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• Kevin Aldair Pacheco Huaman

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SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS LA NOCIÓN CLÁSICA DEL POLINOMIO Un ejemplo sencillo : Situémonos en el conjunto R, que es del álgebra elemental, y denominemos “x” un número real cualquiera (lo cual, como recordamos, se escribe x  R). He aquí un ejemplo de cálculo susceptible de ser efectuado sobre los números como x. Supongamos que x designa una longitud indeterminada (medida en metros); entonces x2 designará la superficie de un cuadrado de lado x y x3 el volumen de un cubo de arista x. Imaginemos que una persona compra : Una curda cuya longitud equivale tres veces a la longitud de x, es decir 3x metros y cuyo precio es de 2 soles el metro; esta cuerda cuesta pues : 3x . 2 = 6x soles Un tablero de contrachapado de superficie 2x2 (en metros cuadrados), al precio de 12 soles el metro cuadrado; por lo tanto, este tablero cuesta 2x2 . 12 = 24x2 soles. Un tonel de vino de capacidad igual a x3 (en metros cúbicos), al precio de 2 soles el litro (de 2000 soles el metro cúbico, puesto que en un metro cúbico hay 1000 litros); cueste 2000x3 soles. Después de estas compras, le quedan 50 soles se pide expresar la suma que esta persona tenía inicialmente. Es perfectamente evidente que esta suma depende de x y que no se puede conocer, puesto que x es indeterminado; sin embargo puede expresarse en soles bajo la forma : 50 + 6x + 24x2 + 2000x3

(1)

Una expresión como (1) se denomina polinomio de una indeterminada (la indeterminada es x); se representa con frecuencia por P(x), que se lee “P de x” (P es la inicial de la palabra “polinomio”). Las compras de una segunda persona llevarían a establecer, por ejemplo, el polinomio : P1(x) = 30 + 2x - 15x2 + 50x3 2

El signo “-” delante de 15x significa una deuda equivalente a la suma de 15x2 soles. Para otra persona 2

podría tenerse : P2(x) = 15 – 2x + 2x , etcétera. Lo que distingue de los polinomio P, P1, P2, ……, no es la presencia de la indeterminada x a la potencia 1, a la potencia 2, etc., sino el conjunto de coeficientes : (50 , 6 , 24 , 2000) para el primer polinomio (30 , 2 , -15 , 50) para el segundo polinomio (15 , -2 , 3) para el tercer polinomio Para terminar, es posible realizar, por supuesto, operaciones con los polinomios como P + P1 o P . P1. Estas observaciones no llevarán a una definición algo más general de los polinomios. En lo que sigue, x definirá siempre la magnitud indeterminada sobre la que se calcula, y los coeficientes se indicarán mediante letras minúsculas como a, b, c, … o -para no agotar demasiado aprisa el alfabeto- mediante minúsculas afectadas por un índice, es decir, por un número entero (0, 1, 2, …). Escrito en caracteres pequeños en la parte inferior y a la derecha de una letra : a1 se lee “a uno” o “a índice 1”. La notación por medio de índices, que ya nos es familiar, atemoriza a veces a los no matemáticos. Sin embargo, no tiene nada de misterioso : simplemente es un medio cómodo de ordenar las letras del alfabeto.

www.RecursosDidacticos.org SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Y

3. Sumar : 3a y -2b

POLINOMIOS 





Cuando algún sumando es negativo, suele incluirse dentro de un paréntesis

La Suma o Adición : Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas : a y b. La suma de a y –b es a – b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas : ay – b. Carácter General de la Suma Algebraica : En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que equivale a una resta en Aritmética. Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor absoluto. Así, la suma de m y –n es m – n, que equivale a restar de m el valor absoluto de –n que es n. La suma de -2x y -3y es -2x – 3y, que equivale a restar de -2x el valor absoluto de -3y que es 3y.

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.

4.

Suma : 7a , -8b , -15a , 9b , -4c y 8 Tendremos : 7a + (-8b) + (-15a) + 9b + (-4c) + 8 7a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8 -8a + b – 4c + 8



La Resta o Sustración : Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. Si

de

a

(minuendo)

queremos

restar

b

(sustraendo), la diferencia será a – b. en efecto : a – b será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a, y en efecto : a – b + b = a. Regla General para Restar : Se escribe el minuendo

con

sus

propios

signos

y

a

continuación el sustraendo con los signos cambiados

y

se

reducen

los

términos

semejantes, si los hay. RESTA DE MONOMIOS Escribimos el minuendo -4 con su

Los escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a , 6b = +6b y 8c = +8c la suma será: 5a + 6b + 8c El orden de los sumandos no altera la suma. Así, 5a + 6b + 8c es lo mismo que 5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a. Esta es la Ley Conmutativa de la suma. 2. Sumar : 3a2b , 4ab2 , a2b , 7ab2 y 6b3 Tendremos : 2

3a – 2b

1. De -4 restar 7

1. Sumar : 5a, 6b y 8c

2

La suma será :

I.

SUMA DE MONOMIOS

2

3a + (-2b)



REGLA GENERAL PARA SUMAR

I.

para indicar la suma; así :

2

3

3a b + 4ab + a b + 7ab + 6b Reduciendo los términos semejantes, queda : 4a2b + 11ab2 + 6b3

propio

signo

y

a

continuación

el

sustraendo 7 con el signo cambiado y la resta será : -4 – 7 = -1 En efecto : -11 es la diferencia porque sumada con el sustraendo 7 reproduce el minuendo -4 : -11 + 7 = -4 2. Restar 4b de 2a Escribimos el minuendo 2a con su signo y a continuación el sustraendo 4b con el signo cambiado y la resta será : 2a – 4b

www.RecursosDidacticos.org En efecto : 2a – 4b es la diferencia,

al

sustraendo

porque sumada con el sustraendo 4b

continuación

reproduce el minuendo :

escribimos +4.

-4. del

Por

eso

minuendo

a 7

2a – 4b + 4b = 2a 5. De 7x3y4 restar -8x3y4 3. Restar 4a2b de -5a2b Escribo

el

minuendo

Tendremos : 2

-5a b

y

7x3y4 – (-8x3y4) = 7x3y4 + 8x3y4

a

2

= 15x3y4

continuación el sustraendo 4a b con el signo cambiado y tengo : -5a2b - 4a2b = -9a2b

6. De -

2

-9a b es la diferencia, porque sumada

Tendremos : 1 3 1 3 - ab – (- ab) = - ab + ab 2 4 2 4 1 = ab 4

con el sustraendo 4a2b reproduce el minuendo : -9a2b + 4a2b = -5a2b 4. De 7 restar -4 Cuando el sustraendo en negativo suele incluirse dentro de un paréntesis

1 3 ab restar - ab 2 4



Carácter General de la Resta Algebraica : En Aritmética

para indicar la operación, de este

la

resta

siempre

implica

disminución, mientras que la resta algebraica

modo distinguimos el signo – que indica

tiene un carácter más general, pues puede

la resta del signo – que señala el

significar disminución o aumento.

carácter negativo del sustraendo. Así :

Hay restas algebraicas, como las de los

7 – (-4) = 7 + 4 = 11

ejemplos 4 y 5 anteriores, en que la diferencia es mayor que el minuendo.

El signo – delante del paréntesis está

Los ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar

para indicar la resta y este signo no

una cantidad negativa equivale a sumar la

tiene más objeto que decirnos, de

misma cantidad positiva.

acuerdo con la regla general para restar, que debemos cambiar el signo

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1.

Si el polinomio es de 4º grado. Hallar “m” : P(x) =

2.

7 x1+m +

6 x2+m +

a) 0

b) 2

d) 3

e) 4

3.

monomios es correcta :

5 x3+m

c) 1

M(x, y) = ax2y3z5

b) az5 + bz

a) a + b 5

Indicar su coeficiente :

4

d) az – bz

5

e) az + bz

4

c) a – b

I.

3x2 + 2x2 + bx2 = 7x2 , b > 30

II.

7x2 + 2x2 + 5x3 = 14x3

III. 3x2 + 5x3 + 7x4 = 15x9

Sumar los siguientes monomios : N(x, y) = bx2y3z4

Indicar cuál de las siguientes sumas de

4.

a) Sólo I

b) Sólo II

d) I y III

e) Ninguna

Si

al 2 3

ax y

sumar 2 3

+ bx y a  b  7c A= 9

los

c) I y II

siguientes

monomios

2 3

resulta 2cx y . Indicar :

a) 1

b) 2

d) 3

e) 2c

c) c

www.RecursosDidacticos.org 5.

Se tiene : M(x) = 3x2 + 2x + 1

10. Si al polinomio : P(x) = 3x2y3 + 5xm+3y4 se le

N(x) = 7x2 + 2x + 3

resta 2x8y4 el grado disminuye. Indicar el

Se sabe que : 2M(x) + 3N(x) = ax2 + bx + c.

valor de “m”.

Indicar : a + b + c a) 10

b) 28

d) 48

e) 58

c) 38

a) 0

b) 1

d) 6

e) 5

c) 2

11. Se realizan las siguientes sumas de términos 6.

M=

2

x

ax3y2 + 7x3y2

pqr pqr

3x3y3

8x2 + mx2 + nx2

7.

semejantes : pxa + qxb + rxc = 5pqrxb. Indicar

Del grafico, relacionar A con B

2x3y3 + px3y3

ax3y2

A

B

a) 3

b) 5

d) 9

e) 6

c) 7

12. Hallar la expresión equivalente más simple de :

Indicar la suma de cada una de las siguientes

A=

3(x  7 y)  4(2x  5y)  6x 3(x  y)  4(x  3y)  2(x  2y)  6y

sumas de monomios : I.

2

2

2

3

2

3x y + 5xy + 7x y + 5x + 20xy + 3xy

2

a) x + y

b) x/y

d) 1

e) 1/5

c) x – y

2

+ 7x y II.

8ab + 7a2b + 22ab2 + 50ab + 3a2b + 4ab2 2

2

3

2

2

III. 3m + 3k + 5pm + 20m + 32k + 7mp + 8pm2 + 2m3 IV.

la

mxa +

+ 3ab 3

13. En

3p2y + 5px2 + 7p2y + 5x2p + 10px2 + 13p2y + 7x2p

siguiente

adición

de

m 4-a x = bxb-3. Indicar : 4

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

monomios

:

m a b2

c) 3

14. Indicar la suma de los siguientes monomios y 8.

Dados los polinomios : P(x) = 3x + 2

polinomios :

Q(x) = 5x + 3 Hallar : E=

9.

b.

b) 20

d) 40

e) 50

t2 = 5

los

términos

:

=

7

6 x2m-5

3 xm+3 , se sabe que : t1 + t2 =

Indicar el calor de 2m + 1 a) 15

b) 16

d) 18

e) 19

-7m2n + 4n3 , m3 + 6mn2 – n3 , -m3 + 7m2n + 5n3

c) 30

t1

x3 + xy2 + y3 , -5x2y + x3 – y3 , 2x3 – 4xy2 – 5y3

x

a) 10

Sean

a.

5P(x)  3Q(x)  19

,

3 pt2.

c.

x4 – x2 + x , x3 – 4x2 + 5 , 7x2 – 4x + 6

d.

a4 + a6 + 6, a5 – 3a3 + 8 , a3 – a2 – 14

e.

x5 + x – 9 , 3x4 – 7x2 + 6 , -3x3 – 4x + 5

f.

a3 + a , a2 + 5 , 7a2 + 4a , -8a2 – 6

g.

x4 – x2y2 , -5x3y + 6xy3 , -4xy3 + y4 , -4x2y2 – 6

c) 17

h.

xy + x2 , -7y2 + 4xy – x2 , 5y2 – x2 + 6xy , -6x2 – 4xy + y2

www.RecursosDidacticos.org i.

a3 – 8ax2 + x3 , 5a2x – 6ax2 – x3 , 3a3 –

3.

monomios es correcta :

5a2x – x3 , a3 + 14ax2 – x3 j.

-8a2m + 6am2 – m3 , a3 – 5am2 + m3 , -4a3 + 4a2m – 3am2 , 7a2m – 4am2 – 6

k.

x5 – x3y2 – xy4 , 2x4y + 3x2y3 – y5 , 3x3y2 – a5 + a6 + a2 , a4 + a3 + 6 , 3a2 + 5a - 8 , -a5 – 4a2 – 5a + 6

m. a4 – b4 , -a3b + a2b2 – ab3 , -3a4 + 5a3b – 4a2b2 , -4a3b + 3a2b2 - 3b4 n.

2

3

x

x-2

x-1

2

n + 6mn , -2m – 2m n + n o.

4.

m3 – n3 + 6m2n , -4m2n + 5mn2 + n3 , m3 – 3

a – 3a

, 5a

x-3

+ 6a

, 7a

x-4

+a

ax+2 – ax + ax+1 , -3ax+3 – ax-1 + ax-2 , -ax +

2 2 1 1 2 5 2 1 1 2 a + ab b , a ab + b , 3 5 2 6 10 6 -

5.

5 1 2 1 2 xy x + y 6 3 4

a3 -

d) I y II

e) Ninguna

c) Sólo III

Si al sumar los siguientes monomios mx2 + nx2

mnp p

a) 1

b) 2

d) p

e) 2p

c) 3

Se tiene : P(x) = 3x + 2

m+n

6. s.

b) Sólo II

Se sabe que : P(x) + 2Q(x)  mx + n. Hallar :

1 2 1 2 1 a + ab b 12 20 3

,

a) Sólo I

Q(x) = 5x + 3

5 2 2 2 3 1 1 2 1 2 x y + xy , - xy x + y 6 3 4 2 6 8

r.

ax3y2 + bx3y2 + cx3y2 = (a + b + c)x3y2

,a

4ax+3 – 5ax+2 , ax-1 – ax-2 + ax+2 q.

II.

x-1

– 13ax-3 p.

3x5 + 6x5 + 7x5 = 16x15

resulta px2. Calcular : E =

3 x-3

I.

III. mx2 + nx3 + px3 = (m + n + p)x8

4xy4 – y5 , x5 + 5xy4 + 2xy5 l.

Indicar cuál de las siguientes sumas de

1 5 2 3 2 ab2 + b3 , a b ab – 2b3 , 2 6 8

a) 1

b) 2

d) 20

e) 21

c) 10

En el siguiente grafico, relacionar las sumas de A con los resultados de B.

1 3 1 2 3 3 a – a b b 4 2 5

2xy

3mx2 + 5x2 5xy + mnxy

8x2y

ax2y + bx2y

7x2

A

B

TAREA DOMICILIARIA

1.

Si el polinomio es de 5º grado. Hallar “p” : P(x) =

3

3 x1+p +

6 x2+p +

a) 0

b) 2

d) 1

e) 4

7 x4+p

7.

Indicar la suma de cada una de las siguientes sumas de monomios.

c) 3

I.

21a2b II.

2.

3ab + 5a2b + 7ab + 3a2b + 4ab2 + 7ab2 +

7nm2

Sumar los siguientes monomios : M(x) = 3x3y3 III.

N(x) = 5x3y2

mn2 + mn + m2n + 3mn + 4mn2 + 5n2m + 4pq + 7p2q + 10pq2 + 8p3 + 33p2q + 16pq + 18p3

a) 8

b) 3y + 5y2

d) 5y3

e) 3y2

c) 3x3 + 5y2

IV.

3p2y + 22xy2 + 21xy + 3xy2 + 22p2y + 35xy

www.RecursosDidacticos.org 8.

Dados los polinomios : M(x) = 3x + 27

13. En

siguiente

adición

de

monomios

:

c a c 6-a x + x = bxb-2. Hallar : (a + b + c) 3 2

N(x) = 18x + 3 Hallar : E =

la

6M( x)  N( x) 3

a) 50

b) 51

d) 53

e) 54

c) 52

a) 14

b) 12

d) 20

e) 24

c) 10

14. Sumar : 9.

Sean los términos : t1 =

4 5

x5+n , t2 =

3 4

x12 se

a.

m,n

sabe que : t1 + t2  3t1. Indicar el valor de

b.

m . –n

n+1

c.

-3a , 4b

d.

5b , -6a

e.

7 , -6

f.

-6 , 9

g.

-2x , 3y

h.

3x + x3 , -4x2 + 5 , -x3 + 4x2 – 6

i.

x2 – 3xy + y2 , -2y2 + 3xy – x2 , x2 + 3xy –

a) 2

b) 4

d) 8

e) 10

c) 6

10. Si al polinomio : Q(x) = 5x2 + 7x3 + 8xm+5 se le resta 2x10

el grado absoluto disminuye.

Indicar el valor de : E = a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

m 1

y2 c) 2

11. Se realizan las siguientes sumas de términos semejantes : axm + bxn + cxp = 7abcxp. Indicar

abc E= abc

a2 – 3ab + b2 , -5ab + a2 – b2 , 8ab – b2 – 2a2

k.

-7x2 + 5x – 6 , 8x – 9 + 4x2 , -7x + 14 – x2

l.

a3 – 4a + 5 , a3 – 2a2 + 6 , a2 – 7a + 4

m. –x2 + x – 6 , x3 – 7x2 + 5 , -x3 + 8x – 5 n.

a3 – b3 ,5a2b – 4ab2 , a3 – 7ab2 – b3

o.

1 2 1 1 1 2 x + xy , xy + y 2 3 2 4

a) 2

b) 4

d) 7

e) 9

p.

a2 +

1 1 1 2 1 1 2 ab , - ab + b , - ab b 2 4 2 4 5

12. Hallar la expresión equivalente más simple de :

q.

x2 +

2 1 5 2 2 xy , - xy + y2 , - xy + y 3 6 6 3

E=

c) 6

j.

4(x 2  y 2 )  3(x 2  y 2 )  (x 2  7 y 2 ) 4 x 2  5xy  7 x 2  6xy  3x 2

a) 2y/x

b) 2

d) 3x/y

e) 2x/y

c) 1

r.

3 2 1 2 2 1 2 1 1 2 x y , - xy + y , xy + y 4 2 5 6 10 3