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• Feranando Llatas Villanueva

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016

METODOS DE ANALISIS POR DESPLAZAMIENTO, MÉTODO PENDIENTEDEFLEXION 1. Encontrar todos los momentos en el marco mostrado; debido a la simetría no se presentara el ladeo

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2. Determinar todos los momentos del marco mostrado en la fig en el que E e I son constantes

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Nota:

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3. Encontrar los momentos del marco mostrado en la figura, empleando el método pendiente- deflexión

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS.

El Método de los Desplazamientos, también llamado Método de las Rigideces consiste en establecer ecuaciones con los desplazamientos en los nudos (giros y desplazamientos lineales) para caracterizar completamente la configuración de la deformada de la estructura. Resolviendo ese sistema de ecuaciones se encuentran los desplazamientos que se sustituyen en las ecuaciones originales para determinar las solicitaciones. Se obtiene el diagrama de momento, los diagramas de cortante y fuerza axial, como de costumbre, por las ecuaciones de la estática. Al método de los desplazamientos se le puede dar dos interpretaciones que tiene base común: uno con carácter general, llamémosle así, y el enfoque dado por George A. Maney llamado método pendiente-deflexión. En primero es más general, quizás más “científico” muy usado en los países de Europa oriental, tiene buenas posibilidades para la interpretación científica, pero el segundo es más “utilitario” con muy buenas posibilidades también de interpretación física. Veremos el primero de forma global y particularicemos en el segundo. Enfoque General: El Método de las Fuerzas es muy complicado para aplicarlo en estructuras con un alto GH. Para superar esta dificultad surge el Método de los Desplazamientos, que en muchos aspectos complementa al Método de las Fuerzas. El Método de los Desplazamientos también reduce el cálculo a un sistema de ecuaciones canónicas, pero con la diferencia que el número de ecuaciones no es

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 igual al GH del pórtico (como en el Método de las Fuerzas), por lo general, en estructuras grandes, es algo menor. En este caso las incógnitas son los giros en los nudos y los desplazamientos lineales en los distintos niveles. Por ejemplo para una estructura del tipo:

Tiene 9 marcos cerrados, es decir: GH = 3 x 9 = 27. Por el Método de las Fuerzas (MF) hay 27 ecuaciones y 27 incógnitas. Tiene 12 nudos y tres niveles con posibilidades de desplazarse. Por el Método de los Desplazamientos (MD) tendrá 15 ecuaciones y 15 incógnitas. Otra ventaja sustancial del MD es que solo tiene un sistema: rigidizar todos los nudos y limitar los desplazamientos lineales. Es hecho de poseer solo un sistema base implica, para la aplicación de la computación, un paso menos que puede hacer la computadora sin la intervención del calculista. Si fuera por el MF el calculista, en un paso dado, debe elegir el sistema base.

El sistema base del MD es la rigidización del giro de todos los nudos y la limitación de todos los desplazamientos lineales aplicándole ligaduras, a este sistema se le

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 aplica la carga externa (en ese momento son válidos los Momentos de Empotramiento Perfecto). Posteriormente se van soltando, uno a uno, las restricciones y eso genera desplazamientos. Estos desplazamientos generan reacciones en los nudos (momentos reacción) y en los niveles desplazados (fuerzas de reacción) y todas estas tienen que estar en equilibrio. El equilibrio de estas fuerzas y momentos generan las ecuaciones canónicas. Las ecuaciones canónicas quedarían:

r11 Z1 + r12 Z2 + ... + r1n Zn + R1P = 0 r21 Z1 + r22 Z2 + ... + r2n Zn + R2P = 0 ................................................................... ...................................................................

rn1 Z1 + rn2 Z2 + ... + rnn Zn + RnP = 0 Los términos rij son los coeficientes de rigidez de las ecuaciones canónicas y representan las reacciones que surgen en la ligadura

i

al giran el nudo un ángulo

unitario Zj = 1. Los Zj son las magnitudes reales del giro del nudo j o desplazamientos lineales de los niveles. Los RiP son las reacciones en las ligaduras

i

producto de las cargas externas (se

les llama términos independientes). Resolviendo el sistema se obtienen los verdaderos valores de los giros y desplazamientos lineales Zj que son las incógnitas. Una vez conocidos estos valores no es difícil, entonces, obtener los valores de los desplazamientos en los distintos puntos de la estructura hiperestática y las acciones internas o solicitaciones. Como se ve en este enfoque general el cálculo de desplazamientos (angulares y lineales) es decisivo para la aplicación de este método. Recalcamos una vez más

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 el aporte y valor metodológico que tuvieron los trabajos de Maxwell-Mohr por esa razón pueden ser considerados los precursores del Análisis Estructural Moderno.

Método de Pendiente-Deflexión(P-D) George A. Maney presentó una interpretación del MD en Studies in Engineering No.1(Minneapolis: University of Minnesota, 1915) . Su trabajo fue una continuación e interpretación de las investigaciones realizadas por Manderla y Mohr. El método P-D tiene en cuenta solo las deformaciones por flexión, no considerando los efectos de cortante y fuerza axial, es decir solo considera el primer integral de Mohr. Este supuesto es completamente acertado para elementos lineales. Aunque actualmente se aplica más el enfoque general, presentado matricialmente, todavía se estudia porque es útil por varias razones: 1. Su estudio sirve de base para entender el método de Cross. 2. Para algunas estructuras no muy complejas resulta de fácil aplicación. 3. Es un caso especial del Enfoque general del MD o Método de las rigideces que proporciona una buena introducción a la formulación matricial. 4. Hay una buena interpretación de las deformadas de las estructuras al determinar las pendientes y deflexiones. Ecuaciones de Maney. No pretendemos demostrar aquí las ecuaciones, sólo las enunciaremos, haremos la adecuada interpretación física y resolveremos un ejemplo. Veamos algunas definiciones: Δ P Δ B

C

φAB =+

Positivo a favor del reloj

φAB φCD

LAB

φCD =+ A

KAB= IAB/ LAB (Factor de rigidez)

θA B A

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E = Módulo de deformación

ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 Momentos de Empotramiento Perfecto Son los valores de Momento de elementos suponiendo que los apoyos sean totalmente rígidos. Algunos valores significativos: P

+PL/8

-PL/8 L/2

L/2

P

a

b

q

L

P

L/2

L/2

q

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Las ecuaciones de Maney son : Para una barra empotra-empotrada (o continua-continua): MAB = 2EK AB(2θA + θB - 3φ) + MEPAB MBA = 2EK BA(θA + 2θB - 3φ) + MEPBA Para una barra empotrada(0 continua) articulada: MAB = 3EK BA( θA - φ) + MEPBA MBA = 0

Los giros θ en los empotramientos perfectos son cero Ejemplo: Resolvamos el mismo ejemplo resuelto por el MF: 30.7kN/m

C

B

9.8 5m

I

I A

D 10 m

Módulo de deformación E = Constante (Suponemos que es el mismo concreto el de las columnas y la viga) Factor de rigidez: KAB = KCD = I/5 = 0.2 I KCD = 9.8 I/10 = 0.98 I

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 Para obtener los diagramas de solicitación no nos interesa el verdadero valor de la rigidez, solo las proporciones entre elementos. Si fuéramos a calcular los verdaderos valores de desplazamientos si hace falta la verdadera rigidez. Se puede escoger cualquiera rigidez como la unidad, por ejemplo tomemos la rigidez de AB como la unidad, entonces: KAB = KCD = K KCD = 0.98/0.2 = 4.9 K Momentos de Empotramiento Perfecto: MEPBC = - 1/12(qL2) = - 1/12(30.7kN/m)(10m)2 = - 255.83 kN.m MEPCB = + 255.83kN.m Ecuaciones de momento en los nudos de las barras MAB = 2EK AB(2θA + θB - 3φ) + MEPAB (Pero θA es cero en el empotramiento y esa barra no tiene MEP), entonces, MAB = 2EK ( θB - 3φ) = 2EK θB - 6EKφ (a) MBA = 2EK ( 2θB - 3φ) = 4EKθB - 6EKφ (b) MBC = 2E(4.9K)(2θB + θC ) – 255.33 (Las barras horizontales no tienen Δ, se ignora el acortamiento axial de las barras horizontales, en general la viga tiene φ si hay columnas inclinadas) MBC = 19.6EKθB + 9.8EKθC – 255.83 (c) MCB = 2E(4.9K)( θB + 2θC ) + 255.83 MCB = 9.8EK θB + 19.6EKθC + 255.83 (d) MCD = 3EK ( θC - φ) (Barra empotrada articulada sin MEP)

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 MCD = 3EK θC – 3EKφ (e)

MDC = 0 (f)

LAS INCÓGNITAS SON LOS DOS GIROS ( θB y θC) y φ ¿CUALES SERÁN LAS ECUACIONES? A.-Para los giros se aplica el concepto de que la suma de todos los momento en los nudos tiene que ser cero. B.-Para los desplazamientos se usa la ecuación de equilibrio de las fuerzas horizontales: ΣH=0 , HA + HD = 0 Las H se obtienen por suma de momento en las barras:

MBA

BARRA AB

Σ M en B = 0 MAB + MBA - HA LAB = 0

LAB

HA = (MAB + MBA)/ LAB , de la misma manera: HD = MCD / LCD

MAB HA

Las ecuaciones serán:

Σ MB = 0

MBA + MBC = 0,

4EK θB - 6EKφ + 19.6EKθB + 9.8EKθC

– 255.83 = 0

23.6EK θB + 9.8EKθC - 6EKφ – 255.83 = 0

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(1)

ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 Σ MC = 0

MCB + MCD = 0,

9.8EK θB + 19.6EKθC + 255.83 + 3EK θC – 3EKφ = 0 9.8EK θB + 22.6EKθC – 3EKφ + 255.83 = 0 (2) ΣH=0 , HA + HD = 0 (MAB + MBA)/ 5 + MCD / 5 = 0 2EK θB - 6EKφ

+ 4EKθB -

6EKφ + 3EK θC – 3EKφ = 0

6EK θB + 3EK θC – 15EKφ = 0 (3)

23.6EK θB + 9.8EKθC - 6EKφ – 255.83 = 0 (1) 9.8EK θB + 22.6EKθC – 3EKφ + 255.83 = 0 (2) 6EK θB

+ 3EK θC

–

15EKφ = 0 (3)

SOLUCIÓN: EK θB = 19.948 ; EKθC = -19.426 ; EKφ = 4.094 MOMENTOS FINALES: MAB = 2EK θB - 6EKφ = 2(19.984) – 6(4.094) = 15.3kN.m MBA = 4EKθB - 6EKφ = 4(19.984) – 6(4.094) = 55.2kN.m MBC=19.6EKθB+ 9.8EKθC -255.83 = 19.6(19.948) + 9.8(-19.426)- 255.83 = -55.2kN.m MCB=9.8EK θB +19.6EKθC +255.83= 9.8(19.948)+19.6(-19.426)+ 255.83 = 70.5kN.m MCD = 3EK θC – 3EKφ = 3(-19.426) – 3(4.094) = -70.5 kN.m

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ANALISIS ESTRUCTURAL II 2016 IDÉNTICOS RESULTADOS QUE POR EL METODO DE LAS FUERZAS. 55.2

70.5

Diagrama de M

321.3

(En kN.m) 5.05m 15.3

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