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APUNTES DE AEROELASTICIDAD Ing. Miguel A Bavaro Revisión: 0 04/2009

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AEROELASTICIDAD 1) Introducción. Definiciones. 2) Sistemas de un grado de libertad. Vibraciones libres con y sin amortiguamiento. Respuesta de sistemas simples. Diagramas de Bode. 3) Vibraciones de sistemas con múltiples grados de libertad. Modelos matemáticos. Coordenadas generalizadas. Principio de Hamilton. Ecuaciones de Lagrange. Acoplamiento. Sistemas Autoexcitados. 4) Vibraciones de alas. Flexión y torsión. Modelos discretos y continuos. 5) Problemas aeroelastoestáticos. Divergencia Torsional. Modelo discreto. Modelo continuo. Divergencia de alas en flecha. Inversión de comandos 6) Aeroelastodinámica. Flütter y Buffeting. Definición y clasificación. Métodos de análisis: analíticos y experimentales. 7) Introducción a la Aerodinámica No estacionaria. 8) Flütter binario flexión-torsión. Modelos bidimensionales. 9) Flütter con las superficies de comando. Métodos aproximados para la estimación de la velocidad de Flütter. Balanceo de las superficies de comando y prevención del Flütter.

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Tema N°1: Introducción a la Aeroelasticidad Aeroelasticidad: Disciplina que estudia los fenómenos de interacción entre las cargas aerodinámicas y las deformaciones inducidas por estas en la estructura de las aeronaves y sus mecanismos de comando. Una consecuencia directa de esta deformación es que la propiedad más importante para prevenir los fenómenos aeroelásticos es la rigidez estructural. Otra característica distintiva de los fenómenos aeroelásticos es que dado que las cargas son aerodinámicas (o sea dependen de la velocidad del aire) no pueden ser eliminados, pues siempre habrá una velocidad a la cual se producirán dichos efectos; lo que se busca es que esta velocidad sea mayor que la velocidad máxima de la aeronave. Las normas aeronáuticas prescriben la relación mínima que debe existir entre la velocidad de aparición de los distintos fenómenos y la velocidad del avión. Se puede definir a la Aeroelasticidad como una conjunción de tres disciplinas: DINAMICA (FUERZAS DE INERCIA)

MECANICA DE LOS FLUIDOS (FUERZAS AERODINAMICAS)

MECANICA DEL SOLIDO (FUERZAS ELASTICAS)

La Aeroelasticidad concierne a aquellos fenómenos físicos que involucran una significativa INTERACCION entre las fuerzas de INERCIA, ELASTICAS y AERODINAMICAS. Como tal los problemas aeroelásticos pertenecen a la categoría de los denominados PROBLEMAS de INTERACCION, los cuales por su naturaleza NO ADMITEN un tratamiento SECUENCIAL para su resolución, a diferencia de otros problemas, por ejemplo los TERMOMECANICOS. Adicionalmente se pueden definir otras disciplinas tomando las antes mencionadas de a pares: MECANICA DEL VUELO = DINAMICA + AERODINAMICA DINAMICA ESTRUCTURAL = DINAMICA + MECANICA DEL SOLIDO AEROELASTOESTATICA = MECANICA FLUIDOS + MECANICA SOLIDOS Conceptualmente, cada una de estas disciplinas puede pensarse como un aspecto especial de la AEROELASTICIDAD.

3

Clasificación de los fenómenos aeroelásticos.

Divergencia 1) Fenómenos aeroelastoestáticos: Inversión de comandos

Flütter 2) Fenómenos aeroelastodinámicos: Buffeting

Por razones históricas, en general sólo se consideran los fenómenos aeroelastoestáticos (Divergencia e Inversión de Comandos). Sin embargo, el impacto de la Aeroelasticidad sobre la Mecánica del Vuelo se ha incrementado sustancialmente en los últimos años, por ejemplo: a)

b)

Las tensiones inducidas por las altas temperaturas originadas en los vuelos supersónicos e hipersónicos pueden ser importantes en los problemas aeroelásticos, en estos casos se aplica el término AEROTERMOELASTICIDAD. En otras aplicaciones, la Dinámica de los Sistemas de Control y Guiado puede afectar significativamente a los problemas aeroelásticos y viceversa, originando el término AEROSERVOELASTICIDAD.

Mientras que la Aeroelasticidad es un disciplina de origen netamente aeronáutico, cada vez son más las aplicaciones de esta disciplina en otras áreas de la ingeniería, como por ejemplo: Flujo de aire en puentes, chimeneas y edificios muy altos, Flujo en turbomáquinas y cañerías, Flujo en intercambiadores de calor y elementos combustibles de centrales nucleares, etc. Se puede pensar que en la medida que se utilicen estructuras cada vez más livianas y condiciones de flujo más severas, mayor será el riesgo de encontrarse con un problema aeroelástico.

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Definiciones: Vibración: Se dice que un cuerpo vibra cuando ejecuta un movimiento periódico alrededor de una posición de equilibrio. Movimiento periódico: Es un movimiento que se repite cada cierto intervalo de tiempo llamado: Período x

t T = período

Movimiento armónico simple: Es un movimiento que sigue una función senoidal o cosenoidal. x C t

x = A sen ωt + B cos ωt = C sen (ωt + ϕ) Donde: ω = Frecuencia angular. C = Amplitud del movimiento. ϕ = Desfasaje inicial. Vibración libre: Es el movimiento periódico que describe un sistema elástico cuando es apartado de su posición de equilibrio y liberado. Vibración forzada: Es la vibración que resulta de la aplicación de una fuerza externa periódica. Régimen transitorio: Es el movimiento que describe un sistema durante el tiempo requerido para adaptarse de un sistema de fuerzas a otro. Régimen estacionario: Es el movimiento que describe un sistema una vez finalizado el régimen transitorio. Frecuencia natural: Es la frecuencia de la vibración libre de un sistema elástico.

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Resonancia: Cuando sobre un sistema actúa una fuerza exterior periódica cuya frecuencia coincide o es cercana a una frecuencia natural del sistema, la amplitud del movimiento se incrementa; en este caso se dice que existe un estado de resonancia. Divergencia: Inestabilidad torsional estática del ala de un avión debida a las fuerzas aerodinámicas. Inversión de comandos: Inestabilidad torsional estática de un componente con superficie de comando, que anula o invierte el efecto de dicha superficie de comando. Flütter: El Flütter es un movimiento o vibración inestable y divergente causado por las fuerzas aerodinámicas. Buffeting: Vibración forzada de una parte del avión causada por la estela generada en otro componente de la aeronave. Flütter binario: Flütter que involucra dos modos simples de vibración en forma simultánea. Flütter ternario: Flütter que involucra simultáneamente tres modos simples de vibración.

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Tema N°2: Vibraciones de sistemas de un grado de libertad u(t)

K P(t) C

M

Mu + Cu + Ku = P ( t )

Vibraciones libres: P(t) = 0 a) Sin amortiguamiento: C = 0

Mu + Ku = 0 ⇒ u + Denominando: ωn2 =

K u=0 M

K resulta: M u ( t ) = A1 sen (ωn t ) + A2 cos (ωn t )

K es la frecuencia natural del sistema. M Las constantes A1 y A2 se obtienen a partir de las condiciones iniciales.

Donde ωn =

b) Con amortiguamiento: C≠ 0

Mu + Cu + Ku = 0 ⇒ u +

C K C u + u = 0 ⇒ u + u + ωn2 u = 0 M M M

Planteamos como solución: u ( t ) = Aeλt , reemplazando resulta:

C C ⎛ 2 ⎞ + ωn2 ⎟ A eλt = 0 ⇒ λ 2 + λ + ωn2 = 0 ⎜λ + λ M M ⎝ ⎠

λ1,2 = −

C C2 ± − ωn2 2 2M 4M

7

La forma de la solución depende del valor del discriminante: Δ=

C2 − ωn2 2 4M

Al valor del amortiguamiento C que hace el discriminante igual a 0 se denomina amortiguamiento crítico (Ccr). Δ=

Ccr2 − ωn2 = 0 ⇒ Ccr2 = 4 M 2ωn2 2 4M

⇒ Ccr = 2M ωn

Denominando amortiguamiento reducido (ζ) a la relación entre el amortiguamiento y el amortiguamiento crítico, resulta:

ζ =

C C = Ccr 2 M ωn

⇒

C = ζωn 2M

λ1,2 = −ζωn ± ζ 2ωn2 − ωn2 = −ζωn ± ωn ζ 2 − 1 Para C > Ccr (ζ >1), las raíces λ1,2 son reales, distintas y negativas:

(

λ1 = −ωn ζ − ζ 2 − 1

)

(

y λ2 = −ωn ζ + ζ 2 − 1

)

En consecuencia se obtiene: u ( t ) = A1 eλ1t + A2 eλ2t

Este es un movimiento no armónico denominado sobreamortiguado. Para C = Ccr (ζ = 1), tendremos una raíz doble, real y negativa λ1,2 = −ωn y la solución resulta: u ( t ) = A1 e −ωnt + A2 t e −ωnt

obteniéndose también un movimiento no armónico. Para C < Ccr (ζ < 1), las raíces λ1,2 son complejas conjugadas, resultando un movimiento armónico amortiguado:

λ1 = −ωnζ − iωn 1 − ζ 2

y λ2 = −ωnζ + iωn 1 − ζ 2

Definiendo como frecuencia propia: ωd = ω n 1 − ζ 2 se obtiene la siguiente expresión para el desplazamiento:

u ( t ) = e−ζωnt ⎡⎣ A1 sen (ωd t ) + A2 cos (ωd t ) ⎤⎦ 8

u

ζ>1

ζ= 1

t

ζ ωni ∀ i

18

Modelo traslación-rotación:

K1

K2

L1

L2

u θ CG

M, Ip

Considerando los grados de libertad u y θ tendremos:

M 2 Ip 2 u + θ 2 2 K K 2 2 Energía Potencial Total: π * = 1 ( u + L1θ ) + 2 ( u − L2θ ) 2 2 T=

Energía cinética:

Ecuaciones de Lagrange: ⎧ d ⎡ ∂ (T − π * ) ⎪− ⎢ ∂u ⎪⎪ dt ⎣⎢ ⎨ * ⎪ d ⎡ ∂ (T − π ) ⎪− ⎢ ⎪⎩ dt ⎢⎣ ∂θ

⎤ ∂ (T − π * ) ⎥+ = 0 ⇒ − Mu − K1 ( u + L1θ ) − K 2 ( u − L2θ ) = 0 ∂u ⎥⎦

⎤ ∂ (T − π * ) ⎥+ = 0 ⇒ − I pθ − K1 ( L1u + L12θ ) − K 2 ( L22θ − L2u ) = 0 ∂θ ⎥⎦

En forma matricial: ⎡M ⎢0 ⎣

0 ⎤ ⎧ u ⎫ ⎡ K1 + K 2 ⎨ ⎬+ I p ⎥⎦ ⎩θ ⎭ ⎣⎢ L1 K1 − L2 K 2

L1 K1 − L2 K 2 ⎤ ⎧u ⎫ ⎧0 ⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ L12 K1 + L22 K 2 ⎦⎥ ⎩θ ⎭ ⎩0 ⎭

Si definimos:

K = K1 + K2 ⇒ constante lineal equivalente K C = L12 K1 + L22 K 2 ⇒ constante de torsión equivalente KA = L2 K2 – L1 K1 ⇒ constante de acoplamiento 19

Obtenemos la expresión: ⎡M ⎢0 ⎣

0 ⎤ ⎧u ⎫ ⎡ K ⎨ ⎬+ I p ⎥⎦ ⎩θ ⎭ ⎢⎣ − K A

− K A ⎤ ⎧ u ⎫ ⎧0 ⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ K C ⎥⎦ ⎩θ ⎭ ⎩0 ⎭

Cuando L2 K2 = L1 K1 la constante de acoplamiento es 0 y el sistema vibra en un modo traslacional y otro rotacional en forma desacoplada, resultando:

ωnu =

K M

ωnθ =

KC Ip

Vemos que en este caso, a diferencia del anterior, podemos desacoplar ambos modos de vibración, con las ventajas que esto implica si recordamos que el acoplamiento provoca una disminución de la primer frecuencia natural del sistema. Sistemas autoexcitados El estudio del flütter se puede comprender más fácilmente si tenemos en cuenta que este fenómeno pertenece a la clase de oscilaciones cuya característica es que son autoexcitadas. Si consideramos un sistema mecánico de un grado de libertad, con una carga forzante: Mu + Cu + Ku = F Resulta evidente que la naturaleza de la función forzante F juega un rol clave en la determinación del tipo de movimiento del sistema. Anteriormente vimos el caso en que F era una función armónica simple. El movimiento del sistema bajo este tipo de fuerza es independiente del desplazamiento u y sus derivadas. Si ahora consideramos el caso: F = F0 u Con lo cual la ecuación diferencial resulta:

Mu + Cu + ( K − F0 ) u = 0 ⇒ u (t ) = A eλt ⎡⎣ λ 2 M + λ C + ( K − F0 ) ⎤⎦ A eλt = 0

λ1,2 = −

C 2 − 4 M ( K − F0 ) C ± 2M 2M

Se obtendrá un movimiento oscilatorio amortiguado si se cumple: C2 C 2 − 4M ( K − F0 ) < 0 ⇒ K − > F0 4M El amortiguamiento crítico se obtendrá para: C2 K− = F0 4M 20

Sin embargo si:

K−

C2 < F0 4M

Se obtiene un movimiento no oscilatorio pero divergente, de hecho si sólo se cumple K < F0, la solución es divergente pues e se eleva a una potencia positiva. Estudiaremos el caso en que F = F0 ü

( M − F0 ) u + Cu + Ku = 0 ⇒ u (t ) = A eλt ⎡⎣ λ 2 ( M − F0 ) + λ C + K ⎤⎦ A eλt = 0 C 2 − 4 ( M − F0 ) K C λ1,2 = − ± 2 ( M − F0 ) 2 ( M − F0 ) Soluciones amortiguadas y estables son posibles para M > F0 y éstas serán oscilatorias en el caso que:

C2 C − 4 ( M − F0 ) K < 0 ⇒ M − > F0 4K 2

Si M ≤ F0 obtendremos nuevamente soluciones divergentes pero no armónicas. Hemos visto que es posible obtener movimientos inestables o divergentes (aunque no oscilatorios) en sistemas de un grado de libertad en función del valor de F0 cuando la fuerza F es proporcional al desplazamiento o la aceleración. Consideremos ahora el caso más interesante que es cuando F es proporcional a la velocidad: F = F0 u

Mu + ( C − F0 ) u + Ku = 0 ⇒ u (t ) = A eλt ⎡⎣ λ 2 M + λ ( C − F0 ) + K ⎤⎦ A eλt = 0

( C − F0 ) ± ( C − F0 ) λ1,2 = − 2M

2

− 4 MK

2M

Aquí para (C−F0) > 0 se obtendrán las soluciones vistas. Pero bajo la condición (C−F0) < 0 existirá el efecto de un término de amortiguamiento negativo, el cual puede interpretarse físicamente como una entrada de energía al sistema. Todos estos casos se denominan autoexcitados. Una característica de estos sistemas, que en general los hace de muy difícil manejo matemático, es que la naturaleza de la función forzante es poco clara y compleja. Muchas veces las funciones de fuerzas presentes se obtienen a partir de complejas interacciones entre cantidades sujetas simultáneamente a diversas leyes físicas.

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Tema N°4: Vibraciones de vigas. Flexión y torsión El estudio de las vibraciones de las vigas reviste particular importancia si tenemos en cuenta que los componentes más importantes del avión se pueden suponer como vigas (alas, fuselaje, empenaje). En este caso estudiaremos el cálculo de las frecuencias y modos naturales de vibración de las vigas en flexión y torsión. Vibraciones en flexión. Plantearemos 2 métodos para calcular las frecuencias y modos naturales: a) Ecuación diferencial b) Método de Rayleigh-Ritz. a) Ecuación diferencial: Despreciando la deformación por corte (hipótesis de Navier) y la inercia rotatoria, la ecuación de la elástica para una viga referida a los ejes aerodinámicos de un avión resulta: z

q(y,t)

∂2w ρ A( y ) 2 ∂t dy y ∂2 ∂y 2

⎡ ∂2w ⎤ E I y = qT ( y, t ) ( ) ⎢ ∂y 2 ⎥⎦ ⎣

(11)

Donde la carga distribuida qT incluye la carga exterior y la fuerza de inercia, o sea:

∂2w qT ( y, t ) = q( y, t ) − ρ A( y ) 2 ∂t Reemplazando en la ecuación (11) obtenemos la ecuación de movimiento de la viga: ∂2 ⎡ ∂2w ⎤ ∂2w ⎢ E I ( y ) 2 ⎥ + ρ A( y ) 2 = q ( y, t ) ∂y 2 ⎣ ∂y ⎦ ∂t

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(12)

Para completar la solución deberemos plantear 2 condiciones iniciales: w( y, 0) = w0 ( y )

w( y, 0) = w( y ) Además de las 4 condiciones de contorno correspondientes a la ecuación de la elástica. Suponiendo una viga de sección constante (I(y) = I , A(y) = A), la ecuación diferencial (12) resulta: EI wIV + ρ A w = q ( y, t )

Para obtener las frecuencias y modos debemos resolver la ecuación homogénea: EI wIV + ρ A w = 0 Planteamos una solución por el método de separación de variables:

w( y, t ) = φ ( y ) Y (t ) Reemplazando:

EI φ IV ( y ) Y (t ) + ρ Aφ ( y ) Y (t ) = 0 Dividiendo ambos miembros por EI w(y,t) tendremos:

φ ( y ) ρ A Y (t ) φ ( y) ρ A Y (t ) + =0 ⇒ =− = cte φ ( y ) EI Y (t ) φ ( y) EI Y (t ) IV

IV

Si a esta constante la denominamos “a4”, resultan dos ecuaciones en derivadas totales: ⎧φ IV ( y ) − a 4φ ( y ) = 0 ⎪ ⎨ 4 EI 2 4 EI ⎪Y (t ) + a ρ A Y (t ) = 0 ⇒ ωn = a ρ A ⎩ Cuyas soluciones son: ⎧φ ( y ) = C1 sen(ay ) + C2 cos(ay ) + C3 senh(ay ) + C4 cosh(ay ) ⎨ ⎩Y (t ) = C5 sen(ωn t ) + C6 cos(ωn t )

Si combinamos las diferentes condiciones de contorno: ⎧ w′′( y0 , t ) = 0 ⎨ ⎩ w′′′( y0 , t ) = 0 ⎧ w( y0 , t ) = 0 b) Extremo articulado: ⎨ ⎩ w′′( y0 , t ) = 0

a) Extremo libre:

23

⎧ w( y0 , t ) = 0 c) Extremo empotrado: ⎨ ⎩ w′( y0 , t ) = 0

Encontraremos las frecuencias y modos naturales para los siguientes casos: 1) Viga no vinculada. 2) Viga articulada - libre. 3) Viga empotrada - libre. 4) Viga biarticulada. 5) Viga empotrada-articulada. 6) Viga biempotrada. La fórmula general para la frecuencia natural es:

ωn =

Kω L2

EI ρA

Como ejemplo vamos a calcular las frecuencias y modos de una viga biarticulada:

E, I, ρ, A

z w(y,t)

y L

Condiciones de contorno:

⎧ w(0, t ) = 0 ⎨ ⎩ w′′(0, t ) = 0

⎧ w( L, t ) = 0 ⎨ ⎩ w′′( L, t ) = 0

φ ( y ) = C1 sen(ay ) + C2 cos(ay ) + C3 senh(ay ) + C4 cosh(ay ) φ ′( y ) = a C1cos(ay ) − a C2sen(ay ) + a C3 cosh(ay ) + a C4senh(ay ) φ ′′( y ) = −a 2C1sen(ay ) − a 2C2cos(ay ) + a 2C3 senh(ay ) + a 2C4 cosh(ay ) w(0, t ) = 0 ⇒ φ (0) = 0 ⇒ C2 + C4 = 0 ⎫ ⎬ C 2 = C4 = 0 w′′(0, t ) = 0 ⇒ φ ′′(0) = 0 ⇒ − C2 + C4 = 0 ⎭ w( L, t ) = 0 ⇒ φ ( L) = 0 ⇒ C1 sen(aL) + C3 senh(aL) = 0 ⎫ ⎧2C3 senh(aL) = 0 ⇒ C3 = 0 ⎬⇒ ⎨ w′′( L, t ) = 0 ⇒ φ ′′( L) = 0 ⇒ − C1 sen(aL) + C3 senh(aL) = 0 ⎭ ⎩ 2C1 sen(aL) = 0 ⇒ C1 ≠ 0 sen(aL) = 0 ⇒ a L = n π

⇒ a=

24

nπ L

En consecuencia los modos y frecuencias resultan:

⎛ nπ y ⎞ ⎟ ⎝ L ⎠

φn ( y ) = sen ⎜

ωn =

n 2π 2 L2

EI ρA

b) Método de Rayleigh-Ritz: Para aplicar este método aproximado se utilizan las ecuaciones de Lagrange que ya hemos derivado del Principio de Hamilton. Los desplazamientos de la viga se aproximan con la expresión: n

w( y, t ) = ∑ ci (t )ψ i ( y ) i =1

Donde:

ci(t) : Amplitudes función del tiempo (grados de libertad generalizados) ψi(y) : Funciones de forma que deben cumplir con las condiciones esenciales de contorno Planteamos las expresiones de la energía cinética y la energía de deformación para la viga de Navier:

1 L 2 ρ A [ w( y, t ) ] dy ∫ 0 2 1 L 2 U = ∫ EI [ w′′( y, t ) ] dy 0 2 T=

Dado que se trata de un problema de vibraciones libres no existen cargas exteriores, en consecuencia las ecuaciones de Lagrange resultan: d ⎛ ∂T ⎜ dt ⎝ ∂ci

⎞ ∂U =0 ⎟+ ⎠ ∂ci

Ejemplo: Viga biarticulada Planteamos como aproximación una función polinómica que satisfaga las condiciones esenciales de contorno:

⎧ w(0, t ) = 0 w( y, t ) = c1 y ( L − y ) ⇒ ⎨ ⎩ w( L, t ) = 0 Calculamos las energías cinética y de deformación:

25

L

3 2 ρ Ac12 L5 1 L 1 y 4 L y5 ⎤ 2 2 ⎡y L T = ∫ ρ A [ c1 y ( L − y ) ] dy = ρ Ac1 ⎢ − + ⎥ = 2 0 2 2 5 ⎦0 60 ⎣ 3 1 L 2 U = ∫ EI [ −2c1 ] dy = 2c12 E I L 2 0

La ecuación de Lagrange resulta: d ⎛ ∂T ⎞ ∂U ρ AL5 120 EI c1 + 4 EILc1 = 0 ⇒ c1 + 4 c1 = 0 = ⎜ ⎟+ dt ⎝ ∂c1 ⎠ ∂c1 L ρA 30

De esta ecuación diferencial podemos obtener la frecuencia natural:

ω2 =

120 EI 120 ⇒ ω= 2 4 L ρA L

EI ρA

Comparando con la solución exacta vemos que con esta función tal simple, sólo se comete un error del 11%. Este método es muy útil en caso de vigas de sección y masa variable o cuando existen apoyos elásticos.

Vibraciones torsionales: a) Ecuación diferencial: Por simplicidad planteamos el caso de una viga de sección circular de material homogéneo, isótropo, elástico y lineal.

z

Ir(y,t) T+

T

∂T dy ∂y y

θ

Mt(y,t)

x dy La inercia rotatoria Ir(y,t) vale:

26

I r ( y, t ) = I m ( y )

∂ 2θ ∂t 2

El momento de inercia polar másico por unidad de longitud se puede expresar como: Im(y) = ρ Ip(y), donde Ip(y) es el momento de inercia polar de la sección. Planteando el equilibrio de momentos respecto del eje y obtenemos: ∂T ∂ 2θ + dy − ρ M = 0 ⇒ − T + T I ( y ) dy + M t ( y, t ) dy = 0 ∑ y p ∂y ∂t 2 ∂T ∂ 2θ = ρ I p ( y ) 2 − M t ( y, t ) ∂y ∂t

(13)

Para conocer la relación que vincula el esfuerzo de torsión T con el ángulo θ, planteamos las hipótesis de Navier:

z

dy S γ

r y dθ

x S = γ dy = r dθ

⇒ γ =r

∂θ ∂y

∂θ ∂y ∂θ 2 ∂θ T = ∫ τ r dA = G r dA = G I p ( y ) ∫ ∂y Ω ∂y Ω

τ = Gγ = G r

Reemplazando en la expresión (13) obtenemos:

∂T ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ 2θ = ⎢GI p ( y ) ⎥ = ρ I p ( y ) 2 − M t ( y, t ) ∂y ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂t ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ 2θ ρ GI ( y ) I ( y ) − = − M t ( y, t ) p p ∂y ⎢⎣ ∂y ⎥⎦ ∂t 2

(14)

La expresión (14) es la ecuación de movimiento de torsión para una viga de sección circular. Para el caso más general en que la sección de la viga no es circular o tubular, la hipótesis de Navier de secciones planas luego de la

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deformación no se cumple, ya que éstas se alabean. La solución del problema de torsión para secciones no circulares se debe a Saint-Venant y conduce a una ecuación análoga, con la salvedad que en la energía de deformación debe cambiarse el momento de inercia polar (Ip) por el parámetro J, que depende de la forma de la sección, y que para secciones circulares coincide con Ip. Veamos algunos ejemplos de este parámetro J: Secciones rectangulares esbeltas:

b

1 J = b t3 3 t Secciones abiertas de paredes delgadas:

J=

1 n bi ti3 ∑ 3 i =1

bi ti

Secciones cerradas de paredes delgadas:

J=

4 Am2 n bi ∑ i =1 ti

Am

bi ti

La ecuación (14) solamente tiene en cuenta la torsión uniforme, o sea, el momento torsor exterior es constante y el alabeo de las distintas secciones no se encuentra impedido. En el caso que alguna de estas hipótesis no se cumpla, se debe considerar el aporte de la flexión de las alas de los perfiles cuando se torsionan. Este efecto se denomina “Torsión No Uniforme”. 28

z

z

TNU w(y)

y

x w(y) θ

h Qf

Por flexión del ala del perfil tenemos:

Qf = −

∂M f ∂y

⇒ M f = EI f ( y )

∂2w ∂ ⎡ ∂2w ⎤ Q EI y ⇒ = − ( ) f ⎢ f ⎥ ∂y 2 ∂y ⎣ ∂y 2 ⎦

Donde el subíndice f indica que se trata de cantidades asociadas al ala (“flange”) del perfil. Expresamos w en función de θ y obtenemos:

w( y ) ≅

h( y ) h( y ) ∂ 2θ ⎤ ∂ ⎡ θ ( y ) ⇒ Q f = − ⎢ EI f ( y ) 2 2 ∂y 2 ⎥⎦ ∂y ⎣

TNU = Q f h( y ) = −

h 2 ( y ) ∂ 2θ ⎤ ∂ ⎡ ∂ ⎡ ∂ 2θ ⎤ EI ( y ) E ( y ) Γ = − f 2 ∂y 2 ⎥⎦ ∂y ⎢⎣ ∂y ⎢⎣ ∂y 2 ⎥⎦

Donde Γ(y) es un parámetro que depende de la forma de la sección. Finalmente la ecuación de movimiento en torsión para una viga de sección arbitraria resulta: ∂ ⎡ ∂θ ⎤ ∂ ⎡ ∂ 2θ ⎤ ∂ 2θ G J ( y ) ⎥ − ⎢ E Γ ( y ) 2 ⎥ − ρ I p ( y ) 2 = − M t ( y, t ) ∂y ⎢⎣ ∂y ⎦ ∂y ⎣ ∂y ⎦ ∂t

(15)

Suponiendo que se trata de una viga de sección constante y despreciando el efecto de la torsión no uniforme, la ecuación para el caso de vibraciones libres resulta: GJθ ′′ − ρ I pθ = 0 (16)

29

Planteando la misma metodología que en el caso de las vibraciones en flexión, tendremos:

θ ( y, t ) = φ ( y ) Y (t ) GJ Y (t ) φ ′′( y ) − ρ I p φ ( y ) Y (t ) = 0

Dividiendo ambos miembros por GJ θ(y,t) tendremos:

φ ′′( y ) ρ I p Y (t ) φ ′′( y ) ρ I p Y (t ) − =0 ⇒ = = cte = −a 2 φ ( y ) GJ Y (t ) φ ( y ) GJ Y (t ) ⎧φ ′′( y ) + a 2φ ( y ) = 0 ⎪ ⎨ 2 GJ 2 2 GJ ⎪Y (t ) + a ρ I Y (t ) = 0 ⇒ ωn = a ρ I p p ⎩ Las soluciones de estas ecuaciones son: ⎧φ ( y ) = C1 sen(ay ) + C2 cos(ay ) ⎨ ⎩Y (t ) = C3 sen(ωn t ) + C4 cos(ωn t )

Como ejemplo calcularemos las frecuencias y modos de un ala en voladizo de semienvergadura L, las condiciones de contorno serán: Extremo fijo (raíz del ala): θ (0, t ) = 0 ⇒ φ (0) = 0 Extremo libre (puntera): θ ′( L, t ) = 0 ⇒ φ ′( L) = 0

φ ( y ) = C1 sen(ay ) + C2 cos(ay ) φ ′( y ) = a C1 cos(ay ) − a C2 sen(ay ) φ (0) = 0 ⇒ C2 = 0 φ ′( L) = 0 ⇒ C1 cos(aL) = 0 ⇒ C1 ≠ 0 π (2n − 1) π cos( aL) = 0 ⇒ a L = (2n − 1)

2

⇒ a=

2L

Finalmente los modos y frecuencias resultan:

⎡ (2n − 1) π y ⎤ ⎥⎦ 2L ⎣

φn ( y ) = sen ⎢

ωn =

(2n − 1) π 2L

GJ ρIp

b) Método de Rayleigh-Ritz: La aplicación de este método aproximado es análoga al caso de flexión, sólo daremos las expresiones de los términos del Principio de Hamilton que se emplean en los problemas de torsión:

30

Energía cinética:

T=

2 1 L ⎡ ⎤ ρ I θ y t ( , ) p ⎣ ⎦ dy 2 ∫0

Energía de deformación:

U=

1 L 1 L 2 2 GJ [θ ′( y, t ) ] dy + ∫ EΓ [θ ′′( y, t ) ] dy ∫ 0 0 2 2

En la energía de deformación se incluyen los términos correspondientes a la torsión uniforme y no uniforme.

31

Tema N°5: Fenómenos Aeroelastoestáticos. Los fenómenos aeroelastoestáticos se caracterizan por admitir ciertas hipótesis simplificativas: a) El tiempo no es una variable del problema, por lo tanto las fuerzas de inercia pueden eliminarse de las ecuaciones de equilibrio. b) Las fuerzas aerodinámicas se pueden calcular a partir de las ecuaciones para el flujo estacionario. Existen dos tipos de problemas aeroelastoestáticos: 1) Divergencia 2) Inversión de comandos Divergencia: a) Modelo Discreto: Para estudiar este fenómeno plantearemos un modelo bidimensional constituido por un perfil alar rígido (que simula el comportamiento de un ala recta de alargamiento infinito) y un resorte de torsión que representa la rigidez torsional del ala.

α

θ α0

V

MCA

L Kc

CA

Kcθ

e

o c

El interés principal en este modelo es la rotación del perfil (y consecuentemente la torsión del resorte) α en función de la velocidad V. Si el resorte fuera muy rígido o la velocidad del aire muy baja, el ángulo α debería ser muy pequeño. Sin embargo, para resortes muy flexibles o altas velocidades del flujo, el giro del perfil podría torsionar el resorte más allá del límite elástico y conducir a la falla estructural. Un gráfico típico del ángulo de torsión θ en función de la velocidad se muestra en la figura siguiente:

32

Falla estructural θ

VD V La velocidad para la cual el ángulo de torsión se incrementa rápidamente al punto de alcanzar la condición de falla, se denomina Velocidad de Divergencia VD. El objetivo principal de cualquier modelo teórico es predecir con exactitud VD. Debe enfatizarse que la curva de arriba no sólo representa el comportamiento de una sección alar típica, sino también el del ala de un avión real. De hecho la diferencia principal no es el fenómeno básico de la divergencia, sino la complejidad del análisis teórico necesario para predecir el valor de VD para un ala real respecto de la sencillez con que se puede calcular para la sección típica. El ángulo de ataque total α es la suma de un ángulo de ataque inicial α0 (sin torsión del resorte) más un ángulo adicional θ debido a la torsión elástica del ala. Aplicando el concepto de Centro Aerodinámico (CA), definido como el punto del perfil respecto del cual el momento aerodinámico es independiente del ángulo de ataque, el equilibrio de momentos respecto del punto O (eje elástico del perfil) resulta: K cθ − L e − M CA = 0 (17) Donde:

Kc: Constante equivalente a la rigidez torsional del ala L: Fuerza de Sustentación e: Distancia entre el CA y el eje elástico (positiva para el sentido indicado en la figura) MCA: Momento aerodinámico respecto del CA De la teoría aerodinámica estacionaria obtenemos:

∂C ⎞ ∂C ⎛ ⎡ ⎤ L = CL q S = ⎜ CL0 + L α ⎟ q S = ⎢CL0 + L (α 0 + θ ) ⎥ q S ∂α ⎠ ∂α ⎝ ⎣ ⎦ M CA = CMCA q Sc 33

Donde:

q: Presión dinámica =

1 ρV 2 2

S: Superficie alar Si consideramos por razones de simplicidad CL0 = 0 y reemplazamos en la ecuación de equilibrio (17) tendremos:

K cθ − e q S

∂CL (α 0 + θ ) − CMCA q Sc = 0 ∂α

(18)

De la ecuación (18) podemos despejar el ángulo de torsión θ (suponemos por simplicidad CMCA = 0):

∂CL ∂CL α0 α e qS ∂α 0 ∂α θ= = ∂C eS ∂CL K c − eqS L K c 1 − q ∂α K c ∂α

eqS

(19)

La solución (19) tiene algunas propiedades interesantes. Tal vez la más relevante sea que para una presión dinámica definida el ángulo de torsión tiende a infinito. O sea, el denominador del miembro derecho de la expresión (19) vale 0: eS ∂CL 1− q =0 (20) K c ∂α La ecuación (20) representa lo que se denomina “Condición de Divergencia” mientras que la presión dinámica que resulta de resolver dicha ecuación se define como “Presión Dinámica de Divergencia” qD:

qD =

Kc ∂C eS L ∂α

(21)

Dado que sólo tienen sentido físico los valores positivos de qD, solamente puede haber divergencia cuando e > 0. Reemplazando la ecuación (21) en la (19) obtenemos:

eS ∂CL q α0 K c ∂α qD θ= = q eS ∂CL 1− 1− q qD K c ∂α qα 0

34

(22)

Graficando la ecuación (22) para un valor arbitrario de α0 tendremos:

q qD 1

θ Vemos que la curva tiene mucha similitud con la correspondiente al pandeo de una columna imperfecta. Para confirmar esta analogía, veamos que ocurre cuando en la ecuación (19) consideramos α0 = 0:

⎛ ⎝

θ ⎜ Kc − q e S

∂CL ⎞ ⎟=0 ∂α ⎠

Excluyendo la solución trivial θ = 0 se concluye que:

Kc − q e S

∂CL =0 ∂α

(23)

Como ya vimos la expresión (23) es la condición de divergencia. Podemos concluir entonces que la divergencia es un problema de autovalores, donde debemos encontrar una solución distinta de la trivial. En los problemas aeroelastoestáticos la presión dinámica q juega el papel del autovalor del problema, equivalente a la carga crítica en los casos de pandeo de columnas. Por supuesto que el ángulo de torsión no se vuelve infinitamente grande para ningún ala real, más aún la relación entre el ángulo de ataque y las cargas aerodinámicas deja de ser lineal mucho antes. Sin embargo, el ángulo de torsión elástico puede ser lo suficientemente grande como para causar la falla estructural. Por esta razón todos los aviones se diseñan para volar por debajo de los límites de divergencia para todas las superficies sustentadoras, por ejemplo: alas, empenajes, superficies de control, etc.

35

b) Modelo Continuo: En este caso plantearemos un modelo más realista, el cual contiene básicamente los mismos ingredientes que el modelo discreto. Modelamos un ala recta de gran alargamiento como una “Viga Grilla” (flexión + torsión) de sección constante:

z dy CA

e θ

c Mt

y

y x

L

Si de la ecuación de movimiento en torsión (15) eliminamos los términos inerciales y los correspondientes a la torsión no uniforme, obtenemos la ecuación de equilibrio estático siguiente:

d ⎡ dθ ⎤ G J ( y) ⎥ + M t ( y) = 0 ⎢ dy ⎣ dy ⎦

(24)

⎧θ (0) = 0 ⎪ Con las siguientes condiciones de contorno: ⎨ dθ =0 ⎪ dy y = L ⎩ De acuerdo con la teoría del ala con alargamiento infinito, la sustentación y el momento aerodinámico en una sección de coordenada genérica “y” depende únicamente del ángulo de ataque local de dicha sección, o sea, es independiente del ángulo de ataque de las secciones vecinas. En consecuencia podemos expresar el momento torsor por unidad de envergadura Mt de la siguiente manera:

M t ( y ) = M CA + L e Donde:

MCA: Momento aerodinámico por unidad de envergadura L : Fuerza de sustentación por unidad de envergadura e : Distancia del eje elástico al Centro Aerodinámico

36

Aplicando las expresiones de la Aerodinámica Estacionaria y reemplazando:

M CA = CMCA q c 2 L = CL ( y ) c q ∂CL [α 0 ( y ) + θ ( y)] ∂α d ⎛ dθ ⎞ ∂CL 2 [α 0 ( y) + θ ( y)] e c q = 0 ⎜ GJ ⎟ + CMCA q c + dy ⎝ dy ⎠ ∂α CL ( y ) =

Si adimensionalizamos el problema y consideramos que las propiedades geométricas y físicas son constantes, obtenemos:

y ⇒ y = L y ⇒ dy = L dy ⇒ dy 2 = L2 dy 2 L ∂C ∂C GJ d 2θ + θ L e c q = −CMCA q c 2 − L α 0 e c q 2 2 L dy ∂α ∂α y=

d 2θ ∂CL e c q L2 q c L2 ⎛ ∂CL ⎞ + = − θ α 0e + CMCA c ⎟ ⎜ 2 dy ∂α GJ GJ ⎝ ∂α ⎠

λ2

R

⎧ θ ( y =0) = 0 ⎪ θ ′′ + λ 2θ = R ⎨ dθ =0 ⎪ dy = 1 y ⎩ Para calcular la presión dinámica de divergencia debemos hallar la solución de la ecuación homogénea, o sea, consideramos: α0 = CMCA = 0:

θ ′′ + λ 2θ = 0 ⎧θ ( y ) = C1 sen(λ y ) + C2 cos(λ y ) ⎨ ⎩θ ′( y ) = λC1 cos(λ y ) − λC2 sen(λ y ) ⎧θ (0) = 0 ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪θ ′(1) = 0 ⇒ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

C2 = 0 ⎧ ⎪ λ =0 ⇒ e=q=0 ⎪ ⎪ λC1 cos(λ ) = 0 ⎨ C1 = 0 ⇒ solución trivial ⎪ π ⎪ ⎪cos(λ ) = 0 ⇒ λ = (2n − 1) 2 ⎩

La condición crítica ocurre para n = 1, reemplazando hallamos qD:

37

λ=

π 2

⇒ λ2 =

π2 4

=

∂CL e c qD L2 ∂α GJ

π2

⇒

qD =

GJ 4 ∂CL e c L2 ∂α

(25)

Comparando la expresión de la presión dinámica de divergencia (25) con la obtenida para el modelo discreto (21), resulta:

Kc

π 2 GJ qD =

2 L ∂CL e 2 Lc ∂α S

⇒

Kc =

π 2 GJ 2 L

Resolviendo la ecuación no homogénea obtendremos la variación del ángulo de torsión en función de la presión dinámica:

⎧ θ ( y =0) = 0 ⎪ θ ′′ + λ 2θ = R ⎨ dθ =0 ⎪ dy = y 1 ⎩

θ h ( y ) = C1 sen(λ y ) + C2 cos(λ y ) θ p ( y ) = C3 ⇒ λ 2C3 = R ⇒

C3 =

R

λ2

R ⎧ ⎪θ ( y ) = C1 sen(λ y ) + C2 cos(λ y ) + 2 λ ⎨ ⎪⎩θ ′( y ) = λC1 cos(λ y ) − λ C2 sen(λ y )

θ (0) = 0 ⇒ C2 +

R

λ

2

θ ′(1) = 0 ⇒ C1 cos(λ ) + θ (y) =

R

λ2

=0 ⇒ R

λ

2

C2 = −

R

λ2

sen(λ ) = 0 ⇒ C1 = −

R

λ2

tan(λ )

[1 − tan(λ ) sen(λ y ) − cos(λ y )]

La condición de divergencia se sigue cumpliendo:

tan(λ ) → ∞ ⇒

cos(λ ) = 0

Si consideramos CMCA = 0 ⇒ R = −λ 2α 0 , la solución resulta:

θ ( y ) = α 0 [ −1 + tan(λ ) sen(λ y ) + cos(λ y )] (26)

38

Podemos utilizar el ángulo de torsión en la puntera para caracterizar la variación de θ en función de la presión dinámica:

⎡ ⎤ sen 2 (λ ) + cos(λ ) ⎥ θ (1) = α 0 [ −1 + tan(λ ) sen(λ ) + cos(λ )] = α 0 ⎢ −1 + cos(λ ) ⎣ ⎦ 2 2 ⎡ ⎡ 1 ⎤ sen (λ ) + cos (λ ) ⎤ θ (1) = α 0 ⎢ −1 + = α0 ⎢ − 1⎥ ⎥ cos(λ ) ⎣ cos(λ ) ⎦ ⎣ ⎦ En consecuencia el ángulo total en la puntera resulta:

α = α0 + θ ⇒

α0 = α 0 sec(λ ) cos(λ )

α=

Si expresamos λ en función de la presión dinámica, obtenemos:

∂CL e c q L2 2 λ = ∂α = GJ

λ2 =

π2 q 4 qD

⇒

π2 q GJ

=

∂CL e c L2 ∂α

λ=

4

π

π2

q

GJ

=

π2 q 4 qD

4 ∂CL e c L2 ∂α qD

q qD

2

Reemplazamos y graficamos el ángulo en la puntera:

⎛π

α = α 0 sec ⎜⎜

⎝2

q qD

⎞ ⎟⎟ ⎠

q qD 1

α0

α

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c) Divergencia de Alas en Flecha: Para analizar la influencia del ángulo de flecha en la condición de divergencia, proponemos un modelo continuo con flecha positiva: V sen(Λ)

V V cos(Λ) y e

c

Λ y

y

L

x

z

dw dy w( y )

V sen(Λ )

dw dy

V sen(Λ) y

y

En la figura el eje y se es el eje aerodinámico y el eje y corresponde al eje elástico del ala. Planteando las ecuaciones de equilibrio estático para flexión y torsión, referidas al eje elástico ( y ), tendremos:

⎧ d 2 ⎛ d 2w ⎞ ⎪ 2 ⎜ EI 2 ⎟ = L( y ) dy ⎠ ⎪ dy ⎝ ⎨ ⎪ d ⎛ GJ dθ ⎞ = − M ( y ) t ⎟ ⎪ dy ⎜ dy ⎠ ⎩ ⎝

40

(27)

Aplicando las ecuaciones aerodinámicas:

L ( y ) = CL ( y ) c q M t ( y ) = CL ( y ) c q e + CMCA ( y ) c 2 q 1 2 ρ [V cos(Λ ) ] = q cos 2 (Λ ) 2 ∂C CL ( y ) = L α ( y ) ∂α dw V sen(Λ) dw dy α (y) = θ ( y) − = θ ( y ) − tan(Λ ) dy V cos(Λ ) q=

Reemplazando en las ecuaciones de equilibrio (27) obtenemos:

⎧ d 2 ⎛ d 2 w ⎞ ∂CL ⎡ ⎤ dw θ (y) − tan(Λ ) ⎥ c q cos 2 (Λ ) ⎪ 2 ⎜ EI 2 ⎟ = ⎢ dy ⎠ ∂α ⎣ dy ⎪ dy ⎝ ⎦ ⎨ (28) ⎪ d ⎛ GJ dθ ⎞ = − ∂CL ⎡θ ( y ) − dw tan(Λ) ⎤ c e q cos 2 (Λ ) − C ( y ) c 2 q cos 2 (Λ) MCA ⎟ ⎥ ⎪ dy ⎜ dy ⎠ dy ∂α ⎢⎣ ⎦ ⎩ ⎝ Analizaremos los 2 casos extremos: 1) Rigidez a flexión infinita ( EI → ∞ lo cual implica w → 0 ): El caso es similar al de un ala recta pero con los coeficientes ligeramente modificados. 2) Rigidez a torsión infinita ( GJ → ∞ lo cual implica θ → 0 ): En este caso la segunda ecuación se satisface idénticamente y solamente nos queda la ecuación de equilibrio en flexión:

d 2 ⎛ d 2w ⎞ ∂C dw tan(Λ ) c q cos 2 (Λ ) EI 2 ⎟ = − L 2 ⎜ ∂α dy dy ⎝ dy ⎠ d 2 ⎛ d 2 w ⎞ ∂CL dw sen(Λ ) cos(Λ) c q =0 EI 2 ⎟ + 2 ⎜ dy ⎝ dy ⎠ ∂α dy Esta última ecuación homogénea, claramente conduce a un problema de autovalores, por lo cual se infiere que existe la posibilidad de tener una condición de divergencia en flexión, aún para el caso de un ala infinitamente rígida en torsión. Esta condición es imposible para el caso del ala recta. Introduciendo variables adimensionales y considerando que las propiedades físicas y geométricas son constantes con la envergadura, obtenemos d 4w dw +λ =0 4 dy dy

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(29)

Donde:

y=

y L

∂CL q c L3 α ∂ λ= sen(Λ ) cos(Λ) EI Las condiciones de contorno corresponden a una viga en voladizo:

⎧ dw =0 ⎪ w(0) = dy y =0 ⎪ ⎨ 2 3 ⎪d w = d w = 0 ⎪ dy 2 dy 3 y =1 y =1 ⎩ La solución de esta ecuación tiene la particularidad que todos los autovalores son negativos. El menor en valor absoluto de estos autovalores provee la condición de divergencia:

λD = −6,33 =

∂CL sen(Λ ) cos(Λ ) q c L3 ∂α EI

(30)

Si analizamos la expresión (30), veremos que la única manera que el término derecho sea negativo es que sen(Λ) < 0, o sea: Λ