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• Dvonne Hart

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INTEGRACIÓN DEFINIDA INTERGRACIÓN DEFINIDA Uno de los problemas geométricos que condujo al desarrollo del cálculo integral fue a evaluar áreas relacionadas con figuras de diversas formas. En la geometría elemental se demuestra y que el área de un rectángulo es igual al producto de su ancho por su altura, y conforme a esto, por métodos geométricos elementales se obtienen las áreas de otras figuras limitadas (total o parcialmente) por líneas curvas. En general, para obtener las áreas de figuras curvilíneas debe usarse el método de los límites. Por ejemplo, en geometría se obtiene el área de un círculo considerándolo como el límite común del área de conjunto de polígonos regulares inscritos y circunscritos en aquella figura, cuando el número de lados crece indefinidamente. Esto uso del método de los límites conduce a la interpretación de la integral definida como el “área bajo una línea”.

Consideremos el problema de determinar el área limitada por la curva positiva continua y = f(x) , por el eje de las abscisas, y por las rectas x = a y x = b . Dívidase la base [ a,b ] en n sub-intervalos, y designase los puntos de división a = x1, x 2 , x 3 , x 4 ,...., x n , x n +1 = b y la ; i = 1,2,3,...,n . Trace ordenaddas en longitud de los n sub-intervalos por: D x = x i+1 - x i los puntos de división e inscriba rectángulos (ver figura anterior). Las áreas de estos rectángulos inscritos son: f(x1 )Dx1, f(x 2 )Dx 2 , f(x 3 )Dx 3 , ...., f(x n )Dx n y su suma es: n

�f(x i )D x i

i=1

Al aumentar indefinidamente el número de rectángulos inscritos, esto es, cuando el máximo de D x i también tiende a cero, el área bajo las curva entre a y b que no pueda comprendida en los rectángulos, se reducen y tiende a cero. Definición. El área limitada por la función positiva continua y = f(x) , el eje de las x , y por las dos rectas x = a y x = b , es: n

A = lim �f(x i )Dx i n�� i =1

Dx i � 0

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Sea la función f continua en el intervalo cerrado [ a,b ] y es cualquier antiderivada de f en el intervalo, entonces: b

f(x)dx = F(b) - F(a) . � a La representación:

b

f(x)dx � a

Se lee: “Integral desde a hasta b de f(x) ”

Cálculo de áreas:

1. Área de una región plana limitada por una curva Sea la función f continua en [ a,b ] y f(x) �0 para toda x �[ a,b ] , sea R una región acotada por la curva y = f(x) , el eje X y las rectas x = a y x = b , entonces la medida del área de la región R está dada por: A=

b

f(x)dx � a

b es el límite superior a es el límite inferior

Ejemplo 01 Calcular el valor exacto de la integral definida 3

2

x � 1

dx , interpreta geométricamente el resultado.

Solución:

A=

3

x 2 dx =

� 1

x3 3

3

= 1

(3)3 (1)3 27 1 26 = - = 3 3 3 3 3

(Considerando que el área es la medida de una superficie, entonces la respuesta siempre se dará en unidades cuadráticas de medidas).

Ejemplo 02

Calcular el área limitada por la recta y = 2x + 3 , el eje x y las rectas x =

1 y x = 4. 2

Solución: A=

4

(2x + 3) dx = x 2 + 3x

� 1/2

4 1/2

2 � � 7 � 105 2 �1 � �1 � � =� 4 2 + 3(4) �- � u �= [ 28 ] - � �= �+ 3 � � � � � 2 2 4� 4 � � � � � � �

NOTA: En la evaluación de

b

f(x) dx , desaparece la constante de integración, la integral tiene por � a

tanto un valor definido. Propiedades de la Integral definida. b

a

1.

f(x) dx = - � f(x) dx � a b

2.

f(x) dx = 0 � a

3.

f(x) dx = � f(x) dx + � f(x) dx , � a c b

a

b

a

c

en donde a �c �b

Ejemplo 03 5

(2x - 4) dx � 3

a) Calcular

b) Calcular -

3

(2x - 4) dx � 5

Ejemplo 04 Calcular

2

(4 - x � 0

Es decir: Ejemplo 05

2

) dx partiendo en dos integrales.

2

(4 - x � 0

2

) dx =

2

(4 - x � 1

2

) dx +

1

(4 - x � 0

2

) dx

Evaluar

( 2x � 0 2

2

)

x 3 + 1 dx

Ejemplo 06 Calcular el área de la región en el primer cuadrante limitada por la curva cuya ecuación es y = 10 - x 2 , el eje X , el eje Y y la recta x = 3 , Trazar la gráfica correspondiente. Solución: Ejemplo 07 Encontrar el área que, en el primer cuadrante, está delimitada por el eje X y por la curva y = 6x + x 2 - x 3 . Solución:

Ejemplo 08 Evaluar el área limitada por la curva y = 6 - x - x 2 y el eje X . Solución: Ejemplo 09 Evaluar el área limitada por la curva y = x 2 + 2x + 2 , el eje X y las líneas x = - 2 y x = 1 Solución:

Ejercicio: Resuelva la siguiente integral:

( 4x � 3 5

3

+ 3x 2 - 2x + 1) dx

CALCULO DEL ÁREA TOTAL

CÁLCULO DEL ÁREA TOTAL En la definición del área dada anteriormente A=

b

f(x)dx � a

Se ha supuesto que f(x) es una función continua y positiva entre a y b . Si f(x) es negativa entre a y b , es decir, si la gráfica de f(x) queda por debajo del eje X , el valor de la integral A=

b

f(x)dx � a

Es entonces negativo. Las áreas situados bajo el eje X se llaman áreas negativas; el área total absoluta entre una curva, el eje X y dos está dada por: Área total = �(área positivas) - �(área negativas) NOTA: Lo anterior equivale a decir que el área es igual al valor absoluto de la integral y así el resultado siempre es positivo. Ejemplo 01 Determinar el área limitada por la curva y = 2x + x 2 - x 3 , el eje X y las rectas x = - 1 y x = 1 . Solución:

Área entre dos curvas

Supóngase que el área que se va a calcular entre las curvas: y 1 = f(x) y y 2 = g(x) , y entre las rectas x = a y x = b , y que (para mejor precisión) f(x) �g(x) para a �x �b . Entonces:

y 2 = g(x)

Y

y1 = f(x)

x=a

x=b

a

A=

b

[ g(x) - f(x) ] dx � a

b

Observamos que es la integral de la función superior menos la

inferior. NOTA: Los límites de integración siempre son los valores del eje de las abscisas X Ejemplo 01 Determinar el área limitada por las curvas y = x 2 ; y = x Solución:

Ejemplo 02

X

Evaluará el área limitada por las curvas y = x 3 - 4x con el eje X . Solución:

Ejemplo 03 Encontrar el área de la región limitada por las curvas

Ejemplo 04 Obtener el área comprendida entre las rectas: �x + y = 2 � �y - x = 1 � �2x + y = 7

Determinando por los puntos de intersección de las rectas.

Solución:

Ejercicio: Calcule el área de la región encerrada por las curvas: y = x 2 + 1 ; y = x + 1

APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN DEFINIDA APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN DEFINIDA EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA La integral definida tiene diversas aplicaciones en administración y en economía. En esta sección se estudiará aplicaciones en el contexto del excedente del consumidor y el excedente del productor, así como en el análisis del ingreso al costo. Excedente (o superávit) del consumidor Una función de demanda representa las cantidades de un artículo que podrían comprarse a diversos precios. Si el precio en el mercado es y 0 y la correspondiente cantidad demandada es x 0 , entonces aquellos consumidores que estuvieran dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado, se benefician por el hecho de que el precio es solamente y 0 . Y precio

(0,m0 )

y0

(x 0 , y 0 )

y = f(x) Curva de demanda

X cantidad

x0

Según ciertas hipótesis económicas, las ganancia total del consumidor está representada por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta y = y 0 , esta área se conoce como excedente (o superávit) del consumidor (o de los consumidores) y se obtiene como sigue: Excedente del consumidor =

x0

f(x)dx - (x 0 y 0 ) � 0

OBSERVACIONES 1. Los cálculos utilizando las curvas de demanda, oferta, ingreso, etc. Se hacen teniendo en cuenta sólo el primer cuadrante, por ejemplo decimos, que tenemos que comprar 7 kg. de arroz (x = 7) , ilógico sería comprar - 3 kg. de arroz, también decimos mi camisa cuesta 15 dólares (y = 15) , no podríamos decir que he pagado - 15 dólares .

2. Generalmente el excedente del consumidor se expresa en las mismas unidades que y por ejemplo, si y se expresa en soles o dólares, etc., lo mismo sucederá con el excedente del productor.

Ejemplo 01 Si la función de demanda es y = 32 - 4x - x 2 , determinar el excedente del consumidor a) Si x 0 = 3

b) Si y 0 = 27

Solución: a) Si x 0 = 3 Hallando y 0 Como: y 0 = 32 - 4x 0 - x 0 2

� �

y 0 = 32 - 4(3) - (3) 2

�

y 0 = 32 - 12 - 9

y 0 = 11

Veamos los puntos de corte con el eje X . Hacemos y = 0 , tenemos:

0 = 32 - 4x - x 2 � x 2 + 4x - 32 = 0

Factorizando: (x + 8)(x - 4) = 0 Luego, los puntos donde la curva se intersecta con el eje X , son: ( - 8,0) y (4,0) La gráfica es:

y 0 = 11

( - 8,0)

Calculando el excedente del Consumidor

x0 = 3

(4,0)

EC =

x0

f(x)dx - (x 0 y 0 ) � 0

EC =

4

(32 - 4x - x � 0

Resolviendo:

2

)dx - (3)(11)

EC = 36

b) Si y 0 = 27 Hallando x 0 Como: y 0 = 32 - 4x 0 - x 0 2

�

27 = 32 - 4x - x 2

� x 2 + 4x - 5 = 0

�

(x + 5)(x - 1) = 0

� x0 = 1

� x 0 = -5

EC =

Calculando el excedente del Consumidor EC =

1

(32 - 4x - x � 0

Resolviendo:

2

x0

f(x)dx - (x 0 y 0 ) � 0

)dx - (1)(27)

EC =

8 3

Ejemplo 02 Si la función de demanda es y =

9 - x y x 0 = 5 , evaluar el excedente del consumidor

Solución: Hallando y 0 Como: x 0 = 5 Además: y 0 =

9 - x0 �

y0 =

9-5

Calculando el excedente del Consumidor EC =

1

9 - x dx - (2)(5) � 0

Resolviendo:

EC =

8 3

�y = 0

4

EC =

�

x0

y0 = 2

f(x)dx - (x 0 y 0 ) � 0

Ejemplo 03 La cantidad vendida y el correspondiente precio en un mercado monopólico se determina por medio de la función de demanda y = 16 - x 2 , y por la función de costo marginal y ' = 6 + x , de manera que se maximice la ganancia. Determinar el correspondiente excedente del consumidor. Solución: Sea:

P : Pr ecio Q : Cantidad

Ingreso Total Como la fórmula de la demanda, está dada por: y = 16 - x 2 Luego, podemos escribir: P = 16 - Q 2

L

(I)

Se sabe que:

(Ingreso total) = (precio) (cantidad)

Luego;

(Ingreso total)= P � Q

Reemplazando de (I) , tenemos: (Ingreso total)= (16 - Q 2 ) � Q (Ingreso total)= 16Q - Q 3 y = 16x - x 3

Luego, la fórmula de Ingreso Total está dado por: Calculo del ingreso marginal: Se deriva la fórmula del Ingreso Total: y ' = 16 - 2x 2 Sabemos que en un mercado monopólico:

(Ingreso marginal)=(Costo marginal)

Además, la utilidad o ganancia se maximiza cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. De los datos del problema: (Ingreso marginal)=(Costo marginal) 16 - 3x 2 = 6 + x

Tomamos;

3x 2 + x - 10 = 0 (3x - 5)(x + 2) = 0 3x - 5 = 0 5 x= � x = -2 3 5 x0 = 3

Calculando y 0 y = 16 - x 2

En la fórmula de la demanda: Tenemos: y 0 = 16 - x 0 2

�

2

�5 � y 0 = 16 - � � �3 �

�

y0 =

119 9

Calculando el excedente del Consumidor

EC =

5 3 (16 0

�

�5 � �119 � - x 2 ) dx - � � � � �3 � �9 �

Resolviendo:

EC =

250 81

EC =

x0

f(x)dx - (x 0 y 0 ) � 0

EXCEDENTE DEL PRODUCTOR Una función de oferta representa las respectivas cantidades de un artículo que se ofrece en un mercado a diversos precios. Si el precio en el mercado es y 0 y la correspondiente cantidad ofrecida en dicho mercado es x 0 , entonces aquellos productores que estuvieron dispuestos a vender el artículo a un precio inferior al del mercado. Se benefician por el hecho de que el precio es y 0 . Según ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del producto está representada por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta y = y 0 , denominándose esta área excedente (o superávit) del producto (o de los productores), el cálculo de tal área se obtiene por: Y precio

y = f(x)

y0 (x 0 ,y 0 )

Curva de la oferta

(0,m 0 )

X cantidad

x0

Excedente del producto = (x 0 y 0 ) -

x0

f(x)dx � 0

En donde la función de oferta es y = f(x) , como en el caso del excedente del consumidor, el excedente del productor se expresa generalmente en las mismas unidades de y . Ejemplo 01 Si la función de oferta es y = (x + 2)2 y el precio se fija en y 0 = 25 , obtener el excedente del productor. Solución:

Ejemplo 02 La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado de competencia libre están determinados por las funciones de demanda y = 16 - x 2 y de oferta y = 4 + x . Obtener el correspondiente excedente del productor. Solución:

Ejemplo 03 La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado de competencia libre están determinados por las funciones de demanda y = 36 - x 2 y de oferta y = 6 + correspondientes excedentes del consumidor y del productor. Solución:

x2 . Determinar los 4

INGRESOS FRENTE A COSTOS La integración se utiliza también para determinar la utilidad total o las ganancias netas totales en varios contextos. En general, se maximiza la utilidad (suponiendo libre competencia) cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. La utilidad total se determina integrando la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal, desde cero hasta la cantidad para la cual se maximiza la utilidad, esto es: UT =

x0

(IM - CM) dx � 0

Ejemplo 01 Evaluar la cantidad producida que maximice la utilidad y determinar la utilidad total en dicho punto, si las funciones de ingreso marginal ( IM ) y el costo marginal ( CM ) están dadas por: IM = 25 - 5x - 2x 2 CM = 15 - 2x - x 2 Solución:

Ejemplo 02 Si la función de ingreso marginal es IM = 25 - 3x , y la función de costo marginal es CM = 25 - 7x + x 2 . a) Determinar la cantidad que se debe producir para maximizar la utilidad. b) Calcular la utilidad total en un mercado de competencia pura. Solución:

Ejercicio: Si la función de ingreso marginal IM = 1 - 4x , y la función de costo marginal es CM = -2 - 2x + x 2 , determinar: a) Determinar la cantidad que se debe producir para maximizar la utilidad. b) Calcular la utilidad total en un mercado de competencia pura.