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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN DE AREQUIPA FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS ESC. PROFESIONAL DE INGENIERIA DE INDUSTRIAS ALIMENTARIAS

ASIGNATURA: METODOS NUMERICOS TEMA: ERRORES EN METODOS NUMERICOS

DOCENTE: Dr BIDDER CALAPUJA SAMBRANO

HP

INTEGRANTES: VARGAS AGROTA DAHANA CAROLINA (20153502) HUAMANI SANTOS FLAVIO CESAR (20150865)

2019 AREQUIPA – PERÚ

INDICE INTRODUCCIÓN...........................................................................................................2 I.

OBJETIVOS.............................................................................................................3

II.

MARCO TEÓRICO.............................................................................................3

1.

MÉTODOS NUMÉRICOS..................................................................................3

2.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS...............................................................................4

3.

APROXIMACIÓN

NUMÉRICA

Y

TEORÍA

DE

ERRORES………………………………………………..7 3.1.

Errores inherente..............................................................................................5

3.2.

Errores de truncamiento..................................................................................6

3.3.

Errores de redondeo.........................................................................................7

4. 4.1.

TEORÍA DE LOS ERRORES............................................................................8 Tipos de errores..............................................................................................10

CAPITULO I.................................................................................................................13 1.

METODO DE LA BISECCIÓN.......................................................................14

2.

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN............................................................16

3.

MÉTODO DE PUNTO FIJO............................................................................20

4.

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON.............................................................27

5.

MÉTODO DE LA SECANTE...........................................................................32

CAPITULO II................................................................................................................37 ERRORES EN SISTEMAS DE ECUACIONES........................................................37 CAPITULO III..............................................................................................................39 INTERPOLACIÓN.......................................................................................................39 INTRODUCCIÓN.........................................................................................................39 CAPITULO IV...............................................................................................................42 DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN…………………………………………………………………….. ………………. 44 CAPÍTULO V………………………………………………………………………………………… …………………….…53

0

ERRORES EN ECUACIONES DIFERENCIALES…………………………………………………………………. 53 CONCLUSIONES……………………………………………………………………… ……………………………………63 BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………… ……………………………………...63 ANEXOS………………………………………………………………………………… …………………………………….65

INTRODUCCIÓN

Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nos encontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico. En el campo de la ingeniería y ciencias, existen infinidad de fenómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos. Desafortunadamente, la gran mayoría de estos modelos no tiene una solución exacta ó no es fácil el hallarla. Es estos casos es en donde los métodos numéricos proporcionan una solución aproximada al problema original. Un método numérico es aquel que obtiene números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema. La eficiencia en el cálculo de la solución numérica depende de: 

La facilidad de implementación del algoritmo



De las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores).

1



Solo un subconjunto relativamente pequeño del sistema de los números reales se usa para representar todos los números reales.



Este contiene solo números racionales, positivos y negativos.

En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores.

I.OBJETIVOS -

Determinar los errores al resolver problemas con métodos numéricos existentes.

-

Desarrollar ejercicios y resolverlos mediante los métodos numéricos, como también saber su teoría y utilidad

-

Reconocer la diferencia entre cada método y conocer su utilidad

-

Encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando las operaciones más simples de la aritmética.

II.

MARCO TEÓRICO 1. MÉTODOS NUMÉRICOS Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales,

2

cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. Un método numérico constituye un método aproximado a la resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez, puede representar una modelización matemática de un problema físico o del mundo real (PF). La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de cálculo se introducen errores llamados de redondeo. Ejemplo 1. π=3.141592653 … ( irracional ) ¿ ( 0.3141592653 )∗10 1 ( forma decimal normalizada ) Entonces: f ( π )=

( 0.31415 )∗101 ,cortado ( 0.31416 )∗101 , redondeando

{

2. CIFRAS SIGNIFICATIVAS El concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos que se puede usar con plena confianza. Por ejemplo podemos calcular un número irracional con varias cifras, pero de

3

ellas no todas, sobre todo las últimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas. Por otro lado, los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar al punto decimal. Por ejemplo los siguientes números tienen todos 4 cifras significativas: 0.00001985, 0.0001985, 0.001985, 1985, 19.85.1 Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa, es común emplear la notación científica. Por ejemplo los siguientes

números

tienen

3,

4

y

5

cifras

significativas:

453 × 10−5 , 4.530 ×10−5 y 45300 ×10−5 . También se suele poner explícitamente los ceros. Los siguientes números tienen 5 cifras significativas: 19850, 0.019850, 19.850 3. APROXIMACIÓN NUMÉRICA Y TEORÍA DE ERRORES Debemos conformarnos siempre, en la práctica de la ingeniería y de las ciencias, con una solución aproximada a un problema por las siguientes razones:  Los modelos matemáticos son aproximados; esto es; simplificaciones al problema real. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenómeno. Por ejemplo, en el caso del tiro parabólico, se suele despreciar la resistencia del aire, sin embargo, esta puede ser importante.  Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición. Por ejemplo, la constante de los gases ideales. También pueden provenir de cálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto del método como del instrumento de cálculo que se utilicen. Por ejemplo π.

4

 Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente. Por ejemplo, una ecuación de quinto grado. Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrán presentes errores, estos pueden clasificarse en: Errores inherentes. Errores de truncamiento. Errores de redondeo. 3.1.

Errores inherentes: Los errores inherentes son aquellos que tienen los datos de entrada de un problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debiéndose tanto al instrumento de medición, como a las condiciones de realización del experimento. Por ejemplo, sí el experimento es a temperatura constante y no se logra esto más que en forma aproximada. También pueden deberse a que se obtengan de cálculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un número irracional como π ó √ 2. Por ejemplo, cuando se dice que el tirante de agua de una presa es de 123 m, habiendo hecho la medición mediante un dispositivo que ofrece una precisión de tres cifras significativas, el tirante de agua realmente puede fluctuar entre 122.5 y 123.5 m. X¿ X ¿ =123 El error inherente absoluto máximo que se puede llegar a cometer cumple con la desigualdad: Emax ≤ 0.5 m;

5

y el correspondiente error inherente relativo máximo cumple con la desigualdad: Emax ≤

0.5 =0.00408 122.5

El error inherente absoluto medio que se puede cometer cumple con la desigualdad: Emed ≤0.25 m ; y el correspondiente error inherente relativo medio cumple con la desigualdad: Emed ≤0.00204 emed  0.00204.

3.2. Errores de truncamiento: Los errores de truncamiento se originan por el hecho de aproximar la solución analítica de un problema, por medio de un método numérico. Por ejemplo al evaluar la función exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita: e x =1+ x +

∞

x2 x3 xn + +…−∑ 2! 3 ! x=0 n !

Ante la imposibilidad de tomar todos los términos de la serie, se requiere truncar después de cierto número de términos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado. 3.3. Errores de redondeo: Los errores de redondeo, se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando.

6

Por ejemplo al calcular el valor de

1 , tenemos que quedarnos solo con la 3

mayor cantidad de cifras 3, que maneje nuestro instrumento de cálculo. Los errores de redondeo se producen al realizar operaciones aritméticas en las que el resultado produce una mantisa cuyo número de dígitos difiere significativamente del número de dígitos de la mantisa de alguno de los valores numéricos involucrados en la operación. Al manejar un determinado número de cifras significativas en los cálculos, el resultado tiene que ser redondeado de alguna manera, sobrestimando o subestimando el valor resultante verdadero. Sea X el resultado de una operación aritmética, el cual puede ser expresado mediante notación matemática, en forma normalizada: F × 10n, donde F está formada por m cifras obtenidas en el resultado, de las cuales, n son enteras. Este valor se puede descomponer en dos sumandos, igualmente normalizados: el primero formado por t cifras significativas, las t primeras cifras del resultado después del punto decimal: f × 10n, y el segundo formado por las (m-t) cifras no significativas del resultado, g x 10n−t : X =F ×10 n=f × 10n+ g x 10n−t En virtud de que F, f y g son números normalizados, su valor absoluto puede tomar algún valor dentro del intervalo semi-abierto [0.1, 1). F está formado por m dígitos, f está formada por t dígitos y g está formada por (m-t) dígitos. 0.1 ≤|F|