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Formato Integración de funciones trigonométricas Datos del estudiante

Nombre:

Jhonatan Álvarez Vargas

Matrícula:

16002177

Nombre de la Evidencia Integración de funciones trigonométricas de Aprendizaje: Fecha de entrega:

14-Febrero-2017

Nombre del Módulo:

Calculo Integral

Nombre del asesor:

José Reynaldo Delgado Mendoza

Para realizar esta Evidencia de Aprendizaje es necesario que hayas comprendido los contenidos que se te presentaron en la Unidad 1.

Instrucciones: 1. Obtén la integral de las siguientes funciones trigonométricas.

Función 1

∫ se n2 ( x ) dx Usar la siguiente identidad:

¿∫

sen 2 ( x )=

1−cos ⁡( 2 x) 2

1−cos ⁡( 2 x ) dx 2

Sacar la constante:

∫ a ∙ f ( x ) dx=a ∙∫ f ( x ) dx

© UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

1 ¿ ∙∫ 1−cos ( 2 x ) dx 2

Aplicar la regla de la suma:

¿

∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx

1 ( 1 dx−∫ cos ( 2 x ) dx ) 2 ∫

∫ 1 dx Integral de una constante:

∫ adx=ax

¿ 1∙ x Simplificando

¿x

∫ cos ( 2 x ) dx Aplicar integración por sustitución:

∫

∫ f ( g ( x ) ) ∙ g ( x ) dx=∫ f ( u ) du , u=g (x)

cos ( u ) du 2

Sacar la constante

∫ a ∙ f ( x ) dx=a ∙∫ f ( x ) dx

1 ¿ ∙∫ cos ( u ) du 2

Aplicar la regla de integración

∫ cos ( u ) du=sen(u)

1 ¿ sen (u) 2 Sustituir en la ecuación

u=2 x

© UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

1 ¿ sen (2 x ) 2

¿

1 1 x− sen ( 2 x ) 2 2

(

)

Agregando constante a la solución

¿

1 1 x− sen ( 2 x ) + C 2 2

(

)

Función 2

∫ cos 2 (3 x)dx Usar la siguiente identidad:

¿∫

cos 2 ( x )=

1+ cos ( 2 x ) 2

1+cos ⁡( 2 ∙ 3 x ) dx 2

Sacar la constante:

∫ a ∙ f ( x ) dx=a ∙∫ f ( x ) dx

1 ¿ ∙∫ 1+cos ( 2 ∙ 3 x ) dx 2

Aplicar la regla de la suma:

¿

∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx

1 ( 1 dx+∫ cos ⁡(2∙ 3 x) dx ) 2 ∫

∫ 1 dx

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Integral de una constante:

∫ adx=ax

¿ 1∙ x Simplificando

¿x

∫ cos ⁡(2 ∙ 3 x ) dx Aplicar integración por sustitución: Sustituir:

∫ f ( g ( x ) ) ∙ g ( x ) dx=∫ f ( u ) du , u=g (x)

u=2 ∙ 3 x

d ( 2∙ 3 x ) dx Sacar la constante

¿ 2∙ 3

( a ∙ f )' =a ∙ f '

d (x ) dx

Aplicar la regla de derivación

d ( x ) =1 dx

¿ 2∙ 3 ∙1 Simplificando

¿6 ⟹ du=6 dx

1 ⟹ dx= du 6

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1 ¿∫ cos ( u ) du 6 ¿∫

cos (u ) du 6

Sacar la constante:

∫ a ∙ f ( x ) dx=a ∙∫ f ( x ) dx

1 ¿ ∙∫ cos ( u ) du 6

Aplicar la regla de integración

∫ cos ( u ) du=sen(u)

1 ¿ sen (u ) 6 Sustituir en la ecuación

u=2 ∙ 3 x

1 ¿ sen ( 2∙ 3 x ) 6 Simplificando

1 ¿ sen ( 6 x ) 6

¿

1 1 x + sen ( 6 x ) 2 6

(

)

Agregando constante a la solución

¿

1 1 x + sen ( 6 x ) +C 2 6

(

)

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Función 3

∫ sen3 (x )dx Aplicando la siguiente propiedad algebraica:

a

x =x

a−1

∙x

sen 3 ( x )=sen2 ( x ) sen(x ) 2

¿∫ sen ( x ) sen ( x ) dx Usar la siguiente identidad:

2 2 sen ( x )=1−cos (x )

¿∫ ( 1−cos 2 ( x ) ) sen ( x ) dx Aplicar integración por sustitución:

∫ f ( g ( x ) ) ∙ g ( x ) dx=∫ f ( u ) du , u=g (x)

u=cos ⁡( x)

Sustituir:

d ( cos ( x ) ) dx

Aplicar la regla de derivación:

d ( cos ⁡( x)) =−sen(x ) dx

¿−sen ( x ) ⟹ du=−sen ( x ) dx ⟹ dx=

−1 du sen ( x)

¿∫ ( 1−u2 ) sen(x )

−1 du ( sen(x ))

2

¿∫ u −1 du

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Aplicar la regla de la suma:

∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx

¿∫ u2 du−∫ 1 du

∫ u2 du a+1

Aplicar la regla de la potencia:

¿

x , a ≠−1 ∫ x a dx= a+1

u2+1 2+1

Simplificar

¿

u3 3

∫ 1 du Integral de una constante:

∫ adx=ax

¿ 1∙ u Simplificar

¿u 3

¿

u −u 3

Sustituir en la ecuación

¿

( cos ( x )) 3 3

u=cos ( x )

−cos ( x )

Simplificando © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.

3

¿

cos (x) −cos ( x ) 3

Agregando constante a la solución 3

cos (x) ¿ −cos ( x ) +C 3

Función 4

∫ sec4 (2 x)dx Aplicar integración por sustitución: Sustituir:

∫ f ( g ( x ) ) ∙ g ( x ) dx=∫ f ( u ) du , u=g (x)

u=2 x

d (2 x ) dx Sacar la constante

¿2

( a ∙ f )' =a ∙ f '

d ( x) dx

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Aplicar la regla de derivación

d ( x ) =1 dx

¿ 2∙ 1 Simplificando

¿2 ⟹ du=2 dx

1 ⟹ dx= du 2 1 ¿∫ sec 4 ( u ) du 2 1 ¿∫ sec 4 ( u ) du 2

Sacar la constante:

∫ a ∙ f ( x ) dx=a ∙∫ f ( x ) dx

1 ¿ ∙∫ sec 4 ( u ) du 2 Aplicar la reducción de integrales:

∫ sec ( x ) dx= n

sec

n−1

3 ( x ) sen(x) n−2 sec ( u ) sen(u) 2 n−2 4 2 + sec ( x ) dx sec ( u ) du= + ∫ sec ( u ) du ∫ ∫ n−1 n−1 3 3

3 1 sec ( u ) sen ( u ) 2 ¿ + ∙∫ sec 2 ( u ) du 2 3 3

(

Aplicar la regla de integración:

)

∫ sec 2 ( u ) du=tan ( u )

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3 1 sec ( 2 x ) sen (2 x) 2 ¿ + tan ⁡( 2 x ) 2 3 3

(

)

Simplificar

¿

1 2 1 tan (2 x ) + tan ⁡( 2 x)sec 2 (2 x) 2 3 3

(

)

Agregando constante a la solución

¿

1 2 1 tan (2 x ) + tan ⁡(2 x)sec 2 (2 x) + C 2 3 3

(

)

© UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.