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NOVENA EDICIÓN

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NOVENA EDICiÓN Charles E. Bonini William R. Timken, profesor de ciencias administrativas Escuela de graduados en negocios Stanford University

Warren H. Hausman Profesor de ingeniería industrial e ingeniería administrativa Departamento de ingeniería industrial e ingeniería administrativa Stanford University

Harold Bierman, .Ir. Profesor de administración de negocios Facultad Johnson de estudios avanzados en administración Cornell University

Traducción

Cecilia Ávila de Barón Especialista en traducción Universidad de los Andes

Revisión técnica

Roberto Rasero Hinestroza, l.E., M.B.A. Profesor (D.E.) Universidad Nacional de Colombia Consultor gerencial de empresas

glrwin _ McGraw-Hill Santafé' de Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa Madrid. México. Nueva York • San Juan • Santiago de Chile • Sao Paulo Auckland • Hamburgo • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delhi • París San Francisco • San Luis • Singapur • Sidney • Tokio • Taranta

PARA GERENTES Y FUTUROS GERENTES Cuando en 1961 se editó por primera vez, este libro, se convirtió en la obra pionera de la aplicación del análisis cuantitativo a la administración. Trató de servir como puente para acortar la brecha entre los métodos analíticos recién desarrollados y los cursos de negocios aplicados. Con el paso de los años hemos mantenido este enfoque en las ocho ediciones posteriores. En los últimos años pareciera que la popularidad de los métodos cuantitativos hubiera disminuido, pues la actual presión empresarial exige métodos como reingeniel1a, gerencia de calidad total (Total Quality Management TQM), o administración de la cadena de suministros, como claves para el éxito en los negocios. Sin embargo, esto de alguna manera es errado cuando se refiere al valor del análisis cuantitativo, ya que, en muchas instancias, la aplicación de estos métodos se basa, en parte, en el uso de las herramientas y métodos que se presentan en este libro. Aunque estos nuevos enfoques han sido objeto de la atención pública, se ha pasado por alto el éxito continuado del análisis cuantitativo para hacer que las empresas y otras organizaciones sean más eficientes y efectivas. Debido a que los métodos cuantitativos han sido utilizados ampliamente durante años, se han vuelto rutinarios y se dan por establecidos en muchas organizaciones y no reciben la misma atención por parte de la prensa como las ideas más recientes. Nosotros pensamos que para el lector es importante estar consciente de la vigencia del uso de los métodos cuantitativos. Por eso, en cada capítulo hemos incluido material que describe una aplicación reciente de las técnicas que allí se presentan; con frecuencia, implican ahorros de millones de dólares para las empresas involucradas. A esta sección la denominamos Ejemplo motivador y nuestro objetivo es concientizar al usuario del libro de que hay una gran probabilidad de éxito si utiliza estos métodos. Además, se le pide revisar brevemente los problemas, especialmente los estudios de caso, al final de cada capítulo; ya que son aplicaciones reales, por lo general muy simplificadas, en el formato de problemas. Como autores, hemos conservado nuestro entusiasmo por el valor y la importancia del análisis cuantitativo durante los más de 36 años de vida de este texto. Esperamos que ese entusiasmo sea contagioso.

PARA LOS INSTRUCTORES Esta obra es la novena edición de Análisis cuantitativo para las decisiones de negocios. Esta edición cuenta con una revisión importante que incluye además, el cambio del título aAnálisis cuantitativopara los negocios. Las novedades más importantes se refieren a la inclusión de formato, alcance del capítulo, ejemplos motivadores y hojas de cálculo amigables. La primera edición, hace más de 35 años, fue un método pionero para la aplicación de técnicas cuantitativas a problemas administrativos. Como se indicó en el prefacio original, un objetivo de la obra era "actuar como una fuerza conectora entre los cursos de matemáticas, de un lado, y los cursos de negocios aplicados, del otro". A través de los años, los cursos de análisis cuantitativo han cumplido este objetivo. Sin embargo, en épocas recientes, los currículos de negocios han cambiado y esa "fuerza conectora" con frecuencia ha sido fusionada a los cursos de aplica-

iv

Anális cuantitativo

ción, en especial, a los de operaciones o producción. Teniendo en cuenta estos cambios, emprendimos esta revisión. El formato ha sido modificado, de modo que cada capítulo resulte tan autónomo como sea posible. Advertimos que algunos profesores pueden utilizar este texto en su totalidad, mientras que otros quizás deseen seleccionar un grupo de capítulos para armar una "guía para el curso", posiblemente con material de textos de McGrawHill o de otras editoriales. Virtualmente hemos eliminado todas las referencias entre capítulos y se ha trasladado la sección de respuestas de problemas prácticos al final de cada capítulo. También hemos alargado la mayoría de los capítulos, combinando capítulos más cortos de la edición anterior. Esto reduce el número total, permite que haya más cohesión entre ellos y facilita el uso para el profesor que desee crear un curso guía particular mediante la selección de distintos materiales. Ahora, cada capítulo se inicia con uno o más Ejemplos motivadores que son descripciones cortas de aplicaciones de modelos cuantitativos para situaciones reales en donde se toman decisiones. Están diseñados para mostrar al lector que estos métodos de análisis pueden tener, y tienen, un rendimiento verdadero en condiciones reales de negocios, de ahí que sean motivadores para emprender el esfuerzo de entenderlos. Toda la obra ha sido hecha a través de "hoja de cálculo amigable". Se trabajó con Excel®, incluyendo muchos ejemplos acerca del uso de hojas de cálculo en modelos cuantitativos. También hay Apéndices con más detalles sobre el uso de Excel en simulación y solución de problemas de programación lineal utilizando Solver®. También está un nuevo capítulo sobre pronósticos que cubre suavizamiento exponencial, regresión, pronóstico de nuevo producto y medición de errores de pronóstico. El material de análisis de decisión se combinó en dos capítulos y se agregó el análisis de las opciones de compra de acciones y las desviaciones al estimar probabilidades. El material sobre control y manejo de inventario se fusionó en un solo capítulo y ahora incluye material sobre curvas de intercambio para servicio al cliente frente a la inversión e inventario, y un breve estudio sobre aspectos del manejo de la cadena de suministro, incluyendo el riesgo de los efectos agrupados. El capítulo sobr~ colas fue revisado con detenimiento para incluir un tratamiento moderno de llegadas y servicios, tomando como objetivo las distribuciones del tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio, e incluyendo el tratamiento de períodos de servicio general, sistemas de pérdida y una breve introducción a redes de sistemas de procesamiento. En esta edición se ofrecen muchos problemas nuevos. Nuestra mayor fortaleza en las ediciones anteriores fue la calidad y cantidad de los problemas; hemos conservado lo mejor de lo mejor. Como siempre, los cambios son consistentes con el objetivo descrito en el prefacio de la primera edición: hacer el material entendible para el lector que no tiene una amplia formación en matemáticas. Agradecemos a los muchos usuarios de las ediciones anteriores que se han tomado el tiempo para identificar errores e inconsistencias, y han ofrecido sugerencias para mejorar. Esta colaboración la apreciamos mucho. Aunque Lawrence Fouraker y Robert Jaedicke ya no están en lista de autores, reconocemos que un considerable porcentaje de la obra refleja sus palabras e ideas.

Charles P. Bonini Warren H. Hausman Harold Bierman, Jr.

Queremos agradecer a los siguientes revisores quienes, en las ediciones recientes, han hecho muchas sugerencias de utilidad. Apreciamos sus contribuciones. Steve Achtenhagen, San José State University Ray Ballard, E. Texas State University Thomas Boland, Ohio University Frcdrick Davidson, Mmy Washington College Peter EIlis, Utah State University Warren W. Fisher, St'ephen F. Austin State

University J. William Gotcher, California State

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University-Hayward

Tim Ireland, Oklahoma State University Raj Jagannathan, University of Iowa Prem S. Mann, California State University-

Fullerton

Mike Middleton, University ofSan Francisco G. John Miltenburg, MeMaster University W. E. Pinriey, University ofTexas - Arlington Mary Rolfes, Mankato State University Taj Shahran, University of Detroit Merey Linda Salchenberger, Loyola University Stephen P. Stuk, EmOlY University George Vlahos, University of Dayton Mark Walker, State University of New York-

Stonybrook

e.p.B.

\Y.H.H. H.B.,

Jr.

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La administración de una empresa de negocios moderna se ha convertido en un trabajo muy complejo. Hay una tendencia creciente a cambiar hacia las técnicas y modelos cuantitativos, como un medio potencial para solucionar muchos de los problemas que surgen en una empresa de esta clase. El propósito de esta obra es describir una muestra representativa de los modelos y las técnicas cuantitativas relacionadas con ellos. Se espera que este libro sirva como base para un curso, que actúe como una fuerza conectora entre los cursos de matemáticas, por un lado, y los de negocios aplicados, en el otro. Este es un trabajo introductorio a la aplicación de las matemáticas a problemas de negocios, y no sobre las matemáticas que se aplican en él. Hemos resumido, de una manera aproximada pero efectiva para los estándares matemáticos, algunas de las herramientas matemáticas que se emplean. El propósito es presentar la notación y unas pocas relaciones básicas y no tratar de enseñarle matemáticas al lector. Hemos tratado de minimizar la cantidad de preparación que se requiere en matemáticas para leer este libro, un lector que no tiene entrenamiento formal en estas áreas no debe pensar que esta obra se encuentra por fuera de sus capacidades. El libro es un intento por considerar técnicas que tratan problemas bastantes difíciles y complejos; así, aunque tratamos de elegir los mecanismos de explicación más sencillos -evitando pruebas y buena parte del rigor característico de los mismos- se mantiene la sutileza inicial de las técnicas. Estos atributos sólo pueden entenderse a través de un esfuerzo paciente durante un período largo.

Harold Bierman, Jr. Lawrence E. Fouraker Robert K. Jaedicke

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I PARTE I Modelamiento y optimización 1.

Introducción al análisis y construcción de modelos

2.

Introducción a la programación lineal

3.

Solución de problemas de programación lineal

4.

Temas especiales de programación matemática

PARTE 11 Análisis de decisiones 5.

Introducción a probabilidades

6.

Toma de decisiones bajo incertidumbre

7.

Decisión y análisis de riesgo

PARTE 111 Áreas de aplicación 8.

Control y gerencia de inventarios

9.

Teoría de las colas: congestión en sistemas de procesamiento

10.

Simulación

11.

PERT: Program Evaluation and Review Technique O. Técnica de evaluación y revisión de programas

12.

Pronósticos

Apéndice de tablas índice

PARTE 1 MODELAMIENTO y OPTIMIZACiÓN 1. Introducción al análisis y construcción de modelos 3 Ejemplo motivador: modelo de operaciones de la

Guardia Costera 2 Decisiones 3 Abstracción y simplificación 4 Construcción del modelos 5 Soluciones 5 Errores 5 Técnicas de construcción del modelo 6 Factores cualitativos 6 Clasificación de modelos 7 Problemas simples 7 Problemas complejos 8 Problemas dinámicos 8 Sistemas de apoyo de decisiones 8 Conceptos básicos de los modelos 9 Variables de decisión 9 Variables exógenas 10 Políticas y restricciones 10 Medidas del desempeño 10 Variables intermedias 10 El modelo y las relaciones entre las variables 10 Ejemplo: un modelo de fábrica de madera contrachapada (Láminas) 11 Relaciones: el diagrama de influencia 13 Relaciones físicas 13 Relaciones financieras 14 Análisis de la utilización del modelo 15 Ejecución del modelo en un computador 16 Fórmulas para los otros trimestres 18 Ejemplos de análisis utilizando el modelo 18 Análisis de sensibilidad 23 Un ejemplo: modelo de The New York Times 24 Apéndice Valor presente y valor del dinero en el tiempo 25 Bibliografía 26 Problemas prácticos 26 Problemas 27 Problemas especiales 28 Estudio de caso 1-14: Patawa Development

Company 29 Estudio de caso 1-15: Super Spuds, Inc. 30 Estudio de caso 1-16: Chase Manufacturing 32

Estudio de caso 1-17: Cotham City Times 35 Solución a los problemas prácticos 38 2.

Introducción a la programación lineal 41

Ejemplo motivador: Tata Iron and Steel Company -

India 40 Formulación de problemas sobre programación lineal 43 Ejemplo 1: un problema de mezclas de producto 43 Ejemplo 2: un problema de transporte 44 Ejemplo 3: un problema de mezclas 46 Ejemplo 4: un problema de programación 49 Ejemplo 5: un modelo integrado de planeación corporativa 52 El arte de formular modelos de programación lineal 52 Tata Iron and Steel Company -India (cont.) 55

Aplicaciones adicionales de programación lineal 56 Limitaciones de la programación lineal 56 Bibliografía 57 Problemas prácticos 57 Problemas 59 Problemas especiales 63 Estudio de caso 2-28: Impala Cold Company 68 Estudio de caso 2-29: Racy's Department Store 69 Estudio de caso 2-30: Daguscahonda Mines

COlporation 70 Estudio de caso 2-31: Mmyland Department of Na-

tural Resources 71 Solución a los problemas prácticos 72 3.

Soluciones a problemas de programación lineal 75

Ejemplo motivador: AITendamientos óptimos en

CE Capital 74 Solución gráfica 75 Análisis de sensibilidad de las restricciones 79 Precios sombra 80 Rangos del lado derecho de la ecuación (LD) 84 Análisis de sensibilidad - Evaluación de nuevo producto 86 Análisis de sensibilidad - Coeficientes de la función objetivo 87 Minimización 90

x

Análisis cuantitativo Un problema de presupuesto de capital 141 Un problema de expansión de capacidad 143 Tamaño y ubicación de la fábrica 144 Solución de problemas de programación con enteros 146 Utilización de Solver para problemas de programación con enteros 147 Optimización general 150 Procedimientos de búsqueda general 151 Un ejemplo utilizando Solver 152 Precauciones en el uso de programas no lineales 154 Objetivos múltiples y programación de metas 155 Metodo 1: objetivo único con restricciones 156 Método 2: definir intercambios entre los objetivos 157 Metodo 3: programación de meta 158 Metodo 4: programación de prioridad 159 Apéndice El algoritmo de ramificar y restringir 161 Bibliografía 169 Problemas prácticos 169 Problemas 171 Problemas especiales 174 Estudio de caso 4-21: TheAllen Company 179 Estudio de caso 4-22: Rodney Development

Metodo algebraico 91 Solución por computador de problemas de programación lineal 93 Otro ejemplo - Minimización 98 Interpretación de soluciones alternativas y degeneración 102 Apéndice A Sugerencias para utilizar Excel Solver 103 Apéndice B Uso de LINDO en problemas de programación lineal 107 Bibliografía 107 Problemas prácticos 109 Problemas 111 Problemas especiales 116 Solución a los problemas prácticos 125 4.

Temas especiales de programación matemática 137 Ejemplo motivador: Programación de la flotilla de

Delta Airlines 136 Programación con enteros 137

Programación de los trabajadores de McDonald's 138 Formulación de problemas de programación con enteros 139 El problema del cargo fijo 139 El Problema de tamaño del lote 140 Restricciones tipo Y/O 141 Ejemplos de planteamientos con enteros 141

Company 180 Solución a los problemas prácticos 181

PARTE 2 Probabilidades normales en hojas de cálculo 222 Bibliografía 223 Problemas prácticos 223 Problemas 224 Problemas especiales 228 Solución a los problemas prácticos 231

ANÁLISIS DE DECISiÓN 5.

Introducción a la probabilidad 187 Ejemplo motivador: Moldear las losetas del trans-

bordador espacial 186 Probabilidades objetivas y subjetivas 187 Enunciados básicos de las probabilidades 188 Eventos mutuamente excluyentes 189 Eventos independientes 189 Eventos dependientes 190 Probabilidades condicionales, marginales y conjuntas 191 Revisión de probabilidades 197 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad 200 Funciones de masa acumulada 202 Funciones de distribución acumulada 203 El valor esperado de una variable aleatoria 204 La varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria 205 Distribuciones multivariadas de probabilidad 208 Sumas de variables aleatorias 209 Una constante multiplica una variable aleatoria 209 El proceso de Bemoulli y la distribución binomial 212 La distribución binomial de la probabilidad 213 La función binomial de la probabilidad 214 Probabilidades binomiales en hojas de cálculo 214 La distribución normal de la probabilidad 217

6.

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre 235 Ejemplo motivador: Inversión en un sistema

de transmisión importante 234 Valor condicional 235 La tabla de perdida 237 Valor monetario esperado 237 Costo de oportunidad esperado 239 Riesgo de la toma de decisiones 240 Utilidad esperada con predicciones perfectas 241 Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP) 242 Interpretación del VEIP 243 Análisis de sensibilidad de probabilidades subjetivas 243 Árboles de decisión 245 Árbol de decisión para el problema del tendero 245 Diagrama de influencia 249 Análisis del problema de decisión 249 Desarrollo del árbol de decisión 251

Colas derecha e izquierda 219

Análisis de decisión para opciones de compra de

La variable normal estandarizada y tablas de probabilidad normal 220

acciones 252 Revisión de probabilidades 254

Tabla de contenido El valor de la información imperfecta 254 Decisiones de inversión de capital como opciones 255 Determinación de probabilidades 256 El valor de la información del estudio 261 Análisis de decisión en computadores personales 262 Conclusión 262 Bibliografía 262 Problemas prácticos 263 Problemas 265 Problemas especiales 271 Estudio de caso 6-41: Mailmart 275 . Estudio de caso: 6-42: Wabash Ski Area 276 Estudio de caso 6-43: Particular Motors 278 Estudio de caso 6-44: Able Medical Clinic 279 Estudio de caso 6-45: Telco 280 Solución a los problemas prácticos 281

xi

Dominancia en árboles de decisión 292 Uso de perfiles de riesgo en análisis de decisión 294 Utilidad como una base para la toma de decisiones 297 Derivación de una función de utilidad para el dinero 297 La forma de las funciones de utilidad 298 Evaluación de una función de utilidad 299 Uso de las funciones de utilidad 302 Equivalentes de certidumbre 302 Análisis de utilidad en árboles de decisión 303 Premios al riesgo 304 Precauciones en el uso del análisis de decisión 306 Definición del problema 307 Desviaciones en la estimación de probabilidades 307 Limitaciones de la teoría de la utilidad 309 Apéndice La función de la utilidad exponencial 311 Bibliografía 312 Problemas prácticos 313 Problemas 314 Problemas especiales 316 Solución a los problemas prácticos 318

7. Decisión y análisis de riesgo 289 Ejemplo motivador: Decisión y análisis de riesgo

en Du Pont 288 Dominación 290

PARTE 3 ÁREAS DE APLICACiÓN 8. Control y gerencia de inventarios 323

Sección IV: control de inventarios cono incertidumbre y sin nuevos pedidos 349 Un método marginal 350 Costo de la mala disposición del cliente (pérdida del goodwill) 353 Utilización de una distribución de probabilidad continua 354 Probabilidades normales en hojas de cálculo 356 Costos relevantes 356 Apéndice La determinación del punto óptimo de pedido y del tamaño del pedido 357 El total del costo anual esperado 357 Bibliografía 359 Problemas prácticos 359 Problemas 360 Problemas especiales 363 Solución a los problemas prácticos 368

Ejemplo motivador: Manejo de la cadena de

suministro en Hewlett-Packard 322 Sección I: análisis ABC 323 Realización de un análisis ABC 325 Precauciones con respecto al análisis ABC 326 Sección II: la cantidad económica de un pedido con demanda conocida 326 Sensibilidad de los costos ante errores en la cantidad 329 Descuentos por volumen o cantidad 330 Pedidos por cupo anual 331 Sistemas de inventario justo a tiempo 332 Rotación de inventarios 332 Sección III: control de inventarios con nuevos pedidos y demanda incierta 334 Modelo de costos con faltantes 336 Los supuestos 336 El modelo 336 Punto óptimo de pedido - un método marginal 337 Cálculo de la desviación estándar del tiempo de espera de producción de la demanda (aM) 340 Costo total esperado 341 Modelo del nivel de servicio 342 Curvas de intercambio 343 Precauciones sobre el uso de los modelos de nivel de servicio 345 Otras medidas de los faltan tes 345 Sistemas justo a tiempo 346 Manejo de la cadena de suministro 346

9.

Teoría de las colas: congestión en los sistemas de procesamiento 371 Ejemplo motivador: programación de consultas

médicas en el Lourdes Hospital 370 Un ejemplo de un sistema de procesamiento 372 Experiencia y colas 373 Estructura del sistema 374 Sistemas de pérdida frente a sistemas de colas 374 Llegadas 374 Servicios 374 Estación única o red de estaciones 374 Cantidad de servidores 375 Disciplina de las colas 375

xii

Análisis cuantitativo

Medidas de desempeño 375 Notación 375 Modelo de colas para un servidor único (M/G/l) 377 Algunos casos especiales para la cola del servidor único 380 Comportamiento del sistema de colas 380 Un modelo más general para la cola de canal único - La cola G/G/I 381 Efectos de la variabilidad en llegadas y servicios 381 Servidores múltiples: el modelo M/M/c 382 Un modelo más general - La cola G/G/c 382 Eficiencias del agrupamiento cn sistemas de colas 383 Sistemas de pérdida 385 El sistema de pérdida M/G/c 385 Programación y prioridades en sistemas de procesamiento 387 Redes de colas 388 Apéndice Distribuciones de Markov (Poisson y exponencial) 391 La distribución exponencial 391 Bibliografía 393 Problemas prácticos 393 Problemas 394 Problemas especiales 395 Solución a los problemas prácticos 397 10. Simulación 401 Ejemplo motivador: tres aplicaciones de la

simulación 400 Simulación probabilística 402 Simulación y computadores 405 Simulación y control de inventarios 406 Análisis de riesgos 408 Simulación con distribuciones de probabilidad continua 412 Método gráfico 412 Generación de variables aleatorias por computador 412 Simulación de sistemas complejos 412 Apéndice 1 Método algebraico para generar variables aleatorias 416 Apéndice 2 Simulación Monte Carla en hojas de cálculo 417 Generar valores aleatorios a partir de las distribuciones de probabilidad 418 Sintetizar los resultados 421 Cambio de capacidad 422 Análisis de riesgo Monte Carla 423 Gráficas de los resultados 427 Bibliografía 429 Problemas prácticos 429 Problemas 429 Problemas especiales 430 Problemas para simulación por computador 432 Solución a los problemas prácticos 437 11.

PERT: Técnica de evaluación y revisión de programa 439 Ejemplo motivador: plataformas petroleras en el

Mar del Norte 438

Requerimientos de información 439 Caso 1: Tiempos de actividad conocidos 440 Diagrama de red 440 La ruta crítica 441 Encontrar el camino crítico 441 Holgura y camino crítico 443 Intercambios tiempo-costo 444 Caso II: Actividades con tiempos inciertos 448 Estimados múltiples de tiempo para actividades con tiempos inciertos 448 Redes de simulación de PERT: duración del proyecto 451 Redes de simulación de PERT: costo total 453 Evaluación de PERT 455 Bibliografía 456 Problemas prácticos 456 Problemas 457 Problemas especiales 458 Solución a los problemas prácticos 461 12.

Pronósticos 463 Ejemplo motivador: pronósticos en L. L. Bean 462 Sección 1. Métodos de series de tiempo 463 Promedios móviles 463 Suavizamiento exponencial 466 ¿Por qué el nombre? 469 Agregar tendencia lineal 470 Factores estacionales 473 Utilización de los factores estacionales 475 Iniciación del modelo 476 Valores de la constante de suavizamiento 477 Sección II. Modelos de regresión 478 Modelos de regresión lineal simple 478 Desarrollo de la regresión utilizando Excel 481 Modelos de regresión múltiple 482 Precauciones 484 Sección III. Pronóstico de "nuevo producto 484 Sección IV Medición del error de pronóstico 487 Apéndice 1 Suavizamiento exponencial en hojas de cálculo 489 Apéndice 2 Estimación de tendencia en Excel 489 Bibliografía 492 Problemas prácticos 493 Problemas 493 Problemas especiales 494 Estudio de caso 12-19: La mezcla de carne molida

Quality Kitchens 496 Solución a los problemas prácticos 497 Apéndice de tablas 500 Tabla A: La función de distribución normal estandarizada 500 Tabla B: N(D)-Función de pérdida de distribución normal estándar 501 Tabla C: Distribuciones binomiales acumuladas 502 Índice 525

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1

Introducción al análisis y construcción de modelos

2

Introducción a la programación lineal

3

Soluciones a problemas de programación lineal

77

4

Temas especiales de programación matemática

141

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Ejemplo motivador Modelo de operaciones de la guardia costera 1 :._:' .::", _c, _'.':

La•• guardia. costera de E . UU. ··esresponsable.del 13 mantenimiento de Illásde50.000 ayudas de navegación (inc1uyenci()poyas, luces yJaros) localizadas en lasaguas.dees.e•• p~f§'/13lma~tenhpi~ntoiIIwlica.VFr.i~

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efectos del. rnaltiémpo.seincluyeron!•estimándolos en la pérdidaaIlllal dehorªsdebido a esa causa, considerandosilasboyasquese.iban.aatender estaban 'totalp¿ell.ty.a.l~jIIteIRPecri~,expuestasde)manerapar-

ci~l()pr()tegidas.1}ciep¿ás,cop¿o.estasnav.es.también iseutilizabanparaotr~soperaciones: • . respuesta.&m-

volverlasapintar;porlogfnecral,estetrabajo.serea- .•. biental,.búsquedayrescate,. y labores devigil~ncia y p()ntr.ol,l~~ardiac()stsrahabía deter.lllülado que se liza· un~vez ~l. año.•..• La guardia costera utiliza dos tipos de ep¿par- . . ., ·requería~p()rl()menosdeJ 6 buques para alta mar. cacionecsparare~liza~esteIRanteniIlliento:buquesde . . •.• Despuéside·.terminar el. trabajo· de elaboración servicio en alta mar y naves costeras. Los. primeros"· del modelo, éste. fue validado al comparar la proyeccuestan casi el doble que las segundas. Toda la flota. ción de las operacionescprrientesyJosresultados del modelo conlas operaciones actuales. Luego, el modeestaba' próxima a su reemplazo Y. se desarrollÓ un lo se utilizó para negociarlo relacionado con la commodelo cuantitativopara analizar tanto la programaciónde lamisma.,coll101acomP8sicióndeseada.. En posición Óptima de .unaflotilla de reemplazo. Los resultados indicaronque seobtendríasuficiente cubrieste esfuerzo de modelamiento se utilizaron las. herramientas descritas en este libro y se tuvo en cuenta miento con 16 barcos. para altamar, 14costeros y un el trabajo demantenimiento requerido, la distancia bote con cargador de boyas en la popa, todo esto siJa entre cadaboyayelc()sto completo del ciclo de vida programacióndetrabajoeraefiCiente; esta configura(incluyendo costo deadquisicióllde navíosycostos cióntenía siete barcos menos.entotaI, con 10 buques de operación) de cada tipo de embarcación. de alta marmenos(l()s máscostosos),encomparación con la flotilla queseencontraba en servicio. Compara,Sepresentaron varias complicaciones eneste esdo con una estrategia dereemplazo directo de la flotitudio.Se calcularonlas diferentescapacidades de cada tipo de embarc~ción(de alta mar frente acoster8s), y llaexiste~te, .eLmode19 ahorró US$350millones en lamta de las mismas.hasta el sitio de las boyas. Los 'costos de adquisición de capital.

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Bucciarelli, Mark y BroWIl, Kip, "A Desktop-OR Success: Modeling Coast Guard BuoyTender Operations", fnle/faces, July-August 1995, pp. 1-11.

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dos máquinas. La primera máquina está disponible las 24 horas, mientras que la segunda tiene una disponibilidad de 1.6. Cada unidad del producto A requiere dos horas en cada máquina. Cada unidad del producto B requiere tres horas de tiempo en la primera máquina y una en la segunda. La utilidad incremental es de US$6 por unidad de Ay US$7 por unidad de B; y la fábrica puede vender toda la cantidad que elabore de ambos productos.

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Problema. Si el objetivo es maximizar la utilidad, ¿cuántas unidades del producto A y cuántas del producto B podrían elaborarse?

76

Análisis cuantitativo Formulación. Sean: Xl = número de unidades del producto A que deben elaborarse X 2 = número de unidades del producto B que deben elaborarse U = Utilidad incremental

La situación y el objetivo (maximizar la utilidad) pueden expresarse mediante las siguientes ecuaciones: Maximizar: U = 6XI + 7X2 Sujeta a: 2X1 + 3X2 ::; 24 2XI + X 2 ::; 16

X I ,+X2 ~

°

Solución. En la figura 3-1, se presentan la ecuación con dos restricciones. La ecuación:

2XI + 3X2 ::; 24 es la restricción impuesta por la limitación de horas disponibles (24) en la primera máquina, y todos los puntos a la izquierda, por debajo de la línea, son combinaciones posibles (factibles) de Xl y X 2. De modo similar: 2XI + X 2 ::; 16 es la restricción asociada con la segunda máquina, y los puntos a la izquierda, por debajo, son factibles. También están las restricciones Xl ~ y X 2 ~ 0, ya que no puede obtener un resultado negativo. Considerar el punto marcado como F dentro de la región sombreada (la figura 3-1) que incluye la producción de cinco unidades del producto A y cuatro unidades del producto B, y requiere 2 x 5 + 3 x 4 = 22 horas en la primera máquina. Como son menos de las 24 horas disponibles, satisface la restricción de la primera máquina. De manera similar, se requieren 2 x 5 + 1 x 4 = 14 horas en la segunda máquina, de nuevo, menos de las 16 horas disponibles. Finalmente,XI yX 2 son positivas y satisfacen las restricciones no negativas. Como la solución que representa el punto F no incumple ninguna restricción, es un punto factible. La región sombreadaACDE

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FIGURA 3-1 Restricciones de PL y región factible

10

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-o

5

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Región factible

5

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Unidades del producto A

10

Soluciones a problemas de programación lineal

77

en la figura 3-1 es el conjunto de puntos que son factibles bajo todas las restricciones y se conoce como la región factible. El objetivo es encontrar el punto o puntos en la región factible ACDE donde se maximiza la utilidad. Ahora, se demostró que el punto óptilno siempre estará en uno de los vértices de la región factible. Las cuatro esquinas en ACDE son los puntos A, C, D y E. Uno de estos puntos debe ser la solución óptima al problema de programación lineal2 . Para comprobar que la solución óptima siempre estará en un vértice de la región factible, se traza un grupo de funciones de utilidad. Una función de utilidad es una línea que contiene todas las combinaciones de Xl y X 2 que representan una cantidad constante de utilidad. En la figura 3-2, una serie de funciones para diferentes niveles de utilidad se presenta con líneas punteadas. Considerar la función de utilidad para la cual U = 42. La ecuación de esta línea es:

U = 42 = 6XI

+ 7X2

Esta línea contiene muchos puntos factibles (puntos dentro de A CDE), los cuales darían una utilidad de US$42. Sin embargo, la línea U = 54 es mejor que U = 42, ya que contiene puntos factibles con una utilidad de US$54. Como puede observarse, la línea de utilidad U = 54 es paralela a la línea U = 42; en problemas de PL, todas las líneas de utilidad son paralelas; así que se consideran todas las líneas paralelas a la línea U = 42 h!ista llegar a U = 64. AqUÍ, sólo hay un punto en la región ACDE, identificado como D (el cual es Xl = 6, X 2 = 4), que es la solución óptima. Para valores mayores de U, no hay puntos en la región ACDE. Esta esquina en particular, que es la solución óptima, depende de la pendiente de la función de utilidad: es decir, de la utilidad relativa de los productos A y B. Si, por ejemplo, el producto A es mucho más rentable por unidad que el producto B, algo así como US$8 por unidad de A contra US$2 por unidad para el producto B, entonces la función objetivo es:

U= 8XI

+ 2X2

FIGURA 3-2

Funciones de rentabilidad P = 6X¡ + 7X2

10 l:ll

o Ü

:::J

"1:l

o Q.

ID

"1:l

~

5

"'O Cll

!? e

::J

o

A O

5

e

10

Unidades del producto A

2 Se

mostrará brevemente que dos o más vértices adyacentes pueden ser soluciones alternas óptimas.

78

Análisis cuantitativo

Las funciones de utilidad para este caso alternativo se presentan en la figura 3-3. Observar que el punto C ahora es la solución óptima. De manera similar, si el producto B fuera mucho más rentable que A, y la función objetivo fuera:

U= 2X1 + 8X2 Entonces, el punto E sería el óptimo. Si la fábrica pierde dinero en ambos productos, entonces el punto A, donde no hay producción de ninguno de los productos, sería el óptimo. Soluciones óptimas alternativas. Es posible que las funciones de utilidad tengan exactamente la misma pendiente de una de las ecuaciones de restricción. Por ejemplo, si la función objetivo fuera U = 8X1 + 4X2, mostraría una serie de líneas paralelas a CD, como en la figura 3-4. En este caso, hay múltiples soluciones óptimas. Los vértices C

FIGURA 3-3 Funciones de rentabilidad alternativa U = 8X1 + 2X2

10 al

E

o

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"O

ec.

\ \ \

ID

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"O

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5

en

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"O

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\

:!2 e

\ \

:J

\ \

\

.

\LJ==16

o

A O

\

5

e

10

Unidades del producto A

FIGURA 3-4 Soluciones múltiples óptimas U 8X¡ + 4X2

=

10 al

E

o

t3 ;:¡ "O

o

is..

ID

"O

gj 5 "O

ctI

"O

'c

::>

o

A

O

5 e Unidades del producto A

10

Soluciones a problemas de programación lineal

79

FIGURA 3-5 Región factible en tres dimensiones

G(-------r------::


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"Eh

a:

a:

a:

a:

a:

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'"

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19~

Producción en

'"

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c::c- E"g

e 0..=

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~~

0..= "'i5...~

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.~

Al

A2

A3

A1

B1

B2

B3

B4

C1

C2

C3

C4

PAS

PAL

PBS

PBL

PBH

PCS

PCL

VAS

YAL

YBS

YBL

YBH

YCS

YCL

Variables de decisión

O

O

O

O

sao

200

700

O

O

O

O

800

O

O

O

O

1400

O

800

O

O

O

O

1

O

1

Costo

1

2

3

4

2

3

2

3

4

3

2

1

S

4

S

4

3"S

6

5

1000

900

1400

10

Requisitos de la región 1

1

5 6

Total

7 8

1500 1200

1600 2000

$16,100 utilizada

9

11

Req uisitos de la región 2

12

Requisitos de la región 3

13

Requisitos de la región 4

14

Producción en la ubicación A

15

Producción en la ubicación A

16

Producción en la ubicación A

17

Capacidad pequeña en A

18

Capacidad grande en A

19

Capacidad pequeña en B

20

Capacidad grande en B

21

Capacidad inmensa en B

22

Capacidad pequeña en C

23

Capacidad grande en C

24

Sólo una planta en A

25

Sólo una planta en B

26

Sólo una planta en C

1

1 1

1

1 1

1 1

1

1

1

1

-1 1

1

-1

-1

-1

1

-1 -600

1

-1200

1

1

-600 -1200

1 1

O

'" '"

::;

O

O

O

::;

O

O

O

::;

O

O

O

::;

O

O

O

::;

O

O

O

::;

O

O

-600 1

1

1

1

1

Solución óptima con enteros

1

O

O

O

O

600

::;

O

O

::;

O

400

O

::;

1

1

1

::;

1

O

1

::;

1

O

O

1

800

::;

-120C -400 1

O

::;

O

-600

2000 1

27 28

-1

1 1

O O

800 -1

1

200 700

200

1

1

500

2:

700

1 1

1

'"

500

Temas especiales de programación matemática

149

FIGURA 4-4 Ecuaciones del modelo de la hoja de cálculo

AB

AC

AD

AE

AF

6 7

Total

8

=SUMPRODUCT ($B$6:$AA$6,B8:AA8)

9

No utilizada

Excedente

10

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B1 O:AA10)

~

500

=AB10-AD10

11

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B11:AA11)

~

200

=AB11-AD11

12

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B12:AA12)

~

700

=AB12-AD12

13

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B13:AA13)

~

800

=AB13-AD13

14

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B14:AA14)

:s O

=AD14-AB14

15

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B15:AA15)

:s O

=AD15-AB15

16

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B16:AA16)

:s O

=AD16-AB16

17

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B17:AA17)

:s O

=AD17-AB17

18

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B18:AA18)

:s O

=AD18-AB18

19

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B19:AA19)

:s O

=AD19-AB19

20

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B20:AA20)

:s O

=AD20-AB20

21

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B21 :AA21)

:s O

=AD21-AB21

22

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B22:AA22)

:s O

=AD22-AB22

23

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B23:AA23)

:s O

=AD23·AB23

24

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B24:AA24)

:s 1

=AD24-AB24

25

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B25:AA25)

:s 1

=AD25-AB25

26

=SUMPRODUCT($B$6:$AA$6,B26:AA26)

:s 1

=AD26-AB26

FIGURA 4-5 Información sobre la caja de diálogo Parámetros de Solver

Celda objetivo (Objetivo)

ADa

Objetivo

Minimizar

Celdas cambiantes (variables de decisión)

86:AA6

Restricciones

86:AA6 3 0 A810:A813 3 AD10:AD13 A814:A826 f: AD14:AD26 U6:AA6f:1 U6:AA6 entero

(Verificar modelo lineal en la caja de diálogo Opciones)

150

Análisis cuantitativo Solver. Las siguientes son algunas explicaciones sobre las restricciones en la figura 4-5: la primera (B6:AA6 ;::: O) requiere que todas las variables de decisión sean no negativas. La segunda (AB10:AB13 ;::: AD10:AD13) requiere satisfacer (o exceder) las necesidades de la región. La tercera (AB14:AB26 ::::; AD14:AD26) incluye las restricciones de saldo, capacidad y de sólo una planta por sitio. Los últimos dos grupos de restricciones se relacionan sólo con las variables con enteros cero/ uno. La restricción U6:AA6 ::::; 1 restringe los valores a los que sean menores o iguales a 1, y la última restricción establece que éstos sean valorados en enteros. Debido a que deben ser mayores o iguales a O, y menores o iguales a 1, y enteros, deben ser Oó 1. Además, después de hacer clic en el botón Opciones, debe marcarse la casilla que indica el modelo lineal. Debido a que se utiliza el procedimiento de ramificar y restringir que implica solucionar una secuencia de problemas de programación lineal, utilizar Solver para problemas con enteros toma mucho más tiempo del que se requiere para problemas de PL ordinarios. Además, los reportes de Solver no tienen el valor de la PL ordinaria. No hay reporte de sensibilidad, y el de respuesta simplemente da la misma información que se muestra en la hoja de cálculo.

RESUMEN La solución a los problemas de programación con enteros involucra procedimientos muchos más complicados que el método simple. Los métodos de ramificar y restringir y de plano de corte son dos de ellos. Los procedimientos para solucionar problemas con enteros se han incorporado dentro de software para pe, incluyendo el programa Solver para hojas de cálculo.

. OPTIMIZACIÓN GENERAL Las técnicas de solución analizadas hasta ahora asumen que el problema puede formularse como modelo lineal con una función objetivo lineal y con restricciones lineales. No obstante, muchos problemas administrativos importantes involucran funciones no lineales. Un ejemplo importante es el manejo de portafolios de inversión en finanzas, donde el objetivo es minimizar el riesgo para un rendimiento esperado. El riesgo es medido como varianza del portafolio, y la varianza es una función cuadrática (no lineal). En los modelos de marketing, el efecto en las ventas de las diferentes cantidades invertidas en publicidad, en general, es una función no lineal. Por eso, la programación lineal no puede utilizarse para este tipo de problemas. Afortunadamente, existen técnicas de optimización generalizadas que pueden emplearse para solucionar muchos problemas de este tipo. Un método es utilizar el análisis matemático o cálculo, mediante el cual puede optimizarse una función si se toma la derivada, se iguala a cero y se resuelve. Si existen restricciones, se utiliza una técnica denominada multiplicadores de Lagrange. Este método está limitado a problemas relativamente pequeños con funciones más bien simples. También existe una amplia variedad de procedimientos desarrollados para modelos no lineales específicos. Por ejemplo, la programación cuadrática es una técnica para solucionar problemas con restricciones lineales, pero con una función cuadrática objetivo. -

Temas especiales de programación matemática

151

Procedimientos de búsqueda general En años recientes, se desarrolló un software de computador que resuelve problemas de optimización general utilizando los procedimientos de búsqueda y de ensayo y error. Al explicar cómo funcionan estos algoritmos es útil utilizar una analogía. Se intenta buscar el pico más alto en un rango de montañas desconocidas, donde no puede verse muy lejos hacia ninguna dirección porque la zona es muy brumosa. El procedimiento de búsqueda indica que debe comenzarse en algún sitio y examinar el· terreno circundante para encontrar el rumbo de la cuesta más empinada. Luego, recorrer en esa dirección una distancia (unas 500 yardas), y detenerse. Examinar nuevamente el terreno circundante y elegir la dirección más empinada y dirigirse en esa nueva dirección hasta la distancia indicada. Continuar este proceso hasta llegar a un punto donde en todas las direcciones hay pendientes. Éste es el final de la búsqueda pues se ha llegado a un pico (aunque no necesariamente el más alto). Los algoritmos del computador funcionan de manera similar. Los pasos son: 1. Comenzar con una solución de ensayo y evaluarla. 2. Evaluar la posibilidades que están alrededor de la solución de ensayo, probando varios puntos cercanos. Los métodos difieren en la forma como se seleccionan estos puntos y en cuántos se seleccionan. 3. Seleccionar un sentido a dónde dirigirse con base en los puntos de ensayo. Nuevamente, los métodos varían según cómo se hace. La dirección depende de si es un problema de maximización o de minimización. 4. Dar un paso de una medida especificada en la dirección hallada en el paso 3. Esto conlleva una nueva solución de ensayo. El tamaño del paso tomado puede variar durante la búsqueda. 5. Repetir los pasos 1 a 4, pero: 6. Parar cuando, al evaluar los puntos próximos, no existe una dirección que mejorela solución. Es decir, que todas las direcciones llevan hacia abajo si se maximiza o hacia arriba si se minimiza. Hay disponibles muchos programas de optimización generales inclusive en computadores personales 7. De hecho, el programa Solver también puede solucionar problemas generales de optimización. Esto se ilustrará brevemente. Recientemente se han desarrollado algunos procedimientos más exóticos 8. Genetic search utiliza un proceso similar al de la evolución de las especies. Comienza con un conjunto de soluciones de ensayo para el problema. Los valores de las variables para cada solución de ensayo se plantean en un escenario equivalente a los genes biológicos hereditarios. Se evalúan las soluciones de ensayo y se seleccionan las mejores. Luego, las mejores soluciones se "emparentan" unas con otras, produciendo la siguiente generación de vástagos; es decir, las nuevas soluciones tienen "genes" que son combinaciones genéticas de sus padres. Después, se evalúa esta segunda generación de soluciones y se seleccionan las mejores para 7 Los ejemplos son GINO (véase LIEBMAN, J., LASDON, L., WAREN, A., and SCHRAGE, L., Madeling alld Optimizatian with GINO, Danvers, MA: Boyd & Frazer, 1986, y MINOS (publicado por Stanford Business Software, Mountain View, CA). 8 Un ejemplo de este tipo de programa es un producto denominado Evolver (desarrollado por la empresa de software Axcelis de Seattle, WA), el cual funciona como un módulo incorporado a los programas de hoja de cálculo.

152

Análisis cuantitativo

"engendrar" la tercera generación de hijos. Existe una "mutación" ocasional de genes (creando Una solución diversa). El proceso se repite hasta que no exista una mejora significativa a la mejor solución. Un proceso de búsqueda relacionado es el denominado recocido simulado, que genera nuevas soluciones parecidas al proceso utilizado en el recocido de vidrio o de metal.

Un ejemplo utilizando Solver Tanglin Software Products desarrolló hace poco un nuevo producto de software diseñado para hacer presentaciones de negocios más matizadas y efectivas. La empresa está desarrollando el plan de marketing para el producto. Las dos variables de decisión son el precio a cobrar y la cantidad a invertir en publicidad. Con base en las ventas de productos similares, la empresa calculó cuidadosamente los efectos esperados de los distintos niveles de precio y publicidad sobre las ventas. Ya se incurrió en el costo de desarrollar el producto, de manera que no es relevante; pero existen los costos de producir en realidad el producto (hacer los CD y los manuales, y empacar el producto) y los costos de apoyo del producto a través de llamadas y del apoyo en línea por Internet. El modelo para esta decisión se muestra en la hoja de cálculo de la figura 4-6. La ecuación para la cantidad vendida (celda E9) tiene tres componentes. El primero es el efecto negativo del precio (un precio más alto implica menos ventas); el segundo es un efecto publicitario con términos lineales y cuadráticos, que reflejan un efecto positivo pero que disminuye el efecto de la publicidad. El tercer componente refleja una interacción entre el precio y la publicidad: la publici. dad tiene un efecto mayor cuando el precio es bajo que cuando tiene un precio más alto. La celda ElO contiene las ventas en dólares (cantidad por precio). La celda E13 es el costo de producción (US$15 por unidad). La celda E14 es el costo de apoyo, que es una función cuadrática que refleja algunas economías de escala. La información que se ingresa en la caja de diálogo de Solver es similar a la de problemas lineales. El objetivo a maximizar está en la celda E17, y las variables de decisión están en las celdas D4 y D5. Las restricciones requieren que las variables de decisión sean no negativas y menores que los límites establecidos, según sea razonable para la gerencia. La tercera restricción limita los costos de apoyo para que sean menores o iguales a US$3 millones. Esto refleja el criterio de la gerencia de que, debido aun recorte de personal entrenado técnicamente, la empresa no debería comprometerse a vender más unidades de las que podrían ser apoyadas por los gastos de US$3 millones. Este problema es no lineal, tanto en la función objetivo como en una de las restricciones. Por consiguiente, la programación lineal no puede utilizarse para solucionarlo. Por tanto, no debe marcarse la casilla Asumir modelo lineal en el menú Opciones de Solver. Sin embargo; Solver puede utilizar su procedimiento de búsqueda general para encontrar ·la solución óptima, y esto se muestra en la hoja de cálculo: precio aproximado de US$145 y publicidad de US$295.000. Solver produce un reporte de sensibilidad para problemas no lineales, parecido al de los problemas lineales. En la figura 4-7 se muestra un ejemplo de software. La interpretación de los multiplicadores de Lagrange es similar a los precios sombra en la programación lineal. En especial, debido a que las restricciones sobre los límites superiores del precio y publicidad no eran obligatorias, los multiplicadores de Lagrange son cero. Sin embargo, la restricción sobre los costos de apoyo es obligatoria, con el multiplicador de Lagrange de US$1.22. Esto implica que, al margen, cada dólar adicional de los costos de apoyo incrementará la contribución total neta en US$1.22 (y cada reducción de US$l reducirá la contri-

Temas especiales de programación matemática

153

FIGURA 4·6 Hoja de cálculo para el ejemplo del modelo no lineal B

A 1

C

O

E

2 3

F

G

Tanglin Software Products Límite Variables de decisión

4

Precio (dólares)

5

Publicidad (miles de dólares)

superior 145.6375

250

295.399

300

6 7

Estado de ingresos proyectados (miles de dólares)

8 9 10

Ventas de unidades (miles)

112.5063

Ventas en dólares (miles de dólares)

$16,385

11

Costos:

12

Publicidad

13

Producción

$1,688

14

Apoyo

$3,000

15

$295

Costos totales

$4,983

Contribución neta

$11,402

3,000

16 17 18 19

20

Documentación del modelo:

21

Nombres de la celda

22

PRECIO

D4

23

PUBLICIDAD

D5

24

CANTIDAD

E9

Celda

25 26

Celda

'll

E9

Ecuación de la celda A

CANTIDAD = 100-0.6 * PRECIO + 1.1* PUBLICIDAD -0.0011* PUBLlCIDAD 2 -0.003*PUBLlCIDAD-PRECIO

28 29

E10

= CANTIDAD*PRECIO

ro

E12

= PUBLlCDAD

31

E13

= 15*CANTIDAD

32

E14

=200+25*CANTIDAD-.0001 *CANTIDAD 2

33 34

E15

=E12tE13+E14

E17

=E10-E15

A

35 36

Información de la caja de diálogo de Solver

~

38

Celda objetivo (función objetivo)

E17

39

Objetivo

Maximizar

40

Celdas cambiantes (variables de decisión)

D4:D5

41

42

Restricciones:

43 44

04:05;:::0

45

E14 :::; F14

46

04:05 :::; F4:F5

H

I

J

154

Análisis cuantitativo

Celdas cambiantes FIGURA 4-7 Reporte de sensibilidad de Solver para el ejemplo de Tanglin Software

Celda

Nombre

$D$4

PRECIO

$D$5

PUBLICIDAD

Valor final

Gradiente reducido

145.637467

° °

295.3989567

Restricciones Celda

Nombre

$D$4

Precio

$D$5

Publicidad

$E$14

Apoyo

Valor final

Multiplicador de Lagrange

145.637467 295.3989567

$3,000

° °

$1.22

bución en US$1.22). Los valores gradientes reducidos para las variables de decisión (o celdas cambiantes) tienen una interpretación parecida al costo reducido para las soluciones de programación lineal. A diferencia de los modelos de programación lineal, estos valores marginales (multiplicadores de Lagrange ygradientes reducidos) se mantienen sólo en la solución óptima y no en un rango. Sin embargo, pueden producir una información valiosa para quien toma las decisiones.

Precauciones en el uso de programas no lineales A pesar de que los métodos de programación no lineales son procedimientos de solución eficientes, el usuario debe ser consciente de algunas limitaciones. Lo más importante es que el procedimiento puede producir un óptimo local en lugar de un óptimo global. Si se piensa en la analogía de escalar una montaña, el programa puede llegar a la cima de una pequeña colina (con todas las direcciones locales apuntando hacia abajo) y, por tanto, proclamar un óptimo. Sin embargo, puede haber una montaña muy grande que no esté a la vista, y con un pico mucho más alto. Sin embargo, en la programación general no lineal no existe garantía de que se encontrará el pico más alto (óptimo global)9. Ésta es una preocupación importante. Un método es solucionar el problema varias veces, empezando cada vez en una solución inicial diferente, lo que incrementa las oportunidades de encontrar el óptimo global. En ocasiones, un segundo problema que se afronta es que no puede hallarse ninguna solución. Esto puede ocurrir debido a la forma como funciona el proceso de búsqueda (para continuar con la analogía de escalar la montaña, el proceso puede tomar un camino que lleve a un arrecife y no pueda regresarse). En los modelos de hoja de cálculo como Solver, la solución de ensayo puede crear problemas con algunas de las funciones o ecuaciones del modelo: intentar dividir por cero o intentar sacar el logaritmo de un número negativo. Esos problemas hacen que el proceso de solución se detenga sin alcanzar un óptimo. Finalmente, el incremento puede crear un problema en la solución del modelo. Todos los códi9

En contraste, cuando el modelo es lineal (es decir, de programación lineal), existe un valor óptimo único (con posibles óptimos alternos), y este problema de óptimos locales no existe.

Temas especiales de programación matemática

155

gas de computador calculan con un determinado grado de precisión. Si un modelo tiene coeficientes que varían ampliamente en magnitud (por ejemplo, un número que sea 0.00000023 y otro 123,345,210), pueden presentarse dificultades de computación. Esto puede manejarse si se aumenta la magnitud de los valores; por ejemplo, convirtiendo a millones o miles de millones, una o varias variables.

RESUMEN Los modelos que contienen objetivos o restricciones no lineales (o ambos) pueden solucionarse mediante métodos de optimización general. En general, éstos involucran un proceso de búsqueda que genera una secuencia de soluciones de ensayo. Algunos métodos más modernos crean "generaciones" sucesivas de soluciones de ensayo. Hay programas de computador disponibles para solucionar este tipo de problemas, incluyendo algunos para computadores personales. Sin embargo, es necesario tomar algunas precauciones en el uso de los métodos de optimización general.

OBJETIVOS MÚLTIPLES Y PROGRAMACIÓN DE META En programación lineal se maximiza o se minimiza un solo objetivo sujeto a las restricciones. En muchos problemas importantes, sobre todo en el sector público, existen varios objetivos que quien toma las decisiones trata de alcanzar. Ahora, se considerará la incorporación de estos objetivos múltiples en la programación lineal. Considerar como ejemplo el caso del administrador de un bosque estatal. La ley estatal puede establecer que el administrador impulse programas que mejoren el crecimiento del bosque, aumenten la posibilidad de refugio y alimento para los animales del área y -por supuesto- que lo haga de la manera más económica posible. El administrador puede emprender dos actividades: entresacar o cortar la maleza y talar senderos en el bosque a manera de barreras contra incendios. Sea:

Xl

= acres de tierra sin maleza

X 2 = kilómetros de barreras Estas actividades tienen un costo y se requiere mano de obra. Además, ambas producen beneficios (posiblemente negativos) en términos de crecimiento del bosque y de refugio para los animales.

Actividad

TABLA 4-3 Costos y beneficios de las actividades forestales

Despeje de maleza (variable Xl poracre) Costos: Costo (dólares) Mano de obra requerida (horas) Beneficios: Crecimiento del bosque (unidades) Refugio para animales (unidades)

Barreras (variable X2 por kilómetro)

$500

$500

150

50

10 -10

-5

00

156

Análisis cuantitativo

Como se muestra en la tabla 4-3, los costos de despeje de US$SOO por acre requieren 150 horas de mano de obra por acre y producen un crecimiento de 10 unidades de bosque, pero reducen el refugio de los animales en 10 unidades por cada acre despejado. Los costos de las barreras contra incendios son de US$SOO por kilómetro cortado, se necesitan 50 horas de trabajo por kilómetro cortado, se reduce el crecimiento de bosque en 5 unidades. por kilómetro y aumenta el refugio para los animales en 60 unidades por kilómetro cortado. El problema de decisión para el administrador del bosque es determinar Xl y X 2; es decir, cuántos acres debe despejar y cuántos kilómetros de barreras cortar. El administrador dispone sólo de 90,000 horas de mano de obra. Además, las condiciones del bosque limitan el corte de barreras a no más de 300 kilómetros. El gerente tiene un presupuesto de US$3S0,000. Las restricciones para el problema pueden expresarse como: lS0XI + SOX2 :::; 90,000 (horas de mano de obra) X 2 :::; 300 (límite de kilómetros de barreras) SOOXI + SOOX2 :::; 350,000. (presupuesto) Deben cumplirse tres metas simultáneamente. El administrador debe lograr el crecimiento de tanta madera como sea posible, proporcionar refugio a tantos animales como sea posible, y reducir los costos por debajo del presupuesto tanto como pueda. Existen métodos para incorporar todos estos objetivos múltiples:

Método 1: objetivo único con restricciones El administrador puede decidir que un objetivo es de tal importancia que pase por alto los otros. Los otros objetivos pueden constituirse en restricciones en algún nivel mínimo. El planteamiento se convierte entonces en un problema de programación lineal ordinario de maximizár una función objetivo sujeta a restricCIOnes. Por ejemplo, el administrador puede decidir que el crecimiento de la madera es más importante. El objetivo entonces será: Maximizar: donde los coeficientes 10 y -5 de la tabla 4-3 son los efectos en el crecimiento del bosque producidos por despejar la maleza y talar barreras, respectivamente. Se aplicarán las restricciones sobre horas de mano de obra, senderos y presupuesto, corno se mostró antes. El administrador también puede especificar que existe por lo menos un nivel mínimo de 1,000 unidades de refugio para animales con la restricción adicional:

- 10XI

+ 60 X 2 2::

1,000

donde los coeficientes -10 y 60 representan los efeCtos del despeje y del corte de barreras sobre el refugio para los animales (véase tabla 4-3). La figura 4-8 ilustra este problema. La región sombreada es la región factible que satisface todas las restricciones, incluyendo la del refugio de animales. El objetivo de maximizar el crecimiento del bosque se obtiene en el punto Xl = 563 YX 2 = 111, con 5,080 unidades de crecimiento del bosque (véase el punto A en la figura 4-8).

Para el administrador hubiera sido posible maximizar el refugio de los animales, mientras que establecía un nivel mínimo de crecimiento del bosque como

Temas especiales de programación matemática

157

FIGURA 4·8 Solución al problema del ejemplo con maximización del objetivo de crecimiento del bosque

Restricción de mano de obra

Restricción de presupuesto

400

Función objetivo 1: del bosque

1 crecimiento

Límite de las barreras,' 1

300

1 1

I---------------l~--_+-

1

1

1".....

,'........... 1 1 1 1

Región factible

200

B

1

"

Restricción de refugio para animales

100

Función objetivo 11: maximizar beneficios netos Acres despejados

O'--_ _----' O

100

-'200

'-300

"-400

L - -_ _--''--......l--_---->O''

500

_

600

Acres despejados

una restricción. O hubiera podido especificar niveles mínimos para refugio animal y para crecimiento del bosque, y haber minimizado el costo. Una dificultad importante con este método es que no involucra ninguno de los diversos objetivos de equilibrio o de intercambio. El administrador podría estar más satisfecho con un mayor refugio para los animales y menos cantidad de bosque, pero no existe una forma directa para lograrlo. Puede ensayar con diferentes grupos de restricciones hasta que surja una solución satisfactoria, pero éste es un método poco práctico.

Método 2: definir intercambios entre los objetivos Un método para los problemas de objetivos múltiples es especificar los intercambios entre éstos. En este ejemplo, se especificaría el valor de una unidad de crecimiento del bosque y el de una unidad de refugio para animales, ambos en dólares. Luego, estos objetivos podrían intercambiarse entre sí, con los dólares del costo. Mediante este proceso, los beneficios netos totales en dólares podrían maximizarse. Por ejemplo, si el administrador decide que una unidad de crecimiento de bosque vale US$600 y una unidad de refugio para animales, US$lOO. Esto implica que al administrador le es indiferente obtener una unidad adicional de bosque o seis unidades de refugio para animales, o ahorrarse US$600. Dados estos valores, puede calcularse el beneficio neto para las variables de decisión Xl y X 2 . No olvidar que cada unidad de Xl (acres despejados) produce 10 unidades de bosque (que vale US$600 cada una), retira 10 unidades de refugio para animales (a US$100 cada una), y cuesta US$500. Por tanto, el beneficio neto de una unidad de Xl es: lO(US$600) - lO(US$lOO) - US$500

= US$4,500

158

Análisis cuantitativo

De forma similar, el beneficio neto de un kilómetro de barreras se computa como -5(US$600) + 60(US$100) - US$500 = US$2,500. Luego, el problema de programación lineal para maximizar los beneficios netos es: Maximizar: Sujeta a:

4,500X1 + 2,500X2 150X1 + 50X2 :s 90,000 X 2 :s 300 500X1 + 500X2 :s 350,000

La solución óptima a este problema de programación lineal produce valores de Xl = 550 YX 2 = 150 (véase punto B en la figura 4-8). Esto puede convertirse a unidades de bosque y refugio de animales, y da como resultado 3,750 unidades de bosque y 3,500 unidades como refugio de animales. El éxito de utilizar este método radica en definir los intercambios necesarios. Ésta no es una tarea fácil. El administrador o gerente puede considerar muy difícil dar un valor en dólares a una unidad de refugio de animales. Algunas personas incluso evitarían intentar proporcionar un valor de esa índole.

Método 3: programación de meta Un tercer método es el de la programación de meta. Quien toma las decisiones especifica las metas deseables para cada objetivo. Luego, el problema se formula de manera que se minimice el déficit relacionado con la obtención de esas metas. En general, las metas se especifican como niveles (altos) deseables, de manera que no es posible satisfacerlas todas de forma simultánea. Si el administrador del ejemplo fija como metas de producción deseables 5,000 unidades de bosque y 6,000 unidades de refugio de animales, las restricciones entonces serían: Madera: Refugio de animales: Costo: Mano de obra: Barreras:

10X1 -10X1

-

+ 500X1 + 150X1 +

5X2 60X2 500X2 50X2 X2

+ + +

= U2 -E2 = U1 -El

U3 - E 3

5,000 6,000

= 350,000 :s :s

(4-1)

90,000 300

Las variables U1 y U2 representan las cantidades por las cuales el plan fracasa en el logro de la meta de bosque de 5,000 unidades y de refugio de animales de 6,000 unidades. Así, esto puede describirse como déficit o ¡attante. La variable U3 es el ahorro en dólares por debajo del nivel del presupuesto. Las variables El' E2 YE 3 representan las cantidades en las que se exceden las metas especificadas; es decir, los excedentes. Para formar la función objetivo en el método programación de meta hay que minimizar el déficit. Así, el objetivo debe ser minimizar (U1 + U2 + U3), lo que minimizaría las cantidades en que caerían el crecimiento del bosque y el refugio de animales, por debajo de las metas, y maximizaría el faltante del costo (minimizando el negativo de U3) sujeto a las restricciones antes mencionadas. La simplicidad de este enfoque es atractiva. No obstante, existe la suposición de que un ahorro unitario en dólares tiene el mismo valor que un déficit unitario de bosque y un déficit unitario en refugio para animales. La función objetivo da igual peso a cada una de ellas.

Temas especiales de programación matemática

159

Un método mejor es definir específicamente los intercambios entre los diversos objetivos. Si el administrador decide que un déficit de una unidad de bosque vale 600 veces más que un ahorro en dólares y que un déficit de una unidad de refugio para animales vale 100 veces un ahorro en dólares, entonces la función objetivo sería: Minimizar: 600U1 + 100U2 - U3 de nuevo sujeto a las restricciones (4-1) . Esta función objetivo da valor cero al excedente de cualquiera de las metas de crecimiento del bosque o de refugio de animales. El administrador puede decidir que existe algún valor para estos sobrantes y también le da significación a las variables E. Por ejemplo, exceder la meta de bosque puede tener un valor de US$50 por unidad, y exceder el valor de refugio de animales puede costar US$25 por unidad. Además, cada dólar que esté por encima del presupuesto de costos (E 3) puede ser cinco veces más importante que un dólar ahorrado (U3). Entonces, la función objetivo se convierte en: Minimizar: 600U1 + 100U2 - U3 - 50E l - 25E2

+ 5E3

Minimizar los valores negativos para U3 , El y E 2 equivale a maximizar. Una solución óptima para este problema de programación lineal requiere el despeje de 550 acres y el corte de 150 kilómetros de barreras. El presupuesto se cumple exactamente. Hay déficit de 250 unidades para la meta del bosque y 2,500 unidades para la meta de refugio de animales. Existe una alternativa de solución óptima que requiere el despeje de 537 acres, el corte de 189 kilómetros de barreras y 579 unidades en déficit en el bosque, pero ningún déficit en refugio para los animales. Sin embargo, esto requiere exceder el presupuesto en US$13,160. Ahora puede observarse que laprogramación de metas difiere del método 2 (al definir directamente los intercambios) en dos aspectos:

1. Se incorporan las metas específicas y se da un valor diferente al déficit y al excedente de la meta. En el método 2, se da un valor ponderado a cada objetivo, que se aplica a todo el rango de valores posibles. 2. La función objetivo se define en términos de los objetivos mismos. En el método 2, se había calculado los beneficios netos para cada actividad, y estos beneficios netos se incluyeron en la función objetivo. El enfoque de programación de metas facilita ver el valor relativo dado a cada uno de los objetivos múltiples.

Método 4: programación de prioridad Suponer que el administrador del ejemplo se resiste a asignar valores específicos de intercambio entre los diversos objetivos múltiples, pero desea otorgar prioridades a cada uno, indicando el orden en el que deben satisfacerse. Por ejemplo, las restricciones de metas se especifican así: Bosque: Refugio de animales: Costo:

10Xl - 5X2 + U1 - El = 3,000 -10X1 + 60XZ + U2 - E2 = 1,000 500X1 + 500X2 + U3 - E 3 = 350,000

160

Análisis cuantitativo

El administrador jerarquiza sus prioridades de la siguiente manera: 1. Minimizar el déficit del crecimiento del bosque (U l ) 2. Minimizar el déficit de refugio de los animales (Uz)

3. Minimizar el excedente del presupuesto (E 3) 4. Maximizar el excedente del crecimiento del bosque (El) 5. Maximizar el excedente de refugio de los animales (E z) 6. Maximizar los ahorros del presupuesto (U3) El método de programación de prioridades trata de lograr cada objetivo de manera secuencial y no de forma simultánea. El método se explica de manera gráfica. Véase la figura 4-9. El panel A muestra la región factible, considera sólo las restricciones de mano de obra y el límite de las barreras. La primera prioridad del administrador es minimizar el déficit en el crecimiento del bosque. En el panel B, éste se minimiza hasta que no haya déficit y la región factible restante se muestra como área sombreada. Si no quedara una región factible, el proceso de programación de prioridades se detendría, habiendo logrado sólo tanto como fuera posible de la meta de prioridad más alta. FIGURA 4·9 Pasos en el ejemplo de programación de prioridades

B. Con minimización del déficit del bosque

A. Sólo restricciones

X2

Restricción de mano de obra

~ 400 ~

ro .¡g

.o 200

Limitaciones n las barreras

Región factible

e

200

Q)

E

:Q

o

'--'--_---'_~

O

200

::z

__

.....L-

. . l __ _

400

600

O '-------'--~-~---~-O 200 400 600 X1 Acres despejados

X1

Acres despejados

D. Con minimización del excedente del presupuesto y maximización del excedente de bosque

C. Adición de minimización del déficit en refugio de los animales

,,

(J)

~ ~

ro .o .¡g

Meta de refugio de los ~ animales -5i E

200

,,

Límite sobre maximización del excedente de bosque I

,

I

I

200

:Q

::z

o --- ---

L -_ _- - - '_ _--L_.....L-

O

200

400 Acres despejados

--L-_ _

O ' - - - - - - ' - - - - ' - - - ' - - - - ' - -...........-~

O

200

400

Acres despejados

600

X1

Temas especiales de programación matemática

161

Debido a que queda algo de región factible, se considera la siguiente prioridad más alta; ella es la minimización del déficit de refugio de los animales. Esto se demuestra en el panel C y también puede minimizarse hasta que no haya déficit, mostrando el resto de la región factible en gris. La tercera meta de prioridad de la minimización del excedente del presupuesto se muestra en el panel D. Ésta también puede lograrse en total. Finalmente, se invoca la meta de prioridad de cuarto orden, la maximización del excedente de crecimiento del bosque, que es la solución mostrada como punto A en el panel D: 563acres despejados (Xl) y 111 kilómetros de barreras cortados (X2 ). Debido a que no hay una región factible restante, no es posible proceder a las metas de prioridad de quinto y sexto orden. Se han desarrollado programas especiales de computador para la programación de prioridades. Para un problema con dos variables, la solución puede obtenerse gráficamente, como se ilustró. No obstante, problemas más reales involucran muchas dimensiones y las soluciones gráficas no son posibles. El lector que esté interesado en el algoritmo de programación de prioridades puede dirigirse a las referencias dadas al final de este capítulo.

RESUMEN Existen varios métodos para incorporar los objetivos múltiples en los problemas de programación lineal. Los métodos simples implican ponderar los objetivos o incorporar los objetivos secundarios como restricciones para conformar una sola función objetivo. La programación de meta involucra definir las metas e incluir variables para derivaciones a partir de estas metas (bien sea déficit o excedentes). La función objetivo se define para minimizar las desviaciones (posiblemente ponderadas). La programación de prioridades define de manera similar las restricciones de la meta, pero involucra la satisfacción de metas en orden secuencial y no de forma simultánea.

APÉNDICE EL ALGORITMO DE RAMIFICAR Y RESTRINGIR Como se vió en este capítulo, los problemas de programación con enteros pueden solucionarse mediante el procedimiento de ramificar y restringir. En realidad, es un proceso de solución general que puede aplicarse a muchos tipos de problemas, y es de interés por su propia naturaleza. Primero, se considerará su aplicación a problemas con enteros. Cuando se requiere que un problema tenga una solución con enteros, significa que hay un número finito de puntos de solución posibles. A pesar que teóricamente se puede numeraren su totalidad todas las soluciones posibles, en general, no es factible en términos de computación. Sin embargo, si pueden encontrarse formas de evitar considerar grupos completos de soluciones, la numeración completa podría ser factible. La técnica de ramificar y restringir es un método para lograrlo.

El árbol de posibilidades de solución En problemas con enteros existe un número finito de soluciones posibles, que pueden representarse mediante un diagrama de árbol. Esto puede demostrarse

mejor mediante un ejemplo. Considerar el siguiente problema de programación con enteros:

162

Análisis cuantitativo Maximizar: U = 6XI + 3X2 + X 3 + 2X4 Sujeta a: Xl + X 2 + X 3 + X 4 ::; 8 2XI + X 2 + 3X3 ::; 12

5X2 + X 3 + 3X4 Xl

X2

::;

6

::; 1 ::; 1

X3

::; 4 X 4 ::; 2

Xl' X 2, X 3, X 4 Todos enteros Las restricciones Xl ::; 1 YX 2 ::; 1 significan que Xl y X 2 son variables enteras cero/uno. La variable X 3 puede tomar cinco valores (O, 1, 2, 3, 4), Yla variable X 4 puede tener 3 valores. Por consiguiente, considerando sólo las últimas cuatro restricciones, existen 2 • 2 • 5 • 3 = 60 soluciones posibles, cuya numeración se muestra gráficamente en el árbol de la figura 4-10. El orden de las variables en el árbol es arbitrario; pero, al final, el árbol debe tener 60 ramas, una por cada solución posible. Muchas de estas soluciones no son factibles; es decir que no satisfacen las primeras tres restricciones. Para un problema pequeño como éste, un computador podría evaluar las 60 posibilidades muy rápido. Sin embargo, debido a que los problemas crecen en tamaño, una evaluación completa no resulta práctica lO. El método de ramificar y restringir está diseñado para reducir la búsqueda mediante el corte de las ramas de este árbol de posibilidades, limitando con ello el número de posibilidades investigadas. La idea clave al eliminar ramas es:

Una rama puede eliminarse si puede demostrarse que no contiene una solución factible que sea mejor que una ya obtenida. El uso efectivo del procedimiento de ramificar y restringir requiere encontrar un límite superior para todas las soluciones posibles en una rama dada (un límite inferior es necesario cuando se minimiza). La solución al problema de programación lineal ordinaria equivalente proporciona un límite conveniente. Considerar el problema anterior para resolverlo como un problema de programación lineal utilizando el método simple (es decir, pasando por alto los requisitos con enteros). La solución es: Xl

= 1, X 2 = O, X 3 = 3.33, X 4 = 0.89

que no es una solución con enterosll . La utilidad es U = 11.11. Ésta es la utilidad máxima que puede obtenerse, dadas las primeras tres restricciones. Se sabe que no hay solución, y, por tanto, no hay una con enteros que pueda tener una utilidad mayor que 11.11. Entonces, el valor 11.11 es un límite para todas las soluciones al problema. Para cualquier rama puede encontrarse una frontera (límIte superior) exactamente en la misma forma. Los pasos en el procedimiento de ramificar y restringir para el ejemplo se ilustran en la figura 4-11. Los números encerrados en círculos indican la secuencia de las rondas para el desarrollo del árbol y para el procedimiento de ramificar y restringir. 10 Para ver esto, se considerará un problema de 10 variables con enteros, cada una de las cuales pueden tener cinco valores enteros (O, 1, 2, 3 ó 4). El número de soluciones posibles es 510 = 9,765,625. La numeración y la evaluación de estas muchas posibles soluciones es un procedimiento largo y dispendioso. ¡ ¡ Por consiguiente, se necesita una forma para limitar la búsqueda a un conjunto más pequvño (:Iv soluciones posibles. El problema de PL ordinario descuida u omite las restricciones con enteros; en ocasiones, esto se denomina relajación de PL al problema de programación con enteros.

Temas especiales de programación matemática

FIGURA 4-10 Árbol de todas las soluciones posibles con enteros para Xl::; 1, X2 ::;1,

X3 ::; 4, X4 ::;2

163

_

164

Análisis cuantitativo

FIGURA 4-11 Resumen de la solución del primer problema del ejemplo

CD

Problema original Solución PL Xl =1 X2 =O Utilidad

X3 =3.33 X4 =0.89

=U= 11.11

Conclusión: rama de no enteros.

~~ X ;::: O

X4 ;::: 1

4

o

Solución: X1 =1 X2 =0.57

Solución: Xl =1 X2 =O

X3 =3.14 X4 =0

Utilidad = U = 10.85

Utilidad

= U =9.33

Conclusión: nueva solución, lo mejor posible, también la óptima, ya que todas las ramas fueron investigadas.

Conclusión: no es entero. Investigar posteriormente. Rama X2 =O

Rama X2 =1 Solución: Xl =1 X2 =1

X3 =3.33 X4 =0

o

X3 = 1 X4 = O

0

Utilidad =U = 10 (la solución es un entero) Conclusión: mejor solución con enteros en la rama.

Solución: Xl =1 X2 =O Utilidad

X3 =3.33 X4 =O

= U =9.33

Conclusión: eliminar rama debido a que el límite sobre la utilidad es menor que U =10 desde la ronda 3.

Solución al ejemplo mediante el procedimiento de ramificar y restringir Ronda 1. El primer paso es solucionarlo, como un problema de programación lineal ordinario. Si hay mucha suerte, la solución puede ser un entero; pero, aún cuando no lo sea, la solución de PL inicial es un buen inicio. La solución de PL para el ejemplo es Xl = 1, X 2 = 0, X 3 = 3.33, X 4 = 0.89, Yla utilidad es U = 11.11. Ésta no es una solución en enteros, de manera que debe avanzarse más. Antes de proceder, hay que reparar en que existe una solución evidente con enteros Xl = X 2 = X 3 = X 4 = 0, con una utilidad de U = O. Es poco probable que ésta sea la solución óptima, pero da una solución inicial, "la mejor hasta ahora". Ronda 2

Paso 1. Inicio. La solución inicial con enteros factible es Xl con una utilidad de U = O.

= X 2 = X 3 = X 4 = O,

Temas especiales de programación matemática

165

Paso 2. Ramificación. Ahora se selecciona una variable y se construyen ramificaciones. La variable a seleccionar es arbitraria. Un procedimiento que parece funcionar bien es ramificar sobre las variables que no son enteros en la etapa inicial. Es la primera ronda, X 3 y X 4 no son enteros; de forma arbitraria se selecciona X 4 para ramificar. La solución anterior tiene X 4 = 0.89. Por consiguiente, un par sensible de ramificaciones requeriría que X 4 = Oó X 4 ~ 1. Esta ramificación divide todas las posibles soluciones en dos grupos, aquellas para las cuales X 4 = O, Yaquellas para las cuales X 4 ~ 1. Debido a que X 4 debe ser un entcro, no es posible que X 4 este comprendido entre Oy 1. Este procedimiento define el primer par de ramas mostradas en la figura 4-11. De manera arbitraria se selecciona X 4 = O para la investigación inicial. Para representar esta rama se reemplaza la última restricción (X4 ~ 4) en el problema del ejemplo, por la restricción X 4 = O. Entonces, el problema se convierte en: Maximizar: U 6XI + 3X2 + 2X4 ~ 8 Sujeta a: Xl + X 2 + X 3 ~ 12 2XI + X 2 + 3X3

5X2 + X 3 + 3X4

~ ~ ~ ~

X4 =

6 1 8 4 O

Paso 3. Limitar. La solución de PL a este problema es Xl = 1, X 2 = 0.57, X 3 = 3.14, X 4 = O. La utilidad es U = 10.85, que es un límite a todas las soluciones en la rama X 4 = O(es decir, para todas las soluciones para las cuales X 4 = O). Paso 4. Comparar. Se compara la mejor solución que haya hasta el límite recién generado. La mejor solución con enteros hasta ahora tiene una utilidad de U = O, mientras que el límite es U = 10.85; por tanto, todavía no puede eliminarse esta ramificación, y hay que investigar más abajo de la rama.

Ronda 3

Paso 2. Ramificación. Se selecciona una nueva variable para la ramificación, por ejemplo, X 2, (véase figura 4-11). Observar que X 2 no es un entero en la solución de PL anterior. La variable X 2 únicamente puede tomar los valores de O ó 1, de manera que hay sólo dos ramas posibles: X 2 = Oó X 2 = 1. Es decir, se subdividen las posibles soluciones en dos grupos, las que tienen X 2 = OYlas que tienen X 2 = 1. (No olvidar que todavía se está trabajando en la rama X 4 = O, de manera que también se está tratando sólo con las soluciones posibles para las cuales X 4 = O). Se selecciona arbitrariamente la ramificación X 2 = 1 Yse sustituye esta restricción en el problema anterior, en lugar de X 2 ~ 1. El nuevo problema es: Maximizar: Sujeta a:

6XI + Xl + X 2 + 2XI + X 2 + 5X2 + Xl

U

=

3X2 + X 3 + 2X4 X3 + X4 ~ 8 3X3 ~ 12 X 3 + 3X4 :5 6 ~ 1 :5

1 4

=

O

X2 X3

X4

166

Análisis cuantitativo

Paso 3. Limitar. La solución de PL a este problema es: Xl = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = O, con una utilidad de U = 10. Ver que la solución es un entero. Paso 4. Compara1: Esta solución con enteros es mejor que la mejor solución encontrada hasta ahora (U = O). Se convierte en la nueva mejor solución encontrada hasta ahora. Además, ya no necesita investigarse más abajo de esta ramificación, ya que se tiene lo óptimo para ella. Es decir, que para el conjunto de soluciones posibles para el cual X 4 = OYX 2 = 1, no hay ninguna mejor que la que acaba de obtenerse. Sin embargo, hay otras ramas por revisar.

Ronda 4

Paso 2. Ramificar. Se regresa a la ramificación X 2 = O (véase figura 4-11), y se selecciona para investigarla. Es decir, ahora se considera el conjunto de soluciones para el cual X 2 = O (todavía dentro del conjunto para el cual X 4 = O). El problema a solucionar es el mismo anterior (ronda 3, paso 2) con la restricciónX2 = Oque reemplaza a X 2 = 1.

Paso 3. Limitar. La solución de PL a este problema es: Xl X 4 = O, con una utilidad de U = 9.33.

= 1, X 2 = O, X 3 = 3.33,

Paso 4. Comparar. Este enlace es menor que el mejor anterior (U = 10 de la ronda 3, paso 3). Por tanto, puede eliminarse esta rama para consideraciones adicionales. No puede contener una solución con enteros con una utilidad superior a 10, debido a que la mejor solución no restringida tiene una utilidad de tan sólo 9.33.

Ronda 5

Paso 2. Ramificar. Se regresa a la ramaX4 paso 2 (véase figura 4-11).

~1

del árbol que se creó en la ronda 2,

Paso 3. Limitar. Se resuelve el mismo problema de PL del paso 2 de la ronda 2, con la restricción X 4 = 1 que reemplaza a X 4 = O. La solución' es Xl = 1, X 2 = O, X 3 = 3, X 4 = 1, Y la utilidad es U = 11. Nuevamente, observar que ésta es una solución con enteros.

Paso 4. Comparar. La solución anterior es un entero y es mejor que la mejor solución anterior. Por consiguiente, se vuelve la nueva mejor solución hasta ahora. Es un límite sobre todas las soluciones que están debajo de la ramificación (X4 ~ 1), de manera que no necesita investigarse más abajo de la rama.

Paso 5. Terminación. Se investigaron todas las ramificaciones y se logró establecer que la mejor solución óptima con enteros sea hasta ahora en el paso 3 de la ronda 5, con una utilidad de U = 11. Con esto se termina el problema del ejemplo. Debido a que se investigaron todas las ramificaciones, la solución óptima es la mejor solución actual hasta ahora. Xl

= =

X2 X3 =

1 O 3

X4 = 1 U=l1

Temas especiales de programación matemática

167

En la figura 4-11 se presenta el resumen de los procedimientos. Hay que notar que no tienen que investigarse más ramificaciones, de hecho sólo cinco, para obtener la mejor solución de las 60 posibilidades dadas en la figura 4-10. En el siguiente resumen, se presentan la serie general de pasos para el procedimiento de solución de ramificar y limitar.

RESUMEN

1. Comenzar. Encontrar una solución inicial factible con enteros. Si es difícil encontrar una solución inicial, puede omitirse este paso.

2. Ramificar. Seleccionar una variable y dividir las posibles soluciones en dos grupos. Seleccionar una rama para investigarla; es decir, uno de los grupos.

3. Limitar. Encontrar un límite para el problema definido por la ramificación seleccionada. En el ejemplo se utilizó como límite la solución de PL al problema con enteros. Observar que éste representa el límite superior para todas las posibles soluciones en una ramificación dada.

4. COlnparar. Comparar el enlace obtenido para la ramificación que está considerándose con la mejor solución hasta ahora para las ramificaciones antes examinadas. Si el límite es menor que el mejor de ese momento, se elimina toda la nueva ramificación. Luego, se continúa con las ramificaciones que no se hayan examinado todavía. Si el límite de esta nueva ramificación es mayor que la mejor solución hasta el momento y si la solución es un entero, entonces se convierte en la nueva mejor solución; luego, se examinan las otras ramificaciones que todavía no se han considerado. Si el límite de la nueva ramificación es mayor que la mejor solución hasta el momento, pero la solución no es un entero, puede haber mejores soluciones más abajo. Por consiguiente, debe pasarse a un nivel inferior en el árbol y hacer la ramificación, es decir, repetir el paso 2.

5. Tenninar. Cuando se hayan examinado todas las ramificaciones, la mejor solución hasta ahora es la solución óptima.

Otro ejemplo La figura 4-12 muestra el árbol de solución para el ejemplo sobre el tamaño y ubicación de la fábrica, estudiado en este capítulo (véase figura 4-3). En este caso, existen siete variables binarias, de manera que hay 128 casos posibles con enteros; de los cuales, cada uno involucra la solución de un problema de PL con otras 19 variables. El siguiente es un resumen de los pasos de la figura 4-12. Pasos O a 5. Ramificar hasta que se encuentre una solución factible con enteros en el paso 5. Esta solución se convierte en la mejor hasta ese momento. Paso 6. Solución no factible. Cortar la ramificación. Paso 7. Solución con enteros, es la nueva mejor solución hasta ese momento con un costo de US$16,100. Paso 8. Solución con enteros pero más costosa que la actual mejor solución. Cortar la rama. Paso 9. Solución con enteros e igual a la mejor hasta el momento.

168

Análisis cuantitativo

FIGURA 4-12 Pasos para solucionar el ejemplo sobre tamaño y ubicación de la fábrica

®

Solución de PL original C = 14,858 No entero

CD

@

I

YSI = 1 C = 15,233

YCI =0 C= 15,441

No entero

No entero

0

I

0 YCG = O C = 15,250

@

I

YCG= 1 C= 16,100 Óptimo alterno

YSG = O C= 16,050

YSG = 1 C= 15,983

Entero

No entero

No entero

@

No entero

®

I

® YAG = O C = 15,500

YAG = 1 C = 16,250

@

Entero No entero

0

I

0 YCP=O C = 15,533

YCP= 1 C = 16,100 La ~ueva mejor hasta ahora Entero

No entero

YAP = 1 C = 16,200 La mejor hasta ahora

YAG = 1 C = 16,066

I

I

0

YAP = O

l

@

c = 16,425

YCG =0

YOG = 1 C = 16,450

No entero

No entero

I

@

YAG = O C= 17,400

No entero No entero

@ 1

I

0

@

YCG =0 C = 17,600 No entero ..

@

YCG = 1 C = 16,300 Entero

No factible

Entero

Pasos 10 a 12. Soluciones de no enteros, pero los límites son mejores (menos costo) que la mejor solución hasta ese momento. Continuar las ramificaciones. Paso 13. El límite es peor que la mejor solución hasta ese momento. Cortar la rama. Paso 14. Solución con enteros, pero el límite es peor que la mejor hasta el momento. Cortar la rama. Pasos 15 a 18. Los límites son peores que la mejor solución hasta ese momento. Cortar las ramas.

Temas especiales de programación matemática

169

Se consideraron todas las ramificaciones, y las mejores soluciones alternas hasta ahora (pasos 7 y 9) son soluciones óptimas. La solución del paso 9 se presenta en la figura 4-3. La respuesta alterna involucra una fábrica pequeña en el sitio e, y un patrón de envío diferente.

Análisis En el procedimiento de ramificar y limitar es necesario crear el equivalente de la estructura del árbol, como la que se presenta en las figuras 4-11 y 4-12. Los programas de computador que se usan en problemas reales tienen una heurística compleja (reglas generales) sobre la manera de desarrollar el árbol y las ramificaciones que deben investigarse primero 12. El procedimiento de ramificar y limitar es un método general para la solución del problema. En los ejemplos de este capítulo, se utiliza la solución de un problema de programación lineal ordinario como forma de obtener un límite. Sin embargo, hay problemas donde puede obtenerse un límite mediante un proceso diferente, mucho más simple. Un ejemplo es el problema de asignación. Por ejemplo, una fábrica tiene cinco plantas y cinco regiones de venta, y a cada planta se le asigna una única región para hacer los suministros. Esto podría formularse como un problema de programación con enteros y solucionarlo como se ha presentado aquí. Sin embargo, existen formas de limitar el costo de este problema de asignación que son mucho más fáciles de obtener que solucionar un problema de programación lineal. Por tanto, el procedimiento de limitar puede utilizarse dentro del proceso de ramificar y limitar para solucionar el problema.

BIBLIOGRAFíA BAZARAA, M. S., SHERALI, H. D. and SHETTY, C. M., Nonlinear Programming: TheOlY and Algorithms, 2 ed., New York: Willey, 1993. BRADLEY, S.P., HAX, A. C. and MAGNANTI, T. L., Applied Mathematical Programming, Reading, Mass: Addison Wesley Publishing, 1977. HILLIER, F. and LIEBERMAN, G. J., Introduction to Operations Research, 6 ed. New York: McGrawHill, 1995.

LEE, S. M., Goal Programmingfor DecisionAnalysis, New York: Van Nostrand Reinhold, 1973. NEMHAUSER, G. L. and WOLSEY, L. A., Integer and Combinatorial Optimizacion, New York: Wiley, 1988. WINSTON, Wayne L., Operations Research Applicatiol1s andAlgorithmus, Englewood Cliffs, N. 1.: Prentice Hall, 1994.

PROBLEMAS PRÁCTICOS13 4-1 Un importante estudio de cine planea producir cin-

co películas específicas durante los próximos tres años. Definir una variable Yit donde el subíndice i se refiera a la película en particular (i = 1, 2, 3, 4, 5) yel subíndice t al año (t = 1, 2, 3). Yit es una variable cero/uno que tiene el valor de 1 si la iésl/na película se produce en el tésimo año y tiene un valor diferente de O. Considerar cada situación de manera independiente y formular una o más restricciones lineales con enteros que satisfagan la condición establecida.

a. No puede producirse más que una película en el

primer año. b. La película 2 no puede producirse antes que la

película 3; sin embargo, pueden producirse en el mismo año. c. Debe producirse por lo menos una película cada año. d. La película 4 debe producirse a más tardar el año 2. e. Las películas 1 y 5 no pueden producirse en el mismo año.

verse en los pasos que SOIVt:f ~igue para verificar la caja Mostrar resultados de interacción en la caja de diálogo Opciones de Solver. 13Las soluciones a estos problemas se encuentran al final de este capítulo.

12 Pueden

170

Análisis cuantitativo

4·2 La gerente de investigación de la Federal Science Foundation está tratando de decidir cuáles proyectos financiar para el próximo año. Recibió las 8 propuestas que se presentan a continuación. Después de un estudio minucioso, hizo un cálculo estimado del valor de cada proyecto en una escala de Oa 100. La gerente de investigación desea encontrar una combinación de proyectos que tengan el valor total más alto. Sin embargo, existen varias limitaciones. Primero, cuenta con un presupuesto de US$320,000. Segunda, debe aceptar o descartar un proyecto (es decir, no hay financiación parcial). Tercera, hay ciertos proyectos relacionados. Ella no desea financiar los proyectos G y H. El proyecto D no debe recibir financiación a menos que A también lo haga (no obstante, A puede ser financiado sin D). a. Formular el problema de la gerente como un problema de programación lineal (con enteros). b. Solucionar el problema utilizando el programa Solver. Propuesta

Costo (miles de dólares)

Valor

A B

$ 80

40 10 80 50 20 5 80 100

15 120 65 20 10 60 100

C D E F G H

4-3 La empresa Bendigo fabrica tres productos: ANZA, BOZO y KARMA. Bendigo formuló parcialmente su problema semanal de mezcla de producto como un problema de programación lineal, así: Maximizar: Sujeta a:

100A

+ 120B

3A + 7B + 2K :5 1,000 (tiempo de máquina disponible) A + 1.5B + 2K :5 300 (horas de trabajo disponibles) 23A + 18B +25K = M.P. Utilizada (materia prima utilizada) dondeA, B y K se refieren a la cantidad de unidades ANZA, BOZO y KARMA producidas por semana. En este punto, Bendigo tuvo problemas y pide ayuda para completar la formulación. Para cada una de las siguientes partes, adicionar o modificar el planteamiento para incorporar la situación descrita. Formular como un problema lineal con enteros, utilizando variables con enteros (incluyendo binarias), según se requiera. Definir en cada caso las nuevas variables, las restricciones o modificaciones nuevas y las adiciones o modificaciones que se hagan a la función objetivo. Cada parte debe tratarse de manera independiente.

a. Los KARMA se estampan en una máquina especial que tiene en arriendo el fabricante. pueden

estamparse hasta 200 unidades del producto en una semana. El contrato de arrendamiento especifica un costo fijo de US$800 por semana si se producen alguna unidad de KARMA; sin embargo, no existe cargo alguno si la máquina no se utiliza durante alguna semana. b. 'El costo de la materia prima es de 25 centavos por unidad si se compran menos de 1000 unidades. Si se compra esa cantidad o más, el costo es de 20 centavos por unidad para todas las unidades compradas. Semanalmente se dispone de una cantidad ilimitada de materia prima, pero no puede almacenarse de una semana a la siguiente. c. El ingreso por ventas para una unidad de KARMA depende de la cantidad comprada. Bendigo recibe US$100 por cada una de las primeras 20 unidades producidas, US$150 por cada una de las siguientes 50 unidades producidas, y US$120 por cada unidad adicional hasta un máximo de 200 unidades producidas en total. d. El departamento de ventas calcula que las ventas máximas son de 100 unidades para los ANZA y 120 unidades para los BOZO. Sin embargo, podría iniciarse una campaña de ventas, a un costo de US$5,000, para cada producto. La campaña incrementaría la demanda en 50 unidades para el producto seleccionado. Debido a la limitación en las ventas, la campaña podría realizarse para el producto ANZA o BOZO, pero no para ambos. 4·4 Una fábrica elabora dos productos, Ay B. A continuación se muestra la contribución a la utilidad y el uso de recursos para una unidad de cada producto.

Contribución a la utilidad (dólares por unidad) Uso de recursos: Tiempo de la máquina (horas por unidad) Materia prima (toneladas por unidad) Mano de obra calificada (horas por unidad) Mano de obra no calificada (horas por unidad)

Producto A

Producto B

15

10

4

5

5

4 5

g

O

La fábrica dispone de un máximo de 100 horas de maquinado y 30 de mano de obra no calificada. Existe un faltante de materia prima. La fábrica recibió una asignación de 100 toneladas de su planta principal aunque con instrucciones de utilizar lo menos posible y devolver el excedente para que otras secciones puedan utilizarlo. Podría obtenerse más de las 100 toneladas asignadas, pero sólo si fuera absolutamente necesario. La fábrica tiene una fuerza laboral calificada de 75 horas disponibles en horario normal. Estos trabajadores calificados están renuentes a trabajar tiempo extra, pero lo harán si es necesario. La ge-

Temas especiales de programación matemática rencia desea utilizar los trabajadores capacitados durante el tiempo normal tanto como sea posible. La fábrica tiene una meta de utilidad de U5$300 que espera cumplir o superar. a. Definir las variables de decisión y las restricciones sobre el tiempo maquinado y de mano de obra no calificada. b. Formular las restricciones de la meta (a nivel de déficit y excedentes), .respecto a mano de obra calificada, materia prima y utilidad. c. Suponer que la gerencia agrega costos de US$15 por tonelada a la materia prima utilizada que exceda la asignación, US$10 por hora extra para trabajadores calificados y U5$5 por hora de tiempo libre de esos trabajadores. Además, la materia prima no utilizada (por debajo de la asignación) tiene un valor de US$5 por tonelada. Un dólar de utilidad tiene el mismo valor, sin tener en cuenta si se excede o no la meta de utilidad. Formular la función objetivo de la meta de programación. d. Antes de continuar con esta parte, verificar que el planteamiento se formuló de forma correcta, mirando las respuestas que aparecen al final del libro.

171

Ahora si, elaborar la figura del problema de decisión. Incluir primero las restricciones sobre mano de obra no calificada y tiempo de maquinado. Luego, trazar las líneas que representan las metas de materia prima y de mano de obra calificada. Finalmente, incluir la meta de utilidad. e. Evaluar los siguientes puntos de solución posibles. Encontrar cada punto en la figura y sustituir en todas las ecuaciopes de metas para determinar el déficit o el excedente. Luego, sustituir estos valores en las funciones objetivo de c. Encontrar la solución óptima (con el valor mínimo). Los puntos son: 1) Producto A = 8.33 unidades; producto B = 13.33 unidades. 2) Producto A = 11.11 unidades; producto B 11.11 unidades. 3) Producto A = 15 unidades; producto B = 8 unidades. 4) Producto A = 15 unidades; producto B = 6.25 unidades.

PROBLEMAS 4-5 Lajefe del departamento de policía de Punxsutawney prepara el presupuesto para el año siguiente. Un elemento clave es el número de policías que necesitará para labores de patrullaje y,justamente, acaba de recibir un estudio (véase tabla adjunta) que calcula el número de patrullas que debe haber en las calles de PUnXsutawney, durante períodos de 4 horas. En parte, estos cálculos se basaron en experiencias anteriores respecto a las solicitudes de ayuda y la investigación dc crímenes y, en parte, en requisitos para un nuevo programa de prevención del crimen. El nuevo programa enfatiza en la visibilidad de las patrullas en las calles durante horas de alto potencial de acciones criminales. El problema de la jefe surge porque tiene que programar al personal de la policía en turnos de 8 horas y no sólo por segmentos de cuatro horas como se muestra en la tabla. El departamento opera con seis turnos escalonados de 8 horas que se muestran en la tabla siguiente; la jefe desea mantener esta política.

Requisitos estimados de patrullas de policía en días laborables, por hora del día

Período

Patrullas necesarias

10 PM a 2 AM 2 AM a 6 AM 6 AM a 10 AM 10 AM a 2 PM 2 PM a 6 PM 6 PM a 10 PM Total

13 1 7 6 6

11 50

Policía de Punxsutawney· Turnos escalonados

Turno de inicio

Hora de terminación

1 2 3 4 5 6

10 PM 2AM 6 AM 10 AM 2 PM 6 PM

Hora 6 AM 10 AM 2 PM 6 PM 10 PM 2AM

El problema de la jefe es decidir el número mínimo de personal necesario para cumplir los requisitos. Cada patrulla cuenta con un solo patrullero, además, sólo para los días laborables. Formular un problema de programación lineal con enteros para solucionar el problema de la jefe. 4·6 El decano de una facultad de negocios planea incluir dos programas básicos: un curso de pregrado que otorga el título de BBA (Bachelor on Business Administration), y un programa de posgrado que otorga el título de MBA (Master on Business Administration). El decano cuenta con 36 profesores de tiempo completo y 42 de medio tiempo. Para dictar los cursos a cada aspirante a BBA, se requieren 0.02 profesores de tiempo completo y 0.03 de medio tiempo; en otras palabras, por cada 100 estudiantes de BBA, la facultad necesita dos profesores de tiempo completo y tres de medio tiempo. Por cada 100 estudiantes de MBA se requieren seis profesores de tiempo completo y cuatro de medio tiempo. El problema del decano es determinar el número de estudiantes de MBA y BBA que puede matricular. La matrícula anual para un aspirante MBA es

.

172

Análisis cuantitativo

de US$15,000 y para uno de BBA es de US$12,000. El rector de la universidad estableció que el número de matriculados en el programa de MBA está limitado a no más de la mitad de los inscritos en el programa de BBA. El decano tiene tres objetivos. El primero es el ingreso por concepto de matrículas; la meta fijada es de US$15 millones. Un segundo objetivo es satisfacer las necesidades de las empresas locales por graduados BBA; la meta fijadaes de 1,000 estudiantes matriculados para ese programa. El tercer objetivo es satisfacer la demanda de MBA; la meta fijada es de 400 estudiantes. Suponer que el decano desea satisfacer la demanda de BBAy de MBA hasta donde sea posible, evitando, tanto como sea posible, excedentes y déficit. Además, el decano desea obtener tantos ingresos por concepto de matrículas como le sea posible. a. Formular las restricciones para el problema del decano corno un problema de metas de programación. Permitir déficit y excedentes para las restricciones de las metas. b. Formular la función objetivo, asumiendo los siguientes pesos para cada déficit o excedente.

Valoración (equivalentes en dólares)

15

30,000 24,000 3 9,000 6,000

3XI + 6X2 + X3 Xl + X 2 + X3 :::; 7 5X I + X 2 + X 3 :::;15 Xl + 4X2 :::; 9 :::; 3;X Xl 2 :5 3; X3 :5 3

Todas las variables son enteros. 4-8 Remitirse, en este capítulo, a la ilustración del problema sobre tamaño y ubicación de la planta. El planteamiento dado permite que se cumplan parcialmente los requisitos de dos o más sitios para la planta. Suponer que se desea que una región obtenga la totalidad de sus suministros sólo del sitio donde se encuentre la planta. ¿Cómo formular este problema? 4-9 La Snohomish Extrusion Company está planeando un programa de producción para el siguiente trimestre. Snohomish fabrica tres productos: alfa, beta y gamma. Los factores primordiales utilizados en la fabricación de estos productos son horas de mano de obra, materia prima y electricidad. Los requerimientos de cada producto son los siguientes:

Objetivo

Déficit de matrículas Faltante para satisfacer la demanda de BBA Faltante para satisfacer la demanda de MBA Excedentes de matrículas Excedente de la meta de BBA Excedente de la meta de MBA

Elaborar la gráfica del problema. Primero, sólo la de las restricciones que no son de metas; luego, trazando las ecuaciones de las metas. Encontrar la solución óptima. Puede que sea necesario tratar con varios puntos hasta encontrar el óptimo. Considerar los puntos que son intersecciones de las diversas restricciones y ecuaciones de metas. d. Si el decano desea asignar prioridades a las diversas metas en el orden mostrado en b. Es decir, minimizar el déficit por matrículas es la prioridad más alta y la siguiente sería minimizar el faltante en la demanda de BBA, y así sucesivamente, entonces, utilizar el método de programación y resolver gráficamente el problema. C.

4-7

Maximizar: Sujeta a:

(Nota: este problema requiere conocimiento del material que se encuentra en el apéndice de este capítulo). Utilizar el procedimiento de ramificar y limitar para solucionar el siguiente problema:

Alfa

Mano de obra (horas) Materia prima (libras.) Electricidad (kwh) Contribución por unidad (dólares) excluyendo el costo de mano de obra, materia prima y energía

Beta

Gamma

10 300

2 13 180

120

170

240

120

5

1 8

Snohomish dispone de hasta 4,000 horas de mano de obra en las operaciones de su primer turno (para el trimestre), y el contrato laboral permite hasta esta cantidad a un precio de US$lO por hora. La materia prima (resina regular) cuesta US$2 por libra, y pueden comprarse hasta 20,000 libras. Los costos de energía son de 3 centavos por kwh, y puede comprarse cualquier cantidad. Snohomish planteó el problema de programación lineal así: Maximizar:

170A + 240B + 120C - 10HPT - 2LMP - 0.03Kwh Sujeta a:

5A + 2B + 1C = HPT HPT:5 4,000 (requisitos de mano de obra) lOA + BB + SC = LMP LMP :5 20,000 (requisitos de materia prima) 300A

+ 18üB +

12üC = Kwh (requisitos de

electricidad)

Temas especiales de programación matemática

donde:

A = número de unidades alfa producidas B = número de unidades beta producidas e = número de unidades gamma producidas HPT = número de horas de mano de obra utilizadas en las operaciones del primer turno LMP = libras de materia prima (resina regular) utilizada kwh = kw de energía por hora utilizados a un precio de US$0.03 Los literales a. b. y c. proponen modificaciones del programa lineal anterior. Así que hay que definir cuáles variables son necesarias, incluyendo variables enteras o binarias (cero/uno). También mostrar cómo modificar cualquier restricción, y la función objetivo. Tratar cada caso de manera independiente. a. Es posible contar con un segundo turno de operaciones que permitiría 2,000 horas adicionales de mano de obra, con un costo de US$12 por hora. Además, si el segundo turno entra a funcionar, se incurriría en cargos fijos de US$900 (para supervisión, gastos generales, etcétera). , b. El precio de la energía pata Snohomish depende de la cantidad utilizada. El costo es de US$O.03 por kwh para los primeros 30,000 kwh. El costo de la energía adicional que supere esta cantidad es de US$0.02 por kwh. c. Existe una nueva materia prima, una resina especial, que cuesta US$4 por libra, pero se requeriría mucho menos por unidad (sólo dos libras por unidad para cada uno de los tres productos). Usar esta nueva materia prima requiere de equipos para propósitos especiales, que tienen un costo arrendamiento de US$8,000. Además, sólo puede hacerse el pedido por una cantidad mínima de 2,000 libras y una cantidad máxima de 10,000. Snohomish debe decidir cuál de las dos materias primas utilizar; es decir, la empresa puede utilizar cualquiera, la resina regular o la especial, pero no ambas. 4-10 Amazing Airlines (AA) está próxima a agregar dos nuevas ciudades a su plan de rutas. En particular, se inauguraró un vuelo diario de Chicago a Seattle, ida y regreso, y de Chicago a Denver, ida y regreso. El problema de decisión de AA incluye qué aeronave

173

asignar a cada una de estas dos rutas. AA tiene seis aviones disponibles con las características que aparecen en la tabla 4-4. Una aeronave volará diariamente de Chicago a su destino y regresará. A cada ruta puede asignársele cualquier combinación de tipos de aeronaves. El departamento de investigación de marketing de Amazing Airlines realizó un cuidadoso estudio sobre la demanda de estas rutas, cuyos resultados se muestran en la siguiente tabla. Estos estimados de la demanda son la cantidad máxima que AA transportaría, asumiendo que contara con la capacidad de sillas adecuada, asignada a una ruta determinada. Demanda estimada de nuevas rutas ZCiiCltU:;lmaW;;;¿IDiillUll

Ruta (tramo)

Demanda diaria estimada

Chicago a Seattle Seattle aChicago Chicago a Denver Denver a Chicago

310 240 290 265

Tarifa en un solo sentido US$410 410 350 350 -~

Formular como un problema de programación lineal con enteros. 4-11 La empresa Rowbottom Sand and Gravel tiene las siguientes cantidades de materiales para repartir entre seis clientes:

Cliente

Cantidad (toneladas)

A B C D

1/4 1/2 1 1/2 1/2

E

3/4

F

1

Hay cinco camiones que pueden utilizarse para hacer estas entregas. Con el uso de divisiones, un camión puede entregar una mezcla de cargas hasta'llenar su capacidad. Sin embargo, la orden de un cliente no puede distribuirse en distintos Costos operacionales (miles de dólares)

TABLA 4-4 Aviones disponibles para nuevas rutas

Tipo de avión A B

e

Número de aviones disponible

Capacidad de sillas

Ida y regreso Chicago •Seatle

Ida y regreso Chicago -Denver

1 2 3

320

108

250

00

130

66

101 00 fk2

174

Análisis cuantitativo

camiones. Los camiones disponibles y sus capacidades son:

Clíente

Cantidad (toneladas)

1 2 3 4 5

1

2 1

2 1 1/2

Además de estos costos, existe un cargo fijo de US$lO en los camiones 1,3 Y5 Yde US$15 en los camiones 2 y 4. Estos costos causan si el camión se usa con carga completa. Finalmente, existe la restricción de que en el mismo camión no pueden entregarse los pedidos a los clientes A y B. Formular como un problema de programación con enteros. 4-12 Nota: Este problema requiere conocimiento del material del apéndice de este capítulo. Utilizar el procedimiento de ramificar y limitar para solucionar el siguiente problema:

Los costos asociados con cada camión que haga la entrega al cliente se muestra en la siguiente tabla:

Maximizar:

l5XI + 3Xz + 8X3 - lOYI

Sujeta

1 2 3 4 5

A

B

e

D

E

F

17 15 18 15 16

19 18 19 16 15

21 20 22 19 20

20 18 22 18 22

20 19 21 18 19

21 23 22 20 20

-

lOYz - 2Y3

3XI +2Xz + X 3 -lOYI 4X I - X z +5X3 -12Yz Xl + X z + X 3 - 4Y3

Costos de entregar de pedidos a clientes (dólares)

Camión ~

a:

:5 :5 :5

5 6 O

donde las variables Xl' X z, X 3 no son necesariamente enteros, pero YI y Yz son variables cero/uno, y Y3 :5 3 también es un entero.

PROBLEMAS ESPECIALES 4·13 La oficina de San Francisco del MBA Consulting Group intenta programar a sus consultores durante las próximas cuatro semanas. MBA aceptó cuatro trabajos de consultoría que deben realizarse en este tiempo. A continuación, se muestran los requerimientos de los trabajos, el número necesario de consultores y el tiempo. La empresa tiene la política de que una vez que se asigna un consultor a un trabajo, esa persona debe permanecer en él hasta terminarlo. Además, una vez que se inicia el trabajo, éste se lleva a cabo en su totalidad sin interrupciones. La oficina de San Francisco tiene un staff permanente de cuatro consultores. De inmediato, para el gerente de la sucursal fue obvio que con ese personal no podía cumplirse los requisitos exigidos. Con la oficina nacional en Nueva York podrían conseguirse consultores adicionales. Sin embargo, allí sólo se asigna a los consultores mensualmente (es decir, cada cuatro semanas). Por tanto, cualquier consultor debería quedar vinculado durante cuatro semanas. Debido a que a la sucursal se le cobra por estos consultores de la oficina nacional, el gerente desea minimizar el número utilizado, a la vez que cumple con los requisitos del trabajo.

a. Formular como un problema lineal con enteros (Ay!l~a: sea Yit una variable cero/uno que es 1 si el ¡eSllnO trabajo comienza en el período t, y Osi es de otro modo).

Trabajo Semanas necesarias para el trabajo

1

Consultores requeridos cada semana

2

2

3 2

3

3 4

1 1

5 4

b. Solucionar el problema utilizando el programa Solver. 4·14 Un problema muy importante en finanzas es el de la selección del portafolio. Si una persona está considerando invertir en tres fondos mutuos, uno dedicado a acciones internacionales, otro a acciones nacionales y un tercero que incluye sólo bonos, y le gustaría tener un portafolio (es decir, una mezcla) de estos fondos, entonces la decisión es establecer cuál parte relativa de los fondos disponibles debe invertir en cada uno.

Temas especiales de programación matemática El objetivo es lograr un rendimiento tan alto como sea posible, basándose en los datos históricos de donde se calculó el rendimiento esperado para cada fondo. Estos rendimientos aparecen en la tabla 4-5. Sin embargo, los fondos difieren ampliamente en la variación de los rendimientos de un año a otro. La medida de esta variabilidad es la varianza de rendimientos para cada fondo. Además, los rendimientos no son independientes uno del otro sino que existe una correlación en los rendimientos de los tres fondos. Una medida de ello es la covarianza entre dos fondos, una medida de cómo se mueven los dos en conjunto. Por ejemplo, la covarianza entre el fondo de acciones internacionales y el fondo de acciones nacionales es negativa, e indica una tendencia (leve) a que los fondos se muevan en direcciones opuestas. Sea R i el rendimiento de invertir en ellsimo fondo mutuo, y Xi la fracción de portafolio invertido en dicho fondo; entonces, el rendimiento esperado para todo el portafolio es: Rendimiento esperado del portafolio

175

c. Identificar la frontera eficiente: los intercambios entre riesgo y rendimiento, intentando varios valores para la restricción sobre rendimientos y optimización, y anotando la varianza del portafolio. 4-15 Una fábrica elabora cuatro productos etiquetados como A, B, C YD. El comité ejecutivo está reunido para decidir sobre la mezcla de productos. El director desea la mezcla que alcance la mayor utilidad; el gerente de ventas desea obtener la mayor participación del mercado, y el gerente de producción desea que las instalaciones de producción funcionen en equilibrio. El presidente debe mediar entre estos objetivos potencialmente conflictivos. La información sobre los cuatro productos aparece en la tabla 4-6, que muestra las horas necesarias por unidad para cada producto en ensamble y en ensayo, y el tiempo dc maquinado, así como el tiempo en los departamentos 1 y 2. La utilidad por unidad para cada producto también se muestra en la tabla 4-6. El direCtor piensa que la fábrica debería enfatizar en los productos B y C, ya que éstos producen la mayor utilidad por unidad,' su aspiración sería obtener una utilidad de US$10,000. El gerente de marketing considera cada producto como una venta y, por consiguiente, cuenta como un punto en la participación de mercado, es decir que equivale a una participación de 0.01 %, su meta es de SOO puntos de participación (es decir, S% del mercado total). El gerente de producción anota que la fábrica dispone de 3,000 horas de ensamble, 1,000 de tiempo de ensayo, y 7,500 de tiempo de maquinado. No existen límites de horas para los departamentos 1 y 2. Sin embargo, es el equilibrio de las horas trabajadas en estos departamentos lo que preocupa. Al gerente de producción le gustaría que la cantidad de horas trabajadas en los departamentos 1 y 2 fuera igualo lo más cercana posible. El presidente decidió que debe darse un peso a cada objetivo. Una utilidad de un dólar vale lo mismo, sin tener en cuenta si está por encima o por debajo de la meta de US$lO,OOO del director. Un punto en la participación de mercado vale US$10 por debajo de la meta de SOO, pero sólo US$5 por encima de ésta. Una hora de desbalance entre los tiempos de los departamentos de producción tiene un costo de U5$10.

= LXi' Ri

La varianza del portafolio es una medida del riesgo o la variabilidad, Sea s2 la varianza de los rendimientos para el fondo iésimo. A~e?1ás, se31.covij la covarianza entre los fondos iesllno y /Sll1l0. La varianza de todo el portafolio está dada (para el ejemplo de tres fondos) por: Varianza del portafolio = X2 . a 2 + X 2 . a Z + XZ . a Z 1 1 Z Z 3

+ 2X1X Zcov12 + 2X1X 3cov 13

+ 2X,p3 covZ3 a. Desarrollar un modelo de hoja de cálculo para este problema. El objetivo es maximizar el rendimiento del portafolio, sujeto a una restricción sobre la varianza del portafolio (es decir, sobre lo riesgoso de la cartera). Para empezar, hay que suponer que este límite es una varianza de 0.0025 para el portafolio. Notar que, aunque el objetivo es una función lineal, la restricción sobre el riesgo no lo es. Utilizar Solver para hallar la solución. b. Ahora asumir que el objetivo es minimizar el riesgo, sujeto a la restricción de que el rendimiento global del portafolio es por lo menos 10.5%. Utilizar Solver para hallar la solución. TABLA 4-5 Rendimientos, varianzas y covarianzas esperadas "

Fondo

Acciones internacionales Acciones nacionales Bonos

Rendimiento esperado

Varianza del rendimiento

0.12 0,10 0.07

0.0083

Acciones internacionales

0.0042

Acciones nacionales

0,0016

Covarianzas

Fondo de acciones nacionales

Fondo de bonos

-0.00059

0.00073 0,00219

176

Análisis cuantitativo

Formular como un problema de programación de metas. Resolverlo en el computador si es posible. 4-16 La Franchise Food Products Company opera dos cadenas de tiendas de alimentos listos para consumir, la cadena Piazo Pizza y la cadena Fisher Fish and Chips. La empresa está expandiendo operaciones en el condado de Santa Clara y busca sitios para abrir nuevas tiendas. Ya se identificaron diez sitios potenciales, y se calculó elingreso neto (en términos de valor presente) de cada uno para utilizarlos como una sede de Piazo Pizza o como un restaurante de Fisher Fish and Chips. Sea Pj = 1, 2, ...,10) el ingreso neto de utilizar el sitio j para la pizzería y F i (j = 1,2, ...,10) el ingreso neto del mismo sitio SI fuera utilizado como pescadería. La empresa opera ambas cadenas de restaurantes mediante franquicias en una región determinada. De acuerdo con los términos del contrato, con cualquier franquicia de Pizza, los demás restaurantes tienen derechos exclusivos en un radio de dos millas a la redonda. Esto significa que cualquier sitio seleccionado para las pizzerías debe quedar, por lo menos, a cuatro millas de distancia. Existe un acuerdo similar en los contratos con las franquicias de Fisher Fish, pero los derechos exclusivos están garantizados dentro de 2.5 millas; es decir que los restaurantes deben quedar por lo menos a cinco millas de distancia. No existe restricción sobre las localidades entre las dos cadenas (un local de Pizza podría quedar alIado de un restaurante Fisher). La tabla 4-7 muestra las distancias entre los sitios. Cada uno de los 10 sitios potenciales puede constituirse como pizzería o restaurante, pero no ambos. El ejercicio no necesita desarrollarse por completo. Formular como un problema de programación con enteros para maximizar el rendimiento neto de Franchise Foods Products Company. 4-17 Ininob Manufacturing Company elabora tres productos: W (Widgets), Y (Yamis) y Z (Zots). La empresa está tratando de determinar su plan de producción para estos artículos para el próximo mes. La empresa vende los W a US$50 la unidad y los Z a US$40 la unidad. A estos precios puede vender

hasta 200 unidades de W y 30 de Z. El precio para las unidades de Y todavía no se ha decidido. Se están considerando dos precios: US$50 y US$60. Con el primero de ellos puede vender hasta 100 unidades, y con el segundo, hasta 60. Ininob compra la materia prima para los tres productos a un solo lugar. Para cada unidad de W se necesitan 0.1 toneladas; cada unidad de Y necesita de 0.2 toneladas y las unidades de Z necesitan de 0.3 toneladas cada una. Debido a un faltante, sólo hay 50 toneladas disponibles de materia prima para la producción de los tres productos. El costo de la materia prima es de US$20 por tonelada. El primer paso en el proceso de producción de los tres productos es una operación de moldeamiento y de calentamiento para la que se requiere de una máquina especial, cuyo tiempo máximo disponible es de 400 horas. No pueden obtenerse horas adicionales debido a que la máquina ya está funcionando en tres turnos. El costo variable de operación de esta máquina es de US$8 por hora. Cada unidad de W requiere una hora en cada máquina; cada Y requiere dos horas y cada Z requiere hora y media. Después del proceso de moldeamiento y calentamiento, viene el proceso de acabado de cada producto. Las unidades de Z tienen su proceso de acabado en una máquina específica, que cuesta US$500 operarla y US$lO por cada Z terminada. Si no se producen unidades de Z, no hay costo de operación. Los W y los Y tienen su proceso de acabado en una máquina para hacer W, que tiene un costo de operación de US$l,OOO. Sin embargo, una vez puesta en marcha, la máquina puede terminar W, Y o ambas. Si no se producen ni Y ni W, no se incurre en el costo de operación. El costo variable de operar esta máquina es US$10 por unidad para cualquiera Yo W. Ininob decidirá su plan de producción para los tres productos al comienzo del mes, y también el precio de los Y. Formular como un problema de programación lineal. 4·18. Una fábrica tiene tres plantas que proporcionan suministros a cinco regiones de ventas. Los costos

TABLA 4- 6

Producto

A Recursos: Tiempo de ensamble (horas) Tiempo de ensayo (horas) Tiempo de maquinado (horas) Departamento 1(horas) Departamento 2(horas) Metas: Utilidad (dólares) Participación en el mercado (puntos)

4 2 6 1 1/2 10 1

B

e

D

15 2

5 2 10 1 2

2 1 12

20 1

5 1

2 2 1

50 1 L.WJI["'Xl¡¡;:¡

2~~

* El producto D requiere de dos horas, pero puede fabricarse en el departamento 1 o en el departamento 2, o dividirlo

entre ellos como se desee.

Temas especiales de programación matemática

TABLA 4·7 Distancia entre los sitios potenciales para los restaurantes (en millas)

~ Desde

1 2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3.7

2.2 2.6

3.2 5.7 3.2

6.4 3.3 4.5 7.5

7.3 6.6 5.3 5.7 5.2

8.6 9.6 7.4 5.6 9.4 4.8

8.8 10.3 7.7 5.7 10.1 5.6 1.2

13.0 13.1 11.4 10.4 11.5 6.6 5.2 5.9

10.2 7.5 8.2 10.3 4.4 5.5 10.2 11.4 10.2

3 4 5 6 7

8 9

de transporte y los requisitos de ventas se muestran en la tabla 4-14. Cada fábrica puede operar en uno o dos turnos. Los costos y capacidades se muestran en la tabla 4-15. Los costos fijos para el primer turno son grandes porque se encuentran incluidos los gastos generales de la fábrica, mientras que los costos fijos del segundo turno incluyen sólo los costos fijos relacionados con su operación. La administración está considerando agregar 400 unidades adicionales de capacidad a la planta 3 (200 unidades en cada turno). El costo variable sería US$1 por unidad en el primer turno y US$1.50 por unidad en el segundo turno. Los cargos fijos adicionales serían US$300 en el primer turno y US$50 en el segundo turno. (Estas cantidades incluirían el retorno requerido sobre la inversión) Es política de la fábrica no operar ningún segundo turno por debajo de 40% de su capacidad, ni ningún turno por debajo de 60% de su capacidad (es decir, un turno opera a cero por encima de estos . límites). La fábrica desea determinar el plan de envío óptimo (plantas a bodegas). Además, desea saber si debe o no adicionar capacidad a la planta 3, y saber cuáles turnos, si los hay, deben recortarse en las diversas plantas. (Ver que el cierre de ambos turnos significa el cierre de la fábrica). Formular como un problema de programación lineal con enteros mixtos. (Precaución: Se recomienda asegurar de que la formulación garantiza que el segundo turno no opere si no lo hace el primero). Para facilitar la formulación, pueden utilizarse sím-

TABLA 4-8 Costos de despacho desde las plantas hacia las regiones de ventas

~ ventas

Plantas

1

2 3 Requisitos de venta (unidades)

177

bolos en lugar de los números dados en las tablas 4-8 y 4-9. 4·19 La ciudad de Shamut puso en licitación la construcción de su nuevo salón de actos, que consta de cinco partes: C E P E 1

-

Cimientos Estructura Plomería y calefacción Eléctrica Interior

El contratante especificó que las licitaciones pueden hacerse por partes o combinaciones de partes del trabajo y que se permitirían múltiples licitaciones. Cinco contratistas del área, considerados confiables en Shamut: Able, Baker, Charley, Dog y Easy, aparecen en la tabla 4-10 Además, Easy especificó que daría un descuento de 10% de la parte de su propuesta si recibía el contrato para realizar cuatro o más de las partes del trabajo. La tarea del jefe de asuntos municipales es asignar los contratos de manera que los costos para Shamut se minimicen. Uno de los factores complicados es que los contratistas Able y Baker tienen una contienda entre sÍ, y ambos han especificado en las propuestas que no aceptarán el contrato de ninguna parte del trabajo si el otro tiene alguna parte del mismo. Formular un modelo de programación lineal con enteros para ayudar al jefe de asuntos municipales a

1

2

3

4

5

$1

$1 1 3

$6

$3

2 4

4

1

$5 6

1

3

4

100

2.00

200

400

100

Requisitos totales de ventas

1,000

1 78

Análisis cuantitativo

decidir sobre cuáles propuestas aceptar. No utilizar más de 25 variables de decisión y hacer una formulación general; es decir, no eliminar las licitaciones sólo porque se ve que no van a ser aceptadas. La formulación debe ser lo suficientemente general como para que se mantenga con diferentes precios de la propuesta (por supuesto, cambiando estos números en el modelo). 4·20 Wintel Company está construyendo una nueva planta de procesamiento de semiconductores. Debe determinar la capacidad de la planta (volumen anual en millones de unidades de chips producidos) yel número de las diferentes variedades de chips que se fabricarán en la planta (variedad). Existen economías de escala en el volumen de la planta, pero deseconomías de escala cuanta más variedad se ofrezca. Sin embargo, aumentar la variedad produce mayores ingresos por chip. Después de un estudio minucioso, la gerencia de. la empresa calculó que las siguientes relaciones determinan el costo de construcción de la planta, el costo unitario variable por chip y el rendimiento unitario por chip: TABLA 4-10

Contratista Able

Baker

Charley

Dog

Easy

=

30 + 2*volumen 0.004 *volumen 2 + 0.1 * variedad Costo variable por unidad = 30 - 0.2*volumen 2 (dólares por chip) + 0.0003*variedad2 Rendimiento por unidad 42 + 0.05*variedad (dólares por chip) Costo de construcción (millones de dólares)

El límite superior sobre el volumen es de 5.0 millones de unidades por año; el límite superior sobre la variedad es de 100 tipos diferentes de chips. Debido a que la tecnología cambia rápidamente, Wintel amortizará en su totalidad toda la inversión de la planta en dos años. La empresa puede vender todos los chips que la planta pueda producir. a. Formular este planteamiento como un problema de programación no lineal y utilizar Solver para solucionarlo. b. ¿Qué tan sensible es la contribución neta a los cambios en la variedad? Realizar un análisis del tipo "qué pasaría", utilizando diferentes valores de variedad.

Temas especiales de programación matemática

179

CASO 4-21 THE ALLEN COMPANY The Allen Company está involucrada en el desarrollo de propiedad residencial. La figura 4-13 muestra un mapa de los nuevos desarrollos en las etapas de planeación. Las vías de acceso se muestran en el mapa y se dividen en segmentos rotulados desde A hasta F. Además, el área se divide en cinco subsecciones (identificadas de 1 a V en el mapa). Allen planea desarrollar toda esta subdivisión durante un período de 18 meses. El problema de planeación implica determinar el orden en el cual van a construirse las vías y subsecciones. Para efectos de planeación, el tiempo se divide en tres períodos de medio año cada uno. En cualquier período (medio año), puede construirse cualquier número de segmentos de vía (sujetos a las restricciones financieras descritas a continuación). La única restricción es que un segmento no puede construirse antes de las vías que llevan a él. (Por ejemplo, el segmento C no podría construirse antes del segmento B. Sin embargo, podrían construirse simultáneamente). Las casas pueden construirse en cualquier subsección no antes de un período posterior cuando se hayan terminado las vías de acceso a dicha sección. La siguiente tabla presenta las vías de acceso que deben terminarse por lo menos un período antes de que puedan desarrollarse las distintas subsecciones.

Subsección

Vías requeridas

I

A,B

11

A, B,

111

IV

A,D A, D, E

V

A, D, F

e

En cualquiera de los períodos pueden desarrollarse varias subsecciones, y pueden completarse en un período. Las únicas restricciones para el desarrollo de la subsección son la construcción de vías (discutidas anteriormente) y la financiera (véasemás adelante). El costo de construir los diferentes segmentos de vías es KA' KB, oo" KF , y el costo de construir las subsecciones de vivienda se denomina: Cl' CII"",Cv- Estos costos representan el monto neto financiado por Allen Company durante y sobre las hipotecas de construcción

FIGURA 4-13 Mapa de desarrollo de Wuthering Heights

180

Análisis cuantitativo

disponibles en el banco. En estos costos se incurre en el período que comprende el desarrollo de una subsección. La utilidad recibida de la venta de una subsección se denominaP¡'PIJ, .. .Pv ' De nuevo, estos valores son el valor neto del reembolso de las hipotecas sobre la construcción. Las utilidades se reciben un período después de la construcción (es decir, con retraso de un período). Para financiar este proyecto, Allen Company dispone de un capital propio de US$500,000. También tiene la opción de pedir dinero prestado al banco (además del dinero de la hipoteca). Sin embargo, el banco insiste en prestar todo el monto del crédito durante el período que dure el proyecto. Es decir, si presta una cantidad L, al comienzo del período se obtiene y se paga en su totalidad (con intereses) después de dos años. El período de dos años es necesario para que las utilidades de las ventas en el tercer período (y recibidas en el cuarto medio año) puedan utilizarse para amortizar el crédito. El crédito mínimo es US$1 millón (es decir que no debe hacerse el préstamo o que éste deber ser por lo menos de US$1 millón). La tasa de interés es de 10% anual. Formular como un problema de programación lineal con enteros mixtos. Suponer que si va a desarrollarse una subsección en cualquiera de los períodos, éste tendrá que terminarse en su totalidad (es decir, que no hay terminaciones parciales). El objetivo es minimizar el monto del interés en el crédito bancario.

CASO 4-22 RODNEY DEVELOPMENT COMPANy14 Jane Rodney, presidenta de Rodney Development Company, intenta decidir qué tipos de tiendas incluir en su nuevo centro comercial en Puyallup Mall. Ya hizo contratos para un supermercado, una droguería y varias tiendas que considera esenciales. Sin embargo, tiene disponibles 16,000 pies cuadrados de espacio que todavía puede asignar. Elaboró una lista de 15 tipos de tiendas que podía considerar (tabla 4-11), incluyendo el espacio requerido por cada uno. Rodney piensa que no tendrá ningún problema para encontrar ocupantes para alguno de los tipos de tiendas. Los contratos de arrendamiento que Rodney utiliza, incluyen dos tipos de pago. La tienda tiene que pagar una renta anual determinada, según su tipo y tamaño. Además, Rodney va a recibir un pequeño porcentaje de las ventas de la tienda si éstas superan el monto mínimo especificado. El monto de la renta anual proveniente de cada tienda aparece en la segunda columna de la tabla 4-11. Para estimar la utilidad de cada tipo de tienda, Rodney calculó nuevamente el valor presente de todos los pagos por rentas futuras y el porcentaje de ventas. Estos aparecen en la tercera columna. Rodney desea lograr el valor presente total más alto para el grupo de tiendas que seleccione. Sin embargo, no puede seleccionar las tiendas sólo con los valores presentes más altos, debido a que hay varias restricciones. La primera, claro está, es que sólo se dispone de 16,000 pies cuadrados. Además, una condición sobre la financiación del proyecto requiere que la renta total anual sea por lo menos del mismo valor que el costo anual fijo (impuestos, costos administrativos, servicio de la deuda etcétera). Estos costos anuales son de US$130,000 para esta parte del proyecto. Finalmente, el total de fondos disponible para la construcción de esta parte del proyecto es de US$700,000, y cada tipo de tienda requiere de costos de construcción distintos según el tamaño y tipo (cuarta columna de la tabla). Además, Rodney tiene ciertos requisitos en términos de combinación de tiendas que ella considera las mejores. Ella desea por lo menos, una tienda de cada uno de los grupos de ropa, productos no perecederos y varios, y por, lo menos, dos de la categoría de restaurantes; tampoco quiere más de dos tiendas del grupo de ropa. Además, la cantidad de tiendas del grupo de varios no debe exceder el total de las tiendas de los grupos de ropa y productos no perecederos, combinadas Formular el problema de Rodney como un problema de programación lineal con enteros.

14 Para un ejemplo de este tipo de problemas, véase BEAN, le, NOON, e E., G. 1., "Selecting Tenants in a Shopping Mall", Tille/faces, marzo-abril, 1988.

RYAN, 5. M. Y5ALTON,

Temas especiales de programación matemática

TABLA 4-11 Características de los posibles arrendatarios en el centro comercial Puyallup Mall

181

78maño de la tienda (en miles de pies cuadrados)

Renta anual (miles de dólares)

Valorpresente (miles de dólares)

Costo de construcción (miles de dólares)

1. Para hombres 2. Para mujeres 3. Variedades (ambos)

1.0 1.6 2.0

$4.4 6.1 8.3

$28.1 34.6 50.0

$24.6 32.0 41.4

Restaurantes 4. Delujo 5. Paraalmuerzos 6. Bar para cocteles 7. Heladería y dulcería

3.2 1.8 2.1 1.2

24.0 19.2 . 20.7

7.7

160.0 77.8 100.4 45.2

124.4 64.8 79.8 38.6

Productos no perecederos' 8. Ferretería 9. Cubiertería yvariedades 10. Maletas y cuero

2.4 1.6 2.0

19.4 11.7 15.2

80.2 51.4 62.5

66.8 45.1 54.3

Varios 11. 12. 13. 14. 15.

0.6 0.5 1.4 2.0 1.0

3.9 3.2 11.3 16.0 9.6

18.0 11.6 50.4 73.6 51.2

15.0 13.4 42.0 63.7 40.0

Tipo de tienda

Ropa

Agencia de viajes Tienda de tabaco Tienda de cámaras Juguetería Sala de belleza

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 4-3 a. Sea YI una variable binaria, con YI = 1 si la máquina de estampado se utiliza y Osi es de otro modo. Se agrega una restricción adicional K :5 200 YI ; y se agrega-800YI a la función objetivo. b. Sea Yz una variable binaria, donde Yz = 1 si se compran 1,000 unidades o más, y si es de otro modo. Sea R I la materia prima comprada a un precio de US$0.25, y R z las unidades de materia prima comprada a US$0.20. Se adicionan las siguientes restricciones: MP UTILIZADA :5 fJ..I + Rz; y Rz :5 MYz, donde M es un número muy grande. Adicionar a la función objetivo: -0.25R I - 0.20R z. La restricción R I :5 1,000 (1 - Yz) también podría adicionarse, pero no es necesario. c. Sea K1 el número de unidades KARMA vendidas a US$lOO, Kz el número vendido a US$150 y K 3 el número vendido a US$120. Sea 2 1 una variable binaria con valor de 1 si se producen 20 unidades o menos; Zz también es una variable binaria con valor de 1 si la producción está entre 20 y 70 unidades; y 2 3 es una variable binaria con valor de 1 si la producción supera las 70 unidades. Nuevas restricciones: K= K1 + Kz + K3; K1 :5 20Z 1; K2 :5 50Zz; K3 :5 130Z3; K I :2: 20Zz; K2 :2: 50Z 3 ; y Zl :2: Z2 y Z2 :2: Z3 (En realidad, la

°

4-2 SeanXI aXs variables cero/uno que tienen el valor de 1 si se financia el proyecto, y el valor de O, en caso contrario. Entonces:

+ 10X2 + 80X3 + 50X4 + 20Xs + 5X6 + 80X7 + 100XS Sujeta a: 80XI + 15Xz + 120X3 + 65X4 + 20Xs + 10X6 + 60X7 + 100XS :5 320 (Restricción de Maximizar: 40XI

fondos); X 7 + X s :5 1 (no ambos proyectos G y H); X 4 :5 Xl (no el proyecto D a menos que el proyecto A se haga).

La solución requiere la financiación de A, e, E y H. El valor total es de 240 unidades, y se utiliza la totalidad de los fondos de US$320,000. El modelo Solver de Excel y la solución se muestran en la figura 4-14.

última restricción no es necesaria). Adicióflár á

la función objetivo: 100KI

+ 150K2 + 120K3·

182

Análisis cuantitativo d. Sea WI una variable binaria que toma el valor de 1 si se asume la campaña para los ANZA, y Osi es de otro modo; de manera similar, Wz = 1 si se realiza la campaña para los BOZO. Luego, se adicionan las siguientes restricciones: A :::; 100 + 50WI ; B :::; 120 + 50Wz; WI + Wz :::; 1. Adicionar a la función objetivo: -5,000WI -

c. Minimizar 5UI

E3

+ 10E I - 5Uz + 15Ez + U3 -

d. Véase la representación en la figura 4-15 e. (1) UI = El = E z = E3 = O; Uz = 5; U3 = 41.7; Función objetivo = 16.7 (2) El = Uz = E z = E 3 = O; U1 = 8.3; U3 = 22.3; Función objetivo = 63.6 (3)E I = Uz = U3 = O; UI = 20;Ez = 7;E 3 = 5; Función objetivo = 200 (4)E I = Uz = E z = E3 = O; UI = 28.75; U3 = 12.5; Función objetivo = 156.3 La alternativa 1 es la más baja. Este plan está por debajo de la meta de utilidad en US$41.7, pero tiene un valor de US$25 por devolver cinco unidades de materia prima.

5,000Wz·

4·4 a. Xl = unidades del producto A; X z = unidades del producto B; 2XI :::; 30 (mano de obra no calificada); 4XI + 5Xz : :; 100 (tiempo de maquinado) b. Trabajo calificado: Xl + 5Xz + UI - El = 75 Materia prima: 5XI + 4Xz + Uz - Ez = 100 Utilidad: 15XI + lOXz + U3 - E3 = 300

FIGURA 4-14 Solución Solver para el problema 4-2

A

8

e

Objetivo: valor

A 40

o

E

B

C

D

10

80

ro

1

H

I

E

F

20

5

G 80

100

J

K

H

4

Valor total

5

Decisión (financiar/no)

6 7 8

Costo

9

1

O

1

O

1

O

O

1

80

15

120

65

20

10

00

100

320

:5

320

1

1

1

:::;

1

-1

:::;

O

240

Restricciones: No ambas G&H No Da menos que se halla A

-1

1

10 11

Ecuaciones:

12

Celda

Ecuación

13

J7

=SUMPRODUCT(B7:17, $B$5:$1$5)

14

J8

=SUMPRODUCT(B8:18, $B$5:$1$5)

15

J9

=SUMPRODUCT(B9:19, $B$5:$1$5)

16

L5

=SUMPRODUCT(B3:13, $B$5:$1$5)

17 18

L

Proyectos

2

3

G

F

Valores de la caja Parámetros de Solver

19

L5

20

Celda objetivo (maximizar)

21

Celdas cambiantes:

85:15

22

Restricciones:

J7:J9 :::; L7:L9

23

85:15:::; 1

24

85:15:2: O

25

85:15 entero

Temas especiales de programación matemática

FIGURA 4·15

183

X, 25

Tiempo de maquinado

eta de mano de obra calificada

20

«

(X,

o

=15, X2 =8)

TI

:J

"O

o

o..

15 I-...----~~~----'r------------

Mano de obra no calificada

ID "O

en

(X1 = 15, X2 =6.25)

ID

"O

ro

:2 e

10

(X, = 8.33, X2 = 13.33) Meta de utilidad

~

5

Meta de materia prima

O '-------'------'-------...------'..........- - - - - - - > X2 O 5 10 15 20 25 Unidades de producto B

v~

)j

V< ~;

'/

'.. ;v

[;

R t'.,~ .

5 Introducción a probabilidad

190

.'.

;'; 2)

= 1 - peS ::;; 2) = 1 - 0.60 = 0.40

Dada la función de masa de probabilidad, puede obtenerse la función de masa acumulada y variaciones como P (S 2':2) o P(2 ::;; S ::;; 4).

,

TABLA 5·9 Ejemplo de función de masa de probabilidad

Introducción a la probabilidad

203

P(S =5)

5

O 1

0.00 0.20

2

0.40

3

0.30

4

0.10 1.00

TABLAS-lO Ejemplo de función de masa acumulada

5

P(S =5)

P(S:5 5)

O

0.00

0.00

1

0.20

0.20

2

0.40

0.60

3

0.30

0.90

4

0.10

1.00

FIGURA 5-7 Diagrama de función de masa de probabilidad y de función de masa acumulada

1.0

1.0 0.9 0.8 0.5

""O

0.4 ""O

al ~

0.3

al

0.2

:.o

al ~

0.4

o...

.Q

0.1

I

O 2

3

0.2

0.2

0.1

1

0.4

2 o...

0.2

.Q

2

:.oal

0.3

0.6

0.6

s

I

O

4

s 2

Función de masa de probabilidad = s)

3

4

Función de masa acumulada ~ s)

peS

pes

FUNCIONES DE DISTRIBUCiÓN ACUMULADA Las funciones de distribución acumulada están asociadas con funciones de densidad de probabilidad continua, de la misma forma que las funciones de masa acumulada están asociadas con las funciones de masa de probabilidad discreta. La función de distribución acumulada debe ilustrarse utilizando una distribución de probabilidad rectangular o uniforme (remitirse a la figura 5-8). Si S está entre a y b (a :s; S :s; b), entonces el valor de la función de densidad de probabilidad es l/(b - a), y cero si es de otro modo. Si se suma el área que está bajo la función de densidad de probabilidad, entonces:

f(S)

= b

~a

204

Análisis cuantitativo

FIGURA 5-8 Función de densidad de probabilidad f(S)= -

a :5

((S)

~

1

feS) = O de otro modo

~ ~

((S\)= b a if a S b

b -a' S :5 b;

Área = 1,

o(b-a)= 1 ] [ _1_ b-a

es deciy

1

b-a

a

b

b-a

FIGURA 5-9 Función de distribución acumulada F(S) para

F(S)

1 F(S)= - -

F(S) = S - a si a ~ S ~ b ; F(S) =1 si S> b

b-a

~

b-a 1

------------------------.~-------------

en el rango desde a hasta S para cada valor de S, se obtiene la distribución acumulada, F(S). Se utiliza JO para representar la función de densidad de probabilidad y FO para representar la función de distribución acumulada del tipo "menor que o igual a" (véase figura 5-9).

El valor esperado de una variable aleatoria El valor esperado o la expectativa de una variable aleatoria es la suma de los valores de la variable aleatoria ponderada por la probabilidad de que la variable aleatoria tome ese valor. Por consiguiente, el valor esperado es la media o valor promedio ponderado. Considerar el ejemplo de la tabla 5-11. En este caso, 28.10 es la demanda esperada o media. Esto se escribe como: E(X)

= 28.10

El valor esperado se calcula, como en la tabla 5-11, ponderando cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad, y luego sumándolos. La fórmula matemática de la media es: n

E(X) =

L X¡P(X¡) ¡=\

(5-5)

Introducción a la probabilidad

TABLAS-U Cálculo del valor esperado

Valores de la variable aleatoria, X (demanda futura)

205

Probabilidad Probabilidad de la demanda de P(X) ponderada X¡P(X)

X1 = 25 unidades X2 = 26 unidades X3 = 27 unidades X4 =28 unidades X5 = 29 unidades X6 = 30 unidades

P(X1) = 0.05

1.25

P(X2) = 0.10

2.60

P(X3) = 0.15

4.05

P(X4) = 0.30

8.40

P(X5) = 0.20

5.80

P(X6) = 0.10

6.00

1.00

E(X) = 28.10

Xi es el iésimo valor de la variable aleatoria; P(Xi) es la probabilidad del valor 11

iésimo, y

:¿ es el símbolo que representa la sumatoria de todos los artículos para i

¡=¡

= 1 hasta i = n, inclusive. El símbolo ¿ se lee como "sigma". En el ejemplo, n = 6 debido a que hay seis posibles valores de la variable aleatoria. Por tanto: 6

E(X)

=

:¿ X¡P(X¡) = X¡P(X¡) + X P(X 2

2)

+ ... + X6P(X6 )

¡~¡

Sustituyendo los valores específicos: 6

E(X) =

:¿ X¡P(X¡) = 25(0.05) + 26(0.10) + 27(0.15) + 28(0.30) i=¡

+ 29(0.20) + 30(0.20)

= 28.10 El cálculo del valor esperado de una variable aleatoria continua requiere del uso de matemáticas más sofisticadas (cálculo)3. Sin embargo, el valor esperado tie.ne la misma interpretación que para la variable discreta.

La varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria Con frecuencia se quiere saber cómo se dispersan los valores de la variable aleatoria sobre la media. La varianza y la desviación estándar proporcionan medidas de esta dispersión. La varianza es la suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable aleatoria respecto a su media, ponderada por la probabilidad de desviación. El enunciado matemático es el siguiente: 11

Var(X)

= L [X¡.- E(X)fp(x¡)

(5-6)

i=¡

E(X) es la media; Xi el valor iésimo de la variable aleatoria; y P(Xi), su probabilidad. Puede verse que cuanto más grande es la dispersión de todos los Xi para i = 1

3 El valor esperado de la variable aleatoria X con función de distribución de probabilidad ¡(X) es:

E(X) = ( X . f(X)dX. ltodox

206

Análisis cuantitativo

TABLA 5·12 Cálculo de la varianza

Probabilidad, p(X¡)

Desviación cuadrática de la media de 28.1 [Xi - E(X)]2

Desviación cuadrática ponderada por la probabilidad [Xi - E(X)]2 P(X¡)

X1 =25

0.05

(25 - 28.1)2 = 9.61

0.4805

X2 = 26

0.10

(26 - 28.1)2 = 4.41

0.4410

X3 =27

0.15

(27 - 28.1)2 = 1.21

0.1815

X4 = 28 Xs = 29 X6 = 30

0.30

(28 - 28.1)2 = 0.01

0.0030

0.20

(29 - 28.1)2 = 0.81

0.1620

0.20

(30 - 28.1)2 = 3.61

0.7220

Valor de la variable aleatoria, X¡

1.00 Var(X)

= [~ (Xi -

1.9900 28.1)2P(X)¡]

= 1.9900

hasta i = n inclusive, tanto mayores son los valores de [Xi - E(..X)]2 Ymayor es la vananza. La tabla 5-12 muestra el cálculo de la varianza para la demanda de la variable aleatoria del ejemplo de la tabla 5-11. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza; en el ejemplo, la desviación estándar es '\/l.99., o aproximadamente 1.41. La desviación estándar suele designarse con la letra a (una sigma minúscula) y, con frecuencia, la varianza se escribe como a2 . En las funciones de Excel = VARIANZA. La varianza de una variable aleatoria continua tiene la misma interpretación que en la discreta, aunque la fórmula matemática sea más compleja e involucre el cálculo4. Ejemplo Este ejemplo muestra cómo se obtiene información sobre una variable aleatoria utilizando las reglas de probabilidad antes desarrolladas. Suponer que se intenta vender un producto a dos clientes. Para Big Stores, se calcula que se tiene 20% de oportunidad de vender 200 cajas, 40% de oportunidad de vender 100 cajas, y 40% de oportunidad de no vender nada. Para Little Markets, se calcula que se tiene 40% de oportunidad de obtener un pedido de 100 cajas y 60% de no vender nada. Además, las ventas a los dos mercados son dependientes; si Big Stores compra 200 cajas, y50% de oportunidad de que Little haga un pedido de 100 cajas (y, por supuesto, 50% de no obtener ningún pedido). Si Big Stores no compra ninguna caja, entonces las oportunidades de que Little tampoco ordene son de 50-50. Si hay interés en la variable aleatoria X, el total de ventas a ambos clientes, hay que desarrollar la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria. Para ello, hay que iniciar con la figura 5-10, de probabilidad conjunta, e incluir la información con que se cuenta. Las probabilidades globales de ventas de 200, 100 YOcajas a Big Stores se muestran a lo largo de la margen inferior de la figura 5-10 De igual forma, las 4 La varianza dc una variable aleatoria X con función de distribución de probabilidad f(X) es: (J'2

= Var(X) = (

Jtodox

[X - E(X)ff(X)dx

= E[X -

E(X)]

Introducción a la probabilidad

FIGURAS-lO

207

Ventas a Big Stores (cajas) Ventas a Little Markets (cajas)

100

200

100

O

¡;Y:

0.1

0.4

uv:

O

Probabilidad marginal

Probabilidad marginal

0.2

0.4

0.2

0.6

0.4

1.0

probabilidades marginales de ventas a Little Markets aparecen en la columna de la derecha. También se sabe que P(ventas a Little = 100 Iventas a Big = 200) = 0.5. Esta probabilidad condicional se muestra en la esquina superior de la casilla superior izquierda. También se sabe queP(ventas a Little = OIventas a Big = O) = 0.5, lo que se muestra de manera similar en la esquina superior de la casilla inferior derecha de la figura 5-10. Si se utiliza: P(AB) = peA IB)P(B)

puede calcularse la probabilidad conjunta: P(Little

= 100 YBig = 200) = P (Little = 100 IBig = 200) • P(Big = 200) = (0.5)(0.2) = 0.1

De manera semejante, P(Little

= OYBig = O) = P(Little = OIBig = O)

• P(Big

= O)

= (0.5)(0.4) = 0.2

Estas probabilidades conjuntas se muestran en las correspondientes casillas de la figura 5-10. Ahora es posible llenar el resto de la figura 5-10 utilizando el hecho de que los .totales de las probabilidades conjuntas en cualquier fila o columna deben ser igual a las probabilidades marginales. El cálculo completo aparece en la figura 5-11.

FIGURAS-U

Ventas a Big Stores (cajas) Ventas a Little Markets (cajas)

100 O

200

100

O

o~300 o~ 200

Probabilidad marginal

0.2~ 100

0.4

0.2~ O.~ 200 O~ 100

0.6

Probabilidad

marginal

0.2

DA

004

1.0

208

Análisis cuantitativo

Las esquinas inferiores del lado derecho de las casillas de la figura 5-11 contienen los valores para la variable aleatoria X, el total de ventas, igual a la suma de las ventas a Big Stores y Little Markets. La distribución de probabilidad para X aparece en las columnas 1 y 2 de la tabla 5-13. El cálculo del valor esperado de esta distribución se muestra en la columna (3) de la tabla 5-13. Es decir, E(X) = 120 cajas. La varianza para las ventas totales también se calcula; ver las columnas (4) Y(5): Jiár(X) = 7,600. Distribuciones multivariadas de probabilidad

Una distribución multivariada de probabilidad es una función que expresa las probabilidades conjuntas para dos o más variables aleatorias. Esto es similar para las tablas de probabilidad conjunta ya estudiadas en este capítulo (véase tabla 5-3, por ejemplo). Considerar el caso de dos variables aleatorias X y Y. El valor esperado [E(X) y E(Y)] Ylas varianzas [Jiár(X) y Jiár(Y)] para las variables, individualmente, son muy semejantes a las que se definieron antes. Sin embargo, hay una medida de variabilidad adicional denominada covarianza, la cual mide el grado hasta donde dos variables tienden a estar relacionadas. La covarianza es: Cov(X,Y)

= E[(X - E(X)) . (Y-

E (Y))]

Como ejemplo, considerar la distribución conjunta de la estatura ypeso de los individuos (sea X la estatura y Y el peso). Las covarianza mide el grado hasta donde existe relación entre estatura y peso. Por lo general, debido a que las personas más altas tienden a pesar más que el promedio, y las personas bajas pesan menos que el promedio, la covarianza es positiva. Si el término de covarianza es negativo, indica que los valores altos de una variable tienden a estar asociados con los valores bajos de la otra y viceversa. Por ejemplo, considerar la distribución conjunta del ingreso familiar promedio y la tasa de criminalidad en diversas zonas de una ciudad. Generalmente, las zonas con ingresos familiares promedio más altos tienden a tener menos tasas de criminalidad, y las áreas con ingresos menores tienen tasas de criminalidad más altas. La covarianza en este caso es negativa. Si dos vmiables son independientes la covmianza es cero. Una medida relacionada con el grado de relación entre dos variables es el coeficiente de correlación, definido como: Cov(X,Y) p

TABLA 5-13 Distribución de probabilidad para el total de ventas

I

= -ycv.:=ar=(X:===)='=:=v.:=ar=='y( ::=')

(1)

(2)

(3)

Cajas vendidas X¡

Probabilidad p(X¡)

X¡p(X¡)

O 10 200 300

0.2 0.5 0.2 0.1

O 50 40 30

1.0

E(X) =120

-

(4) Desviación cuadrática de la media de 120 [Xi - E(X)]2 (O (100 (200 (300

-120)2 -120)2 -120)2 -120)

(5) Desviación cuadrática ponderada por la probabilidad [X¡- E(X)]2p(X¡)

= 14,400 = 400 = 6,400 = 32,400

2,880 200 1,280 3,240

--

Va~X)

=7,600

Introducción a la probabilidad

209

El coeficiente de correlación puede tomar valores de + 1, si las dos variables están perfectamente (linealmente) relacionadas de manera positiva, de -1 si están perfectamente relacionadas de manera negativa, o de O si son independientes, y valores intermedios según el grado de asociación de las variables. Las distribuciones multivariadas generales pueden involucrar un diverso número de variables. La covarianza y el coeficiente de correlación pueden definirse de la manera antes mencionada para cualquier par de variables.

SUMAS DE VARIABLES ALEATORIAS La expectativa de la suma de variables aleatorias es la suma de las expectativas de dichas variables aleatorias. Por consiguiente, la media de la variable aleatoria (X + Y +Z) es: E(X +Y +Z)

= E(X) + E(Y) + E(Z)

La varianza de una suma de variables aleatorias involucra la suma de las varianzas y covarianzas, así: Para dos variables X y Y: J/ar (X +Y) = J/ar (X) + J/ar (Y) Para tres variables, X, Y Y Z, la varianza de la suma es:

Vár(X + Y + Z)

+ 2Cov (X,Y)

= Vár(X) + Var(Y) + Vár(Z) + 2Cov(X;Y) + 2Cov(X;Z)

+ 2Cov(Y,Z) El patrón para más de tres variables es similar. Si las tres variables son independientes, los términos de covarianza en las fórmulas anteriores son cero. Es decir, la valianza de una suma de variables aleatorias es la suma de las valianzas, si las valiables son independientes. De manera que para variables independientes:

Vár (X+ Y+Z)

= Var(X) + Var(Y) + Vár(Z) siX; Y,Z son independientes

Una constante multiplica una variable aleatoria La expectativa de una constante (e) multiplicada por una variable aleatoria es la constante multiplicada por la expectativa de la variable aleatoria. Es decir:

E(cX)

= cE(X)

La varianza de una constante multiplicada por una variable aleatoria es la constante al cuadrado multiplicada por la varianza de la variable aleatoria. Es decir:

Vár( eX)

= c2Var(X)

Finalmente, si existe una variable aleatoria X multiplicada por una constante e, y una segunda variable aleatoria Y multiplicada por una constante d; entonces, la varianza de la suma de estos términos está dada por:

Var(cX) + dY)

= c2Var(X) + d2Var(Y) + 2cdCov(X;Y)

Ejemplo Una aplicación específica de la teoría de las sumas de variables aleatorias puede hacerse en finanzas. Suponer que se considera invertir una suma de dinero,

US$100.000, en acciones de dos empresas posibles, Moon Computers y fickle Pickle Company. El rendimiento que puede tener cada una durante el próximo año pue-

210

Análisis cuantitativo

de considerarse como una variable aleatoria. Con base en datos históricos, según el criterio personal, se calcula el valor esperado y la varianza del rendimiento para cada acción. Para Moon Computers, se espera un rendimiento de 0.12 (es decir, 12%) Yuna varianza sobre el rendimiento para esa acción de 0.008. Para Ficle Pickle, el valor de rendimiento que se espera es 0.10 (es decir, 10%) Yla varianza sobre el rendimiento es de 0.003. Además, se calculó que la covarianza entre los rendimientos de las dos acciones es de -0.0006. Existe una leve tendencia a que los rendimientos estén inversamente relacionados. Se está considerando invertir en cualquiera o en ambas de estas acciones. Para tener un rendimiento alto sobre el dinero, Moon Computers parece ser mejor, ya que el rendimiento esperado es de 12%, contra 10% de Fickle Pickle. De otro lado, la varianza es una medida de la variabilidad del rendimiento y por tanto una medida de riesgo, y Moon Computers tiene la varianza más alta (0.008 contra 0.003 de Fickle Pickle). De manera que se necesitará hacer un intercambio del rendimiento esperado y del riesgo. Si se considera un portafolio o mezcla de estas acciones, el rendimiento sobre éste también es una variable aleatoria y se da mediante la siguiente expresión: Rendimiento del portafolio

= Z = eX + (1 - e)Y

donde X es la variable aleatoria para el rendimiento de Moon Computers Yes la variable aleatoria para el rendimiento de Fickle Pickle Z es la variable aleatoria para el rendimiento del portafolio e es una constante que representa la fracción de los US$100,000 invertidos en Moon Computers (1- e) es también una constante que representa la fracción restante, la cual se invierte en Fickle Pickle. El valor esperado y la varianza para el rendimiento del portafolio puede calcularse a partir de las fórmulas anteriores para las sumas de variables aleatorias:

+ (1- e)E(Y)

Rendimiento esperado del portafolio

= E(Z) = eE(X)

Varianza del rendimiento del portafolio

= Vár(Z) = e2Vár(X) + (1 e)2 Vár(Y) + 2c(1-e)Cov(X,Y)

La tabla 5-14 muestra los resultados de estos cálculos para las diferentes mezclas del portafolio que oscilan entre 100% de Moon Computers y 100% de Fickle Pickle. De hecho, cuando la cartera de Moon Computers, es 100% el valor esperado y la varianza para el rendimiento son exactamente los mismos que para esa acción. De forma semejante, cuando es 100% de Fickle Pickle (es decir, 0% en Moon Computers en la tabla 5-13), el valor esperado y la varianza son las de Fickle Pickle. Sin embargo, al considerar una cartera de 50% de cada una, el rendimiento esperado se encuentra en la mitad de los dos rendimientos por separado. No obstante, la varianza en ese caso, un valor de 0.0024, es menor que el valor de un portafolio exclusivo de Fickle Pickle. Es decir, el portafolio combinado pudo reducir el riesgo (la varianza) incluso por debajo de la acción menos riesgosa y obtener un mejor rendimiento esperado. Ésta es una ilustración simple del beneficio de la diversificación del portafolio de inversión en finanzas. Este sencillo ejemplo consideró sólo dos acciones. Los portafolios de inver-

sión reales pueden tener muchas acciones e incluso puedcn ser de fondos mutuos de acciones y bonos u otros activos. La idea es lograr el riesgo más bajo posible

Introducción a la probabilidad

211

para un rendimiento esperado o, como alternativa, lograr un rendimiento tan alto como sea posible para un riesgo fijo.

Otro ejemplo En el ejemplo que se utilizó anteriormente sobre las ventas a dos tiendas, Little Markets y Big Stores, véase la figura 5-11, la cual contenía las probabilidades conjuntas para las variables aleatorias en ventas a Big Stores (variableB) y Little Markets (variableL). Considerar la variable aleatoria X, que representa el total de ventas: X =B + L. En ese ejemplo, el valor esperado y la varianza se calcularon numerando todas las posibilidades. Para ese mismo ejemplo, calcular el valor esperado y la varianza para la variable X; utilizando las fórmulas para sumas de variables aleatorias. Primero, el valor esperado y la varianza para cada variable se calcula como aparece en las tablas 5-15 y 5-16. Además, la covarianza se calcula en la tabla 5-17. El valor esperado de la variable aleatoria X es la suma de los valores esperados: E(X) = E(B)

+ E(L)

= 80

+ 40 = 120

La varianza de la variable aleatoria X es; Vár(X) = Var(B) + Var(L) + 2Cov(B,L) = 5,600 + 2,400 +2(-200) = 7,600

Los resultados son los mismos que se calcularon antes.

Fracción del portafolio en Moon Computers

TABLA 5-14

Valor de

TABLA 5-15 Cálculo de la media y de la varianza para Big Stores

e

1.0

0.75

0.50

0.25

0.0

Rendimiento esperado del portafolio

0.120

0.115

0.110

0.105

0.100

Varianza del rendimiento del portafolio

0.0080

0.0045

0.0024

0.0020

0.0030

Ventas a Big Stores

Probabilidad

B¡

p(B¡)

O

0.4

100

0.4

200

0.2

B¡.P(B¡) O

40 . 40

[B¡- E(B¡)]2

[B¡-E(B¡)]2 P(B¡)

6,400

2,560

400

160

14,400

2,880 Va~B)

E(B) = 80

TABLA 5-16 Cálculo de la media y de la varianza para Little Markets

Ventas a Little Markets

Probabilidad

L¡

p(L¡)

O

0.6

100

0.4

= 5,600

L¡P(L¡) O

40

E(L) = 40

1,600

960

3,600

1,440 Vél~L) = 2,400

212

Análisis cuantitativo

TABLA 5-17 Cálculo de la covarianza de ventas

.

Ventas a Litt/e Markets

Ventas a Big Stores

Probabilidad Conjunta

L¡

Bj

p(L¡,Bj)

O

O O

[L¡- E(L¡)] [Bj - E(B)1

p(L¡,B) [L¡-E(L¡)] [BrE(B)1

100 200

0.2 0.3 0.1

(-40)(-80) =3,200 (-40)(20) = -800 (-40)(120) =

640 240 -4,800

O 100 200

0.2 0.1 0.1

(60)(-80) =-4,800 (60)(20) = 1,200 (60)(120) = 7,200

-960 120 720

O

-480 100 100 100

-

Cov(L,B) = -200

RESUMEN Una variable aleatoria agrega un valor numérico a varios resultados de un proceso aleatorio. Las probabilidades para las variables aleatorias pueden mostrarse en una distribución de probabilidad. El valor esperado es el promedio ponderado de los valores de una variable aleatoria, siendo los ponderados las probabilidades de que ocurra. La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión de una variable aleatoria. Una distribución de probabilidad multivariada expresa las probabilidades conjuntas para dos o más variables aleatorias. La covarianza es una medida del grado de relación de dos variables. El valor esperado de una suma de variables aleatorias es la suma de los valores esperados. La varianza de una suma de variables aleatorias es la suma de las varianzas, si las variables son independientes. De otro modo, la varianza de la suma también debe incluir la suma de las covarianzas multiplicada por dos.

EL PROCESO DE BERNOULLI y LA DISTRIBUCiÓN BINOMIAL Un proceso de Bernoulli puede describirse de la siguiente manera: 1. Los resultados de cada prueba en el proceso se caracterizan como uno de dos

tipos de resultados posibles, así: a. Éxito, fracaso. b. Sí, no c. Caras, cruces d. Cero, uno 2. La probabilidad de que el resultado de cualquier prueba sea estable y no cambie a lo largo del proceso. Por ejemplo, la probabilidad de obtener cara, dado que es una moneda perfectamente diseñada, es de 0.50 y no cambia, sin tener en cuenta el número de veces que se lance la moneda. 3 El resultado de cualquier prueba es independiente del resultado de pruebas anteriores. En otras palabras, la historia pasada del proceso no cambia la probabilidad asignada a la siguiente prueba. En el ejemplo de la moneda, se asigna una probabilidad de 0.50 a que salga cara en el siguiente lanzamiento, inclusive si ha salido cara en los últimos 10 lanzamientos (se supone que la moneda está perfectamente diseñada).

4. El número de pruebas es discreto y puede representarse con un entero como 1,2,3 y así sucesivamente.

· Introducción a la probabilidad

213

Dado un proceso, puede saberse que es Bernoul1i, pero puede saberse o no la probabilidad de lo estable del proceso. Con una moneda perfectamente diseñada, puede saberse que el proceso es Bernoulli, con una probabilidad de 0.50 de tener éxito (obtener caras) y una probabilidad de 0.50 de fracasar (obtener cruces). Sin embargo, si una moneda está perfectamente diseñada, el proceso (lanzar la moneda) puede todavía ser Bernoulli, pero no se sabe la característica de probabilidad. Por consiguiente, puede tenerse un proceso de Bernoulli con una característica de probabilidad desconocida o conocida. Muchos procesos de negocios pueden caracterizarse como de Bernoulli para efectos analíticos, inclusive aunque no sean verdaderamente de Bernoulli en todo aspecto. Si el ajuste está lo suficientemente cerca, puede asumirse que el proceso Bernoulli es una caracterización razonable. A continuación se mostrarán algunos ejemplos. Ejemplo 1 Hay preocupación por un proceso de producción donde una parte (o producto) se produce en una máquina. Las partes pueden clasificarse como buenas o defectuosas, en cuyo caso, el proceso puede ser de Bernoulli. Si la máquina no está sometida a un desgaste rápido; es decir, si la configuración soportara un uso prolongado de las partes, la probabilidad de tener buenos productos puede ser bastante estable para que el proceso se califique como de Bernoulli. Si, por el contrario, salen más partes defectuosas amedida que se acerca el fin de su funcionamiento, el proceso no es de Bernoulli. En muchos procesos de este tipo, la presencia de partes buenas y defectuosas es suficientemente estable (no hay un patrón observable a través del tiempo) como para llamarlo de Bernoulli. La probabilidad de partes buenas y defectuosas puede permanecer estable durante un proceso de producción, pero puede variar de un proceso a otro (debido a la configuración de la máquina, por ejemplo). Aquí todavía podría considerarse el proceso como de Bernoulli, pero la probabilidad de tener éxito (o fracasar) cambiaría de un proceso a otro. Ejemplo 2 Un ejemplo diferente de un proceso de Bernoulli es una encuesta para determinar si los consumidores prefieren los jabones líquidos frente a los jabones en polvo. El resultado de la encuesta podría caracterizarse por respuestas de sí (éxito) o no (fracaso) a las preguntas formuladas. Si la muestra de consumidores se tomó de manera bastante aleatoria (sin patrón sobre la forma como ocurrieron las respuestas afirmativas y las respuestas negativas), Bernoulli (con una probabilidad desconocida) podría ser una descripción útil del proceso. Si la probabilidad de éxito en un proceso de Bernoulli es de 0.50, la probabilidad de fraéaso también es de 0.50, ya que las probabilidades de que el evento ocurra y no ocurra suman uno. Si la probabilidad de éxito es p, la probabilidad de un fracaso es (l-p).

LA DISTRIBUCiÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD Para responder a las preguntas de probabilidad sobre un proceso de Bernoulli, se necesita saber cuál es el parámetro de probabilidad del proceso, como el valor 0.50 en el ejemplo de la moneda perfectamente diseñada. Además, se necesita saber el número de pruebas que van a utilizarse. Por tanto, para analizar un proceso de Bernoul1i, se necesita saber la característica de probabilidad del proceso,p y el número de pruebas, n. Los símbolos y relaciones de la tabla 5-18 son de utilidad.

214

Análisis cuantitativo

TABLA 5-18 Relación o símbolo

Interpretación

p(R= rl p, n)

La probabilidad de que el número desconocido de éxitos, R (la variable aleatoria), sea igual a algún número específico, r (por ejemplo, 10), dado un número específico de pruebas, n (por ejemplo, 20) y alguna probabilidad específica, p, de un éxito en cada prueba.

p(R,3 r I p, n)

La probabilidad de que el número de éxitos sea mayor oigual a un número específico, r, dados los valores para p y n. Esto es lo que se denomina probabilidad acumulada. La tabla (en el apéndice del final del libro) contiene valores de probabilidades acumuladas. La probabilidad de que el número de éxitos sea mayor que un número específico. Esta desigualdad es excluyente; es decir:

e

P(R> 10)

p(R ~ r I p, n)

excluye 10, e incluye 11 y más.

p(R< rl p, n) p(R= 10) = P(R

La probabilidad de que el número de éxitos sea menor o igual a un número específico (por ejemplo, 10). La probabilidad de que el número de éxitos sea menor que un número específico. La probabilidad de exactamente 10 éxitos puede observarse en el apéndice de la tabla e restando dos probabilidades acumuladas. Si:

~

10) - p(R ~ 11)

P(R> 11)

p(R< 10) = 1- P(R

~

10)

p(R ~ 10) = 1- P(R ~ 11) p(R> 10) = P(R ~ 11)

se resta de P(R ~ 10), el resultado es la probabilidad de exactamente 10 éxitos. Debido a que las probabilidades suman 1, si la probabilidad de 10 o más éxitos se resta de 1, el resultado es la probabilidad de menos de 10 éxitos. Debido a que menor que oigual a 10 incluye 10, resta la probabilidad de 11 aciertos o más de 1. Para leer una desigualdad estricta del apéndice, tabla e, se adiciona 1 al número deseado. La expresión P(R> 10) excluye 10, de manera que esta probabilidad es la misma que P(R

~

11), que incluye 11 pero excluye 10.

LA FUNCiÓN BINOMIAL DE LA PROBABILIDAD Si las suposiciones del proceso de Bernoulli se satisfacen y si la probabilidad de un éxito en una prueba es p, entonces la distribución de la probabilidad del número de éxitos, R, en 17 pruebas, es una distribución binomial. La función de la distribución binomial de la probabilidad es: P(R\n, p) =

n! R!(n - R)!

pR(l - p)" - R

(5-7)

donde n. 1(llamada n-factorial) es igual a 17(17 - 1)(17 - 2) ... (2)(1) Y01 se define como igual a 1. Realizar los cómputos utilizando la ecuación 5-7 puede ser tedioso si el número de pruebas es grande. Por este motivo, se suministran las tablas de la distribución binomial acumulada al final del libro, en la tabla C. La tabla 5-17 ilustra una amplia gama de definiciones de probabilidad e indica cómo utilizar la tabla e del apéndice.

Probabilidades binomiales en hojas de cálculo Los programas de hojas de cálculo de Excel y Quattro tienen una función que puede utilizarse para evaluar las probabilidades binomiales en términos individuales y como probabilidades acumuladas. El formato de la función es:

= BINOMDIST (R, 17, PJ OÓ 1)

Introducción a la probabilidad

215

donde R es el número de éxitos, n es el número de pruebas, y p es la probabilidad de éxito en cada prueba. El último término es un cero o un un0 5; si se ingresa cero, se da el término binomial individual; si se utiliza uno, se da el valor acumulado, del tipo:::;. A manera de ejemplo, se quiere la probabilidad de exactamente tres éxitos en cinco pruebas, con una probabilidad de éxito de p = 0.4 - P(R = 31 n = 5, p = 0.4). Esto es:

= BINüMDIST (3, 5, 0.4, O), que es igual a 0.2304 Para la probabilidad de tres o menos éxitos en cinco pruebas, con p In = 5,p = 0.4).

= BINüMDIST

= 0.4 - P(R :::;3

(3,5,0.4,1); que es igual a 0.9130

Éste es el acumulado inverso que aparece en la tabla C. (La tabla e tiene valores mayores que o iguales a; la función de la hoja de cálculo tiene valores menores que o iguales a). Ejemplo 1 Se planea lanzar tres veces una moneda perfectamente diseñada y calcular las siguientes probabilidades: a. La probabilidad de tres caras en tres lanzamientos. b. La probabilidad de dos o más caras en tres lanzamientos. c. La probabilidad de menos de dos caras en tres lanzamientos.

En este ejemplo, en el proceso de Bernoulli,p es 0.50 y una cara constituye un éxito. El número de pruebas (n) es tres. La primera probabilidad es de tres caras (éxitos) en tres lanzamientos (tres pruebas), dado que la probabilidad de sacar una cara en cualquier lanzamiento es de 0.50. Esta probabilidad puede escribirse de la siguiente forma:

= 31p = 0.50, n = 3) = ? donde P = probabilidad, R = número de éxitos, n = número P(R

de pruebas y p = probabilidad de un éxito en cualquier prueba. El lado izquierdo de la ecuación debe leerse como la probabilidad de tres éxitos, dada una probabilidad del proceso de 0.50 y tres pruebas. Al responder las preguntas de probabilidad, primero se numeran todos los posibles resultados de las tres pruebas y se calculan las probabilidades (véase tabla 5-19). Probabilidades

• P(R =31 p =0.50,

Interpretación

n=3) =1/8 La probabilidad de sacar tres caras en tres pruebas es de un octavo. Es la probabilidad de

• P(R 2:

21 p =0.50, n=3) =4/8

CCC. Véase tabla 5-19.

La probabilidad de dos o más caras es de cuatro octavos. Es la probabilidad de dos caras más la probabilidad de tres caras y se calcula sumando las probabilidades de las siguientes combinaciones: CCC, CCCr, CCrC, CrCC.

• P(R < 21 p =0.50, n =3) =4/8 La probabilidad de menos de dos caras es la probabilidad de sacar una cara o ninguna y se calcula sumando las probabilidades de las siguientes combi· naciones: CrCrC, CrCCr, CCrCr, CrCrCr.

5

De manera más precisa, el cuarto término puede ser cualquier valor lógico, de manera que si se evalúa como falso, la función da el término binomial individual; y si Sé évalúa como verdadero, la función da el término acumulado.

216

Análisis cuantitativo

Las probabilidades anteriores también pueden calcularse utilizando la ecuación 5-7. Esto se ilustra para el problema a.

3'

P(R = 31p = 0.5, n = 3) = 31(~1) (0.5)3(0.5)0 = 0.1250

Finalmente, también pueden obtenerse probabilidades del apéndice, tabla C, o de la función BINOMDIST de la hoja de cálculo. Explicación

Cálculos

• p(R = 31 p = 0.50, n= 3) = 0.1250

Consultar el apéndice, tabla C, bajo

n= 3, p = 0.50; leer la columna hacia abajo hasta p(R;::: 3) = 0.1250

y restar:

P(R;::: 4) = O (cuatro éxitos en tres pruebas es imposible). La respuesta es 0.1250, o un octavo. De manera alterna, utilizar la función de la hoja de cálculo: = BINOMDIST (3,3,0.5,0) =0.125

• P(R ;::: 21 p = 0.50, n= 3) = 0.5000

Mirar la tabla C, bajo n = 3, P= 0.50, Yleer R;::: 2; la respuesta es 0.50. Para la versión de la hoja de cálculo, notar que:

p(R;::: 2\n = 3, P=0.5 = 1- P(R -:5 11 n = 3, P= 0.5) = 1-BINOMDIST (1,3,0.5,1) = 1-0.5 = 0.5 Si se quisiera p(R = 2), se calcularía como sigue: Menos P(R;::: 210.50, 3) = 0.5000 P(R;::: 310.50,3) = 0.1250

p(R = 210.50, 3) = 0.3750 En la hoja de cálculo, esto es: = BINOMDIST (2, 3, 0.5, O) = 0.375

• P(R < 21 p = 0.50, n =3) = 0.5000

Esta probabilidad es igual a: 1- P(R ;::: 2) = 1- 0.50 = 0.50

Ejemplo 2 A un lote muy grande de productos manufacturados va a tomárseles una muestra para revisar su calidad 6. Se asume que 10% de los artículos del lote son defectuosos y que se tomó una muestra de 20 artículos del lote. ¿Cuáles son las siguientes probabilidades?: 1. La probabilidad de que haya exactamente cero artículos defectuosos en la prueba.

6 Para ser estrictos, si el lote es de tamaño finito, los elementos de la muestra no son independientes y, por tanto, los supuestos de Bernoulli no se satisfacen con exactitud; debe emplearse una distribución diferente

denominada distribución hipe/geométrica. Sin embargo, si el tamaño del lote es grandv Gomparado con vi dv la muestra, el uso de la suposición de Bernoulli introduce sólo un pequeño error.

Introducción a la probabilidad

TABLA 5-19

Posibles Resultados

217

Probabilidad de cada resultado

CCC CCCr CCrC CrCC CrCrC CrCCr CCrCr CrCrCr

1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1

2. La probabilidad de que más de un artículo salga defectuoso en la prueba.La probabilidad de que menos de dos artículos defectuosos salgan en la prueba. 3. La Puede responderse como sigue. Sean p

P(R

= 0.10 Y11 = 20. Entonces:

= OIp = 0.10,11 = 20) = P(R 2: O) -P(R 2: 1) = 1.0 - 0.8784 = 0.1216

La probabilidad de que cero o más artículos salgan defectuosos es 1.0, y P(R 2: 1) se lee directamente de la tabla C. • P(R > 1) = P(R 2: 2) = 0.6083 de la tabla C. • P(R < 2) = 1.0 - P(R 2: 2) = 1.0 - 0.6083 = 0.3917

RESUMEN Un proceso de Bernoulli implica un número específico de pruebas, cada una de las cuales tiene dos posibles resultados: la probabilidad de que cada resultado siga siendo el mismo, que las pruebas sean independientes. Una distribución de probabilidad binomial da las probabilidades para cada número de éxitos posibles en un determinado número de pruebas de un proceso de Bernoulli. Las probabilidades binomiales pueden determinarse usando la tabla e, en el apéndice o mediante la función BINOMDIST en una hoja de cálculo.

LA DISTRIBUCiÓN NORMAL DE LA PROBABILIDAD La distribución normal, algunas veces denominada distribución o campana de Gauss, es de extrema importancia. Matemáticamente es más fácil de manejar que muchas otras distribuciones y es una buena aproximación para varias de las otras. En muchos casos, la distribución normal es una aproximación razonable en una distribución de la probabilidad anterior para efectos de decisiones de negocios; en los capítulos siguientes se utilizará la distribución normal en muchas de las aplicaciones. A pesar de sus aplicaciones generales, no debe asumirse que todos los procesos pueden describirse como si tuvieran una distribución normal. La distribución normal tiene una función de densidad de la probabilidad que es una curva suave, simétrica, continua, en forma de campana, como se aprecia en la gráfica 5-12. El área que está bajo la curva sobre cualquier intervalo en el

218

Análisis cuantitativo

eje horizontal representa la probabilidad de una variable aleatoria, X, que toma un valor en dicho intervalo. Al igual que la función continua de densidad de probabilidad, el área bajo la curva suma 1. Una distribución normal está completamente determinada por su valor esperado o media (denotada por f1) Yla desviación estándar (a); es decir que una vez que se conoce la media y la desviación estándar, se establece la forma y ubicación de la distribución. La curva alcanza un máximo en la media de la distribución. La mitad del área queda en cualquiera de los lados de la media. Cuanto mayor sea el valor de s, la desviación estándar, tanto más se expande la curva7. Esto se ilustra en la figura 5-13. Con toda la distribución normal, aproximadamente 0.50 del área queda dentro de ±0.67 desviaciones estándar desde la media; cerca de 0.68 del área queda en ± 1.0 desviaciones estándar; y 0.95 del área queda con ± 1.96 desviaciones estándar. Véase la figura 5-14. Debido a que la función de probabilidad normal es continua (una función de densidad de probabilidad), la probabilidad no puede leerse directamente de las gráficas. Debe considerarse la probabilidad del valor de una variable aleatoria en un intervalo (véase figura 5-15). En la figura 5-15:

FIGURA 5-12

Función normal de densidad de probabilidad (1

Desviación estándar a

fl Media

FIGURA 5-13

7 La función de densidad de la probabilidad normal con los parámetros fJ, ya es:

Ji,N (x)

= _1_ e-(x- p.)'/2rr' u(21T) 112

-00

'

La función de distribución acumulada normal es: FN(x)

= f}(Y)dY

< x < 00

Introducción a la probabilidad

219

FIGURA 5-14

1-+---+1

I'

0.670, 50% de área sombreada

l'

10,

68% de área sombreada

1.960,

-\

95% de área sombreada

FIGURA 5-15

-2

P(- 2 ::; X ::; O) P(X 2: 2) P(O ::; X ::; 2)

o

2

x

= área sombreada A = área sombreada B = Área entre A y B (también igual al área sombreada A debido a la simetría de la curva normal)

COLAS DERECHA E IZQUIERDA El símbolo FN se utiliza para diferenciar una función de distribución acumulada de una distribución de probabilidad normal. Es el área que está debajo de la cola izquierda de una función de densidad de la probabilidad normal. En la figura 5-16, el área sombreada es la cola izquierda de una curva normal; es decir, FN(b)' FN(b) que es la probabilidad de que X sea igualo menor que b; es decir:

(5-8) Ahora, se presenta un nuevo símbolo, GN , el cual se define como el área que está bajo la cola derecha de una función de densidad de probabilidad normal. En la

220

Análisis cuantitativo

figura 5-16, el área no sombreada es el extremo derecho de una curva normal; es decir GN (b). GN (b) es la probabilidad de que X sea mayor que b; es decir:

GN(b)

= P(X > b)

En la figura 5-16 puede observarse que FN (b) YGN (b) están relacionadas 8:

GN(b)

= 1-FN (b)

(5-9)

debido a que, por definición, el área total bajo la función de densidad de la probabilidad suma 1.

FIGURA 5-16

FN(b) es el área sombreada

GN(b) es el área a la derecha de b

b

x

LA VARIABLE NORMAL ESTANDARIZADA Y LAS TABLAS DE PROBABILIDAD NORMAL Se dice que /l

= O(media de O) ya = 1 (desviación estándar de 1) es una distribu-

ción normal estándar. Si una distribución normal tiene una media diferente a Oo una desviación estándar distinta a 1, la distribución puede estandarizarse. La capacidad de estandarizar distribuciones normales es una de las características útiles de la distribución y permite buscar probabilidades normales en una tabla relativamente corta. Para estandarizar una variable aleatoria normal, una nueva variable normal estandarizada, Z, debe definirse de la siguiente manera: X-f.L z= ------

(5-10)

(J

donde X es la variable aleatoria normal no estandarizada, Il es la media de esta variable aleatoria y a es su desviación estándar. En la expresión anterior, Z es la distancia deX desde su media,/l, medida en unidades de desviaciones estándar. Por ejemplo, si Z = 4, entonces: X-f.L

4 =-----(J

8 Las relaciones matemáticas básicas pueden plantearse como:

y

Introducción a la probabilidad

221

de manera que: 4a=X-,u X=fl + 4a

Por consiguiente, Z = 4 corresponde a un valor de X que es cuatro desviaciones estándar más grande que su media. Como resultado de esta operación, Z es una variable estandarizada, aleatoria, distribuida normalmente, que tiene una media de O y una desviación estándar de 1. Debido a que se buscan las probabilidades en términos de Z y todas las Z tienen una media de Oy una desviación estándar de 1, sólo se necesita una tabla de p.robabilidades. La tabla A (del apéndice que se encuentra al final del texto) es una tabla de probabilidades normales acumuladas. Vale la pena anotar que en la ecuación 5-10, se transforma un valor de una distribución normal en un valor de distribución normal estándar. El valor transformado debe provenir de una distribución normal. Suponiendo que hay una variable aleatoria distribuida normalmente, X, con una media de,u = 8 Yuna desviación estándar de a =3, van a hallarse las siguientes probabilidades:

1. P(X:5 10). 2. P(X> 10). 3. pelO < X:5 15).

Ejemplo 1 Primero se estandariza la variable X para el valor X

Z=

X~J.L

10-8 3

2 3

-- = -- = - = (J

= 10:

0.67

Cuando se busca la probabilidad peZ :5 0.67) en la tabla A, el resultado es igual a 0.7486. La probabilidad de queX sea menor que 10 es de 0.7486. Notar queP (X:5 10) es lo mismo que P (X < 10), debido a que la probabilidad de ser exactamente 10 se define como cero si la distribución de probabilidad es continua.

Ejemplo 2 Del ejemplo 1, se sabe que paraX = 10, Z

P(X:5 10)

= 0.67 y:

= P (Z :5 0.67) = 0.7486

Entonces:

P(X> 10)

= l-P (X:5 10) = 0.2514

Si la probabilidad de que X sea menor que 10 es de 0.75, la probabilidad de que X sea mayor que 10 es de 0.25. En términos de áreas, si el área que está a la izquierda de 10 es 0.75, y el área total bajo la función de densidad es 1, entonces el área que está a la derecha de 10 es (1- 0.75), ó 0.25.

Ejemplo 3 Se quiere determinar el área e de la figura 5-17. El área e + D es P(X > 10). El área D es P(X > 15). El primer paso es saber que P(X > 10) = 0.2514, del ejemplo 2. Para calcular el área Do P(X > 15), el primer paso es calcular Z para un valor de X

= 15.

222

Análisis cuantitativo

FIGURAS-!7

8

10

15 - 8

15

x

7

Z = -3- = 3 = 2.33 En la tabla A (del apéndice que se encuentra al final del texto), se encuentra que:

peZ :::; 2.33)

=

0.99010

Ahora puede calcularse el área D:

P (X> 15)

= P (Z > 2.33) = 1 - P (Z :::; 2.33) = 1 - 0.99010 = 0.00990

La probabilidad de que X sea mayor que 10 y menor que 15 (o equivalente, siendo Z mayor que 0.67 y menor que 2.33) es el área e + D menos el área D:

P(lO < X :::; 15)

= P (X > 10) - P(X > 15) = peZ > 0.67) - P (Z > 2.33) = 0.2514-0.0099 = 0.2415

Probabilidades normales en hojas de cálculo La función NORMDIST de la hoja de cálculo de Excel y Quattro proporciona exactamente los mismos valores que aparecen en la tabla A del apéndice 9. Es decir, para cualquier valor del valor estandarizado de Z, proporciona la probabilidad normal acumulada del extremo izquierdo. Por ejemplo, para P (Z :::; 0.67), se utiliza:

= NORMSDIST (0.67) = 0.7486 RESUMEN Las distribuciones de la probabilidad discreta tienen variables aleatorias que toman sólo valores específicos. La variable aleatoria para las distribuciones continuas puede ser cualquier valor que esté dentro del rango. Para una distribución de probabilidad continua, la probabilidad está dada por un área que está bajo la función de densidad. 9 La función NORMSINV es el inverso que da el valor correspondiente a Z para una probabilidad acumula-

da. Las funciones NORMDIST y NORMINV también brindan probabilidades normales utilizando los valores de X, m y s.

,

Introducción a la probabilidad

223

La distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana que puede caracterizarse por su media y su desviación estándar. Las probabilidades normales se obtienen utilizando la variable normal estandarizada Z, la tablaA del apéndice o la función NORMDIST de la hoja de cálculo.

BIBLIOGRAFíA DRAKE, A. w., Fundamentals df Applied Probability TheOlY, New York: McGraw-Hill, 1967. DEVORE, J. L., Probability and Statistics for Engineel7ng and the Sáences, 2nd ed., Monterey, CA: Brooks/ Cale Publishing, 1987.

PITMAN, J., Probability, New York: Springer-Verlag, 1993. ROSS, S. M., A First Course in Probability, 4th ed., New York: Macmillan, 1994.

PROBLEMAS PRÁCTICOS10 5·1 Calcular las siguientes probabilidades, las cuales pertenecen al lanzamiento de una moneda tres veces: a. P (tres caras) b. P (dos o más caras en tres lanzamientos) c. P (una o más cruces en tres lanzamientos). d. P (el último lanzamiento es una cara). 5·2 Hay tres urnas:

I

6R

I I

8R

I I 4R I

~ ~ ~ No. 1

No.2

No. 3

Se saca una bola de la urna 1: si es roja, pasar a la urna 2; si es negra, pasar a la urna 3. a. ¿Cuál es P (roja en el segundo intento, dado que en el primero fue roja)? b. ¿Cuál es P (negra en el segundo intento, dado que fue roja en el primero)? c. ¿Cuáles P (roja en el segundo intento, dado que fue negra en el primero)? d. ¿Cuál es P (negra en el segundo intento, dado que fue negra en el primero)? e. ¿Cuáles P (negra en el segundo intento)? f Responder los literales a. hasta e., si la urna 3 es como sigue:

I 7R I ~ No. 3

5·3 Si una moneda defectuosa tiene 0.60 de probabilidad de sacar cruz y 0.40 de sacar cara, determinar lo siguiente: a En dos lanzamientos, la probabilidad de: 1. Dos caras 2. Dos cruces 3. Una cara 4. Una o más caras 5. Uno o más cruces 6. Una cruz o menos b. En tres lanzamientos, la probabilidad de: 1. Tres caras 2. Dos caras 3. Una cara 4. Una o más caras 5·4 Si una distribución normal tiene una media de 12 y una desviación estándar de 4, calcular lo siguiente: a. P(X ~ 15). b. P(X < 10) c. P(10 < X ::; 15). d. P(X> 17). e. P(15 < X $ 17). 5·5 Hallar las siguientes probabilidades utilizando las tablas binomiales. a. P(R = 41 0.50, 10) b. P(R > 4 0.50, 10) c. P(!? ~ 4 I 0.40, 8) d. P(R < 41 0.20, 10) e. P(R = O laJa, 10) f P(R ~ 5 I 0.60, 10) Paraf, ver la nota al final de la primera página de la tabla C del apéndice. 5·6 Dada una variable X distribuida normalmente con una media de 15 y una desviación estándar de 3, determinar el valor de x en cada caso.

la Las soluciones a estos problemas se encuentran al final del capítulo.

224

Análisis cuantitativo

P(X:5 X) = 0.8413. b. P(X > x) = 0.2946. c. P(X > x) = 0.02275.

a.

Evento

Probabilidad del evento

0.01 defectuoso 0.02 defectuoso 0.03 defectuoso 0.04 defectuoso 0.05 defectuoso 0.10 defectuoso 0.15 defectuoso

0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02

5-7 Treinta ejecutivos de cierta industria se encuentran clasificados por edad y por su cargo anterior, como se muestra en la siguiente tabla:

Edad Cargo anterior

Menos de 55 años

55 años ornás

4 1 4

14 5

Finanzas Marketing Otros

2

-

Total

21

9

Total 18 6 6

-

30

Si de este grupo se selecciona un ejecutivo al azar, entonces: ' a. ¿Cuál es la probabilidad de que el ejecutivo seleccionado sea menor de 55 años? ¿Qué tipo de probabilidad es ésta (marginal, condicional, conjunta)? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un ejecutivo seleccionado al azar tenga 55 años o más y que haya desempeñado un cargo anterior en marketing. ¿Qué tipo de probabilidad es ésta? c. Si se selecciona un ejecutivo y se establece que el cargo anterior era en finanzas, ¿cuál es la probabilidad de que el ejecutivo sea menor de 55 años? ¿Qué clase de probabilidad es ésta? d. ¿Son factores independientes para este grupo de ejecutivos la edad y el cargo anterior? 5-8 Las siguientes probabilidades se asignan a valores posibles de la fracción defectuosa en un proceso de manufactura. Calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria, fracción defectuosa.

1.00

5-9 La probabilidad de que un vendedor haga una venta de una casa seleccionada de manera aleatoria es de 0.1. Si el vendedor hace 20 visitas al día, determinar lo siguiente: a. La probabilidad de no hacer ninguna venta. b. La probabilidad de hacer una venta. c. La probabilidad de hacer cuatro o más ventas. d. La probabilidad de hacer más de cuatro ventas. e. La probabilidad de hacer cuatro ventas. 5-10 Remitir al ejemplo del capítulo que se relaciona con la figura 5-3. Suponer que sale cara en el primer lanzamiento. Calcular las probabilidades revisadas (a postel10l1) para la moneda perfectamente diseñada y para la moneda defectuosa. S-ll Se sabe que las ventas diarias de cierto producto tienen una distribución normal de 20 unidades por día, con una desviación estándar de 6 por día. a. ¿Cuál es la probabilidad de vender menos de 16 unidades en un día determinado? b. ¿Cuál es la probabilidad de vender entre 15 y 25 unidades en un día determinado? c. ¿Cuántas unidades tendrían que estar disponibles al comienzo de un día para tener menos de 10% de oportunidad de que se agotan?

PROBLEMAS 5-12 ¿Cuáles de las sigúientes distribuciones de frecuencia serían objetivas y cuáles subjetivas? a. Número de caras en 100,000 lanzamientos de una moneda perfectamente diseñada. b. Número de caras en los siguientes 100,000 lanzamientos de una moneda no probada. c. Número de años prósperos en los siguientes 10 años. d. Las ganancias de Ford Motor Company en los siguientes cinco años (número de años rentables y número de años de pérdidas). e. La probabilidad de sacar el nombre de un hombre, de manera aleatoria, del directorio de estudiantes de la Universidad de Comell. 5-13 Analizar los siguientes enunciados:

a. Existe un 1.5 de probabilidad de que el siguiente presidente sea

_

b. La probabilidad de que el sol no salga mañana es -1.0. c. Existe 0.40 de probabilidad de aprobar el examen y 0.70 de no aprobarlo. 5-14 Analizar si los siguientes eventos son dependientes o independientes:

a. Los Gigantes ganarán la serie mundial. · Los Gigantes ganarán el banderín de la liga nacional. b. . El ahorro de utilizar una máquina en el año 2. · El ahorro de utilizar la misma máquina en el año 1. C. . El mercadeo exitoso de un auto de alto valor. · El marketing exitoso de una línea de ropa de bajo valor.

Introducción a la probabilidad

5-15 Considerar dos urnas:

Bolas rojas Bolas negras

225

5·22 Hay dos urnas:

Urna 1

Urna 2

7 3

6

I 6R I I 8R I

4

P(R1) = P de roja en el primer intento P(R2) = Pde roja en el segundo intento P(N1) = Pde negra en el primer intento P(N2) = Pde negra en el segundo intento

a. Tomar una bola de la urna 1, reemplazarla y lue-

go tomar una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de: 1. ¿sacar dos bolas rojas? 2. ¿sacar una bola roja en el segundo intento, si se saca una roja en el primero? 3. ¿sacar una bola roja en el segundo intento, si se saca una negra en el primero? b. Tomar una bola de la urna 1; reemplazar. Tomar una bola de la urna 2 si la primera bola fue negra; de lo contrario, sacar una bola de la urna 1. ¿Cuál es la probabilidad de: 1. ¿sacar dos bolas rojas? 2. ¿sacar una bola roja en el segundo intento, si en el primero se sacó una roja? 3. ¿sacar una bola roja en el segundo intento, si se sacó una negra en el primero? 5-16 Trazar un diagrama de árbol para el problema S-

~

~

NQ 1

NQ 2

Existe igual probabilidad de seleccionar cada urna. Se toma una urna, se saca una bola y ésta es roja. Se desea saber qué urna tiene, pero no puede mirarse dentro de ella. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya sacado la bola de la urna 1? ¿De la urna 2? b. Si la bola es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea de la urna 1?

5-23 Para la distribución de probabilidad de las ventas dadas a continuación, escribir las funciones de probabilidad requeridas:

Ventas (en unidades)

Probabilidad

0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02

1 2 3 4 5

10 15

1.00

ISa. 5·17 Trazar un diagrama de árbol para el problema 5ISb. 5·18 Preparar una tabla de probabilidad conjunta para el problema S-ISa. 5·19 Preparar una tabla de probabilidad conjunta para el problema S-ISb. 5-20 a. Cuál es la probabilidad de sacar ocho caras en ocho lanzamientos con una moneda perfectamente diseñada? b. Si una moneda perfectamente diseñada se lanza siete veces y en los siete lanzamientos se sacan caras, ¿cuál es la probabilidad de que en el octavo lanzamiento se saque otra cara? Explicar la respuesta. 5-21 Si en una caja hay seis bolas rojas y cuatro bolas negras. Se sacan dos bolas, una por una, sin remplazar la primera bola. Para este experimento: a. Dibujar un diagrama que muestre el proceso. b. Preparar una tabla de probabilidad conjunta. c. Calcular las siguientes probabilidades:

Funciones de probabilidad requeridas:

P (S

2:

s)

P (S> s) P (S < s) P (S $ s) 5-24 Calcular las siguientes probabilidades para una variable aleatoria distribuida normalmente, X a. Media O, desviación estándar 1:

P (X > 0.8)

P(X $ 0.8) P (X

2:

P (-0.8

-0.8) $

$

1.2)

P (X > 8) P (X

$

8)

P(Nzl NI)

P(X 2:-8)

P(Rzl B I )

P (-8

p(Rzl R 1)

X

b. Media 6, desviación estándar 2:

X

12) c. Media 6, desviación estándar 1: $

p (X '> 8) P (X $ 8)

$

226

Análisis cuantitativo

P (X ~ 4) P (4 ::; X ::; 12) 5-25 Encontrar el valor de las siguientes variables aleatorias distribuidas normalmente, dado cada grupo de condiciones: a. X es normal; media, O; desviación estándar, 1. P(X > x)

= 0.02068

¿Cuál esx? b. X es normal; media, 8; desviación estándar, 3. P(Z > z)

= 0.1587

¿Cuál es x? (Z y z son valores estandarizados de Xyx). c. X es normal; media, 8; desviación estándar 3.

P (Z ::; z) = 0.7224 ¿Cuál esx? d. X es normal; media, 8; desviación estándar, 3. P(Z > z)

= 0.2327

¿Cuál esx? 5-26 Se sabe que la demanda de un producto es distribuida normalmente con una media de 240 unidades por semana. ¿Cuántas unidades debe tener en existencia un minorista para asegurar 5% o menos de oportunidad de que se agote durante la semana? 5-27 En un examen de mitad de período, los puntajes se distribuyeron normalmente con una media de 72 y una desviación estándar de 10. El estudiante Wright clasificó dentro del mejor 10% de la clase en ese examen. a. Por lo menos, ¿de cuánto fue el puntaje del examen de Wright? b. El examen final también tuvo una distribución normal, pero con una.media de 150 y una desviación estándar de 15. Por lo menos, ¿cuál puntaje debería sacar Wright para mantener el mismo lugar de la clasificación, es decir, quedar dentro del 10% más alto? 5-28 Un financista desea invertir en uno de dos proyectos. Las utilidades para ambos proyectos son inciertas y

la distribución de la probabilidad para ellas puede expresarse mediante una distribución normal en cada caso. El proyecto A tiene una utilidad media de US$240,000 y una desviación estándar de US$20,000. El proyecto B tiene una utilidad media de US$250,000 y una desviación estándar de US$40,000. a. Considerar una utilidad de US$280,000. ¿Cuál proyecto tiene una mayor oportunidad de lograr esta utilidad o una más alta? b. Considerar una utilidad de $220,000. ¿Cuál proyecto tiene una mayor oportunidad de lograr esta utilidad o una más alta? 5-29 Se realizó un estudio entre los lectores de una revista determinada. Los resultados demostraron que 60% de ellos tienen casa propia e ingresos superiores a US$25,000 al año; 20% tienen casa propia, pero ingresos menores a US$25,000; 10% tienen ingresos superiores a US$25,000, pero no tienen casa propia; y el 10% restante no tienen casa propia ni ingresos superiores a US$25,000. . a. Si un lector de esta revista se selecciona de manera aleatoria y establece que esa persona tiene casa propia, ¿cuál es la probabilidad de que la persona tenga un ingreso superior a US$25,000? b. ¿Son independientes para este grupo los factores tener casa propia e ingresos, medidos en términos de superiores o inferiores a US$25,000? 5-30 Se realizó un estudio de familias de un área urbana y de un área suburbana de los alrededores. Las familias se clasificaron según la frecuencia con que sintonizan o no dos programas de televisión. Los datos aparecen en la tabla 5-20 con porcentajes del total. a. Si se selecciona una familia de este grupo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que vea ambos programas? b. Si la familia seleccionada ve el programa A, ¿cuál es la probabilidad de que también vea el programaB)? c. ¿Son independientes los eventos de ver el programa A y ver el programa B? d. ¿El evento ver el programa B es independiente del evento urbano? e. Considerar el evento ver el programa A o el programa B o ambos. ¿Este evento es independiente del evento urbano?

TABLA 5-20 Ven programa A Si Ven programa B Si No

Total

No

Urbana

Suburbana

Urbana

Suburbana

Total

10% 15

14% 21

5% 20

1% 14

30%

25%

35%

25%

15"10

100%

70

Introducción a la probabilidad

5-31 Un gerente de ventas numera las siguientes probabilidades para varios niveles de ventas de un nuevo producto:

Ventas Probabilidad

(en unidades)

0.10 0.30

50 100

0.30 0.15 0.10

150 200 250

0.05

300

Calcular la media, la varianza y la desviación estándar para las variables aleatorias de ventas. (Ayuda: una forma de facilitar los cálculos es manejar bloques de 50 como una unidad. Así, 200 son cuatro, 250 son cinco, etcétera). 5-32 Un gerente está preparando un plan para su división para el próximo año. La utilidad (U) se cataloga como una función lineal de ventas unitarias (X) y costos fijos (Y), de la siguiente forma:

U = US$20X- y El gerente no está seguro de las ventas unitarias y los costos fijos, pero está dispuesto a representarlas como variables aleatorias independientes con valores esperados y desviaciones estándar, así:

E(X) = 10.000 unidades E(Y)

= 150,000 dólares

ax

= 2,000 unidades

ay

= 50,000 dólares

¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar de la variable aleatoria U?

5-33 Especificar cuáles de los siguientes son procesos de Bernoulli:

a. Un vendedor puerta a puerta que hace visitas de ventas.

b. Colocar monedas en una máquina tragamonedas que tiene dos opciones: cero o todo el acumulado. c. Compra de acciones ordinarias. d. Inspección de una bobina de alambre para buscar defectos a medida que se fabrica. e. Inspección de moldes a medida que salen de la línea de producción. Explicar brevemente las respuestas. 5·34 Un avión de una aerolínea proyecta transportar 14 pasajeros. La empresa permite que 16 reserven el vuelo. La experiencia histórica ha demostrado que existe 30% de posibilidad de que un pasajero no se presente. ¿Cuál es la probabilidad de que una o más personas queden por fuera del vuelo si se confirmaron 16 reservas? 5·35 Bruce Jones presentó solicitudes a cinco colegios que califican la aceptación del candidato de la siguiente

227

forma: probable, posible, O improbable. Los anteriores resultados señalan las siguientes probabilidades para cada colegio: Probable: 0.98 de probabilidad de ser aceptado Posible: 0.30 de probabilidad de ser aceptado Improbable: 0.005 de probabilidad de ser aceptado. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Bruce sea aceptado en uno o más colegios? (Suponer que son independientes). b. ¿Cuál es la probabilidad de que Bruce sea aceptado por los cinco colegios? 5·36 Un contador está próximo a auditar 24 cuentas de una empresa, 16 de las cuales tienen alto volumen de clientes. Si el contador selecciona de forma aleatoria cuatro de las cuentas, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una cuenta sea de alto volumen? Ayuda: primero hay que encontrar la probabilidad de que ninguna de las cuentas seleccionadas sea de alto volumen. 5-37 Dos equipos de atletismo se han enfrentado diez veces; el equipo Big Red ha ganado seis de las diez competencias. Se considera que la experiencia anterior es un indicio de los resultados futuros. Ahora los dos equipos van a jugar en un torneo eliminatorio. Suponer que el resultado de cada partido es independiente de los otros. a. Si los equipos juegan un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane? b. Si los equipos juegan dos partidos de los tres de la serie, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane? c. Si los equipos juegan cuatro de siete juegos, ¿cuál es la probabilidad de que Big Red gane? 5-38 El presidente de una gran empresa eléctrica tiene que decidir entre comprar un generador grande (Big Jim) o cuatro generadores pequeños (Little Arnies) para lograr una cantidad determinada de la capacidad de generación eléctrica. La probabilidad de que un generador esté en servicio cualquier día de verano es de 0.95 (los generadores son igualmente confiables). De igual forma, existe 0.05 de probabilidad de una falla. a. ¿Cuál es la probabilidad de que Big Jim esté fuera de servicio en un día dado? b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno o uno de los Little Arnies se dañe? c. Si se compran cinco Little Arnies, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos operen cuatro? d. Si se compran seis Little Arnies, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos cuatro operen? 5-39 Se lanza una moneda hasta sacar cuatro veces cara. ¿Cuál es la probabilidad de que se hagan exactamente siete lanzamientos para obtener cuatro caras? Ayuda: el séptimo lanzamiento debe ser una cara, y tres de los primeros seis lanzamientos deben ser cara para obtener la condición requerida. 5-40 Con frecuencia, los artículos de prensa citan el hecho de que cada año, un pequeño porcentaje (10%) de los conductores son responsables de todos los

228

Análisis cuantitativo

TABLA 5-21

Segundo año

Primer año

Probabilidad margina del evento Ningún accidente en el primer año

Accidente

Accidente

0.10

No acCidente

0.90

Probabilidad marginal del evento en el segundo año

accidentes automovilísticos. A menudo se concluye que si se pudiera retirarse de las calles a esos conductores propensos a tener accidentes, se reduciría drásticamente el número de personas de esta índole. La información habla de 100,000 conductores que estuvieron involucrados en uno o más accidentes en un año, 11,000 de ellos volvieron a estar involucrados en uno O más accidentes el año siguiente. a. Dada la información anterior, completar las entradas en una tabla de probabilidad conjunta en la tabla 5-21. b. ¿Buscar a los conductores propensos a tener accidentes automovilísticos es una forma efectiva de reducirlos? ¿Por qué?

0.10

0.90

1.00

5-41 Este problema de probabilidad clásico es similar al del rompecabezas de Monty Hall. Tres prisioneros de la época medieval (Joval, Reginald y Mordrid) están en la cárcel. El rey decreta que uno de ellos, seleccionado aleatoriamente, sea ejecutado a la mañana siguiente. Uno de los prisioneros, Joval, tiene una charla amistosa con el guardia y descubre que él sabe quién va a ser ejecutado y le suplica que le diga si va a ser él. El guardia responde que ha jurado no decirlo. Finalmente, después de tanto implorar, le dice, -"No puedo decirte quién va a ser ejecutado, pero te diré que Reginald no va a ser ejecutado". Joval, muy preocupado por la noticia, se da cuenta de que tiene ahora una de dos oportunidades para ser ejecutado, mientras que antes era una de tres. mi cálculo de probabilidad de Joval era correcto?

PROBLEMAS ESPECIALES 5-42 El comisionado de seguridad para una ciudad determinada realizó un estudio sobre la mortalidad de los peatones en las intersecciones. Observó que sólo 6 de 19 correspondían a peatones que estaban cruzando la intersección sin tener cuidado de la señal del semáforo, mientras que los 13 restantes estaban cruzando en la señal correcta. Estaba confundido porque las cifras parecían indicar que era dos veces más seguro cruzar contra la señal que con ella. ¿Cuál es la explicación a esta aparente contradicción? 5·43 Suponer que está disponible una prueba para detectar la drogadicción, cuya precisión es de 95% en cada sentido, es decir que si la persona es adicta, existe 95% de probabilidad de que la prueba indique Sí; si la persona no es adicta, entonces 95% de las veces la prueba indicará "no". Suponga que se conoce que la incidencia de drogadicción en poblaciones urbanas es de aproximadamente 1 de cada 1.000, dado un resultado positivo (si) de la prueba; ¿cuál es la posibilidad de que la persona a la que se le está practicando la prueba sea adicta? 5-44 Se lanzó un satélite para recolectar datos sobre las

condiciones atmosféricas en un planeta distante. El satélite contiene dos celdas de energía y se calcula

que cada una tiene 90% de oportunidad de funcionar de forma correcta. Las celdas se encuentran ubicadas en partes diferentes del satélite, de manera que no es probable que la falla de cualquiera de las celdas se relacione con la otra (es decir, son independientes). Existen dos instrumentos de medición en el satélite, principal y de respaldo. Debido a que se ubicaron al mismo tiempo, la confiabilidad de estos instrumentos no se considera independiente. Las probabilidades de falla a éxito se presentan de la siguiente manera:

~ de respaldo

Instrumentos principales Acierto Falla

Acierto

Falla

0.6 0.1

0.2 0.1

Introducción a la probabilidad

El instrumento primario requiere sólo una celda de energía para funcionar, pero el de respaldo necesita de ambas celdas para operar. Si cualquiera de los instrumentos funciona, la misión del satélite es un éxito. ¿Cuál es la probabilidad de una misión exitosa? 5-45 Éste es el problema clásico de probabilidad. Se recomienda poner a prueba la intuición antes de resolverlo de forma sistemática. Hay tres cajas y cada una tiene dos cajones. Una caja tiene dos monedas de oro, otra tiene dos de plata y la tercera tiene una de oro y otra de plata. Se selecciona una caja aleatoriamente, y se abre uno de los dos cajones. Se aprecia una moneda de oro.

¿Cuál es la probabilidad de abrir el segundo cajón de la misma caja yver una moneda de oro? 5-46 Se fijan dos apuestas diferentes. En una, hay 50 bolas rojas y 50 negras en una jarra, y debe seleccionarse sólo una bola de manera aleatoria. El premio se recibe si se adivina el color de la bola que se saque. En la segunda apuesta, hay una cantidad desconocida de bolas rojas y de bolas negras en una jarra, y hay que adivinar el color de la bola que se sacará para obtener el mismo premio. Wn cuál apuesta conviene usted participar? ¿Por qué? 5·47 Un restaurante tiene puestos para 100 personas. Recientemente, el propietario decidió obsequiar una torta a la persona que cumpliera años y ese día estuviera cenando en el restaurante. Sip = 1/365 = 0.003 Y n = 100, el propietario encontró la siguiente entrada en una tabla binomial extensa: P(R 2: 6

In = 100, P = 0.01 ) = 0.0005

El propietario sentía que debido a que su p era menor que 0.01, esta probabilidad debería ser un límite superior sobre la probabilidad de que se solicitaran seis o más tortas de cumpleaños cada noche. Por consiguiente, ordenó cinco tortas cada noche. Después de 10 noches, se habían agotado las tortas en tres oportunidades ¿Qué salió mal en el análisis? 5-48 Acme Company tiene dos bodegas ubicadas en ciudades diferentes. La demanda del producto es independiente en cada distrito. Sin embargo, ambas bodegas tienen distribuciones de probabilidad idénticas para la demanda, de la siguiente manera:

Suponer que cada bodega normalmente guarda en existencia dos unidades. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la demanda en una de las bodegas (no en ambas) supere las existencias? b. ¿Cuál es la probabilidad de que a ambas bodegas se les agoten las existencias? 5-49 Volver al problema 5-48. Suponer que Acme Company fusionó las dos bodegas en una sola que abastece a las dos ciudades. La bodega fusionada tendría cuatro unidades de existencias. a. Determinar la distribución de la probabilidad de demanda en la bodega fusionada. b. ¿Cuál es la probabilidad de que a la bodega fusionada se le agoten las existencias y le falte una unidad? Comparar estas respuestas con las obtenidas en el problema 5-48. 5-50 El profesor Smully¡m describe una isla cuyos habitantes son caballeros o truhanes ll . Los caballeros nunca mienten, y los truhanes nunca dicen la verdad. Se sabe que 80% de los habitantes (caballeros y truhanes) están a favor de elegir al profesor Smullyan como rey de la isla. La isla está compuesta por 60% de caballeros y 40% de truhanes, pero no puede decirse cuál es cuál. Si se toma una muestra de 10 habitantes al azar y se pregunta: "Wstá a favor de Smullyan como rey?" ¿Cuál es la probabilidad de obtener seis o más respuestas afirmativas? 5-51 Se descubrió que cuando se presenta un daño en un sistema eléctrico, existe la probabilidad de que las siguientes partes causen el daño como se indica a continuación:

Parte

A B

e

D

Probabilidad

o

0.10 0.50 0.30 0.10

1 2

3

1.00

Probabilidad de causar daño

0040 0.10 0.30 0.20 1.00

a. Si cada una de las partes puede revisarse con igual rapidez, ¿en qué orden deberían revisarse? ¿Por qué? b. Ahora, si que el tiempo para revisar las partes es el siguiente (las partes deben revisarse una por una):

Parte Demanda (unidades)

229

A B

e

D

Tiempo para revisar (horas) 2 1 3/4 1/3

11 SMULLYAN, Raymond, Wlwf ís fhe Name (Jf Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1978.

T/¡is Book,

230

Análisis cuantitativo

Bajo estas condiciones, ¿en qué orden deberían revisarse las partes si el daño debe encontrarse en el menor tiempo posible? ¿Por qué? S-52 Hay interés en el precio de las papas para el próximo año. Tres factores afectan el precio: el número de acres plantados con trigo, el número de acres plantados con papas y las condiciones climáticas. Una combinación de una gran cantidad de acres sembrados con papas y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de US$2 por quintal. Un número mediano de acres y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de US$4. Un número pequeño de acres y condiciones climáticas favorables harán que el precio sea de US$6 por quintal. El clima desfavorable aumentará el precio en cada caso en US$2 por quintal. La posibilidad de tener clima favorable se calcula en 0.8 y en 0.2 de tener clima desfavorable. El clima es independiente del número de acres plantados. El número total de acres plantados depende, en cierta medida, del número de acres plantados con trigo. Con base en la experiencia pasada, la probabilidad de plantar gran cantidad de trigo, se calcula en 30%, y en 70% la de plantar poco. Si existe una plantación grande de trigo, la probabilidad de plantar un gran número de acres con papa es cero; la probabilidad de sembrar un número mediano de acres es de 2/3 y la probabilidad de sembrar un número pequeño es de 1/3. Si se plantan pocos acres de trigo, las probabilidades de plantar papa en un número de acres grande, mediano y pequeño son de 2/7, 3/7 Y 2/7, respectivamente. Considerar el precio de las papas como la variable aleatoria. Determinar la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria. ¿Cuál es el precio esperado? S-53 A John McEnroe se le conoce por su furor durante un juego de tenis. Un estadístico anotó que el jugador ganó más puntos de los que perdió, justo después de que se enojaba. De este hecho se concluye que John se beneficiaba de sus explosiones. Evaluar la conclusión. 5_54 12 Hay 15 taxis azules y 85 taxis verdes. Un testigo reportó que un taxi azul causó un accidente y luego escapó. Sin embargo, existen pruebas de que los testigos se equivocan 20% de las veces (y están en lo cierto 80% de las veces). ¿Cuál es la probabilidad de que el taxi fuera azul? S-SS Un examen de mitad de período tenía dos preguntas; la primera valía 60 puntos y la segurida 40. El instructor anunció que la distribución de puntajes sobre cada pregunta se distribuye normalmente, con las siguientes medias y desviaciones estándar:

Pregunta

Media

Desviación estándar

1 2

40 30

10 5

12 Esta

Sin embargo, aparte de indicar que los puntajes totales serían distribuidos normalmente, el instructor no proporcionó información adicional acerca de los puntajes totales. a. ¿Cuál es el puntaje medio (valor esperado) para el examen total? b. Dada sólo la información anterior, ¿puede calcularse la varianza o la desviación estándar para los puntajes globales? ¿Qué suposición adicional podría hacerse para lograrlo? ¿Sería una suposición razonable en este caso? c. El instructor también anunció que la correlación entre puntajes entre la primera y la segunda pregunta era de 0.60. Calcular la varianza y la desviación estándar para los puntajes totales. d. Frente a un puntaje de 85, ¿qué porcentaje de la clase obtuvo un puntaje menor que ese? S-56 Se planea invertir una partida de US$100.000 en tres fondos mutuos. El fondo internacional invierte en una variedad de acciones internacionales. El fondo de acciones de EE.UD. invierte en acciones estadounidenses, y el fondo de bonos de EE.UU. invierte en bonos corporativos de alto rendimiento. Con base en la experiencia pasada, se calcula que los rendimientos esperados, las varianzas y las covarianzas para estos fondos son los siguientes: Fondo

Rendimiento Esperado (%)

Internacional Acciones de EE.UU. Bonos de EE.UU.

10% 12 7

La matriz de varianza/covarianza es:

Internacional Internacional Acciones de EE.UU. Bonos de EE.UU.

Acciones EE.UU.

Bonos de EE.UU.

0.0090 -0.00114 0.000323

0.0036 -0.000102

0.0003

Los valores que se encuentran sobre la diagonal son las varianzas. Es decir, 0.0090 es la varianza de los rendimientos para el fondo de acciones internacional. Las covarianzas son los elementos que están fuera de la diagonal. Por ejemplo, la covarianza entre los rendimientos del fondo internacional y los del fondo de acciones de EE.UD. es de -0.00114. Se están considerando dos opciones: a. Invertir 20% del portafolio en el fondo internacional, 60% en el fondo de acciones de EE.UD. y 20% en el fondo de bonos de EE.UD. b. Invertir 50% en el fondo internacional y 25% en cada uno de los fondos de acciones y de bonos. ¿Cuál de estas opciones es mejor? ¿Por qué?

pregunta se basa en SALOP, S.c., "Evaluating Uncertain Evidence with Sir Thomas Bayes: A Note for Teachers", The ¡oumal of Economics Perspectives, Summer 1987, pp. 155-59.

.'

Introducción a la probabilidad

231

SOLUCIÓN A LOSPROBLEMAS PRÁCTICOS 5·1 Los posibles resultados son: (los resultados son independientes). CrCC CCC 1/8 1/8 CrCrC CCCr 1/8 1/8 CrCCr CCrCr 1/8 1/8 CrCrCr CCrC 1/8 1LS Total=8/8 = 1 a. P (tres caras) = 1/8 ÓP (tres caras) = P(C) P(C) . P(C) =1/2·1/2· 1/2 = 1/8. b. P( dos o más caras) CCC 1/8 CCCr 1/8 CCrC 1/8 CrCC 1LS 1/2 CCCr c. P(una o más cruces) 1/8 CCrCr 1/8 CCrC 1/8 CrCC 1/8 CrCrC 1/8 CrCCr 1/8 CrCrCr 1LS 7/8 ó 1-P(CCC) = 1-1/8 = 7/8 d. P(el último lanzamiento es una cara): CCC 1/8 cCrc 1/8 CrCC 1/8

~

1 2 5 5

1

NI)' P(B I )

1 5

6R

I--_--:...;R_---'~I

8R

IN 2

~

0

N

¡7R

I

L:J N°3

6R l--_--:...;R__~18R I N 2 4N

1 3 - 5 5

=

+ P(N 2

- _.-+-.-=-

4N

1/2 Nota: debido a que los resultados son independientes, éste P(caras) en un lanzamiento de una moneda perfectamente diseñada, es Yí. 5·2.-........-----------~

N°1

P(N 2 1 R I ) . P(R I )

N° 1

1LS

CrO'C

e. P(negra en el segundo)

0

B

14R I

lj

a. P(roja en el segundo eroja en el primero) = 8/10 = 4/5 b. P(negra en el segundo Iroja en el primero) = 2/ 10 = 1/5 c. P(roja en el segundo Inegra en el primero) = 7/10 d. P(negra en el segundo Inegra en el primero) = 3/10 e. P(B 2) = P(B 2/R 1)·P(B 1) + P(B 2/B I ) . P(B I ) 1 3 3 2 = = - . - + - . - = .24 5 5 10 5 En el primer ejemplo, el evento condicionador no era importante porque las proporciones de bolas rojas y negras en las urnas 2 y 3 eran las mismas. Por consiguiente, existe independencia. En el segundo caso, las proporciones no son las mismas, de manera que el evento condicionador es importante. 5·3 a. n = 2P(caras) = O.4P(cruces) = 0.6 1. P(2 caras) = 0.16 2. P(2 cruces) = 0.36 3. P(l cara) = 0.48 4. P(lcara) + P(2 caras) = 0.48 + 0.16 = 0.64 5. P(l cruz) = 0.48 P (1 cruz) + P(2 cruces) = 0.48 + 0.36 = 0.84 6. P(R :51) = 1-P(R > 1) = 1-0.36 = 0.64 Una partición del evento, en dos lanzamientos es:

N°3

Probabilidad

a. P( roj a en el segundo Iroj a en el primero) = 8/10 =

4/

b. P(negra en el segundo Iroja en el primero) 10 = 1/5 c. P (roja en el segundo Inegra en el primero)

= 2/ = 4/

p(1 cara) = 0.48 p(2 caras) = 0.16 P(2 cruces) = 0.36 1.00

5

d. P(negra en el segundo Inegra en el primero) = 1/5

b. n = 3

ó

CC = CCr =' CrC = CrCr,=

0.16 0.24 0.24 0.36 1.00

232

'Análisis cuantitativo

.1. P(3 caras) = 0.064 2. P (2 caras) = 0.288 3. P(l cara) = 0.432 4. 0.064 + 0.288 + 0.432 = 0.784 5-4 a. Z = (15 - 12)/4 = -0.50; P(Z ~ -0.75) = 1 0.7734 = 0.2266 b. Z = (10 - 24)/4 = -0.50;P(Z ~ -0.50) = P(Z~ 0.50) = 1 - 0.6915 = 0.3085 c. P(10 < X ~ 15) = 1-P(X < 10) -P(X ~ 15) = 1 - 0.3085 - 0.2266 = 0.4649 d. Z = (17 - 24)/4 = 1.25; P(Z > 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056 e. P(15 15)-P(X> 17) = 0.2266 - 0.1056 = 0.1210 5-5 a. P(R ~ 41 0.5, 10) = 0.8281 P(R ~ 5 10.5, 10) = 0.6230 P(R = 4 I 0.5, 10) = 0.8281 - 0.6230 = 0.2051 b. P(R > 41 0.5, 10) = P(R ~ 51 0.5, 10) = 0.6230 c. P(R ~ 4 I 0.4, 8) = 0.4059 d. P(R < 41 0.2, 10) = 1 - P(R ~ 41 0.2, 10) = 1 - 0.1209 = 0.8791 e. P(R = O I 0.3, 10) = 1 - P(R ~ 1 10.3, 10) = 1 - 0.9718 = 0.0282 f P(R ~ 5 I 0.6, 10) = 1 - P(R ~ 61 0.4, 10)= 1 - 0.1662 = 0.8338 5·6 a. De la tabla, P(Z ~ 1.0) = 0.8413; por tanto, x = 15 - (1)(3) =12 b. P(X > x) = 1-P(x ~ X)= 1- 0.2946 = 0.7054; P(Z ~ 0.54) = 0.7054; por tanto, x = 15 + (0.54)(3) = 16.62 c. P(X ~ x) = 1 - P(x ~ X) = 1 - 0.02275 = 0.97725 P(Z ~ 2.0) = 0.97725 de la Tabla A; por tanto x = 15 + 2(3) = 21.0 5·7 a. P(menor de 55) = 9/30 = 0.30 (Probabilidad simple o marginal).

b. P(55 o mayor, Marketing) = 5/30 = 0.167 (Probabilidad conjunta) c. P(menor de 55 IFinanzas) = 4/18 = 0.222 (Probabilidad condicional) d. No. Notar que P(menor de 55) no es igual a P(menor de 55 IFinanzas), lo cual sería necesario para la independencia. Generalmente, los ejecutivos de la categoría Otro son menores que sus contrapartes de finanzas y marketing. 5-8 Véase tabla 5-22. El valor esperado es 3.80. La varianza de la variable aleatoria es 5.360. La desviación estándar de la variable aleatoria es Y5.36 = 2.32. 5·9 a. P(R = OIp = 0.1, n = 20 = 0.1216 b. P(R = 1) = 0.2701 c. P(R ~ 4) = 0.1330 d. P(R > 4) = 0.0432 e. P(R = 4) = 0.0898 5-10 P( cara y Al) = (0.8)(0.5) = 0.40 P( cara y A z) = (0.2)(0.9) = 0.18 P(cara) = 0.58 P(A l Icara) = 0.40/0.58 = 0.690 P(A z Icara) = 0.18/0.58 = 0.310 5-11 Nota: no se hace ninguna corrección en los cálculos para el evento de que sólo podían venderse las unidades integrales. Con esta interpretación, sería apropiado escribir la probabilidad de ventas menor que 16 debido a que P(X ~ 15.5). a. P(X < 16) = P(Z < -2/3) = 0.2514 b. P(15 ~ X ~ 25) = P(-0.83 :s; Z ~ 0.83) = 0.7967 - 0.2033 = 0.5934 c. P(X ~ x) = 0.10. Resuelva para x. P(Z ~ z) = 0.10 para z = 1.28 x = 20 + 1.28(6) = 27.7 ó 28 unidades

,

TABLA 5-22

Valor de la variable aleatoria X/cantidad de piezas defectuosas)

1 2 3

4 5 10 15

P(X)P (evento)

0.10 0.15 0.20 0.30 0.20 0.03 0.02

-

1.00

X¡P(X)

0.10 0.30 0.60 1.20 1.00 0.30 0.30

-

3.80

Desviaciones cuadráticas de la media de 3.8; [X¡- E(X)]2

(-2.80)2 = 7.84 (-1.80j2 = 3.24 (-0.80)2 = 0.64 (0.20)2 = 0.04 ' (1.20)2 = 1.44 (6.20)2 = 38.44 (11.20)2 =125.44

LU!l;;;mw::

Desviaciones cuadráticas ponderadas por la probabilidad: P(X¡)' [X¡-E(X)]2

0.784 0.486 0.128 0.012 0.288 1.153 2.509

-5.360

Ejemplo motivador Inversión en un sistema de transmisión de alta potencia ,

OglethorpePower Corporation (OPC)esunaempresa de Georgiaquegenera y distribuyeenergía eléctrica a cooperativas de propiedad de los cOnsumidores 1. OPC supo que FloridaPoweiCorporation quería comprarle energía adicional (Florida; importa una. parte significativa de la energía que consume de Georgia, Alabama y Carolina del Sur y. La. transmisión. de la energía adicional requiere la construcción de una lí" nea de transmisión de 500 kilovoltios. La '·inversión necesaria es del orden de US$100 millones, con ahorros potenciales' (ingresoS, menos costos) cercanos' a US$20 millones por año. La decisión que enfrentala gerencia deOPC es la de establecer si debe construir o no esta línea de transmisión; en caso, afirmativO, saber si debe modernizar las instalaciones de transmisión asociadas y definirla forma de control sobre el sistema para negociar con FloridaPower.Había gran incertidumbre respecto a la inversión, en aspectos como costO de construcción de la línea de la situación

1

Este caso se basa en BORIJ'lSON,Adam, "0g1ethorpe Power eorporation Decides about Investing in a Major Transmission , System", Interfaces 25, no.2,(marzo~abril1995), pp, 25-36.

,

competencia en Florida, la demanda a largo plazo en ese Estado, la participación sobre la demandayelprecio pertinente para la energía. Todo esto tiene efectos significativos sobrela utilidad o rentabilidad de la inversión. La gerencia decidió hacer un análisis de decisión formal para este problema de decisión. Un equipo de análisis,illcluyendo consultores externos, trabajó con la alta gerencia para definir el problema mediante un diagrama de influencia y una gráfica del problema en un formato de árbol de. decisión., Las probabilidades para las variables inciertas se obtuvieron de grupos de la empresa, que tenían experiencia en esas áreas. El análisis del Valor Monetario esperado (VME) reveló la decisión óptima, pero también demostró que había un riesgo sustancialasociado con esa política. Un análisis calculaba el valor de la información acerca de los puntos de incertidumbre reveló que conseguir información sobre la situación competitiva, antes de tomarla decisión, podía tener un gran impacto, por lo que la empresa emprendió un estudió para hacerlo, que condujo a una estrategia que reducía sustancialmente el riesgo de la pOlítica óptima del VME: El análisis serealizó en un período de dos semanas '. e identificó' una estrategia bastante diferente, y mucho más significativa,dela que se habría puesto en práctica sin ese estudio.

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1

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i

En este capítulo se consideran los conceptos de aplicación de la probabilidad a las decisiones de negocios que deben tomarse bajo condiciones de incertidumbre. Se desarrollará un método para tomar decisiones consistentes y para estimar el costo de la incertidumbre. Inicialmente se propone el valor monetario esperado como un criterio apropiado para la toma de decisiones. Más adelante, describirán las limitaciones del valor monetario esperado y se sugerirán modificaciones en el análisis. También se tendrá la oportunidad de obtener información adicional y revisar las probabilidades antes de tomar las decisiones.

VALOR CONDICIONAL Un tendero se enfrenta al dilema de cuántas cajas de leche debe almacenar para surtir la demanda del día siguiente. Suponer que la cantidad de leche no vendida al final del día representa una pérdida completa para el tendero. Además, que la demanda no satisfecha no tendrá ningún costo, excepto el costo de la venta perdida pues el cliente no atendido regresará en el futuro. Este ejemplo está altamente simplificado, pero ilustra los principios básicos del valor condicional y del valor esperado. En el análisis del problema del tendero, es de utilidad saber algo acerca de las ventas anteriores, pues esta experiencia puede servir como guía de lo que podría esperarse en el futuro. Suponer que el tendero ha mantenido registros como los que aparecen en la tabla 6-1. Con un precio de compra (costo variable) de US$8 por caja y un precio de venta de US$10 por caja, la tabla de valores condicionales (tabla 6-2) es una descripción del problema que enfrenta el tendero. Las posibles decisiones (número de eajas que debe comprar) que debe tomar el tendero están en la parte superior de la tabla. De hecho, es posible comprar 24 ó 29 cajas, sin embargo, si en los últimos 200 días las ventas estuvieron entre 25 y 28 cajas, el tendero podría ver un inventario mayor que 28 o menor que 25 con cero probabilidad que ocurra. En este caso, se tomará este supuesto. Los eventos posibles (concebibles) en este ejemplo, las ventas posibles, aparecen en la columna de la izquierda. Si el tendero está dispuesto a asignar probabilidades de acuerdo con los datos históricos, entonces los eventos (ventas) diferentes de los que aparecen en la lista tendrán cero probabilidades; se consideran eventos imposibles.

236

Análisis cuantitativo

TABLA 6-1 Demanda histórica

Demanda total por día

Número de días registrado para cada Probabilidad nivel de demanda de cada evento

25 cajas

20

0.10

26 cajas

60

0.30

27 cajas

100

0.50

28 cajas

-1Q

0.10

200

1.00

La tabla 6-2 puede considerarse como una tabla de valor condicional o de utilidad condicional. Para cada acción que el tendero emprenda, y para cada evento que suceda, hay una utilidad condicional dada. Estas utilidades son condicionales en el sentido de que se obtiene una determinada utilidad luego de emprender un plan de acción específico (acción:) y de haber ocurrido una demanda específica (evento). Todas las combinaciones posibles se presentan en la tabla 6-2. Por ejemplo, si se acumularan 26 cajas y la demanda cambiara a 25 cajas, el tendero tendría una utilidad de US$42 (es decir, 25 . 10 - 26· 8). La mejor acción para cada evento posible se indica con un asterisco. Al observar la columna Inventario 27, se aprecian los cálculos de cada cifra en dólares. Esto se hace en la tabla 6-3. Para las acciones Inventario 25, Inventario 26 e Inventario 28 deben hacerse cálculos similares. Los cálculos de la tabla 6-3 reflejan el hecho que si se almacenan 27 cajas, sólo pueden venderse 27, inclusive si la demanda cambia a 28 cajas. Por esto, la utilidad alcanza un máximo de US$54 para la venta de 27 unidades e iguala esa cifra incluso si la demanda es de 28 unidades.

Acciones posibles

TABLA 6-2 Valores condicionales

Evento: demanda

Inventario

Inventario

Inventario

Inventario

25

26

27

28

$ 42

$ 34

$ 26

52*

44

36

25 cajas

$ 50*

26 cajas

50

27 cajas

50

52

54*

46

28 cajas

50

52

54

56*

* La mejor acción para el

evento (la utilidad más alta en cada fila)

:u:::za=w&ASX)..... ZJiaJ

TABLA 6-3 Utilidades condicionales de la acción Inventario 27

Evento: demanda

Precio de venta

Ingreso total

Costo de 27 cajas (27 US$8)

25 cajas

$10

$250

$216

Utilidad condicional de la acción Inventario 27 $34

26 cajas

10

260

216

44

27 cajas

10

270

216

54

28 cajas

10

270

216

54

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

237

LA TABLA DE PÉRDIDA Además de hacer una tabla que muestra las utilidades condicionales (tabla 6-2), es posible construir una que muestre los costos de oportunidad condicionales (tabla 6-4). Considerar la acción Inventario 28. Si la demanda cambia a 28, el tendero tendrá una utilidad de US$56, que es lo máximo que puede lograrse con esa demanda. Con una demanda de 28, si el tendero hubiere almacenado sólo 27, la utilidad habría sido de US$54; esta acción tendría un costo de oportunidad de US$2 comparada con la mejor acción en una demanda de 28. Si la demanda fuera de 28 y el tendero contara con 26, habría un costo de oportunidad condicional de US$4 (US$56 - US$52). En general, el costo de oportunidad puede definirse como la cantidad de utilidad perdida al no elegir la acción óptima para cada evento. Con esta definición, puede construirse la tabla de costo de oportunidad condicional que se muestra en la tabla 6-4. Debe hacerse énfasis en que una utilidad condicional (o pérdida) se relaciona con una condición de utilidad cuando: • Ocurre un evento • Se da una acción No se sabe cuál evento va a ocurrir; hay incertidumbre. Por consiguiente, la utilidad condicional para una decisión no es un número sino una tabla de utilidades (o pérdidas) asociadas con eventos posibles. La utilidad es de US$44 sólo con la condición de que se almacenen 27 unidades y se tenga una demanda real de 26 unidades. Si la demanda es diferente de 26 unidades, la utilidad real es diferente de US$44.

VALOR MONETARIO ESPERADO Aunque los valores y las pérdidas condicionales ayudan a precisar el problema que enfrenta el tendero, todavía no es posible ofrecer una solución óptima. El tendero podría elegir la mejor acción con el conocimiento anticipado de la demanda del día TABLA 6-4

Costos de oportunidad condicionales

Acción Evento: demanda 25 cajas 26 cajas 27 cajas 28 cajas

Inventario 25 $0 2 4 6

Inventario 26 $8

Inventario 27 $16

O 2

O

4

2

8

Inventario 28 $24 16 8 O

Cálculo de costos de oportunidad condicionales

Acción Utilidad de la óptima Evento: para acción demanda cada evento óptima 25 26 27 28

25 26 27 28

$50 52 54 56

Diferencia entre la utilidad de la acción óptima y la acción de almacenar

Inventario 25

Inventario 26

Inventario 27

Inventario 28

US$50 - US$50 = US$O US$50 - US$42 = US$8 US$50 - US$34 = US$16 US$50 - US$26 = US$24 5252 5252 36 = 16 50 = 2 44 = 8 2=0 545454 52 = 2 54 54 = O 46 = 8 50 = 4 56~ 56 54= 2 56 =O 5656 52= 4 50 = 6

238

Análisis cuantitativo

siguiente, pero esta información no está disponible en el ejemplo. El problema es asignar probabilidades a los posibles eventos y, entonces, analizar las posibilidades de la acción. Si las probabilidades se basan en información histórica (véase tabla 61), estarán en la tabla 6-5. Si el tendero cree que por alguna razón la demanda del día siguiente variará de alguna manera con respecto al patrón observado, la asignación de probabilidad debe modificarse. El siguiente paso es llevar las probabilidades asignadas al análisis. Esto se logra cuando se ponderan los valores condicionales de cada evento en la tabla de valor condicional, por la probabilidad del evento que va a ocurrir y se suman los productos. El número resultante es el valor monetario esperado corresponde al valor esperado en los análisis financieros de algunos países latinoamericanos (Nota del R.T.) para la acción; la acción óptima es la que tenga el valor monetario esperado más alto. Los cálculos se dan en la tabla 6-6 para las acciones de almacenar 26 y 27 unidades. Los cálculos para 25 y 28 unidades son similares. En la tabla 6-6, el VME se calcula al multiplicar cada valor condicional o por su probabilidad y sumar luego los valores condicionales ponderados. En la tabla 67 se presentan los valores monetarios esperados para las cuatro acciones. Para la acción Inventario 26, el tendero calcula un valor monetario esperado de US$51, el más alto VME. Por consiguiente, con base en el valor monetario esperado deben acumularse 26 cajas.

TABLA 6-5

Evento: demanda

Probabílídad del evento

25 cajas

0.10

26 cajas

0.30

27 cajas

0.50

28 cajas

0.10 1.00

TABLA 6-6 Cálculo de los valores monetarios esperados

Acción: inventario 26 Evento: demanda

Probabilidad del evento

Valor condicional (VC)

VC ponderado por probabílídad del evento

Acción inventario 27 Valor condicional (VC)

VC ponderado por probabilidad del evento

25 cajas

0.10

US$42

US$4.20

US$34

US$3.40

26 cajas

0.30

52

15.60

44

13.20

27 cajas

0.50

52

26.00

54

27.00

28 cajas

0.10

52

~

54

~

1.00

Valor monetario esperado

TABLA 6-7 Resumen de valores monetarios esperados

Acción

Inventario 25 .

Valor monetario esperado US$50

Inventario 26

51 (acción óptima)

Inventario 27

49

Inventario 28

42

US$51.00

US$49.00

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

239

Observar que el VME de US$51 no es la utilidad de un día cualquiera. Es la utilidad esperada o promedio. Si la decisión se repitiera durante muchos días (con las mismas probabilidades), el tendero tendría un promedio de US$51 por día al almacenar 26 cajas de leche. Incluso si la decisión no se repitiera, la acción con el VME más alto es la mejor alternativa disponible para quien toma la decisión. Para sintetizar, el plan para resolver el problema del tendero es como sigue: 1. Construir una tabla de rendimiento o liquidación (valor condicional) con la lista de las acciones y eventos que se consideren como posibilidades y listar los resultados de cada acción y evento. Al hacerla lista de estos últimos, hay que asegurarse de que todos sean mutuamente excluyentes (es decir, de que dos o más eventos no puedan ocurrir de forma simultánea) y de que todos los eventos considerados en conjunto sean exhaustivos (es decir, que los eventos tenidos en cuenta cubran todas las posibilidades). Esta tabla Incluye la información económica del problema (costos, ingresos yutilidad) al presentar un valor condicional (o pérdida) para cada combinación de acción y evento. 2. Asignar probabilidades a los eventos. 3. Calcular un VME para cada acción ponderando (multiplicando) los valores condicionales por las probabilidades asignadas y sumando los valores condicionales ponderados para obtener el VME de la acción. 4. Elegir la acción con el VME más alto.

COSTO DE OPORTUNIDAD ESPERADO

El tendero también puede optar por la mejor acción al minimizar el costo de oportunidad esperado (COE). El procedimiento es el mismo que se indicó, excepto porque en lugar de utilizar la tabla de rendimiento (tabla 6-2 de valor condicional) y la utilidad condicional, debe utilizarse la tabla de costo de oportunidad condicional (tabla 6-4) y los costos de oportunidad condicionales. Los cálculos para las acciones Inventario 26 e Inventario 27 se presentan en la tabla 6-8. En la tabla 6-9, se establece que el tendero debería elegir la acción Inventario 26, que tiene un costo esperado de US$2.20, el más bajo de los cuatro costos de oportunidad esperado.

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TABLA6-S Cálculo de los costos de oportunidad esperados

Acción: inventario 26 Evento: demanda

Probabilidad del evento

Costos condicionales (CC)

25 cajas

0.10

US$8

26 cajas

0.30

27 cajas 28 cajas

VC ponderado por probabilidad del evento

Acción: inventario 27 VC ponderado Costos condicionales por probabilidad del evento (CC)

US$0.80

U8$16

US$1.60

O

0.00

8

2.40

0.50

2

1.00

O

0.00

0.10

4

-ºAQ

2

--º2Q

1.00 Costo de oportunidad esperado

US$2.20

US$4.20

240

Análisis cuantitativo

TABLA 6-9 Resumen de costos de oportunidad esperados

Acción

Costos de oportunidad esperado

Inventario 25 Inventario 26 Inventario 27 Inventario 28

Comparación entre los costos de oportunidad esperado y la acción óptima

US$3.20 2.20 (acción óptima) 4.20 11.20

US$ 1 O

2 9

RESUMEN Éstas son las diferentes medidas de la utilidad que se han presentado:

Villor condicional. La utilidad real que resultaría de seguir una acción dada, condicionada a un evento dado que ocurre. Costo de oportunidad condicional. La pérdida relativa (es decir, la utilidad no ganada) que sigue a una acción dada, condicionada a un evento dado que ocurre. Villor moneta/io esperado. Los valores condicionales ponderados multiplicados por la probabilidad de los eventos que ocurren y sumados para cada acción. Costo de oportunidad esperado. Los costos de oportunidad condicionales ponderados multiplicados por la probabilidad de los eventos que ocurren, y sumados para cada acción. La acción óptima es la que tiene el valor monetario esperado más alto y, por consiguiente, el costo de oportunidad esperado más pequeño.

RIESGO DE LA TOMA DE DECISIONES Aunque el valor monetario esperado puede ser una buena guía para la acción en muchos casos, en otros puede no serlo. Esto no invalida el modelo de valor esperado, significa que debe modificarse el análisis cuando la situación lo indique. Considerar una dificultad importante con el valor monetario esperado. Suponer que un gerente tiene la oportunidad de invertir US$500,OOO en un nuevo producto de riesgo. Si el producto tiene éxito, contará con utilidades netas de US$l millón. Sin embargo, si el producto no tiene éxito, sufrirá una pérdida de US$500,000 que es la inversión para desarrollar, producir y vender el nuevo producto. La tabla de valor condicional del gerente se presenta en la tabla 6-10. Si, después de reunir la evidencia, el gerente asigna una probabilidad subjetiva de 0.90 de éxito, el VME de la acción Invertir es de US$850,OOO (US$l,OOO,OOO x 0.90 - US$500,000 x 0.10 = US$850,000), en comparación con un VME de cero para la acción No invertir. Sin embargo, si la empresa tiene una posición financiera TABLA 6-10 Valor condicional

Acción Evento Producto exitoso

Producto no exitoso

Invertir US$1,000,000

-500,000

No invertir O O

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

241

muy difícil, una pérdida de US$500,OOO la llevaría a una bancarrota segura. En tal caso, el VME puede ser una guía deficiente para la acción. El gerente puede no estar dispuesto a aceptar la probabilidad de perder US$500,000, sin importar ei tamaño de la utilidad condicional o el VME debido a las consecuencias indeseables de la pérdida. En tal caso, el gerente tiene una falta de utilidad por lo tanto una pérdida, que deberá contemplarse en el análisis. Es decir, en situaciones que impliquen un nivel sustancial de riesgo, el VME puede no ser el mejor criterio de decisión. Si las cantidades de dinero involucradas en el rendimiento no son grandes, entonces el VME es una guía razonable para la acción. En el caso del problema del tendero, grande, en este contexto, es de hecho, relativo. Las decisiones que implican millones de dólares pueden no ser tan grandes para una compañía de petróleos importante o para un negociante de la Bolsa en Wall Street, pero para la mayoría de individuos lo son. Si una decisión en particular parece riesgosa, esto también depende de las preferencias individuales. Algunos individuos son muy adversos al riesgo y podrían no estar dispuestos a tomar, ni siquiera, riesgos moderados, mientras que otros pueden ser neutrales ante el riesgo (indiferentes) o inclusive preferir el riesgo. Existen métodos formales para incorporar el riesgo al análisis de decis\ón llamados teoría de la utilidad. En un capítulo posterior se trata en detalle este tema. Incluso, si la decisión implica un riesgo sustancial, el cálculo y la evaluación del valor monetario esperado pueden brindar información útil para la persona encargada de tomar la decisión. El individuo que se enfrenta a la principal pérdida potencial en el ejemplo de la tabla 6-10, sabe que el cálculo del VME puede costar US$850,OOO; sabe a cuánto tiene que renunciar para evitar la pérdida posible. También podría buscar un socio dispuesto a compartir la inversión; lo que reduciría sustancialmente el aspecto negativo del riesgo.

UTILIDAD ESPERADA CON PREDICCIONES PERFECTAS De regreso al ejemplo del tendero, surge la siguiente pregunta: ¿Qué utilidad podría esperar en el futuro el tendero, si la demanda diaria se pudiera predecir con certeza el día anterior a cuando la demanda particular ocurriera? Para responder esta pregunta, va a construirse una tabla de valor condicional que demuestre la u"tÍlidad condicional para la mejor acción de cada evento dado. La tabla 6-11 se construye cuando se elige la mejor acción y se registran las cifras de utilidad más altas para cada evento (esta información puede obtenerse en la tabla 6-2). Por ejemplo, si se sabe que la demanda del día siguiente puede ser 27, se acumularían 27 cajas para una utilidad de US$54. Si se almacenan 26 se perdería la utilidad de US$2 de una unidad, y si se almacenan 28 se tendría que descartar una unidad, con una pérdida de US$2. La tabla 6-11 muestra la utilidad resultante de la mejor acción para cada evento posible.

TABLA 6-11 Tabla de valor condicional para decisiones óptimas con predicción perfecta

Acción Evento: demanda

Inventario 25

25 cajas

US$50

26 cajas

27 cajas

28 cajas

Inventarío 26

Inventarío 27

Inventarío 28

US$52 US$54 US$56

242

Análisis cuantitativo

TABLA 6-12

Evento: demanda

Probabilidad del evento

Utilidad condicional (UC)

UC ponderada por la probabilidad del evento

25 cajas

0.10

$50

$5.00

26 cajas

0.30

52

15.60

27 cajas

0.50

54

27.00

28 cajas

0.10

56

~

Utilidad esperada con predicción perfecta

Utilidad esperada con proyección infalible

$53.20

Ahora, las cifras de utilidad óptima condicionales se proyectarán. Esto puede hacerse si se pondera la utilidad de cada evento por la utilidad del evento que ocurre. El cálculo se muestra en la tabla 6-12, donde la utilidad esperada con la predicción perfecta (US$53.20) es la utilidad que el tendero podría obtener en promedio, cada día que la demanda pudiera predecir. Por tanto, la cantidad óptima se ordenará cada día. Antes de contar con el predictor perfecto, el tendero tendrá cierta incertidumbre en cuanto a lo que será la predicción, ya que puede ocurrir cualquiera de los cuatro eventos. Antes de la predicción, la utilidad es una expectativa, ya que no se sabe cuál evento ocurrirá. Para decidir si se cuenta o no con el predictor, el tendero deberá asignarle un valor a la predicción perfecta y compararlo con el costo dictado por el predictor. Recuérdese que antes de comprar la información, no se sabe cuál será la predicción.

VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN PERFECTA En muchos problemas de decisiones, el gerente enfrenta la pregunta de si debe actuar de inmediato o retrasar la acción y buscar más información. Lo importante para el gerente es equilibrar el costo de la información adicional frente al valor de la información (utilidad adicional). La parte del costo de esta decisión (costo de obtener información) suele ser más fácil de calcular que el valor de la información. Sin embargo, utilizando el modelo del valor esperado, se tiene una forma de cuantificar el valor de la información adicional. Refiriéndose de nuevo al ejemplo, en la tabla 6-12 se muestra que la utilidad esperada con la predicción perfecta es de US$53.20. Antes, en la tabla 6-7, se mostró que el VME de la mejor acción bajo condiciones de incertidumbre, el Inventario 26, es US$51. La diferencia: US$53.20 - US$51

= US$2.20

es el incremento en la utilidad esperada a partir de un mecanismo de predicción libre y perfecto. Por ello, US$2.20 es el Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP). Es decir: VEIP

= utilidad esperada con predicción perfecta -

VME (de acción óptima)

En la tabla 6-9 puede observarse que US$2.20 también es el costo de oportunidad esperado de la acción óptima. Podría esperarse este resultado, ya que el predictor perfecto debe reducir a cero el costo de oportunidad que existe bajo COn-

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

243

Acción

TABLA 6-13

VME (bajo incertidumbre)

COE Utilidad esperada (con la predicción perfecta)

Inventario 25

Inventario

Inventario 27

Inventario 28

US$50.00

US$51.00

~

~

US$49.00 4.20

US$42.00 11.20

US$53.20

US$53.20

US$53.20

US$53.20

diciones de incertidumbre. Por eso, el costo de oportunidad esperado de la acción óptima mide el VEIP. Una verificación útil de los cálculos se suministra a través de la siguiente igualdad: VME (de cualquier acción) + COE (de la misma acción)

=

Utilidad esperada con predicción perfecta

Este cálculo se presenta en la tabla 6-13. Resulta importante anotar que el COE de la acción óptima, es igual al VEIP. Si el tendero elige la acción Inventario 28, habrá un VME de US$42 y un COE de US$11.20. El VEIP no es US$11.20porque el tendero puede incrementar el VME a US$51 al elegir una acción diferente (Inventario 26) y esto no requiere información adicional. El valor de esta última se mide comenzando con el supuesto de que se elegirá la acción óptima, dada la información que ya está disponible.

Interpretación del VEIP El VEIP puede considerarse como una medida general del impacto económico de la incertidumbre en el problema de decisión. Es el valor de obtener una predicción perfecta. Como tal, es un enlace superior de lo que valdría conseguir información adicional antes de actuar. Si el VEIP es pequeño, la información adicional no sería de mucha ayuda. Si es una cantidad grande, entonces el encargado de la decisión debe examinar los métodos para obtener información antes de actuar. Sin embargo, ya que también está el costo de oportunidad esperado, el VEIP es una medida de las oportunidades perdidas. En este sentido, si el VEIP es grande, debe ser una señal para que quien toma la decisión busque otra alternativa que no se haya considerado. El VEIP del problema del tendero no es muy grande (US$2.20 por día), pero si lo hubiera sido, indicaría que el problema de almacenamiento podría resolverse de una manera diferente. El tendero, por ejemplo, podría organizar dos o más despachos de lácteos diarios, con la cantidad de los despachos subsiguientes, dependiendo de las ventas, en un sistema de inventario "justo a tiempo". Esto podría tener costos adicionales, los cuales necesitaría evaluar. El punto es que el VEIP puede ser un acicate para buscar otras posibilidades. Observar que esto fue lo que sucedió en el ejemplo motivador de Oglethorpe Power Transmission, al comienzo de este capítulo; el VEIP alto acerca de la situación competitiva llevó a considerar formas alternas de estructurar el negocio con Florida Power.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE PROBABILIDADES SUBJETIVAS

Estimar probabilidades es uno de los pasos más difíciles para aplicar los criterios de decisión del valor monetario esperado. En ocasiones, es posible evitarlo, al menos parcialmente, dejando la estimación de probabilidades para el final. Para cada ac-

244

Análisis cuantitativo

ción puede encontrarse un rango de probabilidades donde la acción dada es óptima. Quien toma la decisión determina entonces cuál es el intervalo en el que se encuentran las probabilidades. Con un ejemplo anterior puede ilustrarse esta situación. En la tabla 6-10, los valores condicionales para la decisión de un nuevo producto (US$1 millón si el producto tiene éxito, menos US$500,000 si fracasa y cero si no se introduce al mercado). Sea p la probabilidad de éxito; por tanto, (1 - p) es la probabilidad de fracaso del nuevo producto. Si la persona encargada de la decisión quiere usar el criterio de VME, el valor esperado de introducir el producto es: VME

= p(1,000,000) + (1-p) (-500,000) = -500,000 + 1,500,000p

Para introducir el producto, el VME debe ser mayor que cero. Es decir: -500,000

ó

+ 1,500,000p >

500,000 1,500,000

p>

°

=-.l 3

Por tanto, si quien toma la decisión considera que las opciones son mayores de un tercio para tener éxito, deberá introducir el producto. El encargado de la decisión no tiene que especificar un valor exacto para p con el fin de tomar la decisión.

Ejemplo Para aclarar más este concepto, considerar el ejemplo del tendero que decide cuántas cajas de leche debe almacenar. En la tabla 6-7 se determinó que la acción ópti'ma era la de almacenar 26 cajas. Este resultado se obtuvo utilizando las probabilidades de la primera columna de la tabla 6-14 . Con esto, la persona encargada de la decisión puede ver que ésta no es sensible a las variaciones en las probabilidades que se presentan en la tabla 6-14. Otras variaciones podrían causar un cambio en la decisión. Por ejemplo, si la probabilidad relacionada con el evento Demanda de 25 cajas es mayor que 0.20, entonces la decisión óptima cambia a pedir 25 cajas. El método general sugerido por este ejemplo es el análisis de sensibilidad. La persona encargada de tomar la decisión cuenta con un conjunto preliminar de estimados (para probabilidades o para rendimientos). Entonces, se hacen las variacio-

TABLA 6-14 Posibles grupos de probabilidades alternas

Grupos de probabilidades . Evento: demanda

2

3

4

25 cajas

0.1

0.2

0.05

0.1

26 cajas

0.3

0.3

0.15

0.1

27 cajas

0.5 0.1

0.4

0.40 0.40

0.3

28 cajas

0.1

0.5 V:;s¡;¡¡¡;;¡UCJU!!itiW:aW&lRIWILi&il3lJiWiG&X2W

2

La acción Inventario 26 sigue siendo óptima en tanto p(demanda = 0.25) < 0.20 y p{demanda = 27) < 0.80. Este modelo se desarrolla en detalle más adelante en el siguiente capítulo.

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

245

nes en estos estimados. Si aquellas no cambian la decisión óptima, no se necesita avanzar más. Si, de otro lado, la decisión es sensible a los cambios, entonces el gerente debe depurar los estimados preliminares para llegar a una decisión.

RESUMEN El valor esperado de la información perfecta es el que tiene para la persona encargada de tomar las decisiones un pronóstico perfecto de un evento incierto. El análisis de sensibilidad examina el grado en que una decisión depende de (es sensible a) los supuestos o estimados, en particular, de los estimados de probabilidades.

ÁRBOLES DE DECISiÓN En las secciones anteriores se desarrolló el criterio de decisión del valor monetario esperado y se analizaron decisiones simples utilizando tablas de valor condicional. Esta sección describe un método general para decisiones más complejas que resulta útil para estructurar el problema de la decisión y para encontrar una solución. El método utiliza un árbol de decisión, una herramienta gráfica para describir las acciones que se encuentran a disposición de quien toma la decisión, los eventos que pueden ocurrir y la relación entre estas acciones y los eventos.

Árbol de decisión para el problema del tendero Para ilustrar las ideas básicas, primero se desarrollará el árbol de decisión para el problema del tendero de la última sección. Debe recordarse que la decisión implica cuántas cajas de leche deben pedirse. El punto de la decisión está representado mediante un cuadrado o nodo de decisión, en la figura 6-1. Las opciones se presentan como ramas que salen del nodo de decisión. Ahora, si que el tendero esperara seleccionar algunaalternativa en particular, por ejemplo, 28 cajas, existen varios eventos posibles que pueden ocurrir. Cada uno de ellos representa una cantidad de cajas de leche que los clientes podrían pedir. Estas cifras aparecen en la figura 6-2 como ramificaciones que surgen de un nodo redondo. (Se utiliza la convención de un cuadrado para un nodo de decisión y un círculo para un nodo de evento). Estas ramas representan eventos inciertos sobre los cuales, quien toma la decisión, no tiene control. Sin embargo, las probabilidades pueden asignarse a cada evento y se ingresan bajo cada rama, entre paréntesis. Al final de cada rama se encuentra la utilidad condicional asociada con la acción seleccionada y el evento dado (los mismos valores de la tabla 6-2). Por consiguiente, la utilidad condicional representa la utilidad asociada con las decisiones y eventos a lo largo del recorrido desde la primera parte del árbol hasta el final. Por ejemplo, la cifra de US$26 en la figura 6-2 es la utilidad asociada con pedir 28 cajas de leche, y luego experimentar una demanda de 25 cajas. El valor monetario esperado (VME) se calcula para cada nodo de evento de la misma forma como se hizo en la sección anterior (véase tabla 6-6). Es decir, las probabilidades se multiplican mediante utilidades condicionales y se suman. El VME está ubicado en el nodo de evento para indicar que es el valor esperado que se calcula para todas las ramas que surgen de él.

246

Análisis cuantitativo "

FIGURA 6-1 Opciones del tendero

Pedido de 25 cajas

Pedido de 26 cajas

Pedido de 27 cajas

Pedido de 28 cajas

Nodo de decisión

FIGURA 6-2 Eventos de la alternativa Pedido de 28 cajas

Eventos Utilidad condicional La demanda es de 25 cajas (0.10)

US$26

La demanda es de 26 cajas

36 (0.30)

La demanda es de 27 cajas

46 (0.50

La demanda es de 28 cajas

56 (0.10)

Opciones

Nodo de evento

En la figura 6-3 se muestra el árbol de decisión completo para el problema del tendero. Se observa que no es necesario listar todos los eventos posibles por separado, para todas las decisiones. Por consiguiente, cuando se piden 26 cajas, entonces sólo hay dos eventos que llevan a utilidades condicionales diferentes: la demanda es de 25 cajas con una utilidad de US$42; y la demanda es de 26 o más (es decir, la demanda es de 26, 27 ó 28 cajas) con una utilidad de US$52. Si el tendero pide 25 cajas, sólo tendrá un resultado; es decir, la venta de las 25 cajas con una utilidad condicional de US$50.

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

FIGURA 6-3 Árbol de decisión completo para el problema del tendero

Opciones

247

Eventos Utilidad condicional

Pedido de 25 cajas ~-------I

50

La demanda es de 25, 26, 27 Ó 28 cajas

US$50

(1.0)

La demanda es de 25 cajas Pedido de 26 cajas 51

(0.10) La demanda es de 26, 27 Ó 28 cajas (0.90) La demanda es de 25 cajas (0.10) La demanda es de 26 cajas

Pedido de 27 cajas

42 52

34 44

(0.30) La demanda es de 27ó 28 cajas (0.60)

54

La demanda es de 25 cajas (0.10) La demanda es de 26 cajas

Pedido de 28 cajas 42

(0.30) La demanda es de 27 cajas (0.50) La demanda es de 28 cajas

26 36 46 56

(0.10)

En la figura 6-3, los valores monetarios esperados se muestran en los nodos de eventos. Entonces, el tendero debe elegir cuál es la acción a tornar, y esta opción es seleccionar la que tenga el VME más alto; es decir, el pedido de 26 cajas con VME = US$51. Esto se indica en el árbol poniendo 51 en el nodo de decisión (cuadrado) al comienzo del árbol. Además, la marca 11 se traza a través de las ramas de decisión que no son óptimas, indicando que no deben seguirse. En síntesis, el árbol de decisión utiliza la misma idea de maximizar el valor monetario esperado que se desarrolló en la sección anterior. Para el ejemplo de la tienda, el uso de una tabla, como la 6~2, puede parecer más fácil. Sin embargo, a medida que el problema de decisión se vuelve más complejo, el árbol de decisión resulta más valioso para organizar la información necesaria para tornar la decisión. Esto es especialmente cierto si el gerente debe tornar una secuencia de decisiones, en lugar de una decisión única, corno se mostrará en el siguiente ejemplo. Ejemplo de árbol de decisión

El gerente de marketing de una empresa debe decidir si comercializa o no un nuevo producto y establecer el precio de venta. La utilidad depende de sí el competidor introduce o no un producto similar y del precio de éste. Corno se ve, hay dos decisiones: introducir o no el producto, y el precio a cobrar. Del mismo modo, hay dos eventos: la competencia introduce (o no) un pro-

248

Análisis cuantitativo

ducto competitivo, y el precio del competidor. El tiempo o la secuencia de estas decisiones y eventos es muy importante en esta decisión. Si el gerente de marketing debe actuar antes de saber si el competidor tiene o no un producto similar, el precio puede ser diferente del que tendría si contara con ese conocimiento. Un árbol de decisión es muy útil en esta situación, ya que presenta el orden en que se toman las decisiones y ocurren los eventos. La empresa debe introducir o descartar su nuevo producto muy pronto; pero, la decisión de precio puede tomarse más tarde. Si el competidor va a actuar, introducirá su producto dentro de un mes. En tres meses, la empresa establecerá y anunciará su precio. Después de eso, el competidor anunciará su precio. Esto puede diagramarse en el árbol de decisión de la figura 6-4. Éste es un problema de decisión secuencial. La empresa debe tomar una decisión inmediata acerca de la introducción del productor y establecer en consecuencia el precio, después de saber la acción del competidor.

FIGURA 6-4 Árbol de decisión para el ejemplo de introducción de producto

Eventos (precio del competidor) Opciones (precio del ejemplo) Fijar precio alto

Eventos

Alto (0.3) Medio (0.5) Bajo (0.2) Alto (0.1) Medio. (0.6) Ba'o (0.3)

Producto competidor introducido (0.8)

Opciones

Fijar precio bajo

Alto (0.1) Medio (0.2) Ba'o (0.7)

Utilidad condicional (miles de dólares)

US$150

O -200

250 100 -50

100 50 -100

Fijar precio alto No hay producto competidor (0.2)

500 Fijar precio medio

300 100

O Primer punto de decisión

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

249

El árbol de decisión muestra la estructura del problema de decisión. Para completar el análisis, la utilidad condicional debe estimarse para cada combinación de acciones y eventos, es decir, para cada camino hacia el árbol. El gerente de marketing hizo esto y la utilidad se muestra en la figura 6-4, al final del árbol. Esos valores de utilidad incluyen los costos de introducir el producto y las utilidades que se obtienen con su venta. Los valores negativos indican que los costos de introducción exceden la utilidad que se consigue con las ventas. Además, la persona encargada de la decisión debe evaluar las probabilidades de cada evento; para el ejemplo, éstas se muestran bajo las ramas de eventos en la figura 6-4. Estas probabilidades pueden depender de acciones o eventos anteriores. Por tanto, las probabilidades para el comportamiento del precio del competidor en la misma figura son diferentes cuando el precio es alto y cuando es bajo.

Diagrama de influencia También puede representarse el problema del gerente mediante un diagrama de influencia. Véase la figura 6-5. Este diagrama de influencia es muy simple, de modo que puede no ser visto como de particular utilidad para estructurar el problema de decisión y el árbol de decisión. Sin embargo, para situaciones más complejas, puede ser útil trazar un diagrama de influencia antes de desarrollar el árbol de decisión detallado; el diagrama de influencia sería una forma excelente de estructurar los supuestos acerca de los factores y las relaciones importantes del modelo. En general, se recomienda utilizar árboles de decisión para solucionar problemas de este tipo.

Análisis del problema de decisión Para analizar un árbol de decisión se comienza por el final del árbol y se trabaja hacia atrás. Por cada conjunto de ramas de eventos, el VME se calcula como se ilustró, y por cada conjunto de ramas de decisión se selecciona el VME más alto. Esto se ilustra en la figura 6-6 del ejemplo. Primero, los VME se calculan para los nodos de eventos asociados con el precio del competidor. Por ejemplo, el VME de US$5,000 en el círculo del extremo superior derecho en la figura 6-6 representa la suma de las probabilidades para precios altos, medios y bajos multiplicada por la utilidades condicionales respectivas: VME = (0.3)(150)

+ (0.5)(0) + (0.2)(-200) = 5

Los otros valores se calculan de manera similar. FIGURA 6-5 Diagrama de influencia para el ejemplo de introducción del producto

Introducir producto (o no)

Fijar precio I------:~

250

Análisis cuantitativo

Eventos (precio del competidor)

FIGURA 6-6 Árbol de decisión completo para el ejemplo de introducción del producto

Opciones (precio del ejemplo)

Alto(0.3)

Fijar precio alto 5

Medio (0.5)

Bajo

Eventos

(0.2)

Alto

Producto competidor introducido

Fijar precio medio \----------..j

(0.8) I I I I I I I I I I I I I I I I I

Opciones

Introducir producto 156

(0.1)

Medio

70 \ - - - - - (0.6)

Bajo (0.3)

Alto Fijar precio bajo

(0.1)

Medio

-50 \--.::.:.=.=--(0.2)

Bajo Fijar precio alto

No hay producto: competidor

Fijar precio medio

(0.2)

Fijar precio bajo

(0.7)

Utilidad condicional (miles de dólares)

US$150 O

-200

250 100 -50

100 50 -100 500

No introducir el producto

300 100 O I I

Primer punto de decisión

Segundo punto de decisión

Ahora, si en el árbol de decisión se retrocede hasta el segundo punto de decisión, se enfrentan dos situaciones de esta índole. La primera, cuando se introduce un producto competidor, implica establecer un precio alto, medio o bajo con una utilidad esperada de US$5,000, US$70,000 y US$50,000, respectivamente. Se supone que la opción que tiene la utilidad esperada más alta, es el precio medio. Se coloca una marca de 1I en las líneas conectadas con las otras opciones para indicar que éstas no son óptimas, y la utilidad esperada de US$70,000 se conecta con el cuadrado superior del segundo punto de decisión. Cuando no se introduce un producto competidor, la mejor opción es un precio alto, con utilidad de US$500,000. En el punto de evento, a la izquierda, se calcula un valor esperado de US$156,000 que resulta de multiplicar la utilidad esperada que se da a un producto competitivo (US$70,OOO) por su probabilidad, 0.8, y agregándole la utilidad dada al producto no competitivo (US$500,000) multiplicado por su probabilidad de 0.2. El VME en miles es de VME

= (0.8) (70) + (0.2) (500) = 156

Finalmente, se toma la decisión de comercializar el producto ya que la utilidad neta esperada de US$156,OOO es mayor que la utilidad cero de no comercializar el producto.

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

251

La decisión que resulta de un análisis del árbol de decisión no es una decisión fija sino más bien una estrategia: introducir el producto y cobrar un precio alto si no hay una entrada de la competencia; pero cobrar un precio medio si existe competencia.

Desarrollo del árbol de decisión El árbol de decisión es un modelo de una situación de decisión y, como todos los modelos, una abstracción y simplificación del problema real. Sólo se incluyen las decisiones y los eventos importantes; de otro modo, el árbol se vuelve demasiado complejo. El juicio que se requiere no sólo alude a lo que debe incluir, sino también a la evaluación de probabilidades. Al trazar un árbol de decisión deben observarse ciertas reglas: • Las ramas que surgen de cualquier nodo deben ser todas del mismo tipo lógico, bien sean eventos u opciones, y nunca una mezcla de ambos. • Los eventos asociados con ramas provenientes de cualquier nodo de evento deben ser mutuamente excluyentes, y todos los eventos deben ser incluidos, de modo que la suma de las probabilidades sea igual a uno. • Las opciones asociadas con un nodo de decisión deben incluir todas las posibilidades bajo consideración. En general, es de utilidad desarrollar un árbol en secuencia cronológica, de modo que se establezca un orden de decisiones y eventos. No obstante, algunos aspectos del dibujo del árbol son arbitrarios. Por ejemplo, en el caso anterior, si la empresa debe anunciar su decisión acerca del nuevo producto y establecer el precio antes de conocer cualquier información acerca del competidor, la parte del árbol que se relaciona con estas decisiones podría dibujarse de cualquiera de las formas equivalentes que se muestran en la figura 6-7. Exactamente las mismas opciones estarían disponibles para diagramar los eventos asociados con la introducción del producto del competidor y el precio de su producto, si éstos se presentaran sin ninguna intervención por parte de la empresa del ejemplo.

FIGURA 6-7 Formas alternas para diagramar la decisión (ejemplo revisado)

Método 1

Método 2

Fijar precio alto Fijar precio medio Fijar precio bajo

Introducir y fijar un precio alto Introducir y fijar un precio medio Introducir y fijar un precio bajo No introducir

No introducir el producto

252

Análisis cuantitativo

Del estudio inicial sobre el riesgo, en este capítulo, hay que recordar que el valor monetario esperado no es un criterio de decisión apropiado si la utilidad o las pérdidas condicionales son tan grandes que la persona encargada de la decisión ve que las opciones tienen consecuencias significativamente diferentes. En esas situaciones, en el árbol de decisión deben utilizarse los valores de utilidad en lugar de la utilidad condicional. Esto se considerará en detalle en un capítulo posterior.

RESUMEN Un árbol de decisión es un dispositivo gráfico para mostrar la secuencia de las opciones de decisión y los eventos involucrados en la toma de una decisión bajo condiciones de incertidumbre. Un árbol de decisión se analiza a partir de calcular el valor esperado para cada nodo de evento (evento nodal) y elegir la opción con la utilidad más alta para los nodos de decisión, comenzando en el extremo del árbol y desplazándose hacia atrás, hacia su origen.

ANÁLISIS DE DECISiÓN PARA OPCIONES DE COMPRA DE ACCIONES En los mercados financieros actuales hay diversos instrumentos o derivaciones de ellos que toman la forma de una opción. Su evaluación es una aplicación práctica y muy importante de las ideas del análisis de decisión, de modo que se estudiarán brevemente las opciones de acciones. Primero, ¿qué es una opción para comprar acciones? Existen muchas variaciones, pero en la forma más sencil1a,una opción a la vista es el derecho a comprar una acción en una fecha futura a un precio dado. En el mercado estadounidense, la opción puede ejercerse en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento; en el mercado europeo, se ejerce en la fecha de vencimiento. ¿Cómo debe valorarse una opción? Como ejemplo concreto, se recibe una opción (de un tío rico) para comprar 1,000 acciones de Ventures, lnc. Ésta es una opción de variedad europea y vence en 90 días. El precio de opción es de US$22 por acción. El precio actual de una acción de Ventures, lnc. es de US$20. ¿Cuál es el valor de la opción? Resulta claro que el valor depende del precio en 90 días. Si el precio es igualo inferior a US$22, la opción no tiene valor ya que no se debe comprar una acción con un precio de opción más alto del que se pagaría en el mercado abierto. De otro lado, si el precio de la acción dentro de 90 días es de US$26, podría ejercerse la opción, comprar las 1,000 acciones a US$22 cada una y venderlas de inmediato en el mercado a US$26, y obtener una utilidad de US$4 por acción o US$4,000 en total. Para evaluar la opción debe tenerse alguna distribución de probabilidad para el precio de la acción de Ventures, lnc., en 90 días. Aunque existen modelos sofisticados en finanzas para analizar los movimientos del precio de las acciones en el mercado, simplemente se supone que se estimaron las probabilidades dadas en la tabla 6-15. El precio estimado es de US$21.74, por debajo del precio de opción de compra de US$22. El valor de la opción se calcula en la tabla 6-16. Si el precio del mercado en 90 días está por debajo del precio de opción de compra de US$22, la opción no se ejerce y el valor es cero. Cuando el precio está por encima de US$22, se obtiene una utilidad al ejercer la opción y revender las acciones al precio del mercado. El retor-

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

253

no esperado se calcula en US$1.14 por acción. Éste es el valor de la opción. Esta tiene valor aunque el precio esperado de US$21.74 (véase tabla 6-15) está por debajo del precio de opción de compra de US$22. Este proceso es el mismo que se realizó para calcular el valor de la información perfecta en una situación de decisión. El valor de una opción permite actuar con información perfecta; es decir, después de que se conoce el precio real del mercado. Existen otros métodos similares de inversión en acciones, y se han desarrollado elaborados modelos para evaluarlos, todos basados en los conceptos subyacentes del análisis de decisión. La idea de opción también puede aplicarse a inversiones de capital en negocios (véase la sección sobre la manera como Merck utiliza la teoría de opciones). Las empresas invierten en investigación, equipo y marketing, pero los retornos son altamente inciertos. Al extenderse, una empresa puede abandonar un proyecto en diferentes etapas y reducir así sus pérdidas, la inversión puede verse como una opción. Por ejemplo, una empresa puede ser capaz de hacer un estudio de mercado preliminar de un nuevo producto antes de contar con las instalaciones de producción, construyéndolas sólo si la prueba de mercado demuestra ser bastante positiva.

TABLA 6-15

Precio de las acciones para Ventures, Inc. en 90 días (Dólares por acción) US$16

0.05

18

0.15

20

0.25

22

0.20

24

0.20

26

0.10

28

0.03

30

0.02

US$21.74 =Valor esperado

1.00

wz¿;

TABLA 6-16

Probabilidad

==

Precio de las acciones para Ventures, Inc. en 90 días (Dólares por acción)

Decisión: ¿ejercer la opción?

Valor de la opción (Dólares por acción)

Probabilidad

16

No

O

0.05

18

No

O

0.15

O

20

No

O

0.25

O

22

Indiferente

O

0.20

O

24

Sí

2

0.20

0.40

26

Sí

4

0.10

0.40

28

Sí

6

0.03

0.18

30

Sí

8

0.02

Cálculo del valor esperado US$O

--ill.fi Total = US$1.14

254

Análisis cuantitativo

En la siguiente sección se tratan ejemplos específicos, aquí sólo se desea señalar el paralelo con la teoría de opción3.

REVISIÓN DE PROBABILIDADES En esta sección se presenta la oportunidad de experimentar, es decir, reunir información adicional y revisar probabilidades antes de tomar la decisión. Deben abordarse las situaciones más sencillas posibles, donde sólo hay una incógnita. Por ejemplo, la decisión puede estar unida a la demanda del producto para el año siguiente. Si se ha decidido experimentar, la demanda es la única incógnita. En esta situación (que podría ser un problema de inventario) el proceso de decisión es como sigue: • Elegir el criterio de decisión; se supone como norma el valor esperado de la decisión. • Describir el conjunto de posibles resultados y de posibles decisiones. • Asignar probabilidades a los posibles resultados (estados de naturaleza). • Determinar una función de utilidad (utilidades condicionales). • Conducir un experimento. • Revisar las probabilidades asignadas. • Calcular la utilidad esperada para cada decisión. • Establecer que la decisión óptima es el acto con la utilidad esperada más alta. El proceso anterior supone que previamente se ha determinado que la experimentación es adecuada.

EL VALOR DE LA INFORMACIÓN IMPERFECTA Aquí se introduce un método general para evaluar la posibilidad de obtener más información con respecto a un problema de decisión. El valor esperado de la información perfecta (VEIP) que se indicó antes determina un límite superior en el valor de la información adicional en una situación de decisión. La mayor parte de la información que puede obtenerse es imperfecta en el sentido de que no determina con exactitud cuál evento ocurrirá. Inclusive, la información imperfecta seguirá teniendo valor si la utilidad esperada mejora. El término expelimento que se utiliza aquí es muy amplio. Un experimento puede ser un estudio de economistas para predecir la actividad económica nacional, un estudio entre los consumidores realizado por una empresa de investigación del mercado, una encuesta de opinión realizada en nombre de un candidato político, una muestra de los artículos de una línea de producción tomada por un ingeniero para verificar la calidad, o una prueba sísmica para que una empresa de perforación de pozos petroleros obtenga algunos indicios de la presencia de petróleo.

3

Véase DIXIT, A., yPINDYCK, R., Investment under UncCI1ainty, Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994, donde se trata este paralelo en detalle.

Toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre

;-;

... :

Decisiones de inversión de capital como opciones

.....,.-.' ....,

c.': ',_,',-,,__:. ":0":" __', '.

255

..,

:::_.>.-", .:, ',,', ..,", :.-.",'. '-,-'_ lograr precios más bajos. Se desarroll6 undiagréliTIade influencia para identificar los factores importantes que afeetabanla utilidad con , estas, estrategias, y se.evaluaronJas probabilidades asociadas con la incertidumbre utilizando gruPos de expertos dentro de•• la empresa. Estas, alternativas se exaIllinaronen detalle, lqqueimplicó calcularlas distribucionesde probabilidad acumulada para evaluar el riesgo. También serealizaronlosanálisis desensibilidadyloscálculos delvalorde la información para entender los. factores, de' incertidumbre que afecta· banla decisión.Seeligi6una estrategia conla cual se esperabaaumel1tar el valor de esta unidad de nego· cios,aproximadamente"en,US$175 millones cuando se'estableciera.

.il11'1II¡Á' 11·

alllllí;lf! II~? rtlll;lil~ En el capítulo anterior se presentaron los elementos básicos de la tomade decisiones bajo condiciones de incertidumbre. En particular, una persona encargada de tomar decisiones tiene un conjunto de opciones para considerar, eventos inciertos que pueden ocurrir y un resultado económico asociado con cada combinación de alternativa y evento. Deben evaluarse las probabilidades de eventos que representan la posibilidad de que ellos ocurran. Si la decisión implica una secuencia de decisiones o eventos, puede trazarse un árbol de decisión para estructurar el problema de decisión y utilizar el criterio del Valor Monetario Esperado (VME) para seleccionar la decisión que cuente con el valor esperado más alto. El criterio VME es una guía sensible en muchas situaciones de decisión importantes. En particular, si las cantidades de dinero involucradas son pequeñas o si la decisión es repetitiva, como el de la política de control de inventarios, donde es probable que el criterio del valor esperado sea adecuado. De hecho, en este contexto, la palabra pequeñas es relativa, pues las decisiones que implican decenas o cientos de miles de dólares son pequeñas para una corporación grande pero no para la mayoría de las personas. Sin embargo, considerar los siguientes ejemplos:

, Ejemplo Suponer que hay que elegir entre las siguientes parejas de opciones. Hay que seleccionar una de las opciones A, una de las opciones B y una de las opciones C. Se recomienda tomar nota del grupo de opciones que se escoja.

Al

A2

= =

B1 =

B2 = C1 = C2 =

La certeza de un regalo de US$100,000 libre de impuestos o En el lanzamiento de una moneda perfectamente diseñada, ningún regalo si cae en cara, o un regalo de US$250,000 libre de impuestos si la moneda cae en cruz. Ni gana ni pierde o Una oportunidad entre 100 de incurrir en una deuda de US$9,000 y una oportunidad de 99/100 de ganar US$100. Un regalo de US$10,000 libre de impuestos o Un pago de 2N centavos, donde N es el número de veces que una moneda perfectamente diseñada cae en cruz cuando es lanzada al aire. Si aparece cruz en el primer lanzamiento, se reciben dos centavos; si cae en cara la primera vez yen cruz la segunda, se reciben cuatro centavos.

290

Análisis cuantitativo

Dos caras enserie representan 8 centavos, y así sucesivamente. Sin embargo, sólo puede participarse una vez; la secuencia se detiene cuando en el primer lanzamiento sale cruz. La mayoría de la gente elegiríaA l , Bl yCl . Sin embargo, la expectativa matemática (o valor monetario esperado) favorece las opciones Al' Bl YCl . Elvalor monetario esperado deA l es la mitad (la probabilidad de que la moneda perfectamente diseñada caiga en cara), multiplicada por cero (el valor monetario esperado asociado con cara), más la mitad (la probabilidad de cruz), multiplicada por US$250,000 ó US$125,000. Como este valor esperado es US$25,000 más que el valor esperado de la opción Al' debe seleccionarseAl si se desea maximizar el valor monetario esperado. De modo similar, con Blla ganancia neta esperada es 99/100 (la probabilidad apropiada), multiplicada por US$100 (la cantidad de ganancia), menos 1/100, multiplicado por US$9,000. Esta cantidad es US$9, que es mayor que el valor de cero de ganancia asociado con B l' Si se toman decisiones para maximizar la ganancia monetaria esperada, deberá aceptarse la oportunidad más pequeña de una gran pérdida, aunque la mayoría de la gente optaría por la B l' El valor monetario esperado del juego descrito en Cl es infinito. La oportunidad de que salga cruz en el primer lanzamiento es de 1/2, en el segundo lanzamiento de 1/4; en el tercero de 1/8; en el cuarto de 1/16, y así sucesivamente. Los premios respectivos serían de 2, 4, 8 y 16 centavos, y seguiría en la misma progresión. El valor monetario esperado, por definición, es la suma de los resultados monetarios multiplicados por las probabilidades asociadas. En este caso: VME

= 1/2(2~) + 1/4 ( 4~) + 1/8(8~) + 1/16(16~) + ... == 1~ + 1~ + 1I,t + 1~ + = oo~ oo'

El hecho de que ninguna persona prudente optara por este juego a cambio de la certeza de US$10,000 o incluso una cantidad más modesta es la esencia de la famosa paradoja de San Petersburgo que llevó a Daniel Bernoulli a la primera investigación de la utilidad en lugar de la expectativa del valor monetario, como una base para la toma de decisiones. Como la mayoría de las personas optaría por Al' Bl YCl en lugar de las tres opciones con una mayor expectativa monetaria, parece razonable concluir que la gente no siempre toma las decisiones que lleven a maximizar el valor monetario esperado. ¿Cuál es, entonces, un criterio alterno para la toma de decisiones? En este capítulo se estudiarán dos métodos que toman en cuenta el riesgo para tomar una decisión, llamados criterio de dominancia y utilidad esperada.

DOMINACIÓN Hay varios métodos mediante los cuales puede hacerse una elección con base en la dominación o dominancia. El caso más simple se llama dominancia de resultado y en él, el peor resultado de la utilidad de una acción es, por lo menos, tan bueno como el mejor de alguna segunda acción. Como ejemplo, considerar las acciones dI y dl de la tabla 7-1. El peor resultado de la utilidad para la acción dI es O(cuando se presenta q3); la mejor utilidad para la acción d2 también es O(cuando se presenta ql)' Por consiguiente, la acción dI domina la acción d2 . Así, hay seguridad de hacer igualo mejor que con dI' sin importar lo que suceda.

Decisión y análisis de riesgo

291

Una segunda forma de dominancia se llama dominancia de evento; ésta se presenta si una acción tiene una utilidad igualo mejor que la de una segunda acción para cada evento. En la tabla 7-1 se consideran las acciones d¡ y d3. Para cada evento, es decir, cada estado de la naturaleza, la utilidad condicional para la acción d ¡ es mayor que para la acción d3. Por tanto, d¡ controla a d3 por dominancia de evento. Sin considerar cuál evento se presente, d¡ es mejor que d3. Observar que d¡ también controla a d2 por dominancia de evento. Una tercera forma de dominancia es la probabilística2 • Para demostrarlo, se necesita reorganizar la información que aparece en la tabla 7-1 de la manera como se presenta en la tabla 7-2. En ella, los eventos están definidos en términos de la utilidad condicional y están ordenados de menor (-1) a mayor (2). Las probabilidades de cada utilidad se muestran en las columnas P(X). Las columnas marcadas P(X o más) muestran la probabilidad de obtener una utilidad de X o una cantidad mayor. Al considerar la acción d¡ hay seguridad (la probabilidad es 1.0) de obtener una utilidad de -1 o más y también de Oo más. La probabilidad es 0.5 de obtener 1 o más; y 0.3 de obtener 2 o más. Estas probabilidades P(X o más) se conocen como

probabilidades acumuladas. Una acción domina probabilísticamente a una segunda acción si P(X o más) para la primera es, por 10 menos, tan grande como P(X o más) para la segunda, para todos los valores de X Al comparar las acciones d¡ y d4 en la tabla 7-2, se observa que para cada valor de X, la probabilidadP(X o más) para la acción d4 siempre es, por 10 menos, tan grande (y es mayor cuando X vale 1 y 2) como para la acción di' Por tanto, d4 domina a d¡ mediante la dominación probabilística. De las tres formas de dominancia, la de resultado es la más fuerte la dominancia de evento es la siguiente, y la dominación probabilística es la más débil. Si la acción A se impone por dominio de resultado, también 10 hará por dominancia de evento y dominación probabilística; mientras que 10 contrario no es válido. Por ejem-

t:JEiaala'llL:a:\\SlidU;

TABLA 7-1 Tabla de utilidad condicional

•

=wz;¡¡;¡;¡;:n¡¡¡¡ilIU!J!liJiiiLa".¡¡;a¡¡¡¡¡~_

z=;;¡zz::::::¡.¡;aa¡¡;;;

Acción Evento

Probabilidad

di

d2

d3

d4

q1 q2 q3

0.3 0.2 0.5

2 1

-1 O

1 O

O

O

-1

-1

2

Acción TABLA 7-2 Tabla de probabilidad acumulada

d1

d4

Utilidad condicional X P(X)

-1 O

1 2

0.0 0.5 0.2 0.3

P(X o más)

P(X)

p(X o más)

1.0 1.0 0.5 0.3

0.0 0.2 0.3 0.5

1.0 1.0 0.8 0.5

2 También se conoce como dominancia estocástica.

1

292

Análisis cuantitativo

plo, la acción d4 domina a dI por dominancia probabilística como se demostró previamente, pero no lo hace ni por dominancia de evento ni de resultad0 3. Utilizar el criterio de dominancia para elegir entre opciones de decisión es, de hecho, un procedimiento simple. La dificultad radica en que la que domina a todas las demás puede no ser una alternativa sencilla. En general, ese suele ser el caso: por consiguiente, el criterio de dominancia puede fallar para seleccionar una acción a tomar. Ésta es la principal limitación de dominancia. Sin embargo, puede ser de utilidad eliminar algunas opciones y, por tanto, precisar el proceso de decisión. El criterio de dominancia se relaciona con el valor esperado, en que si un acto domina a otro, el valor esperado del primero es mayor que el valor esperado del segundo. Sin embargo, lo contrario no es verdad.

Dominancia en árboles de decisión También es posible verificar la dominancia cuando un problema de decisión se estructura como un árbol de decisión. Primero, debe introducirse la idea de una estrategia, la cual se define como un conjunto de decisiones que determina por completo un plan de acción. El ejemplo de la figura 7-1, plantea el caso de una persona encargada de tomar una decisión que tiene que elegir entre introducir un producto al mercado o abandonarlo. Si lo introduce, la aceptación del distribuidor puede ser rápida o lenta; en cualquier caso, el gerente puede seguir con el producto o detenerse. Si la decisión es de continuar, las ventas pueden ser altas, medias o bajas. Los resultados y las probabilidades se muestran en la figura 7-1. Considerar las posibles estrategias disponibles para el encargado de la decisión en este ejemplo. Una estrategia fácil de identificar es abandonar el producto. Una segunda es introducir el producto: si la aceptación es rápida, entonces avanzar; si la aceptación es lenta, entonces también avanzar. A esta estrategia se le llama avanzar/avanzar. Como puede observarse, los enunciados de las dos estrategias describen completamente las decisiones que deben tomarse bajo todas las circunstancias. Si se abandona el producto entonces no hay más decisiones, pero si se introduce, debe especificarse la decisión de avanzar o parar, según la rapidez o lentitud de la aceptación. Para determinar si una estrategia está completa, hay que preguntarse si contiene suficientes instrucciones que le permitan a un asistente tomar todas las decisiones cuando el responsable está ausente. Si no, el enunciado no especifica una estrategia completa. Además de las estrategias de abandonar y de avanzar/avanzar, existen otras posibles: • La estrategia de avanzar/parar: introducir el producto; si la aceptación es rápida, entonces avanzar; si la aceptación es lenta, entonces parar. • La estrategia de parar/avanzar: introducir el producto; si la aceptación es rápida, entonces parar; si la aceptación es lenta, entonces avanzar. • La estrategia de parar/parar: introducir el producto; si la aceptación es rápida, entonces parar; si es lenta, entonces parar.

3

Existen casos especiales para las tres formas de dominancia, donde ambas acciones están relacionadas. Para la dominancia de resultado, todas las utilidades para ambas acciones pueden tener exactamente el mismo valor. Para la dominancia de evento, todas las utilidades de cada evento son exactamente las mismas. y para la dominación probabilística, la probabilidad P(X o más) es la misma para todas las X. En cada uno de estos casos no hay dominancia, y las acciones se consideran equivalentes.

Decisión

y análisis de riesgo

293

FIGURA 7-1 Árbol de decisión para introducción de nuevos productos

Ventas Altas Aceptación rápida

(0.5) Avanzar

(0.6)

Utilidad (miles)

300

Medias

(0.3) Bajas

200 -100

(0.2) Parar

(0.4) Aceptación lenta

-50

Altas

200

(0.3) Avanzar

Medias

-100

(0.6) Bajas

(0.1) Parar

-150

-50

o

Como una estrategia determina por completo todas las decisiones, sólo quedan los eventos. Puede volverse a trazar el árbol de decisión para cada estrategia. El árbol para la estrategia avanzar/avanzar se presenta en la figura 7-2. Las probabilidades para cada resultado se muestran al final del árbol. Por ejemplo, la probabilidad para una utilidad de US$300,000 (el resultado de aceptación rápida y ventas altas) es de 0.6 x 0.5 = 0.30. Las otras probabilidades se calculan de manera similar. Las distribuciones de probabilidad para la utilidad de esta estrategia (avanzar/avanzar) y para las de avanzar/parar y parar/avanzar se muestran en la tabla 7-3. Las distribuciones de probabilidad para la utilidad, como las que aparecen en la tabla 7-3, en ocasiones se conocen como loterías de utilidad o perfiles de riesgo, ya que describen de manera compacta los riesgos que enfrenta el encargado de las decisiones. Las estrategias de abandonar el producto y parar/parar no están en la tabla 73. La estrategia de abandonar tiene una utilidad segura de cero. La de parar/parar tiene una utilidad segura de US$-SO,OOO. Por tanto, la estrategia de abandonar domina a la de parar/parar por dominancia de resultado. En la tabla 7-3 se observa que la estrategia de avanzar/parar se impone a la de parar/avanzar por dominancia probabilística ya que la probabilidad acumulada P(X o más) es la misma o mayor en cada caso. No existe otra dominancia. En ocasiones es más fácil ver la dominancia probabilística observando una gráfica de las distribuciones acumuladas, es decir, un esquema de P(X o más). Una estrategia domina a otra si su curva acumulada en todos los puntos es la misma o está

294

Análisis cuantitativo

FIGURA 7-2 Árbol abreviado de la estrategia avanzar/avanzar Utilidad (miles)

Ventas Altas (0.5)

Aceptación rápida

300

0.30

200

0.18

Bajas (0.2)

-100

0.12

Altas (0.3)

200

0.12

Medias (0.6)

-100

0.24

-150

0.04

Medias (0.3)

(0.6)

Probabilidad

Introducir

(004)

Aceptación lenta

Bajas (0.1)

TABLA 7-3 Distribuciones de probabilidad y distribuciones acumuladas para estrategias seleccionadas

Estrategia avanzar/avanzar Utilidad X

P(X)

P(Xomás)

-150

0.04

1.00

-100

0.36

-50 200

O 0.30

300

0.30

Estrategia avanzar/parar

Estrategia parar/avanzar

p(X omás)

P(X)

P(X omás)

0.96

O 0.12

1.00 1.00

0.04 0.24

1.00 0.96

0.60

0.40

0.88

0.60

0.60

0.18

0.48

0.12

0.72 0.12

0.30

0.30

0.30

P(X)

O

O

por encima de la curva acumulada de otra. La figura 7-3 muestra el caso de una estrategia dominada en el lado izquierdo. La estrategia avanzar/parar (la línea punteada) se impone a la estrategia parar/avanzar, ya que en todos los puntos su curva es igualo está por encima de ella. De otro lado, cuando la curva cruza, como en el lado derecho de la figura 7-3, no hay dominancia. Ninguna distribución está siempre por encima (o es la misma) de otra. Cuando hay muchos resultados en el árbol de decisión, suele ser más fácil verificar la dominancia utilizando curvas acumuladas que usar tablas como la 7-3. En este ejemplo se observa que pueden eliminarse sólo dos estrategias dominadas (las de parar/avanzar y parar/parar). El criterio de dominancia no brinda un mecanismo para elegir entre las otras tres estrategias; por consiguiente, la dominancia es sólo un criterio parcial de decisión.

Uso de perfiles de riesgo en análisis de decisión Las distribuciones de probabilidad acumulada de utilidad como las que se ilustran en la figura 7-3 suelen llamarse perfiles de riesgo. Si el problema de decisión es

Decisión y análisis de riesgo

295

FIGURA 7·3 Distribuciones de utilidad acumulada

P(X 1.0

O más)

P(X 1.0

O más)

iC--

--,

--1

: Estrategia avanzar/parar

0.8 Cll

-o Cll "S E :::l

I I I 1 I I

0.6

()

Cll

-o Cll "S :::l

..

()

Cll

0.4

I

Estrategia de parar/avanzar: I I

o -200

----I I I

~ 0.4

-----1

0.2

Estrateaia avanzar/avanzar

-o

I I I I

.c

e o-

I I I 1

E 0.6

Cll

;g :.c Cll

I I

Cll

1

-o

: Estrategia avanzar/parar

0.8

:.c Cll

.c o

o::

0.2

Estrategia de parar/avanzar

o ' - _ . . . L - _ - - ' -_ _

--I

.L.-.1

-100

o

100

200

300

-200

-100

O

100

200

300

Utilidad (miles)

Utilidad (miles)

relativamente simple e implica sólo unos pocos resultados posibles, quien toma la decisión puede entender con rapidez el riesgo que enfrenta. Por otra parte, las decisiones de negocios en el mundo real suelen involucrar muchas incertidumbres y detectar el riesgo es difícil. Como ejemplo, considerar el caso de una empresa que enfrenta una decisión acerca de la introducción de un nuevo producto. Hay incertidumbre acerca del tamaño del mercado para el producto, de la celeridad con que crecerá el mercado, de la participación de mercado que la empresa obtendrá, del precio que podrá cobrarse y del costo de fabricación del producto. Una forma abreviada del árbol de decisión para esta decisión aparece en la figura 7-4, donde se muestran los factores de incertidumbre. En el árbol completo, cada nodo de incertidumbre estaría al final de cada rama. Si como se muestra, hay cinco niveles para cada factor de incertidumbre, el árbol completo sería muy frondoso pues tendría, 3,215 valores finales. La persona encargada de tomar la decisión enfrentaría muchas dificultades para entender el riesgo asociado con la decisión de introducir el producto. FIGURA 7-4 Árbol de decisión abreviado para la introducción de un nuevo producto

Tamaño del mercado

Crecimiento del mercado

Participación de mercado

Precio

Costo unitario

296

Análisis cuantitativo

Sin embargo, la distribución de probabilidad acumulada, o perfil de riesgo, puede calcularse como se ilustró en la tabla 7-3 y en la figura 7-3. Con 3,215 valores finales para calcular, ésta podría parecer una tarea atemorizante. No obstante, el software moderno de análisis de decisión calcula con sus rutinas estos perfiles de riesg0 4. También existe una técnica llamada análisis Monte CarIo que puede utilizarse; y que se tratará en un capítulo posterior llamada Simulación. Un ejemplo del perfil de riesgo que resultaría se presenta en la figura 7-5. El valor de un perfil de riesgo de esta clase es el que le permite a la persona encargada entender lo arriesgado de la decisión. Por ejemplo, en la figura 7-5, hay cerca de 40% de oportunidad de que con el nuevo producto se pierda dinero (tiene unvalor presente neto negativo) y 60% de oportunidad de ganarlo. Hay cerca de 10% de posibilidad de perder más de US$6 millones y 10% de ganar más de US$12 millones. Así, si la empresa decide introducir el nuevo producto, es porque toma el nesgo. Una extensión importante de este análisis es buscar la contribución de los diferentes factores de riesgo. Considerar el factor de participación en el mercado. Al experimentar con diferentes distribuciones para este factor, la empresa puede descubrir que los valores negativos muy grandes son el resultado de obtener una participación pequeña en el mercado. Esto podría conducir a una investigación de mercado del consumidor, para comparar el producto de la empresa con el de los competidores y así obtener un mejor estimado de la participación en el mercado; o emprender una investigación de ingeniería para estimar con mayor precisión el coste:J de fabricación del producto. En resumen, desarrollar el perfil de riesgo es un paso importante en la evaluación de decisiones de gran envergadura. En el ejemplo de decisión y análisis de riesgo de Du Pont, al comienzo del capítulo, se mencionó el uso que hizo la empresa

FIGURA 7·5 Perfil de riesgo para la decisión de un nuevo producto

-o

.~

ro

0.9

'5

0.8

E o

0.7

ro

0.6

ro >

0.5

~

en 'ro

x:

lao-

~:::l

.....

..., L-

11

0.4

E

:::l

~ -o

0.3

:g

0.2

.o

0.1

al

:aal o

o::

o

-10

l

L,..,

n

~ 1---0

-

-5

o

5

10

il---, 15

20

25

Utilidad (valor presente neto millones)

4 Véase, por ejemplo, McNamee Peter and Celona John, DecisionAnalysis for the Professional with Sllpertree,

2 ed., (Palo Alto, CA: Scientific Press, 1990); y DPL, Decision Analysis Software for Microsoft Windows, ADA Decision Systems (Belmont, CA: Duxbury Press, 1995).

Decisión y análisis de riesgo

297

de las probabilidades acumuladas (perfiles de riesgo) para entender las incertidumbres que afectaban la decisión acerca de la estrategia para la unidad de negocios.

RESUMEN Si la actitud que tiene hacia el riesgo la persona encargada de una decisión no es importante en un problema de decisión, por 10 general, es preferible aplicar la regla de la decisión del valor esperado ante otros criterios de decisión. Es la única que utiliza toda la información disponible y garantiza una decisión definitiva entre las opciones. Incluso, cuando se presenta un riesgo, el valor monetario esperado es un primer paso útil. En ocasiones, el uso del criterio de dominancia puede eliminar algunas opciones inferiores en un problema de decisión. El cálculo de la distribución acumulada o perfil de riesgo, es un paso útil para entender el riesgo en una decisión compleja.

UTILIDAD COMO UNA BASE PARA LA TOMA DE DECISIONES Al comienzo del capítulo, se presentaron varias opciones como la alternativa A l' la cual era el recibo seguro de US$100,000, o la alternativaA 2, que era una lotería que implicaba 50% de oportunidad de no recibir nada y 50% de conseguir US$250,000. La mayoría de la gente, elegiría la alternativaA 1 por encima de laA 2, a pesar de que el valor esperado de la segunda oportunidad fuera de US$125,000, considerablemente más alto que el valor de la primera opción. Von Neumann y Morgenstern5 construyeron un marco de referencia consistente con opciones como las de preferir Al en lugar deA 2. Ellos sostuvieron que las decisiones se toman para maximizar la utilidad esperada en lugar del valor monetario esperado. Si se seleccionaA 1 por encima deA 2, se concluirá que la alternativa Al tiene más utilidad que la alternativaA 2 . Si no se le diera importancia a las dos opciones, se concluiría que cada alternativa ofrece la misma utilidad esperada. Con base en supuestos lógicos acerca de la manera como la gente elige entre opciones, Van Neumann y Morgenstern desarrollaran un procedimiento para cuantificar o medir la función de utilidad que los bienes o el dinero tienen para una persona. Esta función puede utilizarse para calcular la utilidad esperada y la persona encargada de tomar la decisión puede maximizar la utilidad esperada en lugar del valor monetario esperado.

Derivación de una función de utilidad para el dinero Para emplearlos en la toma de decisiones, los valores de utilidad deben asignarse a todos los resultados. En muchas circunstancias, dichos resultados no son de naturaleza monetaria. Por ejemplo, en los diagnósticos médicos, un facultativo tiene que considerar factores como el dolor y el sufrimiento, la pérdida de trabajo debido a una hospitalización, los efectos psicológicos, los costos e, inclusive, la muerte. Es posible utilizar el método de Van Neumann-Morgenstern para asignar valores de utilidad a dichos resultados. Sin embargo, en la mayor parte de los problemas de decisiones de negocios, la consecuencia monetaria es de gran importancia. Por tanto, debe ser de interés primario en la evaluación de la función de utilidad para el dinero.

5 Neumann J. Von y Morgenstern, O. TheOlY of Games and Economic Beh(lvior (Princeton: Princeton Universi ty Press, 1944).

298

Análisis cuantitativo

La forma de las funciones de utilidad Resulta posible hacer algunas generalizaciones acerca de la forma usual de una función de utilidad. La gente considera el dinero como un bien deseable y prefiere tener más que menos de él. Usualmente la medida de utilidad de una gran suma, es mayor que la medida de utilidad de una cantidad pequeña, y la función de utilidad aumenta por encima de cualquier rango relevante de dinero. Puede describirse una función de utilidad como aquella que tiene una pendiente positiva sobre ese rango relevante. En este caso, la pendiente es la relación de un cambio incremental en el índice de utilidad [L1U/(M)] como resultado de un cambio incremental en el acumulado de dinero (¡jM). Los cambios incrementales siempre tendrán el mismo signo, de modo que pueden escribirse como: Pendiente= /J.U(M) > O /J.M . Esta medida de la pendiente se conoce como utilidad marginal de dinero y, excepto por el signo algebraico, es una medida arbitraria. La pendiente de una función de utilidad es positiva y probablemente no varíe ante pequeños cambios en el acumulado de dinero, dentro de ese rango tiene casi una pendiente constante y puede considerarse como lineal. Si la función de utilidad es lineal, [U(M) en la figura 7-6], la utilidad esperada se maximiza el valor monetario esperado. Por tanto, el valor monetario esperado puede utilizarse de manera apropiada como una guía para la toma de decisiones sólo cuando existe una razón para creer que la función de utilidad pertinente es lineal, dentro del rango de resultados posibles. Se ha visto que para grandes variaciones en la cantidad de dinero, ésta es la condición más improbable. En los extremos, para grandes pérdidas y grandes ganancias, la función de utilidad es casi segura para acercarse a los límites superior e inferior. Usualmente, la pendiente de la curva aumentará de manera evidente a medida que la cantidad de la pérdida se incrementa, lo que implica que la no utilidad de una gran pérdida proporcionalmente es mayor que la no utilidad de una pérdida pequeña; sin embargo, la curva puede aplanarse cuando la pérdida se vuel-

FIGURA 7-6 Utilidad lineal para el dinero

U(M): función de utilidad implícita al maximizar el valor monetario esperado: Dinero 6.U(M) 6. M = Constante \

Decisión y análisis de riesgo

299

va más grande. De manera similar, para grandes acumulados de dinero, la pendiente de la función de utilidad crece menos con las adiciones a ese acumulado. Estas observaciones son consistentes con el punto de vista tradicional de utilidad marginal decreciente de la psicología del consumidor. También son consistentes con la noción de aversión al riesgo, que está presente en la mayor parte de los problemas de decisiones de negocios. Un ejemplo de una función de utilidad con aversión al riesgo se muestra en la figura 7-7. Si un individuo tiene aversión al riesgo, entonces la utilidad esperada de una apuesta es menor que la utilidad del valor monetario esperado. Es posible que la persona encargada de las decisiones prefiera el riesgo, al menos dentro del rango de la función de utilidad. En este caso, la utilidad esperada de una apuesta es mayor que la utilidad del valor monetario esperado. Una función de utilidad que prefiere el riesgo también se presenta en la figura 7-7.

FIGURA 7-7 Funciones de utilidad

Aversión al riesgo Preferencia al riesgo

Dinero

Evaluación de una función de utilidad

El primer paso para deducir con certeza una función de utilidad es determinar dos valores para utilizarlos como puntos de referencia. Por conveniencia, estos pueden ser el valor monetario más grande y el más pequeño involucrados en el problema de decisión. Los valores de utilidad que correspondan a estos valores monetarios se seleccionan de modo arbitrario; podrían asignarse los valores y 1. Por ejemplo, si el problema de decisión incluye valores monetarios en el rango desde -US$10,000 hasta +US$100,000, se asignaría una utilidad cero a -US$10,000 y una utilidad de 1.0 a US$100,000. Es decir:

°

° La selección de los valores de utilidad °y 1 es arbitraria pues podrían haberse elegido valores de -29 y +132 u otros. En este sentido, la escala de utilidad es como la de la U(-US$10,000)

= y U(US$100,000) = 1.0

temperatura. Las escalas Celsius y Fahrenheit miden la temperatura, pero tienen diferentes lecturas para el punto de congelamiento del agua (0° y 32°, respectivamente) y para el punto de ebullición (100 0 y 2120 , respectivamente). A continuación se formula la alternativaA 1 que ofrece la mitad de posibilidades para -US$10,OOO y la mitad para +US$100,OOO. La utilidad esperada de esta

300

Análisis cuantitativo

alternativa es la suma de las asignaciones de utilidad a los posibles eventos, multiplicados por las probabilidades apropiadas. En este caso:

= IhU(-US$lO,OOO) + VzU(US$100,000) = 112(0) + 112(1) = 0.5 Ahora se formula una segunda alternativa (A z) que da como resultado alguna U(A l )

cantidad de dinero; por decir algo, US$25,000. Ahora, puede elegirse entre los dos planes de acción, Al yA 2. Se eligeA 2 o la certeza de US$25,000. Se deduce que:

U(A 2 ) > U(A l )

= 0.5

ó U(US$25,000) > IhU(-US$10,000) + VzU(US$100,000) = 0.5; es decir, la utilidad de US$25,000 es mayor que un medio. Debido a que se prefieren US$25,000 en lugar deA l , se concluye que el índice de utilidad deA 2 es mayor que un medio. Si se ofrecieron US$5,000 seguros (A 3) y se encontró que se prefirió A 1 aA 3, esto implica que el índice de utilidad asociado con US$5,000 debe ser menor que un medio. Con paciencia, podría continuarse con las acciones alternas propuestas que dan como resultado sumas de dinero seguras hasta descubrir una tan atractiva como Al' Suponiendo que esta oferta fuera US$15,000, podría deducirse que no hay diferencia entre US$15,000 seguros y la propuesta original. Por consiguiente, la asignación . de utilidad para US$15,000 debe ser:

U(US$15,000)

= VzU(-US$lO,OOO) + 1/zU(US$100,000) = 0.5

Ahora, se tienen tres puntos a través de los cuales pasa la función de utilidad. De manera similar pueden hacerse evaluaciones adicionales de la utilidad. Por ejemplo, se plantea una alternativa que ofrece 0.5 de probabilidad para US$15,000 y 0.5 de probabilidad para US$100,000; entonces, hay que encontrar la suma que debe ofrecerse con certeza para que haya indiferencia ante la oportunidad que implica el riesgo. Esta cantidad puede ser US$47,000. Podría concluirse que la asignación de la utilidad correspondiente a US$47,000 es:

U(US$47,000)

= V2U(US$15,000) + VzU(US$100,000) = Vz(0.5) + Vz(1.0) = 0.75

A continuación, plantear la alternativa que implique la mitad de oportunidad para US$15,000 y la mitad para -US$lO,OOO. Puede considerarse esta alternativa como desfavorable, y en realidad haber disponibilidad a pagar alguna cantidad para liberarse de la alternativa (de la misma manera como se compra un seguro para sentir alivio ante un riesgo). Suponer que es indiferente -US$2,500 (es decir, un pago de US$2,500) y la oportunidad que involucra el riesgo. Entonces:

U(-US$2,500) =

= VzU(-US$10,000) + VzU(US$15,000) %(0) + %(0.5)

=

0.25

Ahora, se tienen los cinco puntos de la función de utilidad mostrados en la tabla 74 Yen la figura 7-8. Los puntos pueden conectarse a través de una curva uniforme

TABLA 7-4 Puntos de utilidad evaluados

Valor monetario M

US$-10,000 -2.500 15,000 47,000 100,000

índice de utilidad U(M)

o 0.25 0.50 0.75 1.0

Decisión y análisis de riesgo

301

FIGURA 7-8 Función de utilidad evaluada

1.0

.75

V /

'O

al

:Q

·5 Q)

.50

~v

~

1/

'O Q)

.~ 'O

,E .25

o

I

-10

O

25

75

50

100

Valor monetario (miles de dólares)

para dar una aproximación a la función de utilidad para el rango completo: desde US$10,000 hasta US$100,000. Observar que: U(US$15,000)

= 0.5

y V2U(-US$2,500) + V2U(US$47,000)

= 1/2(0.25) + 1/2 (0.75) = 0.5

Por consiguiente, corno verificación final de las evaluaciones, son indiferentes US$15,000 seguros y una alternativa que implica la mitad de oportunidad con -US$2,500 y la mitad de oportunidad con US$47,000. Si esto no es cierto, las evaluaciones no son consistentes y deben revisarse. Un procedimiento alternativo para evaluar la función de utilidad es tornar un determinado valor monetario y, entonces, establecer las probabilidades de hacer una apuesta que involucre los valores máximo y mínimo equivalentes a la cantidad segura. Por ejemplo, si se torna una cantidad L, entonces, se formula la ecuación: pU(US$100,000) + (1-p)U(-US$10,000)

= U(L)

y se encuentra la probabilidadp que hace que para la persona encargada de la deci-

sión sean indiferentes los dos lados de la ecuación. Corno ejemplo, si L fuera US$25,000, quien torna la decisión tendría que evaluar una probabilidad p corno si le fueran indiferentes US$25,000 seguros y una oportunidad p de US$lOO,OOO y una oportunidad (1- p) de US$-lO,OOO. En este caso, p podría ser 0.60. Entonces: U(L)

= U(US$25,000) = 0.6U(US$100,000) + 0.4U(-US$10,000)

= 0.6(1) + 0.4(0) = 0.6 dado que se ha determinado que U(US$100,000) = 1.0 YU(-US$10,000) = 0, U(L) =p. Para obtener otros valores sobre la curva de utilidad, se seleccionarían valores diferentes de L y la probabilidad p evaluada. De esta manera, podría obtenerse una curva similar a la de la figura 7-8.

302

Análisis cuantitativo

USO DE LAS FUNCIONES DE UTILIDAD Una función de utilidad representa la actitud subjetiva del encargado de una decisión ante el riesgo. Por tanto, una función de utilidad de una persona puede usarse para evaluar opciones de decisión que implican resultados inciertos.

Ejemplo El responsable de tomar una decisión tiene que elegir entre dos opciones. La alternativa A involucra un contrato en el cual una empresa está segura de lograr una rentabilidad de US$20,OOO. La alternativa B, del otro lado, se refiere a la introducción de un nuevo producto. Las ventas que el producto lograría y, por consiguiente, la utilidad, son desconocidas. La gerencia asigna las probabilidades que se muestran en la tabla 7-5 a las diferentes posibilidades de utilidad. El valor monetario esperado para la alternativaB es de US$25,OOO. Sobre esta base, B sería preferible a la alternativaA. De otra parte, si quien toma la decisión fuera adverso al riesgo, la preferencia podría cambiar. Se observa que con la alternativa B hay 30% de posibilidad de no lograr ninguna rentabilidad y 10% de perder. Si la persona que toma la decisión tuviera la función de utilidad que aparece en la figura 7-8, se evaluaría esta alternativa utilizando valores de utilidad en lugar de valores monetarios. Al interpolarla en la figura 7-8, podrían encontrarse los valores de utilidad asociados con cada cantidad de utilidad. Éstas se presentan en la tabla 7-5. Si se utiliza las probabilidades de esa tabla, puede calcularse la utilidad esperada (al multiplicar las probabilidades por las cantidades de la utilidad y sumar). La utilidad esperada se calcula como 0.51. Puede observarse que la utilidad de US$20,000 aparece en la tabla 7-5 como 0.55. De ahí que la utilidad esperada de la alternativa B no sea tan grande como la utilidad del contrato que implica US$20,000 seguros; lo que indica que debe aceptarse el contrato.

Equivalentes de certidumbre La noción de un equivalente de certidumbre se' ha presentado varias veces en este capítulo. Ahora se considerará su significado de manera más explícita. Considerar una situación de decisión incierta, que puede presentarse como la de una lotería L, con resultados en dólares Al y A 2, Y las probabilidades correspondientes p y (1 - p). El equivalente de certidumbre (EC) es una cantidad en dólares segura o cierta A *, la cual es equivalente, para el encargado de la decisión, a la lotería L. El equivalente de certidumbre puede interpretarse como el máximo seguro que la persona responsable de la decisión pagaría para quedar liberada de un riesgo

TABLA 7-5 Probabilidades, resultados y utilidades de la alternativa B

Probabilidad

Resultados (miles de dólares)

0.1 0.3

-US$10 O

Utilidad

O

0.30

0.2

20

0.55

0.2

40

0.71

0.1 0.1

60 80

0.82

US$25

0.514

Valores esperados

0.90

Decisión y análisis de riesgo

303

indeseado; por ejemplo, la prima máxima por adquirir un seguro contra incendio para su casa. O podría considerarse el equivalente de certidumbre como la cantidad mínima segura que se estaría dispuesto a pagar para vender un grupo de resultados deseables pero inciertos. Una vez que se ha obtenido la función de utilidad y las probabilidades en una situación de decisión determinada, el equivalente de certidumbre puede obtenerse directamente con los métodos antes descritos. En el ejemplo anterior, la alternativa de introducir un nuevo producto tiene una utilidad esperada de 0.514. Si US$17,500 también tienen una utilidad de 0.514, puede decirse que US$17,500 es el equivalente de certidumbre de la alternativa que implica la introducción del nuevo producto. Cuando se enfrenta una situación de decisión incierta, es beneficioso determinar el equivalente de certidumbre directamente, preguntándole al encargado de tomar la decisión. Si no hay concordancia con el valor calculado al utilizar la función de utilidad y las probabilidades, entonces hay una inconsistencia; esto puede ser debido a la curva de utilidad o a las probabilidades asignadas a los resultados. Por consiguiente, el uso del equivalente de certidumbre es una verificación de la validez del análisis. El equivalente de certidumbre también tiene otro uso para analizar situaciones complejas de decisión. Hasta ahora, el procedimiento busca obtener información separada de los resultados de diferentes probabilidades y una función de utilidad para el proceso de toma de decisiones. Como, a menudo, ambos representan criterios subjetivos por parte de la persona encargada, en ocasiones es conveniente simplificar el análisis y llegar directamente al equivalente de certidumbre.

Ejemplo Una empresa está licitando para un contrato de suministro de 1,000 unidades deun determinado componente electrónico. Tiene que decidir su precio para la oferta. Un factor incierto en el proceso de decisión es la posibilidad de una huelga por parte de sus trabajadores. Si éstos la hacen, significa que habrá retrasos y sanciones asociadas con el incumplimiento del plazo estipulado en el contrato. Para simplificar el análisis de decisión, podría preguntársele al fabricante cuánto estaría dispuesto a pagar por un seguro contra pérdidas debido a la posibilidad de la huelga. Podría responder, por ejemplo, US$3,000. Esta cantidad es el equivalente de certidumbre para la situación incierta relacionada con la huelga (el resultado en dólares con y sin una huelga y las posibilidades relacionadas). La persona encargada de la decisión en realidad puede no estar dispuesta a comprar un seguro de este tipo, pero el equivalente de certidumbre brinda una cifra que puede usarse en el análisis para determinar la oferta adecuada para el fabricante.

Análisis de utilidad en árboles de decisión Los problemas de decisión con múltiples etapas de decisiones o eventos están representados por árboles de decisión. Cuando el riesgo es un factor, los valores de la utilidad pueden utilizarse directamente en el árbol. La función de utilidad se evalúa como se analizó y los valores de la utilidad se sustituyen por los valores de resultados al final del árbol. Entonces, se retrocede en el árbol; se calcula la utilidad esperada la utilidad esperada en cada nodo de evento y se hace la elección para la utilidad más alta en los nodos de decisión. En otras palabras, se trata exactamente como un árbol de decisión con resultados monetarios. La figura 7-9 muestra el árbol de decisión para la introducción de un nuevo producto que se empleó antes (figura 7-1). Suponer que la empresa tiene interés de saber acerca de la magnitud de las posibles pérdidas y ha evaluado su función de

304

Análisis cuantitativo .

utilidad para rendimientos como se muestra en la figura 7-10. Esta función de utilidad se ajustó a través de una ecuación matemática6: u(x)

= 1.118 -0.5280e-x/ZOO

Los valores de la utilidad para los resultados se leen en la figura 7-10 (o se calculan de la función) y se muestran al final del árbol. En el árbol se retrocede utilizando estos valores. Por ejemplo, el valor es la utilidad esperada asociada con el nodo del evento superior (Introducir/Aceptación rápida/Avanzar). Como puede verse, la estrategia óptima es introducir y luego avanzar si la aceptación es rápida, pero parar si se presenta aceptación lenta. La utilidad esperada de esta estrategia es . El equivalente de certidumbre (ver en la figura 7-10 o en la función) es US$33,800. En contraste, la estrategia de VME es avanzar con el producto sin tener en cuenta si la aceptaCión es rápida o lenta, y el valor VME es de US$108,000.

Premios al riesgo Un individuo tiene una función de utilidad U(!) como se muestran en la figura 7-11. Considerar la primera como una apuesta que implica la mitad de oportunidad para la cantidad 1, y la mitad para la cantidad 13' El valor monetario esperado (VME) de esta apuesta es I z. 6 Véase el apéndice de este capítulo para un estudio de funciones de utilidad exponencial de este tipo.

Decisión y análisis de riesgo

FIGURA 7-10 Función de utilidad para decisiones de nuevos productos

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0.8

"O

ro :Q

0.6

:¡:o ::J

~ ID

"O ~

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0.4

>

0.2

J

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1/

-150

-100

~

-50

¡.....--

/

/

O

V

L---

305

50

100

150

200

250

300

Resultados (miles de dólares)

FIGURA 7·11 Función de utilidad

U(lsJ

Premio al riesgo p.rimera apuesta

U(I*)

U(l1)

1*

It 14

12

EC VME

EC VME Ingresos

(~

El equivalente de certidumbre de la apuesta es!*, la cantidad segura que tiene la misma utilidad que la utilidad esperada de la apuesta, es decir, 1/2U(!1) + l/zU(!3) = U(j*). La diferyncia entre el VME y el equivalente de certidumbre (EC) de la apuesta, es decir, !2 - 1*, es el premio al riesgo asociado con la apuesta para esa persona. El premio al riesgo es una medida de cuánta aversión al riesgo hay en un rango de la función de utilidad de un individuo. Quien tenga el mayor premio al riesgo, entre dos individuos que se presentan a la misma apuesta, tendrá la aversión más alta.

306

Análisis cuantitativo

Para un individuo dado, por lo general el premio al riesgo no es el mismo en los diferentes rangos de la función de utilidad. Considerar una segunda apuesta que implica la mitad de oportunidad para J3 y la mitad para J5, donde J5 es tal que la distancia entre J3 e J5 es la misma que entre JI e J3, (es decir, J5 - J3 = J3 - JI)' Esta segunda apuesta puede pensarse como si estuviera compuesta por una cantidad segura de (J 3 - JI)' más la primera apuesta que incluye a JI e J3. En este sentido, la segunda apuesta es la misma que la primera, excepto por un punto de partida diferente (J 3 contra J1). El valor esperado es J4, y el equivalente de certidumbre es Jt. Como puede observarse, el premio al riesgo en la segunda apuesta (J4 - Jt) es menor que el premio al riesgo en la primera apuesta. Por consiguiente, la función de utilidad que se muestra en la figura 7-11 tiene la propiedad de aversión al riesgo decreciente. En otras palabras, el individuo es menos adverso al riesgo cuando la cantidad de dinero J aumenta. Esta propiedad de aversión al riesgo decreciente parece razonable para la mayor parte de las empresas y en muchas decisiones personales. La posibilidad de una pérdida de un tamaño dado se vuelve menos significativa cuanto mayor bienestar posea el inversionista.

RESUMEN Cuando las consideraciones del riesgo son importantes, maximizar la utilidad esperada puede ser más apropiado que maximizar el valor monetario esperado. Una función de utilidad puede evaluarse utilizando loterías y puntos de indiferencia o por medio de equivalentes de certidumbre. La alternativa de decisión que maximiza la utilidad esperada es la alternativa preferida. Los valores de la utilidad pueden utilizarse directamente como valores de resultados en los árboles de decisión.

PRECAUCIONES EN EL USO DEL ANÁLISIS DE DECISIÓN El método del análisis de decisión para la toma de decisiones implica identificar opciones y eventos de decisión, mediante el cálculo de valores de resultados, y además evaluar probabilidades para eventos. El criterio de valor monetario esperado (VME) se utiliza cuando el riesgo no es importante; y se complementa con la teoría de la utilidad y la dominancia cuando incluye riesgos. Este método ha demostrado ser útil en dos niveles. Primero, brinda un marco de referencia muy valioso para pensar acerca de la incertidumbre. Buena parte de la teoría moderna de finanzas y economía se basa en los conceptos básicos de VME y utilidad. De modo que el análisis de decisión es un componente importante de los marcos de referencia conceptuales para otras disciplinas. Sin embargo, el análisis de decisión también ha demostrado ser valioso para solucionar problemas prácticos de negocios. Por ejemplo, los sistemas de programación de inventario y producción utilizan el criterio de decisión del VME para tomar en cuenta la incertidumbre asociada con la demanda. Las principales decisiones de inversión por parte de empresas, a menudo implican un análisis de decisión formal, incluyendo el desarrollo de un perf~l de riesgo para diferentes opciones. (Véase el ejemplo de Du Pont al comienzo del capítulo). En algunas industrias, como la de extracción de petróleo y servicio de energía eléctrica, el uso del análisis de decisión es rutinario. No obstante, no siempre es directo y hay algunas precauciones de las que debe estar consciente el usuario.

Decisión y análisis de riesgo

307

Definición del problema Antes de tomar decisiones es importante resolver el problema correcto. Esto se conoce como definición del problema. Un análisis de decisión muy elaborado acerca de dónde localizar una fábrica, cuando el problema real que se enfrenta es cómo hacer que el producto satisfaga las necesidades del consumidor, es un desperdicio de recursos y tiempo. Un ejemplo de fracaso en la definición del problema fue el de la industria relojera suiza. Los fabricantes de relojes suizos conocieron la tecnología de los relojes accionados por batería (digitales) mucho antes que los japoneses. Sin embargo, ellos no pensaron que esta nueva tecnología reemplazaría los viejos aparatos accionados por muelles con los cuales se hicieron famosos. La definición que hicieron del problema no incluyó la idea de una industria totalmente nueva: los relojes digitales. Perdieron la oportunidad ante los japoneses. ¿Cuál esla implicación de este análisis de decisión? La lección es que la persona encargada de tomar la decisión, antes de hace cualquier análisis detallado, debe volver atrás y preguntarse: _" ¿Hay otras formas de alcanzar esta meta?" Esto puede parecer obvio, pero la experiencia ha demostrado que es un paso necesario.

Desviaciones en la estimación de probabilidades La expresión de la incertidumbre del encargado de la decisión en forma de probabilidades es una parte importante del método del análisis de decisión. Los investigadores han encontrado que existen desviaciones importantes en las probabilidades estimados. Para ilustrar este punto, se recomienda tomar unos cuantos minutos y responder las preguntas de la tabla 7-6. Se pide estimar dos valores con una distribución de probabilidad. Para algunas preguntas, puede tenerse una idea razonable, pero haber encontrado bastante inseguridad acerca de otras. Esto debe reflejarse en los valores que se evalúen. Por favor no leer hasta no haber terminado la prueba.

TABLA 7-6 Ejercicio para estimar probabilidades

Para cada una de las siguientes preguntas, escribir dos estimados (los límites superior einferior de un intervalo) de manera que, ajuicio personal, hay 90% de oportunidad de que el verdadero valor caiga dentro del intervalo. Por ejemplo, si la pregunta es sobre la población de California en 1993, podrían estimarse valores entre 25 millones y 35 millones que indican que se cree que hay 90% de posibilidad de que el verdadero valor esté en algún lugar de este intervalo. 0, como alternativa, que sólo existe 10% de oportunidad de que se encuentre por fuera de ese rango. Escribir los estimados. Cuando haya respondido todas las preguntas, califíquese leyendo las respuestas en la nota de pie de página de la página siguiente, y registre el número de veces que los valores verdaderos están dentro de su intervalo. 1. ¿Cuál es la longitud (en millas) del río Amazonas en América del Sur? 2. ¿Cuál es el número de personas que presentaron la prueba mundial GMAT durante el año académico de 1995-1996? (GMAT es el acrónimo de la prueba Graduate Management Admission Test, un requisito de admisión para la mayor parte de los programas de MBA en EE.UU.) 3. ¿Cuál era la población de Singapur en 1994? 4. ¿Cuál es la distancia aérea (en millas) desde San Francisco hasta Moscú? 5. ¿Cuál fue la circulación diaria promedio del periódico USA Today para el período de enero a marzo de 1995? 6. ¿Cuál fue el número de vehículos registrado en el estado de California en 1992? 7. ¿Cuál es el área de Alaska en millas cuadradas? 8. ¿Cuál fue el número de títulos de MBA concedidos en EE.UU, en 1994? 9. ¿Cuál fue el número total de pasajeros que utilizaron el aeropuerto O'Hare de Chicago en 1994 (incluir pasajeros que llegaron y que partieron)? 10. ¿Cuál es la distancia promedio, en millas, entre la Tierra y el Sol?

308

Análisis cuantitativo

¿Terminó? ¡Bien! De las 10 respuestas, ¿cuántas veces se sorprendió? Es decir, ¿cuántas veces cayó el valor de verdad fuera del rango que especificó? Si usted es como la mayoría de la gente, obtuvo entre 4 y 7 u 8 sorpresas, y si estaba debidamente preparado, sólo debió tener una sorpresa. Recuerde que los intervalos representan 90% de oportunidad de modo que queda 10% para sorprenderse (fuera del intervalo). Así, debe esperarse únicamente 10% de 10 preguntas, lo que equivale a una pregunta, es decir, a una sorpresa. Varios investigadores han hecho experimentos como estos muchas veces, no sólo con estudiantes, y utilizando preguntas tipo calendario sino también con gente de negocios, y utilizando preguntas acerca de sus industrias y empresas en las cuales, se presume, ellos eran expertos 7. Esto se llama desviación por exceso de confianza. Las personas tendemos a pensar que sabemos más de lo que en realidad conocemos. ¡Somos demasiado confiados! Los investigadores han identificado algunas fuentes del exceso de confianza. Una se llama disponibilidad. Se tiene experiencia con, quizá, una o dos de las formas como dichos eventos pueden ocurrir (por ejemplo, el nivel de ventas de un nuevo producto) y se confía decididamente en eso. Sin embargo, puede haber muchas cosas que suceden por fuera de la experiencia directa. U~ factor relacionado es que la gente se basa demasiado en la información disponible. Por ejemplo, la mayoría de las personas subestima en gran medida el número de muertes por cáncer pulmonar con relación a los asesinatos, simplemente porque la prensa le da más despliegue a estos últimos, es decir, es la información disponible. Otra fuente de desviación procede del anclaje. Un procedimiento que a menudo se sigue para hacer estimados es preguntar primero por el valor que "mejor se adivine" y, luego, pedir los rangos alrededor de ese valor. Esto tiende a hacer los rangos de probabilidad demasiado estrechos, quizá exagerando el efecto que se observó en el cuestionario. Otro factor es la selectividad. Las personas tienden a filtrar información, aceptando lo que confirma sus ideas y estimados e ignorando lo que no lo hace. Esto también conduce al exceso de confianza. ¿Significa esto que es imposible obtener estimados de probabilidad razonables para emplearlos en el análisis de decisión? ¡Por supuesto que no! Sin embargo, es importante tener conciencia de estas desviaciones y tomar las medidas necesarias para superarlas. Una táctica importante es la retroalimentación o feedback. Si los estimados van a hacerse repetidas veces, suministrar la información adquirida sobre la manera como se hicieron los estimados previos puede llevar a contar con pronósticosmás confiables. Los pronosticadores del clima en EE.UU. obtienen retroalimentación, por ejemplo, de sus predicciones de la lluvia yse han vuelto bastante precisos. Llueve 40% de la veces cuando se hace un pronóstico de posibilidad. La Royal Dutch/Shell tiene un programa de entrenamiento para sus geólogos para establecer la presencia de petróleo, utilizando información de sitios anteriores8.

7 Respuestas a la prueba de la tabla 7-6. Contar el número de veces que el valor real cae fuera de su interva·

lo. Éste es el número de sorpresas que usted experimentó: 1. 4,007 millas; 2. 212,000; 3. 2.89 millones de habitantes; 4. 5,871 millas; 5.1.570 millones de ejemplares; 6.17.219 millones; 7. 656,427 millas cuadra· das; 8. 77,000; 9. 66.47 millones de pasajeros; 10. 92.6 millones de millas. Para las preguntas utilizadas como ejemplo, la población de California era de 31.2 millones de habitantes (no incluir este en el puntaje). Para un análisis de estos resultados, véase Russo J. y Schoemaker, P. "Managing Overconfidence", Sloan Managemen/ Review, Winter 1992. Véase también, Tversky A. y Kahneman, D. "Judgment under Uncertainty:

Heuristics and Biases", Science 185 (1974), pp. 1124-31. 8 Estos ejemplos están descritos en Russo y Schoemaker, "Managing Overconfidence".

Decisión y análisis de riesgo

309

Otro método es tratar de imaginar escenarios o caminos que conduzcan a resultados diferentes, a partir de los que se consideran probables. Por ejemplo, los gerentes de marketing que tratan de estimar el primer año de ventas de un nuevo producto, toman en 90% el intervalo de confianza que inicialmente se estimó, entre 1 y 2 millones de cajas. Los gerentes se imaginan un año hacia el futuro con el concepto de que las ventas en realidad fueron de 4 millones de cajas y luego tratan de pensar escenarios que pudieran conducir a ese resultado. 0, para combatir la desviación de selectividad, deliberadamente los gerentes podrían revisar artículos y fuentes con perspectivas diferentes del producto o de la industria, de las que por lo regular leerían.

Limitaciones de la teoría de la utilidad Aunque el análisis de la utilidad es un marco de referencia poderoso para las decisiones que implican riesgos, tiene algunas limitaciones. Todos los ejemplos presentados aquí han incluido la evaluación de funciones de utilidad para decisiones que se mantienen solas. No obstante, en la mayor parte de las situaciones de negocios, y también en muchas de carácter personal, la valoración de los resultados depende de otros factores externos. Por ejemplo, una empresa que toma una decisión de inversión importante con un potencial de pérdida, por ejemplo, de US$20 millones. Una pérdida puede valorarse de distinta manera según ocurra dentro de un año, cuando otros proyectos logren el éxito, cuando se presenten también pérdidas en los demás proyectos. Una pérdida personal también puede considerarse de manera diferente, dependiendo si puede conseguirse o no el aumento de salario que se espera. En otras palabras, existe un efecto portafolio que se debe considerarse. En finanzas, el valor de una acción no sólo depende de la variabilidad de su retorno sino también de la manera como se correlaciona con los retornos del portafolio del cual forma parte. Esto complica considerablemente la evaluación de una función de utilidad para un problema de decisión real. En finanzas, existen datos históricos que se utilizan para estimar la correlación de los retornos de una acción con otros. Esto es mucho más difícil para una decisión, por ejemplo, de construir una nueva fábrica automatizada o introducir un nuevo producto. Otra limitación de la teoría de la utilidad es que numerosos experimentos han demostrado que, en ocasiones, la gente infringe los supuestos básicos sobre los cuales se basa el método. Considerar, por ejemplo, la famosa paradoja de Allais. Hay que enfrentar las siguientes situaciones de decisión: Situación 1: elegir A o B A. Recibir US$l millón con seguridad.

B.

Participar en una lotería que ofrece 10% de oportunidad de un premio de US$5 millones, 89% de oportunidad de un premio de US$l millón, y 1% de no recibir nada.

Situación 2: elegir CaD C. Participar en una lotería que tiene 11 % de oportunidad de ,un premio de US$l millón y 89% de oportunidad de no recibir nada. D.

Participar en una lotería que tiene 10% de oportunidad de un premio de US$5 millones y 90% de no recibir nada.

310

Análisis cuantitativo

Dada esta opción, muchas personas eligen A sobre B en la situación 1 y D en lugar de C en la situación 2. Si se plantea esto en términos de utilidad, preferir A en lugar de B implica:

u(l) > 0.10 • u(5)

+ 0.89 • u(l) + 0.01

• u(O)

donde u(l) es la utilidad del premio de US$l millón; u(5) es la utilidad del premio de US$5 millones y u(O) es la utilidad de no obtener nada. Los puntos extremos de la función de utilidad se definen en Oy 1, Yluego se establece que u(O) = OYu(5) = 1. Con algo de manejo algebraico, la desigualdad anterior se convierte en

O.l1u(l) > 0.10 De manera similar, preferir D en lugar de C implica

0.10· u(5) De nuevo, al sustituir u(5)

+ 0.90 • u(O)

> 0.11 • u(l)

+ 0.89 • u(O)

= 1 Yu(O) = O, se obtiene: 0.10> 0.11 • u(l)

Puede observarse que estas dos opciones dan resultados contradictorios. La gente que elige A en lugar de B en la primera situación y D en lugar de C en la segunda actúan en contradicción con la lógica del método de la teoría de la utilidad. Los investigadores han desarrollado muchos experimentos diferentes donde se observa un comportamiento inconsistente similar 9. En ellos, pueden relacionarse situaciones que involucran pequeñas diferencias de probabilidades (como 10% frente a 11 %, como en el ejemplo anterior) con la manera como se consideran los resultados (una pérdida de US$600 frente al pago de una prima de seguro de US$600); ambigüedad en las probabilidades, buscar ganancias y pérdidas en lugar de la posición final del activo, y así sucesivamente. La evidencia acumulada es que la teoría de la utilidad tiene limitaciones como una teoría descriptiva de la manera como la gente se comporta en realidad bajo condiciones de incertidumbre. De otro lado, para ser consistente, debe mantenerse como una teoría prescriptiva valiosa sobre la manera como las personas deben actuar. Debido a que es difícil obtener valores precisos y consistentes de la función de utilidad, ésta suele incorporarse a aplicaciones reales de la siguiente manera: primero se analiza el problema en términos del VME, incluyendo el desarrollo del perfil de riesgo. Con mucha frecuencia, esto brinda una base adecuada para tomar la decisión y no se necesita evaluar la función de utilidad. No obstante, si el riesgo sigue siendo una parte importante del problema de decisión, entonces el análisis de sensibilidad se hace con funciones de utilidad diferentes para determinar el grado de aversión al riesgo que debería tener el encargado de tomar la decisión antes de cambiar la decisión seleccionada. (Véase el apéndice de este capítulo para un ejemplo al respecto). Debe recordarse que el propósito del análisis de decisión es servir como ayuda y brindar un punto de vista al encargado de la decisión, y este procedimiento ha demostrado ser adecuado.

9 Para un resumen sobre este trabajo, véase el capítulo 4 en K1ienforfer, P. R. Kunreuther, H. e y 5choc;maKc;r, P. J. H. Decision Sciences (Cambridge: Cambridge University Press, 1993).

Decisión y análisis de riesgo

311

RESUMEN Al aplicar el método del análisis de decisión para solucionar problemas reales, deben tomarse ciertas precauciones para evitar posibles desviaciones en la estimación de probabilidades. Aunque la teoría de la utilidad sigue siendo el método prescriptivo más valioso para incluir el riesgo en el análisis de decisiones, tiene limitaciones como tal. En la práctica, las consideraciones de utilidad suelen incluirse como un paso final al hacer el análisis de sensibilidad, utilizando las funciones de utilidad con diferentes niveles de aversión al riesgo. APÉNDICE LA FUNCIÓN DE LA UTILIDAD EXPONENCIAL La figura 7-10 ilustra un tipo de función de utilidad que, en ocasiones, se utiliza en el análisis de decisión: la función exponencial, que tiene la forma de

u(x)

= a - be-x/R

donde u (x) es el valor de utilidad para los rendimientos dex; a y b son los parámetros que pueden establecerse para graduar la función (definir los puntos Oy 1.0, por ejemplo) y Res el parámetro de aversión alliesgo. Esta función tiene la propiedad de que muestra la aversión constante al riesgo para todo el rango. Es decir, la prima de riesgo no cambia en diferentes partes de la curva. Como se estudió al comienzo de este texto, en los individuos podría esperarse una disminución de la aversión al riesgo (véase figura 7-11). Sin embargo, el supuesto de la aversión constante al riesgo puede ser una aproximación razonable para muchas decisiones de negocios. Una ventaja de utilizar una forma matemática como la función de utilidad exponencial es que permite hacer el análisis de sensibilidad con diferentes niveles de aversión al riesgo. En el caso de la función de utilidad exponencial, esto simplemente implica variar el parámetro de aversión al riesgo, R. Para entender esto, véanse las figuras 7-9 y 7-10. En ese ejemplo, los valores de los parámetros fueron a = 1.118, b = 0.5280 Yel parámetro de prima de riesgo R = 200. Puede observarse que la estrategia óptima para la persona que toma la decisión de VME o de fiesgo neutral, debería ser la estrategia avanzar/avanzar (avanzar sin tener en cuenta la aceptación rápida o lenta). Como se vio en la figura 7-9, un parámetro de prima de riesgo deR = 200 cambia la decisión a la estrategia avanzar/parar. Podría hacerse la pregunta de qué tan grande tendría que ser el parámetro de prima de riesgo para que fueran indiferentes las estrategias avanzar/avanzar y avanzar/parar. Incluso podría irse más allá y preguntar qué tan grande tendría que ser el parámetro para que a la persona que debe tomar la decisión le sea indiferente introducir y abandonar el producto. Al tratar con diferentes valores paraR, pueden encontrarse estos puntos, los cuales darían como resultado R = 234 (indiferencia entre avanzar/avanzar y avanzar/parar) y R = 105 (indiferencia entre introducir y abandonar). Las curvas con estos valores están trazadas en la figura 7-12 1 Estas curvas pueden utilizarse de la siguiente manera. Si la persona que debe tomar una decisión en esta situación tiene dificultades para estimar la función de utilidad correspondiente, con las curvas de la figura 7-12; sólo tiene que decidir en cuál rango se encuentra su aversión al riesgo. Esto puede hacerse calculando loterías simples relacionadas con las curvas. puede considerarse, por ejemplo, una lotería sencilla que involucre una oportunidad de 50-50 de perder US$100,000 y ganar

°.

10 Los valores del parámetro para a y b volvieron a calcularse para estas curvas.

312

Análisis cuantitativo

FIGURA 7-12 Funciones de utilidad para valores de R no diferenciados

~ ./

0.9 0.8 0.7 "O

U(US$20) ó 0.5 (O) + 0.5U(US$30) > 20. Esto determina que U(US$30) debe ser> 40. 7·5 El árbol con los valores de la utilidad se muestra en la figura 7-17. La estrategia óptima es introducir el producto y fijar un precio medio si se introduce un producto competitivo y un precio alto si la situación es diferente. Esta es la estrategia 3 del problema 72 anterior. La utilidad esperada de esta estrategia es 0.634 y el equivalente de certidumbre es US$143,000.

7·1 a. d 4 y se imponen a dI por dominancia de resultado. b. La acción d4 domina a d3 por dominancia de evento. Además, claro está, d 4 y d6 dominan a dI por dominancia de evento, ya que ellos se imponen por dominancia de resultado. c. Para investigar la dominancia probabilística, la información debe reorganizarse como aparece en la tabla 7-8. No necesitan considerarse las acciones dI y d 3, ya que se encontró que se imponen por dominancia de resultado o de evento. Las acciones d4, ds y d6 se imponen a d2 por dominancia probabilística. Además, la acción d4 se impone a ds' d. Esto deja las acciones d4 y d6 como no dominadas. El criterio de dominancia no da una opción entre ellas. 7-2 a. Existen cuatro estrategias (véase la tabla 7-9): 1. No introducir el producto. 2. Introducir el producto; si se introduce un producto competitivo, fijar un precio alto (si no hay producto competitivo, fijar un precio alto). 3. Introducir el producto; si se introduce un producto competitivo, fijar un precio medio (si no' hay producto competitivo, fijar un precio alto). 4. Introducir el producto; si se introduce un producto competitivo fijar un precio bajo (si no hay producto competitivo, fijar un precio alto). b. La estrategia 1 tiene 1.0 de probabilidad de utilidad cero. Para las demás estrategias: c. La estrategia 3 (fijar precio medio) se impone a la estrategia 4 (fijar precio bajo). Cada valor de la probabilidad acumulada P(X o más) en la tabla 7-9 es, por lo menos, igual de grande o mayor para que la estrategia 3. Esto también puede verse en los trazados de la figura 7-16. No hay otra dominancia. d. Véase la figura 7-16.

7·6 a. Alternativa 1: no licitar.

U(O)

= 0.2182

Alternativa 2: licitar Utilidad esperada = 0.2U( 400) + 0.8U(-20) = 0.2(0.8897) + 0.8(0) = 0.1799 U(licitar) < U(no licitar). Por consiguiente, no licitar. b. Sea p la probabilidad de ganar.

P(0.8897) + (l-p)(O) Resolver p, dado que p

= 0.2182

= 0.2425

c. Los resultados ahora son -10 y 200, Y la utilidad esperada es: Utilidad esperada = 0.2U(200) + 0.8U(-10) = 0.2(0.6597) + 0.8(0.1912) = 0.2839 Como ésta es mayor que la utilidad de no licitar, Iota debe asociarse con la otra empresa de ingeniería. Éste es un ejemplo donde se comparte el riesgo.

TABLA 7·8 (para el problema 7-1)

Acciones

Utilidad X

-4 -3 -1 O 2

3 5 6

P(X)

p(Xo más)

P(X)

ds

ds

d4

d2

P(Xomás)

P(X)

p(X o más)

P(X)

P(Xomás)

1.0 1.0 1.0 1.0 0.6 0.6

0.2 O 0.2 0.4 O

1.0 1.0 0.8 0.8 0.6 0.2

O O O 0.2 O 0.4

1.0 1.0 1.0 1.0 0.8 0.8

O O 0.2 O 0.2 0.2

1.0 1.0 1.0 0.8 0.8 0.6

O O O 0.4 O

0.2

0.2

0.2

0.4

0.4

0.4

0.6

0.2

0.2

O

O

O

O

O

O O

0.6

O

Decisión y análisis de riesgo t ...

TABLA 7-9 (para el problema 7-2)

Utilidad miles de dólares) X

Estrategia 2

-200 -100 -50 O

50 100 150 250 500

p(X o más)

0.16 O O 0.40 O O 0.24 O 0.20

1.00 0.84 0.84 0.84 0.44 0.44 0.44 0.20 0.20

FIGURA 7-16 (para el problema 7-2d)

I I I

0.8

1.00 1.00 1.00 0.76 0.76 0.76 0.28 0.28 0.20

ro

--I

-

I I I I I I I I I

~

:;¡

0.6

()

ro -o ro -o

Estrategia 1

- - Estrategia 2

I

-o

:oro

P(X o más)

O O 0.24 O O 0.48 O 0.08 0.20

----

I ---

E :;¡

P(X)

Estrategia 4

Comparación de estrategias

P(xo más) 1.0

Sf.ill\\UWit::l&l»Ji&illi.:c:::n:ta:eU

Estrategia 3

P(X)

Estrategia 3

--I

0.4

I I I

.o o

eL

I I

0.2

I

---------I

O -200

O

200

400

Utilidad (miles de dólares)

600

319

X

P(X)

O 0.56 O O 0.16 0.08 O O

0.20

p(X omás)

1.00 1.00 0.44 0.44 0.44 0.28 0.20 0.20 0.20

320

Análisis cuantitativo

FIGURA 7·17 Árbol con valores de utilidad (para problema 7·5)

Opciones (precio de la empresa)

Eventos (precios del competidor)

Fijar precio alto

Eventos

Alto (0.3) Medio (0.5) Bajo (0.2) Alto

Opciones

Fijar precio medio

lEC: 1431

(0.634) I

I I I I I I I I

Primer punto de decisión

(0.1) Medio (0.6) Bajo (0.3) Alto (0.1) Medio

No hay producto competitivo (0.2)

Fijar precio alto

Utilidades u(x)

US$150

O

-200

250

100

-50

100

50

-100

500

300

100

O

Fijar precio medio Fijar precio bajo

Segundo punto de decisión

(0.2) Bajo (0.7)

Utilidad condicional (miles de dólares)

8

Control y gerencia de inventarios 323

9

Teoría de las colas: congestión en los sistemas de procesamiento 371

10 Simulación 401 11 PERT: Program Evaluafion and Review Technique o técnica de evaluación y revisión de programas 439 12 Pronósticos 463

Ejemplo motivador Manejo de la cadena de suministros en Hewlett-Packard 1 Hewlett-Packard Corporation ha hecho u~ uso exten~ . posponer y realizarenEuropa, en Sllcentro dedistrisivo de los modelos presentados en este.capítulo, los· bución,Jos p~s9sne~esarios.para"localiz~rn (establecuales. utiliza.· para.evaluareimplementar .diseños~.~. cer.eltipo.deimpresoraquese requiera)la impresora. producto· innovadoresqueperllÜtYIlsatisf~RerdeJlla., .·E~to .• significó•• • que •pudierollprcrducirse .yenviarse nera •. másefectiva·lad~lUandadYloscliYl1tes~rIiy~I··. impresoras genéricas y deestruct~ra básicaaEu~opa mundial, a la vezqueleperwit~nlUant~llerIlle~osjll;Y luego •ajustaf con rapidez lasoperaRio~esdeJocali­ ventario. Este resultado de "todos ganan" puede·· .··.·zaciónpara\manejarloscambiosen losp~trohes de 10grarsecuami(J§ecolUbin~~lUodelosd~jnve~tarioc()n demanda./< ·••••..••.•.•••••.•.•. . ••.• 11l1avisi~~toialY.~t~gradadet()dalacadenade;sllIl1h. ••··. · ·• ·.•.•.• ·•·•. •·.·.·.xJJno. .• delo~ . retos.másdifícilesentodo este.pronistros,··inc1uYefldotodaslasárea~.Juncionalesde·la >.yectofue convencrralos ingenieros.de.diseño.de pro" empresa. dueto de HPdela necesidad de rediseñar un producto El problema de la divisiónVancouver de HP fue que había demostrado ser muy popular en el mercado. un problema común: demasiado inventario junto con Entre otras cosas, el rediseño implicaba remover la agotamiento de existencias. Este problema acompa" fuente de energía de la impresora misma y colocarla ñaelllamado"cursode variedad", que consiste en una e un cable separado. También fue necesario convenl1 proliferación de tipos de modelos de unafamiliadecer alc~ntrodedistribuciónde Europa de. que debía . productos y dificultad para proyectar la demanda so- . realizar algunas ligeras operaciones de montaje que bre labase.deunlllodelo individual. Lac()mplicación eran extrañas a sus tradicionales. responsabilidades y aumentó en el caso de HP desde cuando se fabrica- capacidades. Contar con un modelo cuantitativo de los ron las impresoras DeskJetenEE.UU.y seexporta., costosy beneficios de este cambio en el diseño permi~ ron a Europa.Las diferencias de idioma, el suministrotió a losgerentesd~HPde muchas áreas de responsaenergía y la configuración de las conexioneseléc~ bilidad funcional diferentes, evitar las reacciones tricas exigieron más de dos docenas de modelos de emotivas ante la sugerencia y evaluarla por sus méritos cada impresora. Invariablemente,· cuando lademan- cuantitativos. da delas impresoras en Francia era inferior a la proHP estilla que han ahorrado millones de dólares yección, la demanda en España estaba por encima del anuales gracias a esta mejora, y su división Vancouver pronóstico; las primeras causaban excesodeinventa- es ahora lavitrinade exhibición de la empresa para rio mientras que las segundas registraban agotamien- "Diseño para localización". to·de existencias. La respuesta deHP a este continuo y amplio dilema fue usar modelos de análisis de inventario para 1 Véase Lee, H. L. Billington, C. y Carter, C. "HewletHackard Gains Control of Inventory andService through Design for evaluar loS costos y beneficios de rediseñar las Localization",Inteifaces, July-August 1993, pp. 1-11. impresoras, de maneraqile en realidad se pudieran

El control de inventarios representa una función gerencial importante que se ha tratado con mucho éxito mediante métodos cuantitativos. Los conceptos que se presentan en este capítulo se han aplicado a numerosas organizaciones, grandes y pequeñas, con resultados favorables. No obstante, existen situaciones de negocios adicionales (incluso en empresas bien administradas) donde las perspectivas obtenidas con los modelos de control de inventarios pueden ser en extremo útiles en la búsqueda de mejores decisiones de negocios. Antes de introducir modelos específicos para la solución de algunos problemas de inventarios comunes, se presenta una técnica de clasificación de inventario multi-ítem llamada análisis ABe, la cual es útil es la atención del enfoque gerencial sobre los más importantes productos en cualquier sistema de inventario multi-ítem.

SECCiÓN 1

_

ANÁLISIS ABe Cualquier inventario significativo siempre está compuesto por más de un tipo de artículos. Cada artículo individual necesita control y manejo, pero al comienzo es útil reconocer que no todos tienen la misma importancia para la organización. El análisis ABe es una manera de clasificarlos con base en alguna medida de importancia; con frecuencia, una que se encuentra disponible con facilidad es el monto de ventas anuales de cada artículo. La figura 8-1 ilustra una curva típica ABC obtenida al calificar cada grupo de artículos por sus ventas (en orden descendente) y trazar luego las ventas acumuladas frente al número de diferentes artículos del inventario. La conocida regla 20-S0 se demuestra en esta figura: 20% de los artículos responden por cerca de SO% del total de ventas de la empresa. La forma de cualquier curva ABC será similar a la que aparece en la figura 8-1; esto se debe a que los artículos están clasificados según su importancia (ventas anuales) antes de acumularlos. Es imposible evitar el tipo de curvatura que se ilustra, a menos que todos los artículos de un sistema de inventario de múltiples artícu-

324

Análisis cuantitativo

los tengan exactamente la misma proporción dinero-ventas, algo que es altamente improbable. Los gerentes utilizan la curva ABC para determinar dónde se justifica el análisis detallado y, por el contrario, dónde la precisión mejorada a un gran costo puede no estar garantizada. El procedimiento usual es dividir la curva en tres regiones o grupos, como sIgue: • Artículos A: el primer 50% de las ventas • Artículos C: el segundo 50% de ítems • Artículos B: los artículos intermedios La figura 8-1 ilustra estas tres regiones para el ejemplo. Obviamente, estas divisiones en particular no son rígidas; algunas empresas dividen su inventario en cuatro grupos (ABCD) y otras utilizan cortes ligeramente diferentes para las distintas regiones. El punto clave es que cualquiera que sea la definición, el artículo A típico, es más importante que el artículo B típico, el cual, a su vez, es mucho más importante que el artículo C típico. Con fines administrativos, los artículos A deben ser objeto de máximos análisis, control y revisión ya que se califican en el nivel más alto dada la medida de importancia. Los artículos B deben recibir atención razonable, pero menos que los artículos A. Los artículos C representan muchos artículos diferentes, pero cada uno de ellos tiene ventas tan bajas que pueden manejarse de manera más casual, con una tendencia hacia niveles de inventario altos ya que no se involucra mucho dinero. Si en una empresa se aplica el control de inventario mejorado, el enfoque inicial debe ser sólo en los artículos A, pues es ahí donde puede obtenerse el máximo apalancamiento.

FIGURA 8-1 Un ejemplo de análisis ABe

100

VV

90 al

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o..

80

ID

70

"O (/)

al

eID

v-- ..,

/ /1/

E ~ ID

........-

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ID "O

o

50

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40

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al ID

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30

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o

20

Q...

10

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7:

I I

1 I

I I I I

I I

10

e

B

Al

20

30

40

50

60

70

80

Porcentaje de ítems en inventario (clasificados)

90

100

Control y gerencia de inventarios

FIGURA 8-2 Análisis ABe de una muestra aleatoria de 200 artículos

325

Porcentaje

100

.•..••... ......

500

.'. .. . .

' •

80

.. .. .

Ul 400 Q) ~

:o "O Q)

60

"O (J)

,

300

'E (J)

ro

40

!!l :;¡

,, ,,, ,, ,,,

E

:;¡ ()

ro ro E Q) (J)

20

'1~

··

100

>

I I I I I

o

O

. Ultimo artículo B

I

I I I I I I

i' Último artículo A

1 I I

I I

Al

o

I I I

I I I I

,,

:1 '1

200

-

·-1< I

, ,,,

2

"O

'

B

I

40

80

I I I I I I I I I I I I

120

160

200

Artículos de muestra (clasificados) Porcentaje

O

20

40

60

80

100

Realización de un análisis ABe La mejor manera de hacer un análisis ABC es seleccionar una medida de importancia y luego clasificar todos los artículos del inventario de acuerdo con ella, lo que produce una curva similar a la que aparece en la figura 8-1. Como alternativa, puede hacerse un análisis ABC sobre una muestra de artículos. Aunque la curva de la muestra no será 100% segura, es probable que sea lo bastante precisa para tomar una decisión. Por ejemplo, de un inventario de 20,000 artículos podría seleccionarse una muestra aleatoria de 200 ítems y diagramarlos de manera acumulada como se muestra en la figura 8-2. Puede observarse que la escala vertical de esa figura es el valor acumulado de las ventas; después de diagramar todos los puntos, puede agregarse otra escala (a la izquierda), donde se indique los porcentajes. En la figura, 8-2 el total de las ventas de los 200 Ítems es US$500,000, cantidad que representa 100% de ventas en la muestra, lo que determina los demás porcentajes (véase la escala vertical agregada en la figura 8-2). Resulta indispensable que la muestra para el análisis se elija de manera aleatOlia, para que exista una buena posibilidad de que el resultado sea representativo, Una manera de hacerlo es tomar por ejemplo un artículo por cada 100, en un inventario de 20,000 artículos listados por número de producto. Esto produciría una muestra representativa, si no hubiera nada inusual, con respecto a los artículos número 100, 200 Yasí sucesivamente, en la lista por número de artículo, Una vez que se ha trazado la curva de la muestra, como en la figura 8-2, pueden hacerse las clasificaciones ABC y determinar los puntos de corte según se presenta. Si se utilizan las clasificaciones ABC descritas, entonces, el último artículo A es el que lleva el acumulado de las ventas a la marca de 50%. Suponiendo que las ventas reales en dólares para ese artículo fueron de US$8,561; entonces, podría clasificarse como artículo A cualquier producto cuyas ventas anuales excedieran de US$8,500. De modo similar, el último artículo B es el artículo en el punto 50% de la

326

Análisis cuantitativo

escala horizontal; suponiendo que las ventas del mismo fueron US$983, entonces, podría clasificarse como B cualquier artículo con ventas por debajo de US$8,500 pero superiores a US$l,OOO. Los artículos e serían los de ventas inferiores a US$l,OOO. De esta manera, la información obtenida de la muestra de 200 artículos puede aplicarse a los 20,000 artículos del inventario, y es probable que el error causado por la muestra, que no es perfecta, sea muy pequeño.

Precauciones con respecto al análisis ABC Hay dos inconvenientes en el uso del análisis ABe. El primero se relaciona con la medida del desempeño. Aunque las ventas se utilizan a menudo como una medida del desempeño, esto se debe al hecho de que estos datos están disponibles con facilidad. Debe cuidarse de elegir la medida del desempeño equivocada, sólo porque se encuentra fácilmente disponible. Según la decisión que vaya a tomarse, la medida del desempeño debe seleccionarse teniendo en cuenta que sea la escala de más importancia para tomar la decisión. Por ejemplo, si se está interesado en decisiones con respecto a la inversión del inventario, es probable que la medida de las ventas en dólares sea apropiada; sin embargo, si la decisión va a afectar la capacidad de la empresa para cumplir sin retrasos con los pedidos de los clientes, entonces puede ser más deseable alguna medida de la utilidad (y no simplemente las ventas). El segundo problema es que, con frecuencia, una empresa tiene artículos que de ordinario serían clasificados como e con base en una medida de las ventas o de la utilidad, pero que son muy importantes para los clientes de la empresa. Un ejemplo es el de la venta de piezas de repuesto para maquinaria compleja. El valor de las ventas de partes puede ser bajo en comparación con el de la maquinaria nueva, pero estas piezas son elementos esenciales para la operación de las máquinas ya vendidas, y la disminución de los pedidos de los clientes por estos productos podría tener un efecto en extremo adverso sobre las ventas futuras de maquinaria. Por tanto, deben considerarse con especial atención otros atributos de los artículos e que pudieran convertirlos en sujetos de un manejo más cuidadoso, como el que se le da a los artículos B y A.

RESUMEN El análisis ABe clasifica los artículos con base en una medida de importancia. La gerencia puede, entonces, dirigir un máximo de atención a los artículos A y dedicar menos esfuerzo a los artículos B'y e. Tomar una muestra aleatoria de 100 ó 200 artículos suele ser la manera más simple de realizar un análisis ABe.

SECCiÓN 11

-----

LA CANTIDAD ECONÓMICA DE UN PEDIDO CON DEMANDA CONOCIDA En un sistema de control de inventarios continuo, hay dos decisiones de operación que deben tomarse:

1. Cuándo hacer un pedido. Debe encontrarse el punto de pedido óptimo, de modo que cuando el nivel de inventario caiga en é12, se hace un pedido de reabastecimiento. 2 Si hay algún inventario pedido, entonces, el total de inventario disponible más ese pedido se compara con el punto de pedido.

Control y gerencia de inventarios

327

Se debe asumir que el punto de pedido está determinado por las unidades disponibles y no por un período calendario (por ejemplo, hacer un pedido mensual).

2. El tamaiio del pedido. Debe encontrarse la cantidad de pedido óptima. En esta sección se supone que la demanda futura de un artículo se conoce y es constante; en las secciones siguientes se dejará la demanda como incierta. Existen dos tipos generales de costos a considerar cuando la demanda se conoce y es constante: 1) el costo de hacer un pedido y 2) el costo de contar con existencias en inventario. El tamaño óptimo del pedido y el punto de pedido óptimo serán, en general, una función de estos dos costos más la intensidad o índice de uso (cantidad usada durante una unidad de tiempo). Se supone que se conocen y son constantes el tiempo de producción necesario para el reabastecimiento y el índice de la demanda. Con este supuesto, el cálculo de otro punto no es complicado. Si el índice de uso es de 3 unidades por día y el tiempo de reabastecimiento es de 40 días, se hace un pedido de 40 multiplicado por 3, o 120 unidades. Esto no deja cometer errores, pero es consistente con los supuestos de demanda conocida y tiempo de producción conocido. En la figura 8-3 se ilustra el comportamiento del inventario del sistema cuyo el índice de demanda y tiempo de producción se supone que se conocen. El tamaño óptimo del pedido está determinado por el análisis del costo total. El Costo Total (eT) para un período será igual a la suma de los costos de ordenar el pedido (o costos de configuración) más los costos de mantener el inventario durante el período 3. Suponer que las unidades se recibirán todas de una vez. Sean:

K ke D Q

= = =

costo incremental de hacer un pedido (o configurar la producción) costo anual de contar con una unidad en inventario uso total anual (demanda) en unidades pedido óptimo anual en unidades (desconocido)

Observar que el número anual de pedidos colocados depende de D y Q: D Q ~ número anual de pedidos Además: Q 2

FIGURA 8-3 Nuevo pedido y demanda conocida

= inventario promedio (suponiendo uso lineal)

Q)

:o e o

Tamaño del pedido

a.

ID

(/)

400

ID ""O

o

.~

eID

350

> e

Qi

Qj

e

300

$ e

ro E

ID ""O

250

.8 (/)

o

ü

200

150 A

100

50

oL-_---l._ _- L_ _..L-_ _L-..._--'-_ _- ' -_ _--'--_

95.50

96.00

96.50

97.00

97.50

98.00

98.50

99.00

___:_'

99.50

Nivel de servicio (porcentaje)

13

La fórmula que aparecería en una hoja de cálculo sería: Z

= (-1.19 +

(0.0545 -1.48*LN(N(Z)) 0.5/0.74 A

que se deriva de la siguiente fórmula de aproximación de J. O. Parr, "Formula Approximations to Brown's Service Function", Production and InvenfOlY Mmu¡gement 13 (1972), pp. 84,86: 2

N(Z) = e(-O.92-J.l9Z-0.37Z )

Control y gerencia de inventarios

345

dondeN(Z) es el valor de la pérdida normal unitaria determinado en la ecuación (8-10) y In es el logaritmo natural Con la ecuación 8-11 pueden programarse todas estas operaciones en una hoja de cálculo y generar el conjunto de puntos que sirven para trazar la curva de intercambio agregada (en ocasiones se conoce como CUlva de intercambio) para cualquier colección de artículos incluidos en un inventario. Las curvas de intercambio son muy útiles para demostrar a la gerencia los costos de suministrar distintos niveles de servicio al cliente. Los ejes específicos de las medidas pueden variar; para la inversión en inventario, podría utilizarse el costo de mantenimiento, como se hizo aquí, la inversión total en inventario o la inversión en inventario convertida en semanas promedio de suministro. Para servicio, podría emplearse una tasa de cumplimiento (promedia y ponderada) basada en las tasas de demanda, como se hizo aquí; en otras situaciones, podrían usarse otras medidas de servicio.

Precauciones sobre el uso de los modelos de nivel de servicio Hay ocasiones en las que aunque la gerencia haya tenido dificultades al evaluar el costo de un faltante ku por unidad agotada, cambiar hacia el uso de un modelo de nivel de servicio puede no ser la mejor elección. En el caso de una colección de piezas de repuesto para equipo industrial, el agotamiento de las existencias de una de esas piezas hará que el equipo no funcione, algo que puede ser muy costoso. Si la gerencia no puede evaluar con facilidad el costo de un faltante y en cambio decide mantener 98% de nivel de servicio para todas las piezas, ¿la mejor política es esta, cuando la meta fundamental es minimizar el tiempo que no trabaja el equipo correspondiente? En otras palabras, ¿cómo debe distribuirse el dinero del inventario de seguridad para maximizar la disponibilidad del equipo? Para responder a esta pregunta, pueden considerarse dos partes con costos unitarios de US$lO y US$l,OOO, respectivamente, y suponer que todos los demás parámetros (índices de demanda, desviaciones estándar, etc.) son los mismos. El modelo común de nivel de servicio contendría cantidades idénticas del inventario de seguridad para garantizar 98% de servicio para cada repuesto. ¿Podría hacerse de otra forma? El sentido común sugiere almacenar menos artículos de US$l,OOO y muchos (más) de los de US$lO, de manera que se invierte menos dinero en inventario y el nivel del servicio promedio ponderado en realidad puede exceder 98%, logrando de ese modo una situación donde todos ganan. Esto es correcto: usar el método de costo de los faltantes de la ecuación 8-4 trataría el agotamiento de las existencias de cualquier artículo con un costo igual, pero como sus costos unitarios no son los mismos, la ecuación 8-4 acumularía muchos más artículos de US$lO y muchos menos de US$l,OOO. El resultado final sería una reducción en los niveles totales de inventarios de seguridad y, al mismo tiempo, un mejoramiento de la disponibilidad del equipo (medida por la tasa de cumplimiento promedio-ponderado resultante).

Otras medidas de los faltantes Además del costo unitario y un porcentaje de servicio establecido, se han elaborado modelos de otras medidas de desempeño de los faltantes y se han solucionado para las fórmulas correspondientes de los puntos de pedido óptimos. El lector puede hacer consultas adicionales sobre el tema en la bibliografía de este capítulo.

346

Análisis cuantitativo

Sistemas justo a tiempo Los japoneses han convertido la planeación de inventarios en un arte refinado. El concepto de su política de inventarios justo a tiempo (JAT) es un concepto alternativo muy atractivo. Si el costo de pedido o de configuración tiende a cero, la cantidad de pedido del inventario será tan pequeña como sea posible (véase la fórmula de CEP en la ecuación 8-2). En ese caso, el inventario promedio por ciclos será muy pequeño. Además, si el tiempo de producción está cerca de cero (el tiempo de configuración o pedido será demasiado corto), de nuevo, el nivel de inventario puede ser muy bajo. Si se necesita una unidad, puede comprarse o producirse en muy poco tiempo. Además, si las ventas esperadas durante el tiempo de producción tienen una varianza muy pequeña (casi cero), entonces no hay necesidad de un inventario de seguridad grande. Por consiguiente, pueden existir situaciones donde la política del inventario justo a tiempo es consistente con los modelos de este capítulo. En particular, la política JAT es aplicable cuando los costos de organización son muy pequeños y los tiempos de producción son muy cortos. Sin embargo, si hay demasiada incertidumbre acerca del nivel de ventas durante el tiempo de producción o si éste hasta el reabastecimiento es muy incierto, y el costo de quedarse sin existencias es alto, es suficiente justificación para mantener un inventario de seguridad. Si no se quisiera una política JAT, hay una gran probabilidad de quedarse sin inventario y un mayor costo asociado con quedarse sin mercancías. En síntesis, los japoneses han hecho un excelente trabajo para obligar a los demás a considerar formas de reducir los inventarios y los costos de mantenerlo. Previamente se estudió que el concepto de justo a tiempo (JAT) conduce a encontrar mecanismos para reducir el costo de los pedidos. Se vio que si el tiempo de producción para el reabastecimiento puede reducirse, habría una reducción en la desviación estándar de la demanda durante el tiempo de producción (oM) y, con esto, una disminución del inventario de seguridad. De nuevo, siempre deben tenerse en cuenta los tres tipos de costos en un sistema de inventario: costos de pedidos, costos de mantenimiento y costos de faltantes.

MANEJO DE LA CADENA DE SUMINISTRO

Una cadena de suministro se refiere a una red de producción ya las instalaciones de distribución, incluyendo el suministro de material de los proveedores (y sus proveedores), la transformación de materiales para productos terminados y semiterminados, y la distribución de productos terminados a los clientes (y sus clientes). En la figura 8-10 se presenta una muestra de la cadena de suministro de las impresoras DeskJet de Hewlett-Packard. Recientemente, muchas empresas han encontrado que concentrarse en sus cadenas de suministro les permite encontrar y aplicar operaciones mejoradas, algo que simultáneamente reduce el costo y mejora el servicio al cliente. Un principio importante del manejo de la éadena de suministro es el concepto de postergación, en el cual el ajuste o la localización final de los productos se pospone tanto como sea posible. A continuación se presenta un ejemplo simplificado. La empresa ABC vende tres productos similares en Francia, Alemania y España. Aunque los productos son similares, tienen que adaptarse al idioma propio de cada nación, y sus requerimientos de energía e instalaciones eléctricas. En la actualidad, la adaptación se hace en la fábrica de EE.UU. El tiempo de emp\lrq\le a Europa es de cinco semanas.

Control y gerencia de inventarios

347

FIGURAS-lO Cadena de suministro de las impresoras DeskJet HP

Iproveedor~L--_ _-' '-_ _

....J

PCI = Producción del Circuito Integrado EPCI = Ensamble y Prueba del Circuito Impreso EPF = Ensamble y Prueba Final FMI = Fabricación del Mecanismo Impreso CD = Centro de Distribución

La demanda media semanal y la desviación estándar de las ventas de cada país son como sigue:

País Francia Alemania España

Demanda media semanal

Desviación de la demanda semanal

500 600 400

200 250 150

Suponer que las ventas a través de las naciones son estadísticamente independientes. Dado el tiempo de cinco semanas para el transporte, la empresa mantiene un centro de distribución (CD) en Europa para almacenar los productos terminados. Puede cumplir con los pedidos de los clientes de inmediato en tanto haya inventario disponible. Suponer que la empresa utiliza políticas de Q y R independientes para dirigir estos inventarios por separado en el CD; y que Q está determinado para una semana de suministro para cada producto. ¿Qué niveles de R (el punto de nuevo pedido) e inventario de seguridad para cada producto garantizarían niveles de servicio de

9S%? Para resolver este problema, se usan las ecuaciones (S-6), (S-lO), (8-11) y (8-

5). Se dan todos los parámetros, excepto 0M. Usando la ecuación (S-6): 0M = (5)1/2(01) Los cálculos para las ecuaciones (S-lO), (S-l1) y (S-S) están en la tabla S-2. Si cada producto cuesta US$100, entonces la inversión total en inventario de seguridad para suministrar 95% de servicio es US$161,300. Ahora, suponiendo que el producto podría rediseñarse y producirse de una manera general y sencilla en Estados Unidos y embarcarlo hacia Europa en forma genérica. Además, que la adaptación podría hacerse al instante, entonces, el resultado final de este tipo de rediseño de producto sería que la demanda de cada producto se acumularía o agregaría. La tabla 8-3 calcula el nivel del inventario de seguridad del producto genérico que se requeriría para 95% de servicio.

348

Análisis cuantitativo

!l4l';;w.-4l$IiU.l_

TABLA 8-2 Ejemplo de acumulación de riesgo Productos por separado

País

Media

Desviación estándar

Z

N(Z¡

(JM

:W!.fJW!:;;:",~L'=.""&

R

Inventario de seguridad

537

Francia

500

200

447.21

0.0559

1.2016

3,037

Alemania

600

250

559.02

0.0537

1.2212

3,683

683

España

400

150

335.41

0.0596

1.1704

.2,393

393

Totales

1,613 ·:Z::UW::::¡.lM&l11liil;e¡¡.""",

== .aai

TABLA 8-3 Ejemplo de acumulación de riesgo Producto genérico, 95% de nivel de servicio

Desviación estándar Varianza de la suma

Media

Desviación estándar

Francia

500

200

40,000

Alemania

600

250

62,500

España

400

150

Totales

1,500

País

Inventario

(lM

N(Z¡

Z

R de seguridad

22,500 125,000

353.55

790.57 0.0949

0.93

8,239

739 UJ9.¡;¡:c::oeuwa;¡.;ma¡¡

En la tabla 8-3 puede apreciarse el cálculo de la varianza de la demanda semanal; luego, se suman las varianzas (esto supone que hay independencia en la demanda de los tres países), después se toma la raíz cuadrada para obtener la desviación estándar de la suma de las demandas del producto en un período de una semana. Los cálculos restantes son como los que se presentaron antes. El resultado es altamente instructivo. En lugar de 1,613 unidades de inventario de seguridad del producto adaptado, en el caso del producto genérico sólo se requieren 739 unidades para satisfacer el mismo nivel de servicio. Este resultado se basa en la varianza de una suma de variables aleatorias que igualan la suma de las varianzas, lo cual significa que la desviación estándar de una suma es siempre menor que la suma de las desviaciones estándar. La reducción de la inversión en el inventario de seguridad es (1,613 - 739) x US$100 = US$87,400 ó 54%. En lugar de tomar toda la ganancia por el inventario reducido, la empresa podría optar por aumentar el nivel de servicio, por ejemplo, de 95% a 97%. Estos resultados se muestran en la tabla 8-4. Éste es un ejemplo de la típica situación de "todos ganan", donde la reducción del inventario y el mejoramiento del servicio al cliente pueden ser el resultado de acumular los riesgos. Por ello, el inventario se redujo de 1,613 unidades a 943 unidades, una disminución de 41 %, a la vez que el servicio al cliente mejoró de 95% a 97%. (Estos datos desconocen la necesidad de aumentar el inventario de los materiales adaptados, el cual sería mucho menos costoso que el inventario del producto principal). gZ

~:;¡=

TABLA 8-4 Ejemplo de acumulación de riesgo Productos genéricos, 97% de nivel de servicio

País

Media

Desviación estándar

Desviación estándar Varianza de la suma

Francia

500

200

40,000

Alemania

600

250

España

400

150

62,500 22,500

Totales

1,500

353.55

125,000 WW::;:;¡¡&&Xn:_. :u::::mtB¡:¡anm;u:¡:

,lil!J4M

wz¡¡;:w:.

;=!JZiE'.a&

Inventario

(lM

N(Z¡

790.57 0.0569

Z

1.19

R de seguridad

8,443

943

Control y gerencia de inventariós

349

RESUMEN Cuando la demanda es incierta, puede continuarse usándose la fórmula de raíz cuadrada de CEP para el tamaño del pedido. Para el punto de pedido, puede evaluarse un costo unitario de los faltantes o especificarse un nivel de servicio deseado. En cualquier caso, se ha obtenido una fórmula óptima para el punto de pedido. Las curvas de intercambio son una herramienta útil para demostrar la relación entre los niveles de inventario y el servicio al cliente. El manejo de la cadena de suministro se dirige hacia toda la cadena y cuantifica los costos y beneficios de las mejoras potenciales de la misma.

SECCiÓN IV

_

CONTROL DE INVENTARIOS CON INCERTIDUMBRE Y SIN NUEVOS PEDIDOS Esta sección introduce los métodos para resolver un problema de inventario de una sola vez cuando no hay ninguna oportunidad para hacer un nuevo pedido y el artículo no puede almacenarse económicamente para futuros pedidos. Esta situación la enfrentan las empresas que producen bienes altamente estacionales o de estilo, productos perecederos (flores, alimentos), bienes que se vuelven obsoletos (revistas) y servicios que tienen término fijo (por ejemplo, reservas en las aerolíneas para una fecha dada). Cada vez más, esta situación también la enfrentan las empresas de electrónica y computadores cuyas principales ventas se presentan durante la temporada navideña, cuando la planeación de la cantidad correcta de materiales y la producción es difícil de establecer debido a la incertidumbre en las ventas. Se considerará que la demanda es incierta pero que la distribución de probabilidad de la demanda es conocida. Esta situación es análoga a la de saber que una moneda perfectamente diseñada tiene cara y cruz pero no se sabe cuál lado saldrá en el próximo lanzamiento.

Ejemplo 8 Se sabe que la demanda de un producto tiene la distribución que se muestra en la tabla 8-5. Considerar el costo por unidad a US$25 y que los sobrantes pueden venderse a un precio de salvamento de US$5. El precio de venta es de US$55 por unidad. Se conoce la distribución de probabilidad de la demanda para el producto, pero no se sabe antes del período que comienza cuánto se pedirá durante el mismo. En esta situación, ¿cuántas unidades deben pedirse?

.iZ¿!GW

TABLA8-S Distribución de la demanda

Demanda

Probabilidad

o

0.10

1

0.30

2

0.40

3

0.20

1.00

:;.¡;z¡¡¡;¡¡¡¡:¡¡;¡¡¡¡;¡:¡;¡¡¡;¡ll&i&Iliit::;¡;¡¡llI.;:;::: :::::::c:::::c.usw=-$lGlZ

350

Análisis cuantitativo

Una posibilidad sería calcular las diferentes utilidades esperadas que se presentarían con diferentes planes de pedidos. En la tabla 8-6 se presenta este cálculo. No olvidar que si no se compra ninguna unidad, no puede venderse ninguna; si se compra una unidad, no puede venderse más que una, incluso, si la cantidad que se pide es más grande. Con base en la utilidad esperada, la acción óptima es pedir dos unidades ya que la utilidad esperada de US$35 es más alta que la que resulta de cualquier otra estrategia.

TABLA 8-6 Cálculo de la utilidad* esperada

Pedido de una unidad Evento: demanda

Probabilidad de la demanda

Pedido de dos unidades Pedido de tres unidades

Utilidad condicional

Utilidad esperada

Utilidad condicional

Utilidad esperada

Utilidad Utilidad condicional esperada

O

0.10

US$(20)

US$(2)

US$(40)

US$(4)

US$(60)

US$(6)

1

0.30

30

9

10

3

(10)

(3)

2

0.40

30

24

40

16

0.20

30

12 _ _6

60

3

----.12

90

__ 18

1.00Utilidad esperada US$25

60 US$35

US$25

* Las cantidades en paréntesis son negativas

UN MÉTODO MARGINAL En el análisis precedente se calcularon los diferentes totales de utilidad que se esperaban, siguiendo las diferentes políticas de pedidos. Una solución más fácil para calcularla utiliza un método marginal. Se calcula el efecto que sobre la utilidad tiene adicionar una unidad al tamaño del pedido. Sea la probabilidad de vender una unidad adicional (o más) identificada como p; entonces, (1- p) es la probabilidad de vender la unidad adicional (o más). Los valores de p, en este ejemplo, se muestran en la tabla 8-7. La columna identificada como Probabilidades acumuladas es p, ya que indica la probabilidad de vender cero o más (1.00), uno o más (0.90), dos o más (0.60) o tres o más (0.20) unidades. Es el extremo derecho de la distribución de probabilidad. Sea ca el costo unitario de excedentes; es decir, el costo de tener una unidad sobrante. Por ejemplo, si una unidad cuesta US$25 y las unidades sobrantes pueden venderse a US$5, entonces el costo de excedentes es de US$20 por unidad. Sea cu el costo unitario de faltantes; es decir, el costo de no tener ninguna unidad para vender cuando un cliente la requiera. En el ejemplo, una unidad cuesta

Demanda

Probabilidad de la demanda

Probabilidades acumuladas

O

0.10

1.00

1

0.30

0.90

2

0.40

0.60

3

0.20

0.20

TABLA 8-7

1.00

Control y gerencia de inventarios

351

US$25 y se vende a US$55. Por consiguiente, la empresa pierde US$30 de utilidad por cada unidad que se queda; esto significa que Cu es US$30. Se supone que no hay ningún costo más allá del período presente debido a los faltantes. La relación entre los costos de sobrantes y de faltantes y la probabilidad dela demanda para la siguiente unidad se muestran en la tabla 8-8. La tabla en mención demuestra que si se pide una unidad pero no hay demanda, el costo condicional es cO' Del mismo modo, si la unidad no se pide y hay una demanda por ella, el costo condicional es cu' Puede apreciarse que el costo de faltantes Cu es un costo de oportunidad que representa el costo de desaprovechar una oportunidad de obtener utilidades. El costo esperado para la acción de no pedir es pC u ; y para la acción de pedir es (1- p )co' La unidad adicional no debe pedirse considerando que el costo esperado de hacerlo es menor que el costo esperado de no pedirla. Es decir, pedir si:

(l-p)c o 0.50. SiP e = 0.50, entonces Z = O.

Ejemplo 9 Suponer que la distribución de la demanda es normal, Co es igual a US$64, y cL[ es igual a US$36. La razón crítica es:

64

+ 336

64

= 0.16

La probabilidad de 0.16 corresponde al extremo derecho de una distribución normal. En la tabla A (en el apéndice al final del texto), aparecen los extremos izquierdos. El complemento a la izquierda de un extremo derecho de 0.16 es 0.84 y

FIGURA 8·12

1· I I I I I I 1 I I I I I I I

40

50

Ventas (en unidades)

14 Utilizar las siguientes fórmulas

X-fL Z=-cr

y

X=Zcr+fL

Control y gerencia de inventarios

355

ésta es aproximadamente una: desviación estándar de la media (con la desviación estándar, el valor en la tabla es 0.8413). Si hay un desplazamiento de la desviación estándar hacia la derecha de la media, la probabilidad de hacer una venta adicional o más será igual a 0.16. Si la media de las ventas para el período por venir son 40 unidades y la desviación estándar de la distribución es 10 si quiere aumentarse el tamaño del pedido hasta que la probabilidad de hacer una venta adicional sea igual a 0.16. Es necesario desplazarse una desviación estándar hacia la derecha de la media (Z = 1). Para convertir Z a unidades, se multiplica por la desviación estándar: Za

= 1 x 10 = 10 unidades

Como Pe < 0.50, deben agregarse 10 unidades a la media de ventas para obtener Q, el tamaño óptimo del pedido. Puede escribirse la siguiente ecuación:

Q = media de ventas ± Za = 40 + 10 = 50 El signo es más si Pe < 0.50 y menossi Pe> 0.50. Ejemplo 10 Suponer que la demanda tiene la misma distribución normal del ejemplo 9 y que ahora se calculó Pe y se encontró que es 0.25. La figura 8-13 muestra esta situación. El complemento del extremo izquierdo de un extremo derecho de 0.25 es 0.75; la tabla A muestra que el valor Z para F(Z) = 0.75 es aproximadamente Z= 0.67. Entonces, el tamaño óptimo del pedido es:

Q

= Media de ventas + Za = 40

+ 0.67(10)

= 46.7 ó 47

FIGURA 8-13

40

47

Ventas (en unidades)

Ejemplo 11 Considerar el mismo problema del ejemplo 10 pero suponiendo ahora que el pronóstico de ventas es menos seguro; la desviación estándar de la distribución es 25 en lugar de 10. En el ejemplo 10, la razón crítica P fue de 0.25 y el valor correspondiente de Z fue aproximadamente 0.67. Utilizando la desviación estándar más grande, el tamaño óptimo del pedido ahora es:

Q = Media de ventas + Za = 40

+ 0.67(25)

= 56.75 ó 57

356

Análisis cuantitativo

Resulta interesante comparar este resultado con el del ejemplo 10, en donde la desviación estándar de las ventas fue 10. Puede observarse que cuando el pronóstico de incertidumbre aumenta (cuando la desviación estándar aumenta), es óptimo moverse incluso lejos del pronóstico de la media de ventas de 40 unidades. Esta estrategia puede parecer contraria a la lógica en una primera instancia, pero es una consecuencia directa de la razón crítica que toma en cuenta de manera apropiada los costos de sobrantes y faltantes. Si desea tenerse una probabilidad de faltante de 0.25, se requiere una desviación estándar más alta, que pueda incluir un inventario más grande.

Probabilidades normales en hojas de cálculo La función NORMSINV de las hojas de cálculo Excel y Quattro está relacionada con la tabla A 15 Yda el valor de Z que corresponde a un valor dado 1 - Pe; es decir, dada una probabilidad acumulada al extremo izquierdo, ésta presenta el valor de Z estandarizada. Por ejemplo, para 1- Pe = F(Z) = 0.75 utilizar: = NORMSINV(0.75) = 0.6745 = Z

Costos relevantes Resulta importante obtener los estimados correctos de los costos relevantes de sobrantes y faltantes cuando se utilice este procedimiento de solución. Estos costos deben ser incrementales o marginales; no deben contener ninguna asignación de gastos generales u otros costos fijos que se afectarían por la decisión que se considere. Por ejemplo, suponer en el ejemplo 8 que el costo unitario del artículo era como sIgue:

Materia prima

US$20

Mano de obra directa Gastos generales asignados

~}

Total

US$50

(costos variables) (asignación de costos fijos)

Desde un punto de vista contable, el costo asignado al artículo es US$50, pero para propósitos de la toma de decisión de inventarios, el costo incremental de la unidad es sólo de US$25 (la suma de la materia prima y la mano de obra directa, que suelen ser costos variables). Se supone que los gastos fijos generales no cambiarán sea que se produzca o no una unidad marginal. De manera similar, el costo por unidad faltante no contendrá ninguna asignación de costos fijos. Como puede verse, el costo de faltantes es un costo de oportunidad que no se refleja en el estado de pérdidas y ganancias de la empresa. Por tanto, una gerencia "conservadora" que sólo se encamine hacia los reportes de pérdidas y ganancias puede perder oportunidades significativas de mejorar su rentabilidad si no toma en cuenta el costo de los faltantes.

15 La función relacionada NORMDIST da la probabilidad acumulada correspondiente al lado izquierdo, para un valor específico de Z. Las funciones NORMDrSTy NORMINV también suministrán, vátiás prü· babilidades normales usando los valores de X, p Y(J.

Control y gerencia de inventarios

357

RESUMEN Los problemas de inventario de solución directa pueden analizarse determinando el costo de los faltantes, el costo de los sobrantes y la razón crítica pC. El tamaño del pedido se aumenta hasta que la probabilidad de vender la siguiente unidad, o más, cae en pC" Si se considera la mala voluntad del cliente, debe estimarse e incluirse en el costo unitario de los faltantes.

APÉNDICE LA DETERMINACiÓN DEL PUNTO DE PEDIDO ÓPTIMO y DEL TAMAÑO DEL PEDIDO Sean: Q = tamaño del pedido

R D

M

= punto del pedido = demanda promedio por año = cantidad de la demanda durante. el tiempo de producción (M = Media); una variable aleatoria

f(M) R- M

= función de densidad de la probabilidad para M = inventario de seguridad

aM = desviación estándar de la demanda durante el tiempo de producción

R- M M- R

= unidades sin vender cuando se reciben otras nuevas (si M < R) = cantidad con la cual la demanda durante el tiempo de producción excede el punto de pedido (si M> R)

K = costo de hacer el pedido kc = costo de mantener una unidad durante un año ku = costo de la sanción por carecer de una unidad en existencia (costo de faltantes)

El total del costo anual esperado El costo total de una política que implica un tamaño específico del pedido, R, y una cantidad de pedido específica, Q, es igual a la suma de los costos de pedir, los costos de carecer de existencias y los costos de mantener el inventario:

Costo total Q, R)

~ K(§) + [k. + [~ + (R -

f(M-

R)f(M)dM]

~ (8-13)

M)} ,

Donde K(D/Q) es el costo de pedir; K es el costo por pedido; D/Q es el número anual de pedidos:

es el costo de quedarse sin producto; ku es el costo por unidad; la integral es la cantidad de unidades esperada de inventario por ciclo; D/Q es el número anual de

358

Análisis cuantitativo

ciclos de reabastecimiento, es decir, la cantidad anual de pedidos; [(Q/2) + (R M)kc es el costode mantener el inventario; y kc es el costo de mantener una unidad por un año. El resto del término es el inventario promedio; Q/2 es el inventario promedio del inventario por ciclos más el inventario de seguridad promedio (R M). El término (R - M) sólo se aproxima al nivel promedio del inventario de seguridad, pero la aproximación es válida en la mayoría de instancias prácticas (véase nota 8 de este capítulo). Las ecuaciones para Q y F(R) se obtienen de la ecuación 8-13, la ecuación para el costo total tomando las derivadas parciales con respecto a R y a Q, e igualándolas a cero 16 ,

Al diferenciar respecto a R:

.aCosto total aR

= kc -

D

Qk"'f(R)

D

D

+ Qku[F(R) + Rf(R) -

1]

D

= ke - -k Q u + -k Q uF(R) Se iguala la derivada a cero y se despeja F(R) 17: (8-4) Al diferenciar el costo total con respecto a Q:

aCosto total (Q, R) = aQ

_ KD

Q2

+ kc _

.E- k Q2

2

(" (M - R) f (M)dM

uJR

Se iguala la derivada a cero y se despeja Q:

Q

~

2D[K + k"[ (M - R)f(MjdM]

. (8-14)

ke La ecuación 8-14 puede convertirse en una forma que sea más fácil de calcular. Se hace uso del hecho de que si M está normalmente distribuido y si R es mayor que las ventas esperadas (M) durante el período del nuevo pedido, entonces:

((M - R)f(M)dM = CJMN(Z)

16 El símbolo

( !:R en las ecuaciones es la expectativa parcia!. Es igual a Loo Mf(M)dM

(8-15)

Control y gerencia de inventarios

359

Donde N(Z) es la unidad de la integral de pérdida normal valorada para Z (R convertida a las desviaciones estándar de la media). El símbolo 0M es la desviación estándar de la distribución de la demanda durante el tiempo de producción. La ecuación 8-15 es la cantidad esperada de pedidos no cumplidos en un tiempo de producción. La ecuación 8-14 ahora se convierte en:

Q=

2D[K + kuuMN(Z)]

(8-16)

kc

Como puede verse, R está en la fórmula para Q (ecuación 8-14) y Q está en la ecuación 8-4 para R. En teoría, las dos ecuaciones deben despejarse simultáneamente. Esto puede hacerse mediante el uso de un procedimiento interactivo, el cual comienza con un estimado de Q y repite este proceso hasta que se encuentran una Q y una R para satisfacer ambas ecuaciones. Sin embargo, con fines prácticos, es suficiente determinar el valor de Q usando la fórmula de CEp' en la cual se supuso una cierta demanda:

Q=

~2KD

(8-2)

kc

La ecuación para el costo total puede simplificarse'si se suponen que R > M, mediante la ecuación 8-15. Sustituyendo en la ecuación 8-13 se obtiene: Costo total (Q, R) = [K

+ kuuMN(Z)] D Q+

[Q"2 + (R - -] kc M)

(8-17)

BIBLIOGRAFíA BROWN, R. G. Decision Rules for InventOlY Management. New York: Holt, Rinehart & Winston, 1967. Matelials Management Systems. New York: John Wiley & Sons, 1977. LEE, H. L., and BILLINGTON, e. "The Evolution of Supply-Chain Management Models and Practice at Hewlett-Packard", Intelfaces, SeptemberOctober 1995, pp. 42-63. McCLAIN, J. O., and THOMAS, L. J. Operations Management: Production ofGoods and Services, 2nd ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1985. NAHMIAS, S. Pl'Oduction and OperationsAnalysis. 3rd ed. _ _ _ _o

Burr Ridge, IL: Richard D. Irwin, 1997. HALL, R. W. Zel'O InventOlies, Burr Ridge, IL: Richard D. Irwin, 1983. HILLIER, F., and LIEBERMAN, G. J. Introduction to Operations Research. 6th ed. New York: McGrawHill,1995. PARR, 1. O., "FormulaApproximations to Brown's Service Function", Production and Inventory Management 13 (1972), pp. 84-86. SCHONBERGER, 1. Japanese Manufactwing Techniques. New York: Free Press, 1982. SILVER, E. A., and PETERSON, R. Decision Systems for Inventory Management and Production Planning. 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1985.

PROBLEMAS PRÁCTICOS 18

8-1 De un inventario de 20,000 artículos se tomó una muestra aleatoria de 10 de ellos. (La cantidad es una muestra demasiado pequeña, pero sirve para usar aritmética simple). Las ventas en dólares de los 10 productos son 170,320,49,94,530,125,2,70,225,30.

a. Trazar los datos clasificados en una curva ABe. b. Con base en la muestra, ¿cuál es el porcentaje del total de ventas para el inventario de los 20,000 artículos que estaría representado en los primeros 4,000?

17 Las condiciones de segundo orden también deben verificarse. 18 Las soluciones a estos problemas se encuentran al final del capítulo.

360

Análisis cuantitativo

c. ¿Qué porcentaje de ventas está representado en el primer SO% de los artículos? d. Suponer que la gerencia quiere que los artículos A representen el primer SO% de las ventas, que los artículos C representen el último SO% y que los artículos B se encuentren en medio. ¿Qué índices de ventas en dinero hay que utiliza para separar los rangos A, B Y C? 8-2 ABC Company utiliza 100,000 unidades por año de un producto. El costo unitario de mantenimiento es de US$3 por año. El costo de pedir un lote es de US$60. a. ¿Cuál es el tamaño óptimo del pedido? b. Si los costos de los pedidos fueran de 60 centavos por pedido, ¿cuántas unidades deben pedirse de una sola vez? 8-3 Dada la misma situación del literal a. del problema 8-2, con la información adicional de que el costo de los pedidos puede reducirse de US$60 a US$lS por lote, si la empresa se une a una cooperativa de compras, pagando una cuota de afiliación anual de US$2,000. a. ¿Cuál sería el tamaño óptimo del pedido si la empresa decidiera unirse a la cooperativa? b. ¿Debe unirse la empresa a la cooperativa? 8-4 Una empresa petrolera está buscando petróleo en Alaska y está preocupada por su inventario de piezas de repuesto. Se requiere de un mes para recibir los pedidos. Considerar la pieza 8J2N. Se espera que esta pieza sea necesaria a una tasa de 100 por mes (1,200 por año). La demanda durante el tiempo dc producción (un mes) es casi normal con una desviación estándar de 40. El costo de los pedidos es de US$l,OOO por pedido; elcosto de mantenimiento es de US$20 por año, y el costo de los faltantes es de US$200 por unidad. Determinar el tamaño del pedido Q y el punto de pedido R. 8-5 La demanda del tiempo de producción para un artículo tiene un promedio de 100 unidades, con una desviación estándar de 30. La cantidad del pedido es de 200 unidades. La gerencia desea que 99% de toda la demanda se encuentre en el inventario. a. ¿Cuál es el punto de pedido óptimo? b. Si la gerencia quiere 98% de nivel de servicio; ¿cuál es el punto de pedido óptimo? c. Pero si la gerencia quiere 90% de nivel de servicio, cuál es el punto de pedido óptimo? 8-6 La distribución de probabilidad de la demanda para un producto se estimó así: .

Demanda

Probabilidad de la demanda

o

0.05 0.15 0.30 0.35 0.10 0.05 0.00 1.00

1 2 3

4 5 6

Cada unidad se vende a US$SO y si el producto no se vende, pierde por completo su valor. Los costos de compra de una unidad son de US$10. a. Suponiendo que no se pueden hacer nuevos pedidos, ¿cuántas unidades deben comprarse? b. Si la pérdida por la mala voluntad del cliente se estima en US$20 por cada unidad cuya demanda no se satisfaga, ¿cuántas unidades deben pedirse? 8-7 Dada la siguiente información, calcular el tamaño óptimo del pedido (no es posible hacer nuevos pedidos) Precio de ventas Costo incremental por unidad vendida (incluyendo costos de compra) Costo de compra por unidad Valor de salvamento (si no se venden) Pérdida de goodwill por cada unidad de demanda insatisfecha

US$100 70 50 10 50

La probabilidad de distribución de la demanda es normal; la media es 140; la desviación estándar es 20. 8·8 En el problema 8-7 hay que calcular de nuevo el tamaño óptimo del pedido, suponiendo que la desviación estándar de la probabilidad de distribución es de SO. 8·9 En el problema 8-7 hay que calcular de nuevo el tamaño óptimo del pedido, suponiendo que hay pérdida de goodwill con los pedidos que no se cumplan. a. Suponer una desviación estándar de 20. b. Suponer una desviación estándar de SO. c. Comparar las respuestas anteriores con las de los problemas 8-7 y 8-8.

no

PROBLEMAS 8·10 De un inventario de 40,000 artículos se tomó una muestra aleatoria de 10 de ellos. (Es una muestra demasiado pequeña pero sirve para usar aritmética simple). Las ventas en dólares de los 10 artículos son 350, 600, 120, 30, 175, 1100, 5, 50, 200, 90. a. Trazar los datos clasificados en una curva ABe.

b. Con base en la muestra, ¿cuál es el porcentaje del total de ventas para el inventario de 40,000 artículos que estaría representado por los primeros 4,000? c. ¿Qué porcentaje de artículos representaría el primer 2S% de ventas?

Control y gerencia de inventarios d. Suponer que la gerencia quería que los artículos A representaran el primer SO% de las ventas, los artículos C el último SO% y que los artículos B estuvieran en medio. ¿Cuáles serían las tasas de ventas en dólares que deberían utilizarse para separar los rangos A, B, YC? 8-11 Seleccionar una muestra aleatoria de 10 artículos de un refrigerador. Estimar los gastos anuales en cada producto y luego trazar los datos clasificados en una curva ABe. ¿Se tiende prestar más atención a uno o dos productos en los primeros lugares de la clasificación? 8-12 Los costos de colocar un pedido son US$lS0. Se estima que durante los 12 meses siguientes se utilizarán 1,000 unidades. El costo de mantenimiento por unidad por mes es de US$2.SO. a. Calcular el tamaño óptimo del pedido. b. Ahora, si la empresa pudiera reducir el costo de los pedidos a US$SO; el costo del esfuerzo para lograr este cambio sería US$l,OOO. Suponer que el producto se venderá sólo durante los próximos dos años. Calcular la nueva cantidad de pedido óptima si se aplicara el costo más bajo del pedido, y determinar si la empresa debe invertir US$l,OOO en el programa de reducción de ese costo. 8-13 Una empresa utiliza una cierta pieza en el montaje de juegos de equipos electrónicos a una tasa de 8,000 por año. Cada pieza vale US$lS. La empresa estima el costo de mantener el inventario en 20% del valor del artículo, por año. La empresa puede producir la pieza en una de dos máquinas. En la máquina A, el costo de configuración es US$200; en la máquina B es sólo US$100. Sin embargo, cuesta 10 centavos más por unidad producir el repuesto si se usa la máquina B que si se hace en la máquina A. ¿Cuál máquina debe usar la empresa? ¿Cuál es el tamaño óptimo del lote? 8·14 A un gerente de inventarios recién nombrado se le entregó la siguiente información sobre un artículo: Uso anual en dólares = US$100,000 Costo de procesamiento del pedido = US$2S Costo de mantenimiento por dólar al año US$0.20 Cuando se le pidió calcular una cantidad de compra óptima para el artículo, el gerente se quejó de que no se le había dicho el valor por unidad. ¿Es posible completar una cantidad de compra óptima para el artículo con los datos suministrados? En caso afirmativo, hay que resolverlo; si no es posible, explicar el porqué. 8;15 Con referencia en el literal a del problema S.2, suponer que el proveedor le ofreció a ABC Company un descuento de 12 centavos por unidad si pedía lotes de 10,000 unidades. ¿ABC debe tomar el descuento? 8-16 Father's Cookies produce galletas con chispas de chocolate en un gran horno con capacidad de hornear hasta 2,000 libras de galletas a la vez, La de-

361

manda anual de 200,000 libras es constante; el costo variable es 2S\t por libra. Después de procesar 2,000 libras o menos de un mismo lote debe limpiarse el horno; la limpieza toma una hora con cuatro trabajadores, cada uno de los cuales recibe un pago de US$7 por hora. El costo de mantenimiento del inventario es 20% por dólar al año; si Father's Cookies mantiene el inventario por más de 12 meses el producto se daña. El horno tiene una capacidad sustancial que no se utiliza. ¿Qué cantidad de galletas se deben producir ¿Por qué? 8-17 Un artículo se consume a la tasa de 1,000 por año; los costos de pedidos son US$20 por pedido y los de mantenimiento son 2S% por año. El costo unitario de compra es una función de la cantidad comprada una sola vez, como sigue:

Cantidad 1 a 100 101

a 200

Más de 200

Costo por unidad US$10.00

9.75 9.50

¿Qué cantidad debe adquirirse del artículo? 8-18 Un minorista considera que la demanda media de un artículo en inventario es 1,SOO unidades para el año siguiente. El tiempo en producción del pedido es 20 días y la demanda media durante el tiempo de producción es de 100 unidades. Se considera que la demanda del tiempo de producción está distribuida normalmente, con a = 30 (hay una oportunidad de SO-SO de que la demanda del tiempo de producción podría ser menos de SO unidades o más de 120 unidades). El costo por unidad de ventas perdidas es US$S, el costo de colocar un pedido es US$10 y el de mantener una unidad en inventario por un año es US$SO. a. Calcular el tamaño óptimo aproximado del pedido (aproximar al entero más cercano). b. Calcular el punto de pedido óptimo aproximado. 8-19 La demanda media de un artículo en inventario para el año siguiente es de 4,000 unidades. El tiempo de producción sobre pedidos es de 10 días. La demanda del producto durante el tiempo de producción está distribuida normalmente y tiene una desviación estándar de 30 unidades. El costo por unidad de ventas perdidas es US$S, el costo de colocar un pedido es de US$lO y el de mantener una unidad en inventario por un año es SO centavos. a. Calcular la raíz cuadrada estimada de Q. b. Calcular el punto de pedido. c. Calcular el tamaño óptimo del pedido después de repetir (véase el apéndice de este capítulo). d. Calcular el costo total del tamaño del pedido inicial y el nuevo punto de pedido. e. Calcular el costo total del tamaño óptimo del pedido y el nuevo punto de pedido.

362

Análisis cuantitativo

8·20 El costo de procesamiento del pedido para un artí-

culo es US$50. La demanda anual es 10,000 unidades. El costo unitario del artículo es US$5, y el de mantenimiento de inventario es 20% por dólar al año. a. Calcular la cantidad económica del pedido en unidades. b. Si el tiempo de producción de reabastecimiento es de dos semanas y la demanda semanal promedio es 200 unidades (suponer que son 50 semanas por año), con una desviación estándar de 41 unidades; las demandas semanales están distribuidas de forma normal y son mutuamente independientes. La gerencia estableció que el costo de sanción de una unidad devuelta es US$3. Determinar el nuevo punto de pedido óptimo (R). c. Un analista que ya no está con la empresa había recomendado un nuevo punto de pedido de 603 unidades. ¿Cuál es el costo de la sanción (k u ) implícito en dicho valor para un nuevo punto de pedido? 8·21 Un artículo se reabastece 10 veces por año en promedio. El costo unitario anual por mantenimiento es la mitad del costo unitario de los faltantes. La demanda semanal está distribuida normalmente con una media de 100 y una desviación estándar de 20. a. Calcular la probabilidad deseada de no tener nada en inventario durante el tiempo de producción. b. Suponer que el tiempo de producción de reabastecimiento es de cuatro semanas. Calcular el punto de pedido óptimo. 8·22 En el problema 8-21, suponer que hay un error en el estimado de uno de los valores que se utilizó para calcular el punto de pedido. Específicamente, suponer que se cometió un error del 50% al estimar el costo de los faltantes, con el resultado de que la relación kc / ku es errónea. a. Si la relación errónea es de kc / k u = 1.0, en lugar del valor verdadero de un medio, entonces, calcular la probabilidad de quedarse sin existencias durante el tiempo de producción y el punto de pedido asociado. b. Suponer que la relación errónea es de kc / ku = 1/4. De nuevo, calcular la probabilidad de quedarse sin existencias y el punto de pedido. c. Comentar sobre la sensibilidad relativa de la cantidad de pedido frente al punto de pedido. 8·23 La demanda promedio anual de un articulo es 2,400. El tiempo de producción es de un mes; la desviación estándar de la demanda mensual es 50 unidades. La cantidad de pedido es 300 unidades; la gerencia desea que 99% de la demanda se satisfaga con el inventario. a. ¿Cuál es el punto de pedido óptimo? b. Suponer que la gerencia quiere 98% de nivel de servicio. ¿Cuál es el punto de pedido óptimo? c. Si la gerencia estuviera satisfecha con 90% de nivel de servicio, ¿cuál sería el punto de pedido óptimo? 8·24 Un mayorista de útiles de escritorio tiene que deci· dir cuántos almanaques de escritorio almacenar para el año próximo. Es imposible hacer un nuevo pedi-

do y las unidades sobrantes quedan sin valor. La siguiente tabla indica los posibles niveles de la demanda y las probabilidades a pJiOli del mayorista: Demanda (en miles)

_Probabilidad de la demanda

100 200

0.10 0.15

300

0.50

400

0.25 1.00

Los calendarios se venden a US$100 por millar y el costo de compra incremental es US$70. El costo incremental de venderlos (comisión) es US$5 por millar. a. Utilizar el análisis de este capítulo para encontrar cuántos calendarios deben pedirse. b. Verificar este cálculo mediante tablas de valor esperado yvalores condicionales y calculando los valores esperados para cada acción. c. ¿Cuánto debería ser el costo de la mala voluntad del cliente para justificar un pedido de 400,000 calendarios? 8·25 La demanda de un producto es aproximadamente normal con una media de 40 unidades y una desviación estándar de 12 unidades. El producto cuesta US$2 por unidad y se vende a US$5. Las unidades sin vender no tienen valor. a. Suponiendo que no hay pérdida de goodwill debido a la demanda no satisfecha, kuál es el tamaño óptimo del pedido? b. La gerente a cargo del producto acostumbra pedir 60 unidades. Ella defiende la política de que hay pérdida de disposición favorable en el cliente, asociada con la demanda insatisfecha. ¿Cuál es la pérdida de goodwill implícita asociada con la política de la gerente? 8·26 Un fabricante de cámaras hace la mayoría de sus ventas durante la temporada navideña. Por cada cámara vendida tiene una utilidad de US$20; si una cámara se vende después de la temporada principal, el precio debe reducirse, el cual es US$5 menos que el costo variable de producir la cámara. El fabricante estima que la demanda está normalmente distribuida con una media de 10,000 unidades y una desviación estándar de 1,000 unidades. a. Pasando por alto los costos de la mala voluntad del cliente por un agotamiento de existencias, ¿cuál es el tamaño óptimo del pedido? b. ¿Cuál es el costo de la mala voluntad del cliente por un agotamiento de existencias que justificaría un pedido de 11,500 unidades? 8·27 Green Garden Store debe pedir su lote de plantas de primavera el 23 de marzo (no hay oportunidad de un nuevo pedido después de esa fecha). Debido a la inminente sequía, Green Garden redujo su proyección de ventas y ahora espera vender cerca de

Control y gerencia de inventarios US$100,000 (al detal) de plantas de primavera; la desviación estándar del error para este pronóstico es 15% (es decir, US$15,000). Suponer que los errores de la proyección están distribuidos de forma normal. Por cada dólar de venta al detal, la tienda paga US$0.30 por las plantas que compra al por mayor. Las plantas que quedan después de la estación de ventas no pueden venderse; además, Green Garden debe pagar por retirarlas un costo de US$0.05 por US$l de venta al detal. Todos los demás costos de operación de la tienda no están afectados por el volumen de ventas que alcance. ¿Cuál debe ser el valor de las plantas que pida la tienda para venderlas al detal? 8.28 Peninsula Pumpkin Stores (PPS) compra calabazas antes del Halloween para revenderlas. PPS vende las calabazas a US$0.50 por libra y paga un precio mayorista de US$0.30 por libra. Los proveedores le exigen firmar los pedidos el 1 de septiembre, de modo que debe aceptar un compromiso antes de conocer la demanda. En la fecha señalada, la pro-

º

363

yección de la demanda de Pumpkin es de 10,000 libras; el error normalmente está distribuido con una desviación estándar igual al 15% de proyección. Sin embargo, la proyección no han tenido desviaciones. Las calabazas que quedan (después del Halloween) pueden venderse a un promedio de US$0,20 por libra sin límite de volumen. Los pedidos de los clientes que nopuedan cumplirse se consideran perdidos. a. ¿Cuántas libras en total deberá pedir PPS el I de septiembre? b. Suponer que PPS encontró un proveedor adicional que cumplirá con los pedidos de reabastecimiento de inmediato, de modo que si la empresa acaba con sus existencias, puede hacer nuevos pedidos, a los segundos proveedores, en pequeñas cantidades, a medida que se necesiten, de segundos proveedores. (PPS continúa usando al proveedor original para su pedido inicial). El nuevo proveedor cobra US$0,42 por libra por este servicio rápido y garantiza el suministro. Ahora, ¿cuál es la orden de compra inicial ideal para ell º de septiembre?

º

PROBLEMAS ESPECIALES : 8-29 Considerar la ecuación 8-1, costo total anual, y la ecuación 8-2, la fórmula de la cantidad económica del pedido. Suponer que un error en la recopilación de datos hace que Q tenga un error de 20% menos que la Q* verdadera (es decir, Qerror = 0.80 Q*). Este error debe sustituirse en la ecuación 8-1 y encontrar el porcentaje del costo de la sanción que resulta del error de 20% de Q. (Ayuda: usar el hecho de que con Q* óptima los dos términos de la ecuación 8-1 son iguales, y cada uno es la mitad del costo total anual óptimo (el mínimo). 8-30 Una empresa usa 2,000 unidades de un producto cada año (uso constante). El producto se compra a un proveedor a un costo unitario de US$4; sin embargo, la empresa debe pagar el flete desde la planta del proveedor. Cada unidad pesa 5 libras; el costo de embarque es de 20 centavos por libra. La empresa estima que el costo del procesamiento del pedido es US$25 por pedido; los costos de mantenimiento de inventario son 20% por dólar al año. a. Encontrar la cantidad óptima del pedido. b. Suponer que para los embarques superiores a 300 libras, pero inferiores a 10,000 libras, hay una tarifa fija de US$50 por embarque (no por libra) mientras que para los embarques inferiores a 300 libras, la tarifa se mantiene en 20 centavos por libra. Ahora, ¿qué cantidad de pedido debe usarse para minimizar la suma de todos los costos variables relevantes? 8·31 Bancroft Press publica una amplia variedad de libros. Uno de los más vendidos es Imagínative Cooking que va por su cuarta edición. Bancroft espera que de la siguiente edición de la obra se vendan 12,500 copias anuales durante los siguientes años.

En años anteriores, Bancroft se ha limitado a imprimir y empastar el suministro de un año para este tipo de texto. Recientemente, el aumento de los costos del inventario los obligó a reconsiderar esta política. En particular, la empresa está considerando empastar sólo la mitad de la cantidad impresa y conservar el material restante como inventario no empastado. Cuando se necesite, la mitad pendiente del lote se encuadernará. Los costos son como sigue (omitiendo los de mecanografía, distribución y otros que no están afectados por esta decisión):

Costo de producción Costo variable por unidad

Impresión

Encuadernación

US$5,OOO

US$1,OOO 2

4

Ahora, la editorial cuenta con un inventario de 25% por dólar al año. a. Si se empasta un lote completo al momento de la impresión, ¿cuál es la cantidad óptima?, ¿cuáles son los costos totales anuales? b. Si sólo se encuaderna la mitad del material impreso, ¿cuál es la cantidad óptima que debe imprimirse? ¿Cuáles son los costos totales anuales? 8-32 ACME Dairy produce 15 sabores de helado de crema, en empaques de pintas, un cuarto y medio galón. El tiempo para cambiar el tamaño del empaque es de dos horas, y el costo variable asociado con este cambio es US$80. La limpieza para pasar de un sabor a otro toma 30 minutos, con un costo variable de US$20. La cantidad de helado que se produce y

364

Análisis cuantitativo

empaca en una hora de turno es aproximadamente 1,000 galones (independientemente del sabor o del tamaño del empaque) y el costo variable asociado con esa cantidad de producto (materiales más mano de obra directa) es US$500. El costo de mantenimiento de inventario es 25% por dólar al año. a. ¿Debe producir ACME todos los tamaños para un sabor dado antes de cambiar al siguiente sabor o debe producir todos los sabores en un mismo tamaño antes de cambiar al siguiente tamaño? ¿Por qué? b. La demanda de galones para cada combinación de sabor y tamaño (45 productos) constante 40,000 galones cada año, se cuenta con 2,200 horas de la producción anual. ¿Cuál es el tamaño económico del lote donde deben producirse todos los productos? c. Hace poco, el sindicato negoció un nuevo contrato con ACME que limita las horas de operación a 1,940 por año (y no se permiten horas extras) ¿Qué efecto tendrá esta restricción, si lo hay, en la respuesta al literal b? ¿Qué costo, si lo hay, tiene esta restricción? 8-33 Las láminas de madera usadas para armar una biblioteca se producen en una costosa máquina automática de corte. Para que la máquina empiece a producir las piezas, se incurre en un costo de US$500. Una vez que arranca, las piezas salen a una tasa de 200 bibliotecas por día con un costo de US$5 (incluyendo la materia prima) cada una. Después de producir las piezas, hay que ensamblarlas. El supervisor de primera línea considera que e! proceso de ensamble requiere algún tiempo debido al fenómeno de la curva de aprendizaje, aunque una vez se inicia el proceso, cada biblioteca se arma más rápido que la anterior. Él estima que el efecto puede representar un costo de organización de ensamble de US$50. Una vez que comienza el montaje de las bibliotecas, la producción es de 100 muebles por día; el costo de cada biblioteca terminada es de US$15 (incluyendo elcosto de US$5 por las partes cortadas). La demanda anual de bibliotecas es constante en 2,500 unidades. El costo de mantenimiento es 20% por dólar al año. Q. Suponer que el departamento de corte de las piezas está separado de! de ensamble y su control financiero es por separado. Si quisiera determinarse el tamaño de la producción para la cortadora de piezas, desconociendo el hecho de que el producto sólo es intermedio, ¿cómo se haría? b. Si fuera a determinarse e! tamaño del lote de ensamble sin tomar en cuenta al departamento de corte, ¿cómo debería hacerse? c. El supervisor manifestó que: -"Las piezas cortadas y sin ensamblar no son buenas para nosotros. Cada vez que la cortadora está funcionando, debemos procesar la cantidad completa de piezas cortadas en la etapa de ensamble hacia el inventario de productos terminados, de modo que nos resulten de utilidad". Dada esta política sugerida, ¿cuál es la cantidad económica en que

deben producirse las piezas cortadas y las biblio. tecas ensambladas? 8-34 Una empresa debe decidirse entre fabricar una pieza o comprarla a un proveedor externo. El costo variable por unidad es el mismo en cada caso. Sin embargo, si fabrica la pieza por su cuenta, tiene un costo de iniciación de US$100. Si la compra, hay un costo fijo de pedido de US$20. Si fabrica la pieza, e! tiempo de producción es cero; si la compra por fuera, el tiempo de producción es de 25 días (el uso durante e! tiempo de producción se distribuye normalmente con una media de 100 unidades y una desviación estándar de 20 unidades). El costo de mantener una unidad en inventario es US$2 por año, el costo de carecer de una unidad es US$18 (éste es k u ). Los requerimientos anuales de esta pieza son de 1,000 unidades. ¿Debe la empresa fabricar la pieza por su cuenta o debe comprarla al proveedor? ¿Qué otras consideraciones, además de los costos de inventario, deben hacerse realmente en una decisión de este tipo? 8-35 Una vacuna comercializada por un laboratorio farmacéutico tiene una demanda conocida y constante de 1,200 unidades por año (o 100 al mes). El costo de producción es US$120 por unidad, el costo de organización es US$400 por lote y el de mantenimiento de inventario es 20% al año. El tiempo de producción es constante y conocido (un mes). Q. ¿Cuál es la cantidad económica de producción parlote? b. Recientemente, el laboratorio descubrió que su vacuna tiene una vida en estante de sólo 1,5 meses. Determinar la estrategia de producción con el costo más bajo posible para esta situación, es decir, la que minimice los costos de iniciación, mantenimiento y desperdicio. c. Ahora, si e! promedio de demanda dellaboratorio es 100 unidades mensuales, pero ya no es constante. La demanda está distribuida normalmente, con una desviación estándar de 20. El costo unitario de un faltante es US$640 (utilidad perdida más mala voluntad del cliente). Sin tomar en cuenta e! problema de la vida en estante del literal b, ¿cuál es la política de inventario óptima? 8·36 Aggregated Air Lines (AAL) mantienen repuestos para reparar los motores de los aviones, los cuales fallan de manera aleatoria. Como ejemplo, considerar la pieza # 7654 que se encuentra en cada motor de un Boeing 747. Cuando los motores se llevan a la base de mantenimiento para desarmarlos, revisarlos y repararlos, esta pieza se examina con especial cuidado y si es necesario el diagnóstico es de necesidad de reparación. Las fallas de este repuesto por mes se presentan de acuerdo con una distribución normal, con una media de 5 y una desviación estándar de 1.5. El tiempo de organización para la reparación es muy corto en comparación con e! valor de la pieza misma, de modo que C(l,(Í¡J. vez que se necesita reparar una de ellas, ésta se envía al taller (es decir, no se envíanvarias). El taller tarda exactamente tres

Control y gerencia de inventarios

meses en reparar la pieza y la aerolínea tiene un inventario de 30 piezas de repuesto; lo que significa que las 30 piezas deben estar en condiciones de atender la demanda aleatoria durante el ciclo de reabastecimiento de tres meses o se presentará un agotamiento de existencias. AAL determinó que el costo de un faltante es de US$50 (éste es el costo de enviar un repuesto desde la Boeing). Se pide revisar el número establecido de 30 piezas. ¿Cómo determinar la cantidad objetivo óptima si las piezas cuestan US$125 cada una y el costo de mantenimiento anual del inventario es de 25% al año? 8-37 Con base en el problema 8-20, suponga que por una tarifa anual de US$100 es posible reducir el tiempo de producción de reabastecimiento de dos semanas a una, para aplicar el concepto de justo a tiempo. a. Suponiendo que la tarifa se paga, calcular la nueva cantidad económica del pedido (Q). b. Suponiendo que la tarifa se paga, calcular el punto de nuevo pedido (R). c. Calcular la reducción en el inventario de seguridad en unidades y en dólares. ¿La empresa debe pagar la tarifa? Explicar la respuesta. 8-38 En la actualidad, Friendly Computer Store pide paquetes de disquetes flexibles a sus proveedores. Los pedidos se reciben un mes después de hacerlos. El costo unitario por paquete es US$3; los costos anuales por mantenimiento de inventario son 25%; el costo unitario por faltailtes de un paquete se considera de US$7. La demanda mensual de paquetes de disquetes es una variable aleatoria distribuida normalmente con una media de 1,000 paquetes y una desviación estándar de 200 paquetes. a. Una nueva empleada preguntó cuál es el costo de procesamiento de pedidos para pedir los disquetes; se le respondió que es US$S. Entonces, ella propone que la empresa adopte una política de revisión continua del tipo descrito en este capítulo. ¿Cuáles serían los valores óptimos para Q y R con esa política? b. Otro empleado nuevo descubrió que el costo de procesamiento de pedidos de US$5 puede reducirse a US$l si la tienda está dispuesta a invertir US$100 en un paquete de software para procesar los pedidos. Analizar si debe hacerse o no esta inversión.

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8-39 Un artículo tiene un costo unitario de US$20 cuando se compra bajo condiciones normales de reabastecimiento, con un tiempo de producción de dos semanas. Si un agotamiento de existencias amenaza con crear una emergencia inmediata, puede reabastecerse si paga US$22 por unidad (es decir un costo adicional de US$2) y pedir las unidades que se necesiten (una unidad a la vez) cuando el inventario caiga a cero. No hay costo de procesamiento del pedido cuando se pide reabastecimiento de emergencia; el costo de procesamiento para los rebastecimientos normales es de US$20 por pedido. Los costos de mantenimiento son 25% anuales. La demanda anual promedio es de 10,400 unidades; la demanda semanal está distribuida normalmente con una media de 200 unidades y una desviación estándar de 30 unidades. a. Calcular la cantidad de reabastecimiento deseada y el punto de nuevo pedido para reabastecimientos normales. b. Suponer que la opción de reabastecimiento en una emergencia inmediata ya no está disponible y que la empresa debe satisfacer 98% de la demanda fuera de los estantes sin pedidos pendientes (back arder). ¿Cuál debe ser ahora el punto de nuevo pedido? 8-40 Considerar los datos de los seis artículos que aparecen listados en la tabla 8-10. a. Usar una hoja de cálculo para determinar los puntos de nuevos pedidos individuales para cada artículo con el fin de lograr 98% de nivel de servicio para cada uno de ellos. La suma de la inversión en inventario de seguridad para los seis artículos se toma en conjunto. b. Repetir la parte del literal a. para los siguientes niveles de servicio: 97%, 96% y 95%. Trazar los resultados en una curva de intercambio demostrando cómo la inversión total en el inventario de seguridad varía con el nivel de servicio deseado. 8-41 Considerar el problema 8-40. a. Mediante ensayo y error encontrar un conjunto de niveles de inventario de seguridad para estos seis artículos que tenga una tasa de cumplimiento promedio ponderado de 98% o mejor y que tenga una inversión de inventario más baja en el inventario de seguridad.

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-

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Demanda semanal

Tiempo de producción (semanas)

Desviación estándar de la demanda semanal

Costo unitario

Cantidad del pedido

10 15 1,000 50 75

3 5 2 2 3

1.1 1.3 120 6 9

US$400 75 3 150 30

9 26 1,075 34 93

100

5

12

1,000

19

TABLAS-lO (para el problema S-40)

:iMil&IlZZ"

365

366

Análisis cuantitativo

b. Ahora, aplicar un costo común de faltante ku a estos datos. Para cada valor posible de k u' calcular el nivel de servicio promedio ponderado y la inversión total en inventario de seguridad. Mediante ensayo y error encontrar los valores de ku que correspondan aproximadamente a los siguientes niveles de servicio promedio ponderado: 98%, 97%, 96% Y9S%. Trazar los resultados en una curva de intercambio. Establecer el contraste de estos resultados con los del problema 840, literal b. 8·42 En el ejemplo de la cadena de suministro de este capítulo, suponer ahora que las tres naciones (Francia, Alemania y España) tienen una demanda semanal de SOO y una desviación estándar de 200. a. Calcular el inventario de seguridad requerido bajo una política de productos separados que brinde 9S% de servicio. b. Calcular el inventario de seguridad requerido bajo una política de producto genérico que brinde 9S% de servicio. c. Calcular el inventario de seguridad requerido bajo una política de producto genérico que brinde 97% de servicio. d. Ahora, suponer que hay 10 naciones idénticas (diferentes a las tres ya mencionadas). Hacer los ejercicios de los literales a, b y c para esta situación. ¿Qué le sucede a la magnitud de mejoramiento debido a la acumulación de riesgo, cuando el número de artículos aumenta de 3 a lO? 8-43 ACME Company produce equipos de aire acondicionado. Debido a la limitada capacidad de producción y al deseo de mantener empleos fijos a través del año, la producción de modelos particulares debe determinarse antes del verano, la temporada de más ventas. El modelo júnior cuesta US$60 en producción y se vende a US$100, mientras que el modelo super cuesta US$120 en producción y se vende a US$210. Cualquier cantidad de unidades que no se haya vendido al final de la estación debe tener un precio de sacrificio de 80% del costo incremental de producción. La demanda de la estación para el modelo júnior se estima como normal, con una media de 10,000 y una desviación estándar de 3,000; para el modelo super, la demanda estimada es normal con una media de 6,000 y una desviación estándar de 2,000. La empresa considera que como los dos modelos se venden en rangos de precio diferentes, las demandas son independientes. a. Pasando por alto los costos de la mala voluntad del cliente, calcular los tamaños de la producción óptima para los dos modelos. b. Suponer que las demandas ya no son independientes. Como un caso extremo, suponer que el número de unidades vendidas del modelo super es precisamente 60% de la cantidad vendida del modelo junior. Además, suponer que la media de ventas del modelo junior se estima en 10,000, con una desviación estándar de 3,000 (sin tomar en cuenta la otra media ni la desviación estándar). Ahora, calcular el tamaño óptimo del pedido.

(Ayuda: dada la estricta dependencia asumida, considerar un producto compuesto que contenga una unidad del modelo júnior y 0.6 del modelo super). 8-44 Cox Photo Company es una empresa de pedidos por correo especializada en prestar servicio las 24 horas para revelado de fotografías y elaboración de filminas y diapositivas de calidad para exposiciones. La política general es que los pedidos que lleguen en la mañana deben estar terminados y de vuelta en el correo, antes de la recogida del correo a media noche. En general, esto implica cierta dificultad. Seis técnicos de tiempo completo trabajan en turnos de ocho horas desde las 8 a.m. hasta las S p.m. y se les paga US$12 por hora (incluyendo prestaciones sociales). Estos técnicos pueden procesar un promedio de cinco pedidos por hora. Cuando, en ocasiones, hay más de 240 pedidos en el día, uno o más de los técnicos trabaja tiempo extra a US$16 la hora. Hace poco, Cox Photo compró a un competidor en la misma comunidad y planea consolidar las operaciones. No obstante, el señor Cox está indeciso sobre cuántos técnicos debe agregar a los seis que ahora emplea. Al sumar los datos de pedidos anteriores de su competidor a los suyos, el señor Cox tiene los siguientes datos de frecuencia para promediar:

Número de pedidos entrantes

Fracción de días

Menos de 220

0.03

220-39

0.03

240-59

0.09

260-79

0.16

280-99

0.18

300-19

0.20

320-39

0.15

340-59

0.10

360-79

0.05

380 Ymás

0.01 1.00

. Una de las técnicas de Cox Photo estaba tomando un curso nocturno de estadística en una universidad local y trató por su cuenta de analizar los datos anteriores. Ella le dijo al señor Cox que los datos se ajustaban de cerca de una distribución normal, con una media de 300 y una desviación estándar de 40; sin embargo, no pudo responder la pregunta de cuántas persona contratar. a. ¿Cuántos técnicos debe emplear Cox? ¿Cuál es el costo esperado? b. ¿Qué factores adicionales deben incluirse para tomar esta decisión? 8·45 ABe Office Supply Company mantiene una bodega de repuestos en Alaska para apoyar sus necesidades de mantenimiento de equipo de oficina. Una vez

Control y gerencia de inventarios

cada seis meses, se envía un embarque" importante de piezas de reabastecimiento desde EE.UU. hasta Alaska. Entre estos embarque planeados, se utilizan despachos aéreos de emergencia para reabastecer los repuestos cuando el inventario queda corto ante la demanda. ABC debe determinar el nivel de inventario óptimo para sus repuestos. Como ejemplo, durante intervalos, en los pasados seis meses, la pieza 123456 demostró una distribución normal con una media de 100 y una desviación estándar de 10. El costo unitario de los sobrantes (que representa el costo de inventario del artículo no necesario durante seis meses) es US$5; la producción incremental y el costo de embarque del artículo es US$40 por unidad. ABC tiene dificultad para determinar el costo unitario de los faltantes, por dos razones: la primera es que valora las piezas de repuesto por su costo y no toma ninguna utilidad bruta sobre ellas. La segunda, es que siempre satisfacerá la demanda usando los despachos aéreos de emergencia para reabastecer, si la demanda excede al inventario. Estos despachos tienen un costo por unidad embarcada de US$25 por encima de los costos normales de embarque. ¿Cuál debe ser el inventario objetivo óptimo para esta pieza? 8-46 Va a realizarse el banquete anual para el Football Boosters Club de una universidad. Aunque se espera gran asistencia, sólo se sabrá hasta la noche misma del banquete cuántas comidas tendrá que servirse. El contrato con el hotel donde se celebrará el banquete establece que una semana antes de éste, debe definirse el número de comidas. El precio de estas comidas es de US$21 cada una. Aunque el número de asistentes sea menor que el de las comidas contratadas, hay que pagarlas todas. Si asisten más personas del número calculado, podrán ser atendidas a un costo de US$36 por comida. Por ejemplo, si se contratan 200 comidas y asisten menos de 200 personas, hay que pagar US$4,200. Si asisten más de 200 personas, hay que pagar US$4,200 más US$36 por cada comida adicional. El criterio acerca del número de asistentes puede describirse como una distribución de probabilidad normal con una media de 400 personas y una desviación estándar de 100. a. El costo del banquete es cubierto en su totalidad por la Asociación de Alumnos y el objetivo es minimizarlo, dado que a todos los asistentes se les atenderá. ¿Cuál debe ser el compromiso previo con el hotel respecto a las comidas? b. Suponer que se cobran US$30 a cada persona que asista. El objetivo es maximizar la utilidad del banquete. En este caso, ¿cuál debe ser el compromiso previo con el hotel? 8-47 Dresden Glass Company (DGC) produce esculturas en vidrio decorativo de alta calidad y distribuye los productos a través de tiendas especializadas y por departamentos que abastecen al segmento de más altos ingresos del mercado. Virtualmente, todos los pedidos y embarques se realizan en octubre,

367

como antesala al mercado de regalos navideños. Todos los artículos que no se vendan a nivel minorista en enero son devueltos a DGC por su valor total, pero el minorista paga el flete de retorno. Los costos del artículo # 123C son los siguientes: Costo estándar de fabricación (por pieza) Materia prima Mano de obra directa Gastos generales variables Gastos generales asignados Costo estándar Precio de venta mayorista de DGC para el minorista Precio de venta minorista Costo del flete para las devoluciones del minorista a DGC (5% de US$85)

US$ 5.00 30.00 5.00 15.00 55.00 85.00 170.00

4.25

Si algún minorista se queda sin este artículo, los pedidos sin cumplir se pierden (en oposición al cliente que espera o compra un regalo diferente del minorista). Están dispuestos a pasar por alto la pérdida por mala voluntad del cliente, pero no la utilidad perdida. ¿Qué nivel de inventario debe tener un minorista para el artículo # 123C de DGC si la demanda media estacional se estima en 100 unidades y la desviación estándar es 20 unidades? (Suponer una variable aleatoria normalmente distribuida). 8-48 Wyler Wine Company produce champaña fermentada en la botella. El proceso de fermentación toma un año. El costo variable de la producción inicial de una caja de champaña (sin incluir el costo de mantenimiento para el período de fermentación de un año) es US$lO. El precio de venta neto que pagan los mayoristas es US$18 por caja. Las cajas que no se venden después de su año "objetivo" (año 1) se guardan de nuevo hasta el año siguiente, sin ningún menoscabo de la calidad; sin embargo, el dinero continúa dependiendo del inventario. La empresa estima los costos de mantenimiento del inventario en 20% por dólar al año. Como las uvas se obtienen sólo una vez al año, en la sede principal de la empresa en Nueva York, Wyler debe hacer un compromiso de producción una vez al año para toda la cantidad de champaña que planee producir. La decisión de Wyler para la producción de este año (para las ventas del año próximo) está cerca. La proyección de las ventas para el aii.o próximo es de 100,000 cajas (o = 8,000); el inventario sobrante que se anticipa es de 15,000 cajas. No se evalúan los costos de la mala voluntad del cliente para las situaciones de agotamiento de existencias, pero la utilidad se pierde en esas instancias. ¿Cuántas cajas debe producir la empresa? 8-49 Alpine Valley Ski Aerea (AVSA) debe tomar una decisión a las 5 p.m. de cada tarde con respecto a llamar o no las cuadrillas que acondicionen la nieve. Esta labor comienza a las 11 p.m. y continúa hasta las 3 a.m. Sin embargo, para hacerlo se necesita que

368

Análisis cuantitativo

la temperatura no sea mayor de 27° Fahrenheit. Si a las 11 p.m. la temperatura está por encima de esa indicación, AVSA tiene que pagarles a las cuadrillas aunque no haya nada que hacer; este costo es de US$l,OOO por noche. Si AVSA decide a las 5 p.m. que no llamará a las cuadrillas, pero la temperatura cae por debajo de 27º Fahrenheit a las 11 p.m., la empresa reconoce que ha perdido la oportunidad de una noche para arreglar la nieve, lo cual tiene un valor bruto estimado de US$4,000 y un valor neto (después de pagar a las cuadrillas) de US$3,000. AVSA utiliza la siguiente regla de pronósticos: la temperatura pronosticada a las 11 p.m. es igual a la de las 5 p.m. menos 10°. Una comparación histórica de temperaturas reales y pronosticadas a las 11 p.m. indica que estos vaticinios son imparciales y que los errores están distribuidos normalmente con una desviación estándar de 9°.

¿A las 5 p.m. cuál medida de temperatura debe usar AVSA para tomar su decisión? Ayuda: encontrar la probabilidad deseada, es decir, la apuesta objetivo óptima de que no se llamará a las cuadrillas cuando habrían estado dispuestas a arreglar la nieve. S·SO Una aerolínea encontró que el número de personas que no llega a un vuelo (no cancela) está normalmente distribuido con una media de 20 y una desviación estándar de 10. La aerolínea estima el costo de oportunidad de una silla vacía en US$lOO; los costos de la mala voluntad del cliente y la sanción asociados con el hecho de no estar a bordo un pasajero que tiene una reservación confirmada se estiman en US$400. La aerolínea desea fijar un límite en las reservaciones para este vuelo. Hay 150 sillas, ¿Cuál debe ser el límite máximo en las reservaciones confirmadas? ¿Por qué?

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 8·1 a. Los datos clasificados son 530, 320, 225,170,125, 94, 70, 49, 30, 2. Los datos acumulados son 530, 850,1,075,1,245,1,370,1,464,1,534,1,583,1,613, 1,615. Véase el trazo de los datos acumulados en la figura 8-14. Nota: después de trazar el dato total de ventas acumuladas de US$1,615, la escala vertical puede marcarse como 100% y luego dividirse en porcentaje como se muestra. b. 4,000/20,000 = 20% de los artículos; en la muestra, esto representa 850/1,615 = 52.6% de ventas. c. Cerca de 85% de las ventas en dólares. d. En la curva ABC de la muestra, el punto que representa 50% de ventas cae entre los artículos con ventas de 530 y 320, pero está muy cerca del último. Por tanto, podría decirse que cualquier artículo con ventas por encima de 350 se clasificaría como A. Del mismo modo, podría indicarse que en el punto de 50% en la escala de los artículos, la tasa de ventas es 125 y usa 125 como el límite superior en los artículos C, aunque un método ligeramente más preciso sería promediar los puntos de los datos (125, 94) como un estimado de la mediana de la tasa de ventas de la muestra; este promedio señalaría 109.5 como el límite superior en los artículos C. Los artículos B estarían entre estos valores. S-2 a. Q =

~2DK = kc

2 o 100,000 060 = 3

V 4. 106

= 2,000 unidades

b.

Q

=

2 o 100,~00 o 0.60

= V 40,000 = V 40104

= 200 unidades

Nota: el uso diario es 100,000/360 = 277 unidades por día. ¿Se ordenarían

200, 277 O más?

2 o 100,000 o 15 = 3

S-3 a. Q =

VI 000 000 '

,

= 1,000 unidades

b. Mediante la ecuación 8-1, el costo total utilizando el costo original de pedido es

CT(Q = 2,000) =

2,~00(3) + 1~~~~~0(60)

+ 3,000 =

= 3,000

$6,000

El costo total usando el nuevo costo de pedido reducido es:

CT(Q

= 1,000) = 1,~00(3) + 1~~~~0(15) =

1,500

+ 1,500 =

$3,000

La reducción en costos es US$6,000 - US$3,000 = US$3,000; como la reducción de US$3,000 excede la tarifa de afiliación de US$2,000, la empresa debe asociarse con la cooperativa y pedir lotes de Q = 1,000 unidades. 8-4 Q =

~2KD = kc

2(1,000)(1,200) = 346

20

F(R) = 1 - kcQ = 1 _ 20(346) = 0.9712 kuD 200(1,200) En la tabla A, esto corresponde a Z = 1.90 + Za = 100 + 1.90(40) = 176

R = media

S-S a. De la ecuación 8-10, Q(l - P)

= 0.0667

(TM

=

200(.01)

30

de la tabla B, Z = 1.11, de modo que R = 100 1.11(30) = 133.3 ó 134

b. De modo similar 200(.02)

+

= 0.1333' de la tablaB, , 30 ' Z = 0.74, de modo que R = 100 + 0.74(30) = 122.2 Ó 123

Control y gerencia de inventarios

369

FIGURA 8-14

US$1,61S 1,500

Ul [!! ro

:o1J

1,000

V

e

V /

V

~

.......

100%

~

75

:/

~ (J)

ro ro

"O

:i E ::>

50

500

ü

ro (J) ro

25

1/

e Q)

>

o

2

3

4

6

5

7

8

9

10

o

Artículos de la muestra

o

20

10

30

40

. 200(.10) c. De l a misma manera, = 0.667 30 Como esto excede el límite superior de la tabla B (0.3989), esto significa que Z = OYR se iguala a de 100. En realidad, se excederá el nivel de servicio establecido debido a la cantidad del pedido. 8-6 _

in

Ventas

p(X = x)

P(X 2: x)

O 1 2 3 4 5 6

0.05 0.15 0.30 0.35 0.10 0.05 0.00

1.00 0.95 0.80 0.50 0.15 0.05 0.00

a. ca = US$10; c1l = US$40 Pe =

~= Cu

+ ca

10

= 0.20

40 + 10

Deben pedirse las tres unidades: Pe =0.20 > 0.15; Pe = 0.20 < 0.50, donde 0.15 es la probabilidad de que la demanda sea de cuatro unidades o más, y 0.50 es la probabilidad de que la demanda sea de tres unidades o más. b. Cu = US$40 + US$20 = US$60; Ca = US$lO

ca 10 Pe = - + - = 70 = 0.143 ca Cu

50

60

70

80

90

100%

Deben pedirse cuatro unidades: Pe =0.14
0.05

8-7 Nota: suponer que el costo de la compra de US$50 se pierde si un artículo no se vende, pero no se incurre en el costo incremental restante de US$20 a menos que el artículo ~e venda. ca Pe = -+-; ca = US$50 -10 = US$40; CU = (US$100cA Cu 70) + 50 = US$80: 40 = ~ = 0.33; Z = 0.44 desviaciones es40 + 80 120 tándar 140 + 0.44+(20) = 140 + 8.8 = 148.8 (tamaño óptimo del pedido 8-8140 + 0.44(50) = 140 + 22 = 162 tamaño óptimo del pedido. Se observa el incremento en el tamaño óptimo del pedido causado por el incremento en la desviación estándar de la distribución de ventas. Véase el problema 8-9 para otra comparación.

Pe =

ca 40 8-9 Pe = ca + C = 40 + 30 = 0.571 u

a. Z = 0.18; 140 - 0.18(20) = 140 - 3.6 = 136.4 b. 140-0.18(50)= 140-9 = 131 Nota: en este problema, la desviación estándar más grande disminuyó el tamaño del pedido; en el problema 8-8, la desviación más grande aumentó el tamaño óptimo del pedido. El efecto depende de si Pe > 0.50 O Pe < 0.50.

Ejemplo motivador Programación de citas médicas en el Lourdes Hospital '.:"-.'

,',

_,_'. ,':: :.",

',C'.

en parte, por la inversión en el más avanzado. equipo de manejo y la más reciente tecnología de informa· ción. Sin embargo,la gerencia del puerto también ha .sido una usuaria muy avanzada de las técnicas cuantitativas descritas en este libro. Departicular importancia es un modelo de simulación desarrollado para analizar las operaciones en detalle. Las operaciones portuarias comienzan con la llegada de un barco, el cual se asigna a un muelle con varias grúas para descargar la mercancía. Los contenedores se trasladan desde la grúa de maniobra por medio de variós transportadores a motor similares

1 Dessouky, Y. Maggioli, G. and Szeflin, D. "A Simulation

Approachto Capacity Expansion for the Pistachio Hulling Process", Proceedingsof the1994Winter Simulation

Conference. 2 KOH, P. B., Koh, J. L. K. Ng, H. S. and Ng, H. C. "Using Simulation toa Preview Plans of a Container Port Operation",

'. Proceedings ofthe 1994 Winter Simulation Conference. 3 Godward, M. and Swart, W. "An Object Oriented Simulation Model for Determining Labor Requirements at Taco Bell", Proceedillgs of the1994 Winter Simulation COllferellce.

La simulación implica construir una réplica de algún sistema real y usarlo bajo condiciones de prueba. Por consiguiente, los ingenieros pueden probar modelos de nuevos aviones en túneles de viento y los pilotos comerciales y astronautas entrenar en simuladores de vuelo. En administración, los modelos matemáticos se construyen y se utilizan para comprobar los resultados de decisiones antes de aplicarlas en la realidad. De forma general, cualquier planteamiento de un problema de decisión de negocios podría llamarse una simulación, ya que representa o simula algunos aspectos del problema real. Por ejemplo, un modelo de programación lineal puede diseñarse para representar un problema de mezcla de producto o de planeación de transporte. Los modelos de simulación considerados en este capítulo difieren de otros modelos en tres aspectos:

1. Los modelos de simulación no suelen estar diseñados para encontrar la mejor solución o soluciones óptimas, como en la programación lineal o en análisis de decisiones. En lugar de esto, se evalúan varias propuestas y se toma una decisión con base en una comparación de los resultados. En otras palabras, evalúan el desempeño de sistemas previamente especificados. 2. Los modelos de simulación suelen enfocarse en operaciones detalladas del sistema, bien sean físiéas o financieras. En el sistema se estudia la manera como funciona a través del tiempo y se incluyen los efectos de los resultados de un período sobre el siguiente. 3. En los modelos de simulación de este capítulo se incluyen elementos aleatorios o probabilísticos, que incluyen ejemplos de sistemas de colas, de inventario y modelos de análisis de riesgos, a menudo llamados simulación Monte Carla. Para ilustrar estas diferencias, considerar la construcción del modelo de una fábrica que elabora una serie de productos. Un modelo de programación lineal podría desarrollar la mezcla de producto óptima. Un modelo de simulación más detallado podría relacionarse con las cuestiones específicas de cuál debe ser la programación de la fábrica para lograr la mezcla de productos deseada, tomando en cuenta los períodos de configuración de las máquinas, el tiempo de espera antes del procesamiento y otros detalles que no pueden incluirse en la formulación de programación lineal.

402

Análisis cuantitativo

SIMULACiÓN PROBABILíSTICA En muchas situaciones, la incertidumbre es una parte clave de las operaciones del sistema, y es importante tomar en cuenta en el modelo esta condición aleatoria. Los problemas de línea de espera pueden analizarse construyendo un modelo de simulación de esta clase. Cuando puede resolverse de manera adecuada el problema con métodos matemáticos, por lo general, es preferible hacerlo de ese modo. Sin embargo, hay muchas situaciones de colas (y de otra clase) que no pueden resolverse con facilidad con las matemáticas y, por tanto, se vuelve a la simulación.

Ejemplo 1 Una bodega tiene un muelle usado para descargar los vagones de carga. Los que llegan se envían a la bodega durante la noche. Se necesita exactamente medio día para descargar un vehículo. Si más de dos de éstos se encuentran en espera de ser descargados en un determinado día, se pospone el descargue de uno de ellos hasta el día siguiente. La experiencia pasada indica que el número de vagones de carga que llegan durante la noche tienen las frecuencias que se muestran en la tabla 10-1. Además, no hay un patrón evidente, de modo que la cantidad que llega una noche cualquiera es independiente de la que llega en otra. Éste es un problema de colas de un ca~al con una tasa de servicio promedio de 2 por día y una tasa de llegada promedio de 1.5 por día. Sin embargo, puede demostrarse que las llegadas no son de Poisson; por consiguiente, ninguno de los modelos estándar de colas puede aplicarse de forma directa. El primer paso para simular este proceso de colas es generar una historia o serie de tiempo para las llegadas durante ~arias noches. Esto se hace utilizando un proceso aleatorio o Monte Cario. Una manera de hacerlo sería tomar 100 fichas y escribir el número Oen 23 de ellas; el número 1 en 30, el número 2 en 30 y así sucesivamente, de acuerdo con las frecuencias de la tabla 10-1. Entonces podría sacarse una ficha de un sombrero y el número que tenga escrito indicaría la cantidad de autos que llegan en un determinado período simulado. Un procedimiento más simple es el de utilizar una tabla de números al azar, como la tabla 10-2. Cada entrada en la tabla se tomó de manera que cada dígito (de O a 9) tuviera igual oportunidad de salir. Entonces, podrían asignarse números al azar de dos dígitos para cada uno de los posibles resultados (es decir, el número de llegadas) como aparecen en la tabla 10-3.

TABLA 10-1

Número de vagones que /legan

o 1 2 3 4 5 60 más

Frecuencia relativa 0.23 0.30 0.30 0.10 0.05 0.02 0.00

---ml Promedio = 1.5 vagones por noche

Simulación

TABLA 10-2 Tabla de dígitos aleatorios

97 02 00 ffi

95 92 Ol 24 76 64 02 53 16 16 55 54 23 36 44 71 88 74 10 46 54 88 00 98 63 77 69

96 55 50 29 58 51 04

86 24 39 47

60 65 44 93 20 86 12 42

29 36 01 41 54 68 21 53 91

40 03 31 64 ffi 72 21 95 27 13 80 10 54

48 36 55 70 38 36

98 50

12 75 14 72 20 82 74 00 01 69 36 35

52 99 41 41 48 11 95 36 24 12 50 81 02 82 43 76 82 77 54 21 74 47 24 01

66 25 91

29

11 91 99

00 24 16 32 72 73 16 81 70 16 30 59 59 74

51 28 61 70 33 91 Ol 97 61 11 50

83 00

86 25 00 00 80 19 88 25 24 68 37 78 37 04 32 75 21 47

68 14 32 47 94 19

60 61 89

20

40

41 05 22 43 04 95 97

71 85 88 15 24 61 19

84 84 84 38 92 04 26

49 58 89 15 12 94 85 34 07

53 99 89 10 27 50 93 92

51 50 78 14 70 00 24

40 72 21 01 00 13 23 69 92 46 51 85 54

SS 00 26

51 39 96 49 77 26 95 30 50

13 22 63 63 23 18 32 21 13 00 10 ·97 65 48 51 24 97 54 44 00 49 00 00 92 77 38 39 84 47 43 44 91 01 85 00 94 64 12 22 94

11 80 64 88 69 24 07 70 00

40 16 58

40 69 00 81 35 36 45 92

83 85 58 05 00 61 77 43 35 05 87

.. wv.;;¡:¡;¡;;;¡¡;;;¡¡:aw::;¡¡¡¡¡;¡¡¡¡¡¡"""ox::a;::¡,

TABLA 10-3

Número de autos quellegan

o 1 2 3 4 5

Dígitos aleatorios

Frecuencia relativa

00a22 23a52 53a82 83a 92 93a97 98 y 99

0.23 0.30 0.30 0.10 0.05 0.02

tOO

00 13 Ol 00 79 37 85 24 18 36 52 16 17 32 02 29 02 12 00 59 00

40 07 32 74 56

51 55 77 70 81 47 61 32 fe Ol 25 17 75 27

81 02 00 04 46 31 Ol 25

24 10

40 02 39 68 00 59 ffi

00 12 64 79 31 86 68 82 89

00 11 fe 16 36 59 18 82 13 35 43 fe 20 73

403

\.~

404

-

Análisis cuantitativo

Simulación

405

Hay 100 pares de números de dos dígitos. Observar que 23 están asignados al evento "cero autos llegan", 30 al evento de "un auto llega", 30 al de "dos autos llegan", y así sucesivamente. Cada número de dos dígitos tiene una oportunidad entre 100 de salir: la probabilidad de que se presente el evento "cero autos llega" es de 23/100 ó 0.23, como se desea. Ahora, en la tabla 10-4 se hace la simulación del proceso de las colas. Se utilizan tres días para comenzar el proceso (marcados con x). Para el primer día, el número al azar (tomado de la tabla 10-2) es 97. Como 97 corresponde al evento "llegan cuatro vagones" de la tabla 10-3, se busca cuatro en la tercera columna. De estos cuatro, dos se descargan mientras que los otros dos quedan para descargar al día siguiente. El número aleatorio para el segundo día es 02 (de la tabla 10-2). Esto significa que llegan cero vagones, y se descargan los dos que quedaron del día anterior. Se continúa de la misma manera. Sin embargo, no se cuentan los resultados de los primeros tres días; éste es el período de iniciación. La simulación comienza con ningún vagón de carga, algo que no es común. El período de iniciación da a la simulación una oportunidad de llegar al comportamiento típico o estado sólido antes de contabilizar los resultados. La tabla 10-4 simula 50 días de operación (además de los tres días para comenzar). Durante la mayor parte del período, hay un pequeño retraso. Sin embargo, puede apreciarse que hay un retraso considerable comenzando el período 36. El número promedio de llegadas por día (1.58) durante el período de muestra de 50 días es ligeramente mayor que el número esperado por día (1.50). En promedio, 0.90 autos se retrasan cada día. Para resultados más precisos, la simulación debe realizarse para más días. Podría usarse el modelo de simulación para comparar los efectos de posibilidades factibles en tiempo de espera y en costos. Por ejemplo, en este caso, podrían compararse retrasos bajo el índice actual de servicio de dos por día con los que se presentarían si ese índice fuera de tres por día. O podrían introducirse uno o más canales adicionales.

SIMULACiÓN Y COMPUTADORES Los cálculos de la tabla 10-4 son tediosos; en una aplicación real, se construiría un modelo por computador para realizar el análisis. En la actualidad existen varios paquetes de simulación disponibles para los PC, con capacidad para construir modelos muy complejos, generar valores al azar a partir de un amplio rango de distribuciones estadísticas acumuladas y medidas de resumen de los resuItados 4. Incluso, muchos tienen una interfaz gráfica del usuario y animación, que permite que el usuario observe la simulación cuando ésta ocurre. También es posible construir modelos relativamente simples en hojas de cálculo. El apéndice 2 de este capítulo es un tutorial para la construcción de esos sistemas. Para el análisis de riesgos o modelos Monte Carla, como el que se ilustra en el ejemplo 3, las hojas de cálculo son bastante efectivas e incluso pueden manejar modelos muy complejos. Hay módulos populares de software para hojas de cálculo que facilitan aún más estas operaciones5.

4 Para un reciente estudio de software de simulación, véase James J. Swain, "Simulation Survey: Tools for Process Understanding and Improvement". ORIMS Today, August 1995.

5 Véase, por ejemplo, los programas @RISK (Newfield, NJ, Palisade Corp, 1994) and Crystal Ball (Boulder, CO, Decisioneering, lnc. 1994).

406

Análisis cuantitativo

Los computadores, claro está, simplifican la generación de muchos períodos simulados o pruebas, no sólo 50 o las que aplican en los ejemplos manuales de este capítulo. Un gran número de pruebas es esencial para obtener resultados válidos cuando se hace la simulación de sistemas que implican la condición de aleatoriedad, especialmente, los sistemas de colas y líneas de espera. Sin embargo, las explicaciones que se dan a través de los ejemplos manuales mencionados buscan entender las ideas básicas involucradas. Los siguientes ejemplos 2 y 3 continúan con este patrón.

SIMULACiÓN Y CONTROL DE INVENTARIOS El uso de la simulación no está restringido a los procesos de colas. Muchas fases de operaciones de negocios han sido simuladas con resultados satisfactorios. Con un breve ejemplo se ilustrará la manera como puede aplicarse la simulación a la solución de un problema de inventario.

Ejemplo 2 Suponer que la demanda semanal de un determinado producto tiene la distribución que se muestra en la tabla 10-5. Cuando se hace un pedido para reabastecer el inventario, hay un retraso en los despachos, el cual es una variable aleatoria como se muestra en la tabla 10-6. Si quiere determinarse una cantidad de pedido Q y un punto de pedido R. Pueden ensayarse distintos valores de Q y R, mediante simulación para determinar los mejores. En la tabla 10-7 se presenta un ejemplo con Q = 15 YR = 5. Puede observarse que el inventario inicial está en 10, y se utilizan 5 semanas para la iniciación antes de contabilizar los resultados. Se supone que se permiten devoluciones. Si se estableció el costo del pedido, el de mantener el inventario y el de quedarse sin existencias, podría estimarse el costo del sistema de inventario bajo la regla Q = 15 YR = 5. Las reglas alternas pueden compararse con ésta. Por ejemplo, podrían utilizarse las fórmulas para la cantidad de pedido óptima y el punto de nuevo pedido óptimo, aunque las suposiciones necesarias para dichas fórmulas no se satisfagan en el ejemplo (el tiempo de producción para el reabastecimiento no es

TABLA 10-5 Distribución de probabilidad para la denianda semanal

Cantidadexigida

Probabilidad

Números asignados alazar

o

0.10 0.40 0.30 0.20 1.00

00a09 10a49 50a79 80a99

Número de semanas entre elpedido y el despacho

Probabilidad

Números asignados alazar

2 3

0.20 0.60

00 a 19 20a79

4

0.20

80a99

1 2 3

TABLA 10-6 Distribución de probabilidad para el retraso en el despacho

1.00

Simulación

407

TABLA 10-7 Ejemplo de simulación del inventario

Semana número

Recibos

x x x x x O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

15

15

15

15

27 28 29 3)

31 32

33 34

15

Inventario inicial 10 9 7 5 2 15 14 11 8 6 5 3 17 14 12 9 7 6 4 3 3 16 13 12 9 8 7 5 3 17 17 16 14 13 12 11 9 6 3 17 15 14 11 10 9

35 Ji 'J1 38 39 40 Totales

--ª 412

Promedio

10.3

Número aleatorio

Ventas (unidades)

'J1 51 68

1 2 2 3 2 1 3 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 2 1

83 56 11 91

99 51 28 70

33 91

67 97 61 11 50 25 06 60

00 19 88 25 24 68 78 'J1 04 32 75 21 47 40 71 85 88 24 61 19

90 24 16 32 72

O 2 3 1 3 1 1 2 2 1

O 1 2 1 1 1 2 3 3 1 2 1 3 1 1 1 2

Inventario final

Ventas perdidas (faltantes)

9 7 5 2

Pedidos

Número de semanas a partir Número del momento aleatorio de llegada de pedido delpedido

15

45

3

15

61

3

O 14 11 8 6 5 3 2 14 12 9 7 6 4 3 3 1 13 12 9

15

4

15

3

B 7 5 3 2 17 16 14 13 12 11 9 6 3 2 15 14 11 10 9 8 6

15

O

15

2

408

Análisis cuantitativo

constante). La cantidad de error introducida con el uso de las fórmulas puede ser operacionalmente útil aunque no sea del todo aplicable desde el punto de vista teórico.

RESUMEN Los modelos de simulación probabilística incluyen variables aleatorias para eventos inciertos: Los números al azar son asignados de acuerdo con las probabilidades para los eventos inciertos y el proceso Monte Carla se utiliza para generar un historial de eventos para simular el sistema bajo estudio. Los sistemas de colas y de inventario son ejemplos de las aplicaciones de la simulación probabilística.

ANÁLISIS DE RIESGOS Ahora se considerará la decisión de una importante inversión de capital como en el caso de la introducción de un nuevo producto. La utilidad producida por la inversión depende de varios factores que por lo general son inciertos. Los estimados del mercado total para el producto; la participación de mercado que la empresa puede alcanzar; el crecimiento en el mercado; el costo de fabricar el producto; el precio de venta; la vida útil del producto e inclusivo el costo del equipo necesario; por lo general, todos están sujetos a cierto grado de incertidumbre. Un método común sería el de hacer los mejores estimados de número único para cada uno de los factores inciertos anteriores y luego, calcular una medida de la utilidad. Este método tiene dos fallas: 1. No hay garantía de que usar los mejores estimados dará la verdadera utilidad esperada del proyecto. 2. No hay una forma de medir el riesgo asociado con la inversión. En particular, el gerente no tiene manera de determinar la probabilidad de que con el proyecto se perderá dinero o de que se conseguirán grandes utilidades. Por ejemplo, usando sólo el método de un número, un gerente no podrá distinguir entre los dos proyectos que aparecen en la figura 10-1. Aunque dicha información es necesaria si se aplican técnicas para manejar el riesgo, como las medidas del beneficio. Proyecto A

FIGURA 10-1 Comparación de dos proyectos

I I I I I I I 1 I

Mejor estimado para ambos Utilidad

Proyecto B

Simulación

409

El análisis de riesgo es una técnica diseñada para obviar estas dos desventajas. El método general es asignar una distribución de probabilidad subjetiva para cada factor desconocido y combinarlos, utilizando el método de simulación Monte Carla, en una distribución de probabilidad para la utilidad del proyecto como un todo. Esto puede demostrarse con un ejemplo sencillo.

Ejemplo 3 Se está considerando hacer el marketing de un nuevo producto. La inversión requerida es US$5 millones. Hay tres factores de incertidumbre: el precio de venta, el costo variable y el volumen anual de ventas. El producto tiene una vida de un solo año. La tabla 10-8 contiene los diferentes niveles posibles de estos factores, junto con la probabilidad estimada de cada uno. Suponer que los factores de la tabla 10-8 son estadísticamente independientes. (Éste es un supuesto importante. Si no fuera verdad, querría modificarse la simulación para incluir cualquier dependencia probabilística que se considerara apropiada). Debido a que este es un ejemplo muy sencillo, es posible utilizar las técnicas de árbol de decisión y de probabilidad para calcular los diferentes resultados y probabilidades. En este caso, sólo se tiene 3 • 3 • 3 = 27 posibles resultados distintos. Sin embargo, en un problema más realista con muchos factores de incertidumbre, cada uno con 10 a 20 niveles, podría llegarse fácilmente a un millón de posibles resultados. En estas circunstancias, la técnica de simulación puede ser muy útil para estimar la utilidad promedio de la inversión y su condición de riesgo, como se describe con la probabilidad de lograr distintos niveles de utilidad. Primero se requiere de una forma de generar valores aleatorios para los elementos de la tabla 10-8, de acuerdo con las probabilidades establecidas. Como antes, se asocian distintos números al azar con diferentes resultados, como en la tabla 10-9. Ahora, puede comenzarse la simulación. Se generan números al azar de un solo dígito de la tabla de números 10-2 y, a su vez, se determina un precio, un costo y un volumen. Una vez que se han determinado estos elementos, la utilidad (en millones de dólares) se calcula como sigue: Utilidad

= (Precio -

Costo) • Volumen - 5.0

Entonces, el proceso se repite muchas veces para generar un gran número de resultados de la utilidad. Véase la tabla 10-10 para una muestra de 25 pruebas.

TABLA 10-8 Factores en el ejemplo de análisis de riesgo

Precio de venta

Probabilidad

Costo variable

Probabilidad

Volumen de ventas (millones de unidades)

Probabilidad

US$4

0.3

5

0.5

6

0.2

US$2 3 4

0.1 0.6 0.3

3.0 4.0 5.0

0.2 0.4 0.4

1

TABLA 10-9 Número aleatorio de asignaciones en el ejemplo de análisis de riesgo

Precio de venta

Números al azar

Costo variable

·¡¡¡¡aelil4l1il..&EWli"'lISi\iJibij

Números al azar

Volumen de ventas (millones de unidades)

Números al azar

US$4

0-2

US$2

O

3.0

0,1

5

'Jo7

3

1-6

4.0

2:5

6

8,9

4

7-9

5.0

6-9

41 O

Análisis cuantitativo

Observar que en el tipo de simulación de análisis de riesgo, cada prueba está separada del resto; por consiguiente, no hay necesidad de ningún período de iniciación. Realizar 25 pruebas no es suficiente para tener un estimado preciso de la utilidad promedio o de la distribución de probabilidad de las utilidades. Si este proceso se programara en un computador, fácilmente podrían simularse un millar de pruebas o más. Sin embargo, con fines explicativos, en este capítulo el estudio se dirigirá a los resultados de estas 25 pruebas. Se observa que la utilidad promedio es de US$2.08 millones. Resulta interesante compararla con los métodos de análisis más simples. Por ejemplo, si se hubiera usado el método de un número y el valor más probable para cada factor, el estimado de utilidad habría sido: Utilidad más probable = (US$5 - US$3) • (4.0) - US$ 5.0 = US$3.0 millones Por tanto, el método simple de un número, en este caso, supera significativamente la utilidad esperada de la inversión. Debido a que es un caso simple, puede realizarse6 el cálculo de la utilidad esperada (la utilidad de cada uno de los 27 resultados posibles, multiplicada por las probabilidades); esta utilidad esperada es de US$2.14 millones. Así, como era de esperarse, el promedio de la muestra para 25 pruebas no necesariamente es igual a la utilidad esperada. Sin embargo, el cálculo de la utilidad esperada no ilustra el riesgo asociado con la inversión, en tanto que el conjunto de los resultados de 25 muestras indica con claridad que en realidad puede incurrirse en una pérdida (por ejemplo, en la prueba 2 de la tabla 10-10). Una manera apropiada de representar los resultados de un análisis de riesgo es elaborar una lista de los resultados de utilidad y trazar una gráfica de la función de probabilidad acumulada de la muestra (véase figura 10-2). Ésta se conoce como perfil de riesgo. En la figura mencionada puede verse que hay 68% de posibilidad de tener una utilidad de Oy más (32% de posibilidad de incurrir en una pérdida); hay 36% de oportunidad de ganar US$5 millones o más, y no hay ninguna oportunidad de lograr más de US$15 millones. Como las cifras más grandes de la prueba son simuladas, la curva de la figura 10-2 se suavizaría de alguna manera, aunque terminará por tener forma de escalera debido a que hay un número finito de resultados alternos en lugar de un número infinito.

6

En este caso, como los factores son independientes y se relacionan mediante multiplicación y adición, puede calcularse la utilidad esperada de los valores esperados de precio, costo y volumen, Sin embargo,

si estos elementos no estuvieran relacionados linealmente ú no fueran indeperldientes, efltóílces tendr'Íá que evaluarse el conjunto completo de ramificaciones del árbol de probabilidad.

Simulación

FIGURA 10-2 Perfil de riesgo: función de probabilidad acumulada de la muestra

1.0 Ul

'ro

E o

.9

"O

ro

.8

:s

.7

Ul

.6

l

:!2

.¡g

ID ID

.5

:5

.4

I

L....-

.....

"-

e

I

~

ID

o

L

ID

"O "O

.3

ro

:!2

:o ro

.D

o

"a.

.2

.1

I

O

-5

o

5

Utilidad (millones de dólares)

10

411

412

Análisis cuantitativo

RESUMEN El análisis de riesgo es una aplicación de la simulación para la evaluación de proyectos de inversión; Las distribuciones de probabilidad se evalúan para los factores de incertidumbre involucrados en un proyecto y combinados, utilizando el proceso Monte Carlo, para obtener la distribución de utilidad para la utilidad general del proyecto.

SIMULACIÓN CON DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA En el ejemplo de análisis de riesgo anterior, las variables aleatorias eran discretas (por ejemplo, el precio de venta sólo tomó tres valores distintos posibles: US$4, US$5 y US$6). Existen situaciones donde sería agradable suponer que los elementos son variables aleatorias deducidas de alguna distribución de probabilidad continua. Puede suponerse, por ejemplo, que el volumen de ventas anuales en el ejemplo de análisis de riesgos esté distribuido normalmente, con una media f1 = 3.0 millones de unidades y una desviación estándar a == 0.5 millones de unidades. ¿Cómo pueden generarse valores aleatorios del volumen de ventas para usarlos en una simulación?

Método gráfico Una manera de generar variables aleatorias a partir de distribuciones continuas es trazar la función de la distribución acumulada. Para la distribución normal mencionada, la función de la distribución acumulada se presenta en la figura 10-3. Para usar la función de distribución acumulada, primero se utiliza una tabla de números aleatorios, como la tabla 10-2, para generar al azar un decimal entre Oy 1. Esto puede hacerse tomando tres nú~eros al azar de la tabla en mención, y colocando el punto decimal enfrente de ellos. Por ejemplo, si se tomaran los números aleatorios 7, 3 y 6, el decimal correspondiente sería 0.736. Luego, la curva acumulada de la figura 10-3 se entra en el eje vertical en el valor decimal correspondiente (0.736 en el ejemplo). Se Traza una línea horizontal sobre la curva acumulada, y cuando esté a la altura de 0.736 y toque la curva,

1.0

FIGURA 10-3 Distribución nonnal acumulada (¡J, = 3.0, a = 0.5)

')( VI

0.736

¡--------------+/

~ al

O

0.5

--------------------------

a:

o.. 11

')(

J O O

1.0

2.0

3.0

MillOnéS de unidades

4.0

5.0

6.0

Simulación

413

se traza una línea vertical al eje horizontal. Luego, se lee el valor alcanzado, el cual será el valor aleatorio que se desea en particular. En este caso, este valor es aproximadamente 3.30. Este método para generar valores aleatorios funciona porque la elección de un decimal aleatorio entre O y 1 equivale a elegir un percentil aleatorio de la distribución. Entonces, la figura se usa para convertir el percentil aleatorio (es este caso, 73.6) en un valor en particular (3.30). El método es general y puede utilizarse para cualquier distribución de probabilidad acumulada, sea continua o discreta. Para una variable aleatoria normal, el proceso que acaba de describirse puede realizarse utilizando tablas estándar normales (véase tabla A al final del texto). En el ejemplo, se tomó la tabla con el decimal aleatorio 0.736 y se encontró que Z = 0.63. Entonces, el estimado aleatorio del volumen de ventas es: Volumen de ventas

=

f1

+ Za = 3.0 + 0.63(0.5) = 3.315 millones de unidades

En ocasiones, es posible realizar algebraicamente el proceso anterior. Véase el apéndice 1 de este capítulo como ilustración del método algebraico.

Generación de variables aleatorias por computador Los programas de hojas de cálculo tienen la capacidad de generar valores aleatorios a partir de distintas distribuciones de probabilidad. Por ejemplo, Excel puede generar resultados aleatorios de distribuciones normales, binomiales, exponenciales de Poisson y otras. También tienen una función RAND( ), que genera un valor aleatorio uniforme entre O y 1. Algunos de ellos se ilustran en el tutorial del apéndice 2.

RESUMEN La simulación puede realizarse con variables aleatorias continuas bien sea en forma gráfica, de búsqueda en tablas o por generación con computador usando la distribución apropiada de probabilidad acumulada.

SIMULACiÓN DE SISTEMAS COMPLEJOS Aunque la simulación es una herramienta útil para el manejo de colas, inventarios, análisis de riesgos y otros problemas, quizá su mayor contribución se la brinda al análisis de sistemas complejos. Muchos problemas en el mundo real involucran sistema integrados por gran cantidad de componentes que se interrelacionan; el sistema puede ser dinámico y cambiar con el paso del tiempo, y puede incluir eventos probabilísticos o inciertos. La simulación puede ser la única técnica para el análisis cuantitativo de dichos problemas. Se requiere de un ejemplo para ilustrar el uso de la simulación de dichos problemas. Considerar las operaciones de una línea de barcazas que van río abajo por el sistema fluvial Ohio-Mississippi 7, que es subsidiaria de una empresa de acero y recibe cargas de este material en su puerto sede en Pittsburgh para llevarla río abajo hacia otros puertos, y a los puertos de la costa del golfo, a través de otra 7 Este ejemplo fue adaptado de O'Brien, G. G. and Crane, R. R. "The Scheduling of a Barge Line",

Operations Research 7 (1959), pp. 561-570.

414

Análisis cuantitativo

FIGURA 10-4 Operaciones de una empresa de barcazas

Llegadas de acero al puerto

Destinos ro

'C:;

e

-----~.~ ·U ~

Partida

Q)

u:

C L E M N P O

Número de. planchones que se cargan a diario

Reglas de la política: Programación, tamaño del remolcador, destino, etc.

Fila de planchones vacíos

Uso dé una barcaza extranjera

Salida del sistema

-+--

Fila de planchones cargados

4 días ....0__( ------------------------'

,

Cincinnati (C)

}1 día

Fila de planchones llenos )

Planchones dejados L

El remolcador regresa a la fila de disponibles; los planchones regresan vacíos a la fila de olanchones Se recogen los lanchones si hay espacio en el remolcador

L
12 días

71%

B

e o

e o E F

453

46 49

54 54

fue crítica, considerando que el proyecto tomó más de 12 días para completarlo. Observar que estos porcentajes serán diferentes de los que aparecen en la tabla 11-7. Como hay menos interés en fragmentar un proyecto cuando se completa antes de la fecha esperada, los resultados de la tabla 11-8 serían de mayor utilidad para determinar cuál actividad al ser dividida produciría la mayor disminución en los retrasos más allá de 12 días. Para una red grande, una simulación del programa regular produciría una distribución como la de la figura 11-6. Si el desempeño del proyecto debe mejorarse, el estudio de una tabla como la 11-8 indica el conjunto de actividades que, en promedio, causan retrasos en distintos porcentajes del tiempo. Entonces, después que algunas actividades críticas podrían quedar divididas, la simulación podría repetirse para establecer si el desempeño del proyecto mejoró o no de manera sustancial.

RESUMEN

Si los tiempos de actividad en una red PERT son inciertos, entonces la duración de la ruta crítica calculada usando estimados determinísticos subestimará el verdadero tiempo que se espera del proyecto. La distribución de probabilidad del tiempo real del proyecto y la probabilidad de que cada actividad estará en la ruta crítica real ex post puede obtenerse por simulación. Dependiendo de que el proyecto se retrase, la simulación también puede mostrar el porcentaje de tiempo que cada actividad estuvo en la ruta crítica real.

SIMULACIÓN DE REDES PERT: COSTO TOTAL

Si hay estimados de costos inciertos para cada actividad, es posible usar exactamente el mismo método para simular el desempeño de costos de cualquier red PERT. Procediendo como se indicó antes, se generarían valores aleatorios para el costo de cada actividad y se sumarían para obtener un valor real para el costo del proyecto en esa prueba. Este proceso podría repetirse para un gran número de pruebas, y la distribución acumulada del costo total podría trazarse en una figura. Sin embargo, hay una forma más simple de obtener la distribución acumulada del costo total, como se muestra en el siguiente ejemplo.

454

Análisis cuantitativo

Ejemplo Considerar las entradas de costos de la tabla 11-3, bajo el programa regular (nade choque). Ahora, suponer que esos costos son los valores medios y que el costo de cada actividad en realidad es una variable aleatoria con desviación estándar y varianza como se especifica en la tabla 11-9. Si toda la incertidumbre del costo fuera independiente de una actividad a otra, entonces se sabría, a partir de la probabilidad básica, que el costo esperado del proyecto es la suma de las varianzas de los costos de cada actividad. La desviación estándar del costo del proyecto es ~56,896 = 238.53, Yla media es US$2,280. En la figura 11-7, con el nombre de caso independencia, se ilustra una distribución de frecuencia acumulada de los resultados de los costos del proyecto, con base en la distribución normal de estos parámetros. Sin embargo, en esta situación, el supuesto de la independencia estadística de los diferentes elementos de costos puede no ser válida. Si las. tres primeras actividades cuestan 30% más de lo esperado, ¿podría revisarse el estimado del costo de las últimas tres actividades? Si es así, entonces los elementos de costo no son independientes y para seguir adelante, tendrían que hacerse suposiciones explícitas acerca de la dependencia entre los costos de las diferentes actividades. Suponer, como caso extremo, que los seis costos están perfectamente correlacionados en forma positiva. Entonces, por ejemplo, si el costo para la actividad A fuera su media, el costo de cada una de las otras actividades también sería su media. Si el costo para la actividad A estuviera en el vigésimo percentil de su distribución de costos, entonces el costo de cada una de las otras actividades también estaría en el punto de su vigésimo percentil. En este caso, el costo total esperado del proyecto también es la suma de los costos esperados de las actividades individuales. Es decir, en la tabla 11-9, el costo total esperado = US$2,280. También puede demostrarse en el caso extremo de correlación positiva perfecta, que la desviación estándar del costo total es igual a la suma de las desviaciones estándar del costo de cada actividad. En la tabla 11-9, ésta es la desviación estándar del costo total del proyecto = a = US$456. En la figura 11-7, con el nombre de caso de Correlación perfecta, también se ilustra una distribución de frecuencia acumulada de los resultados de costos del proyecto, basada en la distribución normal con estos parámetros. Puede observarse que aunque las medias de las dos distribuciones son las mismas, con una correlación positiva perfecta entre todos los elementos de costos, la probabilidad de que el costo total del proyecto esté por encima o por debajo de la media aumenta considerablemente (la distribución es más amplia o tiene más variabilidad en el caso de la correlación perfecta).

TABLA 11-9 Costos de actividad

incierta

Actividad

Desviación Costo esperado estándar

US$100 200 e 300 o 500 E 180 F 1.000 Total US$2,280

A B

20 40 00 100 26 200

456

Varianza

400 1,600 3,600 10,000 1,296 40,000 56,896

PERl

455

Los casos de independencia (sin correlación) y de correlación positiva perfecta son dos extremos; en general se cae en algún punto entre estos extremos. Está por fuera del alcance de este texto manejar distribuciones multivariadas correlacionadas, pero el simple ejercicio realizado antes, de calcular la distribución de frecuencia acumulada de los resultados del costo de proyecto bajo estos dos extremos, puede ser de utilidad.

EVALUACiÓN DE PERl La técnica PERT obliga al planificador a especificar en detalle el conjunto de actividades que constituyen el proyecto y a estimar los tiempos y establecer los requerimientos de la secuencia. La construcción del diagrama de la red con frecuencia puede señalar problemas importantes en el proyecto. Si la ruta crítica es mayor de lo deseado, el proyecto puede volverse a planear, dedicando más recursos a las actividades críticas. Una vez que el proyecto comienza, la técnica PERT puede usarse para suministrar reportes periódicos sobre su estado, incluyendo cualquier cambio en la ruta crítica. Si hay una ruta que casi es crítica, la PERT puede suministrar esta información señalando actividades con una pequeña cantidad de holgura. Los estimados de tiempo para realizar las actividades constituyen un problema potencial importante en esta técnica. Si los estimados de tiempo son deficientes, entonces el diagrama inicial de la red y la ruta crítica inicial tendrán poco significado real después de comenzar el proyecto. Además, si hay incertidumbre sobre cuánto tiempo tomará terminar las tareas, entonces esta incertidumbre debe tenerse en cuenta para estimar la probabilidad de la culminación del proyecto dentro de cualquier lapso especificado. Como se ha visto, cuando los tiempos de actividad son aleatorios, puede calcularse la probabilidad de completar la ruta crítica en cualquier momento: sin embargo, con tiempos de actividad aleatorios, la ruta crítica real ex post puede diferir de la ruta crítica real ex ante. Una forma de manejar esta complicación incluye la simulación de la red.

FIGURA 11-7 Distribuciones del costo del proyecto: dos casos extremos

......

0.9

Independencia __

0.8

"O

ro

;g

,-

:oro

0.5

o

0.4

.o

o::

,-

0.6 ';

,-

~~

-----

............ ,- ,- "

0.7

... ~

"

,,"

" Correlación perfecta /~

"

0.3 0.2 0.1 US$1,800

US$2,300

Costo del proyecto

US$2,800

US$3,300

456

Análisis cuantitativo

En la simulación pueden estimarse la probabilidad de la tardanza del proyecto y la probabilidad de que cada actividad será crítica, sirviendo de esa manera como guía para el planificador del proyecto. Finalmente, la PERT sola no considera los recursos necesarios en las diferentes etapas del proyecto. Por ejemplo, si un determinado recurso debe utilizarse para realizar las actividades B y e del ejemplo, y si sólo puede emplearse para una actividad a la vez, entonces el diagrama de la figura 11-3 no resulta factible debido a que la actividad e no puede realizarse paralela a la actividad B. Se han desarrollado distintas extensiones de esta técnica para abordar el manejo de las restricciones de recursos y vigilar los costos a medida que el proyecto progresa. Muchos gerentes de proyecto que experimentaron con las técnicas PERT y CPM (Método de la ruta crítica), ahora consideran que las principales ventajas de la técnica están en la etapa de planeación de un proyecto. Usar la primera de ellas para el control activ,o. de un proyecto exige una actualización frecuente y una repetición de los cál~ulos PERT; mientras que, con frecuencia, un diagrama de barras sencillo del progreso a la fecha puede suministrar un registro adecuado con fines de control, a un costo mucho menor. BIBLIOGRAFíA

CLELAND, D. 1., and GAREIS, R., eds., Global Project Management Handbook. New York: McGrawHill, 1994.

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PROBLEMAS PRÁCTICOS 13

11·1 Considerar los siguientes datos para las actividades

c. Listar las actividades que están en la ruta crítica.

de un proyecto:

11-2 Tomar los datos del problema 11-1, pero suponien-

Actividad

Antecesores inmediatos

A B

A

do que la actividad C ahora requiere de nueve días para completarse y no siete. a. ¿Cambia la ruta crítica? b. Si la actividad C necesitara de 11 días para su culminación, ¿cambiaría la ruta crítica? 11-3 Los siguientes datos se relacionan con las actividades de un proyecto (los números se refieren a días):

e

D E F

B,

e

B D, E

Tiempo estimado (días)

5 4 7 3 4 2

Trazar un diagrama de red para el proyecto. b. Calcular los ES, EF, LS YLF para cada actividad, suponiendo que el EF y el LF para la última actividad con los mismos, entonces, ¿cuál es el tiempo mínimo para la culminación del proyecto? a.

13

Antecesor Actividad inmediato

A B

e D E

A

e

B

a·1

b·1

m·1

2 6

6 10 15 9 10

4 8 5 5 8

1 1 6

Las soluciones a estos problemas se encuentran al final de este capítulo.

PERT

a. Calcular la expectativa (Ti) y la varianza (aP) del

457

para completar una ruta está distribuido normalmente. Calcular la probabilidad de que la ruta ACD se complete en menos de 16 días. Además, calcular la probabilidad de que la ruta BE se termine en menos de 16 días. d. ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se complete en menos de 16 días?

tiempo necesario para completar cada actividad. b. Trazar un diagrama de red y encontrar la ruta crítica por inspección. ¿Cuál es la duración esperada de la ruta crítica? c. Suponer que los tiempos para cada actividad son independientes y que el tiempo que se requiere

PROBLEMAS 11·4 La tabla 11-10 contiene una lista de actividades y requerimientos de secuencia que comprenden las actividades necesarias para la terminación de una tesis. a. Trazar un diagrama de red que ilustre los requerimientos de la secuencia para el conjunto de actividades de la tabla. Asegurar de reflejar las actividades con círculos y los requerimientos de secuencia con flechas. b. Calcular los ES, EF, LS y LF para cada actividad, suponiendo que elEFy elLF para la última actividad son los mismos. ¿Cuál es el tiempo mínimo para la culminación del proyecto? c. Listar las actividades que están en la ruta crítica. 11-5 Los siguientes datos son de un proyecto:

Actividad A

B

e

o

E

Antecesor inmediato

A

A

e e

B,

TABLA 11-10 (para el problema 11-4)

a. Trazar el diagrama de red para el proyecto. b. Encontrar la ruta crítica (ex ante) por inspección. ¿Cuál es la duración esperada? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la ruta ABE se complete en no más de 15 días, suponiendo que hay independencia entre los tiempos de las actividades? d. ¿Cuál es la probabilidad de que todo el proyecto se termine en no más de 15 días? 11-6 Considerar el estimado de la duración total del proyecto calculado con el algoritmo usual de PERT (agregando los estimados de tiempo esperado de todas las actividades que están en la ruta crítica). a. Suponer que se maneja una red de series pura:

INICIAR ~® ~® ~©~ f¡(días) 4.0 6.0 3.0 7.0 2.0

Actividad

...

~® ~® ~®~ TERMINAR

a¡

O

1.0 O

1.0 2.0

¿Puede argüirse con lógica que el estimado PERT de la duración total del proyecto no tiene desviaciones? (Ayuda: no olvidar que la expectativa de una suma es igual a la suma de las expectativas).

Descripción

Actividad prerrequisito

Tiempo esperado (semanas)

A

Investigación de literatura

Ninguna

6

B

Formulación del tema

Ninguna

5

e

Selección del comité

B

2

D

Propuesta formal

C

2

A, D

E

Selección de la compañía y contacto

F

Reporte de avances

D

2 1

G

Investigaciónformal

A,D

6

H

Recopilación de datos

E

5

I

Análisis de datos

G, H

6

J

Conclusiones

I

2

K

Borrador (sin conclusiones)

G

4

L

Documento final

3

M

Examen oral

J, K L

1

458

Análisis cuantitativo

Tiempo (semanas)

TABLA 11-11 (para el problema 11-7) Actividad

Actividades antecesoras

Programa normal

A A B, C

5 2

A(iniciar)

B C D E F(terminar)

D, E

b. Suponer que se está tratando con una red paralela pura: INICIAR

t t

,j,

® © ,¡,

Programa de choque

Programa normal

3

10

1 2 2

6 6

22 15 15

10

25

O

B

t t TERMINAR

Suponga que todas las actividades en esta red tienen el mismo tiempo esperado para su terminación. ¿Puede argüirse lógicamente que el estimado PERT de la duración del proyecto total está desviado en este caso? tEn qué dirección?

3 4 O

Costo (miles de dólares) Programa de choque

O

O

c.. A partir de las conclusiones de los literales a. y b., hacer una generalización válida acerca de la desviación (o la falta de ésta) con respecto a un estimado PERT de la duración del proyecto, combinando partes en serie y en paralelo. 11-7 Un proyecto se caracteriza por actividades desde A hasta F. Las actividades antecesoras, los tiempos requeridos, y los costos para un programa normal y uno de choque para cada actividad, se presentan en la tabla ll-ll. a. Usando sólo el tiempo para las actividades del programa normal, trazar una red PERT para este problema. ¿Cuál es la ruta crítica? ¿Cuánto se tardará en completar el proyecto total? b. ¿Cuál es el costo del proyecto como se presenta en el literal a.? c. Encontrar los puntos de intercambio tiempocosto posibles. ¿Cuál es el tiempo mínimo en que el proyecto puede completarse? ¿Cuál es el costo de este programa?

PROBLEMAS ESPECIALES 11-8 Ocean Hardware Company es una cadena de tiendas de venta al detal de electrodomésticos y ferretería. La empresa está considerando la instalación de un nuevo sistema de computador para liquidar la nómina, contabilizar las ventas (pagar las comprar y enviar las facturas) y el registro y control de inventario. El contador de la empresa está tratando de elaborar un cronograma para las diferentes tareas involucradas en la puesta en marcha del nuevo sistema. La empresa planea contratar programadores para desarrollar los programas de contabilidad y de nómina. Sin embargo, va a éontratarse a una firma de consultoría externa para hacer el programa de control de inventarios. Ciertos aspectos del programa de control de inventario dependen del programa de contabilidad y por esto tienen que desarrollarse después de haber terminado este último. La terminación de cada programa implica trabajo preliminar, final, prueba, revisión, redacción

de los manuales y aplicación. El nuevo gerente de operaciones elaboró la lista de tareas (actividades) que se muestran en la tabla 11-12, que deben ejeéutarse, junto con los tiempos necesarios para realizarlas y las actividades que deben completarse antes de que una actividad determinada pueda comenzar (las actividades antecesoras). a. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el sistema de computador con los tres programas esté completo? ¿Cuáles actividades son críticas para cumplir este plazo? b. Suponer que la gerencia está interesada sólo en minimizar el tiempo para aplicar los programas de contabilidad y de nómina. ¿Cuánto tardará esto? ¿Cuáles actividades son críticas en este caso? 11-9 Remitirse al problema 11-3. Para este ejercicio suponer que el tiempo de cada actividad es igualmente probable entre sus estimados de tiempo a¡ y b¡ (es decir, no tomar en cuenta la columna mi' y I:onsiderar que los tiempos de actividad están distribuidos

PERT

de manera uniforme en el rango apropiado). Utilizando dígitos aleatorios, realizar una simulación anual de la red para 10 pruebas, registrando para cada prueba el tiempo de culminación del proyecto y las actividades que sean críticas. ¿Cuáles actividades fueron críticas la mayor parte del tiempo? Además, calcular el porcentaje de tiempo de cada

459

actividad que fue crítica, condicionada a que el proyecto se retrase más de 16 días. H-lO En la figura 11-8 se presenta una red de un proyecto. Los datos t¡ y o¡ unidos a cada nodo entre paréntesis representan el tiempo esperado y la desviación estándar, respectivamente, en meses, de este segmento del proyecto.

TABLA 11-12 (para el problema 11-8)

Actividad

Descripción

Actividad antecesora

Tiempo para completarla (en meses)

A

Analizar sistemas alternativos de computador ypedir el computador al fabricante

B

Esperar el despacho del equipo por parte del fabricante

A

4

C

Contratar programadores de sistemas

A

1

D E F

Hacer el trabajo preliminar del programa de nómina

C

Hacer el trabajo preliminar del programa de contabilidad

C

11/2 21/2

Hacer el trabajo final de los programas de nómina ycontabilidad

G

Contratar aun consultor externo para trabajar en el programa de control de inventario

H

2

D, E

2

A

1

Hacer el trabajo final del programa de control de inventario

E, G

2

1

Hacer las pruebas preliminares de los programas de nómina ycontabilidad en la máquina alquilada

F, H

2

J

Hacer pruebas preliminares de programas de nómina ycontabilidad en la maquinaria arrendada

F

1/2

K

Revisar los programas de nómina ycontabilidad

J

1/2

L

Instalar yverificar el computador enviado por el fabricante

B

1/2

M

Probar los programas de nómina ycontabilidad en el computador instalado

K, L

1/2

N

Preparar los manuales que describen los programas de nómina ycontabilidad

°

Aplicar los programas de nómina ycontabilidad

P

Probar el programa de control de inventario en el computador instalado

Q

Preparar los manuales que describan los programas de control de inventario

R

Aplicar el programa de control de inventarios Fin

S

FIGURA 11-8 (para el problema 11-10)

J

1

M, N

1/2

1, L

1/2

I

P, Q 0, R

1

1/2 O

460

Análisis cuantitativo

a. Identificar la ruta crítica y calcular su duración esperada. b. Suponer que las actividades son independientes y que la duración de la ruta crítica está distribuida normalmente, calcular la probabilidad de que la ruta del literal a se complete en menos de 23 meses. c. ¿El proyecto real se terminará en 23 meses: con la misma probabilidad que en b; con menor probabilidad o con mayor probabilidad? ¿Por qué? d. Suponer que desea reducirse la probabilidad de que el proyecto tarde más de 23 meses. Puede dividirse una de las siguientes actividades y, sólo una, durante un mes: A, C, E, o H. ¿Cuál debe elegirse? ¿Por qué? (Nota: suponer que la división reducirá la media del tiempo de la actividad en un mes y no cambiará la varianza). 11·11 En el proyecto que aquí se considera, la actividad que se divide puede ocupar un amplio rango de tiempo de reducción. El costo por día de la reducción está dado así:

Actividad

Antecesor Tiempo inmediato normal (días)

A B

Ninguno Ninguno

C D E

A A, B

2 2

F

C, D

4

E

3 4 3

Costo por día aldividír

Límite menor de tiempo

US$450

500

1 2 1 1 1

600

3

300 200 100

Por ejemplo, la actividad C puede reducirse de su tiempo normal de tres días a un día o a cualquier cantidad entre estas dos; el costo por día de reducir C es US$200. a. Trazar un diagrama de red para: este proyecto, ¿cuál es la ruta crítica? ¿Cuánto tardará el proyecto, si no se realiza la división? b. Determinar la vía menos costosa para dividir las actividades para completar el proyecto en 11 días; en 10 días; en 9 días; en 8 días. Trazar los resultados en un diagrama de intercambio tiempo-costo. c. Suponer que la fecha de vencimiento de un proyecto es cinco días, y se evalúa una sanción de US$500 diarios por cada día de retraso. ¿Cuál es el número óptimo de días para dividir el proyecto? ¿Por qué? 11·12 Una empresa está construyendo una planta para producir un nuevo producto congelado. En la tabla 11-13 se identifican las actividades, se estiman los tiempos y se establecen las relaciones precedentes. ¿Cuánto tardará el proyecto? ¿Cuáles actividades están en la ruta(s) crítica(s)? 11-13 Un proyecto está compuesto por las cinco actividades que aparecen en la tabla 11-14. Las probabilidades de tiempo que tomará cada actividad se evaluaron en semanas, como se indica en la misma tabla. Así, por ejemplo,'hay una oportunidad de 0.6 de que la actividad A tomará cuatro semanas, 0.1 de que tardará cinco semanas, 0.1 de que tardará 6 semanas, y así sucesivamente. a. Trazar la red para este proyecto. Observar que hay cuatro rutas a través de la red. Usando los

TABLA 11·13 (para el problema 11·12)

Actividad

A B C D E F G H I

J K L M N

O P Q

R

Descripción Diseño de ingeniería para el edificio Diseño de la línea de producción Diseño del horno Diseño del congelador Diseño del equipo de empaque Pedido yfabricación del horno Pedido yfabricación del congelador Pedido y fabricación del equipo de empaque Convocatoria y otorgamiento de la licitación para la construcción del edificio Construcción del edificio (primera fase) Construcción del edificio (fase final) Instalación del horno Instalación del congelador Instalación del equipo de empaque Pruebas de horneado Pruebas de congelamiento Prueba de todo el sistema Inspección de las autoridades

Antecesoras inmediatas

Tiempo estimado (en meses)

Ninguna Ninguna B B

1.5 1.0 2.0 1.0 1.0 9.0 8.0

C, D C D E A I J F, J J, L H,J K, L M,O

3.0 2.0 9.0 1.5 2.0

N, P

0.5 0.5 1.0 0.5 0.5

N, P

0.5

PERT

461

TABLA 11-14 (para el problema 11-13) Tiempo en semanas Actividad

4

5

6

7

8

9

A B

0.6

D

0.1 0.1

0.1 0.1 0.1 0.4 0.8

0.1 0.2 0.1 0.2 0.1

0.1 0.4 0.1 0.1

0.1 0.2 0.3 0.1

/ 0.1 0.2 0.1

e

E

tiempos esperados, calcular el tiempo para cada ruta. ¿Cuál es la ruta más larga o más crítica esperada? b. Asignar números aleatorios a cada resultado (número de semanas) para cada actividad, de acuerdo con las probabilidades en la tabla. c. Utilizando números aleatorios, seleccionar al azar.un tiempo para cada actividad. Calcular el tiempo para cada uno de las cuatro rutas de la red y registrar el tiempo y las actividades de la ruta más larga.

10

0.2

Tiempo esperado

Actividades antecesoras

5 7 8 6 5

Ninguna Ninguna A,S A, B

e, D

d. Repetir el literal e 25 veces (o la cantidad señalada por el profesor). Calcular el tiempo promedio para la ruta más larga. ¿Difiere del cálculo del literal a? ¿Por qué? e. Calcular el porcentaje de tiempo que cada actividad estuvo en la ruta más larga. f Con base en que el proyecto pueda retrasarse más de 21 días, calcular el porcentaje de tiempo de cada actividad en la ruta más larga.

SOLUCiÓN A LOS PROBLEMAS PRÁCTICOS 11-3 a. ...........................

11·1 a. Diagrama de red:

...........

Actividad

ti

af

A B

4 8 6 5 8

0.44 0.44 5.44 1.78 0.44

e o E

b. Diagrama de red:

b. Actividad

Actividad

ES

LS

EF

LF

A B

O

O

5

5 3 10 9 13

5 9 7 12 13 15

5 9 10 13 13 15

e

O

D

9 9 13

E

F

El tiempo de terminación del proyecto es 15 días. c. A, B, E, F. 11-2 a. No; hay una holgura de tres días en la actividad C.

b. Sí; la ruta crítica ahora es CDF, con un tiempo de terminación del proyecto de 16 días.

La ruta crítica es BE, con una duración de 16 días. c. Para la ruta ACD, la duración esperada es 15 días y la varianza es 0.44 + 5.44 + 1.78 = 7.67. La desviación estándar es 2.77. P(Tiempo < 16) = 1 - P(Z< 1/2.77) = 0.64. Para la ruta BE, la varianza es 0.44 + 0.44 = 0.89 La desviación estándar es 0.94. P(Tiempo < 16) = 0.50 d. P(Proyecto total < 16) = 0.64 • 0.50 = 0.32

Ejemplo motivador Pronósticos en L. L. Sean 1 .' , .:::, .. -...

-.

1,000

500

O'-----l----L-_ _-L

o

2

4

6 Mes

L -_ _---L_ _- . l

8

10

12

-+- Ventas (miles de dólares) --o--Pronóstico de suavizamiento exponencial simple

Gt = estimado de tendencia de un período

Entonces, las ecuaciones básicas 12-1 ó 12-2 se modifican para incluir el estimado de la tendencia, de la siguiente manera: (12-3) Esta ecuación sigue la noción básica de la ecuación 12-1; es un promedio ponderado del más reciente punto de datos (D t ) y el pronóstico anterior. En la ecuación 12-3 puede verse que al valor del período anterior se le suma el valor anterior del valor de la tendencia de un período (G t - 1). Ésta es la forma como la tendencia se incluye en el modelo. Además, se utiliza un nuevo símbolo St' que es como el pronóstico de línea de base actualizado, salvo que no proyecta la tendencia para el siguiente período. Para los datos de la figura 12-7, un estimado bruto básico de la tendencia cada mes (incremento) es de aproximadamente 70 (en miles de dólares), debido a que las ventas van de 1,214 a 1,983 en un período de 11 meses. Sin embargo, una forma más conveniente de actualizar el factor de la tendencia es utilizar de nuevo el suavizamiento exponencial; véase ecuación 12-4.

472

Análisis cuantitativo

(12-4) En la ecuación 12-4, el valor anterior de la tendencia, Gt- l , tiene un papel similar al del valor anterior del pronóstico en la ecuación básica (12-1 ó 12-2); y el último valor de datos en la ecuación 12-1 se representa por la diferencia entre los dos últimos pronósticos de línea de base, St - St-l' Esta diferencia es la información más reciente de la tendencia; por tanto, la estructura general de la ecuación 12-4 sigue la de las ecuaciones anteriores. Se permite que una constante de suavizamiento diferente, b en lugar de a, proporcione algo de flexibilidad. Debido a que ahora hay dos ecuaciones, este modelo se denomina modelo biecuacional con tendencia lineal, o simplemente un modelo biecuacional. Para este modelo biecuacional, el pronóstico para el siguiente período se calcula así: (12-5) La ecuación 12-5 calcula el pronóstico para el siguiente período sumando el valor de la tendencia de un período (G t ) de la ecuación 12-4 al pronóstico de la línea de base, St' calculada en la ecuación 12-3. Las ecuaciones 12-3, 12-4 Y12-5, cuando se les utiliza con valores de la constante de suavizamiento de a = 0.20 y f3 = 0.20, producen los pronósticos que aparecen en la figura 12-8. Puede verse en la figura 12-7que estos pronósticos rastrean el incremento en las ventas mucho mejor que el modelo de una sola ecuación. La tabla 12-5 contiene los cálculos para las ecuaciones 12-3 a12-5 subyacentes a la figura 12-8. Para utilizar las ecuaciones 12-3 y 12-4, se necesitan los valores anteriores de S y G. En la tabla 12-5, se retrasa un mes y se inician los cálculos a partir de febrero. Luego, el valor anterior de S se toma como las ventas reales del mes de enero, y el valor anterior de la tendencia mensual, G, se estima inicialmente como 70 (del incremento agregado de 1,214 a 1,983 en 11 meses). Verificar que de las ecuaciones 12-3 a 12-5 salgan los números indicados para SFeb y GFeb y el pronóstico para marzo.

TABLA 12-5 Cálculos para el modelo biecuacional de suavizamiento exponencial para las ventas de software

Mes

Enero

Ventas (miles de dólares)

US$1,214

St

Gt

1,214

70.00

Pronóstico biecuacional de suavizamiento exponencial

Febrero

1,252

1,277.60

6B.72

US$1,2B4.00

Marzo

1,304

1,337.B6

67.03

1,346.32

Abril

1,384

1,400.71

66.19

1,404.88

Mayo

1,279

1,429.32

58.68

1,466.90

Junio

1,583

1,507.00

62.48

1,487.99

Julio

1,470

1,549.58

58.50

1,569.47

Agosto

1,739

1,634.26

63.73

1,608.07

Septiembre

1,573

1,673.00

58.73

1,697.99

Octubre

1,836

1,752.58

62.91

1,731.73

Noviembre

2,041 1,983

1,860.59

71.93

1,815.49

1,942.61

73.95

1,932.52

Diciembre

2,016.56

Pronósticos

473

2,500

FIGURA 12·8 Pronóstico biecuacional de suavizarniento exponencial

2,000

1,500

íñ ID

lQ

'o

"O ID "O rf)

.!l1

1,000

'E rf)

CIl

eID

>

500

0~----'-----~-_--l

o

2

4

6 Meses

-+- Ventas (miles de dólares)

--l....

8

.L-_ _---I

10

12

--L',--Pronóstico de suavizamiento exponencial

FACTORES ESTACIONALES En muchas situaciones, la demanda puede seguir un patrón estacional. En climas fríos, se consume más sopa de pollo durante el invierno que en el verano; tienden a comprarse más casas en la primavera y comienzos del verano; y las ventas minoristas de juguetes y computadores en Estados Unidos son más altas en diciembre que en los demás meses, debido a las compras de regalos para las fiestas de fin de año. Por tanto, hay que aprovechar esta información al ajustar los pronósticos obtenidos mediante suavizamiento exponencial básica o por suavizamiento exponencial con tendencia. La tabla 12-6 contiene las ventas mensuales (miles de cajas) durante tres años de una marca conocida de sopa de pollo. La figura 12-9 muestra estos datos. Obser. var que las ventas son más altas que el promedio durante los meses de invierno de diciembre a marzo y menores que el promedio durante los meses de verano de julio yagosto. Se incluye la estacionalidad mediante la definición de los factores estacionales individuales por cada estación del ciclo. En este caso, los datos son las ventas mensuales, de manera que habrá 12 factores estacionales de Cl a Cn En general, el factor estacional para una temporada o estación iguala la demanda promedio o las ventas promedio para ese período dividido por el promedio general de las ventas. Por consiguiente, los factores estacionales para los meses de invierno serán más prolongados que 1.0, y los de los meses de verano serán menores que 1.0.

474

Análisis cuantitativo

TABLA 12·6

Ventas (miles de cajas)

Ventas mensuales de sopa de pollo

1994

1995

1996

Factores estacionales

Enero

219

236

243

1.3278

Febrero

216

239

238

1.3183

Marzo

218

221

224

1.2613

Abril

185

194

194

1.0900

Mayo

154

161

162

0.9074

Junio

147

131

153

0.8199

Julio

124

110

138

0.7077

93

101

128

0.6126

Septiembre

127

131

151

0.7781

Octubre

148

157

165

0.8941

Noviembre

161

189

194

1.0349

Diciembre

198

217

241

1.2479

Agosto

Promedio de tres años = 175.2222

FIGURA 12-9

250

Ventas mensuales de sopa de pollo

200

(j) (\j

'(ij ü

150

Q)

TI

m

.92

.s m Cll

e Q)

>

100

50

o L----l..---L__ o 2 4 6

L-..L----L.---L_L.--l...--L---l_.L----L.-----L-----.JL_....L.--'---"-~

8

10

12

14

16

18

20

Mes

1--.- Ventas (miles de cajas) I

22

24

26 28

30 32

34

36

Pronósticos

475

UTILIZACiÓN DE LOS FACTORES ESTACIONALES Los factores estacionales Ct están incluidos en las ecuaciones 12-3 a 12-5 de la siguiente manera: La ecuación (12-3) se convierte en: (12-6) donde N es el número de períodos de un ciclo estacional completo (aquí, N = 12 meses por año). La razón para utilizar Ct _N en lugar de Ct es que la información disponible más reciente sobre un mes en particular tiene un ciclo de antigüedad. La ecuación (12-4) sigue siendo la misma: (12-4) Sin embargo, se necesita un procedimiento para actualizar (revisar) los factores estacionales en sí debido a que se dispone de los nuevos datos. De la misma forma como se hizo con el término de tendencia, de nuevo se utilizará el suavizamiento exponencial para actualizar los factores estacionales de la siguiente forma: (12-7) Se utiliza una tercera letra griega, y, para permitir que una constante de suavización diferente actualice los factores estacionales. Debido a que el número de nuevas observaciones del factor estacional es uno al año, generalmente la constante de suavizamiento g para la actualización del factor estacional en la ecuación 12-7 sería algo mayor que los valores utilizados en otras ecuaciones. Finalmente, la ecuación 12-5 se vuelve:

Ft+1 = (St + Gt ) Ct+l-N

(12-8)

La ecuación 12-8 toma el pronóstico de línea de base St' adiciona una tendencia de un período Gt , y luego multiplica dicho resultado por el factor estacional correspondiente al siguiente mes (sobre el que se está haciendo el pronóstico). Por ejemplo, si acaba de observarse la demanda para diciembre de 1996 y se desea pronosticar la demanda para el primer mes de 1997, entonces el factor estacional apropiado a utilizar sería el factor de enero, y el disponible es de enero de 1996; ésta es la razón por la que en la ecuación 12-8 el subíndice para C sea t + 1 - N

Ejemplo Se consideran los factores estacionales de los datos de la sopa de pollo de la tabla 12-6. Una manera simple para obtener los estimados de los factores estacionales es calcular las ventas mensuales promedio sobre toda la muestra y luego calcular, para cada mes por separado, la relación de las ventas promedio de ese mes con el promedio global. En la tabla 12-6, el promedio global de las ventas mensuales es 175.2222. Considerando los tres puntos de datos de enero, las ventas promedio de enero son: Ventas promedio de enero

= (219 + 236 + 243)/3 = 698/3 = 232.67

Por tanto, el factor estacional de enero, Cene O C l , es igual a 232.67/175.2222 = 1.3278. La tabla 12-6 contiene el valor de los 12 factores estacionales calculados de esta manera. Inicialmente se calcula la tendencia tomando los incrementos en las ventas de enero de 1994 a enero de 1996 (243 - 219 = 24) Y dividiendo por 24 meses, para obtener un estimado de G = 1 unidad por mes. Para estimar el valor inicial de S, sé

476

Análisis cuantitativo hará el cálculo del promedio de las ventas mensuales en 1994 = 161 unidades y luego se restará la mitad del año de la tendencia (debido a que G = 1, la mitad del año de la tendencia es 6 unidades; 161- 6 = 155 unidades) y se utilizará 155 como estimado inicial del valor S previo, antes de enero de 1994. Luego pueden usarse las ecuaciones 12-6, 12-4, 12-7 Y 12-8 para calcular los nuevos valores de S, los nuevos valores de G, los nuevos pronósticos y los factores estacionales actualizados3. Por ejemplo, utilizando 0.20 para todos los factores de suavizamiento, considerar la actualización que puede realizarse una vez se conozca que las ventas de enero de 1994 fueron de 219 unidades. La ecuación 12-6 se convierte en:

SI

= 0.20 (219/1.3278) + (0.80) (155 + 1) = 32.987 + 124.8 = 157.787

La ecuación 12-4 entonces se convierte en:

G1 = 0.20 (157.787 -155) + (0.8)(1)

= 0.5574 + 0.8 = 1.3574

La ecuación 12-7 se convierte en:

el = 0.20 (219/157.787) + (0.8)(1.3278) = 0.2776 + 1.0622 = 1.3398 Finalmente, la ecuación 12~8 se convierte en:

F2 = (157.787

+ 1.3574) Ct + 1-N

Aquí, debe utilizarse el valor inicial aproximado de C2 = 1.3183 para el factor estacional, debido a que al iniciar no se tenía el factor del año anterior. Por tanto:

F2 = (157.787 + 1.3574) (1.3183)

= 209.8

La tabla 12-7 ilustra estos cálculos desde enero de 1994 hasta diciembre de 19964. El pronóstico de un mes anticipado resultante se representa en la figura 12-10. Observar el acierto de los pronósticos de las ventas mensuales de sopa de pollo a través de este modelo con una tendencia pequeña y factores estacionales mensuales. Esto se logra porque la estacionalidad de los datos es muy pronunciada y muy sistemática (es decir, estable a través del tiempo).

INICIACiÓN DEL MODELO

Existen diversas fOrmas de retomar datos pasados e iniciar cualquiera de estos modelos de suavizamiento exponencial. Un procedimiento sugerido es simplemente usar los datos doblemente; es decir, utilizar los promedios de todo el conjunto de datos para obtener las ventas promedio por período, la tendencia promedio por período y los factores estacionales promedio, y luego regresar al primer punto de datos y usar las ecuaciones para volver a empezar como se haría si los datos volvieran a estar disponibles. Esto fue lo que se hizo en el ejemplo de la sopa de pollo. Para ello, se necesitaría por lo menos dos, y de preferencia tres (o más) ciclos estacionales, para lograr buenos estimados de los factores estacionales. Además, los factores estacionales periódicamente podrían normalizarse, de manera que se adicionaran exactamente a N (se alejarían de esa relación a medida que se actualicen). Para el caso de los factores estacionales, es más fácil comenzar los cálculos con el primer punto de datos (por ejemplo, enero) y no con el segundo punto (febrero), como se hizo antes. 4 Debido a que los cálculos de la tabla utilizan más cifras decimales, los cálculos del texto no son exactos con respecto a los valores de la tabla.

3

Pronósticos

TABLA 12-7 Pronóstico de la sopa de pollo con factores estacionales y tendencia

Enero 1994 Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero 1995 Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Enero 1996 Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

477

Ventas (miles de cajas)

s¡

G¡

e¡

F¡

219 216 218 185 154 147 124 93 127 148 161 198 236 239 221 194 161 131 110 101 131 157 189 217 243 238 224 194 162 153 138 128 151 165 194 241

155 157.7860 160.0834 163.8716 166.6359 168.9695 172.7812 175.2777 172.5928 171.8949 171.4503 168.8668 166.8857 168.4672 170.9001 171.8045 173.3877 174.8018 172.2936 169.1124 168.7210 168.6437 169.9862 173.0804 174.0678 175.7413 176.8350 177.2774 177.7852 178.4109 180.9574 185.2873 192.4357 195.3511 195.4238 195.7208 197.0277

1 1.3572 1.5452 1.9938 2.1479 2.1851 2.5104 2.5076 1.4691 1.0357 0.7396 0.0750 -0.3362 0.0473 0.5245 0.6004 0.7970 0.9204 0.2347 -0.4485 -0.4371 -0.3651 -0.0236 0.6000 0.6775 0.8767 0.9201 0.8245 0.7612 0.7341 1.0966 1.7432 2.8243 2.8425 2.2885 1.8902 1.7736

1.3399 1.3245 1.2751 1.0941 0.9082 0.8261 0.7076 0.5978 0.7702 0.8879 1.0186 1.2356 1.3521 1.3393 1.2773 1.0990 0.9108 0.8129 0.6962 0.5980 0.7715 0.8951 1.0333 1.2378 1.3582 1.3406 1.2746 1.0975 0.9102 0.8194 0.7059 0.6114 0.7718 0.8849 1.0249 1.2349

209.803 203.855 180.801 153.158 140.332 124.049 108.903 135.431 154.618 178.195 210.829 223.153 223.201 218.578 188.624 158.197 145.162 122.086 100.829 129.614 149.419 173.121 214.606 236.266 236.546 227.051 195.741 162.617 145.633 126.745 111.839 150.648 177.396 204.289 244.611

VALORES DE LA CONSTANTE DE SUAVIZAMIENTO

Por lo general, los valores para las constantes de suavizamiento a y f3 se sitúan entre 0.10 y 0.30. Cuanto mayor sea el valor de la constante de suavizamiento, mayor será la respuesta del pronóstico a los cambios recientes en las ventas. Sin embargo, algunas veces la respuesta será sólo una respuesta a los cambios aleatorios de las ventas de mes a mes, y no es conveniente tener pronósticos con grandes variaciones de un mes al siguiente. Por este motivo, los valores de suavizamiento a y f3 se mantienen en o por debajo de 0.30, como ya se explicó. Con frecuencia, el factor de suavizamiento estacional y puede tener un valor más alto, quizá 0.20 o hasta 0.60; esto se debe a que cada factor estacional C¡ se actualiza sólo una vez en el ciclo estacional completo. Por ejemplo, si se consideran 12 meses como un ciclo estacional, las fórmulas de la línea de base y tendencia se

478

Análisis cuantitativo

FIGURA 12-10 Pronóstico de las ventas de sopa de pollo con factores estacionales y tendencia

250

2.00

Ul Q)

;a

:o

150

~

Q) ~ (/J

~

"E (/J

ro

100

e Q)

>

50

O::-~_-L-~--'-~L----'-_.L..---L_...L.----l_---l-_L----L_..l..-----.l_---l.-_L---.J

o

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

Mes

-+-

Ventas (miles de dólares) --o--Pronóstico

actualizan 12 veces al año, mientras que el factor estacional de diciembre, C12' se actualiza sólo una vez; de allí que el factor de suavizamiento sea más alto.

RESUMEN El suavizamiento exponencial proporciona una forma mecánica de generar pronósticos con base en datos pasados. El modelo básico de una sola ecuación puede extenderse para incluir una segunda ecuación para la tendencia, y un tercer grupo de coeficientes para manejar las fluctuaciones estacionales. Es el método es apropiado para situaciones donde se requiere un pronóstico de forma automática para un gran número de productos o piezas.

SECCiÓN U.MODELOS DE REGRESiÓN

_

MODELOS DE REGRESiÓN LINEAL SIMPLE Otra técnica para analizar datos y generar pronósticos tiene que ver con el uso de los modelos de regresión. El modelo de regresión más simple se ajustará a una línea recta a través de una serie de puntos de datos. Por ejemplo, para los datos sobre las ventas de software en la figura 12-7, un modelo de regresión lineal producirá la recta que se muestra en la figura 12-11.

Pronósticos

479

Un modelo de regresión ajusta a los datos a una línea recta. En una regresión lineal simple existe una variable independiente (aquí, son los meses) y una variable dependiente (ventas, la variable que se está pronosticando). La forma general de la ecuación de regresión lineal simple es: (12-9) Donde X t es la variable independiente (mes) y Yt es la variable dependiente correspondiente (ventas en ese mes). El coeficiente a se llama intersección; el coeficiente b es la pendiente de la recta. El principio que está tras la regresión lineal es el de que los coeficientes a y b se determinan, de manera que produzcan el mejor ajuste lineal de la recta a través de todos los puntos de datos5 . Para la figura 12-11, los valores de los coeficientes estimados o ajustados en la ecuación 12-9 son a = 1,066.3 Yb = 75.161; esto indica que la tendencia lineal ascendente de las ventas agrega cerca de 75 unidades de ventas adicionales cada mes 6. Al utilizar la regresión lineal para hacer pronósticos, es necesario seleccionar cierto número puntos de datos para ajustar la línea de regresión y luego utilizarla para determinar un pronóstico de las ventas en el siguiente período. La figura 12-11

2,500

FIGURA 12-11 Línea de regresión para las ventas de software 2,000

1,500

Ul 0.5, se mantiene la siguiente identidad: P(R? r I n, p)

=1-

P(R ? n - r + 1 I n, 1 - p)

Por ejemplo, considerar la probabilidad de dos o más caras en tres lanzamientos de una moneda con P (cara) = 0.60; esto es idéntico a 1 menos la probabilidad de dos o más cruces en tres lanzamientos, con P (cruz) = 0.4, Ó 1 - 0.3520 = 0.6480. 'Con autorización de R. Schlaifer, Probability and Statisties for Business Deeisions (New York: McGraw-Hill, 1959). Nota: los valores binomiales acumulados en esta tabla, al igual que los valores binomiales individuales, también pueden obtenerse de la función BlNüMDl8T de la hoja de cálculo Excel.

Apéndice de tablas TABLA

503

e

(continuación)

n=3 01

02

00

04

(fi

00

07

00

00

10

02fJ7 0003

0588

0012

0873 0026

1153 0047 0001

1426 0073 0001

1694 0104

1956 0140

2213 ·0182

0002

0003

0005

2464 0228 0007

2710 0280 0010

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

2fJ5O 0036

3415

3639 0533

3859

4073 0686

0855

0027

0041

0058

4686 0946 0069

4880 1040

0022

0608 0034

4282 0769 0049

4486

0463

0013

3185 0097 0017

21

22

23

24

25

26

27

28

2fJ

30

5070 1138 0093

5254 1239 0106

5435

1344 0122

5610 1452 0138

5781 1563 0156

5948 1676 0176

6110 1793 0197

6268 1913 0220

6421 2035 0244

6570 2160 0270

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

6715 2287 02fJ8

6856

6992 2548 0359

7125 2682 0393

7254 2818 042fJ

7379

7500

7617

2417 0328

2fJ55

3094

3234

7840 3520

0467

0507

0549

7730 3377 0593

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

7946

8049 3810 0741

8148 3957 0795

8244 4104 0852

8336

8425 4401

8594 4700 1106

4850

0973

8511 4551 1038

8673

4253 0911

1176

8750 5000 1250

3665 0689

0080

0640

n=4 01

02

00

04

(fi

00

07

00

00

10

0394

0776 0023

1147 0052 0001

1507 0091

1855 0140

2193 0199

2836

3143

0344

0430

0002

0005

0008

2519 0267 0013

0019

0027 0001

3439 0523 0007 0001

12

13

14

15

16

17

18

19

20

4003

4271 0847 0079 0003

4530 0968

0098

4780 1095 0120

5254 1366 0171

0004

0005

5021 1228 0144 0007

5479 1509 0202 0010

5695 1656 0235 0013

5904 1808 0272 0016

27 7160

0006

11 3726 0624 0049 0001 21 6105 1963 0312 0019

0732 0063

0002

22 6298 2122 0356 0023

23

24

25

26

6485

6664

6836

2285

2450

0403

0453 0033

2617 0500 0009

7001 2787 0566 0046

0028

0008

28

2fJ

30

0628

0694

0053

0061

7459 3307 0763 0071

7599

2fJ59

7313 3132

3483

0837 0081

504

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación)

p

31

32

33

34

35

28

37

38

39

40

7733

7862 3837

8103 4193 1171 0134

8215 4370 1265 0150

8322

4547 1362 0168

8425 4724 1464 0187

8522 4900 1569 0209

8615 5075 1679 0231

8704 5248 1792 0256

45

46

47

48

49

!Xl

9085

9150 6252 2550

9211 6412 2686

0448

0488

9269 6569 2831 0531

9323 6724 2977 0576

9375 6875 3125 0625

08

00

10

3409

0544

3760 0674

4095 0815

0045 0002

0063 0003

0086

r

1 2 3 4

0915 0092

0996

0105

7985 4015 1082 0119

41

42

43

44

8788 5420 1909 0283

8868

5590 2030 0311

8944 5759 2155 0342

9017 5926 2283 0375

3660

P r

1 2 3 4

6090

2415 0410 n=5

p

01

~

03

04

05

00

07

1846 0148

2262 0226 0012

2661 0319 0020 0001

3043 0425 0031 0001

r

1 2 3 4

0490

0961

1413

0010

0038

0085 0003

0001

P r 1 2 3 4 5 P r 1 2 3 4 5 P r 1 2

3 4 5

P

0006

0005

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

4416

4723 1125 0143

5016 1292 0179 0013 0001

5296 1467 0220 0017 0001

5563

6061 2027 0375

6293 2224 0437

6513 2424

0036 0002

0045 0002

0505 0055 0003

6723 2627 0579 0067

0001

5818 1835 0318 0029 0001

0965

0112 0007

0009

1648 0266 0022

21

22

23

24

25

26

27

28

29

II

6923 2833 0659 0081

7113 3041 0744 0097

7293 3251

0005

‫סס‬oo

0008

1143 0181 0012

7927 4093 1257 0208 0014

8065

0004

7627 3672 1035 0156 0010

7781

0114

7464 3461 0033 0134

1376 0238 0017

8196 4511 1501 0272 0021

8319 4718 1631 0308 0024

31

32

33

34

35

33

37

38

39

40

8546

8748 5522 2199

8840

9084

9155

9222

0540

0034

0039

0045

0053

0060

0069

6276 2835 0726 0079

6455 3003

0486

8926 5906 2509 0598

9008 6093 2670

0390

8650 5325 2050 0436

0090

3174 0870 0102

41

42

43

44

45

46

47

48

49

!Xl

9285 6801 3349

9344 6967 3525 1033 0131

9398 7129 3705 1121 0147

9449 7286 3886 1214 0165

9497 7438 4069 1312 0185

9541 7585 4253 1415 0206

9582 7728 4439 1522 0229

9620 7865 4625 1635 0255

9655 7998 4813 1753 0282

9688 8125 5000 1875 0313

8436 4923 1766 0347 0029

5125 1905

0836

5716 2352

3883

0660

4303

0796

6630

r 1

2 3 4 5

0949

0116

Apéndice de tablas

505

TABLA e (continuación)

11=6 p

01

a2

00

04

a5

00

07

00

00

10

0585

1142 0057

1670 0125 0005

2172 0216 0012

2649 0328

3101 0459

3936 0773

0022

0038 0002

0085

4321 0052 0118

0001

3530 0608 0058 0003

0005

0008

4686 1143 0159 0013 0001

r

1 2 3 4 5

0015

0002

P

11

12

13

14

15

16

17

18

19

5030 1345 0203 0018 0001

5356

5664 1776 0324

6229

6487 2472

6731 2713

6960

0560

0034

5954 2003 0395 0045

0075

0655 0094

0002

0003

0004

0005

0007

7176 3201 0870 0141 0013

20

r

1 2 3 4 5

1556 0261 0025 0001

2235 0473 0059

2956 0759 0116 0010

6

7379 3446

0989 0170 0016 0001

21

22

23

24

25

26

27

1 2 3 4 5

7569 3692 1115 0202 0020

7748 3637 1250

8073 4422 1539 0326

8220 4661 1694 0376

0025

7916 4180 1391 0280 0031

0038

0046

7358 4896 1856 0431 0056

8487 5128 2023 0492 0067

6

0001

0001

0001

0002

0002

0003

31

32

33

34

35

1 2 3 4 5

8921 6012 2744 0787 0127

9011 6220 2936 0875 0148

9095 6422 3130 0969 0170

9173 6619 3328 1069 0185

9246

6

0009

0011

0013

41

42

1 2 3 4 5

9578 7819 4764 1933 0458

6

0048

P

28

29

3J

r

P

8607

8719

5356

5580

2196 0557 0079

2374 0628 0093

8824 5798 2557 0705 0109

0004

0005

0006

0007

33

37

38

39

40

9375 7172 3937 1404 0288

9432

9485

7343 4143 1527 0325

7508

3529 1174 0223

9313 6994 3732 1286 0254

0365

9533 7667 4557 1792 0410

0015

0018

0022

0026

0030

0035

0041

43

44

45

46

47

48

49

50

9619 7965 4971 2080 0510

9657 8105 5177 2232

9692 8238

9723 8364

9752 8485

5585

0566

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2553 0692

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9824 8810 6373 3252 1003

9844 8906

5382

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0055

0063

0073

0083

0095

0108

0122

0138

0156

0239

r

P

6809

4350

1657

r

6563 3438

1094

n=7

p

01

a2

00

04

a5

00

07

00

00

10

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1319 0079

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3017

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3983 0813

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4832

5217 1497

r

1 2 3 4 5

003

0444 0038

0002

0063

rtYJ7

0004

0007

1255 0193 0018 0001

fJ2.57

0027 0002

506

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación)

p

11

12

13

14

15

16

17

18

19

2J

5577 1750 0331 0039

5913 2012 0416

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6581 2556 0620

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7286

7712 3956 1313 0279 0037

7903 4233 1480

0022

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0047

0001

0001

0001

0002

0003

0004

24

25

26

27

28

29

3J

8535

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8785 5796 2646 0802 0153

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r

1 2 3 4 5

0003

0054 0004

0006

0094 0009

6 21

22

23

1 2 3 4 5

8080

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0058

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0088

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6 7

0005

0006

0008

0011

0013 0001

0017 0001

31

32

33

34

35

1 2 3 4 5

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9328 7113 3987 1534 0380

9394 7304 4217 1682 0434

9454 7487 4447 1837 0492

6 7

0046

0055

0003

0003

0065 0004

41

42

1 2 3 4 5

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6 7

0216 0019

P

3396

1005 0189

0333

r

4506

1657 0394

P

8997

9090

6266

6490

3081 1016 0213

33J4

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0038 0002

36

37

38

39

40

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9560 7828 4906 2167 0625

9606

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0077 0005

0090

0105 0008

0123

0006

0009

0142 0011

0164 0014

0188 0016

43

44

45

46

47

48

49

50

9779 8660 6229 3294 1169

9805 8772

9827 8877

9866

6436

6638

9883 9153 7213

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3706 1402

9848 8976 6836 3917 1529

1803

9897 9233 7393 4563 1951

9910 9307 7567 4781 2105

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0246 0023

0279 0027

0316 0032

0357 0037

0451 0051

0504 0059

0562

0044

0068

0625 0078

r

P

7987 5134 2341 0701

0963

r

1l

P

9068

7027 4131 1663 0402

4346

=8

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

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1492 0103

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3366

3904 0792 0096 0007

4404

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5297 1577 0289

0022

0034

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0001

0003

0004

r

1 2 3 4 5

0004

0572 0058 0004

1035 0147 0013 0001

Apéndice de tablas

507

TABLA e (continuación) p

11

12

13

14

15

16

17

7008 3111 0891 0168 0021

7275 3428 1052 0214

7521 3744 1226 0267

7748 4057 1412 0328

0029

0038

0002

0003

0005

18

19

20

7956

8322

1608 0397

8147 4670 1815 0476

0050

0065

0083

4967 2031 0563 0104

0007

0009

0001

0012 0001

r

1 2 3 4 5 6 7 p

6063

6404

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2480 0097 0010

6718 2794 0743 0129 0015

0001

0001

0002

0608

4366

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

8483

8630 5538

8764 5811 2724 0880 0191

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8999 6329

9101 6573 3465

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9354 7244 4228 1763

9424 7447

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9194 6807 3718 1433 0377

0438

0505

r

1 2 3 4 5

5257 2255 0659 0129

2486 0765 0158

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0021

0027

0034

0042

0078

0094

0002

0003

0004

0052 0005

0064

0002

0006

0008

0010 0001

0113 0013 0001

31

32

33

34

35

36

'JI

38

39

40

1 2 3 4 5

9486

9543 7822 4987 2319 0750

9594 7994 5236 2519

9640

9681

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8309

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9752 8586 6189 3374 1307

9782 8711 6415 3599 1443

9808 8828

9838 8936

6 7 8

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0159 0020 0001

0187 0024 0001

0218

0253

0293

0336

0385

0439

0498

0030

0043 0003

0051

0061

0072

0085

0002

0036 0002

0004

0004

0005

0007

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

1 2 3 4 5

9853 9037 7052 4292 1895

9872 9130 7250 4527 2062

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9903

9916

9928

9295 7624 4996 2416

9368

9435

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5463

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2798

9947 9552 8276 5922 3205

6 7 8

0563 0100

0634

0711 0136 0012

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1318 0310 0033

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6 7 8 P

1281 0322

4482

1941 0580

r

P

0846

5722 2936 1061

6634

6846

3828 1586

4059 1737

r

0008

0117 0010

0885

0181 0017

7966

3633

n=9 p

01

02

((3

04

05

00

07

08

09

10

0865 0034

1663 0131

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0006

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5721 1912

0001

2398 0282 0020 0001

0405

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0057

0083

0002

0003

0005

0009

r

1 2 3 4 5 6

0045 0003

0006

0001

508

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación)

p

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

7684

7918

8131

4005

4348

4685

1409 0339 0056

1629 0420 0075

1861 0512 0098

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0006

0009

0013 0001

0017

0001

0002

0023 0002

0003 3l

r

1 2 3 4 5

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6835

7145

2951

3304

0833

0158 0021

1009 0209 0030

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6 7

0001

0002

0003

0004

21

22

23

24

25.

26

27

28

29

1 2 3 4 5

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8931 6218 3158 1144 0291

9048 6491

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9335 7230 4273 1849 0571

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9480

3434

9154 7850 3713 1475 0416

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0065

0006

0008 0001

0081 0010 0001

0100 0013 0001

0122 0017 0001

0149

0004

P

0031

r

0994

0240

P

1304 0350

9596 8040

5372 2703 0988

0179 0028

0213

0253

0022

0035

0043

0002

0003

0003

0004

31

32

33

34

35

33

37

38

39

40

9645

9689 8372 5894 3173 1252

9728 8522 6146 3415 1398

9762 8661

9820 8908 6856 4163 1890

9844 9017 7076 4416 2072

9865 9118 7287

3662 1553

9793 8790 6627 3911 1717

9883 9210 7489 4922 2460

9899 9295 7682 5174 2666

0298 0053

0348

0404

0467

0536

0064

0078

0094

0007

0009

0011 0001

0612 0133 0017 0001

0696 0157 0021 0001

0787 0184 0026 0002

0886 0215 0031 0002

0994 0250

0006

0112 0014 0001

44

45

46

47

48

49

50

9946

9954 9615 8505 6386 3786

9961 9662 8642 6614 4024

9967 9704 8769

9972 9741

6836

7052

4265

4509

9977 9775 8999 7260 4754

9980 9805 9102 7461 5000

1658 0498 0091 0008

1817 0564 0107

1985 0637 0125 0011

2161 0717 0145 0014

2346 0804 0189 0016

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00

09

0036

5656 1879 0401 0058

0003

0006

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10 6513 2639 0702 0128 0016

0001

0001

r

1 2 3 4 5

8212 5636 2935 1115

6 7 8 9

P

41

42

43

9913 9372 7866 5424 2878

9926 9442 8039 5670 3097

9936 9505

6390

4669

2262

0036 0003

r

1 2 3 4 5 6 7 8 9

8204

5913 3322

9563 8359 6152 3551

1109

1233

1366

0290

0334

0383

0046 0003

0055

0065

1508 0437 0077

0004

0005

0006

0009

8889

n = 10

P

1 2 3 4 5 6

01 0956

02

03

1829 0162

2626

0043

0001

0009

0028 0001

0345

04

3352 0582 0062 0004

05

4013 0861 0115 0010 0001

00

4614 1176 0188 0020 0002

Apéndice de tablas TABLA

509

e

(continuación)

p

11

12

6882

0178 0025

7215 3417 1087 0239 0037

0003

0004

13

14

15

16

17

18

19

20

7516

7787 4184 1545

8448

8626

5270 2341 0741 0168

5608

8784 5932

8926 6242

2628

2922

3222

0883

1039 0266

1209 0328

r

1 2 3 4 5

3028 0884

6 7 8

1308 0313

0400

8031 4557 1798 0500

0053

0073

0099

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0006

0010 0001

0014 0001

0020

0027

0037

0049

0002

0003

0004

0006

0064 0009

0001

0001

3804

0001

26

27

28

29

3)

9508

9570 7981

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0404

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0087 0012 0001

0473 0106 0016 0001

35

36

'J1

38

39

40

4589

4862

2270

2785

9885 9236 7595 5132 2708

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7162

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0836

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0005

1072 0305 0059 0007

0009

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1663 0548 0183 0017 0001

44

45

46

47

48

49

50

9970 9731

9975 9767

9979 9799 9111 7547 5216

9983 9827 9209 7745 5474

9986 9852 9298 7933 5730

9988

9990 9893

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3526 1560

0006

0008

21

22

23

24

25

9053

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0197

0012 0001

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0035

0002

0003

0004

31

32

33

34

1 2 3 4 5

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9843

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4044

1867

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6 7 8 9 10

0551 0129 0020

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0732 0185 0032

0002

0003

0039 0004

0048

0003

41

42

43

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9957

P

0213

r

1 2 3 4 5

6536

3526 1391 0399

6 .7 8 9

0082

P

m8

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0239

5335

3504

1503

r

6434

P

9035

0220

9402

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r

1 2 3 4 5

8483

8628

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6665

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4178

4436

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9004

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0003

0908

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0004

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0480

0091

9453

8281 6230 3770 1719 0547 0107 0010

51 O

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación) n

P

= 11

01

a2

03

04

05

00

07

08

m

10

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0001

0002

0003

r

1 2 3 4 5

0002

0083

0005

6 11

12

1 2 3 4 5

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6 7 8

0005

0008

P

16

17

18

19

20

8531

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0010 0001

0014

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0002

0002

27

28

29

3)

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13

14

15

7839 1632 0442 0087

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0018

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0037

0002

0003

0005

r

0001

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21

22

23

24

25

26

1 2 3 4 5

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9350 7333

9436

9511 7814 5134 2596 0998

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2081 0723

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6 7 8 9

0148 0027

0186

0231

0035

0046

0003

0005

0007 0001

0009

P

3494

0504

r

P

4488

5448

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1493

4304

2103

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0043

0002

0001

0343

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0490

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6335

0006

31

32

33

34

35

36

37

38

3:l

40

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9856 9112 7361

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9948

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6545

4122

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2043 0768 0210

2249 0876 0249

0039 0005

0048 0006

2465 0994 0059 0059 0007

r

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P

4890 8563

5464

3059

8360

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0901

1031

1171

1324

0860

0309

0366

0430

0054

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0067 0010 0001

0082 0013 0001

0101 0016

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0002

0002

0003

1847 0670 0177 0032 0004

41

42

43

44

45

46

47

48

49

ED

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9989 9882 9428 9266 6288

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9994

9499

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8433

8588

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9995 9941 9673 8867 7256

r

1 2 3 4 5

9930 9622

Apéndice de tablas

TABLA

511

e

(continuación)

0343

0399

0072 0009

0087 0012

3166 1408 0461 0104 0014

0001

0001

0001

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2690 1121

11

2924 1260

2312 0895 0241

0033

0002

0002

3669

0001

1738 0610 0148

11

P

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0022

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0040

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0002

0003

0004

0005

4460

5000

= 12

01

02

ro

04

05

06

07

08

09

10

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0001

0002

0003

r

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0043 0005

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12

13

14

15

16

17

18

19

20

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8363

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8931

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5565

0065

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0489

0600

9313 7251 4417 2054 0726

6 7 8 9

0009

0014

0033 0004

0065

0007 0001

0010 0001

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0116 0021

0151

0002

0022 0003

0046

0001

0002

0003

P r

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4060

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29

30

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1026

1178

0322

0386

0010 0001

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0002

0002

35

36

37

38

39

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21

22

23

24

25

26

27

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9566

9629 8222

9683

8009

0866

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9730 8594 6397 3824 1790

9771 8755 6687 4137 2016

6 7 8 9 10

0245 0052

0374 0089 0016

0453

0544

0646

0068

0113 0021

0143 0028

0178

0002

0003

0004

P r

7524 4768 2326

P 1 2 3 4 5

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0001

0304

0011 0001

31

32

33

34

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9918

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3032

3308

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9435

0036 0005

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0060

9943

9953

9961

9968

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9634 8648

9685

6533

6799

9730 8931 7296

4167

4459

8795 7053 4751

5043

512

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación)

1343

6 7 8 9 10

0458

0118 0022 0003

1521 0540 0144 0028 0004

1711 0176

1913 0734 0213

0036

0045

0005

0632

11

2127

2352 0970 0304

0007

0255 0056 0008

0070 0011

2588 1106 0359 0086 0014

0001

0001

0001

0001

0002

0002

0003

0846

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0022

1582 0573 0153 0028

3087 1411 0493 0127

3348

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

1 2 3 4 5

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9986 9860 9358 8147 6175

9988 9882 9440

9990' 9901 9513

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8329

8409

8655

6443

6704

6956

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3889

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5577

5855

3343

3604

0053

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0043

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3089

0035

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5297

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0163

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11 12

0004

0005

0007

0011 0001

0014 0001

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0021 0001

0026

0032

0002

0002

P r

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0009

.0001 n p

8934

1751

= 13

01

~

03

04

05

06

07

08

09

10

1225 0072

2310 0270 0020 0001

3270 0564 0062 0005

4118 0932 0135 0014 0001

4867 1354

5526 1814 0392 0060 0007

6107 2298 0578 0103 0013

6617 2794 0799 0163 0024

7065 3293 1054 0242 0041

7458 3787 1339 0342

0001

0003

0005 0001

0009

r

1 2 3 4 5

0003

0245

0031 0003

6 7

0065

0001

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1 2 3 4 5

7802 4270 1651

8102 4738 1985

8364

0609

0097

0139

8791 6017 3080 1180 0342

9113 6751

0464

8592 5614 2704 0967 0260

8963

5186 2337 0776 0193

9354 7384 4611 2226 0827

9450 7661 4983 2527 0991

6 7 8 9

0015 0002

0024

0036

0053 0008 0001

0183 0006 0001

0237 0052 0009 0001

0070 0012

P r

P

0003

0005 0001

6396 3463

3848

1414 0438

1667 0551

9242 7080 4231 1939 0681

0075 0013

0104 0019

0139 0027

0038

0002

0003

0004

0300

0002

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

9533 7920 5347 2839 1173

9604 8154 5699 3161 1371

9666 8367 6039 3489 1585

9718 8559

9762 8733 6674 4157 2060

9800 8889 6968 4493 2319

9833 9029 7245 4826 2589

9860 9154

9883 9265

9363

r

1 2 3 4

5

6364

3822 1816

9903

7505

7749

7975

5155 2870

5478 3160

5794 3457

Apéndice de tablas

TABLA

51 3

e

(continuación)

0375 0093 0017 0002

6 7 8 9 10 11 P

0462 0120 0024 0004

0562 0154 0032 0005 0001

0675 0195

0802

0243 0056 0010 0001

0043

0007 0001

31

32

~

34

9920

9934 9527 8379 6398 4067

9945 9594 8557

2093

0944 0299

1099

1270

0365

0440

0118 0024

1455 0527 0147 0031

1654 0624 0182

0073 0013

0093 0018

0002

0003

0004

0005

0001

0007 0001

0040

35

36

37

38

39

40

9955

9963

9653

9704

9970 9749

9975 9787 9125 7698 5603

9980 9821 9235 7917 5899

9984 9849 9333 8123 6188

9987 9874 9421 8314 6470

3388

3673 1853 0738 0225 0051

3962 2065 0851 0270 0063

4256 2288 0977 0321 0078

r

1 2 3 4 5

9450

8185 6101 3760

6683

8720 6957

4376

4686

2581 1135 0390 0102 0020 0003

6 7 8 9 10

1867 0733 0223 0052

0065

0009

0012

2331 0988 0326 0082 0015

11 12

0001

0001

0002

0854

0271

41

42

43

1 2 3 4 5

9990 9895 9499 8492 6742

9992 9912 9569

9993 9928 9630 8807 7254

6 7 8 9 10

4552 2524 1114 0379

4849 2770 1264

0096

11 12 13

0017 0002

P

8868

9003

7217 4995

7464 5301

2841 1295

3111 1468

0462

0544

0635

0126 0025

0154 0032

0187

0003

0005

0006

0008

0001

0001

0010 0001

0013 0001

46

47

48

49

fi)

9997

9998 9974 9839 9381 8326

9998 9979 9865 9464

9999 9983 9888 9539

8502

8666

6838

7095 5000 2905 1334 0461

1654

0040

44

45

9995

9996 9951 9731 9071 7721

9772 9185 7935

9997 9967 9808 9288 8137

6019 3842 1988 0803 0242

6299 4127 2200 0918 0287

6573 4415 2424 1045 0338

4707 2659 1183 0396

0051 0007

0063

0001

0077 0011 0001

0093 0014 0001

0112 0017 0001

r

8656

7003

9940 9684

8945 7493 5441 3290 1600

0117

5146 3025 1426 0520 0141

0170

5732 3563 1788 0698 0203

0021

0027

0033

0041

0002

0003

0004

0005

0446

0605

11

P

9960

0009

= 14

01

02

03

04

05

00

07

00

09

10

1313 0084

2464 0310 0025 0001

3472 0645 0077

4353

5123 1530 0301 0042

6888

0002

0004

5795 2037 0478 0080 0010

6380

1059 0167 0019

2564 0698 0136 0020

3100 0958 0214 0035

7330 3632 1255 0315 0059

7712 4154 1584 0441 0092

0001

0002

0004

r

1 2 3 4 5 6 7

0003

0006

0008

0015

0001

0002

514

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación)

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1 2 3 4 5

8044 4658

8330

8577 5599 2708 0979 0269

8789 6031 3111 1210 0359

8972

5141 2315 0774 0196

9129 6807 3932 1742 0594

9264 7152 4341 2038 0741

9379 7469 4744 2351 0907

9477 7758 5138 2679 1093

9560 8021 5519 3018 1298

6 7 8 9

0024

0038 0006

0057 0009

0001

0001

0082 0015 0002

0439 0116 0024

p r

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6433

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0209

0273 0064

0005

0046 0008

0012

0349 0087 0017

0001

0001

0002

0003

0004

0157 0032

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

1 2 3 4 5

9631 8259 5887

9742 6574 4076 2023

9786 8837 6891 4432 2297

9822 8990 7189 4787 2585

9852 9126 7467 5136 2884

9878 9246 7727 5479 3193

9899 9352 7967 5813 3509

9917

9932 9825 8392

1523

9691 8473 6239 3719 1765

3832

4158

6 7 8 9 10

0543 0152

0662 0196

0797 0248

1117

0060

1502 0563 0167

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1949 0796 0257

0933

0045

0008 0001

0038

0083

0007

0050 0009

0065

0002

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2195

0033 0006

0949 0410 0079 0016 0002

0012

0017

0001

0001

0001

0002

0003

P r

3366

0001

8665

0011

0383

0103 0022 0003

11

9444

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6448

0315

31

32

33

34

35

36

37

38

3}

40

1 2 3 4 5

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9955 9657 8746 7032 4813

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9970 9756 9037 7556

9976 9795 9161 7795 5773

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9988 9881 9457 8418

9990 9902 9534 8595

6OBO

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6666

6943

9992 9919 9602 8757 7207

6 7 8 9 10

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2724 1250 0450 0131 0029

3006

3899

4208

2059 0876

2296

0294

03S3 0095

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11 12 13

0003

0005 0001

P r

4486

0022

545B

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1431

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0545

0643

0163 0037

0200

3595 1836 0753 0243

004B

0060

0076

0006

OOOB

0019

0024

0031

0039

0001

0011 0001

0014

0001

0002

0003

0003

0005

0006

1012

0583

0175

0001 43

44

45

46

47

48

49

50

9995

9996

9956 9758 9161 7922

9997 9964 9797 9270 8132

9998 9971 9830 9368 8328

9998 9977 9850

9999 9981 9883 9532 8678

9999 9985

9999

9946

9903 8833

9988 9921 9661 8974

9999 9991 9935 9713 9102

6052 3937

6344 4236

0027

6900

4539

4843

7163 5148

7415 5451

7654 5751

7000 6047

41

42

1 2 3 4 5

9994

9934 9661 8905 7459

6 7

5450 3355

5754

P r

9713 9039 7697

3643

945S

8510

9601

Apéndice de tablas

51 5

TABLA e (continuación)

1692

8 9 10

0680

0212 0049

11 12 13 14

0008

0001

1896 0789 0255

2113 0910

0061 0010 0001

0076 0013 0001

0304

2586 1189 0426

2840 1348

3105 1520

0500

0583

0093

0114

0017

0022

0139 0027

0002

0003

0003

2344 1043 0361

3380

3663

1707 0677

1906 0782

3953 2120 0898

0202 0042

0241

0287

0034

0053

0004

0006

0007

0065 0009

0168

0001 n

P

= 15

01

02

ro

04

a5

06

07

08

09

10

1399

2614

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7570 3965

1130 0273

0006

2832 0829 0175 0028

3403

0002

6047 2262 0571 0104 0014

7137

0353

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6633

0096 0004

3667 0730

1469 0399 0082

7941 4510 1841 0556 0127

0001

0001

0003

r

1 2 3 4 5

0030 0002

0094

0008 0001

6 7 P

0050

0007 0001

0013

0022

0002

0003 20

11

12

13

14

15

16

17

18

19

8259 5031 2238 0742 0187

8530

5524 2654 0959 0265

8762 5987

8959 6417 3520 1476 0478

9126 6814 3958 1773 0617

9269 7179 4392 2092 0778

9389 7511 4819 2429 0961

9490 7813 5234 2782 1167

9576 8085

0121 0024

0168

0004

0074 0014

0387 0102 0021

0490 0137

0002

0227 0052 0010 0001

0300

0015

0002

0003

r

1 2 3 4 5

0037

6 7 8 9 10

0006

0001

0057 0010 0001

3084

1204 0361 0084

0036 0006

0001

P

5635

3146 1394

0030 0005

9648

8329 6020 3518 1642 0611 0181 0042 0008

0001

0001

21

22

23

24

25

26

27

28

29

3l

9709 8547

9759 8741 6731 4274 2195

9802 8913 7055 4650 2495

9837

9866

9062

9198 7639 5387 3135

9891 9315 7899 5742 3469

9911 9417 8137

9928 9505

9941 9581

8355

8553

6086

6416 4154

6732 4500

9953 9647 8732 7031

0905

0965 0338 0094

0003

0021

2495 1130 0413 0121 0028

2704 1311

0002

1958 0817 0274 0073 0015

2220

0011

1079 0374 0104 0023

1713

0298 0078 0016

0002

0003

0005

0001

0007 0001

r

1 2 3 4 5

6385

3895 1910 0748 0834

6 7 8 9 10

0058

11 12 P

7358 5022

2810

0135 0031

1484 0566 0173 0042

0004

0006

0008

0219 0056 0011

0001

0001

0001

0002

1272 0463

0684

3810

4845

0500

0152 0037

31

:Q

~

34

35

~

37

38

39

40

9962

9969

9988

9990

9992

9994

9995

9752

9858

9883

9904

9922

8893

9038

9980 9829 9281

9984

9704

9975 9794 9167

9383

9472

9550

9618

9936 9678

9948 9729

r

1 2 3

516

TABLA

Análisis cuantitativo

e

(continuación)

4 5

7314 5187

7580 5523

7829 5852

8060 6171

8273 6481

8469 6778

6 7 8 9 10

3084 1509 0599 0190

3393 1722 0711 0236 0062

4032 2194 0977 0351 0099

4357 2452 1132 0422 0124

4684

0048

3709 1951 0837 0289 0079

2722 1302 0504 0154

11 12 13

009 0001

0013 0002

0016

0022 0004

0028

0037

0003

0005

0006

0001

0001

0047 0009 0001

8649 7062

8813 7332

8961 7587

9095 7827

5011

5335

3003

3295 1687 0702 0232

5654 3595 1902 0820 0281

5968 3902 2131 0950

0002

0075 0015 0002

0093 0019 0003

1487 0597 0190

0059 0011

0338

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

1 2 3 4 5

9996 9958 9773 9215 8052

9997 9966 9811 9322 0261

9998 9973 9843 9417 8454

9998 9979 9870 9502

9999 9983 9893 9576 8796

9999 9987 9913 9641 8945

9999 9990 9929 9697 9080

9999 9992 9943 9746 9201

10000 9994 9954 9788 9310

10000 9995

6 7 8 9 10

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6570 4530 2630 1254 0479

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7131 5164 3176 1615 0661

7398 5478

7641 5789 3762 2034 0890

7875 6095

8095 6394 4374 2510 1171

9302

8491 6964 5000 3036 1509

11 12 13 14

0116 0025

0305 0079 0014 0002

0363 0097 0018

0430

0119 0023

0506 0145 0029

0002

0003

0004

0592 0176 0037 0005

P r

0404

0004

0143 0032 0005

0565

0174 0040

0007 0001

8633

3465

1818 0769

0211 0051

0255 0063

0011 0001

0009

0001 n

P

4065

2265 1024

6684

4686

2767 1333

9963

9824 9408

=16

01

~

03

04

05

06

07

08

09

10

1485 0109 0005

2762 0399 0037

3857 0818 0113 0011 0001

4796 1327 0242 0032

5599 1892 0429 0070

6869 3098

0009

0038

0068

7789 4289 1694 0496 0111

8147

0221

7366 3701 1311 0342

0003

6284 2489 0673 0132 0019

0001

0002

0005 0001

0010 0001

0019

0033

0003

0005 0001

19

20

9657

9719 8593 6482 4019 2018

r

1 2 3 4 5

0002

6 7

0969

8

11

12

13

14

15

16

17

18

1 2 3 4 5

8450 5386 2545 0907 0248

8707 5805 2999 1162

8983 6347 3461 1448 0471

9105 6773 3926 1763 0618

9257 7161 4386 2101 0791

9386 7513 2460 0988

9493 7830 5277 2836 1211

9582 8115 5698 3223 1458

6 7 8

0171

0009

0235 0056 0011 0002

0315 0080 0016

0412 0112 0024

0003

0004

0527 0153 0036 0007 0001

P

4853

2108 0684

0170

r

9

10

0053 0001

0348

0082 0015 0002

0120 0024 0004 0001

0038

0007 0001

4838

0001

8368

6101 3619 1727 0662 0204 0051 0010 0002

0817 0267 0070 0015 0002

Apéndice de tablas TABLA

517

e

(continuación) p

r 1 2 3 4 5

21

22

23

24

9770 8791

9812 8965 7173 4814 2652

9847 9117 7483 5203 2991

9876 9250 7768 5583 3341

1188 0432 0127

6839

4418 2327

0021

00'2IJ

0004

0006

1405 0536 0116 0041 0008

0001

0001

0001

0992 0342

6

7 8 9 10

0095

11 12 P r 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

28

29

3J

9900

9919 9465

9958 9686 8851 7200 5147

9967 9739

8267

9935 9550 8482

9948

9365 8029

'2IJ77 1526 0621 0206

3402

5950 3698

6303

6640

4060

4425

9623 8677 6959 4788

1641 0657 0214 0056 0012

1897 0796 0271 0075 0016

2169 0951 0340 0098 0023

2458 1125 0420 0127 0031

2761 1317 0514 0163 0041

0002

0003

0004

0006

0001

0001

9006

7541 5501

0055

1753 0744 0257 0071

0008

0011

0016

0001

0002

0003

38

39

40

9995 9734 9119 7895

9996 9959 9778 9241 8123

9997 9967 9817 9349

6094

6408

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4398 2562 1242 0491

6712 4728 2839 1423

32

33

34

35

36

37

9974 9784 9144 7804 5846

9979 9822 9266 8047 6181

9984 9854 9374 8270

9990

6504

9987 9880 9467 8475 6813

9902 9549 8661 7108

9992 9921 9620 8830 7387

9994 9936 9681 8982 7649

3736 1997 0881 0317

4074 2257 1035 0388 0117

4416 2531 1205 0470 0148

4759 2819 1391 0564 0185

5100 3119 1594 0671

5438

3428 1813 0791 0280

5770 3746 2048 0926 0341

0021

0028

0048 0010 0001

0079 0017

0100 0023

0125

0155

0005

0037 0007 0001

0062

0004

00'2IJ

0038

0003

0004

0005

0007 0001

0009

0001

0001

P

'll

31

0092

11 12 13 14

26

25

0229

0013 0002

9948

8334

0483

0191 0049 0001

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

9998 9974 9849

9998 9979 9876 9527 9808

9999 9984 9899

9999 9987 9918

9000 8869

9999 9992 9947 9766 9265

10000 9994 9958 9806 9370

10000 9995 9966 9840

9015

9999 9990 9934 9719 9147

10000 9997 9973 9869 9544

10000 9997 9979 9894 9616

7792

8024

0029

6340

4371 2559 1241

8441 6932 5019 3111 1607

8626 7210

4051 2302 1081

8241 6641 4694 2829 1416

8795 7476 5665 3707 2036

8949 7728 5982 4018 2272

0574 0183

0674 0222

0044

0055

0007 0001

0010 0001

0786 0268 0069 0013 0001

r 1 2 3 4 5

8529

6 7 8 9 10

7003 5058 3128 1619 0687

7280 5387 3428 1832 0805

7543 5711 3736 2060 0936

11 12 13 14 15

0234

0342 0098 0021

0409

0486

0012

0284 0078 0016

0121 0027

0149 0035

0002

0002

0003

0004

0006

9444

0062

9664

0001

9463

5343 3405

1814

1051

0911 0322 0086 0016

0106 0021

0002

0003

0384

51 8

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación) 1l

P

01

= 17

03

04

05

00

07

00

2907

4042

5004

0446 0044

0909

1465 0286

5819 2078 0503 0088 0012

6507 2717 0782 0164 0026

7088 3362 1118 0273 0051

7577 3995 1503 0419 0089

0001

0003

0007 0001

0015

0027

0002

0004

0047 0008 0001

02

00

10

7988

8332 5182 2382 0826 0221

r

1571 0123

1 2 3 4 5

0006

0003

0134 0014 0001

0040 0004

6 7 8 11

12

13

1 2 3 4 5

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8862 6223 3345 1383

9063 6682 3836

6 7 8 9

0075 0014 0002

0114 0023

P

4604

1927 0603

0145

14

15

16

17

18

19

20

9230

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9484

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3669

1775

4091 2007

9775 8818 6904 4511 2418

0423 0118 0027 0005

0548 0163 0039 0008

0695 0220 0057 0012

0864 0291 0000 0018

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0001

0001

0002

0003

0005 0001

27

28

23

30

9953

9962 9714

9970 9765 9093 7721 5760

9977 9807 9226 7981 6113

3677 1976

4032

r

0446

0004

0001

1710 0598

7099 4324 2065 0778

0166 0037 0007 0001

0234 0056 0011 0002

0319 0083 0017 0003

10 11

7813 5266 2841 1224

21

22

Z3

24

25

26

1 2 3 4 5

9818 8996 7249 4927 2766

9854 9152 7567

9906

9925 9499

9940 9583 8578 6814

3128

9882 9285 7859 5728 3500

6 7 8 9 10

1273 0479 0147 0037 0007

1510 0598 0194 0051 0011

11 12 13

0001

0002

p

6532

r

5333

9400

9654

8123 6107 3879

8363

1770 0736 0251 0070 0016

2049 0894 0320

2347 1071 0402 0124 0031

0003

0004

0006

0009

0013

0018

0024

0032

0001

0001

0002

0002

0003

0005

0001

0007 0001

0094 0022

6470 4261

8942

4643

8771 7137 5023

2661 1268 0499 0161 0042

2989 1485 0611 0206 0057

3329 1721 0739 0261 0075

7440 5396

0884

2248 1046

0326 0098

0127

0403

31

32

33

34

35

36

37

38

JJ

40

9982 9843 9343 8219

9986 9872

9989 9896 9532

6453

9996 9957 9775 9341 8142

9997

5

9993 9933 9673 8972 7652

9995

2 3 4

9998 9973 9849 9450 8559

9998 9979 9877 9536 8740

5803

6139 4152

6465

6778

4495

4839

7077 5182

7361 5522

P r 1

6

4390

7

2536

8437 6778

8634

7087

9991 9917 9608 8812 7378

4749 2838

5105 3153

5458 3479

9444

3812

9946

9728 9115 7906

9966

9815 9353 8360

Apéndice de tablas

51 9

TABLA e (continuación)

8 9 10

1227 0498 0162

1426 0595 0204

1642 0712 0254

11 12 13 14 15

0043

0057 0013

0074 0017

0095

0120

0151

0023

0030

0040

0002

0003

0004

0006

0001

0001

0008 0001

0009 0002

0845

2128 0994

2395 1159

0314

0383

0464

1877

2676 1341 0557

2971 1541 0664

3278 1757 0784

3595 1989 0919

0189 0051 0011

0234

0286

0348

0066

0084

0015

0019

0106 0025

0002

0002

0003

0005

0001 P

42

43

44

45

46

47

48

49

50

9999

9999

9992

10000 9994 9959 9816

10000

9987 9920 9674 9052

9999 9990

9999

9984

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9028 7890 6239

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9283 5000 3145

41

r

1 2 3 4 5

9900

9610 8904

6 7 8 9 10

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11 12 13 14 15

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0006

0001

9935

9948

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8330

4585

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0597

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0203

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8338 6855

3687

4008

4335

2066

2314

2577

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1662 0717 0245

0050 0009

0064

0962

1112

0363

0434

0014

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0108 0024

0134 0031

0002

0003

0004

0005

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0001

0001

0001

0001

16 n

P

9644

=

0012

18

01

02

m

04

05

00

07

08

09

10

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4220 1003 0157 0018

5204 1607

6717

7292

2945

3622

0333 0050 0006

6028 2265 0581 0109 0015

0898 0201

0333

0034

0067

m1 4281 1702 0506 0116

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0001

0002

0005

0010 0001

0021

0038

0064

0003

0006

0012

0001

0002

r

1 2 3 4 5

0004

0002

6 7 8 P

11

12

13

14

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0405

0558

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0154

0222

0034 0006

0054

0001

1275

15

16

17

18

19

20

9338

9464

9566

9651

9719

7398 4713

8080

8362

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3669

0959

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1329

0011

0310 0081 0017

0002

0003

0005

r

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0003

1618

2382

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1787

4112 2116

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0708

0889

1097

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0306

0400

0513

0086 0020

0120

0163

0029

0043

6119

0060

0013

520

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación)

0001

10

0001

0002

11 P

21

0004

0006

0009

0001

0001

0002

22

23

24

25

26

27

28

29

3J

9886

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9928 9522

9944

8647

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6943

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9984 9858

8430

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r

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6 7

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8

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0003

9306

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0020

9605

4813

0363

0458

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0699

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0488

0164

0004

0006

0009

0012

0018

0025

0034

0046

0001

0001

0002

0002

0003

0005

0001

0001

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0010 0002

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31

32

33

34

35

2J3

37

38

39

40

1 2 3 4 5

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9990

9993 9927 9652 8931 7598

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9997 9964 9807 9335 8341

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9998 9978 9873 9528 8737

9999 9983 9897 9606 8907

9999 9987 9918 9672

7001

9908 9581 8759 7309

6 7 8

5029 3111 1633 0720 0264

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7379 5576 3681 2084 0997

7655 5921 4021 2350 1163

7912 6257

0080 0020

0104 0027 0005 0001

0133

0212

0034

0044

0001

0002

0003

0004

0001

0325 0102 0026 0005 0001

0397 0130

0014

0264 0080 0019

0480

0062

0008

0169 0047 0011

0007 0001

0010 0002

0576 0203 0058 0013 0002

P r

8568

9

10 11 12 13 14 15

0004

0001

0405

002J3

0163

9058

4366

2632 1347

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

1 2 3 4 5

9999 9990 9934 9729 9193

9999 9992

10000 9996

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10000 9998 9981

9313

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10000 9999 9993 9962 9846

6 7 8 9 10

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9205

9324

8222

842J3

2258

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6728 4906 3110

7032 5249 3421

9428 8632 7322 5591 3742

9519 8811 7597 5927 4073

11

0686

0811

0951

1107

1280

1470

1677

1902

2144

2403

P r

9948 9m

9968

9852 9510

3885

9904

9658

Apéndice de tablas

521

TABLA e (continuación)

12 13 14 15

0307

0449 0147

0022

0372 0110 0029

0004

0006

0007

0537 0183 0049 0010

0001

0001

0001

0001

0250 0074 0017

0094

0003

16 17

0038

n

P

0013

0753 0275 0079 0017

0002

0003

0658

0225 0063

0883

1028

0334

0402

0100 0023

0125

1189 0481 0154

0029

0038

0004

0005

0001

0007 0001

09

10

8334

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= 19

01

02

03

04

05

06

07

08

1738 0153

3188

5396

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0009

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0384

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0005

0061 0007

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0022

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0001

0002

0006

0014

0029

0051

0086

0001

0002

0004

0009

0017

0001

0001

0003

18

19

20

r

1 2 3 4 5

0546 .

0002

6 7 8

1751

11

12

13

14

15

16

17

1 2 3 4 5

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0685

0904

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9544 8015 5587 3159 1444

9636

6835

8318 6059 3620 1762

9710 8581 6500 4085 2107

6 7 8 9

0135 0030

0202

0290

0048

0005

0009 0002

0076 0016

0401 0113 0026

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0003

0005

0008

0700 0228 0061 0014

0001

0001

0002

P

0602

0147

r

3488

1490 0502

0001

10 11 P

21

9770

9818

8809

9004

6910 4549 2476

5005

2864

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1110 0411 0126 0032

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0004

0007 0001

0010

0016

0001

0002

0003

7287

22

23

24

25

26

27

28

29

30

9911

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9946

9619 8692 7032 4936

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9967 9749 9057 7680 5744

9975 9797 9205 7965 6129

9981 9837

9985 9869

9333

9443 8458 6848

9989 9896 9538 8668 7178

2592 1248

2950 1487 0629 0222 0066

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0503

3322 1749 0775 0287 0089

0011

0016

0023

0003

0005

0001

0001

0032 0007 0001

r

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

9887 9313 7942 5877 3681

9434 8222

6285 4100

0307 0093

2251 1034 0396 0127

0023

0034

0169 0047

0005

0007 0001

0002

1929 0843

0001

0366

0119

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1129 0459 0156

2657 1338 0568 0202

0044

0060

0080

0010

0015

0021

0105 0028

0002

0003

0004

0006

0001

0001

0694

0258

522

Análisis cuantitativo

TABLA e (continuación)

p

31

~

~

34

35

33

J1

38

39

40

1 2 3 4 5

9991 9917 9618 8856 7486

9993 9935

9995 9949 9743 9169 8037

9996

9997 9969

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9998 9981 9890 9588 8878

9038

9999 9989 9931 9719 9179

9999 9992

9791 9297 8280

9998 9976 9862 9505 8699

9999

9960

6 7 8 9 10

5641 3705 2091 1003

6366

6707 4818 3010 1612 0733

7032 5188

7339 5554

3344

3690

1855 0875

2116 1035

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7895 6261 4401 2691 1410

8143 6597 4762 3002 1626

8371 6919 5122 3325 1861

11 12 13 14 15

0137

0280 0089 0023 0005 0001

0347 0114 0031 0007 0001

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0518 0185 0054

0009 0002

0013

0625 0231 0070 0017

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0002

0003

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0001

r

0405

0038

0009 0002

9686 9022

m3

6010 4073 2381 1186 0499 0176 0051 0012 0002

4445

2688 1389 0608 0223 0068

0017 0003

0001

9409

9986 9913 9659

16

9945

9770 9304

0006

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

1 2 3 4 5

10000 9994 9957 9813 9413

10000 9995 9967 9849 9508

10000

10000 9997 9980 9903 9660

10000 9998 9985 9923 9720

10000 9999 9988 9939 9771

10000 9999 9991 9952 9814

10000 9999 9993 9963 9850

10000 9999 9995 9971 9879

10000 10000 9996 9978 9904

6 7 8 9 10

8579 7226 5480

8767 7515 5832 4003 2385

8937 7787 6176

9088

9223 8273 6831

9342

9446

9537

9615

8488

8684

8862

9022

2672

8039 6509 4706 2974

3290

7138 5413 3617

7430 5762 3954

7706 6105 4299

7964 6439 4648

9682 9165 8204 6762 5000

11 12 13 14 15

1040 0429 0146

1404 0621 0227 0067 0016

1613 0738 0280 0086 0021

1841 0871 0342 0109 0028

2087 1021 0415 0137 0036

2351 1187 0500 0171

2631 1372 0597 0212

0046

0060

6928 1575 0709 0261 0076

3238 1796

0009

1213 0518 0183 0052 0012

16 17

0001

0002

0003

0004

0005

0010 0001

0017

0022

0001

0007 0001

0013

0001

0002

0003

0004

P

3660

2114

0040

9996

9974 9878 9590

4353

5060

11

P

0835

0318 0096

= 20

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

1821 0169 0010

3324 0599 0071

4562 1198 0210 0027

5580 1897

7099 3395 1150 0290

7658 4131 1610 0471 0107

8113 4831 2121 0706 0183

8484

8784

0074 0010

6415 2642 0755 0159 0026

5484 2666 0993

0001

0003

0009 0001

0019

0038

r

1 2 3

4 5 6

7

0006

0003

0439

0056

0003

0006

6083

0290

3231 1330 0432

0068 0013

0024

0113

Apéndice de tablas

523

TABLA e (continuación)

8 9

0001

0002

0004

0001 11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1 2 3 4 5

9028 6624 3802 1710 0610

9224 7109 4369 2127 0826

9383 7539 4920 2573 1083

9510 7916 5450 3041 1375

9612 8244 5951 3523 1702

9694 8529 6420 4010 2059

9759 8773

9811 8982 7252 4974 2849

9852 9159 7614

9885 9308 7939

6 8 9 10

0175 0041 0001

0260 0067 0002

0370 0103 0005 0001

0507 0153 0008

0673 0219 0013

0870 0304 0021

0409 0033

0001

0002

0004

0007

1356 0537 0049 0011

0001

0001

0002

P r

11 12

6854

4496 2443 1098

21

22

23

24

25

26

27

28

9910 9434

9931 9539

8230

8488

6310 4142

6711 4580

9946 9626 8716 7085 5014

9959 9698 8915 7431 5439

9968 9757 9087 7748 5852

9976 9805 9237 8038 6248

9982 9845 9365 8300 6625

9986 9877 9474 8534 6981

6 7 8 9 10

2297 1071 0419 0138

2657 1301

3035

3427 1838

3828 2142 1018

0038

0186 0054

4235 2467 1225 0515 0183

4643 2810 1455 0640 . 0238

3169 1707 0784 0305

11 12 13 14

0009

0013

0019

0028

0039

0002

0003

0004

0006

0055 0014

0074 0018

0100 0027

0001

0001

0009 0002

0003

0004

0001

P

5439

5886

3271

3704

1643 0071 0017

1958 0867 0100 0026

0004 0001

0001

29

30

9989

9992 9924 9645 8929 7625

0689

0006

r

1 2 3 4 5

P r 1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0536

1557 0675 0246 0075

0835

0320 0103

0409

0139

5048

9903

9567 8744 7315 5447 3540 1982 0948 0385

0132

5836 3920 2277 1133 0480

0006

0038 0009

0171 0051 0013

0001

0002

0003

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

9994

9996 9953 9765 9235 8173

9997 9964 9811 9358 8411

9998 9972 9849

9998 9979 9879 9556 8818

9999 9984 9904 9634 8989

9999 9988 9924 9700 9141

9999 9991 9940 9755 9274

9999

10000 9995 9964 9840 9490

6574 4693 2922 1568 0719

6917 5079 3268 1818 0866

7829 6197 4361 2683 1424

8090 6547 4735 3005 1650

8329 6882 5108 3341 1897

0350 0119 0034 0008 0001

0775 0308 0102 0028

0923 0381 0132

0466

0037

0049

0005

0006

0009

0012

0016

9940

9711 9092 7911 6213 4305

2591 1340 0591 0220 0018

0279 0091 0025

0004

0006

0001

0001

0069

9465

8626 7242

7546

5460

5834

3624 2087 1032

3990 2376 1218

0434

0532

0154 0045 0011

0196

0015

0645 0247 0079 0021

0002

0003

0004

0060

9993 9953 9802 9390 8547 7200 5478 3688

2163 1090 0167

8744 7500 5841 4044 2447 1275 0565 0210

524 TABLA

Análisis cuantitativo

e

(conclusión)

16

0001

0001

0002

0002

0003

41

~

43

44

45

46

47

48

49

50

10000 9996 9972 9872 9577

10000 9997 9979 9898 9651

10000 9998 9984 9920 9714

10000 9998 9937 9767

10000 9999 9991 9951 9811

10000 9999 9993 9962 9848

10000 9999 9995 9971 9879

10000 10000 9996 9977 9904

10000 10000 9997 9983 9924

10000 10000 9998 9987 9941

41

~

43

44

45

46

47

48

49

50

6 7 8 9 10

8921 7780 6196

9217 8281 3394

9687 9186 8261 6873 5166

9745 9312 8482 7186 5525

9793 9423

3064

9447 8701 7480 5857 4086

9539 8881 7759 6207

2748

9340 8501 7183 5499 3736

9619 9042 8020

4406

9078 8041 6539 4771

7483 5881

11 12 13 14 15

1480 0679 0262

1949

3432

0214

2791 1511 0694 0265

0038

2212 1123 0482 0172 0050

2493 1308

0084 0022

1705 0810 0324 0107 0029

0064

0083

0397 0133

3771 2238 1133 0480 0166

4119 2517 1316 0577 0207

16 17 18

0004

0006

0011 0002

0020

0035

0046

0001

0008 0001

0015

0001

0003

0004

0007 0001

0010 0001

0059 0013

P r

1 2 3 4 5 P

gsilB

r

6868

5136

0958

0397 0136

0580

4443

0001

6546 4804

3104 1734 0823 0326 0105 0027 0005 0001

1977 0969

8684

0002

Abstracción, 4-5 Agnihothri, S. R., 370n Agrupamientos en sistemas de colas, 383-384 Algoritmo de ramificar y restringir, 147,161-179 Análisis ABC, 323-326 precauciones del, 326 realización, 325-326 Análisis de decisión en computadores personales, 262 limitaciones de, 309-310 modelos para, 8 perfiles de riesgo en, 294-297 y opciones de capital, 252-253 Análisis de riesgo probabilístico, 186 Análisis de sensibilidad, 23-24, 75, 79-80 para coeficientes de la función objetivo, 87-88 para evaluación de nuevo producto, 86-87 para probabilidades subjetivas, 243-244 Análisis matemático (cálculo), 150 Anbil, R., 136n Anclaje en estimación, 308 Andrews, Bruce H., 462n Árboles de decisión, 245-252, 289 análisis de información en, 248-249 análisis de utilidad en, 303-304 desarrollo de, 251-252 dominancia en, 292-295 valor monetario esperado en, 235,237-238 Y diagramas de influencia, 249-251 Arrendamientos óptimos en GE Capital,74

Bases, 92 Bashyam, Sridhar, 71n Bass, F. M., 59n, ll1n Bean, L. L., pronóstico de los niveles de personal necesarios en, 462n Bernoulli, Daniel, 290 Billington, e, 322n Bonini, Charles E, lln Borison, Adam, 234n

Brown, Kip, 2n Brown, R. G., 337n Bucciarelli, Mark, 2n Buede, Dennis, 262n Búsqueda genética, 151

Cantidad económica de un pedido, 326-333 descuentos por volumen o, 330-331 fórmula para, 328 pedidos generales, 331 sensibilidad del costo ante errores en, 329-330 Carter, e, 322n Celda en la hoja de cálculo, 16-17 Celona, John, 303n CEE lIér Cantidad económica de un pedido Coeficiente de correlación, 208 Coeficientes de función objetivo, 87-88 Cola izquierda de la distribución normal de la probabilidad, 219 Computadores. Véase también Hojas de cálculo (computarizadas) análisis de decisión con, 262 modelos de hojas de cálculo con, 15-18 Construcción del modelo, 5-7 factores cualitativos en, 6-7 técnicas de, 6-7 Control de inventarios, 323 análisis ABC, 323-326 cantidad económica de un pedido, 326-333 costo del goodwill, 353 costo total anual esperado, 357-358 curva de intercambio en, 343-345 enfoque marginal, 350-353 fuentes independientes y, 334 incertidumbre de la demanda y, 334-356 inventario cíclico en, 335-336 inventario de seguridad en, 335-336 modelo de costo por faltan tes, 336-337 modelo de nivel de servicio, 342343

nuevos pedidos, 326-349 pedidos por cupo, 331 planeación de requerimiento de material, 335 punto óptimo de pedido y tamaño del pedido, 337-341, 357-358 rotación y, 332-333 simulación, 405-406 sin nuevos pedidos, 349-357 sistemas justo a tiempo (JIT), 332-333,346 sistemas Kanban, 332 y manejo de la cadena de suministros, 346-348 Costo de oportunidad, 237, 240 esperado, 239 Costo(s) ante errores en la cantidad Q, sensibilidad de, 329-330 de faltantes, 351-356 de mala voluntad del cliente, 353 de oportunidad, 351 de sobrantes, 350, 356 del faltante, 337 incremental, 356 reducido, 82 Crane, R. R., 413n Criterio. lIér Medidas de desempeño. Cunningham, Shawn M., 462n

Dantzig, George, 97 Darnell, D. Wayne,67n Datar, S., 87n Decisiones, efectividad de, 3-4 Degeneración, 102 Delta Airlines, programación de la flotilla de, 136 Demanda del tiempo de espera calcular desviación estándar de la, 340 Demanda dependiente, 335 Descuentos por cantidad, 330-341 Desviación estándar de la demanda del tiempo de producción, 340 de una variable aleatoria, 205-208 Desviación por exceso de confianza en estimados, 308

526

Análisis cuantitativo

Desviaciones en estimación de probabilidades, 307-309 Diagramas árbol, 165-166, 193-194 de araña, 23 influencia, 13 y árboles de decisión, 247-249 red, 440-441 Dígitos aleatorios, tabla de, 403 Dinero, valor presente y valor en el tiempo del, 25 Disponibilidad, 308 Distribución binomial, 214 acumulada, 502-524 de probabilidad, 213 Distribución de Gauss, 217-222 Distribución de Poisson en Teoría de las colas, 376, 391-392 Distribución de probabilidad continua, 354-356 simulación, 412-413 Distribución de probabilidad discreta, 201 . Distribución de probabilidad multivariada, 208-209 Distribución hipergeométrica, 216n Distribución normal de la probabilidad, 217-222 estandarizada, 220-222, 500 extremos izquierdo y derecho de, 219 Distribución normal estandarizada, 220-222 tabla de función para, 500 tabla de pérdida de función para, 501 Distribuciones de probabilidad acumulada, 294 Dixit, A., 254n Dominancia, 290-297 criterios, 290 de evento, 291 de resultado, 290 en árboles de decisión, 292-294 estocástica, 291n evento, 291 probabilística, 291 probabilística, 291 resultado, 290 Drumm, F V, 288n Du Pont, decisión y análisis de riesgo en, 288

Efectividad de las decisiones, 3-4 Enumeración completa, 147 Equivalente de certidumbre, (EC), 302-303 Errores en CEP, 329-330 en modelos, 5

Estimación de la tendencia, 489-492 Estimación de probabilidades, 307-308 Estrategia, 292-294 de avanzar/avanzar, 292 de avanzar/parar, 292 de para/parar, 292 de parar/avanzar, 292 dominancia de una sobre otra, 293-294 Estrategias de abandonar, 292 Evaluaciones de nuevo producto, análisis de sensibilidad para, 86-87 Eventos independientes, 189-190 Eventos mutuamente excluyentes, 189-191 Excel. Ver Hojas de cálculo Extremo derecho de distribución continua de la probabilidad, 354 de distribución normal de la probabilidad, 219

Factores en la toma de decisiones, 5 Factores estacionales, en pronósticos, 473-477 Fischbeck, Paul S., 186n Foreman, Leonard, 24n Fórmula de Little, (filas), 378 Fórmula de pérdida de Erlang, 386n Formulaciones, 43 Foster, G., 84n Frecuencia relativa, 188 Fuerza laboral, de L. L. Bean, necesidades de pronósticos en, 462 en McDonald's, programación de, 138 Función binomial de probabilidad, 214-217 Función lineal, 41 Funciones de distribución acumulada, 202-208 y generación de variables aleatorias, 413 Funciones de masa acumulada, 202-203 Funciones de utilidad evaluación, 299-301 exponencial, 311-312 forma de, 298-299 pendiente de, 298 utilización, 302-306

GE Capital, arrendamientos óptimos en, 74 Gelman, E., 136n

Gibrat, R., 65n Golden, Bruce, 71n Goldratt, E., 83n Guardia Costera de EE.UU., modelo de operaciones de la flota de, 1 Gutierrez, G. J., 68n

Hall, Monty, 198-200 Hausman, W. H., 68n HetIand, Per WilIy, 438n Hewlett-Packard, manejo de la cadena de suministro en, 322-359 Hoey, J. M., 138n Hojas de cálculo (computarizadas) en análisis de modelo, 17-18 en análisis de riesgo, 423-428 en estimación de tendencia, 489, 492 en generación de variables aleatorias, 413, 418-422 en probabilidades binomiales, 214-217 en probabilidades normales, 222-356 en simulaciones Monte Cario, 417-428 en soluciones de problemas de programación con enteros, 152-154 en soluciones de problemas de programación lineal, 93-101 en soluciones generales de problemas de optimización, 152-154 en suavizamiento exponencial, 466-469,489-491 generación de valores aleatorios con, 418-422 valores binomiales acumulados en, 502-524 valores de función estandarizada de distribución normal en, 500n Holgura y ruta crítica, 443-444 variables, 91 Horngren, 84n

Igualdades y desigualdades lineales, 42 Incertidumbre, toma de decisiones bajo, 235-286 Información de estudio, valor de la, 261 Información de estudios, 261 imperfecta, valor de, 254-255, 261 perfecta, valor esperado de, 242243

índice

Intercambios costo-tiempo, 444-448 entre inventario de seguridad y servicio al cliente, 343-346 entre objetivos, 157-158 Inventario de seguridad, 335-336 Inventario, rotación de, 332-333 Inventarios por ciclos, 335-336

Jones, 1.M., 70n Justo a tiempo, sistemas de inventario, 332

Kahneman, D., 308n Kanban, sistemas de inventario, 332 Karmarkar, N., 94 Kleindorfer, P R., 310n Kunreuther, H. c., 310n

Lasdon, L., 151n Lee, H. L., 322n Lewent, Judy, 255n Liebman, 1., 151n LINDO (Linear Interactive Discrete Optimizer - Optimizador lineal discreto interactivo) (programa de computador) Ver Hojas de cálculo, 94 y solución al problema de programación lineal, 107-109 Líneas de espera. Ver Teoría de las colas, Little, John D. e, 378n Litty, Charles J., 74n Lof1in, Carolyn, 67n Lonsdale, R.T., 111n Lotus 1-2-3. Ver Hojas de cálculo, Lourdes Hospital, programación de citas médicas en, 370 Love, R. R:, k, 138n

Manejo de la cadena de suministro, 346-348 en Hewlett-Packard, 322 Mar del Norte, plataformas petroleras en, 448 Marsten, R. E., 136n Masse, P, 65n McClain,1. O., 445n McDonald's, programación de empleados en, 138 McEnroe, John, 230 McNamee, Peter, 296n Medición del desempeño. Ver Medidas de desempeño. Medidas de desempeño, 10

Merck Pharmaceuticals, 255 Método de la ruta crítica (CPM), 439n,440n Método de plano de corte, 147 Método simple, 94 Mezcla de producto, formulación de problema de, 43-44 Minimización, 98 Modelo cuantitativo, 2 Modelo de nivel de servicio de control de inventario, 342-343 limitaciones del, 345 Modelo integrado de planeación corporativa, 52-53 Modelos análisis de decisión, 8 análisis utilizando, 15 beneficios de la representación matemática de, 6 clasificación de, 7-8 colas, 8 complejos, 8 de caso, 7-8, 21 definición de, 5 ejecución en computador, 16-18 errores en, 5 escenario, 7 incertidumbre en, 30, 57 inventario, 8 medidas de desempeño para, 10 New York Times, 24 optimización, 8 PERT (Técnicas de evaluación y revisión de programa), 8 políticas y restricciones en, 10 por computador, 16-18 programación de enteros, 8 programación lineal, 8, 40-73 restricciones en, 10 ruta crítica, 8 simple, 5, 7-8 simulación, 8 variables de decisión en, 9 variables en, 9-11 variables exógenas en, 10 variables intermedias para, 10 y hojas de cálculo, 17 Monte Cario, análisis, 255, 296, 438 de proyecciones de duración del proyecto, 451 de riesgo, 423-428 simulación por computador de, 417-428 Morgenstern, O., 297n Múltiples objetivos, 155-161 definición de intercambios entre, 157-158 y programación de meta, 158-159 y programación de prioridad,

159-161

527

NORM(S)DIST, 222n, 356n NORM(S)INV, 222n, 356n

O'Brien, G. G., 413n Oglethorpe Power Corporation, 234, 243

Opciones de compra de acciones, 253 Optimización ejemplo utilizando solver, 152-154 por medio de procedimientos de búsqueda general, 151-152 recocido simulado en, 152 técnicas generalizadas, 150-155

Paradoja de Allais, 309-310 Paradoja de San Petersburgo, 290 Paramount Farm, simulación en la producción de nueces de pistacho, 400 Parro 1. O., 344n Pate-Cornell, M.-Elizabeth, 186n Patty, B., 136n Pedidos por cupo, 331 PEPS (primeros en entrar - primeros en salir), 375, 377 Pérdida de oportunidad condicional, 240 PERT (Técnica de evaluación y revisión de programa), modelos, 8,439-456 diagrama de red en, 440-441 estimados múltiples de tiempo para actividades con tiempos inciertos, 448-451 evaluación de, 455-456 requerimientos de información de, 439 ruta crítica en, 441-444 y simulación de duración del proyecto, 451-453 y simulación del costo total, 453455 Y tiempos de actividad conocida, 440-444 y tiempos de actividad incierta, 448-451 Pindyck, R., 254n Planeación de requerimientos de materiales, 335 Plataformas petroleras en el Mar del Norte, 448 Políticas, efectos sobre decisiones, 10 Pollaczek-Khintchine, modelo de

colas de, 377n

528

Análisis cuantitativo

Portafolio, efecto, 309 Posibilidades de utilidad, 294 Precio dual, 84-87 Precios sombra, 80-84 de restricciones sin fijación, 82 e identificación de riesgos, 83-84 para restricciones no negativas, 82-83 y degeneración, 102 y evaluación de nuevo producto, 86-87 Prioridad, programación de, 159-161 Probabilidad, conceptos de, 187-222 desviaciones en estimación de probabilidades, 307-309 determinación de probabilidades, 256-261 distribución binomial, 213-214 distribución de probabilidad continua, 354-356 distribuciones de probabilidad multivariada, 208-209 enunciados básicos de, 188-189 eventos dependientes, 190-191 eventos independientes, 189-190 eventos mutuamente excluyentes, 189, 191 frecuencia relativa, 188 interpretación subjetiva, 188 probabilidad aposteriori 197-198 probabilidad condicional, 190, 191-196 probabilidad conjunta, 190, 192196 probabilidad crítica, 352 probabilidad marginal (incondicional) de eventos, 192-196 probabilidad objetiva, 187-188 probabilidades apliori, 258 probabilidades acumuladas, 291 probabilidades subjetivas, 243-244 proceso de Bernoulli, 212-217 revisión de probabilidades, 197200,254 simetría de resultados, 187 variables aleatorias, 200-201 Probabilidad, distribuciones de, 200202 generación de valores aleatorios de, 418-422 normal,217-222 para utilidad, 293, 295 Probabilidad, función de de masa de, 201,202-203 densidad de, 201, 203-204 Problemas complejos, 8 de cargo fijo, 139-140 de expansión de capacidad, 143 de mezclas, formulación del, 46-49 de presupuesto de capital, 141-143

de tamaño de lote, 140 definición del, 307 dinámicos, 49 estáticos, 49 simples, 7-8 Proceso de Bernoulli, 212-217 Programación cuadrática, 150 Programación de citas médicas en Lourdes Hospital, 370 Programación de enteros, 137-141 ejemplos de formulaciones, 141-146 formulación de problemas, 139-141 solución de problemas, 146-149 Programación de vuelos de Delta Airlines, 136 Programación lineal análisis de sensibilidad en, 75, 79 incertidumbre en, 57 uso de, en Tate Iron and Steel Company, 40, 55 YSolver, 94-107 formulación de modelos, 52, 54-55 formulación de problemas modelo integrado de planeación corporativa, 52-53 problema de mezcla de producto, 43-44 problema de mezcla, 46-49 problema de programación, 49-51 . problema de transporte, 44-46 limitaciones de, 56-57 método algebraico, 91-93 múltiples objetivos en, 155-161 soluciones gráficas a problemas, 75-79 soluciones óptimas alternas en, 78 soluciones por computador a problemas, 93-99, 103-109 YLINDO (Linear Interactive Discrete OptimizerOptimizador lineal discreto interactivo), 97, 107-109 Yprogramación de meta, 158-159 Programación no lineal, limitaciones de, 154-155 Programación de citas médicas, 370 de flotillas de aerolíneas, 136 de la fuerza laboral, 138 en sistemas de procesamiento, 397 modulación de, 49-51 Promedios móviles, 463-466 Pronósticos, 463-492 de nuevo producto, 484-487 estimación de tendencia no lineal, 489,492 medición de error en, 487-488

métodos de series de tiempo, 463-478

modelos de regresión, 478-484 en hoja de cálculo, 466-469, 489-492 modelos de regresión lineal simple, 478-481 modelos de regresión múltiple, 482-484 precauciones de, 485 regresión por mínimos cuadrados, 479n necesidades de la fuerza laboral, 138,462 suavizamiento exponencial, 466478 agregar tendencias lineales en, 470-473 factores estacionales en, 473476 iniciación del modelo, 476-477 modelo biecuacional con tendencia lineal, 472 promedios móviles, 463-466 valores de las constantes de suavizamiento, 477-478 Punto factible, 76-79 Punto óptimo de pedido y tamaño del pedido, determinar, 357-359 enfoque marginal para, 337-341

Quatro. Ver Hojas de cálculo Quilinan, 1. D., 136n

Razón crítica, 352-353 Recocido simulado, 152 Región factible, 77-79 Remplazo de las losetas del transbordador espacial, 186 Restricciones, 10 análisis de sensibilidad de, 87 en problemas de programación lineal,43-53 enlace, 50 precio sombra no negativas, 82 sin negatividad, 82 teoría de, 83 y/o, 140-141 Retroalimentación en estimados, 308 Revisión de probabilidades, 197-200, 254 Riesgo análisis de, 408-410 aversión al, 241, 306 en análisis de decisión, 294-297 Monte Cario, 423-428 perfiles de, 293 premio del, 304-305 Riesgos, en la toma de decisiones,

240-241 Robicheck, A. A., 69n

índice

Rolle, C. E 288n Russo, l, 308n Ruta crítica, 441-444 encontrar una, 441-443 y holgada, 443-444

SAD. Ver Sistema de apoyo de decisión Salop, So c., 230n Sasieni, Mo 449n Savage, Sam L., 94n Scheff, Ro P, Jr., 136n Schlaifer, Ro, 501n, 502n Schoemaker, Po, 308n, 310n Schrage, Linus, 97n, 107n, 151n Selectividad en estimados, 308, 309 Simetría de resultados, 187 Simplificación de problemas, 4-5 Simulación probabilística, 402-405 dígitos aleatorios, 403 Simulación, 400-428 . computadores en, 405-406 de distribución continua de probabilidad, 412-413 de la producción de nueces de pistacho en Paramount Farm, 400 de operaciones en el puerto de Singapur, 400 de requerimientos de mano de obra, en Taco Bell, 400 de sistemas complejosz 413-415 método gráfico, 412-413 Monte CarIo, 401, 402, 405, 408, 412 en hojas de cálculo para computador, 417-428 periodo de iniciación en, 405 probabilística, 402-405 y control de inventario, 406408 Singapur, simulación de operaciones en el puerto de, 400 Sinha,40 Sistema de apoyo de decisiones (SAD),8 Sistemas de pérdida frente al sistema de filas, 374, 385-387 fórmula de pérdida de Erlang, 386n sistemas de pérdida M/G/c, 385387 Sistemas de procesamiento, 371, 390391 ejemplo, 372-374 experiencia y, 373-374 prioridades en, 387 programación en, 387 Smullyan, Raymond, 229n Soluciones, 5

w.,

alternas, 102 enteros, 137 factibles básicas, 92-93, 102 óptimas, 93 utilizando análisis matemático, 150 Solver (paquete de optimización de hoja de cálculo por computador). Véase también Hojas de cálculo, 94-101 Excel,103-107 Suavizamiento exponencial, 466-478 agregar tendencia lineal a, 470-473 hojas de cálculo en, 466-469, 489492 razón para el nombre de, 469-470 y factores estacionales, 473-476 Subramanian, R., 136n Swain, James l, 405n

Tabla de distribuciones binomiales acumuladas, 502-524 Taco Bell, simulación de requerimientos de mano de obra, 400 Tanga, R., 136n Tata lron and Steeel Company, modelo de programación lineal en,40,55 Taylor P E, 370n Teichroew, D., 69n Tendencias lineales en pronóstico, 470-473 Teorema de Bayes, 198 Teoría de las colas, 371-393 agrupamiento de eficiencias en colas, 383-385, 390-391 cantidad de servidores, 375 comportamiento de sistemas de colas, 380-382 disciplina, 375 distribución de Poisson, 376, 391392 distribución exponencial, 376, 392-393 distribuciones de Markov, 376, 391-393 experiencia y, 373-374 fórmula de Little, 378n fórmula de pérdida de Erlang, 386n intuición y, 379, 391 limitaciones de, 402 llegadas, 374, 381-382 medidas del desempeño, 375 modelo de Pollaczek-Khintchine, 377n modelo de servidor múltiple (G/G/c),382-383 (M/M/c),381-382 modelo de servidor único, 374,

529

380-382 (G/G/1) 381 (M/D/1), 380, 382 (M/G/1), 377-379, 380 (M/M/1), 380, 381 necesidad de capacidad en exceso, 381, 390 notación en, 375-377 prioridades en sistemas de procesamiento, 387 programación en sistemas de procesamiento, 387 redes, 374, 388-390 servicios, 374, 381-382 simulación del sistema, 404 sistemas de pérdida, 374, 382-387 sistemas de pérdida M/G/c, 385-387 utilización de la capacidad, 377, 378 Teoría de utilidad efecto portafolio, 309 limitaciones de, 309-310 paradoja de Allais, 309-310 Thomas, L. J., 445n Toma de decisiones abstracción y simplificación en, 4-5 bajo incertidumbre, 235-286 clasificación de modelos en, 7-8 construcción de modelos en, 5-6 fuentes de error en el uso de modelos para, 5 riesgo en, 240-241 soluciones en, 5 utilidad como base para, 297-302 Transporte, formulación del problema de, 44-46 Tversky, A., 308n

Utilidad esperada con predicciones perfectas, 241-242 Utilidad esperada, 290 Utilidad marginal del dinero, 298 Utilidad, árboles de decisión en el análisis de, 303-304

Valor condicional, 235-237, 240 Valor del dinero en el tiempo, 25 Valor del lado derecho de la ecuación, 80-82 rangos, 84-86 versus rango de coeficiente objetivo, 89 Valor esperado de información perfecta (VElP), 242-243 de variable aleatoria, 204-205 Valor monetario esperado (VME),

234,237-238,239

530

Análisis cuantitativo

como criterio de decisión, 290 en árboles de decisión, 245, 250251 Valor presente del dinero, 25 Valor condicional, 235-236, 240 de información de estudio, 262 de información imperfecta, 254256, 261 de variable aleatoria, 200-201 marginal, 80-84 Variable normal estandarizada, 220 Variables aleatorias, 200-205 generación algebraica de, 413 generación de, 412 generación por computador de, 413

sumas de, 209-212 valor esperado de, 204-205 varianza y variación estándar de, 205-206 Variables aleatoria, 200-201, 204-212, 412416 binaria, 139 cero/uno, 139 crítica; 5 de decisión, 9 diagrama de influencia de, 13 exógena,10 externa, 92 ficticias, 91 intermedias, 10 normal estandarizada, 220

relaciones entre, 10-11 relaciones financieras entre, 1415 relaciones físicas entre, 13-14 solución básica, 92 Varianza de variable aleatoria, 205208 van Neumann, 1. 297n Vos Savant, Marilyn, 198-200

Wang Qiwen, 71n Waren, A., 151n Wasil, Edward, 71n What's Best (programa de computador incorporado), 94 Wiper, D.S., 136n

ANÁLISIS

CU

~TIVO PW LOS NEGOCIOS NOVENA EDICiÓN

D

esde su primera edición en 1961, este texto ha sido pionero en la aplicación del análisis cuantitativo para los negocios, la administración y la gerencia, y ha intentado cerrar la brecha entre los métodos analíticos desarrollados recientemente y

los cursos de negocios aplicados. La obra se estructura en "hojas de cálculo amigable" y se trabaja con Excel- por lo que se incluyen apéndices con detalles sobre el uso de este programa en simulación y solución de problemas de programación lineal, utilizando Solver-o Cada capítulo describe una aplicación reciente de las técnicas presentadas en el libro que, con frecuencia, implican ahorros de millones de pesos para las empresas involucradas. Su probabilidad de éxito será mayor, si utiliza estos métodos...Consúltelo.

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