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Dpto. Didáctico de Matemáticas.

Análisis diferencial.

Año académico: 2006-2007

I.E.S. “Cuenca del Nalón” Departamento Didáctico de Nivel: Bach. CCSS Matemáticas Complementos teórico-prácticos. Tema: Análisis diferencial, derivadas. Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.

Cálculo diferencial.  Derivada de una función.

 Es el valor de la tangente trigonométrica del ángulo que la tangente geométrica, a la gráfica de la función en el punto, forma con el eje de abscisas.

 (≡) Es el valor del límite del cociente incremental, o de la tasa de variación media de la función (T.V.M.), cuando el incremento en la variable tiende a y′ = f ′( x ) =

cero, es decir,

d ∆f ( x ) f ( x +h ) −f ( x ) (f ( x )) = lím = lím ∆x →0 h →0 dx ∆x h

, donde

∆f ( x ) = f ( x + h ) − f ( x ) e ∆x = ( x + h ) − x , también, dicho de otro modo, en términos puntuales, ∆f ( x ) = f ( x ) − f ( x 0 ) , y si hacemos x = x 0 + h obtenemos lo dicho anteriormente.  La derivada de una función se puede escribir de varias formas, en función de cómo esté definida y de cuál sea la variable independiente, así: d f (x), o bien Df(x) .  y = f (x) ⇒ derivada y′, o bien f ′(x), o bien dx  Gráficamente: f(x) ∆f(x) f(x0)

tgβ =

∆x

∆f (x) ≈ y′ ∆x

β x0

x

 De la gráfica se desprende que cuanto menor sea la distancia entre los puntos, la prolongación de la hipotenusa del triángulo formado por los incrementos de la variable y de la función, más se aproximará a la tangente a la gráfica por el punto de abscisa x0.  Así pues, la ecuación de una recta tangente a la gráfica de una función por un punto de coordenadas P( a , b ) , será y −f (a ) =f ′(a ) ⋅(x −a ) .

 De igual modo, y en una primera aproximación, se cumple que para toda función f(x),

Definiciones y conceptos.

f

 x  h

f

 x

 h f '  x 

Página.- i

(Imp_1)

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Análisis diferencial.

 Derivadas elementales aplicando la definición.

 La función constante:

y f

 x

 k  cons tan te  y '  0

 Por definición de derivada df  x  f  x  h  f  x kk 0 y '  f ' x    lím  lím  lím  0 h 0 h 0 h 0 dx h h h  La derivada de una constante es nula.  Ejemplos: y  25  y '  0 ; y  7  y '  0

 La función identidad:

yf

 x

 x  y' 1

 Por definición de derivada df  x  f  x  h  f  x xhx h y '  f ' x    lím  lím  lím  1 h 0 h 0 h 0 dx h h h  La derivada de la función identidad es la unidad.  Ejemplos: y  3x  y '  3 ; y  2x  1  y '  2

 La función inversa de x:

y  f  x 

1 x

 y' 

1 x2

 De la definición de derivada 1 1    x  h  x  1 y '  lím x  h x  lím  h 0 h 0 h x  x  h  h x 2  La derivada de la función inversa de x es el opuesto de su cuadrado. 1 3 y  5  y '  10  y'   Ejemplos: y  ; 2 2x  3  2x  3 3x 9x 2

 La función cuadrática:

y f

 x

 ax 2 , con a constante  y'=2ax

 Por definición de derivada 2 a  x  h   ax 2 x 2  2hx  h 2  x 2 y '  f '  x   lím  lím a   h 0 h 0 h h 2hx  h 2  a lím ¨ a lím  2x  h   2ax h 0 h 0 h  La derivada de la función cuadrática es el doble de la función identidad. 2 2  Ejemplos: y  4x  y '  8x ; y  3x  5  y '  6x

 La potencia de la función identidad:

yf

 x

  x

p

 x p  y '  p x p 1

 Por definición de derivada ´p 1 p x p  px p 1 h  p  p  1 x p  2 h 2  L  h p  x p  x  h   xp y '  lím  lím  h 0 h 0 h h  lím  px p 1  L términos que contienen h   p x p 1 , ya que todos los h 0

términos que contienen h se anulan.  La derivada de una potencia es igual al exponente por la base elevada al exponente disminuido en una unidad.

Definiciones y conceptos.

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Análisis diferencial.

5 4 3 2  Ejemplos: y  6x  y '  30x ; y  7x  2  y '  21x 1 1 1 11   x 2   NOTA Fijarse que y   x , con lo que y '   x , es x x2 otra forma de calcular las derivadas de las inversas, así, y  x  p tendrá p  p 1  por derivada y '  p x x p 1

y  Ln  x   y ' 

 La función logaritmo Neperiano:

1 x

 Por definición de derivada y por las propiedades del neperiano 1  h   1 Ln  x  h   Ln  x   xh    h  y '  lím  lím  Ln   lím Ln 1   h 0    h 0 h 0  h h  x   x       

x

1





x





x

  h 1   lím  Ln  1     Ln  lím  1  h 0  h  0  x   x      h 

   

h

La función exponencial:

 

1  1 x    Ln e x 



y  ex  y '  ex

y  cos  x   y '  sen  x 

La función coseno: La función tangente:

 y' 

x

y  sen  x   y '  cos  x 

La función seno:

y  tg  x  

1



h

sen  x  cos  x 

y  tg  x   y '  1  tg 2

 y' 

sen 2  x   cos 2  x  cos  x  2

 x

, ya que cos  x  cos  x   sen  x   sen  x  



cos 2  x  1 cos  x  2



 tg 2  x   1

 Álgebra de derivadas.

 Derivada de una suma de funciones: y '  lím

 Por definición de derivada  f  x  h  g  x  h    f  x  g  x 

h 0

 f  x  h  f  x

 lím  h 0



y f



 x

 lím

 g  x   y '  f ' x   g ' x 

f  x  h  f  x  g x  h  g x

h 0

h g x  h  g x 

h

  f ' x   g ' x 

h h   La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus derivadas. Ya podemos derivar polinomios, monomio a monomio. 4 3 2 3 2  Ejemplo: y  3x  5x  2x  x  1  y '  12x  15x  4x  1

 Derivada del producto de una constante por una función: y  k f

 x

 y '  k f '  x 

 Por la definición de derivada k f  x  h   k f  x  f  x  h  f  x y '  lím  k lím  k f '  x  h 0 h 0 h h

Definiciones y conceptos.

Página.- iii



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Análisis diferencial.

 La derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.  Derivada del producto de funciones: y  f

 x

g  x   y '  g  x  f '  x   f

 x

g '  x 

 Por la definición de derivada  f  x  h  g  x  h     f  x  g  x    y '  lím h 0 h  f  x  h  g  x  h     f  x  h  g  x     f  x  h  g  x     f  x  g  x     lím h 0 h g x  h  g x  f  x  h  f  x     lím  f  x  h    lím  g  x     h 0 h 0 h h     g x  h  g x f  x  h  f  x  lím f  x  h  lím  lím g  x  lím  h 0 h 0 h 0 h 0 h h  f  x  g '  x   g  x  f '  x   La derivada de un producto de funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda sin derivar, más la derivada de la segunda por la primera sin derivar. Dicho de otro modo, la derivada de un producto de funciones no es igual al producto de sus derivadas. 3 2 2 2 4  Ejemplo: y  x  x  3  y '  3x  x  3  2x

 Derivada de la inversa de una función:

y

1 f  x

 y' 

f '  x 

 f  x 

2

 Por definición de derivada f  x  f  x  h 1 1  f  x  h f  x f  x  h  f  x  y '  lím  lím  h 0 h 0 h h  f  x  h  f  x   1 1    lím  lím   h 0    h 0 f  x  h  f  x  h  f  x  h  f  x    f  x  h  f  x  f '  x   1  lím  f '  x    h 0 h f 2  x f 2  x   

  

 La derivada de la inversa de una función es igual a la opuesta de su derivada partido de su cuadrado.  Vista la función como una potencia de exponente negativo, y teniendo en cuenta la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas, nos quedaría f '  x  1 1 y   f  x    y '  1 f '  x  f 2  x   . También, mef  x f 2  x diante la definición de derivada y la expresión (Imp_1) llegaríamos al mismo resultado.

Definiciones y conceptos.

Página.- iv

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Análisis diferencial.

 NOTA No confundir la inversa de una función,

1

  f  x   , con su 1

f  x

1 1 recíproca, f  x  , la cual es tal que f  f  x    I  x   x

 Ejemplo: y 

3 2x 2  3x  1

 Derivada de un cociente:

y

 y' 

f  x g x

3  4x  3

 2x

 y' 

2

 3x  1

2

f '  x  g  x   f  x  g '  x 

 g  x 

 De la derivada de un producto tenemos que y 

2

f  x g x

 f  x   g  x  

1

con lo que y '  f '  x   g  x    f  x   1 g '  x   g  x   , y escri2

1

biéndolo como potencias de exponente positivo y reduciendo términos, f '  x  g  x   f  x  g '  x  y'  2  g  x   La derivada de un cociente de funciones es igual a la diferencia entre el producto de la derivada del numerador por el denominador sin derivar y el producto del numerador por la derivada del denominador, todo ello partido del cuadrado del denominador.  Ejemplo:  2x  5  3x  2   3  x 2  5x  3x 2  4x  10 x 2  5x y  y'   2 3x  2 9x 2  12x  4  3x  2 

 Derivada del cuadrado de una función: y f

 x 

2

 f 2  x   y '  2 f '  x  f

 x

 De la derivada de una potencia y '  2 f '  x  f  x   Es igual al doble del producto de la derivada de la función por la función sin derivar.  NOTA También se puede hacer aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas o aplicando directamente la definición de derivada y la expresión (Imp_1). 2 2  Ejemplo: y   2x  3x   y '  2  4x  3  2x  3x  2

 Derivada de la potencia de una función: y   f  x 

n

 fn

 x

 y '  n f '  x   f

 x 

n 1

 De la derivada de una potencia y '  n f '  x   f  x  

n 1

 Es igual al exponente por la derivada de la función y por la función sin derivar elevada al exponente menos uno.  NOTA También se puede hacer aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas o aplicando directamente la definición de derivada y la expresión (Imp_1). 3 2 3  Ejemplo: y   5x  2x   y '  5  15x  2   5x  2x  5

Definiciones y conceptos.

Página.- v

4

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Análisis diferencial.

 Derivada de una función compuesta, Regla de la Cadena: y 

f

og 

 x

 f

 g x 

 y '  g '  x  f '  g  x  

 Dado que en el nuevo desarrollo curricular de la asignatura consta que se deben omitir las demostraciones formales, sobre todo las complejas, y la derivada de la función compuesta o de la composición de funciones, lo es, la omitimos. Llegado el caso de que ésta fuera necesaria se haría en clase. La derivada es y '  g '  x  f '  g  x  





 En el caso de tres funciones y   f o g o h   x   f g  h  x   , sería





y '  h '  x  g '  h  x   f ' g  h  x   .

 Es decir, vamos derivando sucesivamente, encadenando, todas las funciones que intervienen en la composición, de dentro a fuera.  Composición con el Neperiano de una función y  Ln  f  x    y ' 

f ' x  f  x

• Por definición de derivada y por las propiedades del neperiano  1  f  x  h   Ln  f  x  h    Ln  f  x      y '  lím  lím Ln  h 0 h 0    h  f  x    h 1  h     1     h     f  x  h  f  x    1     lím  Ln  1   lím  Ln  1     h 0 h 0    f x   f x               f  x  h  f  x         



 



f  x f  x  h  f  x 

  1 1  f  x  f  x  h  f  x  



 Ln  lím   h 0       

f  x  h  f  x 



      

h

1  f  x f ' x 

 Ln  e  f  x  

  Composición con la exponencial de una función y  ef  x   y '  f '  x  e f  x 

 Composición con el seno de una función y  sen  f

 x 

 y '  f '  x  cos  f

 x 

 Composición con el coseno de una función y  cos  f

 x 

 y '   f '  x  sen  f

 x 

 Composición con la tangente de una función y  tg  f  x    y '  f '  x   1  tg  x   2

Definiciones y conceptos.

Página.- vi

f ' x  f  x

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Análisis diferencial.

 Teoremas más importantes del cálculo diferencial. Dado lo comentado con anterioridad sobre el nuevo desarrollo curricular de la asignatura se omiten todo tipo de demostraciones formales. Sin embargo, y por consideración personal, creo conveniente el conocimiento de los mismos para, desde el punto de vista gráfico, poder observar la veracidad de los mismos.  Teorema de Weierstrass: toda función continua en un intervalo cerrado  a, b , alcanza, al menos una vez en el intervalo, su máximo o su mínimo absolutos.  Teorema de Bolzano: Si una función f  x  es continua en un intervalo  a, b y en los extremos del intervalo toma valores f  a  y f  b  de signos contrarios, existe al menos un punto c   a, b  , en el que f  c   0 .

 Teorema de Heine: Toda función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua en él.

 Teorema de Rolle: Si una función f  x  es continua en  a, b , derivable en

 a, b 

y toma valores iguales en los extremos del intervalo f  a   f  b  , existe

al menos un punto c   a, b  en el que f  c   0 .

 Teorema de Cauchy: Si las funciones f  x  y g  x  son continuas en  a, b , derivables en  a, b  , sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de  a, b  y g  a   g  b  , existe un punto t   a, b  , tal que f  b  f  a 

g  b  g  a 



f ' t 

g ' t 

 g '  t   f  b   f  a    f '  t   g  b   g  a  

 Teorema de Lagrange: haciendo g  x   x en el Teorema de Cauchy, y como g '  x   1 , nos queda entonces que f  b   f  a   f '  t   b  a  .(Ver Imp_1)

 Regla de l’Hopital: si f  x  y g  x  son funciones continuas en un entorno de x = a, derivables en dicho entorno (o en su entorno reducido) y tales que f  x f ' x   lím L f  a   g  a   0 , entonces lím x a x a g  x g ' x 

 Resumen de los aspectos más importantes. Definiciones y conceptos.

Página.- vii

Dpto. Didáctico de Matemáticas.

Análisis diferencial.

 OBS1.- Muy importante, la condición necesaria para que una función sea derivable en un punto es que ha de ser continua en dicho punto, pero esto no es condición suficiente, ya que, por ejemplo, la función f ( x )  x es continua en x = 0 y sin embargo no tiene derivada en dicho punto.  OBS2.- Si una función es derivable en un punto entonces es continua en dicho punto.  OBS3.- Para que una función sea derivable en un punto ha de ser continua en dicho punto y además han de existir las derivadas laterales de la función en dicho punto y ser iguales. f ( x )  f (a )   lím+  L1  d f ( x )  f (a )  x →a x a   f ( a )  f ( a )  lím   , ambos  x →a dx xa   lím f ( x )  f (a )  L 2  x →a − x  a finitos, y además L1 = L 2 = f ′(a )

 OBS4.- Si una función es derivable y estrictamente creciente en un intervalo   

    

I = ( a , b ) , entonces es continua en el mismo y su derivada es siempre positiva. OBS5.- Si una función es derivable y estrictamente decreciente en un intervalo I = ( a , b ) , entonces es continua en el mismo y su derivada es siempre negativa. OBS6.- Si una función posee un máximo o un mínimo relativos en un punto, entonces la derivada de la función en dicho punto es nula. OBS7.- Derivadas segundas de una función son la derivada de su derivada, es d ′ ( y′) = d  d y  decir: y′′ = ( y′) = dx dx  dx  OBS8.- La gráfica de una función es cóncava hacia arriba en aquellos intervalos en los que su segunda derivada sea positiva. OBS9.- La gráfica de una función es cóncava hacia abajo en aquellos intervalos en los que su segunda derivada sea negativa. OBS10.- Un punto es un máximo relativo de una función si el valor de la primera derivada de la función en dicho punto se anula, y el signo de la segunda derivada de la función en dicho punto es negativo. OBS11.- Un punto es un mínimo relativo de una función si el valor de la primera derivada de la función en dicho punto se anula, y el signo de la segunda derivada de la función en dicho punto es positivo. OBS12.- Un punto es de inflexión cuando la concavidad de la gráfica de la función cambia de sentido, y para ello la función ha de ser continua en dicho punto y la derivada segunda de la misma ha de ser nula.

 Álgebra de derivadas, resumen de las más importantes. Definiciones y conceptos.

Página.- viii

Dpto. Didáctico de Matemáticas.

Análisis diferencial.

Función

Definiciones y conceptos.

Derivada

Página.- ix

Dpto. Didáctico de Matemáticas.

Análisis diferencial.

y′ =

y = f ( x ) = k = cte. y = f (x) = x

y′ = n ⋅ x n −1 y′ = u′( x ) + v′( x ) y′ = u′( x ) ⋅ v( x ) + u ( x ) ⋅ v′( x ) y′ = k ⋅ u′( x )

y = xn y = u ( x ) + v( x ) y = u ( x ) ⋅ v( x ) y = k ⋅ u(x) y = un ( x) y= x =x

y′ = n ⋅ u′( x ) ⋅ u n −1 ( x )

1

2

y= x =x

1

1

2

1

y = u(x) = ( u(x))

1

n

1 x

1 1 y= n =  x x 1 y= u(x) u( x ) y= v( x ) y = u ( v( x ) ) = ( u  v )( x ) y = Ln ( x ) y = log a ( x ) y = Ln ( u(x)) y = log a ( u ( x ) ) y = ax



1

u ′( x )

−1 x2 n −1 −1  1  −n y′ = n ⋅ 2 ⋅   = n +1 x x x − u′( x ) y′ = 2 u (x) u′( x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) y′ = v2 (x) y′ = u′( v( x ) ) ⋅ v′( x ) 1 y′ = x 1 y′ = ⋅ log a e x u′( x ) y′ = u( x ) u′( x ) y′ = ⋅ log a e u( x ) y′ = a x ⋅ L n a

y = a u( x )

y′ = u′( x ) ⋅ a u ( x ) ⋅ L n a

y = ex

y′ = e x

y = eu(x) Función y = sen ( x )

y′ = u ′( x ) ⋅ e u ( x ) Derivada y′ = cos( x )

Definiciones y conceptos.



 −1  1 y′ = = ⋅ u′( x ) ⋅ u  n  n ⋅ n u n −1 ( x ) n

y′ =

n



1  −1 1 y′ = ⋅ x  n  = n n ⋅ n x n −1

n

n

y=

1

1  −1 y′ = = ⋅ x 2  2⋅ x 2 1 (1− 1 ) u′( x ) y′ = ⋅ u′( x ) ⋅ u 2 ( x ) = 2 2 ⋅ u(x) 1

y = u(x) = ( u(x)) n

d f (x) = 0 dx y′ = 1

Página.- x

Dpto. Didáctico de Matemáticas.

y = sen ( u ( x ) ) y = cos( x ) y = cos( u ( x ) ) y = tg ( x ) = y = tg ( u ( x ) ) =

sen ( x ) cos( x )

sen ( u ( x ) ) cos( u ( x ) )

Análisis diferencial.

y′ = u′( x ) ⋅ cos( u ( x ) ) y′ = −sen ( x ) y′ = − u′( x ) ⋅ sen ( u ( x ) )

cos 2 ( x ) + sen 2 ( x ) 1 = = 1 + tg 2 ( x ) 2 cos ( x ) cos 2 ( x ) u′( x ) y′ = = u ′( x ) ⋅ 1 + tg 2 ( u ( x ) ) 2 cos ( u ( x ) )

y′ =

(

)

Estas no son por ahora necesarias hasta no saber cómo es la derivación de la función implícita. Función y = f ( x ) ; x = ψ( y ) y = arcsen( x ) y = ar cos( x ) y = arctg( x ) y = arcsen( u ( x ) ) y = ar cos( u ( x ) ) y = arctg( u ( x ) )

Definiciones y conceptos.

Derivada d d y⋅ x =1 dx dy 1 y′ = 1 − x2 −1 y′ = 1 − x2 1 y′ = 1 + x2 u′( x ) y′ = 1 − u2 ( x) − u′( x ) y′ = 1 − u2 ( x) u′( x ) y′ = 1 + u2( x)

Página.- xi

Dpto. Didáctico de Matemáticas.

Análisis diferencial.

Funciones reales de variable real: Derivadas y estudio de la derivada.

Actividades de aplicación. P1.- Calcula, aplicando la definición, las siguientes derivadas: 2 a) f  x   x  3x  1 , en x = 2

b) f  x   x  1 , en x = 3

2 d) f  x   2x  1 , en cualquier puntoe) f  x   7x  6 , en x =1

f) f  x  

3 x

2

2 g) h  x   x  2x , en x = −1

, en x = 2

P2.- Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f  x  

x2

2x



3

5

x



x 1

2 d) g  x    x  1  2x  3

g) h  x   3 5x  2 j) g  x   e  x





v) g  x  

2



1

x

 3

ex Ln  x 

2

2x

ex

t) f  x  

2



 3x  4x 

w) f  x   3 x

1

2

x

3

x 5



r) h  x    x 4  3

u) g  x  

2

3

Ln  x 

x) h  x   x

x 1

3

x

1

2

x

3

4

P3.- Indica para qué puntos, y porqué, no son derivables las siguientes funciones: a) f  x   1  2x

b) g  x  

1 x2

2 c) h  x   Ln  1  x 

P4.- Indicar para qué valores de a y b son derivables las siguientes funciones: Actividades de aplicación.

Página.- i

5 x3

2Ln  x  m) f  x   e

x

 2x 3  3x 

q) g  x   Ln 

x2



1

2

0,005x i) f  x   3 e

l) g  x  

x

3

f) h  x    2  x 



3

4

2x

e) f  x  

5 2 4 o) g  x   Ln  2x  x   2x  3x 

 1 x 

3

3

k) h  x   x e 2x

2

p) f  x   Ln  f  x 

x

c) h  x  

2 3 b) g  x   3 x  5 x

h) g  x   x 2  x 5 3 x 4

2 n) h  x   Ln  x  1

s)

2



Dpto. Didáctico de Matemáticas.

 x 2  b si x  1 a) f  x     ax  1 si x  1  ax 2  1 si x  1  4x  b si x  1

c) f  x   

 e x  a si x  0

e) f  x   

2  bx  1 si x  0

Análisis diferencial.

 ax 2 si x  1 b) f  x     2x  b si x  1  x 3  2ax si x  1

d) f  x   

2  x  b si x  1

f)

3  2x + 2x + a si x < 1 f (x) =  2  si x ≥ 1 bx +1

3 2 P5.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función f  x   x  x  1 , en los puntos de abscisa x  1 y x  2 . 3 2 P6.- Halla la ecuación de la recta tangente a la función f  x   x  x  1 , que sea paralela: a) A la bisectriz del primer cuadrante. b) A la recta de ecuación y  5x  1

P7.- Halla la ecuación de la recta tangente a y  Ln  x  en x = 1. 2 P8.- ¿En qué punto la tangente a la gráfica de la función f  x   x  5x  6 es paralela a la bisectriz del segundo cuadrante?. 2 P9.- ¿En qué punto la tangente a la gráfica de la función f  x   x  x  20 es paralela al eje de abscisas?. ¿Qué nombre recibe ese punto de la función?.

P10.- Determina en qué punto de la gráfica de la función y  3  6x , la recta tangente forma un ángulo de 45o con el eje de abscisas. P11.- La temperatura de un refresco (en oC), h horas después de ser introducido en un 30h 2  15 T h  frigorífico, viene dada por   . Hallar: 8h 2  2h  1 a) Su temperatura cuando h = 0, h = 1 y h = 3. b) La tasa de variación media (TVA) de la temperatura entre h = 0 y h = 3. c) La tasa de variación instantánea cuando h = 0 y h = 3. P12.- El efecto de una anestesia t horas después de ser administrada viene dado por la 16  t 2 , con 0  y  4 . Hallar: expresión A  t   16 a) El cambio medio del efecto durante la primera hora. b) El cambio medio en el intervalo de tiempo  2, 2  h  . c) La variación del efecto en el instante t = 2. P13.- Una población de conejos se ajusta al número dado por la función 20000 f  x  , donde t viene dado en años desde el momento presente. 1  199 e 0,42t Actividades de aplicación.

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Dpto. Didáctico de Matemáticas.

Análisis diferencial.

a) ¿Cuántos conejos hay actualmente?. ¿Y dentro de diez años?. b) ¿A cuánto tiende su número?. c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento ahora y dentro de 10 años?. ¿Qué porcentaje de crecimiento representan dichas tasas?. P14.- Una población de 100.000 bacterias se introduce en un cultivo, siendo su número 5 2 al cabo de t horas de f  t   10  1  Ln  t  1 .





a) ¿Cuántas bacterias hay al cabo de cuatro horas?. ¿Cuál es su tasa de crecimiento en ese instante?. b) ¿En qué instante la velocidad de crecimiento es de 70.000 bacterias/hora?.

Actividades de aplicación.

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