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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE RÍOS FACULTAD DE INGENIERÍA

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

MATERIAL DE ESTUDIO

Elaborado por: María M. Colombo Ricardo Claucich Liliana Giménez Néstor Jacob Aníbal Sattler Marino Schneeberger

AÑO 2014

UNER Facultad de Ingeniería _____________________________________________________________________________________

NÚMEROS COMPLEJOS En el conjunto de los números reales, las ecuaciones como x2 + 1 = 0 no tienen solución. Para hallar sus raíces hacemos x 2  1 y no existe ningún número real cuyo cuadrado sea igual a –1. Para dar significado a operaciones como la mencionada se crearon los números complejos como una extensión o ampliación del conjunto de los números reales. Esos números se definen de manera que el conjunto de los reales esté incluido en el nuevo conjunto. Definición: Un número complejo es un par ordenado de números reales. Notación: z = (a , b) Los números reales a y b son las componentes del complejo z. a es la primera componente o componente real. b es la segunda componente o componente imaginaria. Puede expresarse: a = Re z; b = Im z. Ejemplos: z1 = (–1, 3) ; z2 = (5 , 0) ; z3 = (0 , –2) ; z4 = (√2 , 6) Si la segunda componente es cero, el complejo es un número real; si la primera componente es cero, el complejo es un número “imaginario puro” o, simplemente, imaginario. (–3, 0) = –3, es un número real. (0, 1/3) es un número imaginario. En el conjunto

, el complejo nulo es el par (0, 0)

el complejo (1, 0) es la unidad real: (1 , 0) = 1 el complejo (0, 1) = i es la unidad imaginaria. La unidad imaginaria i es el complejo cuyo cuadrado es i 2   1 Por esta razón, i puede considerarse como raíz cuadrada de –1 y puede expresarse i  1 La resolución de la ecuación x 2 1  0, en el conjunto , puede justificarse:

x 2   1, x   1 , x1   i , x2  i Para resolver la ecuación x 2  9  0, hacemos x 2   9, x   9 , x1   3 i , x2  3 i Verificación:  3i    3 i 2  9  1   9 2

 3i    3 2

2

i  9  1   9

2 2

OPERACIONES Adición: Definición: La suma de dos números complejos es el complejo cuya componente real es la suma de las componentes reales y cuya componente imaginaria es la suma de las componentes imaginarias. (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d) Ejemplo: (-6 , 3) + (8 , -2) = (2 , 1)

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Multiplicación: Definición: El producto de dos números complejos es el complejo cuya componente real es la diferencia entre el producto de las componentes reales y el producto de las componentes imaginarias y la componente imaginaria es la suma entre los productos de la componente real de uno de los pares por la componente imaginaria del otro. (a , b) . (c , d) = (a.c – b.d , ad + b.c) Ejemplo: (3 , –2) . (4 , –1) = (3 . 4 – (–2)(–1) , 3 (–1) + (–2) . 4) = (12 – 2 , –3 – 8) = (10, –11) FORMA BINÓMICA DE UN COMPLEJO Dado z = (a , b), podemos escribir: (a , b) = (a , 0 ) + (0 , b) (1) El número imaginario (0 , b) puede expresarse como el producto (b , 0) (0 , 1): (b , 0) (0 , 1) = (b.0 – 0.1 , b.1 + 0.0) = ( 0 , b) ( 2) reemplazando (2) en (1):

(a , b) = (a , 0) + (b , 0) (0 , 1) (a , b) = a + b i

Ejemplo: (–3 , 4 ) = –3 + 4 i Suma y producto de dos complejos dados en forma binómica (a + bi) +(c + di) = (a+ c) + (b + d) i (a + bi). (c + di)= a c + a d i +b i c + b d i 2 = a c + a d i + b c i + b d (–1) = = a c + a d i + b c i – b d = (a c – b d) + (a d + b c) i Diferencia: La diferencia entre dos complejos es el complejo que se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i Ejercicios resueltos: 1) (2 – 3 i) + (–4 – 3 i) = (2 – 4)+ (–3 –3)i = –2 – 6i 2) (–5 + i) (6 + 5 i) = –5. 6 – 5.5i + 6i + 5 i 2 = –30 – 25 i + 6i – 5 = –35 – 19 i 3) (3 – 5i) – (2 + 4 i) = (3 – 5i) + (–2 – 4i) = 1 – 9i 4)

1 4i 

2

 12  2.1.4i  42 i 2 1 8 i 16(1) 1 8i 16   15  8i

Observación: El conjunto de los números complejos, con las operaciones adición y multiplicación posee estructura de cuerpo conmutativo o abeliano. (También se dice que es un cuerpo conmutativo o abeliano). Ello se debe a que para la adición y para la multiplicación se cumplen las siguientes propiedades que se demuestran fácilmente, aplicando las propie______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 3

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dades de la adición y de la multiplicación en el conjunto de los reales, conjunto que también posee estructura de cuerpo. -

ley de cierre. asociativa. conmutativa. existencia de elemento neutro. existencia de elemento simétrico. distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

El elemento neutro para la adición es el complejo nulo (0, 0), para el producto es el (1, 0). Para la adición, el elemento simétrico u opuesto de un complejo (a , b) es (-a, -b) porque la suma de ambos es igual al neutro (0 , 0). Para la multiplicación, el simétrico o inverso multiplicativo, del (a, b) ≠ (0 , 0) debe ser el complejo que multiplicado por (a , b) dé por resultado el elemento neutro (1 , 0). El inverso de z se denota z-1. Es importante tener en cuenta que el conjunto es un cuerpo pero no es “ordenado” porque en él no cumplen los “axiomas de orden”, los cuales sí se cumplen en el conjunto de los números reales. Complejos conjugados. Definición: Dos números complejos son conjugados si tienen iguales sus componentes reales y opuestas sus componentes imaginarias. Notación: en forma de pares ordenados: z = (a , b) y z = (a , –b) en forma binómica: z = a + bi y z = a – bi Ejemplo:

z = (–1 , 3)

y

z = (–1 , –3)

en forma binómica: z = –1 + 3i y z = –1 – 3i Suma de dos complejos conjugados: z + z = (a + b i) + (a – b i) = 2 a (es un número real)

Producto de dos complejos conjugados:. z z = (a + b i) (a – b i)= a 2 – a b i + b i a–- b2 i 2  a 2  b2 (el resultado es un número real) Ejemplos: (–4 + 3 i) + (–4 – 3 i) = –8 (-4 + 3 i) . (-4 – 3 i) = (  4)2  32 16  9  25 Cociente de dos complejos. a) Dado el complejo z = 3 – 2 i, encuentre el recíproco (o inverso) en la forma binómica. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 4

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Solución: 1 1 El recíproco de z es z 1   z 3  2i Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de z para obtener en el

denominador un número real. z 1 

3 2i 3 2i 3 2i 3 2 1      i 3  2 i (3  2 i) (3  2 i) 9  4 13 13 13

b) Para dividir dos números complejos, se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor. Ejemplo: 5i (5  i) ( 2  5 i) 10  25 i  2 i  5 i 2 10  25 i  2 i  5 5  27 i 5 27       i 2  5 i (2  5 i) (2  5 i) 4  25 29 29 29 29 Potencias de la unidad imaginaria Potencias de exponentes enteros no – negativos. i0 = 1

i4 = i3 . i = –i . i = – (i2 ) = – (–1) = 1

i1 = i

i5 = i4 . i = 1 . i = i

i2 = –1

i6 = i5 . i = i . i = i2 = –1

i3 = i2 . i = –1 . i = –i

i7 = i6 . i = –1. i = –i ……………………………………………………..

Observamos que los cuatro resultados diferentes son 1 , i , –1 , –i , y que se van repitiendo en ese orden a partir del correspondiente al exponente cero. Esto justifica el procedimiento que simplifica el cálculo. Para calcular in dividimos n por cuatro. Llamemos n al dividendo, d al divisor, c al cociente y r al resto. Éste, el resto, puede ser 0 , 1 , 2 ó 3 (el resto debe ser menor que el divisor) El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente más el resto: n=4.c+r

Luego in = i4c+r = (i4)c . ir = 1c . ir = 1 . ir = ir

Regla: La potencia enésima de la unidad imaginaria i, con n entero mayor o igual que 4, es igual a i r siendo r el resto de la división de n por el número 4. Ejemplos:

i29 = i1 = i

i128 = i0 = 1

i31 = i3 = –i

Ejercicios: Demuestre que, para todo número positivo n, a) i 4 n  2  1

b) i 4 n  1  i

c ) i4 n  3   i

Potencias de exponentes enteros no – positivos i0 = 1

i-3 =

1 i

3



i

i  i 1 i 4

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1 i i  2  i i i 1 1 1 i-2 = 2   1 1 i Analice los resultados y extraiga conclusiones.

i-1 =

i-4 =

1

1  1 1 i 4

................................................

Ejercicios: Efectúe las siguientes operaciones.

1)

 1  2i     3  3 i   3   4 4 

2) (1 + 3 i) (–4 – 5 i) =

3) (–3 + i) (4 – 2 i) (–7 + 3 i) =

5)

 3  2i  :  6  4 i  2  5 3 

4) (–1 + 3 i) : (6 – 5 i) =

6) (–2 + 3 i)2 =

=

2 3  8)   i  3 2 

7) (2 – 3i)3 =

9) Demuestre que z 3 1, si z  

1 3  i 2 2

3

=

10) Encuentre las raíces cúbicas de z 1

Cómo encontramos las raíces de ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales que no tienen solución en el conjunto de los números reales. Sea

x2 + 1 = 0

;

x2 = –1 , las raíces son x1   i , x2  i

La ecuación de segundo grado a x2 + b x + c = 0, se resuelve mediante la fórmula

x=

b

b 2  4 ac

El radicando b2– 4ac es el discriminante de la ecuación.

2a Si el discriminante es mayor que cero, las dos raíces son reales y distintas; si es igual a cero, son reales e iguales y si es menor que cero, las raíces son números complejos conjugados.

Ejercicios: Resuelva las ecuaciones: 1) 3 x2 – 5 x + 6 = 0

2) 3 x2 + 9 = 0

3) 3 x2 – 4 x + 9 = 0

4) x4 + 3 x2 – 4 = 0

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Consideremos un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Llamaremos eje real al eje de abscisas y eje imaginario al de ordenadas. En ellos representaremos respectivamente las componentes reales y las imaginarias. El punto del plano de coordenadas a y b representa al complejo

z = (a , b). Ese punto z es el afijo del complejo. A cada número complejo

le corresponde un punto del plano y recíprocamente, a cada punto del plano, le corresponde un número complejo. Represente los complejos:

z1  4  2 i ; z2  6 i ; 1 4 z3   2 i ; z4   2 3

El punto z del plano que representa al complejo (a, b) queda también determinado por el vector oz . (figura 1). Las componentes de ese vector son respectivamente iguales a las del complejo que representa. A cada número complejo le corresponde un vector del plano y recíprocamente, a cada vector le corresponde un número complejo. Resumiendo, la representación gráfica de un número complejo puede efectuarse por medio de un punto del plano o por medio de un vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en el afijo del complejo.

Figura 2 Figura 1 Forma polar del complejo El vector oz que representa al complejo z = (a, b)  (0 , 0) queda perfectamente determinado si conocemos su longitud o módulo y el ángulo dirigido que forma con el semieje positivo ox . El módulo de z puede calcularse aplicando un corolario del teorema de Pitágoras:

z =

a2  b2

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El “argumento” del complejo, es el ángulo φ, o éste aumentado o disminuido en un número entero de giros. Argumento de z = φ + 2kπ , con k 

. Usualmente se toma φ comprendido entre 0 y

2 π . Conocidos z y φ queda determinado el vector oz y también el número complejo (a , b). La expresión z = z  se llama forma polar del complejo z.

Forma trigonométrica (Figura 2)

a , luego a = z cos φ. z b sen φ = , luego b = z sen φ z

z = (a , b)  (0,0) . Se tiene: cos φ =

Sea

Entonces: z = a + b i = z cos φ + i z sen φ z = z (cos φ + i sen φ) Ejemplo:

 2

Si z  2  2i se tiene: z 

tg 



2

 22  8  2 2 ;

b 2 3   1 ;   180º 45º  135º   a 2 4

z 2 2



3  4

, en forma polar.

3 3   z  2 2  cos   i sen   , también z  2 2  cos 135º i sen 135º  , en forma tri4 4  

gonométrica. Ejercicios 1) Exprese en las formas polar y trigonométrica: a) 2

b)  2

d)  2  2i

e) 

1 3  i 2 2

c) 3i f) 2 3  2i

2) Escriba en forma binómica: a) 3 cos 0º i sen 0º  5 5   d) 2  cos   i sen   4 4  

b) 2 cos 90º i sen 90º 

c) cos   i sen 

e) 4 cos 300º i sen 300º 

f) 6 cos150º i sen150º 

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Producto de complejos en forma trigonométrica Dado z1  z1 cos1  i sen 1  y z2  z2 cos  2  i sen  2  el producto será:

z1z2  z1 z2 cos1  i sen 1 cos2  i sen 2   z1 z2 cos1cos2  cos 1 i sen 2  i sen 1 cos 2  i sen 1 i sen 2 

 z1 z2 cos1cos2  sen 1 sen 2   icos 1 sen 2  sen 1 cos 2  z1z2  z1 z2 cos1  2   i sen1  2   El producto de dos complejos es el complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y cuyo argumento es la suma de los argumentos. Cociente de dos complejos en forma trigonométrica

1 cos   i sen   a) El recíproco de z  z cos  i sen   es z 1  z Demostración: El recíproco es z  1 

1

Como el coseno de 0 es igual a 1 y el seno de cero es igual z a cero, podemos sustituir el numerador por cos 0 + i sen 0 y multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

z 1  

cos 0  i sen 0 (cos 0  i sen 0) (cos   i sen  ) 1   = z (cos   i sen  ) z (cos   i sen  ) z (cos   i sen  ) (cos   i sen  )

cos 0cos   i cos 0sen   i sen 0cos   i 2sen 0sen 

, por ser cos 0 = 1 y sen 0 = 0

z (cos   sen  ) 2

Se obtiene

z 1 

2

1 cos   i sen   z

b) Demuestre que el cociente de dos complejos

z1  z1 cos1  i sen 1 

y

z1 z cos1   2   i sen1   2   z2  z2 cos 2  i sen  2  es 1  z2 z2 Ayuda: Multiplique z1 por el recíproco de z2 Potencia de un complejo – fórmula de De Moivre

Para todo entero positivo n es:  z cos   i sen    z n

n

cos n  i sen n  .

Demostración: por el método de inducción matemática. 1) Demostramos que es verdadera para n  2

 z  cos   i sen    z  cos   i sen   z  cos   i sen    2

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 z z cos      i sen      z  cos 2  i sen 2  2) Aceptamos que la fórmula es verdadera para n  k : 2

 z  cos   i sen   z k

k

 cos k  i sen k  .

Debemos demostrar que es verdadera para

n  k  1 . Multiplicamos por

z cos   i sen   ambos miembros:  z  cos   i sen    z  cos   i sen    z  cos k  i sen k   z  cos   i sen   Efectuamos los cálculos en cada miembro y se tiene: k

k

1er.miembro:  z  cos   i sen    z  cos  i sen     z  cos  i sen   k

k 1

(1)

2do. miembro:

z z cos  k     i sen  k     z k

De (1) y (2):  z cos   i sen    z demostrar. n

n

k 1

cos  k  1   i sen  k  1   (2)

cos n  i sen n 

que es lo que se quería

Radicación en el campo complejo Sea z  z cos   i sen   . El número x  x cos  i sen  será una raíz enésima de z si x n  z .

xn  x x

n

n

cos n  i sen n  . Entonces deberá ser:

cos n  i sen n   z cos   i sen   .

Esos complejos serán iguales si los módulos son iguales y los argumentos congruentes.

xn  z  x  n z     2k n    2k    n 

  2k   2k   z  cos  i sen  n n   Se demuestra que existen n raíces enésimas diferentes entre sí, que se obtienen dando a k Luego x 

n

valores desde 0 hasta n  1 . Es decir: k  0, 1, 2, ..., n  1 . Ejercicio: Calcule las raíces cuartas de Respuesta:

z   8  8i 3 . Expréselas en forma binómica.

x1  2cos 60º i sen 60º   1  i 3

x2  2cos150º i sen 150º    3  i

x3  2cos 240º i sen 240º   1  i 3

x4  2cos 330º i sen 330º   3  i

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Representación geométrica de las raíces de un complejo Dado que todas las raíces de un complejo z  z cos   i sen   tienen el mismo módulo n

z , todos sus afijos están en una circunferencia de radio

n

z y centro en el origen de

coordenadas. Dividiendo el argumento  en n ángulos iguales, hallaremos el argumento

 y determinamos el afijo de esa primera raíz. Si al punto corresponn diente en la circunferencia le llamamos P0 , para hallar los siguientes argumentos, pode2 mos sumar sucesivamente . n  2   2    2  2   4   Se tendrá: ,   ,   ,....... n n n n n n n Los puntos representados P0 , P1 , P2 ,......, Pn1 son los vértices de un polígono regular de n de la primera raíz

lados, inscripto en una circunferencia de radio

n

z .

Actividad: Represente geométricamente las raíces obtenidas en el ejercicio anterior. Teorema: Las raíces n-ésimas de un número complejo cualquiera son los productos de una de ellas por las raíces n-ésimas de la unidad. Ejercicio: a) Encuentre las raíces cuartas de z = 1. b) Verifique que las cuatro raíces cuartas de z   8  8i 3 , pueden encontrarse multiplicando una de ellas (por ejemplo x1  1  i Rta.: a) z =1 = cos 0 + i sen 0 ; x  cos

3 ) por las raíces cuartas de la unidad.

02k 02k , con k = 0 , 1 , 2  i sen 3 3

las raíces son: 1 , i , -1 , -i b) una de las raíces cuartas de  8  8i 3 es x1 1 i 3 , las otras son:

x2  (1  i 3 ) i   3  i ; x3  (1  i 3 ) (1)  1  i 3

x4  (1 i 3 )(i)  3  i

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Ejercicios Resueltos 1) Encuentre los valores de x e y que verifican la siguiente igualdad: x  1, 3x  y   2 x, y  Solución: para que dos números complejos sean iguales se debe cumplir que sean iguales las partes reales y las imaginarias respectivamente, luego: x  1  2 x y 3x  y  y 1  2 x  x de donde x = 1

De la primera ecuación despejamos x:

3 1  y  y ; 3  2 y ; y 

Reemplazamos en la 2da. ecuación y despejamos y: 2) Sume los siguientes complejos: a) (2, -3) + (-1, -4)

3 2

b) (3 – 4i) + (-2 + i)

Solución: la suma de dos números complejos es otro complejo cuya parte real es la suma de las partes reales de los sumandos y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de los sumandos. a) (2, –3) + (–1, –4) = (2 + (–1), -3 + (–4)) = (1, –7) b) (3 – 4i) + (–2 + i) = (3 + (–2)) + (–4 + 1)i = 1 – 3i 3) Multiplique los siguientes complejos: (1 – 2i).(–3 + 4i) Solución: para multiplicar empleamos la siguiente fórmula a  bi  c  di   ac  bd   ad  bc i

1  2i   3  4i   1  3   2 4  1 4   2  3i = 5  10i También podemos llegar al mismo resultado si entre los binomios aplicamos la propiedad distributiva y tenemos en cuenta que i 2  1 4) Efectúe la siguiente división

 1  3i 2i

Solución: multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador, que es 2 + i :  1  3i  1  3i 2  i  5  5i  5  5i      1  i 2i 2  i 2  i 2 2  12 5

5) Sabiendo que: i 0  1 ; i1  i ; i 2  1 ; i 3  i ; i 4  1 , calcule i 325 Solución: calculemos el cociente y el resto de la división de 325 por 4:

325 1

 

de forma que 325 = 81.4 + 1, luego podemos escribir: i 325  i 81.41  i 4



6) Calcule: a) 1  i 47



2

4 81

81

. i1  181  i  1 i  i

b) 1  2i 

3

 

Solución: a) en primer lugar calculamos i 47  i 4

11

 i 3  111   i   i , luego empleamos la

fórmula del cuadrado de un binomio:

1  i   1  i  47 2

2

 12  2 1 i  i 2  1  2i  1  2i

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b) aplicamos la fórmula del cubo de un binomio:

1  2i 3  13  3  12  2i  3  1  2i 2  2i 3  1  6i  12i 2  8i 3  1  6i  12  8i  11  2i 7) Exprese en forma polar el complejo z  3  i Solución: sabiendo que el módulo del complejo z  a  bi es   a 2  b 2 , hacemos:



 3   1 2

2

 3 1  4  2

Para hallar el argumento utilizamos tg 

b 1 3 , es decir tg    . Como el complejo  3 a 3

se encuentra en el 4to. cuadrante es   330o y

La forma polar es z = 23300

3

-1

x

8) Escriba el complejo z  3  3i en forma trigonométrica. Solución: la forma trigonométrica del complejo z  a  bi es z    cos   i sen   , por lo que deberemos en primer lugar calcular el módulo ρ y el argumento φ.



 32  32

tg  

 18  3 2

3   1 . Como el complejo está en el segundo cuadrante es   135o 3

La forma trigonométrica del complejo es z  3 2  cos135o  i sen135o  9) Exprese en forma binómica el resultado de las siguientes operaciones: a) z1  z 2 siendo z1  3  cos120o  i sen120o  y z2  2  cos105o  i sen105o  b)

z1 z2

siendo z1  4  cos 225o  i sen 225o  y z2  3  cos135o  i sen135o 

Solución: a) El producto de dos complejos z1  1  cos 1  i sen 1  y z2  2  cos 2  i sen 2  está dado por z1  z2  1  2  cos (1  2 )  i sen (1  2 )  , luego para nuestro ejemplo es: z1  z2  3 2  cos (120o  105o )  i sen (120o  105o )   3 2  cos (225o )  i sen (225o ) 

 2 2  z1  z2  3 2   cos (45o )  i sen (45o )   3 2    i   3  3i 2   2 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 13

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b) el cociente de dos complejos z1  1  cos 1  i sen1  y z2  2  cos 2  i sen 2  está dado por

z1 1   cos (1  2 )  i sen (1  2 )  siendo z 2  0 , luego: z2  2

z1 1 4 4   cos (1  2 )  i sen (1  2 )  cos (225o  135o )  i sen (225o  135o )   i z2  2 3 3

10) Encuentre 1  i  empleando la fórmula de De Moivre. 10

Solución: según esta fórmula: z n     cos  i sen    n cos  n   i sen  n  n

Hallamos en primer lugar el módulo y el argumento de 1 + i :

  12  12  2

y tg   1    45o por estar el complejo en el primer cuadrante.

1  1   2  cos(10.45o )  i sen (10.45o )  25  cos 450o  i sen 450o   32  cos90o  i sen 90o  1  1010  32(0  i)  32 i 10

10

11) Calcule en forma trigonométrica la raíz cúbica de z  8i Solución: las raíces n- ésimas de un complejo z    cos   i sen   están dadas por

    2k wk  n  cos  n  

    2k     i sen    donde k = 0, 1, 2, ..., n -1 n   

Buscamos el módulo y el argumento de z  8i :   82  8 y el argumento es  

 2

(el

afijo del complejo está en el semieje positivo de las y)

    2k Luego wk  3 8 cos  2   3  

    2k   i sen  2 3    

    2 cos    2   6 3 

   2 k   i sen    6 3

 3 1        Si k = 0 entonces w1  2  cos    i sen     2   i   3  i es una raíz 6  6    2 2 

  5 Si k = 1 entonces w2  2  cos   6 

 3 1    5    i    3  i es otra raíz   i sen     2   2 2    6  

  3   3 Si k = 2 entonces w3  2  cos    i sen   2   2  y

w1

w2

x

w3

    2  0  i   2i es la otra raíz. 

Las soluciones se encuentran sobre una circunferencia de radio 2, son vértices de un polígono (triángulo, en este caso) con centro en el origen, y el primer vértice está desplazado del eje real en 30° o

 6

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 k  

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Ejercicios Propuestos 1) Encuentre los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades: a) x  1, y  x   3,  1

 1  b)   x  5,1  y    6, 8  4 

c) 2  xi  y  3i  1  i

2) Efectúe las siguientes operaciones con números complejos: a) 1, 5  3,  2

b) 5, 2  3,  1  1, 4

d) 3  4i   2  i 

e) 1  3i  2  i 

c) 2, 3 1,  2

3) Dado el complejo z  a  bi , se define su conjugado como z  a  bi . Pruebe que: a) z  z  2a

c) z  z  a 2  b 2

b) z  z  2bi

4) Dados z1  3i , z 2  2  4i , z3  1  4i y z 4  1  2i halle: 2

a) z1  z 2   z3

b) z 2  z 4  z3

z c) 2 z1  z 3

2

d)

z1 z3 : z2 z4

5) i) Represente gráficamente los siguientes complejos:

1 b) z 2  2  i 2

a) z1  1  3i

c) z3  2

d) z 4  1  2i

ii) Represente en la misma gráfica los opuestos de los complejos del item i) iii) Represente en la misma gráfica los conjugados de los complejos dados en i) iv) ¿Con respecto a que recta son simétricos un complejo y su conjugado? v) ¿Existen complejos tales que z  z ? Ejemplifique ___

vi) ¿Existen complejos tales que z   z ? Ejemplifique 1 2 3 2 6) a) Verifique que si z  (2,  3) su inverso z 1    ,  , siendo 13  2 2   3 z  13 13  b   a b) Demuestra que si z  a, b para todo z  0, 0 , entonces z 1   2 , 2 2 2   a b a b 

7) Escriba en forma binómica los siguientes complejos:



d) 2  i 55



1 c)  i 55  3i1532 2

b) i  4  i 71

a) i149  i 62



e) i16  i 33

2



3

8) Encuentre la forma polar de los siguientes números complejos: a) 1  i

b) 1  i

c)  3i

d)

3 i

e)  3  3i

9) Efectúe el pasaje a la forma trigonométrica de los siguientes complejos: a)

3 i

b) 1 3i

c) 2 3  2i

d) 8i

e)  3  3i

f) 1  i

10) Exprese en forma binómica cada uno de los siguientes complejos:

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    a) cos    i  sen   3 3

    c) cos     i  sen     6  6

      b) 4cos    i  sen    2   2

    3       3  d) 3 cos    i  sen  e) 6 cos     i  sen     4   4    4   4 11) Siendo z1  4(cos180o  i.sen180o ) y z2  3(cos120 o  i.sen120 o) encuentre z a) z1  z 2 b) 1 . Exprese el resultado en forma binómica. z2 12) Efectúe las siguientes operaciones, indicando el resultado en forma binómica: a) 5  cos 170º i sen 170º   cos 55º i sen 55º  b) 2  cos 50º i sen 50º   3  cos 40º i sen 40º  c)

d)

10  cos 3050  i sen 3050  2  cos 65º i sen 65º 

4  cos 220º i sen 220º  2  cos 40º i sen 40º 

13) Halle la potencia indicada empleando la fórmula de De Moivre: a) 1  i 

20



b) 1  3i





5

c) 2 3  2i



5

 1  3ì   d)    1 i 

20

14) Halle las raíces solicitadas y grafíquelas en el plano complejo: a) raíces cúbicas de 8

b) raíces quintas de 32

c) raíces cúbicas de i

d) raíces cúbicas de 1 + i

15) Resolver las siguientes ecuaciones: a) z 4  1  0

b) z 3  8  0

c) z 4  8  8 3i  0





d) z z 2  i  z 1  1

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Respuestas 1) a) x = 2 ; y = 1

b) x = 4 ; y = -7

c) x = -2 ; y = -1

2) a) (4, 3)

b) (7, -3)

c) (8, -1)

d) 1 + 3i

e) 5 + 5 i

3) a) -6 -7i

b) 21 + 16i

c) -2 + 2i

d)

7) a) -1 + i

b) 4

7 c) 2  i 2

d) 3 – 4i

e) -2 -2i

c) 3270 o

d) 2 30 o

e)

2 315 o

8) a)

b)

2 135o

9) a) 2  cos30o  i sen 30o  d) 8  cos90o  i sen 90o  10) a)

1 3  i 2 2

12) a) 

b) 2  cos 60o  i sen 60o 

b)

3 1  i 2 2

c) 4  cos330o  i sen 330o 

2  cos135o  i sen135o 

d)

6 6  i e)  3  3i 2 2

2 2 3  i 3 3

5 2 5 2  i 2 2

13) a) -1024

6 135o

e) 3 2  cos 225o  i sen 225o  d)

b) 4i c)

11) a) 6  6 3 i

7 17  i 50 50

b) 6i

b) 16  16 3i

5 5 3 c)   i 2 2

c)  512 3  512i

d) -2

d) 512  512 3i





14) a) w1  2 ; w2  1  3i ; w3  1  3i ; b) w1  2 ; w2  2 cos 72o  i  sen 72o ;

w3  2  cos144o  i sen144o  ; w4  2  cos 216o  i sen 216o  ; w5  2  cos 288o  i sen 288o 

c) w1 

3 1  i ; 2 2

w2  

3 1  i 2 2

; w3  i ,

d) w1  6 2  cos15o  i sen15o  ;

w2  6 2  cos135o  i sen135o  ; w3  6 2  cos 255o  i sen 255o 

15) a) w1  1 ; w2  i ; w3  1 ; w4  i

b) w1  1  3i ; w2  2 ; w3  1  3i

c) w1  1  3i ; w2   3  i ; w3  1  3i ; w4  3  i , d) w1  6 2  cos105o  i sen105o  ; w2  6 2  cos 225o  i sen 225o  ; w3  6 2  cos345o  i sen 345o 

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES. La ecuación x + 2 y = 4 es una ecuación lineal en las variables x e y. Los coeficientes son 1 y 2, el término independiente es 4. Su gráfica es una recta en el plano xy. Esa ecuación tiene infinitas soluciones que se encuentran dando un valor real a una de las variables y hallando el que corresponda a la otra. A la recta pertenecen infinitos puntos. Si x = 2, es y = 1; el par ordenado (2, 1) es una solución de la ecuación y el punto de coordenadas (2 , 1) pertenece a la recta. 1 1 Si x  3 es y  , luego (3, ) es otra solución 2 2

de la ecuación y el punto (3,

1 ) pertenece a la recta. 2

x  4   El conjunto solución puede expresarse: S  ( x ,y ) / y  , con x  2  

Definición: Una ecuación lineal en n variables es de la forma a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ........ + an xn = b, donde las variables x1 , x2 , x3 , .............. , xn son de primer grado, las constantes a1 , a2 , a3 , ... , an no todas nulas (llamadas coeficientes) y b (llamado término independiente) son números reales. Un ejemplo de ecuación lineal en tres variables es 3 x + 2 y – z = –1 Para hallar soluciones particulares de la ecuación damos valores arbitrarios a dos de las variables y hallamos el tercero, por ejemplo, si hacemos x = –1, y = 3 se encuentra z = 4; la terna (–1, 3, 4) es una de las infinitas soluciones de la ecuación. La ecuación 3 x + 2 y – z = –1 representa un plano y cada una de las infinitas ternas de números reales que satisfacen la ecuación expresa las coordenadas de un punto del espacio que pertenece al plano. El conjunto solución es S  ( x , y , z ) / z 1 3 x  2 y , con x , y   Si hacemos x = 3 e y = –2, se obtiene z = 6; el punto (3, –2 , 6) pertenece al plano. Para hallar el conjunto solución de la ecuación 3 x1 – 5 x2 + 4 x3 – x4 = 12, expresamos una de las variables en función de las otras tres, por ejemplo: x4 = 3 x1 - 5 x2 + 4 x3 – 12 S  ( x1 , x2 x3 x4 ) / x4  3 x1  5 x2  4 x3 12, con x1  , x2  , x3 



Una solución particular es (0, –1, –2, –12), obtenida haciendo x1  0, x2   1, x3   2 . ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 18

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Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

a1 x  b1 y  c1 Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma  a2 x  b2 y  c2 Los coeficientes son a1 , a2 , b1 , b2 ; los términos independientes: c1 , c2 Resolver el sistema consiste en encontrar los valores de x e y que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones. Dichos valores son las soluciones del sistema de ecuaciones. Cuando los términos independientes son ceros, el sistema se dice homogéneo. Si al menos uno de los términos independientes es distinto de cero, el sistema es no-homogéneo. Los sistemas homogéneos siempre son consistentes o compatibles porque al menos la solución trivial: x = y = 0 verifica las ecuaciones. Si ésta es única, se dice que el sistema es determinado. Si admite otras soluciones, se dice indeterminado. Sistemas equivalentes Dado un sistema de ecuaciones lineales, pueden encontrarse sistemas equivalentes mediante las siguientes operaciones: - Intercambiar las ecuaciones. - Multiplicar o dividir las ecuaciones por escalares distintos de cero. - Sumar a una ecuación otra ecuación previamente multiplicada por un escalar distinto de cero. Los sistemas equivalentes tienen la misma solución. Ejemplos: Multiplicamos la primera ecuación por (- 4) y se la sumamos a la  x3 y 0 1  segunda: 4 x  12 y  0 12 4 x + 12 y = 0 , x =  y ; x   3 y ; el 4 x 12 y  0 despejamos x: 4  0 x  0 y  0 conjunto solución es: S = x   3 y , y , con y   El sistema es indeterminado.

 x5 y 0 2-  5 x  4 y  0

Multiplicamos la primera ecuación por (- 5) y se la sumamos a la segunda:

 x5 y 0 despejamos y: –29 y = 0 ; y = 0 reemplazamos en la primera: x =  0 x  29 y  0 0. El sistema es determinado y la única solución es x=y=0 Es un sistema no-homogéneo. Multiplicamos la primera ecuación  x 3 y  4 por 3 y la sumamos a la segunda. Se obtiene un único valor para 3  3 x  2 y  6 cada incógnita: el sistema es determinado.

 x  3 y4   0 x  7 y 18

y

18 26 ;x 7 7

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La gráfica consiste en dos rectas que se cortan en el punto

 26 18    ;  7   7

Actividad: Resuelva el sistema. Caracterice y represente el conjunto solución.

 x  3y  7 a)   2 x  6 y 1

 2 x  3y  5  b)  3 10  x  2 y   4

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES. Un tema central del Álgebra Lineal es la resolución de sistemas de cualquier número de ecuaciones y de incógnitas utilizando entes matemáticos llamados matrices. Una matriz de mxn es un arreglo de números dispuestos en m filas (o renglones) y n columnas. Ejemplos:

 1 3 0 5    A =  4 0 4 7   3 2 0 6   

 5 3 1 1   2 6 8 2   B= 1 4 0 2    0 3 5 0 

3   1 C=   8   5

A es una matriz de 3x4; B, de 4x4; C es una matriz columna o vector columna de 4 elementos o componentes. Dada una matriz, las siguientes "operaciones elementales de renglón" permiten obtener matrices equivalentes por renglones: - Intercambiar los renglones. - Multiplicar los renglones por escalares distintos de cero. -Sumar a un renglón otro renglón previamente multiplicado por un escalar distinto de cero. Matrices escalonadas: Una matriz se encuentra en forma escalonada por renglones si se cumplen las siguientes condiciones: a) los renglones que tuvieran todos los elementos nulos, se ubican como renglones finales de la matriz. b) si un renglón tiene elementos distintos de cero, el primer elemento distinto de cero es un 1 (uno). Se lo llama pivote o elemento guía. c) cada renglón tiene, al comienzo, un número mayor de ceros que el renglón anterior. Son matrices escalonadas:

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 1 2 4    A   0 1 5  ; 0 0 0   

1  0 B =  0  0

3 0 2 4   1 3 1 0  ; 0 0 1 4  0 0 0 1

 1 2 3    C = 0 0 1 0 0 0  

Matrices escalonadas reducidas por renglones: A las tres condiciones exigidas para las escalonadas se agrega la siguiente: d) en todas las columnas que contienen un elemento guía, todos los otros elementos son ceros. Ejemplos: Son matrices escalonadas reducidas:

 1 0 3    D = 0 1 2  ; 0 0 0   

1  0 E =  0  0

0 0 0 0  1 0 0 0 0 1 0 0  0 0 1 5

Definición: Se llama rango de una matriz al número de renglones con algún elemento distinto de cero de una matriz escalonada equivalente a la dada. Rango (A) = 2 ; Rango (B) = 4 ; Rango (C) = 2 ; Rango (D) = 2 ; Rango (E) = 4 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el Método de Gauss. Explicaremos el método resolviendo los sistemas:

 x 3 y  4  1 3  1)  Identificamos la matriz de los coeficientes:   y la matriz 2 x  y   3   2 1  aumentada o ampliada, agregando la columna de los términos independientes:  1 3 4     2 1 3  4  1 3 Convenimos en expresar el sistema en la forma   3   2 1 Efectuamos las operaciones elementales de renglones para hallar una matriz escalonada equivalente a la matriz ampliada. A este procedimiento se lo denomina también "eliminación Gaussiana"

 1 3   2 1

4  multiplicamos el primer renglón por (-2) y lo sumamos al segundo: 3 

 1 3  0 5

 1 3 4    dividimos por 5 el segundo renglón:  11 0 1 

4   11    5

la matriz aumentada está en la forma escalonada. También lo está la matriz de los coeficientes y ambas tienen el mismo rango 2. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 21

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11 5 13  11  reemplazamos en la primera ecuación: x - 3    = 4; luego x =  5  5 o El sistema es compatible y determinado.

De la segunda ecuación se obtiene:

o

y

El rango de la matriz de los coeficientes es 2; el rango de la matriz aumentada

es también 2, lo mismo que el número de incógnitas. o Se verifica la solución reemplazando los valores hallados en cada una de las ecuaciones que componen el sistema. 3  1 2 2 3 x  6 y  6 z  9    6 2) 2 x  5 y  4 z  6  2 5 4  x  16 y 14 z   3  1 16 14 3    Expresamos las matrices de coeficientes y ampliada según lo convenido y efectuamos las operaciones elementales de renglón para obtener matrices escalonadas equivalentes.  1 2 2   2 5 4  1 16 14 

3  1 2 2   6    0 9 8  0 18 16 3  

3   1 2 2   0    0 9 8 0   0 9 8

 1 2 2 3  8  0 0 1   9 0   0 0 0

La matriz de coeficientes y la matriz aumentada tienen el mismo rango: 2 y el sistema tiene tres incógnitas. El sistema tiene infinitas soluciones. Para expresarlas, hacemos: 8 2 8 8 y  z  0 luego : y  z ; reemplazando en la primera: x  2. z  2 z  3  x  3  z 9 9 9 9 2 8   El conjunto solución es:  x  3  z , y  z , z con z   9 9  

 x1  x2  x3   7  3) 5 x1  x2  4 x3  4 3 x  x  6 x  20 2 3  1

 1 1 1  Hacemos:  5 1 4 3 1 6 

7   1 1 1   4   0 4 9 0 4 9 20  

 1 1 1 7   9  39    0 1  4 41  0 0 0 

7   39  4  2 

El rango de la matriz de coeficientes es 2, y el de la aumentada es 3. Las matrices no tienen el mismo rango. El sistema es inconsistente (o incompatible). El último renglón equivale a la ecuación 0 x1  0 x2  0 x3  2 , lo que es absurdo.

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3  0  0 

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El Teorema de Rouché- Fröbenius demuestra una condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución. El enunciado es el siguiente. Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si el rango de la matriz de los coeficientes de las incógnitas es igual al rango de la matriz ampliada. Si el rango común es igual al número de incógnitas, el sistema tiene una única solución (sistema compatible, determinado). Si el rango común es menor que el número de incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible, indeterminado) Si los rangos son distintos, el sistema no tiene solución, es incompatible. Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos, siempre tienen solución: el rango de la matriz de los coeficientes siempre es igual al rango de la matriz ampliada. Pueden ser determinados o indeterminados, según el rango sea igual o menor que el número de incógnitas.

4)

1  4 2 

x  y  5 z  0  4 x  5 y  22 z  0 2 x  3 y 0  1 5 0  1 1 5   5 22 0    0 1 2  0 5 10 3 0 0  

0  1 1 5   0  0 1 1 0 0 0 0  

0  0 , 0 

y  z  0  y   z ; x  ( z )  5 z  0  x  4 z .

El conjunto solución es S   x  4 z ; y   z ; z con z   Observación: También es común expresar: z = t, y en este caso el conjunto solución es: S   x  4 t ; y   t ; z  t , con t   Método de Gauss - Jordan Se expresa la matriz aumentada, como en el método de Gauss, y se halla la matriz escalonada reducida por renglones equivalente a la dada. Ejemplo: x  y  z  3  1 1 1   5) 4 x  2 y  3 z  5 ;  4 2 3  x y 5z 7 1 1 5  

 1 1 1   0 1 2  0 6 7 

3  5 7 

 1 1 1    0 6 7 0 2 4 

3  1 1 1   2 2   0 1  0 0 19 7  

1 0 3  mer renglón le sumamos el segundo:  0 1 2 0 0 1 

3  7   4 

3   1 1 1   2   0 1 2 0 0 1 19  

5  2 1 

3  2  al pri1 

Al último renglón lo multipli-

camos por (-3) y al resultado lo sumamos al primero, y lo multiplicamos por (-2) y al ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 23

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resultado lo sumamos al segundo:

1 0 3  0 1 2 0 0 1 

5  2  1 

1 0 0  0 1 0 0 0 1 

2  0  la solu1 

ción es: x = 2; y = 0; z = 1 Ejercicio Encuentre la función cuadrática y  a x 2  b x  c si los puntos (3 , 10) ,(1, 0) y (2 , 3) pertenecen a la parábola. Solución Si un punto pertenece a la gráfica sus coordenadas satisfacen la ecuación. Reemplazamos las coordenadas de los puntos dados en la ecuación y se obtiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

9 a  3 b  c 10   a b  c 0 4 a  2 b  c  3 

se resuelve por eliminación Gaussiana, obteniendo:

y  2 x 2  3 x 1

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Ejercicios resueltos 1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, escriba la matriz de los coeficientes, el vector de las incógnitas y el vector de los términos independientes.

 2 x  y  2 x  y  z  3 5 x 3y  2 z   2  1 1 0   Solución: escribimos la matriz de los coeficientes:  2 1 1  , el vector de las incógni5 3 2  

 x   tas:  y  ; y el vector de los términos independientes: z  

 2    3  2   

2) Del sistema del ejercicio anterior, escriba la matriz ampliada o aumentada. Solución: escribimos la matriz ampliada del sistema que estamos trabajando, que por

1 1 0  convención se escribe así:  2 1 1 5 3 2 

2  3 2 

3) Tomando el sistema del ejercicio 1, se pide que: a) Encuentre el sistema equivalente al dado por el método de Gauss. b) Clasifique el sistema según su solución c) Exprese su solución en forma vectorial d) Repita el cálculo aplicando el método de Gauss-Jordan. Solución: hallaremos el sistema equivalente al dado usando método de Gauss o eliminación gaussiana (conseguir ceros por debajo de los pivotes de la diagonal principal de la matriz de los coeficientes aplicando transformaciones elementales sobre las filas): 1 1 0 2    F ( 2)  F  2 1 1 3  F ( 5)  F  5 3 2 2    F2

  1 2

1

2

1

3

1 1 0 2     0 3 1  1  F  0 2 2 12   

3

 F2

1 1 0 2     0 2 2  12   0 3 1 1   

1 1 0 2 1 1 0 2      0 1 1 6  F ( 3)  F3  0 1 1 6   0 3 1 1  0 0 2 17      2

El número de filas con algún elemento distinto de 0 para la matriz de los coeficientes es 3, coincidiendo con el número de filas con algún elemento no nulo para la matriz ampliada, como así también con el número de incógnitas. Por esto, podemos asegurar que el sistema es un sistema compatible determinado (o sea con única solución). ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 25

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Para hallar la solución, reconstruimos las ecuaciones del sistema equivalente al dado:

 2 (1) x  y 17  y  z  6 (2) ; de la ec (3) ; z = ;sustituyendo este valor en la ec (2) :  2   2 z  17 (3)   17   5  y  1   6; despejando : y    . Con ambas incógnitas halladas, las sustituímos en ec 1 :  2   2  9  5   17  x 1    0    2; despejando : x  . Luego la solución escrita en forma vectorial es : 2  2   2   9   x  2     5   y  2  z     17   2 Para resolver el sistema usando el método de Gauss-Jordan se sigue un procedimiento similar al método de Gauss, solo que el mismo finaliza cuando logramos escribir la matriz correspondiente al sistema equivalente, en su forma escalonada y reducida: 1 1 0 2    F ( 2)  F  2 1 1 3  F ( 5)  F  5 3 2 2    1

2

1

3

1 1 0 2     0 3 1  1  F  0 2 2 12   

3

1 1 0 2     F2  0 2 2  12  F  0 3 1 1   

2

  1 2

1 1 0 2     0 1 1 6   0 3 1 1  

1 0 1  4 1 0 1 4  1 0 0 9 2    1   F ( 1)  F   0 1 1 6  F 0 1 1 6  0 1 0 5 2     F ( 3)  F 2  0 0 2 17   0 0 1 17 2  F (1)  F  0 0 1 17 2        Aquí la matriz de los coeficientes está en su forma escalonada y reducida, y de esta forma F2 ( 1)  F1

3

2

3

 

3

3

1

2

se obtiene por simple observación que la solución del sistema dado es:

 9  x  2    5  y  2 z     17  2

      

3) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, escriba la matriz de los coeficientes, el vector de las incógnitas y el vector de los términos independientes.

 x  2 y  2 z  3w  5  2 x  5 y  2 z  4 w  0

 1 2 2 3  Solución: La matriz de los coeficientes será: A =   , el vector de las in  2 5 2 4  x   y 5 cógnitas: X =   ; y el vector de los términos independientes: b =   z 0    w ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 26

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4) Del sistema del ejercicio anterior, escriba la matriz ampliada o aumentada. Solución: escribimos la matriz ampliada del sistema que estamos trabajando, que por

 1 2 2 3 5  convención se escribe así:  ;  2 5 2 4 0  5) Tomando el sistema del ejercicio 1, se pide que: a) Encuentre el sistema equivalente al dado por alguno de los métodos vistos b) Clasifique el sistema según su solución (tener en cuenta el rango de A y el rango de A´) c) Exprese su solución en forma vectorial Luego repita el cálculo aplicando el método de Gauss-Jordan. Solución: hallaremos ahora el sistema equivalente al dado usando método de GaussJordan:

 1 2 2 3 5   1 2 2 3 5   1 2 2 3 5   1 0 14 7 25           2 5 2 4 0   0 1 6 2 10   0 1 6 2 10   0 1 6 2 10  Aquí, la matriz está en forma escalonada y reducida. Podemos observar que el número de filas distintas de 0 para la matriz de los coeficientes es 2, coincidiendo con el número de filas no nulas para la matriz ampliada. Pero como esta cantidad de filas no nulas es menor que el número de incógnitas que son 4 (el rango es menor que el número de incógnitas), podemos asegurar que el sistema es un sistema compatible indeterminado (o sea con infinitas soluciones). Ahora hallamos las soluciones. Para esto, reconstruimos las ecua-

 x  14 z  7 w  25 ciones del sistema equivalente al dado:   y  6 z  2 w  10 Si despejamos:

 x  25  14 z  7 w  y  10  6 z  2 w   z  z  w  w con z y w 

; quedando aquí expresadas las infinitas soluciones de este

sistema siendo el conjunto solución del sistema. Estas soluciones se obtendrán si los “parámetros” z y w toman los infinitos valores reales.

 x  25  14 t  7 r  y  10  6 t  2 r  Podemos escribir el conjunto solución anterior así:  z t  w  r con t y r  Luego este conjunto solución puede expresarse en forma vectorial, entonces el vector solución será: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 27

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 x    y  z    w

 14   25   7        10   t   6   r   2  ; t , r   1  0  0         0  0  1 

..

6) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, escriba la matriz de los coeficientes, el vector de las incógnitas y el vector de los términos independientes.

 2 y  3z  4  2 x  6 y  7 z  15  x  2 y  5 z  10   0 2 3   Solución: La matriz de los coeficientes es A =  2 6 7  , el vector de las incógnitas:  1 2 5   

 x   =  y; z  

4   y el vector de los términos independientes: b =  15   10   

7) Del sistema del ejercicio anterior, escriba la matriz ampliada o aumentada.

0 2 3 4    Solución: por convención se escribe así:  2 6 7 15   1 2 5 10    8) Tomando el sistema del ejercicio 1, se pide que: a) Encuentre el sistema equivalente al dado por alguno de los métodos vistos b) Clasifique el sistema según su solución (tener en cuenta el rango de A y de A´) c) Exprese su solución en forma vectorial Luego repita el cálculo aplicando el método de Gauss-Jordan. Solución: hallaremos ahora el sistema equivalente al dado usando método de GaussJordan:

 1 2  0 2 3 4   1 2 5 10   1 2 5 10           2 6 7 15    2 6 7 15    0 2  3  5    0 1  1 2 5 10   0 2 3 4   0 2 3 4  0 0      

5 3 2 0

10   5 2 1

La matriz está en forma escalonada y reducida. Podemos observar que el número de filas no nulas para la matriz de los coeficientes es 2, no coincidiendo con el número de filas no nulas para la matriz ampliada que es 3. Entonces, como rango de (A)  rango de (A`), el sistema dado no tiene solución. Llegamos a la misma conclusión si reconstruimos la última ecuación del sistema equivalente obtenido: 0 x  0 y  0 z  1 , lo que es imposible ya que 0  –1. Este sistema es un sistema incompatible o inconsistente. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 28

X

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Ejercicios Propuestos Clasifique, resuelva y verifique los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

x  2 y  3 z  w   3  x z 2 w  3    2x  y  3 z  3 w  7  x  y  3 z  3 w  4

c)

x  y  z  1  3x 2 y 2 0   x  y 2 z  2 4 x  3 y  3 z  1  5 x  2 y  z  3

e)

g)

x  2 y  z  2  2 x  5 y  z  0 3x  7 y  2 z  3 

 3 x  y  z   4   5x  2 y z 6  x  y  3 z  0 

i)

3 x  z  4  y 3 x  2

k)

x y  z 1   2x  3 z 5 2 y  5 z  2 

x  2 y  3 z  5 b) 3 x  y  2 z  1 5 x  3y  4 z  11 

x  2 y  z  2 d) 2 x  5 y  z  0  3x  7 y  2 z  2 

x  y  z  3 f)   x  z 1

h)

x  2 y  0  3 x  y  5 x  y  1 

j) 4 x  y  2 z   3  3x  y 4z  2  x  y  z  5 

Respuestas a) (x; y; z; w) = (1; -1; 0; 2), b) (x; y; z) = (1 -1/7 t ; 2 + 11/ 7 t; t) , t 

,

c) (x; y; z) = (-2; 10; -7), d) (x; y; z) = (10 + 3 t ; -4-t ; t), t  e) incompatible, f) (x; y; z) = (1 + t ; 2 – 2 t ; t), t 

, g) (x; y; z) = ( 2; 2; 0),

h) (x; y ) = ( 2; 1 ), i) (x; y; z) = ( 4/3 + 1/3 t ; 2 - 3 t; t), t  j) (x; y; z) = ( -1; 3; 1),

,

k) incompatible.

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Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales Existen numerosas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en las diferentes áreas del conocimiento. Entre ellas podemos mencionar aplicaciones a la biología, la física eléctrica, la economía, la administración, la química, etc. Para resolver un problema que involucra sistemas de ecuaciones lineales es conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones: 1. Leer detenidamente el enunciado para entender el problema planteado. 2. Determinar los datos con los que contamos. 3. Identificar y nombrar las incógnitas de acuerdo a lo que se solicite. 4. Analizar y establecer las relaciones entre los datos encontrados y las incógnitas. 5. Hallar el sistema de ecuaciones lineales que resulta de las relaciones del punto 4. 6. Resolver el sistema de ecuaciones lineales. 7. Verificar la solución obtenida. 8. Interpretar el resultado si es posible de acuerdo al problema. Ejemplos de aplicación resueltos Ejemplo 1 Encontrar un polinomio P(x) de grado 3 tal que: P(0) = P(1) = 1, P(–1) = –5 y P´(1) = 1. Solución El polinomio será de la forma P( x)  ax3  bx 2  cx  d . Sustituyendo los puntos dados en la expresión del polinomio tenemos: P(0)  a.0  b.0  c.0  d  1  d  1

P(1)  a.13  b.12  c.1  d  1 P(1)  a.(1)3  b.(1)2  c.(1)  d  5 Encontrando la derivada primera de P( x ) tenemos: P´( x)  3ax 2  2bx  c Reemplazando x por 1 e igualando a 1: P´(1)  3a.12  2b.1  c  1 Obtenemos entonces el siguiente sistema de ecuaciones:

a  b  c  d  2  8a  4b  2c  d  6 3a  2b  c  5  Resolviendo el mismo tenemos que: a  2; b  3; c  1 . De donde:

P ( x )  2 x3  3 x 2  x  1

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La gráfica del polinomio encontrado será:

Ejemplo 2: Separación en fracciones simples Una técnica utilizada frecuentemente para simplificar el cálculo de integrales o de transformadas de Laplace es la separación en fracciones simples o fracciones parciales. Como el nombre de la técnica lo indica, consiste en expresar un cociente de polinomios como suma de fracciones sencillas. Supongamos que queremos determinar los valores de las constantes a y b que satisfagan:

2 a b   ( x  1)( x  5) ( x  1) ( x  5)

Solución Operando en el segundo miembro tenemos:

2 a ( x  5)  b( x  1) ´  ( x  1)( x  5) ( x  1)( x  5) 2  a( x  5)  b( x  1)  2  ax  5a  bx  b  2  (a  b) x  (5a  b)

 ab0 Esto se cumple si:  5a  b  2

1 1 1 1 1  3  3 El cual tiene como solución: a  y b   , por lo que: 3 3 ( x  1)( x  5) ( x  1) ( x  5) Ejemplo 3: Balanceo de Reacciones Químicas Otra aplicación de los sistemas de ecuaciones es balancear reacciones químicas donde debemos determinar el número de moléculas que intervienen en una reacción química. Supongamos que se necesita balancear la reacción química: NH3 + O2  NO + H2O ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 31

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Solución Teniendo en cuenta que el número de átomos de cada sustancia no varía, podemos hacer: a NH3 + bO2  cNO +d H2O y comparando este número de átomos de cada sustancia, en ambos miembros se llega a: a = c (átomos de N) 3a = 2d (átomos de H) 2b = c + d (átomos de O)

Las ecuaciones anteriores forman un sistema compatible indeterminado (verifique esto). 2 5 2 La solución general del mismo es: a  t , b  t , c  t , d  t . El menor valor de t para el 3 6 3

cual a, b, c, d son enteros no negativos es t = 6. Con este valor se obtiene: a = 4, b = 5, c = 4, d = 6, resultando la reacción: 4 NH3 + 5 O2  4 NO +6 H2O

Problemas Balancee las siguientes reacciones químicas: a) Na2O + H2O + Na + OH  NaOH b) MnSO4 + KMnO4 + H2O  MnO2 + K2SO4 + H2SO4 Respuestas: a) Na2O + H2O + Na + OH  3NaOH b) 3MnSO4 + 2KMnO4 +2H2O  5MnO2 + K2SO4 +2 H2SO4

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MATRICES Definición: Una matriz de tamaño m x n es un arreglo de m.n números dispuestos en m renglones o filas y n columnas. Se conviene en designar a las matrices con letras mayúsculas: A, B, C, . . ., y a sus elementos o componentes con minúsculas: a, b, c, . . .

 a11   a 21  ... A  ai1  ...   a m1 

a12 a 22 ... ai 2 ... am2

... a1 j ... a 2 j ... ... ... aij ... ... ... a mj

... a1n   ... a 2n  ... ...   ... ain  ... ...  ... a mn 

El primer subíndice de cada elemento indica el renglón y el segundo subíndice, la columna. El segundo renglón o fila de A es : ( a21 a22 ... a2 j ... a2n ) El i – ésimo renglón es: ( ai1 ai 2 ... aij ... ain )

 a1 j     a2 j   :  La j – ésima columna es :   , la n – ésima columna es:  a ij   :    a   mj 

 a1n     a2 n   :     ain   :     amn 

Otra forma de expresar una matriz de tamaño m x n es: A   aij 

m xn

con i  1,2,3,..., m con j  1,2,3,..., n

Para denotar una matriz, además de usar paréntesis, se pueden emplear corchetes.

A   aij 

m xn

con i = 1, 2, 3, ...., m ; j = 1, 2, 3, ..., n

Los elementos de las matrices pueden ser números reales o números complejos. 2 5   Ejemplos: a) A   13 4  es una matriz de tamaño 3 x 2 de elementos reales.  5 3    El primer renglón es: ( 2

 5   5 ), la segunda columna es:  4  , el elemento a11 es: 2, el  3   

elemento a32 es: –3 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 33

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3  1 6  b) B  0 3  2 es una matriz cuadrada de 3 x 3 o de orden 3. 2 5  1 7  El tercer renglón es: (5 -1 7) El elemento a22 es: 3

2

 2  i 4    3i  es una matriz de 3x2 de elementos complejos. c) C =  0 1  3i 4    Algunos tipos de matrices: o Una matriz puede tener una sola fila o renglón, y en este caso decimos que se trata de una matriz renglón o vector renglón de n componentes.

 1 x n

A  a11 a12 ... a1n 

A  aij

Ejemplo: A   4 5 1 13 2 es un vector renglón de cinco componentes. Para que no haya confusiones pueden separarse los elementos con comas. o Si la matriz tiene una sola columna es una matriz columna o vector columna de m componentes.

 a11     a21  A :    a   m1 

 m x 1

A  aij

 2      3 Ejemplo: A    es un vector columna de cuatro componentes. 1    8    o Cuando el número de renglones es igual al número de columnas se tiene una matriz cuadrada de tamaño n x n. También se dice de orden n.

 a11 a12 ... a1n  1 3 5      a21 a22 ... a2 n   A ; A   aij  ; Ejemplo: A   4 0 3  es una matriz n xn  ... ... ... ...    1  1  1     a a ... a n2 nn   n1 cuadrada de orden 3. o

Si m  n la matriz se dice rectangular.

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o Una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero, es una matriz nula o matriz cero.  0 0 0  es la matriz nula, rectangular, de tamaño 2 x 3. 0    0 0 0

 0 0  es la matriz nula, cuadrada, de orden 2. 0    0 0 Diferentes tipos de matrices cuadradas En una matriz cuadrada de nxn, los elementos a11, a22 , a33 ,...ann forman la diagonal principal. Los dos subíndices de esos elementos son iguales.

 a11 a12  a a A   21 22  ... ...   an1 an 2

... a1n   ... a2 n  ... ...   ... ann 

Matriz triangular superior: es aquella en la cual todos los elementos que están debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplos:

 1 2  5   A  0  3 1  0 0 5  

3 1 0   B   0 0 2  0 0 4  

Matriz triangular inferior: es aquella en la cual todos los elementos que están sobre la diagonal principal son ceros. Ejemplos:

  6 0 0   A 4 1 0  2 1 1  

0 0 0   B  2  3 0   0 4  1  

Matriz diagonal: todos los elementos que no están en la diagonal principal son ceros. Ejemplos:  4 0 0   5 0 0     A   0 1 0 B   0 0 0  0 0 3  0 0 2     Matriz escalar: es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales entre sí. Ejemplo:

 3 0 0   A   0 3 0  0 0 3  

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Matriz unidad o matriz identidad: es una matriz escalar que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a uno. Ejemplos:

1 0 0   I3   0 1 0  0 0 1  

1 0  I 2   0 1

1  0 In   ...  0 

0 ... 0   1 ... 0  ... ... ...   0 ... 1 

Igualdad de matrices Dos matrices A  aij m x n

y B  bij m x n son iguales si y sólo si son de igual tamaño y

sus elementos correspondientes son iguales. Simbólicamente:

a 

ij m x n

 bij m x n  aij  bij

Ejercicio encuentre los valores de x, y, z para que A = B

2   4 x  A   7  6 2 y  z 2  

1  2  4  B   7 x  y 7 2  

Solución:

x  1 x  y  6

 1  y  6  y  5

2y  z  7

 10  z  7

z3

Verifique la respuesta. Operaciones con matrices Adición. Definición: dadas A  aij  y B  bij , matrices de m x n, se llama suma de A y B a la matriz A + B de m x n que se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B Simbólicamente:  a11 a12  a a22 Dadas A   21  ... ...   am1 am 2

... a1n   b11 b12   ... a2 n  b b22 ; B   21  ... ... ... ...    ... amn   bm1 bm 2

 a11  b11 a12  b12  a b a22  b22 A  B   21 21  ... ...   am1  bm1 am 2  bm 2

... b1n   ... b2 n  ... ...   ... bmn 

... a1n  b1n   ... a2 n  b2 n  o bien A  B   aij  bij  ... ...   ... amn  bmn 

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Observación: la suma está definida solamente cuando las matrices son del mismo tamaño.

Ejemplo:

Halle la suma A + B  2 3    A 1 0   5 2   

;

 2 3 4 1    Si A    y B   1 1   0 5   3 6  

 1 4   3 7      B   3 5  La suma es A  B   2 5   2 1   3 3     

No es posible sumar las matrices porque no son de igual tamaño.

Propiedades de la suma: Si A, B y C son matrices de m x n, se cumplen las propiedades: 1) Ley de cierre: la suma de dos matrices de m x n es otra matriz de m x n. 2) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) 3) Conmutativa: A + B = B + A 4) Existencia del elemento neutro: Existe la matriz nula O, tal que A + O = O + A = A. A la matriz nula se la llama también matriz cero. 5) Existencia del elemento opuesto o inverso aditivo: Para toda matriz A, distinta de la matriz nula, existe la opuesta (-A) tal que A + (-A) = (-A) + A = O Diferencia La diferencia de dos matrices de orden m x n es la matriz del mismo orden m x n que se obtiene sumando a la primera matriz la opuesta de la segunda. Si A y B son matrices de mxn, entonces A – B = A + (- B) Ejemplo:

 3 1  A 0 2  2 1   3  A B   0  2 

  3 1 2   B   1 1 0  5 3 4   1 4   3 1 2  3 1 4  3 1  2  6 0 2           2 5   1 1 0   0 2 5   1 1 0    1 1 5  1 1   5 3 4    2 1 1    5  3  4    7  2  3  4  5 1 

Multiplicación de un número por una matriz Si A  aij  es una matriz de tamaño m x n y  es un número real (escalar), el producto  A es la matriz de m x n que se obtiene multiplicando por  cada uno de los elementos de la matriz A. Simbólicamente:

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 a11  a A    21 ...  a  m1

a12 a 22 ... am2

... a1n   a11 a12   ... a 2 n   a 21 a 22  ... ...   ... ...   ... a mn   a m1 a m 2

... a1n   ... a 2 n  ... ...   ... a mn 

También podemos expresar: A   aij mxn  aij mxn Propiedades: Si  y  son escalares y A y B son matrices de tamaño m x n, entonces: 1)  ( A) = () A (asociativa) 2) (A + B) = A + B (distributiva respecto de la suma de matrices) 3) ( + ) A = A + A (distributiva respecto de la suma de escalares) 4) 1 A = A (el uno (1), elemento neutro del producto de números reales opera idénticamente) Otras propiedades: a) 0 A = O b)  O = O c) (-1) A = - A Ejercicio:

 1 2   3 3   0 1       Si A   3 0  , B   4 2  , C   3 5   4 1   0 1   1 3        encuentre: a) 2 A + 3B – 2C

b) –5( 4A - B)+ (C – 2A)

Vectores: Definición: se llama vector renglón o vector fila de n componentes a un conjunto ordenado de n números escritos en la forma x1; x2 ; x3 ;...; xn  Definición: se llama vector columna de n componentes a un conjunto ordenado de n números escritos en la forma:

 x1     x2  x   3  : x   n ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 38

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Los subíndices indican el orden correspondiente a la componente del vector. Por ejemplo: u   2 ,3 ,5 , 13 es un vector renglón de 4 componentes; 5 es la tercera componente; 13 es la cuarta componente. n Las componentes de los vectores son números. Indicaremos con al conjunto de todos n los vectores que tengan n componentes reales y con al conjunto de todos los vectores que tengan n componentes complejas.   2    3  4 Así: u    es un vector columna perteneciente a (tiene 4 componentes reales) 0    1   1   v   0 , 0 ,  , 3 , 6 , 1 es un vector fila que pertenece a n (tiene 6 componentes 2   reales)

 3i  Dos vectores de componentes complejas son: a    1  2i 

b   4; 3  2i 

Observación: los vectores son conjuntos ordenados de números, en consecuencia, dos vectores de

n

son iguales, si y sólo si las componentes correspondientes son iguales:

 2    1      3  3    1  2      Definición: vector nulo o vector cero es el vector que tiene todos sus elementos iguales a cero.  0 En 2 el vector cero es O   0 ,0  o bien O     0 Producto escalar de vectores. Suponga la siguiente situación: un fabricante elabora cinco clases de artículos. El número de unidades producidas semanalmente, de cada artículo, es: 10; 30; 20; 15 y 25. Los precios unitarios de esos artículos son, respectivamente, $ 16; $ 10; $ 20; $18 y $ 40. ¿Cuál será el ingreso semanal del fabricante suponiendo que vende todas las unidades que produce? Solución: Si fabrica 10 unidades del primer artículo y vende cada una a $ 16, obtendrá un ingreso de (10)($ 16)= $ 160. De la misma manera podemos obtener el ingreso por la venta de los demás artículos. La suma de todos ellos nos dará el ingreso total por semana: 10.16 + 30 . 10 + 20 . 20 + 15 . 18 + 25 . 40 = 160 + 300 + 400 + 270 + 1000 = $2130 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 39

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Este resultado se puede obtener realizando el producto escalar entre el vector renglón del número de unidades producidas y vendidas y el vector columna de los precios unitarios.

 16     10  10;30;20;15;25. 20   160 + 300 + 400 + 270 + 1000 = $ 2130    18   40    Producto escalar de dos vectores Definición: Dados los vectores a  a1; a2 ;...; an  y b  b1; b2 ;...; bn  pertenecientes a n , el producto escalar entre a y b es el número que se obtiene sumando los productos de las componentes correspondientes. Simbólicamente: a .b  a1b1  a2b2  ...  anbn También se llama producto interno o producto punto. El resultado es un número. Observación: para poder multiplicar dos vectores, deben tener el mismo número de componentes pudiendo tratarse de dos vectores renglones, dos vectores columnas o un vector renglón y un vector columna. Ejemplos: a) u   3 , 0 ,  1 , 2  v  1 ,  3 ,  2 , 4  u  v   3 , 0 ,  1 , 2  . 1 ,  3 ,  2 , 4   3.1  0.( 3)  ( 1).( 2)  2.4  3  0  2  8  13 u  v  13

 1   b) u   2  5  

 1  3     ; u  v   2  .  4   (1).3  2.(4)  5.2  3  8  10  1  5   2     1 1     1 1  c) u   2;0; 4; 2  , v  ; u .v   2;0; 4; 2  .    2.1  0.( 1)  4.5  ( 2).3  2  0  20  6  16 5 5     3 3  3   v   4   2   

Multiplicación de matrices Dadas Amxn y Bnxp se llama producto de A por B a la matriz Cmxp que tiene por elementos cij tales que cij es el producto escalar del renglón i-ésimo de A por la columna jésima de B.

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 b11 b12   b21 b22 B ... ...   bn1 bn 2 

 a11 a12   a21 a22  ... ... A  ai1 ai 2  ... ...  a  m1 am 2

... a1n   ... a2n  ... ...   ... ain  ... ...  ... amn 

 c11 c12   c21 c22  ... ... C   ci1 ci 2  ... ...   cm1 cm 2 

... bij ... b2 j ... ... ... bnj

... c1 j ... c2 j ... ... ... cij ... ... ... cmj

... b1 p   ... b2 p  ... ...   ... bnp 

... c1 p   ... c2 p  ... ...   ... cip  ... ...  ... cmp 

c11  a11b11  a12b21  ...  a1nbn1 ............................................... c2 p  a21b1 p  a22b2 p  ...  a2 nbnp .................................................. cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  ainbnj n

cij 

a b

ik kj

k 1

Observación 1: Para que el producto entre dos matrices pueda efectuarse el número de renglones de la segunda matriz debe ser igual al número de columnas de la primera. En tal caso se dice que las matrices son conformables para el producto. Observación 2: notemos que si bien el producto de Amxn por Bnxp está definido, no lo está Bnxp por Amxn ya que el número de renglones de la segunda matriz no es igual al número de columnas de la primera. Para la multiplicación de matrices no se cumple la propiedad conmutativa. Observación 3: el producto de dos matrices puede ser la matriz nula aunque ninguno de los factores sea la matriz nula. Ejemplo: multiplique A por B siendo:

 2 1 0    A 1 3 4  3 2 1  

 3  4   B   1 1  2 5   

Disponemos los cálculos siguiendo el esquema:

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 3  4   B  1 1 2 5   

 2 1 0   A 1 3 4  3 2 1  

c11  2.3  (1).1  0.2  6  1  5 c12  2.(4)  (1).(1)  0.5  8  1  7 c21  1.3  3.1  4.2  3  3  8  14 c22  1.(4)  3.(1)  4.5  4  3  20  13

 5  7   C   14 13    5 15   

c31  (3).3  2.1  1.2  9  2  2  5 c32  (3).(4)  2.(1)  1.5  12  2  5  15

Para hacer un control de los cálculos podemos proceder como sigue:  formamos una matriz renglón sumando los elementos de las columnas de la matriz A. Se obtiene: ( 0 , 4 , 5)  multiplicamos este vector renglón por la matriz B :

 0.3  4.1  5.2

0(4  4(1)  5.5)  (14

21)

 sumamos los elementos de las columnas de la matriz producto C para formar una matriz renglón. ( 14

21)

Como ésta es igual a la obtenida en el paso anterior,

los cálculos han sido correctos. Propiedades: 1) Asociativa: ( AB)C  A( BC ) si A, B y C son matrices apropiadamente conformables para el producto. 2) Distributivas de la multiplicación con respecto a la adición: si las sumas y productos están definidos, es decir, si es posible efectuar esas operaciones, entonces: A( B  C )  AB  AC

( A  B)C  AC  BC Observación: como para el producto de matrices no se cumple la propiedad conmutativa, 1) y 2) se verifican solamente si se conserva el orden en que estén dadas las matrices. 3) Una matriz puede multiplicarse por sí misma si y sólo si es cuadrada. El producto de A por A es el cuadrado de A. Se indica A2 . En general An  A . A . A ..... A n factores

4) El producto de dos matrices puede ser la matriz cero sin que ninguno de los factores sea la matriz cero. Ejemplo: verifique que el producto de A por B es la matriz 0.

 0 1 2   6 9 3      A   1 0 3  , B   4 6 2   2 3 0   2 3 1      ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 42

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Ejercicio. Muestre que se cumple la propiedad asociativa de la multiplicación si

 3 6   0 3  5 2  A  , B   ,C    1 5   1 1  1 0  Teorema: Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces A.I n  I n . A  A

Demostración: Sea A =  aij 

mxn

; I n   bij 

bij  0, cuando i  j con  nxn  bij  1, cuando i  j

Por definición de producto de matrices: A . In = C, siendo C =  cij 

nxn

El elemento cij es

el producto escalar del renglón i de la matriz A por la columna j de la matriz unidad I. cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ai 3b3 j  ....  aijb jj  ...  ainbnj  ai1.0  ai 2 0  ai 3.0  ....  aij .1  ...  ain .0  aij

En consecuencia,  cij    aiij  , Luego A.I  A . En forma similar se prueba que I . A  A

EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales no homogéneo, con n incógnitas: a11 x1  a12 x2  a13 x3  ....  a1n xn  b1 a x  a x  a x  ....  a x  b 21 1 22 2 23 3 2n n 2   a x  a x  a x  ....  a x  b  31 1 32 2 33 3 3n n 3 .........................................................   am1 x1  am 2 x2  am 3 x3  ....  amn xn  bm

Llamemos A a la matriz de los coeficientes, X a la matriz columna de las incógnitas y b a la matriz columna de los términos independientes:

 a11 a12 a13 ......a1n   a21 a22 a23 ......a2n A   a31 a32 a33 ......a3n   .................................   am1 am 2 am 3 ......amn

    ; X=    

 b1   x1       b2   x2   x3  ; b =  b3       .   .  x  b   n  m

El sistema de ecuaciones lineales puede expresarse en la forma matricial: A. X = b

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Demostración:

 x1     x2  X =  x3     .  x   n

 a11 a12 a13 ......a1n   a21 a22 a23 ......a2 n A   a31 a32 a33 ......a3n   .................................   am1 am 2 am 3 ......amn

 a11 x1  a12 x2  a13 x3  ....  a1n xn   b1       a21 x1  a22 x2  a23 x3  ....  a2 n xn   b2   a31 x1  a32 x2  a33 x3  ....  a3n xn    b3   b      .................................................   .   a x  a x  a x  ....  a   b  mn   m   m1 1 m 2 2 m3 3

       

Traspuesta de una matriz Definición: Si A es una matriz de tamaño m x n, se llama traspuesta de A y se simboliza At, a la matriz que se obtiene intercambiando los renglones por las columnas. Si A es de tamaño m x n, At será de tamaño n x m Simbólicamente: A   aij 

mxn

,

At   a ji 

nxm

Ejemplo:

 2 5   A   1 1  0 6   Propiedades:

 2 1 0  At   5 1 6  

En relación con la traspuesta de una matriz se verifican las propiedades que se expresan algebraicamente como sigue. Exprese literalmente cada una de esas propiedades.

1) ( At )t  A 2) 3)

 AB   Bt At , si está definido el producto. t  A  B   At  Bt , si está definida la suma. t

Ejercicios:

 3  2  1  2  y B    se verifican las tres 1. Muestre que para las matrices A   3  4 5  2 propiedades anteriormente mencionadas. 1 2  1 1  1 4 2. Si A    , B   yC   verifique: 3 4 2 3   1 3  a) A B .C    A. B .C ;

b) A B  C   A. B  A.C ;

c) B  A  C   B . A  B .C

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3. Pruebe que el producto de A por B es igual a la matriz unidad de orden dos I2

 1 2 2  A=   , B=  3 5 4  

 3 4     1 3  1 1   

Matriz simétrica. Definición: Una matriz cuadrada A de orden n se llama simétrica si la traspuesta de A A es simétrica  At = A

es igual a A:

Ejemplos: Son matrices simétricas:

 1 5 2    A =  5 3 6   2 6 4  

,

 5 2  B =   2 0 

,

 1 0 0    C=  0 3 0   0 0 5   

Ejercicios: 1- Dadas las matrices simétricas

A =

 1 2 3   3 1 2       2 0 1 y B   1 3 4   3 1 2   2 4 0     

encuentre (A + B)t y (A . B)t . Analice los resultados y extraiga conclusiones. 2- Determine los números x, y, z de modo que la matriz dada sea simétrica.

 4 x 2    7 3 y  z 5 1   Inversa de una matriz. Definición: Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n y si A.B = B.A = In, entonces B es la inversa de A y se indica: B = A-1. No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Si existe la inversa de A, se dice que A es invertible y la inversa se expresa A-1. Si una matriz A es invertible significa que existe la matriz A-1 tal que A. A-1 = A-1. A = I. Una matriz cuadrada no invertible, se dice singular. Si la matriz tiene inversa, es decir, si es invertible, se dice no singular.

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Ejemplo:

 4 1  11 11  2  1   1 Verifique, efectuando el producto que la inversa de A     es A   3 4   3 2     11 11  Propiedades: 1) Si A es invertible, la inversa de la inversa de A es igual a A:

A 

1 1

A

2) Si una matriz cuadrada A es invertible, su inversa es única. (Propiedad de unicidad) Demostración: Suponemos que la inversa de A no fuera única y que B y C sean dos matrices inversas de y A . Entonces: A . B  B . A  I (1) A . C  C . A  I (2) Elegimos cualquiera de las igualdades, por ejemplo de (1): A .B = I , multiplicamos a la izquierda ambos miembros por C: se obtiene C A B = C I. Asociamos en el primer miembro: (C A) B = C I Por la relación (2) es C A = I ; reemplazando: I B = C I . Luego B = C A partir de suponer que existieran dos inversas de A, demostramos que las dos son iguales. En consecuencia, si A tiene inversa, ella es única. Teorema: Si A y B son matrices invertibles de orden n, entonces el producto A. B es invertible y

 A. B 

1

 B 1 . A1

Demostración: La inversa del producto de A por B debe ser tal que

 A.B  .  A. B 

1

  A. B  .  A. B   I 1

Probaremos la igualdad si al reemplazar (A B)-1 por (B-1 A-1) en la expresión anterior se obtiene como resultado la matriz I. Sustituyendo y aplicando convenientemente la propiedad asociativa del producto de matrices, se tiene:

 A. B  .  B 1 . A1   A.  B . B 1  . A1  A. I . A1 .   A . I  . A1  A . A1  I

B

1.

. A1  .  A . B   B 1 .  A1 . A  . B  B 1 . I . B  B 1  I . B   B 1 . B  I

Queda probada la propiedad.

 3 5  3 11 Ejercicio: Dadas las matrices A    y B   , se pide:  2 4   1 4  a) compruebe si las inversas son respectivamente 5   2   4 11 2  A1    y B 1     1  3  1 3     2 b) si la respuesta del ítem a es afirmativa, verifique la igualdad

 A.B 

1

 B 1 . A1

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Cálculo de la matriz inversa. Mediante un ejemplo explicaremos uno de los métodos para el cálculo de la inversa de una matriz.

 5 4  -1 Sea A =   , y sea su inversa, si existe, A = 1 2  

x y -1   tal que A . A = I2 z w  

 5 4   x y   1 0   5 x  4 z 5 y  4w   1 0          y  2w   0 1  1 2   z w  0 1   x  2z Calculamos x, y, z y w resolviendo los dos sistemas de ecuaciones lineales:

5 x  4 z  1   x  2z  0

y

5 y  4w  0   y  2w  1

Las incógnitas a determinar son diferentes pero las matrices de los coeficientes son iguales. Sin perder de vista esta circunstancia, resolveremos simultáneamente los dos sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss – Jordan:

1 2  0 1  1 0 1 2  5 4 1 0   1 2 0 1   1 2 0 1   7 7       1 1 5       0 1  1 5   1 2 0 1   5 4 1 0   0 14 1 5   0 1    14 14    14 14  1 1 2 5 La solución del primer sistema es x  , z  ; la del segundo : y  , w  7 14 7 14 1 2    7 7 Entonces es A1    1 5     14 14  A fin de extraer conclusiones, analicemos la primera y la última expresión de (1). El planteo de “los dos sistemas” de ecuaciones sugirió anotar la matriz A y, separada por una línea de puntos, la matriz unidad I2. Efectuamos las operaciones con los renglones para obtener la matriz escalonada reducida equivalente a la matriz A (método de eliminación de Gauss-Jordan). La matriz obtenida en el lugar que ocupaba I2 resultó ser A-1. El método utilizado suele llamarse "método de la matriz unidad”.

Otro ejemplo: Usaremos el “método de la matriz unidad” para hallar, si existe, la inversa de la matriz B.  1 0 2   B =  3 4 1   1 4 5   

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Solución: 1 0 2  1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0        0 1 7  3 4 1 0 1 0  0 4 7 3 1 0  0 4 7 3 1 0         4  1 4 5 0 0 1   0 4 7 1 0 1   0 0 0 2 1 1  0 0 0        La matriz escalonada reducida equivalente a B no es la matriz unidad I3 . Luego la matriz B no es invertible, es decir, no existe la inversa de B. Del análisis de los resultados obtenidos podemos afirmar las siguientes condiciones necesarias y suficientes para que una matriz cuadrada sea invertible:  Una matriz cuadrada de n x n es invertible si y sólo si es equivalente por renglones a la matriz unidad de orden n.  La matriz A de orden n es invertible si y sólo si la forma escalonada reducida de A es la matriz unidad In.  Una matriz cuadrada de n x n tiene inversa si y sólo si el rango de la matriz es n.  Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si la forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes.

Ejercicios: a) Explique por qué del análisis de las soluciones de los dos ejemplos pueden extraerse las conclusiones contenidas en los enunciados mencionados anteriormente. b) Justifique por qué los cuatro enunciados son “equivalentes” Ejercicios resueltos 1) Dadas:

 1 2 3  1 5 2  A  y B    1 0 2   2 2 1 

a) Indique los vectores fila y los vectores columna de A. b) Halle: 1) A + B, 2) –2 B, 3) A– B,

4) A – 2 B,

5) 5 B + A.

Solución: a) Los vectores filas resultan: 1 2 3 y  1 0 2  y los vectores columna:

 1   2  3   ; ;   1   0   2  b) Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener igual orden o tamaño.Se obtiene:

 0 7 1 1)    1 2 1

 2 10 4  2)    4 4 2 

 2 3 5  3)     3  2 3

 3 8 7  4)   5)   5  4 4

 4 27 7     9 10 3 

2  3     2) Dados los siguientes vectores: A   3  ; B   0  , realice los productos escalares indica 5   4     dos: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 48

0  3 1 0 4 4  2 1 1  1

0

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a) A B, b) B A, c) (2 B ) ( 3A), Solución: Para realizar los productos solicitados, procedemos así: a) A B = 2.3 + 3. 0 + (-5). 4 = -14 b) B A = 3. 2 + 0. 3 + 4.(-5) = -14 c) (2 B ) ( 3A)= 6. 6 + 0. 9 +8. (-15) = -84

 2 3  3) Halle, si existe, la inversa de la matriz: A     4 5  Solución: Utilizaremos el método del espejo para hallar, si existe, la inversa de A. El método consiste en escribir la matriz dada ampliada con la matriz identidad y luego sobre este esquema se efectúan las transformaciones elementales por renglón tal como veremos:

 0  F1 1/2  1    1  4   5 3   3 F2    F1 1 0   2   2 2   0 1 2 1    2 3 1   4 5 0

3 1 2 2 5 0

  0  F1 4  F2  1     1 0

3 1 2 2 1 2

  0  F2 ( 1)  1    1 0

Ahora, a la izquierda, se obtuvo la matriz identidad, y a la derecha, la matriz resultante es la inversa de A:

 5 A  2   2 1

3  2   1 

 1 3 4  4) Halle, si existe, la inversa de la matriz: A   2 5 7   0 1 1   

Solución: Operando de manera similar al ejercicio anterior, escribimos la matriz dada ampliada con la matriz identidad y luego sobre este esquema se efectúan las transformaciones elementales por renglón tal como veremos:  1 3 4 1 0 0   1 3 4 1 0 0  F2 3  F1  1 0 1 5 3 0    F 1  2  F2   F2  F3     0 1 1 2 1 0     0 1 1 2 1 0  Hasta aquí podemos  2 5 7 0 1 0    0 1 1 0 0 1   0 1 1 0 0 1   0 0 0 2 1 1       

aplicar las transformaciones elementales por fila, pero se observa que a la izquierda, será imposible obtener la matriz identidad, entonces puede concluirse que la matriz A no admite inversa o no es invertible.

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3 1 2 2 1 2

 0  1

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Ejercicios Propuestos 1) Escriba la matriz A   aij 

32

si: a) aij  (1)

i j

0 si i  j  , b) aij  3 si i  j , i  j en otro caso 

1 si i  j c) aij  5  ij donde ij es el delta de Kronecker, definido como ij   0 si i  j

1 0  2 3   4 2 2   , obtenga: , N  , P  2) Dadas las matrices M       2 3   0 1  3 5   

a)

2M + 3N – P, b) M (N – P), c) (N – M)2

 1 0 5   2 0   1 3  1 1          3) Dadas las matrices: A   2 5  , B   1 4  , C   4 6  , D   2 1 0   3 4 7   7 5   1 2   7 3           5 0 5   y E   0 1 4  , realice las operaciones indicadas de ser posible. Cuando no lo sea,  3 2  1   justifique su respuesta: a) 3A,

b) A + B,

c) 2C – 5A,

d) – 3D,

e) D – A,

f) C – A – B,

g) –3D – E, h) A + I,

i) E + I ,

j) E t  2 Dt ,

k) 5 At  2 C t , l) B t ,

1   4) Realice las operaciones indicadas con: A   2   4   a) (2A) ( 3B),

b) A (B + C),

m) E t  2 I

0   B   3  7  

c) C( A – B ),

4   C   1  5   d) A B ,

e) C A,

f) (A – C) (3B – 4 A) 5) Realice las operaciones indicadas, de ser posible:

 2 3  4 1 a)     1 2   0 6 

 1 4 2   4 1  d)    3 0 4   0 6

 3 1 1   4 5 1    b)   5 6 4  0 4 2   0 1 2

 1 4 6   2 3 5     e)  2 3 5   1 0 6   1 0 4  2 3 1   

 1 6   7 1 4 c)  0 4     2 3   2 3 5     3 6    2 4  f ) 1 4 0 2  1 0    2 3 

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 3 2 1   1 0 0     g)  4 0 6  0 1 0   5 1 0 0 0 1   

 1 0 0   3 3 0     h)  0 1 0   2 5 2   0 0 1   1 0 6    

1 2 1 2 0 4    0 1  i )  0 1 3 5   1 3 2 0   1 0    4 5   6) Dadas las siguientes matrices cuadradas, determine si son invertibles. Si lo son, halle su inversa y verifique lo obtenido recordando que: A A1  A1 A  I

 1 6  2 1 a)   , b)  ,  2 12   3 2

3 1 0  1 1 1     c)  1 1 2  , d)  0 1 1 1 1 1  0 0 1    

 1 1 2 3 4 n 7) Dada la matriz A    , encuentre: A , A y A . Generalice para A y pruebe 0 1   este resultado utilizando el método de inducción matemática. 8) Si A es la matriz que se da a continuación, diga en qué casos es: a) triangular superior, b) triangular inferior, c) simétrica:

x x y   A x y y x z2 z y 

xz  y z z 

9) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones escritos en forma matricial:

 x 3 1 4  3 a)    y     , b) 3 2 6  0 z

3 0 1    x     4 2 y   0 7 1  5    

10) Determine el rango de las siguientes matrices:

 6 2 1   2 0 1   0 1 2 3    0 3 4       3 4 5 4 0 1 5 a)   b)   , c)  6 4 9   4 8 11  3 1 2 2         3 1  1 2 

3   2 1   2  tenga rango 2 11) Encuentre el valor de k para que la matriz  5 3 9 1 k  9  

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Respuestas

6 5  1 1  3 0       1) a) A   1 1  , b) A   3 3  , c) A   5 6  5 5  1 1  4 5       15 12   22 20   39 10   , b)  , c)  2) a)  2    11 20   5 8   30 19   

3) a)

 0   1  1 

 3   6   3 

9  , b)  1 3  , c)  7 13 , d)  3 0 15  , e) No es posible,  6 3 0   2 13   3 9 15   9 12 21   9 4   8 7   6       

2   3  4 

  g)  2 0 10  , h) No es posible,  6 2 4   6 14 22   

k)  7

2 9    13 13 4   

4) a) 252,

l)  2 1 7  ,   

0 4 5





3

0

6

0 5 

3

4 4 

 3 

2 0

 

 5 

4 15 

i)  0 0 4  , j)  0 1 10  ,    

3

m)  0 3 2     5 

4 3

b) 60, c) -12, d) 34, e) 26, f) 2,

 13 35 18   8 20  5) a)    b)   20 26 20   4 11 

f )  7 16 

f)

 19 17 34    c)  8 12 20  d ) No es posible.  8 11 7   

 3 3 0   3 2 1      g )  4 0 6  h)  2 5 2   1 0 6  5 1 0    

18 15 35    e)  9 21 13  10 9 9   

 17 16    i)  17 26   1 1   

 1 1 0   3 1 2   2 1 1    6) a)   , b) la matriz no tiene inversa, c)  1 3 6  , d)  0 1 1 8  3 2   0 0 1   2 2 4     1 2  3  1 3 1 4 1 n 4 n 7) A2   , A   , A   , A    0 1  0 1 0 1 0 1

x x  1 0 0  x  x 1 2 0       0 1   x 0  , c) A   x 8) a) A   0 1 2  , b) A   2 x  x 1 1  2x  2 2 x  0 0 1 1        2  9) a)   t , 3  2t , t  b) es incompatible.  3 

10) a) 2, b) 3, c) 2

11) k = –1

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DETERMINANTES

 a11 Sea la matriz cuadrada A    a21

a12   , el determinante de A es el número real que se a22 

obtiene restando los “productos cruzados” : det A  a11 a22  a12 a21 Notación: det A, o bien A

2 3  2 3  Por ejemplo: A   = –2 (–5) – 3 . 1 = 10 – 3 = 7  ; det A  1 5  1 5  Si A es una matriz cuadrada de números reales de orden n, el determinante de A es un número real que se obtiene según la definición que formalizaremos luego de algunas consideraciones. A partir de la definición podremos calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. Definición de menor complementario de un elemento: Si A es una matriz cuadrada de orden n, se llama matriz menor del elemento aij a la matriz de orden (n – 1) que se obtiene suprimiendo el renglón i y la columna j de A. Ejemplo:

 2 5 7   A   1 3 0   3 1 5  

;

 1 3    3 1

M13 = 

;

2 7  3 5

M22 = 

Observación: También se dice simplemente “menor M13”; “menor M22”. Definición de determinante: Si A es una matriz cuadrada de n x n, el determinante de A es el número que se encuentra de la siguiente manera: 1) Si la matriz tiene un único elemento a, su determinante es el número a. si n = 1, la matriz es A = (a), el det A  a . 1) si n > 1 , A es la matriz:  a11   a21  a31   ..  ai1   .. a  n1

a12 a22

a13 .. a1 j a23 .. a2 j

a32 ..

a33 .. a3 j .. .. ..

ai 2

ai 3

..

aij

..

..

..

..

an 2

an 3 .. anj

.. a1n   .. a2 n  .. a3n   .. ..  .. ain   .. ..  .. ann 

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El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos del primer renglón por el determinante de la matriz menor de ese elemento y por el factor (-1) 1+j siendo 1+j la suma de los subíndices del correspondiente elemento de ese primer renglón. det A = (-1)1+1 a11 det M11 + (-1)1+2 a12 det M12 + ....+ (-1)1+j a1j det M1j + …… + + (-1)1+n a1n det M1n La potencia de (-1) que figura en cada término como factor está dando un signo: positivo si la suma de los subíndices es par, y negativo si es impar. Otra forma de expresar el determinante de A es mediante la notación│A│(se lee: determinante de A). De manera que cuando escribimos una matriz, a los elementos los encerraremos entre paréntesis o corchetes, y para expresar su determinante, encerramos sus elementos entre barras. Los determinantes de las matrices menores reciben también el nombre de menores complementarios de los respectivos elementos. Apliquemos la definición para calcular determinantes de orden 2 y de orden 3. Si n = 2 : det A =

a11

a12

a 21

a 22

= (-1)2 a11 a 22 + (-1)3 a12 a 21 = a11 a22 - a12 a21

Los menores complementarios que intervienen son de orden uno y se calculan aplicando la primera parte de la definición. Si n = 3, se tiene:

a11 a12 a13 a 22 a 23 a 21 a 22 a 21 a 23 detA= a 21 a 22 a 23 = (-1)2.a11. + (-1)3.a12. + (-1)4.a13. a32 a33 a31 a32 a31 a33 a 31 a32 a33 det. A = a11 (a22 . a33 - a 23 . a 32) - a12 (a21 . a33 - a 23 . a31) + a13 ( a21 . a32 – a22 . a31 ) det. A = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 + a12 a23 a31 + + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 En este caso los menores complementarios son de orden 2 y sus determinantes se calculan aplicando la segunda parte de la definición. Observamos que en cada término del desarrollo figura como factor un elemento de cada renglón y de cada columna. Es fácil advertir que mediante la definición adoptada podemos encontrar el determinante de una matriz de cualquier orden.

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Ejemplo:

5 3 2 4

1 det A = 0 1

4

2

det A = (1)2.1(-2 .2 – 4.4) + (-1)3. 5( 0.2 – 4.(-1)) + (-1)4 (-3) (0.4 – (-2) (-1)) = = (-4 – 16) – 5 . 4 + (-3) (-2) = -20 – 20 + 6 = - 34 Propiedad: El desarrollo del determinante de una matriz cuadrada puede efectuarse por los menores de los elementos de cualquier renglón o de cualquier columna. Ejercicios: a) Exprese un determinante genérico de orden 3 y efectúe su desarrollo por los menores de los elementos de: i) la tercera columna. ii) el tercer renglón. b) Calcule el determinante de A efectuando su desarrollo por los menores de los elementos de la primera columna.

 4 3 5   A =  2 1 2   1 4 6    Cofactor, adjunto o complemento algebraico de un elemento. Definición. Se llama cofactor, complemento algebraico o adjunto del elemento aij de la matriz A de orden n al producto del determinante menor de ese elemento multiplicado por el factor

(-1)i+j . Aij = (-1)i+j det Mij

Definición: el determinante de la matriz A de orden n, con n > 1 es la suma de los productos de los elementos de uno de sus renglones o de una de sus columnas por sus respectivos cofactores. det A = ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ..........  ain Ain si se efectúa el desarrollo o expansión por los elementos del renglón i. det A a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...........  anj Anj si se efectúa el desarrollo o expansión por los

elementos de la columna j. Ejemplo: Si el cálculo se realiza por cofactores del primer renglón se tiene: det A = a11 . A11 + a12 . A12 + .......+ a1n . A1n Ejercicio: Desarrolle el determinante de la matriz A por los cofactores de los elementos de la segunda columna y por los elementos del tercer renglón. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 55

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 1 6 2    A   3 5 1  4 2 3  

Regla de Sarrus para el cálculo de un determinante de tercer orden.

a11 a12 A  a 21 a 22 a31 a32

a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22 a33 a31 a32

Repetimos la primera y la segunda columnas. Los productos de los elementos que están en la diagonal principal y los que están en las dos paralelas a ella van precedidos de signo positivo; los que están en la diagonal secundaria, precedidos de signo negativo.

A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33

a11

a12

a13

A  a21 a22

a23

Otra forma: repitiendo los dos renglones primeros.

a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 A = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 – a13 a22 a31 – a23 a32 a11 – a33 a12 a21

2

4

Ejemplo: det A = 5  4 1 3

1  2

4 2 5 4 4 1 3

det A = 32 + (-8) + (-15) – (-4) – (-12) – 80 = 32 – 8 – 15 + 4 + 12 – 80 = = 48 – 103 = -85 El cálculo de determinantes de orden mayor que tres usando la definición puede resultar complicado debido al número de términos de su desarrollo. Si el determinante es de orden tres hay seis términos en su desarrollo; si es de orden cuatro hay veinticuatro términos. En general, en el desarrollo de un determinante de orden n hay n! (factorial de n) términos. El cálculo se simplifica aplicando las propiedades que estudiaremos a continuación.

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Propiedades. I) Si todos los elementos de un renglón o de una columna de un determinante son ceros, el determinante es nulo. Demostración: Desarrollamos el determinante por los cofactores de los elementos de esa línea de ceros. En cada término del desarrollo figura un cero como factor. Luego el término se anula y la suma será igual a cero. II) Si A es una matriz de orden n y B es la matriz que se obtiene intercambiando en A dos líneas paralelas, el determinante de B es igual al opuesto del determinante de A. Demostración:

 a11  Sea A =  a21 a  31

a13   a23  a33 

a12 a22 a32

a11 a12 A = a 21 a 22 a31 a32

 a21  B =  a11 a  31

y

a22 a12 a32

a23   a13  a33 

a13 a 23 = a11a22 a33 + a12a23a31 +a21 a32 a13 – a13a22 a31 – a12a21 a33 – a33 - a23 a32 a11

B

=

a 21 a 22 a11 a12

a 23 a13

a31

a33

a32

= a21 a12 a33 + a22 a13 a31 +

a11 a32 a23 – a23 a12 a31 – a22 a11 a33 –

-a13 a32 a21= -(-a21 a12 a33 - a22 a13 a31 - a11 a32 a23 + a23 a12 a31+ +

a22 a11 a33 + a13 a32 a21) = - A

Cómo se usa esta propiedad. Para facilitar el cálculo de un determinante puede resultar conveniente intercambiar dos líneas paralelas. Al hacerlo, para mantener la igualdad, es preciso anteponer un signo menos al determinante. Ejemplo:

1 5

4

1 5

0

2

3

6

1 = – 3 5 0

4

6

5

2

1

III) El determinante de una matriz A es igual al determinante de la traspuesta de A. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 57

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det A = det At Demuestre la propiedad. (Puede usar una matriz genérica de orden tres). IV) Si una matriz cuadrada A tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es igual a cero. Demostración. Sea B la matriz que se obtiene intercambiando entre sí las líneas idénticas de A. Por el teorema anterior

det B = - (det A)

Pero det B = det A (porque se han intercambiado entre sí dos líneas idénticas) Luego det A = - (det A). Para que se cumpla esta igualdad debe ser det A = 0. V) Si una línea de un determinante se multiplica por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.

a11 a12 Sea det A = a 21 a 22 a31 a32

ka11 a13 a 23 y sea det B = a 21 a31 a33

ka12 a 22

ka13 a 23

a32

a33

det A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 y det B = k a11 . B11 + k a12 . B12 + k a13 B13 Los respectivos cofactores son iguales: A11 = B11 ; A12 = B12 ; A13 = B13. Reemplazando en la última expresión y sacando factor común se tiene: det. B = k ( a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ) = k . det A Cómo se usa esta propiedad. Si una línea de un determinante se multiplica por un número, para mantener la igualdad, el determinante debe dividirse por ese mismo número. Si una línea se divide por un número, el determinante debe multiplicarse por el mismo número. Ejemplos:

a)

4

6

2

5

3

2 6

9 = –2 . 3 1 8  4 6 4

2 6 1 5 3 = 5 3 = –6 (–2) 1 2 2 1 4 2 1

= 12 (–10 + 36 + 2 – (–10) – (-6) – (–12)) = 12 ( –10 + 36 + 2 + 10 + 6 + 12) = = 12 . 56 = 672 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 58

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1 3 b)

4  12 0 1 4 3 1  4 3 1 4 7 5 2 7 5 2 0

VI) Si una matriz de orden n tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es nulo.  a11 a12 ka11    Si A =  a21 a22 ka21  , entonces det A = 0 a   31 a32 ka31  Demostración: se propone como ejercicio. VII) Si los elementos de una línea de una matriz son binomios, su determinante puede expresarse como la suma de dos determinantes que difieren del de la matriz dada solamente en la línea correspondiente a los binomios y los términos de los binomios son los elementos de la línea respectiva de cada sumando.

a11  a´11

a12

a13

a 21  a' 21

a 22

a31  a'31

a32

a 23 =

a11 a21

a12 a22

a13 a '11 a23  a '21

a12 a22

a13 a23

a33

a31

a32

a33

a32

a33

a '31

Demostración: se propone como ejercicio. VIII) Si a una línea de un determinante se le suman los elementos de otra paralela previamente multiplicada por un número, el determinante que se obtiene es igual al primero. Demostración:

Sean

a11

a12

a13

A  a 21 a31

a 22

a 23

a32

a33

Por el teorema anterior es

y

a11 B  a 21  ka11

a12 a 22  ka12

a13 a 23  ka13

a32

a33

a31

a11 B  a21

a12 a22

a13 a11 a12 a23  ka 11 ka12

a13 ka13

a31

a32

a33

a33

a31

a32

El primer sumando es igual al determinante A y el segundo es nulo por tener dos renglones proporcionales. Luego B  A . Esta es una de las propiedades más usadas en el cálculo de los determinantes.

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Ejemplo:

1 0

2 1

2 1

3 4

3 1 4 2 4 2 2 1



1 0

2 1

2 1

3 4

0 7 10 7 0 6 10 11

1

1

4

  1 1 7 10 7  6 10 11 11

1 1 4 21 1 7 1 7 11 3  0 3 21   1   3   3   3 15   45 4 13 4 13 0 15 0 4 13 En el primer paso, al tercer renglón le sumamos el primero multiplicado por (-3) y al cuarto renglón le sumamos el primero multiplicado por (-4). Desarrollamos el determinante por los menores de los elementos de la primera columna y obtenemos un determinante de orden 3. Como segundo paso, al segundo renglón le sumamos el primero multiplicado por 7 y al tercer renglón, el primero multiplicado por 6. Se obtiene un determinante de orden 2.

Cálculo del determinante de una matriz triangular. a) de una matriz triangular superior.

3 1 5  3 1 5  1 3 2 2     24.  1 1   24 A   0 2 6  ; det A  2  4  0 1 3   8  1 3 0 1  0 0 4  0 0 1   b) de una matriz triangular inferior.

 5  1 A  2  3 

5 0  1 0 ; det A  2 1 1 0    3 0 2 3  0 2

0 0

0 2

0 0

0 0

1 1 0 0 2 3



2 0 0 1 0 2 2   1 5 1 1 0  5  1 2 10  1  1 3   30 2 3 0 2 3 2

Analice los resultados obtenidos y extraiga conclusiones. Complete : a) El determinante de una matriz triangular superior es igual a ............................... b) El determinante de una matriz triangular inferior es igual a ............................... Determinante de la matriz identidad. a) Exprese las matrices I2 e I3 y calcule su determinante. b) Diga cuál es el determinante de I5 . ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 60

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c) Complete: El determinante de la matriz identidad In es ............. Ejercicio: Calcule los determinantes: 4 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 a) 0 3 0 b) 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 4 Determinante de un producto de matrices. Propiedad: Si A y B son matrices de nxn, entonces el determinante del producto AB es igual al producto del determinante de A por el determinante de B. det AB = det A . det B

 3 5   4 3  Ilustre la propiedad para A    y B    2 1  5 7  Observación: También puede enunciarse diciendo que el determinante del producto de dos matrices nxn es igual al producto de sus determinantes: A B  A B 1 det A Demostraremos esta propiedad usando la propiedad enunciada anteriormente.

Propiedad: Si A es una matriz cuadrada invertible entonces det A-1 =

Demostración: Por definición de inversa A A1  A1 A  I . Por propiedad anteriormente enunciada

det  A A1   det A det A1 . Pero como

A A1  I , det I  det A det A1 1  det A det A1 1 luego: det A1  det A Regla de Chio. Se elige un “pivote” que debe ser un uno (1), preferentemente que pertenezca a un renglón o columna que tenga ceros. Si no hubiera un uno se lo consigue aplicando alguna de las propiedades que hemos estudiado. Se suman los elementos de los renglones para obtener la columna de control. Se marcan mediante bandas el renglón y la columna del pivote. El determinante resulta igual al producto de (-1)i+j, siendo i el renglón y j la columna del pivote, por el determinante de orden (n – 1) que se obtiene restando a los elementos que quedaron fuera de las bandas el producto de los elementos de su renglón y de su columna que están en las bandas. Con los elementos de la columna de control se procede de la misma forma, y, en cada paso, se verifica que la suma de los elementos de los renglones del determinante sea igual al número obtenido en la columna de control. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 61

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Ejemplo:

4 5

8 3

4 2 18 3 2 13

88

4  4 2  4 18  4

16

0

2 14

 (1) 3  10 3  5 2  5 13  5   13 2 3 8  9 7 3 19 9 7 3 19 5

0 9 7 3 19 1 2 1 1 1

8 0 1 7 13  24 2 8  21 11 2 13  (2) 13 2 3 8  2(1) 4 2  –22 9  24 7 19  21 33 7 40 9 7 3 19 Matriz Adjunta. Definición: Si A es una matriz cuadrada de n  n se llama matriz adjunta de A a la matriz que se obtiene reemplazando los elementos de la traspuesta de A por sus respectivos cofactores. Ejemplos:

a a) A   11  a21

a12  t  a11 ; A   a22   a12

a21   a22  Entonces: Adj A   a22   a21

a12   a11 

 2 0 1  2 3 1     t b) A   3 1 1 ; A   0 1 2  1 1 1   1 2 1    

 1   1  3 Adj A     1   3  1 

2 1 1 1 1 2

0 2 1 1



2 1 1 1 

2 1 0 2

0 1   1 1   3 2 1  2 3     4 3 1    1 1      5 4 2  2 3  0 1 

Cálculo de la inversa de una matriz por el método de la adjunta. Consideraciones previas. Hemos visto que el desarrollo (o expansión) de un determinante puede efectuarse con respecto al i – ésimo renglón sumando los productos de los elementos por sus respectivos cofactores: det A= ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ......  ain Ain (expansión con respecto al i-ésimo renglón) o bien

det A= a1 j A1 j  a2 j A2 j  .....  anj Anj (expansión con respecto a la co-

lumna j).

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¿Qué resultado se obtendría si en lugar de multiplicar por los cofactores de los elementos del renglón o de la columna elegida multiplicáramos por los cofactores de otro renglón o columna? Analicemos este caso usando un determinante genérico de orden 3. a11 a12 a13

det A  a21 a22 a31

a32

a23 a33

Si multiplicamos los elementos del primer renglón por los cofactores de los elementos del segundo renglón, se tiene:

 a11

a12

a13

a32

a33

 a12

a11

a13

a31 a33

 a13

a11

a12

a31 a32



= a11 a12 a33  a11 a13 a32  a12 a11 a33  a12 a13 a31  a13 a11 a32  a13 a12 a31  0 A la misma conclusión podemos llegar si expresamos esa suma mediante un determinante que llamaremos det B:

a11 det B  a11 a31

a12 a12

a13 a13  0 por tener dos renglones iguales.

a32

a33

Podemos afirmar que la suma de los productos de los elementos de un renglón por los cofactores de los elementos de otro renglón es igual a cero. Lo mismo, para las columnas. Teorema: El producto de una matriz cuadrada A de nxn por su adjunta es igual al producto del determinante de A por la matriz unidad de orden n. Demostración:

a1 j a1n  Ai1 An1   a11 a12  A11 A21     a2 j a2 n  Ai 2 An 2   a21 a22  A12 A22     Sea A    ; Adj A    aij ain  Aij Anj   ai1 ai 2  A1 j A2 j         A a anj ann  Ain Ann   1n A2 n  n1 an 2 A  Adj A   cij  , donde el elemento cij es igual al producto escalar del renglón i de A por la columna j de Adj A .

det A, si i  j cij   0, si i  j En efecto, el elemento c12  a11 A21  a12 A22 

 a1n A2 n  0 por ser suma de los pro-

ductos de un renglón por los cofactores de otro. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 63

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c11  a11 A11  a12 A12 

 a1n A1n  det A

0  det A  det A  0  Entonces A Adj  A    0  0   0  0

0 0 det A 0

0   0      det A  I n 0    det A 

Podemos pasar el número det A al primer miembro: Adj A A  In det A Como el producto de las dos matrices del primer miembro es igual a la matriz unidad I n , el segundo factor debe ser la inversa de A. Entonces:

A1 

Adj A det A

Ejemplo: 1 0 5    Sea A   1 3 3  ; Primero comprobaremos si existe la inversa de A para lo cual cal 2 4 1   culamos su determinante A  1 . Como es distinto de cero, la matriz A tiene inversa. Hallamos la adjunta de A:

1 1 2    La traspuesta de A es: A   0 3 4   5 3 1    t

La adjunta es:

 3   3  1 Adj A     3   1  3 

4 1



2 1 2 4

0 4 5 1 1 2 5 1



1 2 0 4

0 3   5 3  20 15   9 1 1     7 11 2    5 3     10 4 3    1 1  0 3 

La inversa es:

 3 2 1 Adj A   A    4 3 1 A  5 4 2    1

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 64

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Resolución de ecuaciones matriciales Si A, B y X son matrices cuadradas de n  n y A es invertible, pueden resolverse las ecuaciones matriciales A X  B y X A  B aplicando las propiedades estudiadas: a) A X  B multiplicando a la izquierda por A1 : A1 A X  A1 B . Asociando:

A

1

A X  A1 B

I X  A1 B X  A1 B

b) X A  B multiplicando a la derecha por A1 : X A A1  B A1 . Asociando: X  A1 A  B A1

X I  B A1

X  B A1 Ejemplos: 3  1   4 5   Si A  2 y B  , resuelva las ecuaciones:   0 1  1 2 

a) A X = B

b) X A = B

En la resolución de las dos ecuaciones interviene la inversa de A. Debemos verificar su existencia: Calculamos el determinante: det A 

3 3 1 ; 2  2    2 2 2

1  1

det B = -4  0 Luego existe la inversa de A.

Solución de a) AX B

Despejamos X: X  A1 B .

 4 3  La inversa de A es A1     2 2   4 3   4 5  Reemplazamos: X      2 2   0 1 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 65

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16 23  Efectuamos el producto y obtenemos X     8 12  Solución de b) X AB

X  B A1 ;

 4 3  A1     2 2 

 4 5   4 3  X     0 1  2 2 

;

 26 22  X    2 2 

Ejercicio:

a  a Muestre que la inversa de la matriz genérica de orden 2: A   11 12  es  a21 a22  Adj. A , siguiendo el procedimiento que se sugiere a continuación: A1  det A 1 0 x y a) Exprese A1    ; I2    0 1  z w b) Teniendo en cuenta que debe cumplirse que A. A1  I , efectúe la multiplicación de los factores del primer miembro y, a partir de la igualdad, forme dos sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas y resuélvalos por el método de determinantes.

x y c) Reemplace en A1    las incógnitas por los valores hallados y compruebe que  z w A1 

Adj. A . det A

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 66

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Ejercicios resueltos:

2

3

1) Calcule el siguiente determinante: 1 4

5

0 2 .

6 3

Solución: Haremos el desarrollo por los cofactores de los elementos de la última columna (¿por qué?):

2 3 1 4 5

0 1 4 2 3 2 3 2  (1)13 0  (1) 23 2  (1)33 (3)  27 5 6 5 6 1 4 6 3

2) Calcule el determinante anterior, aplicando previamente propiedades: Solución: Sabemos que un determinante no cambia si a una de sus líneas se le suma otra multiplicada por una constante. En este caso, sumaremos a la primera fila la segunda multiplicada por 2 y a la tercera la segunda multiplicada por 5. A continuación desarrollamos el determinante por los cofactores de los elementos de la primera columna, obteniendo:

2 3 1 4 5

0 0 11 4 11 4 2  1 4 2  (1) 21 (1)  77  104  27 26 7 6 3 0 26 7

3) Obtenga, por el método de la matriz adjunta, la inversa (si existe) de cada una de las siguientes matrices:

 3 5 a) A     2 4 Solución: Observemos que A 

3 5  2 . Como A  0 la matriz es invertible. 2 4

Hallamos ahora la adjunta de la matriz A. Para ello, obtenemos la traspuesta de A:

3 2 At    , y la adjunta, reemplazando cada elemento de la traspuesta de A por su 5 4 cofactor:

 4 5  Adj A   ,  2 3 

y

como

A1 

Adj A , A

tenemos

finalmente:

 2  52  A1     1 3 2 

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 67

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 1 0 2    b) B   3 1 2  0 4 3   Solución: Procediendo como en el caso anterior, calculamos el determinante de la matriz B:

 1   2  1 3 0   3   1 4  y Adj B    B  13 . Por otra parte Bt   0  2  2 2 3      3  1 

4 3

0 4 2 3



1 0 2 3

0 3 0 4



0 2

1 0 0 4

 1113  11 8 2     donde Adj B   9 3 4  . De los resultados anteriores: B 1   9 13  12  12 4 1   13  

8

13

3 4

13

13

1 2



1 0

1   2  3   , de 2   3  1 

  13  1  13 

2

13

4

 2 1 0    c) C   3 4 2  5 3 2   Solución: En este caso C  0 , por lo que se trata de una matriz singular, es decir, no invertible. 4) Encuentre

la

matriz

X

si

XA

+

B

=

C,

siendo

 1 2 1  0  6 2 3   4 1   A  0 3 1 , B   , C     0 4 2  1 10 3   2 0 1   Solución: Podemos escribir XA = C – B y multiplicando ambos miembros por la inversa de A (a la derecha) y dado que AA1  I , resulta: X  (C  B) A1

3  2 1 Como C – B =   6 5  1

 313  y A1   2 13 6  13

2 3 4

13 13 13

 1  se obtiene finalmente 13  3  13  5

13

 2 1 0 X    3 0 2 

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 68

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Ejercicios Propuestos 1) Calcule los siguientes determinantes, efectuando el desarrollo por los cofactores de los elementos del primer renglón:

1 0

1 2 3

3

a) 5 1 1 ,

0 1

b) 4 5 6 ,

c) 0

4

1 5

7 8 9

2

2 3

1

2 , d) 0

2 0 3 1 1 4 0 2 4 4 6 0 4 0

0 2

2) Calcule cada uno de los determinantes del ejercicios anterior del siguiente modo: el ítem a) por los cofactores de los elementos de la primera columna, el ítem b) por la segunda columna, el ítem c) por el tercer renglón y el d) por el renglón o columna más conveniente. 3) Halle los siguientes determinantes:

4

0 a

3

1

2 4 , 1 0

2 1

0 0

a) 2

d)

1

3 1 2 2

0 1 1 4 2 0 1 3

cos  c) 0 0

0

b) b c

d , 0 e 0

,

e)

a b 4) Suponiendo que d g

e h

1 1 0 3 2 5 2 6 0 1

1 4

0 0 2 1

,

f)

sen  cos 

tg  sen 

sen 

cos 

2 5

3 4 0 2 0 3

2 0

4 3

5 6 2 5

c f  4 , encuentre lo siguientes determinantes, justificando su i

respuesta:

3a a) 3d 3g

b

2c

e 2 f , h 2i

a a g bh c f 2e 2 f , c) 2d  3g b) 2d g g h i

b c 2e  3h 2 f  3i h

i

5) Encuentre los valores de k para que la matriz A no sea invertible:

 1 1 k   a) A   k 0 1 ,  6 1 0   

3 k k    b) A   1 1 0  ,  3 2 0   

k  d) A   k 2 0 

 k  e) A   1 2k 

0  2 k , k k  k

3   k k   c) A   0 k  1 1  ,  k 8 k  1  

k 1 2

k 1   3  k  3 k  7 

6) Halle, utilizando el método de Gauss, la inversa de la matriz:

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 69

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 1 1 0    b)  0 1 0   2 0 1  

 1 1 0   a)  1 0 1 0 1 0  

7) Encuentre la inversa de la matriz dada (si existe):

 2 4  a)  ,  3 1

 1 a b)  ,  a 1 

1 1 1  1 2 1 e)  1 1 2  1 3 3

 1 0 h)    a 1

1  2 , 1  2

1 i)  a 

2 3 0    c)  1 2 1 ,  2 0 1  

 1 1 2    d)  3 1 2   2 3 1  

 2 1 4    g)  1 0 5   19 7 3   

3 1 0   f)  1 1 2  , 1 1 1   

1 0 a 1  a  (a  0) j)  0 1 0    1  0 0 1  

8) Resuelva las siguientes ecuaciones matriciales:

 3 1  6 14  a) AX  B, siendo: A   , B    2 4   4 14 

1 0 1  2 1 1   b) XA  B, si A   0 2 1  , B     17 1 15   3 1 2    2 1 1  3 2   6 3 11     1 , C   c) AX  B  C , siendo: A   3 0 2  , B   4   1 1 3   1 2 1  5 0     t

 0 3 3   4 0 2 14 4 9    d) ( A  X ) B  C , con: A    , B   2 2 3  , C    1  5 1 3  6 9  2 4 2   9) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, expresándolos en forma matricial:

2 x  3 y  z  4  a)  x  y  2 z  3 3x  2 y  2 z  0 

5 x  y  z  7   3 z  2 b) 2 x 4 x  y  2 z  13 

 2 0 1  1 2 10) Resuelva el siguiente ejercicio: Si A    , calcule, si es posi y B  3 3 4  3 5 ble: a) A2 B , b) At B , c) Bt A1B , d)  BBt  , e)  Bt B  1

1

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 70

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 1 0 1    11) Dada la matriz A   2 1 3  , obtenga: A2  5 A  12 A1  2I  0 2 2    12) Suponga que A y B son matrices n X n, siendo det A = 5 y det B = 3. Calcule el determinante de la matriz C en cada caso: a) C  ( BA)1 , b) C  A2 B , c) C  5 A , d) C  A3 Bt

1 2 13) Pruebe que 1 x  1 1

2

3 3  ( x  2)( x  1) x 1

14) Encuentre el valor de m para que el sistema tenga soluciones no triviales 7 x  2 y  4 z  0   x  my  z  0 (m  2) x  3 y  z  0 

3

1

7

15) Compruebe, sin calcular, que el siguiente determinante es nulo: x

4

2x  4

1 3y 2  3y x 1 1 16) Compruebe que 1 x 1  ( x  1) 2 ( x  2) 1 1 x 1 x 17) Pruebe que 1 x0 1 x1

y y0  0 es la ecuación de la recta que pasa por los puntos  x0 , y0  y1

y  x1 , y1 

18) Calcule, aplicando las propiedades que convengan:

2

3

1

0

1 

4

2

1

3

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Respuestas 1) a) 18, b) 0, c) -26. d) 0 3) a) -12, b) 0, c) cos θ, d) 8, e) 4, f) -365 4) a) -24, b) 8, c) 8 5) a) la matriz es invertible para todo valor de k, b) k = 0, c) k = 0, k = 2, d) k = 0, k = 1,

k = -2, e) la matriz no invertible, cualquiera sea k.

 1 1 0  1 0 1     6) a)  0 0 1  , b)  0 1 0   2 2 1   1 1 1     

 2 3 3  1 1 4 1  1 a    7) a)   , b) 2   , c)  1 2 2  , d) la matriz no es invertible, 10  3 2  a 1 a 1   4 6 7     21 3 3 6   3 1 2    1 1  4 1 4 1   e) , f)  1 3 6  , g) la matriz no es invertible, 8 9  1 2 1 2      2 2 4   15 6 6 3   1 0 a  1  1  1 0 2 2 a   , j)  0 1 0  h)   , i)    a  a 1  1    0 0 1  2 2   1 0  1 0 1  2 1 4   2 5   8) a) X    , b) X    , c) X   2 2  , d) X    2 2 3 5  0 1  0 1 1 1   9) a) x = 0, y = 1, z = - 1 b) x = 2, y = 1, z = - 2  1 3 5   50 36 41  11 9 11  1  34 2    10) a)   , b)   , c)  9 9 21  , d)  .  2 5 166 129 93 106  19 15 18     16 18 41   0 5   6   11)  10 6 15   0 10 21    12) a) 1/15, b) 75, c) 5n1 , d) 475 14) m  5, m 

7 4

18) 3  62  17  40

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VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO VECTORES EN EL PLANO Vector: es un segmento orientado. Elementos de un vector: a) Dirección: es la de la recta que lo contiene y todas las rectas paralelas a ella. b) Sentido: está indicado por la flecha.

 c) Módulo: es la medida del vector con respecto a una unidad. v  v . Consideraremos vectores libres, es decir, vectores que pueden trasladarse a cualquier punto del plano, conservando dirección, sentido y módulo. OPERACIONES CON VECTORES 1- Adición: para sumar los vectores u y v , trasladamos v de modo que su origen   coincida con el extremo de u . La suma de u  v es el vector que tiene como origen el origen de u y como extremo, el extremo de v . También puede usarse la regla del paralelogramo. A continuación se presentan tres ejemplos

Propiedades 1) Asociativa:  u  v   w  u   v  w

2) Conmutativa: u  v  v  u

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       3) Existencia del elemento neutro:  0 /  u es 0  u  u  0  u  El vector nulo es aquél cuyo módulo es igual a cero: 0  0 . Se reduce a un punto, no tiene ni dirección ni sentido.      4) Existencia del elemento opuesto:  u   u  / u   u   0 . El opuesto de un vector es aquél que tiene su misma dirección y módulo pero sentido contrario. El conjunto de vectores en el plano, con la operación adición, posee estructura de grupo abeliano o conmutativo. 2- Multiplicación de un número real por un vector Se define una ley de composición externa: el producto de un número real por un vector, de la siguiente manera:

    R,  u , el producto  u (con   0 ) es un vector que tiene:  dirección : la de u     u sentido : el de u , si   0; opuesto al de u si   0 módulo :  u   u 

 (si   0 , entonces  u = 0 ) Propiedades 1) Asociativa:  ,   ,  u

2

  se verifica   u      u .

2) Distributiva con respecto a la suma de escalares:  ,   ,  u      u   u   u . 3) Distributiva con respecto a la suma de vectores:   ,  u , v   u  v    u   v . 4) El 1, elemento neutro para el producto en

2

2

se cumple

se verifica

  , opera idénticamente: 1.v  v .

En consecuencia, el conjunto de vectores en el plano, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. De la misma manera, se puede probar que el conjunto de vectores en el espacio, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales. Versor: es un vector de módulo uno.

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Otras propiedades        1) 0 u  0 . Demostración: 0 u  0 u  0 u  0  0 u  0 .   2)  0  0 . Demostración:  0   0   0  0   0  0 .

  3) 1 u   u . Demostración:  dirección : la de u     1 u sentido : opuestoal de u  1  0    1 u   u módulo :  1 u   1 u  1 u  u    3- Diferencia de vectores     Dados dos vectores u y v se llama diferencia u  v al vector que resulta de sumar a   u el opuesto de v .

   Diremos que dos vectores son linealmente independientes, si la ecuación:  u   v  0 se verifica solo para      . En caso contrario, es decir, si la ecuación se verifica para algunos de los escalares  o  distintos de cero, los vectores son linealmente dependientes.

     Dados u , v  linealmente dependientes, si  u   v  0 y   0 , podemos multiplicar    0       por 1 :   queda: v y haciendo u  v  , de donde u 













      u   v  u , v  linealmente dependiente (l.d.)  u // v . Si dos vectores en el plano son linealmente dependientes ello implica que son paralelos. Si son linealmente independientes, son no colineales. Propiedad Si en un plano dos vectores son linealmente independientes, cualquier otro vector del plano es combinación lineal de aquellos.    Demostración: sean u y v dos vectores de V 2 linealmente independientes y sea w otro vector del plano.

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 75

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  Descomponemos w en las direcciones de u y de  v:     w  OA OB       OA   v  w   v   u    OB   u      w es combinación lineal de u y de v .

Consecuencias o El máximo número de vectores linealmente independientes en el plano es dos. o El conjunto de todos los vectores del plano que pueden expresarse como combinación de los dos vectores dados, que son linealmente independientes, es el “subespacio generado” por esos vectores. o Se llama base de un espacio vectorial a un conjunto de generadores linealmente   independiente. En consecuencia, el conjunto formado por los vectores u y v es una base del espacio vectorial 2 o Se llama dimensión de un espacio vectorial al número de vectores de una base. Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. o La dimensión del espacio vectorial o La base “estándar” o “canónica” de     sores i y j . Base estándar: i , j 

2

es dos. 2

es el conjunto formado por los ver-

Expresión cartesiana de un vector





Consideramos la base canónica formada por dos versores: i y j , correspondientes a   los ejes x e y respectivamente. Descomponemos el vector v en las direcciones de i y  de j .

   v  OA OB   OA  x.i     v  x . i  y . j    OB  y. j 

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 76

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

El vector p que une el origen de coordenadas con el punto

 P , se llama vector posición del punto P : P  x, y 

Ejemplos:

u  1,  3 v 2i  j

Módulo de un vector 

El triángulo onp es rectángulo en n . Aplicamos el corolario del teorema de Pitágoras:  2

 u 

 2

on  np





np  y

on  x  Entonces: u  x 2  y 2

El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

   Ejemplo: u  2.i  j

2  u  2 2   1  4  1  5

Ángulos directores y cosenos directores



Los ángulos directores de un vector u son los ángulos que forma dicho vector con los   versores i y j . Los cosenos de estos ángulos se denominan cosenos directores. Si u  xi  yj , entonces:

cos   

x u

y

cos  

y u



______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 77

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Propiedad de los cosenos directores Efectuamos la suma de los cuadrados de los cosenos directores: x2 y2 x2  y2 x2  y2 cos 2   cos 2    2   2   2  2 1 x  y2 v v v cos 2   cos 2   1 La suma de los cuadrados de los cosenos directores de un vector es 1.

4-Producto escalar de dos vectores







Dados dos vectores u y v se llama producto escalar u.v al número que resulta de mul  tiplicar el módulo de u por el módulo de v , por el coseno del ángulo comprendido.        u v  u v cos  u v    Propiedades 1) 2) 3) 4)

  Conmutativa: u.v  v.u .      Asociativa respecto del producto por un escalar:  u.v    u .v  u. v  .       Distributiva con respecto a la suma de vectores: u.v  w  u.v  u.w .        Si u.v  0  u  0  v  0  u  v .

Producto escalar de dos vectores dados por sus componentes













Sean los vectores u  u1i  u2 j y v  v1i  v 2 j , entonces:

     u.v  u1i  u 2 j  . v1i  v2 j  Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar respecto a la suma de vectores:

     u.v  u1v1i .i  u1v2 i . j  u2 v1 j .i  u2 v2 j . j

Por otra parte    i .i  i i cos 0º  1.1.1  1

   j . j  j j cos 0º  1.1.1  1 i . j  j .i  0

i  j 



u.v  u1v1  u2 v2 Reemplazando en la expresión anterior, se obtiene: Resulta entonces que: El producto escalar de dos vectores es igual a la suma de los productos de las componentes homólogas de los vectores. Ángulo de dos Vectores





Dados dos vectores u y v (no nulos), el ángulo  de esos vectores es el menor ángulo que ellos determinan (en el caso en que los vectores sean paralelos y del mismo sentido, consideraremos  = 0º, y sin son paralelos de sentido contrario  =180º) ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 78

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A partir de la definición de producto escalar:

   u.v  u v cos

 u.v de donde cos    u v Por otra parte, u.v  u1v1  u2v2 , por lo tanto: u1 v 1  u 2 v 2 cos  2 u1  u 22 v12  v 22 PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO      El vector proyección de u sobre v es el oB . Llamaremos proyección de u sobre v al módulo del vector proyección.   Proy v u  oB 

oB

  Entonces: Proyv u  u cos 

cos    u

   oB  u cos 

(1)

 u.v cos     reemplazando en (1) u v     u.v  u.v  Proy u  u   , finalmente Proy v u   u v v  v

VECTORES EN EL ESPACIO Propiedad: Puede demostrarse que dados en el espacio tres vectores linealmente independientes, cualquier otro vector del espacio es combinación lineal de aquellos. Conclusiones 1) El número máximo de vectores linealmente independientes del espacio es tres. 2) Todas las bases de

3

tienen tres vectores.

3) El conjunto de vectores del espacio, es un espacio vectorial de dimensión tres. 4) La base canónica en el espacio es la que tiene por elementos los versores funda   mentales: i , j , k .

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 79

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EXPRESIÓN CARTESIANA DE UN VECTOR DE

3

 Referimos un vector u a un sistema de ejes coorde nados ortogonales: x, y, z. Proyectamos el vector u sobre el plano xy según la dirección de z. El vector pro



yección es om . Descomponemos om en las direcciones   de i y de j . 

oA  x 

oB  y 

mP  z   El vector de posición del punto P es oP  u  x, y, z  .     Orientamos el vector mP de la figura, y tenemos: u  om mP pero

    om  x i  y j      u  x i  y j  z k ésta es la expresión cartesiana de u .     mP  z k

Módulo de un vector 

 En omP es u  

 2

 2



2

om  mP  2

En oBm es om  oB  Bm por lo tanto: om  y 2  x 2 y además donde

2

2



2

mP  z 2 de

 u  x2  y2  z 2

COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR

    u  u1 i  u2 j  u3 k

u cos  1 u

u cos  2 u

u cos  3 u

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 80

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Propiedad fundamental de los cosenos directores Realizamos la suma de los cuadrados de los cosenos directores: u2 u2 u2 u2  u2  u2 cos 2  cos 2   cos 2  12  22  32  1 22 3  1 u u u u

PARALELISMO DE VECTORES

    Dados los vectores u  u1 i  u2 j  u3 k

y v  v1 i  v2 j  v3 k

          u // v  u  t v  u1 i  u2 j  u3 k   t v1 i  v2 j  v3 k 

u1 , u2 , u3   t v1 , v2 , v3  u1 , u2 , u3   t v1 , t v2 , t v3   u1 t  v1   u u u u2 u 2  t v2   t 1  2  3  t v2  v1 v2 v3  u u 3  t v3  3  t   v3

u1  t v1 

  si t  0  u  v   si t  0  u  v

PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES DADOS POR SUS COMPONENTES     u  u1 i  u2 j  u3 k      u.v  u1 i  u 2 j  u3 k  . v1 i  v2

    v  v1 i  v2 j  v3 k   j  v3 k 

Por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición:        u.v  u1v1 i .i  u1v2 i . j  u1v3 i .k  u 2 v1 j .i  u 2 v2 j . j  u 2 v3 j .k      u3 v1 k .i  u3 v2 k . j  u3 v3 k .k         i .i  i i cos 0  1.1.1  1 i  j  i . j  j .i  0       j . j  j j cos 0  1.1.1  1  j  k  j .k  k . j  0

   k .k  k k cos 0  1.1.1  1

   k .i  i .k  0



k  i 

 u.v  u1v1  u 2 v2  u3 v3

ÁNGULO DE DOS VECTORES

    u.v cos  u v       u v

u1v1  u2v2  u3v3    cos  u v     u12  u22  u32 v12  v22  v32

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 81

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PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES

   La base canónica de R3 esta formada por los vectores i , j , k . Consideremos esa base ordenada en el sentido fijado por la regla de la mano derecha: se coloca la mano derecha  sobre el primer vector con la palma hacia el segundo, j .  El pulgar extendido indica el sentido del tercer vector k . El producto vectorial se define en el espacio vectorial 3 . Primeramente vamos a considerar la base canónica:  i, j , k  ordenada en sentido derecho. El producto vecto  rial u  v es otro vector cuyos elementos, dirección, sentido y módulo, se determinan como sigue:

 Dirección : perpendicular al plano de u y de v.        u  v Sentido : tal que u , v , u  v estén orientados según la base.   M ódulo : u  v  u v sen u v     Propiedades

    1) No conmutativa: u  v   v  u  .       2) Asociativa respecto al producto por un escalar:  u  v    u  v  u   v . 3) Distributiva con respecto a la suma de vectores: u   v  w  u  v  u  w . Producto vectorial de dos vectores dados por sus componentes

    v  v1 i  v2 j  v3 k

    u  u1 i  u2 j  u3 k

        u  v  u1 i  u 2 j  u3 k  v1 i  v2 j  v3 k                u  v  u1v1 i  i  u1v2 i  j  u1v3 i  k  u 2 v1 j  i  u 2 v2 j  j  u 2 v3 j  k         u3 v1 k  i  u3 v2 k  j  u3 v3 k  k

i j  i

i  i  i i sen 0o  0    i i  0    j j 0    k k  0

   i  j k    j k  i    k i  j

j sen 90o  1    j i   k    k j i    i k   j

u  v  u1v2k  u1v3 j  u2v1k  u2v3i  u3v1 j  u3v2i Este producto puede fácilmente expresarse mediante un determinante: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 82

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 i   u  v  u1 v1

 j u2 v2

 k u3 v3

Ejercicio: Encuentre el producto vectorial de u  (2,3,  5) y v  (2,  4,  1)

Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial

    u  v  u v sen 

h  sen     h  v sen  v     u  v  u h (área del paralelogramo de lados u  y v) PRODUCTO MIXTO

   Dados tres vectores u , v , w se llama producto mixto al número que se obtiene hacien   do: u  v .w .

u  v .w  u  v

 w cos 

: ángulo de  u  v  y w

    u  u1 i  u2 j  u3 k     v  v1 i  v2 j  v3 k     w  w1 i  w2 j  w3 k

 i   u  v  u1 v1

 j u2 v2

 k    u 3  u 2 v3  u 3 v 2  i  u1v3  u 3 v1  j  u1v 2  u 2 v1  k v3

u  v .w  u2 v3  u3v2  w1  u1v3  u3v1  w2  u1v2  u2 v1  w3 Puede expresarse mediante un determinante:

u1    u  v .w  v1

u2 v2

u3 v3

w1

w2

w3

Actividad: a) Exprese con palabras la "regla" que permite encontrar el producto mixto de tres vectores. b) Dé tres vectores tres vectores en el espacio y halle el producto mixto.

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 83

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO MIXTO

u  v .w  u  v

 w cos 

(2)

    u  v área del paralelogramo de lados u y v . h  cos     h  w cos  , reemplazando en (2). w      u  v .w  u  v h es el volumen del paralelepípedo de aristas u, v, w . o

Si los vectores se encuentran en un mismo plano, es decir, si son coplanares, su

producto mixto es cero. o Si aplicamos el producto mixto en un cálculo de volumen, debemos considerar que el volumen será el valor absoluto del producto mixto. ¿Por qué? Ejemplos: 1- Pruebe que los vectores u  (1,1, 4); v   9,6,  3 y w  10,7, 2  están en un mismo plano. Solución: Hallamos el producto mixto: 1 1 4 6  9  2  36  3  38    u  v .w  9 6  2   12  0 7 10 2  40  3  38 10 7 2 Rta.: Los vectores están en un mismo plano porque el producto mixto es igual a cero. 2- Halle el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores a) a  (1,1,1); b   3, 4, 2  y c   2,7, 2  ; Rta.: V  (a  b ). c  25  25 u. de volumen b) u  (1,  2,3); v   2,  3,1 y w   7,5,1 ; Rta.: V = 75 u. de volumen

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Ejercicios resueltos 1) Dado el vector u  2i  4 j , determine: a) el módulo de u b) los ángulos directores c) un vector de igual dirección y sentido del vector u , de módulo 5 d) un vector de igual dirección y sentido contrario de módulo 3 Solución: a) u  u12  u2 2  b) cos  

u1

4  16  20

   arccos

u

cos  

u2

 2 5  arccos       116º 33'54" 20  5 

4 2 5    arccos    26º 33'54" 5 20

   arccos

u

c) Se obtiene el vector unitario de igual dirección y sentido dividiendo por su módulo, y a este vector se lo multiplica por el módulo deseado.

v5

u

 5.

u

2i  4 j 10 20  i j . 20 20 20

d) En este caso se procede de manera idéntica al ítem anterior, pero se cambia el signo de las componentes del vector obtenido.

v  3.

u

 3.

u

2i  4 j 6i 12i , (en ambos casos la expresión puede racionalizarse)   20 20 20

2) Dados los vectores u  3i  j y

v  2i  5 j

a) encuentre el producto escalar entre ambos b) calcule el ángulo que forman estos vectores Solución: a) u.v  u1v1  u2v2  3.(-2) + 1.5 = -1 b Aplicamos en este caso la fórmula obtenida para el cálculo del ángulo entre dos vectores cos  

u.v

   arccos

u . v

u.v

   arccos

u .v

3) Dados los vectores u  i  2 j  4k

y

1    93º 21'59" 10. 29

v  3i  j  5k , determine el producto vectorial o

producto cruz entre los mismos.

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 85

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Solución: Aplicamos para resolver este ejercicio la expresión cartesiana del producto vectorial:

i j k u  v  1 2 4  6i  17 j  7k 3 1 5 Como este vector tiene la propiedad de ser ortogonal a los dos vectores dados, podríamos emplearlo para calcular, por ejemplo, un vector perpendicular a otros dos dados y de módulo 8. Para ello debemos determinar el módulo del vector obtenido, dividir este vector por su módulo y, en este caso, multiplicarlo por 8. 4) Encuentre el área del paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los puntos siguientes: P1 (1 , -2 , 3 ) ; P2 ( 2 , 0 , 1 ) y P3 ( 0 , 4 , 0 ) Solución: Tomando como origen el punto P2 pueden determinarse, según el procedimiento conocido, los vectores P2 P1 yP2 P3 , que determinan los lados del paralelogramo. En consecuencia, en función de la interpretación geométrica del módulo del producto vectorial entre dos vectores, resulta:

i j k A= P2 P1 xP2 P3  1 2 2  6i  5 j  8k  125  5 5unidadesdeárea 2 4 1 5) Determine si los vectores u  3i  5 j  3k ; v  i  6 j  5k y w  4i  j  3k son coplanares. Solución: Para resolver este problema aplicamos la interpretación geométrica del producto mixto, o también llamado triple producto escalar. Sabemos que si este producto es nulo los vectores son coplanares, mientras que si es distinto de cero los vectores determinan un paralelepípedo en el espacio , y por lo tanto no son coplanares. 3 5 3

 u , v, w   1

6

4 1

5   54  100  3   72  15  15   49  102  151 3

Los vectores no son coplanares.

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 86

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Ejercicios Propuestos 1) Sean los vectores u = ( 2, 3 ) y v = ( –5, 4 ) . Encuentre y grafique: a)

3u

b) u + v

c) v – u

d) 2 u – 7 v

2) Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado: a) v = i – j

b)

v = –3 i + 3 j

3) ¿Cómo determinaría un vector de igual dirección y sentido que u = –2 i + 3 j , pero cuyo módulo sea 5? 4) Calcule el producto escalar entre los siguientes vectores y determine el coseno del ángulo que forman: a) u  i  j; v  i  j b) u  5i; v  18 j c) u  3i  j; v  3i  3 j

5) Determine si los siguientes pares de vectores son paralelos, ortogonales o ninguno de los dos. Grafique. a)

u  3i  5 j; v  6i  10 j

b)

u  2i  3 j; v  6i  4 j

c)

u  2i  3 j; v  6i  4 j

d)

u  3i  6 j; v  i  2 j

6) Sean los vectores u  3i  4 j y v  i   j . Determine  para que: a) los vectores sean perpendiculares b) los vectores sean paralelos c) formen un ángulo de 60º 7) Encuentre, en cada uno de los siguientes casos, el vector Pr oy.v u a) u  2i  j; v  i  2 j

b) u  i  j; v  2i  3 j

c) u   i   j; v  i  j siendo  y números reales positivos. 8) Considere los puntos P= (2, 3) ; Q= (5, 7) ; R= (3, –3) y S= (1, 2)y halle el vector proyección determinado por los puntos P y Q sobre el vector determinado por los puntos R y S. 9) Encuentre la magnitud (o módulo) y los cosenos directores de de los siguientes vectores. Represente los vectores dados. a) v  i  j  k

b) v  2i  5 j  7k

c)

v  2i  3 j  4k

10) Determine un vector de módulo 3 que tenga: a) igual dirección y sentido que u ; b) igual dirección y sentido opuesto a u , siendo u  2i  4 j  3k . 11) Encuentre el producto escalar y el producto vectorial entre los siguientes pares de vectores del espacio: a) u  2i  3 j  k ; v  i  2 j  k

b) u  i  7 j  3k ; v  i  7 j  3k

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 87

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12) Encuentre dos vectores unitarios ortogonales tanto a u  2i  3 j como a v  4 j  3k 13) Encuentre el área del paralelogramo cuyos vértices consecutivos son los dados en cada caso: a) A(-2 , 1 , 0 ); B ( 1 , 4 , 2 ) y C ( –3 , 1 , 5 ) b) A(a, 0 , 0 ); B(0 , b , 0 ) y C ( 0 , 0 , c ) 14) Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son los puntos del espacio A (1 , –2 , 3) ; B (2 , 0 , 4) y C ( –3 , 1 , 5). 15) Determine el producto mixto entre los vectores del espacio u  3i  2 j  k , v  2i  j  5k y w  i  j  3k

16) Determine el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los vectores u  i  j; v  3i  2k , w  7 j  3k

17) Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores PQ; PR; PS , siendo P (1, 2, –1) ; Q (1, 3, 2) ; R (–2, 3, 0) y S (2, –1, 5) 18) Calcule el valor de la constante a de modo tal que los vectores

u  i  2 j  k ; v  3i  a j  2k y w  i  j  3k resulten coplanares.

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Respuestas 1) a) w  (6,9) , b) w  (3,7) , c) w  (7,1) , d) w  (39, 22) 2) a) u  1 4) a) 0 ; 0

12

i 1

; b) 0 ; 0

5) a) paralelos 6) a)   3

4

j

c) ninguno de los dos

i 3 j 13 13

3;

1 1 1 , , 3 3 3

b)

10) a) v 

3 (2i  4 j  3k ) 29

11) a) -3 ;

5i  j  7k

78;

c)

  2

i

 

158 2

b) 15) 29

2 5 7 , , 78 78 78

b) v 

2

j

c)

29;

2 3 4 , , 29 29 29

3 (2i  4 j  3k 29

b) -41 ; 42i  6 j

9 6 8 i j k y 181 181 181

13) a) 523 14)

12

c)   0,12

3

b) 2

i 1

c) -2 3 ; -0,5

;

, b)   4

12

17 85 i j 26 26

9) a)

12)

b) u   1

j ;

b) perpendiculares

7) a) vector nulo 8)

12

9 6 8 i j k 181 181 181

a 2b 2  a 2 c 2  b 2 c 2 16) 23

17) 79

18) 15/2

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 89

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ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial real V sobre el cuerpo de los números reales es un conjunto de elementos llamados vectores que satisfacen las siguientes condiciones: En el conjunto V está definida la adición y para esta operación se cumplen las siguientes propiedades: 1- Si u y v  V  u  v  V (ley de cerradura) 2- Si u , v y w  V   u  v   w  u   v  w (asociativa) 3- Existe el elemento neutro 0 perteneciente a V tal que 0  u  u  0  u . El vector nulo o vector cero es 0 . 4-

Para todo vector u V , existe el

vector opuesto:

u V

tal que

u   u    u   u  0 (existencia de elemento opuesto o inverso aditivo). 5- Si u y v V  u  v  v  u . (conmutativa de la suma de vectores) Está definida una "ley de composición externa": el producto de un elemento de V por un número real  , tal que: 6- Si u V y  es un escalar, entonces  u  V (ley de cerradura para la multiplicación por un escalar) 7- Si  y  son escalares y u V entonces    u      u (asociativa con respecto a la multiplicación de escalares) 8- Si u y v V   u  v   u   v (distributiva con respecto a la suma de vectores) 9- Si u V y  y  son escalares     u  u   u (distributiva con respecto a la suma de escalares) 10- Si u V entonces 1.u  u (el 1, elemento neutro del producto en

, opera idénti-

camente)

Ejemplos de espacios vectoriales son: a) El conjunto de los pares ordenados de números reales: V = b) V 

n

2

(Conjunto de las n – uplas ordenadas de los números reales).

c) V  M mn (Conjunto de las matrices de tamaño m x n ). Pueden demostrarse las siguientes propiedades: a) Para todo escalar  , es  0  0 b) Para todo vector u V es 0. u = 0 c) (-1) u = – u (el resultado es el opuesto de u ) ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 90

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Subespacios vectoriales Definición: Un subconjunto S de un espacio vectorial es un subespacio vectorial si en él se cumplen todas las propiedades de los espacios vectoriales. En consecuencia, para demostrar que un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio, debería probarse que en dicho subconjunto se verifican las diez propiedades enunciadas. Puede demostrarse que si se cumplen las dos propiedades siguientes, se cumplirán las ocho restantes. Ellas son: a) para todo u , para todo v pertenecientes S, la suma ( u  v ) pertenece a S b)   , u  S , el producto  u pertenece a S En consecuencia, las demostraciones se limitan a verificar que se cumplan esas dos propiedades. Ejemplo: Demuestre que el conjunto de los puntos (x, y, z) que están en el plano 2 x + 3 y - z = 0 es un subespacio de

3

.

Demostración: El conjunto S es el conjunto de todos los puntos del espacio que están en el plano de ecuación 2x + 3 y – z = 0, que pasa por el origen de coordenadas. Condición a:

 x1 , y1 , z1   S  2 x1  3 y1  z1  0  x2 , y2 , z2   S  2 x2  3 y2  z2  0

Sumando miembro a miembro, asociando y sacando factor común:

2  x1  x2   3  y1  y2    z1  z2   0 luego:  x1  x2 , y1  y2 , z1  z2   S . Esto implica que  x1 , y1 , z1    x2 , y2 , z2   S Condición b: si   y  x, y, z   S   (x, y, z ) debe satisfacer laecuacióndel plano

  x, y, z    x ,  y ,  z  Reemplazamos en la ecuación del plano, aplicamos la propiedad conmutativa del producto en

y sacamos factor común:

2  x   3  y    z    2 x  3 y  z    .0  0

Por lo tanto  x ,  y ,  z   S    x , y , z   S . En consecuencia, S es un subespacio de

3

.

Ejercicio: Analice si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 91

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a) El conjunto de los puntos del plano que pertenecen a una recta que pasa por el origen de coordenadas. S   x, y  : y  mx b) El conjunto de los puntos del espacio

3

que están en un plano que pasa por el origen

de coordenadas. Dependencia e independencia lineal de vectores Definición Sea V un espacio vectorial. El conjunto de vectores

es linealmente dependiente, si exis-

ten escalares c1, c2 , c3 ,..., cn no todos nulos, tales que: c1v1  c2v2  c3v3  .....  cnvn  0 (1) Si la ecuación (1) se verifica solamente para todos los esc alares iguales a cero: c1  c2  c3  ...  cn

 0,

el conjunto es linealmente independiente.

Observaciones: 1) También puede decirse:”vectores linealmente dependientes” y “vectores linealmente independientes”, respectivamente. 2) Notemos que la ecuación (1) siempre admite la solución c1  0; c2  0, c3  0,.., cn  0 que llamamos solución trivial; interesa saber si es la única o admite otra solución. Si la solución trivial es única, el conjunto de vectores es linealmente independiente; si hay otras soluciones, el conjunto es linealmente dependiente. Ejemplos 1. Sea (2, 3);(1,5)  2 . Determinar si el conjunto es linealmente d ependiente o linealmente independiente. Solución: c1 (2, 3)  c2 (1,5)  (0,0) (2c1 , 3c1 ) (c2 , 5c2 ) (0, 0) (2c1  c2  3c1  5c2 )  (0,0)

Por definición de igualdad de pares ordenados debe ser:  2c1  c2  0 (1)    3c1  5c2  0

Se tiene un sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: c1 y c2 el cual es consistente: siempre tiene solución, al menos, la trivial. Si es única, el conjunto de vectores será linealmente independiente; en caso contrario, linealmente dependiente. 13c2  0  c2  0  2 1 0  2 1 0    entonces: 2c1  c2  0  c1  0  3 5 0   0 13 0 

El conjunto de vectores es linealmente indepe ndiente.

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1  2  3        (2) Sean v1   0  ; v2   1  ; v3   2 vectores de  3  4  11       

3

. Determine si los vectores son

linealmente dependientes (l.d.) ó linealmente independientes (l.i.). Solución:

1 2  3   0     hacemos: c1  0   c2  1  c3  2    0   3  4  11   0         

 c1   2c2   3c3   0   c1  2c2  3c3   0              c2  2c3  0    c2    2c3    0  ;     0  3c   4c   11c   0   3c  4c  11c   0  1 1 2 3   2  3       c1  2c2  3c3  0  c2  2c3  0  3c  4c  11c  0 2 3  1

2 3 1   0 1 2  3 4 11 

0  1 2   0   0 1 0  0 10

3 0  1 2 3 0    2 0   0 1 2 0 20 0  0 0 0 0

c2  2c3 ; c1  2c2  3c3 ; c1  4c3  3c3 ; c1  c3

Conjunto solución: { c1  c3 ; c2  2c3 ; c3 ; con c3 

}

El sistema es homogéneo e indeterminado: tiene infinitas soluciones . Los vectores son linealmente dependientes. Teorema Si un conjunto tiene un único vector, y es distinto del vector nulo, ese conjunto es linealmente independiente. Demostración Sea  v   V , con v  0 . La ecuación c v  0 se verifica sólo si c  0 . Luego

v 

es linealmente independiente

Teorema Si un conjunto de vectores tiene entre sus elementos al vector nulo, es linealmente dependiente. Demostración Sea  v1 , v2 ,..., vn , 0  V . La ecuación c1v1  c2v2  c3v3  ...  cnvn  c 0  0 se verifica para todos los escalares iguales a cero (solución trivial) pero también para c1  c2  ...  cn  0 y c  0 .

Luego el conjunto es linealmente dependiente. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 93

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Teorema Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, todo conjunto de vectores del mismo espacio vectorial que lo incluya, también es linealmente dependiente. Demostración Sean  v1 , v2 ,..., vn  y  v1 , v2 ,..., vn , vn1 ,..., vs  subconjuntos de un espacio vectorial V, con  v1 , v2 ,..., vn  linealmente dependiente. En consecuencia, la ecuación c1v1  c2v2  ...  cnvn  0 , se verifica para algún escalar c1, c2, c3,...,cn distinto de cero. La ecuación c1v1  c2v2  ...  cnvn  cn1vn1  ....  cs vs  0 , se verificará para cn1  ...  cs  0 , y algún escalar ci  0 , con i = 1,2,...,n. En consecuencia, el conjunto  v1 , v2 ,..., vn , vn1 ,..., vs  es linealmente dependiente. Teorema Todo subconjunto no vacío de un conjunto de vectores linealmente independiente, es también linealmente independiente. Demostración Sea  v1 , v2 ,..., vn , vn1 ,..., vs  linealmente independiente. Se debe probar que

 v1 , v2 ,..., vn  es linealmente independiente. En efecto: Si  v1 , v2 ,..., vn  fuera linealmente dependiente, el conjunto  v1 , v2 ,..., vn , vn1 ,..., vs  también sería linealmente dependiente, en virtud del teorema anterior, lo cual contradice la hipótesis. Luego el primero es linealmente independiente. Importante: A partir del enunciado de cada Teorema, especifique la Hipótesis y la Tesis. Teorema fundamental de la dependencia lineal de vectores Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y sólo si uno de los vectores es combinación lineal de los demás. Demostración: Es necesario probar la doble implicación:  v1 , v2 ,..., vn  es linealmente dependiente  uno de los vectores es combinación lineal de los demás. 1)

 v1 , v2 ,..., vn 

l.d.  uno de los vectores es combinación lineal de los demás.

Hipótesis

Tesis

Demostración: Por ser  v1 , v2 ,..., vn  l.d., existen escalares no todos nulos: c1 , c2 ,..., cn tales que c1v1  c2v2  ...  cnvn  0 (1). ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 94

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Suponemos c1  0 .Entonces existe el inverso por

1  c

. Multiplicamos la ecuación (1)

1 : c

1 1 1 1 1 c1v1  c2v2  c3v3  ...  cnvn  0 efectuando las operaciones: c1 c1 c1 c1 c1 c c c v1  2 v2  3 v3  ...  n vn  0 c1 c1 c1 c c c Trasponiendo: v1  0  2 v2  3 v3  ...  n vn c1 c1 c1 c c c Hacemos:  2   2 ;  3   3 ;  n   n y podemos escribir c1 c1 c1 v1  2 v2  3 v3  ...   n vn . Esta expresión nos dice que v1 es combinación lineal de los demás vectores, y queda demostrada la primera parte.

2) uno de los vectores del conjunto v1 , v2 , v3 ,..., vn  es combinación lineal de los demás  Hipótesis

 v1 , v2 ,..., vn 

l.d.

Tesis

Demostración Sea v1 combinación lineal de v2 , v3 ,..., vn . Entonces existen escalares c2 , c3 ,..., cn tales que v1  c2v2  c3v3  ...  cnvn . v1  c2v2  c3v3  ...  cnvn  0 . Hacemos: c2  a2 ;  c3  a3 ;  cn  an

podemos escribir a1v1  a2v2  a3v3  ...  anvn  0 , ecuación que se verifica para a1  1  0 . Luego el conjunto es linealmente dependiente . Teorema Si el conjunto

 v1 , v2 ,..., vn  es

 v1 , v2 ,..., vn , vs 

es linealmente dependiente, entonces vs es combinación li-

linealmente independiente, y el conjunto

neal de v1 , v2 ,..., vn . La demostración se propone como ejercicio.

Teorema Un conjunto de n vectores de

m

, siempre es linealmente dependiente si n>m.

Demostración

 a11   a12   a1n        a21  a22  a2 n  m    ;v  ;......; vn  Sea v1 , v2 ,..., vn   R , con v1    2            am1   am 2   amn  ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 95

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La ecuación c1v1  c2v2  ...  cnvn  0 puede escribirse:

 a11   a12   a1n   0        a21  a22  a2 n   0     c1 c  ......  cn    2               am1   am 2   amn   0  Operando en el primer miembro se obtiene:  c1a11  c2 a12  ...  cn a1n   0       c1a21  c2 a22  ...  cn a2 n    0   .........................................         c1am1  c2 am 2  ...  cn amn   0  Igualando se obtiene un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, homogéneo (las incógnitas son c1, c2, ...., cn).

 c1a11  c2 a12  ...  cn a1n  0  c a  c a  ...  c a  0  1 21 2 22 n 2n  .............................................  c1am1  c2 am 2  ...  cn amn  0 Si m2).

 1   4   2         b) S =  5  ,  1 ,  11   3 . El conjunto S puede ser l.i. o l.d. ¿Por qué? Averigüe si  3   2   4         S es linealmente independiente o linealmente dependiente. c) Si un conjunto de n vectores de n es linealmente independiente, entonces el conjunto que se obtiene agregando un vector a los dados siempre es linealmente dependiente. Otras conclusiones Dado un conjunto de n vectores de n : v1 , v2 , v3 ,..., vn  , llamaremos A a la matriz cuyas columnas son los vectores de ese conjunto:

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 a11  a A   21    an1

... a1n   a22 ... a2 n  ; el vector x será el vector columna cuyas n componentes serán   an 2 ... ann   c1    c los escalares : x   2       cn  El conjunto de vectores será l.d. o l.i. según la ecuación matricial A  x  0 tenga infinitas soluciones o única solución, respectivamente. Ejercicio: a12

Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta (demuestre). a) El conjunto de vectores v1 , v2 ,..., vn  es linealmente independiente si y sólo si el rango de A es n. b) El conjunto de vectores v1 , v2 ,..., vn  es linealmente independiente si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. c) El conjunto de vectores v1 , v2 ,..., vn  es linealmente independiente si y sólo si la matriz A es invertible. Base y dimensión de un espacio vectorial Definición Un conjunto de vectores v1 , v2 ,..., vn  es una base del espacio vectorial V si y sólo si es un conjunto linealmente independiente de generadores de V. Resumiendo: v1 , v2 ,..., vn  es base de V, si y sólo si:

i) es un conjunto linealmente independiente  ii) es un conjunto de generadores del espacio vectorial V . Ejemplos  1   0  , la base     recibe el nombre de “base estándar o canónica”. En efecto: sa 0   1  v  bemos que es linealmente independiente. Además, todo vector v   1  puede expresar v2  se como combinación lineal de los vectores de esa base:  c  0   v1   c1   v1  1 0  v  c   0   v  c1    c2     1  ;  1       1  ;  1     0  1   v2   0   c2   v2   0  c2   v2   c2   v2 

En

2

Entonces c1  v1 ; c2  v2 . Los escalares resultan iguales a las componentes

2 1 0 del vector:    c1    c2   ; c1  2 ; c2  1  1  0 1 3 En , la base canónica o estándar está formada por los vectores:

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1 0 0       e1   0  ; e2   1  ; e3   0  0 0 1       En el conjunto M 3 2 , de las matrices de tamaño 3x2 , la base canónica es:

 1 0   0 1   0 0   0 0   0 0   0 0                0 0  ;  0 0  ;  1 0  ;  0 1  ;  0 0  ;  0 0    0 0   0 0   0 0   0 0   1 0   0 1              

Teorema Un conjunto de vectores B  v1 , v2 ,..., vn   V es una base de V si y sólo si todo vector de V se puede expresar de manera única como combinación lineal de v1 , v2 ,..., vn . Demostración: 1) B   v1 , v2 , v3 , ...,vn   V es base de V Hipótesis

 todo vector de V se expresa de manera única como combinación lineal de v1 , v2 , ...,vn Tesis

Demostración Por ser v1 , v2 , v3 ,..., vn  base de V es conjunto generador de V. Luego, si v V , v puede expresarse como combinación lineal de v1 , v2 , v3 ,..., vn . Entonces v  c1v1  c2v2  c3v3  ...  cnvn (1). Suponemos que esa manera de expresar v no es única: que existen otros escalares b1 , b2 ,..., bn tales que v  b1v1  b2v2  b3v3  ...  bnvn (2) Restando la igualdades (1) y (2) se obtiene: 0  (c1  b1 )v1  (c2  b2 )v2  (c3  b3 )v3  ...  (cn  bn )vn Por ser base, el conjunto es linealmente independiente. Por lo tanto la ecuación que resulta de restar (1) y (2) se verifica sólo para los escalares iguales a cero: c1  b1  0  c1  b1 ; c2  b2  0  c2  b2 ; cn  bn  0  cn  bn . Queda probado que la manera de expresar v como combinación lineal de los vectores de B es única. 2) todo vector de V se expresa de manera única como combinación lineal de v1 , v2 , ...,vn Hipótesis

 B  v1 , v2 , v3 ,..., vn   V es base de V Tesis

Demostración El vector nulo pertenece a V: 0 V . Por hipótesis, ese vector podrá expresarse de manera única como comb inación lineal de v1 , v2 , v3 ,..., vn : 0  c1v1  c2v2  c3v3  ...  cnvn y también

0  0 v1  0 v2  0 v3  ...  0 vn (¿por qué?). ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 98

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Como la manera es única, c1  0 ; c2  0 ;....; cn  0 . el conjunto v1 , v2 ,..., vn  es linealmente independiente. Además, la hipótesis presupone que es un co njunto de generadores de V. En consecuencia, es base de V. Teorema Si un conjunto B  v1 , v2 ,..., vs  es base de V y S  u1 , u2 ,..., un   V , es linealmente independiente, entonces n  s . (Es decir: el número de vectores de S es menor o igual que el número de vectores de la base). Teorema Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores. Demostración Sean u1 , u2 ,..., un  y v1 , v2 ,..., vs  bases de V. Por ser bases, son conjuntos de generadores linealmente independientes. Consideremos u1 , u2 ,..., un  l.i. y v1 , v2 ,..., vs  base de V. Por el Teorema anterior: n  s (1) Consideremos v1 , v2 ,..., vs  l.i. y u1 , u2 ,..., un  base de V. Luego debe ser: s  n (2). Las relaciones (1) y (2) se cumplen simultáneamente si n  s . Dimensión de un espacio vectorial Definición Si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores, se dice que la dimensión de V es n. La dimensión del espacio vectorial cero: V  0 es, por definición, igual a cero. Ejemplos: a) 2 tiene dimensión 2 b) M 3 2 tiene dimensión 3.2=6 c) P2 (el conjunto de los polinomios de grado dos o menor) tiene dimensión 3. Una base es 1, x, x 2  d) P n tiene dimensión n+1. Una base es 1, x, x 2 ,...., x n  Observación: Los espacios vectoriales mencionados como ejemplos tienen “dimensión finita” porque tienen una “base finita”y la dimensión es el número de vectores de una base. Existen espacios vectoriales de “dimensión infinita”: aquéllos que no pueden ser generados por un número finito de vectores. Ejemplo: el conjunto de todos los polinomios, porque no puede ser generado por un número finito de polinomios. En efecto: Pn, el conjunto de los polinomios de grado n o menor, puede generarse con los monomios 1, x, x2,...., xn. Su dimensión es finita: n+1. Todas las bases de Pn tendrán n+1 vectores. Pero ningún conjunto finito de polinomios puede generar el conjunto P, de todos los polinomios. En efecto: para generar P3 se necesitan, al menos, cuatro vectores, para generar P4, cinco vectores; para generar Pn, según hemos visto, n+1 vectores. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 99

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EJERCICIOS 1- Diga cuales conjuntos de vectores son linealmente dependientes y cuales linealmente independientes. Justifique su respuesta. a)  4, 3 Rta.: Es linealmente independiente porque tiene un único elemento, que es distinto del vector nulo. b)  3, 2  ;  24,16  te dependiente.

Rta.:  24,16   8  3, 2  .Luego el conjunto es linealmen-

También podemos resolver este ejercicio a partir de la ecuación:

1 (3, 2)   2 (24,16)  (0,0) (31  21 )  (24 2 ,16 2 )  (0,0) (31  24 2 , 21  16 2 )  (0,0)

 31  24 2  0  21  16 2  0

 3 24 0  1 8 0   1 8 0        2 16 0  1 8 0   0 0 0 

1  8 2  0  1  8 2 La solución del sistema es : 1  8 2 ;  2 

.Se tienen infinitas soluciones. (la solución

trivial: 1   2  0 no es la única solución). El conjunto es linealmente dependiente. Otro procedimiento: Aplicando el teorema: “un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y sólo si uno de los vectores es combinación lineal de los demás”

 3 2  R2' 8 R1  R2  3 2   3 2  Formamos la matriz      y la escalonamos    24 16   24 16  0 0  El vector (24, 16) es múltiplo de (3, -2). El conjunto es linealmente dependiente. c)

 6,7,1 ,  2, 4,1

Solución: i) Usando la definición:

1  6,7,1   2 (2, 4,1)   0,0,0 

 61,71, 1   (22 , 42 ,2 )   0,0,0  61  22 ,71  42 ,1   2    0,0,0  61  2 2  0   71  4 2  0     0 2  1

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0          6 2 0    0 8 0    0 1 0    0 1 0  7 4 0  0 3 0   0 1 0   0 0 0         

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 100

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La única solución es 1  0 ;  2  0 . Luego el conjunto es linealmente independiente. ii) Usando el teorema “fundamental”.

 2 4 1  2 4 1   2 4 1  2 4 1       .  6 7 1  0 19 4   6 7 1  0 19 4  Los dos vectores son linealmente independientes.

 1   0   4   0          d)  3  ,  0  ,  1   Rta: El vector nulo  0  pertenece al conjunto, entonces el conjun 5   0   6   0          to es linealmente dependiente.

 2  3   2- a) Pruebe que el conjunto     es linealmente independiente. Exprese el  5  1   2   3  6 u    como combinación lineal de   y   .  5   1  11  2 5   2 5  Solución: Formamos la matriz :   y la escalonamos:  .  3 1  0 13  Conclusión: el conjunto es linealmente independiente. Para expresar u como combinación lineal de los vectores dados, debemos hallar, si exis6  2  3 ten, los escalares 1 y  2 tales que:    1     2   . 11 5  1 Operando convenientemente se obtiene el sistema no-homogéneo.

 21  3 2  6   51   2  11

6   2 3  2 3 6   2 3 6          0 13 52   5 1 11  0 1 4

Por lo tanto:  2  4 , 1  3 y u es una combinación lineal de los vectores dados.

 2   3   6   12   6  Verificación: 3    4            (Siempre es conveniente verificar)  5   1  15   4  11

1 2  0       b) Pruebe que los vectores v1   0  ; v 2   1 ; v3   1  son linealmente indepen 3 5  4       0   dientes y exprese u   1  como combinación lineal de aquéllos. 7   Solución: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 101

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1 0 3  1 0 3 1 0 3         2 1 5    0 1 1   0 1 1  0 1 4  0 0 3 0 1 4        0 1 2 0          1   1  0    2  1   3  1  7  3 5  4         0 1   2   3  1  1 3  5  4  7 2 3  1

1 2 0   0 1 1 3 5 4 

3 

Rta.: Los tres vectores son linealmente independientes.

1 1 2 0   0    0 1 1  0 1 4 7  

1 1 2 0   0    0 1 1 0 0 3 4  

1  0 4 

4 4 5 ; 2  ; 1   3 3 3

Verificación:

1 2  0    53   83   0   1  5  4  4            0    1   1    0     4 3    4 3    0  3  3  3     20   16     3 5  4   5   3   3   7 

3- Establezca si los siguientes conjuntos son subespacios: a) El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales con segunda o tercera componente nula. b) El conjunto de vectores de 2 que están en una recta que pasa por el origen de coordenadas.

ESPACIO SOLUCIÓN DE UN SISTEMA HOMOGÉNEO NÚCLEO DE UNA MATRIZ Un sistema de m ecuaciones lineales homogéneo, con n incógnitas, puede expresarse en la forma matricial A.x  0 : donde A, de m x n, es la matriz de los coeficientes; x es el vector columna (de n x 1) de las incógnitas y 0 es el vector nulo (de m x 1). Definición: Se llama espacio S   x  n : A. x  0

solución

del

sistema

homogéneo

A.x  0

al

conjunto

El espacio solución es un subespacio de. En efecto: si x1 y x 2 pertenecen a S, ello implica que A.x1  0 y A.x2  0 . Entonces la suma de esos vectores pertenece a S: Ax1  x2   A.x1  A.x2  0 , y el producto de un escalar  por un vector x  S , también pertenece a S: A .x    . A.x    .0  0 . Actividad: Explique cuáles propiedades se aplican en la justificación. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 102

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Ejemplo: Se trata de encontrar el espacio solución del sistema:  x    1 1  1  0 x  y  z  0 ; x   y ; 0    A    2  3 3   0 2 x  3 y  3z  0 z    1 1 1 0   1 1 1 0   1 1 1 0        2 3 3 0   0 5 5 0   0 1 1 0  y  z  0  y  z ; x  y  z  0  x   y  z  x  z  z  x  0

 0 0    3 Entonces: x   z  . El conjunto solución es: S   : x   z  , con z  z  z        0     3 También puede expresarse: S   x  : x  z  1  , con z   y también:   1    

    

 0      S  gen  1    1      S es el conjunto de los vectores que están en el plano y z, en la recta cuyas ecuaciones x  0  paramétricas son:  y  t con t  . z  t  Represente el espacio solución. Para hallar una base del espacio S, demos a t un valor distinto de cero (o a z un valor dis 0  tinto de cero), por ejemplo, 1, y se tiene  1  .  1  Otros ejemplos: Ver en Grossman: Álgebra Lineal – Ed. McGraw Hill- pág. 343. De pág. 345 ejercicios 19 a 23.

Núcleo de una matriz Definición: Sea A una matriz de m x n. Se llama núcleo de A al conjunto N A  x 

n

: Ax  0 .

El núcleo también recibe el nombre de “espacio nulo de la matriz”. El núcleo es un subespacio de

n

.

Nulidad de una matriz Definición: Se llama nulidad de la matriz A a la dimensión del núcleo de A:  A  dim N A . ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 103

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Del análisis de las definiciones, se puede afirmar que el espacio solución del sistema homogéneo A x.  0 es lo mismo que el núcleo de la matriz A. La dimensión del subespacio generado por los x  S , es la nulidad de la matriz A. Dada la matriz A   1 1  1 para hallar el núcleo y la nulidad de A se procede co2  3 3  mo en el primer ejemplo. Teorema: Una matriz A una matriz de n x n es invertible si y sólo si la nulidad de A es igual a cero. Demostración Por teorema anterior, una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si el sistema homogéneo A.x  0 tiene solamente la solución trivial: x  0 . Es decir si S  0, o lo que es lo mismo, si N A  0 y esto implica que dim S   A  0 . lo mismo, para el núcleo de una matriz: si N A  0 esto implica que dim S   A  0 .

Imagen de una matriz Definición: Si A es una matriz de mxn se llama imagen de A al conjunto Imagen A   y 

m

: Ax  y para x 

La imagen de A es un subespacio de

n



m

.

Espacio de renglones de una matriz Definición: Sea A una matriz de m x n y sea r1 , r2 ,..., rm  el conjunto de los vectores renglones de A. Se llama espacio de los renglones de A al subespacio generado por ese conjunto:

R A  espacio de renglones de A  gen r1 , r2 ,..., rm  . RA 

n

Rango por renglones Definición: Se llama rango por renglones de A a la dimensión del espacio de renglones de A. Espacio de columnas de una matriz Definición: Si A es una matriz de m x n, se llama espacio de las columnas de A al subespacio generado por el conjunto de los vectores columnas de A:

C A  espacio de las columnas de A  gen c1 , c2 ,..., cn  CA  m Se demuestra que el espacio de columnas de A es igual a la Imagen de A. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 104

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Rango por columnas de una matriz Definición: Se llama rango por columnas de A a la dimensión del espacio de columnas de A. Se demuestra que el rango por renglones de A es igual al rango por columnas de A, y ese número es el rango de A. Se indica  A  dim R A  dim C A . Podemos definir el rango de una matriz como la dimensión del subespacio generado por los vectores renglones o bien, como la dimensión del subespacio generado por los vectores columnas de la matriz. Se demuestra que para una matriz A de mxn la suma de la nulidad de A más el rango de A es igual a n, el número de columnas de A.

  A    A  n . Ejemplo:

2  3 4  Sea A   3 1  1 . Calculamos el núcleo de A: 5  2 3     2 3 4 0   2 3 4 0   2 3 4 0         3 1 1 0    0 11 14 0    0 11 14 0   5 2 3 0   0 11 14 0   0 0 0 0       14 11y  14 z  y  z 11 42 1 2x  3y  4z  2x  z  4z  x  11 11     Luego: S   x     

 1    11 .z    14  3  : x .z con z   11     z   

 1     11      14   Son bases del núcleo de A: S  gen   11      1      

      NA    

; también puede expresarse:

  1    1  11   14 y   14  ;   A  1 11    11   1    

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 105

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2  3 4  2  3 4  2  3 4  Calculamos el rango de A:  3 1  1   0 11  14    0 11  14   5  2 3   0 11  14   0 0 0        A  dim R A  2 Una base del subespacio generado por los vectores renglones es

2 ;  3 ; 4; 0 ; 11;  14.

Otra base:

2 ;  3 ; 4; 3 ; 1;  1. (Los vectores pueden ex-

presarse también como columnas)

 1 2 3   Ejercicio: Encuentre el núcleo, la nulidad y el rango de la matriz A   1 8 7   2 1 1    Ejercicio Encuentre el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango de la matriz

 1 3 4 2    A  1 7 4 6  1 3 16 4    Información: o

Si A una matriz de tamaño m  n , el núcleo de A (o espacio nulo de la matriz) es

el conjunto N A  x  o

n

: A.x  0 .

El núcleo de la matriz es un subespacio de

n

(se demostró anteriormente) y la

dimensión de ese subespacio se llama “nulidad” de la matriz A. o

Si A es una matriz de tamaño m  n , se llama imagen de A al conjunto:

Imagen A   y  o

m

/ Ax  y para algún x 

La imagen de A es un subespacio de

n



m

y la dimensión de ese subespacio es el

rango de la matriz A. Solución: Para hallar el núcleo, resolvemos la ecuación A X  0 ,

x  3 y  4 z  2t  0  1 3 4 2  x  7 y  4 z  6 t  0 , aplicamos Gauss:  1 7 4 6  1 3 16 4  x  3 y  16 z  4 t  0 

 1 3 4 2  se obtiene  0 1 2 1 0 0 0 0 

0  0 0 

0  0  ; el sistema tiene infinitas soluciones: 0 

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 106

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x 10 z  t ; y   2 z  t con z  , y 

los vectores X pueden exp resarse  x  10 z  10 t   10 z   10 t   10   10              y   2 z  4 t   2 z   4 t   2   4   X    z t con z  , t  z    z   0   1   0  z             t t    0   t   0   1  Luego el núcleo de la matriz es el subespacio generado por los vectores

 10   10    10   10            2 4   2  y  4  . N A  gen   ,     1   0   1   0        0   1    0   1   10   10         2 4  Una base del núcleo es   ,    ; la dimensión del núcleo es la nulidad  ( A)  2  1   0    0   1   Para hallar la imagen de la matriz, pensemos que estamos buscando vectores de 3 que satisfacen la ecuación Ax  y para algún x 

4

(1)

Escribimos la ecuación (1) en la forma vectorial:

1  3  4   2  x            1  x1   7  x2   4  x3   6  x4   y  Esta ecuación significa  1  3  16   4 z           x  que cada vector  y  z 

   = y debe ser una combinación lineal de los vectores columna de la  

matriz o lo que es lo mismo, los elementos de la imagen de A deben ser combinaciones lineales de los vectores columnas de A. Los xi son números reales. Para hallar el rango de la matriz busquemos una base del subespacio generado por los vectores columna de A

1   3  4   2

1 1 1   7 3 3    1 4 16    6 4 1

1 1  7 3   1 4  3 2

1  0 0  0

1 1 1   4 6 0   0 2 3   2 3 0

1 1  2 3 0 0  0 0

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 107

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 1   0     Una base de la Imagen de A es  1  ,  2   entonces el rango  ( A)  2  1  3        La suma  ( A)   ( A)  2  2  4  n Observación: Cuando iniciamos el estudio de las matrices y los sistemas de ecuaciones lineales, definimos el rango de una matriz como el número de renglones con algún elemento distinto de cero de una matriz escalonada equivalente a la matriz dada.

 1 3 4 2    Hallamos el rango de A   1 7 4 6  efectuando las operaciones elementales de  1 3 16 4    renglones para obtener una matriz escalonada equivalente:  1 3 4 2    0 1 2 1 0 0 0 0  

el rango es  ( A)  2 . Si además debemos dar una base del conjunto imagen, procedemos como se explicó anteriormente.

EXPRESIÓN VECTORIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Consideremos el sistema S:

a11 x1  a12 x2  a13 x3  .......  a1n xn  b1 a x  a x  a x  .......  a x  b 2n n 2  21 1 22 2 23 3 a31 x1  a32 x2  a33 x3  .......  a3n xn  b3 .........................................................  am1 x1  am 2 x2  am3 x3  .......  amn xn  bm

(1)

Al sistema S podemos expresarlo la forma matricial: A X  b (2), donde A es la matriz de los coeficientes, X es el vector columna de las incógnitas y b , el vector columna de los términos independientes, y también en la forma vectorial que se obtiene a partir de (1) según se explica a continuación: Llamaremos Ai al vector columna que tiene por elementos a los coeficientes de xi y b al vector columna de los términos independientes:

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 a11   a12   b1   a13   a1n             a21   a22   b2   a23   a2 n  A1   a31  ; A2   a32  ; A3   a33  ;.......; An   a3n  ; b   b3             .   .   .   .   .  a  a  b  a  a   m1   m2   m  m3   mn  el sistema S puede expresarse:

 a11     a21   a31  x1     .  a   m1  Esto equivale a:

 a12   a13       a22   a23   a32  x2   a33  x3  .......       .   .  a  a   m2   m3 

A1 x1  A2 x2  A3 x3  ........  An xn  b

 a1n   b1       a2 n   b2   a3n  xn   b3       .   .  a  b   mn   m (3) “forma vectorial del siste-

ma S” La ecuación obtenida (3) está expresando que el vector b es combinación lineal de los vectores A1 , A2 , A3 ,......., An . Teorema: El sistema de ecuaciones lineales A1 x1  A2 x2  A3 x3  ........  An xn  b tiene solución si y sólo si el vector b

pertenece al subespacio generado por los vectores

A1 , A2 , A3 ,......., An

Actividad: Demuestre el teorema enunciado precedentemente. (ayuda: deberá demostrar la doble implicación) Observación: La forma vectorial es muy útil para la demostración de algunos teoremas, entre ellos, el teorema de Rouchè – Fröbenius.

CAMBIO DE BASE Sabemos que si V es un espacio vectorial de dimensión n, cualquier subconjunto de V, de n vectores linealmente independientes, es una base de V. 1 0 En 2 la base estándar o canónica es la que tiene por elementos i    y j    . En  0 1 n

es la base canónica, el conjunto con B1  e1 , e2 ,..., en  con:

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1 0 0       0 1 0 e1    ; e2    ; ... ; en    ... ... ...       0 0 1      





En Pn , la base estándar es: 1; x; x 2 ;...; x n , dim Pn  n  1 . Si B1  u1 ; u 2 ;...; u n  es una base de un espacio vectorial V, un vector x perteneciente a V se expresa, en esa base, en la forma x B1  a1u1  a2 u 2  ...  an u n ; los escalares

ai , i  1,2,..., n son las componentes de x en esa base, y puede escribirse:  x B1

 a1    a   2 ...   a   n

Si v1 ; v2 ;...; vn  es otra base B2 , existirán escalares b1 , b2 ,..., bn tales que

 b1    b x B2  b1v1  b2 v2  ...  bn vn y se expresará x B2   2  . ...   b   n Si se tiene un vector expresado en la base B1 ¿cómo se obtiene la expresión de ese vector en otra base B2 ?   2 Suponemos un vector x    en la base canónica de 2 Esto significa:  3    2   2. 1   3. 0  (1); B   1 ;  0  ; x   2.e  3.e .  3   0 1  0   1  1 1 2 B1           1  2  Sea B2   1,  3  otra base de    

2

(verificar).

Podemos expresar los vectores e1 , e2 en términos de la base B2 :

e1   1   c1 1  c 2  2  ;  0 1  3

c1  2.c 2  1  c1  3.c 2  0

1 2 1    1 2 1  1 3 0   0 1  1     Luego c2  1; c1  1  2.c2 ; c1  1  2  3 Entonces:  1   3.1  1. 2  (2)  0 1  3 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 110

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 0 1  2 e2     b1    b2   ; 1 1  3

b1  2.b2  0  b1  3.b2  1

1 2 0    1 2 0  1 3 1   0 1 1     

b2  1 ; b1  2.b2  b1  2 0  1  2  Luego    2    1  (3). 1   1  3  De (2) y (3), en (1):   2   23.1  1. 2   3 2.1  1. 2   3   3   3   1  1      

Operando convenientemente:

  2    6  61  2  3 2   12.1  5 2  (Verificar).  3  1  3 1  3              12   2   Luego    12.v1  5.v2 ; o bien x B2    3 B  5  2

x  Para extraer conclusiones válidas para cualquier x B1   1  repitamos el procedimien x2  1  2   1   0  to; con las mismas bases: la canónica B1    0 ,  1  y B2   ,       1  3 

llamando v1 y v2 a los vectores de B2 , expresando los vectores de la base canónica en

1 la nueva base:    3.v1  1.v 2 ;  0  B2

 0    2.v1  1.v2  1  B2

 x B

c    1   x1 .3.v1  1.v 2   x 2 . 2.v1  1.v 2   c2 

 x B

 3.x1  2.x 2 .v1   x1  x 2 .v 2

2

2

 c   3.x  2.x 2  Entonces:  1    1   c 2    x1  x 2 

El vector del segundo miembro puede expresarse como producto:

 3.x1  2.x 2   3  2  x1    x  x     1 1  x   2  1 2    ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 111

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Luego

 x B

2

 c   3  2  x1      1     c2    1 1  x2 

Observación Los sistemas de ecuaciones planteados para hallar c1 , c2 , b1 , b2 tienen la misma matriz de coeficientes. Podemos resolverlos simultáneamente, aplicando el método de Gauss – Jordan, haciendo:

1 2 1 0   1 2 1 0   1 0 3 2        1 3 0 1   0 1 1 1   0 1 1 1  se obtiene : c1  3, c2   1, b1   2, b2 1 La matriz obtenida a la derecha es la inversa de la que tiene por columnas los vectores columnas de la base B2 Matriz de transición: La matriz A   3  2  recibe el nombre de matriz de transición de B1 a B2 . Las co1 1  lumnas son las componentes de los vectores de B1 en base B2 . Hemos obtenido: x B2  A.x B1 Esa matriz de transición A   3  2  puede obtenerse mediante el siguiente procedi1 1  miento: a) Formamos la matriz C cuyas columnas son los vectores de la base B2 . b) Hallamos la inversa de C. El resultado es la matriz de transición de B1 a B2 .

C  1 2  ; C  3  2  1 ; C t   1 1  ; C 1   3  2  1 3   2 3 1 1    2  3  2   2    6  6    12           Si x B1    es: x B2    3    1 1  3   2  3   5 

 3  2  7   21  6   15           Si x  B1   7  es: x B2    3   1 1  3    7  3    4  Si T es la matriz de transición de B1 a B2 , entonces T 1 es la matriz de transición de B2 a B1 .

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 x B

2

 T  x  B . Multiplicamos a la izquierda por T 1 y tenemos : 1

T 1  x  B  T 1 T  x  B ; asociando : T 1  x  B  T 1 T   x  B 2

1

T 1  x  B  I  x  B 2

2

1

; entonces : T 1  x  B   x  B

1

2

1

Hemos comprobado que para expresar en base B2 un vector dado en la base canónica, la matriz de transición es la inversa de la que tiene por columnas los vectores columnas de la nueva base. Para expresar en base canónica un vector dado en otra base, B2 , la matriz de transición será la inversa de la inversa de la que tiene por columnas los vectores columnas de B2, es decir, la matriz de transición será  C 1   C , siendo C la matriz cuyas columnas son 1

los vectores columnas de la base B2. Ejercicio:

 1   2   2 Dado  x  B    , siendo B2    ,    , expresarlo en ba se canónica. 2  5   2   3   Solución: La matriz de transición es 1 2  1 2  2   2  10   8  C   . Entonces :  x  B1           2 3  2 3  5   4  15   11 ¿Cómo se expresa un vector dado en una base que no es la canónica en otra base que tampoco es la canónica?

Expresión en base B2 de un vector dado en base B1 (ninguna es la base canónica) Llamemos Bc a la base canónica; C1 a la matriz cuyas columnas son los vectores columnas de B1 y C2 a la que tiene por columnas los vectores columnas de B2. La matriz de transición de base B1 a base Bc es C1 :

 x B

c

 C1  x  B

1

La matriz de transición de base canónica Bc a base B2 es la inversa de C2 :

 x B   C2   x B  C2  1

2

c

1

1 C1  x B   C2  C1   x B 1 1  

En consecuencia, la matriz de transición de una base B1 a una base B2 es el producto entre la inversa de la matriz que tiene por columnas los vectores columnas de la segunda base por la matriz que tiene por columnas los vectores columnas de la primera base, es decir, de la base en la cual están dados los vectores.

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 3   1    1  4   Pruebe que la matriz de transición de la base B1       a la base B2        1   2    1   5    19 13  es T     4 3  Bases ortonormales Definición: Un conjunto de vectores S  u1; u2 ;...; u n   cumplen dos condiciones: ui . u j  0 ; si i  j (1) y

n

se dice ortonormal si se

ui .ui  1 (2)

Si sólo de cumple la expresión (1), el conjunto se dice ortogonal. En

n

, la base canóni-

ca e1 ; e2 ;...; en  es ortonormal. Norma o longitud de un vector Definición: Si v 

n

 , la norma o longitud de v es el número: v  v .v

Si v  x1 , x2 ,..., xn  es

v  x1  x 2  ...  xn  0 2

2

2

. v  0 si v  0 Definición: Un conjunto de vectores es ortonormal, si dos vectores cualesquiera son ortogonales y la longitud de cada uno es igual a 1.

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Ejercicios resueltos

 x   1) Sea S    : y  2 x  . Determine si S es o no un subespacio de  y  

2

, y en ese caso encuentre

una base y la dimensión de S. Solución: a) En primer lugar observemos que S   (¿Por qué?) Para probar que S es un subespacio debemos comprobar que: i) u  S , v  S  u  v  S ii) k  , u  S  ku  S

 x Como los elementos de S pueden expresarse en la forma   , consideremos:  2x   x  x y   x y   y i) u     S , v     S : u  v     , de donde resulta que u  v  S  2x   2 x  2 y   2( x  y )   2y 

 kx   kx   x ii) k  , u     S : ku     , de donde ku  S  k (2 x)   2(kx)   2x  Por lo anterior, S es un subespacio vectorial de

2

 1   1 b) Todo elemento de S es múltiplo del vector   . El conjunto    es un conjunto genera 2  2   dor de S y además es linealmente independiente (justifique esta afirmación). Por lo tanto es una base de S. c) Del resultado anterior, surge que dim (S) = 1.

 x      2) Ídem si S   y  : x  y  z  1   z     

3

Solución: Es inmediato que S no es un subespacio, ya que no contiene al vector nulo. Por otra parte, con un contraejemplo mostraremos que no se cumplen las condiciones para que S sea subespacio vectorial:

7  3  4       u   3   S , v   5   S y sin embargo u  v   8  , que no pertenece a S.  3 1  2       15    Igualmente 5 u  15  , que tampoco es un elemento de S. 5  

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 1  1  1       3) ¿Los vectores  1 ,  5  ,  3  forman una base de  3   1  1      

3

?

Solución: una base de un espacio vectorial es un conjunto de generadores linealmente independiente. Dado que la dimensión del espacio vectorial

3

es 3, cualquier conjunto de tres

vectores linealmente independiente es una base del mismo. Para determinar si el conjunto de vectores dados es o no linealmente independiente, hacemos uso del teorema fundamental de la dependencia lineal de vectores:

 1 1 3   1 1 3   1 1 3         1 5 1    0 4 4    0 4 4  . Este resultado nos indica que uno de los vecto 1 3 1   0 2 2   0 0 0        res es combinación lineal de los demás. Por lo tanto, el conjunto de vectores es linealmente dependiente, y no es una base de

3

.

4) ¿Cuáles son los posibles valores del rango de la matriz A, según el valor de a?

2 a  1 2 a  1 2 a 1        A   2 4a 2    0 4  4a 2a  2    0 2  2a a 1   a 2 1   0 2a  2 a 2  1  0 0 a 2  a  2       El rango de la matriz A será 3 si a 2  a  2  0 , es decir si a  1 y a  2 . Si a = -1, serán nulos los elementos de la segunda y la tercera fila, por lo que el rango de A en este caso es 1. Si a = 2, serán nulo solamente los elementos de la tercera fila, y en este caso el rango de la A es 2. 5) Encuentre una base y la dimensión del subespacio generado por los vectores (1, 3, -1, 0), (2, 1, 4, 2), (3, 3, ,3 2), (4, 7, 2, 2) Solución: Utilizando el teorema fundamental de la dependencia lineal, determinaremos un subconjunto de vectores linealmente independiente:

1  2 3  4

3 1 0   1 3 1   1 4 2   0 5 6  4 3 2   0 5 6   7 2 2   0 5 6

0   1 3 1   2   0 5 6  2 0 0 0   2 0 0 0

0  2 0  0

De aquí resulta que una base del subespacio es la siguiente: {(1, 3, -1, 0), (0, -5, 6, 2)} y la dimensión del subespacio es 2. (Observ.: otra base del subespacio es: {(1, 3, -1, 0), (2, 1, 4, 2)}) 6) Determine si el vector (5, 10, 1, 3) pertenece o no al subespacio del ejercicio anterior. Solución: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 116

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El vector (5, 10, 1, 3) pertenecerá al subespacio si es posible expresarlo como combinación lineal de los elementos de una base de dicho subespacio. Considerando la primera de las bases mencionadas, tendremos:

 (1, 3, 1, 0)   (0,  5, 6, 2)  (5, 10, 1, 3) , de donde resulta el sistema de ecuaciones:   5 3  5  10  ,     6   1  2   3 que, como es sencillo comprobar, es un sistema incompatible. Por lo tanto el vector (5, 10, 1, 3) no pertenece al subespacio considerado.

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Ejercicios Propuestos 1) Determine en cada caso si los vectores forman un conjunto linealmente dependiente o linealmente independiente: a) (1, 3, 2), (4, 5, 6) b) (0, 2, 4), (3, -1, 2), (6, -2, 4) c) (2, 0, 1), (3, 1, -1), (4, -2, 5) d) (-1, 0, 3, 0), (2, 1, 3, 5), (4, 1, 1, 3), (2, 0, -2, -2) e) (3, 1, 2, 4), (2, -1, 1, 2), (5, 0, 4, 6), (0, 2, -1, 0)

 1 0  3 1  5 1 f)  ,  ,    2 1   2 0   2 2  2) Para cada uno de los ítems del ejercicio anterior, escriba, si es posible, algún vector como combinación lineal de los demás. 3) (Tomado de Algebra Lineal y sus aplicaciones, de D. Lay, Pearson, México, 2007) Indique cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para

3

. De aquellos que no sean

bases, señale cuáles son linealmente independientes y cuáles generan

3

. Justifique sus res-

puestas. a) (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) b) (1, 0, 1), (0, 0, 0), (0, 1, 0) c) (1, 0, -2), (3, 2, -4), (-3, -5, 1) d) (2, -2, 1), (1, -3, 2), (-7, 5, 4) e) (1, -3, 0), (-2, 9, 0), (0, 0, 0), (0, -3, 5) f) (1, 2, -3), (-4, -5, 6) g) (1, -4, 3), (0, 3, -1), (3, -5, 4), (0, 2, -2) 4) Encuentre una base y la dimensión del subespacio generado por los vectores: a) v1  (1, 3, 2), v2  (2, 0,  1), v3  (3, 3, 2) b) v1  (1, 4, 3), v2  (3, 2, 1), v3  (2, 6, 2) c) v1  (0, 2, 1,  1), v2  (1, 3, 2, 0), v3  (1, 5, 3,  1), v4  (3, 11, 7,  1) d) v1  (2, 1), v2  (7, 4), v3  (3, 1), v4  (11, 7)

 1 1  0 1  2 3   2 2  e) v1    , v2    , v3    , v4     2 0 1 2  5 1  4 1   x      5) Sea S   y  : 3x  y  z  0  :  z      a) Pruebe que S es un subespacio de

3

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 118

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b) Halle una base y la dimensión del subespacio. 6) Determine si los siguientes conjuntos son o no subespacios del espacio vectorial correspondiente:

 a b   a) H    : a, b, d    M 22  0 d    a   b) H    : a,    0  

2

 x   c) H    : 2 x  y  3   y    x      d) H   y  : x  y  z    z     

2

3

e) El conjunto formado por todos los polinomios de coeficientes reales y grado 3. 7) Para las siguientes matrices, encuentre una base para el núcleo, una base para el recorrido, la nulidad y el rango:

1 2 3    a) A   0 2 4  ,  2 6 10   

 1 3 2 4    3 9 1 5   b) B  ,  2 6 4 3     4 12 2 7 

5 4  1 2 9   1 1 6 5 3   c) C  ,  2 0 6 10 20    1 9 20 47   4

 2 0 1   d) D   3 1 4  5 1 2   

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 119

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Respuestas 1) a) l.i., b) l.d., c) l.i., d) l.d., e) l.i., f) l.d. 2) En b), d) y f) es posible. En los demás ítems no. 3) a) base, b) l.d., no generan no generan

3

3

, c) l.d., no generan

, g) l.d., generan

3

3

, d) base, e) l.d., generan

3

, f) l.i.,

.

4) a) B = v1 , v2 , v3  , dimensión: 3, b) B = v1 , v2  , dimensión: 2, c) B = v1 , v2  , dimensión: 2, d) B = v1 , v2  , dimensión: 2, e) B = v1 , v2 , v3  , dimensión: 3

 1  1     5) B   3  ,  0   , dim S = 2  0   3        6) a) sí, b) sí, c) no, d) sí, e) no.

 1     7) a) Base para el Núcleo:  2   , Base para el Recorrido:  1       3       1     b) Base para el Núcleo:  0   , Base para el Recorrido:  0        

 1   2         0  ,  2   ,   1,   2  2   6       

 1   2   4           3   1  5   , ,   ,   1,   3       2 4  3    4   2   7  

 3   5  10    1   2                3   0   7   1   1 c) Base para el Núcleo:  1 ,  0  ,  0   , Base para el Recorrido:   ,    ,  0   1  0    2   0           4   1          0   0   1 

  3,   2  0      d) Núcleo: Nu   0   , Base para el Recorrido:  0     

 2   0   1          3  ,  1  ,  4   ,   0,   3  5   1   2         

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TRANSFORMACIONES LINEALES Si A y B son dos conjuntos, una ‘función de A en B’ es una relación que a todo elemento del conjunto A (dominio) hace corresponder un único elemento del conjunto B (codominio). Ciertas funciones reciben el nombre de transformaciones lineales. Definición: Si V y W son dos espacios vectoriales, una transformación lineal de V en W es una función de V en W que cumple las siguientes propiedades: 1. u , v  V, T u  v   T u  T v . es T ( u )   .Tu

2. u  V,   T V

W

 u  v   u v  .u

 Tu  Tv   T u  v   .Tu

La imagen de u según T es el ‘transformado’ de u :

Tu  w ; w  W

El conjunto imagen de la transformación lineal es un subconjunto de W.

Sea T :

2



3

 x  y definida por T  x    x  y  . Analizar si T es una transformación li y   5x   

neal.

 x  y1   x  y2   x1   1  x2   2  T     x1  y1  ; T     x 2  y 2   y1   y2   5x1   5x 2   x  x2  y1  y 2   x1   x2   x1  x2   1  T       T     x1  x2  y1  y 2  y y y  y 2  1  1   2  5 x1  5 x2    x1  y1   x2  y 2   x1  y1  x 2  y 2   x1  x2  y1  y 2  x  x  T  1   T  2    x1  y1    x2  y 2    x1  y1  x 2  y 2    x1  x2  y1  y 2   y1   y2  5 x1  5 x2 5 x1  5 x 2  5 x1   5 x2      Queda probada la primera condición. La segunda condición: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 121

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 x  y   x  y T  x   T  x    x  y    x  y   .T  x     y   5x   y   y     5x 

Luego T es lineal.

T:

3



2

 x x  y definida por: T  y       2  z

  x   x  x  y  T  y   T  y          z   2   z       x x  y    x  y  .T  y       2   2   z No se cumple la segunda condición. Luego no se trata de una transformación lineal. Algunas transformaciones particulares La transformación cero T

V  v1  v2  v3

W 0

Si V y W son espacios vectoriales, y T es la transformación que hace corresponder a todo  v  V el vector 0 de W, se demuestra que T es lineal. En efecto: T v1   0   T v1  T v 2  0 T v 2   0  

Como v1  v2  V por definición de esta transformación es T v1  v2   0 . Luego

T v1  v2   T v1   T v2  T  v   0   .0   .T v 

La transformación identidad Si V es un espacio vectorial, se llama transformación identidad a la T : V  V que “transforma” a todo vector de V en sí mismo. Es decir  v  V es T v  v . La imagen ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 122

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de T es V. Pruebe que se trata de una transformación lineal. La transformación de reflexión T:

2



2

definida por T x, y    x, y  . Verifique que T es lineal.

y

y (x,y)

( -x , y )

x

x

Por efecto de esta transformación, un vector x, y  de

2

se refleja con respecto al eje y.

¿Cómo definiría la transformación que produciría la reflexión de un vector de

2

con

respecto al eje x? Transformación de rotación Sea la T :

2



2

  x que aplicada al vector v    del plano xy produce la rotación del  y

vector en el sentido contrario al de las agujas del reloj, un ángulo  , medido en grados o en radianes. y 

( x’ , y’) y’

(x,y)



y

x’ x Llamemos r a la longitud de v . Se tiene

 cos    sen   

x r , por lo tanto, y r

 cos      sen     

x' r y' r

 x  r cos    y  r sen 

 x'  r cos     y '  r sen   

 x'  r.cos . cos   sen . sen    y '  r.sen . cos   cos . sen 

 x'  x. cos   y. sen    y '  y. cos   x. sen 

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 123

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Podemos escribir:

 x'  x. cos   y. sen   x '   cos  y también:       y '   sen   y '  x. sen   y. cos 

 sen   x    cos   y 

La matriz A   cos   sen   es la matriz de rotación.  sen  cos   Ejercicio

 . 4   b) Halle el vector transformado de v    5  si se rota un ángulo de en sentido con3   4 trario a las agujas del reloj. Solución:    2 2    sen     cos 4 4 2 2     a) A       2  2  4 cos    sen  4 4   2  2 

a) Encuentre la matriz de rotación para  

   5    b) T     3    

2 2 2 2



 5 2 3 2 2   5    2     2 2     4 2  2  3    5 2 3 2    2      2  2   2

 4 2  . El transformado de   5  es    3   2   Represente gráficamente. La transformación de proyección.

De T :

3



3

 x  x definida por T  y    y  . pruebe que es lineal.      z  0

z

(x,y,z)

y x

(x,y,0) plano xy

Esta transformación también llamada operador de proyección, a todo vector del espacio lo proyecta sobre el plano xy. Defina las transformaciones que proyectan un vector del espacio sobre el plano xz y sobre el plano y z, respectivamente. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 124

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Operador derivada Designemos C0,1 al conjunto de todas las funciones continuas definidas en el intervalo 0,1 y C ' 0,1 al conjunto de todas las funciones con primera derivada continua definidas en 0,1 . Entonces la transformación (o aplicación) D : C ' 0;1  C0;1 definida por D f   f ' , donde f ' es la derivada de f , es una transformación lineal. En efecto. Sabemos que D f  g   Df  Dg puesto que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas.

Df   D f  Operador integral La transformación I : C 0;1 

definida por I  f    f x .dx donde C0;1 es el con1

junto de todas las funciones continuas en 0;1 es lineal. Demostración

0

Si f y g son continuas en 0;1 , sabemos que: a) b)

  f x  g x.dx   f x.dx   g x.dx  . f x.dx  . f x.dx 1

0 1

1

0

0

1

1

0

0

Se cumplen las dos condiciones necesarias para afirmar que se ha definido de una transformación lineal. Teorema Sea T : V  W una transformación lineal. Entonces, para todos los vectores u , v , v1, v2 ,..., vn de V y todos los escalares 1 ,  2 ,...,  n se cumplen las siguientes propie

dades: a) T  0   0 b) T  u  v   Tu  Tv c) T 1v1  2v2  3v3  ...   nvn   1Tv1  2Tv2  3Tv3  ...   nTvn Demostración a) Llamemos 0V al vector nulo de V y 0W al nulo de W. Si multiplicamos un vector por el número 0, el resultado es el vector nulo del conjunto. Podemos escribir: 0V  0. 0V . Entonces T 0V   T 0.0V   0.T 0V  por ser T una transformación lineal (Segunda condición). Entonces T 0V   0.T 0V   0W . Observación: Puede demostrarse razonando a partir de 0V  0ˆ V  0V y aplicando la primera condición. b) T u  v   Tu  Tv . Para demostrarlo partimos del primer miembro, y aplicamos las dos propiedades de las transformaciones lineales. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 125

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T u  v   T u   1v   T u  T  1v   T u   1.T v  T u  T v

c) La demostración se efectúa por inducción. Esto es, se prueba que la tesis se cumple para n  2 . Se acepta que es válida para n  k , y se demuestra que es verdadera para n  k  1.

Para n  2 : T 1v1   2 v2   T 1v1   T  2 v2   1 .T v1   2 .T v2 Aceptamos que es verdadera para n  k T 1v1   2 v2  ...   k vk   1 .T v1   2 .T v2  ...   k .T vk (1)

debemos probar que es verdadera para n  k  1 , es decir que T 1v1   2 v2  ...   k vk   k 1vk 1   T 1v1   2 v2  ...   k vk   T  k 1vk 1 

Sumamos T  k*1 vk 1  a ambos miembros de (1): T 1v1   2 v2  ...   k vk )  T ( k 1vk 1   1 .T v1   2 .T v2  ...   k .T vk  T ( k 1vk 1 )

T 1v1   2 v2  ......   k vk   k 1vk 1   1 T v1   2 T v2  .....   k T vk   k 1 T vk 1 que es lo que se quería demostrar.

Propiedad Puede demostrarse que una transformación lineal T : V  W , siendo V un espacio vectorial de dimensión finita, queda completamente determinada si se conoce el efecto de dicha transformación sobre los elementos de una base de V. Entonces las dos transformaciones son iguales. Ejemplo: T es una transformación lineal de

1 0   2   T  0     . Encuentre  1   5    6

3

en

4

2 2  1    1  0   0  tal que T  0     ; T  1     ; 0  0  0  1    4    1 

 5   2    3  

Solución  5  1 0  0  2   5. 0   2. 1    3 0    3  0 0 1         Entonces:  5  1  0  0 T  2   5.T  0   2.T  1    3.T  0    3  0  0 1         ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 126

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2   2  1   10    4    3   5               1 0 T  2   5.   2.    3. 2     5    0     6  0 1 5 0 2  15   3 1  1   6   5   2    18                3  5    11   T 2    3    13      11

Núcleo e imagen de una transformación lineal Sean V y W dos espacios vectoriales y T : V  W una transformación lineal.  El conjunto de todos los vectores v de V tales que T v  0 se llama núcleo o kernel de T. Nu T  v V / T  v   0

El conjunto de todos los vectores w de W tales que existe por lo menos un elemento v de V de modo que T v  w , se llama imagen de T.

Im T  w W / w  T v  para algún v V  T V

W

Nú T

0

T V

W

Im T

Teorema Si T : V W es una transformación lineal, entonces: a) el núcleo de T es un subespacio de V. b) la imagen de T es un subespacio de W. Demostración de a

 Consideremos dos vectores u y v que están en el núcleo de T. Debemos probar que el vector suma pertenece al núcleo y que un escalar por pertenece al núcleo. u  Nu T  T u   0 ; v  Nu T  T v   0

Además T u  v   T u  T v por ser lineal. Entonces: T u  v   0  0  0 (1)

T  u    .T u por ser lineal. Como T u  0 , se tiene

T  u    .0  0 (2)

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 127

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De (1) y (2) resulta que Nu T es un subespacio de V. Demostración de b: Si

w1 y w2

son vectores de imagen en T, entonces si u y v vectores de V será

w1  T u y w2  T v Sumando: w1  w2  T u  T v  T (u  v ) . Como u  v pertenece a V, la suma w1  w2 pertenece a la imagen de T. (1) Como w1  T u , si multiplicamos por  tendremos:  .w1   .T u  T  u  Por ser lineal, entonces  w1 pertenece a la imagen de T (2). De (1) y (2), queda demostrado que la imagen de T es un subespacio de W.

Ejemplos Para la transformación ‘cero’: para todo es: T v  0 para todo v  V , Es: Nu T  V ;

Im T  0; 0  W . Si T : V  V es la transformación identidad: T v  v , es: Nu T  0; Im T  V . Nulidad y rango de una transformación lineal Para una transformación lineal T : V  W , se llama nulidad de T a la dimensión del núcleo y rango de T a la dimensión de la imagen. Rango de T = dim Im T = T  .

Nulidad de T = dim Nu T = T  ; Complete : a) Si T es la transformación cero,

T   ...

ImT   ... b) La nulidad y el rango de la transformación identidad son respectivamente T   ... ;

T   ... , Ejercicio Para la transformación definida por T :

2



3

  3x  4 y  x  en  definida por T     x   y  y  

cuentre el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango.

Solución Nu T  v 

2

/ Tv  0

0   . 3

  3x  4 y   0     0  . Debe ser Entonces, debemos hallar x e y tales que  x    0 y    

 3 x  4 y  0  . x  0 y  0 

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 128

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 0  Luego: Nu T   0  ; Nu T  0 ; T   0 ;  

Im T  w 

3

/ w  T v para algún v 

  3x  4 y    3x   4 y  3     x    0   x. 1   x    0   y  0  y        

2

:

 4 y. 0  1  

   3  4   Im T  gen  1  0  .      0  1  

  3  4  Una base del conjunto imagen es: B   1  0  . Luego T   2 .  0  1  Teorema 

n

Sea A una matriz de m x n. Entonces T :

m

definida por T  x   A.x es una trans-

n

formación lineal para cualquier vector de Demostración

Sean x e y dos vectores columnas de n x 1 y  es un número real cualquiera. T x  y   Ax  y   Ax  Ay  T x   T  y  (1)

T  .x   A. .x    . A.x    .T x  (2) De (1) y (2), queda demostrado. ¿Cuáles propiedades se han aplicado en la demostración? Teorema Si T :

n



m

una transformación lineal, entonces existe una única matriz AT de

m x n tal que: Tx  AT x para todo x 

n

.

La matriz AT se llama matriz de transformación correspondiente a T o bien, representación matricial de T. Observaciones 1. Se supone que los vectores de

n

y

m

mencionados en el teorema están referi-

dos a las bases estándar de esos espacios. La matriz de transformación AT es única. Si se consideran otras bases para

2. m

n

y

se tendrán diferentes matrices AT .

Teorema Sea T una transformación lineal y AT la matriz de transformación. Entonces: a) Imagen T = Imagen AT ; b) T    AT  ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 129

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c) Núcleo de T = Núcleo de AT . d) T    AT 

Ejercicio Sea T :

3



2

una transformación lineal tal que

1  0  0 T  0    2  ; T  1     1 ; T  0   1 .  0    3   0   0   1  1       Vamos a encontrar AT y expresar el transformado de x , es decir T x  AT .x para cual2   3 quier x  , y luego hallar el transformado de x   1  .   1  

Solución  x  y    z

1 x. 0    0  

 x 1  0  0  0  0         y. 1   z. 0  ; T  y   x.T  0   y.T  1   z.T  0   0 1 z  0  0 1            

 x  x  2 x  y  z   2 1 1   2  1  1   T  y   x.    y.    z.       y  3 0 1  3 x  z  3 0 1            z   z  x  x  2 1 1    2 1 1   T  y   T x  AT x   y  AT   ;  3 0 1  3 0 1     z z     2 2    2 1 1    4  1  1  2  T 1   1       1  3 0 1  1  6  1   7     

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 130

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AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Sea T una transformación lineal de V en V, siendo V un espacio vectorial de dimensión finita n. Esa transformación lineal puede representarse mediante la matriz de transformación A de n x n tal que para v V , se verifique: T v  Av . En algunas aplicaciones conviene hallar los vectores v distintos del vector cero, tal que su transformada sea proporcional a v .En este caso será T v  Av   v , donde  es un escalar que se llama valor propio, valor característico, autovalor o eigenvalor. Los correspondientes vectores v son los vectores propios, vectores característicos, autovectores o eigenvectores. Ejemplos:

 4 2 2 1) Si A    2 , determinar si los vec es la matriz de transformación de T :  3 3  2   4   10  tores u    ; v    y w    son vectores propios de A.  3 5  15  Solución: Se trata de determinar si existe un escalar  tal que A x   x para los vectores dados.

 4 2  2   8  6   2  Au            1u ;  3 3  3   6  9   3 

 =1 y u es un vector propio.

 4 2  10   40  30   10  Av        1v ;  3 3  15   30  45   15 

 =1 y

 4 2  4   16  10   6   2  Aw            3  ;  3 3  5   12  15   3  1

w no es un vector propio

es un vector propio.

 4 2  5 2) ¿El vector   es un vector propio de A   ?  3 3  5 Solución:  4 2  5   20  10   30   5           6  ;  3 3  5   15  15   30   5

 =6

 9 10  3) Dada A    ¿Es   4 un valor propio? Si lo es, encontrar dos vectores pro 4 4  pios correspondientes a  .

0 Solución: Se quiere determinar si existen vectores v    tal que A.v  4v . 0 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 131

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 9 10  x   x     4    4 4  y   y 9 x  10 y  4 x 4 x  4 y  4 y

5 x  10 y  0 4 x  8 y  0

 9 x  10 y   4 x      4 x  4 y   4 y 

;

9 x  10 y  4 x  0

;

;

4 x  4 y  4 y  0

 5 10 0     4 8 0 

1 2 0    1 2 0 

 1 2 0     0 0 0

Luego x  2 y

2y  2 Los vectores v serán de la forma v    ; v  y   con y   y 1  2 (Múltiplos de   ) 1

y0

 8   14  Dos vectores son   y   . Comprobamos que Av  4v .  4   7   9 10  8   32  8 a)        4    4 4  4   16   4  9 10  14   56   14  b)        4    4 4  7   28   7  Una interpretación geométrica de una transformación T :

2



2

Si se quiere elegir dos vectores v1 y v2 para formar un sistema de ejes coordenados, de modo que esos ejes no varían al actuar sobre v1 y v2 la transformación T , ello se lograría seleccionando v1 y v2 de modo que T v1   1v1 y T v2  2 v2 .

Definición: Un vector propio de una matriz A de n x n es un vector x diferente de 0 tal que A x   x para algún escalar  . Definición: Un escalar  se llama valor propio de una matriz A de n x n si existe una solución no trivial x de A x   x . Una solución no trivial x se llama vector propio correspondiente a  .

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 132

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Procedimiento para hallar los valores y vectores propios de una matriz de tamaño n x n Consideraciones previas: Sea un vector v perteneciente a

 x En efecto: Si v    es:  y

2

; el producto I 2 v  v .

 1 0  x   x         0 1  y   y 

El producto ( I 2 ) v   v .

  1 0    x    0  x    x   x En efecto:                  y   0 1    y   0   y    y  Entonces: Av   v  ( I )v (1) Polinomio característico y ecuación característica: Sea A de n x n, tal que T v  Av . Se quiere hallar los números  tales que si v  0 , sea T v  Av   v .

A partir de Av   v trasponemos:

Av  v  0 (2) De (2) en (1)

Av  ( I )v  0

( A   I )v  0

Se obtiene una ecuación matricial: la expresión matricial del sistema homogéneo. Éste siempre tiene solución, al menos, la trivial. Como queremos que v  0 , el sistema deberá resultar indeterminado, y ello implica que el determinante de la matriz A   I debe ser igual a cero. det  A   I   0 El desarrollo de ese determinante será un polinomio en  de grado n, llamado polinomio característico p( )  det  A   I  La ecuación p( )  det  A   I   0 es la ecuación característica. Las raíces de esta ecuación son los valores propios de A . Cada matriz de n x n tiene n valores propios, contados con su correspondiente multiplicidad.

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 133

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Para hallar los vectores propios correspondientes a los valores propios, se resuelve la ecuación ( A   I )v  0 , (se reemplaza  por cada uno de los valores hallados). Espacio propio Definición: El conjunto de todas las soluciones de ( A   I )v  0 se llama espacio propio de A correspondiente a  . Este conjunto es un subespacio de

n

.

Notemos que el espacio propio de A es el núcleo de la matriz ( A   I ) : a él pertenece el vector nulo de

n

y todos los vectores propios correspondientes a  .

Ejercicios:

 4 2 1) Hallar los valores propios y los vectores propios de A   .  3 3 Solución: ( A   I )v  0  4 2  1 0  0    ;  3 3  0 1  0 p ( ) 

 4 2       3 3  0

0   0  ;    0 

2   0 4    3     0  3

4 2  (4   )(3   )  6 3 3

El polinomio característico es p( )   2  7  6 La ecuación característica es

p( )   2  7  6  0

La solución de esta ecuación nos da los valores propios:

7 2

 

49 6 , 4

1  1 ,

2  6

Para hallar los correspondientes vectores propios, resolvemos la ecuación matricial: ( A   I )v  0

 4 2   1 0   x   0           0 1   y   0   3 3  2  x   0  4       3    y   0   3 Para 1 =1:

 3 2  x   0         3 2  y   0 

3x  2 y  0

puede expresarse como

3x  2 y  0

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 134

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3 2 0   3 2 0

 3 2 0   Luego  0 0 0

 2  v   3  y , con y     1 

x

2 y ; y 3

 2   El espacio propio es E1  gen     3  

Para 2 =6:

2  x   0  46       3  6  y   0   3 2 x  2 y  0 3x  3 y  0

 2 2  x   0         3 3  y   0   2 2 0     3 3 0  Luego

x  y ; y

.

1 1 0    1 1 0 

 1 1 0     0 0 0

1   1 Un vector es:   y el espacio propio será E2  gen     1 1 

 6 10 28    2) Pruebe que para A   2 3 4  , los valores propios son 1  1 ; 2  2 ; 3  3  1 2 7   

 2    1    2           y los espacios propios : E1  gen  1   ; E2  gen  2   ; E3  gen  1    0    1    1           

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Ejercicios Resueltos: 1) Sea la transformación T :

2



3

 x  2y  x   definida por T     3x  y  . Probaremos que la y      4x  y 

x  x  transformación es lineal. Para ello consideremos los vectores u   1  y v   2  . En  y2   y1 



  

primer lugar verificaremos que T u  v  T u  T v :

 x1  x2  2( y1  y2 )   x1  2 y1   x2  2 y2   x1  x2        T uv T     3( x1  x2 )  ( y1  y2 )    3x1  y1    3x2  y2   T u  T v  y1  y2   4( x  x )  y  y   4 x  y   4 x  y  1 2 1 2  2   1 1  2





Probamos

 

ahora

que

 



T  u  T u :

  x1  2 y1   x1  2 y1    x1      T u  T     3 x1   y1     3x1  y1   T u  y  1   4 x   y   4x  y  1 1   1 1

 



2) Para la transformación anterior, determinaremos una base para el núcleo, una base para el recorrido, el rango y la nulidad:

1 2 1   0   En primer lugar hallaremos la matriz de la transformación. Como T     3  , T     1 , 0   1    4 1

1 2    resulta AT   3 1 4 1    a) Para hallar el núcleo debemos resolver el sistema AT X  0 :

1 2 0 1 2 0 1 2 0        3 1 0    0 7 0    0 7 0  . Esto significa que x = 0, y = 0. Por lo tanto  4 1 0   0 7 0   0 0 0       

 x   NA  y

 0   si x = y = 0, es decir N A     . Siendo la nulidad la dimensión del núcleo,   0  0   b) Sabemos que el recorrido de AT (y por lo tanto el recorrido de T) está generado por las co-

 1   2        lumnas de dicha matriz: Re corrido AT  gen  3  ,  1  Para hallar una base del recorri 4   1        do, ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 136

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observemos que siendo la suma de la nulidad y el rango de AT igual al número de columnas de

AT , esto es     n , resulta   2 . Por lo tanto una base para el recorrido de T es  1   2         3  ,  1   4   1       

3 0 0    3) Encuentre los autovalores y los espacios propios asociados de la matriz A   0 1 2  . 1 0 1    0 0  3    1   2  . Los valores proEn primer lugar hallamos la matriz A   I : A   I =  0  1 0 1     pios (o autovalores) son las raíces de la ecuación característica A   I  0 . En este caso:

A   IX  (3   )(1   )2 , por lo que la ecuación característica es (3   )(1   )2  0 que tiene las raíces 1  3, 2  1 (raíz doble). Para hallar los espacios propios correspondientes a cada uno de estos valores, debemos resolver la ecuación ( A   I )v  0 .

 0 0 0  x   0       a) Para 1  3 : ( A  3I )v  0 , de donde :  0 2 2  y    0  . El sistema resultante:  1 0 2  z   0         2 y  2z  0 , tiene solución x  2k , y  k , z  k , de modo que el espacio propio co 2z  0 x   2k   rrespondiente a este autovalor es E3   k  , k   k   

  2         gen  1    1      

 2 0 0  x   0       b) Procediendo de la misma manera para 2  1 , se obtiene  0 0 2  y    0  , cuya solu 1 0 0  z   0        0    ción es x  0, y  k , z  0 . De aquí que E1   k  , k   0   

  0         gen  1     0      

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 137

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Ejercicios Propuestos 1) Determine si T es una transformación lineal:

ad a b  0 a) T : M 22  M 22 , definida por: T    0   c d  b  c ad a b  1 b) T : M 22  M 22 , definida por: T    1   c d  b  c a b , definida por: T    ad c d 

c) T : M 22 

d) T :

2



2

e) T :

2



2

f) T :

3



2

g) T :

2



h) T :

3



i) T :

nn

 x   2x2  , definida por: T       y   3y   x   x y  z , definida por: T  y      z   4x  z     x definida por T    x  y  y

3



 x   x  2y  z      definida por T  y    3x  z   z   2x  y  2z      definida por T ( A)  tr ( A) (siendo tr(A) la traza de la matriz A)

j) T : C[0,1] 

2) Sea T :

 x   2x  y  , definida por: T       y   3x  2 y 

2

Encuentre:

1

definida por T ( f )   f (t )dt 0

1 0 2 0          3 , una transformación lineal para la cual T     1 y T     2  . 0   1   3  4

 4  x a) T   , b) T   7  y

3) Sea T : M 22  M 22 , definida como en el ítem a) del ejercicio 1): a) ¿Cuáles de las siguien-

 0 2  2 1   0 3 tes matrices se encuentras en el núcleo de T: i)   , ii)   , iii)  ,  1 3   1 2   3 0  b) ¿Alguna de las matrices anteriores pertenece al conjunto Rec (T)?, c) Describa el núcleo de T y el recorrido de T.

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 138

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4) Halle una base para el núcleo, una base para el recorrido, la nulidad y el rango, de las siguientes transformaciones lineales:

 x   y 3 2 a) T :  , T  y     , z  x   

b) T :

4

 x   y  x  2z   2, T      z   3 y  2w     w

c) las transformaciones lineales a, d, f, g, h del ejercicio 1). 5) Encuentre el núcleo y la imagen de cada una de las siguientes transformaciones lineales:

a) T :



2

3

 1 2   , tal que T (v)  Av , con A   0 1  2 1  

1 2 3   1 2   3 6 4 1 2  5 4  b) T :  , tal que T (v)  Av , con A   4 8 5 1 1    2 4 3 3 5  6) Halle la matriz AT que representa la transformación lineal T, el núcleo de T, el recorrido de T, la nulidad y el rango (considere la base canónica de cada espacio vectorial): a) T :

b) T :

3

4



3

 x   x  2y  z      , T  y    3x  y  z   z   5x  3 y  z     

 x   2x  y  z  w      y   x  2 y  2z  w  4   ,T  z   5x  4 z      w   x  3 y  z  2w 

1 a  7) Dada la matriz M    , determine a y b, de modo que: 3 b   2  a) el vector   sea un autovector del autovalor   5  3 1 b) el vector   sea un autovector del autovalor   0 1

 1 0 2   8) Compruebe que   1 es un autovalor de la matriz  1 1 1  , y halle un autovector  2 0 1   correspondiente a este autovalor, y una base para el espacio propio asociado. 9) Encuentre los valores propios y los espacios propios asociados, para la matriz dada: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 139

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a)

 1 2 0  1 0 1  2 1 1  2 2 0 1 2         A   1 3 1  , b) A    , c)  1 2 1  , d)  1 2 1 , e)  2 2 0   4 3 2 2 3   0 0 1  0 1 1 0 0 1        

10) Sea T :

2



2

la transformación lineal definida por T ( x)  Ax . Describa geométrica-

mente en cada caso la transformación lineal y halle la imagen del triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1):

 cos 30  2 0  1 0  1 0  1 0  a) A    , b) A    , d) A    , e) A    , c) A    0 2 0 k  0 0  0 1  sen 30

sen 30   cos 30 

11) Sean V y W espacios vectoriales. Demuestre que T : V  W es una transformación lineal si y sólo si T (1 v1   2 v 2 )  1T (v1 )   2T (v2 ) , 1 ,  2 

 v1 , v 2 V

12) Sea T : Pn  Pn , tal que T ( p)  p ´ . Halle la representación matricial de T respecto de la base canónica de Pn

Respuestas 1) Son transformaciones lineales, las transformaciones de los ítems a, d, f, g, h. i, j

x 2   2  x   4    2) a) T     12  , b) T      x 2  2 y  7 y          34   3x 2  4y  3) a) Pertenecen al núcleo de T las matrices de los ítems ii) y iii); b) sí, la matriz iii), ya que es

 1 4 imagen, por ejemplo, de la matriz A     7 2   0    0   1     4) a) Base para el núcleo:  0   , Base para el conjunto imagen:   ,    ,   1,   2 1   0    1      

 2   0        1   0    0 2  b) Base para el núcleo:   ,    , Base para el conjunto imagen:   ,    ,   2,   2  0   3   1   0        0   3   5) Queda a cargo del alumno.

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 1   2    1   1 2 1        6) a) M   3 1 1  , Nu  gen  4   , Rec  gen  3  ,  1  ,   1,   2  5 3 1  5   3    7            

 2   1   1    4    2 1 1 1              2 1  1 2 2 1  1  3  b) M   , Nu = gen    , Rec = gen   ,   ,    5 0 4 0   5   0   0    5        1   3   2    0    1 3 1 2  7) a) a  8 / 3, b  7 ,

b) a  1, b  3

0   8) Cualquier vector de la forma  t  , t  0  

 0     ; B  1    0     

1    2        9) a) valores propios: 1 y 2, E1  gen  0   , E2  gen 1   , 1   1        

 1    1   E1  gen    , E5  gen    ,  1   2  

b) valores proios: -1 y 5,

1     c) valor propio:1, E1  gen  1   0     

1   0   1          d) valores propios: 1 y 3, E1  gen  0  , 1   , E3  gen 1    1  1   0          

1    0   1            e) valores propios: 0, 1 y 4, E0  gen  1  , E1  gen  0   , E3  gen 1    0   1    0           

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ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO Una recta del plano queda determinada si se dan un punto P0  x0 , y0  perteneciente al plano y un vector    v  v1i  v2 j paralelo a la recta.

y

P0

  La recta a la cual pertenece P0 y es paralela a v , es el con- j

junto de los puntos P  x , y  de ese plano, tales que el vec-

o

 v

P R

 i

x

 tor P0 P sea paralelo a v .  R   P / P0 P // v  P0

Ecuación vectorial de la recta Se deduce a partir de la ecuación vectorial.   Partimos de P0 P // v  P0 P = t v , con t 

P o

(1)

Trazamos los vectores de posición de los puntos P0 y La suma de los vectores P0 y P0 P da por resultado el vector P     P0 + P0 P = P  P0 P = P - P0 (2) Reemplazando (2) en (1) se obtiene la ecuación vectorial de la recta en el plano:       ; la ecuación vectorial es P = P0 + t v , con t  P  P0 = t v , con t  Ecuaciones paramétricas

   Partimos de la ecuación vectorial P = P0 + t v , con t 

(1) y expresamos los “vectores

de posición” por sus componentes:

P0  ( x0 , y0 ) ; P  ( x, y) ;

v  (v1 , v2 )

Reemplazando en (1) se obtiene:

 x, y =  x  x, y =  x

0 0

, y0  + t v1 , v2 

+ t v1 , y 0 + t v 2 

Como los vectores son iguales las componentes correspondientes deben ser iguales x = x 0 + t v1 , con t 

; y = y 0 + t v 2 , con t 

. Las ecuaciones paramétricas son:

 x  x0  t v1 con t    y  y0  t v2  El punto P  x , y  pertenece a la recta que pasa por  x0 , y0  y es paralela al vector v si y sólo si las coordenadas de P verifican las ecuaciones paramétricas. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 142

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Ejemplo: Una recta está definida por

 x  2  5t con t   y   4  2t

R es la recta que pasa por P0 2;4 y es paralela a v   5;3 Se pide: a) Dar otros dos puntos que pertenezcan a R . b) Decir si P1  18, 4  y P2 17;  14  pertenecen a R .

Solución: a) damos valores al parámetro t: si t = -2 es x = 2 + 10 = 12 ; y = -4 – 6 = -10. Luego el punto (12 , -10) pertenece a la recta. Si t = 3 es: x = -13 ; y = 5. El punto (-13 , 5) pertenece a R. b)

Para

P1 (-18,4):

 18  2  5 t con t    4   4  2t primera es t 

reemplazamos

en

las

ecuaciones

paramétricas

despejamos el parámetro t en las dos ecuaciones: en la

20 8  4 ; en la segunda: t   4 . Ello significa que t = 4 verifica las 5 2

dos ecuaciones del sistema. En consecuencia, el punto (-18, 4) pertenece a la recta.

 17  2  5 t con t  Para P2 (17 , -14), el sistema es  14   4  2 t De la primera ecuación t = -3 ; de la segunda, t = 5 El sistema es incompatible : el punto no pertenece a la recta. Forma simétrica

 x  x0  t v1 con t  Se deduce a partir de las ecuaciones paramétricas:  y  y0  t v2

Se despeja t en las dos ecuaciones y se igualan los segundos miembros: de la primera ecuación t 

x  x0 y  y0 , de la segunda: t  v1 v2

La forma simétrica de la ecuación de la recta es

x  x0 y  y0  v1 v2

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 143

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Por inspección de la fórmula podemos identificar un punto que pertenece a la recta y un vector paralelo a ella. Ejemplos: a) Si R)

x 1 y  5 ,  2 3

un punto de la recta es (-1, 5), un vector paralelo es

v   2i 3 j

b) Dada R1 )

x4  y  3 , un punto de la recta es (-4, -3), el vector paralelo que po2

demos expresar mediante la observación de la fórmula es v   2;1 c) Dada la x  ecuación de la recta R2 )

x4 y 6 , se interpreta que se trata de la  2 0

recta que pasa por el punto (-4 , 6) y es paralela al vector v   2;0  Forma implícita

x  x0 y  y0  v1 v2 operamos convenientemente para eliminar los denominadores e igualamos a cero:

Puede deducirse a partir de la forma simétrica

v2  x  x0   v1  y  y0  ; v2 x  v2 x0  v1 y  v1 y0

; v2 x  v2 x0  v1 y  v1 y0 = 0

v2 x  v1 y  v1 y0  v2 x0  0

Se ha obtenido una ecuación lineal en las variables x e y . Hacemos: v2  a ,  v1  b y v1 y0  v2 x0  c y podemos escribir:

Un punto perteneciente a la recta se obtiene dando un valor particular a una de las variables y hallando el valor correspondiente a la otra. Para identificar un vector paralelo a la recta partimos de v2  a ,  v1  b y sustituimos

 en v  v1 , v2    b, a 



Luego v = b,a  es paralelo a R.

 R es también paralela al opuesto de v que es

b;a . En consecuencia,

podemos dar como

vector paralelo a R el vector b;a  . Ejercicio: Probar que el vector

 N  a; b es perpendicular a la recta de ecuación

ax  by  c  0 Solución : Sabemos que

  v = b,a  es paralelo a la recta R. El vector N  a; b será perpen-

dicular a la recta si y sólo si es perpendicular al vector v y esto implica que el producto escalar debe ser igual a cero: N . v  0

 a, b  .b, a   ab  ba  0 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 144

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

Luego N  a; b es perpendicular a R.

Forma segmentaria Sea la recta de ecuación ax  by  c  0 ; con c  0

q

Pasamos al segundo miembro el término independiente

ax  by  c

Dividimos por  c

x y ax by  1  1 c c c c a b

p

Hacemos  c a  p y  c b  q y se tiene la llamada forma segmentaria de la ecuación de la recta

x y  1 p q

 

si y  0 ; x p  1  x  p . Luego el punto A p,0  R

 

si x  0 ; x q  1  x  q : el punto B 0,q  R Ejemplo: La recta de ecuación

x y   1 corta al eje de abscisas en (-5 , 0) y al eje de ordenadas en (0 , 5 2

2) Forma explícita Sea la recta definida por ax  by  c  0 ; v   b, a  Despejamos y: by  ax  c entonces y   hacemos

m

a c x b b

c a  p y podemos expresar y  mx  p m y b b

a  tg   pendiente de R b

y

si x  0 , y  p por lo tanto

 

el punto 0, p  R , es decir que el número p es la ordenada al origen.

-a



 o

x b

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Forma normal y

 N

Sea la recta definida por R) ax  by  c  0

   y un vector normal a la recta N  ai  bj

 j

 y N  a 2  b2  0

o  i

d

R x

Dividimos la ecuación dada por el módulo del vector normal:

ax  by  c a b 2

2

a

0

a b 2

2

x

b a b 2

2

y

c a  b2 2

0

El vector normal a la recta que por observación de la ecuación obtenida es

   a b  N0   2 ,  a  b2 a 2  b2  El módulo de este vector es: 2

2

     a b     N0   2  a  b2   a 2  b2 

a2 b2   a 2  b2 a 2  b2

a 2  b2  11 a 2  b2

Si la ecuación de la recta se expresa en la forma normal, el vector perpendicular que identificamos es un versor. Distancia de una recta al origen de coordenadas



Sea R ) ax  by  c  0 y un vector normal es N  a; b . Determinamos un

P0  x0 ; y0 

punto

 perteneciente a R y el vector de posición de este punto P0 . La distancia d es el valor

absoluto o módulo   del vector proyección de P0 sobre N .

   x0 ; y0   a; b x0 a  y0b  P0  N   (1) proy N P0   N a 2  b2 a 2  b2 Como P0  x0 ; y0   , sus coordenadas satisfacen la ecuación de R es decir ax0  by0  c  0 , luego ax0  by0  c (2)

De (2) en (1) d 

c a 2  b2

como  c  c podemos escribir d 

c a 2  b2

Conclusión: la distancia de una recta al origen de coordenadas es igual al valor absoluto del término independiente en la ecuación normalizada de la recta. Distancia de un punto a una recta Determinamos un punto P1 perteneciente a R ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 146

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P1  x1 , y1  y reemplazamos sus coordenadas en la ecuación: ax1  by1  c  0 (1)

y R

 N

P0

d

P1

 j

También determinamos el vector P1 P0 , la distancia que se busca es igual al módulo



o

del vector proyección de P1 P0 sobre N .

 i

d x

  P1 P0  P0  P1   x0 , y0    x1 , y1    x0  x1 , y0  y1  La distancia que se busca es

d

d

PP 1 0. N N



 x0  x1 , y0  y1  .  a, b  a 2  b2

ax0  ax1  by 0  by1 a b 2

2

;d 



 x0  x1  a   y0  y1  b a 2  b2

ax0  by0   ax1  by1  a 2  b2

De (1) ax1  by1  c y reemplazando en (2)

d

(2)

ax0  by0  c a 2  b2

La distancia de un punto a una recta es igual al valor absoluto del número que se obtiene al reemplazar en el primer miembro la ecuación normal de la recta, las variables x e y por las coordenadas del punto. Paralelismo de rectas Si las ecuaciones están dadas en forma implícita Expresamos las ecuaciones de las rectas e identificamos vectores perpendiculares a ellas: Si las rectas son paralelas, esos vectores normales también serán paralelos.

 R1 ) a1 x  b1 y  c1  0 ; N 1  a1 ,b1   R2 ) a2 x  b2 y  c2  0 ; N 2  a2 ,b 2 

  R1 // R2  N 1 // N 2     N 1 // N 2  N 1  t N 2 , con t  (a1 , b1 ) = t (a2 , b2 )  (a1 , b1 ) = (ta2 , tb2 ) igualamos las componentes y despejamos t:

a1  ta2 

a1  t (1); a2

b1  tb2 

b1  t (2) b2

Igualando (1) y (2) se obtiene la condición de paralelismo de las rectas R1 y R2 :

a1 b1  a 2 b2

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 147

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Si además

a1 b1 c1 , las rectas R1 y R2 son coincidentes.   a 2 b2 c2

2- Si las ecuaciones están dadas en forma explícita y

Dadas las rectas R1 ) y  m1 x  p1 R2 ) y  m2 x  p2 Se tiene m  tg  ; R1 // R2  1  2  tg 1  tg 2  m1  m2

R1

R2

x

Las rectas son paralelas si y sólo si las pendientes son iguales. Perpendicularidad de rectas 1- Si las rectas se expresan en forma implícita Dadas las rectas:  R1 ) a1 x  b1 y  c1  0 ; N 1  a1 ,b1   R2 ) a2 x  b2 y  c2  0 ; N 2  a2 ,b 2  Si las rectas son perpendiculares, también los vectores normales serán perpendiculares entre sí:     N 1  N 2  N1. N 2  0 R1  R2  N 1  N 2 ;

 a1 , b 1  . a2 ,b 2   0  a1a2  b1b2

0

Luego R1 y R2 son perpendiculares si a1a2  b1b2  0 2- Si las rectas están dadas en forma explícita Dadas las rectas: R1 ) y  m1 x  p1

y

R2 ) y  m2 x  p2

Se expresan las ecuaciones en forma implícita:

R1 ) m1 x  y  b1  0 ; N1  (m1 ,  1)

R2 ) m2 x  y  b1  0 ; N2  (m2 ,  1)

Si las rectas son perpendiculares los vectores normales también serán perpendiculares:   1 N 1  N 2  N1. N 2  0 ; (m1 ,  1).(m2 ,  1)  0  m1m2 1 0 ; m1 m2   1  m2   m1 Las rectas son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una de ellas es igual al opuesto del recíproco de la pendiente de la otra. Intersección de rectas La intersección entre dos rectas no paralelas ni coincidentes R1 y R2 es un único punto de coordenadas ( x0 , y0 ) que satisface simultáneamente ambas ecuaciones. Para hallarlo se debe resolver el sistema formado por las ecuaciones de las rectas. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 148

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Ejercicios resueltos 1) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, 5) y es paralela al vector u  (3, 1)

Solución: Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta, entonces los vectores AP y u son paralelos, es decir que: AP = t u ( t 

).

P A

u

Resulta entonces: ( x  2, y  5)  t (3, 1) e igualando las componentes obtenemos las

 x  2  3t ecuaciones paramétricas de la recta:  . y  5t Despejando t de ambas ecuaciones e igualando, resulta la ecuación simétrica:

x 2 y 5 o bien la ecuación general x  3 y  13  0 o la ecuación explícita  3 1 1 13 y  x 3 3

2) Obtenga la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, 2) y es perpendicular al vector n = (2, 3). Solución: Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta, entonces los vectores AP y n son perpendiculares. Por lo tanto AP . n = 0  ( x  4, y  2).(3, 2)  0  3( x  4)  2( y  2)  0 de donde se obtiene la ecuación general de la recta 3x  2 y  8  0 . Observación: una forma alternativa de resolver este problema consiste en encontrar un vector paralelo a la recta y proceder como en el ejercicio anterior.

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 149

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P

A

n

3) Dadas las rectas R1 de ecuación 4x – 2y + 5 = 0, y R2 de ecuación 3x + y – 4 = 0: a) encuentre el ángulo que forman R1 y R2. b) Halle la distancia del punto Q(-2, 5) a la recta R1 Solución: a) el ángulo entre las rectas es igual al ángulo entre los vectores normales a cada una de ellas. De las ecuaciones generales, podemos encontrar n1  (4,  2) y n2  (3, 1) , perpendiculares a R1 y R2 respectivamente. Por otra parte cos  

n1.n2

, donde  es el ángulo que forman los vectores (y por lo

n1 n2

tanto las rectas). En

este

caso,

n1. n2  4  3  (2) 1  10 ,

n2  32  12  10 , por lo que:   arccos

n1  42  (2)2  20

y

2 10 = arccos = 45° 2 10 2

b) Para el cálculo de la distancia, recordemos que la distancia del punto (x1, y1) a la recta de ecuación ax  by  c  0 está dada por d 

d

4(2)  (2)5  5 4  (2) 2

2

d 

ax1  by1  c a 2  b2

. Por lo tanto:

13 20

4) Calcule el valor de c para que la distancia de la recta x  3 y  c  0 al punto (6, 2) sea 10 (Existen dos soluciones). Solución: Utilizando la expresión para el cálculo de la distancia de un punto a una recta: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 150

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d

6  3.2  c 12  (3)2

 10 

c 10

 c  10  c  10 o c  10

5) Pruebe que las rectas 2 x  3 y  5  0 y 4 x  6 y  7  0 son paralelas, y calcule la distancia entre ellas. Solución: Los vectores normales asociados a cada una de las rectas, n1  (2, 3) y n2  (4, 6) son paralelos, pues sus componentes son proporcionales. Por lo tanto, las rectas también son paralelas. La distancia entre las rectas paralelas es igual a la distancia de un punto de una de las rectas a la otra recta. Podemos obtener un punto de una de las rectas (de la primera por ejemplo), asignando un valor arbitrario a una de las coordenadas y despejando la otra. Así, si y = 3 resulta x = -2. Hallamos entonces la distancia del punto (-2, 3) a la recta 4 x  6 y  7  0 :

d

4(2)  6.3  7 42  62



3 52

6) Dado el triángulo de vértices A(2, 3), B(5, -2) y C(1, 6), encuentre la ecuación de la recta perpendicular al lado AB y que pasa por el vértice C.

Solución: La recta buscada es perpendicular al vector AB y pasa por el punto C. Siendo AB  (3,  5) y C el punto de coordenadas (1, 6), tendremos: 3( x  1)  5( y  6)  0  3x  5 y  27  0

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 151

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Ejercicios Propuestos 1) Encuentre la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (-2, 5). 2) ¿Para qué valor de h el punto (h, -3) está en la recta que pasa por los puntos (1, -1) y (4, 7)?

 x  1  4t  x  3  2t 3) Dadas las rectas R1 de ecuación  y R2 de ecuación  , encuentre la  y  4  3t y  7 t ecuación de: a) una recta paralela a R1 que pase por el punto (5, 7) , b) una recta perpendicular a R2 que pase por el punto (0, 0)

 x  5  3t 4) Encuentre la ecuación explícita de la recta   y  1  2t 5) Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (-3, 7) y es paralela al vector (4, -1). Halle la ecuación explícita de dicha recta. 6) Encuentre las ecuaciones paramétricas e implícita de la recta que pasa por: a) (6, -2) y (0, 5)

b) (3, 2) y (3, 6)

7) Encuentre la ecuación de la recta que es: a) paralela a 2 x  3 y  0 , y cuya ordenada al origen es -2. b) perpendicular a 4 x  3 y  6  0 y pasa por el punto de intersección de esta recta con el eje de ordenadas 8) Halle las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) pasa por el punto (-3, 1) y es paralela al vector (2, 0)

x  1 t b) pasa por el punto (5, -2) y es paralela a la recta de ecuación   y  2t c) pasa por el punto (1, 3) y es perpendicular a la recta 2 x  3 y  6  0 d) es perpendicular al segmento AB por su punto medio, siendo A(0, 4) y B(-6, 0). 9) Encuentre la distancia del punto (-3, 4) a cada una de las siguientes rectas: a) 2 x  3 y  4 ,

b)

x 1 y  4 ,  2 5

 x  1  2t c)  ,  y  3  6t

d)

x y  1 2 3

10) Pruebe que el triángulo de vértices (10, 5), (3, 2) y (6, -5) es un triángulo rectángulo. ¿Cuál es su área? 11) Los puntos A(3, -2), B(4, 1) y C(-3, 5) son vértices de un triángulo. Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a lado AC que pasa por B. 12) Encuentre la distancia entre las rectas x + 2y + 4 = 0 y 2x + 4y – 5 = 0. 13) Encuentre el ángulo entre las rectas: a) R1 de ecuación y  2 x  5 y R2 de ecuación y  3x  1 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 152

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b) R1 de ecuación 3x  5 y  7  0 y R2 de ecuación 10 x  6 y  3  0

 x  1  3t x  3  t c) R1 de ecuación  y R2 de ecuación  y  4 t  y  2t d) R1 de ecuación 2x  y y R2 de ecuación 2 y  3  0

 x  3  2t e) R1 de ecuación  y R2 de ecuación y  7 t

 x  1  4t   y  4  3t

14) Halle la longitud del segmento que determina la recta x  2 y  5  0 al cortar a los ejes de coordenadas. 15) Calcule el valor de c para que: a) la distancia de la recta x  3 y  c  0 al punto (6, 2) sea 10 (Hay dos soluciones). b) la distancia de la recta cx  2 y  2  0 al punto (1, 2) sea

2

c) la recta 3x  cy  2  0 forme un ángulo de 60º con el eje de abscisas. d) la recta 4x + 5y = c forme con los ejes coordenados un triángulo de área 10. (R: –20 y 20) 16) A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20 ºC y la temperatura a la altura de 1 km es de 10 ºC, exprese la temperatura T (en ºC) como una función de la altura h (en kilómetros) suponiendo que es un modelo lineal adecuado. ¿Qué representa la pendiente? ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2,5 km? 17) Si la dosificación recomendada para un adulto de una droga es D (en mg), entonces, para establecer la dosis apropiada c para un infante de edad a, el químico farmacéutico utiliza la ecuación

c = 0,0417D(a +1). Considere que la dosis para un adulto es 200 mg.

a) Halle la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? b) ¿Cuál es la dosis para un recién nacido? 18) En la superficie del océano la presión del agua es la misma que la presión del aire por arriba del agua, 15 lb/pulg2. Por debajo de la superficie, la presión del agua aumenta en 4,34 lb/pulg2 por cada 10 pies de descenso. a) Exprese la presión del agua como función de la profundidad por debajo de la superficie del océano. b) ¿A qué profundidad es de 100 lb/pulg2 la presión?

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 153

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Respuestas: 1) (x, y) = (1, 2) + k(-3, 3) 2) 1/4

 x  5  2t  x  3t 3) a)  , b)  y  7 t  y  4t 4) 2x + 3y - 7 = 0

 x  3  4t 5)  y  7 t  x  6t 6) a)  ,  y  5  7t

x  3 7 x  6 y  30  0 , b)  ,  y  2  4t

x 3  0

7) a) 2 x  3 y  6  0 , b) 3x – 4y + 8 = 0

x  5  t  x  1  2t  x  3  2t  x  3  4t 8) a)  , b)  , c)  , d)   y  2  2t  y  3  3t y 1  y  2  6t 9) a) 2 / 13 , b) 20 / 29 , c) 13 / 10 , d) 7 / 13 10) 29 11) 6x – 7y – 17 = 0 12) 13 / 20 13) a) 45°, b) 90°, c) 45°, d) 63º26´5,82”, e) 10º18´17,4”. 14) 5 5 / 2 15) a) 10, -10; b) 2, c) - 3 16) T = -10h + 20, -5 ºC 17) a) 8,34; b) 8,34 mg 18) P = 0,434d+15; 196 pies

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 154

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ECUACION DEL PLANO Ecuación vectorial del plano Un plano queda determinado cuando se dan un punto perteneciente al plano y un vector perpendicular al plano. En efecto, dados el punto P0(x0 ,y0, z0) y el vector N  (a, b, c) , existe un único plano π al cual pertenece P0 y es perpendicular a N . N

z

P0 P

y

x

Ese plano π es el conjunto de todos los puntos P del espacio tales que el vector P0 P sea per-





pendicular a N . En símbolos:   P / P0 P  N . Para deducir la ecuación vectorial tenemos en cuenta la condición de perpendicularidad entre dos vectores: su producto escalar debe ser igual a cero: P0 P . N = 0 (1). Esta es una manera de expresar la ecuación vectorial de un plano. Llamemos P0 y a los vectores posición de P0 y P respectivamente. De la figura: P0  P0 P  P  P0 P  P  P0 (2) De (2) en (1): ( P  P0 ).N  0 (3) (otra forma de la ecuación vectorial del plano) Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar con respecto a la diferencia de vectores: P.N  P0 .N  0 (4) Ecuación cartesiana del plano La ecuación cartesiana del plano se obtiene expresando por sus componentes los vectores en cualquiera de las expresiones de la ecuación vectorial (fórmulas 1, 3 y 4) ( x, y, z ).(a, b, c)  ( x0 , y0 , z0 ).(a, b, c)  0 (5) xa  yb  zc  ( x0 a  y0b  z0c)  0 En la expresión obtenida, la suma entre paréntesis es un número al que llamaremos (-d), es decir x0 a  y0b  z0c  d ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 155

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Reemplazando en (5), se obtiene la forma cartesiana: ax  by  cz  d  0

Ejemplos: a) La ecuación vectorial del plano π al cual pertenece el punto P0(-1, 3, -2) y es perpendicular a N = (3, 1, 5) es: (x, y, z) . (3, 1, 5) – (-1, 3, -2) . (3, 1, 5) = 0 b) La ecuación vectorial del plano π puede usarse para obtener la ecuación cartesiana, efectuando las operaciones, tal como se hizo en la deducción de la fórmula: 3x  y  5 z   (1).3  3.1  (2).5  0 3x  y  5 z  10  0

También puede lograrse con el siguiente razonamiento: la ecuación cartesiana de un plano es ax  by  cz  d  0 , donde (a, b, c) es un vector perpendicular al plano. Si N = (3, 1, 5) es perpendicular a π, puede escribirse: 3x +y + 5z + d = 0 (1). Esta es la ecuación de la “familia de planos” perpendiculares a N . Uno de los planos de esa familia es el que buscamos: el que “pasa” por P0(-1, 3, -2), y que es único. Si un punto pertenece a un plano, sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano:

P0 (1,3,  2)    3.(1)  3  5(2)  d  0  d  10 (2) Reemplazando (2) en (1) se tiene la ecuación 3x  y  5z  10  0 Ejercicios: 1) Dar tres puntos, distintos de P0 que pertenezcan a  )3x  y  5z  10  0 2) Averiguar si los puntos (-1, 3, -4), (4, 0, -1) y (-2, 10, 2) pertenecen a

 )3x  y  5z  10  0 . 3) ¿cuál es el valor de la componente y1 si P1(-3, y1, 4) ∈ π) -x + 3y + 2z -1 = 0? Casos particulares de la ecuación cartesiana del plano: La ecuación cartesiana de π es ax  by  cz  d  0 . a) Si d = 0,  ) ax  by  cz  0 . El origen de coordenadas pertenece a π. En efecto, sus coordeadas (0, 0, 0) satisfacen la ecuación del plano. b) Si c = 0:  ) ax  by  d  0 , N  (a, b,0) está en el plano (x, y) y N   . Luego π // eje z. c) Si b = 0:  ) ax  cz  d  0 , N  (a,0, c) está en el plano (x, z) y N   . Luego π // eje y. d) Si a = 0:  ) by  cz  d  0 , N  (0, b, c) está en el plano (y, z) y N   . Luego π // eje x. e) Si b = c = 0:  ) ax  d  0 , N  (a,0,0) está en el eje x y N   . Luego π  eje x. f) Si a = c = 0:  ) by  d  0 , N  (0, b,0) está en el eje y y N   . Luegoc  eje y. g) Si a = b = 0:  ) cz  d  0 , N  (0,0, c) está en el eje z y N   . Luego π  eje z. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 156

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La ecuación del plano xy es z = 0, la ecuación del plano xz es y = 0 y la del plano yz es x = 0

z z

y

y x

b =0 00

x

c =0

z z

y y a =0

x

=0

b=c = 0

x

z

z

y

y

a=c =0

x

a=b =0

x Forma segmentaria de la ecuación del plano Sea un plano π de ecuación ax  by  cz  d  0 , con d  0 ,

z C(0,0,r)

es decir, el plano no pasa por el origen de coordenadas. Trasponemos d y tenemos ax  by  cz  d Dividimos por –d:

ax by cz   1 d d d

B(0,q,0 ) A(p,0,0

x ______________________________________________________________________________________ ) Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 157

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x y z   1 d d d a b c d d d Hacemos:  p,  q, r a b c x y z Reemplazando:    1 (1) p q r

que puede escribirse:

Si en (1) hacemos x = z = 0, se tiene x = p. Luego A(p, 0, 0) ∈ π. Si hacemos y = z = 0, se tiene y = q. Luego B(0, q, 0) ∈ π. Si hacemos x = y = 0, se tiene z = r. Luego C(0, 0, r) ∈ π Los puntos A, B y C son las intersecciones de π con los ejes coordenados. Aplicaciones: a) Encuentre los puntos en que el plano  ) x  3 y  4 z  5  0 intercepta los ejes coordenados. b) Las intersecciones de un plano con los ejes coordenados son: A(2, 0, 0), B(0, -4, 0) y C(0, 0, -3). Exprese la ecuación del plano. Forma normal de la ecuación del plano. Si se tiene la ecuación de un plano, son equivalentes a ella, y en consecuencia definen el mismo plano, todas las que se obtengan multiplicando dicha ecuación por un escalar (número real) distinto de cero. Sea π) ax  by  cz  d  0 (1), N  (a, b, c) (o bien N  ai  b j  ck ) El módulo de N es N  a 2  b2  c 2 Multiplicamos (1) por

1 N

)

)

ax  by  cz  d a 2  b2  c 2 a

 0 lo que puede escribirse:

x

b

y

c

z

d

0 a b c a b c a b c a  b2  c 2 Se ha obtenido la ecuación del plano en “forma normal”. En este caso, el vector normal cuyas componentes están expresadas en la ecuación, es un vector unitario. (Verifíquelo) Para “normalizar” la ecuación del plano, puede seguirse el siguiente consejo: Si c  0 , hacer c  0 Si c  0 y b  0 , hacer b > 0 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Si b  c  0 , hacer a > 0. Ejemplo: Encontrar la forma normal de la ecuación del planoπ , si  ) 3x  2 y  4 z  5  0

Sol.: si seguimos el consejo, hacemos  )  3x  2 y  4 z  5  0 N  (3, 2, 4), N  (3) 2  22  42  29

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 158

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)

3 2 4 5 x y z 0 29 29 29 29

También:  )

3 29 2 29 4 29 5 29 x y z 0 29 29 29 29

Distancia de un plano al origen de coordenadas Sea  ) ax  by  cz  d  0 . Queremos determinar la distancia D  OA del plano al origen de coordenadas. Determinamos un punto P0(x0, y0, z0) perteneciente al plano (¿Cómo lo haría?) y el vector de posición, P0 . La distancia que se busca es igual al valor absoluto de la proyección de P0 sobre N . D  P roy N P0 

N . P0



(a, b, c).( x0 , y0, z0 ) a 2  b2  c 2

N

Como P0(x0, y0, z0) ∈π, sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano: ax0  b y0  c z0  d  0



ax0  b y0  c z0 ) a 2  b2  c 2

(1)

N

z

 ax0  b y0  c z0  d (2)

P0

Reemplazando (2) en (1): d D a 2  b2  c 2

D y

y como  d  d , puede escribirse D 

x

d a 2  b2  c 2

Aplicación: Encuentre la distancia de 4 x  2 y  5z  8  0 al origen de coordenadas. Distancia de un punto a un plano: N

P0

z

P1

D

Sea  ) ax  by  cz  d  0 y P0(x0, y0, z0). Se trata de determinar la distancia de P0 a π: D  P2 P0 Determinamos un punto P1 perteneciente al plano, y el vector PP La distancia: 1 0 . (justifique esta expresión). D  Pr oy N PP 1 0

PP 1 0  P0  P 1  ( x0  x1 , y0  y1 , z0  z1 ) y x

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 159

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D  P roy N P0  D

N . PP 1 0



(a, b, c).( x0  x1 , y0  y1, z0  z1 ) a 2  b2  c 2

N

ax0  ax1  by0  by1  cz0  cz1 a 2  b2  c 2





a( x0  x1 )  b( y0  y1 )  c( z0  z1 ) a 2  b2  c 2

ax0  by0  cz0  (ax1  by1  cz1 ) a 2  b2  c 2

(1)

P1 ( x1 , y1 , z1 )    ax1  by1  cz1  d  0  ax1  by1  cz1  d (2) De (2) en (1): D 

ax0  by0  cz0  d a 2  b2  c 2

Resulta entonces que la distancia de un punto a un plano es igual al valor absoluto del número que se obtiene al reemplazar en el primer miembro de la ecuación normal del plano, las variables x, y, z por las coordenadas del punto.

Paralelismo de planos: Sean: 1 ) a1 x  b1 y  c1 z  d1  0;

 2 ) a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0;

N1  (a1 , b1 , c1 ) N1  (a2 , b2 , c2 )

1 / / 2  N1 / / N2  N1  t N2 ,

con

t

.

Debe

ser

a1  ta2 a b c  (a1 , b1 , c1 )  t (a2 , b2 , c2 )  b1  tb2  1  1  1  t a2 b2 c2 c  tc 2 1 a1 b1 c1 d1     t , los planos son coincidentes. Si además a2 b2 c2 d 2

Ejemplos: a) Los planos 1 ) 2 x  3 y  4 z  2  0 y  2 )  4 x  6 y  8 z  1  0 son paralelos. Justifíquelo. b) Los planos  3 )  x  2 y  z  0 y  4 ) 4 x  8 y  4 z  1  0 no son paralelos. ¿Por qué? Aplicaciones: a) Halle una ecuación del plano paralelo a  )  x  3 y  z  1  0 que pase por el punto (2, -1, 3) b) Encuentre la distancia entre 1 ) x  2 y  4 z  1  0 y  2 ) 3x  6 y 12 z  3  0 verificando previamente que son paralelos. Perpendicularidad de planos: Sean:

1 ) a1 x  b1 y  c1 z  d1  0;  2 ) a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0;

N1  (a1 , b1 , c1 ) N1  (a2 , b2 , c2 )

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 160

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1   2  N1  N 2  N1. N 2  0 N1. N 2  (a1 , b1 , c1 ).(a2 , b2 , c2 )  a1a2  b1b2  c1c2 Entonces 1   2  a1a2  b1b2  c1c2  0 Ejemplo: 1 ) 4 x  y  2 z  1  0 y  2 ) x  2 y  3z  8  0 son perpendiculares, pues los vectores

N1  (4,  1, 2) y N2  (1,  2,  3) son perpendiculares. En efecto

N1 . N2  (4,  1, 2) . (1,  2,  3)  4  2  6  0 Angulo de dos planos: Sean:

1 ) a1 x  b1 y  c1 z  d1  0;  2 ) a2 x  b2 y  c2 z  d 2  0;

N1  (a1 , b1 , c1 ) N1  (a2 , b2 , c2 )

La medida del ángulo de los planos π1 y π2 es igual a la medida del ángulo de los vectores normales N1 y N 2 cos(1 ,  2 ) 

a1a2  b1b2  c1c2 a12  b12  c12 a22  b22  c22

Ejercicio: Hallar el ángulo de 1 )  3x  y  2 z  5  0 y  2 ) 4 x  2 y  z  0

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 161

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ECUACION DE LA RECTA EN EL ESPACIO Una recta en el espacio queda determinada dando un punto perteneciente a la recta y un vector paralelo a ella. La recta a la cual pertenece el punto P0 z v y es paralela a v es el conjunto de todos los puntos P tales que P0 P es





paralelo a v : R  P / P0 P / / v

P0 P y x

Ecuación vectorial

P0 P / / v  P0 P  tv, con t 

(1)

Trazamos los vectores de posición de P0 y P, y tenemos: P0  P0 P  P  P0 P  P  P0 (2) Reemplazando (2) en (1): P  P0  tv, con t 

y también

P  P0  tv, con t  Ecuaciones paramétricas Partiendo de la ecuación vectorial obtenemos las ecuaciones paramétricas, sustituyendo los vectores por sus componentes. Si P0 ( x0 , y0 , z0 ) y P( x, y, z)  P0  ( x0 , y0 , z0 ) y P  ( x, y, z) y si v  (v1 , v2 , v3 )

( x, y, z)  ( x0 , y0 , z0 )  t (v1 , v2 , v3 ) con t  ( x, y, z )  ( x0 , y0 , z0 )  (tv1 , t v2 , t v3 ) ( x, y, z )  ( x0  tv1 , y0  t v2 , z0  t v3 )

 x  x0  tv1  Entonces:  y  y0  tv2  z  z  tv 0 3 

con t 

Ejemplo: Las ecuaciones paramétricas de la recta a la cual pertenece el punto (-1, 2, 5) y es paralela a

v  3i  2 j  3k son:  x  1  3t  R)  y  2  2t con t   z  5  3t  Verificar que (-7, 6, -1) pertenece a R. Determinar si A(1, -4, -2) pertence a R. Aplicación: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 162

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Dos puntos determinan una recta. Deducir las ecuaciones paramétricas de la recta que determinan P0 ( x0 , y0 , z0 ) y P( x, y, z ) . Ecuación cartesiana de la recta en el espacio: A partir de las ecuaciones paramétricas:  x  x0  tv1   y  y0  tv2 con t   z  z  tv 0 3  x  x0 y  y0 z  z0   t Despejamos el parámetro t: v1 v2 v3 Se ha obtenido la llamada forma simétrica: Ejemplo: La ecuación de la recta paralela a v  3i  j  5k por P0(-1, 2, -3) es: x 1 y  2 z  3   3 1 5

Aplicación: Deducir la ecuación cartesiana P0 ( x0 , y0 , z0 ) y P( x, y, z )

simétrica

de

la

recta

determinada

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 163

por

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Ejercicios resueltos: 1) Obtenga la ecuación del plano determinado por los puntos P(-1, 2, 0), Q(1, -2, 3) y R(0, 4,

1) Solución: a) Primer procedimiento: con los puntos dados formamos los vectores PQ y PR : PQ  (2,  4, 3); PR  (1, 2, 1)

El producto vectorial de ambos vectores es un vector perpendicular al plano:

i j k PQ  PR  2 4 3  10i  j  8k 1 2 1 Recordemos

que

la

ecuación

de

un

plano

puede

expresarse:

a( x  x1 )  b( y  y1 )  c( z  z1 )  0 , donde a, b y c son las componentes de un vector nor-

mal al plano y ( x1 , y1 , z1 ) las coordenadas de un punto del plano. Por lo tanto: 10( x  1)  1( y  2)  8( z  0)  0 , de donde resulta 10 x  y  8z  12  0

b) Segundo procedimiento: Si consideramos un punto genérico del plano T(x, y, z), entonces los vectores PQ, PR y PT son coplanares, de donde el producto mixto de los tres vectores es nulo:

x 1 y  2 z 2 4 3  0 . Desarrollando este determinante, obtenemos: 1

2

1

10( x  1)  ( y  2)  8z  0 , lo que conduce finalmente a: 10 x  y  8z  12  0

2) Encuentre la ecuación del plano que pasa por el punto P(2, 2,3) y es paralelo a los vectores a  i  2 j  3k y b  4i  j  2k Solución: En primer lugar hallamos un vector normal al plano

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 164

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i j k n  1 2 3  n  i  10 j  7k . 4 1 2 Con este vector y el punto dado podemos escribir la ecuación del plano: 1( x  2)  10( y  2)  7( z  3)  0 , o bien:  x  10 y  7 z  1  0

3) Halle un plano por el punto P0 (4,  1,  2) que sea paralelo a  )8x  7 y  5z  49  0 Solución: Si un punto pertenece a un plano, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación del plano. Por otra parte, si dos planos son paralelos, los vectores normales a dichos planos deben ser paralelos entre sí:

 )8x  7 y  5z  49  0  N  (8,  7,5) El plano que se busca podrá expresarse:

1 ) 8x  7 y  5z  d  0 (1) P0 (4,  1,  2) 1  8.4  7(1)  5(2)  d  0 de donde resulta d = -29 (2)

De (2) en (1): 1 )8x  7 y  5z  29  0 4) Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3, 2, 5) y B(1, -4, 2). Solución: Los puntos dados determinan un vector paralelo a la recta: AB  (2,  6,  3) Se obtiene entonces:

x 3 y 2 z 5 , o también:   2 6 3 x 3 y 2 z 5   2 6 3

4) Determine la ecuación de la recta intersección de los planos  1 , de ecuación 2 x  y  3z  0 y  2 , de ecuación 3x  2 y  z  2  0 . Solución: Para obtener un punto de la recta, resolvemos el sistemas de ecuaciones

2 x  y  3z  0 Se trata de un sistema compatible indeterminado (Justifique esta afir 3x  2 y  z  2  0 mación). Una de sus soluciones es (1, -1, -1). Un vector paralelo a la recta puede encontrarse mediante el producto vectorial de los vectores normales asociados a cada plano: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 165

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i j k x 1 y  1 z  1 2 1 3  5i  11 j  7k . Finalmente, la ecuación de la recta es:   5 11 7 3 2 1

 x  1  2t  5) Una recta tiene ecuación  y  5  t (1), determine la posición relativa de la recta con  z  2  3t  el plano: a) 1 )3x  5 y  3z  6  0 b)  2 )3x  5 y  3z  22  0 c)  3 ) 2 x  13 y  3z  5  0 d)  4 ) 2 x  13 y  3z  73  0 Solución: a) Se trata de averiguar si la recta tiene puntos en común con el plano. Remplazamos las expresiones de x, y , z de las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano: 3(1  2t )  5(5  t )  3(2  3t )  6  0

3  6t  25  5t  6  9t  6  0 8t  28  0  t  

7 2

7 La única solución es t   . Luego resulta que la recta tiene un único punto en común 2 con el plano. Remplazando t en las ecuaciones paramétricas de la recta para hallar el punto de intersección entre la recta y el plano  7 x  1  2.    ; x  8  2 7 3 y  5 ; y  2 2 25  7 z  2  3.    ; z  2  2 3 25 El punto de intersección es P(8; ; ) 2 2 Verifique que P pertenece al plano.

b) en este caso se tiene 3(1  2t )  5(5  t )  3(2  3t )  22  0 3  6t  25  5t  6  9t  22  0 8t  0  t  0 Remplazando en (1) : x = 1, y = 5, z = 2. Conclusión: la recta corta al plano en el punto (1, 5, 2) c) remplazamos las expresiones de x, y, z de las ecuaciones paramétricas en la ecuación de  3 :

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 166

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2(1  2t )  13(5  t )  3(2  3t )  5  0 2  4t  65  13t  6  9t  5  0

68  0 Se obtiene un absurdo. En conclusión, la recta y el plano no tienen puntos comunes.

d) Razonando de la misma manera: 2(1  2t )  13(5  t )  3(2  3t )  73  0 2  4t  65  13t  6  9t  73  0 00 6) Escriba la ecuación cartesiana de la recta intersección de los planos 2 x  y  3z  5  0 y 3x  2 y  4 z  6  0 Solución: dos planos no paralelos tienen como intersección una recta. Por ello puede describirse una recta en el espacio como la intersección de dos planos no paralelos. La recta es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones. Si las ecuaciones de los planos son ax  by  cz  d  0 y a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 verificamos en primer lugar si no son paralelos. Para ello comprobamos que los vectores normaa b c les no son paralelos: N  (a, b, c); N1  (a1 , b1 , c1 ); N / / N    a1 b1 c1 Para comprobar que los planos no son paralelos, basta considerar una de las proporcioa b a b nes, por ejemplo:  , debe ser  a1 b1 a1 b1 2 x  y  3z  5  0 Para el caso planteado, formamos el sistema de ecuaciones:  3x  2 y  4 z  6  0 Multiplicando la primera ecuación por (-3) y sumando a la segunda multiplicada por dos se obtiene el sistema equivalente: 2 x  y  3z  5  0 7 y  27  z 7 y  17 z  27  0  17 ; (1) Si multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos a la segunda se obtiene otro sis7x  4 z 2 x  y  3z  5  0 2 (2) tema equivalente:  :  2z  4  0 7 x 7 x  4 7 y  27  z 2 17 De (1) y (2)

o bien

x  4 7 y  27 / 7  z 2 / 7 17 / 7

El punto (4/7, -27/7, 0) es un punto de la recta y el vector (-2, 17. 7) es paralelo a la recta. Las ecuaciones paramétricas son:  x  4 / 7  2t  x  4 / 7  2t    y  27 / 7  17t ; t   y  27 / 7  17t ; t  z  t z  t   Verifique que cualquier punto perteneciente a la recta pertenece a los planos (Ayuda: asigne al parámetro un número real, obtenga el punto y verifique que ese punto pertenece a los dos planos dado. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 167

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Ejercicios Propuestos 1) Halle la ecuación vectorial y la ecuación general del plano que pasa por P(1, -2, 1) y es per    pendicular al vector a  2i  j  3k 2) Hallar la ecuación vectorial y la ecuación general del plano determinado por los puntos P(1, 0, 2); Q(2, 1, 1) y R(0, 1, 5)

3) Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto P(3,  2, 1) y es paralelo a los vectores       a  2i  j y b  3 j  k 4) Hallar la distancia del punto P(2,  4, 3) al plano cuya ecuación es 2 x  y  2 z  3  0 5) Hallar el ángulo que forman los planos 1 : 2 x  y  2 z  5  0 y  2 :3 x  6 y  2 z  7  0 6) Dado el plano  : 2 x  5 y  6 z  8  0 , halle la ecuación del plano: a) paralelo al anterior que pasa por P(0, 1, 1) b) Hallar la ecuación del plano perpendicular al anterior que pasa por los puntos (1, 2, 1) y (-1, 0, 2) 7) Dados los puntos P  2, 3, 4  y Q  0,  1, 5 a) Halle la ecuación general de la recta que determinan. b) Exprese la ecuación en forma paramétrica y vectorial 8) Encuentre las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas: a) paralela al vector (3, -1, 2) y que pasa por el punto (6, 0, -5) b) paralela al vector (9, 0, 3) y que pasa por el punto (5, -1, 0) 9) Escriba la ecuación cartesiana de la recta intersección de los planos 3x  2 y  7 z  1  0 y

 x  y  3z  0

 x  3  2t  10) Obtenga la forma cartesiana de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:  y  5  3t  z  1  t   x  2 y  3z  1  0 11) Exprese en forma paramétrica la recta  x  y  z  3  0 12) Determine si los siguientes pares de rectas son paralelas o perpendiculares: a)

x 1 y  4 z  3 ;   1 3 2

1 1 1 y z 3 3 5; 2 8 7

x b)

x  4 y  2 z 1   2 6 4 1 1 7 z y 7  9 2 3 2 2

x

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 168

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13) Halle el ángulo que forman las rectas R1 :

x 1 y  2 z  0   2 3 1

y R2 :

14) Halle el ángulo entre la recta 15) Determine si la recta

Halle

la

x y z y el plano  : 2 x  y  3z  0   2 3 1

x3 y4 z   es paralela al plano  : 4 x  2 y  2 z  9  0 2 7 3

16) Demuestre que la recta 17)

x  0 y 1 z  2   2 1 3

x y z   es perpendicular al plano  : 3x  2 y  7 z  8  0 3 2 7

intersección

entre

la

recta

R:

x3 y 4 z 2   2 5 4

y

el

plano

 : 4 x  3 y  2 z  34  0 x  1 t  18) Halle, si existe, el punto de intersección entre la recta  y  2  t y el plano  :  z  1  2t  x  y  z 1

x  z  2  0 19) Halle el punto de intersección de la recta  y el plano  : x  2 y  7  0  y  3z  1  0 x  2 y  z  3  0 20) Halle el ángulo formado por la recta  y el plano  : 3x  4 y  2 z  5  0 2 x  y  3z  5  0 21) Dada la recta

x 1 y  2 z y el punto P (2, -1, 3), halle la ecuación del plano que los   2 1 2

contiene. 22) Dadas las rectas

2 x  y  z  1  0 y  7 x  2 y  9 z  2  0

x 3 y 5 z  2 , halle la ecuación del   7 11 3

plano que las contiene. 23) Encuentre el valor de t de modo que los puntos A(1, –3, 0), B(3, 1, t) y C(5, 5, 10) pertenezcan a la misma recta. (t = 5)

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 169

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Respuestas 1) 2 x  y  3z  7  0

2) 4 x  2 y  2 z  8  0

4) 3

5) Aproximadamente 79°.

3)  x  2 y  6 z  7  0

6) a) 2 x  5 y  6 z  1  0 , b) 3x  3 y  3  0 7) a)

x 2 y 3 z 4   2 4 1

 x  6  3t  x  5  9t   8) a)  y  t , b)  y  1  z  3t  z  5  2t   x 1 y 1 z   13 16 1

9) 10)

x  3 y  5 z 1   2 3 1

x  5  t  11)  y  2  2t z  t  12) a) paralelas, b) ni paralelas ni perpendiculares. 13) Aproximadamente 73°. 14)   arcsen

5 7

15) Sí. 16) El vector asociado a la recta es paralelo al vector asociado al plano, por lo tanto la recta y el plano son perpendiculares. 17) P 1, 14,  6  20)   arcsen

25 46, 6

18) El punto de intersección es (7/4, 5/4, 1/2)

19) P  3, 2, 1

21) 9 x  4 y  7 z  1  0

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 170

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CÓNICAS Ecuación de la circunferencia: Dados un punto O y un número positivo r, la circunferencia de centro O y radio r es el conjunto de todos los puntos del plano tales que la distancia al centro sea igual al radio. Para deducir la ecuación de la circunferencia, consideramos, en primer lugar, que su centro coincida con el origen de coordenadas. El punto P(x, y) pertenece a la circunferencia si OP  r . Si ese vector OP gira alrededor del origen describiendo un ángulo φ, tal que

0    360 (o bien 0    2 ), el punto P describe la circunferencia.

Ecuaciones paramétricas: P( x, y)  C (O, r )  OP  r

De la figura se tiene:

 x  r cos  De aquí  donde el parámetro   y  r sen  está comprendido entre 0° y 360°.

Ecuación cartesiana: Encontraremos una ecuación en la cual no intervenga el parámetro. Para ello, elevamos al cuadrado las ecuaciones paramétricas:

x 2  y 2  r 2 cos 2   r 2 sen 2   x 2  y 2  r 2 (cos 2   sen 2  )

 x  r cos  y sumando  2 2 2  y  r sen  x2  y 2  r 2 2

2

2

Ejemplos: a) x 2  y 2  10 es la ecuación de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r  10 b) 4 x 2  4 y 2  9 es la ecuación de una circunferencia. Hacemos x 2  y 2  r

9 . En este caso 4

3 2

c) x 2  y 2  1  0 es la ecuación de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r = 1, ya que es equivalente a x 2  y 2  1 d) No es la ecuación de una circunferencia, puesto que -9 no es el cuadrado de ningún número real. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 171

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Ecuación de la circunferencia con centro en (a, b) Observando la figura, podemos escribir: xa cos    x  a  r cos  r y b sen    y  b  r sen  r con 0    360 Podemos entonces escribir las ecuaciones paramétricas:  x  a  r cos  con 0    360   y  b  r sen 

P

 O

Ecuación cartesiana:

 x  a  r cos  Para obtener la ecuación cartesiana partimos de  y elevando al cuadrado y su y  b  r sen  mando:

( x  a)2  ( y  b) 2  r 2 cos 2   r 2 sen 2  ( x  a)2  ( y  b) 2  r 2 (cos 2   sen 2  )

de donde ( x  a)2  ( y  b)2  r 2 Ejemplos: a) La ecuación de la circunferencia con centro en (-1, 3) y radio 5 es ( x  1)2  ( y  3)2  25 b) La ecuación ( x  2)2  y 2  8 representa la circunferencia con centro en (2, 0) y radio

8. c) ( x  3)2  ( y  5)2  16  0 no es la ecuación de una circunferencia. ¿Por qué? Ejercicio: Averiguar si x2  y 2  2 x  4 y  4  0 es la ecuación de una circunferencia. Solución: Operemos convenientemente para obtener una ecuación equivalente a la dada, en la forma de la que hemos deducido. Aplicando las propiedades conmutativa y asociativa de la adición podemos escribir:

( x 2  2 x)  ( y 2  4 y )  4 ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 172

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Sumaremos a ambos miembros dos números tales que las expresiones que queden entre paréntesis resulten trinomios cuadrados perfectos.

( x2  2 x  1)  ( y 2  4 y  4)  4  1  4 o bien ( x  1)2  ( y  2)2  9 , que es la ecuación de una circunferencia de centro en (1, -2) y radio 3. Podemos usar otro procedimiento para averiguar si una ecuación representa una circunferencia. Para ello, “desarrollamos” la ecuación ( x  a)2  ( y  b)2  r 2 obteniendo: x 2  2ax  a 2  y 2  2 yb  b2  r 2 x 2  y 2  2ax  2 yb  a 2  b2  r 2  0

(1)

Esta última es una ecuación de segundo grado en dos variables x e y. comparémosla con la ecuación completa general de segundo grado: Ax2  By 2  Cxy  Dx  Ey  F  0 (2) Sabemos que (1) es la ecuación de una circunferencia con centro en (a, b) y radio r, y en ella los coeficientes de los términos cuadráticos son 1. Teniendo en cuenta que si una ecuación se m multiplica por un escalar distinto de cero, se obtiene otra equivalente, podemos decir que una condición para que una ecuación como la (2) sea la de una circunferencia es que A = B. En la ecuación (1) no figura ningún término en xy (término rectangular), por lo que en (2) debe ser C = 0. Además, si (2) es la ecuación de una circunferencia, deberá ser: D = -2a y E = -2b, por lo que a

D E , b 2 2

Por otra parte, F  a2  b2  r 2  r 2  a2  b2  F y r 2 deberá ser positivo (¿Por qué?), es decir: r 2  a2  b2  F  0 , lo que completa la prueba. Ejemplo: Determinaremos si x2  y 2 .2 x  4 y  4  0 representa una circunferencia, empleando este procedimiento.

Solución: A = B = 1, C =0. Si es una circunferencia, será a  

D E  1, b    2 2 2

r 2  a 2  b2  F  0 r 2  12  (2)2  (4)  1  4  4  9  0

En consecuencia se trata de la circunferencia con centro en (1, -2) y radio 3. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 173

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Intersección de recta y circunferencia La recta R1 es secante a la circunferencia, R2 es R3

R1

tangente y R3, exterior a la circunferencia. En el primer caso, la intersección es un conjunto de dos puntos, en el segundo un conjunto unitario

R2

y en el tercero, el conjunto vacío.

Si C) x2  y 2  Dx  Ey  F  0 y R) ax + by + c = 0, formamos el sistema  x 2  y 2  Dx  Ey  F  0  ax  by  c  0

La solución de este sistema de ecuaciones resuelve el problema. Ejemplos: a) Hallar la intersección entre la circunferencia x2  y 2  4 x  6 y  12  0 y la recta 2 x  y  3  0 . Solución: {(-1, 1), (-3, -3)}

b) Encuentre la intersección entre la circunferencia x2  y 2  8x  2 y  12  0 y la recta x  2 y  1 . Solución: {(3, 1)}

c) Halle la intersección entre x2  y 2  2  0 y x  y  10  0 . Solución: { }= ∅ Ecuación de la circunferencia determinada por tres puntos Si tres puntos no alineados determinan una circunferencia, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación de la circunferencia. Sean los puntos P0 ( x0 , y0 ), P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) La ecuación de la circunferencia es de la forma x2  y 2  Dx  Ey  F  0

P0 ( x0 , y0 )  C  x02  y02  Dx0  Ey0  F  0 P1 ( x1 , y1 )  C  x12  y12  Dx1  Ey1  F  0 P2 ( x2 , y2 )  C  x22  y22  Dx2  Ey2  F  0 Las incógnitas son D, E y F. Resolvemos el sistema. Si el mismo tiene solución única, los tres puntos determinan una circunferencia. Ejemplo: Encuentre, si existe, la ecuación de la circunferencia determinada por los puntos (1, 3), (-2, -3) y (-2, 4). ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 174

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Sol. x2  y 2  3x  y  10  0 Ecuación de la elipse Definición: una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos. Para deducir la ecuación de la elipse consideremos primeramente que el punto medio del segmento que une los focos, y que recibe el nombre de centro de la elipse, coincida con el origen de coordenadas y que los focos estén en el eje de abscisas.

La distancia entre los focos es 2c. La constante, a la cual resulta igual, por definición, la suma de las distancias de todo punto de la elipse a los focos, se denomina 2a. Los puntos A1(a, 0) y A2(-a, 0) son los extremos del “eje mayor” de la elipse, y la longitud del mismo es, precisamente, 2a. Los puntos A1 y A2 son los vértices.

La elipse es entonces, el conjunto de los puntos P, tales que d ( P, F1 )  d ( P, F2 )  2a . Elipse de focos F1 y F2 = P / d ( P, F1 )  d ( P, F2 )  2a y también





Elipse de focos F1 y F2 = P / PF1  PF2  2a De la figura se tiene: PF1  d1  ( x  c)2  y 2 ,

Luego:

PF2  d2  ( x  c)2  y 2

( x  c)2  y 2  ( x  c)2  y 2  2a  ( x  c)2  y 2  2a  ( x  c)2  y 2

Elevamos al cuadrado:

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 175

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( x  c ) 2  y 2  4a 2  4a ( x  c ) 2  y 2  ( x  c ) 2  y 2 x 2  2cx  c 2  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2  x 2  2cx  c 2 4cx  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2 4cx  4a 2  4a ( x  c) 2  y 2

dividimos por (-4)

a 2  cx  a ( x  c) 2  y 2

elevamos al cuadrado

a  2a cx  c x  a ( x  2cx  c  y ) 4

2

2

2

2

2

2

2

a 4  2a 2 cx  c 2 x 2  a 2 ( x 2  2cx  c 2  y 2 ) a 4  2a 2 cx  c 2 x 2  a 2 x 2  2a 2 cx  a 2 c 2  a 2 y 2 a4  a2 c2  a2 x2  c2 x2  a2 y 2 a 2 (a 2  c 2 )  (a 2  c 2 ) x 2  a 2 y 2 En la elipse es siempre a > c, por lo que a2 > c2, de donde a2 - c2 > 0. Por ser positiva esta diferencia, podemos expresarla como el cuadrado de un número real b: a2 - c2 = b2. Tenemos así: a 2b2  b2 x 2  a 2 y 2 

b2 x 2 a 2 y 2  1 a 2b 2 a 2b 2

Obtenemos así la ecuación canónica de la elipse:

x2 y 2  1 a 2 b2

Los puntos B1 y B2 tienen coordenadas (0, b) y (0, -b) (justifíquelo). El segmento B1B2 es el eje menor. La razón

c c se llama excentricidad de la elipse: e  . Como c < a, resulta siempre e < 1. a a

a 2  b2 b  1    . Del análisis de esta expresión se deduce Dado que c  a  b es e  2 a a 2

2

2

que si b es un número que se aproxima a a, la excentricidad es un número positivo que se aproxima a cero. La elipse tiene una forma parecida a la de una circunferencia. Si b es relativamente pequeño respecto de a, la excentricidad se aproxima a 1 y la elipse tiene una forma alargada, tanto más cuanto más próxima a 1 sea la excentricidad. Sustituyendo convenientemente en la ecuación de la elipse, pueden demostrarse las siguientes proposiciones: a) Si (x, y) es un punto de la elipse, entonces (x, -y) también es un punto de la elipse: “la elipse es simétrica con respecto al eje x”. b) Si (x, y) es un punto de la elipse, entonces (-x, y) también es un punto de la elipse: “la elipse es simétrica con respecto al eje y”. c) Si (x, y) es un punto de la elipse, entonces (-x, -y) también es un punto de la elipse: “la elipse es simétrica con respecto al centro y origen de coordenadas”. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 176

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d) El máximo valor que toma x es a (cuando y = 0), y el máximo valor que toma y es b (cuando x es cero). Ejemplos:

x2 y 2   1 es la de una elipse, en la cual: a) La ecuación 16 9 a = 4, por lo tanto los vértices son (-4, 0) y (4, 0) y la longitud del eje mayor es 8. b = 3, por lo tanto la longitud del eje menor es 6 y B1(0, 3) y B2(0, -3)

c2  a 2  b2  16  9  7  c  7 y los focos tienen coordenadas: e



 

7, 0 y  7, 0



c 7  a 4

Represente la elipse. b) La elipse de focos (-2, 0) y (2, 0) y eje mayor de longitud 6 es

x2 y 2   1 . Demuestre la 9 5

validez de esta afirmación y represente la elipse.

Si los focos de la elipse están en el eje y y el centro en le origen de coordenadas, siguiento un razonamiento análogo se prueba que la elipse tiene ecuación

x2 y 2  1 b2 a 2

Ejemplo:

x2 y 2   1 . Aquí a = 6. Los vértices son (0, 6) y (0, -6). Por otra parte: b  20  2 5 por 20 36 lo que B1 (2 5, 0) y B2 (2 5, 0) . De aquí resulta c = 4 c 2  . a 3 Si el centro de la elipse tiene coordenadas (h, k), y el eje focal es paralelo al eje x, la ecuación

Los focos tienen entonces coordenadas (0, 4) y (0, -4) y la excentricidad es: e 

canónica es

( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 a2 b2

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Si el centro tiene coordenadas (h, k) y el eje focal es paralelo al eje y, la ecuación canónica es:

( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 b2 a2

Ejemplos: ( x  2)2 ( y  4) 2   1 es la ecuación de una elipse cuyo centro es (2, -4) y el eje focal es a) 25 16 paralelo al eje x. Determine: vértices, focos, longitud del eje mayor, longitud del eje menor, excentricidad y represente.

x 2 ( y  2) 2   1 es la ecuación de una elipse cuyo centro es (0, 2) y el eje focal es paraleb) 12 16 lo al eje y. Determine: vértices, focos, longitud del eje mayor, longitud del eje menor, excentricidad y represente.

A partir del desarrollo de la ecuación

( x  h) 2 ( y  k ) 2   1 y la comparación de la ecuación a2 b2

completa de segundo grado en dos variables, podemos establecer las condiciones que debe cumplir una ecuación para representar una elipse. Operando tenemos:

b 2 ( x 2  2 xh  h 2 )  a 2 ( y 2  2 yk  k 2 )  a 2b 2 b 2 x 2  2b 2 xh  b 2 h 2  a 2 y 2  2a 2 yk  a 2 k 2  a 2b 2  0 (1) b 2 x 2  a 2 y 2  2b 2 xh  2a 2 yk  b 2 h 2  a 2 k 2  a 2b 2  0 La forma de una ecuación completa en las variables x e y de segundo grado, es:

Ax2  By 2  Cxy  Dx  Ey  F  0 (2) ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 178

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Debe ser: signo de A = signo de B (o bien AB > 0) y C = 0 Verificando que se dan estas dos condiciones, es necesario operar convenientemente, “completando cuadrados”, para expresar la ecuación en la forma canónica. Si se llega a una de las expresiones anteriores, se concluye que se trata de la cónica estudiada. Ejemplo: Determinar si 4 x2  9 y 2  16 x  18 y  11  0 representa una elipse. Solución: A = 4 y B = 9. Ambos son positivos y C = 0. Puede ser una elipse. (4 x 2  16 x)  (9 y 2  18 y )  11 4( x 2  4 x  .....)  9( y 2  2 y  ....)  11  ....  .... 4( x 2  4 x  4)  9( y 2  2 y  1)  11  16  9 4( x  2) 2  9( y  1) 2  36 ( x  2) 2 ( y  1) 2  1 9 4

Se trata por lo tanto de una elipse de centro (2, -1) y eje focal paralelo al eje x. Ecuación de la hipérbola Definición: una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos son los focos de la hipérbola. Consideremos una hipérbola tal que los focos estén en el eje de abscisas de un sistema de coordenadas ortogonales y el centro, punto medio del segmento que une los focos, coincida con el origen de coordenadas. Los focos son F1 (-c, 0) y F2 (c, 0). La distancia focal es 2c. Los puntos A1 (-a, 0) y A2 (a, 0) son los vértices de la hipérbola. La distancia entre los mismos es 2a. Un punto P(x, y) pertenece a la hipérbola si y sólo si d ( P, F1 )  d ( P, F2 )  2a

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Hipérbola de focos F1 y F2 = P / d ( P, F1 )  d ( P, F2 )  2a , o bien:



Hipérbola de focos F1 y F2 = P / PF1  PF2



 2a .

Se tiene: PF1  ( x  c)2  y 2 ,

Luego:

PF2  ( x  c)2  y 2

( x  c)2  y 2  ( x  c)2  y 2  2a

Operando convenientemente se llega a la expresión:

(c2  a 2 ) x2  a 2 y 2  a 2 (c2  a 2 ) (1) En la hipérbola es siempre c > a por lo que c2 > a2 de donde c2 - a2 > 0. Llamemos b2 a esa diferencia: c2 - a2 = b2. Entonces b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2 y así resulta la ecuax2 y 2  1 a 2 b2 Los números a, b y c son la medida de los lados de un triángulo rectángulo: a y b son los catetos y c la hipotenusa. (¿Por qué?) En la hipérbola, a puede ser mayor, menor o igual a b. ción canónica de la hipérbola:

Reemplazando en la ecuación obtenida se prueba que: a) Si (x, y) pertenece a la hipérbola, entonces (-x, y) también pertenece a ella. La hipérbola es simétrica con respecto al eje y. b) Si (x, y) pertenece a la hipérbola, entonces (x,- y) también pertenece a ella. La hipérbola es simétrica con respecto al eje x c) Si (x, y) pertenece a la hipérbola, entonces (-x, -y) también pertenece a ella. La hipérbola es simétrica con respecto al origen de coordenadas (centro de la hipérbola). Las rectas de ecuaciones y 

b b x, y   x son las asíntotas de la hipérbola: cuando x, en a a

valor absoluto, crece indefinidamente, la distancia entre la curva y las rectas “tiende” a cero. También diremos que la curva se aproxima indefinidamente a esas rectas. Si los focos están en el eje y, la ecuación resulta:

y 2 x2  1 a 2 b2

Si el centro tiene coordenadas (h, k) y el eje focal es paralelo al eje x, la ecuación es:

( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 a2 b2 ( y  k ) 2 ( x  h) 2  1 y si el eje focal es paralelo al eje y: a2 b2

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La excentricidad de la hipérbola es e 

c que resulta mayor a uno. a

Desarrollando la ecuación canónica y comparándola con la ecuación de segundo grado en dos variables Ax2  By 2  Cxy  Dx  Ey  F  0 , se llega a las siguientes conclusiones: El signo de A es distinto al signo de B (o bien AB < 0) y C = 0. Luego, operando convenientemente se llega a la ecuación canónica correspondiente.

Ejemplo: Sea 9 x2  4 y 2  36 x  8 y  4  0 . Hacemos la verificación de las primeras condiciones: A = 9 y B = -4 tienen distinto signo y C = 0. Puede ser la ecuación de una hipérbola. (9 x 2  36 x)  (4 y 2  8 y )  4 9( x 2  4 x  ....)  4( y 2  2 y  ....)  4  ....  .... 9( x 2  4 x  4)  4( y 2  2 y  1)  4  36  4 9( x  2) 2  4( y  1) 2  36 ( x  2) 2 ( y  1) 2  1 4 9

Se trata de una hipérbola. Caracterícela. Si en una hipérbola es a = b, se dice que es equilátera. En este caso, las asíntotas son perpendiculares entre sí. Justifique la propiedad enunciada. Deduzca las ecuaciones de las asíntotas de las hipérbolas cuyo centro es (h, k) Observación: El término rectangular no aparece en la ecuación de una elipse o una hipérbola cuando los ejes focales son paralelos a los ejes coordenados. Si no ocurre así, c ≠ 0. ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 181

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Ecuación de la parábola Dados una recta, llamada directriz, y un punto exterior a ella, denominado foco, se llama parábola al conjunto de puntos del plano tal que la distancia al foco sea igual a la distancia a la directriz. La recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco es el eje de la parábola. P(x, y) pertenece a la parábola si y sólo si: d1 = d2. Luego: d1 x  c  ( x  c)2  y 2 ( x  c) 2  ( x  c) 2  y 2 x 2  2cx  c 2  x 2  2cx  c 2  y 2 y 2  4cx

D (-c,0)

d2 y x F(c, 0)

.

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 182

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Ejercicios Resueltos 1) Encuentre la ecuación general de la circunferencia de centro (5, -2) y radio 2. Solución:

la ecuación canónica de una circunferencia de centro (h, k) y radio r es

x  h2   y  k 2  r 2

(1)

En este caso el centro es (5, -2), luego h = 5 y k = -2 y el radio es r = 2. Reemplazando en (1) se tiene x  5   y  2  4 2

2

Para llevar esta ecuación a la forma general desarrollamos los cuadrados de los binomios y efectuamos el pasaje de todos los términos al primer miembro de la igualdad: x 2  10 x  25  y 2  4 y  4  4  0 x 2  y 2  10 x  4 y  25  0 ecuación general de una circunferencia de centro (5, -2) y radio 2

2) Determine si las siguientes ecuaciones representan una circunferencia. En caso afirmativo de coordenadas del centro y radio. Grafique: b) x 2  y 2  4 x  6 y  13  0

a) x 2  y 2  2 x  6 y  7  0 c) x 2  y 2  8x  6 y  29  0

Solución: a) Debemos llevar la ecuación general de 2do. grado a la forma canónica para poder identificar luego si se trata de la ecuación de una circunferencia. En primer lugar agrupamos los términos en x y los términos en y y pasamos al segundo miembro de la igualdad al término independiente:

x

2

 



 2 x  y 2  6 y  7

Completamos cuadrados sumando una constante adecuada (la base de los cuadrados a completar son la mitad de los coeficientes de x o y según corresponda) en ambos miembros de la



 



igualdad: x 2  2 x  12  y 2  6 y  32  7  1  9 , es decir:

x 12   y  32  3

Comparando esta ecuación obtenida con la forma canónica concluimos que se trata de una circunferencia de centro (1, -3) y radio r  3

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 183

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b) x 2  y 2  4 x  6 y  13  0

   y

 



Asociamos las variables con el mismo nombre: x 2  4 x  y 2  6 y  13 Completamos

x

cuadrados:

x  22   y  32  0

2

 4x  22



 6 y  32  13  4  9

2

obteniendo

ecuación que no representa una circunferencia ya que debe ser r > 0.

El lugar geométrico de la ecuación dada es el punto (2, 3). c) x 2  y 2  8x  6 y  29  0



 



Asociamos las variables: x 2  8x  y 2  6 y  29 Completamos cuadrados:

x

2

 



 8x  4 2  y 2  6 y  32  29  16  9

x  42   y  32  4

, como r 2 no puede ser negativo la ecua-

ción no representa ningún lugar geométrico. 3) Halle la ecuación de la elipse y grafique, sabiendo que: a) los vértices son los puntos (4, 0) y (-4, 0) y los focos (3, 0) y (-3, 0) b) los vértices son los puntos (0, 6) y (0, -6) y los focos (0, 4) y (0, -4) c) los focos están en (3, 8) y (3, 2) y la longitud del eje mayor es igual a 10

Solución: a) Si analizamos las coordenadas de los vértices (4, 0) y (-4, 0) podemos concluir que son dos puntos simétricos respecto del origen (0, 0). A la misma conclusión arribaríamos si analizamos las coordenadas de los focos, luego la elipse tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0) y el eje focal en el eje x (las ordenadas de los vértices y de los focos son

x2 y2 iguales a 0) y su ecuación será de la forma 2  2  1 a b Debemos hallar los valores de a y b: Sabiendo que a es la distancia de un vértice al centro de la elipse se tiene que a = 4. Por otra parte c es la distancia de los focos al centro de la elipse, luego c = 3 Para hallar b empleamos la relación b 2  a 2  c 2 , b 2  4 2  32  7  b  7 La ecuación de la elipse es

x2 y2   1 . Su gráfica es: 16 7

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b) Siguiendo similar razonamiento al utilizado en el ítem a) concluimos que la elipse tiene centro (0, 0) y eje focal en el eje y (las abscisas de los vértices y focos son iguales a 0). La ecuación será de la forma

x2 y2  1 . b2 a2

El valor de a es 6 y el de c es 4 por lo que b 2  6 2  4 2  20  b  20  2 5 La ecuación de la elipse es

x2 y2   1. 20 36

La gráfica es:

c) Para hallar el centro de la elipse calcularemos el punto medio del eje focal ya que tenemos 33 8 2 como datos los focos (3, 8) y (3, 2): C  ,   3, 5 2   2

Como las abscisas de los focos permanecen constantes (iguales a 3) estamos en el caso de una elipse con centro (3, 5) y eje focal paralelo al eje y. La ecuación será de la forma:

x  h2   y  k 2 b2

a2

1

Restando las ordenadas de uno de los focos y la del centro obtenemos c (como se trata de una distancia debemos considerar el valor absoluto de esa diferencia):

c  8  5  3 tomando el foco (3, 8) o bien c  2  5  3 en el caso de que tomemos el otro foco (3, 2). Otro dato del ejercicio es la longitud del eje mayor: 2a = 10, de donde a = 5. Para hallar b hacemos b 2  a 2  c 2

b 2  52  32  16  b  4 La ecuación de la elipse es

x  32   y  52 16

25

 1.

Su gráfica es: ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 185

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4) Determine si las siguientes ecuaciones representan elipses. En caso afirmativo indique las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor y la excentricidad. Grafique: a) x 2  4 y 2  6 x  16 y  21  0 b) 9 x 2  4 y 2  18x  32 y  37  0 Solución:

a) vamos a reducir la ecuación x 2  4 y 2  6 x  16 y  21  0 a la forma canónica

mediante el método de completar cuadrados. Para ello agrupamos las variables:

x

2

 



 6 x  4 y 2  16 y  21 . Antes de completar cuadrados debemos en cada grupo sacar, si

es necesario, factor común a los efectos de que los términos cuadráticos tengan coeficiente

x  6x  4y  4 y   21. Ahora completamos cuadrados: x  6x  3   4y  4 y  2   21  9  16 2

igual a 1: 2

2

2

2

x  32  4 y  22  4

x  32   y  22 4

1

1

2

. Dividiendo ambos miembros por 4, se tiene: Esta es la ecuación de una elipse con centro (3, -2) y eje focal para-

lelo al eje x (el mayor de los denominadores es a 2 y divide a la expresión en la variable x). Para hallar las coordenadas de los vértices y de los focos debemos calcular a, b y c: Como a 2  4, a  2 . Por otra parte b 2  1, b  1 Para hallar c utilizamos la relación c 2  a 2  b 2 c 2  2 2  12  3  c  3

Las coordenadas de los vértices son: V1 3  2,2  5,2

V2 3  2,2  1,2

 F 3 

 3,2

Las coordenadas de los focos son: F1 3  3,2 2

Obsérvese que las ordenadas de los cuatro puntos permanecen constantes (-2) ya que el eje mayor y el eje focal están sobre la recta horizontal de ecuación y = -2

Los extremos del eje menor son: B1 3,2  1  3,1 y B2 3,2  1  3,3

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La longitud del eje mayor es 2a = 4, la del eje menor es 2b = 2 y la excentricidad es e

c 3 . Gráficamente  a 2

: b) 9 x 2  4 y 2  18x  32 y  37  0



   Completando cuadrados: 9x  2 x  1   4y  8 y  4   37  9  64

Asociando y sacando factor común se tiene: 9 x 2  2 x  4 y 2  8 y  37 2

2

2

2

9x  1  4 y  4  36 2

Dividiendo por 36:

2

x  12   y  42 4

9

 1 ecuación de una elipse con centro (1, -4) y

eje focal paralelo al eje y (el mayor de los denominadores es a 2 y divide a la expresión en la variable y). Como a 2  9, a  3 . Por otra parte b 2  4, b  2 Para hallar c utilizamos la relación c 2  a 2  b 2 c2  9  4  5  c  5

Las coordenadas de los vértices son: V1 1,  4  3  1,1

V2 1,  4  3  1,7

  F 1,  4  5 

Las coordenadas de los focos son: F1 1,  4  5

Obsérvese que las abscisas de los cuatro puntos permanecen constantes ya que el eje mayor y el eje focal están sobre la recta vertical de ecuación x = 1

2

Los extremos del eje menor son: B1 1  2,  4  3,4 y B2 1  2,  4   1,4

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La longitud del eje mayor es 2a = 6, la del eje menor es 2b = 4 y la excentricidad es e

c 5 .  a 3

Gráficamente:

5) Halle la ecuación de la hipérbola y grafique sabiendo que: a) los vértices son los puntos (2, 0) y (-2, 0) y sus focos son (3, 0) y (-3, 0) b) los vértices son los puntos (0, 4) y (0, -4) y su excentricidad es 3/2 c) los focos son los puntos (4, -2) y (4, -8) y la longitud de su eje transverso es 4.

Solución: a) Analizando las coordenadas de los vértices y de los focos podemos concluir que el eje focal está en el eje x y que el centro (punto medio del eje transverso o real) es el origen de coordenadas (0, 0), luego la ecuación de la hipérbola es

x2 y2  1 a2 b2

La distancia entre los vértices es 2a = 4, luego a = 2 La distancia entre los focos es 2c = 6, luego c = 3. Para hallar b empleamos la relación b 2  c 2  a 2 ; b 2  32  2 2  5  b  5

x2 y2   1 y su gráfica es: La ecuación de la hipérbola es 4 5

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b) Analizando las coordenadas de los vértices (0, 4) y (0, -4) podemos concluir que el eje focal está en el eje y y que el centro es el origen de coordenadas (0, 0), luego la ecuación de la hi-

y2 x2 pérbola es 2  2  1 a b La distancia entre los vértices es 2a = 8, luego a = 4. Como la excentricidad es e 

3 c  c  e  a , luego c   4  6 2 a

Para hallar b empleamos la relación b 2  c 2  a 2 :

b 2  6 2  4 2  20  b  20

y2 x2 La ecuación de la hipérbola es   1 y su gráfica es: 16 20

c) Hallamos el centro de la hipérbola buscando el punto medio entre los focos:  4 4  28 C  ,   4,5 2   2

Como las abscisas de los focos permanecen constantes se trata de una hipérbola con centro en (4, -5) y eje focal paralelo al eje y. Su ecuación es

 y  k 2  x  h2 a2

b2

1

La distancia del centro a los focos es c, luego c = 3. La longitud del eje transverso es 2a = 4, luego a = 2. Para hallar b empleamos la relación b 2  c 2 a 2 , b 2  32 2 2  5  b  5 La ecuación de la hipérbola es

 y  52  x  42 4

5

 1 y la gráfica es:

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6) Encuentre la ecuación canónica de la hipérbola y determine las coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas: 4 x 2  9 y 2  32 x  36 y  64  0 Solución: reducimos la ecuación a la forma canónica completando cuadrados:

 4x

    8x  4   9y  4 y  2   64  64  36

4 x 2  8x  9 y 2  4 y  64 2

2

2

2

4x  4  9 y  2  36 Dividiendo ambos miembros por -36: 2

2

 y  22  x  42 4

9

 1 es la ecuación de una hipérbola con centro (-4, 2) y eje focal paralelo

al eje y. Como a 2  4 , a = 2 y b 2  9 , b = 3. Para hallar c empleamos la relación c 2  a 2  b 2 c 2  4  9  13  c  13

Las coordenadas de los vértices son V1  4, 2  2   4, 4 y V2  4, 2  2   4, 0







Las coordenadas de los focos son F1  4, 2  13 y F2  4, 2  13



La longitud del eje transverso es 2a = 4 y la longitud del eje conjugado es 2b = 6. La excentricidad es e 

c 13 .  a 2

Las ecuaciones de las asíntotas son:

yk  

a x  h  : y  2   2 x  4 b 3

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Ejercicios Propuestos 1) Encuentre la ecuación general de la circunferencia de: a) centro (0, 0) y radio 2 2

b) centro (-4, 6) y radio 3

3

d) centro (0, -3) y radio 4

c) centro (-1, 0) y radio

2) Halle la ecuación de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y que pasa por el punto (-1, 3) 3) Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro (-1, 1) y que pasa por el punto (1, 4) 4) Determine si las siguientes expresiones representan circunferencias. En caso afirmativo de centro y radio: a) x 2  y 2  2 x  16 y  14  0

b) x 2  y 2  4 x  0

c) x 2  y 2  2 x  4 y  5

d) x 2  y 2  6 x  2 y  11  0

5) Encuentre la ecuación de la elipse con focos en (6, 0) y (-6, 0) y vértices en (9, 0) y (-9, 0) 6) Halle la ecuación de la elipse con centro en (2, 5), foco en (5, 5) y un vértice en (9, 5) 7) Determine la ecuación de la elipse sabiendo que la medida del eje menor es de 4 unidades y que sus vértices son (-2, 4) y (6, 4) 8) Halle las coordenadas del centro, de los vértices, de los focos, las longitudes de los ejes y la excentricidad de las siguientes elipses. Grafique:

x2 y2 a)  1 81 16 d)

x2 y2 b)  1 25 64

x  42   y  32 100

36

1

e) x 2  4 y 2  6 x  3  0

c)

x  12   y  32 16

25

1

f) 25x 2  9 y 2  50 x  18 y  191  0

9) Encuentre la ecuación de la hipérbola con centro (0, 0) sabiendo que tiene uno de los vértices en (4,0) y uno de los focos en (5, 0) 10) Halle la ecuación de la hipérbola de eje real 8 y focos (0, 6) y (0, -6) 11) Halle las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes hipérbolas. Grafique:

x2 y2  1 a) 100 36 d)

 y  72 49



x2 1 4

x  72   y  12

y2 x2  1 b) 25 81

c)

e) x 2  4 y 2  2 x  2  0

f) 4 x 2  9 y 2  32 x  36 y  64  0

9

25

1

12) Determine el lugar geométrico descripto por la ecuación de segundo grado. Encuentre la ecuación canónica y grafique. Según corresponda, halle centro, focos, vértices, excentricidad y asíntotas ______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 191

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a) 2 x 2  y 2  4 y  2  0

b) 4 x 2  9 y 2  8x  18 y  23

c) x 2  y 2  6 x  4 y  10  0

d)  4 x 2  y 2  24 x  10 y  15  0

e) 2 x 2  2 y 2  8 y  0

f) x 2  4 y 2  24 y  72  0

g) 16 y 2  x 2  2 x  64 y  63  0

h) 12 x 2  20 y 2  12 x  40 y  37  0

Respuestas 1) a) x 2  y 2  8  0 , b) x 2  y 2  8x  12 y  43  0 , c) x 2  y 2  2 x  2  0 , d) x 2  y 2  6 y  7  0 3) x  1   y  1  13

2) x 2  y 2  10  0 4) a) Sí, C 1,4 , r = 5) a)

2

2

b) Sí, C   2, 0 , r = 2 c) No

31

x2 y2  1 81 45

6)

x  22   y  52 49

40









1

d) No 7)

8) a) C(0, 0) , V  9, 0 , F  65 , 0 , 2a =18 , 2b = 8 , e 

x  22   y  42 16

4

1

65 9

b) C(0, 0) , V 0,  8 , F 0,  39 , 2a =16 , 2b = 10 , e 

39 8

c) C(1, -3) , V1 1, 2, V2 1,  8, F1 1, 0, F2 1,  6 , 2a =10 , 2b = 8 , e 

3 5

d) C(4, -3) , V1 14,  3, V2  6,  3 , F1 12,  3, F2  4,  3 , 2a =20 , 2b = 12 , e 



 

4 5



3 9  3  e) C(3,0), V1 3  3, 0 , V2 3  3, 0 , F1  , 0 , F2  , 0  , 2a  2 3 , 2b  2 3 e  2 2  2 

f) C(1, 1) , V1 1, 6, V2 1,  4 , F1 1, 5, F2 1,  3 , 2a = 10, 2b = 6 , e  9)

x2 y2  1 16 25

10)

y2 x2  1 16 20



 



11) a) C(0, 0) , V1 10, 0, V2  10, 0 , F1 2 34 , 0 , F2  2 34 , 0 , e  ecuaciones de las asíntotas: y 



34 5

3 3 x , y x 5 5

 



b) C(0, 0) , V1 0, 5, V2 0,  5 , F1 0, 106 , F2 0, 106 , e  ecuaciones de las asíntotas: y 

4 5

106 5

5 5 x , y x 9 9

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 192

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

 



c) C(7, -1) , V1 10,  1, V2 4,  1 , F1 7  34 ,  1 , F2 7  34 ,  1 , e  ecuaciones de las asíntotas: y 

5 5 38 32 , y  x x 3 3 3 3



 



d) C(0, 7) , V1 0, 14, V2 0, 0 , F1 0, 7  53 , F2 0, 7  53 , e  ecuaciones de las asíntotas: y 

34 3

53 7

7 7 x7 , y   x7 2 2

    2 5 2 5 , V2 1,  , F2 1,   , F1 1,  , e 5 e) C(1, 0) , V1 1,        2 2 2 2        

ecuaciones de las asíntotas: y 

1 1 x 1 , y   x 1 2 2



 



f) C(-4, 2) , V1  4, 4, V2  4, 0 , F1  4, 2  13 , F2  4, 2  13 , e  ecuaciones de las asíntotas: y 



2 2 14 2 , y  x x 3 3 3 3

 



12) a) elipse C(0, 2) , V1 0, 2  2 , V2 0, 2  2 , F1 0, 3, F2 0, 1 , e 



 



b) elipse C(1, 1) , V1 4, 1, V2  2, 1 , F1 1  5 , 1 , F2 1  5 , 1 , e  c) circunferencia C(3, -2) r =

13 2

2 2

5 3

3



 



d) hipérbola: C(3, -5) , V1 3,  3, V2 3,  7, F1 3,  5  5 , F2 3,  5  5 , e 

5 2

ecuaciones de las asíntotas: y  2 x  11 , y  2 x  1 e) circunferencia C(0, 2) r = 2



 



f) hipérbola: C(0, 3) , V1 6, 3, V2  6, 3 , F1 3 5 , 3 , F2  3 5 , 3 , e  ecuaciones de las asíntotas: y 

5 2

1 1 x3 , y   x3 2 2

g) no representa ningún lugar geométrico 1  1  1   1  1 h) C  , 1 , V1   5 ,  1, V2   5 ,  1 , F1   2 ,  1, F2   2 ,  1 , e  2  2  2   2  2

2 5

______________________________________________________________________________________ Álgebra Lineal y Geometría Analítica Pág. 193

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Bibliografía  GROSSMAN, Stanley (1995): “Algebra Lineal”.- MacGraw Hill, México.  GERBER, Harvey (1992):”Algebra Lineal”- Grupo Editorial Iberoamérica- México.  MASCÓ de NASINI Y LOPEZ (1972): “Lecciones de Algebra y Geometría Analítica”E.U.C.A., Buenos Aires.  LAY, David (2007): “Álgebra Lineal y sus Aplicaciones” - Pearson Educación-Addison Wesley Longman – México.  NICHOLSON, W. KEITH (2003): “Álgebra lineal”- MacGraw Hill- Madrid- España.  POOLE, David (2007): “Álgebra Lineal. Una introducción Moderna” Thomson – 2da. Edición – México.  LIPSCHUTZ (1993): “Algebra Lineal”- McGraw Hill- Madrid - 1993.  BASCHELET (1978): “Matemáticas Básicas Para Biocientíficos”- Ed. Dossat- MadridEspaña.  STTEWART, James y otros (2006) “Introducción al Cálculo”. Thomson – Buenos Aires- Argentina.  STEINER, Erich (2005) “Matemáticas Para las Ciencias Aplicadas” Ed. Reverté Barcelona- España.

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