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• Mar Her Camp

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LR : Lado Recto

Dados los puntos fijos F1 y F2 ( F1 ≠ F2 ) llamados focos separados una distancia "2c" y dando una constante "a" tal que a > c > 0 , entonces:

Ecuación de la Elipse con Eje Focal Paralelo al Eje "X" Y

a/e

L1

d(P,F1) + d(P,F 2) = 2a

B1

L

d(P,F1) d(P,F2) = =e d(P,L 1) d(P,L 2)

V1

F1

0 < e < 1

donde: e: excentricidad

P(

R

) x, y

V2

c

L2

b C B2

a

F2 V2

c

a

eje focal

X

F2

c b

F1

a

E:

V1 eje normal

c = a⋅ e

Elementos: C : Centro V1 y V2 : Vértices F1 y F2 : Focos L 1 y L 2 : Directrices L ' : Eje Focal

V1V2 : Eje Mayor

( x − h) 2 ( y − k) 2 + =1 a2 b2

Tener en cuenta que: C(h,k) V(h ± a,k) F(h ± c,k) B(h, k ± b)

L: x = h ± LR =

a e

2b2 a

B1B 2 : Eje Menor Quitarse los miedos, sacarlos afuera, pintarse la cara color esperanza, tentar al futuro con el corazón.

Ecuación de la Elipse con Eje Focal Paralelo al Eje "Y"

d)

recto

V1 ( 2,2 )

e=

a P ( x,y )

a) 18 d) 20

c b

( h,k )

X

E:

2

(y − k)

+

a2

2

(x − h) b2

=1

L : y = k±

b) 16 e) 10

a)

3 7

b)

3 5

d)

1 2

e)

2 5

a) 16 / 3 d) 5 / 4

c) 12

c)

3 4

b) 3 / 16 e) 20 / 3

halle

la

c) 4 / 5

5. Dada la elipse de ecuación

ε : 4x2 + 9y2 − 48x + 72y + 144 = 0 , Hallar su centro.

a e

a) ( 6;4 )

2b2 LR = a

d) ( 4;6)

PROBLEMAS PROPUESTOS

c)

b) ( −6;4 )

c) ( 6; − 4 )

e) ( −6; −4 )

6. Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos ( 4,0) y ( − 4,0) y cuyos focos son los puntos ( 3,0) y ( − 3,0)

1. El lado recto de la elipse. 2 2 16 ( x + 5 ) + 9 ( x − 3 ) = 144 resulta:

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

1 es: 3

excentricidad es 1/3, longitud del lado recto.

C(h,k) V(h,k ± a) F(h,k ± c) B(h ± b,k)

9 4

de la elipse de vértices ; V2 ( 2, −4 ) y excentricidad

4. Los vértices de una elipse son V1 ( 3;5) , V2 ( 3; − 1) , además su

Tener en cuenta que:

b)

4 9

3. Dada la ecuación de la Elipse: 25x2 + 16y2 = 400 , hallar su excentricidad.

c

2 9

e)

2. El triple de la longitud del lado

Y

a)

1 2

9 2

a) 7x2 + 16y2 − 174 = 0

8

315018

2 , centro en el 3 origen y cuyas directrices son y = ± 9

b) 7x2 + 16y2 − 224 = 0

excentricidad e =

c) 7x2 + 16y2 − 136 = 0 d) 7x2 + 16y2 − 126 = 0 e) 7x2 + 16y2 − 112 = 0 7. Dada la elipse de ecuación

ε : 9x

2

2

2

40

45

2

2

a) x + y = 1 c) x + y

2

+ 16y − 36x + 96y + 36 = 0

25

100

2

2

20

36

2

2

45

20

b) x + y = 1 d) x + y = 1

=1

Hallar la longitud del lado recto. a) 4,5 b) 4 c) 3 d) 3,5 e) 5,4

e) x + y = 1

8. Hallar la ecuación de la elipse

12. Hallar la ecuación de una elipse cuyos vértices son ( 6;− 8 ) y ( 6;14 ) y

cuyos focos son los puntos

( −2,0)

( 2,0)

y

2

2

2

2

2

2

a) 9x + 7y − 63 = 0

2

b) 9x + 8y − 72 = 0

c) 9x + 4y − 36 = 0 d) 9x2 + 3y2 − 27 = 0 e) 5x + 9y − 45 = 0

9. Hallar uno de los focos de la siguiente elipse. 16x2 + 25y2 − 45 = 0

a) ( 0,6)

b) ( 0,8 )

d) ( 1,5)

e) ( 3,0)

10. Las rectas

c) ( 1,7)

una elipse, cuyo eje menor tiene longitud 8. Hallar la ecuación de elipse. 2

2

32

16

2

2

2

2

4

16

c) x + y = 1 25 9

2

2

16

32

2

2

b) x + y = 1

20

a)

( x − 3) 2 + ( y − 5 ) 2 = 1

b)

( x − 1)

c)

( x − 6 ) 2 + ( y − 3) 2 = 1

d)

( x − 2)

e)

( x − 2)

55

121

2

+

66

2

y =1 55

55

121

+

( x − 1) 2 = 1

+

( y − 3) 2 = 1

2

55 2

121

11

55

14. Hallar la ecuación de la elipse que tiene vértices en ( 8,3) , ( −4,3) y un foco en ( 6,3) .

d) x + y = 1 9 25

e) x + y = 1

a) b)

11. Hallar la ecuación de la elipse con Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

60

13. La suma de las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse : 2 2 16x + 25y + 32x − 100y − 284 = 0, es: a) 15 b) 11 c) 14 d) 10 e) 18

x = ±8 son directrices de

a) x + y = 1

2

longitud de su lado recto es 10u .

y su excentricidad es 2 / 3 .

2

2

3

( x − 2) 2 36 2

+

( y − 3) 2 20

=1

2

x y + =1 36 20

315018

c)

( x + 2) 2

+

36

( y + 3) 2 20

18. Los vértices de una elipse son ( −13,0) y ( 13,0) uno de sus focos es ( 12,0) . Determinar la ecuación

=1

2

2 ( y − 3) d) x + =1

36

e)

de la elipse.

20

( x + 2) 2 36

2

2

y+ 3 + =1 20

a) x + y = 1 144 169 2

2

c) x + y = 1 25 169 2

2

c) 25

19. Calcular las coordenadas de los focos de la elipse: 9x2 + 25y2 = 900 a) ( 6,0) y ( − 6,0 )

elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje de las abscisas si se sabe que pasa por los puntos ( 4,3) y ( 6,2) .

b) ( 8,0 ) y ( − 8,0)

c) ( 10,0) y ( − 10,0)

b) 4x2 + y2 = 52

c) x2 + 4y2 = 52

d) ( 0,6) y ( 0, − 6 )

d) x2 − y2 = 52

e) ( 0,8 ) y ( 0, − 8 )

e) x2 − 4y2 = 52

20. Los focos de una elipse son F1 ( 0,4 ) y F2 ( 0, − 4 ) . Si uno de los vértices es ( 0,5) , determinar la excentricidad

17. La ecuación de la elipse con centro C = ( 1, − 1) , semieje menor horizontal y la longitud igual a 6 unidades, excentricidad 1/2 es: a) b) c) d) e)

( y + 1)

de la elipse. 5 3 a) b) 3 5 1 3 d) e) 2 4

2

( x − 1) 2 =1 48 36 ( y − 1) 2 ( x − 1) 2 + =1 36 36 2 2 ( x + 1) ( y − 1) + =1 48 36 ( x + 1) 2 ( y + 1) 2 + =1 48 36 ( y − 1) 2 ( x − 1) 2 + =1 48 16 +

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

2

2

e) x + y = 1 36 25

16. Determinar la ecuación de una

a) x2 + y2 = 52

2

2

16x + 25y + 32x − 100y − 284 = 0,

b) 20 e) 36

d)

y x + =1 36 169

15. La longitud del eje mayor de la elipse es: a) 16 d) 50

2

2

b) x + y = 1 169 25

c)

4 5

21. Determinar la longitud del lado recto 2

de

25x + 169y = 4225 169 72 a) b) 5 13

8

la

elipse:

2

c)

288 13

315018

d)

50 13

e)

26. Hallar la ecuación de la elipse si el eje focal es paralelo al eje X, cuyo centro está en el origen: si la longitud de los semiejes mayor y menor son 5 y 4 respectivamente.

25 13

22. Los vértices de una elipse son ( 2,0)

y ( − 2,0 ) y su excentricidad es 3/2 . Determinar la ecuación de la elipse. a) x2 + 4y2 = 4 b) 4x2 + y2 = 4 c) 4x2 + 9y2 = 36

2 2 a) x − y = 1

2 2 b) x + y = 1

2 2 c) x + y = 1 16 25

2 2 d) x − y = 1 16 25

25

16

25

16

2 2 e) ( x + 3 ) + ( y + 2 ) = 1

d) 2x2 + y2 = 4

36

e) x2 + 2y2 = 8

9

23. Los focos de una elipse son los 27. Hallar la ecuación de la elipse si el centro está en C(3,2) , uno de los puntos ( 0,15 ) y ( 0, − 15) . Si el punto 17    4 3,  2  

pertenece

a

la

(7,2) focos es y el correspondiente es (9,2) .

elipse,

2 2 a) ( x − 3 ) + ( y − 2 ) = 1

determinar la longitud del eje menor. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 24. Calcular las coordenadas de los focos de la siguiente elipse:

36

2 b) ( x + 3 ) + ( y + 2 ) = 1

36

2 c) ( x − 3 ) + ( y − 2 ) = 1

20

2 d) ( x − 3 ) + ( y − 2 ) = 1

20

•

15

36

2

2 e) ( x + 3 ) + ( y + 2 ) = 1

x

20

•

−9

28. Si

36

25x2 + 9y2 − 100x + 54y − 44 = 0 , es la

ecuación de una elipse, entonces la longitud del semieje mayor es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4

b) ( 9,0) y ( − 9,0 )

c) ( 10,0) y ( − 10,0) d) ( 11,0) y ( − 11,0) e) ( 12,0) y ( − 12,0)

29. Si:

25. Dada la ecuación de la elipse:

16x 2 + 25y2 + 32x − 100y − 284 = 0 , es

la ecuación de una elipse, calcular la suma de las longitudes del eje mayor y eje menor. a) 8 b) 9 c) 12 d) 5 e) 4

x2 + 3y2 − 4x + 6y − 20 = 0

la suma de sus coordenadas del centro de la elipse es: a) 3 b) –1 c) 2 d) 0 e) 1 Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

36

2

•

a) ( 8,0 ) y ( − 8,0)

20

2

9

•

20

2

y

− 15

vértice

5

315018

30. Hallar la longitud del lado recto de 2

a)

2

la elipse: 4x + 3y − 8x + 12y − 32 = 0 . a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 4

representa la ecuación de elipse, calcular c + e . a) 6 b) 7 c) 8

una

a) 8x2 + 9y2 − 64x − 18y + 65 = 0 b) 8x2 + 9y2 − 64x − 18y + 5 = 0 c) 8x2 + 9y2 − 64x − 18y + 6 = 0 d) 8x2 + 9y2 − 64x − 18y − 65 = 0 e) 8x2 + 9y2 − 64x − 18y = 0

37. Determinar la ecuación de la elipse con centro ( 3,1) , uno de sus vértices es ( 3, −2) y excentricidad

33. Dada la ecuación de la elipse:

1/3. a) 9x2 + 8y2 − 54x − 16y + 17 = 0

9x 2 + 4y2 + 54x + 16y − 47 = 0

el triple de la longitud de su lado recto es: a) 18 b) 16 c) 12 d) 9 e) 15 34. En la siguiente elipse de ecuación:

b) 9x2 − 8y2 − 54x − 16y + 17 = 0 c) 9x2 + 8y2 + 54x + 16y + 17 = 0 d) 8x2 + 9y2 − 54x − 16y + 17 = 0

2

− x + 6x − 4y + 16y = 21

e) 8x2 − 9y2 − 54x − 16y + 17 = 0

¿Cuál de las proposiciones dadas a continuación es verdadera? a) Su centro es (3,2) y eje mayor mide 4 b) Su centro es (2,3) y eje mayor mide 4 c) Su centro es (3,2) y eje mayor mide 2 d) Su centro es (2,3) y eje menor mide 2 e) Su centro es (3,2) y eje menor mide 4

38. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje “x”. Hallar el valor de a2 y b2 . Sabiendo que pasa por los puntos

(

b) 8 ; 4 e) 12 ; 4

c) 12 ; 16

39. La ecuación de la elipse de vértice ( ±6,0) y focos ( ±3,0) , es: 2

2

27

36

a) x + y = 1

2

x + 4y − 2x − 16y + 13 = 0

la longitud de su lado recto es: Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

6, − 1) y ( 2, 2 )

a) 10 ; 8 d) 8 ; 12

35. Dada la ecuación de la elipse: 2

1 3

ecuación de la elipse es:

32. La longitud del eje mayor de la elipse: 2 4x + 9y2 + 32x − 18y + 37 = 0 es: a) 6 b) 4 c) 9 d) 13 e) 5

2

e)

c) 1

36. Los vértices de una elipse son ( 7,1) ; ( 1,1) y su excentricidad es 1/3, la

8 e) 3

d) 5

b) 2

d) 3

4x2 + 9y2 − 30x + 18y = −9 ,

31. Si:

1 2

8

2

2

36

27

b) x − y = 1

315018

2

2

2

2

( y + 5) 2

d)

( x − 1) 2

e) x + y = 1

e)

( y + 1) 2 ( x + 1) 2

40. ¿Cuál

43. Uno de los extremos del eje menor

c) x + y = 1 6

d) x + y = 1

1

2

36

27

2

6

3

de las siguientes proposiciones es verdadera, si la ecuación de la elipse es x2 − 9 = − 3y2 ? a) Una directriz es y = − 4 b) Un foco está en ( 5,4 )

9

5

2

2

4

4

2

2

9

1

2

2

5

9

2

2

4

1

+

( y + 5)

c)

( x − 1) 2 64

( y + 5) 2 39

Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

2

b) 12 e) 9

c) 6

a) 16y2 + 25x2 − 160y − 150x + 18 = 0 b) 16y2 + 25x2 − 160x − 150y + 18 = 0 c) 16y2 + 25x2 + 160y + 150x + 18 = 0

=1

d) 16y2 + 25x2 + 160y + 150x − 18 = 0 e) 25x2 + 16y2 + 160y − 150x + 400 = 0

36

+

dada

longitud del eje menor es 8. La ecuación de la elipse es:

2 ( )2 b) ( y + 5) + x − 1 = 1

48

e) ( 0,8 )

c) ( 0,4 )

46. Los focos de una elipse son los puntos F1 = ( 3,8 ) y F2 = ( 3,2) y la

2

39

d) ( 1,0)

. a) 4 d) 20

d) x + y = 1

la cual la suma de las distancias de cualquier punto en la elipse a ( −4, −5) y ( 6, −5) es igual a 16. 48

b) ( 0, −4 )

45. Hallar el eje mayor de la elipse F1 = ( 5,0) cuyos focos son y ( ) F2 = − 5,0 y recta directriz L : x = 20

42. Hallar la ecuación de la elipse para

a)

a) ( 1,1)

por E :16x − 64x + 25y + 100y = 236 , dar la suma de todos los enteros de Dom( E ) I Ran ( E ) . a) 5 b) −3 c) −4 d) 3 e) –5

e) x + y = 1

( x + 1) 2

=1

2

b) x + y = 1

c) x + y = 1

6

elipse

su excentricidad es igual a 2/3. a) x + y = 1

+

44. Hallar el dominio y rango de la

41. Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos ( ±2,0) y 2

12

=1

64

de la elipse 4x2 + y2 = 4 , es:

c) Un vértice está en ( 3,0) d) El eje focal es y = 1 e) El centro es ( 0,3)

2

39

+

47. Hallar la ecuación de la elipse de vértice ( 7, − 2) ; ( −5, − 2) y pasa por ( 3,2)

=1

7

315018

y ( 2, − 4 ) y excentricidad 1/3 es:

a) x2 − 2y2 − 2x + 8y − 27 = 0 2

53. Hallar la ecuación de una elipse si

2

b) x + 2y − 2x + 8y − 27 = 0 2

su centro está en el origen de coordenada, la longitud del eje mayor es 16, los focos están sobre el eje “x” y la curva pasa por el punto ( 4,3)

2

c) x + y − x + 8y + 27 = 0 d) x2 + y + 2x − 8y + 27 = 0 e) x2 − 2y2 + 2x − 8y + 27 = 0

48. Si el centro de una elipse esta en el

54. Hallar la ecuación de la elipse

origen de coordenadas, la longitud del eje mayor es 16, los focos están sobre el eje “x” y la curva pasa por el punto ( 4,3) , la ecuación de la elipse es: 2

2

12

64

2

2

12

64

2

2

64

4

a) x + y = 1 c) x + y = 0

2

2

64

12

2

2

64

12

cuyos focos son los puntos ( ± 2,0 ) y su excentricidad es igual a 2/3.

55. Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje “x”. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos

b) x + y = 1

(

d) x + y = − 1

e) x + y = 1

56. Encontrar los focos de la elipse cuya ecuación es 9x2 + 25y2 = 225

49. Una represa de sección vertical semielíptica tiene una profundidad máxima de 40 m y un ancho de 100 m en la parte superior. ¿Qué profundidad tiene la represa a una distancia de 30 m de su centro? a) 28 m b) 30 m c) 32 m d) 34 m e) 36 m

57. Calcular la longitud del eje mayor de la elipse con centro en el origen, tal que el lado recto mide 32/17 y uno de los extremos del eje menor está en ( 4,0 )

58. La

ecuación de la elipse de V1 = ( 7,1) y V2 = ( 1,1) y e = 1/3 , es:

50. Hallar la excentricidad de la elipse cuya 2

6, − 1) y ( 2, 2 )

ecuación

es

59. Una elipse de eje mayor paralelo al

2

9x + 4y − 8y − 32 = 0

eje de la abscisa pasa por el punto ( 6,0) tiene sus vértices en la circunferencia 2 2 y es x + y − 8x + 4y − 5 = 0 concéntrica con ella. Hallar la ecuación de la elipse.

51. Los vértices de una elipse son ( 7,1) ; ( 1,1) y su excentricidad es 1/3. Hallar la ecuación de la elipse.

52. El triple de la longitud del lado recto de la elipse de vértices ( 2,2) Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

60. En la elipse 2x2 + y2 − 8x + 4y + 8 = 0 , 8

315018

determinar sus vértices.

69. El radio de la circunferencia: 2

2

x + y − 8x + 12y + 27 = 0

61. La ecuación de la elipse de focos Es igual al ancho focal de la parábola ( 2,1) y ( 2, −5) y longitud de eje y2 = − kx donde k > 0 , el valor de “k” menor 4 unidades, es:

es:

62. Hallar la ecuación de la recta directriz 2

de

la

70. Si: x ∈ [ −6,0] , hallar el rango de la

elipse

porción de parábola dada por la ecuación y = x2 + 6x .

2

E : 9x + 4y − 36x + 8y + 4 = 0

63. El centro de una elipse es el punto ( −2,3) y su eje mayor paralelo al eje “y”, es igual a 8, hallar su ecuación siendo su excentricidad 1/3.

64. La ecuación de la elipse con centro C = ( 1, − 1) , en semieje menor horizontal y de longitud igual a 6 unidades, excentricidad 1/2 es:

65. La ecuación estándar de la elipse que tiene las propiedades centro

( −2,3)

y ( 6,3) , unidades, es:

(

eje

siguientes 2,3) , focos menor

8

66. Hallar el dominio y rango de la relación que representa una elipse: R=

{ ( x,y ) ∈ R 2 / 16x2 + 9y2 − 64x + 18y − 71 = 0}

67. Hallar la longitud del lado recto de la elipse, cuyos vértices son ( 3,5) y ( 3, −1) , donde e=1/3. 68. La longitud del lado recto de una parábola con vértice en el origen de eje focal con el eje “x”, que pasa por el punto ( 2, − 4 ) es: Av. Collasuyo O – 17 (Detrás de la UNSAAC)

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315018