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ALGEBRA LINEAL

PRESENTADO POR: JONATHAN SMITH MORENO CASTELBLANCO

PRESENTADO A: EDWIN BLASNILO RUA TUTOR

GRUPO: 100408A 614

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

NOVIEMBRE

UNAD 2019

INTRODUCCIÓN Este trabajo esta hecho con el fin de demostrar y aplicar los distintos conocimientos del área de algebra lineal el cual se han venido tomando a lo largo de estos días además del desarrollo de infografías oh el desarrollo de trabajos tanto individuales como grupales y sin nada mas que decir empecemos

OBJETIVOS -

Mostrar las habilidades adquiridas estudiando la unidad 2 Usar distintos métodos matemáticos y formalas para resolver las incognitas del taller Aprender sobre cómo usar los disntintos métodos tanto matemáticos como algebaricos para dar una solución a lo planteado

Cuadro sinóptico Sistemas de ecuaciones lineales 

Que es o Es una agrupacion de ecuaciones de primer grado definidas en un anillo conmutativo o relacion donde se cumple la propiedad de la multiplicacion conmutativa. los problemas de ecuaciones lineales consta de ecuaciones con varias variables indeterminadas y lograr que tengan una relacion a fin de encontrar dichos valores





Tipos o

(

a 11 x 1 a12 x 2 … a1 n x n a 11 x 1 a22 x 2 ⋯ a2 n x n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 x 1 a m 2 x 2 ⋯ amn x n

Sistema compatible

¿ b1 ¿ b2 ⋮ ⋮ ¿ bn

)



Sistema compatible determinado  Se define como compatible cuando el sistema de ecuaciones tiene una solucion o



Ejemplo

( 34 xx

5y ¿ 4 (este tipos de ecuaciones 2y ¿ 7

)

graficamente Se interceptan en un punto definido como la solucion ) Sistema compatible indeterminado  Un sistema de ecuaciones compatible indeterminado es cuando tiene infinitas soluciones o

Ejemplo

(39 xx

5y ¿ 4 (normalmente estos 15 y ¿ 12

)

sistemas son equivalente es decir se subreponen ya que tienen la misma pendiente y pasan por los mismos puntos ya que son iguales solo que se relacionan con un escalar en este caso la segunda ecuacion es la primera donde los teminos se multiplicaron por 3 ) o

Sistema incompatible  Un sistema es incompatible cuando no tienen solucion 

Ejemplo

(39 xx

5y ¿ 4 (los sistemas incompatibles 15 y ¿ 345

)

comparten pendiente por tanto son paralelas de esta forma no se interceptan o dico de otra manera el sistema no tien solucion)

Ejercicio 2

a) Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que lo representa y soluciónelo por medio del método de Gauss–Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. Beatriz requiere saber el precio de venta en una cafetería americana que tienen las tostadas, el té y las arepitas de queso. En la tabla informativa se cuantifica el valor en dólares que debe pagarse el primer, segundo y tercer día por comprar las cantidades especificadas de cada alimento: Día 1

Día 2

Día 3

Tostada s

1

4

2

Té

2

4

3

Arepitas

4

1

4

de queso Costo (Dólares)

35

34

42

¿Determine el precio en dólares a pagar por cada tostada, te y arepita de queso? Desarrollo Se usa la tabla y se usa en una matris de coeficioentes

[

1 4 2

2 4 ¿ 35 4 1 ¿ 34 3 4 ¿ 42

]

El metodo de gauss-jordan explica que para tener la solucion se debe combertir la matriz en una matris identidad donde la parte ampliada muestra la respuesta al valor de cada producto donde en la matris estan dispuestos en el mismo orden F2=f2-4f1

[

1 2 4 ¿ 35 0 −4 −15 ¿ −106 2 3 4 ¿ 42

]

F3=f3-2f1

[

1 2 4 ¿ 35 0 −4 −15 ¿ −106 0 −1 −4 ¿ −28

]

F2=-1/4 f2

[

1 2 4 ¿ 35 0 1 15/4 ¿ 53/2 0 −1 −4 ¿ −28

]

F1=f1-2f2

[

1 0 −7/2 ¿ −18 0 1 15 /4 ¿ 53 /2 0 −1 −4 ¿ −28

F3=f3+f2

]

[

1 0 −7/2 ¿ −18 0 1 15/ 4 ¿ 53 /2 0 0 −1/ 4 ¿ −3 /2

]

F3=-4f3

[

1 0 −7 /2 ¿ −18 0 1 15/4 ¿ 53 /2 0 0 1 ¿ 6

]

F1=f1+7/2 f3

[

1 0 0 ¿ 3 0 1 15/ 4 ¿ 53 /2 0 0 1 ¿ 6

]

F2=f2-15/4 f3

[

1 0 0 ¿ 3 0 1 0 ¿ 4 0 0 1 ¿ 6

]

Rta el valor de las tostadas es de 3 dolares el del te es de 4 dolares y el de las arepitas con queso 6 dolares Ejercicio 3 Hallar las ecuaciones las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las rectas, y grafíquelas de la recta que pasa por el punto por números directores Desarrollo Ecuación vectorial ⃗p= (2 ,−1,4 ) d⃗ = ( 3 ,−1,6 ) r⃗ =⃗p + t ⃗d r⃗ =( 2,−1,4 ) +t ( 3 ,−1,6 ) Ecuaciones paramétricas

( x , y , z)= ( 2,−1,4 ) +t (3 ,−1,6 ) ( x , y , z)= ( 2,−1,4 ) + ( 3 t ,−t , 6 t )

y tiene

( x , y , z )=( 2+3 t ,−1−t , 4 +6 t ) x=2+3 t y=−1−t z=4+6 t Ecuaciones simétricas

t=

x−2 3

t=− y −1 t=

z−4 6

x−2 z−4 =− y−1= 3 6

a) De las rectas que se presentan a continuación, encuentre una recta L ortogonal:

Se tranforman las ecuaciones parametricas en ecuaciones vectoriales para asi optener el vector directriz L 1=( 4 ,−4,2 )+ t(8 ,−6,2) L 2=( 10,2 ,−8 )+ s (−4,2 ,−10 )

Se usa los vectores directrices para obtener la ecuación ortogonal d⃗ 0=(a , b , c )

d⃗ 1=(8 ,−6,2) d⃗ 2=(−4,2 ,−10 ) Un vector es ortogonal cuando su producto punto es 0 d⃗ 0∗⃗d 1=( a , b , c ) ( 8 ,−6,2 )=0 8 a−6 b+2 c=0 d⃗ 0∗⃗d 2=( a , b , c ) (−4,2 ,−10 )=0 −4 a+2 b−10 c=0 Se tienen dos ecuaciones y tres Variables y se debe dejar una variable comenzando sumando la primara por la segunda multiplicada por el escalar 2 y despejando b de la ecuación resultante 8 a−6 b+2 c=0 −8 a+ 4 b−20 c=0 −2 b−18 c=0 b=−9 c Se remplaza para despejar a de la segunda ecuación −4 a−18 c−10 c=0 −4 a=28 c a=−7 c

d⃗ 0= (−7 c ,−9 c , c )=c (−7,9,1 )

L=( 0,0,0 )+ c (.7,9,1) Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra Se requiere determinar si los siguientes planos son paralelos:

En caso de que no sea paralelos, encuentre la ecuación de la recta en que se intersectan. Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos. Desarrollo Para saber si los planos son paralelos se usa la formula ⃗v1 =k ⃗v 2

( 6 ,−9 ,−12 ) =k ( 12,−3 ,−3 ) 6=12 k k=

1 2

−9=−3 k k =3 −12=−3 k k =4 Como los valores k son diferentes por tanto las ecuaciones no son equivalentes y de ese modo se concluye que no son paralelos Para hallar la ecuación de la recta de intercepción se requiere de un punto de intercepción y de un vector directriz Para el punto se usa sistema de ecuaciones lineales z=30 {612x−9x−3y−12 y −3 z =9 } +3 y +4 z=−10 {−212xx−3 y −3 z =9 } 10 x+ z =−1 Se remplaza un valor con uno (1) ya que no importa el punto siempre y cuando intercepta los planos es decir pertenezca al sistema de ecuaciones 10 ( 1 )+ z=−1 z=−11

Se remplaza los valores en una de las ecuaciones 12 ( 1 )−3 y−3 (−11) =9 y=

9−12+33 =−10 −3

p= (1 ,−10 ,−11 ) Para la directriz se usa el valor de producto cruz de ambos planos i j k ⃗v1 X ⃗v 2 = 6 −9 −12 12 −3 −3

(

)

⃗v1 X ⃗v 2 = −9 −12 i− 6 −12 j+ 6 −9 k −3 −3 12 −3 12 −3

(

) (

) (

)

⃗v1 X ⃗v 2 =[ (−9∗−3 )−(−12∗−3) ] i−[ ( 6∗−3 )−(−12∗12 ) ] j+ [ ( 6∗−3 )−(−9∗12 ) ] k ⃗v1 X ⃗v 2 =( 27−36 ) i−(−18+ 144 ) j+ (−18+108 ) k

⃗v1 X ⃗v 2 =−9 i−126 j+90 k d⃗ = (−9 ,−126,90 ) r⃗ =p+ t ⃗d r⃗ =( 1,−10 ,−11 )+ t (−9 ,−126,90 )

Video algebra https://youtu.be/NokhoRmLBao

CONCLUCIONES -

hay distintas clases tanto de vectores como de métodos para su solución para realizar algún vector oh hallar respuesta a uno hay distintas formas y métodos para hacerlo algunos de los casos para resolver vectores se usan en ciertas situaciones en específico y en otras ocasiones simplemente no lo requiere

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 68 a 79. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? ppg=77&docID=10584265&tm=1468967325440 Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 164 a 182. Recuperado de  http://hdl.handle.net/10596/7081 Vargas, J. (2015). Sistemas de ecuaciones lineales: Matriz inversa. [Video].  Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/7191 Amaya, H. (2016). Sistemas de ecuaciones lineales: Gauss-Jordan. [Video].  Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/7192 Gutiérrez, M. (2016). Soluciones no triviales en un sistema de ecuaciones lineales. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/7202 Amaya Cocunubo, I. (2017). Algebra lineal. [Archivo de video]. Recuperado dehttp://hdl.handle.net/10596/11542 Temáticas de estudio: Rectas en R3 Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7081 Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones.Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=10584265&p00=algebra+lineal

Gómez, D. (2016). Ecuación Vectorial y Paramétrica en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de:http://hdl.handle.net/10596/7106   Temáticas de estudio: Planos Rodriguez  J., (N-D.) Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y rectas. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7091 Alvarez, V. (2015) Planos en R3. [Video]. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/7151     OVI Unidad 2 - Sistemas lineales, rectas, planos y espacios vectoriales Alvarez, A. (2017). Sistemas de ecuaciones lineales [Video].  Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11518 Recursos educativos adicionales ( Bibliografía complementaria) Temáticas de estudio: Sistemas de Ecuaciones Lineales Barrera, M. F. (2014). Álgebra lineal. México, D.F., MX: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 117 a 127. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action? docID=11013215&p00=algebra+lineal