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• Jonathan Sedano Cabrera

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04/05/2016

A.M.E. – RESUMEN - Ejemplos : Todas las barras de la Armadura tienen el mismo valor de EA, excepto la barra horizontal 4.5 que es indeformable axialmente (EA = ) y es rígida (EI = ) . Se pide : a) Las cargas de fijación, incluyendo el diagrama de momentos del estado primario, para las cargas aplicadas, indicadas en la figura. b) Las cargas de fijación (estado primario) para un incremento uniforme de temperatura T en todas las barras, salvo en la barra rígida 4-5. El coeficiente de dilatación térmica es . c) La segunda y tercera columna de la matriz de rigidez.

AME – Resumen Ejemplos M.R.

WESB – Pág. 1

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Desplazamientos Pequeños - Ejemplo : Elija un sistema coordenado Q-D y dibuje la configuración deformada de la estructura (indique el valor de los desplazamientos en X e Y de los puntos B y D). Calcule luego las fuerzas que se producen en las barras tipo armadura para la deformada, debido a : a) Un giro de 0.1 rad en el GDL 1, sin que se mueva el GDL 2. b) Un desplazamiento de 1cm en el GDL 2, sin que se mueva el GDL 1. EA = 6000 tn

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WESB – Pág. 2

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Ejemplo : Estructura compuesta por dos barras rígidas (barras 1-2-3 y 4-5-6) y tres barras tipo armadura (rigidez axial = EA). Se pide: a) Estado Primario, incluyendo el DMF correspondiente, para las cargas indicadas. b) Estado Primario para un aumento uniforme de temperatura ( T C ) únicamente en la barra rígida 4-5-6. El coeficiente de dilatación de dicha barra es . c) Fuerzas axiales finales en las barras tipo armadura, para el caso de cargas a).

GDL :

a) Problema Primario : (para Cargas aplicadas)

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1-2-3 tampoco se mueve

WESB – Pág. 4

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a) Problema Primario : 4-5-6 (para Cargas aplicadas)

b) Problema Primario ( T en 4-5-6 )

La Barra 4-5-6 se alarga de 6-6’ : 6 T

Alargamiento de la barra 4-5-6: proporcional a su Longitud

El Nudo 5 se desplaza de 5-5’ : Acortam. 2 5

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2

T cos

2

1.6

T

F2

5

EA L2 5

2 5

EA 1.6 5

T

T . F2Comp 5

0.32 EA

T

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b) Problema Primario ( T en 4-5-6 )

En 1-2-3 :

Matriz de Rigidez :

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k11 D1

Q1

R1

19.9813 EA D1 D1

49 19.9813 EA

D1

2.452 EA

49

Fuerzas Finales en Barras : Calcularlas !!! (Tarea)

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Ejemplo : Construya el DMF del pórtico mostrado. Considere deformaciones por flexión. Utilice el Método de Rigidez. Indique el sistema Q-D mínimo indispensable para el análisis. Calcule todos los coeficientes de rigidez (kij).

Problema Primario. Fuerzas de Fijación

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Matriz de Rigidez. Coeficientes de Rigidez, por Equilibrio

D1 =1, D2=0

D2 =1, D1=0

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Matriz de Rigidez :

Desplazamientos (en los GDL) :

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Ejemplo (Método de Rigidez. Criterios de Simetría) :

Pórtico plano, simétrico con carga antisimétrica. Las barras BD y BF son tipo armadura (bielas) y tienen EA = 24,000 ton. Resuelva el pórtico, dibuje el DMF y calcule las fuerzas axiales en las 2 bielas. Ignore las deformaciones axiales salvo en las bielas. Considere EI= 6000 ton-m2.

Reducción por simetría :

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Momentos Finales : {M Finales} = {M Primario} + {M Complementario} {D}

{N Finales} = {N Primario} + {N Complementario} {D}

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Ejemplo : Calcule la Rigidez Lateral del pórtico. Las vigas y las columnas tienen sección constante (EI = 8000 tn-m²) y se ignoran las deformaciones axiales. Las barras inclinadas 1-6 y 4-7 son deformables axialmente y se encuentran articuladas en ambos extremos (EA = 20,000 tn).

Interesa ver la SIMETRÍA, las Coordenadas Q - D (GDL), la Solución del sistema {Q}=[K] {D}, Diagramas y Rigidez Lateral (KL).

Rigidez Lateral de la estructura completa :

Rigidez Lateral de ½ estructura:

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D = { 1, 0, 0 }T

D = { 0, 1, 0 }T

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D = { 0, 0, 1 }T

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Rigidez Lateral de la estructura (del Pórtico completo):

Construir Diagramas de Fuerzas Internas (para un sistema de cargas dado) !!!

Barras con Brazos Rígidos Rigidez al Giro

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Por equilibrio :

d1=1, d2=0 :

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d2=1, d1=0 :

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Matriz de Rigidez de Barra con Brazo Rígido:

Condensación Estática (de GDL)

k tt k ot ktt ut uo

kto uo k oo1k ot ut

k to k oo

ut uo

pt 0 kot ut

pt kˆ tt ut

0

pt

Donde kˆ tt es la matriz de rigidez condensada

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koouo

kˆ tt

ktt

T k ot k oo1k ot

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Ejemplo 1:

12 8 EI

k

3

L

12 3L 3L 12

k tt k ot

k

kˆ tt

u1

1; u2

u3

8 EI 3

L

T k ot k oo1k ot

ktt

k 21 k41

k to k oo

u4

0

12 3L 3L

12

3L

24 3L 0

3L L2

24 3L 0

0 L2

2 L2

3L

3L

3L L2 L2

kˆ tt

u2

0 L2

2

2 L2

2

48 EI 7 L3

1; u1

k11 k31

2

2

L2

12

3L

k42

2

5

5

16

u3 k 22

u4

0 k12

k32

AME – Resumen Ejemplos M.R.

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u4

1; u1

u2

u3

0 k 24

k14

k44

k34

Entonces :

12 k

8 EI 3

L

12 3L 3L 12

k

kˆ tt

AME – Resumen Ejemplos M.R.

k tt k ot

ktt

k to k oo

8 EI L3

T k ot k oo1k ot

12 3L 3L

12

3L

24 3L 0

3L

3L L2 L2

12

0 L2

2

3L

24 3L 0

3L L2 2

L

kˆ tt

2

2

2 L2 3L 0 L2

2

2 L2

48 EI 3

7L

2 5

5 16

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Ejemplo 2:

u

u1

u2

u3

u4

u5

72

k

p

pt

h3

p1

p2

p1

p2

k tt k ot

k

kˆ tt

EI

ktt kˆ tt

k to k oo

6h

6h

6h

24 6h

24 6h

24

6h 16 h 2

6h 2h 2

6h 2h 2

6h 0

6h 6h

6h 6h

2h 2 2h 2

16 h 2 0

0 6h2

2h 2 h2

6h

6h

0

2h 2

h2

6h2

0 0 0 0

h

3

6h

T

T

72 EI h3

6h

6h

6h

24 6h

24 6h

6h 16 h 2

6h 2h 2

6h 2h 2

6h 0

6h 6h

6h 6h

2h 2 2h 2

16 h 2 0

0 6h2

2h 2 h2

6h

6h

0

2h 2

h2

6h2

54.88 17.51

24

6h

Relación entre los gdl condensados uo y los gdl traslacionales ut

T k ot k oo1k ot EI

T

u6

17.51

uo

11.61

T ut

La ecuación de traslación es:

EI h3

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54.88 17.51

17.51 11.61

u1

p1 t

u2

p2 t

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Ejemplo (Deformaciones por Corte y Brazo Rígido) : Se muestra la idealización de un pórtico conformado por el muro 1-3 de 0.15 x 3.0 m y dos vigas 2-3 y 3-4 de sección 0.25 x 0.60m, modeladas con brazos rígidos en la unión con el muro. Ignore las deformaciones axiales en todos los elementos y considere efectos de corte únicamente en el muro. E = 2 x 106 tn / m2 y G = E / 2.3 tn / m2. a) b) c) d)

Defina un sistema coordenado Q-D mínimo. Determine la matriz de rigidez (K) de la estructura. Resuelva la estructura por el Método de Rigidez y dibuje el DMF y DFC. Calcule la Rigidez Lateral (KL) de la estructura.

a) Sistema Q – D mínimo :

10 Q = 0

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(*): Placa con Deformaciones por Corte

b) Matriz de Rigidez de la Estructura D1 = 1, D2 = 0 :

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D2 = 1, D1 = 0 :

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Rigidez Lateral del Pórtico :

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Cambio de Longitud por Cambio de Temperatura Uniforme ( T ) :

L

LT

F FF x 1

FF x 1

EA T

EA L

L FF x 2

FF x 2

EA

EA

T

T

Gradiente de Temperatura a través del Peralte de una Viga

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Fuerzas de Fijación

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Ejemplo - Distintos Casos de Carga: Para estructura y sistema Q-D, mostrados, se pide : a) Resolver el problema primario, para los siguientes casos de carga : a.1. Cargas mostradas en la figura. a.2. Incremento uniforme temperatura en barra rígida 1-2 : a.3. Asentamiento vertical del apoyo 4 : 4 = 0.05 m.

T = +30°C.

b) Resolver la estructura (DMF, acotado) para el sistema de carga a.1.

Considere : EI = 6000 ton-m2 ; EA =

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;

= 1.2 x10-5 °C-1.

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Dibujar DMF (Tarea)

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Ejemplo : Asentamiento de Apoyo + Rigidez Lateral – Método Rigidez Pórtico: todos elementos de sección constante con EI=10,800 ton-m2. Ignorando deformaciones axiales y usando criterios de simetría (para las partes a) y b)), se pide: a.Resolver la estructura utilizando el Método de Rigidez no Sistematizado. Tome el número mínimo de GDL. Dibuje el DMF acotado. b.Calcular la rigidez lateral (KL) del pórtico. c. El problema primario para un asentamiento ΔA vertical hacia abajo en el apoyo A. (No considere la carga de 10 Ton para esta parte). Dibuje DMF. (No usar criterios de simetría para c).

Estructura Simétrica con Carga Antisimétrica :

Primario :

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Complementario : Matriz de Rigidez D = {1, 0}T

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D = {0, 1}T

D1

25.39 EI

0.0024 rad

D2

91.15 EI

0.0084 m

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Momentos Finales :

DMF (ton x m)

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Matriz de Rigidez de Pórticos “Tipo Corte” Vigas Infinitamente rígidas EI = Vigas y Columnas, sin deformación axial EA =

Las columnas quedan bi-empotradas en sus extremos (vigas y diafragmas) No se producen giros en los extremos de las columnas

Análisis de un piso cualquiera

12 EI L3

Vi

Vi

ki

n i

V ent

Vi i 1

i

Válida si y sólo si, no existen giros

Vi = “Fuerza Cortante de Entrepiso”, porque no hay gdl de giro

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Si ocurre el desplazamiento ∆ = 1

ki

12 EI L3 n

kent

ki i 1

Pórtico “Tipo Corte” de tres pisos Sólo asignamos los gdl laterales (traslacionales) : 3

kent3 2

Un desplazamiento en cada piso, sin giros:

kent2 1

kent1

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Pórtico “Tipo Corte” de tres pisos Agrupando las tres columnas

k L1

kent1 kent 2 kent 2

kL2

k L3

kent 3 kent 3

kent3

0

kL

0

kent 2 kent 2 kent3

kent1 kent 2 kent 2 0

kent 2 kent 2 kent3 kent3

0 kent3 kent 3

Rigidez Lateral ( kL ) de un Pórtico de 2 Pisos

kL

kent1 kent 2 kent 2

kent 2 kent 2

Matriz de Rigidez Total [ K ] y Matriz de Rigidez Lateral [ KL ] Ejemplo : Pórtico de 2 pisos, con Muro de Corte (o Placa) :

E=2.2x106 Ton/m2, = 0.2

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Q1

20

20

40 0 0 0 0

40 50 10 20 60

Q2

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Modelo y GDL :

Distancias a ejes

Matriz de Rigidez (Total) de la Estructura (Pórtico)

171705.2

K

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107601.7

1107.4

32088.2

2531.3

158871.3

107601.7

107601.7

2531.3

158871.3

2531.3

158871.3

1107.4

2531.3

17380.1

8193

2531.3

0

32088.2

158871.3

8193

937873.8

0

2531.3

2531.3

2531.3

0

13583.2

8193

158871.3

158871.3

0

8193

501224.2

5804.1

5804.1

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Matriz de Rigidez Total y Rigidez Lateral 171705.2

K

107601.7

1107.4

32088.2

2531.3

158871.3

107601.7

107601.7

2531.3

158871.3

2531.3

158871.3

1107.4

2531.3

17380.1

8193

2531.3

0

32088.2

158871.3

8193

937873.8

0

2531.3

2531.3

2531.3

0

13583.2

8193

158871.3

158871.3

0

8193

501224.2

5804.1

Q1 Q2

5804.1

D1 D2

Q3 Q4

ki

Q5 Q6

j

D3 D4 D5 D6

-2531.3

-158871.3

-1107.4

-32088.2

-107601.7

171705.2 1ra Columna de K para 1 = 1. Sistema de fuerzas para obtener esta configuración deformada

AME – Resumen Ejemplos M.R.

WESB – Pág. 46

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Matriz de Rigidez Total y Rigidez Lateral Vector de Cargas 1: 1 0 0 0 0 0

Q

1 tn

Vector de Cargas 2: 1 tn

0 1 0 0 0 0

Q

Desplazamientos:

D

1

KE

1 0 0 1 Q

0 0 0 0 0 0 0 0

AME – Resumen Ejemplos M.R.

D

Q 3.23

10 5

5.60

10 5

5.60

10 5

1.31

10 4

2.22

10 6

6.14

10 6

8.40

10 6

2.03

10 5

5.92 7.61

10 7 10 6

1.66 2.40

10 6 10 5

WESB – Pág. 47

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Matriz de Flexibilidad Lateral FL

D

3.23

10 5

5.60

10 5

5.60

10 5

1.31

10 4

2.22

10 6

6.14

10 6

8.40

10 6

2.03

10 5

5.92 7.61

10 7

1.66

10 6

2.40

10 6 10 5

Matriz de Rigidez Lateral KL Matriz de Rigidez Lateral

KL

AME – Resumen Ejemplos M.R.

FL

Y los Giros, son Nulos ?

1

KL

120080.2 51374.3

51374.3 29625.8

WESB – Pág. 48