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FÍSICA ANÁLISIS DIMENSIONAL

En la actualidad se emplea un sistema más coherente, donde las magnitudes fundamentales son siete, en el cual cada magnitud física posee una adecuada unidad de medida. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). En este sistema las magnitudes fundamentales son:

Es el estudio de las relaciones que guardan entre sí todas las magnitudes físicas, ya que toda magnitud derivada depende de las fundamentales.

MAGNITUD Longitud

SÍMBOLO L

UNIDAD metro

SÍMBOLO m

Masa

M

kilogramo

kg

Tiempo

T

segundo

s

Temperatura termodinámica

Θ

kelvin

K

Intensidad de corriente eléctrica

I

amperio

A

Intensidad luminosa

J

candela

cd

Cantidad de sustancia

N

mol

mol

MAGNITUD Para la Física, una magnitud es aquella propiedad de un cuerpo, sustancia o fenómeno físico susceptible de ser medida. MEDIR Medir es comparar dos magnitudes de la misma especie donde una de ellas se toma como unidad de medida.

CLASIFICACION DE LAS MAGNITUDES FISICAS DE ACUERDO A SU ORIGEN 

MAGNITUDES FUNDAMENTALES son aquellas magnitudes que se toman como patrones y se escogen convencionalmente para definir las magnitudes restantes.



A demás existen dos magnitudes suplementarias: MAGNITUD Ángulo Plano Ángulo Solido

MAGNITUDES DERIVADAS son aquellas magnitudes que se obtienen por combinación de las que se han tomado como fundamentales.

UNIDAD radián estereorradián

SÍMBOLO rad sr

ECUACION DIMENSIONAL

DE ACUERDO A SU NATURALEZA 

MAGNITUDES ESCALARES son aquellas magnitudes que para estar bien definidas basta conocer únicamente su valor numérico.



MAGNITUDES VECTORIALES son aquellas que para su definición se requiere aparte de su valor, una dirección.

Es una igualdad que nos indica la dependencia de una magnitud cualquiera respecto de las que son fundamentales. Para determinar la ecuación dimensional de una magnitud derivada siempre se parte de una fórmula que previamente ha sido hallada por otros medios. El símbolo empleado para representar una ecuación dimensional son corchetes que encierran a una magnitud, así [trabajo], se lee ecuación dimensional del trabajo.

SISTEMA DE UNIDADES Es la agrupación ordenada de unidades de medida de las magnitudes físicas; hasta hace algunos años eran de uso frecuente los siguientes sistemas:

En general, las magnitudes fundamentales son L, M, T, θ, I, J, N la ecuación dimensional de una magnitud derivada x se expresará por:

SISTEMAS ABSOLUTOS. Estos sistemas se caracterizan por tomar como magnitudes fundamentales a la longitud, a la masa y al tiempo.

[𝐗] = 𝐋𝐚 𝐌 𝐛 𝐓 𝐜 𝛉𝐝 𝐈 𝐞 𝐉 𝐟 𝐍 𝐠 Donde: a,b,c,d,e,f,g son números reales

SISTEMA

M. K. S. C. G. S. F. P. S.

L

M

metro centímetro pie

T

kilogramo gramo libra

segundo segundo segundo

SISTEMAS TÉCNICOS O GRAVITATORIOS. Estos sistemas elegían como magnitudes fundamentales a la longitud, a la fuerza y al tiempo. SISTEMA

Técnico métrico Técnico cegesimal Técnico inglés

L

metro centímetro pie

M

kgf grf Ibf

T

segundo segundo segundo

PROPIEDADES 

Al operar con ecuaciones dimensionales, se pueden emplear todas las reglas algebraicas excepto las de suma y resta, en su lugar diremos que la suma y diferencia de magnitudes de la misma especie da como resultado otra magnitud de la misma especie. EJEMPLOS [AB] = [A][B]

[C] C [ ]= [D] D

FORMULAS DIMENSIONALES MAS USUALES MAGNITUD DERIVADA

[An ] = [A]n Área T−T−T=T



Volumen



Velocidad lineal

𝐋𝐓 −𝟏

La ecuación dimensional de todo ángulo, función trigonométrica, logaritmo, cualquier numero y en general toda cantidad adimensional se le representa por la unidad.

Aceleración lineal

𝐋𝐓 −𝟐

Velocidad angular

𝐓 −𝟏

Aceleración angular

𝐓 −𝟐

EJEMPLOS

Fuerza

𝑳𝑴𝑻−𝟐

[40rad] = 1

Torque

𝑳𝟐 𝑴𝑻−𝟐

[45] = 1

Trabajo o Energía

𝑳𝟐 𝑴𝑻−𝟐

Potencia

𝑳𝟐 𝑴𝑻−𝟑

Cantidad de movimiento

𝑳𝑴𝑻−𝟏

[log2] = 1

Impulso

𝑳𝑴𝑻−𝟏

En toda formula física los exponentes son cantidades adimensionales y se les representa por la unidad

Densidad absoluta Peso especifico

𝑳−𝟐 𝑴𝑻−𝟐

Toda ecuación dimensional se escribe en forma de monomio entero; si es fraccionario, se hace entero con exponente negativo.

Presión

𝑳−𝟏 𝑴𝑻−𝟐

Periodo

𝑻

EJEMPLOS LT = LTM −1 M

𝐓 −𝟏

Coeficiente de dilatación

𝜽−𝟏

Capacidad calorífica especifica Calor latente especifico Carga eléctrica

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (principio de Fourier)

En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se están sumando o restando deben tener Igual ecuación dimensional. Además, la ecuación dimensional del primer miembro de la ecuación debe ser igual a la del segundo miembro.

[A] = [B] = [D] = [E]

FORMULAS EMPIRICAS Si la magnitud p depende de las magnitudes a, b, y c, entonces se deberá verificar la siguiente relación:

𝐩 = 𝐤 𝐚𝐱 𝐛 𝐲 𝐜 𝐳 Siendo: k la constante numérica de proporcionalidad, y los valores de los exponentes x, y, z deberán satisfacer el principio de homogeneidad.

𝑳𝟐 𝑻−𝟐 𝜽−𝟏 𝑳𝟐 𝑻−𝟐 𝑻𝑰 𝑳𝑴𝑻−𝟑 𝑰−𝟏

Potencial eléctrico

𝑳𝟐 𝑴𝑻−𝟑 𝑰−𝟏

Capacidad eléctrica

𝑳𝟐 𝑴−𝟏 𝑻𝟒 𝑰𝟐

Resistencia eléctrica

𝑳𝟐 𝑴𝑻−𝟑 𝑰−𝟐

Carga magnética

Flujo magnético SI [A] + [B] = [D] − [E] Es una ecuación dimensionalmente correcta se verifica lo siguiente:

𝑳𝟐 𝑴𝑻−𝟐 𝜽−𝟏

Intensidad de campo eléctrico

Inducción magnética

EJEMPLO

𝑳−𝟑 𝑴

Frecuencia

Capacidad calorífica

L = T3 T −3 

𝐋𝟑

L+L+L=T

[sen60o ] = 1



FORMULA DIMENSIONAL 𝐋𝟐

Iluminación

𝑳𝑰 𝑴𝑻−𝟐 𝑰−𝟏 𝑳𝟐 𝑴𝑻−𝟐 𝑰−𝟏 𝑳−𝟐 𝑱

UTILIDAD DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES 

Comprobar si una fórmula es dimensionalmente correcta.



Establecer nuevas fórmulas.



Determinar las unidades que le corresponden a cierta magnitud derivada.

RETO FÍSICO

12. La siguiente formula física es dimensionalmente correcta: 3 𝐐 = 𝐊. 𝐀. √𝟐𝐠𝐡 donde: Q=caudal(𝑚 ⁄𝑠 ), A=área, g=aceleración, h=altura. Halla la unidad de la magnitud “K”

FORMULAS DIMENSIONALES 1. Si la ecuación mostrada es dimensionalmente correcta; indique las unidades de 𝜇 en el Sistema Internacional de Unidades (SI). 𝐅 𝐀

𝐕

= 𝛍 𝐘 Donde F: fuerza, A: área, V: velocidad, Y: longitud.

2. La siguiente es una formula física correcta: 𝐊. 𝐅 = 𝐦. 𝐕 donde: m=masa, F=fuerza, V= velocidad. Determinar que magnitud representa K 3. La siguiente es una formula física correcta: 𝐊. 𝐕 = 𝐅. 𝐭 donde:

V=velocidad, F=fuerza, representa K?

t=tiempo,

¿Qué

magnitud

homogénea: 𝐊. 𝐅 = 𝐦 𝐯 𝟐 donde F=fuerza, m=masa, v=velocidad ¿Qué magnitud representa K? 5. Si el potencial eléctrico “V” se define por la siguiente relación 𝐰 𝐪

indica la siguiente relación:

𝐂=

lineal. [𝜀𝑜 ] = 𝒍−𝟑 𝑴−𝟏 𝑻𝟒 𝑰𝟐 magnética-

𝟏 siendo: c=velocidad 𝛆 √ 𝐨 𝛍𝐨

Encontrar la permeabilidad

14. Halla las dimensiones de E en la siguiente formula: 𝐄 = √

𝐖 𝐦

donde: W: trabajo, m: masa 15. En la siguiente formula física, encontrar las dimensiones de p:

𝐩=

𝐂𝟐 𝐭𝐚𝐧(𝐖𝐓) 𝐀𝐁 𝐥𝐨𝐠𝛑

siendo A: aceleración, B: densidad, C:

velocidad

4. La siguiente expresión es dimensionalmente correcta y

𝐕=

13. La velocidad de la luz “C” en el vacío depende de la permitividad eléctrica 𝜀𝑜 y la permeabilidad magnética 𝜇𝑜 como

donde: W=trabajo, q=carga eléctrica, hallar la

6. Si la capacidad eléctrica “C” de un conductor se define 𝑄 𝑉

𝐓=

𝟏 𝟐

𝐊𝐱 𝟐 donde: T: energía, x: longitud

ECUACIONES DIMENSIONALES 17. De

dimensión del potencial eléctrico V

matemáticamente como 𝐶 =

16. En la siguiente formula física, calcular las dimensiones de K:

la siguiente ecuación dimensional correcta, determinar las dimensiones de m: 𝐘 = 𝐛𝐧 + 𝐦𝐧𝟐 donde b: velocidad, Y: longitud

donde: Q=carga eléctrica,

V=potencial eléctrico, hallar la dimensión de la capacidad eléctrica “C”

18. La siguiente formula es dimensionalmente correcta:

𝐕𝟑 =

𝐀+ 𝐅 𝟐 𝐁

donde: V: volumen, F: fuerza, halla las

dimensiones de A y B 7. Determinar las unidades de E en el sistema internacional:

𝐄=

𝐃 .𝐕 𝟐

donde:

𝐠

D=densidad,

V=velocidad

lineal,

g=aceleración de la gravedad 8. La iluminación “Y” en un punto es directamente proporcional a la intensidad luminosa “I” e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de “d”. halla las dimensiones de la iluminación “Y”. 𝐘 =

𝐨 =𝐁 .𝐜𝐨𝐬𝟔𝟎𝐨

donde: A: aceleración, h: altura

10. La fuerza F que actúa sobre un alambre, por el cual circula una corriente I, este dado por la siguiente relación: 𝐅 = 𝐈𝐋𝐁

donde: L=longitud del alambre, B=inducción magnética. Hallar la ecuación dimensional de “B” 11. En

la

siguiente

una partícula que se mueve con una velocidad “v” en una región donde existe un campo eléctrico “E” y un campo magnético “B”, este dado por la siguiente relación: 𝑭 = 𝒙 . 𝑬 + 𝒚 𝑽 . 𝑩 halla las dimensiones de x e y. 20. En la siguiente formula física 𝐸 = 𝐴 . 𝑉 2 + 𝐵 . 𝑃 donde E:

𝐈 𝐝𝟐

9. En la siguiente formula física, determinar las unidades de “B”,

𝐀𝟎,𝟓 . 𝐡𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎

19. La fuerza de Lorentz, F que es la fuerza que actúa sobre

formula

física:

𝐊=

𝛄.𝐐 √ 𝐦

𝟑

donde:

3 [𝛾]=[tension superficial]=𝑀𝑇 −2 , Q=caudal(𝑚 ⁄𝑠 ), m=masa ¿Qué magnitud física representa K?

energía, V. velocidad, p: presión, determinar que magnitud representa A y B 21. Sabiendo que el impulso es I = F. t, encontrar las

dimensiones de “Z” para que la siguiente ecuación sea 𝐖 dimensionalmente correcta: 𝐈 = 𝐙 + 𝐦𝐙 donde W: trabajo, F: fuerza, m: masa, t: tiempo 22. En la siguiente formula física, hallar las unidades de la

magnitud

b

𝐅 = 𝐚. 𝐯 (𝐛 +

en 𝐜 )+ 𝐯

el

sistema

internacional

𝐜 donde F: fuerza, V: velocidad

23. La siguiente formula es dimensionalmente correcta y homogénea 𝐄 = 𝐀 . 𝐖 𝟐 + 𝐁 . 𝐕 𝟐 + 𝐂 . 𝐏 Donde: E: energía, W: velocidad angular, V: velocidad lineal, P: presión. Hallar: [

𝐵.𝐶 𝐴

]

24. En la siguiente formula física hallar las dimensiones de K:

𝐊 = 𝐧 . 𝐚 . 𝐭 𝟐 + 𝐛𝐧 Donde: a = aceleración, t = tiempo 25. En la siguiente formula física, hallar las dimensiones de K:

36. La

siguiente

formula

es

dimensionalmente

correcta

𝐏 = 𝐃𝐱 . 𝐠 𝐲 . 𝐡𝐳 donde: P: presión, D. densidad, g: aceleración de la gravedad, h: altura. Hallar x+y+z 37. Dada la ecuación 𝐅 = 𝐧𝐱 . 𝐫 𝐲 . 𝐯 𝐳 donde: F: fuerza, n: viscosidad = 𝐿−1 𝑀𝑇 −1 , R: radio, v: velocidad. Hallar x+y+z 38. El periodo de oscilación de un péndulo depende de la longitud (l) de la cuerda y de la aceleración de la gravedad (g) y tiene la 𝛑 siguiente forma: 𝐭 = 𝐥𝐱 . 𝐠 𝐲 . hallar la formula física correcta. 𝐱

𝐕 = √𝐊 − 𝐀𝟐 Donde: V = velocidad

39. La energía W que almacena una bobina en forma de campo 26. En la siguiente formula física, hallar la dimensión de A, B, C:

𝐱 = 𝐀 + 𝟐𝐁𝐭 + 𝟑𝐂𝐭

𝟐

Donde: x: distancia, t: tiempo.

magnético tiene la siguiente forma: 𝐖 =

𝟏 𝐱

. 𝐈 𝐱 . 𝐋𝐲 donde: I:

intensidad de corriente eléctrica, L: inductancia de la bobina = 𝐿2 𝑀𝑇 −2 𝐼−2 halla x+y

27. En la síguete formula física, hallar la dimensión de J:

𝐉=

(𝐖 𝟐 −𝟒𝐊) Donde: x = masa. (𝐱−𝟐𝐲)(𝐲 𝟐 +𝟑𝐰)

40. La fórmula que determina la altura máxima h alcanzada por una partícula que es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial Vo tiene la siguiente formula: ℎ =

28. Halla la dimensión de Z en la siguiente formula:

𝐁+𝐇

𝐙 = √ 𝐯−𝐭

Donde: B: volumen, t: tiempo, v: velocidad

29. En la siguiente formula física:

𝐑=

𝐀+𝐱 + 𝐲

𝐏+𝐔 𝐱

√

halle la

dimensión de R, Donde: A: aceleración, U: fuerza 30. Halla la dimensión de a.b.c en la siguiente formula física:

𝐝 = 𝐚 + 𝐛. 𝐭 +

𝐜𝐭 𝟐 Donde: d = distancia, t = tiempo 𝟐

31. Halla la dimensión de A.B.C en la siguiente formula física:

𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎𝐨 = 𝐀 + 𝐁𝐭 + √

𝐂 𝐭

Donde: t = tiempo

32. Determinar las dimensiones de B, en la siguiente expresión que dimensionalmente es homogénea:

𝐁=

𝐓.𝐏 .𝐂𝐎𝐒𝟓𝟑𝐨 𝛅

+𝐜

Donde: T: trabajo, P: presión, δ: densidad 33. En la ecuación: 𝐗 = 𝐀. 𝐬𝐞𝐧(𝐁. 𝐭 + 𝛗) + 𝐂. 𝐭 𝟐 + 𝐃 es dimensionalmente homogénea, donde: x = distancia, t = tiempo. Halle la dimensión de

𝐀.𝐁 𝐁.𝐃

FORMULAS EMPIRICAS 34. En la siguiente formula física 𝐏 = 𝐃𝐗 . 𝐐𝐘 . 𝐡𝐳 . 𝐠 Donde: P: potencia, D: densidad, h: altura, Q: caudal(m3/s), g: aceleración de la gravedad. Hallar (x+y+z) 35. La presión P que ejerce el flujo de agua sobre una placa vertical viene dada por la siguiente formula: 𝐏 = 𝛄 . 𝐐𝐗 . 𝐝𝐲 . 𝐀𝐳 siendo: γ: constante, A: área, d: densidad, Q: caudal. Determinar la expresión final de la formula.

𝑉𝑜𝑥

𝑥.𝑔𝑦

siendo:

g: aceleración de la gravedad. Hallar la formula física correcta.