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• Victoria Williams

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ECONOMIA DE LA EMPRESA. TEMA 13. APUNTES COMPLEMENTARIOS: TEORIA DE LA DECISIÓN. © F. Juárez Rubio Universitat de Lleida 1.-ANALISIS ANTERIOR La decisión se toma en base a probabilidades subjetivas. Ejemplo: Un agricultor desea determinar la variedad de trigo que plantará de tres disponibles. Se supone que está bien establecido que los resultados que se obtienen de cada variedad dependen de las precipitaciones del año. El decisor espera tres estados posibles de la naturaleza: θ 1, que el año sea seco; θ 2, que el año sea normal; y θ3 que el año sea húmedo. En función de cada posible estado de la naturaleza su matriz de pagos (útiles) es la siguiente: Matriz de pagos: Actos a1: Variedad 1 a2: Variedad 2 a3: Variedad 3

Estados de la Naturaleza θ1 θ2 θ3 100 60 20 60 100 30 20 40 80

COMENTARIO: La matriz de pagos se expresa en este ejemplo directamente en útiles para obviar la discusión de su construccion. Cuando no se disponga de la información suficiente para determinar los resultados de cada variedad en útiles, el posiblemente resultado de cada variedad se podría expresar directamente en beneficios (ingresos menos costes) o ingresos (cuando los costes en que se incurre al cultivar cada variedad son similares) o rendimientos físicos (kg/ha, cuando el precio de las diferentes variedades es parecido y los costes de producción tambien son similares). A cada estado de la naturaleza se supone que el decisor le asigna la siguiente probabilidad subjetiva (en base al conocimiento y experiencia que tiene sobre las características climáticas de la zona): Estado Naturaleza θ1

Probabilidad subjetiva P(θ 1) = 0,6

θ2

P(θ 2) = 0,3

θ3

P(θ 3) = 0,1

Planteado así el problema, el decisor elegirá aquella variedad que maximice la esperanza esperada de pago: Acto: Cultivar la... a1: Variedad 1 a2: Variedad 2 a3: Variedad 3

Esperanza matemática 100 x 0,6 + 60 x 0,3 + 20 x 0,1 = 80 60 x 0,6 + 100 x 0,3 + 30 x 0,1 = 69 20 x 0,6 + 40 x 0,3 + 80 x 0,1 = 32

La esperanza matemática máxima se obtiene con la Variedad 1, que es la que se selecciona. Es decir, la

alternativa óptima es la primera: a1*, la cual tiene una esperanza matemática de PE0(a1*) = 80. El pago esperado por la información perfecta será: PEIP0 = 100 x 0,6 + 100 x 0,3 + 80 x 0,1 = 98 Por tanto, el valor esperado por la información perfecta será: VEIP0 = PEIP0 - PE0(a1*) = 98 - 80 = 18

2.- ANALISIS POSTERIOR En el análisis posterior se toma la decisión partiendo de probabilidades subjetivas, mejorada mediante la utilización de información proveniente de muestras. El hecho de utilizar esa información obtenida de muestras es lo que confiere el calificativo de "posterior" al análisis. Sea, por ejemplo, un fabricante de perfumes que estudia la conveniencia de comercializar un nuevo producto (perfume). El primer paso del análisis consiste en realizar un análisis anterior. En función de las características de nuevo producto, los directivos estiman obtener una distribución anterior de las ventas potenciales del perfume dada por: Estado de la Naturaleza θ1: nivel alto de ventas

Probabilidad subjetiva o anterior P(θ 1) = 0,4

θ2: nivel medio de ventas

P(θ 2) = 0,4

θ3: nivel bajo de ventas

P(θ 3) = 0,2

La decisión se plantea como la elección de una de las dos estrategias siguientes: a1 = lanzar el producto (comercializarlo) a2 = no lanzar el producto (abandonar el proyecto de comercializarlo) Mediante el correspondiente estudio de ingresos y costes en cada situación, se determina la siguiente matriz de pagos (en Millones de unidades monetarias): Estrategia a1: lanzar producto a2: no lanzar producto

θ1 4 0

θ2 1 0

θ3 -1,6 0

Mediante análisis anterior se determina que la esperanza de pago de cada estrategia es: EP0(a1) = 4 x 0,4 + 1 x 0,4 + (-1,6) x 0,2 = 1,68 Mio u.m. EP0(a2) = 0 x 0,4 + 0 x 0,4 + 0 x 0,2 = 0 Mio u.m. Luego, en el análisis anterior, la estratégia óptima es a1* (el asterístico indica el carácter de óptima). Para la estrategia óptima el valor el pago esperado por información perfecta vale: PEIP0 = 4 x 0,4 + 1 x 0,4 + 0 x 0,2 = 2 Mio u.m. El valor esperado de la información perfecta, o la pérdida de oportunidad esperada, viene dada por: VEIP0 = PEIP0 - a1* = 2 - 1,68 = 0,32 Mio u.m. (en lo sucesivo no se indicarán las unidades monetarias, Mio u.m., por sobrentenderse fácilmente). El valor esperado de la información perfecta es el techo de lo que interesa pagar por información adicional. Como el valor obtenido es alto, se acepta que resulta interesante realizar un análisis posterior.

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Para ello se decide probar el producto en un "mercado tipo", en el cual se comercializará. Como resultado de esta prueba (estudio) se espera obtener alguno de estos resultados: x1 = resultado que indica un nivel alto de ventas. x2 = resultado que indica un nivel medio de ventas. x3 = resultado que indica un nivel bajo de ventas.

Para contrastar la fiabilidad prevista de los resultados de la prueba, como indicación de lo que ocurrirá en el mercado completo, se dispone de una información que relaciona los resultados que se han obtenido en las pruebas y lo que realmente ocurrió en los mercados, consecuencia de numerosos estudios realizados con anterioridad. Esta información viene dada por la siguiente tabla: Cuando se obtuvo un resultado en el mercado "reducido" dado por:

El porcentaje de veces que luego resultó el estado de la naturaleza θ1 fué:

x1 x2 x3

El porcentaje de veces que luego resultó el estado de la naturaleza θ2 fué:

0,7 0,2 0,1

0,3 0,5 0,2

El porcentaje de veces que luego resultó el estado de la naturaleza θ3 fué: 0,1 0,1 0,8

Los datos anteriores tienen un significado claro. Por ejemplo: - la probabilidad de que de obtener un resultado x1 en la prueba cuando el estado de la naturaleza es θ 1 es 0,7. Es decir P(x1/θ1) = 0,7. Esto tambien se puede expresar mediante una notación más cómoda: f(x1/θ 1) = 0,7. - la probabilidad de que de obtener un resultado x2 en la prueba cuando el estado de la naturaleza es θ 1 es 0,2. Es decir f(x2/θ 1) = 0,2. - la probabilidad de que de obtener un resultado x3 en la prueba cuando el estado de la naturaleza es θ 1 es 0,1. Es decir f(x3/θ 1) = 0,1. - etc. Dicho de otra manera, dado un estado de la naturaleza que permitirá obtener un nivel alto de ventas (θ 1), una prueba o estudio (muestra) que encuentre un nivel alto de ventas como resultado (x1) es tres veces más probable que encontrar un resultado intermedio (x2) y siete veces más probable que encontrar un resultado bajo (x3). Una vez realizada la prueba, se encuentra un nivel bajo de ventas (x3) en ese mercado reducido. Mediante el Teorema de Bayes se corregirán las probabilidades subjetivas (anteriores) con la información de muestra obtenida. El teorema de Bayes viene dado por: P(θ

j

/ x) =

P (θ j ) P ( x/ θ j ) n

∑ P (θ j ) P ( x/ θ j )

j =1

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Otra notación de la misma expresión, más cómoda, viene dada por:

f 1 (θ ) =

f 0 (θ ) f ( x / θ ) f ( x)

Aplicando el teorema de Bayes (mediante cálculo en tabla), se obtiene: f0 (θj) 0,4 0,4 0,2

f (x3 / θ j) 0,1 0,2 0,8

f0 (θj) f (x3 / θ j) 0,04 0,08 0,16 f (x3) = 0,28

f1 (θ j / x3) 0,14 0,29 0,57 1

Mediante estos cálculos se corrigen las probabilidades subjetivas (f0 (θj)) y se obtienen las probabilidades posteriores f1 (θ j / x3). Con esta nueva estimación de las probabilidades se vuelve a calcular la esperanza matemática de cada una de las estrategias que se consideran, obteniendose los siguientes resultados: Esperanza matemática de pago (posterior): EP1(a1) = 4 x 0,14 + 1 x 0,29 + (-1,6) x 0,57 = - 0,062 Mio u.m. EP1(a2) = 0 x 0,14 + 0 x 0,29 + 0 x 0,57 = 0 Mio u.m. Con esta nueva estimación (posterior) la estrategia óptima es no lanzar el producto, es decir, a2*. El pago esperado de la información perfecta es: PEIP1 = 4 x 0,14 + 1 x 0,29 + 0 x 0,57 = 0,85 El valor esperado de la información perfecta será: VEIP1 = PEIP1 - EP1 (a2*) = 0,85 - 0 = 0,85 Observe que este valor esperado de la información perfecta es superior al calculado en el paso anterior. VEIP1 > VEIP0.Es decir, el resultado obtenido en la muestra (nivel bajo de ventas, x3) era tan inesperado que ha hecho crecer la incertidumbre, y por tanto se valora más la información adicional que se pueda obtener para determinar cual será el estado de la naturaleza que se presentará.

3.-ANÁLISIS PREPROSTERIOR En el Análisis Preposterior se estudia lo que la información adicional puede ofrecer para mejorar la toma de la decisión, a fín de determinar el nivel de muestra que conviene obtener para realizar el cálculo que mezcal información anterior y posterios: el Análisis Posterios, estudiado en el epígrafe anterior. Ejemplo de Anális Preposterior. Una compañía de prospecciones estudia concurrir a una oferta de la Administración para efectuar 3 sondeos. La Administración ofrece pagar por los tres sondeos 10.000 u.m. La compañía estima que el

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coste de efectuar una prospección es de 2.200 u.m. si en el terreno no aparecen capas rocosas, y 4.000 u.m. si aparecen capas rocosas. Con estos datos, y en base a su experiencia en la zona, construye la siguiente matriz de pagos:

ACTOS a1: Aceptar el contrato a2: No aceptar el contrato

Estados de la Naturaleza Número de sitios en los que aparece capa rocosa θ j θ 1=0 θ 2=1 θ 3=2 θ 4=3 P(θ 1)= 0,3 P(θ 2)= 0,35 P(θ 3)= 0,2 P(θ 4)= 0,15 3400 1600 -200 -2000 0 0 0 0

1) Análisis Anterior Si la decisión se prepara sin información de muestra (es decir, una muestra de tamaño n=0), se tendría: EP0(a1) = 3400 x 0,3 + 1600 x 0,35 + (-200) x 0,2 + (-2000) x 0,15 = 1240 u.m. EP0(a2) = 0 x 0,3 + 0 x 0,35 + 0 x 0,2 + 0 x 0,15 = 0 u.m. Por tanto, la acción óptima es elegir a1, y en ese caso EP0(a1*) = 1240 u.m. El pago esperado de la información perfecta será: PEIP0 = 3400 x 0,3 + 1600 x 0,35 +0 x 0,2 + 0 x 0,15 = 1580 u.m. Esto se puede representar tambien como EP(0) = 15 VEIP0 = PEIP0 - EP0(a1*) = 1580 - 1240 = 340 u. m. Inicialmente se identifica un techo de 340 u. m. a pagar por la información de muestra. 2) Análisis preposterior. Para la obtención de muestras se pueden practicar sondeos experimentales para comprobar si existe o no capa rocosa en los puntos donde se deben perforar los pozos. Cada uno de estos sondeos cuesta 150 u.m. Por tanto, el número máximo de sondeos que le conviene hacer a la empresa es n ≤ (340 / 150) = 2. Se examinarán las distintas hipótesis razonables de obtención de información de muestra. Caso n = 1. Es aquel caso en el que se decide hacer un único sondeo de muestra experimental. Si se realiza un único sondeo, se puede obtener como resultado del mismo: x1 = no hay capa rocosa, y x2 = hay capa rocosa Observe que es posible calcular directamente la probabilidades condicionales del estado verdadero. Así: f(x1/θ 1) = 1 (porque es la probabilidad de que se obtenga como resultado de la muestra x1estando los tres puntos carentes de roca,θ1 ), y f(x1/θ 2) = 2/3 (porque es la probabilidad de que se obtenga como resultado de la muestra x1habiendo en alguno de los tres puntos uno con roca,θ2 ). Los valores de f(x1) y f(x2) forman una distribución de probabilidades predictiva, porque f(xk) se emplea para hacer predicciones sobre resultados de muestras antes de que sean observadas realmente. Con lo

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anterior se puede construir la tabla:

xk

θj

x1

x2

θ1

f0(θ j) 0,3

f(xk/θ j) 1

f0(θ j)f(xk/θj) 0,3

f1(θj) 0,5

θ2

0,35

2/3

0,23

0,38

θ3

0,2

1/3

0,07

0,12

θ4

0,15

0

0

0 1 0

θ1

0,3

0

f(x1) = 0,6 0

θ2

0,35

1/3

0,12

0,3

θ3

0,2

2/3

0,13

0,32

θ4

0,15

1

0,15

0,38

f(x2) = 0,4

1

Con las probabilidades posteriores f1(θj) y los resultados de la matriz de pagos se obtiene: EP1(a1/x1) = 3400 x 0,5 + 1600 x 0,38 + (-200) x 0,12 + (-2000) x 0 = 2284 EP1(a2/x1) = 0 EP1(a1/x2) = 3400 x 0 + 1600 x 0,3 + (-200) x 0,32 + (-2000) x 0,38 = -344 EP1(a2/x2) = 0 El pago esperado incondicional vale: EP(1) = EP1(a1*/x1) f(x1) + EP1(a2*/x2) f(x2) = 2284 x 0,6 +0 x 0,4 = 1370,4 El valor esperado de la información de muestra vale: VEIM (1) = EP(1) - EP0(a1*) = 1370,4 -1240 = 130,4 Se reduce la incertidumbre como consecuencia de la información adicional de la muestra, pero como es necesario invertir 150 u.m. en obtener la muestra (hacer un sondeo experimental), en realidad la ganancia neta esperada de la muestra es: GNEM = VEIM(1) - C(1) = 130,4 - 150 = -19,6 Por tanto se concluye que no conviene obtener una muestra de tamaño n =1. Caso n = 2 Se examina ahora la hipótesis de que se realizan dos perforaciones experimentales, y en eso consiste la información de muestra. En este caso, como consecuencia de efectura n = 2 sondeos se pueden obtener los siguientes resultados: x1 = ningún pozo tiene capa rocosa. x2 = un pozo tiene capa rocosa y otro no.

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x3 = los dos pozos tienen capa rocosa Es posible calcular las probabilidades condicionadas directamente (distribución hipergeométrica). Así, por ejemplo, se tiene:

F

 3  3   :   = 1 2 2 f(x1/θ 1) =    

 1  2  3     :   = 0 2 2 f(x1/θ 2) =       1/3

f(x1/θ 3) = f(x1/θ 4) = 0

Se puede, por tanto, construir la tabla: xk

θj

x1

θ1

f0(θj) 0,3

f(xk/θj) 1

f0(θj)f(xk/θ j) 0,3

f1(θ j) 0,71

θ2

0,35

1/3

0,12

0,29

θ3

0,2

0

0

0

θ4

0,15

0

0

0

θ1

0,3

0

f(x1) = 0,42 0

1 0

θ2

0,35

2/3

0,23

0,64

θ3

0,2

2/3

0,13

0,36

θ4

0,15

0

0

0

θ1

0,3

0

f(x2) = 0,36 0

1 0

θ2

0,35

0

0

0

θ3

0,2

1/3

0,07

0,32

θ4

0,15

1

0,15

0,68

f(x3) = 0,22

1

x2

x3

Las esperanzas matemáticas posteriores condicionadas valdrán: EP2(a1/x1) = 3400 x 0,71+ 1600 x 0,29 + (-200) x 0 + 0 x 0 = 2878 EP2(a1/x2) = 3400 x 0 + 1600 x 0,64 + (-200) x 0,36 + 0 x 0 = 952 EP2(a1/x3) = 3400 x 0 + 1600 x 0 + (-200) x 0,32 + 0 x 0,68 = -1424 EP2(a2/x1) = 0 EP2(a2/x2) = 0 EP2(a2/x3) = 0 El pago esperado incondicional vale: EP(2) = EP2(a1*/x1) f (x1) + EP2(a1*/x2) f (x2) + EP2(a2/x3) f (x3) = 2878 x 0,4 + 952 x 0,36 +0 x 0,22

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= 1551,48 El valor esperado de la información de muestra y la ganancia neta esperada de muestra valen: VEIM(2) = EP(2) - EP(0) = 1551,48 - 1240 = 311,48 GNEM(2) = VEIM(2) - C(2) = 311,48 - 300 = 11,48 A la vista de los resultados se decide la siguiente regla de decisión: en este tipo de contratos se realizarán dos perforaciones experimentales, n = 2; y si el resultado es x1 o x2, entonces se acepta el contrato. En caso de que se obtenga x3, se rechaza el contrato.

4.- DECISIONES EN ETAPAS MÚLTIPLES Una compañía que se dedica a la fabricación de zumos de fruta desea aprovechar el incremento de demanda que espera para sus fabricados. Para ello ha de construir una nueva planta que le supone una inversión de 2 Mio u.m. Sus estimaciones a priori de la situación futura se resúme en la siguiente matriz de pagos: Actos a1: construir nueva planta a1: no construir nueva planta

Estado Naturaleza θ1: incremento demanda θ2: no incremento demanda 3 Mio - 2 Mio 0 Mio 0 Mio

Los directivos estiman una probabilidad "a priori" de θ1= 0,5 y θ2= 0,5. En esta situación se tiene: EP0(a1*) = 3 x 0,5 + (-2) x 0,5 = 0,5 Mio PEIP0 = 3 x 0,5 + 0 x 0,5 = 1,5 Mio VEIP0 = PEIP0 - EP0(a1*) = 1 Mio Como la decisión puede ser demorada, la dirección decide efectuar por lo menos un estudio de muestra de las condiciones del mercado de sus clientes actuales con un coste de 60.000 u.m. La dirección no ha decidido aún si también realizará una segunda muestra entre los clientes actuales y potenciales con un coste de 120.000 u.m. La primera muestra es fidedigna en un 65% (es decir, si resulta de la muestra que hay un incremento de demanda, existe un 65% de probabilidad de que efectivamente se presente en el futuro un incremento de demanda). La información de la segunda muestra es fidedigna al 70%. Como el valor de VEIP0 es alto, se pueden realizar las dos muestras. ¿Debe hacer la dirección el muestreo en dos etapas? Respuesta: En un problema de etapas múltiples se evalúa la decisión hacia atrás. Los mejores movimientos de las etapas posteriores determinan los mejores movimientos de las etapas anteriores. En este tipo de problemas suele ser útil emplear un instrumento gráfico, llamado diagrama del flujo de decisiones o arbol de decisiones. Una primera bifurcación del arbol se produce para los dos posibles resultados de la primera muestra: x1 = aumento de la demanda x2 = no aumento de la demanda

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Dado uno cualquiera de los anteriores resultados, la dirección debe decidir si continua el muestreo (tomando la segunda muestra) o si cesa de muestrear. Si decide continuar el muestreo, existirá otra bifurcación para los resultados posibles de la segunda muestra: y1 = aumento de la demanda y2 = no aumento de la demanda Para cada uno de los resultados de la muestra se debe elegir entre hacer o no hacer la planta, entre a1 y a2. Estas decisiones determinan finalmente los pagos esperados.

Si se realiza la primera muestra, se determinarán las siguientes probabilidades posteriores: xk

θj

x1

x2

θ1

f0(θj) 0,5

f(xk/θj) 0,65

f0(θj)f(xk/θ j) 0,325

f1(θ j) 0,65

θ2

0,5

0,35

0,175

0,35

θ1

0,5

0,35

f(x1)= 0,5 0,175

1 0,35

θ2

0,5

0,65

0,325

0,65

f(x2)= 0,5

1

Si se realiza la segunda muestra, se obtendrán las siguientes probabilidades posteriores: xk & yk

θj

x1 & y1

x1 & y2

x2 & y1

x2 & y2

θ1

f0(θj) 0,65

f(xk/θj) 0,7

f0(θj)f(xk/θ j) 0,455

f1(θ j) 0,8125

θ2

0,35

0,3

0,105

0,1875

θ1

0,65

0,3

f(y1)= 0,56 0,195

1 0,4432

θ2

0,35

0,7

0,245

0,5568 1 0,5568

θ1

0,35

0,7

f(y2)= 0,44 0,245

θ2

0,65

0,3

0,195

0,4432 1 0,1875

θ1

0,35

0,3

f(y1)= 0,44 0,105

θ2

0,65

0,7

0,455

0,8125

f(y2)= 0,44

1

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A partir de estos datos, y los de la matriz de pagos, se puede construir el siguiente arbol de decisión:

10

0,5

a1 0,5

f (y1 ) = 0,56

f(θ2 /y )=0,1875 1 a2

2,0625

a2 No tomar muestra

0

1,25

f (y ) = 0,44 2

Segunda muestra, C=0,12

0,6788 Primera Muestra C = 0,06

1,25

3

f(θ1 /y ) = 0,8125 1 a1 2,0625

f (θ ) 3 0 1 0,5 0,5 f (θ 2 ) -2 0

f ( θ /x1 )= 0,65 1

No segunda muestra

f ( x )= 0,5 1

a1 f(θ1 /y2 )=0,4432

f(θ2 /y )=0,5568 2

f ( θ /x1 )= 0,35 2

1,25

3

0,2160

3

1,25

a1

0 0

a2

0,2160

-2

-2

-2

a2

0,7388

0 f ( x )= 0,5 2 a2 No segunda muestra

0

a1

0 f(θ /y )= 0,35 1 2

3

-0,25

0,2275 f(θ2 /y )=0,65 2 Segunda muestra, C=0,12

-2 0

a2

f (y1 )= 0,4432

0,7840

a1

0,375

f(θ1 /y )= 0,5568 1

3

0,7840 f(θ2 /y ) = 0,4432 1

-2 0

a2

f (y )= 0,6588 2 0 a1

f(θ1 /y ) = 0,1875 2

3

-1,0625 f(θ2 /y )= 0,8125 2

-2

Para realizar el análisis se comienza por las ramas finales. Se calcula para cada bifurcación el pago esperado (pago por probabilidad). El pago esperado se introduce en el vértice del cual parte la bifurcación. De estos pagos esperados, se elige el acto óptimo en cada etapa, hasta que se llega a la primera bifurcación, al comienzo del arbol. Cuando proceda, deben deducirse los costes de realizar la muestra. El mejor resultado en los rectángulos más alejados en el arbol de decisión es 2,0625 (que se obtiene mediante la operación 3 x 0,8125 + (-2) x 0,1875). A su izqueirda existe otro rectángulo con el mismo pago esperado, proque al mismo se llega desde el vértice 2,0625 y desde el vértice de valor 0, siendo el mayor el primero de ambos (se pone en cada vértice el mayor de los valores de los vértices a los que antecede). La rama que conduce al pago menor se elimina, y ya no es tenida en cuenta posteriormente. El rectangulo siguiente (hacia atrás) tiene una esperanza de pago de 1,25. Se obtiene mediante la operación 2,0625 x 0,56 +0,2160 x 0,44 = 1,155 + 0,095 = 1,25. Desde este vértice se salta, hacia atrás, a

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otro vértice tambien con el valor 1,25. Pero este último valor se obtiene: - en la rama que se está explorando, el valor que correspondería sería 1,25 - 0,12 = 1,13 (ya que habría que pagar la muestra que se supone). - la otra rama que converge (no se hace segunda muestra) tiene un valor 1,25, que proviene de haber seleccionado en la misma la acción a1, con el resultado 0,65 x 3 + (-2) x 0,35 = 1,95 - 0,7 = 1,25 De esos dos posibles valores (1,13 y 1,25) se elige el mayor, y por tanto se seleccióna la alternativa de no hacer la segunda muestra. Procediendo de esta manera, se determina que la mejor opción es realizar sólo la primera muestra y construir la fábrica si da como resultado un incremento de la demanda.

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