rigidez para este resorte tendrá dos filas y dos columnas. Para determinar la primera columna de la matriz de rigidez, desplazamos la coordenada 1 una unidad e impedimos el desplazamiento en la coordenada 2. Ver figura 3 100Tn

100Tn

1.00m

FIGURA 3 UNS / AE-II / IVAN

Luego determinamos las fuerzas en todas las coordenadas necesarias para mantener la configuración. Una fuerza de 100 Tn debe aplicarse hacia la derecha en la coordenada 1 y una fuerza de 100 Tn debe aplicarse hacia la izquierda en la coordenada 2 para mantener esta configuración y satisfacer las ecuaciones de equilibrio. Ahora tenemos la primera columna de la matriz de rigidez: K11, que es la fuerza de 100 Tn/m aplicada en la coordenada 1 que genera un desplazamiento unitario en ella y cero desplazamiento en la coordenada 2; y K21, que es la fuerza necesaria de -100 Tn/m aplicada en la coordenada 2 para tener un desplazamiento unitario en la coordenada 1 y cero desplazamiento en la coordenada 2. Este proceso se repite para la coordenada 2 a fin de generar la segunda columna de la matriz de rigidez. Si la desplazamos una unidad, como se muestra en la figura 4 y mantenemos la coordenada 1 con cero desplazamiento, encontramos que K12 = -100 tn/m y K22 = 100 Tn/m 100Tn

100Tn

1.00m

FIGURA 4 UNS / AE-II / IVAN

Entonces la matriz de rigidez para este resorte es:

K

=

K 11

K 12

K 21 K 22

=

100

-100

-100

100

Tn/m

Ahora, suponemos que el resorte se usa en una estructura cargada y configurada, como se muestra en la figura 5. 200Tn

FIGURA 5

Se tiene una fuerza de 200 Tn aplicada hacia la derecha en la coordenada 2, y la coordenada 1 está restringida a un desplazamiento cero. La ecuación del sistema resultante de la ecuación sería: F1 200

=

100

-100

0

-100

100

D2

………. (2)

En términos estructurales, decimos que la coordenada 1 está en un soporte (que no tiene desplazamiento) y que la fuerza de 200 Tn es una carga aplicada. Si resolvemos el sistema de ecuaciones lineales simultáneas hallaremos que: F1 = -200 Tn y que D2 = 2m. F1, es la fuerza de reacción desconocida y D2 es el desplazamiento estructural desconocido. UNS / AE-II / IVAN

NOTA: El coeficiente de rigidez “Kij” es la fuerza en la coordenada “i” cuando un desplazamiento unitario es impuesto en la coordenada “j” y el desplazamiento de todas las otras coordenadas se mantiene en cero. HALLAR LA REACCIÓN Y DESPLAZAMIENTO EN FORMA MATRICIAL DE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

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