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• Allison Arancibia

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Universidad Tecnológica de Chile SEDE CALAMA

Esfuerzos Combinados y Círculo de Mohr APUNTES Y EJERCICIOS

Guía de Apuntes y Ejercicios ESFUERZOS COMBINADOS Se estudiaron individualmente las Cargas de Tracción Compresión, las Cargas de Corte, las Cargas de Torsión y las Cargas de Flexión. Ahora se estudiarán la combinación de las anteriores cargas. Se analizarán los esfuerzos y las se deformaciones que presentan las piezas sometidas a cargas combinadas.

Ejemplos de elementos sometidos a cargas y esfuerzos combinados son: Los ejes y árboles de máquinas con movimiento, que soportan cargas de flexión y de torsión; los pernos que en el momento de su ajuste soportan cargas de torsión y de tracción; las cargas de tracción cuando estas no están aplicadas en el centro de gravedad de la sección transversal y los marcos rígidos. Para la validez de las ecuaciones y resultados se asumen las siguientes condiciones: 1. Los elementos son rectos 2. Los elementos tienen secciones transversales uniformes 3. Los materiales son homogéneos 4. En los miembros sometidos a compresión no se produce pandeo. COMBINACIÓN DE ESFUERZOS: Un elemento diferencial sometido a la acción de esfuerzos combinados, presentara en cada una de sus caras simultáneamente esfuerzos normales (𝜎) y esfuerzos cortantes (𝜏).

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Guía de Apuntes y Ejercicios Esfuerzos en un Plano Inclinado: Metodología Análisis: 1. Se elige un punto en la estructura para determinar los esfuerzos y las deformaciones unitarias (por lo general se escoge un punto en una sección transversal, donde los esfuerzos son grandes). 2. Para cada carga sobre la estructura se determinan las resultantes de los esfuerzos en la sección transversal que contenga el punto seleccionado (las posibles resultantes de esfuerzos son una fuerza axial, un momento de torsión, un momento flector y una fuerza cortante). 3. Se calculan los esfuerzos normal y cortante en el punto seleccionado debidos a cada una de las resultantes de esfuerzos. 4. Los esfuerzos individuales se combinan para obtener los esfuerzos resultantes en el punto seleccionado. En otras palabras, se obtienen los esfuerzos 𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 y 𝜏𝑥𝑦 que actúan sobre un elemento de esfuerzo en un punto.

5. Cuando el estado plano de tensiones inicial es girado un ángulo 𝜃 respecto al eje 𝑥, las tensiones normal y cortante en ese plano se representan por 𝜎𝑛 y 𝜏𝑛 .  Esfuerzo Normal: 𝜎𝑛 =

(𝜎𝑥+𝜎𝑦 )

 Esfuerzo Cortante: 𝜏𝑛 =

2

−

(𝜎𝑥 −𝜎𝑦 )

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2

(𝜎𝑥−𝜎𝑦 ) 2

𝑐𝑜𝑠 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝜃

𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2𝜃

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6. Los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto seleccionado se determinan usando las ecuaciones transformación de esfuerzos o el círculo de Mohr. Si es necesario, se encuentran los esfuerzos que actúan sobre los otros planos inclinados. En estas direcciones principales y en aquellas en las que los esfuerzos cortantes son máximos la falla es la más probable. a) Esfuerzo Principal Máximo 𝝈𝟏 : 𝝈𝒎𝒂𝒙 = b) Esfuerzo Principal Mínimo 𝝈𝟐 : 𝝈𝒎𝒊𝒏 =

(𝝈𝒙 +𝝈𝒚 ) 𝟐

(𝝈𝒙 +𝝈𝒚 )

c) Esfuerzo Cortante Máximo: 𝝉𝒎𝒂𝒙 = √(

𝟐

+ √(

− √(

𝝈𝒙 −𝝈𝒚 𝟐

) + 𝝉𝒙𝒚 𝟐

𝟐

𝝈𝒙 −𝝈𝒚 𝟐

) + 𝝉𝒙𝒚 𝟐

𝟐

𝝈𝒙 −𝝈𝒚 𝟐

d) Esfuerzo Cortante Mínimo: 𝝉𝒎𝒂𝒙 = −√(

) + 𝝉𝒙𝒚 𝟐

𝟐

𝝈𝒙 −𝝈𝒚 𝟐 𝟐

) + 𝝉𝒙𝒚 𝟐

7. Los esfuerzos máximos de corte y normales tienen direcciones que los representan: e) Dirección Esfuerzos Principales: 𝑻𝒂𝒏 (𝟐𝝋𝒑 ) = −

𝟐 𝝉𝒙𝒚 (𝝈𝒙 −𝝈𝒚 )

f) Dirección Esfuerzo Cortante Máximo: 𝑻𝒂𝒏 (𝟐𝝋𝒑 ) =

(𝝈𝒙 −𝝈𝒚 ) 𝟐 𝝉𝒙𝒚

Círculo de Mohr: El círculo de Mohr es la representación gráfica de las ecuaciones de transformación para el esfuerzo plano. Esta representación gráfica es de gran utilidad porque permite visualizar las relaciones entre los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos.

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Guía de Apuntes y Ejercicios Utilidad del Círculo de Mohr:  Calcular los esfuerzos principales  Calcular los esfuerzos de corte máximos  Calcular los esfuerzos en planos inclinados  Permite conocer los ángulos de orientación del elemento sometido a los esfuerzos principales y cortante máximo. Procedimiento para dibujar el Círculo de Mohr: 1. Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo como un elemento sometido a esfuerzos inicial como se muestra en la figura.

2. La combinación de 𝜎𝑥 y 𝜏𝑥𝑦 se marca como punto 1 en el plano 𝜎 − 𝜏. 3. La combinación de 𝜎𝑦 y 𝜏𝑦𝑥 se marca como punto 2, observe que 𝜏𝑥𝑦 y 𝜏𝑦𝑥 siempre actúan en direcciones opuestas. Por consiguiente, un punto se marcará arriba del eje 𝜎 y el otro por debajo. 4. Trace una línea recta entre los puntos. 5. Esta línea cruza el eje 𝜎 en el centro del círculo de Mohr, el cual también es el valor del esfuerzo normal promedio aplicado al elemento sometido a esfuerzo inicial. La localización del centro se puede observar con los datos observados para trazar los puntos o se pueden calcular con la ecuación 𝝈𝑷𝒓𝒐𝒎 =

(𝝈𝒙 +𝝈𝒚 ) 𝟐

.

6. Identifique la línea que pasa por 𝑶 y pasa por el punto 𝟏 (𝝈𝒙 , 𝝉𝒙𝒚 ) como eje 𝒙. Esta línea corresponde al eje 𝒙 original y es esencial que se correlacionen los datos del círculo de Mohr con las direcciones originales 𝒙 e 𝒚. 7. Los puntos 𝑶 , 𝝈𝒙 y el punto 𝟏 forman un importante triángulo rectángulo porque las distancias de 𝑶 al punto 𝟏, la hipotenusa del triángulo, es igual al

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Guía de Apuntes y Ejercicios radio del círculo, 𝑹. La longitud del radio del círculo de Mohr es igual a la magnitud del esfuerzo cortante máximo.

8. Dibuje el círculo completo con el centro 𝑶 y radio 𝑹. 9. Trace el diámetro vertical del círculo. El punto en la parte superior del círculo tiene coordenadas (𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎 , 𝝉𝒎𝒂𝒙 ), donde el esfuerzo cortante tiene la dirección horaria. El punto en la parte inferior del círculo representa (𝝈𝒑𝒓𝒐𝒎 , 𝝉𝒎𝒂𝒙 ), donde el esfuerzo tiene la dirección antihoraria. 10.Identifique los puntos en el eje 𝝈 en los extremos del diámetro horizontal como 𝝈𝟏 a la derecha (el esfuerzo principal máximo) y 𝝈𝟐 a la izquierda (el esfuerzo principal mínimo). Observe que el esfuerzo cortante en esos puntos es 𝒄𝒆𝒓𝒐. 11.Calcule los valores de 𝝈𝟏 y 𝝈𝟐 con:  𝝈𝟏 = 𝑶 + 𝑹  𝝈𝟐 = 𝑶 − 𝑹 Nota: Un concepto importante a recordar es que los ángulos obtenidos con el círculo de Mohr son el doble de los ángulos reales.

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12.La orientación del elemento sometido a esfuerzos principales se determina calculando el ángulo del eje 𝒙 al eje 𝝈𝟏 , designado como 𝟐𝝋 𝟐𝝋 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈

𝟐 𝝉𝒙𝒚 (𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 )

13.Dibuje el elemento sometido a esfuerzo principal en su orientación adecuada determinada con el paso 12 con los dos esfuerzos principales 𝝈𝟏 y 𝝈𝒚

14.La orientación del elemento sometido a esfuerzos cortantes máximos se determina calculando el ángulo del eje 𝒙 al eje 𝝉𝒎𝒂𝒙 , designado como 𝟐𝝋′ 𝟐𝝋 = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒈

(𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 ) 𝟐 𝝉𝒙𝒚

15.Dibuje el elemento sometido a esfuerzo cortantes máximos y esfuerzos promedios. como se muestra a continuación.

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Ejemplo: Un elemento plano de un cuerpo está sometido a las tensiones que indica la figura. Se pide determinar: a) Esfuerzos principales y su dirección b) Esfuerzos máximos de corte y su dirección c) Tensiones en un plano inclinado 30° con respecto al eje x d) Dibujar el círculo de Morh Solución: Identificar las tensiones:  𝝈𝒙 = 𝟖𝟒𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐, 𝝈𝒚 = 𝟏𝟎𝟓𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 , 𝝉𝒙𝒚 = 𝟓𝟔𝟎 𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 a) Esfuerzo Principal Máximo: 𝝈𝒎𝒂𝒙 =

(𝝈𝒙 +𝝈𝒚 ) 𝟐

+ √(

𝝈𝒙 −𝝈𝒚 𝟐 𝟐

) + 𝝉𝒙𝒚 𝟐 =

(𝟖𝟒𝟎+𝟏𝟎𝟓𝟎) 𝟐

+ √(

𝟖𝟒𝟎−𝟏𝟎𝟓𝟎 𝟐 ) 𝟐

+ 𝟓𝟔𝟎𝟐 = 𝟏. 𝟓𝟏𝟒, 𝟕𝟔𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

Esfuerzo Principal Mínimo: 𝝈𝒎𝒊𝒏 =

(𝝈𝒙 +𝝈𝒚 ) 𝟐

− √(

𝝈𝒙 −𝝈𝒚 𝟐 𝟐

) + 𝝉𝒙𝒚 𝟐 =

(𝟖𝟒𝟎+𝟏𝟎𝟓𝟎) 𝟐

− √(

𝟖𝟒𝟎−𝟏𝟎𝟓𝟎 𝟐 𝟐

) + 𝟓𝟔𝟎𝟐 = 𝟑𝟕𝟓. 𝟐𝟒𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐

Dirección Esfuerzos Principales: 𝑻𝒂𝒏 (𝟐𝝋𝒑 ) = −

𝟐 𝝉𝒙𝒚 (𝝈𝒙 −𝝈𝒚 )

𝟐 ∙𝟓𝟔𝟎

→ 𝑻𝒂𝒏 (𝟐𝝋𝒑 ) = − (𝟖𝟒𝟎−𝟏𝟎𝟓𝟎) = 𝟓. 𝟑𝟑𝟑 → 𝝋 =

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𝑨𝒓𝒕𝒈𝟓.𝟑𝟑𝟑 𝟐

= 𝟑𝟗, 𝟔𝟗°

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Guía de Apuntes y Ejercicios b) Esfuerzo Cortante Máximo: 𝝉𝒎𝒂𝒙 = √(

𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝟐 𝟖𝟒𝟎 − 𝟏𝟎𝟓𝟎 𝟐 ) + 𝝉𝒙𝒚 𝟐 = √( ) + 𝟓𝟔𝟎𝟐 = 𝟓𝟔𝟗, 𝟕𝟔𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝟐 𝟐

Esfuerzo Cortante Mínimo: 𝝉𝒎𝒊𝒏

= −√(

𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 𝟐 𝟖𝟒𝟎 − 𝟏𝟎𝟓𝟎 𝟐 𝟐 √ ) + 𝝉𝒙𝒚 = − ( ) + 𝟓𝟔𝟎𝟐 = −𝟓𝟔𝟗, 𝟕𝟔𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝟐 𝟐

Dirección Esfuerzo Cortante Máximo: 𝑻𝒂𝒏 (𝟐𝝋𝒄 ) =

(𝝈𝒙 −𝝈𝒚 ) 𝟐 𝝉𝒙𝒚

→ 𝑻𝒂𝒏 (𝟐𝝋𝒄 ) =

(𝟖𝟒𝟎−𝟏𝟎𝟓𝟎) 𝟐 ∙𝟓𝟔𝟎

= −𝟎, 𝟎𝟗𝟒 → 𝝋 =

𝑨𝒓𝒕𝒈(−𝟎,𝟎𝟗𝟒) 𝟐

= −𝟐, 𝟔𝟖°

c) Esfuerzo Normal en un plano inclinado 30°: 𝝈𝟑𝟎° =

(𝟖𝟒𝟎 + 𝟏𝟎𝟓𝟎) (𝟖𝟒𝟎 − 𝟏𝟎𝟓𝟎) − 𝒄𝒐𝒔 𝟐 ∙ 𝟑𝟎 + 𝟓𝟔𝟎 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 ∙ 𝟑𝟎 = 𝟏. 𝟒𝟖𝟐, 𝟒𝟕𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝟐 𝟐

Esfuerzo Cortante en un plano inclinado 30°: 𝝉𝟑𝟎° =

(𝟖𝟒𝟎 − 𝟏𝟎𝟓𝟎) 𝒔𝒆𝒏 𝟐 ∙ 𝟑𝟎 + 𝟓𝟔𝟎 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 ∙ 𝟑𝟎 = 𝟏𝟖𝟗, 𝟎𝟕𝒌𝒈/𝒄𝒎𝟐 𝟐

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Guía de Apuntes y Ejercicios d) Círculo de Mohr:

EJERCICIOS 1. En cierto punto de un sólido, los esfuerzos principales son 𝜎𝑥 = 80𝑀𝑃𝑎 y 𝜎𝑦 = −40𝑀𝑃𝑎. Determinar 𝜎 y 𝜏 en los planos cuyas normales forman un ángulo de 30° con el eje X. Muestre los resultados en un croquis de un elemento diferencial. 2. En la figura se dan los datos de cierto estado plano de esfuerzos. Determinar los esfuerzos normales

y

cortantes

en

(a)

los

planos

principales, (b) los planos de esfuerzo cortante máximo y (C) los planos cuyas normales forman ángulos de 36,8° con el eje X. Mostrar todos los resultados

gráficamente

sobre

elementos

diferenciales. 3. Dos piezas de madera de 50x100 mm de sección están ensambladas a lo largo de la junta AB como se indica en la figura. Calcular los esfuerzos normal y cortante sobre la superficie de ensamble si P=100 kN. Mostrar todos los resultados gráficamente sobre elementos diferenciales.

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Guía de Apuntes y Ejercicios 4. Una barra de pequeña longitud de sección circular de 50 mm de diámetro está hecha de un material cuyos esfuerzos admisibles son de 80 MN/m 2 a compresión y 30 MN/m2 a corte. Determinar la fuerza axial de compresión máxima que puede aplicarse. 5. Un pequeño bloque de dimensiones 50x30x10 mm está

sometido

a

unas

fuerzas

de

tracción

uniformemente distribuidas sobre sus caras, cuyas resultantes se indican en la figura. (a) Calcular las componentes del esfuerzo en la diagonal AB. (b) Calcular las componentes del esfuerzo en la diagonal si las fuerzas de 30 kN son de compresión. 6. Un depósito cilíndrico cerrado, construido con placa de 10 mm, se somete a una presión interior de 1400 kPa. Determinar el diámetro máximo que se le puede dar si el esfuerzo cortante admisible es de 30 MPa. Indicación: El esfuerzo circunferencial está dado por

𝑝𝐷 , 2𝑡

mientras que el longitudinal, por

𝑝𝐷 . 4𝑡

7. Para el estado de esfuerzo mostrado en la figura, determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo. Mostrar todos los resultados gráficamente sobre elementos diferenciales.

8. El estado de esfuerzo en un punto de un cuerpo se muestra en la figura. Calcular los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo. Mostrar todos los resultados gráficamente sobre elementos diferenciales.

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9. Para el estado de esfuerzo mostrado en la figura, calcular los esfuerzos normal y cortante en los planos cuyas normales están inclinadas a 60° con respecto a aje X. Mostrar

todos

los

resultados

gráficamente

sobre

elementos diferenciales.

10.Si un elemento está sujeto al estado de esfuerzo mostrado en la figura, calcular los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo. Calcular también las componentes del esfuerzo en planos cuyas normales están dirigidas a 45° con respecto al eje X. Mostrar todos los resultados gráficamente sobre elementos diferenciales.

11.Dado el elemento de la figura, calcular los valores de 𝜎𝑥 y 𝜎𝑦 , sabiendo que los esfuerzos principales son 20 MPa y -80 MPa. Mostrar todos los resultados gráficamente sobre elementos diferenciales.

12.Un tubo de diámetro externo de 150 mm está construido con placa de 10 mm de espesor. Está unido mediante una espiral de soldadura que forma un ángulo de 30° con el eje longitudinal. Determinar el máximo par que pueda aplicársele si el esfuerzo cortante a lo largo de la soldadura está limitado a 30 MN/m 2. 13.Un recipiente cerrado de forma cilíndrica tiene un diámetro exterior de 600 mm, está construido con placa de 10 mm de espesor y se encuentra sometido a una presión interna de 1400 kPa. Calcular los esfuerzos normal y cortante a lo largo de la espiral de soldadura utilizada para unirlo, si ésta forma un ángulo de 30° con el eje longitudinal.

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14.En un punto de un cuerpo, el estado de esfuerzo es el resultado de dos estados separados que se muestran en la figura (a) y (b). Calcular el estado de esfuerzo que resulta de la acción simultánea de esos dos estados. Indicación: Orientar el elemento de la figura (b) paralelamente al de la figura (a), calculando el estado de esfuerzo en esta nueva orientación, para poder superponer ambos. En seguida, calcular los esfuerzos y determinar los planos principales de esfuerzo.

15.El estado de esfuerzo en un punto es el resultado de la acción conjunta de los tres estados que se muestran en la figura. Calcular los esfuerzos principales, así como su orientación, a partir del estado de esfuerzo resultante.

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