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• Jhoan Manuel Campos Viasus

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Algebra lineal ECBTI

Grupo: 208046_338

Trabajo Individual

Tarea 3 Espacios Vectoriales

Presentado a: SOLANLLY SANCHEZ Tutora

Entregado por: WILLIAM FERRUCHO ALBARRACIN Código_7183431 ALEJANDRO ÁLVAREZ Código_3146602 ALIX FIDEL BELTRAN

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA TUNJA_2019

Introducción

El siguiente trabajo tiene como finalidad el desarrollo de 5 ejercicios los cuales hacen referencia a los espacios vectoriales con el objetivo de comprender y apropiar conceptos propios del tema. De igual forma se trabajaran diferentes conceptos como lo son axiomas y espacios vectoriales, conjuntos generadores, dependencia e independencia lineal, el rango de una matriz a través de método de gauss y de determinantes cabe aclarar que para llegar a su desarrollo se debe de revisar los conceptos a los cuales haga referencia cada problema ,

Descripción del ejercicio 1: Cada estudiante debe seleccionar un sólo ítem de los propuestos en la Tabla 1, y elaborar una infografía d)

Base y dimensión de un espacio vectorial

Enlace de la infografía https://www.canva.com/design/DADsg8emXnY/share/preview?token=OZOwP58W KSVF28ebV0GS7g&role=EDITOR&utm_content=DADsg8emXnY&utm_campaign =designshare&utm_medium=link&utm_source=sharebutton

Ejercicio 2. Axiomas y propiedades de espacios vectoriales

d)

Dados los vectores 𝒖 = (3,8,7) y 𝒘 = (1, −2,4), y los 1 escalares 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5 verifique si: 𝒊) (𝑎 + 𝑏)𝒖 = 𝑎𝒖 + 𝑏𝒖

𝒊𝒊) 𝑎(𝑏𝒘) = (𝑎𝑏)𝒘

i) Para la realización del siguiente ejercicio haremos lo siguiente (𝑎 + 𝑏)𝑢 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑢

1 1 3 + (3,8,7) = 3(3,8,7) + (3,8,7) 5 5 16 3 8 7 (3,8,7) = (9,24,21) + ( , , ) 5 5 5 5 48 128 112 48 128 112 ( , , )=( , , ) 5 5 5 5 5 5

Podemos decir que (𝑎 + 𝑏)𝑢 es igual 𝑎𝑢 + 𝑏𝑢 (𝑎 + 𝑏)𝑢 = (

48 128 112 48 128 112 , , ) 𝑎𝑢 + 𝑏𝑢 = ( , , ) 5 5 5 5 5 5

ii) Ahora desarrollamos el segundo ejercicio 𝑎(𝑏𝑤) = (𝑎𝑏)𝑤 1 1 3 ( (1, −2,4)) = 3 ( ) (1, −2,4) 5 5 1 −2 4 3 ( , , )= 5 5 5 5 1 −2 4 3 3( , , ) = (1, −2,4) 5 5 5 5 3 −6 12 3 −6 12 ( , , )=( , , ) 5 5 5 5 5 5 Podemos decir que 𝑎(𝑏𝑤) es igual a (𝑎𝑏)𝑤 3 −6 12 𝑎(𝑏𝑤) = ( , , ) 5 5 5

3 −6 12 (𝑎𝑏)𝑤 = ( , , ) 5 5 5

Ejercicio 3. Conjuntos generadores y Dependencia lineal 1. Determine si el conjunto 𝑆 genera a ℝ3 : 𝑆 = {(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1)} d)

2. Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente dependiente. 𝑆 = {(−4, −3,4), (1, −2,3), (6,0,0)

Para determinar si el conjunto S genera ha ℝ3 haremos lo siguiente le asignamos un escalar a cada vector 𝐶1 (1,0,1) + 𝐶2 (1,1,0) + 𝐶3 (0,1,1) = (𝑋, 𝑌, 𝑍) (𝐶1 , 𝐶1 ) + (𝐶2 , 𝐶2 ) + (𝐶3 , 𝐶3 ) = (𝑋, 𝑌, 𝑍) (𝐶1 + 𝐶2 , 𝐶2 + 𝐶3 , 𝐶1 + 𝐶3 ) = (𝑋, 𝑌, 𝑍) Ahora vamos a plantear el sistema de ecuaciones 𝐶1 + 𝐶2 = 𝑥 𝐶2 + 𝐶3 = 𝑦 𝐶1 + 𝐶3 = 𝑧 Ahora lo resolveremos por el método de gauss Jordán 1 1 |0 1 1 0

0 𝑥 1| 𝑦 1 𝑧

F3 –F1 1 1 0 𝑥 |0 1 1| 𝑦 0 −1 1 𝑧 − 𝑥 F3 + F2 𝑥 1 1 0 𝑦 |0 1 1| 0 0 2 𝑧−𝑥+𝑦 F3/2 𝑥 1 1 0 𝑦 |0 1 1| 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 0 0 1 2

Entonces tenemos que el sistema de ecuaciones de la matriz aumentada es el siguiente

𝐶1 + 𝐶2 = 𝑥 𝐶2 + 𝐶3 = 𝑦

𝐶3 =

𝑥−𝑦+𝑧 2

Sustituimos C3 en la segunda ecuación 𝐶2 + 𝐶2 = 𝑦 −

𝑥−𝑦+𝑧 =𝑦 2

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 2𝑦 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 3𝑦 − 𝑥 − 𝑧 = = 2 2 2

Entonces C2 es igual 𝐶2 =

𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 2

Ahora remplazamos en la primera ecuación 𝐶1 + 𝐶1 = 𝑋 −

𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 =𝑥 2

𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 2𝑋 − 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = = 2 2 2

Entonces C1 es igual 𝐶1 =

(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 2

𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 𝑥−𝑦+𝑧 (1,0,1) + (1,1,0) + (0,1,1) 2 2 2

EL conjunto S es generador de ℝ3

2) Para determinar si el conjunto S es linealmente dependiente haremos lo siguiente Le asignaremos a cada vector una constante en este caso le asignare (a, b, c) 𝑎(−4, −3,4) + 𝑏(1, −2,3) + 𝑐(6,0,0) = 0 Ahora construimos nuestra matriz y resolveremos por el método de gauss Jordán −4 [−3 4 F3+F1

1 6 0 −2 0] 0 3 0 0

−4 [−3 0

1 6 0 −2 0] 0 4 6 0

F2 (4)+F1(-3)) −4 1 6 0 [ 0 −11 −18] 0 0 4 6 0 F3(11)+F2(4) −4 1 6 0 [ 0 −11 −18] 0 0 0 −6 0

F2(-6)+F3(18) −4 [0 0

1 6 0 −11 0 ] 0 0 −6 0

−4 [0 0

1 0 0 −11 0 ] 0 0 −6 0

F1+F3

F1 (11) + F2 −44 0 [ 0 −11 0 0

0 0 0 ]0 −6 0

F1/-44 F2/-11 F3/-6 1 [0 0

0 0 0 1 0] 0 0 1 0

𝑎=0 𝑏=0 𝑐=0 De esta manera podemos determinar que el conjunto S es linealmente independiente ya que solo tiene una solución que es la tribal

Ejercicio 4 Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal.

Dada la siguiente matriz:

d)

2 1 3 3 2 5 𝐷 = −1 1 0 3 −2 1 [0 1 1

2 1 −7 17 −4]

1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán 2. Calcular el rango por el método de determinantes 3. Indique si existe dependencia o independencia lineal. Para el desarrollo del siguiente ejercicio haremos lo siguiente Primero calcular el rango por el método de gauss Jordán 2 1 3 2 3 2 5 1 𝐷 = −1 1 0 −7 3 −2 1 17 [0 1 1 −4] F4 + F2(-1) F3(2)+F1

2 1 3 3 2 5 = 0 3 3 0 −4 −4 [0 1 1

2 1 −12 16 −4 ]

2 1 3 0 1 1 = 0 3 3 0 −4 −4 [0 1 1

2 −4 −12 16 −4 ]

F2(2) + F1(-3)

Podemos ver que la fila 2 y 5 son iguales y que se puede haci que al restarla tendremos una fila con solo ceros

2 1 3 2 0 1 1 −4 = 0 3 3 −12 0 −4 −4 16 [0 0 0 0 ] F3(4)+F4(3)

2 0 = 0 0 [0

1 3 2 1 1 −4 0 0 0 −4 −4 16 0 0 0]

F3 + F2 (4) 2 0 = 0 0 [0

1 3 2 1 1 −4 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

Podemos decir que el rango de esta matriz es 2 y que es linealmente dependiente 𝑅=2 Ahora calcularemos su rango por determinantes 2 1 3 2 3 2 5 1 𝐷 = −1 1 0 −7 3 −2 1 17 [0 1 1 −4] Para calcular su rango por determinantes empezaremos de menor a mayor y que el resultado sea diferente a cero ósea sacar el determinante a la matriz más pequeña [

2 1 ] 3 2

4−3=1 Aquí vemos que el resultado es diferente de cero entonces podemos decir que su rango hasta ahora es 2 Ahora tomaremos la siguiente fila y columna en este caso nos quedaría una matriz 3x3

2 1 3 [ 3 2 5] −1 1 0 En este caso utilizaremos el método de zarrus (2)(2)(0) + (1)(5)(−1) + (3)(3)(1) − (2)(3)(−1) − (1)(3)(0) − (2)(5)(1) Resolvemos las operaciones −5 + 9 + 6 − 10 = 0 Como podemos ver el resultado fue igual a cero por lo que podemos decir que el rango de esta matriz es 2 y es linealmente dependiente

Ejercicio 5. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales.

Sean 𝒖, 𝒗 y 𝒘 vectores en ℝ3 . Demuestre que d)

𝒖 × (𝒗 + 𝒘) = (𝒖 × 𝒗) + (𝒖 × 𝒘)

Para el siguiente ejercicio se pide demostrar la expresión 𝒖 × (𝒗 + 𝒘) = (𝒖 × 𝒗) + (𝒖 × 𝒘) La cual es una propiedad del producto cruz. lo primero que hacemos es resolver un lado después el otro La primera expresión se le llama propiedad distributiva es la primera que resolveremos Sean los vectores 𝒖 = (𝒖𝟏 , 𝒖𝟐 , 𝒖𝟑 ) 𝒗 = (𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , 𝒗𝟑 ) 𝒘 = (𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒘𝟑 ) Se realiza la suma entre el vector v y w (𝒗 + 𝒘) = (𝒗𝟏 + 𝒘𝟏 )𝒊 + (𝒗𝟐 + 𝒘𝟐 )𝒋 + (𝒗𝟑 + 𝒘𝟑 )𝒌 Ahora realizamos el producto cruz entre u y el vector resultante de la suma

𝒖 × (𝒗 + 𝒘) = (𝒖𝟐 (𝒗𝟑 + 𝒘𝟑 )) − (𝒖𝟑 (𝒗𝟐 + 𝒘𝟐 )) − (𝒖𝟏 (𝒗𝟑 + 𝒘𝟑 )) − (𝒖𝟑 (𝒗𝟏 + 𝒘𝟏 ))+( 𝒖𝟏 (𝒗𝟐 + 𝒘𝟐 ))-( 𝒖𝟐 (𝒗𝟏 + 𝒘𝟏 )) Ahora tomo la expresión (𝒖 × 𝒗) = (𝒖𝟐 . 𝒗𝟑− 𝒖𝟑 . 𝒗𝟐 ) − (𝒖𝟏 . 𝒗𝟑− 𝒖𝟑 . 𝒗𝟏 ) + (𝒖𝟏 . 𝒗𝟐− 𝒖𝟐 . 𝒗𝟏 ) (𝒖 × 𝒘) = (𝒖𝟐 . 𝒘𝟑− 𝒖𝟑 . 𝒘𝟐 ) − (𝒖𝟏 . 𝒘𝟑− 𝒖𝟑 . 𝒘𝟏 ) + (𝒖𝟏 . 𝒘𝟐− 𝒖𝟐 . 𝒘𝟏 ) (𝒖 × 𝒗) + (𝒖 × 𝒘) = (𝒖𝟐 . 𝒗𝟑− 𝒖𝟑 . 𝒗𝟐 ) + (𝒖𝟐 . 𝒘𝟑− 𝒖𝟑 . 𝒘𝟐 ) + (𝒖𝟏 . 𝒗𝟑− 𝒖𝟑 . 𝒗𝟏 ) + (𝒖𝟏 . 𝒘𝟑− 𝒖𝟑 . 𝒘𝟏 ) + (𝒖𝟏 . 𝒗𝟐− 𝒖𝟐 . 𝒗𝟏 ) + (𝒖𝟏 . 𝒘𝟐− 𝒖𝟐 . 𝒘𝟏 )

Factorizamos 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 × (𝑣1 + 𝑤1 + 𝑣2 + 𝑤2 + 𝑣3 + 𝑤3 ) Si 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 pertenecen al vector u y 𝑣1 + 𝑤1 + 𝑣2 + 𝑤2 + 𝑣3 + 𝑤3 pertenecen al vector v, w entonces podemos decir que 𝒖 × (𝒗 + 𝒘) = (𝒖 × 𝒗) + (𝒖 × 𝒘)

Ejercicio 6. Elaboración de un video explicativo colaborativo.

No Grupo

Enlace video explicativo https://youtu.be/wnwsR293TqY

208046_338

Ejercicios presentados por Alix Fidel Beltrán

1| Dados los vectores 𝑢 = (3, 5, 7), 𝑣 = (1, 2, 4), 𝑦 𝑤 = (9, −2, 3), y los escalares 𝑎 = 2 𝑦 𝑏 = −7 verifique si: 𝑖) (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑤) + 𝑣 Sol: [(3, 5, 7) + (1, 2, 4)] + (9, −2, 3) = (3, 5, 7) + [(1, 2, 4) + (9, −2, 3)] = [(3, 5, 7) + (9, −2, 3)] + (1, 2, 4) (4, 7, 11) + (9, −2, 3) = (3, 5, 7) + (10, 0, 7) = (12, 3, 10) + (1, 2, 4) (13, 5, 14) = (13, 5, 14) = (13, 5, 14) 𝑖𝑖)𝑎𝑢 − (𝑣 + 𝑏𝑤) Sol: 2(3, 5, 7) − [(1, 2, 4) + (−7)(9, −2, 3)] (6, 10, 14) − [(−62, 16, − 17)] (68, -6, 31)

2| Determine si el conjunto S genera a ℝ3 𝑆 = {(1, 0, 3), (2, 0, −1), (4, 0, 5), (2, 0, 6)} Sol:

⟨(1, 0, 3), (2, 0, −1), (4, 0, 5), (2, 0, 6)⟩ = ℝ3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ℝ3 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼(1, 0, 3) + 𝛽(2, 0, −1) + 𝛾(4, 0, 5) + 𝛿(2,0, 6) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝛼, 0, 3𝛼) + (2𝛽, 0, −𝛽) + (4𝛾, 0, 5𝛾) + (2𝛿, 0, 6𝛿)

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝛼 + 2𝛽 + 4𝛾 + 2𝛿, 3𝛼 − 𝛽 + 5𝛾 + 6𝛿) 𝑥 = 𝛼 + 2𝛽 + 4𝛾 + 2𝛿 𝑧 = 3𝛼 − 𝛽 + 5𝛾 + 6𝛿 1 3

(

2 4 2 𝑥 ) 𝑟2: 𝑟2 −1 5 6 𝑧 1 − 3𝑟1 ( 0

𝑟2 1 2 2 4 2 𝑥 ) 𝑟2: ( −7 −7 0 −3𝑥 + 𝑧 −7 0 1

1 𝑟1: 𝑟1 − 2𝑟2 ( 0

0

2

2

1

1

0

4 2

𝑥 3𝑥 − 𝑧) 1 0 7

𝑥 + 2𝑧 7 ) 3𝑥 − 𝑧 7

Solución: 𝑥1 =

𝑥 + 2𝑧 − 2𝑥3 − 2𝑥4 7

𝑥2 =

3𝑥 − 𝑧 − 𝑥3 7 𝑥3 = 𝑥3 𝑥4 = 𝑥4

El sistema es linealmente dependiente, por lo tanto, el conjunto S no genera en R3

Determine si el conjunto S es linealmente dependiente. 𝑆 = {(−2, 2), (3, 5)} (

−2 2 3 5

𝑟1 1 −1 0 0 1 −1 ) 𝑟1: ( ) 𝑟2: 𝑟2 − 3𝑟1 ( 0 0 8 −2 3 5 0

1 0 𝑟1: 𝑟1 + 𝑟2 ( 0 1

0 ) 0

𝑥1 = 0 𝑥2 = 0 La solución del sistema es linealmente independiente

𝑟2 1 0 ) 𝑟2: ( 0 8 0

−1 0 ) 1 0

3|

Dada la siguiente matriz: −7 −1 3 𝐸 = [ 11 1 4] 9 7 2 8 4 3 1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán Sol: −7 −1 3 1 ( 11 1 4) 𝑟1: 𝑟1/−7 (11 9 7 2 9 8 4 3 3 1 0 𝑟3: 𝑟3 − 9𝑟1 ( 0 3 1 0 (−7/4)𝑟2 ( 0 0

1/7 1 7 8

1 1/7 −3/7 4 ) 𝑟2: 𝑟2 − 11𝑟1 (0 −4/7 2 9 7 4 3 8

1 1/7 1/7 −3/7 0 −4/7 −4/7 61/7 ) 𝑟4: 𝑟4 − 3𝑟1 ( 40/7 41/7 0 40/7 0 53/7 8 4

−3/7 61/7 ) 41/7 37/7

1/7 −3/7 1 1/7 −3/7 1 −61/4 0 1 −61/4 ) 𝑟3: 𝑟3 − 40/7𝑟2 ( ) 40/7 41/7 0 93 0 53/7 37/7 0 53/7 37/7

1 1/7 −3/7 1 1/7 0 1 −61/4 0 1 𝑟4: 𝑟4 − 53/7𝑟2 ( ) 𝑟3: 𝑟3/93 ( 93 0 0 0 0 483/4 0 0 0 0 1 1/7 0 1 𝑟4: 𝑟4 − 483/4 ( 0 0 0 0

−3/7 −61/4 ) 1 0

Rango de la matriz: 3

2. Calcular el rango por el método de determinantes

−3/7 −61/4 ) 1 483/4

−3/7 61/7 ) 2 4

Sol:

−7 −1 3 𝑑𝑒𝑡 ( 11 1 4) = 372 ≠ 0 9 7 2 Rango de la matriz: 3 3. Indique si existe dependencia o independencia lineal Sol: SISTEMA LINEALMENTE INDEPENDIENTE

ALGEBRA LINEAL Tarea 3- Espacios vectoriales

Estudiante Alejandro Álvarez

Cod 3146602

Grupo del curso 208046_338 Presentado a Solanlly Sanchez

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 2019

Estudiante Alejandro Álvarez

Email institucional

Literal Ejercicios Seleccionados [email protected] A

Ejercicio 1: Cada estudiante debe seleccionar un sólo ítem de los propuestos en la Tabla 1, y elaborar una infografía en donde se conceptualice sobre los siguientes temas, para lo cual puede emplear las herramientas Easily (https://www.easel.ly/), Canva (https://www.canva.com/), Visme (https://www.visme.co/) o en cualquier otra herramienta similar disponible. a) Combinación lineal y espacio generado Herramienta usada Canva

https://www.canva.com/design/DADsb97azZk/Aeb-t8dq_FhOjDzVKiBgg/view?utm_content=DADsb97azZk&utm_campaign=designshare&utm_mediu m=link&utm_source=sharebutton

Ejercicio 2 Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio correspondiente al ítem seleccionado en el ejercicio 1 a) Dados los vectores 𝑢 = (4, 0, −3) y 𝑣 = (0, 2, 5), calcular: 𝑖) 𝑢 + 𝑣 (4, 0, −3) + (0, 2, 5) = (4, 2, 2) 𝑖𝑖) 𝑢 − 𝑣 (4, 0, −3) − (0, 2, 5) = (−4, − 2, − 8) 1 𝑖𝑖𝑖) 2𝑢 − 𝑣 3 1 2 5 2 23 2(4, 0, −3) − (0, 2, 5) = (8, 0, −6) − (0, , ) = (8, − , − ) 3 3 3 3 3 Ejercicio 3 a) 1. Determine si el conjunto S genera a R3: 𝑆 = {(4, 7, 3), (−1, 2, 6), (2, −3, 5)} Entonces, en el conjunto S para generar a r³ debe tener los vectores linealmente independientes. Esto es que para que una combinación lineal sea "0" los escalares deben ser 0 𝑎(4, 7, 3) + 𝑏(−1, 2, 6) + 𝑐(2, −3, 5) = (0,0,0) 1) 4𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 = 0 ⇒ 𝑏 = 4𝑎 + 2𝑐 2) 7𝑎 + 2𝑏 − 3𝑐 = 0 3) 3𝑎 + 6𝑏 + 5𝑐 = 0 Resolvemos.. en la reemplazamos en la ecuación 2 ‘b’ de la ecuación 1 4) 7𝑎 + 2(4𝑎 + 2𝑐) − 3𝑐 = 0 ⇒ 15𝑎 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑐 = −15𝑎 Reemplazamos c en la ecuación 1 y luego en la 3 5) 3𝑎 + 6(4𝑎 + 2(−15𝑎)) + 5(−15𝑎) = 0 ⇒ −228𝑎 = 0 ⇒ 𝑎 = 0, 𝑐 = 0 𝑏 = 0 De este modo los vectores son linealmente independientes y generan r³ 2. Determine si el conjunto es linealmente dependiente.

𝑆 = {(−2, 4), (1, −2)} Realizamos la misma operación que el punto pasado 1) −2𝑎 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑏 = 2𝑎 2) 4𝑎 − 2𝑏 = 0 ⇒ 𝑏 = 2𝑎 Hay infinitas soluciones, con lo cual podemos comprobar que el conjunto S es linealmente dependiente dado que b es un factor de a, es decir existe un numero que multiplicado por la constante se puede obtener el otro vector Ejercicio 4 Determinantes, Rango de una matriz, e Independencia lineal. a) Dada la siguiente matriz: −1 2 3 0 𝑀 = [ 3 3 −2 3 4 1 1 0

7 0] −3

1. Calcular el rango por el método de Gauss Jordán. −1 2 3 0 7 −1 2 3 0 [ 3 3 −2 3 0 ] 𝑟3: 𝑟3 + 4𝑟1 [ 3 3 −2 3 4 1 1 0 −3 0 9 13 0 −1 2 3 0 7 + 3𝑟1 [ 0 9 4 3 −21] 𝑟3: 𝑟3 0 9 13 0 25 −1 − 𝑟2 [ 0 0

−1 2 3 2 3 0 7 𝑟3 0 9 4 9 4 3 −21] 𝑟3: [ 9 0 0 1 0 9 −3 46

0 3 1 − 3

7 0 ] 𝑟2: 𝑟2 25

−1 7 𝑟2 0 −21 ] 𝑟2: 46 9 9 [0

2 3 4 1 9

0 7 1 7 − 3 3 1 46 0 1 − 3 9 ]

Podemos ver que la matriz es irreducible lo cual el rango r(M)=3 2. Calcular el rango por el método de determinantes. Tendrá rango mayor o igual que 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo. Tomamos la submatriz de la columna 3 a la 5 3 0 7 3 0 |−2 3 0 | −2 3 = −27 + 0 + 0 − 21 − 0 − 0 = −48 1 0 −3 1 0 Por medio de determinantes podemos indicar que el rango de la matriz M r(M)=3 3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.

No hay dependencia lineal Ejercicio 5. Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales. a) Sea u y w vectores en r3 y sea θ el ángulo entre u y w. Demuestre que ‖𝑢 × 𝑣‖ = ‖𝑢‖‖𝑣‖𝑆𝑒𝑛(𝜃) Supongamos que 𝑢 ⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) 𝑣 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) Calculamos u x v, 𝑢 ⃗ × 𝑣 = (𝑎1 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 , 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 , 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 ) De este modo la norma del producto cruz al cuadrado estará dada por: 1) ‖𝑢 ⃗ × 𝑣‖2 = (𝑎1 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )2 + (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 )2 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )2 Dado que, 2) ‖𝑢 ⃗ ‖2 = 𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2 3) ‖𝑣‖2 = 𝑏1 2 + 𝑏2 2 + 𝑏3 2 Y, 4) (𝑢 ⃗ ∙ 𝑣)2 = (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 )2 Con las ecuaciones 1 a 4 encontramos la siguiente relación, 5) ‖𝑢 ⃗ × 𝑣‖2 = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 − (𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 )2 Sabemos que, ⃗ ∙𝑣 ⃗ 𝑢

6) 𝐶𝑜𝑠(𝜃) = ‖𝑢⃗‖‖𝑣⃗‖ ⇒ 𝑢 ⃗ ∙ 𝑣 = ‖𝑢 ⃗ ‖‖𝑣‖𝐶𝑜𝑠(𝜃) Reemplazamos en la ecuación 5 la relación 6 2

‖𝑢 ⃗ × 𝑣‖2 = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 − (‖𝑢 ⃗ ‖‖𝑣‖𝐶𝑜𝑠(𝜃)) = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 − ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 𝐶𝑜𝑠 2 (𝜃) ‖𝑢 ⃗ × 𝑣‖2 = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 (1 − 𝐶𝑜𝑠 2 (𝜃)) Aplicamos la identidad trigonométrica 𝑆𝑒𝑛2 (𝜃) = 1 − 𝐶𝑜𝑠 2 (𝜃) ‖𝑢 ⃗ × 𝑣‖2 = ‖𝑢 ⃗ ‖2 ‖𝑣‖2 𝑆𝑒𝑛2 (𝜃) Sacamos raíz a ambos lados considerando que son números reales positivos queda demostrado que,

‖𝑢 ⃗ × 𝑣‖ = ‖𝑢 ⃗ ‖‖𝑣‖ 𝑆𝑒𝑛(𝜃) Ejercicio 6 Cada estudiante debe realizar un video muy corto (de 2 minutos máximo), en el cual aparezca sustentando los aspectos claves y procedimiento empleado para desarrollar la demostración realizada en el Ejercicio 5. https://youtu.be/E5YQOHhMs5g

Conclusiones

Después del desarrollo de esta actividad y de aplicar diferentes conceptos propios de los espacios vectoriales y en si del algebra lineal podemos afirmar la importancia de estos en la vida cotidiana y de cómo nos ayuda a la solución de problemas en el ámbito profesional ya que se puede decir que es una herramienta fundamental de la ingeniería y otras profesiones. Pero podemos resaltar algo muy importante y es que para llegar a comprender completamente cada concepto se debe de estudiar y practicar con diferentes ejemplos

Referencias bibliográficas

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