Pág. Análisis Matricial de Estructuras. Introducción a Elementos finitos. 1 PROBLEMA 5. La celosía de la figura está
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Análisis Matricial de Estructuras. Introducción a Elementos finitos.
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PROBLEMA 5. La celosía de la figura está formada por barras de acero de 4 metros de longitud. Determinar la sección de las barras para que el desplazamiento
horizontal en el
punto de aplicación de la carga sea igual a 10 mm. 1
E=210GPa.=21000kN/cm2
3
2
4
200 kN
50 kN SOLUCION: Se ha enumerado los nudos y barras, así mismo se ha asignado coordenadas a todos los nudos, además se ha establecido la dirección local de las barras de nudo menor a nudo mayor según su numeración: 1
(0,6) 2
(3.4641,4) 1
3 3
(0,2) 5
2 4
(3.4641,0) 4
En la estructura planteada se verifica que la barra 1 no ejerce ningún esfuerzo debido a que se encuentra entre dos apoyos fijos. Por lo cual se prescindirá de su participación en la estructura.
Alder Jhosué Quispe Panca
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Luego se obtiene la matriz de rigidez de cada barra, para ello se hace uso de la tabla siguiente donde se muestran los valores a utilizarse para la construcción de la matriz de rigidez de cada elemento: Nudo Inicial 1 1 2 2 3
BARRA 1 2 3 4 5
L (cm) 400 400 400 400 400
A(cm2) A A A A A
l
Coordenadas X Y 0 6 0 6 0 2 0 2 3.4641 4
m -1.000 -0.500 0.500 -0.500 -1.000
0 0.866 0.866 0.866 0
Coordenadas X Y 0 2 3.4641 4 3.4641 4 3.4641 0 3.4641 0
Nudo Final 2 3 3 4 4
lm
l2
0 -0.433 0.433 -0.433 0
0 0.750 0.750 0.750 0
m2 1.000 0.250 0.250 0.250 1.000
AE/L 52.5A 52.5A 52.5A 52.5A 52.5A
Utilizando la expresión:
l2 lm l 2 lm AE lm m 2 lm m 2 K 2 L l lm l 2 lm 2 lm m 2 lm m las matrices de rigidez de cada elemento son los siguientes: X1
Y1
X3
Y3
X2
Y2
X3
Y3
X2
Y2
X4
Y4
K 2
39.375 22.733 39.375 22.733 X1 22.733 13.125 22.733 13.125 Y1 A 39.375 22.733 39.375 22.733 X3 22.733 13.125 22.733 13.125 Y3
K 3
39.375 22.733 39.375 22.733 X2 22.733 13.125 22.733 13.125 Y2 A 39.375 22.733 39.375 22.733 X3 22.733 13.125 22.733 13.125 Y3
K 4
39.375 22.733 39.375 22.733 X2 22.733 13.125 22.733 13.125 Y2 A 39.375 22.733 39.375 22.733 X4 22.733 13.125 22.733 13.125 Y4 X3
K 5
Y3
0.000 0.000 0.000 52.500 A 0.000 0.000 0.000 52.500
X4
Y4
0.000 0.000 X3 0.000 52.500 Y3 0.000 0.000 X4 0.000 52.500 Y4 Alder Jhosué Quispe Panca
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Siendo la matriz ensamblada la siguiente: X3
Y3
X4
Y4
0.000 39.375 22.733 X3 78.750 0.000 78.750 22.733 65.625 Y3 K A 0.000 0.000 39.375 22.733 X4 0.000 52.500 22.733 65.625 Y4 Aplicando la expresión: F K U y despejando U K F se tiene: 1
1
0.000 39.375 22.733 0 U 3 X 78.750 U 0.000 78.750 22.733 65.625 0 3Y A 0.000 0.000 39.375 22.733 200 U 4 X U 4Y 0.000 52.500 22.733 65.625 50
U 3 X 1.27 E 02 0.00 E 00 U 3Y 1 0.00 E 00 3.81E 02 U 4 X A 0.00 E 00 2.20 E 02 U 4Y 0.00 E 00 3.81E 02
0.00 E 00 0.00 E 00 0 2.20 E 02 3.81E 02 0 4.44 E 02 3.30 E 02 200 3.30 E 02 5.71E 02 50
U 3 X 0.00000 U 3Y 1 2.49410 cm. U 4 X A 7.23932 U 4Y 3.74115 Luego según la condición del problema el desplazamiento de U 4 X 1cm. 10mm.
1 7.23932 cm 1cm , de la cual despejando se obtiene el área A requerida: A 7.23932 cm2 Por lo cual se plantea:
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Resultados Obtenidos con Autodesk Robot Structural Analysis. Ux=1cm=10mm
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