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Tarea 4. Espacios Vectoriales

Estudiante GERARDO ANTONIO TRIANA LEGUIZAMÓN Grupo: 208046 - 45 Docente PAOLA ANDREA BUITRAGO Curso 208046 – Algebra lineal (E-Learning)

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Ingeniería Electrónica 2020

Tabla de contenido Desarrollo de la actividad................................................................................................................3 Ejercicio 1: conceptualización de espacios vectoriales A. Definición y propiedades de los espacios vectoriales.........................................................................................................................3 Ejercicio 2: Axiomas y propiedades de espacios vectoriales..........................................................4 Ejercicio 3. Conjuntos generadores y Dependencia lineal..............................................................5 Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.....................................7 Ejercicio 5: Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales..............................................................................................9 Ejercicio 6. Retroalimentación al compañero William Cuy. Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal................................................................................................13 Bibliografía....................................................................................................................................16

Desarrollo de la actividad. Ejercicio 1: conceptualización de espacios vectoriales A. Definición y propiedades de los espacios vectoriales ESPACIOS VECTORIALES Es un conjunto de objetos a los que se les llaman vectores, que junto con la suma y la multiplicación cumplen con las siguientes 10 propiedades Sea V un espacio vectorial, sean u , v , w ϵ V , y c , d , e un escalar cualquiera

Axiomas para la adición Si u ϵ V y v ϵ V entonces ( u+ v ) ϵ V Ley clausurativa u+ v=v+u Ley conmutativa

Axiomas para la multiplicación Si u ϵ V , c un escalar, cv ϵ V Ley clausurativa c ( u+v ) =cu+cv Primera ley distributiva

u+ ( v+ w ) =( u+v ) + w Ley asociativa El vector 0 ϵ V para todo u ϵ V →u+ 0=u Ley modulativa

( c +d ) u=cu+duSegunda ley distributiva c ( du )= ( cd ) u Ley asociativa

Para todo u ϵ V existe un vector −u ϵ V tal que u+ (−u )=0 Inverso aditivo

1∗u=u Ley modulativa

Ejercicio 2: Axiomas y propiedades de espacios vectoriales Dados los vectores u=(3 ,−2,7), v¿( 8,5 ,−2), w=(13,10 ,−6) verifique si se cumple los axiomas: 1. u+v =v +u

( 3 ,−2,7 ) + ( 8,5 ,−2 ) =( 8,5 ,−2 ) +(3 ,−2,7) (11,3,5)=(11,3,5) 2. u+ (−u )= (−u ) +u=0

( 3 ,−2,7 ) + (−( 3 ,−2,7 ) )=( −( 3 ,−2,7 ) )+(3 ,−2,7)=0 ( 3 ,−2,7 ) + (−3,2 ,−7 )=(−3,2 ,−7 )+(3 ,−2,7)=0 (0,0,0)=(0,0,0)=0 3. u+( v +w)=(u+ v)+ w

( 3 ,−2,7 ) + ( ( 8,5 ,−2 )+ (13,10 ,−6 ) ) =( ( 3 ,−2,7 )+ ( 8,5 ,−2 ) ) +(13,10 ,−6)

( 3 ,−2,7 ) + ( 21,15 ,−8 )=( 11,3,5 ) +(13,10 ,−6) ( 24,13 ,−1 ) =( 24,13 ,−1 )

Ejercicio 3. Conjuntos generadores y Dependencia lineal. 1. Determine si el conjunto S es linealmente independiente S={2 ,−1,4 }, {4 ,−2,7 } Teniendo en cuenta el enunciado general, c 1 v 1+ C2 v 2=0 Se reemplaza con los valores del conjunto S 2 4 0 c 1 −1 +c 2 −2 = 0 4 7 0

( ) ( ) ()

2 c 1+ 4 c 2 0 −1 c 1−2 c 2 = 0 0 4 c 1+7 c2

(

) ()

Y se despejan las variables, primero se despeja c 1 en la primera ecuación 2 c 1+ 4 c 2=0 c 1=

−4 c 2 2

c 1=−2 c 2 Luego se reemplaza cualquiera de las otras dos ecuaciones, para este ejemplo, en la ecuación 3 y se haya c 2 4 c 1+7 c2 =0 4 (−2 c ¿¿ 2)+7 c2 =0 ¿ −8 c 2 +7 c 2=0 −c 2=0 c 2=0

Y se reemplaza el resultado de c 2 en la ecuación que no se ha utilizado, es decir la ecuación 2, para calcular c 1 −c 1−2 c 2=0

−c 1−2( 0)=0 −c 1=0 c 1=0 Esto quiere decir que el conjunto S es linealmente independiente, ya que c 1=c2=0 2. Determine si el conjunto S genera a R2 :S=(2 ,−1),(−2,7) El primer paso es multiplicar cada vector por un escalar α ( 2 ,−1 ) , β (−2,7 )=0 Se generan las ecuaciones 2 α −2 β =x −α +7 β= y

Se forma una matriz y se resuelve por método de Gauss Jordan

(−12 −27 |xy ) F x (20 −2 14 |x +2 y ) 2 F + F 1

2

1

(120 120 |7xx+2+2yy) 6 FF+ F 1

2

2

( 7 x+ 2 y ) 1 0 12 0 1 x+ 2 y 12

(| )

F1 12 F2 12

Por lo tanto α=

( 7 x+2 y ) 12

β=

x+ 2 y 12

Y se puede decir que el conjunto S=(2 ,−1) ,(−2,7) genera en R2

Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.

a. Determinar el rango de la matriz A, por el método de determinantes y por el método de Gauss Jordan. En cada caso detallar los procedimientos realizados 3 4 A= 1 3 2 1

(

4 0 2 −2 2 2

)

La matriz tiene una forma de 3x4, lo que significa que el rango máximo que puede tener la matriz es de 3 Por método de Gauss Jordan. Se realiza reducción triangular por operaciones básicas por filas 3 4 A= 1 3 2 1

(

(

4 0 2 −2 2 2

)

F1 3 4 4 0 0 5 2 −6 3 F 2−F 1 0 −5 −2 6 3 F3 −2 F 1

)

(

3 4 0 5 0 0

F1 4 0 2 −6 F 2 0 0 F3+ F2

)

La matriz escalonada tiene dos filas diferentes de 0, por lo tanto ran ( A ) =2

Por método de determinantes. 3 4 A= 1 3 2 1

4 0 2 −2 2 2

(

)

El primer paso es hallar el determinante de una sub matriz de 2x2

|31 43|=9−4=5 Por medio de una matriz de 2x2, se tiene un determinante de 5 que es diferente de 0, lo que significa que el rango puede ser ran ( A ) ≥ 0 Ahora se realiza la verificación con una sub matriz de 3x3 para determinar si el rango puede ser igual a 3 Prueba 1. Se utilizan las tres primeras columnas y se suprime la 4 3 4 1 3 2 1

4 2 =( 18+4 +16 ) −( 24+8+ 6 )=38−38=0 2

| |

Aunque el resultado de esta determinante es cero, no significa que el rango no pueda ser 3, por lo tanto, se debe comprobar con todas las combinaciones posibles para lograr un resultado acertado. Prueba 2. Se utilizan las columnas 1,2 y 4 y se suprime la 3 3 4 0 1 3 −2 =( 18+0−16 )− ( 0+8−6 )=2−2=0 2 1 2

|

|

Prueba 3. Se utilizan las columnas 1,3 y 4 y se suprime la 2 3 4 0 1 2 −2 =( 12+0−16 )−( 0+ 8−12 ) =−4 +4=0 2 2 2

|

|

Prueba 4. Se utilizan las columnas 2,3 y 4 y se suprime la 1 4 4 0 3 2 −2 =( 16+0−8 ) −( 0+24−16 ) =8−8=0 1 2 2

|

|

Luego de agotar todas las combinaciones posibles para calcular los determinantes, en el modelo de 3x3, se evidencia que todos los resultados obtenidos son iguales a 0, por lo tanto ran ( A ) =3 no aplica y la respuesta correcta es que el rango de A ran ( A ) =2 Con esto se llega a la conclusión de que tanto por método de Gauss Jordan como por determinantes el rango de A es ran ( A ) =2 Ejercicio 5: Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. Sean u y w vectores en R3 y sea θ el ángulo entre u y w. demuestre que

||u⃗∗⃗ w||=||u⃗||.||⃗ w|| sen2 θ Esta demostración se basa en la formula del Angulo formado entre vectores cos θ=

u⃗ ∗⃗ w ||u||.||⃗ w||

u⃗∗⃗ w =||u⃗||.||⃗ w|| cos θ Y partiendo en la siguiente proposición, la cual se va a demostrar. 2

2

2

||u⃗∗⃗ w|| =||u⃗|| .||⃗ w|| −(⃗u∗⃗ w )2 En primer lugar, se debe hallar el producto cruz planteado al lado izquierdo de la igualdad u⃗ ∗⃗ w

Sean u⃗ =( a1 , a2 , a3 ) w = ( b 1 , b , b3 ) ⃗ a 1 a2 a3 b 1 b2 b3

|

u⃗∗⃗ w=

|

u⃗∗⃗ w =a2 b3−¿ a b ¿ a3 b1−¿a b ¿ a1 b2 −a2 b1 3

2

1

3

w Como la igualdad del lado izquierdo plantea la longitud del producto cruz u⃗ ∗⃗ 2

Se parte desde la definición de longitud ‖x‖ =x21 + x 22 + x 2n Entonces,

‖u∗w‖2=¿ y como la expresión anterior son binomios cuadrados perfectos, se resuelven ¿ a22 b23 −2 a2 a3 b 2 b 3+ a23 b22 +a23 b21 −2a 1 a 3 b 1 b3 + a21 b 23 +a21 b22−2 a1 a2 b1 b2 +a 22 b21 Y se factoriza 2

2

2

2

2

2

2

2

2

¿ a1 ( b 2+ b3 ) + a2 (b1 +b 3)+a3 (b1 +b¿¿ 2 )−2(a ¿ ¿ 2a 3 b 2 b 3+ a1 a3 b 1 b 3+ a1 a2 b1 b 2) ¿ ¿ 2

2

2

Ahora se desarrolla el lado derecho de la proposición ||u⃗∗w|| =||u⃗|| .||⃗ w|| −(⃗u∗⃗ w )2 2

2

||u⃗|| .||⃗ w|| −( ⃗u∗⃗ w )2 En donde 2

||u⃗|| =a21+ a22 +a23 2

||⃗ w|| =b21 +b 22+ b23

2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ||u⃗|| .||⃗ w|| =a 1 b1 + a1 b 2+ a1 b3 +a2 b1 +a 2 b2 + a2 b 3+ a3 b1 +a3 b2 +a 3 b 3

Y también se resuelve

( u⃗ ∗⃗ w )2 ( u⃗∗⃗ w )2 ¿(a1 b1 +a 2 b 2+ a3 b3)2 ( u⃗∗⃗ w )2=(a1 b1 +a 2 b2 + a3 b 3)( a1 b 1+ a2 b2 +a3 b3 ) 2

2

2

2

2

2

2

( u⃗∗⃗ w ) =a1 b 1+ a1 a2 b1 b 2+ a1 a3 b1 b3 +a1 a2 b1 b2 +a2 b2 +a 2 a3 b2 b3 + a1 a 3 b 1 b 3+ a2 a3 b2 b 3+ a3 b3 Regresando al lado derecho de la igualdad 2

2

||u⃗|| .||⃗ w|| −( ⃗u∗⃗ w )2 Se reemplaza con los resultados obtenidos

¿ ( a21 b 21+ a21 b22 +a21 b23 +a 22 b 21+ a22 b 22+ a22 b23 +a23 b21 +a 23 b 22+ a23 b23 ) −(a 21 b 21+ a1 a2 b 1 b 2+ a1 a3 b 1 b 3+ a1 a2 b1 b 2+ a22 b22 +a2 a3 b2 b3

¿ a21 b21 +a 21 b 22+ a21 b23 +a22 b21 +a22 b22 +a 22 b 23+ a23 b21 +a23 b22 +a 23 b 23−a21 b21−a1 a2 b1 b 2−a1 a3 b1 b3 −a1 a2 b1 b 2−a 22 b22 −a2 a3 b2 b3 Y se factoriza ¿ a21 b22 +a 21 b 23+ a22 b21 +a22 b23 +a 23 b 21+ a23 b 22−2(a 1 a 2 b 1 b2 )−2( a1 a3 b 1 b 3)−2(a2 a3 b2 b3 ) ¿ a21 (b22 +b23 )+ a22 (b 21+ b23)+ a23 (b¿¿ 12 +b22 )−2(a1 a2 b 1 b 2+ a1 a3 b 1 b 3+ a2 a3 b2 b3) ¿

Por lo tanto, se demuestra la igualdad 2

2

||u⃗|| .||⃗ w|| −( ⃗u∗⃗ w )2

Donde a 21 ( b22+ b23 ) + a22 (b21 +b 23)+a 23(b21 +b¿¿ 22 )−2(a ¿ ¿ 2a 3 b 2 b 3+ a1 a3 b1 b 3+ a1 a2 b1 b2)=¿ ¿ ¿ a 21( b22 +b23 )+a22 (b 21+ b23)+ a23 (b¿¿ 12 +b 22)−2( a1 a2 b 1 b 2+ a1 a3 b1 b 3+ a2 a3 b2 b3 )¿ Luego de haber probado que dicha igualdad se cumple, se procede a involucrar la fórmula para calcular el ángulo entre vectores en la proposición u⃗∗⃗ w =||u⃗||.||⃗ w|| cos θ w Se reemplaza u⃗ ∗⃗ 2

2

2

2

2

2

||u⃗∗⃗ w|| =||u⃗|| .||⃗ w|| −(⃗u∗⃗ w )2 2

||u⃗∗⃗ w|| =||u⃗|| .||⃗ w|| −(||u⃗||.||⃗ w||cos θ)

2

2

2

2

2

||u⃗∗⃗ w|| =||u⃗|| .||⃗ w|| −||u⃗|| .||⃗ w|| cos 2 θ Y luego se factoriza 2

2

2

||u⃗∗⃗ w|| =||u⃗|| .||⃗ w|| ¿ Partiendo de la identidad trigonométrica sen2 θ +cos2 θ=1 sen2 θ=1−cos2 θ Por lo tanto, se reemplaza 2

2

2

||u⃗∗⃗ w|| =||u⃗|| .||⃗ w|| sen 2 θ

Y se simplifica sacando raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad 2

2

2

√||u⃗∗⃗w|| = √||u⃗|| .||⃗w|| sen θ ||u⃗∗⃗ w||=||u⃗||.||⃗ w|| sen2 θ

2

De esta manera se demuestra que la proposición del ejercicio es correcta.

Ejercicio 6. Retroalimentación al compañero William Cuy. Ejercicio 4: Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal. Literal D: Determinar el rango de la matriz A, por el método de determinantes y por el método de Gauss Jordan. En cada caso detallar los procedimientos realizados: Se realiza reducción triangular por operaciones básicas por filas 1 2 3 11 A= 2 4 6 8 3 6 9 12

(

(

)

F1 1 2 3 11 0 0 0 −14 F 2−2 F1 0 0 0 −21 F 3−3 F1

)

Por lo tanto, la matriz escalonada no tiene filas diferentes de 0 y el rango de la matriz es ran ( A ) =3 Por método de determinantes. 1 2 3 11 A= 2 4 6 8 3 6 9 12

(

)

El primer paso es hallar el determinante de una sub matriz de 2x2

|36 118 |=24−66=−42 Por medio de una matriz de 2x2, se tiene un determinante de -42 que es diferente de 0, lo que significa que el rango puede ser ran ( A ) ≥ 0 Ahora se realiza la verificación con una sub matriz de 3x3 para determinar si el rango puede ser igual a 3

Prueba 1. Se utilizan las tres primeras columnas y se suprime la 4 1 2 3 2 4 6 =( 36+36 +36 )− (36 +36+36 )=108−108=0 3 6 9

| |

Aunque el resultado de esta determinante es cero, no significa que el rango no pueda ser 3, por lo tanto, se debe comprobar con todas las combinaciones posibles para lograr un resultado acertado. Prueba 2. Se utilizan las columnas 1,2 y 4 y se suprime la 3 1 2 11 2 4 8 =( 48+ 48+132 )−( 132+ 48+48 ) =228−228=0 3 6 12

|

|

Prueba 3. Se utilizan las columnas 1,3 y 4 y se suprime la 2 1 3 11 2 6 8 =( 72+72+198 )−( 198+72+24 )=342+294=48 3 9 12

| |

Luego de encontrar un resultado diferente de 0 en los determinantes, en el modelo de 3x3, se dice que el rango de la matriz es ran ( A ) =3 Con esto se llega a la conclusión de que tanto por método de Gauss Jordan como por determinantes el rango de A es ran ( A ) =3 Al realiza la verificación con una sub matriz de 3x3, se tiene un determinante de 48 que es diferente de 0, lo que significa que el rango es ran ( A ) =3

Bibliografía KhanAcademyEspañol. (11 de 06 de 2013). Demostración La relación que hay entre el producto cruz y el seno del ángulo. Obtenido de https://www.youtube.com/watch? v=71XxtdyiLM8 Matefcil. (22 de 03 de 2017). https://www.youtube.com/watch?v=_Cl1bg29whw. Obtenido de 42. Norma del producto cruz, seno del angulo, demostración de fórmula | Cálculo vectorial No todo es matemáticas. (15 de 10 de 2017). Cómo estudiar el rango de una matriz por Gauss y por determinantes. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=7QdzweM746c Zúñiga G, C. A., & Rondón D, J. E. (2010). Unidad 3. Espacios Vectoriales. En Algebra lineal (págs. 241-273). Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia.